8/18/2019 Imanacion en Materiales

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Imanación en materiales ferromagnéticos

L. Martinez Torres

March 28, 2016

Abstract

En el siguiente documento se muestra el calculo de la imantación re-ducida en función de la temperatura reducida para materiales ferromag-

neticos, tomando como referencia el caso del Niquel. Lo anterior se real-

iza mediante un programa en C++, obteniendo ası́ una tendencia que se

ajusta muy bien con los datos experimentales, esto utilizando el método

iterativo de Newton con una precision de 10−4.

1 Introducción

El efecto de la interacción de canje magnético es explicado por la mecánicacuántica y ocurre cuando electrones desapareados del mismo o diferente átomo

se encuentran lo suficientemente cercanos, esto es, sus funciones de onda so-lapan.De forma simplificada, la enerǵıa de dos electrones, cuando están muycercanos, dependen de la simetŕıa de sus orbitales, es decir, de su distribuciónen el espacio, y por tanto de la orientación relativa de sus espines, sus momen-tos angulares intŕınsecos. Esto no solo esta relacionado con la repulsión a cortoalcance de los átomos y moléculas, sino que ademas, al alterar la enerǵıa de losestados dependiendo de la disposición de los espines electrónicos, es uno de losprocesos principales por el que los momentos magnéticos se alinean entre śı. Laimanación del material aun en presencia de un campo magnético, es un efectode algunos materiales, denominados ferromagnéticos. En la teoŕıa de campomedio de Weiss, los iones están sometidos a un campo magnético   Bm   que esproporcional a la imanación   Bm   =  aM   siendo a una constante independiente

de la temperatura. Pero al aumentar esta ultima la enerǵıa interna dificulta laalineación de los espines (hasta que en algún punto desaparece). Ademas parauna temperatura limite (la temperatura de curie  T c) se produce una transiciónferromagnética.Cuánticamente debe tenerse en cuenta que la proyección del momento angu-lar total solo toma valores discretos. Para N iones con spin 1/2 en un campomagnético B, las poblaciones en el estado inferior N i  y N s  en equilibrio térmicovienen dadas por las siguientes ecuaciones.

N iN 

  =  exp(µB/K BT )

exp(µB/K BT ) + exp(−µB/K BT )  (1)

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N s

N 

  =  exp(−µB/K BT )

exp(µB/K B

T ) + exp(−

µB/K B

T )

  (2)

siendo µ  el magneton de Bohr y  K B  la constante de Boltzmann. La imananciaresultante sera entonces  M   =  µ(N i  − N s)=N µ tanh(µB/K BT ) . Para el casode que no haya campo externo B se sustituye por  Bm =  aM  quedando entonces

M (T ) = N µ tanh µaM (T )

K BT   (3)

En el cero absoluto M(0)=Nµ   esto corresponde al caso en que todos los es-pines est́an alineados. Para dejarlo en términos de la imanación reducidam(T)=M(T)/M(0), la temperatura de curie   T c   =  N µ2aK BT   y de la temper-atura reducida t=T/T c   la ecuación anterior puede reducirse a

m(t) = tanh m(t)t

  (4)

Esta ecuación es trascendente. Para solucionar esto debe encontrarse numéricamentelos ceros de la función f (m) = tanh(m/t)−m. Existe una solución no nula para0  < t <  1 que f́ısicamente representa la imanación espontanea que ocurre pordebajo de la temperatura de curie.

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2 Desarrollo del ejercicio

Se caculó M(T)/M(0) en función de T/T c. resolviendo la ecuación trascendenteutilizando el método de Newton con una precisión de 10exp(−4), que en estecaso es el método mas recomendable dado que la funcíon tiene una derivadasencilla. Se comparan los resultados con los datos experimentales para el niquelen la tabla proporcionada.

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Figure 1: Imanación reducida en funcion de la temperatura reducida a partirde la teoria cuantica (Linea continua). Los puntos son los datos experimentalespara el Niquel.

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3 Resultados

Figure 2: Datos obtenidos mediante el método de Newton de la Imantación enfunción de la temperatura.

4 Conclusiones

La gráfica es el resultado del programa en C++ y muestra que efectivamente laimanación desaparece al alcanzar valores superiores a la temperatura de curie.También se observa que los resultados experimentales y numéricos se a justan.

5 Referencias

•   ”F́ısica del estado sólido, Teoria y metodos numericos”; F. Dominguez.

•   ”Introducción a la f́ısica del estado solido”, C. Kittel.

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