i. resumen vi ii. introducciÓn 1 iii. revisiÓn … · iv lista de tablas tabla 1. ubicaciones...

i

ÍNDICE

I. RESUMEN ...................................................................................................... vi

II. INTRODUCCIÓN ............................................................................................ 1

2.1. Hipótesis ......................................................................................................................................... 2

2.1.1. Hipótesis general 2

2.1.2. Hipótesis específicas 2

2.2. Objetivos del estudio ...................................................................................................................... 2

2.2.1. Objetivo general 2

2.2.2. Objetivos específicos 3

III. REVISIÓN DE LITERATURA ....................... ............................................. 4

3.1. Estimación de las precipitaciones máximas .................................................................................... 4

3.2. Relaciones intensidad – duración – frecuencia .............................................................................. 7

3.3. Análisis de información hidrológica ................................................................................................ 7

3.4. Funciones de distribución de probabilidad usadas en hidrología .................................................. 7

3.4.1. Distribución Log-normal 8

3.4.2. Distribución de Gumbel y Log – Gumbel 8

3.4.3. Distribución Pearson III y Log – Pearson III 9

3.5. Regionalización hidrológica .......................................................................................................... 10

3.6. Proceso de regionalización ........................................................................................................... 10

3.6.1. Hipótesis de partida 10

3.6.2. Distribución regional de las lluvias máximas 11

3.7. Regresión lineal múltiple .............................................................................................................. 11

3.8. El error estándar de la regresión múltiple (Sxy) ............................................................................. 12

3.9. El coeficiente de determinación r2 ................................................................................................ 12

3.10. Sistema hidrológico ..................................................................................................................... 13

3.11. Modelo del sistema hidrológico ................................................................................................. 13

3.12. Modelos ...................................................................................................................................... 13

3.13. Modelos estocásticos .................................................................................................................. 13

3.14. Modelo determinístico ............................................................................................................... 14

IV. METODOLOGÍA ......................................................................................... 15

4.1. Extensión y Ubicación ................................................................................................................... 15

4.2. Geología ........................................................................................................................................ 16

ii

4.3. Topografía ..................................................................................................................................... 16

4.4. Climatología .................................................................................................................................. 17

4.5. Materiales ..................................................................................................................................... 18

4.5.1. Información Meteorológica 18

4.5.2. Información Cartográfica 18

4.5.3. Equipos 18

4.6. Métodos ........................................................................................................................................ 18

4.6.1. Diseño Estadístico 18

4.6.2. Calibración de la relación 19

4.6.3. Validación de la relación 19

4.6.4. Análisis de Variancia 19

4.6.5. Estimación de parámetros 19

V. RESULTADOS Y DISCUSIÓN .................................................................... 21

4.1. Prueba de bondad de ajuste de precipitación máxima a distribuciones de probabilidad ........... 21

4.2. Influencia de los factores climáticos en la regionalización de precipitaciones máximas ............. 23

4.2.1. Modelo regional de frecuencia de precipitación máxima para las estaciones 23

4.2.2. La prueba de normalidad de Anderson Darling y estadística descriptiva 23

4.2.2. Determinación grupos homogéneos de estaciones a través del análisis clúster 27

4.3. Influencia de los elementos climáticos en la regionalización de precipitaciones máximas ......... 37

4.3.1. Influencia de la oscilación de temperatura media y humedad relativa 37

4.3.2. Modelo de Regresión no lineal entre factores, elementos climáticos y precipitación máxima

38

4.3.3. Modelo de Regresión no lineal 1 entre factores, elementos climáticos y precipitación máxima

39

4.3.4. Modelo de Regresión no lineal 2 entre elementos climáticos y precipitación máxima 40

4.3.5. Modelo de Regresión no lineal 3 entre elementos climáticos y precipitación máxima 41

4.4. Discusión de resultados ................................................................................................................ 41

4.4.1. Influencia de los factores climáticos en la regionalización de precipitación máxima 41

4.4.2. Influencia de los elementos climáticos en la regionalización de precipitación máxima 42

4.4.3. Modelos empíricos de precipitación máxima en función de factores y elementos climáticos

43

VI. CONCLUSIONES ........................................................................................ 44

VII. RECOMENDACIONES ............................................................................. 45

VIII. BIBLIOGRAFÍA O REFERENCIAS .................. ................................... 46

iii

ANEXOS .............................................................................................................. 48

iv

LISTA DE TABLAS

Tabla 1. Ubicaciones geográficas de las estaciones meteorológicas estudiadas ......................................... 15

Tabla 2. Resultados de la prueba de bondad de ajuste a las distribuciones ................................................ 22

Tabla 3. La prueba de normalidad de Anderson Darling y estadística descriptiva .................................... 23

Tabla 4. Coeficiente de asimetría de las variables originales ..................................................................... 24

Tabla 5. Transformaciones realizadas de las variables ............................................................................... 24

Tabla 6. Coeficiente de asimetría de las variables transformadas ............................................................. 25

Tabla 7. Resultados del modelo regresión lineal múltiple .......................................................................... 25

Tabla 8. Análisis de variancia de la regression de valores transformados ................................................. 25

Tabla 9. Estaciones meteorológicas con variables para la aplicación del análisis clúster .......................... 27

Tabla 10. Grupos homogéneos de estaciones por análisis clúster ............................................................. 28

Tabla 11. Transformaciones de precipitación máxima y periodo de retorno ............................................ 29

Tabla 12. Análisis de regresión del modelo para la región I ....................................................................... 29

Tabla 13. Análisis de variancia del modelo para la region I ........................................................................ 29

Tabla 14. Transformaciones realizadas ....................................................................................................... 30

Tabla 15. Resultados del análisis de regresión del modelo para la región II .............................................. 31

Tabla 16. Análisis de varianza de regresión del modelo para la región II ................................................... 31


Tabla 18. Resultados del análisis de regresión del modelo para la región III ............................................. 33

Tabla 19. Análisis de varianza de regresión del modelo para la región III .................................................. 33


Tabla 21. Resultados del análisis de regresión del modelo para la región IV ............................................. 35

Tabla 22. Análisis de varianza de regresión del modelo para la región IV.................................................. 35

Tabla 23. Modelo de Regresión Lineal entre factores y elementos climáticos con precipitación máxima 38

Tabla 24. Modelo de Regresión no lineal entre factores y elementos climáticos y precipitación máxima 39

Tabla 25. Modelo de Regresión no lineal entre factores y elementos climáticos y precipitación máxima 39

Tabla 26. Modelo de Regresión no lineal entre elementos climáticos y precipitación máxima ................. 40

Tabla 27. Modelo de Regresión no lineal entre elementos climáticos y precipitación máxima ................ 41

v

LISTA DE FIGURAS

Figura 1. Gráficos de análisis de los residuales de regresión ...................................................................... 26

Figura 2. Dendograma del análisis clúster .................................................................................................. 28





Figura 7. Ajuste del modelo potencial en la estación Isla Taquile .............................................................. 37

LISTA DE ABREVIATURAS

IDF = Intensidad – duración – frecuencia

T = tiempo de retorno

TDPS = sistema hidrográfico Titicaca – Desaguadero – Poopó – Salar de Coipasa

SENAMHI = Servicio nacional de meteorología e hidrología

Alt = altitud (msnm)

Lat = latitud sur

Long = longitud oeste

Osc = oscilación media de temperatura (°C)

HR = humedad relativa (%)

vi

I. RESUMEN

El presente trabajo de regionalización de precipitaciones máximas se ha efectuado dentro de la vertiente

del lago Titicaca en el lado peruano, donde existe una carencia de datos pluviográficos que permitan

confeccionar las relaciones IDF, por lo que se recurre al uso de alturas de precipitación máxima de 24

horas a fin de cubrir estos vacíos de información, basándose en la hipótesis de la similitud estadística

regional. El objetivo del trabajo es determinar la influencia de factores y elementos climáticos en la

regionalización de las precipitaciones máximas de 24 horas. La metodología se basa en el uso de

información pluviométrica de las estaciones, su ajuste a distribuciones de probabilidad, análisis de

frecuencia, análisis clúster y aplicación de regresión lineal y no lineal múltiple. Se han considerado como

factores climáticos: latitud, longitud, altitud; y como elementos se han considerado: oscilación de la

temperatura, humedad relativa y tiempo de retorno; realizado el modelamiento con variable dependiente

la precipitación máxima y las variables independientes los factores y elementos climáticos, se ha

seleccionado variables en base a las probabilidades p < 0.05 de los coeficientes de los predictores que

explican mejor la precipitación máxima, además se utilizó el análisis clúster para agrupar las estaciones

meteorológicas con datos similares en 05 grupos. En los modelos generados en base a factores climáticos

se obtuvieron parámetros estadísticos poco significativos; sin embargo, en los modelos generados en base

de elementos climáticos se han obtenido parámetros estadísticos altamente significativos (p<0.05). La

influencia de los elementos climáticos como la oscilación de temperatura media anual y la humedad

relativa media, junto con los factores climáticos sobre la precipitación máxima en un modelo no lineal de

tipo potencial obtuvo un r2 = 47.98% y un r2ajustado = 45.00 %, un error estándar de regresión de 12.55 y un

estadístico de Durbin-Watson de 0.64, indicando que las variables independientes tienen influencia sobre

la variación de las precipitaciones máximas de 24 horas y que la regresión no es espuria. El modelo más

adecuado obtenido tiene como ecuación: Pmax = 193.9512 (T)0.1586(Osc)-0.6508 dónde: Pmax =

precipitación máxima en 24 horas (mm), T = periodo de retorno (años), Osc = oscilación media de

temperatura (°C); este modelo presenta coeficientes estadísticamente significativos al 95% de confianza,

un r2 = 50% y un estadístico de Durbin-Watson de 0.52 que indica que la regresión no es espuria.

Palabras claves: regionalización, precipitación máxima, vertiente del lago Titicaca, análisis de clúster.

vii

ABSTRACT

This paper of regionalization of maximum precipitation was carried out within the watershed of Lake Titicaca on the Peruvian side, where there is a lack of data to make IDF pluviographic relationships, so is used of heigths of maximum precipitation of 24 hours to cover these gaps, based on the hypothesis of regional statistical similarity. The aim of the study was to determine the influence of climatic factors and elements in the regionalization of the maximum rainfall of the 24-hour. The methodology is based on the use of rainfall information of the stations, the probability distributions adjustment, frequency analysis, cluster analysis and application of non-linear regression and multiple. Have been considered climatic factors: latitude, longitude, altitude, and like climatic elements have been considered: temperature oscillation, humidity and time of return, conducted the modeling with the maximum precipitation as dependent variable and the independent variables the factors and climatic elements has been selected variables based on p < 0.05 of the coefficients of predictors that best explain the maximum precipitation, also was used cluster analysis to group the meteorological stations with similar data in 05 groups. In the generated models based on climatic factors insignificant statistical parameters were obtained, but in the generated models based on climatic elements were obtained statistical parameters highly significant (p < 0.05). The influence of climatic elements such as the oscillation of annual average temperature and average relative humidity, together with climatic factors on the maximum rainfall in a nonlinear model type potential obtained an: r2 = 47.98 %, r2adj. = 45.00 %, standard error of regression of 12.55 and Durbin-Watson statistic of 0.64, indicating that the independent variables influence the variation of maximum precipitation of 24 hours and that the regression is not spurious. The most suitable model is obtained as equation: Pmax = 193.9512 (T)0.1586(Osc)-0.6508 where: Pmax = maximum precipitation of 24-hour (mm ), T = return period (years), Osc = average temperature oscillation (°C), this model has statistically significant coefficients at 95 % confidence, r2 = 50 % and Durbin- Watson statistic of 0.52 indicating that the regression is not spurious.

