iii congreso nacional de formadores en matemÁticas y...

III CONGRESO NACIONAL DE FORMADORES EN MATEMÁTICAS Y EN FÍSICA

29 de septiembre de 2019 2

III CONGRESO NACIONAL DE FORMADORES

EN MATEMÁTICAS Y EN FÍSICA.

“CONSTRUCCIÓN SOCIAL DEL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO EN

CONTEXTOS ESCOLARES”

Editorial Universidad Popular del Cesar.

Email: [email protected].

Teléfono (PBX): +57 5 5842472.

Dirección: Sede Administrativa Balneario Hurtado Vía a Patillal.

CONSTRUCCIÓN SOCIAL DEL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO EN CONTEXTOS ESCOLARES.

ISBN: 978-958-5493-36-0

Primera edición. 2019.

Grupos de investigación del Departamento de Matemática y Estadística de la Universidad Popular del Cesar, responsables del III Congreso Nacional de Formadores en Matemática y Física:

Construcción social del conocimiento matemático en contextos escolares.

mailto:[email protected]


3 29 de septiembre de 2019

Grupo de Investigación Interdisciplinario Estudio del Pensamiento Numérico, Políticas Públicas de Ciencia, Tecnología e Innovación, Medio Ambiente, Problemas de la Educación Latinoamérica y el Caribe. Categoría A.”PECDUNEG”. Código: COL0027788

Grupo de Investigación Interdisciplinario de Evaluación. Categoría A. Código: COL0116153.

Grupo de Investigación en Matemática Educativa: “DELTA”. Categoría C. Código

COL0159983.

Grupo de Investigación Educativa en Ciencias Naturales y Matemática “ECINAMA”. Categoría C. Código COL01715292011903201025.



COMITÉ EDITOR DE LA OBRA:

Dr. Isidoro Gordillo Galvis. Docente Universidad Popular del Cesar.

E-mail: [email protected]

Dr. Fabio Fidel Fuentes Medina. Docente Universidad Popular del Cesar


Dr. Teovaldo García Romero. Docente Universidad Popular del Cesar


Msc. Carlos Gilberto Hernández. Director del Dpto. de Matemática y Estadística


VALLEDUPAR, OCTUBRE DE 2019.







COMITÉ TÉCNICO CIENTÍFICO.

Msc. Carlos Gilberto Hernández.

Director del Dpto. de Matemática y Estadística

Dr. Teovaldo García Romero.

Dr. Isidoro Gordillo Galvis.

Dr. Fabio Fidel Fuentes Medina.

COMITÉ RESPONSABLE MESAS DE TRABAJO Y APOYO LOGÍSTICO.

Dr. Marlon De Jesús Rondón y el Dr. Lacides Baleta: Responsables Mesa de trabajo N° 1:

Innovación y Prácticas Escolares.

Colaboradores Logísticos:

Yuneydis Adriana Alvarado Gálvez.

Gabriela Gámez Iguarán.

Hernando José Hurtado Guzmán.

Moisés Martínez Rodríguez.

Cristian Arango Trillos.

Said Enrique Ariza Zapata.

Msc. Daniel Meza Pallares y el Msc. Carlos Martínez: Responsables Mesa de trabajo N° 2:

Enseñanza-Aprendizaje de la Matemática y la Física.


Ricardo Rey Lujan Arias.

Allen Damián Rodríguez Ariza.



Jorllinio Ordoñez Rosado.

Feliz Rafael Martínez Arias.

Evelin Brillith, Baena Zuleta.

Fernando José, Bernal Márquez.

Msc. Enrique Pérez Lara y la Msc. Amalfi Galindo: Responsables Mesa de trabajo N° 3:

Las Tics y su Relación con la Enseñanza y el Aprendizaje.

COLABORADORES LOGÍSTICOS.

Cesar de León.

Carlos Andrés, Cárcamo Robles.

Leidy Daniela, Córdoba Garzón.

Yicell Dayanis, Fuentes Quintero.

Natalia Carolina, López García.

Estefanía, Oñate Rincón.

Msc. Marco Javier Peñaloza y la Msc. Liliana Barón Amaris: Responsables Mesa N° 4.

Avances de Trabajos de Tesis y de Investigación.


Marlon de Jesús, mora Pérez.

María Alejandra, Duarte Ramírez.

Angélica María, Molina Amaris.

Jesús David, Ríos Velásquez.

Miguel Ángel, Romero Castilla.



Hernán David, Romero Mestre.

Ever de la Hoz Molinares y Omar Trujillo Varilla: Responsables Mesa N° 5.

Etnomatemática


Sandra, Bayona Ortiz

Ever José, Caldera Gil

Dayanis Patricia, González Navarro

Yhuranys Daniela, Zambrano García



PRESENTACIÓN.

El Congreso Nacional de Formadores en Matemática y en Física, es un evento que se presenta de manera ininterrumpida desde 2017; es un espacio que convoca estudiantes, docentes e investigadores Regionales, Nacionales e Internacionales, para analizar, los elementos que inciden hoy en una reconceptualización de la Educación Matemática, la nueva visión de la construcción del conocimiento en ciencias naturales, el saber matemático escolar contextualizado, la transposición didáctica, el triángulo didáctico, la globalización de las investigaciones en educación matemática, los procesos de enseñanza y de aprendizaje, la historia, la epistemología y la didáctica como disciplina científica de la Matemática y la Física, interactuando con la secuencia de los saberes de los conocimientos matemáticos escolares de los componentes Numérico-Variacional; Métrico-Geométrico y Aleatorio.

En este espacio, se presentan resultados de investigaciones formativas y aplicadas en estados de desarrollo y terminadas, y/o experiencias de aula innovadora; de los diferentes niveles de la Educación Superior, Básica y Media, fundamentados en la integralidad y la multidisciplinariedad científica. De igual manera se presentarán: Conferencias, Cursos-Talleres, Posters, Comunicaciones Orales de experiencias innovadoras y/o investigativas, en didáctica de la física y la matemática, terminadas o en curso y conversatorio con

expertos.

Las líneas temáticas para el III Congreso Nacional de Formadores en Matemática y en Física están orientadas a la: Enseñanza-Aprendizaje de la Matemática Escolar y la Física; Innovación y Prácticas Escolares; Las Tics y su Relación con la Enseñanza y el Aprendizaje;

Avances de Trabajos de Tesis y de Investigación.



INTRODUCCIÓN.

El Tercer Congreso Nacional de Formadores en Matemática y en Física es un escenario que permite interactuar con la comunidad de Educadores en estas áreas y no seguir siendo simples espectadores de la construcción social del conocimiento matemático escolar; presente en los procesos escolares de Enseñanza-Aprendizaje del saber matemático vivenciados en cada una de las diferentes Regiones Colombianas. En este sentido, este III Congreso Nacional se constituye en un espacio para que la Comunidad de Educadores Matemáticos asuman una posición significativa sobre su función científica y el deber social que les asiste y que ello se vea reflejado en las investigaciones de las problemáticas en la Enseñanza-Aprendizaje de la Matemática Escolar, (Gascón, 2002). Soportado esto, en las diferentes escuelas de la Educación Matemática Contextualizada, que consideran la matemática como una actividad humana y social.

Razón por la cual, este III Congreso busca integrar la didáctica como disciplina científica, a los objetos matemáticos escolares que tienen presencia en los: Lineamientos Curriculares de Matemáticas y Ciencias Naturales (MEN, 1998); Estándares Básicos en Competencia en Matemáticas, (MEN, 2013); Derechos Básicos de Aprendizaje Matemática, (MEN, 2016); así como los Componentes de los Fundamentos Generales de la Educación; Saberes Específicos de las Matemáticas y la Física; Pedagogía y Ciencias de la Educación, las Didácticas de la Matemática y de la Física, (Resolución 0241/03/2016, del M.E.N); en los componentes Numérico-Variacional, Geométrico-Métrico y Aleatorio, lo mismo que en las diferentes formas de evaluación de los procesos de Enseñanza y el desarrollo del

pensamiento matemático escolar, (MEN, 2018).

En resumen, el III Congreso Nacional de Formadores en Matemáticas y en Física, genera espacios crítico reflexivo y analíticos para profundizar en la discusión de las teorías y perspectivas de la enseñanza de la matemática, la construcción social del conocimiento matemático escolar, los métodos de investigación en la enseñanza de la matemática, los procesos de la enseñanza de la matemática, el análisis del discurso matemático escolar, la innovación tecnológica en la enseñanza de las matemáticas escolares. Por ende, en los contextos de las perspectivas de la secuencialización de los saberes del conocimiento matemático de los componentes: Numérico-Variacional; Métrico-Geométrico y Aleatorio, visionándolos desde los ambientes del contexto que rodean al estudiante, que son los que le dan sentido a la matemática que aprenden.



TABLA DE CONTENIDO

PRESENTACIÓN. ......................................................................................................................................... 8 INTRODUCCIÓN. ......................................................................................................................................... 9

CAPÍTULO I.

TIPOLOGÍAS DE LOS OBSTÁCULOS DIDÁCTICOS DE LOS DOCENTES DE MATEMÁTICA, EN EL PROCESO ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE

LA EDUCACIÓN BÁSICA SECUNDARIA Y MEDIA, DEL MUNICIPIO DE VALLEDUPAR. TEOVALDO GARCÍA ROMERO, WILCAR DAMIÁN CIFUENTES ÁLVAREZ JHONYS ENRIQUE BOLAÑO OSPINO ......................... 12

CAPÍTULO 2.

DIGITALIZACIÓN TRIDIMENSIONAL DE OBJETOS ARQUEOLÓGICOS USANDO UN SENSOR KINECT V2 PHD. JUAN JOSÉ BARRIOS ARLANTE, PHD. CARLOS RICARDO CONTRERAS PICO .......................................................... 23

CAPÍTULO 3.

DESARROLLO DEL PROCESO DE MODELACIÓN MATEMÁTICA EN LICENCIADOS EN FORMACIÓN DE LA UNIVERSIDAD DEL

ATLÁNTICO ZURIEL FITZGERALD PEÑA UBARNE, MARIA DE LOS ÁNGELES TORRENEGRA GIRALDO Y JESÚS DAVID BERRIO VALBUENA. ...... 31

CAPÍTULO 4.

HERRAMIENTAS VIRTUALES PARA LA VALORACIÓN DE LOS APRENDIZAJES. LACIDES BALETA PALOMINO, MARLON RONDÓN MEZA. ........................................................................................ 40

CAPÍTULO 5.

OBJETO VIRTUAL DE APRENDIZAJE, RECURSOS DIGITALES PARA DESARROLLAR COMPETENCIAS MATEMÁTICAS YUDYS VALDERRAMA, DORA SOLANGE ROA FUENTES ............................................................................................ 45

CAPÍTULO 6.

TEORÍA DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO AVANZADO. JESÚS MARÍA VALENCIA BUSTAMANTE. .............................................................................................................. 50

CAPÍTULO 7.

OPERACIONES MATEMÁTICAS BÁSICAS DE COMERCIANTES DEL CENTRO DE BARRANQUILLA Y PROBLEMATIZACIÓN DE

RESULTADOS EN ESCUELAS PARA ADULTOS (EPA). NICANOR MANUEL JARABA SALCEDO, ARMANDO AROCA ARAÚJO ........................................................................... 61

CAPÍTULO 8

SISTEMAS DE MEDIDAS NO CONVENCIONALES EN LA ELABORACIÓN DEL BOLLO DE YUCA EN CORREGIMIENTOS DEL ATLÁNTICO Y

PROBLEMATIZACIÓN DE RESULTADOS EN AULA DE CLASES DE MATEMÁTICA. LUIS ÁNGEL CANTILLO FUENTES, NÉSTOR JOSÉ PUPO PABA, ARMANDO AROCA ARAUJO ............................................... 64

CAPÍTULO 9.

EL DISEÑO EN LAS MÁSCARAS DE GALAPA, UNA OPCIÓN PARA EL APRENDIZAJE DE SIMETRÍA EN GRADO 7° NORETSHY MUÑOZ GRANADOS, EVER PACHECO MUÑOZ, OSCAR PATERNINA BORJA, ARMANDO AROCA ARAUJO.............. 69

CAPÍTULO 10

ANÁLISIS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDAS EN LA ELABORACIÓN DEL BOLLO LIMPIO EN MUNICIPIOS DEL ATLÁNTICO Y SU

PROBLEMATIZACIÓN EN CLASE DE MATEMÁTICAS MARÍA IBETH SALAS MÉNDEZ, JUAN ANDRÉS HERNÁNDEZ PONCE, GERMÁN ANDRÉS TORRES NEVADO, ARMANDO ALEX

AROCA ARAUJO. ........................................................................................................................................... 73



CAPÍTULO 11

APRENDIZAJE BASADO EN PROYECTOS DE ESTADÍSTICA PARA CONCIENTIZAR A LA COMUNIDAD EDUCATIVA EN LOS BUENOS

HÁBITOS DE CONSUMO, AHORRO Y USO EFICIENTE DEL AGUA, DE ACUERDO CON EL ENFOQUE DEL AHORRO SOSTENIBLE. HEBERT ALBERTO DELGADO MIER .................................................................................................................... 77

CAPÍTULO 12

ANÁLISIS DEL PROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DEL CÁLCULO DIFERENCIAL EN LA EDUCACIÓN VIRTUAL EN COLOMBIA DE LOS REYES CHARRIS DAYANA – OTERO VALEGA KEYLLA MARGARITA-JOSÉ GREGORIO SOLORZANO MOVILLA ................ 81

CAPÍTULO 13

DIDÁCTICA MATEMÁTICA PARA ENSEÑAR NÚMEROS RACIONALES DESDE LA ECOLOGÍA PARA ESTUDIANTES DE PRIMARIA DE LA

INSTITUCIÓN EDUCATIVA LUIS CARLOS GALÁN SARMIENTO, ARJONA – ASTREA GLORIA ELENA OVIEDO BERRIO ........................................................................................................................ 85

CAPÍTULO 14

ESTRATEGIAS PEDAGOGICAS PARA LA ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LA ESTADÍSTICA EN LOS GRADOS 6° Y 7° EN LA INSTITUCIÓN

EDUCATIVA LEÓNIDAS ACUÑA DEL MUNICIPIO DE VALLEDUPAR DIANA CAROLINA GARCÍA GALINDO, JORGE BARROS LAGO ..................................................................................... 93

CAPÍTULO 15

DESARROLLO DEL PROCESO DE MODELACIÓN MATEMÁTICA EN LICENCIADOS EN FORMACIÓN DE LA UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ZURIEL FITZGERALD PEÑA UBARNE, MARÍA DE LOS ÁNGELES TORRE NEGRA GIRALDO Y JESÚS DAVID BERRIO VALBUENA .... 102

CAPÍTULO 16

CONOCIENDO EL CIELO DESDE LA RURALIDAD: UNA MIRADA A LA LUNA DESDE LA COMUNIDAD DE LA INSTITUCIÓN EDUCATIVA

DE AGUAS BLANCAS (IEAB) DALLANIS VIDES Y ZURIETH GUERRA ................................................................................................................ 110

CAPÍTULO 17

ENSEÑANZA DE LA ESTADÍSTICA: UN DESAFÍO ABORDADO POR LA MODELACIÓN MATEMÁTICA ROBERTO CARLOS CABALLERO FLÓREZ, MARLON DE JESÚS RONDÓN MEZA.............................................................. 113

CAPÍTULO 18

DISEÑO DE UN ENTORNO VIRTUAL DE APRENDIZAJE CON UNA ORIENTACIÓN EN INVESTIGACIÓN POSITIVISTA EN LA LICENCIATURA

DE MATEMÁTICAS DE LA UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO. EMMA RUBY FLÓREZ MALDONADO, ISABELLA ESCORCIA QUIROZ. .......................................................................... 117

CAPÍTULO 19

DISEÑO DE UN ENTORNO VIRTUAL DE APRENDIZAJE CON UNA ORIENTACIÓN EN INVESTIGACIÓN POSITIVISTA EN LA LICENCIATURA

DE MATEMÁTICAS DE LA UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO. EMMA RUBY FLÓREZ MALDONADO, ISABELLA ESCORCIA QUIROZ. .......................................................................... 122

CURSOS-TALLERES.

TRANSICIÓN ARITMÉTICA-ÁLGEBRA: APORTES PARA EL TRABAJO EN EL AULA. PEDRO JAVIER ROJAS GARZÓN ....................................................................................................................... 126 UNA MIRADA HISTÓRICA A LOS TRES PROBLEMAS DE LA ANTIGUA GRECIA DR. FABIO FIDEL FUENTES MEDINA, DR. ISIDORO GORDILLO GALVIS Y KAREN JULIETH MORALES HERNÁNDEZ ................. 134 CONSTRUCCIONES DINÁMICAS EN 3D RAÚL ENRIQUE ESCOBAR CARO ...................................................................................................................... 151



CAPÍTULO I.

Tipologías de los obstáculos didácticos de los docentes de matemática, en el proceso Enseñanza-Aprendizaje de la Educación Básica Secundaria y Media, del

Municipio de Valledupar.

Teovaldo García Romero1, Wilcar Damián Cifuentes Álvarez2 Jhonys Enrique Bolaño Ospino3

Facultad de Ciencias Básicas y Educación. Universidad Popular del Cesar. Valledupar, Cesar, Colombia.

RESUMEN.

Este artículo identificó, las tipologías de los obstáculos didácticos del docente de matemáticas en el proceso Enseñanza-Aprendizaje de la Educación Básica Secundaria y Media, del Municipio de Valledupar, que problematizan la apropiación y construcción del saber del conocimiento matemático escolar. permeado, desde las genealogías ontogenéticas, epistemológicas y didácticas, concurrentes e inseparables en los espacios reservados para la Enseñanza-Aprendizaje del saber matemático; que a su vez, se convierten en los elementos constitutivos, y adyacentes en la construcción del conocimiento matemático contextualizados, en este universo globalizado, por la investigación de la educación matemática. Se trató, de una investigación de diseño no experimental, transeccionales descriptiva, y de campo. Para la recolección de los datos se utilizó una encuesta, tipo Likert aplicada a 46, de los 161 docentes de matemáticas en 11 de las 24 Instituciones del Municipio de Valledupar. Los análisis, evidenciaron las ambigüedades que exteriorizan los docentes de matemática del Municipio de Valledupar para identificar, cada una de las características de los obstáculos didácticos, y detectarlos durante el proceso de Enseñanza-Aprendizaje en su hábitat. Con base en estos resultados, se hacen sugerencias que pueden ser de gran utilidad, para que exista una adecuada directriz que propicie novedosos procesos de Enseñanza-Aprendizaje, en las Instituciones Educativas Valduparense.

Palabras Claves: Obstáculos Ontogenéticos, Epistemológicos, Didácticos, Procesos, Enseñanza-Aprendizaje.

1 Lic. Espe. Msc. Dr. Teovaldo García Romero, Docente Universidad Popular del Cesar. Investigador Senior, Lieder del grupo de

investigación interdisciplinario, estudio del pensamiento numérico, políticas públicas de ciencia, tecnología e innovación, producción

agraria, problemas de la educación Latinoamericana y del Caribe. Categoría A. 2 Lic. Msc (E) Wilcar Damián Cifuentes Álvarez, docente del Municipio de Valledupar. 3 Lic. Msc. Dr. (E) Jhonys Enrique Bolaño Ospino. Docente del programa TPA del MEN.



INTRODUCCIÓN.

Los antecedentes investigativos que orienta este trabajo, gira en torno a las investigaciones, que desde los inicios de las disímiles épocas históricas de la humanidad, han tenido los obstáculos didácticos del docente de matemáticas en el proceso Enseñanza-Aprendizaje de la matemática escolar, orientados a la apropiación y construcción social del conocimiento matemático, como una actividad primitiva y polivalente, con diferentes soportes, rutinas e interpretaciones épocales.

En tal razón, los obstáculos didácticos del docente de matemática en el proceso Enseñanza-Aprendizaje de la Educación Básica Secundaria y Media en el Municipio de Valledupar, gravitan entorno a las tendencias globalizadas de la formación disciplinar e interdisciplinar de los docentes en la nueva colectividad del conocimiento matemático, orientados hacia la normatividad vigente exigidas en la Ley General de Educación 115/1994, el Decreto 1295/2010, la Ley 1188/2008, el Decreto 2450/2015, el decreto 1075/ 2015, y la Resolución 02041/ 2016, del Ministerio de Educación Nacional y lógicamente tomando los referentes teóricos de autores como:

(De Guzmán, 2010), afirma que este proceso fue iniciando por los Pitagóricos, quienes lo consideraron como un camino de acercamiento a la divinidad; luego en el Medioevo, fue estimado como un elemento disciplinador del pensamiento. De igual manera, en el Renacimiento como una herramienta versátil e idónea para la explotación del Universo. En consecuencias, fue un elemento de gran valía del pensamiento filosófico entre los pensadores del Renacimiento y los filósofos contemporáneos, utilizándolo como un elemento de creación de belleza artística, y como un campo de ejercicio lúdico, entre los matemáticos de todos los tiempos.

Es por ello, que la temática objeto de estudio propuesta en esta investigación, ha sido abordada, desde múltiples perspectivas y en diferentes países, concernientes a las diferentes particularidades de los componentes de la formación de profesores en general, y de la matemática como disciplina en particular, donde han tomado partido profesionales de muy diversos ámbitos (investigadores, formadores de profesores, profesionales de la enseñanza), desde campos diversos y generales, (psicología, pedagogía y educación) o más específicos (didáctica de las matemáticas, de las ciencias experimentales, sociales), (García, 2005).

Los cambios que se han generado, en las estructuras de los entes organizacionales de cualquier orden, nivel y tipo, de carácter académico, social, cultural, económico, político, pedagógico, didáctico y el crecimiento cuantitativo y cualitativo de la ciencia, la tecnología y la innovación, han repercutido en el área disciplinar de las matemáticas, propiciando cambios en su proceso Enseñanza-Aprendizaje, en relación con la forma de concebirlas, trayendo ello como consecuencia, abogar por procesos de Enseñanza-Aprendizaje propios de la educación matemática, abiertos, activos, con metodologías más participativas, donde el protagonista sea la interrelación del docente, con el colegial, el saber matemático escolar y el contexto; haciendo énfasis en el proceso constructivo del hacer matemática, más que considerar el conocimiento matemático como un producto acabado, visionándola con una nueva perspectiva, fundamentada en una consideración epistemológica particular de la propia matemática, (Flores, 1998).



Razón por la cual, los diligentes estudiosos de la educación matemática en sus diferentes trabajos entre otros como: (Rico, 1995); (Esteley y Villarreal, 1996); (Gamboa, 1997); (Villagrán y Otros, 1998); (Caputo y Soto, 2002); (Hitt, 2003); (Di Blasi Regner y Otros, 2003); (Abrate; Pochulu y Vargas, 2006); (Espinoza, Barbé, Gálvez, 2011); ( Mulhern 1989, citado por Rico, 1995); (Carl, 1989; Borja, 1992; Rico & Sierra, 1994; Steiner, 1987; Ponte; 1994; Von Glasersfeld, 1989; Vergnaud, 1990; Ernset, 1994; Lerman, 1994, Llinares, 1989; Rico & Gutiérrez, 1994), coinciden en afirmar que las tipologías de los obstáculos didácticos de los procesos de enseñanza-aprendizaje de la matemática, pueden ser:

1°. Superados y aceptados, no como algo que no tendría que haber aparecido, sino como una instancia cuya aparición es útil e interesante, ya que permite la adquisición de un nuevo y mejor conocimiento; donde los errores que se reiteran en los distintos años, niveles y ciclos, que conforman el Sistema Educativo, resultan ser básicamente los mismos para cada contenido del currículo. Puesto que el desafío estaría, por lo tanto, en generar estrategias que permitan ayudar a salvar estos errores reiterados, en el tiempo y que suelen ser identificados por la mayoría de los docentes de Matemática, que desarrollan sus clases en niveles que van desde la educación primaria hasta la universitaria.

2°. Igualmente, explicar el proceso Enseñanza-Aprendizaje de las matemáticas, resulta complejo si no se tiene en cuenta los campos sociales, teóricos y contextuales; lo mismo que las características de desarrollo del aprendiz. Por ende, las tipologías de los obstáculos didácticos matemáticos, resultan del proceso de Enseñanza-Aprendizaje entre los actores del binomio docente/aprendiz, enfatizando que se desarrollan a partir de la discusión de los conceptos de los eventos reales y no simplemente a la repetición o transmisión de lo aprendido, de conceptos, teoremas, esquemas, proposiciones, principios y situaciones contextuales propia de la actividad matemática.

3°. La Enseñanza-Aprendizaje de las matemáticas, enfrenta hoy una importante dificultad: está instalada en el sistema escolar, y en particular en la escuela, como una concepción de las matemáticas; es decir, como un conjunto de conocimientos encerrados en sí mismos; es como si ella existiera por sí misma y para sí misma. Razón por la cual, estos obstáculos surgen por lo general, de manera espontánea y sorprenden al profesor; son persistentes y difíciles de superar, ya que requieren una reorganización de los conocimientos en el educando.

En concomitancia con lo anterior, se tienen los estudios de, (Godino, Batanero y Font, 2011), referidos a destacar el carácter evolutivo del conocimiento matemático, el papel de la resolución de problemas y la modelización, el razonamiento, lenguaje y comunicación, la estructura lógica y naturaleza relacional de las matemáticas; así como la dialéctica, entre exactitud y aproximación, los cuales son todos ellos elementos indispensables en el proceso Enseñanza-Aprendizaje. Así mismo, afirman tener en cuenta que el fin primordial del profesor en el aula, es ayudar a sus alumnos a desarrollar el razonamiento matemático, su capacidad de formular y resolver problemas, de comunicar sus ideas matemáticas y relacionar e integrar, las diferentes partes de las matemáticas entre sí y con las restantes disciplinas.



De este modo, los métodos de Enseñanza-Aprendizaje y evaluación propias de las pedagogías activas y cognitivas, permiten realizar una colección de las evidencias de los conceptos analizados y reflexionados en clase, para transformarlos en aprendizaje significativo; es decir, es una herramienta de aprendizaje efectiva que permite establecer un diálogo permanente entre el docente y el estudiante, dónde el estudiante expone sus conocimientos mediante reflexiones y críticas. Por su parte, el docente tiene la oportunidad de monitorear y realimentar el proceso de aprendizaje del estudiante, dando cuenta de las destrezas de sus estudiantes y del progreso de las mismas. (Giraldo, 2013).

Por último, otro grupo de estudiosos, de las tipologías de los obstáculos didácticos en los procesos de Enseñanza-Aprendizaje de las matemáticas escolares que son tenidos en cuenta como antecedentes son: (Vásquez 2014); (Arboleda, 2011); (Socas y Machín, 2003); (MEN, 1998); (Federici, 2004); (Brousseau, 1989), cuyos aportes están orientados a que:

1°. Nadie duda hoy de la importancia y aplicación de las matemáticas en la educación, en la ciencia, en la industria, las economías, las finanzas, la ecología, la climatología, la medicina, o el atractivo cosmos de la imagen, ya que las matemáticas como disciplina fundante, representa junto con el método experimental, el esquema conceptual en que está basado la ciencia moderna y en el cual gravita la tecnología, existiendo estrechas interacciones entre ellas. Por ende, la matemática no puede verse como una disciplina cuya lógica interna es independiente de su génesis, puesto que es condición necesaria e inevitable, conocer y dominar la visión sistemática integral de las matemáticas, para

enseñarlas de forma adecuada.

2°. Muchas de las posiciones didácticas y dificultades asumidas por los docentes, en los procesos de Enseñanza-Aprendizaje de las matemáticas, estarán limitadas por las tipologías, los factores condicionantes, los conocimientos básicos, sus contextos y sus particularidades intrínsecas de dicho conocimiento; lo mismo, que las limitaciones heurísticas, tanto de la complejidad de los conceptos como, a las metodologías vistas desde la concepción de la educación matemática tradicional. En tal sentido, para una mejor disertación los obstáculos didácticos son clasificados en: Ontogenéticos, Epistemológicos

y Didácticos.

En consecuencia, los obstáculos didácticos son barreras que impiden la adquisición de un nuevo conocimiento (Andrade, 2010), esto es evidente en el Municipio de Valledupar-Cesar, puesto que los resultados obtenidos en las pruebas estandarizadas están por debajo de la media nacional, por lo que se hizo manifiesta la necesidad de identificarlos para buscar estrategias que permitan superar dichos obstáculos y así el ISCE del Municipio de Valledupar-Cesar alcance los estándares mínimos solicitados desde el MEN.

Es de resaltar que el equipo investigador, para una mejor comprensión de los obstáculos didácticos del docente de matemática en el proceso Enseñanza-Aprendizaje de la Educación Básica Secundaria y Media en el Municipio de Valledupar-Cesar, se identifica con las tipologías sistematizadas en tres ejes centrales, propuestas por (Brousseau, 1989), cuya estructura la categoriza en los diversos orígenes según el desarrollo del sujeto y la incursión en modelos culturales específicos en: Ontogenéticos, Epistemológicos y Didácticos, los primeros son aquellos, que tiene que ver con todo lo relacionado con las limitaciones del sujeto en algún momento de su desarrollo, por lo tanto, provienen de las



condiciones genéticas específicas de los humanos; luego encontramos los epistemológicos, los cuales son los obstáculos que ciertos conceptos tienen para ser aprendidos, es propio del concepto y por último los didácticos, que están en íntima relación, con las decisiones que tome el docente al momento de diseñar situaciones matemáticas de Enseñanza-Aprendizaje.

MÉTODOS Y PROCEDIMIENTOS.

El equipo investigador, utilizó la recolección y el análisis de datos, a través de un cuestionario tipo Likert auto-administrado, de 5-1 con las alternativas: Totalmente de Acuerdo (TA), Medianamente de Acuerdo (MA), Ni de acuerdo ni desacuerdo (NA/ND), Medianamente Desacuerdo (MD) y Totalmente Desacuerdo (TD); con 27 ítems de proposiciones de tipo cerrada, (Hernández, y Otros 2010), el cual representó la base fundamental en el análisis, de la variable a través de las dimensiones con sus respectivos indicadores.

Lo anterior, para dar respuesta a la pregunta central de la investigación, gravitado indiscutiblemente en la medición numérica, el conteo y repetidamente en el uso de estadísticas, a través de su relación porcentual por ítem, el cual conduce a un puntaje que permitió calcular el valor del indicador, de la dimensión y de la variable; con el fin de ubicar dicho puntaje en una de las alternativas del baremo propuesto, con el fin de instituir con exactitud los patrones de comportamiento de la población objeto de estudio. (Hernández y Otros, 2010).

Asimismo, su norte, transitó en lo empírico-inductivo, puesto que el conocimiento matemático escolar, se fundamentó en la experiencia de los docentes objetos de la muestra, y de las situaciones particulares de lo disciplinar e interdisciplinar de la matemática, lo mismo que de la realidad concreta específica puntual, para llegar a las generalizaciones de las tipologías de los obstáculos didácticos, en los procesos de Enseñanza-Aprendizaje de los docentes de matemática del Municipio de Valledupar-Cesar.

El temático objeto de este estudio permitió, admitirlo como una disertación de contexto social, porque implicó concebir la teoría de (Brousseau, 1989), revelando ella, el estado actual de las tipologías de los obstáculos didácticos en el proceso Enseñanza-Aprendizaje, de los docentes de matemática del Municipio de Valledupar-Cesar; para que de esta manera, pudiese existir una directriz ajustada que admitió un desarrollo favorable y efectivo en tiempo presente y real, de apoyo a la construcción de los lineamientos de las tipologías de los obstáculos didácticos en el proceso Enseñanza-Aprendizaje de los docentes de matemática del Municipio de Valledupar-Cesar.

El procedimiento de la investigación se estructuró en dos fases: La primera indica la construcción y reconstrucción de un organismo teórico, donde se tuvo en cuenta varias técnicas de investigación, entre ellas la revisión bibliográfica, la investigación documental, identificando, analizando, coligiendo, razonando, concluyendo e infiriendo sobre la variable obstáculos didácticos en docentes de matemáticas, determinando sus dimensiones: Tipologías, factores condicionantes, conocimientos básicos y sus contexto. Además, cada una de ellas con tres indicadores y cada indicador, con tres ítems.



Por último, la segunda fase, constituyó en sí el proceso metodológico, porque permitió analizar las tipologías de los obstáculos didácticos en el proceso de Enseñanza-Aprendizaje de los docentes de matemáticas en la Educación Básica Secundaria y Media del Municipio de Valledupar-Cesar, a través del diseño no experimental, transeccional y de campo. La variable, se evaluó a partir de las dimensiones e indicadores seleccionados. El capital

poblacional se calculó de acuerdo con (Sierra Bravo, 2004).

Por ende, el instrumento que se utilizó, fue el cuestionario simple tipo Likert, auto-administrado, de 5-1 con las alternativas: Totalmente de Acuerdo (TA), Medianamente de Acuerdo (MA), Ni de acuerdo ni desacuerdo (NA/ND), Medianamente Desacuerdo (MD) y Totalmente Desacuerdo (TD); con 27 ítems de proposiciones de tipo cerrada, (Hernández, y Otros 2010), el cual representó la base fundamental en el análisis, de la variable a través de las dimensiones con sus respectivos indicadores. En consecuencia, con los ítems del cuestionario, se procedió a medir las tipologías de los obstáculos didácticos; razón por la cual, se evaluaron las particularidades de los indicadores, a partir de las perspectivas de los obstáculos ontogenéticos, los epistemológicos y los didácticos.

Posteriormente, los resultados se interpretaron recurriendo al siguiente Baremo: Todas las respuestas seleccionadas como Totalmente de Acuerdo y Medianamente de Acuerdo, son consideras con tendencia favorable. No obstante, las respuestas Medianamente en Desacuerdo y Totalmente en Desacuerdo, se considerarán con tendencia desfavorable. De igual manera, las respuestas neutras son pensadas estadísticamente con tendencias neutrales y se sumaran a la tendencia mayoritaria.

RESULTADOS.

1°. Tipologías de los obstáculos ontogenéticos.

Tabla N° 1. Obstáculos ontogenéticos.

Elaboración propia, (García, Bolaños, Cifuentes, 2018)

La tabla N°1, muestra claramente que las tipologías de los obstáculos ontogenéticos de los docentes de matemática, en el proceso Enseñanza-Aprendizaje de la Educación Básica

64%

36%

Obstáculos Ontogenéticos

positivoNegativo



Secundaria y Media del Municipio de Valledupar-Cesar, son considerados con una directriz auténtica propias del ser humano, sustentados en el guarismo del 64%, puesto que ellos son congénitas del ser humano; es decir, nacen con él. No obstante el 36% piensa en forma contraria a la mayoría.

2°. Obstáculos Epistemológicos.

Tabla N° 2. Obstáculos Epistemológicos.


En la tabla N°2, los sujetos informantes en un 68% indicaron, que los docentes de matemática, en el proceso Enseñanza-Aprendizaje de la Educación Básica Secundaria y Media del Municipio de Valledupar-Cesar, presentan dificultades conceptuales, productos de la deformación en la transposición didáctica de los conocimientos matemáticos, que poseen en su formación. Sin embargo, el 32% manifestaron una tendencia totalmente

contraria a la gran mayoría.

3° Obstáculos Didácticos.

Tabla N°3. Obstáculos Didácticos.

68%

32%

Obstáculos Epistemológicos

PositivaNegativa




Por último, los guarismos, de la tabla N°3, revelan que el 72% de los encuestados afirman categóricamente, que los obstáculos didácticos tienen una relación uno a uno, con toda la planificación de diseño de contextos propio del proceso Enseñanza-Aprendizaje. Asimismo, el 28%, piensan en forma contraria a la gran mayoría.

DISCUSIÓN:

1°. Tipologías de los Obstáculos Ontogenéticos.

Los resultado plantean que las tipologías, de los obstáculos ontogenéticos, en el sector Valduparense, son factores condicionantes que obstaculizan al docente de matemática, desarrollar de mejor forma el proceso de Enseñanza-Aprendizaje, en los entornos académicos dispuestos para llevar a cabo tal proceso. Razón por la cual, impiden al docente ser competitivos frente a la complejidad de la globalidad de la Enseñanza-Aprendizaje del conocimiento matemático. En consecuencia, no son considerados como herramientas preponderantes en la solución de problemas puntuales de la sociedad. Por ende, son aquellos que tiene que ver con todo lo relacionado, con las limitaciones del sujeto en algún momento de su desarrollo, por lo tanto, provienen de las condiciones genéticas específicas de los humanos. Dicho de otra manera, son los que coexisten en correspondencia con las limitaciones y características propias de cada individuo, están directamente ligados a su desarrollo neurofisiológico, (Brousseau, 1989).

2°. Obstáculos Epistemológicos.

En este análisis se encontró, que en el entorno de la Región Valduparense hay demasiados

factores, que se presentan como obstáculos epistemológicos, y como elementos

distractores para crear las condiciones de desarrollo, innovativos y profesionales, que

coadyuven en la disminución de brechas en el proceso de Enseñanza-Aprendizaje, de

apoyo a los entes organizacionales de carácter académico del nivel Básico Secundario,

Medio y Superior.

72%

28%

Obstáculos Didácticos

Possitiva

Negatuva



Por lo tanto, son los obstáculos que ciertos conceptos tienen para ser aprendidos, es propio

del concepto. Entre ellos, la dificultad del concepto de conceptuar el cero, los números

relativos, el salto conceptual entre los números naturales y los números racionales, entre

otros, (Brousseau, 1989). Todos estos han sido problemas históricos en cuanto a su

desarrollo conceptual. Es decir, son parte del proceso de aprendizaje y no solo no se deben

evitar, sino que se deben enfrentar porque juegan un papel muy importante en la adquisición

del nuevo conocimiento, (Brousseau, 1989).

3° Obstáculos Didácticos.

Los resultados demuestran que en el Municipio de Valledupar-Cesar, el diseño de las

estrategias didácticas y metodológicas que se tienen por parte de los docentes de

matemáticas, en los procesos de Enseñanza-Aprendizaje son exiguas, insuficientes,

obsoletas, tradicionales e inequitativas, en su quehacer como formador de la nueva

sociedad del conocimiento matemático. Implicando esto, poca coherencia con la

articulación de la superación de los factores condicionantes, de los obstáculos didácticos,

en el proceso de enseñanza-aprendizaje matemático, en la persistencia sistemática de la

educación tradicional, la cual gravita y enfatiza su accionar en aprender a manipular

números y figuras geométricas. Esto no es enseñar matemáticas porque “(…) estamos

enseñando a manejar números, no a pensar sobre ellos. Para hacer matemáticas, no basta

realizar operaciones, contar y calcular. La matemática comienza con la toma de conciencia

de lo que está involucrado en esas operaciones”, (Federici, 2004).

