imÁgenes fractales ¿cÓmo se hacen? - escuela de … · 2012. 4. 17. · depende de la familia...

SISTEMAS DINÁMICOS

SISTEMAS DINÁMICOS CUADRÁTICOS.

LA FAMILIA LOGÍSTICA

S.dinámicos cuadraticos. La familia logística

Vamos a ver cómo varía el comportamiento, según varía c en IR+Para c=0, f0(x)=0, y la órbita de cualquier punto x es O+(x)={x,0,0,0,...}.

La familia logística es la formada por las aplicaciones fc:[0,1] →[0,1] de la forma fc(x)=cx(1-x), con c real.

La familia logística (0

La familia logística (c=1)Existe un único punto fijo, 0,atractivo por la derecha y repulsivo por la izquierdaA(0) = [0,1]

La órbita de los demás puntos diverge a ∞

La familia logística (c=1)La iteración de las gráficas es c=1

Bifurcación para c=1

c=0.75Al pasar por c=1, el punto fijo atractivo 0 se convierte en repulsivo, mientras que el punto fijo repulsivo que existe para c


c=1

(bifurcación transcrítica).

Al pasar por c=1, el punto fijo atractivo 0 se convierte en repulsivo, mientras que el punto fijo repulsivo que existe para c


c=1.25

(bifurcación transcrítica).

Al pasar por c=1, el punto fijo atractivo 0 se convierte en repulsivo, mientras que el punto fijo repulsivo que existe para c

La familia logística (11.

Como

Y como

La familia logística (c=3)


El punto fijo atractivo, pc, es indiferente, aunque atractivo, anunciando una bifurcación.

A(pc)=(0,1)fc(1)=0

La familia logística (c=3)La iteración de las gráficas es c=3

Para c>3 los 2 puntos fijos son repulsivos.Si existen puntos 2-periódicos serán solución de

La familia logística (c>3)

2 ( )cf x x=que tiene por soluciones

2 21 2| ( ) '( ) | | ( ) '( ) | |1 ( 1)( 3) | 1 3 1 6 3.449c cf q f q c c c= = − + − < ⇔ < < +

{q1, q2} será un 2-ciclo atractivo si

1 21 ( 1)( 3) 1 ( 1)( 3)

y 2 2

c c c c c cq q

c c+ − + − + + + −

= − = −

La familia logística (3.449

existe un 2n-ciclo repulsivo, ∀n∈IN


Existe un conjunto de Cantor atractivo cuya cuenca de atracción es (0,1)excepto los puntos eventualmente 2n-periódicos

Para c= λ∞≈ 3.570

La familia logística (c=λ∞=3.570)


Construcción del conjunto de Cantor:

El conjunto de Cantor atractivo se ve en la siguiente figura que representa un estado avanzado de la órbita del punto anterior


La iteración de las gráficas es


c=3.57

donde se ve tanto el conjunto de Cantor atractivo como los puntos fijos y 2n-periódicosy eventualmente fijos y eventualmente 2n-periódicos

Si representamos en unos ejes los puntos a los que converge la órbita de fcn(1/2), para los diferentes valores de c obtenemos el diagrama de Feigennaum

El diagrama de Feigenbaum

El diagrama de FeigenbaumEl utilizar la órbita del punto 1/2 se basa en el siguiente:

El diagrama de FeigenbaumTeorema. Si f:IR→IR cumple entonces para todo punto fijo o periódico p se tiene que:

o bien A(p) es un intervalo infinito o bien existe un punto crítico de f en A(p) o bien p es repulsivo.

0)(')(''

23

)(')(''')(

2

≤⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

xfxf

xfxfxSf

Un detalledeldiagramadeFeigenbaum


> feigen:=proc(a,b,m,n,r)> local l,i,s,c,j,k;> l:=[]: > for i from 0 to r do:> s:=1/2; c:=a+(b-a)*i/r: > for j to m do: > s:=evalf(c*s*(1-s)): > od:> for k from 1 to n do: > s:=evalf(c*s*(1-s)); l:=[op(l),[c,s]]; > od; > od; > plots[pointplot](l,style=POINT,symbol=POINT);> end:


f1

f32

¿Por qué la duplicación del periodo?La gráfica de f32 contiene dos cuasiparábolas equivalentes a la gráfica de f1

f1.5

f3.22

¿Por qué la duplicación del periodo?Según aumenta el parámetro, la altura de las cuasiparábolasaumenta

f1.5

f3.22

¿Por qué la duplicación del periodo?El comportamiento de fc para c>3 va a ser un reflejo, con alternancia entre esos dos intervalos, del comportamiento para c>1

δ es la constante de Feigenbaum o constante del caos.