Keywords: regionalization, high rainfall, watershed of Lake Titicaca, cluster analysis

1

II. INTRODUCCIÓN

En obras hidráulicas en las que se requiere de un diseño hidrológico, se recurre al uso de curvas intensidad –

duración - frecuencia (IDF) para estimar una tormenta asociada a un tiempo de recurrencia y calcular el

caudal pico mediante simulación del proceso lluvia-escorrentía.

Sin embargo, en muchas regiones del altiplano existe una carencia de datos pluviográficos que permitan

confeccionar las relaciones IDF. Por lo que se recurre a la regionalización a fin de cubrir estos vacíos de

información, basándose en la hipótesis de la similitud estadística regional.

Unos de los métodos de extrapolación de curvas IDF es el denominado “de relación entre duraciones” cuya

principal hipótesis considera que los eventos de lluvias de gran intensidad y corta duración obedecen a

procesos atmosféricos similares, que aparentemente son independientes de la región de estudio. Para ello

utiliza datos pluviométricos de distintas estaciones en la zona, que son relativamente más fáciles de obtener

que los pluviográficos (Farías & Olmos, 2007).

Uno de los problema fundamentales que se observa a nivel de la vertiente del lago Titicaca, es la ocurrencia

de eventos máximos de precipitación, los cuales causan problemas, como inundaciones dentro de las partes

bajas de la cuenca, destrucción de obras hidráulicas y los deterioros de los suelos agrícolas por la acción de

erosión hídrica, entre otros.

Sin embargo el conocimiento del análisis de máximas avenidas es de mucha importancia, ya que los

Ingenieros de estructuras hidráulicas aplican el tema de dimensionamiento de obras hidráulicas ya sea para

sistemas de riego, aprovechamiento de la energía hidráulica, carreteras, sistemas de drenaje agrícola,

evacuación de aguas pluviales en las zonas urbanas, entre otras. Pero es necesario e importante indicar que,

los estudios hidrológicos constituyen una herramienta básica para establecer hasta qué punto es factible y

seguro un proyecto de desarrollo hidráulico, dentro de una cuenca hidrográfica. Uno de los problemas

hidrológicos que presenta la vertiente del lago Titicaca es la ocurrencia de máximas avenidas que causan

inundaciones, riesgo de vida útil de las obras de canalización, erosión y transporte de sedimentos, debido al

exceso de lluvias en los meses de Enero, Febrero, y Marzo.

Los daños que causan las avenidas, son notorios en el aspecto económico y social en las comunidades de la

vertiente, con mayor incidencia en las actividades agrícolas, pecuarias y urbanas de la zona en estudio. Por

otro lado, la selección correcta de una avenida de proyecto constituye un aporte esencial de los estudios de

ingeniería, para prevenir y controlar los problemas mencionados, es importante tener un criterio técnico muy

amplio en el estudio hidrológico del potencial de avenidas. Para ello, es necesario disponer de información

de series de precipitaciones máximas de mayor longitud de registro, esta nos permitirá interpretar el

comportamiento hidrológico de un evento, con el propósito de predecir el riesgo que puede sufrir los

proyectos de mayor envergadura y garantizar la vida económica de estructuras hidráulicas.

2

La razón fundamental de la presente investigación es realizar el estudio del efecto de las variables

geográficas en las precipitaciones máximas de la vertiente, con de propósito de establecer un modelo

regional que permita determinar la precipitación en cualquier punto dentro de la vertiente.

Por otra parte, los métodos estadísticos se apoyan en la existencia de series de datos de caudales en el lugar

de interés, las cuales son sometidas a un análisis de frecuencias usando técnicas tradicionales de estudio.

Esto implica que la curva de frecuencia definida para un determinado lugar es válida rigurosamente para ese

lugar; cuando generalmente la información que se requiere es en un lugar diferente, donde no existen datos

medidos; la regionalización de datos permite combinar informaciones de diversos lugares en la cuenca o

región, para producir por ejemplo, una curva regional de frecuencias, válida en toda la región y lugares sin

información; este recurso entre tanto, está limitado a descargas de hasta 100 años de período de retorno. Los

resultados podrían ser confiables siempre que existan suficientes datos disponibles y no hayan ocurrido

modificaciones importantes en el régimen del curso de agua durante el período de registro, o después; se

acepta entonces, la condición de que el comportamiento del sistema continuará siendo el mismo durante el

período de cálculo (en el futuro).

En el presente proyecto nos planteamos las siguientes interrogantes:

¿Cómo es la influencia de factores climáticos en la regionalización de precipitaciones máximas en la

vertiente del lago Titicaca?

2.1. Hipótesis

2.1.1. Hipótesis general

Existe influencia directa de los factores climáticos en la regionalización de precipitaciones máximas en la

vertiente del lago Titicaca.

2.1.2. Hipótesis específicas

Los factores climáticos tienen influencia directa en la regionalización de precipitaciones máximas en la


Los elementos climáticos influyen directamente en la regionalización de precipitaciones máximas en la


2.2. Objetivos del estudio

2.2.1. Objetivo general

Determinar la influencia de factores climáticos en la regionalización de precipitaciones máximas en la

vertiente del lago Titicaca

3

2.2.2. Objetivos específicos

− Determinar la influencia de la latitud, longitud y altitud en la regionalización de precipitaciones máximas

en la vertiente del lago Titicaca.

− Determinar la influencia de los elementos climáticos en la regionalización de precipitaciones máximas en la


4

III. REVISIÓN DE LITERATURA

3.1. Estimación de las precipitaciones máximas

En un trabajo abordaron un método simple de estimación de las precipitaciones máximas en 24 horas, ellos

proponen una relación entre las alturas mensuales de precipitación y su valor máximo en 24 horas del tipo

potencial, esto es (Morales, Casanova, Castellaro, & Mattar, 2005):

á

Dónde: P(i) corresponde a la precipitación media mensual, a y b son constantes a determinar

Ellos (Morales, Casanova, Castellaro, & Mattar, 2005) consideraron la frecuencia de precipitaciones media

mensual como una combinación lineal del lugar de presión máxima en Chile o lpm (Saavedra, Müller, &

Foppiano, 2002), de tal forma que la ecuación que los relaciona es del tipo:

Dónde: Lat = representa a la latitud del lugar considerado y lpm(i)= es el lugar de presión máxima en Chile

para el mes i. Los coeficientes a y b dependen de la latitud (Lat) y longitud (lon) y están dados por:

0.987 0.6850 ∙ 0.1910 ∙ )

3.483 0.0862 ∙ 0.0221 ∙ )

Donde el coeficiente de determinación muestra que las relaciones explican el 87,9% de la variabilidad,

además p < 0,01, lo que indica que las variables están relacionadas significativamente con un 99% de

confianza.

Ellos calcularon la precipitación máxima en 24 horas a partir de la relación (Morales, Casanova, Castellaro,

& Mattar, 2005)

á 21.359495-../ Su modelo explica el 67.2% de la variabilidad, además p < 0.01, indica que los valores de precipitación

máxima en 24 horas y los montos medios mensuales están relacionados significativamente con un 99% de

confianza.

Así mismo en un trabajo realizaron el siguiente procedimiento en su estudio de análisis estadístico y

regionalización de las precipitaciones utilizando alturas de precipitación anual, diarias e intensidades

(Nouvelot, Le Goulven, Alemán, & Pourrut, 1995):

- Determinación de la altura pluviométrica promedio anual 0, ya sea utilizando una estación de referencia o

por interpolación en el mapa de isoyetas.

- Estimación de las alturas anuales para diversas frecuencias, ya sea a partir de ecuaciones generales

derivadas de las leyes estadísticas o mediante las relaciones del tipo

-.1 2/0, -./ 2-.1; -.-/ 2.-./ Dónde:

5

P0.5, P0.1, P0.01 = alturas de precipitación anual para una probabilidad de 0.5, 0.1 y 0.01 respectivamente

(período de retorno de 2, 10 y 100 años).

- Determinación de la precisión de los resultados en función del número de años de observaciones

disponible.

- Estimación de las alturas pluviométricas diarias H para diversos períodos de retorno, a partir de las leyes

estadísticas o mediante las relaciones:

5-.1 2/56,5-./ 25-.1;5-.-/ 2.5-./ - Estimación de diversas frecuencias de las intensidades I ( o de las láminas precipitadas h)

correspondientes a diferentes intervalos de tiempo t, a partir de las lluvias diarias de igual frecuencia F:

78 Φ, 58 Bell con las extrapolaciones realizadas por el USBW para los períodos de retorno de 50 y 100 años llegó a la

siguiente ecuación (Bell, 1969):

:;:/- 0.21 ln> 0.522 ? > ? 100

Dónde: T = período de retorno (años), t = duración (min), :/- = altura de lluvia para una duración

de t y 10 años de período de retorno, en mm, :; = altura de lluvia para la duración t y un período de

retorno T, en mm.

Para representar la relación matemática lluvia-duración, Bell encontró que la siguiente ecuación es

la más conveniente (Bell, 1969)

:;@-; 0.54-.1 0.505 ? ? 120

Dónde:

@-; = altura de lluvia para 60 minutos y un período de retorno T

Realizando la combinación de las ecuaciones anteriores obtenidas por Bell se obtiene (Bell, 1969)

:; 0.21 ln> 0.520.54-.1 0.50@-;

Si 2 ≤T ≤100 en años y 5 ≤ t ≤120 en minutos.

Con la ecuación anterior se pueden estimar la lluvia para cualquier duración entre 5 minutos y 2

horas, siempre y cuando no se pierda de vista que es una ecuación empírica y se respeten los rangos

indicados; la única desventaja que se tiene en este caso es que se necesita el valor de la

precipitación con duración de una hora y el período de 10 años, por lo cual se requiere de contar con

datos pluviográficos.

Cheng (1983) propone la ecuación siguiente con la cual se puede calcular la precipitación para

cualquier duración y período de retorno.

6

:; ///- log10C>C/ D E 60F Válida para T ≥ 1año y 5min ≤t≤ 24h

Dónde:

:; = precipitación, en milímetros para una duración t y un período de retorno T, T = período de

retorno (años), t= duración (min).

G :/--:/-

Los valores de a, b y c = Parámetros de la tormenta que pueden variar según el factor de

convectividad

H /;;

Cheng presenta un nomograma en el cual gráfica los parámetros de tormenta contra R (Cheng,

1983).

La desventaja de esta última fórmula es que requiere dos valores más que la propuesta por Bell,

pero también se toma en cuenta que tiene menos suposiciones (Bell, 1969).

Según Cheng las suposiciones de Bell no responden a las variaciones geográficas que toma en

cuenta la relación H IJKILMK , ni aquellas medidas por la relación G INJOOINJO (Cheng, 1983).

Si, tomando en cuenta las consideraciones que realizo Bell, para las relaciones de duración y

período de retorno se supone un IJKILMK 40% y G INJOOINJO 1.48 la ecuación se reduce a (Bell, 1969):

:; 22.57//- log10-.1>-.Q 7.48-.R.Q E 60F

De esta manera sólo se requiere el valor de //-, los valores de a1 = 22.57, b1 = 7.48 y

c1 = 0.738 se obtienen de acuerdo a la relación de IJKILMK 40% , según el nomograma de

Cheng (Cheng, 1983).

De acuerdo con los resultados anteriores, se pueden usar varias opciones: si sólo se tienen el valor

de //- , se empleará la ecuación de Bell, aunque es más fácil tener valores de /- y mediante un

análisis regional se puede obtener el valor de H /;/; , para deducir //-. Por otra parte, si se

tiene un buen registro de años en 24 h, se puede obtener directamente el valor de x, en caso

contrario, se puede utilizar el valor de 1.48 propuesto por Bell (Bell, 1969).