Razón por la cual, están en íntima relación, con las decisiones que tome el docente al momento de plantear una situación de enseñanza-aprendizaje, (Brousseau, 1989). Se puede decir, también que son todos aquellos obstáculos que se adquieren, o aparecen por la condición de enseñar, o por la escogencia de un tema o una axiomática en particular. En todo caso, se derivan de los procesos de enseñanza-aprendizaje, los cuales son factibles de evitar. No obstante, es preciso clarificar que este tipo de obstáculos, problematizan superar los obstáculos epistemológicos, es decir, no permiten visionar los eventos propios del acto escolar de manera diferente a la tradicional.

CONCLUSIÓN.

Los obstáculos didácticos, vistos de forma separada como los asumen los docentes de esta Región del Caribe Colombiano, no permiten que el proceso de Enseñanza-Aprendizaje de las matemáticas en la Básica Secundaria y Media, sea optimo e integral. Esto se hace evidente, en la forma tan simple, trivial y linealmente teórica y conceptualmente, como son abordados los objetos matemáticos, en cada encuentro escolar programados con los estudiantes.

Los docentes de matemática del Municipio de Valledupar, a pesar que más del 90% poseen título de Licenciado en Matemática, ello no se ve reflejando en el proceso Enseñanza-Aprendizaje de las matemáticas, presentándolas descontextualizadas, con metodologías tradicionales, lineales poco entendible en su contexto, lo que hace poca atractiva la Región a los inversionistas Ínsitu, Regionales, Nacionales y Extranjeros. Implicando ello, que la Región Valduparense, sea incompetitiva frente a los procesos glocales y globales.



REFERENTES BIBLIOGRÁFICOS.

Abrate, R., Pochulu, M., & Vargas, J. (2006). Errores y dificultades en Matemática: análisis de causas y sugerencias de trabajo. Villa María: Universidad Nacional de Villa María.

Andrade, C. (2010). De la mano al cerebro; sobre la construcción de los racionales sin signo (Q+) con base en la didáctica de la matemática de Federici. Bogotá: Fondo de Publicaciones del Gimnasio Moderno.

Arboleda, L. C. (2011). Objetividad matemática, historia y educación matemática. Programa

Editorial. Universidad del valle. ISBN: 978-958-670-911-8. (pp. 19-37).

Autino .et,…al (2011). Obstáculos didácticos, ontogenéticos y epistemológicos identificados desde la comunicación en el aula de Matemática. XIII CIAEM-IACME, Recife, Brasil, 2011.

Beyer, W. (2006). El Laberinto del Significado: La Comunicación en el Aula de Matemática. (pp. 61- 83), en Mora, D. y Serrano, W. (Eds), Lenguaje, Comunicación y Significado en Educación Matemática. Algunos aspectos sobre la relación entre Matemática, lenguaje, pensamiento y realidad desde una perspectiva crítica. GIDEM-Grupo de Investigación y Difusión en Educación Matemática. Universidad Nacional Abierta, La Paz, Bolivia.

Brousseau, G. (1989). Les obstacles épistémologuiques et la didactique des mathématiques. Construction des savoirs, 41-63.

D’Amore B., Fandiño Pinilla, M.I. (2002). Un acercamiento analítico al “triángulo de la didáctica”. Ediciones Educación Matemática, México.

Chevallard, Y. (1991). La transposición didáctica. Del saber sabio al saber enseñado. AIQUE, Buenos Aires, Argentina. (Edición original, 1985).

Federici, C. (2004). Una construcción didáctica del Sistema de Numeración Decimal. Bogotá: en imprenta.

Flores, P. (1998). Concepciones y Creencias de los Futuros Profesores sobre la Matemática, su Enseñanza y Aprendizaje. Editorial Comares. Granada. ISBN: 84-

8151-612-0. Depósito Legal: GR: 236/1998.

Hernández Sampieri, R., Fernández Collado, C. y Baptista L., (2010). Metodología de la Investigación. Décima edición. McGraw-Hill Interamericana, México.

García, M. (2005) La formación de profesores de matemáticas. Un campo de estudio y

preocupación. Revista Educación Matemática, 17(2), 153-166.

Godino, Batanero y Font, (2011), Fundamentos de la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas para Maestros, ã Los autores Departamento de Didáctica de la Matemática Facultad de Ciencias de la Educación Universidad de Granada 18071 Granada ISBN: 84-932510-6-2 Depósito Legal: GR- 138-2003 Impresión: Repro Digital. Facultad de Ciencias Avda. Fuente nueva s/n. 18071 Granada. Distribución en Internet: http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/.

http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/



Monarca, Héctor; Rappoport, Soledad; Fernández González, Antonio, (2012), Factores Condicionantes de las Trayectorias Escolares en la Transición entre Enseñanza Primaria y Secundaria. Revista Española de Orientación y Psicopedagogía, vol. 23, núm. 3, septiembre-diciembre, 2012, pp. 49-62 Asociación Española de Orientación y Psicopedagogía Madrid, España. Revista Española de Orientación y Psicopedagogía ISSN: 1139-7853 [email protected] Asociación Española de Orientación y Psicopedagogía España.

Ministerio de Educación Nacional, (MEN, 1998), Lineamientos curriculares en matemáticas. Áreas obligatorias y fundamentales, Bogotá, Cooperativa Editorial Magisterio.

Sierra, R. (2004). Técnicas de Investigación Social. Teoría y ejercicios. Editorial Paraninfo, España.

Brousseau, G. (1989). Les obstacles épistémologuiques et la didactique des mathématiques. Construction des savoirs, 41-63.

Di Blasi Regner, M. (2003). Otros (2003). Dificultades y Errores: Un estudio de caso.

De Guzmán, M. (2010). Organización de Estados Iberoamericanos. Para la Educación, la Ciencia y la Cultura. Enseñanza de las Ciencias y la Matemática. MATEMÁTICA. Extraído el 10 de julio de 2010 del sitio: http://www.oei.org.co/oeivirt/edumat.htm#B.

Rico, L. (1995). Errores y dificultades en el aprendizaje de las matemáticas. Bogotá, una Empresa Docente.

Socas, M.; Camacho, M. y Hernández, J. (1998) Análisis didáctico del lenguaje algebraico en la enseñanza secundaria. Revista Interuniversitaria de Formación del

Profesorado. 32, 73-86.

Vergnaud G., (1990). La Teoría de los campos Conceptuales. Recherches en Didactique des Mathématiques, Vol.10 (2,3) pp.133-170.

Vergnaud, G. (1994). Epistemology and Psychology of Mathematics Education. In: Nesher

& Kilpatrick Cognition and Practice, Cambridge: Cambridge Press.

http://www.oei.org.co/oeivirt/edumat.htm#B



CAPÍTULO 2.

Digitalización tridimensional de objetos arqueológicos usando un sensor Kinect V2.

PhD. Juan José Barrios Arlante, PhD. Carlos Ricardo Contreras Pico

Grupo de investigación en Ciencias Básicas y Aplicadas (GICIBAYA), USTA. Jaime Enrique Meneses Fonseca, PhD, Grupo de Óptica y Tratamiento de Señales (GOTS),

UIS.

INTRODUCCIÓN:

La digitalización tridimensional (3D) es una tecnología que es utilizada para extraer

información topográfica de objetos de estudio ubicados en diversos ambientes. El tipo de

sistema que se utiliza para obtener dicha digitalización depende de la aplicación que se

quiera realizar y de la resolución y precisión que se requieran. En los últimos años, el Kinect

V2, el cual es un dispositivo que está formado principalmente por un emisor de infrarrojos,

una cámara infrarroja, una cámara RGB y un acelerómetro, ha sido usado como escáner

3D en aplicaciones que no requieren de alta resolución.

En el presente trabajo se implementó un sensor Kinect V2 para digitalizar objetos

arqueológicos que hacen parte de la colección Fray Alonso Ortiz Galeano, O. P.

(https://repository.usta.edu.co/handle/11634/27), exhibida en la Biblioteca de la Universidad

Santo Tomás, Seccional Bucaramanga (Colombia), con el propósito de mejorar la difusión,

protección y conservación del patrimonio histórico del departamento de Santander

(Colombia). La incorporación, en museos o bibliotecas virtuales, de los modelos 3D

obtenidos con el sensor Kinect V2 permite a expertos en arqueología, estudiantes, turistas

y público en general, ubicado en cualquier parte del mundo, explorar y disfrutar de un

patrimonio poco accesible o restringido por motivos de conservación.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Y JUSTIFICACIÓN

La digitalización del patrimonio cultural y de objetos arqueológicos ha atraído la atención de

investigadores en visión y modelos 3D por computador. Un gran número de objetos del

patrimonio cultural están siendo destruidos debido a la erosión natural, a los desastres

naturales o a la agresión humana. La digitalización 3D de éstos puede ser usada con fines

de preservación, restauración, acceso, y estudio académico.

Recientemente, los grandes desarrollos en digitalización 3D han permitido la preservación

digital de objetos arqueológicos y del patrimonio cultural [1-3]. A diferencia de la primera

versión del Kinect, la segunda utiliza un sensor de tiempo de vuelo (ToF por sus siglas en

inglés) como principio de codificación de profundidad de 512 × 424 píxeles y rango dinámico

en profundidad de 0,5 𝑚 a 4.5 𝑚. La cámara a color adquiere textura cromática a 30

fotogramas por segundo 1920 × 1080 píxeles. Usando un objeto plano en posiciones Z

https://repository.usta.edu.co/handle/11634/27



conocidas se pudo establecer una zona se digitalización en profundidad de 50 𝑐𝑚 ×

50 𝑐𝑚 × 50 𝑐𝑚 a 1,2 𝑚 de distancia con una precisión de 1.8 𝑚𝑚.

Digitalizar tridimensionalmente algunos de los objetos que pertenecen a las muestras

arqueológicas Fray Alonso Ortiz Galeano, O. P., exhibidas en la Biblioteca de la Universidad

Santo Tomás, Seccional Bucaramanga.

OBJETIVOS:

General

Digitalizar tridimensionalmente, usando un sensor Kinect, objetos arqueológicos que pertenecen a nuestro patrimonio histórico y cultural.

Específicos

❖ Mejorar la difusión, protección y conservación de algunas piezas del patrimonio arqueológico de nuestra región mediante la incorporación de modelos 3D a bibliotecas o museos virtuales.

❖ Desarrollar nuevas formas para aumentar la sostenibilidad del patrimonio

arqueológico de nuestra región.

REFERENTE TEORICO.

El uso de los sistemas que proyectan un patrón de luz infrarroja sobre la superficie o escena a reconstruir es relativamente reciente [12]. Éstos están formados, principalmente, por un sensor infrarrojo (emisor y receptor), una videocámara digital (CMOS y RGB) y un acelerómetro. Estos sistemas presentan muchas ventajas debido a que permiten obtener reconstrucciones en tiempo real y las mediciones no se ven afectadas por la iluminación ambiental, ya que el patrón proyectado no se encuentra en el espectro visible; sin embargo, sus resoluciones no son tan altas como las que se obtienen con los escáneres lineales, los escáneres puntuales o los sistemas que usan la técnica de proyección de franjas.

Los sistemas que usan la técnica de tiempo de vuelo generan una onda electromagnética que incide sobre la superficie del objeto, la radiación reflejada por este es recibida por un sensor que mide la diferencia temporal, o la diferencia de fase, entre la señal emitida y la señal recibida [13]. El recorrido de la onda se mide como una consecuencia directa del retardo en la propagación de esta. Los sistemas que emplean esta técnica requieren de medidores de tiempo muy precisos y generalmente proporcionan resoluciones moderadas (clásicamente de centímetros y ocasionalmente de milímetros) para llevar a cabo aplicaciones de mediano y largo alcance. Los escáneres que usan la técnica de interferometría miden distancias o alturas en función de longitudes de onda, usando patrones de interferencia.

Las técnicas de interferometría se usan frecuentemente con objetos que tienen superficies que son relativamente planas y poseen pequeñas variaciones de profundidad. Aunque la



precisión de estos dispositivos es más pequeña comparada con la de un escáner láser puntual o lineal equivalente [14], el uso de luz incoherente remueve el ruido producido por el ‘speckle’ asociado a los láseres, lo que permite obtener datos suavizados. Existen otros métodos de no contacto como los acústicos, en los cuales el sonido es reflejado por la superficie del objeto, y los magnéticos, en los cuales un campo magnético interacciona con

la superficie del objeto.

Los métodos acústicos han sido usados desde hace décadas para medir distancias [15]. Por ejemplo, algunas cámaras de enfoque automático usan métodos acústicos para determinar la posición del plano de enfoque. El principio físico que emplea este método es el mismo que se usa en el método de tiempo de vuelo, en este caso una onda sonora es reflejada por la superficie del objeto de estudio y luego se mide la distancia entre la fuente que emite la onda y la superficie, teniendo en cuenta que se conoce la rapidez de propagación del sonido en el medio donde se encuentra el objeto o escena a digitalizar. La

interferencia acústica y el ruido externo representan un problema en este caso.

Desde el proyecto Miguel Ángel [2], varios proyectos de investigación se han enfocado en el diseño y construcción de sistemas (software y hardware) adecuados para digitalizar obras complejas que pertenecen al patrimonio cultural. En particular, se ha dedicado un gran esfuerzo al desarrollo de sistemas que permiten obtener la digitalización 3D de objetos a 360° de observación, haciendo uso de varios sensores ubicados alrededor del objeto de estudio. La modelización 3D de los objetos del patrimonio cultural por lo general requiere de una interacción manual con los mismos, sin embargo, se han propuesto algunos

esquemas de registro automático de objetos del patrimonio cultural [17].

La introducción de cámaras de profundidad recientemente ha abierto el camino a un nuevo campo de investigación tratando de explotar los datos adquiridos por las mismas para fines de escaneo 3D. La digitalización 3D de escenas estáticas haciendo uso del Kinect sigue siendo una cuestión abierta debido, principalmente, a su limitada resolución espacial [18]. Entre los proyectos que han investigado acerca de esta temática, Microsoft KinectFusion es probablemente el más relevante [19]. En este proyecto cada muestra adquirida por el Kinect se registra en tiempo real utilizando el algoritmo ICP [20].

El método de KinectFusion permite realizar digitalizaciones precisas, pero la gran cantidad de memoria necesaria limita su aplicación a escenas pequeñas. KinectFusion se ha extendido en el proyecto Kintinuous [21]. Otro proyecto de investigación [22] tiene como objetivo capturar modelos 3D completos del cuerpo humano usando tres sensores Kinect. Además de esto, han aparecido las aplicaciones comerciales que utilizan el Kinect para obtener digitalizaciones 3D de objetos o escenas, por ejemplo, ReconstrucMe [23] o Skanect [24].

Estas aplicaciones pueden obtener modelos 3D, a todo color, de objetos, personas o habitaciones. Sin embrago, la precisión de la digitalización no siempre es satisfactoria. En el presente proyecto se pretende implementar un sensor Kinect para digitalizar a 360° de observación objetos arqueológicos que pertenecen al patrimonio cultural de nuestra región. Los resultados experimentales que se obtengan permitirán concluir acerca de la viabilidad de utilizar este tipo de sistemas en aplicaciones de modelización en las cuales los requerimientos de resolución y precisión no sean muy estrictos, como aquellas que implican la conservación de nuestro patrimonio histórico y cultural.



METODOLOGIA:

La digitalización del patrimonio cultural y de objetos arqueológicos ha atraído la atención de investigadores en visión y modelos 3D por computador. Un gran número de objetos del patrimonio cultural están siendo destruidos debido a la erosión natural, a los desastres naturales o a la agresión humana. La digitalización de éstos puede ser usada con fines de preservación, restauración, acceso, y estudio académico. Recientemente, los grandes desarrollos en digitalización 3D han permitido la preservación digital de objetos arqueológicos y del patrimonio cultural. Ejemplos representativos incluyen el proyecto del Gran Buda [1] y el proyecto Miguel Ángel de la Universidad de Stanford [2].

En el presente trabajo se implementó un sensor Kinect V2 con el cual se digitalizó tridimensionalmente objetos arqueológicos que hacen parte de la colección Fray Alonso Ortiz Galeano, O. P., exhibida en la Biblioteca de la Universidad Santo Tomás, Seccional Bucaramanga, Santander, Colombia, con el propósito de mejorar la difusión, protección y conservación del patrimonio histórico de nuestra región. Los resultados obtenidos muestran el gran potencial que posee el sensor Kinect V2 para digitalizar objetos del patrimonio histórico y cultural de la región del Departamento de Santander, Colombia. En la figura 1 se muestra la representación del montaje experimental implementado, de izquierda a derecha se presenta el objeto y/o muestra a digitalizar, el Kinect V2 con resolución de 1920 X 1080, con profundidad de 0,5 m a 4,5 m, puerto USB 3.0. Y el ordenador para el respectivo procesamiento digital de las imágenes.

Figura 1. Esquema del montaje experimental implementado

Con el propósito de evaluar el potencial que posee el sensor Kinect V2 para digitalizar, a 360° de observación, objetos arqueológicos (material de barro), se digitalizó el objeto mostrado en la figura 2 cuyas características se encuentran en el repositorio de la Universidad Santo Tomás, Seccional Bucaramanga.

Figura 2. Objeto digitalizado




RESULTADOS

Descripción de los datos recolectados, en el caso de propuesta de investigación indique resultados esperados; si corresponde a Investigación en curso indique resultados parciales, si es Investigación terminada indique resultados finales.

Con las imágenes generadas por el Kinect V2 se obtuvo la nube de puntos como se muestra en la figura 3.

Figura 3. Nube de puntos del objeto

Luego de obtener la nube de puntos, se procesó transformándola en información de utilidad para los procesos que se requerían en la digitalización del objeto arqueológico en estudio. El proceso de transformación involucró, entre otros, problemas como: filtrado de datos, registro e integración, segmentación y suavizado de datos. Con el propósito de obtener el modelo 3D final se ha implementó el software libre MeshLab. La figura 4 muestra el modelo 3D del jarrón utilizado. El modelo 3D obtenido muestra el potencial que tiene el sensor Kinect V2 para digitalizar objetos arqueológicos.

Figura 4. Digitalización tridimensional objeto cerámico de la cultura Guane

La fase final de la digitalización consistió en la transformación del modelo 3D en un formato accesible a través de Internet. Para ello, se ha escogido el repositorio Sketchfab, que es un sitio web utilizado para ver y compartir contenido 3D en línea y que actualmente está siendo utilizado por el British Museum que publica allí modelos 3D en realidad virtual de objetos que forman parte de sus colecciones. La figura 5 muestra la visualización en Sketchfab del




modelo 3D mostrado en la Figura 3. Una de las grandes ventajas de Sketchfab es que permite incorporar modelos 3D de realidad virtual, los cuales se pueden visualizar de forma ágil e interactiva desde cualquier computadora o dispositivo móvil, incluso de forma totalmente inmersiva si se posee de un visor de realidad virtual.

Figura 5. Visualización en Sketchfab del modelo 3D.

https://sketchfab.com/3d-models/botellon-ustc497-1992e20c32434e598ae393542b6d73b2

CONCLUSIONES

En el presente trabajo se ha mostrado, de acuerdo con la calidad visual de las digitalizaciones tridimensionales obtenidas, el potencial que tiene el Kinect V2 para digitalizar objetos arqueológicos. Sin embargo, debido a que el Kinect V2 es un dispositivo de bajo costo, inicialmente diseñado como un controlador de juego, es fundamental describir matemáticamente cómo varían su precisión y exactitud a medida que cambia la distancia entre éste y el objeto a digitalizar.

REFERENTES BIBLIOGRAFICOS:

[1] Ikeuchi, K., Oishi, T., Takamatsu, J., Sagawa, R., Nakazawa, A., Kurazume, R., & Okamoto, Y. (2007). The great buddha project: Digitally archiving, restoring, and analyzing cultural heritage objects. International Journal of Computer Vision, 75(1), 189-208.

[2] Levoy, M., Pulli, K., Curless, B., Rusinkiewicz, S., Koller, D., Pereira, L., & Shade, J. (2000, July). The digital Michelangelo project: 3D scanning of large statues. In Proceedings of the 27th annual conference on Computer graphics and interactive techniques (pp. 131-144). ACM Press/Addison-Wesley Publishing Co.

[3] Prados, E., and Faugeras, O. (2006). Shape from shading. In Handbook of

mathematical models in computer vision (pp. 375-388). Springer US.

[4] Marques, M., and Costeira, J. (2008 September). 3D face recognition from multiple images: A shape-from motion approach. In Automatic Face & Gesture Recognition, 2008. FG’08. 8th IEEE International Conference on (pp. 1-6). IEEE.

[5] Beardsley, P., Torr, P., and Zisserman A. (1996). 3D model acquisition from extended image sequences. In Computer Vision – ECCV’96 (pp. 683-695). Springer Berlin Heidelberg.

https://sketchfab.com/3d-models/botellon-ustc497-1992e20c32434e598ae393542b6d73b2



[6] Pollefeys, M., Proesmans, M., Koch, R., Vergauwen, M., & Van Gool, L. (2008). Detailed model acquisition for virtual reality. Virtual Reality in Archaeology, to appear, ArcheoPress, Oxford.

[7] Meneses, J. E., and Contreras, C. R. (2011 January). Digital approximation to extended depth of field in no telecentric imaging systems. In Journal of Physics:

Conference Series (Vol. 274, No. 1, p. 012040). IOP Publishing.

[8] Cheng, X. X., Su, X. Y., and Guo, L. R. (1991). Automated measurement method for 360 profilometry of 3-D diffuse objects. Applied Optics, 30(10), 1274-1278.

[9] Contreras, R., and Meneses J. (2009). Dispositivo Óptico De Medida 3D Con Simetría Cilíndrica: Aplicaciones en Balística. Bistua: Revista de la Facultad de Ciencias Básicas, 7(2), 42-52.

[10] Barrea, M., Torres, G., Contreras, C., and Meneses, J. (2013). Análisis preliminar de un sistema de reconstrucción tridimensional multicaptor. INGE CUC, 9(1), 129-142.

[11] González, A., Meneses, J., and León, J. (2012). Proyección de franjas en metrología óptica facial. INGE CUC, 8(1), 191-206.

[12] González-Jorge, H., Riveiro, B., Vásquez-Fernández, E., Martínez-Sánchez, J., and Aria, P. (2013). Metrological evaluation of Microsoft Kinect and Asus Xtion sensors.

Measurement, 46(6), 1800-1806.

13] Moosmann, F., Pink, O., and Stiller, C. (2009, June). Segmentation of 3D LIDAR data in non-flat urban environments using a local convexity criterion. In Intelligent Vehicles Symposium, 2009 IEEE (pp. 215-220). IEEE.

[14] Bi, Z. M., and Wang, L. (2010). Advances in 3D data acquisition and processing for industrial applications. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing, 26(5), 403-413.

[15] Chaparro, L. X., Contreras C. R., and Meneses, J. E. (2013, November). Operating principle of a high resolution ultrasonic ranging system based in a phase processing. In 8th Ibero American Optics Meeting/11th Latin American Meeting on Optics, Lasers, and Applications (pp. 87853D-87853D). International Society for Optics and Photonics.

[16] González Toledo, E. C. (1985). Resonancia magnética nuclear. Prensa méd. argent, 72(7), 213-21.

[17] Andreetto, M., Brusco, N., & Cortelazzo, G. M. (2004). Automatic 3D modeling of textured cultural heritage objects. IEEE Transactions on Image Processing, 13(3),

354-369.

[18] Khoshelham, K. (2011, August). Accuracy analysis of kinect depth data. In ISPRS workshop laser scanning (Vol. 38, No. 5, p. W12).

[19] Newcombe, R. A., Izadi, S., Hilliges, O., Molyneaux, D., Kim, D., Davison, A. J., & Fitzgibbon, A. (2011, October). KinectFusion: Real-time dense surface mapping and tracking. In Mixed and augmented reality (ISMAR), 2011 10th IEEE international symposium on (pp. 127-136). IEEE.

[20] Besl, P. J., & McKay, N. D. (1992, April). Method for registration of 3-D shapes. In

Robotics-DL tentative (pp. 586-606). International Society for Optics and Photonics.



CAPÍTULO 3.

Desarrollo del Proceso de Modelación Matemática en Licenciados en Formación de

la Universidad Del Atlántico.

Zuriel Fitzgerald Peña Ubarne, Maria de los Ángeles Torrenegra Giraldo y Jesús David Berrio Valbuena.

INTRODUCCIÓN

La modelación matemática, entendida como un proceso cuyo punto de partida es la conceptualización de una situación o problema de la realidad (Blum, Galbraith, Henn y Niss, 2007) constituye un recurso en el aula de clases que permite relacionar las matemáticas con situaciones de la vida cotidiana (Pantoja, Guerrero, Ulloa y Valdivia, 2016) sin embargo, este proceso no se desarrolla de manera adecuada en la escuela, pues los docentes conciben la modelación, como una aplicación matemática (Villa-Ochoa, Bustamante, Berrio, Osorio y Ocampo, 2009).

En esta investigación en curso, se busca, mediante la implementación de una actividad experimental propuesta, describir el proceso de modelación que surge del desarrollo de la misma con estudiantes de la asignatura Didáctica del Cálculo del programa de Licenciatura en Matemáticas de la Universidad del Atlántico.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Y JUSTIFICACIÓN

La necesidad de estudiar y describir la realidad constituye un aspecto muy importante en el desarrollo humano, ante los distintos avances tecnológicos y económicos se requiere de individuos que relacionen las matemáticas con su entorno. De aquí que la modelación matemática es considerada una alternativa pertinente para ser llevada al aula de clases, pues permite desarrollar habilidades, expresar ideas, describir relaciones propias del entorno y evaluar situaciones cotidianas (Ministerio de Educación Nacional, 1998).

Sin embargo, al momento de su implementación surgen algunas dificultades pues esta no se aborda de manera adecuada, es decir, de una forma en que los estudiantes, analicen, describan e interpreten situaciones problemas a través de procesos de modelación; pues los docentes tienden a presentar la modelación como una aplicación matemática (Villa-Ochoa et al., 2009) y por consiguiente aspectos importantes como la observación y

experimentación quedan por fuera de este proceso (Berrio, Peña y Torrenegra, 2018).

Esta investigación es relevante, porque mediante el diseño de actividades experimentales en el aula, se propone desarrollar aquellas etapas que en la práctica no se dan o que los docentes no desarrollan como se ha argumentado antes. Se espera que, a partir de los resultados obtenidos y las discusiones abordadas, se generen espacios de reflexión y discusión sobre la modelación matemática y su desarrollo en el aula, al tiempo que analizar



cómo influye la tecnología en dicho proceso.

OBJETIVOS

Objetivo general:

Analizar el desarrollo de los procesos de modelación matemática a través de

actividades experimentales en licenciados en matemáticas en formación.

Objetivos específicos:

❖ Diseñar actividades experimentales factibles dentro del aula para el desarrollo

de los procesos de la modelación matemática en licenciados en formación.

❖ Crear espacios para la implementación de actividades experimentales para el

desarrollo de los procesos de la modelación matemática en el aula.

❖ Identificar el desarrollo de los procesos de la modelación matemática en el aula

partir de actividades experimentales

REFERENTE TEÓRICO

Antecedentes.

En pro de los objetivos anteriormente planteados, se ha hecho una revisión bibliográfica sobre investigaciones que aporten significativamente a nuestra investigación y que permitan alcanzar los objetivos propuestos. En Chile, tenemos el artículo titulado El conocimiento de la modelación matemática desde la reflexión en la formación inicial de profesores de matemática. Investigación realizada por Huincahue, Borromeo-Ferri y Mena-Lorca (2018), que aporta significativamente a nuestro trabajo de investigación porque resalta la importancia de la modelación matemática y una reflexión sobre esta en la formación inicial de profesores de matemáticas.

Entre tanto, en Argentina, para Cuenca, Palauro, Astiz y Vivera (2019) en su artículo titulado La modelación matemática. Análisis de entrevistas a docentes y su material de clase, nos aporta la distinción entre la modelación matemática y los problemas de aplicación matemática los que referencia como “pseudo-modelización” lo que deja en evidencia la necesidad de desarrollar los procesos de modelación matemática con licenciados en

formación.

En Colombia, en la ciudad de Medellín; Marín, Correa y Gómez (2015) en su investigación titulada La modelación matemática en la formación inicial de profesores de matemáticas: visiones de algunos formadores, respalda en nuestro trabajo lo que se formula en el



planteamiento del problema y su justificación; pues hace referencia a la necesidad de que los profesores desarrollen procesos de experimentación y reflexionen sobre la modelación como una metodología de enseñanza y su implementación en el aula.

Modelación matemática.

La modelación matemática es un proceso constituido por una serie de fases o acciones denominadas ciclos de modelación, el cual inicia con la determinación de un problema o un fenómeno de la realidad, que posteriormente es sometido a la observación, y a la experimentación con el fin de obtener datos que permitan comprender y/o identificar a profundidad todos los actores involucrados en dicho fenómeno, con el objetivo de determinar la construcción más adecuada que represente el fenómeno estudiado (Villa-Ochoa y Ruiz, 2009).

Entretanto para Huincahue, Borromeo-Ferri y Mena-Lorca (2018) la modelación matemática es un proceso que conecta elementos de naturaleza no matemática con el conocimiento matemático, y que además es un proceso de traducción entre el mundo real y las matemáticas, en ambas direcciones.

A continuación, presentamos un esquema de un ciclo de modelación y su explicación, como referente a nuestra investigación:

Figura 1. Ciclo de modelación propuesto por Blum y Borromeo-Ferri (2009).

Las fases que presenta el ciclo son las siguientes:

1. Inicia con una situación real que puede ser representada por una imagen, un texto o ambos. En esta etapa se presentan los procesos de experimentación, abstracción, simplificación e interpretación.

2. Se crea una representación mental de la situación para analizar la información de la

situación real.

3. Se produce una transición de teorización del problema para llegar a un modelo real, este proceso es más consciente que el anterior, y dependiendo del problema se involucra el conocimiento extra matemático.



4. Se presenta un proceso de matematización que genera un modelo matemático

basado en el conocimiento extra matemático.

5. Se obtienen resultados matemáticos que se interpretan y conducen a resultados reales que se validan en la representación mental o en el modelo real.

METODOLOGÍA

Esta investigación es de tipo cualitativo pues se pretende describir el desarrollo del proceso de modelación matemática de licenciados en formación. Para esta investigación se desarrolló una actividad experimental en el aula con estudiantes del curso de Didáctica del Cálculo del programa de Licenciatura en Matemáticas de la Universidad del Atlántico. Esta

actividad contó con 23 estudiantes que participaron de forma activa.

La actividad consistió en el lanzamiento de 100 dados y aquellos que quedaban con la cara superior en el número 5 se retiraban, de nuevo, los dados restantes se lanzaban y se repetía la acción, hasta completar 10 lanzamientos. Además de esto, se plantearon unos

interrogantes que los estudiantes debían responder. Las preguntas son las siguientes:

1. ¿Qué variables identificaste en la experiencia?

2. ¿Cómo se comportan los datos?

3. ¿Qué relación puede establecerse entre las variables?

4. ¿Qué tipo de función representa la experiencia?

5. Para los lanzamientos 15 y 16 ¿cuántos dados quedarán?

6. ¿En qué lanzamiento ya no quedarán dados?

Con la actividad definida, planteamos un análisis a priori teniendo como referencia el ciclo de modelación elaborado por nosotros a partir del desarrollado por Blum y Borromeo-Ferri (2009):



Figura 2. Ciclo de modelación: elaboración propia.

En el cual se describen las siguientes fases:

1. Situación problema: Esta surge de un entorno concreto de la realidad, la cual puede representarse y simularse en distintas formas ya sean gráficas o mentales con la finalidad de simplificar y estructurar la situación problema.

2. Registro gráfico: En esta etapa, Se procede a representar los datos de manera gráfica ya sea por medio de diagramas de dispersión, etc.

3. Análisis de datos: Una vez ya se ha hecho la observación de los mismos, se procede a identificar una relación matemática entre las variables que intervienen en el fenómeno

estudiado.

4. Formulación del modelo matemático: A partir del análisis de los datos y su comportamiento, se procede a establecer una ecuación o fórmula matemática que explique la relación previamente identificada.

5. Validación del modelo: El objetivo de esta fase, consiste en la confrontación de los datos obtenidos con el comportamiento de las variables involucradas y el análisis gráfico que se ha realizado con anterioridad.

6. Solución matemática: Si la validación es positiva, se interpreta que la relación resultante de este proceso, es el modelo matemático que mejor se aproxima a la solución de la situación problema.

En el análisis a priori, se espera que el estudiante siga, de manera natural, la mayoría de los pasos registrados en nuestro ciclo y logre llegar a una buena aproximación de la solución

del problema.

RESULTADOS

Después de la implementación de la actividad experimental en el aula, realizamos un análisis a posteriori que nos arrojó los siguientes resultados:



Primeramente, se lanzaron los dados y simultáneamente los licenciados en formación

registraron los datos en su cuaderno de notas o apuntes. (Ver figura 3)

Figura 3. Lanzamiento y recolección de datos

Luego de esto, los estudiantes procedieron a realizar una organización de los datos obtenidos, algunos a manera de tabla y otros de manera proporcional a la medida en que esos se iban obteniendo. (Ver figura 4)

Figura 4. Organización de los datos.

Una vez hicieron esto procedieron a realizar la matematización de los datos, es decir, establecer una relación entre las variables que identificaron mediante procesos aritméticos. Como la diferencia entre el número total de dados y los dados que se iban retirando en cada lanzamiento. (Ver figura 5)

Figura 5. Matematización.

Otros estudiantes, sin hacer un análisis completo del comportamiento de los datos, y con base en las inferencias hechas a partir de estos, plantearon el modelo matemático de decaimiento poblacional. Aquí no se hizo la matematización del problema; sino que formularon el modelo debido a que ya habían tomado un curso de ecuaciones diferenciales.



Luego de esto, empezaron a hacer pruebas con el modelo, es decir, verificaciones utilizando algunos datos de la tabla, como el primero y el segundo, lo que produjo que el modelo que plantearon no fuese satisfactorio para el fenómeno estudiado, por lo tanto, algunos estudiantes cambiaron los datos que tomaron para encontrar los valores de las constantes c y k que intervienen en el modelo, y nuevamente verificaron si era una aproximación más cercana que la que habían encontrado anteriormente. Aquellos que consideraron que su aproximación era correcta procedieron a resolver los interrogantes planteados.

Partiendo de lo anterior, observamos que los estudiantes, si bien organizaron los datos que se iban obteniendo en tablas, no hicieron una representación gráfica de los mismos, sino que de inmediato procedieron a matematizar la situación planteada, dejando de lado el registro gráfico, lo que influyó en su posterior interpretación y análisis, pues obviaron un aspecto importante que se propone en el ciclo de modelación como lo es la observación.

Por último, los resultados que se obtuvieron de dichos modelos no fueron contextualizados en la situación problema para resolver los interrogantes planteados, es decir, sus conclusiones a predicciones futuras estaban fuera de la realidad, teniendo en cuenta que el cero es una asíntota de la función exponencial, por consiguiente, para valores muy

grandes de t la cantidad de dados nunca iba a ser cero.

Con base en lo anterior y teniendo en cuenta lo que los estudiantes hicieron a lo largo del experimento se esquematizaron los pasos o las fases que iban mostrando al abordar la situación problema. Tales pasos se representan en la siguiente figura:

Figura 6. Esquema del ciclo realizado por los estudiantes.

CONCLUSIONES

Algunas conclusiones que sacamos de la investigación realizada son:

❖ Se evidencia una fuerte aceptación por parte de los estudiantes a las actividades de experimentación en el aula, pues estas les permiten tener una mejor contextualización de los problemas de modelación matemática.

❖ Existen dificultades en la resolución de problemas de modelación matemática por parte de los estudiantes, pues la noción de modelación matemática que tienen consiste en una aplicación o problema matemático.

❖ El realizar actividades de experimentación en el aula, les da a los estudiantes una noción de realidad más concreta, lo que permite realizar inferencias ajenas a los marcos abstractos de la solución, teniendo así respuestas incongruentes



con la realidad y entendiendo, con irresoluble, que el modelo tiene sus

limitaciones al tratarse de una aproximación al fenómeno estudiado.

REFERENTES BIBLIOGRAFICOS

Berrio, J., Peña, Z. y Torrenegra, M. (2018). Estrategias didácticas para el desarrollo de procesos de modelación con ecuaciones diferenciales desde la perspectiva STEM. Memorias: Cuarto Encuentro Internacional de Investigación en Educación Matemática. 347-352.

Blum, W., Galbraith, P.L., Henn, H.-W. y Niss, M. (Eds.) (2007). Modelling and Applications in Mathematics Education. The 14th ICMI Study. New York, NY: Springer Science + Business Media, LLC.

Blum, W. y Borromeo-Ferri, R. (2009). Mathematical Modelling: Can it Be Taught and

Learnt? Journal of Mathematical Modelling and application, 1(1), 45-58.

Cuenca, M., Palauro, L., Astiz, M. y Vivera, C. (2019). La modelización matemática. Análisis de entrevistas a docentes y su material de clases. Revista de Educación, (16), 161-172.

Fernández-Sánchez, O. y Angulo-Cruz, M. (2019). Proceso de modelación en clase de matemáticas. Scientia et Technica, 24(1), 97-103.

Huincahue, J., Borromeo-Ferri, R. y Mena-Lorca, J. (2018). El conocimiento de la modelación matemática desde la reflexión en la formación inicial de profesores de

matemática. Enseñanza de las ciencias, 1(36), 99-115.

Marín, A., Correa, M. y Gómez, P. (2015). La Modelación Matemática en la formación inicial de profesores de matemáticas: visiones de algunos formadores. (Informe técnico de investigación. Recuperado de: http://ayura.udea.edu.co:8080/jspui/bitstream/123456789/1855/1/Informe_t%C3%A9cnico_Mar%C3%ADn_Correa_G%C3%B3mez_Modelaci%C3%B3n_julio9.pdf.

Ministerio de Educación Nacional. (1998). Lineamientos Curriculares: Matemáticas. Bogotá: Magisterio.

Pantoja, R., Guerrero, M., Ulloa, R. Valdivia, S. (2016). La modelación matemática en situaciones problema de la vida cotidiana. Seminario Repensar las Matemáticas. Recuperado de https://repensarlasmatematicas.files.wordpress.com/2016/03/s83-documento-de-referencia-bis.pdf.

Suárez, L. y Cordero, F. (2010). Modelación-graficación, una categoría para la matemática escolar. Resultados de un estudio socioepistemológico. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, 13(4-II), 319-333.

Villa-Ochoa, J. y Ruiz, H. (2009). Modelación en educación matemática: una mirada desde los lineamientos y estándares curriculares colombianos. Revista Virtual Universidad Católica del Norte, (27), 1-21.