Entonces si d(k)=m(k+1)-m(k) y D(k)=d(k)/d(k+1),para todo k, se tiene

Sea m(1)=3, m(2) =3.449, m(3), ..., los puntos en que se produce duplicación del periodo.

Duplicación m(k) d(k) D(k)1 a 2 3.0000000 0.4494896 4.7514405282 a 4 3.4494896 0.0946007 4.6562336964 a 8 3.5440903 0.0203170 4.6683210408 a 16 3.5644073 0.0043521 4.66863334016 a 32 3.5687594 0.0009322 4.66800200332 a 64 3.5696916 0.000199764 a 128 3.5696916

La constante de Feigenbaum

↓δ=4.669201609...

Aunque λ∞ depende de la familia logística, la constante de Feigenbaum es universal (es la misma para una gran variedad de familias).

Por tantoEntonces d(k) es aproximadamente geométrica de razón δ.

(1)lim ( ) (1) 3.571992211k

dm k m δλδ∞ →∞

= ≈ + =−(2)lim ( ) (2) 3.569873191k


= ≈ + =−(6)lim ( ) (6) 3.5699457261k


= ≈ + =−

Una mejor aproximación sería

O mejor aun

La constante de Feigenbaum

Sea m1=3.6785 el punto de unión de las dos ramas.

¿Por qué se divide el diagrama en m1?Vanos a ver lo que ocurre tras el punto de Feigenbaum.

fm12

f4

¿Por qué se divide el diagrama en m1?La gráfica de fm12 contiene dos cuasiparábolas cuya imagen rellena el cuadrado correspondiente y que son por tanto equivalentes a la gráfica de f4.

fm12

f4

¿Por qué se divide el diagrama en m1?La gráfica de fm12 contiene dos cuasiparábolas cuya imagen rellena el cuadrado correspondiente y que son por tanto equivalentes a la gráfica de f4.Esos cuadrados son invariantes por fm12 y atraen las órbitas situadas fuera.

Según disminuye el parámetro, la altura de las cuasiparábolas disminuye y las imágenes de los intervalos ya no son los intervalos completos.

¿Por qué se divide el diagrama en m1?

¿Por qué se divide el diagrama en m1?El comportamiento de fc para c menor que m1 va a ser un reflejo, con alternancia entre esos dos intervalos, del comportamiento para c menor que 4.

Esto provoca la creación de las dos ramas.Cada una de las ramas es, para valores menores de m1, similar a todo el diagrama para valores menores que 4.

La familia logística (λ∞=3.570

La familia logística (λ∞=3.570m3>...de puntos en los que se produce división de franjas tales que fc en (mi+1,mi) es, con alternancia entre 2i intervalos, como fc en (m1,4).

Para c=3.82, f3 tiene la siguiente forma

¿Por qué surge un 3-ciclo en c=3.828?

Para c=3.828, f3 tiene la siguiente forma


Para c=3839, f3 tiene la siguiente forma

Así, para c=3.828, f3 tiene una bifurcación tangente


La proximidad de una bifurcación tangente produce un fenómeno de intermitencia, que se ve si comparamos la órbita de 1/2 para c=3.82 y c=3.828


¿Cuantos 3-ciclos aparecen?Para c=1f3 tiene la siguiente forma

¿Cuantos 3-ciclos aparecen?Para c=2f3 tiene la siguiente formaCorresponde al punto fijo superatractivo, que también es 4-ciclo

¿Cuantos 3-ciclos aparecen?Para c=3.2f3 tiene la siguiente forma

¿Cuantos 3-ciclos aparecen?Para c=3.5 f3 tiene la siguiente forma

Para c=3.82f3 tiene la siguiente forma

¿Cuantos 3-ciclos aparecen?

