Ideas Matemticas

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ContenidosArtculosSistema de numeracin decimal Teora de la computabilidad Derivacin numrica Integracin Geometra euclidiana Aritmtica modular Variable Geometra analtica Cero Teora de juegos Estadstica aplicada Criptografa Ley de gravitacin universal ptica Nmero complejo Ecuacin diferencial PageRank Deteccin y correccin de errores Transformada de Fourier Cdigo binario Teora de la probabilidad Estadstica Fractal Teora del caos Autmata celular 1 3 5 6 27 29 33 33 39 46 57 57 62 68 74 81 84 87 92 97 99 101 109 117 120

ReferenciasFuentes y contribuyentes del artculo Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 125 126

Licencias de artculosLicencia 128

Sistema de numeracin decimal

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Sistema de numeracin decimalEl sistema de numeracin decimal, tambin conocido como sistema decimal, es un sistema de numeracin posicional en el que las cantidades se representan utilizando como base el nmero diez, por lo que se compone de diez cifras diferentes: cero (0); uno (1); dos (2); tres (3); cuatro (4); cinco (5); seis (6); siete (7); ocho (8) y nueve (9). Este conjunto de smbolos se denomina nmeros rabes, y es de origen hind. Excepto en ciertas culturas, es el sistema usado habitualmente en todo el mundo y en todas las reas que requieren de un sistema de numeracin. Sin embargo hay ciertas tcnicas, como por ejemplo en la informtica, donde se utilizan sistemas de numeracin adaptados al mtodo de trabajo como el binario o el hexadecimal. Tambin pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeracin, como el quinario, el duodecimal y el vigesimal. Por ejemplo, cuando se cuentan artculos por docenas, o cuando se emplean palabras especiales para designar ciertos nmeros; en francs, por ejemplo, el nmero 80 se expresa quatre-vingt, cuatro veintenas, en espaol. Segn los antroplogos, el origen del sistema decimal est en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos, los cuales siempre nos han servido de base para contar. El sistema decimal es un sistema de numeracin posicional, por lo que el valor del dgito depende de su posicin dentro del nmero. As:

Los nmeros decimales se pueden representar en la recta real.

Sistema decimal en el idioma espaolPara el separador decimal, la Real Academia Espaola aconseja: Para separar la parte entera de la decimal debe usarse la coma, segn establece la normativa internacional: El valor de es 3,1416. No obstante, tambin se admite el uso anglosajn del punto, extendido en algunos pases americanos: El valor de es 3.1416. Diccionario panhispnico de dudas - Primera edicin (octubre 2005) Tambin se suele utilizar la coma alta ( ' ) como separador. En nmero seria 3'1416. Como separador de millares, lo ms usual en espaol es utilizar un punto, un subndice 1 como separador de millones, un subndice 2 como separador de billones, 3 de trillones, etc. No obstante la RAE aconseja la separacin mediante espacios para que no haya confusin con los decimales, agrupndolos cada tres dgitos (exceptuando nmeros de 4 cifras): Al escribir nmeros de ms de cuatro cifras, se agruparn estas de tres en tres, empezando por la derecha, y separando los grupos por espacios en blanco: 8 327 451 (y no por puntos o comas, como, dependiendo de las zonas, se haca hasta ahora: 8.327.451; 8,327,451). Los nmeros de cuatro cifras se escriben sin espacios de separacin: 2458 (no 2 458). En ningn caso deben repartirse en lneas diferentes las cifras que componen un nmero: 8 327 / 451. Diccionario panhispnico de dudas - Primera edicin (octubre 2005)

Sistema de numeracin decimal

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FraccionesAlgunas fracciones muy simples, como 1/3, tienen infinitas cifras decimales. Por eso, algunos han propuesto la adopcin del sistema duodecimal, en el que 1/3 tiene una representacin ms sencilla. 1/2 = 0,5 1/3 = 0,3333... 1/4 = 0,25 1/5 = 0,2 1/6 = 0,1666... 1/7 = 0,142857142857... 1/8 = 0,125 1/9 = 0,1111...

Bsqueda de nmeros primosEn base 10, un nmero primo slo puede acabar en 1, 3, 7 o 9. Las 7 posibilidades restantes generan siempre nmeros compuestos: Los acabados en 2, 4, 6, 8 y 0 son mltiplos de 2, Los acabados en 5 y 0 son mltiplos de 5.

Notas y bibliografaOteiza, Elena (2003). lgebra. Pearson Educacin. (http:/ / books. google. es/ books?id=we3f-zkpAesC& lpg=PR1& dq=Elena de Oteyza de Oteyza.lgebra&pg=PR1#v=onepage&q=Elena de Oteyza de Oteyza.lgebra&f=false)

Teora de la computabilidad

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Teora de la computabilidadLa Teora de la computabilidad es la parte de la computacin que estudia los problemas de decisin que pueden ser resueltos con un algoritmo o equivalentemente con una mquina de Turing. La teora de la computabilidad se interesa a cuatro preguntas: Qu problemas puede resolver una mquina de Turing? Qu otros formalismos equivalen a las mquinas de Turing? Qu problemas requieren mquinas ms poderosas? Qu problemas requieren mquinas menos poderosas?VEB Robotron Elektronik Dresden.

La teora de la complejidad computacional clasifica las funciones computables segn el uso que hacen de diversos recursos en diversos tipos de mquina.

AntecedentesEl origen de los modelos abstractos de computacin se encuadra en los aos '30 (antes de que existieran los ordenadores modernos), para el trabajo de los lgicos Alonzo Church, Kurt Gdel, Stephen Kleene, Emil Leon Post, y Alan Turing. Estos trabajos iniciales han tenido una profunda influencia, tanto en el desarrollo terico como en abundantes aspectos de la prctica de la computacin; previendo incluso la existencia de ordenadores de propsito general, la posibilidad de interpretar programas, la dualidad entre software y hardware, y la representacin de lenguajes por estructuras formales basados en reglas de produccin. El punto inicial de estos primeros trabajos fueron las cuestiones fundamentales que David Hilbert formul en 1900, durante el transcurso de un congreso internacional. Lo que Hilbert pretenda era crear un sistema matemtico formal completo y consistente en el cual, todas las aseveraciones fueran planteadas con precisin. Su intencin era encontrar un algoritmo que determinara la verdad o falsedad de cualquier proposicin en el sistema formal. Al problema en cuestin se le denomin Entscheidungsproblem. En caso de que Hilbert hubiese cumplido su objetivo, cualquier problema bien definido se resolvera simplemente al ejecutar dicho algoritmo. Pero fueron otros los que mediante una serie de investigaciones mostraron que esto no era posible. En contra de esta idea K. Gdel sac a la luz su conocido Primer Teorema de Incompletitud. Este viene a expresar que todo sistema de primer orden consistente que contenga los teoremas de la aritmtica y cuyo conjunto de axiomas sea recursivo no es completo. Gdel construy una frmula que es satisfactoria pero que no puede ser probada en el sistema. Como consecuencia, no es posible encontrar el sistema formal deseado por Hilbert en el marco de la lgica de primer orden, a no ser que se tome un conjunto no recursivo de axiomas. Una posterior versin, que resulta ms general, del teorema de incompletitud de Gdel, indica que ningn sistema deductivo que contenga los teoremas de la aritmtica, y con los axiomas recursivamente enumerables puede ser consistente y completo a la vez. Esto hace pensar, a nivel intuitivo, que no va a ser posible definir un sistema formal.

Teora de la computabilidad

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Qu problemas puede resolver una mquina de Turing?No todos los problemas pueden ser resueltos. Un problema indecidible es uno que no puede ser resuelto con un algoritmo an si se dispone de espacio y tiempo ilimitado. Actualmente se conocen muchos problemas indecidibles, como por ejemplo: El Entscheidungsproblem (problema de decisin en alemn) que se define como: Dada una frase del clculo de predicados de primer orden, decidir si ella es un teorema. Church y Turing demostraron independientemente que este problema es indecidible (ver Tesis de Church-Turing). El Problema de la parada, que se define as: Dado un programa y su entrada, decidir si ese programa terminar para esa entrada o si correr indefinidamente. Turing demostr que se trata de un problema indecidible. Un nmero computable es un nmero real que puede ser aproximado por un algoritmo con un nivel de exactitud arbitrario. Turing demostr que casi todos los nmeros no son computables. Por ejemplo, la Constante de Chaitin no es computable aunque s que est bien definido.

Qu otros formalismos equivalen a las mquinas de Turing?Los lenguajes formales que son aceptados por una mquina de Turing son exactamente aquellos que pueden ser generados por una gramtica formal. El clculo Lambda es una forma de definir funciones. Las funciones que pueden ser computadas con el clculo Lambda son exactamente aquellas que pueden ser computadas con una mquina de Turing. Estos tres formalismos, las mquinas de Turing, los lenguajes formales y el clculo Lambda son formalismos muy dismiles y fueron desarrollados por diferentes personas. Sin embargo, todos ellos son equivalentes y tienen el mismo poder de expresin. Generalmente se toma esta notable coincidencia como evidencia de que la tesis de Church-Turing es cierta, que la afirmacin de que la nocin intuitiva de algoritmo o procedimiento efectivo de cmputo corresponde a la nocin de cmputo en una mquina de Turing. Los computadores electrnicos, basados en la arquitectura de von Neumann as como las mquinas cunticas tendran exactamente el mismo poder de expresin que el de una mquina de Turing si dispusieran de recursos ilimitados de tiempo y espacio. Como consecuencia, los lenguajes de programacin tienen a lo sumo el mismo poder de expresin que el de los programas para una mquina de Turing y en la prctica no todos lo alcanzan. Los lenguajes con poder de expresin equivalente al de una mquina de Turing se denominan Turing completos. Entre los formalismos equivalentes a una mquina de Turing estn: Mquinas de Turing con varias cintas Mquinas de Turing con cintas bidimensionales, Turmite (o una infinidad de cintas lineales) Mquinas de Turing con nmero limitado de estados y smbolos para la cinta Mquinas de Turing con solo dos estados Autmatas finitos con dos pilas Autmatas finitos con dos contadores Gramticas formales Mquina de Post Clculo Lambda Funciones recursivas parciales Casi todos los lenguajes de programacin modernos si dispusieran de memoria ilimitada Autmatas celulares El Juego de la vida de John Conway Mquinas de Turing no determinsticas Mquinas de Turing probabilsticas

Computador cuntico

Teora de la computabilidad Los ltimos tres ejemplos utilizan una definicin ligeramente diferente de aceptacin de un lenguaje. Ellas aceptan una palabra si cualquiera, cmputo acepta (en el caso de no determinismo), o la mayora de los cmputos aceptan (para las versiones probabilstica y cuntica). Con estas definiciones, estas mquinas tienen el mismo poder de expresin que una mquina de Turing.