Villa-Ochoa, J., Bustamante, C., Berrio, M., Osorio, J. y Ocampo, D. (2009). Sentido de realidad y modelación matemática: el caso de Alberto. ALEXANDRIA, 2(2), 159-180.

http://ayura.udea.edu.co:8080/jspui/bitstream/123456789/1855/1/Informe_t%C3%A9cnico_Mar%C3%ADn_Correa_G%C3%B3mez_Modelaci%C3%B3n_julio9.pdf

http://ayura.udea.edu.co:8080/jspui/bitstream/123456789/1855/1/Informe_t%C3%A9cnico_Mar%C3%ADn_Correa_G%C3%B3mez_Modelaci%C3%B3n_julio9.pdf

https://repensarlasmatematicas.files.wordpress.com/2016/03/s83-documento-de-referencia-bis.pdf

https://repensarlasmatematicas.files.wordpress.com/2016/03/s83-documento-de-referencia-bis.pdf



CAPÍTULO 4:

Herramientas Virtuales para la Valoración de los Aprendizajes.

Lacides Baleta Palomino, Marlon Rondón Meza.

Facultad de Ciencias Básicas y Educación. Universidad Popular del Cesar.

Valledupar, Cesar, Colombia.

RESUMEN

Este artículo está inmerso en el marco de un proyecto de investigación que propone entre sus objetivos implementar las tecnologías del aprendizaje y conocimiento (TAC), para mejorar los procesos de evaluación de los docentes del área de matemáticas de las Instituciones Educativas del departamento del Cesar. Este trabajo brinda orientaciones prácticas para utilizar herramientas virtuales libres y así potencializar los aprendizajes de los educandos dentro y fuera del aula de clases.

Palabreas claves: TAC, herramientas virtuales, evaluación

INTRODUCCIÓN

La inmersión de las tecnologías durante la última década ha promovido un cambio sustancial en las diferentes actividades del ser humano, lo que ha originado transformaciones positivas en el entorno educativo, el cual ha influenciado a todos los actores presentes de la escuela al uso de las tecnologías de la información y comunicación (TIC), de las tecnologías del aprendizaje y del conocimiento (TAC) y las tecnologías del empoderamiento.

Para la implementación de estas tecnologías se hace indispensable las herramientas virtuales las cuales constituyen el enlace de acceso al conocimiento en el proceso de enseñanza-aprendizaje durante su instancia en la escuela, estos instrumentos, suponen una práctica permanente de los avances y mejoras que sales todos los días.

Pérez C (2002), expresa que la humanidad se encuentra actualmente en el “punto de viraje” de una transformación tecnológica sin precedentes. Al período de instalación de las TIC que tuvo lugar en los últimos cincuenta años –con su cortejo de “destrucción creativa” y de generalización de un nuevo paradigma social, la sociedad de la información y del conocimiento– puede seguir un tiempo de implementación y de florecimiento del pleno potencial del nuevo paradigma triunfante. En el análisis de la investigadora, el período



intermedio en que nos encontramos –el “viraje”– estaría marcado por inestabilidad,

incertidumbre, fin de “burbujas especulativas” y recomposición institucional4.

Por otro lado, Los procesos de innovación respecto a la implementación de las TIC en el entorno educativo suelen partir, la mayoría de las veces, de los dispositivos que tengan las instituciones educativas. Sin embargo, Hay que tener presente que, como cualquier innovación educativa, estamos ante la disponibilidad de gobiernos de turno, que quieran dotar o invertir en la compra de dispositivo que mejoren los procesos de enseñanza.

Según Ruiz Franco M. y Abella García, V. (2011) expresa que, desde la aparición de la nueva tecnología, se comenzó enseñando qué eran las TIC, más adelante se pasó a enseñar a través de las TIC hasta que exploro como instrumento del proceso de enseñanza aprendizaje, es decir, como Tecnologías del Aprendizaje y el Conocimiento (TAC) (Espuny; Gisbert; González y Corduras, 2010). De acuerdo a lo anterior, Vivancos (2011a) asevera que “las TIC no son solo tecnología, son lo que podemos hacer con ella”. Por tanto, las TAC no sólo hacen referencia a saber utilizar una herramienta, sino que guían las TIC en los procesos de enseñanza-aprendizaje en cualquier nivel educativo, buscando procesos más formativos, tanto para el estudiante como para el docente, con el propósito de aprender más y mejor.

En ese sentido, el paso de las TIC a TAC, dice Sancho Gil (2008), no es sólo un simple cambio de vocal, sino que conlleva a un cambio es decir a una apropiación pedagógica donde se tengan claros los objetivos y se realice un seguimiento sistemático a las actividades realizadas dentro y fuera del aula de clases. Por otro lado, Rodríguez Izquierdo (2010) deberíamos reflexionar cómo cambiar de paradigma la educación y concretamente el aprendizaje la radio, la televisión, el vídeo… y si las TIC van a ser diferentes. Surge entonces la cuestión de cuál es el uso que damos a estas TIC (cuál dimos a las “antiguas”), y si en verdad contribuyen al aprendizaje o suponen en muchos casos una sobrecarga tanto

para el docente como para el estudiante.

Ante esta situación queremos mostrar a través de una experiencia como la creación de páginas web, herramientas TIC, pueden convertirse en un instrumento TAC, enmarcado dentro de las aplicaciones de colaboración y trabajo cognitivo que señala Vivancos en su clasificación (2011b). Y además queremos brindar orientaciones prácticas para mejorar los procesos de evaluación de docentes de todos los niveles educativos.

CONTEXTUALIZACIÓN DE LA EXPERIENCIA

La Web es uno de los métodos más importantes de comunicación que existe en Internet este consiste en un sistema de información basado en Hipertexto. La información reside en forma de páginas Web en ordenadores que se denominan servidores Web y que forman los nodos de esta telaraña. Se denomina páginas Web a documentos que contienen

4 Pérez, C. (2002), Technological revolutions and financial capital: the dynamics of bubbles and golden ages, Cheltenham, Edward Elgar.



elementos multimedia además de enlaces de hipertexto. (

http://www.edificacion.upm.es/informatica/documentos/www.pdf )

Para la creación de páginas web seleccionamos los intereses principales que querían cada uno de los participantes, en ese sentido se tomaron los criterios de calidad que reconocen como marco de referencia varios autores (Marqués, 1999; Cabero y Duarte, 1999; González Castañón, 2000; Ladsberger, 2000; Cabero y Gisbert, 2002; Martínez, Prendes, Alfageme, Amorós, Rodríguez y Solano, 2002 y Romero Tena, 2002)5.

Por otra parte, es imprescindible para el docente actual conocer cuáles son las competencias básicas del estudiante y particularmente las competencias digitales, la cuales conlleven a un aprendizaje significativo y colaborativo dentro y fuera del aula de clase, razón por la cual, la implementación de herramientas virtuales y en especial la nuevas tecnología como estrategias de enseñanza es una oportunidad de brindarle a nuestros educando un educación de calidad y actualizada en este mundo globalizado6.

Por todo lo anterior se planteó la construcción de las páginas webs e implementación de herramientas virtuales evaluativas en el marco del segundo encuentro nacional de formadores en matemáticas y física y quinto encuentro de egresados de matemáticas y física desarrollado en la Universidad Popular del Cesar, con un total de 30 participantes entre estudiantes de la licenciatura de matemáticas y física y docentes que orientan la asignatura de matemáticas en el en el departamento del Cesar.

Creación de páginas webs

Se presentan una serie de páginas gratuitas prestablecidas

Ilustración 1 Ilustración 2

5https://idus.us.es/xmlui/bitstream/handle/11441/27944/revision%20y%20valoracion%20propuesta%20organizativa0001_good.pdf?sequence=1 6 https://pca.edu.co/investigacion/revistas/index.php/gci/article/view/83

http://www.edificacion.upm.es/informatica/documentos/www.pdf

https://idus.us.es/xmlui/bitstream/handle/11441/27944/revision%20y%20valoracion%20propuesta%20organizativa0001_good.pdf?sequence=1

https://idus.us.es/xmlui/bitstream/handle/11441/27944/revision%20y%20valoracion%20propuesta%20organizativa0001_good.pdf?sequence=1

https://pca.edu.co/investigacion/revistas/index.php/gci/article/view/83

mailto:https://es.jimdo.com/pagina-web/creador/



Ilustración 3 Ilustración 4

Se selecciona una de las plataformas presentadas anteriormente para la realización de la página web y se explica cada uno de los pasos a seguir y se consolida con un video tutorial, la ventaja es que el docente no se necesita saber programación o conocimientos técnicos o experiencia previa, el cual se desarrolla paso a paso, a continuación, se presenta uno delos link que se utilizó para la creación de la página. Link https://youtu.be/d3mhlJBl09E

Durante el desarrollo de las actividades proyectadas en la creación de las páginas web se apreció que la gran mayoría de los participantes, estaban interesados en conocer todo lo referente a la temática, la cual es imprescindibles para el docente actual como estrategia didáctica de práctica pedagógica, en consecuencia, a lo anterior se propuso continuar capacitando en las instituciones educativas del departamento del Cesar en herramientas

virtuales libres.

Implementación de Herramientas Virtuales Evaluativas

Las herramientas virtuales son plataformas que involucran softwares inteligentes, los cuales permiten facilitar la comunicación de manera colaborativa el aprendizaje y de seguimiento de cada una de las actividades dentro y fuera de la clase, logrando un aprendizaje creativo, rápido, flexible y eficaz en los estudiantes, por tal razón, presentamos algunas de ellas:

HERRAMIENTAS VIRTUALES LIBRES

HERRAMIENTAS VIRTUALES PAGAS

NINEHUB ECOLLEGE

GOOGLE CLASSROOM DELFOS LMS

CLAROLINE SKILLFACTORY

DOKEOS EDOCEO

FLE3 COMPOSICA

EDMODO PROMETEO

https://youtu.be/d3mhlJBl09E



Tabla 1. Creación propia (2018)

Se elige una de las herramientas presentadas en la tabla1, para la implementación en las pagina web construida anteriormente y se explica cada uno de los pasos a seguir consolidándola con un video tutorial, la ventaja es que el docente puede interactuar de manera virtual no solo con el estudiante sino con sus padres de familia, quienes pueden constatar las temáticas abordada en el aula de clase. A continuación se presentamos uno delos link que se utilizó para el desarrollo de esta actividad.

Link https://youtu.be/Ypt_Vl43gfU

CONCLUSIONES

Se pudo crear páginas web e implementar herramientas virtuales evaluativas acorde a las necesidades de los participantes en el segundo encuentro nacional de formadores en matemáticas y física y quinto encuentro de egresados de matemáticas y física desarrollado en la Universidad Popular del Cesar, logrando adquirir competencias digitales para la utilización de este tipo de tecnologías dentro y fuera del aula de clase.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.

Espuny, C., Gisbert, M., González, J. & Cordura, J. (2010). Los seminarios TAC. Un reto de formación para asegurar la dinamización de las TAC en las escuelas. EDUTEC, Revista Electrónica de Tecnología Educativa, 34. Extraído el 26, mayo, 2011 de http://bit.ly/tOEFuc.

Perez, C. (2002), Technological revolutions and financial capital: the dynamics of bubbles and golden ages, Cheltenham, Edward Elgar.

Rodríguez Izquierdo, R. Mª. (2010). El impacto de las TIC en la transformación de la enseñanza universitaria: repensar los modelos de enseñanza y aprendizaje. Revista Electrónica de Teoría de la Educación: Educación y Cultura en la Sociedad de la Información, 11 (3), 32-68. Extraído el 25 Mayo, 2011, de http://bit.ly/vShHA1.

Ruiz Franco, M. y Abella García, V. (2011). Creación de un blog educativo como herramienta TIC e instrumento TAC en el ámbito universitario. Revista Teoría de la Educación: Educación y Cultura en la Sociedad de la Información. 12(4), 53-70.

Vivancos, J. (2011a). Aproximación a la competencia digital docente. Mensaje posteado (15/06/2011). Extraído el 12, octubre, 2011 de http://ticotac.blogspot.com/. - (2011b). Enseñanzas de las Ciencias con apoyo TAC. Mensaje posteado (20/02/2011). Extraído el 12, octubre, 2011de http://ticotac.blogspot.com/.

MOODLE DESIRE2LEARN

GNOMIO BLACKBOARD

https://youtu.be/Ypt_Vl43gfU

http://bit.ly/tOEFuc

http://bit.ly/vShHA1



CAPÍTULO 5:

Objeto Virtual de Aprendizaje, recursos digitales para desarrollar competencias

matemáticas

Yudys Valderrama, Dora Solange Roa Fuentes

Universidad Metropolitana de Ciencia y Tecnología “UMECIT”, Universidad Industrial de Santander “UIS”

INTRODUCCIÓN

La era digital ha marcado las tendencias educativas del siglo XXI, desde las décadas de los 90 la innovación educativa busca introducir tecnología en las prácticas pedagógicas. En el ámbito internacional y nacional han impulsado proyectos, para que paulatinamente el uso de las Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC) se incorpore, un ejemplo de ello es lo planteado por la Nacional Council of Teacher of Mathematics (NCTM, 2000, por su sigla en inglés), en sus principios y estándares de la educación matemática, donde se afirma que el uso adecuado de la tecnología generan espacios de trabajo en tareas de matemáticas cada vez más complejas, adquieren los conocimientos abordado un mismo problema desde diferentes formas de representación; sin embargo se recomienda hacer el uso prudencial con eficiencia y eficacia y para ello se recomienda hacerlo de forma planificada y reflexionado sobre sus bondades y dificultades, puesto que el uso de la tecnología influye en la matemática que se enseña y se aprende (Thales, 2003) . A nivel Nacional el Ministerio de Educación Nacional (MEN), en los documentos rectorales como los lineamientos curriculares, plantea la enseñanza de la matemática contextualizada en si misma y en otras ciencias, potenciando el desarrollo de los procesos matemáticos y en respuesta a la política de incursión de la tecnología, impulsa el proyecto de “Incorporación de uso de las Nuevas Tecnologías al currículo de Matemáticas” donde se pretende aprovechar los ambientes escolares y las bondades ofrecidas por la tecnología para mejorar los procesos de enseñanza y aprendizaje de la matemática. (MEN, 1998, 2000).

No obstante, la era digital habla de inmigrantes y nativos digitales, y los caracteriza según la inmersión que hacen de la tecnología y de acuerdo a ello determina a los profesores como inmigrantes y a los estudiantes como nativos. Por esto, los nativos aprenden diferente a como los inmigrantes lo hicieron por sus condiciones tecnológicas de la era, ya que los nativos nacieron con la interacción de ordenadores y video juegos que cada vez más tienen mayor nivel de inteligencia artificial.

En virtud a lo anterior, se busca que las prácticas pedagógicas estén permeadas por el uso de la tecnología donde se mejoren los procesos de enseñanza, vayan a la vanguardia de la era digital para obtener mayor impacto de aprendizaje. Pero no se trata de introducir las TIC, sino de elementos didácticos que apoyen los procesos de enseñanza y aprendizaje mediante la interacción de un objeto Virtual de Aprendizaje (OVA) que potencie el desarrollo del Pensamiento Algebraico a la luz de la Teoría de las Situaciones Didácticas (TSD).



PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Y JUSTIFICACIÓN:

El estudio del algebra es un tema de relevancia en el currículo de la enseñanza de la matemática y de acuerdo a lo planteado por los lineamientos curriculares del MEN, debe ser transversal y estudiado de manera interdisciplinar de tal manera que use para posteriores estudios en las diferentes aplicaciones la trigonometría, el cálculo, la estadística y demás asignaturas inmersas en la consecución del desarrollo del pensamiento matemático, puesto que es el álgebra la que debe proporcionar las ideas sobre la abstracción y estructura de la matemática (Thales, 2003). Sin embargo, a pesar de las políticas educativas donde se dan directrices para la enseñanza y se pretende que se ahonde por el desarrollo de procesos y no por contenidos, aún se evidencia que la práctica la enseñanza de algebra como el manejo de fórmulas y teoremas y no a partir de la

enseñanza contextualizada.

Por otro lado, el uso de las tecnologías no solo permite ver las matemáticas más atractivas, sino que brinda elementos para enseñar más y de mejor manera, siempre y cuando sean utilizadas adecuadamente. En consecuencia, se visualiza el OVA como una estrategia que permite el estudio del algebra como la construcción el conocimiento que pasa por diferentes niveles de pensamiento, y para tal fin se dará respuesta a la pregunta ¿Qué elementos debe componer un OVA para potenciar el Pensamiento Algebraico desde el planteamiento de la Teoría de las Situaciones Didácticas?

OBJETIVOS

General:

Describir los elementos que componen un OVA, para potenciar el Pensamiento Algebraico (PA) a la luz de la Teoría de las Situaciones Didácticas (TSD), con estudiantes del grado octavo del colegio Técnico Vicente Azuero del municipio de Floridablanca, Colombia.

Específicos:

❖ Identificar y caracterizar los elementos que componen un OVA que potencie el desarrollo PA en los estudiantes del grado octavo del Colegio Técnico Vicente Azuero.

❖ Describir y analizar los elementos que componen un OVA que potencie el desarrollo PA en los estudiantes del grado octavo del Colegio Técnico Vicente Azuero.

❖ Generar un OVA que potencie el desarrollo PA en los estudiantes desde el planteamiento de la TSD para el grado octavo

REFERENTE TEORICO

El OVA es un recurso digital donde se organiza recursos, actividades, proceso de evaluación previamente diseñada, que permite con facilidad la identificación de un usuario, y el almacenamiento y recuperación de archivos, al igual que ver la trazabilidad de un proceso. Por otro lado, se pretende enseñar una matemática contextualizada en si misma y/o en otras ciencias y el MEN (1998) determina la triada de enseñanza procesos,



contenidos y contexto. En respuesta se visualiza el bajo el enfoque de resolución de problemas (Santos Trigo, 2011; Puig, 1996; Shoenfeld, 1985), donde a partir de una situación a-didáctica, es decir que con poca o nula intervención directa del profesor se busca dar respuesta a una situación problema y para ello, mediante la interacción entre la triada: la intención (el profesor acentúa en el diseño de la actividad), el medio (GeoGebra) y el sujeto (estudiante), este último debe realizar acciones sobre el medio que le permitan dar solución al problema planteado; en caso de que la acción no sea acertada debe realizar en el medio una retroacción. Este proceso de interacción se repite hasta llegar a resolver el problema y validar su procedimiento. Posteriormente el estudiante socializa y justifica el acierto con argumentos y esto genera el conocimiento matemático, se afirma que el estudiante aprendió, porque modificó sus conocimientos. Y de esta forma se toma como fundamento el aprendizaje por adaptación planteado por la TSD, donde a partir de una situación a-didáctica se genera la situación didáctica, donde se llega a la institucionalización del saber (Brosseau, 2007). Pero no es igual hablar de conocimiento y/o saber; según (Acosta et al, 2010), plantean que el conocimiento es personal y contextualizado y el saber impersonal y descontextualizado; de ahí que en una situación didáctica el profesor de una forma estructurada debe garantizar la oportunidad de validar los aciertos y desaciertos, permitiendo que del error se aprenda mediante la autocorrección y se genere la formulación de proposiciones y sus explicaciones válidas. La validación es una etapa que permite relacionar la enseñanza con el aprendizaje (Margolinas, 1993) y brinda los elementos para la institucionalización del saber.

Particularmente se pretende potenciar el desarrollo de Pensamiento Algebraico, entendido como la capacidad para formular, emplear e interpretar la matemática en distintos contextos, incluye el razonamiento y la utilización de conceptos, procedimientos, datos y herramientas matemáticas para describir, explicar y predecir fenómenos (OCDE, 2013, p.

31).

METODOLOGIA

Metodológicamente esta investigación, se basa en un enfoque empírico inductivo, puesto que a partir de la experiencia y sus patrones de regularidad se pretende determinar los elementos que componen el OVA por descubrimiento (Padrón, 1998); desde esta mirada se analiza lo cuantitativo con análisis de datos mixto. Por otra parte, el abordaje tipo

exploratorio implica un diseño experimental longitudinal (Hernández et al., 2014).

La población objeto de estudio son los estudiantes del grado octavo del Colegio Técnico Vicente Azuero del municipio de Floridablanca Colombia y la muestra a tomar son dos grupos de la jornada de la mañana. Al caracterizar la muestra sus edades oscilan entre 11

y 16 años con un promedio determinado de 13 años.

CONCLUSIONES

El OVA es un recurso didáctico que le brinda al estudiante de forma individual romper las

barreras de tiempo y distancia, aportando desde el escenario tecnológico espacios para

reforzar el trabajo realizado en el aula. Por otro lado, por su estructura didáctica le va a

generar la expectativa de solucionar la situación problema, valorar su avance en la

inmediatez, de igual forma le permite retomar información de conocimientos matemáticos y



apreciar su aplicación en contextos cotidianos, por lo tanto, no aprecia el algebra como el

manejo de fórmulas abstractas y estructuras complejas, por lo contrario como una fuente

para entender fenómenos propios de la matemática y de otras ciencias.

El uso adecuado de la tecnología no solo permite generar ambientes agradables sino

significativos a la hora de institucionalizar un saber, puesto que al utilizar el software

GeoGebra como socio cognitivo el estudiante de forma individual le permite identificar sus

fortalezas y debilidades, ya que no basta tener la tecnología a su disponibilidad, lo cual

presenta un alto nivel de aprobación y agrado sino potenciar los niveles de razonamiento

matemático y con ello el desarrollo de Pensamiento Matemático.

Se espera tener un OVA como propuesta de innovación educativa que le aporte a la

comunidad científica de la Educación Matemática en cuanto la rigurosidad de la ciencia, a

la población objeto de estudio y a futuras generaciones de estudiantes del municipio y al

grupo de profesores que pertenecen a la Comunidad de Practica (CoP), como una

experiencia de utilización de las Tecnologías del Aprendizaje y el Conocimiento (TAC) y a

estudiantes de primeros semestres universitarios que inician el estudio de Calculo

Diferencial sea un apoyo, ya que el álgebra es la base para poder comprender su estructura.

BIBLIOGRAFIA

Ministerio de Educación Nacional. (2000). Formación de Docentes sobre el uso de Nuevas

Tecnologías en el Aula de Matemáticas. Recuperado

https://www.mineducacion.gov.co/cvn/1665/article-81040.html

Hernández, R.; Fernández, C. y Baptista, M. (2014). Metodología de la investigación.

México, México: McGRAW-HILL / Interamericana Editores, S.A. de C.V, quinta

edición.

Margolinas, C. (1993). La importancia de lo verdadero y lo falso en la clase de matemáticas.

(Primera edición en español; Acosta M.E. y Fiallo J.E., Trabajo original: De

l’importance du vrai et du fauxdans la classe de mathématiques, publicado en 1993),

Bucaramanga, Colombia: Publicaciones UIS.

OCDE (2013), Marco y Pruebas de la evaluación de PISA 2012: Matemática, Lectura y

Ciencias, Éditions OCDE, Madrid. Recuperado

http://archivos.agenciaeducacion.cl/Marcos_pruebas_evaluacion_PISA_2012.pdf

Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales. (2003). Principios y Estándares para

la Educación Matemática. Servilla, España: editorial: Servicio de Publicaciones de

la S.A.E.M. Thales.

Puig, L. (1996). Elementos de Resolución de Problemas. Granada: Comares

https://www.mineducacion.gov.co/cvn/1665/article-81040.html



Santos Trigo, L (2011). La Educación Matemática, Resolución de Problemas y el empleo

de herramientas computacionales. Cuadernos de Investigación y Formación en

Educación Matemática 6(8), 35-54.

Schoenfeld, A. (1985). Mathematical Problem Solving. New York: Academic Press.



CAPÍTULO 6.

Teoría del Pensamiento Matemático Avanzado.

Jesús María Valencia Bustamante.

Universidad Popular del Cesar. Valledupar, Cesar, Colombia.

RESUMEN

En este artículo se presentan ideas relevantes que describen la teoría del pensamiento matemático avanzado (PMA), desde la perspectiva de los académicos David Tall y Tommy Dreyfus, miembros del grupo internacional para la psicología de la educación matemática (PEM) y de otros, no menos importantes, quienes han estructurado un cuerpo teórico que define justamente esta teoría de interés. La teoría del PMA explica fundamentalmente la transición que debe darse, para que un individuo que ha constituido un pensamiento matemático elemental (PME) sobre un objeto matemático, alcance un PMA sobre el mismo objeto, lo cual caracteriza la apropiación formal del mismo. En el desarrollo del artículo se expone en primera instancia, elementos psicológicos relevantes que puntualizan la terminología técnica pertinente para esta teoría, dentro de los cuales se resaltan conceptos sobre matemática tanto elemental como avanzada y así mismo lo que concierne a pensamiento matemático elemental y a pensamiento matemático avanzado, sin descuidar términos consustanciales con este enfoque como son imagen y definición de un concepto matemático. En segundo lugar se considera la naturaleza del PMA, indicando cómo y porqué surge la teoría; además de describir elementos conceptuales que lo caracterizan. Como parte fundamental se describe el proceso para alcanzar un PMA, según la perspectiva de la profesora Ligia Arrieta, desde la cual se explica: distinción entre imagen y definición del concepto, progreso en las imágenes conceptuales para darle sentido a la definición formal del concepto, definición del objeto cognoscible, y como parte terminal se considera la adquisición del concepto. Finalmente, a manera de conclusión se presentan algunas consideraciones relacionadas con la importancia de la teoría dentro de la educación matemática y sobre la perspectiva que están orientando las investigaciones desarrolladas por comunidades académicas interesadas en este enfoque.

Palabras claves: Teorías cognitivas, Pensamiento matemático elemental, Pensamiento matemático avanzado.

INTRODUCCIÓN

Es bien conocido que las dificultades de aprendizaje de las matemáticas escolares, generalmente dirigida a niños y jóvenes de la educación prescolar, primaria y de la básica secundaria; han inducido al origen de una disciplina del conocimiento, hoy día considerada tecno científica (Godino, 2010), a la cual en la región Latinoamérica se le ha dado el nombre de Educación Matemática. Sin embargo los problemas planteados en esos niveles de educación, de igual manera se presentan en la formación matemática que se imparte en los últimos años del bachillerato y en los primeros años de la educación superior. Asunto este, que ha motivado a educadores y matemáticos para plantear alternativas de solución



en términos de propuestas sobre enfoques, teorías y métodos didácticos, que ayuden al logro de aprendizaje significativo y el desarrollo de competencias matemáticas que se requiere en la formación de profesionales.

Coherentemente, con lo anterior se ha dado una tendencia de corte Psicológico que estudia la problemática del aprendizaje de las matemáticas en términos de procesos cognitivos y no solo desde la perspectiva de la adquisición de competencias (Azcarate y otros 1996). Particularmente como pioneros en este campo, se considera al International Group for Psychology of Mathematics Education (IGPME o PME), desde cuyo seno se realizaron estudios para profundizar en las investigaciones cognitivas acerca de los procesos de enseñanza y aprendizaje de temas relacionados con el cálculo infinitesimal (Azcarate, 1999). Este tipo de investigación es lo que ha demarcado un enfoque teórico desde el cual se concibe el aprendizaje de las matemáticas avanzadas, que se conoce con el nombre de Teoría del Pensamiento Matemático Avanzado (PMA). Justamente, el objetivo de este artículo es describir de manera sintética, los fundamentos psicológicos, su naturaleza, explicar su proceso y comentar algunas implicaciones de este importante enfoque teórico, el cual marca una perspectiva de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, que se desarrollan en el nivel de educación superior, sobre todo en los primeros años de universidad. En lo que sigue de este escrito, se presenta una explicación de los elementos que permiten dar cumplimiento al objetivo propuesto.

ELEMENTOS PSICOLÓGICOS PARA EL PENSAMIENTO MATEMÁTICO

Con el fin de dar una explicación que resulte fácil de entender, se plantean conceptos sobre elementos básico para interpretar la teoría del pensamiento matemático avanzado, esto es, se trata de explicar el significado o la connotación que dentro del contexto que nos ocupa,

toman términos como los que a continuación se presentan.

Radford (2006) plantea que por pensamiento se entiende reflexión, lo cual hace referencia a un movimiento dialéctico entre una realidad constituida y un individuo que la refracta y la modifica según las interpretaciones y sentidos propios. En esta misma dirección, entonces un pensamiento matemático se debe interpretar como un conjunto de procesos cognitivos mediante los cuales se construye y manipula las representaciones mentales de objetos matemáticos, las relaciones entre ellos, sus transformaciones y sus diversas traducciones o representaciones materiales. Así por ejemplo, se habla de un pensamiento numérico, geométrico o espacial, métrico, aleatorio y variacional (MEN, 1998), lo cual no riñe con lo planteado por Tall (1991), quien distingue tres tipos de pensamiento matemático, el intuicionista, representado por Leopoldo Kronecker, el formal, defendido por David Hilbert y el lógico, justificado por Bertrand Russel.

Con relación a conceptos como Matemática elemental y matemática avanzada, se plantea que, aunque son términos relativos y de carácter subjetivos, en este contexto se ha llegado a acuerdos, que lo primero se refiere a aquel cuerpo matemático que se estudia en la educación primaria y secundaria (Bachillerato), caracterizado generalmente por un tratamiento intuitivo y concreto. Esos mismos objetos y otros que se abordan en la educación superior, cuando se estudian desde una perspectiva axiomática, formal y aplicada a contextos disciplinares significativos, constituyen lo que se considera Matemática avanzada; así, cuando se estudia, por ejemplo “ sistema de ecuaciones algebraicas lineales", desde una perspectiva elemental, solo se consideraran sistemas



cuadrados, de dimensión pequeña, métodos de solución directos y sencillos, sin considerar una estructura matricial, es lo que comúnmente se hace en los cursos de la educación básica; pero, cuando se le da un tratamiento avanzado este mismo objeto matemático se aborda en su real dimensión cognitiva, esto es, además de caracterizar su estructura, sus posibilidades de dimensiones y los algoritmos que permiten determinar soluciones, es importante revisar teoremas en los cuales se registre la opciones de solubilidad, junto con espacios donde ello se desarrolla, con las demostraciones pertinentes y de rigor. Es bueno apuntar que no es fácil diferenciar entre matemática elemental y matemática avanzada, pero si se explicitan algunas características que marcan una consensuada distinción, lo cual está asociado a la complejidad de los contenidos y la forma de controlarlos, entendiendo que los procesos más robustos son aquellos que permiten este control; en particular la representación y la abstracción que se haga de los objetos susceptibles de ser conocidos (Azcarate y otros, 1999).

Avanzando en la terminología, se tiene un término de alta significación para el asentamiento de la teoría del PMA, ya que sirve de contraste para su fundamentación, el cual es Pensamiento Matemático Elemental (PME); que ha de entenderse como el pensamiento matemático caracterizado por la descripción, argumentación simple y representación superficial de los objetos matemáticos. Se queda en el plano de lo procedimental e intuitivo, según lo planteado por Edwards, Dubinsky y MacDonal (2005). Justamente un objetivo fundamental de la Teoría del PMA, está referido a la caracterización de la etapa transicional entre PME y PMA, lo que ha generado un gran número de investigaciones y la constitución de una comunidad académica que trabaja en pos de plantear desarrollos cognitivos para esa transición. Aquí es bueno enfatizar que tanto el PME como el PMA, se desarrollan dentro de las estructuras mentales del individuo que aprende, respecto a un objeto matemático. No es el objeto matemático quien determina lo elemental o lo avanzado del pensamiento, si no el nivel de desarrollo cognitivo con que se logra la apropiación del objeto.

Entrando ya en los elementos utilizados para la explicación de la teoría del PMA, se plantea en primera instancia la connotación de imagen del concepto, que en el contexto de la teoría se refiere a la descripción de una estructura cognitiva del individuo asociada al concepto, que incluye imágenes mentales asociadas, propiedades y procesos (Arrieta, 2009). Relacionado con este término, se toma de manera importante la definición del concepto, lo cual se refiere al conjunto de palabras usadas para especificar un concepto. La definición del concepto puede ser formal, la que ha sido institucionalizada por la comunidad matemática. A manera de ejemplo considérese la definición formal de la derivada de una función de una variable en un punto, lo que seguramente produce un esquema conceptual como la pendiente de la recta tangente a la curva por el punto considerado. Se debe anotar que, tal como expresa Vinner (1991), la imagen del concepto puede ser la representación visual de un concepto o una colección de impresiones o experiencias. Además cada definición de un concepto genera una imagen del concepto, que puede ser llamada “concepto definición imagen”. (Claros, 2010).



Figura 1: Definición y una posible imagen del concepto de derivada

Otros de los elementos necesarios para entender la teoría de PMA, se refieren al desarrollo cognitivo, transición y reconstrucción mental. Sobre el desarrollo cognitivo, Tall (1991), con el fin de sustentar la teoría, parte de un análisis de las etapas del desarrollo cognitivo definido por el psicólogo suizo Jean Piaget, mediante las cuales explica como se logra el aprendizaje de las matemáticas en los niños, esto es, evolucionan gradualmente de un estado sensomotriz a otro pre operacional, y de este a realizar operaciones concretas, hasta alcanzar la formalización de un concepto. Pues bien, a través de este mismo proceso se ha tratado de explicar el logro de la formalización de la apropiación de objetos matemáticos avanzados; sin embargo se ha determinado mediante estudios en este campo, que la transición sobre todo de lo concreto a lo formal no es tan suave como inicialmente planteó Piaget. Se registran estudios que concluyen respuestas negativas a los planteamientos piagetianos, entre otros los realizados por Hart y por Orton (Tall, 1991), el primero sobre las jerarquías locales en la transición de lo concreto a lo formal, en estudiantes de 11 a 16 años y el segundo sobre conceptos iniciales del cálculo. Según Tall (1991), la transición de un estado concreto a lo formal, se puede explicar mejor, a través de la teoría del caos, toda vez que para pasar de un estado a otro, no existen rutas fijas, sino

que se da en una dinámica compleja de acuerdo a la historia individual del aprendiente.

Conectado con lo inmediatamente anterior, se hace necesario describir transición y reconstrucción mental, lo cual es explicado por Tall (1991) según la teoría Piagetiana. La transición de un nivel de conocimiento a otro se da de manera inestable a partir de ideas previas establecidas cuando se interactúan con nuevos elementos de conocimiento, produciéndose la asimilación de un nuevo objeto para luego acomodarlo en las estructuras mentales y se fije como un conocimiento nuevo. Skemp (citado por Tall, 1991) tomando como base lo anterior presenta una distinción entre el caso en que el proceso de aprendizaje hace que una simple expansión de la estructura cognitiva del individuo y el caso en que exista conflicto cognitivo, que requiere una definición del concepto. Es este proceso de reconstrucción que provoca las dificultades que se producen durante una fase de transición. Según Tall (1991) en estos casos interesa la forma en la que el individuo refleja los nuevos conocimientos y como a través del proceso de acomodación, modifica sus estructuras cognitivas existentes para poder hacer sentido de ella. Cuando las nuevas ideas no se acomodan satisfactoriamente, se presenta un obstáculo epistemológico. Un obstáculo es parte del conocimiento del estudiante, que pudo explicar ciertas situaciones problémicas y por ello quedó fijo en el sujeto; pero en un estadio superior ese conocimiento es insuficiente para explicar nuevos problemas. (Cornu, 1983).

En la teoría del PMA, juega un papel importante la claridad entre intuición y rigor. En términos de Tall (1991), la intuición debe verse como las imágenes del concepto, es un



pensamiento visual que se desarrolla en el lóbulo derecho del cerebro; mientras que el rigor se entiende como un pensamiento lógico que se desarrolla en lóbulo izquierdo del cerebro. La intuición es un acto de importancia para el desarrollo de aprendizaje, visto como una etapa inicial en la estructuración del mismo. Además el perfeccionamiento de la intuición desde la lógica para construir el rigor debe considerarse uno de los objetivos de una

educación matemática avanzada.

En los diseños curriculares de un área de conocimiento como es el de matemática ha de considerarse de manera relevante la evolución del proceso de aprendizaje. Está teoría del PMA tiene en cuenta tal evolución; lo cual lo deja entrever David Tall así:

“Durante la difícil transición de la matemática pre-formal a una más formal, para la comprensión de los procesos matemáticos hay una verdadera necesidad de ayuda para que los estudiantes adquieren conocimientos sobre los conceptos. La lógica de un matemático puede fallar aquíen el diseño de un programa de enseñanza. Un matemático a menudo toma idea matemática compleja y "simplifica" dividiéndolo en partes más pequeñas, para enseñar a cada componente en una secuencia lógica. Desde el punto de vista del experto, los componentes pueden ser vistas como partes de un todo. Pero el estudiante puede ver las piezas a medida que se presentan, en forma aislada, como piezas independientes de un rompecabezas para los que no se dispone de la imagen total” (Tall, 1991, pp. 17; original en Inglés).

Resolver problemas es un asunto de mucho interés en esta teoría. Al respecto David Tall expresa que basado en propuestas respetables hechas por el matemático húngaro George Polya, los británicos Jhon Mason, Alan Schoenfeld y otros, han hecho de la resolución de problemas una actividad realmente práctica, constituyendo líneas de investigación dentro de la Educación Matemática, con soportes en esta teoría del pensamiento matemático avanzado. Se debe entender que un problema es una situación suficientemente organizada que genere en el estudiante un desequilibrio cognitivo, para que produzca como reacción un aprendizaje significativo.

Dos elementos significativos para un pensamiento matemático avanzado, están referidos

al proceso de análisis y de síntesis, al respecto David Tall plantea:

En la enseñanza de los niños menores se enfatiza la síntesis de los conocimientos, a partir de conceptos simples, de la experiencia y de ejemplos de conceptos más generales. Ahora el énfasis en este nivel está cambiando para incluir más solución de problemas, aspecto en el cual las investigaciones están abiertas. La enseñanza en la universidad a menudo hace hincapié en la otra cara de la moneda: análisis del conocimiento, comenzando con abstracciones generales y cadenas formadoras de deducción de los mismos, que pueden ser

aplicada en una amplia variedad de conceptos específicos. (Tall, 1991, pp.15).

Como último elemento en esta visión psicológica para estructurar y desarrollar la teoría del pensamiento matemático avanzado, y sin marcar grado de importancia entre ellos; se revisa lo que concierne a la prueba o demostración, aspecto que establece el rigor con que se estudia un objeto de la matemática avanzada. Según Dreyfus (1990), las demostraciones



involucran una serie de dificultades en la etapa de transición entre unas matemáticas elementales y unas matemáticas avanzadas, como son la ausencia de la necesidad de demostrar por parte de los alumnos, las dificultades para que generen sus propias demostraciones, los errores en la comprensión de la naturaleza de la demostración, la reticencia a aceptar que la existencia de un contraejemplo invalida irrevocablemente una afirmación matemática, etcétera. La demostración se considera el acto por cual se establece el rigor y la aceptación de un objeto de conocimiento. Es un evento a través del cual se evidencia la madurez, la formalización y la cientificidad con que se trata al objeto.

NATURALEZA DEL PENSAMIENTO MATEMATICO AVANZADO

En esta parte se trata de explicar cómo y porqué surge la teoría y se presentan los elementos que caracterizan la naturaleza de la misma, siempre tomando de referencia el

enfoque planteado por David Tall y Tommy Dreyfus, precursores de la teoría.