Para c=3.828f3 tiene la siguiente forma


Para c=3839f3 tiene la siguiente formaAsí, para c=3.828, f3 tiene una bifurcación tangente


¿Cuantos 3-ciclos aparecen?Para c=4f3 tiene la siguiente formaAsí, hay exactamente 1 bifurcación tangente de f3 que dan lugar a la aparición de 4-ciclos atractivos

¿Cuantos 4-ciclos aparecen?Para c=2f4 tiene la siguiente formaCorresponde al punto fijo superatractivo, que también es 4-ciclo

¿Cuantos 4-ciclos aparecen?Para c=3.236067978f4 tiene la siguiente formaCorresponde al 2-ciclo superatractivo, que también es 4-ciclo

¿Cuantos 4-ciclos aparecen?Para c=3.498561699, f4 tiene la siguiente formaCorresponde al 4-ciclo superatractivotras la a duplicación del periodo

¿Cuantos 4-ciclos aparecen?Para c=m1=3.6785f4 tiene la siguiente forma

¿Cuantos 4-ciclos aparecen?Para c=4f4 tiene la siguiente formaAsí, hay exactamente 1 bifurcación tangente de f4 que dan lugar a la aparición de 4-ciclos atractivos

¿Cuantos 5-ciclos aparecen?Para c=m1=3.6785f5 tiene la siguiente forma

¿Cuantos 5-ciclos aparecen?Para c=3.738, f5 tiene la siguiente formaAsí, para c=3.738, f5 tiene una bifurcación tangente que da lugar a la aparición de un 5-ciclo atractivoPara c

¿Cuantos 5-ciclos aparecen?Para c=3.8, f5 tiene la siguiente forma

¿Cuantos 5-ciclos aparecen?Para c=3.9055, f5 tiene la siguiente formaAsí, para c=3.9055, f5 tiene una bifurcación tangente que da lugar a la aparición de un 5-ciclo atractivo

¿Cuantos 5-ciclos aparecen?Para c=3.99, f5 tiene la siguiente formaAsí, para c=3.9902, f5 tiene una bifurcación tangente que da lugar a la aparición de un 5-ciclo atractivo

¿Cuantos 5-ciclos aparecen?Para c=4, f5 tiene la siguiente formaAsí, hay exactamente 3 bifurcaciones tangentes de f5 que dan lugar a la aparición de 5-ciclos atractivos

La familia logística (c=4)La órbita de un punto es

La órbita no parece estabilizarse


Todos son repulsivos


La imagen de cualquier intervalo acaba siendo todo (0,1)

Los puntos periódicos son densos

La familia logística (c=4)Para ver que la imagen de cualquier intervalo acaba siendo todo (0,1), calculamos la órbita de un intervalo

Si comparamos la serie temporal de 0.7500000000


y la serie temporal de 0.7500000001

Vemos que hay sensibilidad a las condiciones iniciales, las órbitas de puntos arbitrariamente cercanos se separan


La órbita dealgunos puntos del intervalo [0,1] sale de [0,1], pasa a ser negativa y se va a ∞

La familia logística (c>4)Por ejemplo, para c=4.1

Vamos a ver los puntos cuya órbita no se vaa ∞


El conjunto de puntos que sale del intervalo [0,1] en una iteración es un intervalo abierto centrado en 1/2


El conjunto de puntos que sale del intervalo [0,1] en 2 iteraciones son 2 intervalos abiertos situados a ambos lados del anterior


El conjunto de puntos que sale del intervalo [0,1] en 3 iteraciones son 4 intervalos abiertos situados a los huecos dejados por los anteriores

La familia logística (c>4)El conjunto de puntos cuya órbita no se va a ∞ es un Conjunto de Cantor C, que es invariante

Existen puntos periódicos de todos los periodosTodos son repulsivos y densos en CPara todo intervalo abierto I, fck(C∩I)→(0,1)



SISTEMAS DINÁMICOSS.dinámicos cuadraticos. La familia logísticaLa familia logística (0

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