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Qu problemas requieren mquinas ms poderosas?Se considera que algunas mquinas tienen mayor poder que las mquinas de Turing. Por ejemplo, una mquina orculo que utiliza una caja negra que puede calcular una funcin particular que no es calculable con una mquina de Turing. La fuerza de cmputo de una mquina orculo viene descrita por su grado de Turing. La teora de cmputos reales estudia mquinas con precisin absoluta en los nmeros reales. Dentro de esta teora, es posible demostrar afirmaciones interesantes, tales como el complemento de un conjunto de Mandelbrot es solo parcialmente decidible.

Derivacin numricaLa derivacin numrica es una tcnica de anlisis numrico para calcular una aproximacin a la derivada de una funcin en un punto utilizando los valores y propiedades de la misma.

Por definicin la derivada de una funcin

es:

Las aproximaciones numricas que podamos hacer (para h > 0) sern: Diferencias hacia adelante:

Diferencias hacia atrs:

La aproximacin de la derivada por este mtodo entrega resultados aceptables con un determinado error. Para minimizar los errores se estima que el promedio de ambas entrega la mejor aproximacin numrica al problema dado: Diferencias centrales:

Derivacin numrica

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Vase tambin Integracin numrica

IntegracinLa integracin es un concepto fundamental de las matemticas avanzadas, especialmente en los campos del clculo y del anlisis matemtico. Bsicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeos. El clculo integral, encuadrado en el clculo infinitesimal, es una rama de las matemticas en el proceso de integracin o antiderivacin, es muy comn en la ingeniera y en la matemtica en general y se utiliza principalmente para el clculo de reas y volmenes de regiones y slidos de revolucin. Fue usado por primera vez por cientficos como Arqumedes, Ren Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este ltimo y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del clculo integral, que propone que la derivacin y la integracin son procesos inversos.

La integral definida de una funcin representa el rea limitada por la grfica de la funcin, con signo positivo cuando la funcin toma valores positivos y negativo cuando toma valores negativos.

Principales objetivos del clculo integralSus principales objetivos a estudiar son: rea de una regin plana Cambio de variable Integrales indefinidas Integrales definidas Integrales impropias Integrales mltiples (dobles o triples) Integrales trigonomtricas, logartmicas y exponenciales Mtodos de integracin Teorema fundamental del clculo Volumen de un slido de revolucin

Integracin

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TeoraDada una funcin de una variable real y un intervalo de la recta real, la integral

es igual al rea de la regin del plano

limitada entre la grfica de .

, el eje

, y las lneas verticales

y

, donde son negativas las reas por debajo del eje

La palabra "integral" tambin puede hacer referencia a la nocin de primitiva: una funcin F, cuya derivada es la funcin dada . En este caso se denomina integral indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artculo son las integrales definidas. Algunos autores mantienen una distincin entre integrales primitivas e indefinidas. Newton y Leibniz a finales del siglo XVII. A travs del teorema fundamental del clculo, que desarrollaron los dos de forma independiente, la integracin se conecta con la derivacin, y la integral definida de una funcin se puede calcular fcilmente una vez se conoce una antiderivada. Las integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas bsicas del clculo, con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniera. Bernhard Riemann dio una definicin rigurosa de la integral. Se basa en un lmite que aproxima el rea de una regin curvilnea a base de partirla en pequeos trozos verticales. A comienzos del siglo XIX, empezaron a aparecer nociones ms sofisticadas de la integral, donde se han generalizado los tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace la integracin. La integral curvilnea se define para funciones de dos o tres variables, y el intervalo de integracin [a,b] se sustituye por una cierta curva que conecta dos puntos del plano o del espacio. En una integral de superficie, la curva se sustituye por un trozo de una superficie en el espacio tridimensional. Las integrales de las formas diferenciales desempean un papel fundamental en la geometra diferencial moderna. Estas generalizaciones de la integral surgieron primero a partir de las necesidades de la fsica, y tienen un papel importante en la formulacin de muchas leyes fsicas cmo, por ejemplo, las del electromagnetismo. Los conceptos modernos de integracin se basan en la teora matemtica abstracta conocida como integral de Lebesgue, que fue desarrollada por Henri Lebesgue.

HistoriaIntegracin antes del clculoLa integracin se puede trazar en el pasado hasta el antiguo Egipto, circa 1800a.C., con el papiro de Mosc, donde se demuestra que ya se conoca una frmula para calcular el volumen de un tronco piramidal. La primera tcnica sistemtica documentada capaz de determinar integrales es el mtodo de exhauscin de Eudoxo (circa 370a.C.), que trataba de encontrar reas y volmenes a base de partirlos en un nmero infinito de formas para las cuales se conocieran el rea o el volumen. Este mtodo fue desarrollado y usado ms adelante por Arqumedes, que lo emple para calcular reas de parbolas y una aproximacin al rea del crculo. Mtodos similares fueron desarrollados de forma independiente en China alrededor del siglo III por Liu Hui, que los us para encontrar el rea del crculo. Ms tarde, Zu Chongzhi us este mtodo para encontrar el volumen de una esfera. En el Siddhanta Shiromani, un libro de astronoma del siglo XII del matemtico indio Bhaskara II, se encuentran algunas ideas de clculo integral. Hasta el siglo XVI no empezaron a aparecer adelantos significativos sobre el mtodo de exhauscin. En esta poca, por un lado, con el trabajo de Cavalieri con su mtodo de los indivisibles y, por otro lado, con los trabajos de Fermat, se empez a desarrollar los fundamentos del clculo moderno. A comienzos del siglo XVII, se produjeron nuevos adelantos con las aportaciones de Barrow y Torricelli, que presentaron los primeros indicios de una conexin entre la integracin y la derivacin.

Integracin

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Newton y LeibnizLos principales adelantos en integracin vinieron en el siglo XVII con la formulacin del teorema fundamental del clculo, realizado de manera independiente por Newton y Leibniz. El teorema demuestra una conexin entre la integracin y la derivacin. Esta conexin, combinada con la facilidad, comparativamente hablando, del clculo de derivadas, se puede usar para calcular integrales. En particular, el teorema fundamental del clculo permite resolver una clase ms amplia de problemas. Tambin cabe destacar todo el marco estructural alrededor de las matemticas que desarrollaron tambin Newton y Leibniz. El llamado clculo infinitesimal permiti analizar, de forma precisa, funciones con dominios continuos. Posteriormente, este marco ha evolucionado hacia el clculo moderno, cuya notacin para las integrales procede directamente del trabajo de Leibniz.

Formalizacin de las integralesAunque Newton y Leibniz suministraron un enfoque sistemtico a la integracin, su trabajo careca de un cierto nivel de rigor. Es memorable el ataque del obispo Berkeley calificando los infinitesimales como los "fantasmas de las cantidades que se desvanecen". El clculo adquiri una posicin ms firme con el desarrollo de los lmites y, en la primera mitad del siglo XIX, recibi una fundamentacin adecuada por parte de Cauchy. La integracin fue rigurosamente formalizada por primera vez por Riemann, empleando lmites. A pesar de que todas las funciones continuas fragmentadas y acotadas son integrables en un intervalo acotado, ms tarde se consideraron funciones ms generales para las cuales no se aplica la definicin de Riemann, y Lebesgue formul una definicin diferente de la integral[1] basada en la teora de la medida. Tambin se propusieron otras definiciones de integral, que amplan las definiciones de Riemann y Lebesgue.

NotacinIsaac Newton usaba una pequea barra vertical encima de una variable para indicar integracin, o pona la variable dentro de una caja. La barra vertical se confunda fcilmente con o , que Newton usaba para indicar la derivacin, y adems la notacin "caja" era difcil de reproducir por los impresores; por ello, estas notaciones no fueron ampliamente adoptadas. La notacin moderna de las integrales indefinidas fue presentada por Gottfried Leibniz en 1675.[2] [3] Para indicar summa (en latn, "suma" o "total"), adapt el smbolo integral, "", a partir de una letra S alargada. La notacin moderna de la integral definida, con los lmites arriba y abajo del signo integral, la us por primera vez Joseph Fourier en Mmoires de la Academia Francesa, alrededor de 181920, reimpresa en su libro de 1822.[4] [5] En la notacin matemtica en rabe moderno, que se escribe de derecha a izquierda, se usa un signo integral invertido .[6]

Integracin

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Terminologa y notacinSi una funcin tiene una integral, se dice que es integrable. De la funcin de la cual se calcula la integral se dice que es el integrando. Se denomina dominio de integracin a la regin sobre la cual se integra la funcin. Si la integral no tiene un dominio de integracin, se considera indefinida (la que tiene dominio se considera definida). En general, el integrando puede ser una funcin de ms de una variable, y el dominio de integracin puede ser un rea, un volumen, una regin de dimensin superior, o incluso un espacio abstracto que no tiene estructura geomtrica en ningn sentido usual. El caso ms sencillo, la integral de una funcin real f de una variable real x sobre el intervalo [a, b], se escribe

En los chelos tambin puede observarse el smbolo de la integral.

El signo , una "S" alargada, representa la integracin; a y b son el lmite inferior y el lmite superior de la integracin y definen el dominio de integracin; f es el integrando, que se tiene que evaluar al variar x sobre el intervalo [a,b]; y dx puede tener diferentes interpretaciones dependiendo de la teora que se emplee. Por ejemplo, puede verse simplemente como una indicacin de que x es la variable de integracin, como una representacin de los pasos en la suma de Riemann, una medida (en la integracin de Lebesgue y sus extensiones), un infinitesimal (en anlisis no estndar) o como una cantidad matemtica independiente: una forma diferencial. Los casos ms complicados pueden variar la notacin ligeramente.

Conceptos y aplicacionesLas integrales aparecen en muchas situaciones prcticas. Consideremos una piscina. Si es rectangular, entonces, a partir de su longitud, anchura y profundidad, se puede determinar fcilmente el volumen de agua que puede contener (para llenarla), el rea de la superficie (para cubrirla), y la longitud de su borde (para atarla). Pero si es ovalada con un fondo redondeado, todas estas cantidades piden integrales. Al comienzo puede ser suficiente con aproximaciones prcticas, pero al final harn falta respuestas exactas y rigurosas a este tipo de problemas.

Integracin

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Para empezar, se considerar la curva , suponiendo que Cul es el rea bajo la funcin ? Esta rea (todava desconocida) ser la integral de para esta integral ser

entre hasta

y

. La pregunta es: , al intervalo desde

. La notacin

Aproximaciones a la integral de

entre 0 y

1, con 5 muestras por la izquierda (arriba) y 12 muestras por la derecha (abajo).

