COLEGIO PREUNIVERSITARIO TRILCEIII BIM LGEBRA 5TO. AO

Mdico, matemtico y astrlogo italiano cuya obra Ars Magna (1 545) marc el inicio del periodo moderno del lgebra. Naci en Pava. Fue nombrado catedrtico de Medicina en Pava en 1 543 y en Bolonia en 1 562. Sus actividades astrolgicas incluyeron un horscopo de Cristo. En 1 570 fue detenido por la Inquisicin acusado por hereja, aunque pronto se retract y recibi una pensin del papa Po V. Cardano escribi ms de 200 tratados, pero los ms famosos fueron su Ars Magna, que contiene las primeras soluciones publicadas de ecuaciones de tercer y cuarto grado, y el Liber de ludo aleae, que contiene algunos de los primeros trabajos sobre probabilidad, en los que aplic su experiencia como jugador.Unas semanas antes de su muerte finaliz una autobiografa, De propria vita, que adquiri cierta fama. Su vida personal fue trgica: uno de sus hijos fue ejecutado en 1 560 por sospecha de asesinato de su propia esposa; y otro de sus hijos pas por la crcel en numerosas ocasiones por diferentes delitos. Una historia afirma que Cardano se suicid al no cumplirse su prediccin astrolgica de su propia muerte, aunque esto ltimo lo ms probable es que se trate de una mera invencin.

Hace cinco mil aos, en el pas de los sumerios, cerca del Golfo Prsico, se dieron las primeras dificultades matemticas que necesitaban ser interpretadas bajo ciertas igualdades. Esto dio inicio a las primeras relaciones que, posteriormente, los matemticos dieron el nombre de Teora de Ecuaciones.

Con el afn de resolver las ecuaciones se han creado nuevas teoras, nuevos conceptos, nuevos conjuntos numricos. El mtodo de resolucin de las ecuaciones de primer y segundo grado fueron descubiertos por los matemticos sumerios y babilonios (Tres mil aos a.C.) y por Diofante (329 410 d.C.) fundador del lgebra, por los hindes y, finalmente, por los rabes (siglo IX). Este mtodo forma parte del ms antiguo patrimonio matemtico de la humanidad. La ecuacin de tercer grado dio ocasin a Cardano (1 501 1 576) y a Tartaglia (1 499 1 557) para inventar los nmeros complejos en el siglo XVI. Ludovico Ferrari (1 522 1,565), discpulo de Cardano, encontr el mtodo general de la resolucin de la ecuacin de cuarto grado. Posteriormente, Ren Descartes (1 596 1 650), sabio y filsofo francs, inventor de la Geometra Analtica descubre otra forma de resolver la ecuacin curtica.Como es lgico, los matemticos trataron de resolver las ecuaciones de grado superior a cuarto (quinto grado, sexto grado, de grado n). Este estudio tena un inters doble, ya que hubiera constituido un gran logro encontrado un mtodo general de resolucin para todas las ecuaciones de una incgnita, cualquiera sea su grado.

Tras muchos intentos se lleg a la conclusin de que las ecuaciones de quinto grado o superior eran imposibles de resolver slo usando clculos algebraicos. Un mdico italiano de Bolonia, Paolo Ruffini (1 765 1 822), haba tratado de demostrarlo en 1 798, en su Teora General de las Ecuaciones; pero la demostracin result incompleta. Al cabo de unos aos, el joven matemtico noruego Abel (1 802 1 829) descubri el teorema que lleva su nombre en 1 824 y dice: Es imposible resolver algebraicamente las ecuaciones generales de grado superior a cuatro.

Este teorema fue reforzado por Evariste Galois (1 811 1 832), matemtico francs, fundador de la teora de los grupos.

Dado que los matemticos no lograron encontrar mtodos generales de resolucin para ecuaciones de grado superior a 4; trataron de responder ciertas cuestiones como:

Cuntas races positivas posee una ecuacin?

