idfd 11 funcion de transferencia y filtros ideales
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Funcion de Transferencia y Filtros IdealesTRANSCRIPT
-
Funcin de Transferencia
Y
Filtros Ideales
-
Introduccin
En general, la DTFT (Discrete Time Fourier Transform) nos
provee de una representacin en el dominio de las
frecuencia de seales discretas en tiempo y Sistemas LTI
discretos en tiempo.
Una generalizacin de la respuesta en frecuencia de la
funcin H(eiw) nos permite llegar al concepto de funcin de
transferencia.
-
A.-
Definicin
-
Consideremos el sistema LTI discreto en tiempo con una respuesta
h[n], la relacin de entrada salida en el tiempo es:
La relacin entrada salida, de este sistema esta dada por:
Donde x[n] es la secuencia de entrada y[n] la de salida y
X(z), Y(z) y H(z) denotan las Transformadas Z respectivas.
zXzY
zH
donde
zXzHzY
x[n] h[n] y[n]
-
H(z) es la transformada Z de la respuesta al impulso de la
secuencia h[n] del sistema LTI o filtro, la cual es conocida
como FUNCIN DE TRANSFERENCIA o FUNCIN
SISTEMA.
Entonces, la Funcin de Transferencia H(z) de un sistema
LTI discreto en tiempo h[n], esta dado por el radio de la
Transformada Z de las secuencias de entrada y salida.
zXzY
zH
-
B.-
Derivacin
de la expresin
de la
Funcin de Transferencia
-
La respuesta de un sistema LTI discreto en tiempo de una
entrada x[n] esta dado por la suma convolucin de la
siguiente manera:
Para un sistema de respuesta finita al impulso o FIR (finite
impulse response), la expresin es:
][][][ knxkhnyk
][][][2
1
knxkhnyN
Nk
-
Aplicando la TZ a la primera relacin, obtenemos
n
n kn
n zknxkhznyzY
][][][)(
k n
nzknxkh ][][
k
kzxkh
)(][][
-
Continuando y factorizando
Por lo tanto
Finalmente esto es
k
k
zzxkhzY
][][)(
)(zX
)(][)( zXzkhzYk
k
)(zH
zXzHzY
-
Esto tambin puede verse de manera simple como:
Es decir
Donde
zXznhzYN
Nn
n
2
1
][)(
zXzHzY
2
1
][)(N
Nn
nznhzH
-
Notas
H(z) es el sistema LTI discreto en tiempo, que tambin se conoce como:
Funcin de Transferencia
Filtro FIR
En la expresin anterior, para tenemos un filtro causal FIR, es decir un sistema LTI no anticipativo de
longitud finita.
En este caso, todos los POLOS de H(z) estn en el origen en el plano Z, y por lo tanto, la ROC de H(z) es el plano Z
excluyendo el punto z=0.
210 NN
-
En el caso de un sistema FIR o un filtro FIR la expresin
de la funcin de transferencia es en general una serie
infinita.
Sin embargo, en ambos casos, la Funcin de Transferencia
puede expresarse directamente como el cociente de dos
polinomios en Z
Como esta relacin est en funcin de z-1, multiplicamos
numerado y denominador por zM y zN respectivamente y
obtenemos.
NN
M
M
zdzdzdd
zpzpzpp
zX
zYzH
...
...2
2
1
10
2
2
1
10
N
NNN
M
MMMMN
dzdzdzp
pzpzpzpzzH
...