. Como primera aproximacin, se mira al cuadrado unidad dado por los lados x=0 hasta x=1 y y=f(0)=0 y y=f(1)=1. Su rea es exactamente 1. Tal como se puede ver, el verdadero valor de la integral tiene que ser de alguna forma ms pequeo. Reduciendo el ancho de los rectngulos empleados para hacer la aproximacin se obtendr un mejor resultado; as, se parte el intervalo en cinco pasos, empleando para la aproximacin los puntos 0, 15, 25, as hasta 1. Se ajusta una caja cada paso empleando la altura del lado derecho de cada pedazo de la curva, as , , y as hasta integral que se est buscando, . Sumando las reas de estos rectngulos, se obtiene una mejor aproximacin de la

Ntese que se est sumando una cantidad finita de valores de la funcin f, multiplicados por la diferencia entre dos puntos de aproximacin sucesivos. Se puede ver fcilmente que la aproximacin contina dando un valor ms grande que el de la integral. Empleando ms pasos se obtiene una aproximacin ms ajustada, pero no ser nunca exacta: si en vez de 5 subintervalos se toman doce y se coge el valor de la izquierda, tal como se muestra en el dibujo, se obtiene un valor aproximado para el rea, de 0,6203, que en este caso es demasiado pequeo. La idea clave es la transicin desde la suma de una cantidad finita de diferencias de puntos de aproximacin multiplicados por los respectivos valores de la funcin, hasta usar pasos infinitamente finos, o infinitesimales. La notacin

concibe la integral como una suma ponderada (denotada por la "S" alargada), de los valores de la funcin (como las alzadas, y = f(x)) multiplicados por pasos de anchura infinitesimal, los llamados diferenciales (indicados por dx). Con respecto al clculo real de integrales, el teorema fundamental del clculo, debido a Newton y Leibniz, es el vnculo fundamental entre las operaciones de derivacin e integracin. Aplicndolo a la curva raz cuadrada, se tiene que mirar la funcin relacionada y simplemente coger , donde y son las

fronteras del intervalo [0,1]. (ste es un ejemplo de una regla general, que dice que para f(x)= xq, con q 1, la funcin relacionada, la llamada primitiva es F(x)= (xq+1)/(q+1).) De modo que el valor exacto del rea bajo la curva se calcula formalmente como

Integracin

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Histricamente, despus de que los primeros esfuerzos de definir rigurosamente los infinitesimales no fructificasen, Riemann defini formalmente las integrales como el lmite de sumas ponderadas, de forma que el dx sugiere el lmite de una diferencia (la anchura del intervalo). La dependencia de la definicin de Riemann de los intervalos y la continuidad motiv la aparicin de nuevas definiciones, especialmente la integral de Lebesgue, que se basa en la habilidad de extender la idea de "medida" de maneras mucho ms flexibles. As, la notacin

hace referencia a una suma ponderada de valores en que se divide la funcin, donde mide el peso que se tiene que asignar a cada valor. (Aqu A indica la regin de integracin.) La geometra diferencial, con su "clculo de variedades", proporciona otra interpretacin a esta notacin familiar. Ahora f(x) y dx pasan a ser una forma diferencial, = f(x)dx, aparece un nuevo operador diferencial d, conocido como la derivada exterior, y el teorema fundamental pasa a ser el (ms general) teorema de Stokes,

a partir del cual se deriva el teorema de Green, el teorema de la divergencia, y el teorema fundamental del clculo. Recientemente, los infinitesimales han reaparecido con rigor, a travs de innovaciones modernas como el anlisis no estndar. Estos mtodos no slo reivindican la intuicin de los pioneros, tambin llevan hacia las nuevas matemticas, y hacen ms intuitivo y comprensible el trabajo con clculo infinitesimal. A pesar de que hay diferencias entre todas estas concepciones de la integral, hay un solapamiento considerable. As, el rea de la piscina oval se puede hallar como una elipse geomtrica, como una suma de infinitesimales, como una integral de Riemann, como una integral de Lebesgue, o como una variedad con una forma diferencial. El resultado obtenido con el clculo ser el mismo en todos los casos.

Integral de RiemannLa integral de Riemann se define en trminos de sumas de Riemann de funciones respecto de particiones etiquetadas de un intervalo. Sea [a,b] un intervalo cerrado de la recta real; entonces una particin etiquetada de [a,b] es una secuencia finita

Integral con el planteamiento de Riemann hace una suma basada en una particin etiquetada, con posiciones de muestreo y anchuras irregulares (el mximo en rojo). El verdadero valor es 3,76; la estimacin obtenida es 3,648.

Integracin

12 Esto divide al intervalo [a,b] en n subintervalos [xi1, xi], cada uno de los cuales es "etiquetado" con un punto especificado ti de; [xi1, xi]. Sea i= xixi1 la anchura del subintervalo i; el paso de esta particin etiquetada es el ancho del subintervalo ms grande obtenido por la particin, maxi=1ni. Un sumatorio de Riemann de una funcin f respecto de esta particin etiquetada se define como

Convergencia de sumatorios de Riemann a medida en que se parten los intervalos, cuando se muestrea a la derecha, el mnimo, el mximo, o la izquierda.

As cada trmino del sumatorio es el rea del rectngulo con altura igual al valor de la funcin en el punto especificado del subintervalo dado, y de la misma anchura que la anchura del subintervalo. La integral de Riemann de una funcin f sobre el intervalo [a,b] es igual a S si: Para todo >0 existex >0 tal que, para cualquier particin etiquetada [a,b] con paso ms pequeo que , se tiene

Cuando las etiquetas escogidas dan el mximo (o mnimo) valor de cada intervalo, el sumatorio de Riemann pasa a ser un sumatorio de Darboux superior (o inferior), lo que sugiere la estrecha conexin que hay entre la integral de Riemann y la integral de Darboux.

Integral de LebesgueLa integral de Riemann no est definida para un ancho abanico de funciones y situaciones de importancia prctica (y de inters terico). Por ejemplo, la integral de Riemann puede integrar fcilmente la densidad para de obtener la masa de una viga de acero, pero no se puede adaptar a una bola de acero que se apoya encima. Esto motiva la creacin de otras definiciones, bajo las cuales se puede integrar un surtido ms amplio de funciones.[7] La integral de Lebesgue, en particular, logra una gran flexibilidad a base de centrar la atencin en los pesos de la suma ponderada. As, la definicin de la integral de Lebesgue empieza con una medida, . En el caso ms sencillo, la medida de Lebesgue (A) de un intervalo A = [a, b] es su ancho, b a, as la integral de Lebesgue coincide con la integral de Riemann cuando existen ambas. En casos ms complicados, los conjuntos a medir pueden estar altamente fragmentados, sin continuidad y sin ningn parecido a intervalos. Para explotar esta flexibilidad, la integral de Lebesgue invierte el enfoque de la suma ponderada. Como expresa Folland:[8] "Para calcular la integral de Riemann de f, se particiona el dominio [a, b] en subintervalos", mientras que en la integral de Lebesgue, "de hecho lo que se est partiendo es el recorrido de f".

Integracin Un enfoque habitual define primero la integral de la funcin caracterstica de un conjunto medible A por: . Esto se extiende por linealidad a las funciones escalonadas simples, que slo tienen un nmero finito n, de valores diferentes no negativos:

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(donde la imagen de Ai al aplicarle la funcin escalonada s es el valor constante ai). As, si E es un conjunto medible, se define

Entonces, para cualquier funcin medible no negativa f se define

Es decir, se establece que la integral de f es el supremo de todas las integrales de funciones escalonadas que son ms pequeas o iguales que f. Una funcin medible cualquiera f, se separa entre sus valores positivos y negativos a base de definir

Finalmente, f es Lebesgue integrable si

y entonces se define la integral por

Cuando el espacio mtrico en el que estn definidas las funciones es tambin un espacio topolgico localmente compacto (como es el caso de los nmeros reales R), las medidas compatibles con la topologa en un sentido adecuado (medidas de Radon, de las cuales es un ejemplo la medida de Lebesgue) una integral respecto de ellas se puede definir de otra manera, se empieza a partir de las integrales de las funciones continuas con soporte compacto. De forma ms precisa, las funciones compactamente soportadas forman un espacio vectorial que comporta una topologa natural, y se puede definir una medida (Radon) como cualquier funcional lineal continuo de este espacio; entonces el valor de una medida en una funcin compactamente soportada, es tambin, por definicin, la integral de la funcin. Entonces se contina expandiendo la medida (la integral) a funciones ms generales por continuidad, y se define la medida de un conjunto como la integral de su funcin caracterstica. Este es el enfoque que toma Bourbaki[9] y cierto nmero de otros autores. Para ms detalles, vase medidas de Radon.

Integracin

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Otras integralesA pesar de que las integrales de Riemann y Lebesgue son las definiciones ms importantes de integral, hay unas cuntas ms, por ejemplo: La integral de Riemann-Stieltjes, una extensin de la integral de Riemann. La integral de Lebesgue-Stieltjes, desarrollada por Johann Radon, que generaliza las integrales de Riemann-Stieltjes y de Lebesgue. La integral de Daniell, que incluye la integral de Lebesgue y la integral de Lebesgue-Stieltjes sin tener que depender de ninguna medida. La integral de Henstock-Kurzweil, definida de forma variada por Arnaud Denjoy, Oskar Perron, y Jaroslav Kurzweil, y desarrollada por Ralph Henstock. La integral de Darboux, que es equivalente a la integral de Riemann. La integral de Haar, que es la integral de Lebesgue con la medida de Haar. La integral de McShane. La integral de Buchner.

Propiedades de la integracinLinealidad El conjunto de las funciones Riemann integrables en un intervalo cerrado [a, b] forman un espacio vectorial con las operaciones de suma (la funcin suma de otras dos es la funcin que a cada punto le hace corresponder la suma de las imgenes de este punto por cada una de las otras dos) y la multiplicacin por un escalar. La operacin integracin

es un funcional lineal de este espacio vectorial. As, en primer lugar, el conjunto de funciones integrables es cerrado con la combinacin lineal, y en segundo lugar, la integral de una combinacin lineal es la combinacin lineal de las integrales,

De forma parecida, el conjunto de las funciones reales Lebesgue integrables en un espacio mtrico E dado, con la medida es cerrado respecto de las combinaciones lineales y por lo tanto forman un espacio vectorial, y la integral de Lebesgue

es un funcional lineal de este espacio vectorial, de forma que

De forma ms general, si se toma el espacio vectorial de todas las funciones medibles sobre un espacio mtrico (E,), que toman valores en un espacio vectorial topolgico completo localmente compacto V sobre un campo topolgico localmente compacto K, f : E V. Entonces se puede definir una aplicacin integracin abstracta que a cada funcin f le asigna un elemento de V o el smbolo ,

que es compatible con las combinaciones lineales. En esta situacin, la linealidad se sostiene para el subespacio de las funciones, cuya integral es un elemento de V (es decir, las integrales "finitas"). Los casos ms importantes surgen cuando K es R, C, o una extensin finita del campo Qp de nmeros p-dicos, y V es

Integracin un espacio vectorial de dimensin finita sobre K, y cuando K=C y V es un espacio de Hilbert complejo. La linealidad, junto con algunas propiedad naturales de continuidad y la normalizacin para ciertas clases de funciones "simples", se pueden usar para dar una definicin alternativa de integral. Este es el enfoque de Daniell para el caso de funciones reales en un conjunto X, generalizado por Bourbaki a funciones que toman valores en un espacio vectorial topolgicamente compacto. Vase Hildebrandt (1953)[10] para una caracterizacin axiomtica de la integral.