Cuntas races reales o complejas posee una ecuacin?

Dados dos nmeros a y b, cuntas races de una ecuacin dada estn comprendidas entre a y b (problema de la separacin de las races de una ecuacin)?

Desde este punto de vista los dos teoremas fundamentales son el de Ren Descartes y el teorema fundamental del lgebra (K. Gauss DAlambert). Este teorema fue enunciado por Girard en 1 625, slo realiz una demostracin incompleta por parte de DAlamber (1 746). La primera demostracin completa fue establecida por K. Gauss (1 799). Despus Cauchy, Weierstrass y Kronecker dieron otras demostraciones. El teorema de Gauss DAlambert se enuncia: Toda ecuacin polinomial de grado n posee por lo menos una raz (compleja o real). El francs Michell Rolle (1 625 1 749) trat de resolver las ecuaciones mediante un procedimiento denominado Mtodo en cascada, que, posteriormente, se llamara Clculo por mtodos numricos, utilizando el clculo diferencial.

Ejercicios Resueltos

1. Resolver:

Resolucin:Multiplicando ambos miembros por el M.C.M. de los denominadores: 15

5(2x) + 3(3x) = 9x + 600

10x + 9x = 9x + 600

eliminando 9x: 10x = 600 ( x = 602. Resolver:

Resolucin:Tener presente que el denominador es diferente de cero.

Es decir: x 3 ( 0 ( x ( 3 (1)

Reduciendo la ecuacin:

Cancelando (x 3):1 + x 3 = 1

x = 3 (2)

De (1) y (2) se observa una contradiccin.

Concluimos: la ecuacin no tiene solucin o es incompatible.

3. Resolver:

Resolucin:

Elevando al cuadrado miembro a miembro:

x2 15x + 44 = 0

x-11

x-4

Verificando en la ecuacin original:

Si: x = 11

(11 + 4 = 7 (Falso)Si: x = 4

(4 + 3 = 7

(Verdadero)

( La nica solucin es: x = 44. Resolver: (x - 2)(x - 4) = 5x(x 4)Resolucin:Llevando 5x(x - 4) al 1er miembro:

(x - 2)(x - 4) 5x(x - 4) = 0

Extraemos el factor comn (x 4):

(x - 4)[(x - 2) 5x] = 0

x 4 = 0 ( (x 2) 5x = 0

Despejando para c/u se tiene:

x = 4 x = -1/2

Entonces tiene dos soluciones.

1. Resolver: 7(x - 18) = 3(x - 14)a) 20

b) 21

c) 22

d) 23

e) 24

2. Resolver: 7(x - 3) = 9(x + 1) 38a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 12

3. Resolver:

a) 1

b) 2

c) 3d) 4

e) 6

4. Resolver:

a) 1

b) 2

c) 3d) 4

e) 85. Resolver:

a) 110

b) 100

c) 120

d) 160

e) 162

6. Resolver:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 6

7. Resolver: 4(x - 3) 7(x - 4) = 6 - xa) 5

b) 4

c) 3

d) 2

e) 1

8. Resolver:

a) 60

b) 61

c) -60

d) -61

e) 62

9. Resolver:

a)

b)

c)

d)

e)

10. Resolver:

a) 1

b) 2

c) 3d) 6

e) 811. Resolver:

a) 1

b) 2

c) 3d) 4

e) 612. Resolver:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 6

13. Se han vendido 1/3; 1/4 y 1/6 de una pieza de pao, de la cual quedan todava 15 metros. Bsquese la longitud de la pieza.a) 40 m

b) 60

c) 80

d) 120

e) 160

14. Repartirse 100 soles entre 3 personas, de manera que la primera reciba 5 soles ms que la segunda, y que sta reciba 10 soles ms que la tercera. Cunto recibe la tercera persona?

