III Olimpiada de Otoo 2013Categora CanguroInstrucciones: Tienes 2 horas para resolver el examen. Escribe tus respuestas y todos tus datos en la hoja de respuestas. Para los primeros 12 problemas, escribe nicamente la respuesta. Cada uno vale 5 puntos.Problema 1. En la figura se muestra un tringulo con ngulo recto en . La lnea divide al ngulo en dos ngulos iguales, formando el tringulo issceles con . Cul es la medida del ngulo ?

Problema 2. Calcula el valor de la siguiente suma:

Problema 3. El granjero Totoro tiene muchas naranjas. Si las divide en montones de 2 en 2, le sobra 1; si las divide en montones de 3 en 3, le sobra 1; y si la divide en montones de 5 en 5, le sobran 3. Si Totoro sabe que tiene menos de 600 naranjas, cuntos valores cumplen lo anterior?Problema 4. Petunia no le quera dar su nmero telefnico a Totoro as que le dio slo algunos dgitos:

y le dijo que era divisible entre 99. Cuntos nmeros distintos tendra que marcar Totoro?Problema 5. Al chef Totoro le toma 6 minutos frer cada lado de un pescado en la sartn. Slo tiene una sartn y nunca puede poner ms de 4 filetes a la vez. Cul es el menor tiempo que le tomara frer 9 filetes? (Supn que no pierde tiempo en darles la vuelta o quitarlos y ponerlos.)Problema 6. De cuntas maneras es posible escoger signos para que la suma

sea igual a ?Problema 7. En la siguiente figura se tiene un rectngulo y los puntos estn sobre los lados de modo que . Si el lado del rectngulo mide y el rea del tringulo es de , cul es el rea, en , del tringulo ?

Problema 8. En la habitacin de Totoro hay once focos pero los interruptores funcionan de manera chistosa: slo se puede prender dos focos al mismo tiempo, apagar dos focos al mismo tiempo o prender un foco y apagar otro. Si al principio estn todos prendidos, cul es la menor cantidad de movimientos que se necesitan hacer para dejar todos los focos apagados?Problema 9. Carmen tiene una alberca cuadrada que tiene 18 metros cuadrados de rea. En cada vrtice de la alberca mand poner un rbol grandote que le gusta mucho. El arquitecto Totoro le present un proyecto para hacer su alberca ms grande sin tirar los rboles. En los planos, los rboles son ahora los puntos medios de la alberca grande. Cunto aument el rea de la alberca?Problema 10. A Dulce le gusta llevar a su perro Mosho a todas partes. Sin embargo, cuando va a casa de sus abuelos tiene que amarrarlo porque si no se come las flores del jardn. La casa de sus abuelos es un rectngulo de metros y Dulce amarra a Mosho en una esquina de la casa, con una cuerda que mide metros. De qu tamao es el rea que Mosho puede destruir todava?Problema 11. Sara ve todos los das tres programas de televisin. Cada uno dura una hora y los pasan a distintas horas. Nunca se los pierde. Los programas son:Cocinando con Totoro: 6pm, 8pm, 10pm.Orgullo y Totoro: 6pm, 7pm, 10pm.Los diarios de Totoro: 7pm, 9pm, 10pm. De cuntas maneras distintas puede ver sus programas?Problema 12. Instrucciones: Para los siguientes 3 problemas es necesario que justifiques tu respuesta.Problema 13. La calle donde vive Totoro tiene menos de 15 casas, numeradas 1, 2, 3, etctera. El producto de los nmeros de las casas antes de la de Totoro es igual al producto de los nmeros de las casas despus de la de Totoro. Cuntas casas hay en la calle?Problema 14. Encuentra todos los valores de enteros positivos y tales que

sea una potencia de 2. Problema 15. Llamemos a la propiedad de que en un conjunto , el nmero 3 no divide a para todo . Sea el conjunto . Obtengamos todas las posibles permutaciones posibles de . Dada una permutacin elegida al azar, Cual es la probabilidad de que cumpla