Todo comienza con la preocupación de Grupo internacional para la psicología de la educación matemática (PME), por allá a mediados de los años 80 del siglo pasado, sobre la necesidad de aclarar la diferencia entre lo que hoy se llama pensamiento matemático elemental y pensamiento matemático avanzado; suscitado esto, por el nivel de la matemática que se desarrolla en las escuelas y colegios y entendiendo que quienes allí se forman son jóvenes de edad temprana, aproximadamente hasta los 16 años, que no han mostrado un desarrollo matemático formal; en contraste con el desarrollo matemático que debía evidenciarse, en estudiantes de últimos años de Colegio y primeros de universidad, los cuales generalmente superan los 16 años de edad. Así que como plantea Tall (1988), se trata producir una visión coherente del desarrollo cognitivo del pensamiento matemático desde sus primeros inicios, en la niñez y pubertad, a la idea más abstracta del investigador matemático. En este proceso evolutivo juega un papel importante la capacidad de abstracción y generalización. Sobre la abstracción, como plantea Dreyfus (1991) se concibe como un proceso de construcción de objetos mentales a partir de objetos matemáticos. Para Tall (1988), la abstracción se entiende como una operación mental que aísla los atributos particulares de un concepto para visualizarlo por separado de esos atributos. Por otro lado sobre la generalización, Dreyfus (1991) hace referencia a la derivación o inducción de conceptos particulares para identificar generalidades y expandir los dominios de validez. La abstracción y la generalización aunque puedan convivir juntas, no son sinónimas, por ejemplo el algoritmo de Newton Raphson para resolver un sistema de ecuaciones algebraicas no lineales, puede verse como una generalización del mismo método para una ecuación algebraica en una variable, sin embargo, no es un proceso de abstracción. Tall (1991), diferencia tres tipos de generalización: Expansiva, en la cual se extiende la estructura cognitiva, sin modificar las iniciales; Reconstructiva, caracterizada por la reconstrucción del objeto inicial; y disyuntiva, que hace referencia a que se opera en un rango amplio de ejemplos.

Una operación metacognitiva que es connatural al PMA, es la comprensión, que según Dreyfus (1991), siempre se ha considerado un objetivo importante por el profesor de matemáticas. La comprensión, es un proceso que ocurre en la mente del estudiante.

Generalmente se basa en una larga sucesión de actividades de aprendizaje durante el cual un gran número de procesos mentales ocurren e interactúan. Por ello lo que significa llegar a comprender una noción o concepto matemático es extremadamente difícil de analizar.



Investigadores en educación matemática se han hecho conscientes de la importancia de las componentes del proceso para comprender la matemática avanzada y sus interacciones. Para un profesor de matemáticas avanzadas, por ejemplo análisis matemático, algebra moderna, ecuaciones diferenciales, etcétera, comprometido con el aprendizaje de los estudiantes y sensible a los obstáculos epistemológicos que se les presentan a los mismos, siente preocupación por tener claro como funciona la mente de los estudiantes para interiorizar los conceptos pertinentes.

Otras de las características de la naturaleza del PMA, están referidas a la argumentación, explicación, la prueba, y la demostración en los procesos que se desarrollan. En este contexto ha de entenderse argumentación como planteamiento de razones para convencer sobre una proposición enunciada; explicación, se toma como una argumentación donde se explicita el carácter verdadero de la afirmación, sin subjetividad. Así mismo el concepto de Prueba se lee, como explicaciones en que la explicitación del carácter verdadero de la afirmación se realiza sobre la base de normas aceptadas por una comunidad dada en un momento dado; y la demostración se refiere a una prueba que se desarrolla con base en una sucesión de enunciados cada uno de los cuales es una definición, un axioma, un teorema previo o un elemento derivado mediante reglas prestablecidas que le preceden. Aquí se debe resaltar la importancia de la definición del concepto, la intuición y el rigor con que se desarrollan los procesos argumentativos; y la deducción de las propiedades de los conceptos matemáticos en un contexto dado y la implicación, de que si ciertas propiedades se sostienen, entonces otros de igual manera ocurrirán Tall (1988).

Por último en esta sección se presenta conceptos para globalizar lo que significa Pensamiento Matemático Avanzado. Así entonces, según Tall (1992), el PMA se reconocerá al menos por que las definiciones matemáticas serán precisas y las deducciones de teoremas estarán rigurosamente basadas en ellas. Edwards, Dubinsky y McDonald (2005, pp. 17-18), proponen que PMA se refiere a “Pensamiento que requiere deductivo y riguroso razonamiento acerca de nociones matemáticas que no son enteramente accesibles a través de los cinco sentidos”. Por otro lado Harel y Sowder (2005, pp. 34-35), expresan que “Un pensamiento matemático es avanzado si envuelve al menos una de las tres condiciones para que un obstáculo sea epistemológico. El nivel de adquisición por parte de un individuo está determinado por la amplitud con la cual se ha superado estos obstáculos”. Las tres condiciones a que se hace referencia son: hay trazas de él en la historia de las matemáticas, no es ausencia de conocimiento o una mala concepción sino que, son piezas que producen respuestas satisfactorias en un contexto, pero no, en otro fuera de él, y ocasiona contradicciones y establece una mejor pieza de conocimiento.

PROCESO DEL PENSAMIENTO MATEMATICO AVANZADO

David Tall, en el congreso internacional de matemáticas de agosto del 1994 en Zurich, Suiza, presentó unos principios, sobre los cuales se caracteriza PMA. Estos son:

Principio Cognitivo I: Para la supervivencia en un sentido darwiniano, el individuo debe maximizar el uso de su estructura cognitiva, centrándose en los conceptos y métodos de trabajo, descartando las etapas intermedias que carecen de valor. Es probable que se olvide gran parte del aprendizaje al pasar de los años. El matemático es probable que trate de enseñar según los métodos



con los que trabaja regularmente, más no con los métodos que funcionan para el estudiante. Principio cognitivo II. El cerebro tiene un pequeño foco de atención y un enorme espacio para almacenamiento y por lo tanto el desarrollo cognitivo tiene que desarrollar: (a) un mecanismo para la compresión de las ideas para encajar en el foco de atención. (b) un mecanismo para relacionarlo con la información almacenada relevante y llevarlo al foco de atención en una secuencia apropiada. Principio Cognitivo III: Un poderoso agente en el aprendizaje con comprensión es ir a través de construcciones matemáticas de uno mismo y reflejarlo sobre otros conocimientos - pensar sobre el pensamiento.

(Tall, 1994, pp. 2-3).

Adicional a lo inmediatamente anterior, se presenta etapas cognitivas funcionales, con las que se espera desarrollar pensamiento matemático avanzado, basado en lo expuesto por la profesora Ligia I. Arrieta, en su artículo “Perspectiva cognitivista. Fundamento para la investigación en Educación Matemática”. Esto es: Distinción entre imagen del concepto y definición del concepto, sobre este particular, se ha presentado una conceptualización en el aparte sobre elementos psicológicos para el PMA, sin embargo se desea anotar como complemento, que cuando se aborda el estudio de un objeto matemático se ha de desarrollar tanto la imagen del concepto como lograr la definición del mismo, esto será lo que en términos de Arrieta (2009) conduce a la construcción de una estructura mental individual consistente en ejemplos asociados, contraejemplos, hechos y relaciones, lo comienza a dar estructura al PMA.

Con relación al progreso en las imágenes conceptuales para darle sentido a la definición formal del concepto, la profesora Arrieta plantea:

La tendencia de muchos estudiantes a evocar la imagen de un concepto en lugar de la definición de tal concepto, cuando se enfrentan a una variedad de tareas matemáticas, no es necesariamente malo, señalan Harel, Selden y Selden (2006). Ciertamente en muchas situaciones es deseable tener y evocar imágenes conceptuales. No obstante, sobre todo con estudiantes de últimos años de bachillerato, muchos conceptos matemáticos son presentados por su definición formal. Pero las imágenes de los conceptos les ayudan a adquirir la habilidad de visualizar los conceptos matemáticos. La visualización facilita la comprensión matemática, a pesar de que algunos profesores transmiten a sus estudiantes, implícita o explícitamente, que el procesamiento visual es inferior al

procesamiento analítico. (Arrieta, 2009; pp. 34).

La definición del objeto cognoscible, en esta teoría, junto con procesos avanzados como la visualización, generalización, abstracción, síntesis, pensamiento algorítmico y axiomático y la prueba, se constituye en el preámbulo para la internalización del concepto y el logro de

aprendizaje significativo y como proyección, abordar situaciones problémicas.

Finalmente sobre la etapa objetivo del proceso, adquisición del concepto, se registra:

Además de la comprensión de las definiciones matemáticas formales, existen otras formas de llegar a comprender un concepto, a saber, a través de la comparación de sus definiciones equivalentes, a través de sus múltiples



representaciones y haciendo conexiones con otros conceptos. Además, un individuo puede tener una visión operacional (de procesos) de un concepto dado, o una visión estructural (de objeto) de ese concepto. La distinción proceso-objeto y operacional-estructural, señalan Harel, Seldeny Selden (2006), ha sido ampliamente estudiada e investigada, especialmente respecto al concepto de función. Ambas perspectivas se complementan para poder trabajar un concepto. Un estudiante flexible utiliza cualquiera de las dos que sea necesaria en una situación matemática dada. (Arrieta, 2009; pp. 35).

Sobre este particular existe una visión cognitiva más no matemática, que se resume según Azcarate (2003), cuando plantea que existen dos secuencias de desarrollo, que empiezan una por la percepción de objetos y la otra con la acción sobre ellos. Se explica que la actividad matemática empieza por la percepción de objetos en forma visual, seguida de su descripción verbal, su clasificación y el inicio de deducciones verbales. El estudio de un buen número de casos en que un proceso y su producto se representa mediante el mismo símbolo, lleva a un tipo de desarrollo cognitivo llamado procepto, que en términos de Tall (1994) se refiere a: un objeto mental combinado que consiste en un proceso, un concepto producido por dicho proceso, y un símbolo que se puede usar para significar cualquiera de

los dos. Por ejemplo ∫𝒇(𝒕)𝒅𝒕𝒃𝒂 se ve como proceso de integración y como concepto el valor de la integral, es decir se considera un procepto.

COMENTARIOS FINALES

A manera de conclusión, se presentan algunas consideraciones relacionadas con la importancia de la teoría dentro de la educación matemática y sobre la perspectiva que está orientando las investigaciones en las comunidades académicas interesadas en este enfoque.

Las transformaciones recientes ocurridas en el campo de la Educación Matemática tienen que ver sobre todo con la evolución de sus enfoques teóricos (Arrieta, 2009). Justamente uno de trascendental importancia lo constituye la teoría del PMA, que de acuerdo con De Guzmán (1994), proporciona solidos fundamentos y una estructura bien definida que ha abierto campos de investigación científica, con profundas implicaciones en el campo de la Didáctica o Educación Matemática, toda vez, que aporta modos de desarrollar transiciones suaves para alcanzar el dominio de los objetos matemáticos avanzados, a partir del pensamiento matemático elemental que hayan constituido los estudiantes. Esta teoría se constituye en referente estándar y una fuente de información y de inspiración para los educadores matemáticos que enseñan matemáticas avanzadas.

Font (2002) indica que durante los años 80 y 90 se han desarrollado muchas investigaciones que han intentado estudiar la estructura de la imagen conceptual de los alumnos (o de los profesores) para diferentes conceptos. Una comunidad que ha trabajado en esta dirección ha sido el proyecto “Procesos de pensamiento matemático avanzado” desarrollado por el Departamento de Didáctica de las Matemáticas de la Universidad Autónoma de Barcelona (UAB). Las investigaciones del grupo de la UAB (Azcárate, 1990, 1992, 1995, 1997; Delgado, 1998; Moreno y Azcárate, 1997; Moreno, 2001; Romero, 1997) han desarrollado y enriquecido tanto la manera de entender la imagen conceptual como la definición del concepto. Existen muchos otros aportes, sin incluir los de sus precursores dentro del PEM, al desarrollo de esta teoría a través de trabajos que se sustentan en la



misma, generalmente dentro del área del Análisis matemático, tales casos como: Claros,

F. (2010). Garbín, S. (2005). Gómez, J. T. (2009), Azcárate, C. y Camacho, M. (2003).

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Arrieta, L (2009). Perspectiva cognitivista. Fundamento para la investigación en Educación Matemática. Kaleidoscopio. Volumen 07, Número 13. pp. 30-39.

Azcárate, C. Camacho, M. y Sierra, M (1999). Perspectiva en investigación en didáctica de las matemáticas. Investigación en didáctica del análisis. III SEIEM. pp. 283-293.

Azcárate, C. y Camacho, M. (2003). “Sobre la investigación en Didáctica del Análisis Matemático”. Boletín de la Asociación Matemática Venezolana. Vol. X, Nº 2.135-149.

Cornu B. (1983). Apprentissage de la notion de limite: conceptions et obstacles, Thèse de

3me Cycle, Grenoble.

Claros, F. (2010). Límite finito de una sucesión: Fenómenos que organiza. Tesis Doctoral. Universidad de Granada. España.

De Guzmán, M. (1994). Reseña sobre PMA. Uno. [Versión electrónica]. Revista Uno. 2.

Dreyfus, T. (1990): Advanced mathematical thinking. En Nesher, p. y Kilpatrick, j. (Ed), Mathematics and cognition. Cambridge: Cambridge University Press, pp. 113-133.

Dreyfus, T. (1991). Advanced mathematical thinking processes. En Tall, D. (Ed), Advanced Mathematical thinking. Dordrecht: Kluwer Academic Publisher, 25-41.

Edwards, B. Dubinsky, E. and MacDonal, M. (2005). Advanced Mathematical Thinking. Mathematical Thinking and Learning. 7:1, 15-25.

Garbín, S. (2005). “¿Cómo piensan los alumnos entre 16 y 20 años el infinito? La influencia de los modelos, representaciones y los lenguajes matemáticos”. RELIME. Vol. 8,

núm. 002. pp. 169-193. México.

Godino, J, D. (2010). Perspectiva de la Didáctica de las matemáticas como disciplina científica. Departamento de Didáctica de la matemática. Universidad de Granada.

Gómez, J. T. (2009). La resolución de problemas en el pensamiento matemático avanzado: El caso de la elaboración de significados de la definición de espacio topológico. Memorias de del 10° encuentro colombiano de educación matemática.

Font, V. (2002). Una organización de los programas de investigación en didáctica de las matemáticas. Revista EMA. Volumen 7. Número 7. PP. 127-170.

Harel, G., Selden, A. y Selden, J. (2006). “Advanced Mathematical Thinking. Some PME perspectiva”. En A. Gutiérrez y P. Boero (eds.) Handbook of Research on the Psychology of Mathematics Education. Past, Present and Future. 147-172. UK: Sense Publisher.

Harel, G. and Sowder, L. (2005). Advanced Mathematical Thinking at any ages: its nature and its development. Mathematical Thinking and Learning. 7:1, 27-50.

Ministerio de Educación Nacional (1998). Estándares básicos de competencias en matemáticas. Enlace editores ltda. Bogotá.



Radford L. (2006). Elementos de una teoría general de la objetivación. RELIME (3) 2. 103-

129.

Tall, D. (1988). The nature of Advanced Mathematical Thinking. Presented to the Working Group for Advanced Mathematical Thinking at the Psychology of Mathematics Education Conference, Veszprem, Hungary.

Tall, D. (1991). The Psychology of Advanced Mathematical Thinking. En Tall. D. (ed.) Avanced mathematical thinking. Dordrech: Kluwer, 3-21.

Tall, D. (1992). Student´s Difficulties in Calculus. Plenary presentation in working group 3 (pp.1-8).Quebec:ICME.

Tall, D. (1994). Understanding the Processes of Advanced Mathematical Thinking. International Congress of Mathematicians. Recuperado de http://homepages.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot1996i-amt-pub-am.pdf

Vinner, S. (1991). The role of Definition in the Teaching and Learning of Mathematics. En

Tall, D (ed.), Advanced Mathematical Thinking. Dordrecht: Kluwer 65-81.



CAPÍTULO 7.

Operaciones Matemáticas Básicas de comerciantes del centro de Barranquilla y

problematización de resultados en Escuelas Para Adultos (EPA).

Nicanor Manuel Jaraba Salcedo, Armando Aroca Araújo

Universidad del Atlántico

INTRODUCCIÓN:

El presente trabajo de investigación tiene como objetivo analizar las diferentes formas que

poseen los comerciantes de Barranquilla para realizar cálculos mentales de las operaciones

aritméticas, las cuales son utilizadas en los que haceres del día a día de estas

comunidades. La metodología que se implementará será de carácter cualitativa, de tipo

etnográfica en una primera fase y en la segunda fase se crearán medios o situaciones

didácticas en las escuelas para adultos (EPA), donde se problematizarán los resultados de

la fase etnográfica. El marco teórico toma como referente a Diez-Palomar (2009), Aroca-

Araujo (2019) (inédito) y Mariño (1983), en lo relacionado a Educación Matemática para

adultos mayores con poca o cero escolaridades, más los presupuestos teóricos sobre la

actividad del diseño planteada por Bishop con relación a la Etnomatemática. El problema

consiste en que se ha identificado dificultades en la enseñanza-aprendizaje de las

matemáticas en escuelas para adultos, debido a que, en estas, se pretende transferir los

mismos métodos didácticos de la educación primaria y secundaria.


En la educación colombiana de escuelas para adultos, se ha identificado dificultades en la

enseñanza-aprendizaje de las matemáticas, debido a que se pretende transferir los mismos

métodos didácticos de la educación primaria y secundaria. El primer principio de la

educación de personas adultas es que las personas adultas deben tratarse como tales, en

cualquier actividad educativa (O’Donoghue (2000) en Diez-Palomar (2009). A partir de

estudios previos en el ámbito de la educación de personas adultas (EPA) y matemáticas se

han dado cuenta de que los adultos desean un tipo de educación centrado antes en sus

propias demandas que en los intereses o las creencias de los profesores y de las

profesoras. De acuerdo a lo que afirman diversos autores (Rogers, 1969; Knowles, 1984;

Freire, 1970, 1998; Flecha, 2000), las personas adultas se diferencian de los niños en

términos de enseñanza y aprendizaje. Los docentes que trabajan en el ámbito de la EPA

tienen que hacer frente a situaciones en las que sus estudiantes, las personas participantes,

llegan a las aulas con un cúmulo de experiencias y conocimientos previos basados en su

vida cotidiana (Plaza, González, Montero y Rubio, 2004). Por todo lo anterior la formulación

del problema que emerge es la siguiente: ¿Cómo podríamos problematizar en las escuelas

para adultos los resultados a partir del análisis de las diferentes formas que adoptan los



comerciantes de Barranquilla para realizar cálculos de operaciones aritméticas, teniendo

en cuentas el cumulo de experiencias y conocimientos con las que cuentan estas personas?

OBJETIVOS:

Problematizar en las escuelas para adultos, los resultados de investigación, a partir del

análisis realizado de la forma de operar los comerciantes de la ciudad de Barranquilla.

REFERENTE TEÓRICO:

Finalmente, Bishop (1999), afirma que “se debe reconocer que la educación es

esencialmente un proceso social y que, en consecuencia, una educación matemática

también debe contener en su núcleo la suposición de que es un proceso social”.

METODOLOGÍA:

La presente investigación será de tipo cualitativa y de carácter interpretativo, con un diseño

metodológico etnográfico, la población escogida serán los comerciantes de la ciudad de

Barranquilla. En una primera fase se realizarán entrevistas a estas personas, para

recolección de datos específicos, y en una segunda fase se pretende problematizar los

resultados obtenidos.

según Diez-Palomar (2009), plantea que los adultos aprendemos de manera diferente a como lo hacen los niños. El contexto, el papel que juega la experiencia acumulada durante la vida, y la capacidad que todas las personas tenemos para aplicar las matemáticas en nuestras vidas son elementos que deben ser considerados al enseñar matemáticas en las escuelas de adultos (EPA).

Por su parte German Mariño (1983), Decisio (2003), afirma que las ideas previas de los estudiantes, que han ganado a través de la experiencia de la vida deben ser tenidas en

cuenta para posteriormente ser modificadas y potenciadas en el aula de clases.

Por otra parte, según Palacios Palmera, Aroca-Araujo y Ramírez Paternostro, en su artículo concluyen que la etnomatemática ayuda considerablemente al aprendizaje sea en escuelas primarias -secundarias o escuelas para adultos. También afirman que “hay grupos particulares que siguen trabajando una matemática adoptada y compartida entre ellos que no necesariamente es ajena a los procesos teóricamente demostrados en la matemática escolar o disciplinar. Estas matemáticas trabajadas por estos grupos sociales desde la educación matemática son estudiadas y analizadas en el Programa Etnomatemática”



BIBLIOGRAFIA:

Diez. J. (2009). La Enseñanza de las Matemáticas a Personas Adultas desde un Enfoque

didáctico Basado en el Aprendizaje Dialógico. Enseñanza de las Ciencias, 2009,

27(3)

Bishop. A. (1999). Enculturación Matemática, la educación matemática desde una

perspectiva

Cultural. España: Paidos.

Palacios R.; Aroca A. y Ramírez F. Cálculo mental aritmético en ambiente escolar basado

en

algoritmos etnomatemáticos.

Mariño, G. (1983). La educación matemática de jóvenes y adultos. Decisio. Recuperado de

http://www.crefal.edu.mx/decisio/images/pdf/decisio_4/decisio4_saber6.pdf



CAPÍTULO 8

Sistemas de medidas no convencionales en la elaboración del bollo de yuca en corregimientos del Atlántico y problematización de resultados en aula de clases de

matemática.

Luis Ángel Cantillo Fuentes, Néstor José Pupo Paba, Armando Aroca Araujo


INTRODUCCIÓN:

El siguiente trabajo de investigación tiene como objetivos conocer, analizar y comparar los sistemas de medidas no convencionales que se utilizan en cado uno de los procesos que se realizan en la elaboración del bollo de yuca en tres corregimientos del departamento del Atlántico, Carreto, Aguadas de Pablo y Sibarco. Por ahora se tienen datos de Sibarco y Carreto. Presentaremos los resultados de Carreto. Aquí se tomó como muestra a una comerciante residente del mismo corregimiento quién tiene más de 30 años de experiencia en el oficio de elaboración de bollos de yuca. La metodología empleada es cualitativa, de tipo etnográfica. Esta investigación tiene una primera fase etnográfica y una segunda fase donde se crearán situaciones o medios didácticos para problematizar dentro del aula de clases. Nuestra propuesta didáctica en este trabajo de investigación se basa en la enseñanza paralela y comparativa (Aroca, 2018) Para el marco teórico nos basamos en lo planteado por los teóricos D’Ambrosio, Gerdes y Bishop sobre la Etnomatemática, sus aportes a lo largo de la historia a la educación matemática y las actividades universales para el desarrollo de ideas matemáticas respectivamente.


Medir es una actividad muy importante en la vida de las personas, es una actividad que pueden realizar en formas diferentes y eso depende de su contexto, entorno o distinciones culturales, los sistemas de medidas que se presentan inmersos en una sociedad tienden a ser coloquiales y característicos de la misma.

Gerdes, (2013) afirma: “Medir es una actividad que se manifiesta de manera diferente teniendo en cuenta el contexto donde se encuentren las personas, debido a que cada

pueblo desarrolla su propia matemática y su sistema de medida”.

No obstante, estas formas de medir no son exploradas por los docentes de matemáticas en el aula de clases, son indiferentes al conocimiento que pueden generar a partir del uso de estas medidas coloquiales del contexto, tal vez por el desconocimiento de ellas o por el

acatamiento de directrices curriculares nacionales.

Por todo lo anterior la formulación del problema es: ¿Cuáles son las medidas que se emplea en la elaboración artesanal del bollo de yuca en el corregimiento de Carreto de Candelaria, Atlántico, Colombia y cómo se pueden problematizar estos resultados en aula de clases?



OBJETIVOS:

Conocer las medidas que se emplean en la elaboración artesanal del bollo de yuca en algunos corregimientos del departamento del Atlántico, Colombia, y cómo se pueden

problematizar estos resultados en aula de clases.

REFERENTE TEÓRICO:

Por razones de extensión presentamos a continuación algunos referentes teóricos para esta ponencia. Nuestro marco teórico está inscrito en el Programa Etnomatemática. Fuentes (2013) dice:

El uso de la Etnomatemática aporta en el proceso de comprensión de las dificultades del aprendizaje de las matemáticas, además ésta busca que los estudiantes de la comunidad valoricen la matemática inherente en las actividades de la vida diaria, contextualizadas en su cultura y a partir de esta matemática establecer puntos de relación efectivas para la matemática más abstracta. (p.46)

Por su parte (Blanco-Álvarez, H., Higuita Ramírez, C., & Oliveras, M. L. 2014) plantean que:

Es posible realizar investigaciones al interior de comunidades afrodescendientes, niños de la calle, comunidades indígenas, matemáticos, carpinteros, albañiles, campesinos, modistas o cualquier otro grupo cultural. El grupo cuyas prácticas serán estudiadas, estará definido por los intereses de las comunidades con quienes se realiza la investigación. (p.249-250)

Por esta razón en esta investigación queremos conocer en cada uno de los procesos de elaboración del bollo de yuca la importancia de los sistemas de medidas involucrados. Sobre la actividad de medir Bishop (1991), plantea lo siguiente: “Medir es la tercera actividad universal e importante para el desarrollo de ideas matemáticas y se ocupa de comparar, ordenar y cuantificar cualidades que tienen valor e importancia”.

METODOLOGÍA:

Ésta se llevará a cabo en dos fases:

Fase 1: Se hizo de tipo cualitativa desde una perspectiva etnográfica basada en la observación participante (Ameigeiras, 2006; Goetz y LeCompte, 1988). Nos trasladamos al Corregimiento de Carreto de Candelaria, Atlántico, Colombia. Realizamos entrevistas semiestructuradas a una comerciante de bollos de yuca con el fin de conocer las matemáticas inmersas en todo el proceso. Se hará lo mismo en el transcurso del 2019-2 en los corregimientos de Aguadas de Pablo y Sibarco.

Fase 2: Con los resultados de la Fase 1 se pretenden realizar medios o situaciones didácticas para problematizar en el aula de clases de matemáticas con estudiantes de Sexto



grado en dos instituciones educativas, una en el corregimiento de Sibarco y otra en el

corregimiento de Carreto.

RESULTADOS:

Los procesos de medición que se encontraron durante la elaboración de los bollos de yuca en el corregimiento de Carreto, por medio de la observación participante del trabajo diario de la señora Luz, se describen a continuación. Se tuvo en cuenta durante el desarrollo de la actividad la transcripción del registro audiovisual, las notas de grabación en WhatsApp y los datos del diario de campo. Los datos encontrados que están articulados en un mismo sistema de medidas son:

1 𝑏𝑢𝑙𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑦𝑢𝑐𝑎 = 1 𝑠𝑎𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑦𝑢𝑐𝑎.

1 bulto de yuca = 29.000 pesos.

1 𝑏𝑢𝑙𝑡𝑜 𝑜 𝑠𝑎𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑦𝑢𝑐𝑎 = 50 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠

1 ponchera de yuca = 3 1

2 tobos de yuca (tanque)

De 11

2 de yuca = 2

1

2 tobos de concha

2 tobos de concha = 1 litro de leche

1 puñao pequeño de masa = 1 libra de masa

3 canutos ( pila de tusas para envolver bollos) = 2000 pesos

2 Canuto(pila de tusas para envolver bollos) = se envuelven 35 bollos

6 canutos (pila de tusas para envolver bollos) = se envuelven 105 bollos

2 tusas (hojas de maíz envuelven 1 bollo)

70 tusas = envuelven 35 bollos

35 tusas = 1 canuto

1 atadero (pita de amarrar bollo) = 1 1

2 metro

1 bollo se amarra con 1 1

2 metros de atadero



105 bollos de amarran con 157.5 metros de atadero

1 saco de pita = 2500 pesos (se compra 1 cada 15 días)

1 saco de pita = un siento y pico de atadero (alcanzo para los 105 bollos)

8 baldes pequeños de agua para cocinar 105 bollos

Por cada 8 baldes de agua para cocinar los 105 bollos se necesitan 1 1

2 baldes de agua

agria

1 entercie = a los palos de leña que se pueden amarrar con 1 metro de pita

1 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑒ñ𝑎 = 2 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑖𝑒,

1 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑒ñ𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑜𝑙𝑙𝑜𝑠 = 25 𝑝𝑎𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑒ñ𝑎

1 carga de leña para bollos = 50 palos de leña

1 𝑏𝑜𝑙𝑙𝑜 = $1.000, 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑒𝑠𝑡á𝑛𝑑𝑎𝑟 𝑦 1 𝑏𝑜𝑙𝑙𝑜 = $800, 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑎.

1 𝑏𝑜𝑙𝑙𝑜 = 1 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎

115 libras salen de 1 1

2 bulto de yuca

CONCLUSIONES:

Esta investigación se encuentra en curso y de acuerdo con los datos encontrados en el corregimiento de Carreto se encontró un sistema de medidas no convencionales e integrado a varios oficios como son la venta de la yuca o rabiza, la elaboración del bollo de yuca, la compra de la leña para la cocción de los bollos y su comercialización en tiendas. Estos datos serán la base para la elaboración de medios o situaciones didácticos que se emplearán en el aula de clases del grado sexto en una institución del mismo corregimiento y de Sibarco.



BIBLIOGRAFIA:

Ameigeiras, A. R. (2006). El abordaje etnográfico en la investigación social. En I. Vasilachis de Gialdino. (Ed.), Estrategias cualitativas de investigación (pp. 107-151). Buenos Aires: Gedisa

Aroca, A (2018). Aprendizaje paralelo y comparativo: la postura didáctica del programa Etnomatemática. Revista Latinoamericana de Etnomatemática, 11(2), 4-7.

Bishop. A., (1991). Enculturación Matemática, la educación matemática desde una perspectiva cultural. Paidos.

Blanco-Álvarez, H., Higuita Ramírez, C., & Oliveras, M. L. (2014). Una mirada a la Etnomatemática y la Educación Matemática en Colombia: caminos recorridos. Revista Latinoamericana de Etnomatemática, 7(2), 245-269.

Fuentes Leal, C. C. (2013). Etnomatemática y escuela: algunos lineamientos para su

integración. Revista cientifica, educacion ciencia y tecnologia, 46 -50

Gerdes, P. (1989). The use of the etnomathematics in the classroom, procededings of politics of mathematics education conference, NEE Mathematics Commission. Westen Cape: University of Westen Cape, 26-36.

Gerdes, P. (2013). Geometría y Cestería de los Bora en la Amazonía Peruana. Lima: Ministerio de Educación.



CAPÍTULO 9.

El diseño en las máscaras de Galapa, una opción para el aprendizaje de simetría en

grado 7°

Noretshy Muñoz Granados, Ever Pacheco Muñoz, Oscar Paternina Borja, Armando Aroca Araujo


INTRODUCCIÓN:

La presente investigación tiene como objetivo identificar y analizar las simetrías que se

expresan en el diseño de la máscara del torito fabricada por los artesanos del municipio de

Galapa, Atlántico. La metodología que se ha implementado es cualitativa, de tipo

etnográfica en una primera fase y en la segunda fase se crearán medios o situaciones

didácticas en el aula de clases donde se problematizarán los resultados de la fase

etnográfica. El marco teórico toma como referente a D’Ambrosio y Gerdes en lo relacionado

a la Etnomatemática y Educación Matemática o aspectos metodológicos sobre la

Etnomatemática, más los presupuestos teóricos sobre la actividad del diseño planteada

por Bishop. El problema consiste en las dificultades que tienen los estudiantes de Séptimo

grado en la comprensión e identificación de simetrías en varias figuras. Se aspira que con

los medios o situaciones didácticas diseñadas se pueda abordar el problema de

investigación.


En la educación básica colombiana se ha identificado una crisis en la enseñanza tradicional

que se refleja en los resultados de las pruebas que se hacen internamente en la

instituciones educativas y las externas como las pruebas TIMSS, Saber, ICFES que

muestran el bajo desempeño de los estudiantes para resolver las preguntas

relacionadas con el pensamiento espacial y sistemas geométricos, Álvarez, Torres &

Guacaneme (1997). En este sentido, con base a los resultados obtenidos en las pruebas

externas e internas por cada una de estas entidades se puede identificar que las dificultades

presentes en el pensamiento geométrico se deben a que los estudiantes no comprenden

correctamente conceptos y características, por ejemplo, el caso de la comprensión de las

simetrías en el plano. Ahora bien, las dificultades que presentan los estudiantes en el

pensamiento geométrico y especialmente en la comprensión, interpretación e identificación

del concepto de simetrías en figuras geométricas bidimensionales, se debe a que los

estudiantes no aplican correctamente las dos propiedades que relacionan una figura y su

imagen, Jaime y Gutiérrez (1996). Por todo lo anterior la formulación del problema que

emerge es la siguiente: ¿Cómo se puede problematizar en clases de geometría de 7° los

resultados de investigación sobre el diseño de la máscara del torito fabricada por los

artesanos del municipio de Galapa de tal manera que se aborde el problema de la relación

entre figura e imagen?



OBJETIVOS:

Problematizar en clases de geometría de 7° los resultados de investigación sobre el diseño

de la máscara del torito fabricada por los artesanos del municipio de Galapa.

REFERENTE TEÓRICO:

Para romper con la estructura de la educación tradicional la Etnomatemática es una de las

alternativas en la educación matemática. Según Gerdes (1989) plantea la Etnomatemática

en una perspectiva educacional emancipadora, como un movimiento relacionado con la

reivindicación de la matemática de la cultura autóctona de las comunidades, más que una

colección de prácticas del pasado. Así podemos darnos cuenta que existen tantas

matemáticas como grupos culturales hay y este despertar de conciencia nos lleva a cambiar

la forma de entender el mundo, nos lleva a estar siempre dispuestos a escuchar y

comprender los saberes del otro, en pocas palabras nos transforma el mundo que teníamos

anteriormente. Por otra parte, Bishop (1999) afirma:

Seis actividades están presentes en las diferentes culturas, para su estudio: contar, medir,

localizar, jugar, explicar y diseñar, esta última según el autor hace referencia a la tecnología,

los artefactos y los objetos “manufacturados” que todas las culturas crean para su vida

doméstica, para el comercio, como adorno, para la guerra y con fines religiosos. Bishop,

afirma que la esencia de diseñar es transformar una parte de la naturaleza, es decir, tomar

un fenómeno natural, sea madera, arcilla o terreno y transformarlo en otra cosa: quizá un

ornamento tallado, una olla o un huerto. Diseñar implica imaginar la naturaleza sin las partes

innecesarias y quizá incluso destacar algunos aspectos por encima de otros. Así pues,

diseñar consiste, en gran medida, en abstraer una forma del entorno natural. (p. 60) Por su

parte D’Ambrosio (2014) concluye:

La Etnomatemática, propone una pedagogía viva, dinámica, para dar respuesta a nuevos

estímulos ambientales, sociales, culturales y a nuevas necesidades. No sólo responde a

las necesidades, es decir, la utilidad, pero igualmente importante es la respuesta a

estímulos, que tiene como consecuencia la imaginación y la creatividad. (p.107).

METODOLOGÍA:

La presente investigación es de tipo cualitativa y de carácter interpretativo, con un diseño

metodológico etnográfico, la población escogida fue los artesanos del municipio de Galapa

que se dedican a la elaboración de las máscaras, con una muestra hasta ahora de 2

artesanos. En una primera fase se han realizado tres entrevistas a dos artesanos,

empezando de manera muy general y se ha ido delimitando hacia nuestro objeto de estudio,

esto con la ayuda de transcripciones de registros audiovisuales empleando los signos

Val.Es.Co. Una segunda fase será la intervención en el aula donde pretendemos

problematizar los resultados obtenidos en la presente investigación en curso.



RESULTADOS:

Luego de analizar las entrevistas, grabaciones de audios y videos realizados a los dos

artesanos del Municipio de Galapa, se evidenció que, en la elaboración de las máscaras

diseñadas por ellos, se encuentran inmersas una serie de aspectos matemáticos

específicamente relacionados con el concepto de simetrías propias del pensamiento

geométrico. En dichos diseños se emplea el color como forma, creando en estas superficies

irregulares figuras geométricas totalmente simétricas. Como lo expresa uno de los

artesanos:

LD: / por ejemplo yo trato de hacer siempre los diseños// mira que aquí yo estoy a pulso

estoy buscando la misma línea que tiene este/ el mismo diseño que yo tengo y yo trato de

tener siempre al ojo una sola línea /// líneas imaginarias// yo me las estoy imaginando aquí

/ entonces esta línea que es de acá yo la hago que vuelva por acá/ entonces yo trato de

siempre pasar en especial una lincecita imaginariamente te la voy hacer más grande para

que la veas y aquí están unos puntos …

En este sentido, tanto el diseño geométrico empleado en la máscara del torito, como el color

utilizado en estas, y teniendo en cuenta la forma como se combinan y trasponen uno sobre

otro, nos ha inspirado a llevar esta estrategia al aula de clases con el fin de contribuir a

fortalecer el aprendizaje del concepto de simetría en figuras planas en el grado séptimo. De

igual manera, esta estrategia busca motivar, despertar la creatividad e imaginación de los

estudiantes y estos a su vez la utilicen para el aprendizaje y fortalecimientos del

pensamiento espacial y geométrico.

CONCLUSIONES:

Se puede inferir que el diseño empleado en la máscara del torito, tanto el color y la forma

le brindan a los estudiantes de 7° una estrategia para el aprendizaje y fortalecimiento del

concepto de simetría en figuras planas.

BIBLIOGRAFIA:

Urbano, R.; Aroca. A. (2009). Transformaciones Isométricas en las Esculturas de San

Agustín y su Implementación en el Aula con el uso de Cabri (tesis de pregrado).

Universidad del valle, Cali - Colombia

Bishop. A. (1999). Enculturación Matemática, la educación matemática desde una

perspectiva cultural. España: Paidos Ibérica.

Blanco, H. (2008). Entrevista al profesor Ubiratan D’Ambrosio. Revista latinoamericana de

Etnomatemática. 1(1), 21-25.



D’Ambrosio, U. (2014). Las bases conceptuales del Programa Etnomatemática. Revista

Latinoamericana de Etnomatemática, 7(2), 100-107.

Gerdes, P. (1989). The use of the etnomathematics in the classroom, procededings of

politics of mathematics education conference.NEE Mathematics Commission. Westen

Cape: University of Westen Cape, 26-36.

Sampieri, R. (2014). Metodología de la investigación. México D.F: Industria Editorial

Mexicana, Reg.



CAPÍTULO 10

Análisis de los sistemas de medidas en la elaboración del bollo limpio en

municipios del Atlántico y su problematización en clase de matemáticas.

María Ibeth Salas Méndez, Juan Andrés Hernández Ponce, Germán Andrés Torres Nevado, Armando Alex Aroca Araujo.


INTRODUCCIÓN:

El presente proyecto de investigación se centra en la problematización en aula de clases

de los sistemas de medidas no convencionales que se emplean en el proceso de la

elaboración del bollo limpio en los municipios de Juan de Acosta y Campeche, Atlántico,

Colombia. Por ser esta solo una propuesta de investigación, hasta el momento no se tiene

ningún dato al respecto.