a) S/. 20

b) 22

c) 24

d) 25

e) 50

15. Resolver:

a) a b

b) a + b

c) a2ab+b2d) a2 + b2

e) a2 b2

1. Resolver:

a)

b)

c)

d)

e)

2. Dada la ecuacin absurda:

Indique los posibles valores de n

Rpta.: _____________

3. Resolver, si:

es igual a: a2 + b2 a b + 1 + 2ab

a) a b

b) a + b

c) a2 b2d) a + ab + 1e) a + 1

4. Resolver:

a)

b)

c)

d)

e) a + b + c

5. Resolver:

Rpta.: _____________

6. Si: x ( 0. Resolver:

Rpta.: _____________

TAREA DOMICILIARIA N 31. Resolver: 5x + 50 = 4x + 56a) 1

b) 2

c) 4

d) 5

e) 6

2. Resolver: 16x 11 = 7x + 70

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 9

3. Resolver:

a) 1

b) 60

c) 62

d) 63

e) 68

4. Resolver:

a) 11

b) 12

c) 13d) 14

e) 165. Resolver:

a) 1

b) 12

c) 18d) 36

e) 406. Resolver:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 6

7. Resolver:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 6

8. Resolver:

a) 1

b) 2

c) 3d) 6

e) 79. Resolver:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

10. Dividir el nmero 46 en 2 partes tales, que 1/7 de una, ms 1/3 de la otra sumen 10. Hallar o indicar la mayor de las partes.

a) 12

b) 18

c) 22

d) 24

e) 28

11. Cul es el nmero cuyos 3/4 menos 8, y la mitad ms 5, dan 122?

a) 60

b) 80

c) 100

d) 140

e) 200

12. Repartirse 90 dlares entre 3 personas, de manera que la tercera reciba 5 dlares menos que la segunda y sta 10 dlares ms que la primera. Cunto recibe la segunda?a) $35

b) 30

c) 20

d) 10

e) 60

13. Resolver:

a) 4

b) 5

c) 6d) 10

e) 1214. Resolver:

a) 90 000

b) 80 000c) 950 000

d) 9 500

e) 45 000

15. Resolver:(x - 1)(x - 2) + (x - 1)(x - 3) = 2(x - 2)(x 3)a) 1

b) 6/7

c) 7/3

d) 3/7

e) 11/3

NIVEL: SECUNDARIASEMANA N 3QUINTO AO

TEORA DE ECUACIONES

Efectuar en ellas todas las operaciones nece-sarias para obtener sus soluciones.

Conjunto formado por todas las soluciones.

es

es

EJERCICIOS DE APLICACIN

Donde: x = 11 ( x = 4

si

si

a + c = b + c ( a = b, si: c ( R

ac = bc ( a = b, si: c ( 0

EMBED Equation.3 ( a = b, si: c ( 0

Cancelacin

a + b = c ( a = c b

ab = c ( a = EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 = c ( a = bc

es

Forma General

una

Solucin o Raz

Teora de Ecuaciones

Transposicin

Teoremas

a = 0 ( b ( 0 ( 0x = -b

No existe ningn valor x que multiplicado por cero da como resultado b.

(Incompatible o absurdar)

si

a = 0 ( b = 0 ( 0x = 0

x admite cualquier solucin

(compatible indeterminada)

si

Forma General

EMBED Equation.3

solucin nica

(compatible determinada)

Anlisis de sus Races

Forma General

ax + b = 0

Ecuacin de Primer Grado

Ejemplo:

4(x-3) + 2x + 5 = 6 + 2(3x-6)

al reducir se obtiene:

5 = 6

(La ecuacin es absurda

as

El nmero de soluciones es ilimitado.

Existe un nmero finito de soluciones.

si

si

Una igualdad condicional que queda satisfecha slo para algunos valores asignados a sus variables.

As: EMBED Equation.3 queda satisfecha slo cuando: x = 6.