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Desigualdades con integralesSe verifican varias desigualdades generales para funciones Riemann integrables definidas en un intervalo cerrado y acotado [a, b] y se pueden generalizar a otras nociones de integral (Lebesgue y Daniell). Cotas superiores e inferiores. Una funcin f integrable en [a, b], es necesariamente acotada en el intervalo. Por lo tanto hay dos nmeros reales m y M tales que m f (x) M para todo x de [a, b]. Dado que los sumatorios superior e inferior de f sobre [a, b] son tambin acotados para m(b a) y M(b a) respectivamente, de aqu resulta que

Desigualdades entre funciones. Si f(x) g(x) para todo x de [a, b] entonces cada uno de los sumatorios superior e inferior de f son acotados inferior y superiormente por los sumatorios superior e inferior de g respectivamente. As

Esto es una generalizacin de las desigualdades anteriores, dado que M '(b a) es la integral de la funcin constante con valor M en el intervalo [a, b]. Subintervalos. Si [c, d] es un subintervalo de [a, b] y f(x) es no negativa para todo x, entonces

Productos y valores absolutos de funciones. Si f y g son dos funciones, entonces podemos emplear su producto, potencias y valores absolutos:

Si f es Riemann integrable en [a, b] entonces lo mismo se cumple para |f|, y

Es ms, si f y g son ambas Riemann integrables entonces f 2, g 2, y fg son tambin Riemann integrables, y

Esta desigualdad se conoce como desigualdad de Cauchy-Schwarz, y desempea un papel fundamental en la teora de los espacios de Hilbert, donde el lado de la derecha se interpreta como el producto escalar de dos funciones integrables f y g en el intervalo [a, b]. Desigualdad de Hlder. Si p y q son dos nmeros reales, 1 p, q con 1/p + 1/q = 1, y f y g son dos funciones Riemann integrables. Entonces las funciones |f|p y |g|q tambin son integrables y se cumple la desigualdad de Hlder:

Para el caso de p = q = 2, la desigualdad de Hlder pasa a ser la desigualdad de CauchySchwarz.

Integracin Desigualdad de Minkowski. Si p 1 es un nmero real y f y g son funciones Riemann integrables. Entonces |f|p, |g|p y |f + g|p son tambin Riemann integrables y se cumple la desigualdad de Minkowski:

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Una desigualdad anloga a sta para la integral de Lebesgue se usa en la construccin de los espacios Lp.

ConvencionesEn esta seccin f es una funcin real Riemann integrable. La integral

sobre un intervalo [a, b] est definida si a < b. Esto significa que los sumatorios superiores e inferiores de la funcin f se evalan sobre una particin a = x0 x1 . . . xn = b cuyos valores xi son crecientes. Geomtricamente significa que la integracin tiene lugar "de izquierda a derecha", evaluando f dentro de intervalos [x i , x i +1] donde el intervalo con un ndice ms grande queda a la derecha del intervalo con un ndice ms pequeo. Los valores a y b, los puntos extremos del intervalo, se denominan lmites de integracin de f. Las integrales tambin se pueden definir si a > b: Inversin de los lmites de integracin. si a > b entonces se define

Ello, con a = b, implica: Integrales sobre intervalos de longitud cero. si a es un nmero real entonces

La primera convencin es necesaria al calcular integrales sobre subintervalos de [a, b]; la segunda dice que una integral sobre un intervalo degenerado, o un punto, tiene que ser cero. Un motivo para la primera convencin es que la integrabilidad de f sobre un intervalo [a, b] implica que f es integrable sobre cualquier subintervalo [c, d], pero en particular las integrales tienen la propiedad de que: Aditividad de la integracin sobre intervalos. si c es cualquier elemento de [a, b], entonces

Con la primera convencin la relacin resultante

queda bien definida para cualquier permutacin cclica de a, b, y c. En lugar de ver lo anterior como convenciones, tambin se puede adoptar el punto de vista de que la integracin se hace slo sobre variedades orientadas. Si M es una tal forma m-dimensional orientada, y M' es la misma forma con orientacin opuesta y es una m-forma, entonces se tiene (vase ms abajo la integracin de formas diferenciales):

Integracin

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Teorema fundamental del clculoEl teorema fundamental del clculo es la afirmacin de que la derivacin y la integracin son operaciones inversas: si una funcin continua primero se integra y luego se deriva, se recupera la funcin original. Una consecuencia importante, en ocasiones denominada el segundo teorema fundamental del clculo, permite calcular integrales a base de emplear una primitiva de la funcin a integrar.

Enunciado de los teoremas Teorema fundamental del clculo. Sea f una funcin real integrable definida en un intervalo cerrado [a, b]. Si se define F para cada x de [a, b] por

entonces F es continua en [a, b]. Si f es continua en x de [a, b], entonces F es derivable en x, y F (x) = f(x). Segundo teorema fundamental del clculo. Sea f una funcin real, integrable definida en un intervalo cerrado [a, b]. Si F es una funcin tal que F (x) = f(x) para todo x de [a, b] (es decir, F es una primitiva de f), entonces

Corolario. Si f es una funcin continua en [a, b], entonces f es integrable en [a, b], y F, definida por

es una primitiva de f en [a, b]. Adems,

ExtensionesIntegrales impropiasUna integral de Riemann "propia" supone que el integrando est definido y es finito en un intervalo cerrado y acotado, cuyos extremos son los lmites de integracin. Una integral impropia aparece cuando una o ms de estas condiciones no se satisface. En algunos casos, estas integrales se pueden definir tomando el lmite de una sucesin de integrales de Riemann propias sobre intervalos sucesivamente ms largos. Si el intervalo no es acotado, por ejemplo en su extremo superior, entonces la integral impropia es el lmite cuando el punto final tiende a infinito.La integral impropia

tiene intervalos no acotados tanto en el dominio como en el recorrido.

Integracin Si el integrando slo est definido en un intervalo finito semiabierto, por ejemplo (a,b], entonces, otra vez el lmite puede suministrar un resultado finito.

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Esto es, la integral impropia es el lmite de integrales propias cuando uno de los puntos extremos del intervalo de integracin se aproxima, ya sea a un nmero real especificado, o , o . En casos ms complicados, hacen falta lmites en los dos puntos extremos o en puntos interiores. Por ejemplo, la funcin integrada desde 0 a (imagen de la derecha). En el extremo inferior, a medida que

x se acerca a 0 la funcin tiende a , y el extremo superior es l mismo , a pesar de que la funcin tiende a 0. As, esta es una integral doblemente impropia. Integrada, por ejemplo, desde 1 hasta 3, con un sumatorio de Riemann es suficiente para obtener un resultado de . Para integrar desde 1 hasta , un sumatorio de Riemann no es posible. Ahora bien, cualquier lmite superior finito, por ejemplo t (con t>1), da un resultado bien definido, . Este resultado tiene un lmite finito cuando t tiende a infinito, que es . De forma parecida, la integral desde 13 hasta a 1 admite tambin un sumatorio de Riemann, que por casualidad da de nuevo Sustituyendo 3 por un valor positivo arbitrario s (con sn ser siempre cero por la propiedad alternante. Adems del producto exterior, tambin existe el operador derivada exterior d. Este operador hace corresponder a las k-formas (k+1)-formas. Para una k-forma = f dxa sobre Rn, se define la accin de d por:

Integracin

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con extensin a las k-formas generales que se dan linealmente. Este planteamiento ms general permite un enfoque de la integracin sobre variedades libre de coordenadas. Tambin permite una generalizacin natural del teorema fundamental del clculo, denominada teorema de Stokes, que se puede establecer como

donde es una k-forma general, y indica la frontera de la regin . As en el supuesto de que sea una 0-forma y sea un intervalo cerrado de la recta real, el teorema de Stokes se reduce al teorema fundamental del clculo. En el caso de que sea una 1-forma y sea una regin de dimensin 2 en el plano, el teorema se reduce al teorema de Green. De manera similar, empleando 2-formas, 3-formas y la dualidad de Hodge, se puede llegar al teorema de Stokes y al teorema de la divergencia. De esta forma puede verse que las formas diferenciales suministran una potente visin unificadora de la integracin.

Mtodos y aplicacionesClculo de integralesLa tcnica ms bsica para calcular integrales de una variable real se basa en el teorema fundamental del clculo. Se procede de la siguiente forma: 1. Se escoge una funcin f(x) y un intervalo [a, b]. 2. Se halla una primitiva de f, es decir, una funcin F tal que F' = f. 3. Se emplea el teorema fundamental del clculo, suponiendo que ni el integrando ni la integral tienen singularidades en el camino de integracin,

4. Por tanto, el valor de la integral es F(b) F(a). Ntese que la integral no es realmente la primitiva, sino que el teorema fundamental permite emplear las primitivas para evaluar las integrales definidas. A menudo, el paso difcil de este proceso es el de encontrar una primitiva de f. En raras ocasiones es posible echar un vistazo a una funcin y escribir directamente su primitiva. Muy a menudo, es necesario emplear una de las muchas tcnicas que se han desarrollado para evaluar integrales. La mayora de ellas transforman una integral en otra que se espera que sea ms manejable. Entre estas tcnicas destacan: Integracin por cambio de variable Integracin por partes Integracin por sustitucin trigonomtrica Integracin de fracciones parciales

Incluso si estas tcnicas fallan, an puede ser posible evaluar una integral dada. La siguiente tcnica ms comn es el clculo del residuo, mientras que la serie de Taylor a veces se puede usar para hallar la primitiva de las integrales no elementales en lo que se conoce como el mtodo de integracin por series. Tambin hay muchas formas menos habituales para calcular integrales definidas; por ejemplo, se puede emplear la identidad de Parseval para transformar una integral sobre una regin rectangular en una suma infinita. En algunas ocasiones, se puede evaluar una integral empleando un truco; un ejemplo de este tipo se puede ver en la integral de Gauss. Los clculos de volmenes de slidos de revolucin se pueden hacer normalmente con la integracin por discos o la integracin por capas.

Integracin Los resultados especficos que se han encontrado empleando las diferentes tcnicas se recogen en la tabla de integrales.