...2
2
1
10
2
2
1
10
-
Como se vi en clases anteriores, una forma alternativa de
escribir la relacin anterior, es a travs de la factorizacin
de los polinomios
O de la siguiente forma
N
k
k
M
k
k
z
z
d
pzH
1
1
1
1
0
0
1
1
N
k
k
M
k
kMN
z
z
zd
pzH
1
1
0
0
-
En donde los ceros son
Y los polos son
Si N > M, entonces hay (N-M) ceros en z=0
Si N < M, entonces hay (M-N) polos en z = 0
M ,...,, 21
N ,...,, 21
-
Ejemplo
Considere el Filtro FIR denominado Promedios Mviles o
Moving-average con una respuesta al impulso
En este caso la funcin de transferencia esta dada por su
Transformada Z
casootroen
MnMnh
....0
101
1
0
1 M
n
nzM
zH
-
Desarrollando
Tenemos una serie
de potencia
Multiplicando por zM
De la ltima expresin observamos que la Funcin de
Transferencia H(z) tiene M ceros en el circulo unitario
11
1
1
1
1
1
1
0
zzM
z
zM
z
zM
zH
M
M
M
M
n
n
10/2 Mkez Mki
-
Por otro lado H(z) tiene:
M-1 polos en el origen, es decir en z=0 y
un solo polo en z=1
Hay que mencionar, que el polo en z=1, se anula con un
cero en z=1.
Entonces la ROC es el plano z entero, excepto el origen en
z=0
Para el caso de M=8
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.5
0
0.5
1
Real Part
Imag
inar
y P
art
7
-
Ejemplo
Sea un filtro digital FIR causal cuya ecuacin es de la
forma:
Primero separamos los elementos de entrada y de salida
del sistema
Ahora obtenemos su transformada Z
3222.0204.1]1[3.1]3[]2[2.1]1[][
nnyny
nxnxnxny
321
3210
2.1
222.004.13.1
zzz
zzzz
]3[]2[2.1]1[
3222.0204.1]1[3.1][
nxnxnx
nnynyny
-
De la ultima expresin observamos los polinomios en z de
Y(z) y X(z), por la definicin de Funcin de Transferencia
tenemos que:
321
321
2.1
222.004.13.11)(
zzz
zzzzH
)8.06.0)(8.06.0(
)7.05.0)(7.05.0)(3.0(
jzjz
jzjzzzH
-
La
-
C.-
Respuesta
en
Frecuencia
de la
Funcin de Transferencia
-
Si la ROC de la Funcin de Transferencia H(z) incluye el
Circulo unitario, entonces la respuesta en frecuencia esta
dada por:
Del filtro digital LTI puede obtenerse fcilmente de la
siguiente forma
Para coeficientes reales de la Funcin de Transferencia
H(z), puede demostrarse que
)( ieH
iez
i zHeH
)()(
iez
ii
iii
zHzH
eHeH
eHeHeH
)()(
)()(
)(*)()(
1
2
-
Para una Funcin de Transferencia Racional y Estable de
la forma
La forma factorizada de la respuesta en frecuencia esta
dada por
N
k
k
M
k
kMN
z
z
zd
pzH
1
1)(
0
0
)(
)(
)(
N
k
k
i
M
k
k
i
MNii
e
e
ed
peH
1
1)(
0
0
)(
)(
)(
-
De la ltima expresin, la forma factorizada de la
respuesta en frecuencia, debemos reconocer la
contribucin de:
Factores de ceros
Factores de polos
Y de esta ltima expresin se obtiene la funcin de
Respuesta en Amplitud o Magnitud
)( kz
)( kz
N
k
k
i
M
k
k
i
MNii
e
e
ed
peH
1
1)(
0
0)(
-
La ltima expresin se reduce a
Por otro lado, la Respuesta de Fase para una funcin de
Transferencia es de la forma
N
k
k
i
M
k
k
i
i
e
e
d
peH
1
1
0
0)(
N
k
k
iM
k
k
i
i
ee
MNd
peH
11
0
0
)arg()arg(
argarg
-
Finalmente, la Funcin de Magnitud Cuadrada de una
Funcin de Transferencia de coeficientes reales, puede
ser calculada a partir de:
N
k
k
i
k
i
M
k
k
i
k
i
i
ee
ee
d
peH
1
*
1
*2
0
02
))((
))((
)(
-
C.-
Interpretacin
Geomtrica
de la
Funcin de Transferencia
-
Analizando la expresin factorizada de la Respuesta en
Frecuencia de la Funcin de Transferencia
Resulta conveniente desarrollar una interpretacin
geomtrica del clculo de la respuesta en frecuencia a
partir de la representacin grafica de los polos y ceros, esto
como una variacin de de 0 a 2 en el circulo unitario
N
k
k
i
M
k
k
i
MNii
e
e
ed
peH
1
1)(
0
0
)(
)(
)(
-
La interpretacin geomtrica puede ser utilizada para
obtener un escenario del comportamiento de la respuesta
como una funcin de la frecuencia. (como se comporta la FT en
frecuencia)
Un factor tpico en la forma factorizada de la respuesta en
frecuencia esta dado por
Donde
Puede ser un cero si se trata de un factor de cero o es un polo si se trata de un factor de polo.