Ecuaciones

Clases de Igualdad

Indeterminada

y es

Determinada

No existe ninguna solucin.

C.S. = (

Admite por lo menos una solucin.

cuando

cuando

Incompatible oAbsurda

ser

Compatible

Nmero de Soluciones

irracional

Una relacin de comparacin que se establece entre dos expresiones el cual nos indica que tienen el mismo valor.

EMBED Equation.3

Cuando la incgnita se encuentra dentro de un radical.

Ejemplo:

EMBED Equation.3

fraccionaria

Cuando presenta variables en su denominador:

Ejemplo:

EMBED Equation.3

segn

Estructura

Clasificacin de las Ecuaciones

as

Las ecuaciones:

EMBED Equation.3

son equivalentes puesto que ambas ecuaciones se verifican solamente para:

x = 12

hasta

Conseguirlo que ella sea sencilla y permita hallar el valor de la incgnita.

para

Conseguirlo se le trans-forma sucesivamente en otras equivalentes.

as

Como las soluciones de la ecuacin:

x3 5x2 = x2 11x + 6

Son: x = 1; x = 2; x = 3

Entonces el conjunto solucin (C.S.) es:

C.S. = {1; 2; 3}

as

Dada la ecuacin:

x3 5x2 = x2 11x + 6

Para: x = 1(-4 = -4

Para: x = 2(-12 = -12

Para: x = 3(-18 = -18

Luego las races o soluciones son:

x = 1; x = 2; x = 3

dos

es

es el

son

Ecuaciones son equivalen-tes si todas las soluciones de la primera ecuacin son tambin soluciones de la segunda ecuacin e inversamamente.

Igualdad

Aquella que se verifica para ciertos valores particulares que se les atribuye a sus incgnitas.

Ejm.: 2x + 1 = x + 7

se verifica slo si: x = 6

2(6) + 1 = 6 + 7

Aquella que se verifica para todos los valores asignados a sus incgnitas.

Ejm.: (x + 1)2 = x2 + 2x + 1

la igualdad se verifica para cualquier valor real de x

Relativas Condicionales

Absolutas Incondicionales

Aquellos valores que asumen las incgnitas las cuales verifican o satisfacen una deter-minada ecuacin.

Ecuaciones Equivalentes

Resolucin de una Ecuacin

Conjunto Solucin

Conceptos Fundamentales

es

PAGE 136SAN MIGUEL FAUCETT MAGDALENA

_1120031122.unknown

_1120031582.unknown

_1120031920.unknown

_1120032402.unknown

_1120032473.unknown

_1120032537.unknown

_1120032753.unknown

_1121168225.unknown

_1120032715.unknown

_1120032498.unknown

_1120032438.unknown

_1120032339.unknown

_1120032374.unknown

_1120031979.unknown

_1120031860.unknown

_1120031876.unknown

_1120031883.unknown

_1120031870.unknown

_1120031783.unknown

_1120031848.unknown

_1120031689.unknown

_1120031263.unknown

_1120031555.unknown

_1120031567.unknown

_1120031575.unknown

_1120031560.unknown

_1120031423.unknown

_1120031536.unknown

_1120031297.unknown

_1120031179.unknown

_1120031197.unknown

_1120031231.unknown

_1120031191.unknown

_1120031165.unknown

_1120031173.unknown

_1120031156.unknown

_1120030354.unknown

_1120030916.unknown

_1120030992.unknown

_1120031025.unknown

_1120030973.unknown

_1120030531.unknown

_1120030572.unknown

_1120030516.unknown

_1120030132.unknown

_1120030291.unknown

_1120030315.unknown

_1120030206.unknown

_1120029185.unknown

_1120029981.unknown

_1120030049.unknown

_1120029605.unknown

_1120029193.unknown

_1120025337.unknown

_1120026731.unknown

_1120028187.unknown

_1120026583.unknown

_1120026111.unknown

_1120022063.unknown

_1056272263.unknown