7

3.2. Relaciones intensidad – duración – frecuencia

En muchos proyectos de diseño hidrológico, como el diseño de un drenaje urbano, es la determinación del

evento o los eventos de lluvia que deben usarse. La forma más común de hacerlo es utilizar una tormenta de

diseño o un evento que involucre una relación entre la intensidad de lluvia, la duración y las frecuencias o

períodos de retorno apropiados para la obra y el sitio. En muchos casos existen curvas estándar de

intensidad-duración-frecuencia (IDF) disponibles para el sitio, luego no hay que llevar a cabo este análisis.

Sin embargo es conveniente entender el procedimiento utilizado para desarrollar estas relaciones.

Usualmente los datos se presentan en forma gráfica, con la duración en el eje horizontal y la intensidad en el

eje vertical, mostrando una serie de curvas, para cada uno de los períodos de retorno de diseño (Chow,

Maidment, & Mays, 1994).

3.3. Análisis de información hidrológica

Los datos hidrológicos en general, están constituidos por una larga secuencia de observaciones de alguna

fase del ciclo hidrológico obtenidas para un determinado lugar. No obstante que un registro largo sea lo

deseable, se debe reconocer que cuanto más largo es el período de registro, mayor será la posibilidad de

error. Una serie generada en esas condiciones, si los errores o cambios fueran apreciables, es inconsistente, o

carece de homogeneidad.

Para verificar éste tipo de inconsistencia, se usa el método de la curva de doble masa, basado en el hecho de

que un gráfico de una cantidad acumulada ploteada contra otra cantidad acumulada durante el mismo

período, debe ser una línea recta siempre que las cantidades sean proporcionales, la inclinación de la recta

representa la constante de proporcionalidad. Una alteración en la pendiente de la recta, indicará que ocurrió

un cambio en la constante de proporcionalidad entre las dos variables o que tal vez la proporcionalidad no es

constante en todos los niveles de acumulación (Mejia, 2001).

La consistencia en la determinación de caudales de diseño por transformación lluvia-caudal y análisis de

frecuencia es de vital importancia para el diseño de obras hidráulicas. En la ingeniería práctica, el

dimensionamiento de distintos tipos de obras requiere el cálculo de la crecida de diseño para lo cual es

necesario asociar una magnitud de crecida con la probabilidad anual de ser superada, con lo que se presenta

el riesgo hidrológico del evento (Paoli, Caick y Morreci, 2002).

3.4. Funciones de distribución de probabilidad usadas en hidrología

En la estadística existe decenas de funciones de distribución de probabilidad teóricas; De hecho, existen

tantas como se quiera, y obviamente no es posible probarlas todas para un problema particular. Por lo tanto,

es necesario escoger, de esas funciones, las que se adapten mejor al problema bajo análisis. Entre las

funciones de distribución de probabilidad usadas en hidrología, se estudiarán las siguientes:

Normal, Lognormal, Pearson III y Gumbel.

8

Las funciones anteriores, aun cuando son las más comúnmente usadas en la hidrología aplicada, no son

todas, pues el enfoque no es exhaustivo.

3.4.1. Distribución Log-normal

Es una distribución para una variable aleatoria cuyos logaritmos siguen una distribución normal, con

parámetros µ y σ. Los datos hidrológicos, a veces, tienen una distribución fuertemente asimétrica y en

general en esos casos una transformación logarítmica la convierte en una distribución normal.

Así la función de densidad y la función de distribución acumulada de probabilidad son:

2

2

1

2

1)(

−−

= σµ

πσ

Y

eYf

dYeYFYYPY Y

dado ∫∞−

−−

==< σµ

πσ2

1

2

1)()(

Dónde:

Y = ln Q o PP para precipitación; µ= media poblacional. Promedio de Y.; y σ= desviación estándar

de Y (Sy).

La distribución Log – Normal es de gran utilidad porque abre el amplio campo teórico de aplicación de la

distribución Normal. Como ambas distribuciones, Normal y Log-Normal son de dos parámetros, basta

calcular la media y la desviación estándar de los caudales o las precipitaciones y de sus respectivos

logaritmos. El grado de ajuste de una serie de datos puede, como en los demás casos, ser examinado a través

del uso del papel de probabilidades Log – Normal, donde debe resultar una recta.

3.4.2. Distribución de Gumbel y Log – Gumbel

Los valores extremos en cuestión serían las descargas o precipitaciones diarias máximas anuales, ya que cada

una es la máxima entre los 365 valores del año. Para aplicar esa ley, se debe tener en cuenta que existen

muestras, cada una constituida de 365 elementos, del universo de la población infinita de la variable aleatoria

que es el caudal o precipitación diaria. De acuerdo con la ley de los extremos, la ley de distribución de la

serie de n términos constituidos por los mayores valores de cada muestra tiende asintóticamente para una ley

simple de probabilidades, que es independiente de la que rige la variable aleatoria a las diferentes muestras y

en el propio universo de la población infinita.

Esa es la base del método de Gumbel (o distribución de valores extremos Tipo I), en el cual se calcula P por

la siguiente relación:

reeP−−−= 1

9

( )QQQY σ45.07997.0

1 +−=

Dónde:

Q = la media de los n caudales o precipitaciones máximas; P= es la probabilidad de que un máximo caudal o

precipitación media diaria de un año cualquiera sea mayor o igual a Q, y σQ= la desviación estándar de los n

caudales máximos.

La expresión de Y muestra que existe una relación lineal entre él y el valor de Q; esa recta puede ser

diseñada conociéndose: ( )

1

2

−−

== ∑∑n

QQSy

n

QQ Q

El eje donde están marcados los valores de Y puede ser graduado en tiempos de retorno a través de la

relación P

T1= y de esta manera, a cada caudal le corresponde un período de retorno; conociéndose a este

como Papel de Distribución Gumbel.

El método de Gumbel es de fácil aplicación y se basa sólo en dos parámetros, la media y la desviación

estándar, mientras que otros métodos incluyen el coeficiente de asimetría.

Cuando la asimetría es grande, se toma QY ln= y se procede al análisis como en el caso anterior,

constituyéndose una distribución Log-Gumbel; el gráfico establecido corresponde a una recta en el papel de

probabilidades correspondiente, si el ajuste es adecuado.

3.4.3. Distribución Pearson III y Log – Pearson III

La distribución Pearson III posee las características de ser asimétrica y no negativa, lo que la hace adecuada

para describir los caudales máximos; es una distribución de tres parámetros. La media, desviación estándar y

el coeficiente de asimetría, son definidos por las siguientes relaciones:

( )1

2

−−

== ∑∑n

QQS

n

QQ Q

( )( )

( )( ) ( )3

323

2

3

)2)(1(

23

2 QQ

QSnnn

QnQQnQn

QQS

QQc

−−

+−=

−

−= ∑ ∑∑∑

∑∑

La función de densidad de y la función de probabilidad acumulada están dadas por:

10

)(

)()(

1

γβα

γ

βα

γ

Γ−=

−−−

Q

eQQf

∫ Γ−==<

−−−Q

Q

dado dQeQ

QFQQP0

1

)(

)()()(

γβα

γ

βα

γ

Dónde:

α= parámetro de posición: βγα +=Q

β= parámetro de escala: γβ=QS

γ= parámetro de forma: γ2=Qc

De forma análoga al caso anterior, si se hace Y = ln Q, se genera la distribución Log – Pearson III,

procediéndose con un análisis semejante (Aparicio, 1992).

3.5. Regionalización hidrológica

“El proceso de regionalización de lluvias máximas en una cuenca o región hidrológica involucra varios

aspectos relacionados con la orografía, con los fenómenos meteorológicos que inciden en la ocurrencia de las

lluvias, con la presencia de barreras montañosas y con algunos otros más (Cortes, 2003)

En términos generales, el proceso de regionalización equivale a obtener fórmulas o procedimientos factibles

de aplicarse a una región hidrológica, aprovechando las características que son comunes para todos los

puntos de la región y señalando las particularidades que no son comunes”.

3.6. Proceso de regionalización

“El procedimiento implementado para llevar a cabo de regionalización de tormentas convectivas implica

relacionar, en forma integral, varios conceptos asociados con las hipótesis de partida, la distribución regional

de las lluvias máximas, los factores de ajuste asociados con cortas y largas duraciones, el factor de reducción

por periodo de retorno, el factor de reducción por área (FRA) y la distribución temporal de la lluvia (Cortes,

2003).

3.6.1. Hipótesis de partida

“Las hipótesis establecidas son el punto de inicio del proceso de regionalización, ya que se formulan para

analizar el comportamiento de las lluvias de algún tipo”. En otras cuencas hidrológicas ocurren

precipitaciones de tipo orográfico o ciclónicas y en otras de tipo convectivo, y en estos casos específicos las

11

hipótesis que se formulen deben realizarse para analizar el comportamiento de la lluvia que ocurre con

mayor frecuencia” (Cortes, 2003).

3.6.2. Distribución regional de las lluvias máximas

“ La distribución regional de las lluvias máximas se estructura con el apoyo de la hipótesis establecida y para

tal efecto se estipula que los atributos que diferencian un área de otra, se reflejan en un mapa de isoyetas,

construido con datos de precipitaciones medias anuales y las ventajas obtenidas son: El mapa de isoyetas se

ha construido con información obtenida en un gran número de estaciones de la cuenca de estudio, registrada

durante un periodo de tiempo grande, lo cual garantiza su confiabilidad; El valor de la variancia de los datos

de precipitación media anual, es menor que los valores asociadas con duraciones menores; y La hipótesis

establecida, como punto de partida, puede ser aceptada o rechazada de acuerdo con los resultados obtenidos.

Sin embargo, el proceso de la distribución regional de lluvias máximas debe realizarse para precipitaciones

máximas asociadas a cortas y largas duraciones, y para llevar a cabo tal procedimiento se construyen tres

planos de isoyetas, uno de base y dos de apoyo, con las características siguientes:

El plano base se construye con datos de precipitación media anual y se elabora con datos de precipitación

máxima anual asociada a una duración de 30 minutos y un periodo de retorno de 5 años.

El segundo base se construye para el mismo periodo de retorno y con datos de lluvia máxima anual

asociados a una duración de 24 horas (Cortes, 2003).

3.7. Regresión lineal múltiple

“En el caso más general de la regresión múltiple, existen dos o más variables independientes

$ ...Y b b X b X= + + +0 1 1 2 2

La estimación de los coeficientes de una regresión múltiple es un cálculo bastante complicado y laborioso,

por lo que se requiere del empleo de programas de computación especializados. Sin embargo, la

interpretación de los coeficientes es similar al caso de la regresión simple: el coeficiente de cada variable

independiente mide el efecto separado que esta variable tiene sobre la variable dependiente. El coeficiente

de determinación, por otro lado, mide el porcentaje de la variación total en Y que es explicado por la

variación conjunta de las variables independientes” (COLE, 2002).

“El análisis de regresión múltiple, dispone de una ecuación con dos variables independientes adicionales:

T, ,+/X1 + b2X2

Se puede ampliar para cualquier número “m” de variables independientes:

T, ,+/X1 + b2X2 + …+bnXn

12

Para poder resolver y obtener los parámetros en una ecuación de regresión múltiple el cálculo se presenta

muy tedioso porque se tiene que atender 3 ecuaciones normales que se generan por el método de mínimo de

cuadrados:

Para poder resolver se puede utilizar programas informáticos como AD+, SPSS, Minitab y Excel (Robles,

2009).

3.8. El error estándar de la regresión múltiple (Sxy)

Es una medida de dispersión, la estimación se hace más precisa conforme el grado de dispersión alrededor

del plano de regresión se hace más pequeño (Robles, 2009).