)( jj ee
je
-
En la figura se muestra en el plano z el factor
El cual representa un vector que inicia en el punto
Y termina en el circulo unitario
jez
jez
)( jj ee
Como varia de 0 a 2, la punta del
vector se mueve en contra de las
manecillas del reloj desde el punto
z=1, trazando el circulo unitario hasta
regresar al mismo punto en z=1
-
Entonces, como se indico en
La Respuesta de Magnitud
En un valor especfico en la magnitud esta dada por el producto de las magnitudes de todos los vectores de ceros, divididos por el producto de las magnitudes de todos los vectores de polos.
N
k
k
i
M
k
k
i
i
e
e
d
peH
1
1
0
0)(
|)(| jeH
-
De la misma forma, para la expresin
Observamos que la Respuesta de Fase en un valor
especfico de w es obtenida al sumar la fase del trmino
Y el trmino de fase lineal
A la suma de los ngulos de los vectores cero menos los
ngulos de los vectores polo
N
k
k
iM
k
k
i
i
ee
MNd
peH
11
0
0
)arg()arg(
argarg
00 dp /
)( MN
-
Nota 1
Entonces, se puede desarrollar una grafica aproximada de
las Respuestas de Magnitud y de Fase de la Funcin de
Transferencia de un Filtro Digital LTI al examinar las
ubicaciones de los polos y los ceros.
Nota 2
Hay que tomar en cuenta que un vector cero o polo, tienen
la magnitud ms pequea cuando =
-
Nota 3
Para atenuar considerablemente los componentes de
una seal en un rango especfico de frecuencias,
necesitamos ubicar los ceros muy cerca o sobre el
circulo unitario en el rango deseado.
Nota 4
De la misma forma, para enfatizar los componentes de la
seal en un rango de frecuencia especfico, necesitamos
ubicar los polos muy cerca o sobre el circulo unitario
en el rango deseado.
-
D.-
Clasificacin de
Funciones
de Transferencia
-
Las Diferentes Funciones de Transferencia
I Existe una clasificacin de FT en funcin de la longitud de la
secuencia de respuesta o su respuesta al impulso:
FIR Finite Impulse Response Respuesta Finita al Impulso.
IIR Infinite Impulse Responce Respuesta Infinita al Impulso
-
II Funciones de transferencia en funcin de su entrada y salida
RECURSIVOS
La salida depende de entrada y la salida, son conocidos como sistemas de retroalimentacin o feedback
NO RECURSIVOS
La salida nicamente depende de la entrada.
-
III Finalmente, las FT se clasifican a partir de su respuesta
en frecuencia respecto a:
Basada en su forma de Magnitud
IH(ei)I
Basada en su fase
q()
De esta clasificacin se definen los 4 tipos de filtros ideales.
-
D.- Clasificacin de
Funciones
de Transferencia:
Por magnitud
Filtros Ideales
-
FT en funcin de la Magnitud
Filtros Ideales
La funcin de los filtros es la de pasar un contenido de la seal en ciertas frecuencias sin ninguna distorsin, esto es, con una respuesta en frecuencia igual 1 para pasar y cero en las otras frecuencias.
El rango de frecuencias en donde el filtro toma el valor de 1 se conoce como passband o pasabanda.
Por otro lado, el rango de frecuencias en conde el filtro tiene una respuesta igual a 0 se le conoce como stopband o banda de exclusin o banda de rechazo.