El objetivo principal de esta investigación el aula de clase. La metodología empleada es

cualitativa, de tipo etnográfica. Nuestros principales referentes en el marco teórico son

teorías inscritas en el Programa Etnomatemática planteadas por D’Ambrosio (2013), Bishop

(1991) y Aroca (2018), los cuales a lo largo de sus investigaciones nos dan un sin número

de aportes a nuestra investigación. es describir, analizar y comparar los sistemas de

medidas no convencionales anteriormente mencionados, con el fin de problematizarlos en

el aula de clase de matemáticas, según la enseñanza paralela y comparativa propuesta por

(Aroca, 2018).

Se pretende que esta investigación tenga una primera etapa etnográfica y una segunda

etapa en el aula de clase. La metodología empleada es cualitativa, de tipo etnográfica.

Nuestros principales referentes en el marco teórico son teorías inscritas en el Programa

Etnomatemática planteadas por D’Ambrosio (2013), Bishop (1991) y Aroca (2018), los

cuales a lo largo de sus investigaciones nos dan un sin número de aportes a nuestra

investigación.


Medir es una actividad muy importante en la vida cotidiana puesto que es muy utilizada normalmente en gran parte de las actividades que realizamos y en la cual llevamos a cabo muchos procesos de medición sin ser consciente de ello.

Bishop (1991) afirma: Medir es la tercera actividad «universal» e importante para el

desarrollo de ideas matemáticas y se ocupa de comparar, ordenar y cuantificar cualidades

que tienen valor e importancia…no todas las culturas valoran las mismas cosas en la misma



medida. Gran parte depende del entorno local y de las necesidades que éste provoca.

(p.55).

Muchas veces en las escuelas los profesores de matemáticas se enfocan en un solo método

de enseñanza y se rigen a lo que está en los libros, olvidando que existe matemáticas en

muchos contextos el cual hace que en ocasiones los estudiantes pierdan el interés por

aprender al no saber de qué les servirá esto en la cotidianidad.

Por todo lo anterior la formulación del problema es: ¿Cómo se pueden problematizar en

aula de clases los sistemas de medidas que se emplean en la elaboración artesanal del

bollo limpio en dos corregimientos o municipios del Atlántico?

OBJETIVOS:

Analizar las medidas empleadas en la elaboración artesanal del bollo limpio de dos

municipios del departamento del Atlántico, Colombia, y cómo se pueden problematizar

estos resultados en aula de clases de matemáticas.

REFERENTE TEÓRICO:

A Continuación, se muestran algunos referentes teóricos tenidos en cuenta en este trabajo

de investigación, el cual está enmarcado dentro del programa etnomatematica. Para

empezar, diremos que las matemáticas buscan dar solución a situaciones de la cotidianidad

en diversos contextos, como resultado de las necesidades propias del ser humano,

mediado por su entorno, por sus necesidades de permanencia o transcendencia o por los

retos que le imponen la práctica a la cual está vinculada. Según D’Ambrosio (2013),

La matemática, como el conocimiento en general, es una respuesta a los impulsos de

supervivencia y de trascendencia que sintetizan la cuestión existencial de la especie

humana. La especie crea teoría y prácticas que resuelven la cuestión existencial. Esas

teorías y prácticas son las bases para la elaboración de conocimiento y las decisiones de

comportamiento, a partir de representaciones de la realidad. (p.35)

En cuanto a aspectos relacionados a la educación matemática., Bishop (1991, p.19) plantea

lo siguiente: “…tratamos de hacerlo de muchas maneras en todo el mundo...debemos

desplazarnos conceptualmente desde la idea de «enseñar matemáticas a todo el mundo»

hasta la idea de «una educación matemática para todo el mundo”. La idea de enseñar

matemáticas para todo el mundo nos conlleva a analizar la importancia de cómo se dan

ciertas actividades matemáticas en los diferentes entornos socioculturales, en este caso la

actividad de medir, la cual pretendemos observar en unas prácticas concretas.

Teniendo en cuenta lo citado anteriormente se considera pertinente la realización de esta

investigación.



METODOLOGÍA:

Para alcanzar el objetivo de este trabajo, se llevará a cabo en dos etapas:

Fase 1: Se hará de tipo cualitativa desde una perspectiva etnográfica con base en las

características de una investigación de este tipo (Strauss y Corbin, 2002). Para González

(2013) “la investigación cualitativa estudia la realidad en su contexto natural y cómo sucede,

sacando e interpretando fenómenos de acuerdo con las personas implicadas” (p.25). El

mismo González (Ibid) manifiesta que “la investigación cualitativa tiene como propósito la

construcción de conocimiento sobre la realidad social, a partir de las condiciones

particulares y la perspectiva de quienes la originan y la viven; por tanto, metodológicamente

implica asumir un carácter dialógico” (p.91). Teniendo en cuenta lo anterior, nos

trasladaremos al municipio de Juan de Acosta y Campeche, Atlántico, Colombia.

Realizaremos entrevistas semiestructuradas a comerciantes de bollos de limpio, o bolleras,

con el fin de conocer las matemáticas inmersas en el proceso de la elaboración del bollo

limpio.

Fase 2: También conocida como Fase educativa, los resultados obtenidos en la fase 1 se

problematizarán en el aula de clase de matemáticas.

RESULTADOS:

Aspiramos a presentar avances de este proyecto de investigación en la sustentación pública

en el congreso.

CONCLUSIONES:

Esta investigación se encuentra en la fase de propuesta, pero se pretende realizar un

trabajo de campo, adscrita en la Fase 1, que nos permita analizar los sistemas de medidas

no convencionales que son utilizados en la elaboración artesanal de bollo limpio con el

objetivo de problematizarlos en el aula de clases de matemáticas mediante situaciones

didácticas.

BIBLIOGRAFIA:

Aroca, A. (2018). Aprendizaje paralelo y comparativo: la postura didáctica del programa

Etnomatematica. Revista Latinoamericana de Etnomatematica, 11(2), 4-7.

Bishop, A. (1991). Enculturación Matemática, la educación matemática desde una

perspectiva cultural: ediciones Paidós.

D' Ambrosio, U. (2013). Etnomatematica entre las tradiciones y la modernidad. Brasil:



Ediciones Díaz de santos.

Portilla, M., Rojas, A. & Hernández, I. (2014). Investigación cualitativa: una reflexión desde

la educación como hecho social. Universitaria, 3(2), 86-1000-.

Strauss, A. & Corbin, J. (2002). Bases de la investigación cualitativa. Técnicas y

procedimientos para desarrollar la teoría fundamentada. Colombia:

Universidad de Antioquia.



CAPÍTULO 11

Aprendizaje Basado en Proyectos de estadística para concientizar a la comunidad educativa en los buenos hábitos de consumo, ahorro y uso eficiente del agua, de

acuerdo con el enfoque del ahorro sostenible.

Hebert Alberto Delgado Mier

UNIVERISIDAD POPULAR DEL CESAR

INTRODUCCIÓN:

En el ámbito de la educación actual, el enfoque dominante es el desarrollo sostenible, lo

cual implica para el docente la adquisición de ciertas competencias de educar para el

desarrollo sostenible.

Este planteamiento abre una puerta hacia «propuestas educativas que combinan procesos

de aprendizaje y de servicio a la comunidad en un único proyecto bien articulado en el que

los participantes aprenden a la vez que trabajan en necesidades reales del entorno con la

finalidad de mejorarlo» (Puig, Batlle, Bosch, y Palos, 2007, p. 22) donde se trata de fomentar

una mirada crítica y reflexiva a los problemas medioambientales y aprender haciendo (Puig,

Gijón, Martin y Rubio, 2011), esto es al Aprendizaje Servicio.

Es por estas orientaciones en las que tratamos de implementar en la estadística el

Aprendizaje Basado en Proyectos enfocados a problemáticas propias del estudiante. La

problemática que consideramos importante desarrollar a través de esta metodología tiene

que ver con el buen uso y manejo del agua.


Proyectos involucra al estudiante en un proyecto complejo y significativo que desarrolla

integralmente sus capacidades, habilidades, actitudes y valores y, a su vez, exige que el

docente sea un creador, un guía que motive al estudiante a aprender, a descubrir y a

sentirse satisfecho por los saberes que está adquiriendo. Gracias a este método,

acercamos una realidad a la institución educativa, motivando al estudiante en su

aprendizaje.

Según la Organización de las Naciones Unidas (ONU) la crisis del agua, es causada por

hábitos de consumo inadecuados. A nivel mundial el uso eficiente del agua se ha convertido

en una necesidad crucial para garantizar la sostenibilidad de los recursos hídricos, debido

a que la crisis del agua no es solo un problema de oferta, sino también, la ausencia de

manejo integral y actitud racional frente al uso del recurso hídrico (UNESCO, 2.003).



Con base en lo anterior, buscamos a través de la estadística con datos reales, propios del

contexto escolar,

¿Cómo desarrollar a partir de la estadística, competencias para concientizar a la comunidad

educativa en los buenos hábitos de consumo del agua, sobre la importancia del agua

doméstica, y sobre la necesidad de su ahorro y uso eficiente, de acuerdo al enfoque del

ahorro sostenible?

OBJETIVOS:

OBJETIVO GENERAL:

Poner en práctica el Aprendizaje de la estadística Basado en Proyectos en la I.E. Milcíades

Cantillo Costa de la ciudad de Valledupar.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

➢ A partir de las actividades que se plantean, buscar que los alumnos reflexionen sobre el uso y abuso del agua, concienciándose de la importancia de la buena utilización de los recursos naturales y del agua en particular, utilizando para ello el referente que proporciona el recurso agua en el municipio y en particular dentro de la institución.

➢ Desarrollar nuevas formas de participación del estudiante en su proceso de aprendizaje, y la proyección de la I. E. a la comunidad, permitiéndoles ser miembros

activos y avanzar hacia otro modelo de construcción del conocimiento.

REFERENTE TEÓRICO:

La estadística se considera hoy día como parte de la herencia cultural necesaria para el

ciudadano educado. Como señala Ottaviani (1998):

“A nivel internacional la UNESCO implementa políticas de desarrollo económico y cultural

para todas las naciones, que incluyen no sólo la alfabetización básica, sino la numérica. Por

ello los estadísticos sienten la necesidad de difusión de la estadística, no sólo como una

técnica para tratar los datos cuantitativos, sino como una cultura, en términos de capacidad

de comprender la abstracción lógica que hace posible el estudio cuantitativo de los

fenómenos colectivos” (p. 1).

En estas directrices se indica que la enseñanza de la estadística debe tener como principal

objetivo ayudar a los estudiantes a aprender los elementos básicos del pensamiento

estadístico, entre otros los siguientes:



➢ La necesidad e importancia de los datos. ➢ La omnipresencia de la variabilidad. La variabilidad es la esencia de la estadística

como disciplina y no puede ser entendida sólo mediante estudio y lectura, sino que debe ser experimentada.

➢ La cuantificación y explicación de la variabilidad.

➢ Integración de la estadística y el contexto.

Pensamos que la mejor forma de seguir estas recomendaciones es introducir en las clases de estadística el Aprendizaje Basado en Proyectos, algunos de los cuales son planteados por el profesor y otros escogidos libremente por los alumnos de acuerdo a sus propias

necesidades.

METODOLOGÍA:

➢ La planeación, diseño y ejecución de nuestra investigación, viene dada a través de secciones que incluyen la temática a desarrollar en la asignatura y las diferentes actividades a realizar.

➢ La población objeto de estudio, es la comunidad educativa de la Institución Milciades Cantillo Costa de Valledupar.

➢ La recolección de datos se hace mediante observación directa con los estudiantes del grado décimo.

RESULTADOS:

➢ Se tomaron datos de tipo cualitativos sobre hábitos de consumo y cuidado del agua, los cuales permiten al estudiante el desarrollo de competencias para la clasificación, presentación y análisis de los mismos. Con la información recolectada, en la jornada de clase se clasifica, organiza, tabula y se presenta la información en tablas, cuadros y gráfica.

➢ Se tomaron datos de tipo cuantitativo, reflejados en el recibo de consumo de agua del último mes en sus respectivas viviendas, donde se interpreta las diferentes cifras numéricas que allí aparecen. Del análisis conjunto se pueden sacar conclusiones sobre el valor y la cantidad de agua consumida en promedio por hogar, y por personas.

➢ El volumen de agua consumida y su costo permitirá obtener datos como el consumo total de agua por persona o el consumo diario de agua. Estos datos, comparados con la media obtenida de los datos de todos los hogares, permitirán establecer en qué medida nos acercamos o alejamos de ella, si se derrocha o no agua, etc. También facilitarán las pautas para fijar los objetivos de ahorro de agua. Establecer un inventario de los consumos de agua.

➢ Se toma nuevamente otra muestra con recibos posteriores, se hace un análisis cuantitativo de los datos obtenidos y se verifica si los objetivos del proyecto sobre el buen uso, consumo y ahorro eficiente del agua se logró.



CONCLUSIONES:

A partir del desarrollo de la propuesta a través las diferentes actividades realizadas se logró entre otras conclusiones:

➢ Se despertó el interés por la asignatura y el compromiso activo del estudiante en el desarrollo de la misma.

➢ Reconocimiento e importancia de la asignatura en la solución de problemas propios del estudiante.

➢ Se lograron ciertas cifras numéricas que permitieron estimar datos como el consumo total de agua por persona o el consumo diario de agua, comparados con las medidas de consumo de agua establecidos por los organismos internacionales de control que nos permitieron establecer en qué medida nos acercamos o alejamos

de ella, si se derrocha o no agua, etc.

BIBLIOGRAFIA:

➢ Didáctica de la Estadística. Carmen Batanero. Departamento de Didáctica de la Matemática Universidad de Granada

➢ Estadística con Proyectos. Carmen Batanero, Carmen Díaz (Editoras) ➢ Moreno Yus, M. A., & Bolarín Martínez, M. J. (2015). Análisis de los procesos

educativos y organizativos para la sostenibilidad: una propuesta de cambio. Foro de Educación.

➢ Programa Mundial de Educación para el Desarrollo Sostenible (GAP) Aprobado por la Conferencia General de la Unesco, en 2014.

➢ nvestigaciones Actuales en Educación Estadística y Formación de Profesores. Departamento de Didáctica de la Matemática Facultad de Educación y

Humanidades. Melilla Universidad de Granada. ISBN: 978-84-694-4597-6.



CAPÍTULO 12

Análisis del proceso de enseñanza-aprendizaje del cálculo diferencial en la

educación virtual en Colombia

De Los Reyes Charris Dayana – Otero Valega Keylla Margarita-José Gregorio Solorzano Movilla


INTRODUCCIÓN:

Actualmente, la integración de las tecnologías de la información y la comunicación (TIC)

han ocasionado cambios en el entorno competitivo de la sociedad y de las organizaciones,

dichas transformaciones han generado en los diversos ámbitos de la sociedad grandes

desarrollos científicos y tecnológicos que han posibilitado y potencializado el flujo de

conocimiento a través del mundo, este intercambio ha generado nuevos desafíos para la

formación de las personas. Es decir, estos desarrollos tecnológicos, económicos y

culturales, son la base que sustenta la exploración y búsqueda de nuevas estrategias que

posibiliten y garanticen la educación sin excepción alguna, generando así condiciones que

faciliten los procesos de enseñanza-aprendizaje en la actual sociedad del conocimiento.

Teniendo en cuenta lo anterior, hemos decidido hacer un estudio con respecto a la

educación virtual en Colombia específicamente en la manera en cómo se enseña y cómo

se aprende cálculo diferencial en línea.


La sociedad a través del tiempo ha venido dando respuesta a las necesidades de formación

de sus comunidades, particularmente, a las personas con dificultades para acceder a la

educación tradicional originando la educación a distancia, la cual ha avanzado hasta la

educación virtual, y a pesar de que en Colombia la educación virtual ha ganado

reconocimiento y espacio como una posibilidad para una gran población que demanda de

propuestas formativas de calidad y aunque esta modalidad de estudio ofrece muchas

oportunidades para lograr mejores resultados en las diversas actividades que se realizan,

esta requiere del dominio de las técnicas y prácticas que favorecen los desarrollos de la

gestión del conocimiento, favoreciendo los procesos de innovación.

Razón por la cual, analizar el cómo se enseña y cómo se aprende cálculo diferencial por la

modalidad virtual es pertinente porque es necesario que la sociedad inicie el proceso de

indagación sobre si realmente los actuales recursos digitales están promoviendo el

aprendizaje del cálculo diferencial. Pues, se sabe que el cálculo diferencial contiene una

gran cantidad de subtemas que están estrechamente relacionados y el poco dominio de

ciertos subconceptos impide el desarrollo continuo de los conceptos propios del cálculo.



Cabe destacar, que este estudio busca generar en la comunidad educativa nacional una

profunda reflexión en cuanto a la idoneidad del proceso de enseñanza y aprendizaje del

cálculo diferencial en línea.

Por lo descrito anteriormente hemos formulado el problema así, ¿Cómo se da el proceso

de enseñanza-aprendizaje del cálculo diferencial en la educación virtual en Colombia?

OBJETIVOS:

Analizar el proceso de enseñanza-aprendizaje del cálculo diferencial en la educación virtual

en Colombia.


➢ Identificar el número de programas académicos nacionales con modalidad de estudio virtual que dentro de su malla curricular esté el cálculo diferencial.

➢ Analizar la idoneidad de la enseñanza y del aprendizaje del cálculo diferencial en la modalidad distancia (virtual).

➢ Establecer las dificultades de aprendizaje del cálculo diferencial presentes en la educación virtual en Colombia.

REFERENTE TEÓRICO:

La educación en línea surge a partir de un diálogo didáctico, el cual está mediado por la participación del docente y el estudiante, quienes se ubican en un espacio físico diferente y usan como medio para comunicarse las nuevas herramientas tecnológicas para que su aprender sea de forma flexible, independiente y colaborativa. (García Aretio, 2001).

De hecho, se considera que un buen uso de las TIC implica acciones como la comprensión de conceptos y procedimientos tecnológicos y digitales, el desarrollo de estrategias didácticas de tipo constructivista, la integración en las tareas educativas de las experiencias y la formación previa del alumnado, y la comprensión de cómo las TIC pueden ayudar a superar las dificultades que presentan los estudiantes (Valverde, Garrido y Fernández, 2010). Precisamente, la concepción constructivista lleva a Brousseau a postular que el sujeto produce conocimiento como resultado de la adaptación a un “medio” resistente con el que interactúa: “El alumno aprende adaptándose a un medio que es factor de contradicciones, de dificultades, de desequilibrios, un poco como lo ha hecho la sociedad humana. Este saber, fruto de la adaptación del alumno, se manifiesta por respuestas nuevas que son la prueba del aprendizaje” (1986)

Teniendo en cuenta lo anterior, hemos decidido hacer esta investigación, es decir, analizar la educación virtual en Colombia específicamente en la manera en cómo se enseña y cómo

se aprende cálculo diferencial en línea.

Cabe destacar, que los nuevos diseños curriculares de matemáticas resaltan que el aprendizaje de esta área de conocimiento tiene su base en el trabajo colectivo para la



resolución de problemas y la realización de investigaciones a partir de la exploración de materiales variados. El cambio es mayor de lo que puede parecer, puesto que se ha pasado de que, el recurso didáctico se use por elección del profesor, a que se haya convertido en un objetivo de aprendizaje (Mora, 1995). Han cambiado también, las reflexiones que puedan surgir en torno al tema. Ahora la cuestión no es si son convenientes o no, la cuestión

es si podríamos hacerlo mejor (Zabala y del Carmen, 1992).

METODOLOGÍA:

Diseño de Investigación: Exploratoria de tipo cualitativa y nivel descriptivo Población:

programas de educación superior que se ofertan de manera virtual, que de acuerdo al Snies

suman 379. Muestra será de tipo intencional no probabilística con cuatro programas

académicos, Técnicas de recolección de datos, se llevará acabo mediante en dos fases, en

la primera se harán mediante un levantamiento de información a partir de la base de datos

de los programas de educación superior disponibles en el Snies. En la segunda se

recolectará la información mediante rubricas de análisis de contendidos.

RESULTADOS:

Con la finalidad de dar inicio a nuestro primer objetivo, identificamos los programas académicos que se encontraban matriculados en Colombia. Según el Sistema Nacional de Información de Educación Superior SNIES (2017), se encontraban matriculados 3848 programas Presenciales, 344 programas de distancia (Tradicional) y 379 programas de distancia (Virtual). De los cuales en la modalidad de distancia (Virtual) se encuentran matriculados 185 programas de Economía, administración, contaduría y afines, 47 de Ciencias de la educación, 11 de Agronomía, veterinaria y afines, 39 de Ciencias sociales y humanas, 75 de Ingeniería, arquitectura, urbanismo y afines, 4 de Ciencias de la Salud, 13 de Bellas artes y 5 de Matemáticas y ciencias naturales.

Además, de estos 344 programas virtuales, 87 programas tienen en su malla curricular la asignatura de Cálculo Diferencial en los que se encuentran 48 programas de Economía, administración, contaduría y afines, 1 programa de Ciencias de la educación, 3 de Agronomía, veterinaria y afines y 33 de Ingeniería, arquitectura, urbanismo y afines.

CONCLUSIONES:

La presente investigación, tiene como objetivo general analizar la educación virtual en Colombia específicamente en la manera en cómo se enseña y cómo se aprende cálculo diferencial en línea; por otra parte, en el desarrollo de este trabajo de investigación se ha alcanzado nuestro primer objetivo el cual era Identificar el número de programas académicos nacionales con modalidad de estudio virtual que dentro de su malla curricular esté el cálculo diferencial. Así, una vez identificados estos programas podremos analizar la idoneidad de la enseñanza y del aprendizaje del cálculo diferencial en la modalidad distancia (virtual).



BIBLIOGRAFÍA:

Brousseau, G.; (1986) Fundamentos y Métodos de la Didáctica de la Matemática.

Facultad de Matemática, Astronomía y Física. Universidad Nacional de Córdoba.

García Aretio, L. (2001). Educación a distancia; ayer y hoy. En Blázquez, F.Sociedad de la

Información y educación Mérida: Junta de Extremadura, pp. 159-192.

Mora, J.A. (1995). Los recursos didácticos en el aprendizaje de la Geometría. Revista

Uno, número 3.

Sistema Nacional de Información de la Educación Superior. (2017). Matriculados En

Educación Superior - Colombia 2017. Recuperado de

http://redes.colombiaaprende.edu.co/ntg/men/archivos/Snies/Matriculados_2017.xlsx

Valverde, J., Garrido, M.C. y Fernández, R. (2010). Enseñar y aprender con tecnologías:

Un modelo teórico para las buenas prácticas con TIC. Teoría de la educación: educación y

cultura en la sociedad de la información, 11(3), 203-229. Recuperado de

http://campus.usal.es/~revistas_trabajo/index.php/revistatesi/article/view/5840/5866

Zabala, A. y del Carmen, L(1992). Del proyecto Educativo a la Programación de Aula en

El proyecto curricular de centro de AA.VV. Ed. Graó.



CAPÍTULO 13

Didáctica Matemática para Enseñar Números Racionales desde la Ecología para Estudiantes de Primaria de la Institución Educativa Luis Carlos Galán Sarmiento,

Arjona – Astrea

Gloria Elena Oviedo Berrio

Institución Educativa Luis Carlos Galán Sarmiento

INTRODUCCIÓN:

Descripción breve del tema de investigación, dirigido a orientar al lector sobre la condición

a investigar.

En la enseñanza de la Matemática cobra gran importancia el cómo debe desarrollarse un

tema para generar un aprendizaje significativo AUSUBEL (1968), por parte de los

estudiantes en torno al conocimiento matemático, tanto en el aprender como en el

aprehender de los contenidos, en el uso de sus métodos y estrategias.

El (MEN, 2014), hace público los Derechos Básicos de Aprendizaje (DBA), los cuales se

estructuraron guardando coherencia con los Lineamientos Curriculares y los Estándares

Básicos de Competencias (EBC).

Por ende, su importancia radica en que plantean elementos para la construcción de rutas

de aprendizaje año a año para que, como resultado de un proceso, los estudiantes alcancen

los EBC propuestos por cada grupo de grados. Razón por la cual, es necesario tener en

cuenta que los DBA son un apoyo para el desarrollo de propuestas curriculares que pueden

ser articuladas con los enfoques, metodologías, estrategias y contextos definidos en cada

establecimiento educativo, en el marco de los Proyectos Educativos Institucionales

materializados en los planes de área y de aula.

Entre estos conocimientos destacamos el aprendizaje de los números Racionales, en

donde los estudiantes presentan mayores dificultades en la conceptualización de la

temática y su relación con el entorno, aunque esta causa puede ampararse en distintos

factores ajenos a la escuela, es ahí, de donde partimos, para que se puedan enfrentar de

manera positiva y fundamentada una solución al contexto.

La enseñanza de las matemáticas y la relación con el entorno ecológico como punto de

apoyo para la modelación de situaciones problémica, presenta restricciones al tener que

considerar todas las condiciones necesarias para que el aprendizaje de las diferentes

temáticas que ella encierra puedan desenvolverse significativamente, a la vez que exhortar

las diferentes herramientas que nos puede ofrecer el medio ecológico, para que los

estudiantes desarrollen competencias tanto matemáticas como ecológicas, que visualice



de forma efectiva los propósitos del MEN en sus estándares y competencias básicas

establecidos.

Esta relación nos permitirá formular el problema de la enseñanza de las matemáticas en

términos del enfoque ecológico y nos conducirá a la búsqueda de estrategias didácticas

que favorezcan el aprendizaje en los estudiantes.

Se plantea como objetivo principal el desarrollo de una unidad didáctica que permita el

fortalecimiento de los conocimientos en los números racionales y la destreza para

desarrollar problemas relacionados, con fundamentos construidos, mediante la relación

existente entre los elementos que se ofrecen en el medio ecológico y el soporte conceptual

que genere el docente en el salón de clase.

El aprendizaje de los números racionales y el aprovechamiento del entorno ecológico

adquieren sentido, toda vez, que la formación es recibida por parte de los docentes, para la

comprensión de la temática, así como las condiciones curriculares, pedagógicas,

matemáticas e incluso de infraestructura que intervienen en el proceso de enseñanza en

los educandos. Resaltando los aspectos propiamente pedagógicos en la construcción,

comprensión y relación que el estudiante pueda desarrollar entre la relación de los

elementos abstractos que le ofrece el entorno ambiental y la relación con el tema de los

números racionales.


Descripción de la situación problema que soporta al estudio, además de la relevancia,

pertinencia e impacto del proyecto de investigación. (Máximo 250 palabras).

PLANTEAMIENTO:

El aprendizaje de los números racionales y el aprovechamiento del entorno ecológico

adquieren sentido, ya que la formación es recibida por parte de los docentes, para la

comprensión de la temática, así como las condiciones curriculares, pedagógicas,

matemáticas e incluso de infraestructura que intervienen en el proceso de enseñanza en

los educandos. Resaltando los aspectos propiamente pedagógicos en la construcción,

comprensión y relación que el estudiante pueda desarrollar entre la relación de los

elementos que le ofrece el entorno ambiental y la relación con el tema de los números

racionales.

JUSTIFICACIÓN:

Esta investigación inicia con la identificación del problema en los estudiantes de quinto de

primaria, lo que nos conlleva a diseñar una propuesta de enseñanza enmarcada desde el

salón de clase y el uso de los recursos ecológicos del entorno, que nos permita subsanar

las dificultades que se viene presentando en la comprensión del concepto de los números



racionales, sus propiedades, algoritmos y aplicaciones mediante algunas estrategias

metodológicas que permita el fortalecimiento de las matemáticas y la interacción con

objetos ecológicos de su entorno.

Esta propuesta busca servir de apoyo a los compañeros docentes en su diario accionar

como educadores y mejorar los resultados de los estudiantes obtenidos en las diferentes

pruebas aplicadas tanto Nacionales como Locales, puesto que los resultados obtenidos, no

son favorables, y muchas veces no representan el trabajo del docente, lo que ubica a la

institución en situación de desventaja frente a otras de las mismas características,

impidiéndole obtener beneficios que otorga el MEN.

OBJETIVOS:

Presentación del objetivo general y los objetivos específicos de su investigación.

OBJETIVO GENERAL:

Diseñar una didáctica matemática para la enseñanza de los números racionales desde un

entorno ecológico en los estudiantes de quinto de primaria.


➢ Identificar los factores que influyen en las dificultades del proceso de aprendizaje de las matemáticas en los estudiantes del grado quinto de primaria en la escuela

➢ Determinar las estrategias de aprendizaje que utilizan los estudiantes para la comprensión de los conceptos de los números racionales (Fraccionarios).

➢ Desarrollar una unidad didáctica utilizando elementos del medio ambiente para el aprendizaje de los números racionales (Fraccionarios).

➢ Determinar los elementos ecológicos que deben usarse para construir la didáctica matemática de números racionales (Fraccionarios).

REFERENTE TEÓRICO:

Abordaje breve de los principales aspectos teóricos que respaldan la investigación

(Antecedentes y definición conceptual de las variables).

A continuación, se reseñan los antecedentes de la investigación, tomando como referencia

los trabajos de investigación relacionados con el tema de estudio. Es así como se menciona

a:

Castro (2015), realizo una investigación denominada “Significado de las fracciones en las

matemáticas escolares y la formación inicial del maestro”, con los docentes que orientan

los conocimientos de matemáticas, en la cual determinaba la seguridad a su disciplina y

evidencia el significado de las fracciones en los educandos, en donde la investigadora



propuso utilizar un modelo de trabajo desarrollando una unidad didáctica aplicada al

pensamiento numérico.

La investigación utiliza una metodología de análisis conceptual, mediante el método

empírico, las cuales se dividieron en tres fases, que describían sus características

principales, cuyos resultados apuntaron a potenciar los conocimientos de los estudiantes,

desde sus saberes previos adquiridos en la educación básica primaria, destacándose

particularmente el análisis cognitivo y didáctico. Además del desarrollo de las tres fases, el

resultado de esta investigación aporta a nuestro trabajo en el aula a un crecimiento en el

aspecto metodológico y en la construcción de estrategias metodológicas que enriquecen a

una unidad didáctica.

La propuesta de investigación “Didáctica Matemática para la Enseñanza de los Números

Racionales, desde un entorno Ecológico en Estudiantes de Quinto Primaria” se desarrolló

en la Institución Educativa Luis Carlos Galán Sarmiento, (Arjona - Astrea - Cesar).

Esta institución es de carácter oficial y entiende la ESCUELA como el espacio físico y no

físico en el que los sujetos: estudiantes, docentes y comunidad, se comunican;

construyendo así proyectos comunes de socialización, mediante acciones intencionadas

pedagógicas y otras independientemente de la experiencia. La acción educativa es

entendida como una práctica de interacción simbólica, de intercambio y reconstrucción

cultural, de construcción de sentido. El estudiante, el docente y demás miembros de la

comunidad, son entendidos como sujetos activos portadores de saberes culturales e

intereses, que juegan un papel fundamental en la definición de las prácticas educativas.

El proyecto educativo institucional es entendido como una dinámica de reflexión

permanente de reconstrucción de los horizontes escolares, de búsqueda de pertinencia a

los requerimientos del entorno sociocultural local y nacional. Los referentes teóricos que

fundamentaran el problema de investigación, está conformado por tres componentes:

aspecto curricular, el aspecto matemático y el aspecto didáctico.

El aspecto curricular, hace referencia a los lineamientos curriculares, Estándares Básicos

de Competencias y los derechos Básicos de Aprendizaje en Matemáticas definidos por el

Ministerio de Educación Nacional (MEN).

ASPECTOS INTELECTUALES Y ACADÉMICOS:

Puede ocurrir que el niño o niña tenga dificultades intelectuales, entonces eso lo llevará al fracaso académico. Si se tiene una inteligencia por debajo de la media, el niño no podrá aprender de la misma manera que lo haga un niño con cociente intelectual normal. El podrá aprender, pero con una educación más personalizada, podríamos decir educación especial. Hoy en día los niños los niños con dificultades especiales deben estar en aulas regulares, situación que dificulta el trabajo para profesores y estudiantes.



FRACASO ESCOLAR:

Puede presentarse porque el niño no se encuentra en el mismo nivel de conocimiento con

respecto a los compañeros de su misma edad, no se siente bien en la institución porque no

le llena las expectativas que tenía. También puede fracasar por se tenga un fracaso

académico en edad, por ejemplo, un niño que llega al grado primero de diez años, al lado

de niños en edades de seis y siete años, para el niño de diez años será muy difícil

acomodarse a los otros niños porque él ya tiene otras expectativas por su edad, le gusta

otras cosas, quizá tenga otras costumbres y maneras de pensar acordes a su edad. Si el

niño definitivamente no puede acomodarse en el grupo esto se le convierte en una dificultad

de aprendizaje, en matemática y otras áreas del conocimiento, entonces aquí podrá ocurrir

un fracaso escolar por parte del niño de diez años.

ECOLÓGICOS:

Podemos encontrar otros factores de los que casi no se cae en cuenta, y tiene que ver con

un vecindario desorganizado y con delincuencia, el cual puede darse en muchos casos,

entonces los niños fácilmente se pueden engreír en estos grupos delincuenciales y en

muchas ocasiones se dedican al consumo de drogas entonces resulta quedando la escuela

como algo aparte y sin sentido para él y es ahí donde llegan las dificultades de aprendizaje

de matemática, porque quizá en otras materias pueda hacer algo, pero matemática es un

área que requiere concentración y trabajo individual y en equipo para poder construir un

verdadero aprendizaje.

METODOLOGÍA:

Presentación del Diseño, tipo y nivel de la investigación, Población-muestra, Técnicas de

recolección de datos.

Los procesos metodológicos desarrollados para cumplir con los objetivos planteados para la enseñanza – aprendizaje de los números racionales en los estudiantes de quinto de primaria a través de una didáctica que tendrá apoyo en el análisis de experiencias, con

elementos del entorno ecológico.

El presente trabajo es un estudio de investigación práctico y experimental en donde se aplican los conceptos y propiedades de los números racionales a situaciones problemas utilizando elementos ecológicos que nos sirven de material concretos, canalizando de esta forma, los procesos emitidos y direccionados con los programas educativos como El PTA (Programas Todos Aprender) coordinados por el Ministerio de Educación Nacional. Por consiguiente, atendiendo el objetivo general de la presente investigación se pretende diseñar una didáctica matemática para la enseñanza de los números racionales desde un entorno ecológico en los estudiantes de quinto de primaria de la Institución Educativa Luis Carlos. Para (Ibáñez, 1992) la unidad didáctica es “la interrelación de todos los elementos que intervienen en el proceso de enseñanza-aprendizaje con una coherencia interna metodológica y por un periodo de tiempo determinado” seguido de la programación y



actuación docente configurada por un conjunto de actividades que se desarrollan en un

tiempo determinado, para la consecución de unos objetivos didácticos.

Una unidad didáctica apunta a dar respuestas a todos los interrogantes curriculares, al que enseñar (objetivos y contenidos), cuándo enseñar (secuencia ordenada de actividades y contenidos), cómo enseñar (actividades, organización del espacio y del tiempo, materiales y recursos didácticos) y a la evaluación (criterios e instrumentos para la evaluación), aplicados de alguna manera coordinados y delimitados temporalmente.

Así mismo, los procedimientos necesarios para realizar la investigación en profundización están basados en el método de descubrimiento y la enseñanza para la comprensión soportada por los tópicos generativos y valoración continua, desarrollados por David Ausubel. En donde el identificar los saberes previos de los estudiantes, se convierte en el punto de partida para iniciar el proceso de aprendizaje.

El desarrollo de las estrategias se siguió a través de unas guías en donde los estudiantes

ponían a prueba la objetividad de los conceptos teóricos impartidos en el salón de clase y

que se relacionaran con las posibles situaciones problemas que se podían identificar en el

aprendizaje de la temática. De esta forma, los datos recolectados se relacionaron con los

objetivos propuestos ya que se pudo identificar la forma en la que los estudiantes aprenden

y la aplicabilidad que ellos pueden establecer con situaciones del entorno.

RESULTADOS:

Descripción de los datos recolectados, en el caso de propuesta de investigación indique

resultados esperados; si corresponde a Investigación en curso indique resultados parciales,

si es Investigación terminada indique resultados finales.

Al salir los estudiantes de las aulas de clases y encontrar un ambiente totalmente diferente

al tradicional, los educandos mostraron una mejor disposición para la actividad realizada

por hacer parte ellos mismos de la recta humana.

Los avances evidenciados por los estudiantes en el tema de los numero racionales

(fraccionarios) es gratificante y significativo, se nota cuando en su diario vivir mencionan la

relación del tema con eventos comunes como la distribución de las horas de clase (un

cuarto de hora, media hora, un sexto de hora), los animales del campo y su útil

representación matemáticas que se pueden ajustar al entendimientos de los conjuntos

numéricos, a las múltiples construcciones que pueden hacer los estudiantes utilizando

elementos del entorno ecológico, además que pueden ser útiles para ellos mismos.

Generar preguntas a los estudiantes y situaciones problema en el aula los estimula para el desarrollo del pensamiento, incentiva a la investigación, los invita a descubrir nuevos conocimientos; en este punto se hace indispensable recordar el papel de docente como guía, orientador y facilitador del proceso de aprendizaje y no como poseedor del conocimiento siempre en busca del mejoramiento de la calidad educativa y la superación de sus estudiantes.



CONCLUSIONES:

Descripción precisa de los aspectos más relevantes obtenidos en la investigación, solo para

proyectos en curso y terminados.

Las matemáticas, lo mismo que otras áreas del conocimiento, están presentes en el

proceso educativo para contribuir al desarrollo integral de los estudiantes con la perspectiva

de que puedan asumir los retos del siglo XXI. Se propone pues una educación matemática

que propicie aprendizajes de mayor alcance y más duraderos que los tradicionales, que no

sólo haga énfasis en el aprendizaje de conceptos y procedimientos sino en procesos de

pensamiento ampliamente aplicables y útiles para aprender.

En ese sentido estamos de acuerdo en que el principal objetivo de cualquier trabajo en

matemáticas es ayudar a las personas a dar sentido al mundo que les rodea y a comprender

los significados que otros construyen y cultivan.

El pensamiento y sistemas numéricos parece complejo, sin embargo, los procesos

específicos que desarrollan el pensamiento matemático al relacionarse con situaciones

cotidianas resultan muy interesante y comprensible para los estudiantes.

Las situaciones problemas incentivan a la participación y el trabajo en grupo.

Se despierta mucha atención en una clase cuando se orienta a las estudiantes a buscar el

conocimiento y sacar sus propias conclusiones.

BIBLIOGRAFIA:

Presentación de las fuentes bibliográficas que sirvieron de apoyo para la construcción y

desarrollo de la investigación (5 referencias en norma APA).

A continuación, se ofrecen a los lectores y lectoras, y a la comunidad académica en general

unas referencias bibliográficas que pueden resultar de utilidad para seguir ampliando los

conocimientos en la enseñanza de las matemáticas y en particular el aprendizaje de los

numero racionales (fraccionarios).