Para medirla se utiliza la fórmula:

UV W∑YT TZ[ 1

Dónde:

Y=Valores observados en la muestra

TZ = Valores estimados a partir a partir de la ecuación de regresión

n= Número de datos

m = Número de variables independientes

3.9. El coeficiente de determinación r2

Según (Robles, 2009), mide la tasa porcentual de los cambios de Y que pueden ser explicados por 1x , 2x

y 3x simultáneamente.

\ U]^_^ óaU]::

13

3.10. Sistema hidrológico

(Chow, Maidment, & Mays, 1994) Indican, que los fenómenos hidrológicos son extremadamente complejos

y es posible que nunca se les entienda en su totalidad. Sin embargo, en ausencia de un conocimiento

perfecto, pueden representarse en forma simplificada por medio del concepto de sistema. Un sistema es un

conjunto de partes conectadas entre sí, que forman un todo. El ciclo hidrológico puede tratarse como un

sistema cuyos componentes son precipitación, evaporación, escorrentía y otras fases del ciclo hidrológico.

Estos componentes pueden agruparse en subsistemas del ciclo total; para analizar el sistema total, estos

subsistemas más simples pueden analizarse separadamente y combinarse los resultados de acuerdo con las

interacciones entre los subsistemas.

3.11. Modelo del sistema hidrológico

(Chow, Maidment, & Mays, 1994) El objetivo del análisis del sistema hidrológico es estudiar la operación

del sistema y predecir su salida. Un modelo de sistema hidrológico es una aproximación al sistema real; sus

entradas y salidas son variables hidrológicas mensurables y su estructura es un conjunto de ecuaciones que

conectan las entradas y las salidas. Central a la estructura del modelo está el concepto de transformación del

sistema.

Las entradas y las salidas pueden expresarse como funciones del tiempo, I(t) y Q(t) respectivamente, en

donde t pertenece al rango de tiempo T en consideración. El sistema realiza una transformación de la entrada

en la salida representada por

La cual se conoce como ecuación de transformación del sistema. El símbolo Ω es una función de

transferencia entre la entrada y la salida. Si esta relación puede representarse mediante una ecuación

algebraica, entonces Ω es un operador algebraico.

3.12. Modelos

(Ponce, 1998) En ingeniería hidrológica, existe cuatro tipos de modelos matemáticos: (1) Determinístico, (2)

Probabilístico, (3) Conceptual y (4) Paramétrico. Un modelo conceptual es una representación simplificada

del proceso físico, obtenida por las variaciones espacial y temporal, agregado, y descrito en términos de

cualquiera de las ecuaciones diferenciales ordinarias o ecuaciones algebraicas. Un modelo paramétrico

representa procesos hidrológicos por medio de ecuaciones algebraicas, este contiene parámetros claves para

ser determinados en forma empírica.

3.13. Modelos estocásticos

(Chow, Maidment, & Mays, 1994) Son modelos de variables aleatorias o probabilísticas que no tienen valor

fijo en un punto particular del espacio y del tiempo, pero que están descritas a través de distribuciones de

probabilidad. Estos modelos hacen predicciones. Por ejemplo la lluvia que caerá mañana en un lugar

particular no puede pronosticarse con exactitud.

14

3.14. Modelo determinístico

(Chow, Maidment, & Mays, 1994) No considera la aleatoriedad, una entrada dada produce siempre una

misma salida. Modelos determinísticos hacen pronósticos. Por ejemplo. Modelo determinístico para la

determinación de evaporación diaria en un lugar dado.

)()( tItQ Ω=

15

IV. METODOLOGÍA

4.1. Extensión y Ubicación

La vertiente del Lago Titicaca, está delimitada geográficamente entre las coordenadas 14°03' y 20° 00' de

Latitud Sur y entre 66° 21' y 71°07' de Longitud Oeste. La superficie del Sistema TDPS es de 144,590.46

Km², y abarca gran parte del departamento de Puno - Perú, su extensión es equivalente al

Tabla 1. Ubicaciones geográficas de las estaciones meteorológicas estudiadas

Estación Pmax (Mm) Altitud Latitud Longitud

Ananea 52.86 4660 14.67872222 69.53452778

Arapa 50.94 3830 15.13555556 70.11861111

Ayaviri 55.96 3928 14.88111111 70.59277778

Azangaro 57.16 3863 14.91472222 70.19111111

Cabanillas 56.11 3900 15.63930000 70.34638889

Capachica 54.47 3933 15.61580000 69.84430000

Capazo 44.38 4530 17.18638889 69.74555556

Chuquibambilla 57.31 3971 14.79638889 70.72833333

Cojata 54.17 4380 15.01666667 69.35555556

Crucero 63.78 4183 14.36260000 70.02380000

Desaguadero 66.94 3808 16.56880000 69.04040000

Huancane 59.84 3890 15.20333333 69.76250000

Huaraya Moho 65.62 3890 15.38972222 69.49138889

Isla Taquile 84.04 3850 15.77944444 69.69472222

Juli 70.26 3812 16.20361111 69.45972222

Lampa 54.82 3892 15.35583333 70.37277778

Laraqueri 66.21 3900 16.15250000 70.06777778

Los Uros 50.41 3808 15.79638889 69.91500000

Mañazo 61.54 3920 15.81333333 70.33888889

Mazo Cruz 40.22 4003 16.74555556 69.71166667

Muñani 40.5 3948 14.77944444 69.96583333

Pampahuta 45.99 4400 15.49138889 70.67750000

Pizacoma 49.76 3930 16.91500000 69.37277778

Progreso 42.46 3980 14.69472222 70.35555556

Pucara 56.53 3900 15.03361111 70.37277778

Puno 63.61 3812 15.82333333 70.01805556

Putina 48.30 3878 14.9150000 69.86805556

Tahuacoyunguyo 56.72 3891 16.3050000 69.06750000

Taraco 68.61 3849 15.3050000 69.98250000

Fuente: SENAMHI-Puno

16

33.9% del TDPS, asimismo abarca los departamentos de La Paz y Oruro - Bolivia con una extensión

equivalente al 60.8% del TDPS y una pequeña parte que está en territorio chileno equivalente al 5.2% del

área total del sistema TDPS. Por sus características físico naturales, el lago Titicaca constituye el elemento

de mayor importancia del sistema hídrico, tiene una superficie de 8400 Km² para un nivel promedio de 3810

m.s.n.m. y embalsa aproximadamente un volumen de 932 mil millones de metros cúbicos.

4.2. Geología

Según los estudios geológicos, durante el cuaternario, la evolución del altiplano ha estado ligada

fundamentalmente a los c de clima. La alternancia de los períodos húmedos y secos, cálidos y glaciares, han

determinado en la cuenca endorreica del altiplano el desarrollo de lagos sucesivamente más amplios o más

reducidos que los actuales. Los estudios existentes (SERVANT, FONTES) muestran que durante el

Pleistoceno superior se sucedieron varias fases glaciares que determinaron una progresiva reducción de la

superficie lacustre, que al comienzo del Pleistoceno se nivelaba alrededor de 200 m por encima de su nivel

actual, con un área de más de 50.000 km2; contra aproximadamente 8.400 actuales.

Los lagos más antiguos del cuaternario (Mantaro y Cabana) ocupaban todo el altiplano, el cual ya formaba

una cuenca endorreica. Los posteriores lagos Ballivian, al norte y Escara al sur, estaban separados por el

paso Ulloma-Callapa. Sin embargo, en la época del lago Minchín todo el área comenzó a tributar hacia los

salares de Copaisa y otras depresiones meridionales. En algunos períodos del Pleistoceno, el Lago Titicaca

alcanzó niveles bastante más bajos que los actuales, de manera especial durante las glaciaciones (algunos

autores hablan de 60 m). En el Holoceno, las investigaciones arqueológicas y los datos de espesor de

aluviones muestran que el nivel del Lago alcanzó fluctuaciones cercanas a los 30 m. Hace 500 años el nivel

del Lago era mayor que el actual, en unos pocos metros.

Durante los periodos de descenso el clima era seco y el Desaguadero no llevaba agua fuera de la cuenca

endorreica del Titicaca. La divisoria con las cuencas del sur se encontraba en la zona de Aguallamaya. Los

ríos que tributaban al Titicaca presentaban lechos erosionados y formaban canales que penetraban en el lago

actual varias centenas de metros.

Evidencias de tales canales se encuentran en el fondo del lago, a profundidades de 10 y 20 metros frente a

las desembocaduras actuales (en el Lado peruano se ha encontrado una formación arcillosa lacustre con

paleocauces colmatados a 30 m de profundidad con respecto al nivel actual, debajo de un relleno de limos,

arenas y gravas). Evidentemente, durante los periodos de bajos niveles el río Desaguadero vertía al lago

mismo, al igual que los flujos de todas las napas localizadas aguas arriba de Aguallamaya. Al sur de esta

divisoria, los flujos se dirigían hacia el Desaguadero y los lagos del sur.

4.3. Topografía

Es una típica cuenca de montaña, donde la porción del altiplano es reducida y en gran parte cubierta por las

aguas del Lago, rodeadas por las cordilleras oriental y occidental. Las vertientes oriental y nor-oriental son

17

muy irregulares, con pendientes moderadas a altas y están constituidas por montañas y colinas de rocas

sedimentarias en gran parte disectadas y con importantes acumulaciones de material detrítico, especialmente

fluvioglaciar; la red hidrográfica es bien organizada y densa.

La vertiente occidental, en su mayor parte perteneciente a la cordillera occidental, está constituida

principalmente por macizos montañosos volcánicos de laderas redondeadas y amplias intercaladas con

algunos relieves sedimentarios.

4.4. Climatología

Todos los datos utilizados, tanto para las interpretaciones climáticas como hidrológicas, provienen de los

Servicios Nacionales de Hidrología y de Meteorología (SENAMHI) de La Paz y Puno, quienes efectuaron

las colecciones. En las zonas de altitud inferior a 4.000 m, las temperaturas medias anuales varían entre 7 y

10 ºC. Alrededor del lago mismo, las temperaturas son, sin embargo, superiores a 8 ºC. (Boulange y Aquize,

1981) evalúan que la temperatura media anual a nivel del lago debería ser de 0 ºC y atribuyen la diferencia

de temperatura al efecto térmico de la masa de agua.

No obstante, el mapa de las temperaturas medias anuales de Bolivia (Roche et al., 1990) muestra también

valores próximos a 8 ºC en toda la mitad este del Altiplano boliviano (7,3 ºC en Uyuni) y en el lago Poopó,

de influencia térmica más reducida. Se debe también notar que estaciones comprendidas entre 3.900 y 4.000

m, en los extremos sur y norte de la región del lago, tienen temperaturas del orden de 7 ºC. El lago tempera

el clima, sobre todo disminuyendo la amplitud de las temperaturas, pero no parece ocasionar en su contorno

un aumento de la temperatura media anual superior a 2 ºC.

El mapa de curvas isotermas de la hoyada fue trazado con la correlación establecida entre temperatura y

altitud, y a partir del mapa de curvas de nivel. Los datos de algunas estaciones situadas fuera de la cuenca

fueron también tomados en consideración para obtener una escala de altitudes la más amplia posible.

El gradiente térmico es de 0,76 ºC/100 m. Para la zona comprendida entre 3.800 y 4.000 m, la dispersión de

las temperaturas es grande debido a los efectos de exposición, de abrigo y de distancia al lago. En las cimas

más altas que delimitan la cuenca, la temperatura media anual desciende bajo cero alrededor de 5.100 m., las

temperaturas medias más bajas tienen lugar en julio, en pleno invierno, mientras que las más elevadas se

sitúan de diciembre a marzo, generalmente centradas en febrero.

