1

Tanto en el método del valor presente como en otros métodos alternos de evaluación, son las diferencias en los flujos de caja entre las alternativas las que deben tenerse en cuenta. Por lo tanto cuando sea posible, los cálculos pueden simplificarse eliminando los elementos del flujo de caja que son comunes a las alternativas. Al menos que se quiera conocer las reales o verdaderas obligaciones financieras asociadas con cada alternativa.

Método del Costo Capitalizado

El costo capitalizado se refiere al valor presente de un proyecto que se supone

tendrá una vida útil indefinida.

Ciertos proyectos como represas, sistemas de irrigación, ferrocarriles, universidades y organizaciones de caridad se evalúan utilizando el método del costo capitalizado.

El procedimiento para calcular el costo capitalizado de una secuencia infinita de flujos efectivos es:

1.) Dibujar un diagrama de flujo de caja que muestre todos los gastos o ingresos no recurrentes (que ocurren una sola vez) y almenos dos ciclos de todos los gastos o ingresos recurrentes (periódicos).

2.) Calcular el valor presente de todos los gastos y/o ingresos no recurrentes.

3.) Calcular el costo anual uniforme equivalente durante un ciclode vida de todos las cantidades recurrente (periódicas) y agregar esto a todas las demás cantidades uniformes que ocurren entre el año 1 hasta el infinito, lo que generara un valor anual uniforme equivalente total.

4.) Se divide el CAUE obtenido en el paso anterior por la tasa de interés para obtener el costo capitalizado del CAUE.

i

CAUE doCapitaliza Costo = ) iPA ( ⋅=

5.) Se suma el valor obtenido en el paso 2 al valor obtenido en el paso 4.

2

Ejemplo. Se requiere que calcule el costo capitalizado de un proyecto destinado a la instalación de servicios higiénicos públicos en una plaza que tiene una inversión inicial de US$ 1000 y una inversión adicional al final del segundo año de US$ 200. Además, se requiere comprar insumos recurrentemente cada tres años por la suma de US$ 400, y gastos de mantención anual por US$ 100. La tasa de interés es del 10%

0 1 2 3 4 5 año

1000

100

6

100 100100 100 100

∞

400 400200

i=10%

US$

Diagrama de flujo de efectivo.1.)

2.) Valor presente de los costos no recurrentes.

1165 $US)1.01(

12001000P 2NR =

+⋅+=

3.) Calculo del CAUE (o VA) de los costo recurrente.

221 $US1001)1.01(

1.0400CAUE 3R =+

−+⋅=

0 1 2 3 4 5 año

1000

100

6

100 100100 100 100

∞

400 400200

i=10%

US$

4.) Calculo del costo capitalizado de los costos recurrentes.

22101.0

221CCR ==

5.) Costo capitalizado del proyecto.

3375 $US22101165CC =+=

3

El costo capitalizado representa el costo total presente para financiar y mantener una alternativa dada para siempre.

Ejemplo. Calcule el costo capitalizado de un proyecto que tiene un costo inicial de US$ 150000 y un costo adicional de inversión de US$ 50000 a los 10 años. Los costos anuales de operación son de US$ 5000 para los primeros 4 años y US$ 8000 de allí en adelante. Además, se espera que haya un costo recurrente de US$ 15000 cada 13 años. Asuma i = 15% anual.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

15000150000

9 11 12

50000

1.) Dibujamos el diagrama de flujo de caja para dos ciclos.

5000

15000

13 14 26

8000

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

15000150000

9 11 12

50000

5000

15000

13 14 26

8000

25

2.) Calculamos el valor presente de los costos no recurrentes (US$150000 y US$50000).

162359.2 $US)15.01(

150000150000P 10Recurrente No =

+⋅+=

3.) Calculo del costo anual uniforme equivalente de los costo recurrente, que deben ser considerado junto a las demás series de costos anuales uniformes.

7.436 $US1)15.01(

15.015000A 13currentesRe =

−+⋅=

5000APerpetua =

3000A 5 año el desde Perpetua =

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

15000150000

9 11 12

50000

5000

15000

13 14 26

8000

25

4

4.) Calculo del costo capitalizado del paso anterior.

47679.7 $USCC

)15.01(1

15.03000

15.050007.436

CC

Series y currentesRe

4Series y currentesRe

=

+++=

5.) Costo capitalizado del proyecto.

210038.9 $US7.47679162359.2doCapitaliza Costo =+=

Selección de alternativas por intermedio del costo capitalizado

Cuando dos o más alternativas se comparan sobre la base de sus costos capitalizados se calcula para cada alternativa su costo capitalizado.