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Algoritmos simblicosEn muchos problemas de matemticas, fsica, e ingeniera en los que participa la integracin es deseable tener una frmula explcita para la integral. Con esta finalidad, a lo largo de los aos se han ido publicando extensas tablas de integrales. Con el desarrollo de los ordenadores, muchos profesionales, educadores y estudiantes han recurrido a los sistemas de clculo algebraico por ordenador, que han sido diseados especficamente para desarrollar tareas tediosas o difciles, entre las cuales se encuentra la integracin. La integracin simblica presenta un reto especial en el desarrollo de este tipo de sistemas. Una dificultad matemtica importante de la integracin simblica es que, en muchos casos, no existe ninguna frmula cerrada para la primitiva de una funcin aparentemente inocente. Por ejemplo, se sabe que las primitivas de las funciones exp (x2), xx y senx/x no se pueden expresar con una frmula cerrada en las que participen slo funciones racionales, exponenciales, logartmicas, trigonomtricas, inversas de las funciones trigonomtricas, y las operaciones de suma, multiplicacin y composicin. En otras palabras, ninguna de estas tres funciones dadas es integrable con funciones elementales. La teora de Galois diferencial proporciona criterios generales para determinar cundo la primitiva de una funcin elemental es a su vez elemental. Por desgracia, resulta que las funciones con expresiones cerradas para sus primitivas son la excepcin en vez de ser la regla. En consecuencia, los sistemas de clculo algebraico por ordenador, no pueden tener la seguridad de poder encontrar una primitiva para una funcin elemental cualquiera construida de forma aleatoria. En el lado positivo, si se fijan de antemano los "bloques constructivos" de las primitivas, an es posible decidir si se puede expresar la primitiva de una funcin dada empleando estos bloques y las operaciones de multiplicacin y composicin, y hallar la respuesta simblica en el caso de que exista. El algoritmo de Risch, implementado en Mathematica y en otros sistemas de clculo algebraico por ordenador, hacen precisamente esto para funciones y primitivas construidas a partir de fracciones racionales, radicales, logaritmos y funciones exponenciales. Algunos integrandos aparecen con la suficiente frecuencia como para merecer un estudio especial. En particular, puede ser til tener, en el conjunto de las primitivas, las funciones especiales de la fsica (como las funciones de Legendre, la funcin hipergeomtrica, la funcin gamma, etctera). Es posible extender el algoritmo de Risch-Norman de forma que abarque estas funciones, pero se trata de todo un reto. La mayora de los humanos no son capaces de integrar estas frmulas generales, por lo que en cierto sentido los ordenadores son ms hbiles integrando frmulas muy complicadas. Es poco probable que las frmulas muy complejas tengan primitivas de forma cerrada, de modo que hasta qu punto esto es una ventaja es una cuestin filosfica abierta a debate.

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Cuadratura numricaLas integrales que se encuentran en los cursos bsicos de clculo han sido elegidas deliberadamente por su simplicidad, pero las que se encuentran en las aplicaciones reales no siempre son tan asequibles. Algunas integrales no se pueden hallar con exactitud, otras necesitan de funciones especiales que son muy complicadas de calcular, y otras son tan complejas que encontrar la respuesta exacta es demasiado lento. Esto motiva el estudio y la aplicacin de mtodos numricos para aproximar integrales. Hoy en da se usan en la aritmtica de coma flotante, en ordenadores electrnicos. Para los clculos a mano surgieron muchas ideas mucho antes; pero la velocidad de los ordenadores de uso general como el ENIAC crearon la necesidad de mejoras. Los objetivos de la integracin numrica son la exactitud, la fiabilidad, la eficiencia y la generalidad. Por ejemplo, la integral

Mtodos numricos de cuadratura: Rectngulo, Trapezoide, Romberg, Gauss.

que tiene el valor aproximado de 6.826 (en la prctica ordinaria no se conoce de antemano la respuesta, por lo que una tarea importante que no se explora aqu es decidir en qu momento una aproximacin ya es bastante buena.) Un enfoque de "libro de clculo" divide el intervalo de integracin en, por ejemplo, 16 trozos iguales, y calcula los valores de la funcin.

Valores de la funcin en los puntosx 2,00 1,50 1,00 0,50 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00

f(x) 2,22800x

2,45663 2,67200 2,32475 0,64400 0,92575 0,94000 0,16963 0,83600 1,25 0,75 0,25 0,25 0,75 1,25 1.75

1.75

f(x)

2,33041 2,58562 2,62934 1,64019 0,32444 1,09159 0,60387 0,31734

Referencias y notas[1] En el caso de las funciones a las que se aplica la definicin de Riemann, los resultados coinciden. [2] Burton, David M. (2005). The History of Mathematics: An Introduction (6 ed.), McGraw-Hill, p. 359, ISBN 978-0-07-305189-5 [3] Leibniz, Gottfried Wilhelm (1899) (Gerhardt, Karl Immanuel, ed.). Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern. Erster Band, Berlin: Mayer & Mller, p. 154 [4] Cajori, Florian (1929). A History Of Mathematical Notations, Vol. II, Open Court Publishing, pp. 247252, ISBN 978-0-486-67766-8 [5] Fourier, Jean Baptiste Joseph (1822). Thorie analytique de la chaleur, Chez Firmin Didot, pre et fils, p. 231, (http:/ / books. google. com/ books?id=TDQJAAAAIAAJ) [6] W3C (2006). Arabic mathematical notation (http:/ / www. w3. org/ TR/ arabic-math/ ) [7] Rudin, Walter (1987). "Chapter 1: Abstract Integration", Real and Complex Analysis (International ed.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-100276-9 [8] Folland, Gerald B. (1984). Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (1 ed.), John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-80958-6 [9] Bourbaki, Nicolas (2004). Integration I, Springer Verlag, ISBN 3-540-41129-1. En particular, los captulos III y IV. [10] Hildebrandt, T. H. (1953). "Integration in abstract spaces", Bulletin of the American Mathematical Society 59(2): 111139, ISSN 0273-0979 (http:/ / www. worldcat. org/ issn/ 0273-0979)

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Bibliografa Apostol, Tom M. (1967). Calculus, Vol.1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra (2nd edicin). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-00005-1. Bourbaki, Nicolas (2004). Integration I. Springer. ISBN 3-540-41129-1.. En particular los captulos III y IV. Burton, David M. (2005). The History of Mathematics: An Introduction (6th edicin). McGraw-Hill. p.359. ISBN 978-0-07-305189-5. Cajori, Florian (1929). A History Of Mathematical Notations Volume II (http://www.archive.org/details/ historyofmathema027671mbp). Open Court Publishing. pp.247252. ISBN 978-0-486-67766-8. Dahlquist, Germund; Bjrck, ke (forthcoming). Chapter5: Numerical Integration (http://www.mai.liu.se/ ~akbjo/NMbook.html). Numerical Methods in Scientific Computing. Philadelphia: SIAM. Folland, Gerald B. (1984). Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (1st edicin). Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-80958-6. Fourier, Jean Baptiste Joseph (1822). Thorie analytique de la chaleur (http://books.google.com/ books?id=TDQJAAAAIAAJ). Chez Firmin Didot, pre et fils. p.231. Disponible en ingls comoFourier, Joseph (1878). The analytical theory of heat (http://www.archive.org/ details/analyticaltheory00fourrich). Freeman, Alexander (trans.). Cambridge University Press. pp.200201. The Works of Archimedes (http://www.archive.org/details/worksofarchimede029517mbp). Dover. 2002. ISBN 978-0-486-42084-4. (Originalmente publicado por Cambridge University Press, 1897, based on J. L. Heiberg's Greek version.) Hildebrandt, T. H. (1953). Integration in abstract spaces (http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183517761). 59. 111139. Kahaner, David; Moler, Cleve; Nash, Stephen (1989). Chapter5: Numerical Quadrature. Numerical Methods and Software. Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-627258-8. Leibniz, Gottfried Wilhelm (1899). Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern. Erster Band (http://name.umdl.umich.edu/AAX2762.0001.001). Berlin: Mayer & Mller. Miller, Jeff. Earliest Uses of Symbols of Calculus (http://members.aol.com/jeff570/calculus.html). OConnor, J. J.; Robertson, E. F. (1996). A history of the calculus (http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/ HistTopics/The_rise_of_calculus.html). Rudin, Walter (1987). Chapter1: Abstract Integration. Real and Complex Analysis (International edicin). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-100276-9. Saks, Stanisaw (1964). Theory of the integral (http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=7&wyd=10& jez=) (English translation by L. C. Young. With two additional notes by Stefan Banach. Second revised edicin). New York: Dover. Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002). Chapter3: Topics in Integration. Introduction to Numerical Analysis (3rd edicin). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95452-3.. W3C (2006). Arabic mathematical notation (http://www.w3.org/TR/arabic-math/).

Integracin

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Vase tambin Tabla de integrales Integracin numrica Derivada Signo de Integral Portal:Matemtica. Contenido relacionado con Matemtica.

Enlaces externos La integral definida y la funcin rea, en Descartes. (http://www.isftic.mepsyd.es/w3/Descartes/ Bach_CNST_2/La_integral_definida_y_la_funcion_area/sumario.html) The Integrator (http://integrals.wolfram.com/) de Wolfram Research Function Calculator (http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/analysis/function.en) de WIMS (http://wims.unice.fr) P.S. Wang, Evaluation of Definite Integrals by Symbolic Manipulation (http://www.lcs.mit.edu/publications/ specpub.php?id=660) (1972) - a cookbook of definite integral techniques Definite Integrals (http://www.math10.com/en/university-math/definite-integrals/definite-integrals.html) Tabla de Integrales para Imprimir (http://neoparaiso.com/imprimir/tabla-de-integrales.html)

Libros online Keisler, H. Jerome, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals (http://www.math.wisc.edu/ ~keisler/calc.html), University of Wisconsin Stroyan, K.D., A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus (http://www.math.uiowa.edu/~stroyan/ InfsmlCalculus/InfsmlCalc.htm), University of Iowa Mauch, Sean, Sean's Applied Math Book (http://www.its.caltech.edu/~sean/book/unabridged.html), CIT, an online textbook that includes a complete introduction to calculus Crowell, Benjamin, Calculus (http://www.lightandmatter.com/calc/), Fullerton College, an online textbook Garrett, Paul, Notes on First-Year Calculus (http://www.math.umn.edu/~garrett/calculus/) Hussain, Faraz, Understanding Calculus (http://www.understandingcalculus.com), an online textbook Kowalk, W.P., Integration Theory (http://einstein.informatik.uni-oldenburg.de/20910.html), University of Oldenburg. A new concept to an old problem. Online textbook Sloughter, Dan, Difference Equations to Differential Equations (http://math.furman.edu/~dcs/book), an introduction to calculus Wikibook of Calculus Numerical Methods of Integration (http://numericalmethods.eng.usf.edu/topics/integration.html) at Holistic Numerical Methods Institute

Geometra euclidiana

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Geometra euclidianaLa geometra euclidiana (o geometra parablica)[1] es aquella que estudia las propiedades del plano y el espacio tridimensional. En ocasiones los matemticos usan el trmino para englobar geometras de dimensiones superiores con propiedades similares. Sin embargo, con frecuencia, geometra euclidiana es sinnimo de geometra plana y de geometra clsica. Desde un punto de vista historiogrfico, la geometra euclidiana es aquella geometra que postul Euclides, en su libro Los elementos, dejando al margen las aportaciones que se hicieron posteriormente desde Arqumedes hasta Jakob Steiner. Segn la contraposicin entre mtodo sinttico y mtodo algebraico-analtico, la geometra euclidiana sera, precisamente, el estudio por mtodos sintticos de los invariantes de un espacio vectorial real de dimensin3 dotado de un producto escalar muy concreto (el frecuentemente denominado producto escalar habitual).