Por otra parte, según las “Memorias del Simposio Internacional sobre el Sistema del Lago Titicaca” (2001) la

zona de la cuenca del Lago se caracteriza por tratarse de un clima templado, diferenciado en distintas áreas:

El tipo de clima lluvioso y semifrígido con otoño, invierno y primavera secos ocurre en las cabeceras de las

cuencas del río Suchez, río Ramis y cuenca del río Coata a altitudes entre 4.400 y los 5.000 metros. Los días

helados son superiores a los 150 días.

18

Si bien la precipitación tiene un carácter lluvioso, precipita entre los 700 y 1.000 mm, las características

térmicas determinan una restricción en la utilización de la tierra con fines agrícolas. El área circunlacustre,

cuenca del río Suchez, parte media de la cuenca del río Ramis, cuenca del río Coata y cuenca del río Ilave

quedan incluidos dentro del tipo climático lluvioso y frío con otoño, invierno y primavera secos. Su carácter

lluvioso está dando precipitaciones también entre 700 y 1000 mm.

El tipo de climático semilluvioso frío con otoño, invierno y primavera secos corresponde a la parte baja de la

cuenca del río Ramis y gran parte de la cuenca del río Huancané, y al sur del lago, hasta las zonas de

Pizacoma en el Perú e Irpa Chico en Bolivia. En esta subzona la precipitación disminuye y varía entre 600 y

800 mm. El número de heladas es menor y las condiciones para las actividades agrícolas son buenas

4.5. Materiales

4.5.1. Información Meteorológica

Para la modelación, se utilizará registros meteorológicos de cinco Estaciones, dependientes de la Oficina del

Servicio Nacional de Meteorología e Hidrología Puno, de una longitud de registro no menor de 26 años,

consistente en lo siguiente.

Factores climáticos: Latitud, longitud, altitud, etc.

Elementos climáticos: Temperatura media mensual de las mínimas, Temperatura media mensual de las

máximas, Humedad Relativa media mensual, Evaporación mensual, Radiación solar, Insolación diaria media

del mes y Velocidad media del viento. Las estaciones meteorológicas utilizadas han sido todas las estaciones

existentes de la vertiente del lago Titicaca.

4.5.2. Información Cartográfica

Se utilizará como auxilio las cartas Nacionales actualizadas a escala 1:100 000. (Modelo de elevación

digital).

4.5.3. Equipos

Equipo de cómputo, con software: Excel, CROPWAT 8.0, ArcGis 10 y Eviews 5.

4.6. Métodos

4.6.1. Diseño Estadístico

Para este efecto se utilizó el software: MINITAB 16.0, EXCEL 2010 y SAS 9.2 (sistema para el análisis

estadístico) para cálculos estadísticos. Para los cálculos de regresiones y correlaciones se utilizó el software

MINITAB 16.0 y Excel 2010. Para la solución del modelo de regresión múltiple de ser el caso, empleando

el siguiente modelo:

b 2G, c/, c, … , ca

19

Donde

θi, i=1,2,…,n = parámetros del modelo.

Para la obtención de parámetros se soluciona las ecuaciones normales de la regresión múltiple.

4.6.2. Calibración de la relación

La calibración se realizó aplicando la estimación mínimo cuadrática de coeficientes de regresión lineal

múltiple para el período determinado.

4.6.3. Validación de la relación

La validación se realizó comparando el modelo o relación con los valores observados de las estaciones.

4.6.4. Análisis de Variancia

Para efectuar los análisis comparativos se ha utilizado el diseño completo al azar cuyo modelo estadístico se

presenta a continuación:

be f g he Dónde:

i= 1.2...,t; t= número de tratamientos (valores estimados y los valores observados); j= 1,..., n (número de

meses del año); y ε = error experimental

4.6.5. Estimación de parámetros

La estimación de los parámetros se hizo empleando el método de la máxima verosimilitud. Este método de

estimación se utiliza cuando se supone conocida la función de densidad de probabilidad (pdf) del término de

perturbación del modelo de regresión múltiple.

Sea el modelo de regresión lineal general UXY += β . Si ese tiene información sobre la función de

distribución del error, f(u) es posible utilizar el método de la máxima verosimilitud para estimar los

parámetros del modelo de manera más eficiente. Si suponemos que los errores son variables aleatorias

independientes y normalmente distribuidas, con media cero y varianza constante, se tendría:

U∼NID(0; nu I2σ )

La función de densidad de probabilidad del error, pdf (ui):

−

=2

2

2

1

22

1)( u

iu

n

i euf σ

πσ

20

Si los errores, ui, son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (iid), la función de

densidad conjunta del vector de errores es:

∏=

−

==n

i

u

n

nu

i

eufufufuf1

2

1

221

2

2

2

1)()...().()( σ

πσ

UUn

n

un

n

ui

u eeuf'

2

1

2

2

1

2

22

2

2

1

2

1)( σσ

πσπσ

−−

=

∑

=

Si reemplazamos U = Y - Xβ en la función conjunta obtendremos la función de verosimilitud,

( ) ( ) ( )ββσπσσβ

σβXYXYn

uu

u

ueXYL

XYL

−−−−=

'2

1

222

2

2

2);;;(

:);;;(

Con fines de facilitar los cálculos, podemos hallar el logaritmo de la función de verosimilitud o la “log-

likelihood function”, l(.) = log (L(.))

( ) ( ) ( )YXXXYYnn

XYlu

uu ''2'''2

1log

22log

2);;;(

2

22 βββσ

σπσβ −+−−−=

( ) YXXXYYXYXY ''2''')(' βββββ −+=−−

El método de la máxima verosimilitud consiste en maximizar la función de verosimilitud, L(.) o equivalente

mente la función de log verosimilitud l(.) con respecto de β y σu2, esto es:

2

2~;~0

(.);0

(.)(.) u

u

lllMax σβ

σβ⇒=

∂∂=

∂∂

⇒

Donde 2~;~

uσβ son los estimadores por máxima verosimilitud de β y σu2, respectivamente, obtenidos de

resolver el sistema de ecuaciones simultaneas.

21

V. RESULTADOS Y DISCUSIÓN

4.1. Prueba de bondad de ajuste de precipitación máxima a distribuciones de probabilidad

En estudios hidrológicos el análisis de frecuencia es una herramienta utilizada para, predecir el

comportamiento futuro de los eventos máximos en un sitio de interés, a partir de la información histórica de

datos hidrológicos. Es un método basado en procedimientos estadísticos que permite calcular la magnitud del

caudal asociado a un período de retorno. Su confiabilidad depende de la longitud y calidad de la serie

histórica, además de la incertidumbre propia de la distribución de probabilidades seleccionada. Cuando se

pretende realizar extrapolaciones, período de retorno mayor que la longitud de la serie disponible, el error

relativo asociado a la distribución de probabilidades utilizada es más importante, mientras que en

interpolaciones la incertidumbre está asociada principalmente a la calidad de los datos a modelar; en ambos

casos la incertidumbre es alta dependiendo de la cantidad de datos disponibles. La extrapolación de

frecuencias extremas en una distribución empírica de crecientes es extremadamente riesgosa.

En el presente trabajo de investigación, se ha visto por conveniente realizar las pruebas de bondad de ajuste

de las series históricas de datos de precipitaciones máximas de 24 horas y para las 29 estaciones que se

encuentran dentro de la vertiente del Lago Titicaca. En el cuadro 02 se presentan los resultados, de la prueba

de bondad de ajuste determinado en base del paquete estadístico de HIDROESTA, mostrando si la

distribución se ajusta y el valor del D calculado entre paréntesis, según la prueba de bondad de ajuste de

Kolmogorov-Smirnov, en la última columna se presenta la distribución que mejor se ajusta, por tener un

menor valor de D calculado.

Para el análisis de frecuencia de precipitación máxima, una vez escogida la distribución de probabilidad que

mejor se ajusta, se realizó la determinación de precipitaciones máximas para los períodos de retorno de 25,

50, 100 y 200 años, valores usualmente utilizados en diseños para soportar caudales máximos

El valor de D calculado es la máxima diferencia entre la probabilidad acumulada empírica y teórica, en valor

absoluto.

Las distribuciones de Log Normal 3 p y Log Gumbel son las que se ajustan mejor las precipitaciones

máximas de 24 horas en todas las estaciones de la vertiente del lago Titicaca.

22

Tabla 2. Resultados de la prueba de bondad de ajuste a las distribuciones

Estación Log Normal 3 p Log Pearson tipo III Log Gumbel Distribución elegida

Ananea Si (0.0490) Si (0.05728) Si (0.0624) Log Normal 3 p

Arapa Si (0.0762) Si (0.07378) Si (0.0639) Log Gumbel

Ayaviri Si (0.0628) Si (0.07523) Si (0.0964) Log Normal 3p

Azangaro Si (0.1329) Si (0.11593) Si (0.0806) Log Gumbel

Cabanillas Si (0.0527) No Si (0.0960) Log Normal 3 p

Capachica Si (0.0606) Si (0.06643) Si (0.0610) Log Normal 3 p

Capazo Si (0.0755) Si (0.06919) Si (0.0818) Log Pearson tipo III

Chuquibambilla Si (0.0929) Si (0.09269) Si (0.0959) Log Pearson tipo III

Cojata Si (0.0793) Si (0.07677) Si (0.0955) Log Pearson tipo III

Crucero Si (0.0818) No Si (0.1535) Log Normal 3 p

Desaguadero Si (0.0544) No Si (0.0981) Log Normal 3 p

Huancané Si (0.0718) No Si (0.0916) Log Normal 3 p

Huaraya Moho Si (0.0665) No Si (0.0973) Log Normal 3 p

Isla Taquile Si (0.0934) No Si (0.0658) Log Gumbel

Juli Si (0.0730) No Si (0.0696) Log Gumbel

Lampa Si (0.0723) No Si (0.1369) Log Normal 3 p

Laraqueri Si (0.0760) Si (0.10361) Si (0.0915) Log Normal 3 p

Los Uros Si (0.0428) No Si (0.1115) Log Normal 3 p

Mañazo Si (0.0734) No Si (0.0950) Log Normal 3 p

Mazo Cruz Si( 0.0682) No Si (0.1179) Log Normal 3 p

Muñani Si (0.0544) No Si (0.1228) Log Normal 3 p

Pampahuta Si (0.1094) No Si (0.1619) Log Normal 3 p

Pizacoma Si (0.0524) No Si (0.1109) Log Normal 3 p

Progreso Si (0.0737) Si (0.06941) Si (0.0888) Log Pearson tipo III

Pucará Si (0.0693) No Si (0.1305) Log Normal 3 p

Puno Si (0.0733) Si (0.07102) Si (0.0618) Log Gumbel

Putina Si (0.0607) No Si (0.1192) Log Normal 3 p

TahuacoYunguyo Si (0.0481) Si (0.04274) Si (0.0593) Log Pearson tipo III

Taraco Si (0.0784) Si (0.09224) Si (0.0919) Log Normal 3 p

Fuente: Prueba de Kolmogorov-Smirnov (HidroEsta)

23

4.2. Influencia de los factores climáticos en la regionalización de precipitaciones máximas

La vertiente del lago Titicaca, cuyas zonas agroclimáticas están influenciadas supuestamente por los factores

y elementos climáticos en las cuencas hidrográficas que conforman ríos afluentes del lago Titicaca, para el

presente trabajo se ha considerado los factores climáticos más importantes: latitud, longitud, altitud, y

considerando las precipitaciones máximas como variable dependiente.