Ejemplo. Un ingeniero esta considerando dos alternativas para el suministro local de agua. La primera alternativa involucraría la construcción de una represa sobre un río cercano, que tiene un flujo bastante variable. La represa serviría como depósito para que la ciudad cuente con una fuente indefinida de agua. Se espera que el costo inicial de la represa sea de unos US$ 8 millones y que requerirá costos de mantenimientos anuales de US$ 25000. Se espera que la vida de la represa sea indefinida.

Alternativamente, la ciudad tiene la capacidad para perforar pozos y construir tuberías para transportar agua hasta la ciudad. El ingeniero calcula que se requeriría un promedio de 10 pozos a un costo de US$ 45000 cada uno, incluyendo la tubería. La vida útil promedio de un pozo es de 5 años, con un costo anual de operación de US$ 12000 cada uno.

Considerando una tasa de interés de 15% anual, determine quéalternativa debería seleccionarse con base en los costos capitalizados.

Alternativa: Represa.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Indefinidamente

15% anual

8000000

25000

Calculo del costo capitalizado de la represa:

8166667 US$15.0

250008000000P presaRe =+=

5

Alternativa: Pozos . Aquí debemos repetir indefinidamente la inversión en pozos cada 5 años. Recomendable mostrar dos ciclos al menos para el calculo:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Indefinidamente

15% anual

450000

12000

450000

Calculo del CAUE de los pozos:

254242 $USCAUE

)10)(12000(1)15.01()15.01(15.0

)10)(45000(CAUE

Pozos

5

5

Pozos

=

+

−++⋅⋅=

Luego, el costo capitalizado de los pozos:

1694947 US$ 15.0

254242PPozos ==

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Indefinidamente

15% anual

8000000

25000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Indefinidamente

15% anual

450000

12000

450000

Represa PozosCosto Capitalizado $ 8166667.0 $ 1694947.0

Se tiene:

Luego, se deben construir los pozos.

Represa PozosEn resumen:

Costo Anual Uniforme Equivalente

El método del Costo Anual Uniforme Equivalente CAUE (o Valor Anual) consiste en convertir los ingresos y desembolsos (irregulares o uniformes) en una cantidad anual uniforme equivalente.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1200 1400 1600

$

800300

200700

años

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

$

542,3

años

10%La principal ventaja de este método sobre otros es que no requiere que la comparación se lleve a cabo sobre el mínimo común múltiplo de años cuando las alternativas tienen diferente vidas útiles. El CAUE debe calcularse solo para el ciclo de vida de la alternativa.

El CAUE es un método ventajoso para la comparación de alternativas

con distintas vidas útiles

6

Problema (6.7). Compare las siguientes máquinas sobre la base de sus costos anuales uniformes equivalentes. Utilice i = 18% anual.

Máquina MáquinaNueva Usada

Costo inicial (US$) 44000 23000Costo anual de operación (US$) 7000 9000Costo anual de reparación (US$) 210 350Reparación cada 2 años (US$) 1900Reparación cada 5 años (US$) 2500Valor de salvamento (US$) 4000 3000Vida (años) 15 8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

44000

9 11 12

7210

13 14

2500

15

2500

4000

i=18%

Calculamos el valor presente de todos los ingresos o desembolsos irregulares:

45236.4 $USVP

)18.01(

14000

)18.01(

12500

)18.01(

1250044000VP

15105

=

+⋅−

+⋅+

+⋅+=

Alternativa: Máquina nueva

16095 $US1)18.01()18.01(18.0

4.452367210CAUE 15

15

Nueva =

−++⋅⋅+=

Luego:

0 1 2 3 4 5 6 7 8

23000

Alternativa: Máquina usada

Se selecciona la máquina usada.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

9350

1900

3000

i =18%

1900 1900

25250 $USVP

)18.01(1

3000)18.01(

1)18.01(

1)18.01(

1190023000VP 8642

=

+⋅−

++

++

+⋅+=

31554$US1)18.01()18.01(18.0

3.252509350CAUE 8

8

Usada =

−++⋅⋅+=

Método de la Tasa Interna de Retorno TIR

Se define la Tasa Interna de Retorno como la tasa de interés que torna cero

el Valor Presente del proyecto.

( ) 0i1

Fn

0k

kk =

+∑=

( )∑=

+=

n

0k

kk

i1

FVP

Es la Tasa Interna de Retorno

7

Las TIR son las raíces del polinomio de grado n que conforma:

( ) 0i1

Fn

0k

kk =

+∑=

Desde el punto de vista del numero de raíces del polinomio los Flujo de Caja podemos clasificarlos en:

Flujo de caja convencional o simple.

Flujo de caja no convencional.

Flujo de caja convencional o simple tienen un solo valor de la tasa de retorno como solución para un flujo de caja dado (solo un cambio de signo).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

12001600 2500

$

900

200

10500

años

3800

Ejemplo. Si se invierte US$ 5000 hoy en un fondo del cual se espera que produzca US$ 100 anuales durante 10 años y US$ 7000 al final de los 10 años, ¿cuál es la tasa de retorno?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5000

7000

100

¿TIR?