Fragmento de Los elementos de Euclides, escrito en papiro, hallado en el yacimiento de Oxirrinco (Egipto).

Segn el programa de Erlangen, la geometra euclidiana sera el estudio de los invariantes de las isometras en un espacio euclidiano (espacio vectorial real de dimensin finita, dotado de un producto escalar).[2]

AxiomasLa presentacin tradicional de la geometra euclidiana se hace en un formato axiomtico. Un sistema axiomtico es aqul que, a partir de un cierto nmero de proposiciones que se presuponen evidentes (conocidas como axiomas) y mediante deducciones lgicas, genera nuevas proposiciones cuyo valor de verdad es tambin lgico.

PostuladosEuclides plante cinco postulados en su sistema: 1. Dados dos puntos se puede trazar una y solo una recta que los une. 2. Cualquier segmento puede prolongarse de manera continua en cualquier sentido. 3. Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio. 4. Todos los ngulos rectos son congruentes. 5. Si una recta, al cortar a otras dos, forma ngulos internos menores a dos ngulos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que estn los ngulos menores que dos rectos.

Portada de Los elementos de Euclides, publicada en 1570 por Sir Henry Billingsley.

Este ltimo postulado, que es conocido como el postulado de las paralelas, fue reformulado como:

Geometra euclidiana 5. Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una nica paralela a la recta dada. Este postulado parece menos obvio que los otros cuatro, y muchos gemetras, incluido el propio Euclides, han intentado deducirlo de los anteriores. Cuando intentaron reducirlo al absurdo negndolo, surgieron dos nuevas geometras: la elptica, tambin llamada geometra de Riemann o riemanniana (dada una recta y un punto exterior a ella, no existe ninguna recta que pase por el punto y sea paralela a la recta dada) y la hiperblica o de Lobachevsky (existen varias rectas paralelas que pasen por un punto exterior a una dada).

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LimitacionesEuclides asumi que todos sus postulados o axiomas eran autoevidentes y por tanto hechos que no requeran demostracin. Sin embargo, result que el quinto postulado si bien es compatible con los otro cuatro en cierto modo es independiente. Es decir, tanto el quinto postulado como la negacin del quinto postulado, son compatibles con los otros cuatro postulados. Las geometras donde el quinto postulado no es vlido se llaman geometras noeuclidianas. Una limitacin del trabajo de Euclides fue no reconocer la posibilidad de sistemas geomtricos perfectamente consistentes donde el quinto axioma no era vlido, es decir, para Euclides y los gemetras posteriores hasta el sigloXVIII pas inadvertida la posibilidad de geometras noeuclidianas, hasta el trabajo de Nikoli Lobachevski, Gauss y Riemann. Si bien durante el siglo XIX se consider que las geometras no euclidianas se consideraron un artefacto matemticamente interesante, e incluso con cierto inters prctico pero limitado, como es el caso de la trigonometra esfrica usada en astronoma. Pero en cierto modo se consideraba, que la geometra del espacio fsico era euclidiana y por tanto las geometrias noeuclidianas eran tan slo un artificio abstracto interesante o til para ciertos problemas pero en modo alguno descripciones realistas del mundo. Sin embargo, el trabajo de Albert Einstein, hizo ver que entre las necesidades de la fsica moderna estn las geometras noeuclidianas, para describir el espacio-tiempo curvo. Alguno de los errores de Euclides fue omitir al menos dos postulados ms: Dos circunferencias cuyos centros estn separados por una distancia menor a la suma de sus radios, se cortan en dos puntos (Euclides lo utiliza en su primera construccin). Dos tringulos con dos lados iguales y los ngulos comprendidos tambin iguales, son congruentes (afirmacin equivalente al concepto de movimiento, que Euclides usa para su teorema cuarto sin definir explcitamente).

Euclidiano y eucldeoLa Real Academia Espaola no recoge el adjetivo eucldeo,[3] aunque es un trmino de uso comn que convive con el adjetivo euclidiano.[4]

Vase tambin Geometra clsica Geometra noeuclidiana

Enlaces externos Portal:Matemtica. Contenido relacionado con Matemtica. Portal:Geometra. Contenido relacionado con Geometra. Geometra eucldea [5]

Geometra euclidiana

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Notas y referencias[1] Siguiendo la analoga de las cnicas, una parbola es el caso lmite entre una elipse y una hiprbola; en el mismo sentido que la geometra parablica o eucldea es el caso lmite entre la geometra elptica y la geometra hiperblica [2] Hay que indicar que se puede dotar a un mismo espacio vectorial real de distintos productos escalares, as que, incluso con esta acepcin, existe una enorme ambigedad, al no quedar claro ni la dimensin del espacio (en principio cualquier dimensin finita) ni el producto a escalar al que nos referimos. Este trmino puede permitir que cosas que no se parecen en nada a lo que entendemos por geometra euclidiana pueda llamarse precisamente geometra euclidiana. [3] Vase el aviso acerca del neologismo eucldeo (http:/ / buscon. rae. es/ draeI/ SrvltGUIBusUsual?LEMA=eucldeo) en el Diccionario de la lengua espaola de la Real Academia Espaola). [4] Vase el artculo euclidiano (http:/ / buscon. rae. es/ draeI/ SrvltGUIBusUsual?LEMA=euclidiano) en el Diccionario de la lengua espaola. [5] http:/ / wmatem. eis. uva. es/ ~matpag/ CONTENIDOS/ Geometria/ marco_geometria. htm

Aritmtica modularEn matemtica, la aritmtica modular es un sistema aritmtico para clases de equivalencia de nmeros enteros llamadas clases de congruencia. Algunas veces se le llama, sugerentemente, aritmtica del reloj, ya que los nmeros dan la vuelta tras alcanzar cierto valor llamado mdulo.[1] La aritmtica modular fue introducida en 1801 por Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae.[2]

Cubierta de la edicin original de Disquisitiones arithmeticae de Gauss, libro fundamental de la aritmtica modular.

Relacin de congruenciaLa aritmtica modular puede ser construida matemticamente mediante la relacin de congruencia entre enteros, que es compatible con las operaciones en el anillo de enteros: suma, resta, y multiplicacin. Para un determinado mdulo n, sta se define de la siguiente manera:[3]

El tiempo llevado por ste reloj usa aritmtica en modulo 12.

Aritmtica modular

30

a y b se encuentran en la misma "clase de congruencia" mdulo n, si ambos dejan el mismo resto si los dividimos por n, o, equivalentemente, si a b es un mltiplo de n.

Esta relacin se puede expresar cmodamente utilizando la notacin de Gauss:[3]

As se tiene por ejemplo

ya que ambos, 63 y 83 dejan el mismo resto (3) al dividir por 10, o, equivalentemente, 63 83 es un mltiplo de 10. Se lee:[3] 63 es congruente con 83, mdulo 10, o 63 y 83 son congruentes uno con otro, mdulo 10. Mdulo a veces se abrevia con la palabra mod al hablar, de la misma manera que como est escrito y proviene de la palabra modulus del latn, la lengua de los escritos originales de Gauss. As, el nmero n, que en este ejemplo es 10, sera el modulus. Otro ejemplo; cuando el mdulo es 12, entonces cualesquiera dos nmeros que divididos por doce den el mismo resto son equivalentes (o "congruentes") uno con otro. Los nmeros ..., 34, 22, 10, 2, 14, 26,... son todos "congruentes mdulo 12" unos con otros, ya que cada uno deja el mismo resto (2) cuando los dividimos por 12. La coleccin de todos esos nmeros es una clase de congruencia.[4]

Propiedades principalesClases de equivalencia mdulo nLa aritmtica modular se basa en una relacin de equivalencia, y las clases de equivalencia de un entero a se denota con [a]n (o simplemente [a] si sobreentendemos el mdulo.) Otras notaciones son por ejemplo a + nZ o a mod n. El conjunto de todas las clases de equivalencia se denota con Z/nZ = { [0]n, [1]n, [2]n,..., [n-1]n }.[5] Esta relacin de equivalencia tiene importantes propiedades que se siguen inmediatamente de la definicin:[5] Si

y

entonces

y

Lo que muestra que la suma y la multiplicacin son operaciones bien definidas sobre el conjunto de las clases de equivalencia. En otras palabras, la suma y la multiplicacin estn definidas sobre Z/nZ mediante las frmulas siguientes:[5]

De este modo, Z/nZ se convierte en un anillo con n elementos. Por ejemplo, en el anillo Z/12Z, se tiene :[8]12[3]12 + [6]12 = [30]12 = [6]12.

Aritmtica modular

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Resolucin de congruenciasSi a y b son enteros, la congruencia:ax b (mod n) tiene solucin x si y slo si el mximo comn divisor (a, n) divide a b. Los detalles estn recogidos en el teorema de congruencia lineal. Sistemas de congruencias ms complicados con mdulos diferentes se pueden resolver usando el teorema chino del resto o el mtodo de sustitucin sucesiva.[6] En el anillo de enteros, si consideramos la ecuacin ax 1 (mod n), vemos que a tiene un inverso multiplicativo si y slo si a y n son coprimos. Por tanto, Z/nZ es un cuerpo si y slo si n es un primo.[7] Se puede probar que cada cuerpo finito es una extensin de Z/pZ para algn primo p.

Pequeo teorema de Fermat y teorema de EulerUn hecho importante sobre aritmtica modular, cuando los mdulos son nmeros primos es el pequeo teorema de Fermat: si p es un nmero primo y a es cualquier entero, entonces[8] Esto fue generalizado por Euler: para todo entero positivo n y todo entero a relativamente primo a n, :a(n) 1 (mod n), donde (n) denota funcin phi de Euler que cuenta el nmero de enteros entre 1 y n que sean coprimos con respecto a n.[9] El teorema de Euler es una consecuencia del teorema de Lagrange, aplicado al caso del grupo de las unidades del anillo Z/nZ.

GeneralizacionesDos enteros a, b son congruentes mdulo n, escrito como:a b (mod n) si su diferencia a b es divisible por n, esto es, si a b = kn para algn entero k. Usando esta definicin, podemos generalizar a mdulos no enteros. Por ejemplo, podemos definir a b (mod ) si a b = k para algn entero k. Esta idea se desarrolla plenamente en el contexto de la teora de los anillos. En lgebra abstracta se ve que la aritmtica modular es un caso especial del proceso de crear un anillo factorial de un anillo mdulo un ideal. Si R es un anillo conmutativo, e I es un ideal de R, entonces dos elementos a y b de R se dicen congruentes mdulo I si a b es un elemento de I. Como pasaba con el anillo de enteros, esto se convierte en una relacin de equivalencia, y la suma y la multiplicacin se convierten en operaciones bien definidas sobre el anillo factorial R/I.