Por otro lado, conocemos que la mayoría de las estaciones meteorológicas con que cuenta la vertiente del

lago Titicaca no están dotadas con instrumentos modernos para medir las intensidades máximas de

precipitación, por estas razones se ha tenido la intención de regionalizar las precipitaciones máximas de 24

horas las cuales se utilizan en vez de las intensidades máximas y teniendo como criterio de que los factores y

elementos climáticos explican la variabilidad de la ocurrencia de las precipitaciones máximas.

4.2.1. Modelo regional de frecuencia de precipitación máxima para las estaciones

Para determinar el modelo regional se utilizó primeramente regresión lineal múltiple, cuyo modelo planteado

es el siguiente:

2>, i, , )j, c Dónde: Pmax = precipitación máxima (mm) de 24 horas, T = período de retorno (años), Alt = altitud

(msnm), Lat = latitud (grados), Long = longitud (grados), y θi = parámetro i del modelo, i = 1, 2,…, n, n =

número de parámetros del modelo.

4.2.2. La prueba de normalidad de Anderson Darling y estadística descriptiva

Se evaluó si los datos son normales con la prueba de bondad de ajuste gráfica, cuyos valores de estadística

descriptiva prueba de Anderson Darling se muestran en el cuadro. En la cual los valores de probabilidad de

excedencia menor al valor (P < 0.05) por lo tanto se rechaza la hipótesis nula por lo tanto existe significancia

estadísticamente.

De acuerdo a la prueba de normalidad de Anderson Darling, obtuvo la probabilidad de excedencia menor a

una significancia de 0.05, por tanto, se rechaza la hipótesis nula que los datos de periodo de retorno son

normales; la prueba de normalidad de Anderson Darling 9.351,

Tabla 3. La prueba de normalidad de Anderson Darling y estadística descriptiva

Variables Media Desviación Estándar Observaciones Anderson Darling Probabilidad

Periodo de retorno 93.75 67.31 116 9.351 <0.005

Precipitación máxima 67.31 17.14 116 1.480 <0.005

Altitud 3984 220.8 116 14.759 <0.005

Latitud 15.53 0.7203 116 1.923 <0.005

Longitud 69.93 0.4419 116 0.759 0.047

24

Se obtuvo la probabilidad de excedencia menor a una significancia de 0.05, por tanto, se rechaza la hipótesis

nula planteada, que los datos de precipitación máxima son normales; el valor de la prueba de normalidad de

Anderson Darling es de 1.480, obtiene una probabilidad de excedencia menor a una significancia de 0.05,

por tanto, se rechaza la hipótesis nula que los datos de altitud son normales;

La prueba de normalidad de Anderson Darling cuyo valor es de 14.759, obtiene una probabilidad de

excedencia menor a una significancia de 0.05, por tanto, se rechaza la hipótesis nula que los datos de latitud

son normales; y la prueba de normalidad de Anderson Darling 1.923, obtiene una probabilidad de excedencia

ligeramente menor a una significancia de 0.05, por tanto, se rechaza la hipótesis nula que los datos de latitud

son normales y La prueba de normalidad de Anderson Darling 0.759, obtiene una probabilidad de excedencia

es mayor a una significancia de 0.05, por tanto, no se rechaza la hipótesis nula que los datos de longitud no

son normales.

Se ha determinado los coeficientes de asimetría de los datos de las variables para utilizar una transformación

apropiada, esto a fin de aplicar la modelación correspondiente.

Tabla 4. Coeficiente de asimetría de las variables originales

Variable T (años) Pmax (mm) Altitud Latitud Longitud

Coeficiente de asimetría 0.67 1.13 1.89 0.60 -0.16

Se realizó la transformación de variables como muestra el siguiente cuadro.

Tabla 5. Transformaciones realizadas de las variables

Variable Transformación

Tiempo de retorno log/- >

Precipitaciones máximas GC-.-Rk Altitud iCR.@R/ l 10/-

Latitud [email protected]/ l 10Q

Longitud )j/.././10

Después de haber realizada la transformación se realizó la prueba de bondad de ajuste de Anderson-Darling,

obteniéndose los resultados que se muestran en las figuras presentadas en los anexos.

La prueba concluye que la variable transformada periodo de retorno sigue siendo no normal, que la variable

transformada precipitación máxima cumple con la normalidad, que la variable transformada altitud sigue sin

25

cumplir la normalidad, que la variable transformada latitud estrictamente no cumple con la normalidad y la

variable transformada longitud si cumple con la normalidad.

En el siguiente cuadro se presenta los valores de coeficiente de asimetría obtenidos después de la

transformación de datos. Los coeficientes de asimetría son cercanos a cero por lo cual se considera haber

normalizado los datos para que tengan una distribución de frecuencia simétrica a la media.

Tabla 6. Coeficiente de asimetría de las variables transformadas

Variable transformada T (años) Pmax (mm) Altitud Latitud Longitud

Coeficiente de Asimetría 9.11619E-16 -0.073337303 -0.00025 -1.4E-05 -0.00041304

Con las variables transformadas se realizó un análisis de regresión. Los resultados se muestran a

continuación en el cuadro y en la figura siguiente.

Tabla 7. Resultados del modelo regresión lineal múltiple

Predictor Coeficiente SE coeficiente Estadístico t Probabilidad

Constante 0.21088000 0.01830000 11.52 0.0000

log/- > -0.02515900 0.00388000 -6.47 0.0000

iCR.@R/ l 10/- -0.00002693 0.00000571 -4.71 0.0000

[email protected]/ l 10Q -0.00452100 0.00293700 -1.54 0.0000

)j/.././10 0.02042000 0.01065000 2.10 0.0380

S = 0.0140920 R-Sq = 38.8% R-Sq(adj) = 36.5%

Tabla 8. Análisis de variancia de la regression de valores transformados

F. de V. GL SC CM Fc Probabilidad

Regresión 4 0.0139494 0.0034873 17.56 0.000000

Error 111 0.0220430 0.0001986

Total 115 0.0359924

Estadístico de Durbin – Watson = 0.545605

Los coeficientes de regresión son diferentes de cero al nivel de significancia de 0.05, excepto el coeficiente

de la variable transformada latitud que no es significativo estadísticamente. El coeficiente de determinación

muestra que solo el 38.8% de la varianza de la precipitación máxima es explicado por las variables

independientes y según el análisis de varianza la este coeficiente de determinación es diferente de cero

siendo significativo. El estadístico Durbin-Watson es mayor al coeficiente de determinación por lo tanto la

26

regresión no es espuria, además este estadístico al ser mayor a cero muestra que los residuos no están

autocorrelacionados.

El modelo de regresión obtenido para la vertiente del Lago Titicaca es

G m0.211 0.0252 log/- > 0.000027iCR.@R/ l 10/- [email protected]/ l 10Q 0.0224)j/../.10 nC//-.-Rk

Dónde:

Pmax = precipitación máxima de 24 horas (mm), T = período de retorno (años), Alti = altitud (msnm), Lat =

latitud sur (grados), y Long = longitud oeste (grados)

0.0500.0250.000-0.025-0.050

99.9

99

90

50

10

1

0.1

Residual

Percent

0.2100.1950.1800.1650.150

0.04

0.02

0.00

-0.02

-0.04

Fitted Value

Residual

0.030.020.010.00-0.01-0.02-0.03

30

20

10

0

Residual

Frequency

1101009080706050403020101

0.04

0.02

0.00

-0.02

-0.04

Observation Order

Residual

Normal Probability Plot Versus Fits

Histogram Versus Order

Figura 1. Gráficos de análisis de los residuales de regresión

Los residuales siguen una distribución aproximadamente normal según el gráfico de probabilidad normal y el

histograma, su variación respecto a los valores ajustados seria casi constante, respecto al orden puede existir

un problema de heteroscedasticidad.

Según las figuras de variación de los residuales respecto a las variables independientes que se presentan en

los anexos, los residuales no dependen de ninguna variable independiente por lo tanto no están

correlacionados con estas variables.

27

4.2.2. Determinación grupos homogéneos de estaciones a través del análisis clúster

La fisiografía que presenta el altiplano de Puno, los factores y elementos climáticos experimentan diferentes

variaciones, era necesario realizar la aplicación del análisis de clúster para poder determinar grupos

homogéneos de estaciones meteorológicas con datos similares, esto a fin de encontrar un modelo más

adecuado, que en la práctica nos permitirá su aplicación del modelo determinado-

Sin embargo, se han observado en los cálculos el bajo ajuste de modelo regional general se procedió a

realizar un análisis clúster para determinar cinco grupos homogéneos de las 29 estaciones meteorológicas en

función de las variables de los factores del clima: latitud, longitud y altitud y para tiempos de retorno (25, 50,

100 y 200 años).

Tabla 9. Estaciones meteorológicas con variables para la aplicación del análisis clúster

Nº Estación T = 25 T = 50 T = 100 T = 200 Altitud Latitud Longitud

1 Ananea 52.86 66.58 82.7 101.5 4660 14.67872222 69.53452778

2 Arapa 50.94 57.89 65.71 74.57 3830 15.13555556 70.11861111

3 Ayaviri 55.96 62.62 69.43 76.44 3928 14.88111111 70.59277778

4 Azangaro 57.16 63.94 70.76 77.69 3863 14.91472222 70.19111111

5 Cabanillas 56.11 61.6 67.01 72.38 3900 15.63930000 70.34638889

6 Capachica 54.47 61.8 69.63 78 3933 15.61580000 69.84430000

7 Capazo 44.38 50.23 56.52 63.29 4530 17.18638889 69.74555556

8 Chuquibambilla 57.31 64.18 71.23 78.5 3971 14.79638889 70.72833333

9 Cojata 54.17 61.52 69.39 77.85 4380 15.01666667 69.35555556

10 Crucero 63.78 70.74 77.63 84.52 4183 14.36260000 70.02380000

11 Desaguadero 66.94 74.22 81.58 89.09 3808 16.56880000 69.04040000

12 Huancane 59.84 64.52 69.04 73.45 3890 15.20333333 69.76250000

13 Huaraya moho 65.62 71.1 76.49 81.83 3890 15.38972222 69.49138889

14 Isla Taquile 84.04 99.09 116.69 137.34 3850 15.77944444 69.69472222

15 Juli 70.26 81.3 93.96 108.55 3812 16.20361111 69.45972222

16 Lampa 54.82 59.57 64.22 68.81 3892 15.35583333 70.37277778

17 Laraqueri 66.21 77.5 89.92 103.56 3900 16.15250000 70.06777778

18 Los uros 50.41 54.22 57.79 61.19 3808 15.79638889 69.91500000

19 Mañazo 61.54 69.18 76.97 84.95 3920 15.81333333 70.33888889

20 Mazo cruz 40.22 42.86 45.29 47.56 4003 16.74555556 69.71166667

21 Muñani 40.5 43.44 46.27 49.02 3948 14.77944444 69.96583333

22 Pampahuta 45.99 48.49 50.85 53.10 4400 15.49138889 70.67750000

23 Pizacoma 49.76 54.05 58.18 62.20 3930 16.91500000 69.37277778

24 Progreso 42.46 46.02 49.52 52.99 3980 14.69472222 70.35555556

25 Pucara 56.53 61.84 67.03 72.14 3900 15.03361111 70.37277778

26 Puno 63.61 73.7 85.3 98.67 3812 15.82333333 70.01805556

27 Putina 48.3 51.44 54.36 57.13 3878 14.91500000 69.86805556

28 Tahuacoyunguyo 56.72 64.43 72.75 81.73 3891 16.30500000 69.06750000

29 Taraco 68.61 81.06 94.77 109.85 3849 15.30500000 69.98250000

28

El resultado del análisis clúster definiendo 5 zonas homogéneas se presenta en la siguiente figura.