Igualando a cero el valor presente de los flujo de caja:

+⋅+

+−+⋅+−=

1010

10

)i1(

17000

)i1(i

1)i1(10050000

Resolviendo la ecuación anterior por un procedimiento de prueba y error, u otro método de convergencia encontramos que la tasa interna de retorno única es 5.16% anual.

+⋅+

+−+⋅+−=

1010

10

)i1(

17000

)i1(i

1)i1(10050000

8

Flujo de caja no convencional tiene varios valor de la tasa de retorno como solución para un flujo de caja dado (existe más de un cambio de signo)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

12001600 2500

$

900

200

8000

años

3800

2300

280

De las soluciones encontradas para un flujo de caja no convencional algunas pueden ser imaginarias o infinitas, estas son de poca importancia para el analista.

Ejemplo. Un nuevo lubricante sintético ha sido lanzado al mercado durante 3 años, con los siguientes flujos de caja en miles de dólares.

Año 0 1 2 3Flujo de caja (miles de US$) 2000 -500 -8100 6800

a) Represente gráficamente el valor presente versus la tasa de retorno para valores de i de 5, 10, 20, 30, 40 y 45%.

b) Determine si el flujo de caja es convencional o no convencional y estime la tasa interna de retorno a partir de la gráfica obtenida en la parte a).

+⋅+

+⋅−

+⋅−=

321 )i1(

16800

)i1(

18100

)i1(

15002000VP

Año 0 1 2 3Flujo de caja (miles de US$) 2000 -500 -8100 6800 VP

i=5% 2000 -476,20 -7346,70 5873,84 51,4410% 2000 -454,55 -6693,84 5108,84 -39,5520% 2000 -416,65 -5624,64 3935,16 -106,1330% 2000 -384,60 -4792,77 3095,36 -82,0140% 2000 -357,15 -4132,62 2477,92 -11,8545% 2000 -344,85 -3852,36 2230,40 33,19

Los valores de la tasa de retorno que se obtienen son i=7.47% e i=41.33%.

VP

10% 20% 30%

40%

i- 20

- 40

- 60

- 80

- 100

20

40

El método de la TIR es útil para proyectos que se comportan normalmente, es decir, los que primeros tienen flujos negativos y después generan beneficios. Si el signo de los flujos del proyecto cambia más de una vez, encontraremos más de un TIR, lo que puede inducir a tomar una decisión errónea.

El método TIR es recomendable para los proyectos con flujos de

caja convencional

9

TIR > 0 si los ingresos son mayores que los desembolsos

La tasa de retorno tendrá un valor mayor que cero siempre que la cantidad total de los ingresos sea mayor que el total de los desembolsos.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10001800 3000

$

700200

7000

años

4000

Criterio de decisión

Para que un proyecto sea rentable económicamente la TIR debe ser mayor que el interés entregado por otras alternativas de inversión o la TMAR.

TMARTIR > Conveniente realizar el proyecto porque aporta ganancias.

Es indiferente realizar o no el proyecto, solo se recupera la inversión a la tasa de retorno utilizada.

No es conveniente realizar el proyecto.

TMARTIR =

TMARTIR <

La Tasa Interna de Retorno (TIR) también se conoce como tasa de equilibrio, índice de beneficio o retorno sobre la inversión, o simplemente tasa de retorno.

Selección de alternativas por intermedio de la Tasa Interna de Retorno

En la evaluación de alternativas mutuamente excluyentes por intermedio de la tasa de retorno no es suficiente con determinarla tasa de retorno de las alternativas y seleccionar la alternativa con mayor tasa de retorno.

10

Alternativas A BInversión (US$) 50000 85000Ingresos anuales 25000 38500Vida del proyecto 4 4

Se requiere seleccionar la alternativa más conveniente por intermedio del Valor Presente y el TIR.

Alternativa año 0 año 1 año 2 año 3 año 4 VP TIRA -50000 25000 25000 25000 25000 19.955 35%B -85000 38500 38500 38500 38500 22.730 29%

Ejemplo. La empresa Afianza S.A. esta considerando invertir US$ 90000 con una tasa mínima atractiva de retorno del 16% anual. Para lo cual esta evaluando dos alternativas mutuamente excluyentes:

¿..?

Si consideramos solo las tasas de retorno la selección seria la alternativa A, lo que no concuerda con lo que indica el método del valor presente. Esto se debe a que es necesario considerar lo que pasa con lo que sobra del capital disponible (US$ 90000).

Generalmente se asume que el exceso de capital se invierte a la tasa de retorno mínima atractiva de la empresa.