-
Filtro Pasobajas Passband
Stopband
Filtro Pasoaltas Passband
Stopband
Filtro Pasabandas Passband
Stopband
Filtro Rechaza Banda Stopband
Passband
c0
c
c
c0
21 cc
10 c 2cand
21 cc
10 c 2cand
-
Los cuatro filtros ideales son:
Pasobajas
Lowpass
Pasobandas
Bandpass
Pasoaltas
Highpass
Exclusin
Bandstop
-
En donde las frecuencias c1 y c2 son conocidas como:
frecuencias de corte o cutt off frequencies
Entonces:
Un filtro ideal tiene una magnitud de respuesta
igual a 1 en la banda de paso o passband y
igual a 0 en la banda de rechazo o stopband
-
D.- Clasificacin de
Funciones
de Transferencia:
Por magnitud
Filtros Ideales
Consideraciones respecto un Filtro Ideal
-
Para entender la condicin de los filtro ideales, analicemos el Filtro Ideal Paso Bajas, que se define como
Determinando la Transformada inversa de Fourier
c
ci
LP eH0
01
nn
nsen
in
e
in
edenh
c
ninini
LP
c
c
2
1
2
1
-
Los tres filtros Ideales restantes tambin estn caracterizados por:
Doble infinito
Respuesta al impulso Infinita
No son absolutamente sumables
Entonces:
Los filtros Ideales con una respuesta en frecuencia abrupta o de pared de ladrillo o en ingls brick wall no son realizables a partir de un filtro LTI de dimensin finita.
-
A partir de la respuesta en frecuencia del filtro Paso Bajas HLP(e
i): Podemos observar que la seal del filtro:
No es causal Es doble infinito No es sumable
Por lo tanto este filtro no puede ser obtenido, no es realizable.
sin[ ] sinc ,c c cLP
n nh n n
n
-
Para desarrollar FT realizables es necesario que se relajen las especificaciones del filtro:
Se incluye una banda de transicin entre el Pasa Bandas y la banda de rechazo.
La magnitud de respuesta del filtro varia en la zona de transicin, esto es decae entre suavemente entre el Passband y el Stopband.
No se exige respuesta de 1 en la banda de paso.
No se exige atenuacin absoluta en la banda de rechazo.
-
Asimismo, la magnitud de respuesta varia.
La forma tpica de un filtro pasa bajas se observa en la figura.
-
D.- Clasificacin de
Funciones
de Transferencia:
Fase Lineal y
Fase Cero
-
FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
FASE LINEAL Y FASE ZERO.
La segunda caracterstica para clasificar Funciones de Transferencia se refiere a la fase.
En muchas aplicaciones es necesario garantizar que el filtro digital diseado no distorsione la fase de la seal
dentro de las frecuencias de Pasa Bandas.
-
Una manera de evitar la distorsin de fase es hacer real y no negativa la respuesta en frecuencias del filtro.
Esto implica disear un filtro con caracterstica de
FASE CERO
Para disear un filtro de FASE CERO se debe disear un FILTRO CAUSAL con FASE CERO
-
En un proceso en tiempo no-real y para una entrada de valores reales de longitud finita, un filtrado de fase zero
puede ser implementado.
El esquema de filtrado de fase zero es el siguiente:
x[n] v[n] u[n] w[n] H(z) H(z)
][][],[][ nwnynvnu
x[n] y[n] H(z)
-
Para entender este esquema definamos en las entradas y salidas en el dominio de las frecuencias.
Entonces:
X(i), V(i), U(i), W(i) y Y(i) son las DTFT de x[n], v[n], u[n], w[n], and y[n], respectivamente.