Amaya Correa, Daniel. El método DOFA, un método muy utilizado para diagnóstico de

vulnerabilidad y planeación estratégica. Evaluación de Proyectos E.A.F.I.T. Medellín. Abril

de 2010

Ausubel-Novak-Hanesian. Psicología Educativa: Un punto de vista cognoscitivo. Segunda

Edición. Editorial TRILLAS. México.1983.



Ball, D. (1990). Preservice elementary and secondary teachers’ understanding of division.

Journal for Research in Mathematics Education,

Barquero, B. (2009) Ecología de la Modelización Matemática en la enseñanza universitaria de las Matemáticas, Tesis Doctoral, UAB UNESCO. Aportes para la enseñanza de la Matemática. Santiago, Chile; enero, 2009. ISBN 978-956-322-004-9.



CAPÍTULO 14

Estrategias Pedagogicas para la Enseñanza-Aprendizaje de la Estadística en los grados 6° y 7° en la Institución Educativa Leónidas Acuña del Municipio de

Valledupar.

Diana Carolina García Galindo, Jorge Barros Lago

Institución Educativa Leónidas Acuña, Universidad Popular del Cesar

INTRODUCCIÓN:

El objetivo central está orientado a implementar estrategias pedagógicas, para la

enseñanza–aprendizaje de la estadística en los grados 6° y 7°, de la Institución Educativa

Leónidas Acuña del Municipio de Valledupar.

Es notorio observar, en la Institución Educativa referenciada, que el abordaje con las

pedagogías tradicionales e ineficaces, de las estrategias para la enseñanza de la medida

de tendencia central, en el pensamiento aleatorio y los sistemas de datos en la Región

Cesarense Colombiana y en especial en el Municipio de Valledupar, en el desarrollo de los

Procesos generales, del contexto y los conocimientos básicos propuestos por el (M E N,

1998), en los Lineamientos Curriculares de matemática, no han permitido visionarlos como

los factores transcendentales presentes en los procesos de Enseñanza-Aprendizaje en lo

disciplinar e interdisciplinar de las matemáticas contextualizadas; por ello, son poco

competitivos en este cosmos permeado por la globalización de la investigación educativa y

matemática.

No obstante, por observaciones tan notorias como las descritas, es pertinente señalar como

las Instituciones Educativas de la Región Cesarense Colombiana entienden hoy, más que

ayer, la urgente necesidad de avanzar hacia la vanguardia y evolución de las estrategias

para la enseñanza de la medida de tendencia central, de los procesos de Enseñanza-

Aprendizaje del saber estadístico, en la Básica Secundaria, necesarios pero no suficientes

para la conservación del peculio competitivo, investigativo de la Región y el País; así como

también, la promoción, el desarrollo y la difusión de los conocimientos.

En consecuencia, en su diario vivir; es decir, en el quehacer académico se evalúa un

modelo conductista, tradicionalista, con pocas estrategias pedagógicas, demostrando que

en el proceso Enseñanza–Aprendizaje rige únicamente la memorización, donde el

estudiante recibe, escucha, observa, copia, repite, pero no participa; razón por la cual, el

acto pedagógico, del proceso de la enseñanza-aprendizaje de la estadística, se orientan

teniendo en cuenta como única herramienta mediadora, el habla, el tablero y el marcador.

En el cual, el docente llega al aula de clase, dicta los conceptos de los contenidos

programados, explica un ejemplo sencillo sin contextualizar su contenido y luego coloca

una serie de ejercicios, los cuales el estudiante los desarrolla repitiendo solamente el

algoritmo que el profesor le enseñó.



De acuerdo a lo anterior, el equipo investigador se formuló las siguientes preguntas:

¿Cuáles son las estrategias pedagógicas que coadyuvan, a que los estudiantes sean

competentes en la enseñanza - aprendizaje de la estadística en los grados 6° y 7° de la

Institución Educativa Leónidas Acuña?, ¿Cuáles podrían ser las características de las

estrategias pedagógicas que coadyuvan, a que los estudiantes participen de manera activa

en la enseñanza - aprendizaje de la estadística en los grados 6° y 7° de la Institución

Educativa Leónidas?, ¿ Será que proponiendo lineamientos para desarrollar las estrategias

pedagógicas, los estudiantes participen activa y permanentemente en el proceso de

enseñanza de la estadística en los grado 6° y 7° de la Institución Educativa Leónidas

Acuña?.

Para resolver el anterior cuestionamiento, se revisaron autores como, (Batanero, 2000),

(Riascos & Fávero, 2010), (Cruz, Castaño & Bernal, 2011), (Fonseca & Marulanda, 2011),

(Ranz, 2013), (Díaz, Aguayo & Corté, 2014), (Almidón, 2017). Estos antecedentes, entre

otros, son la base de la fundamentación teórica de esta investigación, abordadas desde el

estudio de la variable estrategias pedagógicas, entendida como aquellas acciones que

realiza el docente con el propósito de facilitar la formación y el aprendizaje disciplinar en los

estudiantes. Para que no se reduzcan, a simples técnicas y recetas, puesto que están

orbitadas en una rica formación teórica de los docentes, donde en la teoría habita la

creatividad requerida, para acompañar la complejidad del proceso de enseñanza -

aprendizaje.

En términos generales, se nota que la metodología implementada por los docentes de la

Institución Educativa Leónidas Acuña, para la enseñanza-aprendizaje de la estadística en

6° y 7° grado, se hace de forma tradicional. Por lo tanto, no conciben la tarea y el trabajo

del estudiante dentro y fuera del contexto escolar, como el protagonista central de su propio

proceso educativo; convirtiéndolo así, en un receptor pasivo.

Por lo anterior se hace necesario, implementar estrategias pedagógicas que coadyuven a

fortalecer el proceso enseñanza–aprendizaje de la estadística en los grados 6° y 7° de la

Institución Educativa Leónidas Acuña. Como por ejemplo el aprendizaje colaborativo,

aprendizaje basado en problemas y aprendizaje basado en proyectos, estas estrategias de

aprendizaje convierten a los estudiantes en protagonistas de su propio aprendizaje,

desarrollan sus competencias y refuerzan sus relaciones interpersonales, las cuales les

permiten adquirir un aprendizaje significativo.


En la Institución Educativa Leónidas Acuña de la ciudad de Valledupar, se observa en el acto pedagógico un proceso de la enseñanza - aprendizaje de la estadística con esquemas tradicionales, donde la herramienta que se considera corresponde, el habla, el tablero y el marcador. En el cual, el docente llega al aula de clase, dicta los conceptos de los temas programados, explica un ejemplo sencillo sin contextualizar su contenido y luego coloca una serie de ejercicios, los cuales el estudiante los desarrolla repitiendo solamente el algoritmo que el profesor le enseñó. En ese proceso repetitivo algorítmico, el estudiante



sigue sin entender lo que sucede en el contexto de los procesos epistemológicos, pedagógicos y didácticos de la construcción y apropiación de los objetos matemáticos y estadísticos que subyacen en el desarrollo del proceso de la Enseñanza-Aprendizaje, su aplicación y utilización contextualizada, de la estadística.

Para el logro de un aprendizaje significativo de la estadística, se requieren cambios de desarrollo integral en el binomio Docente/Estudiante, puesto que la monotonía con la que se aborda y presenta la temática objeto de este estudio, no permite al aprendiz la oportunidad de ser participe en la construcción de su propio saber, desencadenando esta situación equívoca en los estudiantes, desmotivación, fastidio, dejadez, desidia, indiferencia, apatía, desinterés, abandono; por ende, estos condicionantes desfavorecen desarrollar, la comprensión e interiorización de los procesos de aprendizajes, los conocimientos básicos y los contextos donde ellos tienen su aplicabilidad.

OBJETIVOS:

GENERAL:

Implementar estrategias pedagógicas que coadyuven, a fortalecer el proceso enseñanza –

aprendizaje de la estadística en los grados 6° y 7° de la Institución Educativa Leónidas

Acuña.

ESPECÍFICOS:

➢ Diagnosticar las actitudes de los grupos (experimental y control) antes de

implementar las estrategias que coadyuven, a fortalecer el proceso enseñanza –

aprendizaje de la estadística en los grados 6° y 7° de la Institución Educativa

Leónidas Acuña. Mediante la aplicación de un Pre – Test.

➢ Aplicar estrategias pedagógicas que coadyuven, a fortalecer el proceso enseñanza

– aprendizaje de la estadística en los grados 6° y 7° de la Institución Educativa

Leónidas Acuña.

➢ Comparar los resultados obtenidos en los grupos experimental y de control de los

grados 6° y 7° de la Institución Educativa Leonidas Acuña. A través de la

aplicación de un Post Test.

➢ Proponer las estrategias pedagógicas necesarias, para que los estudiantes

participen de manera activa y permanente en la enseñanza-aprendizaje de la

estadística en los grados 6° y 7° de la Institución Educativa Leónidas Acuña.

Referente teórico:

(Batanero, 2000), plantea que los fines principales de la enseñanza de la estadística, consisten en que los escolares lleguen a comprender y a apreciar el papel de la estadística en la sociedad, conociendo sus diferentes campos de aplicación y el modo en que la estadística ha contribuido a su desarrollo; lo mismo, que la comprensión, la valoración del



método estadístico, las formas básicas de razonamiento estadístico, su potencia y

limitaciones.

Resalta también, que lo más importante no son los contenidos específicos del módulo estadístico, sino desarrollar con ellos situaciones de aprendizaje, que les permita apropiarse de una actitud favorable hacía la construcción del saber estadístico, con unas formas de razonamiento y un interés por perfeccionar y profundizar posteriormente su proceso de aprendizaje. Concluye afirmando, que la principal razón del estudio de la estadística, es que los fenómenos aleatorios tienen una fuerte presencia en el ecosistema; razón por la cual, su gestión en el proceso enseñanza-aprendizaje, está directamente relacionado con

los problemas de su hábitat.

(Holmes, 1980), (citado en Batanero & Díaz, 2004); (Ortiz de Haro & Font Moll, 2011) (citado por Perdomo, 2016); (Cuétara, Salcedo & Hernández, 2016); (Franklin y cols, 2005) (citado por Batanero, 2009); coinciden en afirmar que es imprescindible la enseñanza de la estadística desde edades tempranas, fundamentalmente para ir formando en los individuos las habilidades requeridas en el procesamiento de información, el desarrollo del pensamiento estadístico-probabilístico y una cultura estadística a tono con los tiempos actuales.

Otros autores como (Perdomo, 2016), (Almidón, 2017), (Ranz, 2013), cuyos aportes a este proyecto investigativo están orientados a:

➢ Recomendar el uso de material didáctico construido a partir de actividades

cotidianas que le permitan al estudiante una mayor comprensión e interiorización de

conceptos estadísticos.

➢ Afirmar, que el aprendizaje cooperativo/colaborativo, es una metodología que

fomenta la motivación de los escolares, facilita que ellos trabajen juntos para

conseguir un objetivo común, maximiza la adquisición de conocimientos y permite

entender y respetar la diversidad y las diferencias culturales y de aprendizajes

individuales entre sus pares.

➢ Así mismo, consideran que el aprendizaje cooperativo/colaborativo, junto con el uso

de herramientas disponibles como son los softwares estadísticos, el blog y la

utilización de datos del mundo real, pueden ser el contexto idóneo para el proceso

de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas en educación secundaria.

➢ Por otro lado, los investigadores (González, 2018), (Riascos & Fávero, 2010), (Cruz,

Castaño & Bernal, 2011), (Fonseca & Marulanda, 2011), (citado por Díaz, Aguayo

& Cortés), (Batanero & Díaz, 2004), (Díaz, Aguayo & Corté, 2014), (San Román &

Marrón, 2015), (Anasagasti & Berciano, 2015), (García, 2016), cuyos aportes a este

proyecto investigativo están orientados al perfeccionamiento del proceso

enseñanza–aprendizaje de la estadística, utilizando como estrategias didácticas la

resolución de problemas y los proyectos, en sus diferentes investigaciones ellos

proponen que:

➢ Para promover el aprendizaje activo en el salón de clase, es necesario e

indispensable, usar tecnologías actualizadas e innovativas que propendan por



desarrollar conceptos y analizar datos; lo mismo, que usar la evaluación para

mejorar y evaluar el proceso aprendizaje de los estudiantes.

➢ Trabajar la estadística, y otros temas del currículum escolar mediante el desarrollo

de proyectos, puesto que ello forja una gran riqueza didáctica, pedagógica y

metodológica. Esto se justifica en que los estudiantes asumen una problemática de

su propio entorno y la resuelven usando los pasos de una investigación.

➢ La metodología, por proyectos, concibe una relación directa y significativa con

diferentes teorías de aprendizaje y principalmente, con las que centran su

importancia en el rol activo del estudiante en su proceso de aprendizaje, el rol de

mediador–facilitador del profesor y la riqueza del entorno del estudiante para

acceder a información necesaria para abordar la problemática que está

investigando.

➢ Los proyectos estadísticos y la resolución de problemas aumentan la motivación de

los estudiantes, permiten contextualizar la estadística y hacerla más relevante,

refuerzan el interés, se aprende mejor porque los datos son reales, y se introducen

ideas que no aparecen con los datos inventados por el profesor, se muestra que la

estadística no se reduce a contenidos matemáticos.

➢ La resolución de problemas estadísticos evalúa la lectura, el análisis e inferencia

sobre la distribución de dados y los conceptos estadísticos.

ESTRATEGIAS PEDAGÓGICAS:

Las estrategias son sinónimos de: habilidades, destreza, tácticas, maniobras, entre otros; razón por la cual, las estrategias pedagógicas son acciones, que realiza el docente con el propósito, de facilitar la formación y el aprendizaje de las disciplinas en los estudiantes; para lograr esto, se hace necesario que el docente posea las competencias disciplinares de su formación; además, ser un mediador entre el estudiante, el saber y el contexto, ser innovador, estar presto a los cambios que exige la sociedad, asumiendo un papel más dirigido hacia la organización de la información y hacia el diseño y práctica de estrategias didácticas, que permitieran una mayor participación, independencia y responsabilidad por

parte del estudiante (Joel, 2006).

Antanas Mockus (1984) la definen como aquellas acciones que realiza el maestro con el propósito de facilitar la formación y el aprendizaje de las disciplinas en los estudiantes. Para que no se reduzcan a simples técnicas y recetas deben apoyarse en una rica formación teórica de los profesores, pues en la teoría habita la creatividad requerida para acompañar la complejidad del proceso de enseñanza – aprendizaje.

METODOLOGIA:

De igual manera, el diseño utilizado fue no experimental, transaccional y de campo, puesto que, se realizó sin manipular deliberadamente la variable. Lo que se hizo, en este caso, fue observar los fenómenos tal como se dieron en su contexto natural, para después analizarlos; puesto que ellos se recolectaron en un solo momento y en un tiempo único. Además, se calculó el coeficiente Alpha Cronbach, con datos suministrado a través de la información proporcionadas por los 38 estudiantes, de los grados sextos y séptimo de la

https://www.monografias.com/trabajos4/acciones/acciones.shtml

https://www.monografias.com/trabajos6/juti/juti.shtml

https://www.monografias.com/trabajos13/indicrea/indicrea.shtml



Institución Educativa Leónidas Acuña del Municipio de Valledupar del Departamento del Cesar, a los que se le aplicó el instrumento de medición para estimar la confiabilidad del mismo, con alternativas de tipo escala Likert, ya que es considerado el más apropiado para instrumentos de varias alternativas de respuestas. Para el análisis de datos, el tratamiento estadístico utilizado fue el paquete bajo ambiente Windows, como las hojas de cálculo de EXCEL; se construyeron gráficos, con el fin de llevar a cabo el análisis estadístico respectivo.

RESULTADOS:

Conclusión de la dimensión actitudes de los grupos experimental y control.

Contraste entre el grupo control y experimental.

Se observa un claro aumento en el porcentaje del grupo experimental respecto al grupo control del 57%. Después, de las estrategias implementadas por el docente, los estudiantes tuvieron un cambio de actitud en el proceso enseñanza-aprendizaje de la estadística, ya que las actitudes son predisposiciones aprendidas por el sujeto para responder conscientemente de una manera favorable o desfavorable respecto a cualquier objeto o situación que presenta (Arenas, 2009).

Conclusión de la Dimensión Estrategias Didácticas. Contraste entre el grupo control y experimental.



Aquí encontramos que existe una diferencia significativa del 55% del grupo experimental respecto al de control. Los estudiantes consideran importante las estrategias didácticas implementadas en el proceso enseñanza – aprendizaje de la estadística, como fueron aprendizaje colaborativo, aprendizaje basado en problemas y aprendizaje basado en proyectos. Al estudiante se le dio la posibilidad de acercarse libremente a actividades académicas, como fue el afianzamiento de los conceptos y la posibilidad de aplicarlos a la solución de problemas cotidianos, entre otros, se les ayudo a reconocer la necesidad que tiene de afrontar por sí mismo, con autonomía y responsabilidad, la integridad de su formación (Rojas, 2007).

Conclusión de la Variable Estrategias Pedagógicas. Contraste entre el grupo control y experimental.

Aquí se observa una diferencia del 53% del grupo experimental respecto al grupo control. Esto se debe a que en el grupo experimental las estrategias implementadas en el proceso enseñanza – aprendizaje de la estadística fueron eficientes y eficaz. Ya que fueron planificadas y aplicadas a un conjunto articulado de acciones, permitieron conseguir el objetivo, sirvió para obtener determinados resultados. De manera que no se puede hablar de usar estrategias cuando no hay una meta hacia donde se orienten las acciones. (FONSECA, M. Y OTROS, 2007).

Además, se puede inferir que los estudiantes se mostraron interesados en la realización de las actividades propuestas a través de las estrategias implementadas, participaron activamente, intercambiaron ideas, obtuvieron un aprendizaje significativo.

CONCLUSIONES:

Las conclusiones están en función de los objetivos propuestos. Así:

➢ En cuanto al primer objetivo específico que consistió en Diagnosticar las actitudes

de los grupos (experimental y control) antes de implementar las estrategias que

coadyuven, a fortalecer el proceso enseñanza – aprendizaje de la estadística en los

grados 6° y 7° de la Institución Educativa Leónidas Acuña, una vez aplicado el pre-



test, al grupo de estudiantes para saber cuáles eran sus actitudes frente al proceso

enseñanza – aprendizaje de la estadística, se evidenció una actitud desfavorable,

un desinterés ante el proceso enseñanza – aprendizaje de la estadística.

➢ Con referencia a las Estrategias Didácticas, las cuales coadyuvan, a fortalecer el

proceso enseñanza – aprendizaje de la estadística en los grados 6° y 7° de la

Institución Educativa Leónidas Acuña, fue significativa, porque los estudiantes del

grupo experimental, mostraron tener una participación activa en el desarrollo de las

actividades a través del aprendizaje colaborativo, aprendizaje basado en problemas

y aprendizaje basado en proyecto, resaltando que el trabajo en equipo, permitió

fortalecer el proceso enseñanza – aprendizaje de la estadística.

➢ En el tercer objetivo, se comparan los resultados obtenidos en los grupos

experimental y de control de los grados 6° y 7° de la Institución Educativa Leónidas

Acuña, después de haber implementado las Estrategias Didácticas, a través de la

aplicación de un Pos-test. Se evidenció que el grupo experimental obtuvo mejores

resultados, las actividades propuestas fueron interesantes para ellos, ya que se

plantearon teniendo en cuenta el contexto, fueron problemas de la vida real, ellos

fueron autónomos en su aprendizaje, su participación fue activa, logrando así tener

un aprendizaje significativo.

Mientras que los estudiantes del grupo control continuaron presentando

desmotivación, desinterés en el proceso enseñanza – aprendizaje de la estadística.

Sus resultados fueron desfavorables, lo que evidencia que la metodología

implementada por el docente en este grupo fue totalmente tradicional.

Se concluye, que la propuesta de Implementar estrategias pedagógicas que

coadyuven, a fortalecer el proceso enseñanza – aprendizaje de la estadística en los

grados 6° y 7° de la Institución Educativa Leónidas Acuña, resulta ser viable para

convertirse en una alternativa válida, para los docentes que dejarían a un lado la

metodología tradicional en el proceso enseñanza – aprendizaje de la estadística.

Conduciendo a los estudiantes a participar de manera activa y permanente,

obteniendo así un aprendizaje significativo.

BIBLIOGRAFIA:

Carmen Batanero y Carmen Díaz (2004). El papel de los proyectos en la enseñanza y

aprendizaje de la estadística. Didáctica de las Matemáticas Universidad de Granada,

España; Metodología de las Ciencias del Comportamiento Universidad de Granada,

España.

Guido del Pino y Soledad Estrella. (2012). Educación estadística: relaciones con la

matemática. Departamento de Estadística, Pontificia Universidad Católica de Chile;

Programa de Doctorado en Didáctica de la Matemática, Pontificia Universidad Católica de

Valparaíso, Chile.



Guzmán V., Yelitza C., Centeno R., Manuel V., LA ENSEÑANZA DE LA ESTADÍSTICA

BASADA EN PROYECTOS PEDAGÓGICOS DE AULA, SEGUNDA ETAPA EDUCACIÓN

BÁSICA 2001- 2002.

Estrada García, Aurora, El aprendizaje por proyectos y el trabajo colaborativo, como

herramientas de aprendizaje, en la construcción del proceso educativo, de la Unidad de

aprendizaje TIC´S. RIDE Revista Iberoamericana para la Investigación y el Desarrollo

Educativo.

González, W. Y. (2018). Resolución de Problemas, una Estrategia para Aprender

Estadística. Universidad Externado de Colombia Facultad de Ciencias de la Educación

Maestría en Educación.



CAPÍTULO 15

Desarrollo del proceso de modelación matemática en licenciados en formación de

la Universidad del Atlántico

Zuriel Fitzgerald Peña Ubarne, María de los Ángeles Torre negra Giraldo y Jesús David Berrio Valbuena


INTRODUCCIÓN:

La modelación matemática, entendida como un proceso cuyo punto de partida es la

conceptualización de una situación o problema de la realidad (Blum, Galbraith, Henn y Niss,

2007) constituye un recurso en el aula de clases que permite relacionar las matemáticas

con situaciones de la vida cotidiana (Pantoja, Guerrero, Ulloa y Valdivia, 2016) sin embargo,

este proceso no se desarrolla de manera adecuada en la escuela, pues los docentes

conciben la modelación, como una aplicación matemática (Villa-Ochoa, Bustamante, Berrio,

Osorio y Ocampo, 2009).

En esta investigación en curso, se busca, mediante la implementación de una actividad

experimental propuesta, describir el proceso de modelación que surge del desarrollo de la

misma con estudiantes de la asignatura Didáctica del Cálculo del programa de Licenciatura

en Matemáticas de la Universidad del Atlántico.


La necesidad de estudiar y describir la realidad constituye un aspecto muy importante en el

desarrollo humano, ante los distintos avances tecnológicos y económicos se requiere de

individuos que relacionen las matemáticas con su entorno. De aquí que la modelación

matemática es considerada una alternativa pertinente para ser llevada al aula de clases,

pues permite desarrollar habilidades, expresar ideas, describir relaciones propias del

entorno y evaluar situaciones cotidianas (Ministerio de Educación Nacional, 1998). Sin

embargo, al momento de su implementación surgen algunas dificultades pues esta no se

aborda de manera adecuada, es decir, de una forma en que los estudiantes, analicen,

describan e interpreten situaciones problemas a través de procesos de modelación; pues

los docentes tienden a presentar la modelación como una aplicación matemática (Villa-

Ochoa et al., 2009) y por consiguiente aspectos importantes como la observación y

experimentación quedan por fuera de este proceso (Berrio, Peña y Torrenegra, 2018)

Esta investigación es relevante, porque mediante el diseño de actividades experimentales

en el aula, se propone desarrollar aquellas etapas que en la práctica no se dan o que los

docentes no desarrollan como se ha argumentado antes.



Se espera que, a partir de los resultados obtenidos y las discusiones abordadas, se generen

espacios de reflexión y discusión sobre la modelación matemática y su desarrollo en el aula,

al tiempo que analizar cómo influye la tecnología en dicho proceso.

OBJETIVOS:

OBJETIVO GENERAL:

Analizar el desarrollo de los procesos de modelación matemática a través de actividades

experimentales en licenciados en matemáticas en formación.


➢ Diseñar actividades experimentales factibles dentro del aula para el desarrollo de

los procesos de la modelación matemática en licenciados en formación.

➢ Crear espacios para la implementación de actividades experimentales para el

desarrollo de los procesos de la modelación matemática en el aula.

➢ Identificar el desarrollo de los procesos de la modelación matemática en el aula partir

de actividades experimentales.

REFERENTE TEÓRICO:

ANTECEDENTES:

En pro de los objetivos anteriormente planteados, se ha hecho una revisión bibliográfica

sobre investigaciones que aporten significativamente a nuestra investigación y que permitan

alcanzar los objetivos propuestos.

En Chile, tenemos el artículo titulado El conocimiento de la modelación matemática desde

la reflexión en la formación inicial de profesores de matemática. Investigación realizada por

Huincahue, Borromeo-Ferri y Mena-Lorca (2018), que aporta significativamente a nuestro

trabajo de investigación porque resalta la importancia de la modelación matemática y una

reflexión sobre esta en la formación inicial de profesores de matemáticas.

Entre tanto, en Argentina, para Cuenca, Palauro, Astiz y Vivera (2019) en su artículo titulado

La modelación matemática. Análisis de entrevistas a docentes y su material de clase, nos

aporta la distinción entre la modelación matemática y los problemas de aplicación

matemática los que referencia como “pseudo-modelización” lo que deja en evidencia la

necesidad de desarrollar los procesos de modelación matemática con licenciados en

formación.

En Colombia, en la ciudad de Medellín; Marín, Correa y Gómez (2015) en su investigación

titulada La modelación matemática en la formación inicial de profesores de matemáticas:

visiones de algunos formadores, respalda en nuestro trabajo lo que se formula en el



planteamiento del problema y su justificación; pues hace referencia a la necesidad de que

los profesores desarrollen procesos de experimentación y reflexionen sobre la modelación

como una metodología de enseñanza y su implementación en el aula..

Modelación matemática:

La modelación matemática es un proceso constituido por una serie de fases o acciones denominadas ciclos de modelación, el cual inicia con la determinación de un problema o un fenómeno de la realidad, que posteriormente es sometido a la observación, y a la experimentación con el fin de obtener datos que permitan comprender y/o identificar a profundidad todos los actores involucrados en dicho fenómeno, con el objetivo de determinar la construcción más adecuada que represente el fenómeno estudiado (Villa-Ochoa y Ruiz, 2009).

Entretanto para Huincahue, Borromeo-Ferri y Mena-Lorca (2018) la modelación matemática es un proceso que conecta elementos de naturaleza no matemática con el conocimiento matemático, y que además es un proceso de traducción entre el mundo real y las matemáticas, en ambas direcciones.

A continuación, presentamos un esquema de un ciclo de modelación y su explicación, como referente a nuestra investigación:

Figura 1. Ciclo de modelación propuesto por Blum y Borromeo-Ferri (2009)

Las fases que presenta el ciclo son las siguientes:

➢ Inicia con una situación real que puede ser representada por una imagen, un texto

o ambos. En esta etapa se presentan los procesos de experimentación,

abstracción, simplificación e interpretación.

➢ Se crea una representación mental de la situación para analizar la información de

la situación real.

➢ Se produce una transición de teorización del problema para llegar a un modelo

real, este proceso es más consciente que el anterior, y dependiendo del problema

se involucra el conocimiento extra matemático.

➢ Se presenta un proceso de matematización que genera un modelo matemático

basado en el conocimiento extra matemático.

➢ Se obtienen resultados matemáticos que se interpretan y conducen a resultados

reales que se validan en la representación mental o en el modelo real.



METODOLOGÍA:

Esta investigación es de tipo cualitativo pues se pretende describir el desarrollo del proceso de modelación matemática de licenciados en formación.

Para esta investigación se desarrolló una actividad experimental en el aula con estudiantes del curso de Didáctica del Cálculo del programa de Licenciatura en Matemáticas de la Universidad del Atlántico. Esta actividad contó con 23 estudiantes que participaron de forma activa.

La actividad consistió en el lanzamiento de 100 dados y aquellos que quedaban con la cara superior en el número 5 se retiraban, de nuevo, los dados restantes se lanzaban y se repetía la acción, hasta completar 10 lanzamientos. Además de esto, se plantearon unos interrogantes que los estudiantes debían responder. Las preguntas son las siguientes:

➢ ¿Qué variables identificaste en la experiencia?

➢ ¿Cómo se comportan los datos?

➢ ¿Qué relación puede establecerse entre las variables?

➢ ¿Qué tipo de función representa la experiencia?

➢ Para los lanzamientos 15 y 16 ¿cuántos dados quedarán?

➢ ¿En qué lanzamiento ya no quedarán dados?

Con la actividad definida, planteamos un análisis a priori teniendo como referencia el ciclo de modelación elaborado por nosotros a partir del desarrollado por Blum y Borromeo-Ferri (2009):

Figura 2. Ciclo de modelación: elaboración propia.

En el cual se describen las siguientes fases:

➢ Situación problema: Esta surge de un entorno concreto de la realidad, la cual puede

representarse y simularse en distintas formas ya sean gráficas o mentales con la

finalidad de simplificar y estructurar la situación problema.

➢ Registro gráfico: En esta etapa, Se procede a representar los datos de manera

gráfica ya sea por medio de diagramas de dispersión, etc.



➢ Análisis de datos: Una vez ya se ha hecho la observación de los mismos, se procede

a identificar una relación matemática entre las variables que intervienen en el

fenómeno estudiado.

➢ Formulación del modelo matemático: A partir del análisis de los datos y su

comportamiento, se procede a establecer una ecuación o fórmula matemática que

explique la relación previamente identificada.

➢ Validación del modelo: El objetivo de esta fase, consiste en la confrontación de los

datos obtenidos con el comportamiento de las variables involucradas y el análisis

gráfico que se ha realizado con anterioridad.

➢ Solución matemática: Si la validación es positiva, se interpreta que la relación

resultante de este proceso es el modelo matemático que mejor se aproxima a la

solución de la situación problema.

En el análisis a priori, se espera que el estudiante siga, de manera natural, la mayoría de

los pasos registrados en nuestro ciclo y logre llegar a una buena aproximación de la solución

del problema.

RESULTADOS:

Después de la implementación de la actividad experimental en el aula, realizamos un análisis a posteriori que nos arrojó los siguientes resultados:

Primeramente, se lanzaron los dados y simultáneamente los licenciados en formación registraron los datos en su cuaderno de notas o apuntes. (ver figura 3)

Figura 3. Lanzamiento y recolección de datos

Luego de esto, los estudiantes procedieron a realizar una organización de los datos obtenidos, algunos a manera de tabla y otros de manera proporcional a la medida en que esos se iban obteniendo. (ver figura 4).



Figura 4. Organización de los datos

Una vez hicieron esto procedieron a realizar la matematización de los datos, es decir,

establecer una relación entre las variables que identificaron mediante procesos aritméticos.

Como la diferencia entre el número total de dados y los dados que se iban retirando en

cada lanzamiento. (ver figura 5).

Figura 5. Matematización

Otros estudiantes, sin hacer un análisis completo del comportamiento de los datos, y con base en las inferencias hechas a partir de estos, plantearon el modelo matemático de decaimiento poblacional. Aquí no se hizo la matematización del problema; sino que formularon el modelo debido a que ya habían tomado un curso de ecuaciones diferenciales.

Luego de esto, empezaron a hacer pruebas con el modelo, es decir, verificaciones utilizando algunos datos de la tabla, como el primero y el segundo, lo que produjo que el modelo que plantearon no fuese satisfactorio para el fenómeno estudiado, por lo tanto, algunos estudiantes cambiaron los datos que tomaron para encontrar los valores de las constantes c y k que intervienen en el modelo, y nuevamente verificaron si era una aproximación más cercana que la que habían encontrado anteriormente. Aquellos que consideraron que su aproximación era correcta procedieron a resolver los interrogantes planteados.

Partiendo de lo anterior, observamos que los estudiantes, si bien organizaron los datos que se iban obteniendo en tablas, no hicieron una representación gráfica de los mismos, sino que de inmediato procedieron a matematizar la situación planteada, dejando de lado el registro gráfico, lo que influyó en su posterior interpretación y análisis, pues obviaron un aspecto importante que se propone en el ciclo de modelación como lo es la observación.

Por último, los resultados que se obtuvieron de dichos modelos no fueron contextualizados en la situación problema para resolver los interrogantes planteados, es decir, sus conclusiones a predicciones futuras estaban fuera de la realidad, teniendo en cuenta que el cero es una asíntota de la función exponencial, por consiguiente, para valores muy

grandes de t la cantidad de dados nunca iba a ser cero.



Con base en lo anterior y teniendo en cuenta lo que los estudiantes hicieron a lo largo del experimento se esquematizaron los pasos o las fases que iban mostrando al abordar la situación problema. Tales pasos se representan en la siguiente figura:

Figura 6. Esquema del ciclo realizado por los estudiantes.

Conclusiones:

Algunas conclusiones que sacamos de la investigación realizada son:

➢ Se evidencia una fuerte aceptación por parte de los estudiantes a las actividades

de experimentación en el aula, pues estas les permiten tener una mejor

contextualización de los problemas de modelación matemática.

➢ Existen dificultades en la resolución de problemas de modelación matemática por

parte de los estudiantes, pues la noción de modelación matemática que tienen

consiste en una aplicación o problema matemático.

➢ El realizar actividades de experimentación en el aula, les da a los estudiantes una

noción de realidad más concreta, lo que permite realizar inferencias ajenas a los

marcos abstractos de la solución, teniendo así respuestas incongruentes con la

realidad y entendiendo, con irresoluble, que el modelo tiene sus limitaciones al

tratarse de una aproximación al fenómeno estudiado.

BIBLIOGRAFIA:

Berrio, J., Peña, Z. y Torrenegra, M. (2018). Estrategias didácticas para el desarrollo de

procesos de modelación con ecuaciones diferenciales desde la perspectiva STEM.

Memorias: Cuarto Encuentro Internacional de Investigación en Educación Matemática. 347-

352.



Blum, W., Galbraith, P.L., Henn, H.-W. y Niss, M. (Eds.) (2007). Modelling and Applications

in Mathematics Education. The 14th ICMI Study. New York, NY: Springer Science +

Business Media, LLC.

Blum, W. y Borromeo-Ferri, R. (2009). Mathematical Modelling: Can it Be Taught and

Learnt? Journal of Mathematical Modelling and application, 1(1), 45-58.

Cuenca, M., Palauro, L., Astiz, M. y Vivera, C. (2019). La modelización matemática. Análisis

de entrevistas a docentes y su material de clases. Revista de Educación, (16), 161-172.

Fernández-Sánchez, O. y Angulo-Cruz, M. (2019). Proceso de modelación en clase de

matemáticas. Scientia et Technica, 24(1), 97-103.

Huincahue, J., Borromeo-Ferri, R. y Mena-Lorca, J. (2018). El conocimiento de la

modelación matemática desde la reflexión en la formación inicial de profesores de

matemática. Enseñanza de las ciencias, 1(36), 99-115.

Marín, A., Correa, M. y Gómez, P. (2015). La Modelación Matemática en la formación inicial

de profesores de matemáticas: visiones de algunos formadores. (Informe técnico de

investigación. Recuperado de:

http://ayura.udea.edu.co:8080/jspui/bitstream/123456789/1855/1/Informe_t%C3%A9cnico

_Mar%C3%ADn_Correa_G%C3%B3mez_Modelaci%C3%B3n_julio9.pdf.

Ministerio de Educación Nacional. (1998). Lineamientos Curriculares: Matemáticas. Bogotá:

Magisterio.

Pantoja, R., Guerrero, M., Ulloa, R. Valdivia, S. (2016). La modelación matemática en

situaciones problema de la vida cotidiana. Seminario Repensar las Matemáticas.

Recuperado de https://repensarlasmatematicas.files.wordpress.com/2016/03/s83-

documento-de-referencia-bis.pdf.

Suárez, L. y Cordero, F. (2010). Modelación-graficación, una categoría para la matemática

escolar. Resultados de un estudio socioepistemológico. Revista Latinoamericana de

Investigación en Matemática Educativa, 13(4-II), 319-333.

Villa-Ochoa, J. y Ruiz, H. (2009). Modelación en educación matemática: una mirada desde

los lineamientos y estándares curriculares colombianos. Revista Virtual Universidad

Católica del Norte, (27), 1-21.

Villa-Ochoa, J., Bustamante, C., Berrio, M., Osorio, J. y Ocampo, D. (2009). Sentido de

realidad y modelación matemática: el caso de Alberto. ALEXANDRIA, 2(2), 159-180.



CAPÍTULO 16

Conociendo el Cielo desde la Ruralidad: una Mirada a la Luna desde la Comunidad

de la Institución Educativa de Aguas Blancas (IEAB)

Dallanis Vides y Zurieth Guerra

Universidad Popular del Cesar

INTRODUCCIÓN:

el presente trabajo de grado busca facilitar la exploración de saberes tradicionales que han

construido a lo largo del tiempo los miembros de la comunidad de Aguas Blancas

(corregimiento de Valledupar) acerca de la astronomía, específicamente, sobre la luna para

conocer la influencia que tiene sobre sus prácticas cotidianas. Para conseguirlo, se les

proporcionarán las herramientas y los espacios de interacción y discusión necesarios a

veinticinco (25) estudiantes de grado 6 de la IEAB para que sean ellos y ellas quienes

exploren los saberes locales y los pongan en diálogo con los conceptos científicos que se

plantean desde la astronomía. Este ejercicio, basado en la Investigación Acción

Participativa, busca fortalecer sus habilidades metacognitivas y científicas, y su

competencia comunicativa. Después de que investiguen, sistematicen la experiencia, la

representen de una forma creativa y la presenten a la comunidad, se espera que los

aprendizajes sean validados por los pobladores locales, de modo que su retroalimentación

enriquezca y promueva el valor del conocimiento propio y científico de la comunidad.


las y los miembros de la comunidad que integran la IEAB han ido transmitiendo de

generación en generación algunas prácticas cotidianas que se ven influidas por la luna.

Aunque es muy probable que conozcan las razones que las motivan, es posible que no las

hayan visibilizado ni sistematizado. Indagar, promover un diálogo entre saberes

tradicionales y académicos, y presentar de manera creativa los hallazgos a la propia

comunidad puede motivar la identificación de estrategias que fortalezcan sus habilidades

metacognitivas y su competencia comunicativa. Asimismo, se espera que este proceso

investigativo contribuya a un acercamiento de los y las participantes a las ciencias naturales

que resulte atractivo y pertinente a su contexto. Es importante recordar que las

comunidades rurales quieren armonizar la riqueza del conocimiento local con la cultura

global, pero muchas veces no cuentan con herramientas para lograrlo (PEER, 2018). Por

tanto, esta experiencia piloto es una invitación a la comunidad local para que reafirme el

valor de sus conocimientos propios y promueva el pensamiento científico en adolescentes

y jóvenes mediante el estudio de la astronomía.