Aplicaciones de la aritmtica modularLa aritmtica modular, estudiada sistemticamente en primer lugar por Carl Friedrich Gauss al final del Siglo XVIII, se aplica en teora de nmeros, lgebra abstracta, criptografa, y en artes visuales y musicales. Las operaciones aritmticas que hoy en da hacen la mayora de las computadoras son aritmtico modulares, donde el mdulo es 2b (b es el nmero de bits de los valores sobre los que operamos). Esto se ve claro en la compilacin de lenguajes de programacin como el C; donde por ejemplo todas las operaciones aritmticas sobre "int", enteros, se toman mdulo 232 en la mayora de las computadoras.

Aritmtica modular

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En el arteEn msica, debido a la equivalencia de octavas y equivalencia enarmnica (esto es, los pasos en razones de 1/2 o 2/1 son equivalentes, y Do# es lo mismo que Reb), la aritmtica modular se usa cuando consideramos la escala de doce tonos igualmente temperada, especialmente en el dodecafonismo. En artes visuales esta aritmtica puede usarse para crear patrones artsticos basados en las tablas de multiplicacin mdulo n (ver enlace abajo).

Vase tambin Residuo cuadrtico Teorema chino del resto Pequeo teorema de Fermat Teorema de Euler Criterio de Euler Teorema de Lagrange (teora de grupos)

Referencias[1] Lpez, Jorge M. (28 de Febrero de 2011). Criptografa (http:/ / www. matematicaparatodos. com/ varios/ criptografia. pdf) (en castellano) (PDF). Consultado el 28 de febrero de 2011.p.3. [2] Gauss, Carl Friedrich (1965). Cap.1 Numbers congruences in general. Disquisitiones Arithmeticae. Yale University Press. ISBN 0-300-09473-6.. (Traduccin al espaol) (http:/ / www. cimm. ucr. ac. cr/ da/ files/ sec1art1-12. pdf) [3] Gauss, Carl Friedrich (1965). Sec.I art.1-3. Disquisitiones Arithmeticae. Yale University Press. ISBN 0-300-09473-6.. (Traduccin al espaol) (http:/ / www. cimm. ucr. ac. cr/ da/ files/ sec1art1-12. pdf) [4] Hortal, Maria Teresa; Rodriguez, Mario; Leach, Javier (2001). Matemtica discreta y lgica matemtica. Madrid: Complutense S.A.. pp.67. ISBN 84-7491-650-X. [5] Carmona Collado, Luis Miguel. Congruencias (http:/ / www. dma. fi. upm. es/ java/ matematicadiscreta/ aritmeticamodular/ congruencias. html) (en castellano) (HTML). Introduccin a la aritmtica entera y modular (http:/ / www. dma. fi. upm. es/ java/ matematicadiscreta/ aritmeticamodular/ ). Consultado el 19 de abril de 2011. [6] Santiago Zaragoza, Antonio Cipriano (2009). 2.4. Congruencias lineales (en castellano). Teora de nmeros (1 edicin). Madrid: Visin libros. pp.22-25. ISBN 978-84-9886-360-1. [7] Navarro, Gabriel (2002). Universitat de Valncia. ed (en castellano). Un curso de lgebra (1 edicin). Valencia. pp.77. ISBN 84-370-5419-2. [8] Gauss, Carl Friedrich (1965). Sec III,art. 50. Disquisitiones Arithmeticae. Yale University Press. ISBN 0-300-09473-6.. (Traduccin al espaol) (http:/ / www. cimm. ucr. ac. cr/ da/ files/ sec3arts45-93. pdf) [9] Euler, Leonhard Theoremata circa residua ex divisione potestatum relicta , en Novi Comment. acad. sc. Petrop., vol. 7, 1761, p. 49-82. Texto orginal del latn Dartmouth College (Euler archive) (http:/ / math. dartmouth. edu/ ~euler/ ) con nmero E262. Traduccin al ingls : ariv:math/0608467

Enlaces externos Weisstein, Eric W., Modular arithmetic (http://mathworld.wolfram.com/ModularArithmetic.html) (en ingls), MathWorld, Wolfram Research. Perl arithmetic enhancements (http://archive.develooper.com/perl6-internals@perl.org/msg05492.html) explica las razones que se encuentran tras el operador de Perl %

Variable

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VariableUna variable es un smbolo que representa un elemento o cosa no especificada de un conjunto dado. Dicho conjunto es llamado conjunto universal de la variable, universo o variar de la variable, y cada elemento del conjunto es un valor de la variable. Sea x una variable cuyo universo es el conjunto {1,3,5,7,9,11,13}; entonces x puede tener cualquiera de esos valores: 1,3,5,7,9,11,13. En otras palabras x puede reemplazarse por cualquier entero positivo impar menor que 14. Por esta razn, a menudo se dice que una variable es un reemplazo de cualquier elemento de su universo. Una variable es un elemento de una frmula, proposicin o algoritmo que puede adquirir o ser sustituido por un valor cualquiera (siempre dentro de su universo). Los valores que una variable es capaz de recibir, pueden estar definidos dentro de un rango, y/o estar limitados por razones o condiciones de pertenencia, al universo que les corresponde (en estos casos, el universo de la variable pasa a ser un subconjunto de un universo mayor, el que tendra sin las restricciones). En muchos usos, lo contrario de una variable es una constante. Tambin puede considerarse a las constantes como caso particular de variables, con un universo unitario (con un solo elemento), ya que slo pueden tener un valor, y no pueden modificarlo.

Vase tambin En astronoma, una variable es un tipo de estrella.

Geometra analticaLa geometra analtica estudia las figuras geomtricas mediante tcnicas bsicas del anlisis matemtico y del lgebra en un determinado sistema de coordenadas. Su desarrollo histrico comienza con la geometra cartesiana, impulsada con la aparicin de la geometra diferencial de Carl Friedrich Gauss y ms tarde con el desarrollo de la geometra algebraica. Las dos cuestiones fundamentales de la geometra analtica son: 1. Dado el lugar geomtrico en un sistema de coordenadas, obtener su ecuacin. 2. Dada la ecuacin en un sistema de coordenadas, determinar la grfica o lugar geomtrico de los puntos que verifican dicha ecuacin. Lo novedoso de la geometra analtica es que representa las figuras geomtricas mediante frmulas del tipo , donde es una funcin u otro tipo de expresin matemtica: las rectas se expresan como ecuaciones polinmicas de grado 1 (por ejemplo, ecuaciones polinmicas de grado 2 (la circunferencia ), las circunferencias y el resto de cnicas como , la hiprbola ), etc.

Construcciones fundamentalesEn un sistema de coordenadas cartesianas, un punto del plano queda determinado por dos nmeros, llamados abscisa y ordenada del punto. Mediante ese procedimiento a todo punto del plano corresponden siempre dos nmeros reales ordenados (abscisa y ordenada), y recprocamente, a un par ordenado de nmeros corresponde un nico punto del plano. Consecuentemente el sistema cartesiano establece una correspondencia biunvoca entre un concepto geomtrico como es el de los puntos del plano y un concepto algebraico como son los pares ordenados de nmeros. Esta correspondencia constituye el fundamento de la geometra analtica.

Geometra analtica Con la geometra analtica se puede determinar figuras geomtricas planas por medio de ecuaciones e inecuaciones con dos incgnitas. ste es un mtodo alternativo de resolucin de problemas, o cuando menos nos proporciona un nuevo punto de vista con el cual poder atacar el problema.

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Localizacin de un punto en el plano cartesianoComo distancia a los ejes En un plano traza dos rectas orientadas perpendiculares entre s (ejes) que por convenio se trazan de manera que una de ellas sea horizontal y la otra vertical, y cada punto del plano queda unvocamente determinado por las distancias de dicho punto a cada uno de los ejes, siempre y cuando se d tambin un criterio para determinar sobre qu semiplano determinado por cada una de las rectas hay que tomar esa distancia, criterio que viene dado por un signo. Ese par de nmeros, las coordenadas, quedar representado por un par ordenado , siendo la distancia a uno de los ejes (por convenio ser la distancia al eje vertical) e distancia al otro eje (al horizontal). En la coordenada , el signo positivo (que suele omitirse) significa que la distancia se toma hacia la derecha del eje horizontal (eje de las abscisas), y el signo negativo (nunca se omite) indica que la distancia se toma hacia la izquierda. Para la coordenada la

, el signo

positivo (tambin se suele omitir) indica que la distancia se toma hacia arriba del eje vertical (eje de ordenadas), tomndose hacia abajo si el signo es negativo (tampoco se omite nunca en este caso). A la coordenada punto. Los puntos del eje de abscisas tienen por lo tanto ordenada igual a , as que sern de la forma , mientras y se la suele denominar abscisa del punto, mientras que a la se la denomina ordenada del

que los del eje de ordenadas tendrn abscisa igual a , por lo que sern de la forma . El punto donde ambos ejes se cruzan tendr por lo tanto distancia a cada uno de los ejes, luego su abscisa ser su ordenada tambin ser . A este punto el se le denomina origen de coordenadas.

Como proyeccin sobre los ejes Se consideran dos rectas orientadas, (ejes) , perpendiculares entre s, x e y, con un origen comn, el punto O de interseccin de ambas rectas. Teniendo un punto P, al cual se desea determinar las coordenadas, se procede de la siguiente forma: Por el punto P se trazan rectas perpendiculares a los ejes, stas determinan en la interseccin con los mismos dos puntos, P' (el punto ubicado sobre el eje x) y el punto P ( el punto ubicado sobre el eje y). Dichos puntos son las proyecciones ortogonales sobre los ejes x e y del punto P. A los Puntos P' y P le corresponden por nmero la distancia desde ellos al origen, teniendo en cuenta que si el punto P'se encuentra a la izquierda de O, dicho nmero ser negativo, y si el punto P se encuentra hacia abajo del punto O, dicho nmero ser negativo. Los nmeros relacionados con P' y P, en ese orden son los valores de las coordenadas del punto P. Ejemplo 1: P' se encuentra a la derecha de O una distancia igual a 2 unidades. P se encuentra hacia arriba de O, una distancia igual a 3 unidades. Por lo que las coordenadas de P son (2 ; 3)

Geometra analtica Ejemplo 2: P' se encuentra a la derecha de O una distancia igual a 4 unidades. P se encuentra hacia abajo de O, una distancia igual a 5 unidades. Por lo que las coordenadas de P son (4 ; -5) Ejemplo 3: P' se encuentra a la izquierda de O una distancia igual a 3 unidades. P se encuentra hacia abajo de O, una distancia igual a 2 unidades. Por lo que las coordenadas de P son (-3 ; -2) Ejemplo 4: P' se encuentra a la izquierda de O una distancia igual a 6 unidades. P se encuentra hacia arriba de O, una distancia igual a 4 unidades. Por lo que las coordenadas de P son (-6 ; 4)

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Ecuaciones de la recta en el planoUna recta es el lugar geomtrico de todos los puntos en el plano tales que, tomados dos cualesquiera de ellos, el clculo de la pendiente resulta siempre igual a una constante. La ecuacin general de la recta es de la forma:

cuya pendiente es m = -A/B y cuya ordenada al origen es b = -C/B. Una recta en el plano se representa con la Funcin lineal de la forma:

Como expresin general, sta es conocida con el nombre de ecuacin pendiente-ordenada al origen y podemos distinguir dos casos particulares. Si una recta no corta a uno de los ejes, ser porque es paralela a l. Como los dos ejes son perpendiculares, si no corta a uno de ellos forzosamente ha de cortar al otro (siempre y cuando la funcin sea continua para todos los reales). Tenemos pues tres casos:

Rectas oblicuas.

