Con la aritmetización del análisis el movimiento acelero, separaciones sorprendentes se manifestaron así entre las sugestiones falaces en la intuición y las enseñanzas indubitables de la demostración.

Fue quien en 1882 intentó la primera axiomatización de la geometría.

Y planteó claramente el problema: “para que la geometría llegue a ser verdaderamente una ciencia deductiva, es necesario que la manera como se sacan las consecuencias sea en todas partes independiente del sentido de los conceptos geométricos, como debe serlo de las figuras; solo deben tomarse en consideración las relaciones establecidas por las proposiciones entre los conceptos geométricos.

Un sistema geométrico presupone

ordinariamente la aritmética.

Indefinibles E Indemostrables. Sistemas Indefinibles E Indemostrables. Sistemas EquivalentesEquivalentes

Uno de los rasgos que Uno de los rasgos que caracterizan mas caracterizan mas visiblemente la puesta visiblemente la puesta en forma axiomática en forma axiomática de una teoría de una teoría deductiva, es la que deductiva, es la que comienza por despejar comienza por despejar los indefinibles e los indefinibles e indemostrables indemostrables aspectos de la teoría.aspectos de la teoría.

Dos sistemas de Dos sistemas de proposiciones serán proposiciones serán equivalentes si cualquier equivalentes si cualquier proposición del uno se proposición del uno se puede demostrar con la puede demostrar con la sola ayuda de las sola ayuda de las proposiciones del otro, y proposiciones del otro, y recíprocamente; dos recíprocamente; dos sistemas son sistemas son equivalentes, si todo equivalentes, si todo termino del uno se puede termino del uno se puede definir con la sola ayuda definir con la sola ayuda de los términos del otro y de los términos del otro y recíprocamente.recíprocamente.

Las Definiciones Por PostuladosLas Definiciones Por Postulados

Dos Ejemplos De AxiomáticasDos Ejemplos De Axiomáticas

Peano preocupado por el problema de la expresión simbólica, Peano preocupado por el problema de la expresión simbólica, construyo la teoría de los números naturales:construyo la teoría de los números naturales:

En primer lugar por la brevedad que permitiría exponerla toda En primer lugar por la brevedad que permitiría exponerla toda entera, luego porque se encontraba en ella una ilustración entera, luego porque se encontraba en ella una ilustración simple y notable del carácter de equivocidad.simple y notable del carácter de equivocidad.

Pues no comporta sino tres términos primeros: cero, el Pues no comporta sino tres términos primeros: cero, el numero, el sucesor de- y cinco proposiones primeras, que numero, el sucesor de- y cinco proposiones primeras, que se transcriben de la notación simbólica en el lenguaje usual:se transcriben de la notación simbólica en el lenguaje usual:

De los cuales sobresalían estos términos:De los cuales sobresalían estos términos:► El ceroEl cero► El NumeroEl Numero► El sucesorEl sucesor► Y cinco proposicionesY cinco proposiciones

1.- Cero es un número.1.- Cero es un número.

2.- El sucesor de un número es un número2.- El sucesor de un número es un número..3.- Varios números cualesquiera no pueden tener el mismo 3.- Varios números cualesquiera no pueden tener el mismo

sucesor.sucesor.

4.- Cero no es el sucesor de ningún número.4.- Cero no es el sucesor de ningún número.

5.- Si una propiedad pertenece a cero y si cuando pertenece a 5.- Si una propiedad pertenece a cero y si cuando pertenece a un número cualesquiera, pertenece también a su sucesor, un número cualesquiera, pertenece también a su sucesor, entonces pertenece a todos los números (principio de entonces pertenece a todos los números (principio de inducción).inducción).

Con la ayuda de las dos primeras proposiciones, se puede Con la ayuda de las dos primeras proposiciones, se puede definir en primer lugar el número 1, después el número 2, y definir en primer lugar el número 1, después el número 2, y así sucesivamente. Sobre estas bases, las nociones y así sucesivamente. Sobre estas bases, las nociones y proposiciones elementales de la aritmética se pueden definir proposiciones elementales de la aritmética se pueden definir o demostrar todas.o demostrar todas.

Modelos. Isomorfismo.Modelos. Isomorfismo.Se puede llamar concreta, material o intuitiva a una teoría en el estadio preaxiomatico, es decir, que mantiene aun el contacto con los conocimientos que organiza, y que presenta un contenido que conserva su sentido y su verdad empíricos.

Cuando los modelos no se distinguen así entre ellos, sino por la diversidad de las interpretaciones concretas que se da a sus termino, y coinciden exactamente cuando se hace abstracción de estas para instalarse sobre el plano de la axiomática formal, se dice que son isomorfos: tienen en efecto igual estructuras.

El método axiomático tiene precisamente el interés de revelar isomorfismos entre teorías concretas aparentemente heterogéneas, restableciéndolas en la unidad de un sistema abstracto.

Consistencia E Integridad. DecidibilidadConsistencia E Integridad. Decidibilidad

La elección de los postulados que se ponen por base La elección de los postulados que se ponen por base de una axiomática no es por eso dejado al azar: de una axiomática no es por eso dejado al azar: queda sujeto a exigencias internas diversas, mas o queda sujeto a exigencias internas diversas, mas o menos imperiosas.menos imperiosas.

Si los diversos postulados de un sistema no fueran Si los diversos postulados de un sistema no fueran compatibles entre ellos, el sistema llegaría a ser compatibles entre ellos, el sistema llegaría a ser contradictorio. contradictorio.