2320722242110198327181261652542142926171513281191

0.00

33.33

66.67

100.00

Observations

Similarity

Figura 2. Dendograma del análisis clúster

Se formaron 05 grupos homogéneos de estaciones como muestra el cuadro siguiente.

Tabla 10. Grupos homogéneos de estaciones por análisis clúster

Estaciones GRUPO

Ananea, Cojata I

Arapa, Ayaviri, Azangaro, Cabanillas, Capachica, Chuquibambilla, Crucero, Huancane, Lampa,

Los Uros, Mañazo, Muñani, Pampahuta, Progreso, Pucara, Putina

II

Capazo, Mazo Cruz, Pizacoma III

Desaguadero, Huaraya Moho, Juli, Laraqueri, Puno, Tahuacoyunguyo, Taraco IV

Isla Taquile V

a) Modelo regional para el grupo I

Se realizó la estimación de parámetros de regresión del modelo para la región 1 con una previa

transformación de datos a normales. Las transformaciones son las mostradas en el siguiente cuadro.

29

Tabla 11. Transformaciones de precipitación máxima y periodo de retorno


T log/- >

Pmax GC.-Rk

Luego se hizo la prueba gráfica de normalidad como se muestra en las figuras de los anexos.

En el siguiente cuadro se presentan los resultados del análisis de regresión.

Tabla 12. Análisis de regresión del modelo para la región I

Predictor Coeficiente SE coeficiente Prueba estadístico t Probabilidad

Constante 0.0010619 0.0002749 3.8600 0.0120

log/- > -0.00020102 0.00002493 -8.0600 0.0000

Altitud -0.00000011 0.00000006 -1.8700 0.1210

S = 0.0000237293 R-Sq = 93.2% R-Sq(adj) = 90.5%

Tabla 13. Análisis de variancia del modelo para la region I


Regresión 2 3.85769E-08 1.92884E-08 34.26 0.001

Error 5 2.81540E-09 5.63079E-10

Total 7 4.13923E-08

Estadística de Durbin-Watson 1.39176

El coeficientes de regresión del período de retorno es diferente de cero al nivel de significancia de 0.05, pero

el coeficiente de la variable transformada altitud no es significativo estadísticamente. El coeficiente de

determinación muestra que 93.2% de la varianza de la precipitación máxima es explicado por las variables

independientes y según el análisis de varianza este coeficiente de determinación es significativamente

diferente de cero al 0.05. El estadístico Durbin-Watson es mayor al coeficiente de determinación por lo tanto

la regresión no es espuria, además este estadístico al ser mayor a cero muestra que los residuos no están

autocorrelacionados.

El modelo de regresión obtenido para la región 1 es:

G 0.0010619 0.000201 log/- > 0.00000011iC//.-Rk Dónde:

30

Pmax = precipitación máxima de 24 horas (mm), T = período de retorno (años), y Alti = altitud (msnm).

Las variables latitud y longitud no fueron consideradas en el modelo por que generan multicolinealidad con

las demás variables independientes y además en este grupo sólo se tiene dos estaciones.

En los siguientes gráficos se muestra la variación de los residuales como pruebas de la normalidad y

homogeneidad de varianzas.

0.0000500.0000250.000000-0.000025-0.000050

99

90

50

10

1

Residual

Percent

0.000300.000250.000200.000150.00010

0.00004

0.00002

0.00000

-0.00002

Fitted Value

Residual

0.00004

0.00003

0.00002

0.00001

0.00000

-0.00001

-0.00002

3

2

1

0

Residual

Frequency

87654321

0.00004

0.00002

0.00000

-0.00002

Observation Order

Residual




Se muestra que los residuales presentan una distribución aproximadamente normal y una varianza constante.

Según las figuras mostradas en los anexos, los residuales no dependen de ninguna variable independiente por

lo tanto los residuales no están correlacionados con estas variables.

b) Modelo regional para el grupo II



Tabla 14. Transformaciones realizadas

Variable Transformación Tiempo de retorno log/- > Precipitaciones máximas G-.1@1/ Altitud i Latitud C-.Q@@ Longitud )j

31



Tabla 15. Resultados del análisis de regresión del modelo para la región II


Constante -13.5200000 27.0100000 -0.5000 0.6190

log/- > 1.6673000 0.3171000 5.2600 0.0000

iitud -0.0012359 0.0008330 -1.4800 0.1430

C-.Q@1 -10.29000000 48.0000000 -0.2100 0.8310

)jop 0.3778000 0.3941000 0.9600 0.3420

S = 0.853910 R-Sq = 33.9% R-Sq(adj) = 29.4%

Tabla 16. Análisis de varianza de regresión del modelo para la región II


Regresión 4 22.0409 5.5102 7.5600 0.000

Error 59 43.0206 0.7292

Total 63

Durbin-Watson statistic = 0.407823

El coeficiente de la variable transformada período de retorno es el único que es estadísticamente diferente de

cero al nivel de significancia 0.05, en cambio los coeficientes de las otras variables independientes no lo son.

El 33.9% de la varianza de la precipitación máxima está explicado por las variables independientes, siendo

este coeficiente de determinación estadísticamente diferente de cero según el análisis de varianza al 95% de

confianza. Como el coeficiente de determinación es menor al estadístico de Durbin-Watson, entonces la

regresión no es espuria, además este estadístico de Durbin-Watson al ser mayor a cero muestra que los

residuos no están autocorrelacionados.

La forma del modelo para la región 2 es la siguiente

G 13.5 1.67 log/- > 0.00124i 10.3C-.Q@@ 0.378)j//-.1@1/

Dónde:

Pmax = precipitación máxima de 24 horas (mm), T = período de retorno (años), Alt = altitud (msnm),

32

Lat = latitud sur (grados), y Long = longitud oeste (grados)

En los siguientes gráficos se muestra la variación de los residuales.

210-1-2

99.9

99

90

50

10

1

0.1

Residual

Percent

11.010.510.09.59.0

2

1

0

-1

-2

Fitted Value

Residual

1.60.80.0-0.8-1.6

16

12

8

4

0

Residual

Frequency

605550454035302520151051

2

1

0

-1

-2

Observation Order

Residual





Según los gráficos de los anexos, los residuales no dependen de ninguna variable independiente por lo tanto

los residuales no están correlacionados con estas variables.

c) Modelo regional para el grupo III

Se realizó la estimación de parámetros de regresión del modelo para la región III, con una previa

transformación de datos a normales. Las transformaciones son las mostradas en la siguiente tabla.



T log/- >

Pmax GC-.1.Q Altitud i Latitud

Longitud )j


33


Tabla 18. Resultados del análisis de regresión del modelo para la región III


Constante 1.5281 0.1243000 12.3000 0.000

log/- > -0.020893 0.0022200 -9.4100 0.000

i 0.00004689 0.0000058 8.0800 0.000

-0.089414 0.0085410 -10.4700 0.000

S = 0.00258779 R-Sq = 96.2% R-Sq(adj) = 94.8%

Tabla 19. Análisis de varianza de regresión del modelo para la región III


Regresión 3 0.00136161 0.00045387 67.78 0.0000000

Error 8 0.00005357 0.00000670

Total 11 0.00141518


Los resultados muestran que los coeficientes son significativos al nivel de confianza de 95%. La varianza de

la precipitación máxima transformada es explicada en un 96.2% por las variables independientes

transformadas. El coeficiente de determinación es diferente de cero al nivel de significancia de 0.05. El

estadístico de Durbin-Watson es mayor a cero por lo tanto no existe auto-correlación entre los residuos.

Además este estadístico a no ser muy menor al coeficiente de determinación está mostrando que la regresión

no es espuria.

El modelo para la región 3 es el siguiente

G 1.5281 0.020893log/- > 0.00004689i 0.089414C//-.1.Q

Dónde:

Pmax = precipitación máxima de 24 horas (mm), T = período de retorno (años), Alt = altitud (msnm), y Lat

= latitud sur (grados).

La longitud no se consideró debido a que genera un problema de multicolinealidad con otras variables

independientes.

34


0.00500.00250.0000-0.0025-0.0050

99

90

50

10

1

Residual

Percent

0.190.180.170.160.15

0.004

0.002

0.000

-0.002

-0.004

Fitted Value

Residual

0.004

0.003

0.002

0.001

0.000

-0.001

-0.002

-0.003

3

2

1

0

Frequency

121110987654321

0.004

0.002

0.000

-0.002

-0.004

Observation Order

Residual





Según los gráficos de anexos, los residuales no dependen de ninguna variable independiente por lo tanto los

residuales no están correlacionados con estas variables.

d) Modelo regional para el grupo IV





T log/- >

Precipitación máxima GC-.R-/1Q-.1R/ Altitud i Latitud /.R.10/1 Longitud )j-.kk-k/10R1

35



Tabla 21. Resultados del análisis de regresión del modelo para la región IV


Constante -0.05037 0.04399 -1.1400 0.2640

log/- > -0.013619 0.001240 -10.9800 0.0000

i 0.00003377 0.00001122 3.0100 0.0060

/.R/10/1 -0.0002114 0.0007210 -0.2900 0.7720

)j-.kk-k/10R1 -0.0022157 0.0006388 -3.4700 0.0020

S = 0.00220914 R-Sq = 86.3% R-Sq(adj) = 83.9%

Tabla 22. Análisis de varianza de regresión del modelo para la región IV


Regresión 4 0.00070815 0.000017704 36.2800 0.0000

Error 23 0.00011225 0.00000488

Total 27 0.00082040


Los resultados muestran que los coeficientes son significativos para todas las variables independientes

excepto para la variable latitud, al nivel de confianza de 95%. La varianza de la precipitación máxima

transformada es explicada en un 86.3% por las variables independientes transformadas. El coeficiente de

determinación es diferente de cero al nivel de significancia de 0.05. El estadístico de Durbin-Watson es

mayor a cero por lo tanto no existe auto-correlación entre los residuos y como es mayor al coeficiente de

determinación se considera que la regresión no es espuria.

El modelo para la región 4 es el siguiente

G m0.05037 0.013619 log/- > 0.00003377i 0.0002114 /.R10/1 0.0022157 )j-.kk-k

10R1 nC//-.R- Dónde:

36

Pmax = precipitación máxima de 24 horas (mm), T = período de retorno (años), Alt = altitud (msnm),

Lat = latitud sur (grados), y Long = longitud oeste (grados).


0.00500.00250.0000-0.0025-0.0050

99

90

50

10

1

Residual

Percent

0.0550.0500.0450.0400.035

0.004

0.002

0.000

-0.002

Fitted Value

Residual

0.004

0.003

0.002

0.001

0.000

-0.001

-0.002

-0.003

6.0

4.5

3.0

1.5

0.0

Residual

Frequency

282624222018161412108642

0.004

0.002

0.000

-0.002

Observation Order

Residual





Según los gráficos de anexos, los residuales no dependen de ninguna variable independiente por lo tanto los

residuales no están correlacionados con estas variables.

e) Modelo regional para el grupo V

Se realizó la estimación de parámetros de regresión del modelo para la región 5 la transformación previa a

datos a normales no fue necesaria puesto que se utilizó un modelo no lineal potencial. En este grupo solo

existe una estación la cual es la Isla Taquile por lo cual las variables geográficas no se pueden utilizar como

predictores. En la siguiente figura se presenta la ecuación de regresión potencial y el valor del r2.

37

Figura 7. Ajuste del modelo potencial en la estación Isla Taquile

El modelo regional para la Isla Taquile es el siguiente

G 39.31>-..@

Dónde: Pmax = precipitación máxima de 24 horas (mm), y T = período de retorno (años).