OBJETIVOS:

GENERAL:

Estimular el pensamiento científico de adolescentes y jóvenes de la IEAB por medio del fortalecimiento de las habilidades investigativas, la apropiación de saberes tradicionales y académicos, y la producción artística, de modo que puedan indagar acerca de la influencia de la luna en las prácticas cotidianas de la comunidad local.

ESPECÍFICOS:

➢ Formar de manera continua a adolescentes y jóvenes de la IEAB para fortalecer sus habilidades investigativas, de manera que conozcan y expresen de forma clara y creativa cómo influye la luna en las prácticas cotidianas de la comunidad local.

➢ Visibilizar la experiencia pedagógica que se construyó con los y las participantes de la IEAB en escenarios formales e informales a nivel local, regional y nacional a fin de aportar a la construcción de procesos educativos innovadores y pertinentes para la ruralidad.

REFERENTE TEÓRICO:

desde tiempos remotos, la humanidad ha sentido fascinación por la inmensidad y el enigma

de los cielos que le rodean. La curiosidad le ha permitido formular múltiples explicaciones

a sus interrogantes, de acuerdo con la cosmovisión de cada comunidad. Así, han surgido

conocimientos que se han transformado con el tiempo en lo que hoy llamamos astronomía,

saber científico, y astrología, un intento por explicar las influencias de los fenómenos

celestes sobre las vidas y el destino de las personas. Ambas se han construido a partir de

unos discursos hegemónicos que surgieron en el marco de la experiencia histórica europea,

considerada durante siglos como la única forma válida, objetiva y universal de conocimiento

(Lander, 2003).

Como resultado, se ha promovido una colonización cultural y epistemológica (Gómez-

Quintero, 2010) en nuestra América que nos ha impedido reconocer y visibilizar los saberes

ancestrales/tradicionales de las comunidades locales. Por tanto, el desafío que se le

➢ Propiciar espacios de aprendizaje colaborativo entre los y las estudiantes de la IEAB que les permitan apropiarse de conocimientos formales sobre la interacción de la luna con la tierra.

➢ Potenciar el pensamiento analítico de los y las participantes por medio del diálogo entre saberes tradicionales y formales sobre la influencia de la luna en las prácticas cotidianas de la comunidad de Aguas Blancas.

➢ Estimular la creatividad de los y las estudiantes para enriquecer el proceso de representación de los saberes construidos, de manera que puedan darlos a conocer a la comunidad local.



presenta a la comunidad científica en la actualidad consiste en cuestionar el creciente

proceso de institucionalización de saberes, tecnologías y sistemas (Adames, 2007) para

proponer escenarios de exploración y aprendizaje en los que se promueva un constante

diálogo horizontal de saberes, como un esfuerzo intencional por detectar el valor creativo e

interpretativo de lo negado, oprimido o marginado por el logos moderno (de la Garza, 2002).

El reconocimiento de la validez de los saberes tradicionales/ancestrales y los científicos

acerca de la relación e influencia de los fenómenos celestes sobre la vida y cotidianidad de

la comunidad local de Aguas Blancas puede ser un ejercicio investigativo que puede arrojar

hallazgos interesantes y, a la vez, puede convertirse en una experiencia piloto que

contribuya a superar la marcada brecha entre los saberes rurales y los entornos

académicos urbanos (PEER, 2018).

METODOLOGÍA:

diseño de investigación no experimental, investigación cualitativa de tipo exploratoria. La

investigación se realizará con veinticinco (25) estudiantes de grado 6 de la IEAB. La

información se recogerá mediante observaciones, entrevistas, grupos focales, soporte

audiovisual y triangulación del proceso investigativo.

RESULTADOS ESPERADOS:

elaboración y publicación de un (1) artículo de investigación tipo D; comunicación con

enfoque en las relaciones entre ciencia, tecnología y sociedad; dos (2) trabajos de pregrado;

y apoyo a programas y cursos de formación de investigadores.

Bibliografía:

Adames, E. (2007) “Hegemonía y cultura científica: base para un debate entre ciencias”.

Tareas (125), 5-29.

De la Garza, M. (2002) Política de la memoria. Una mirada sobre Occidente desde el

margen. Barcelona: Anthropos.

Gómez-Quintero, J. (2010) “La colonialidad del ser y del saber: la mitologización del

desarrollo en América Latina”. AGO.USB, 10(1), 1-105.

Lander, E. (2000) “Ciencias Sociales: saberes coloniales y eurocéntricos” en E. Lander

(comp.) La colonialidad del saber: eurocentrismo y Ciencias Sociales. Perspectivas

latinoamericanas. Buenos Aires: CLACSO, 11-40.

Mesa Nacional de Educación Rural (2018) Plan Especial de Educación Rural (sin publicar).



CAPÍTULO 17

Enseñanza de la estadística: Un desafío abordado por la modelación matemática

Roberto Carlos Caballero Flórez, Marlon de Jesús Rondón Meza

Universidad Popular del Cesar

INTRODUCCIÓN:

Debido a lo complejo de enseñar estadística se denotan falencias en los estudiantes de la

básica primaria del municipio de la Jagua de Ibirico-Cesar, en el análisis de la información

en diferentes contextos. Implicando a diseñar estrategias significativas basadas en la

investigación acción de enfoque experimental para la enseñanza de gráficos estadísticos

con ayuda de la modelación matemática y así conectar a la escuela con la sociedad actual.


Descripción de la situación problema que soporta al estudio, además de la relevancia,

pertinencia e impacto del proyecto de investigación. (Máximo 250 palabras).

OBJETIVOS:

OBJETIVO GENERAL:

Diseñar estrategias significativas para la enseñanza de la estadística del grado quinto de la I.E. Luis Carlos Galán utilizando la modelación matemática como herramienta didáctica.


➢ Aplicar estrategias significativas para la enseñanza de gráficos estadísticos mediante la modelación matemática para estudiantes del grado quinto en la I.E. Luis Carlos Galán.

➢ Describir las dificultades del análisis de gráficos basados en la modelación

matemática de los estudiantes del grado quinto en la I.E. Luis Carlos Galán

➢ Categorizar las dificultades de los estudiantes del grado quinto de la I.E. Luis Carlos Galán en el análisis de gráficos estadísticos.



REFERENTE TEÓRICO:

En este capítulo se hace un breve recuento sobre los temas de la modelación matemática

como estrategia didáctica y la enseñanza del análisis de gráficas estadísticas, dichas

referencias nos permiten comprender los avances y las dificultades que se han venido

observando por algunos investigadores sobre estas problemáticas. A través de un proceso

de búsqueda bibliográfica, la temática de la estadística ha sido un punto crítico en

investigación; el análisis de gráficos estadísticos, es poco común dentro de los trabajos

investigativos realizados en el país.

La modelación en la enseñanza de las matemáticas es un ítem que cada día cobra más

fuerza en Educación Matemática; basta simplemente con revisar la bibliografía existente

para darse cuenta de la magnitud de su impacto a nivel curricular, didáctico y pedagógico,

en ese sentido la modelación es vista como una práctica de enseñanza que coloca la

relación entre el mundo real y la matemática en el centro de la enseñanza y el aprendizaje

de todas las ciencias (Blomhøj, 2004).

Según Biembengut, M.; & Hein, N. (2004), existen razones de peso para defender el

proceso de modelación en la Educación Matemática, en particular, desde la postura que

enseña matemáticas dado que con su implementación se busca:

➢ Integración de las matemáticas con otras áreas del conocimiento

➢ Interés de las matemáticas frente a su aplicabilidad

➢ Mejoría de la aprehensión de los conceptos matemáticos

➢ Capacidad para leer, interpretar, formular y resolver situaciones-problema

➢ Estimular la creatividad en la formulación y resolución de problemas

➢ Habilidad en el uso de la tecnología

➢ Capacidad para actuar en grupo

➢ Orientación para la realización de la investigación

➢ Capacidad para redactar una investigación.

Algunas investigaciones relacionadas se citan a continuación:

• Simkin y Hastie (1987). Un análisis de procesamiento de información de Percepción

de gráfico, este cuya intención se centra en el proceso cognitivo de decodificar la

información presentada en los gráficos estadísticos.



• Cleveland (1983) Una ilusión óptica causada por el color en un gráfico estadístico,

esta investigación está enfocada en la importancia que tiene el color dentro de las gráficas

estadísticas y los efectos de la percepción por parte de las personas.

• Shepard (1978). La imagen mental establece que los procesos mentales como la percepción se operan en el cerebro a través de relaciones con imágenes que fundamenta la finalidad de esta investigación.

METODOLOGÍA:

La metodología de la investigación acción con enfoque experimental abordado por Kemmis

y McTaggart (1992) plantea un cambio que involucra a los docentes, su quehacer

pedagógico mediante el conocimiento y la transformación continua en su labor, mediante el

trabajo colaborativo.

Según esta ciclo continuo en fases de planeación, acción, descripción y evaluación

caracteriza una educación contextualizada donde participan los actores de la educación y

le da un soporte a esta investigación con el objetivo de diseñar estrategias significativas

para la enseñanza de la estadística del grado quinto de la I.E. Luis Carlos Galán en el

municipio de la Jagua de Ibirico (Cesar) utilizando la modelación matemática apoyado de

las teorías Biembengut, M., & Hein, N. (2004) y Blomhøj, M. (2004) los cuales han

desarrollado estudios que son pertinentes para esta investigación dado que establecen que

las actividades de innovación, creatividad y modelación los maestros mejoran su práctica

de aula y el estudiante mejora en su aprendizaje por tanto el impacto que se desea alcanzar

es que los estudiantes mejoren los resultados de las pruebas saber 5° podrán interpretar

gráficos estadísticos.

RESULTADOS:

Se realizó una prueba diagnóstica para verificar los supuestos de la investigación donde

más del 60% de los estudiantes no lograron el mínimo esperado y se han implementado

actividades enmarcadas en la comprensión y el análisis de situaciones del contexto donde

se crearon espacios de transversalidad con otras áreas del saber y han motivado a los

estudiantes de la básica a observar la estadística como un área más allá de algoritmos y

formulas a su vez se tiene la intención dar una mayor efectividad y dinamismo a enseñanza

de la estadística, donde el estudiante demuestre su capacidad y competencias

matemáticas.

CONCLUSIONES:

La implementación de estrategias significativas enmarcadas en el contexto de la

modelación matemática ha permitido que los estudiantes comprendan de manera adecuada

los conceptos relacionados con los gráficos estadísticos y su interpretación, puesto que son



pertinentes y aterrizados a los contextos de su cercanía. Para validar el avance de la

investigación se tiene visionado implementar un instrumento evaluativo de conocimientos

“post-test” donde cada estudiante de la muestra seleccionada pueda demostrar sus

habilidades y conocimientos al ser evaluados.

BIBLIOGRAFIA:

Biembengut, M., & Hein, N. (2004). Modelación matemática y los desafíos para enseñar matemática. Educación matemática, 16 (2), 105-125.

Cleveland, W. (May, 1983). A Color-Caused Optical Illusion on a Statistical Graph, McGill, pp. 101-105.

Kemmis, S. & Mctaggart, R. (1992). Cómo planificar la investigación-acción, Barcelona: Laertes

Sherpard, R (1978). The mental image. American psychologist, 1978, 33, 125-137.

Simkin, D & Hastie, R (1987). An Information-Processing Analysis of Graph Perception,

41(398).



CAPÍTULO 18

Diseño de un Entorno Virtual de Aprendizaje con una orientación en investigación

positivista en la licenciatura de matemáticas de la Universidad del Atlántico.

Emma Ruby Flórez Maldonado, Isabella Escorcia Quiroz.

Universidad del Atlántico.

Planteamiento del problema y justificación:

Problemática de investigación.

Planteamiento de problema:

El problema de generar nuevos conocimientos a través del uso de un Entorno Virtual de

Aprendizaje para desarrollar la investigación con orientación positivista en el pregrado de

las Universidades Públicas Colombianas, caso Universidad del Atlántico. Se genera en él,

un cambio de paradigma; “la enseñanza y aprendizajes a través de la comunicación virtual

hasta la producción de conocimiento e innovación en matemáticas”. Se pretende lograr la

formación de futuros licenciados en matemáticas con habilidades cognitivas e innovadoras,

con capacidad de crítica, de análisis, de experimentación, en consecuencia, esta

investigación plantea la necesidad de crear estrategias comunicacionales que acerquen a

los estudiantes a la adquisición de las habilidades mencionadas.

Pregunta problemática:

¿De qué manera se Diseñará un entorno virtual de aprendizaje con una orientación en investigación positivista en la licenciatura de matemáticas de la Universidad del Atlántico?

Justificación de problema:

Los encuentros virtuales, tienen como objetivo compartir experiencias, conocimientos,

discutir, investigar, solucionar problemas de manera conjunta, intercambiar información y

construir conocimiento de manera colaborativa. La flexibilidad que caracteriza a los

entornos virtuales de aprendizaje e investigación es relacionada con el tiempo que invierten

los estudiantes para acceder a los contenidos, interactuar con sus compañeros, realizar

actividades en línea, realizar las evaluaciones y producir conocimientos.

El lenguaje que se construye mediante la interrelación entre los estudiantes, tutor y docentes, favorece el aprendizaje colaborativo, pues permiten la discusión de textos, antecedentes, líneas de investigación, permiten además la construcción de significados en grupo mediante herramientas propias de las plataformas online (chat, carteleras de discusión, foros, teleconferencias, entre otras herramientas.) y de herramientas informáticas



que permiten la implementación de estrategias didácticas como mapas conceptuales y redes semánticas, manteniendo los sistemas y el orden de los contenidos de interese e investigación.

OBJETIVOS:

Objetivo General:

Diseñar un entorno virtual de aprendizaje para desarrollar la investigación con orientación positivista en la licenciatura de matemáticas de la Universidad del Atlántico.

Objetivos Específicos:

➢ Diagnosticar el estado actual del uso de las herramientas empleadas por los

estudiantes para realizar sus investigaciones en la licenciatura en matemáticas.

➢ Identificar los fundamentos teóricos según el paradigma positivista en la licenciatura en matemáticas.

➢ Crear el diseño de la plataforma virtual y la aplicación en Android.

Referente teórico:

El enfoque teórico, de la presente investigación va en la dirección de la resolución de problemas y de generar nuevos conocimientos a través del uso de la comunicación virtual y la enseñanza de las matemáticas, de igual forma pretende lograr la formación de futuros licenciados con desempeños en generación de nuevos conocimientos e innovadores en las ciencias básicas.

Entorno Virtual de Aprendizaje (EVA):

Un entorno virtual de aprendizaje es un espacio apoyado en el uso de las herramientas de información y comunicación, en el cual confluyen diversos elementos con un propósito fundamental: la formación del estudiante, que implica el desarrollo de las diferentes dimensiones del ser (Restrepo, 1999), entre ellas específicamente, la que refiere a la

construcción del conocimiento.

Entornos virtuales de aprendizaje como herramientas para generar nuevos conocimientos:

Conocido como “ambiente de aprendizaje”. Éste se define, entonces, como un conjunto de experiencias que permite que el estudiante de matemáticas use de manera estructurada para su formación profesional como investigador y como maestro, los procesos autónomos



de construcción de conocimiento propios de la disciplina y, preferencialmente, habilidades

de conocimiento dentro de ella, bajo el enfoque positivista.

Aportaciones del Positivismo y del enfoque cuantitativo a la investigación:

El positivismo define la concepción del mundo con exigencia propia independiente de quien lo estudia; está gobernado por leyes que permiten explicar, predecir (pronosticar) y controlar los fenómenos del mundo natural, que pueden ser descubiertos y descritos de manera objetiva y libre de valoraciones o especulaciones de los investigadores. (Gómez-Armijo, 2006, p. 18-19).

METODOLOGIA:

La presente propuesta de investigación, toma como conductor metodológico el paradigma

positivista, de tipo exploratorio, aplicado al ámbito educativo e investigativo, la asociación

de los problemas de investigación con los resultados y la intervención de la estrategia, uso

de un Entorno Virtual de Aprendizaje para desarrollar la investigación positivista en el

pregrado de licenciatura en matemáticas de la universidad del Atlántico, como una

producción de nuevos conocimientos e innovación.

La implementación del en la EVA Universidad del Atlántico, se requirió:

a) Innovar el funcionamiento de los canales de comunicación digital: En la transmisión de

la información, especialmente en la recepción de documentos multimedia comprimidos o

en tiempo real.

b) En la calidad tecnológico- Investigativa de la información: Se genera contenidos teóricos

que sirven de base para otras investigaciones y se elabora gráficos sobre investigaciones.

c) En el diseño metodológico y organizativo de la acción Investigativa: Se observa, describe,

sistematiza, evalúa la equidad de género en Colombia, de acuerdo a las líneas de

investigación seleccionadas, teniendo en cuenta los siguientes aspectos: Estadístico,

normativo y administrativo. Hubo transmisión de contenido relacionados con la formación

social y ética de los ciudadanos mujeres, para comparar los datos con su par ciudadano y

de género. También se le da uso de los sistemas de seguimiento, evaluación y tutorización

automática, partiendo de diseños pre-elaborados.

RESULTADOS:

Productos esperados:

De esta investigación se espera:



➢ Un Entorno Virtual De Aprendizaje (EVA).

➢ Una aplicación de sistema Android.

➢ Restaurar en la investigación los ERP.

Conclusiones:

Esta investigación se presenta como un acercamiento entre la tecnología y la sociedad. Se

tiene, en su horizonte, la hipótesis de que los Entornos Virtuales para el Aprendizaje EVA,

propician una formación integral, más amplia que los contenidos planos entregados en un

aula regular, los EVA, acercan al estudiante al mundo actual globalizado de manera

instantánea y real, a través de la mediación de las tecnologías, de igual forma pretende

lograr la formación de futuros licenciados con desempeños en generación de nuevos

conocimientos e innovadores en las ciencias básicas tomando en consideración el enfoque

positivista de investigación.

Profundiza la formación pedagógica en procura de que los maestros futuros, en su proceso

de apropiación tanto de habilidades como de conocimientos, hagan de la experiencia de

aprendizaje el presupuesto que serán investigadores autónomos en construcción de nuevos

conocimientos propios de la disciplina matemáticas.

Finalmente, esta investigación realizada con estudiantes del semillero de Investigación

MTG, tiende a ofrecer algoritmos para la producción de conocimientos e innovación de las

enseñanzas de las matemáticas online en la educación superior de las universidades

públicas de Colombia.

Bibliografia:

AHMED, A. (2003). Instructional Design and online instruction: Practices and perception.

Vol. 47, ISS. 5; pg. 42. Tech Trends. Washington.

BAKER, L. y BROWN, A. (1984). Cognitive monitoring in Reading. en Flood, J. (Eds.)

Understanding Reading Comprehension: Cognition, Language and the Structure of Prose.

Delaware: I.R.A. (pp. 21-43)

CHEVALLARD, Y. (1991). La transposición didáctica. Buenos Aires. Editorial Aique

FLAVELL, J.H. y WELLMAN, H.M. (1977) Metamemory. En Perspectives on the

development of memory and cognition. Hillsdale, NJ: Erlbaum. 3-33

CRESWELL, J.W. (2005) Educational research: Planning, conducting and evaluating

cuantitative and qualitative research (2da. Ed.) Upper Saddle River, NJ, EE.UU.: Prentice-



Hall. (Citado por Hernández Sampieri, Roberto; Carlos Fernández Collado y Pilar Baptista

Lucio, 2010).



CAPÍTULO 19

Diseño de un Entorno Virtual de Aprendizaje con una orientación en investigación

positivista en la licenciatura de matemáticas de la Universidad del Atlántico.

Emma Ruby Flórez Maldonado, Isabella Escorcia Quiroz.

Universidad del Atlántico.

PLANTEAMIENTO DE PROBLEMA:

El problema de generar nuevos conocimientos a través del uso de un Entorno Virtual de

Aprendizaje para desarrollar la investigación con orientación positivista en el pregrado de

las Universidades Públicas Colombianas, caso Universidad del Atlántico. Se genera en él,

un cambio de paradigma; “la enseñanza y aprendizajes a través de la comunicación virtual

hasta la producción de conocimiento e innovación en matemáticas”. Se pretende lograr la

formación de futuros licenciados en matemáticas con habilidades cognitivas e innovadoras,

con capacidad de crítica, de análisis, de experimentación, en consecuencia, esta

investigación plantea la necesidad de crear estrategias comunicacionales que acerquen a

los estudiantes a la adquisición de las habilidades mencionadas.

Pregunta problemática:

¿De qué manera se Diseñará un entorno virtual de aprendizaje con una orientación en investigación positivista en la licenciatura de matemáticas de la Universidad del Atlántico?

Justificación de problema:

Los encuentros virtuales, tienen como objetivo compartir experiencias, conocimientos,

discutir, investigar, solucionar problemas de manera conjunta, intercambiar información y

construir conocimiento de manera colaborativa. La flexibilidad que caracteriza a los

entornos virtuales de aprendizaje e investigación es relacionada con el tiempo que invierten

los estudiantes para acceder a los contenidos, interactuar con sus compañeros, realizar

actividades en línea, realizar las evaluaciones y producir conocimientos.

El lenguaje que se construye mediante la interrelación entre los estudiantes, tutor y docentes, favorece el aprendizaje colaborativo, pues permiten la discusión de textos, antecedentes, líneas de investigación, permiten además la construcción de significados en grupo mediante herramientas propias de las plataformas online (chat, carteleras de discusión, foros, teleconferencias, entre otras herramientas.) y de herramientas informáticas que permiten la implementación de estrategias didácticas como mapas conceptuales y redes semánticas, manteniendo los sistemas y el orden de los contenidos de interese e investigación.

OBJETIVOS:



OBJETIVO GENERAL:

Diseñar un entorno virtual de aprendizaje para desarrollar la investigación con orientación positivista en la licenciatura de matemáticas de la Universidad del Atlántico.


➢ Diagnosticar el estado actual del uso de las herramientas empleadas por los

estudiantes para realizar sus investigaciones en la licenciatura en matemáticas.

➢ Identificar los fundamentos teóricos según el paradigma positivista en la licenciatura en matemáticas.

➢ Crear el diseño de la plataforma virtual y la aplicación en Android.

REFERENTE TEÓRICO:

El enfoque teórico, de la presente investigación va en la dirección de la resolución de problemas y de generar nuevos conocimientos a través del uso de la comunicación virtual y la enseñanza de las matemáticas, de igual forma pretende lograr la formación de futuros licenciados con desempeños en generación de nuevos conocimientos e innovadores en las ciencias básicas.

Entorno Virtual de Aprendizaje (EVA):

Un entorno virtual de aprendizaje es un espacio apoyado en el uso de las herramientas de información y comunicación, en el cual confluyen diversos elementos con un propósito fundamental: la formación del estudiante, que implica el desarrollo de las diferentes dimensiones del ser (Restrepo, 1999), entre ellas específicamente, la que refiere a la construcción del conocimiento.

Entornos virtuales de aprendizaje como herramientas para generar nuevos conocimientos:

Conocido como “ambiente de aprendizaje”. Éste se define, entonces, como un conjunto de experiencias que permite que el estudiante de matemáticas use de manera estructurada para su formación profesional como investigador y como maestro, los procesos autónomos de construcción de conocimiento propios de la disciplina y, preferencialmente, habilidades de conocimiento dentro de ella, bajo el enfoque positivista.

Aportaciones del Positivismo y del enfoque cuantitativo a la investigación:

El positivismo define la concepción del mundo con exigencia propia independiente de quien lo estudia; está gobernado por leyes que permiten explicar, predecir (pronosticar) y controlar los fenómenos del mundo natural, que pueden ser descubiertos y descritos de



manera objetiva y libre de valoraciones o especulaciones de los investigadores. (Gómez-

Armijo, 2006, p. 18-19).

METODOLOGIA:

La presente propuesta de investigación, toma como conductor metodológico el paradigma

positivista, de tipo exploratorio, aplicado al ámbito educativo e investigativo, la asociación

de los problemas de investigación con los resultados y la intervención de la estrategia, uso

de un Entorno Virtual de Aprendizaje para desarrollar la investigación positivista en el

pregrado de licenciatura en matemáticas de la universidad del Atlántico, como una

producción de nuevos conocimientos e innovación.

La implementación del en la EVA Universidad del Atlántico, se requirió:

a) Innovar el funcionamiento de los canales de comunicación digital: En la transmisión de

la información, especialmente en la recepción de documentos multimedia comprimidos o

en tiempo real.

b) En la calidad tecnológico- Investigativa de la información: Se genera contenidos teóricos

que sirven de base para otras investigaciones y se elabora gráficos sobre investigaciones.

c) En el diseño metodológico y organizativo de la acción Investigativa: Se observa, describe,

sistematiza, evalúa la equidad de género en Colombia, de acuerdo a las líneas de

investigación seleccionadas, teniendo en cuenta los siguientes aspectos: Estadístico,

normativo y administrativo. Hubo transmisión de contenido relacionados con la formación

social y ética de los ciudadanos mujeres, para comparar los datos con su par ciudadano y

de género. También se le da uso de los sistemas de seguimiento, evaluación y tutorización

automática, partiendo de diseños pre-elaborados.

RESULTADOS:

Productos esperados:

De esta investigación se espera:

➢ Un Entorno Virtual De Aprendizaje (EVA).

➢ Una aplicación de sistema Android.

➢ Restaurar en la investigación los ERP.



CONCLUSIONES:

Esta investigación se presenta como un acercamiento entre la tecnología y la sociedad. Se

tiene, en su horizonte, la hipótesis de que los Entornos Virtuales para el Aprendizaje EVA,

propician una formación integral, más amplia que los contenidos planos entregados en un

aula regular, los EVA, acercan al estudiante al mundo actual globalizado de manera

instantánea y real, a través de la mediación de las tecnologías, de igual forma pretende

lograr la formación de futuros licenciados con desempeños en generación de nuevos

conocimientos e innovadores en las ciencias básicas tomando en consideración el enfoque

positivista de investigación.

Profundiza la formación pedagógica en procura de que los maestros futuros, en su proceso

de apropiación tanto de habilidades como de conocimientos, hagan de la experiencia de

aprendizaje el presupuesto que serán investigadores autónomos en construcción de nuevos

conocimientos propios de la disciplina matemáticas.

Finalmente, esta investigación realizada con estudiantes del semillero de Investigación

MTG, tiende a ofrecer algoritmos para la producción de conocimientos e innovación de las

enseñanzas de las matemáticas online en la educación superior de las universidades

públicas de Colombia.

BIBLIOGRAFIA:

AHMED, A. (2003). Instructional Design and online instruction: Practices and perception.

Vol. 47, ISS. 5; pg. 42. Tech Trends. Washington.

BAKER, L. y BROWN, A. (1984). Cognitive monitoring in Reading. en Flood, J. (Eds.)

Understanding Reading Comprehension: Cognition, Language and the Structure of Prose.

Delaware: I.R.A. (pp. 21-43)

CHEVALLARD, Y. (1991). La transposición didáctica. Buenos Aires. Editorial Aique

FLAVELL, J.H. y WELLMAN, H.M. (1977) Metamemory. En Perspectives on the

development of memory and cognition. Hillsdale, NJ: Erlbaum. 3-33

CRESWELL, J.W. (2005) Educational research: Planning, conducting and evaluating

cuantitative and qualitative research (2da. Ed.) Upper Saddle River, NJ, EE.UU.: Prentice-

Hall. (Citado por Hernández Sampieri, Roberto; Carlos Fernández Collado y Pilar Baptista

Lucio, 2010).



CURSOS-TALLERES.

Transición Aritmética-Álgebra: Aportes para el Trabajo en el Aula.

Pedro Javier Rojas Garzón

RESUMEN

A partir de resultados de investigaciones relacionadas con la transición aritmética-álgebra,

entre ellas las asociadas con procesos de generalización y simbolización, explicitaremos

diversas dificultades que encuentran los estudiantes en dicha transición, analizaremos

posibles causas y proponemos algunas tareas que nos permiten orientar actividades en el

aula de matemáticas, con el propósito de potenciar el desarrollo del pensamiento aritmético-

algebraico.

PALABRAS CLAVE: Transición aritmética-álgebra, generalización, simbolización, interpretaciones

TEMÁTICAS

Dificultades asociadas con procesos de enseñanza y de aprendizaje de las matemáticas;

en particular, en lo relacionado con el trabajo en aritmética y álgebra. Desarrollos de los

sistemas numéricos, con especial atención en los procesos de representación y de

simbolización de las relaciones aritméticas y de técnicas de cálculo. Indagaciones sobre

interpretaciones que realizan los estudiantes de los símbolos usados en el trabajo

aritmético-algebraico. Elementos para desarrollar opciones de trabajo en el aula en relación

con la transición aritmética-álgebra.

OBJETIVOS

Reconocer y analizar dificultades asociadas con la transición aritmética-álgebra. Propiciar

reflexiones sobre maneras de concebir las matemáticas y los procesos didácticos,

particularmente los asociados con la transición aritmética-álgebra. Aportar propuestas para

el trabajo en el aula de matemáticas, orientada a potenciar el desarrollo del pensamiento

aritmético-algebraico

REFERENTES TEÓRICOS BÁSICOS

En la educación básica y media, el profesor de matemáticas debe sensibilizarse en torno a

dificultades asociadas con procesos de enseñanza y de aprendizaje de las matemáticas,

con procesos de representación y de simbolización de relaciones aritméticas y algebraicas,

de las interpretaciones que realizan los estudiantes de los símbolos usados; además de

reconocer aspectos de la evolución histórica de conceptos básicos de las matemáticas, así



como elementos que posibiliten la comprensión de didácticas específicas orientados a

desarrollar opciones de trabajo en el aula en relación con la transición aritmética-álgebra.

Diversas investigaciones dan cuenta de dificultades que encuentran los estudiantes al

trabajar en aritmética y en álgebra, y algunas de ellas reportan aquellas asociadas con la

transición aritmética–álgebra (Bednarz, Kieran & Lee, 1996; Rojas, Rodríguez, Romero,

Castillo y Mora, 1999; Kieran, 2007; Rojas, 2015; Radford, 2012), nos ofrecen elementos

que permiten aproximaciones para una caracterización del pensamiento algebraico y para

plantear que orienten el trabajo en el aula con el propósito de lograr mayor comprensión

por parte de nuestros estudiantes de conceptos relacionados con dicha transición. Es usual

que en la escuela el álgebra se aborde en cursos de la educación básica secundaria (13-

14 años), cuyo trabajo se centra en describir polinomios, aperar con ellos, realizar

factorizaciones y resolver ecuaciones, lo cual va asociado con cambios en las notaciones

usadas en aritmética, en los significados asociados a los símbolos utilizados, entre ellos las

“letras”; cambios que pocas veces son tematizados y pueden constituirse en fuentes de

dificultades.

En el contexto matemático los símbolos literales o las “letras” pueden tener diferentes

significados o ser interpretadas de diversas maneras dependiendo de los contextos de uso,

en ocasiones es usada para nombrar objetos, para representar un número arbitrario pero

fijo o una “cantidad que varía”, hecho que pocas veces es tematizado y puede ser causa de

dificultades, en tanto se realizan interpretaciones no adecuadas al contexto de uso en el

aula de matemáticas; más aún cuando en el trabajo de aula no es usual que se posibilite

que los estudiantes articulen los conocimientos, procesos y contextos que se abordan en el

trabajo que realizan en los campos aritmético y algebraico, ni que reconozcan

explícitamente las conexiones entre estos campos, entre ellas el carácter algebraico de las

relaciones aritméticas (Rojas et al., 1999), como puede ser la proporcionalidad, en tanto

trabajamos con cantidades desconocidas, con variaciones y con relaciones; el uso de

“unidades múltiples” asociadas con el cambio de unidad (que se constituye en objeto de la

transición aritmética-álgebra) y con procesos de unitización y normación que, valga decir,

no solemos abordar en la educación básica e incluso no hemos reflexionado sobre ellos; al

respecto, y a manera de ejemplo, cuando multiplicamos realizamos un cambio de unidad,

en tanto expresamos una cantidad o magnitud, dada en una cierta unidad, en términos de

otra unidad (Mora y Romero, 2004; Rojas, Romero, Mora, Bonilla, Rodríguez y Castillo,

2011).

En relación con las dificultades mencionadas anteriormente Kieran (2007) plantea que

están relacionadas no sólo con las distintas interpretaciones de “letras” sino también con

cambios en las convenciones que inicialmente son usadas en aritmética (concatenación de

símbolos, uso de paréntesis y del signo igual), así como también con el reconocimiento

estructuras (superficial y sistémica) y su uso. Al respecto, desde investigaciones realizadas

en el contexto colombiano (Rojas et al., 1999; Agudelo y Vergel, 2009), se ha reconocido la

necesidad estudiar aspectos relacionados con el currículo de matemáticas, especialmente

en lo relacionado con el álgebra escolar; hecho que también se plantea desde otros estudios

en el contexto internacional sobre resultados de aprendizaje, por ejemplo el Programa para

http://www.oecd.org/pisa/aboutpisa/



la Evaluación Internacional de Alumnos (PISA, por sus siglas en inglés) y Tendencias en el

Estudio Internacional de Matemáticas y Ciencias (TIMSS).

Al parecer, las dificultades referidas anteriormente están relacionadas más con el

tratamiento que se realiza por parte de los docentes de conceptos y procesos asociados

con el pensamiento aritmético-algebraico y, en particular, con aquello que no es

determinado o es desconocido, y con procesos de generalización y simbolización. Por otra

parte, existen evidencias de que los niños, desde la educación inicial, reconocen la

generalidad y pueden trabajar con ella, así como con cantidades no determinadas (Carraher

& Schliemann, 2007, Rojas y Vergel, 2013), posibilidad que debemos tener en cuenta los

profesores en los diseños curriculares para orientar nuestras propuestas de aula y potenciar

el desarrollo del pensamiento aritmético-algebraico.

PROPUESTA DE ACTIVIDADES

Proponemos varias tareas y a partir de algunas de ellas desarrollaremos las actividades del

curso; las cuales serán abordadas en pequeños grupos, con un trabajo individual previo, y

una socialización sobre los aspectos considerados relevantes por los participantes, que a

su vez serán analizados retomando elementos teóricos expuestos. A continuación,

describiremos algunas de dichas tareas (tomadas de Vergel y Rojas, 2018), además de un

breve análisis sobre los posibles resultados de la actividad desarrollada a partir de ellas.

(i) Relacionando área y perímetro. ¿Podemos construir una figura de área 1centímetro cuadrado y perímetro superior a 4 centímetros?, ¿una figura con la misma área, pero perímetro superior a 100 cm?, ¿y una con perímetro superior a un billón de centímetros?, ¿podemos encontrar una figura con área 1 cm2 y perímetro exactamente igual a 1000 cm?

Esta tarea, asociada a un contexto métrico, posibilita poner en discusión aspectos relacionados con procesos de representación, de visualización y de relaciones entre diferentes magnitudes. Por una parte, encontrar evidencias de que tener un área de un centímetro cuadrado no es equivalente a tener una figura cuadrada, en tal sentido, reconocer diversas figuras de variadas formas con la misma área (ver lo mismo en lo diferente) y, por otra, reconocer relaciones entre las magnitudes (longitud y área), en particular que es posible tener diferentes figuras con un área fija, aunque cambien sus perímetros. Adicionalmente, esta actividad permite evidenciar las posibilidades de los estudiantes de no limitarse a los números enteros, en tanto la actividad misma “promueve” trabajar en un universo numérico más amplio, el de los racionales, y realizar operaciones en éste.

http://www.oecd.org/pisa/aboutpisa/



(ii) Dobleces y generalización. Unamos los extremos de una tira de papel (doblando por la mitad) y realicemos el doblez sobre dicha tira (queda una marca sobre el papel); volvamos a realizar la misma acción de doblar por la mitad después del doblez anterior, siempre uniendo los extremos (quedan 3 marcas sobre el papel) y con el tercer doblez quedarán 5 marcas sobre el papel. ¿Cuántas marcas se generan en la tira de papel si realizamos 5 dobleces? ¿Cuántos si realizamos 7 y 15 dobleces?, ¿y si realizamos100 dobleces?

En general, el uso de material concreto resulta de interés para los estudiantes y motiva el inicio del trabajo, manipular la tira de papel les permite no sólo tener claridad sobre las preguntas formuladas, sino también facilita dar respuesta a la pregunta inicial, aunque posteriormente se hace difícil manipular el material concreto y se genera el abandono de la tira de papel, haciendo que se centre la mirada en las relaciones que va encontrando (lo abstracto), usualmente de un caso al siguiente, o también entre el número de dobleces realizados y el número de marcas que se generan o generarían con estos. Algunos estudiantes reconocen un patrón y encuentran opciones de generalizar, al menos de manera oral o escrito en lenguaje natural, pero pocos pueden expresarlo como expresión algebraica.

(iii) Embaldosando y midiendo. Partamos de la figura dada, la cual representa un arreglo con baldosas, todas del mismo tamaño, donde cada baldosa está unida con la otra al menos por una de sus caras (unidad lineal) y el perímetro total de la figura es de 12 unidades

(lineales).

¿Podríamos agregar más baldosas, siguiendo las condiciones anteriormente planteadas,

y obtener un nuevo arreglo de baldosas cuyo perímetro sea 18 unidades?,

¿Cuántas baldosas requeriríamos agregar como mínimo?, ¿cuántas baldosas como máximo podríamos agregar?

Explorar esta situación, y encontrar los diversos arreglos con baldosas que cumplan la condición planteada, posibilita que los estudiantes reconozcan que añadir una baldosa no implica que el perímetro del nuevo arreglo aumente, pues éste podría mantenerse e, incluso, disminuir; reconocer las diferentes opciones, en general, despierta el interés de los estudiantes, especialmente el hecho de que al aumentar el número de baldosa no aumente el perímetro del arreglo o, más extraño aún, que lo disminuya; en tal sentido, no sólo permite poner en discusión las variadas relaciones entre área y perímetro, por ejemplo qué pasa si se trabaja o no con figuras semejantes, sino también reconocer posibles formas de representar los hallazgos encontrados, incluso mediante expresiones algebraicas. Algunos pueden reconocer que al agregar una baldosa a un arreglo con perímetro p, se pueden presentar tres casos, dependiendo de dónde se agregue la baldosa, y que el nuevo perímetro puede expresarse como p-2, p, ó, p+2.

(iv) Secuencia y áreas de figuras. En la secuencia de figuras dada, cada una se obtiene de la anterior agregando un rectángulo a su derecha, como se muestra a continuación, donde los lados de los rectángulos ubicados sobre la horizontal tienen una longitud fija (unidad lineal), igual al lado del cuadrado de la primera figura, y los lados sobre



la vertical se reducen a la mitad del correspondiente al rectángulo ubicado a su izquierda. ¿Qué podemos decir del área de la Figura 5?, ¿y de la Figura 100?, ¿de cualquier Figura k?