( )

( ) 28.28% 8282.090000

)16.0)(5000()29.0)(85000(retorno de Tasa

26.56% 2656.090000

)16.0)(40000()35.0)(50000(retorno de Tasa

B

A

⇒=+=

⇒=+=

Con lo que la alternativa B es la seleccionada concordando con lo indicado por el Valor Presente. Si se usará el método del CAUE se debería llegar al mismo resultado.

Por lo que la evaluación de alternativas por intermedio de la Tasa Interna de Retorno requiere de un análisis incremental. El análisis incremental determina la TIR de los fondos adicionales.

La selección de alternativas por la TIR requiere justificar el incremento de inversión.

Procedimiento para conducir un análisis incremental:

1. Ordenar las alternativas de menor a mayor inversión.

2. Calcular la TIR del proyecto con más baja inversión. Si TIR<TMAR entonces se desecha el proyecto y se continúa

con el siguiente hasta que TIR≥TMAR, este proyecto se llamará DEFENSOR.

Análisis Incremental

Calcular el Flujo Neto Incremental.4.

∑∑∑∑====

−−−−====

.M.C.M

0i

Defensori

Retadori )FNFN(

lIncrementa

Neto Flujo

Calcular la TIR del flujo incremental. Si resulta que

TIR≥TMAR entonces el RETADOR se convierte en el nuevo DEFENSOR, en caso contrario (TIR<TMAR) se mantiene el defensor.

5.

Se vuelve al paso (3) hasta que quede solo una alternativa.6.

Se igualan los períodos (M.C.M.) entre el DEFENSOR y el proyecto que le sigue en inversión que se llamara RETADOR.

3.

11

Ejemplo. Una empresa comercializadora de productos químicos esta analizando la conveniencia de comprar una nueva máquina empacadora, la cual puede ser automática o semiautomática. Los estimativos de cada una de ellas son los siguientes:

Automática SemiautomáticaCosto inicial (US$) 13000 8000Desembolsos anuales (US$) 1600 3500Valor de salvamento (US$) 2000 0Vida útil (años) 5 10

Determine qué maquina debería comprarse si la TMAR es de 15% anual.

Ordenamos las alternativas de menor a mayor inversión inicial, utilizando el M.C.M. (10 años)

a)

Año SemiAuto Automatica0 -8000 -130001 -3500 -16002 -3500 -16003 -3500 -16004 -3500 -16005 -3500 -1600+2000-130006 -3500 -16007 -3500 -16008 -3500 -16009 -3500 -1600

10 -3500 -1600+2000

Alternativas

b) Calculo del TIR del proyecto con menor inversión. No aplicable en este caso.

Determinar el flujo de caja neto incremental:c)

Flujo de Caja NetoAño SemiAuto Automatica (Retador -Defensor)

0 -8000 -13000 -50001 -3500 -1600 19002 -3500 -1600 19003 -3500 -1600 19004 -3500 -1600 19005 -3500 -1600+2000-13000 -91006 -3500 -1600 19007 -3500 -1600 19008 -3500 -1600 19009 -3500 -1600 1900

10 -3500 -1600+2000 3900

Alternativas Diagrama de flujo de caja neto.

1 2 3 4

1900

110005000

2000

0

5 6 7 8 9 10

Calculamos la TIR del Flujo de Caja Neto Incremental.d)

Utilizando el Valor Presente para encontrar el TIR:

( )( ) ( ) ( )

+⋅+

+⋅−

+⋅−+⋅+−= 10510

10

i1

12000

i1

111000

i1i

1i1190050000

Resolviendo encontramos que la tasa de retorno incremental que satisface la relación es 12.65%.

12

Selección de alternativas con el siguiente criterio :

RETADOR rSelecciona TMAR obtenida lincrementa

retorno de Tasa

DEFENSOR rSelecciona TMAR obtenida lincrementa

retorno de Tasa

⇒⇒⇒⇒≥≥≥≥

⇒⇒⇒⇒<<<<

Ya que la tasa de interna de retorno incremental obtenida es 12.65% < 15%, se selecciona la comprar de la maquina semiautomática (DEFENSOR).

e)

10% 15%

Automatica

Semiautomatica

12.65%

VP

i

Valor Presente del Flujo de Caja Neto

La figura muestra un esquema de cómo varia el Valor Presente del flujo de caja de las alternativas del ejemplo anterior para tasa de retorno entre 10 y 15%

10% 15%

Automatica

Semiautomatica

12.65%

VP

i

Valor Presente del Flujo de Caja Neto

Para valores i ≤ 12.69%, el valor presente de la maquina automática es menor que el de la semiautomática.Para valores i>12.69%, el valor presente de la maquina automática es mayor que el de la semiautomática.

Por lo que para i>12.69 se selecciona la maquina automática para una TMAR=15%. Si la TMAR=10 se selecciona la semiautomática.