De la figura observamos que:
x[n] v[n] u[n] w[n] H(z) H(z)
][][],[][ nwnynvnu
( ) ( ) ( ),j j jV e H e X e )()()( jjj eUeHeW
,)(*)( jj eVeU )(*)( jj eWeY
-
Combinando las ecuaciones obtenemos:
)(*)(*)(*)( jjjj eUeHeWeY
)()()(*)()(* jjjjj eXeHeHeVeH
)()( 2 jjj eXeHeY
( ) ( ) ( ),j j jV e H e X e )()()( jjj eUeHeW
,)(*)( jj eVeU )(*)( jj eWeY
-
En el caso de una Funcin de Transferencia Causal con una respuesta de fase NO CERO
La distorsin de fase puede ser evitada al asegurarse que la funcin de transferencia tiene:
Una Magnitud Unitaria o de uno y
Una Fase Lineal caracterstica en la banda de frecuencia de inters
-
Fase Lineal
Por otro lado, en el caso de una Funcin de Transferencia causal con una respuesta de Fase No Zero:
La distorsin de fase puede evitarse si garantizamos qua la FT tenga una magnitud unitaria y
Una fase lineal caracterstica en la banda de frecuencia de inters.
-
La forma ms general de filtro con Fase Lineal, es la que tiene una respuesta en frecuencia dada por:
En la cual la fase lineal va de = 0 a = 2.
Adems debemos observar que:
D )(
1)( jeH
1
)(
A
AeeH Djj
-
La salida y(n) para este filtro, con una entrada
Esta dada por:
Si xa(t) y ya(t) representa las seales en tiempo continuo de
las funciones muestreadas, en donde el muestreo es:
t = nT, para x[n] y y[n],
Entonces el retraso entre xa(t) y ya(t) esta dado por el retraso de grupo de cantidad D
njAenx ][
)(][ DnjnjDj AeeAeny
-
Entonces los casos que tenemos son:
Si D es un entero:
y[n] es identica a x[n] pero retrasada por D muestras
Si D no es un entero:
y[n] esta retrasada en una fraccin y no es idntica a x[n]
En el caso de la misma funcin en tiempo continuo, la forma de onda de la salida es identica a la forma de onda de la
entrada pero retrasada en D unidades de tiempo.
-
Nota
Recordando del curso de Fourier
El parmetro es conocido como el retraso de grupo o group delay causado en el sistema en =
c
En donde c es la frecuencia portadora o carrier
frequency
cd
d ccg
q
)()(
-
Resumiendo:
Si se desea pasar los componentes de una Seal de
Entrada en un cierto rango de frecuencia sin distorsionar
ni la magnitud ni la fase, entonces la Funcin de
Transferencia debe tener una respuesta en la banda de
inters de:
Magnitud unitaria o de uno
Fase lineal
-
En esta figura se muestra la respuesta en frecuencia de
un filtro Paso Bajas con caractersticas de fase lineal en
la banda de inters
Apartir de que las componentes en la banda de rechazo
o stopband son bloqueados, la respuesta en fase en esa frecuencia puede ser de cualquier forma.
-
E.-
Tipos de
Funciones de Transferencia
FIR
de Fase lineal
-
Existen 4 tipos de Funciones de Transferencia FIR de
Fase Lineal
Tipo 1: Respuesta al Impulso Simtrica de longitud Par
Tipo 2: Respuesta al impulso Simtrica de longitud Impar
Tipo 3: Respuesta al impulso Anti-simtrica de longitud Par
Tipo 4: Respuesta al impulso Anti-simtrica de longitud imPar
-
Forma General de la Respuesta en Frecuencia
La forma general de respuesta en frecuencia para los c4
tipos de filtros causales de fase lineal FIR , es la siguiente
HeeeH iiN
i 2
-
F.-
Localizacin de Ceros en
Funciones de Transferencia
FIR
de Fase lineal
-
No se ver en el examen
-
G.-
Limites Reales
de
Funciones de Transferencia
-
No se ver en el examen
-
Bibliografa DIGITAL SIGNAL PROCESSING
A computer Based Approach Sanjit K. Mitra Second Edition Mc Graw Hill, 2002
INTRODUCTION TO DIGITAL FILTERING IN GEOPHYSICS
O. Kulhanek Elsevier Amsterdam, 1977
Signals and Systems with Matlab aplications
Steven T. Karris
Second edition
Orchard Publications, 2003
Seales y Sistemas Oppenheim, Willsky, Nawab
Segunda Edicin
Pearson Educacin, 1997