Rectas horizontales.

Rectas verticales.

Las rectas verticales no cortan al eje de ordenadas y son paralelas a dicho eje y se denominan rectas verticales. El punto de corte con el eje de abscisas es el punto . La ecuacin de dichas rectas es:

Las rectas horizontales no cortan al eje de las abscisas y, por tanto, son paralelas a dicho eje y se denominan rectas horizontales. El punto de corte con el eje de ordenadas es el punto . La ecuacin de dichas rectas es: Cualquier otro tipo de recta recibe el nombre de recta oblicua. En ellas hay un punto de corte con el eje de abscisas y otro punto de corte con el eje de ordenadas . El valor recibe el nombre de abscisa en el origen, mientras que el se denomina ordenada en el origen.

Geometra analtica

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Secciones cnicasEl resultado de la interseccin de la superficie de un cono, con un plano, da lugar a lo que se denominan secciones cnicas, que son: la parbola, la elipse (la circunferencia es un caso particular de elipse) y la hiprbola. La parbola es el lugar geomtrico de todos los puntos que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz. Una parbola (figura A) cuyo eje de simetra sea paralelo al eje de abcisas se expresa mediante la ecuacin:Los tres ejemplos de interseccin de un plano con un cono: parbola (A), elipse (B) e hiprbola (C).

Las tres secciones cnicas: elipse, parbola e hiprbola. La circunferencia es un caso particular de elipse.

La elipse es el lugar geomtrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es siempre igual a una constante positiva, e igual a la distancia entre los vrtices. Una elipse (figura B) centrada en los ejes, con longitudes de semieje a y b viene dada por la expresin:

Si los dos ejes son iguales y los llamamos c:

el resultado es una circunferencia:

La hiprbola es el lugar geomtrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia (resta) de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es siempre igual a una constante positiva, e igual a la distancia entre los vrtices. La hiprbola (Figura C) tiene por expresin:

Geometra analtica

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Construcciones en el espacio tridimensionalLos razonamientos sobre la construccin de los ejes coordenados son igualmente vlidos para un punto en el espacio y una terna ordenada de nmeros, sin ms que introducir una tercera recta perpendicular a los ejes X e Y: el eje Z. Sin embargo no hay anlogo al importantsimo concepto de pendiente de una recta. Una nica ecuacin lineal del tipo:

Representa en el espacio un plano. Si se pretende representar mediante ecuaciones una recta en el espacio tridimensional necesitaremos especificar, no una, sino dos ecuaciones lineales como las anteriores. De hecho toda recta se puede escribir como intereseccin de dos planos. As una recta en el espacio podra quedar representada como:

Es importante notar que la representacin anterior no es nica, ya que una misma recta puede expresarse como la interseccin de diferentes pares de planos. Por ejemplo los dos pares de ecuaciones:

Clasificacin de la geometra analtica dentro de la geometraDesde el punto de vista de la clasificacin de Klein de las geometras (el Programa de Erlangen), la geometra analtica no es una geometra propiamente dicha. Desde el punto de vista didctico, la geometra analtica resulta un puente indispensable entre la geometra euclidiana y otras ramas de la matemtica y de la propia geometra, como son el propio anlisis matemtico, el lgebra lineal, la geometra afn, la geometra diferencial o la geometra algebraica.

Historia de la geometra analticaExiste una cierta controversia sobre la verdadera paternidad de este mtodo. Lo nico cierto es que se publica por primera vez como "Geometra analtica", apndice al Discurso del mtodo, de Descartes, si bien se sabe que Pierre de Fermat conoca y utilizaba el mtodo antes de su publicacin por Descartes. Aunque Omar Khayyam ya en el siglo XI utilizara un mtodo muy parecido para determinar ciertas intersecciones entre curvas, es imposible que alguno de los citados matemticos franceses tuvieran acceso a su obra. El nombre de geometra analtica corri parejo al de geometra cartesiana, y ambos son indistinguibles. Hoy en da, paradjicamente, se prefiere denominar geometra cartesiana al apndice del Discurso del mtodo, mientras que se entiende que geometra analtica comprende no slo a la geometra cartesiana (en el sentido que acabamos de citar, es decir, al texto apndice del Discurso del mtodo), sino tambin todo el desarrollo posterior de la geometra que se base en la construccin de ejes coordenados y la descripcin de las figuras mediante funciones algebraicas o no hasta la aparicin de la geometra diferencial de Gauss (decimos "paradjicamente" porque se usa precisamente el trmino "geometra cartesiana" para aquello que el propio Descartes bautiz como "geometra analtica"). El problema es que durante ese periodo no existe una diferencia clara entre geometra analtica y anlisis matemtico esta falta de diferencia se debe precisamente a la identificacin hecha en la poca entre los conceptos de funcin y curva, por lo que resulta a veces muy difcil intentar determinar si el estudio que se est realizando corresponde a una u otra rama. La geometra diferencial de curvas s que permite un estudio mediante un sistema de coordenadas, ya sea en el plano o en el espacio tridimensional. Pero en el estudio de las superficies, en general, aparecen serios obstculos. Gauss

Geometra analtica salva dichos obstculos creando la geometra diferencial, y marcando con ello el fin de la geometra analtica como disciplina. Es con el desarrollo de la geometra algebraica cuando se puede certificar totalmente la superacin de la geometra analtica. Es de puntualizar que la denominacin de analtica dada a esta forma de estudiar la geometra provoc que la anterior manera de estudiarla (es decir, la manera axiomtico-deductiva, sin la intervencin de coordenadas) se terminara denominando, por oposicin, geometra sinttica, debido a la dualidad anlisis-sntesis. Actualmente el trmino geometra analtica slo es usado en enseanzas medias o en carreras tcnicas en las que no se realiza un estudio profundo de la geometra.

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Vase tambin Portal:Matemtica. Contenido relacionado con Matemtica.

ReferenciasBibliografa1. Tortosa Grau, Leandro (12 de 2008) (en espaol). Introduccin a la geometra analtica (1 edicin). Torres Goslvez, Ramn. pp.460. ISBN 978-84-95434-50-0. 2. Berdugo, Isabel (1964- ) (12 de 2007) (en espaol). Geometra analtica para la distensin (1 edicin). Asociacin Cultural Tntalo. pp.100. ISBN 978-84-935334-4-1. 3. Martn Alez, Pedro (12 de 2007) (en espaol). Notas de geometra analtica (1 edicin). PREMIR Oposiciones Mdicas S.L.. pp.163. ISBN 978-84-612-0960-6. 4. Colera Jimnez, Jos (11 de 2007) (en espaol). Matemticas II, geometra analtica del espacio, Bachillerato. Ejercicio 9 (1 edicin). Anaya. pp.48. ISBN 978-84-667-2215-5. 5. Colera Jimnez, Jos (06 de 2002) (en espaol). Matemticas, geometra analtica plana, 1 Bachillerato. Cuaderno 3 (1 edicin). Anaya. pp.56. ISBN 978-84-667-1369-6. 6. Alcaide Guindo, Fernando (03 de 2007) (en espaol). Matemticas, geometra analtica, 4 ESO. Cuaderno de trabajo (1 edicin). Ediciones SM. pp.48. ISBN 978-84-675-1508-4. 7. Rees, Paul K. (11 de 1972) (en espaol). Geometra analtica (1 edicin). Editorial Revert, S.A.. pp.292. ISBN 978-84-291-5110-7. 8. Ros Santos, Agustn (05 de 2004) (en espaol). Geometra analtica (1 edicin). Editorial Ecir, S.A.. pp.48. ISBN 978-84-7065-858-7. 9. Colera Jimnez, Jos (03 de 2004) (en Cataln). Geometria analtica de l'espai, matemtiques, Batxillerat. Exercicis (1 edicin). Editorial Barcanova, S.A.. pp.48. ISBN 978-84-489-1559-9. 10. Belln Fernndez, Manuel (02 de 2004) (en espaol). Matemticas, geometra analtica, 4 ESO. Cuaderno 5 (1 edicin). Ediciones SM. pp.32. ISBN 978-84-348-8031-3. 11. Ruiz Sancho, Jess Mara (02 de 2004) (en espaol). Geometra analtica, Bachillerato (1 edicin). Anaya. pp.160. ISBN 978-84-667-2612-2. 12. Gonzlez Urbaneja, Pedro Miguel (01 de 2004) (en espaol). Los orgenes de la geometra analtica (1 edicin). Fundacin Canaria Orotava de Historia de la Ciencia. pp.166. ISBN 978-84-607-9668-8.

Geometra analtica

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Enlaces externos Graficador gratuito de funciones, cnicas y haces para geometra analtica (http://gdf2004.tripod.com/) Construya objetos de la geometra analtica (http://www.mygeometryteacher.com/)

Cero0 Cardinal Cero

Sistemas de numeracin tica Jnica China China tradicional Egipcia Maya De los Campos de Urnas un espacio India Sistema binario Sistema octal Sistema hexadecimal 0 0 0 0 O (micron)

menos uno

0

uno

El cero (0) es el signo numrico de valor nulo, que en notacin posicional ocupa los lugares donde no hay una cifra significativa. Si est situado a la derecha de un nmero entero, decuplica su valor; colocado a la izquierda, no lo modifica. Es el elemento del conjunto de los nmeros enteros ( consideran perteneciente al conjunto de los naturales ( ) que sigue al 1 y precede al 1. Algunos matemticos lo ) ya que estos tambin se pueden definir como el conjunto

que nos permite contar el nmero de elementos que contienen los dems conjuntos, y el conjunto vaco tiene cero elementos. El nmero cero se puede representar como cualquier nmero ms su opuesto (o, equivalentemente, menos l mismo): .

Cero

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HistoriaLos ceros imperfectosVarias antiguas grandes civilizaciones, como las del Antiguo Egipto, Babilonia, la Antigua Grecia poseen documentos de carcter matemtico o astronmico mostrando smbolos indicativos del valor cero; pero por diversas peculiaridades de sus sistemas numricos, no supieron obtener el verdadero beneficio de este capital descubrimiento.[1] En el Antiguo Egipto se utiliz el signo nfr para indicar el cero (Papiro Boulaq 18, datado ca. 1700a.C.) El cero apareci por primera vez en Babilonia en el siglo III a.C., aunque su escritura en tablillas de arcilla se remonta al ao 2000a.C. Los babilonios escriban en arcilla sin cocer, sobre superficies planas o tablillas. Su notacin era cuneiforme. En tablillas datadas en el ao 1700a.C. se ven anotaciones numricas en su particular forma. Los babilonios utilizaban un sistema de base 60. Con su sistema de notacin no era posible distinguir e