…

Figura 1 Figura 2 Figura 3

(v) Otras tareas a partir de las cuales desarrolar actividades en el aula. Para finalizar presentamos el enunciado de tareas que permiten trabajar algunas de las ideas anteriormente planteadas, en diversos contextos, además de profundizar en aspectos relacionados con el pensamiento aritmético-algebraico. Varias de las tareas propuestas anteriormente y las enunciadas a continuación permiten orientar un trabajo, en diferentes grados de escolaridad, articulando conceptos asociados a varios sistemas o dominios de las matemáticas, entre ellos: aritmético, métrico, variacional, geométrico y aleatorio. En varios de estas tareas las preguntas formuladas son sólo algunas de las posibles formulaciones, pues depeniendo de los propósitos, estas podrían ser reformuladas o ampliadas.

➢ Hallemos el mayor número de parejas de números: (a) que sumen 12, (b) que al

multiplicarlos se obtenga 12.

➢ En mi bolsillo tengo varias monedas de 100, 200 y 500 pesos, si saco con mi mano tres de ellas,

✓ ¿cuánto dinero saqué en total? Expliquemos nuestra respuesta.

✓ ¿qué puedo decir si saco 5 monedas?

✓ Si saqué en total 1.500 pesos, ¿cuántas monedas tengo en mi mano?

➢ Juana y Simón estaban solos mientras jugaban canicas en el parque del barrio. Al empezar el juego, Juana tenía siete canicas más que Simón, y en el juego Simón le ganó tres canicas a Juana. ¿Con cuántas canicas menos que Juana quedó Simón al terminar el juego?

➢ ¿Qué podemos decir de la siguiente conjetura?: La suma de tres números enteros consecutivos siempre es igual al triple de uno de ellos.

✓ Encontremos una expresión para representar la suma de tres números enteros consecutivos y presentemos varios ejemplos.

✓ ¿Podemos encontrar otra expresión para representar dicha suma?, de ser así, ¿podemos garantizar que dichas expresiones sean equivalentes?



➢ Juego de estrategia: ¿quién cuenta 20? Iniciamos por parejas, quien tenga el turno escoge un número entero entre 1 y 3, el otro le suma a éste el número que escoja (también entre 1 y 3) y pronuncia en voz alta dicha suma; por ejemplo, si el primero empieza diciendo “dos”, y el segundo escoge el 3, entonces debe decir en voz alta “cinco”, si el primero ahora escoge el 1, diría “seis”. El ganador será quien en su turno

llegue primero a “veinte”.

✓ ¿Podríamos pensar en una estrategia ganadora?

✓ Si encontramos una estrategia, podríamos realizar variaciones del juego; por ejemplo, que podamos escoger sólo entre el 1 y el 2; o cualquier número entre 1 y 4; e, incluso, variar también el número final, preferiblemente por números mayores que 20.

➢ Encuentre todos los números posibles entre:

✓ -2 y 2, ¿cuáles de ellos son no negativos?

✓ ¼ y ½, ¿cuál o cuáles de estos números serían menores que 0,250?

➢ Relacionemos la mayor cantidad de números que sean mayores que 0 y menores que 1,

✓ ¿existe alguno? ¿podemos encontrar más?

✓ ¿podríamos “mostrar” exactamente 100 ejemplos de dichos números?, ¿existe alguna manera de representar dichos números sin realizar un listado completo?

➢ Investiguemos cómo podemos construir la curva de Köch,

- Encontremos la longitud de dicha curva en cada uno de los pasos (1°, 2°, 3°, …)

- Hallemos la longitud de la curva en el paso k

➢ Reconozcamos como Hexa-recto a todo polígono de 6 lados tal que sus lados consecutivos, dos a dos, formen siempre un ángulo recto.

✓ ¿Es posible construir Hexa-rectos? En caso afirmativo, de ejemplos, de lo contario exponga las razones.

✓ ¿Podemos construir Hexa-rectos diferentes cuyo perímetro sea igual a 24 centímetros? Comparemos nuestras respuestas con las dadas por algunos de

nuestros compañeros.



✓ Calculemos las áreas de cada uno de los Hexa-rectos encontrados, ¿cuál de ellos tiene la menor área? ¿cuál tiene la mayor área? ¿Encontramos diferencias en las maneras de encontrar las áreas solicitadas?

✓ Pensemos en todos los Hexa-rectos de perímetro 24 centímetros que podríamos construir, ¿cuál de ellos tendría la máxima área? ¿Por qué?

✓ ¿Podemos representar mediante alguna expresión el perímetro de diversos Hexa-rectos? Expliquemos cómo

➢ Consideremos la siguiente secuencia de figuras:

Figura 1 Figuras 2 Figura 3 Figura 4

✓ ¿Cuántos círculos tendría la Figura 7?

✓ ¿Cuántos en la Figura 15? Expliquemos a un compañero cómo lo hicimos.

✓ Conjeturemos cuál sería el número de círculos de la figura 100. Expliquemos el procedimiento

✓ ¿Podemos encontrar una ley general que nos permita hallar en número de círculos para cualquiera de las figuras?

➢ Induzcamos, de ser posible, una ley general que nos permita calcular el siguiente producto:

(1 −1

4) (1 −

1

9) … (1 −

1

𝑛2)

➢ Partamos del siguiente hecho: (x+1)³ + x = 349 cuando x=6, ¿Qué valor de x haría verdadera la expresión (5x+1)³ + 5x = 349? Justifiquemos nuestra respuesta.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS BÁSICAS

Bednarz, N., Kieran, C. & Lee, L. (1996). Approaches to Algebra: Perpectives for Research

and Teaching. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.

Carraher, D. & Schliemann, A. (2007). Early algebra and algebraic reasoning. En: F. Lester (Ed.), Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (Vol. 2, pp. 669-705). Charlotte, N.C: Information Age Publishing, Inc. y NCTM.



Kieran, C. (2007). Learning and teaching algebra at the middle school through college levels. Building meaning for symbols and their manipulation. En, F. Lester (Ed.), Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (Vol. 2, pp. 707-762). Charlotte, N.C: Information Age Publishing, Inc. y NCTM.

Radford, L. (2012). Early algebraic thinking: Epistemological, semiotic, and developmental

issues. ICME-12 Regular Lecture. Seoul, South Korea.

Rojas, P. (2015). Objetos matemáticos, representaciones semióticas y sentidos. Enseñanza de las Ciencias, 33(1), 151-165.

Rojas, P., Rodríguez, J., Romero, J. Castillo, E. & Mora, L. (1999). La transición aritmética-

álgebra. Bogotá: Universidad Distrital–Gaia.

Rojas, P. & Vergel, R. (2013). Procesos de generalización y pensamiento algebraico. Revista Científica, Edición especial, 760-766.

Vergel, R. y Rojas, P. (2018). Álgebra escolar y pensamiento algebraico: aportes para el

trabajo en el aula. Bogotá: Universidad Distrital Francisco José de Caldas.



TALLER

Una Mirada Histórica A Los Tres Problemas De La Antigua Grecia

Dr. Fabio Fidel Fuentes Medina, Dr. Isidoro Gordillo Galvis Y Karen Julieth Morales Hernández

UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR

RESUMEN

La Cuadratura del Círculo, la Trisección del Ángulo y la Duplicación del Cubo

considerados los tres problemas sin solución con regla y compás de la antigua

Grecia fueron; sin embargo, evidencias como el papiro del Rhind que data del año

1800 a. C, descubierto en 1855 d. C. donde se encuentran una serie de problemas

matemáticos, aparece de manera implícita la Cuadratura del Círculo y su solución.

Así mismo, en la duplicación del cubo aparece descrito cuando los habitantes de

Atenas, en busca de una solución a la peste que había matado tantos habitantes,

acuden a su Oráculo de Delfos y éste les expresa que deberán construir un templo

en forma de cubo de tamaño doble al existente. En este orden de ideas, a pesar de

estos problemas aparecen implícitamente en algunos textos, son los griegos

quienes, de manera formal, con el uso de la regla y el compás proponen darle

solución a la Cuadratura del Círculo, la Duplicación de Cubo y la Trisección del

Ángulo; que hoy conocemos como los tres grandes problemas de la antigua Grecia

sin solución. De los tres problemas, se considera que el más famoso es la

cuadratura del círculo, en el cual se plantea hallar el lado de un cuadrado cuya área

sea igual a la del círculo.

En la búsqueda de la solución a dichos problemas, la gran mayoría de los griegos

matemáticos abordaron dicho problema sin encontrar solución alguna; pero se logró

que las matemáticas avanzaran. Los grandes matemáticos se centraron en darle

solución a estos problemas con regla y compás; sin embargo, si lo hicieron con el

diseño herramientas que construyeron, o con el uso de curvas dinámicas. Hoy día,

se conoce que es imposible dar solución a estos problemas de la antigua Grecia,

con la regla y el compás.

METODOLOGÍA

El trabajo se enmarca dentro del diseño cualitativo de corte holístico (Rodríguez,

2010) con el deseo de conocer como algunos griegos de la antigüedad aportaron a

solución del problema. En este orden de ideas, se realizó un estudio minucioso de

revisión bibliográfica, así como documentos existentes relacionados con la temática.



Bajo esta mirada, se tomaron los tratamientos más relevantes a juicio de los

investigadores y del aporte de estudiantes de los diferentes grupos de Geometría

Euclidiana de la Universidad Popular del Cesar; además se muestra cómo es

posible utilizar las herramientas tecnológicas para buscar una aproximación a la

solución de los tres problemas de la antigüedad.

SOBRE LOS TRES PROBLEMAS DE LA ANTIGUA GRECIA

El deseo de la cuadratura del círculo, ha sido desde muchos años un interés del

hombre. Es así como se puede enunciar escritos de la antigüedad, como el papiro

de Rhind o Ahmes, donde aparecen 87 problemas planteados y resueltos. Es así,

como el problema 48 plantea comparar el área de un círculo con la de un cuadrado

circunscrito, de manera ingeniosa aparece la solución, en la cual construyen un

círculo de un diámetro 9 jet y la compara con el área de un cuadrado de 8 jet cuya

área es 64 setat; divide el lado del cuadrado en 3 partes iguales y construyen un

octógono regular, elimina los triángulos formados en los vértices y obtiene un área

de 63 setat, realizando la operación:

𝐴𝑟𝑒𝑎 = 92 − 4 ∗(3 ∗ 3)

2= 81 − 18 = 63

La importancia de esta ingeniosa solución, no radica en la solución como tal, sino

que es la evidencia por primera vez de la utilización del concepto de áreas sencillas,

para encontrar áreas más complejas. En todo caso, no explica de manera alguna la

justificación de los procedimientos.

Sin embargo, fueron los griegos los que se tomaron muy en serio el problema e

hicieron todos los intentos posibles para encontrar la solución a los problemas

planteados, especialmente a la cuadratura del círculo. La dificultad de este problema

fue tanta que la que se convirtió en una frase popular como sinónimo de imposible.

En este sentido el escritor Fernando Bombal, retoma el concepto de la cuadratura

del círculo, y presenta de manera explícita, frases como:

“De alguna manera se trata de cuadrar un círculo: las comunidades tienen que acometer duros recortes y eso supone dificultades para reactivar la economía…”.

(El País, 9/11/2011)

“El Partido Popular acaba de publicar un vídeo en el plantea la hipotética cuadratura del círculo para salir de la crisis”.

(Blog económico El blog Salmón, 18/11/2011).



“En el debate de investidura celebrado en el Congreso, Mariano Rajoy volvió a poner de manifiesto su principal afición política, consistente en intentar una y otra

vez la cuadratura del círculo…” (artículo de Anxo Guerreiro, publicado en El País el 21/12/2011).

O un verso de Dante en La Divida Comedia, donde interpreta la tarea del hombre en comprender a Dios; y lo compara con el intento de cuadrar el círculo.

Cual el geómetra todo entregado al cuadrado del círculo,

y no encuentra, pensando, ese principio que precisa También es posible encontrar en otras obras, como la del escritor Álvaro Pombo,

ganador del premio Fastenrath concedido por la real academia de la lengua

española por su obra “La cuadratura del círculo” publicada en 1999, en la que

mezcla con maestría temas como las cruzadas, la corte de Aquitania, el amor

caballeresco, los trovadores, la Iglesia. En palabras del autor, trata de los asuntos

que nos interesan hoy: sobre si “las religiones en nombre de una verdad que se

supone absoluta pueden imponerla con la espada y la imposibilidad de unificarlas”,

a lo que llamó “intentar cuadrar el círculo”.

(artículo de Rosa Mora, publicado en El País el 20/04/2001).

E incluso hay una canción del grupo Vetusta Morla con ese título, que contiene estos versos:

Cuadrar el círculo de esta obsesión asumir que rendirse no es una opción

saber que no os puedo aniquilar, no es suficiente para firmar la paz

Como se puede observar, muy a pesar de que el problema fue formalmente

planteado por lo griegos hace 2400 años, aún se observa el impacto generado.

Cada día aparecen propuestas de soluciones, existen aficionados a las

matemáticas en todo el mundo que buscan el mismo objetivo, igualmente buscarles

solución a sus otros dos compañeros: la trisección del ángulo y la duplicación del

cubo. Aunque, en 1882 en matemático alemán Ferdinand Lindemann probó que 𝜋

es un número trascendente que no se puede construir con el uso de la regla y el

compás, por lo tanto, la cuadratura del círculo con regla y compás es imposible!

También es evidente, que los griegos buscaron alternativas de solución a estos

problemas y consiguieron soluciones ingeniosas para ello. Con este trabajo se

pretende dar cuenta, de manera muy somera, de las diversas soluciones

presentadas en su momento y la importancia de estos procedimientos para el

nacimiento de nuevas herramientas matemáticas. Los babilonios y los egipcios

iniciaron estudios del área del círculo, y en ningún momento argumenta los

procedimientos.



Fueron los griegos, los primeros en justificar cada uno de los procedimientos

realizados, desarrollando técnicas y métodos de demostraciones lógicas,

considerado a Thales de Mileto, como el autor del método de demostración, quien

parte de unas verdades evidentes denominados “axiomas” y paso a paso, basado

en lo anterior, llega a lo que se desea. En este orden de ideas, la geometría plana,

se convierte en la matemática griega rigurosa, específicamente a lo construido con

la regla y el compás.

Dentro de los griegos, aparece Euclides, quien en su libro Los Elementos,

considerado por algunos como la “Biblia Matemática”, compila todo lo existente la

fecha; estudia las áreas de triángulos y rectángulos, busca la cuadratura de ellos

con el uso de la regla y el compás. En este orden, en el libro I, enuncia los siguientes

postulados:

1. Postúlese el trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera. 2. Y el prolongar continuamente una recta finita en línea recta. 3. Y el describir un círculo con cualquier centro y distancia. 4. Y el ser todos los ángulos rectos iguales entre sí. 5. Y sólo se puede trazar una recta por dos puntos

Evidentemente los tres primeros postulados, dan a la regla y el compás toda la

autoridad para ser las únicas herramientas de uso en las construcciones, relegando

el uso de construcciones dinámicas o basadas en movimientos; pero que el mismo

Euclides utilizaría al momento de estudiar los sólidos de revolución. A continuación,

se presentan algunas de las cuadraturas principales que se presentaron en la

antigua Grecia.



Cuadratura de las Lúnulas de HipócratesQuizás es una de las primeras

construcciones con regla y compás

rigurosa, presentada por Hipócrates,

considerado autor de un texto perdido

Elementos de Geometría, un siglo

antes de Euclides. Es una de las

primeras versiones de cuadratura de

una figura curvilínea. Hipócrates

consideró un triángulo rectángulo

isósceles y la lúnula (figura curvilínea

limitada por dos arcos de

circunferencia), limitada por la

semicircunferencia 𝐴𝐸𝐶𝐷𝐴 con centro

en 𝐷 y el arco 𝐴𝐹𝐶𝐷𝐴 cuyo centro es

el punto medio 𝑂 de la hipotenusa del

triángulo 𝐴𝐵𝐶. Demostró que el área

de dicha lúnula es equivalente al área

del triángulo 𝐴𝐶𝑂, es decir, es equivalente al área del cuadrado cuyo lado es la

altura de dicho triángulo construida sobre la hipotenusa. (ver figura 1.).

Por el teorema de Pitágoras, se tiene:

(𝐴𝐵̅̅ ̅̅ )2 = (𝐴𝐶̅̅ ̅̅ )2 + (𝐵𝐶̅̅ ̅̅ )2 = 2 ∗ (𝐴𝐶̅̅ ̅̅ )2

Por lo tanto:

Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜𝐴𝐸𝐶𝐹𝐴

Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜𝐴𝐶𝐵𝑂𝐴=

(𝐴𝐶̅̅ ̅̅ )2

(𝐴𝐵̅̅ ̅̅ )2=

(𝐴𝐶̅̅ ̅̅ )2

(𝐴𝐵̅̅ ̅̅ )2=

(𝐴𝐶̅̅ ̅̅ )2

2 ∗ (𝐴𝐶̅̅ ̅̅ )2=

1

2

Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜𝐴𝐸𝐶𝐹𝐴 =1

2∗ Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜𝐴𝐶𝐵𝑂𝐴

= Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟𝐴𝐹𝐶𝐷𝐴

Entonces, realizando una sustracción del área de la región común 𝐴𝐹𝐶𝐷𝐴, se tiene:

Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙ú𝑛𝑢𝑙𝑎 𝐴𝐸𝐶𝐹𝐴 = Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐴𝐶𝑂

SOBRE LA CUADRATURA DEL CÍRCULO

1. La Cuadratura Círculo, por el método de Exhaución de Arquímedes

Figura 1



El genio de todos los tiempos,

contemporáneo con Eratóstenes,

inventor, autor de un sinnúmero de

tratados, entre ellas, “Medida del

Círculo”, donde de manera magistral

enuncia unos teoremas y realiza las

demostraciones. En él, propone un

excelente procedimiento para la

cuadratura del círculo, utilizando un

método que denominó “método de

exhaución”. El teorema 1, expresa: “El

área de un círculo es igual a la de un

triángulo rectángulo cuyos catetos son

el radio y la longitud de la circunferencia

del propio círculo”.En este sentido,

utiliza el concepto de polígonos

regulares inscritos en un círculo.

Supone un círculo, mayor que una unidad

𝐾, e inscribe un cuadrado. Luego biseca los arcos comprendidos entre los vértices

adyacentes del cuadrado y continua bisecando cada vez los vértices de los arcos

resultantes, hasta que los lados del polígono inscritos subtiendan segmentos

circulares cuya suma sea menor que el exceso del área del círculo sobre 𝐾 (ver

figura 2). De esta manera, el área del polígono será mayor que 𝐾. Sin embargo,

más relevante que la cuadratura del círculo, está el valor que halló para pi,

obteniendo la aproximación: 𝜋 ≈ 𝑛 ∗ 𝑠𝑒𝑛 (3600

2𝑛).

2. La Cuadratura Círculo, con la Espiral de Arquímedes

Arquímedes, considerado uno de los tres genios de toda la historia de la humanidad, y porque no el mejor, realizo un estudio profundo de las propiedades de las espirales, especialmente de la más simple, llamada espiral uniforme o de Arquímedes, la cual se caracteriza por tener la misma anchura entre sus espirales.

Figura 2.



Matemáticamente se define como el lugar geométrico de un punto del plano que partiendo del extremo de una semirrecta se mueve con velocidad constante sobre ella, mientras que la semirrecta gira también uniformemente sobre un extremo. Este estudio es importante, por cuanto esta curva implica movimiento, con lo cual los griegos no estaban muy relacionados; por consiguiente, se considera que ésta es la primera curva mecánica que se conoció. Arquímedes en la búsqueda general de dar soluciones a los tres problemas clásicos de la geometría propone soluciones a dos de ellos, claro está, no sólo con regla y compás; sino con el uso de otros elementos. (ver figura 3.). Figura 3.

Para la cuadratura del círculo el genio construye una espiral y toma el punto 𝑃 de intersección donde corta al eje horizontal al dar una vuelta. En ese punto traza una recta tangente a la espiral que corta al eje vertical en un punto 𝑇.

Prueba que la distancia del origen de la espiral al punto T, corresponde a la longitud de la circunferencia de radio cuya distancia es del origen de la espiral al punto de tangencia, tal como se evidencia en la gráfica. Evidentemente, lo encontrado es la rectificación de la circunferencia y a partir de ahí, se construye la cuadratura del círculo. También es interesante conocer que para cada vuelta completa que da la espiral, es posible hallar la cuadratura del círculo, siempre y cuando se divida entre el número de vueltas. (ver figura 4.).

3. La Cuadratura Círculo, con la Cicloide

La cicloide es una curva plana generada pon un punto fijo de una circunferencia

generatriz, al rodar (sin deslizar) sobre una recta directriz. Galileo construye una

circunferencia de radio 1. Toma la medida de dos puntos consecutivos del punto

Figura 4.



generador de la cicloide y comprueba que es 2𝜋. Rueda la circunferencia de radio

1, hasta realizar medio giro, obteniendo un segmento 𝐴𝐵 = 𝜋. Construye una

circunferencia de diámetro 𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 + 1; traza por 𝐵 una recta perpendicular a la

recta fija y obtiene un punto de intersección 𝐷. Plantea la relación: 𝐴𝐵 ∗ 𝐵𝐶 = 𝐵𝐷2.

A partir de aquí encuentra la solución al problema. También es importante anotar,

que la relación se cumple para cualquier circunferencia de diámetro 𝐴𝐵 + 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜. La

figura 5, muestra la cicloide y la construcción de la cuadratura del círculo.

4. La Cuadratura Círculo, con la trisectriz de Hipias

Figura 5



Hipia de Elis, perteneciente a la escuela sofista, intentó dar solución a los tres problemas con el uso de la regla y el compás, y descubrió una nueva curva que, desafortunadamente no se puede construir con el uso de la regla y compás. A dicha curva se le denomina trisectriz ó cuadratriz. Supóngase que el segmento 𝐴𝐵 gira en sentido de las manecillas del reloj con movimiento circular uniforme hasta ocupar la posición 𝐴𝐶. A la vez, el segmento 𝐵𝑈 se desplaza hacia abajo, con movimiento rectilíneo uniforme y ocupa en el mismo instante la posición 𝐴𝐶. Un punto 𝐹 de la trisectriz viene dado por la intersección en cada instante de dichos segmentos. La figura 6, muestra la construcción de la trisectriz o cuadratriz de Hipias. Sin embargo, para la cuadratura del círculo, no fue su creador quien la utilizó para dicho fin, sino, otro matemático de la época llamado Dinostrato. Figura 6

Dinostrato toma la trisectris de Hipias y logra dar solución al problema. Para ello, construye una circunferencia de centro en 𝐴 y radio 𝐴𝐶 = 1, una cuadratriz de

Hipias. Encuentra 𝑅 la intersección de la curva con la semirrecta 𝐴𝐶. Traza las rectas 𝑔 y 𝑓. que pasan por los puntos 𝑅 y 𝐶, perpendiculares a la semirrecta 𝐴𝐶. Sea 𝑃 el punto de intersección de la recta 𝑔 y la circunferencia de radio 𝐴𝐶. Traza la

semirrecta 𝐴𝑃, y encuentra el punto 𝑆, intersección de la recta 𝑓 y la semirrecta 𝐴𝑃. Traza la circunferencia con centro en 𝐴 y radio 𝐴𝑆. Se encuentra el punto 𝑊, intersección entre la circunferencia de radio 𝐴𝑆 y la semirrecta 𝐴𝐶. Con centro en 𝑊 y radio 2, traza una circunferencia. Encuentra el punto 𝐺, intersección de la circunferencia verde, con la semirrecta 𝐴𝐶. Encuentra el punto 𝐷, punto medio de 𝐴𝐺. Se construye una circunferencia con centro en 𝐷 y radio 𝐴𝐷. Se traza una perpendicular a la semirrecta 𝐴𝐶, que pase por el punto 𝑊, que corta a la circunferencia roja en el punto 𝐹. El segmento 𝑊𝐹, es el lado del cuadrado de área equivalente a la circunferencia. (ver figura 7).



Figura 7.

SOBRE LA TRISECCIÓN DEL ÁNGULO

Con el uso de la regla y el compás es posible trisecar algunos ángulos, tales como:

45°, 90°, 135°,180°,225°, 270°. Sin embargo, a la hora de abordar cualquier ángulo

es imposible trisecarlo con el uso de la regla y el compás. Los antiguos griegos en

su intento de darle solución a este problema crearon instrumentos y curvas que de

manera aproximada logran darle solución.

En este orden de ideas Arquímedes lo logra con la espiral; Hipías de Elis, lo logra

la “Trisectriz”; Nicomedes, con la “concoide”. Así mismo, se logró trisecar un ángulo

agudo con el compás y una regla con dos marcas; igualmente diseñaron unas

escuadras denominadas “la escuadra del carpintero”. Para este taller se abordó la

trisección con dichas propuestas.

1. La Trisección de un ángulo agudo, con el compás y una regla con dos

marcas

Para trisecar el ángulo agudo por este procedimiento, se inicia con un ángulo agudo

𝐵𝐴𝐶 y un segmento de longitud 𝐷𝐸. Con centro en el vértice del ángulo y radio igual

al segmento dado se traza una circunferencia que corta al lado terminal del ángulo

en 𝐹, sobre una regla se marcan los dos puntos 𝐷 y 𝐸 y se colocan dichos puntos

colineales con el punto 𝐹, de tal manera que 𝐷 debe estar sobre la recta que

contiene al lado inicial. El ángulo que tiene vértice en 𝐸, al lado inicial, el mismo del



ángulo a trisecar y cómo lado terminal la recta que contiene los puntos colineales,

es tres veces el ángulo inicial. De esta manera, se triseca el ángulo; tal como lo

muestra la figura 8.

Figura 8

2. La Trisección de un ángulo agudo, con la trisectriz de Hipias de Elis

se construye la trisectriz con origen en el vértice del ángulo 𝐶𝐴𝐹. Por la intersección

𝐹 entre la trisectriz y el lado terminal se traza una recta 𝐻𝐹 paralela al lado inicial.

Se triseca o divide el segmento 𝐴𝐻 en tres partes iguales, trazando paralelas al lado

inicial del ángulo por cada uno de los puntos de intersección entre las paralelas y la

trisectriz. Paralelas que cortan a la trisectriz en los puntos 𝑃 y 𝑄. De esta manera

los ángulos 𝐶𝐴𝑄, 𝑄𝐴𝑃 y 𝑃𝐴𝐹 son congruentes, logrando de esta manera trisecar el

ángulo inicial, tal como se muestra en la figura 9.

Figura 9

3. La Trisección de un ángulo agudo, con la escuadra del carpintero



La escuadra del carpintero es un

instrumento construido por los griegos en el

siglo III d. C., su forma es como se indica en

la figura 11, en ella todos los ángulos son

rectos.

Para trisecar un ángulo agudo 𝐴𝑂𝐵, con la

ayuda de la escuadra del carpintero, se procede de la siguiente manera: se traza una recta paralela al lado inicial del ángulo a una distancia igual al ancho de la escuadra diseñada. Se coloca la escuadra de tal forma que su vértice 𝑁 esté sobre la paralela construida, el vértice del ángulo esté colineal con el segmento 𝑃𝑄 y el vértice 𝑆 sea colineal con el lado terminal, tal como lo muestra la figura 11. Mediante este procedimiento es posible construir tres ángulos de igual medida, logrando trisecar el ángulo

inicial.

4. La Trisección de un ángulo agudo, con otra escuadra del carpintero

Esta escuadra es parecida a la anterior, con una modificación: el lado correspondiente al lado más corto posee en su extremo un cuarto de círculo de radio igual al ancho de la regla (ver figura 12).

Para trisecar un ángulo agudo con este instrumento, se hace que el vértice N coincida con el lado inicial del ángulo; el vértice del ángulo debe colineal con el segmento PQ y el arco del cuarto de círculo debe ser tangente al lado terminal. Los ángulos 𝑁𝑂𝑄, 𝑄𝑂𝑆 y 𝑆𝑂𝐵 son congruentes. De esta manera, es posible trisecar un ángulo agudo; es decir, dividir a un ángulo en tres ángulos de igual medida (ver figura 13).



Figura 13

5. La Trisección de un ángulo agudo, con la concoide de Nicomedes

La concoide debe su nombre al geómetra griego Nicomedes (siglo II a.C.), quien la creo para darle solución a la trisección del ángulo. La concoide es una curva que está definida como el lugar geométrico de los puntos 𝑀 para los cuales se cumple que 𝑂𝑀 = 𝑂𝑃 + 𝑙, ó 𝑂𝑀 = 𝑂𝑃 – 𝑙. La ecuación en forma cartesiana es:

2 2 2 2 2 2( ) ( ) 0x a x y l x− + − = ; donde a y l son constantes. Se pueden presentar tres

casos de concoides: que 𝑎 > 𝑙, 𝑎 = 𝑙, ó 𝑎 < 𝑙. (ver figuras 13 a, 13 b, 13 c)

Figura 13 a Figura 13 b Figura 13 c

Para trisecar un ángulo 𝐴𝑂𝐵 con la concoide, Nicomedes construye una concoide con centro en el vértice del ángulo 𝐴𝑂𝐵 y directriz 2.

Encuentra el punto de intersección 𝐷 entre la directriz de la concoide y el lado terminal del ángulo. Traza una recta perpendicular a la directriz por el punto 𝐷, que corta a la concoide en el punto 𝐸. El ángulo 𝐴𝑂𝐸 es la tercera parte del ángulo inicial. Así logró trisecar el ángulo (ver figura 14).

Figura 14

SOBRE LA DUPLICACIÓN DEL CUBO

Se trataba de construir a partir de un cubo, otro cuyo volumen sea el doble. En este

deseo de darle solución se encuentran Hipócrates, Arquita, Menecmo, Apolonio,



Herón, Arquímedes, Eratóstenes y muchos otros, pero les fue imposible con regla y

compás; en su afán de encontrarle solución encontraron otros mecanismos y

desarrollando algunas de las cónicas que hoy se conocen.

Se parte de que un cubo de lado 𝐿, tiene por volumen 𝑉1 = (𝐿1)3. Así, para un cubo

de volumen el doble, se debe obtener 𝑉2 = (𝐿2)3 = 2 ∗ 𝑉1 = 2 ∗ (𝐿1)3, entonces se

puede decir que 𝐿2 = √23

𝐿1. Lo cual es imposible construir con la regla y el compás.

1. La Duplicación del Cubo de Hipócrates

Hipócrates reduce el problema de la duplicación a encontrar dos medias proporcionales, a partir de dos segmentos 𝑎 y 𝑏, con 𝑏 = 2𝑎; propone que a partir

de 𝑎, se debe encontrar un número 𝑥, tal que 𝑥 = 2𝑎3, con 𝑥 e 𝑦 las medias proporcionales entre 𝑎 y 2𝑎. Entonces:

𝑎 ∶ 𝑥 = 𝑥 ∶ 𝑦 ; 𝑥 ∶ 𝑦 = 𝑦 ∶ 2𝑎 Que se puede escribir como:

𝑎3

𝑥3 =𝑎

𝑥∗

𝑥

𝑦∗

𝑦

2𝑎=

1

2

Con ello da solución al problema planteado. En todo caso, desafortunadamente se desaparecieron todos los registros de Hipócrates y no hay evidencia de su conclusión.

2. La Duplicación del Cubo de Platón

Platón resuelve el problema de las medias proporcionales, construyendo un instrumento mecánico formado por una regla fija 𝐸𝐹 y una regla móvil 𝐻𝐺 que se desliza sobre dos barras rígidas y paralelas entre sí, perpendiculares a la regla fija (ver figura 15 a). Este permite encontrar las dos medias proporcionales entre dos segmentos 𝑎 y 𝑏, con 𝑏 = 2𝑎.

Platón considera en un plano dos segmentos 𝑂𝐴 y 𝑂𝐵 perpendiculares entre sí, con

𝑂𝐵 = 2 ∗ 𝑂𝐴; 𝑂𝐴 = 𝑎, 𝑂𝐵 = 2𝑎. Coloca el instrumento ajustando cuidadosamente (ver figura 15 b), de tal manera que el extremo de 𝑂𝐴 sea colineal con la parte

interna de la regla fija y su vértice interno 𝐶 coincida con la prolongación de 𝑂𝐵; de igual forma, el extremo de 𝑂𝐵 sea colineal con la parte interna de la regla móvil y su vértice 𝐹 sea colineal con la prolongación de 𝑂𝐴. Se tiene:



En el triángulo 𝐴𝐸𝐻 rectángulo en 𝐸, se tiene: 𝑂𝐴

𝑂𝐸=

𝑂𝐸

𝑂𝐻

En el triángulo 𝐸𝐻𝐵 rectángulo en 𝐻, se tiene: 𝑂𝐸

𝑂𝐻=

𝑂𝐻

𝑂𝐵

Por lo tanto: 𝑂𝐴

𝑂𝐸=

𝑂𝐸

𝑂𝐻=

𝑂𝐻

𝑂𝐵

Figura 15 a Figura 15 b

De donde se concluye que: (𝑂𝐸)3 = 2 ∗ (𝑂𝐴)3. Dando solución al problema de la duplicación del cubo. La figura 17 muestra el resultado de la duplicación del cubo con esta herramienta y el uso de Geogebra. Evidentemente, se logra duplicar el volumen del cubo.

Figura 16

3. La Duplicación del Cubo de Arquitas

La propuesta de arquita para encontrar las dos medias proporcionales entre dos

segmentos 𝑎 y 𝑏. Para ello utiliza superficies de revolución: Un cono, un toroide y



un cilindro, todas ellas en un sistema. Parte de un segmento (cuerda) 𝐴𝐵 = 𝑎 y

𝐴𝐶 = 𝑏 = 2𝑎 (diámetro de una circunferencia). Hace girar la circunferencia

perpendicular al plano de la circunferencia, generando un toroide de diámetro

interno nulo. Con la circunferencia de diámetro 𝐴𝐶, construye un cilindro de base

igual a la circunferencia. Entre el cilindro y el toroide se genera una curva 𝑆. Por C

se traza una recta tangente a la circunferencia que intersecta a la recta 𝐴𝐵 en 𝐷.

Gira 𝐴𝐵 respecto a la recta 𝐴𝐶, generando un cono circular recto con vértice en

𝐴.encuentra el punto 𝑀 intersección entre la superficie 𝑆 y el cono. El segmento 𝐴𝑀

es el segmento del cubo cuyo volumen es el doble del inicial.

En este orden de ideas, otros abordaron los mismos problemas. Menecmo

intentando resolver la duplicación del cubo, descubre las cónicas sobre las cuales

realiza un trabajo minucioso. Plantea una intersección entre una parábola y una

hipérbola equilátera, logrando darle solución al problema. Eratóstenes construye un

instrumento denominado el mesolabio, con el cual resuelve la situación, a través de

la aplicación reiterativa del teorema deThales.

4. La Duplicación del Cubo de Arquímedes

Arquímedes quien toma la solución de Arquita y la simplifica. Este procedimiento se

realiza mediante el uso del Geogebra. Construye una semicircunferencia, con

centro en 𝐴, extremos en 𝐸 y 𝐵; y radio 𝐴𝐵, la arista del cubo que se le desea

duplicar el volumen.

Con 𝐹 un punto de la semicircunferencia; trace el segmento 𝐸𝐹. Se traza una

perpendicular al diámetro de la semicircunferencia que pase por el punto 𝐹 y corta

al diámetro en 𝐺 y una perpendicular al segmento 𝐸𝐹, que pase por el punto 𝐺, e

intersecta al segmento 𝐸𝐹 el punto 𝐻. Con la opción Lugar geométrico, se da clic

en el punto 𝐻, y luego en el punto 𝐹, se obtiene la curva llamada Duplicatriz, que es

la curva que se genera con el doble movimiento.

Con centro en 𝐸 y radio 𝐸𝐴, se dibuja una circunferencia, que intersecta la

Duplicatriz. Se mueve el punto 𝐹 hasta que 𝐻 coincida con la intersección de la

circunferencia de radio 𝐸𝐴 y la duplicatriz. En este instante el segmento 𝐸𝐺, es la

arista del cubo de volumen doble del problema planteado. Es decir, el lado del cubo

mayor corresponde a la propuesta planteada para la duplicación (Ver figura 18).



Figura 18.

CONCLUSIONES

Para lograr la cuadratura del círculo, la trisección del ángulo y la duplicación del

cubo es imposible realizarlos con las herramientas de la regla y el compás. Para

darle solución a estos tres grandes problemas se requieren de otros mecanismos,

como las diferentes curvas dinámicas y los diversos instrumentos que construyeron

los griegos en sus tiempos y que ahora se pueden recrear con una poderosa

herramienta como lo es Geogebra.

BIBLIOGRAFÍA

BOMBAL, Fernando. La cuadratura del Círculo: Historia de una obsesión. Revista

de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. España. 2012

BOYER, C. Historia de la Matemática. Alianza editorial, 1986.

BRUÑO, G. M. Geometría. Cuarta Edición. Editorial Bedout. Medellín. 1966.

CONTRERAS, Juana. El problema de la duplicación del Cubo. Artículo Revista del

Instituto de Matemática y Física. Universidad de Talca.

FUENTES, FABIO. Geometría plana, ¡de Euclides al Cabri! Editorial Nueva Oportunidad. Bogotá. 2010.

LANDAVERDE, Felipe de Jesús. Curso de Geometría. Segunda Edición. Editorial Progreso, S. A. México. 1962.

MOISE, Edwin. Geometría. Serie Matemática Moderna. Editorial Norma. Bogotá. 1972



REY Pastor, J. y PUIG Adam. Elementos de Geometría Racional. Tomo I. Editorial Nuevas Graficas. Madrid. 1960.

VELA, Pedro T. El hombre de Vitrubio. Simbología y geometría la cuadratura del

círculo. Safe Creative. España. 2011

WENTWORTH, Jorge y SMITH, David Eugenio. Geometría Plana y del Espacio.

Editorial Ginn y Cia. Londres. 1915.

TALLER

Construcciones Dinámicas en 3d

Raúl Enrique Escobar Caro

JUSTIFICACION

El taller busca la comprensión de problemas y conceptos matemáticos abordados

en el proceso de aprendizaje o enseñanza, que les permitan utilizando el

razonamiento, el análisis y la reflexión, interpretar y modelar problemas mediante la

implementación computacional de los mismos en el software libre Geogebra en 3D.



5 partes diferenciadas: • Una barra de herramientas con botones desplegables • Vista gráfica 2D y 3D • Barra de entrada • Vista algebraica • Vista hoja de cálculo

ACTIVIDAD 1

Representación grafica de funciones en 3D

La función bidimensional de Gauss



ACTIVIDAD 2

Representación paramétrica de superficies en 3D

La cinta de Mobius

ACTIVIDAD 3

Representación de vectores en 3D

Suma de dos vectores en 3D



ACTIVIDAD 4

Modelar y construir el concepto de torque en 3D

ACTIVIDAD 5

Se construye de manera dinámica la proyección de un vector en otro vector en 3D



ACTIVIDAD 6

Combinación lineal de dos vectores en 3D

iii congreso nacional de formadores en matemÁticas y...

Documents