4.3. Influencia de los elementos climáticos en la regionalización de precipitaciones máximas

4.3.1. Influencia de la oscilación de temperatura media y humedad relativa

Sabemos que, los factores climáticos más importantes son : altitud, latitud y longitud, desde un inicio se

pensó que existía influencia directa sobre la variación de la precipitación máxima, pero sin embargo la

relación que existe entre estas variables son muy bajas a nivel de las estaciones meteorológicas de la

vertiente del lago Titicaca; por lo que se ha optado en relacionar la precipitación máxima con la intervención

de los elementos climáticos y para el presente trabajo de investigación se ha considerado la oscilación de

temperatura media anual y el porcentaje de humedad conjuntamente con los factores climáticos.

y = 39.314x0.2362

R² = 1

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 50 100 150 200 250

Pm

ax

(m

m)

T (años)

Series1

Potencial (Series1)

38

Tabla 23. Modelo de Regresión Lineal entre factores y elementos climáticos con precipitación máxima

Variables Coeficiente Std. Error t-Statistic Probabilidad.

Coeficiente C(1) -39.34149 289.8880 -0.135713 0.8923

Tiempo de retorno C(2) 0.115367 0.017699 6.518139 0.0000

Altitud (msnm) C(3) -0.011544 0.007152 -1.614164 0.1095

Latitud C(4) 2.458878 2.206187 1.114538 0.2676

Longitud C(5) 1.684666 3.795017 0.443915 0.6580

Oscilación de T C(6) -2.467933 0.490804 -5.028346 0.0000

Humedad Relativa C(7) 0.371643 0.159594 2.328671 0.0218

R-squared 0.479874 Mean dependent var 66.69955

Adjusted R-squared 0.450152 S.D. dependent var 16.93067

S.E. of regression 12.55438 Akaike info criterion 7.958478

Sum squared resid 16549.31 Schwarz criterion 8.128384

Log likelihood -438.6748 Durbin-Watson stat 0.639558

La prueba t indica que las variables que presentan coeficientes significativos son el periodo de retorno, la

oscilación de temperatura y la humedad relativa al 95% de confianza, las demás variables no presentan

coeficientes significativamente diferentes de cero. El 48% de la variación de la precipitación máxima es

explicado por las variables independientes. La regresión no es espuria puesto que R2 < Durbin-Watson. La

ecuación obtenida es la siguiente.

Pmax = -39.3414+0.1153(T) - 0.01154(Alt)+2.4588 (Lat)+1.6846 (Long)-2.4679(Osc)+0.3716 (HR)

Dónde: Pmax = precipitación máxima en 24 horas (mm), T = periodo de retorno (años), Alt = altitud

(msnm), Lat = latitud sur (grados), Long = longitud oeste (grados), Osc = oscilación media de temperatura

(°C), HR = humedad relativa media (%).

4.3.2. Modelo de Regresión no lineal entre factores, elementos climáticos y precipitación máxima

En la siguiente tabla se presenta los resultados de regresión no lineal.

La prueba t indica que los logaritmos de las variables que presentan coeficientes significativos son el periodo

de retorno y la oscilación de temperatura al 95% de confianza, los demás logaritmos de las variables no

presentan coeficientes significativamente diferentes de cero. El 52% de la variación de la precipitación

máxima es explicado por las variables independientes. La regresión no es espuria puesto que R2 < Durbin-

Watson. La ecuación obtenida es la siguiente.

Pmax = 6633.116T0.1586(Alt) -0.4534(Lat)0.2566(Long)-0.3966(Osc)-0.5647(HR)0.2372

39


(msnm), Lat = latitud sur (grados), Long = longitud oeste (grados), Osc = oscilación media de temperatura

(°C), HR = humedad relativa media (%).

Tabla 24. Modelo de Regresión no lineal entre factores y elementos climáticos y precipitación máxima

Variables Coeficiente Std. Error t-Statistic Probabilidad Coeficiente C(1) 6633.116 113963.8 0.058204 0.9537


Altitud C(3) -0.453417 0.420032 -1.079483 0.2828

Latitud C(4) 0.256619 0.500683 0.512538 0.6094

Longitud C(5) -0.396621 3.690114 -0.107482 0.9146

Oscilación de T C(6) -0.564742 0.101653 -5.555590 0.0000







4.3.3. Modelo de Regresión no lineal 1 entre factores, elementos climáticos y precipitación máxima

En este modelo solo se tomó en cuenta las variables independientes el periodo de retorno, la altitud, la

oscilación media de la temperatura y la humedad relativa, omitiéndose la latitud sur y la longitud oeste.

Tabla 25. Modelo de Regresión no lineal entre factores y elementos climáticos y precipitación máxima

Variables Coeficiente Std. Error t-Statistic Probabilidad.

Coeficiente C(1) 3040.851 9233.601 0.329324 0.7426

Tiempo de Retorno C(2) 0.158573 0.022071 7.184617 0.0000

Altitud (msnm) C(3) -0.470853 0.412513 -1.141426 0.2562

Oscilación de T C(4) -0.572460 0.094918 -6.031109 0.0000








de retorno y la oscilación de temperatura al 95% de confianza, los demás logaritmos de las variables no

40

presentan coeficientes significativamente diferentes de cero. El 51% de la variación de la precipitación

máxima es explicado por las variables independientes. La regresión no es espuria puesto que R2 < Durbin-

Watson. La ecuación obtenida es la siguiente.

Pmax = 3040.851(T) 0.1585(Alt) -0.4708(Osc)-0.5724(HR)0.2285


(msnm), Osc = oscilación media de temperatura (°C), HR = humedad relativa media (%).

4.3.4. Modelo de Regresión no lineal 2 entre elementos climáticos y precipitación máxima

En este modelo solo se tomó en cuenta las variables independientes el periodo de retorno, la oscilación

media de la temperatura y la humedad relativa, omitiéndose la altitud, la latitud sur y la longitud oeste.

Tabla 26. Modelo de Regresión no lineal entre elementos climáticos y precipitación máxima

Variables Coeficiente Std. Error t-Statistic Probabilidad

Coeficiente C(1) 100.0919 53.51853 1.870228 0.0642


Oscilación de temperatura C(3) -0.626732 0.083010 -7.550109 0.0000








de retorno y la oscilación de temperatura al 95% de confianza, los logaritmos de la variable humedad relativa

media no presenta un coeficiente significativamente diferente de cero. El 51% de la variación de la

precipitación máxima es explicado por las variables independientes. La regresión no es espuria puesto que R2

< Durbin-Watson. La ecuación obtenida es la siguiente.

Pmax = 100.0919 (T)0.1589(Osc)-0.6267(HR)0.1447

Dónde: Pmax = precipitación máxima en 24 horas (mm), T = periodo de retorno (años), Osc = oscilación

media de temperatura (°C), HR = humedad relativa media (%).

41

4.3.5. Modelo de Regresión no lineal 3 entre elementos climáticos y precipitación máxima

En este modelo solo se tomó en cuenta las variables independientes el periodo de retorno y la oscilación

media de la temperatura, omitiéndose la humedad relativa, la altitud, la latitud sur y la longitud oeste.

Tabla 27. Modelo de Regresión no lineal entre elementos climáticos y precipitación máxima

Variables Coeficiente Std. Error t-Statistic Probabilidad

Coeficiente C(1) 193.9512 46.41057 4.179031 0.0001


Oscilación de Temperatura C(3) -0.650821 0.082013 -7.935578 0.0000






La prueba t indica que los logaritmos de las variables que presentan coeficientes significativos diferentes de

cero, son el periodo de retorno y la oscilación de temperatura al 95% de confianza. El 50% de la variación de

la precipitación máxima es explicado por las variables independientes. La regresión no es espuria puesto que

R2 < Durbin-Watson. La ecuación obtenida es la siguiente.

Pmax = 193.9512(T)0.1586(Osc)-0.6508

Dónde:

Pmax = precipitación máxima en 24 horas (mm), T = periodo de retorno (años), Osc = oscilación media de

temperatura (°C).

4.4. Discusión de resultados

4.4.1. Influencia de los factores climáticos en la regionalización de precipitación máxima

Los resultados obtenidos siguen el método tradicional de análisis de frecuencia y prueba de bondad de ajuste

(Chow, Maidment, & Mays, 1994), puesto que una precipitación máxima siempre está asociada a un periodo

de retorno, a comparación en otro estudio se realizó una relación empírica entre la precipitación máxima de

24 horas y la precipitación mensual (Morales, Casanova, Castellaro, & Mattar, 2005). Otros autores

(Nouvelot, Le Goulven, Alemán, & Pourrut, 1995) relacionaron las precipitaciones para periodos de retorno

de 2 años con la precipitación promedio anual, luego la precipitación para periodo de retorno de 10 años con

la de 2 años, habiendo obtenido las precipitaciones con análisis de frecuencia a partir de distribuciones de

probabilidad.

42

El modelo regional propuesto en función de factores climáticos tiene la hipótesis que la precipitación

máxima es explicada por la frecuencia (periodo de retorno) y las variables geográficas de posición lo mismo

que otros autores (Morales, Casanova, Castellaro, & Mattar, 2005), (Saavedra, Müller, & Foppiano, 2002),

que relacionan la frecuencia de precipitación máxima de un mes (i) con el lugar de presión máxima del mes

(i), con la latitud y la longitud, entonces el modelo planteado en la presente investigación tiene base en la

literatura revisada.

Varios autores utilizaron modelos no lineales que predicen la precipitación máxima del mismo modo que los

resultados de la presente investigación, por ejemplo, utilizaron modelos potenciales y lineales combinados

(Morales, Casanova, Castellaro, & Mattar, 2005), (Saavedra, Müller, & Foppiano, 2002). Además de las

variables geográficas de posición y de frecuencia (período de retorno) relacionan la precipitación máxima

con la precipitación promedio (Nouvelot, Le Goulven, Alemán, & Pourrut, 1995) o con la precipitación para

un período de retorno y una duración (Bell, 1969), (Cheng, 1983). Referente a esto en el presente trabajo no

se consideró conveniente utilizan la precipitación media como predictor.

Se halló que la precipitación máxima de 24 horas se explica muy bien con el logaritmo del período de

retorno similar a lo que determinó anteriormente Bell (Bell, 1969) en un modelo no lineal de precipitación

para una duración t y un período de retorno T, donde incluye como variable de predicción la precipitación

para una duración t y un período de retorno de 10 años. Así mismo Cheng obtuvo un modelo no lineal que

relaciona la precipitación máxima de periodo de retorno T con duración t, a una función del logaritmo del

período de retorno T elevado a un exponente (x-1) donde x es la relación G INJOOINJO entre la precipitación

para T = 100 años y T = 10 años ambos para la misma duración (Cheng, 1983). Puesto que existe

gran escases de datos pluviométricos en la gran mayoría de las estaciones utilizadas en esta

investigación, no se tomó en cuenta la variable duración.

4.4.2. Influencia de los elementos climáticos en la regionalización de precipitación máxima

En estudios recientes el elemento climático que utilizaron como predictor de la precipitación máxima fue la

precipitación media en un modelo potencial (Morales, Casanova, Castellaro, & Mattar, 2005) y en función de

precipitaciones para periodos de retorno inferiores (Nouvelot, Le Goulven, Alemán, & Pourrut, 1995), en

cambio en la presente investigación se propone predecir la precipitación máxima a partir del periodo de

retorno, de la oscilación media de la temperatura y de la humedad relativa media como elementos del clima.

La influencia sobre la precipitación máxima, de la oscilación media de temperatura es inversa y de la

humedad relativa media es directa, así mismo, la influencia del periodo de retorno es directa, en las

investigaciones anteriores (Morales, Casanova, Castellaro, & Mattar, 2005), (Saavedra, Müller, & Foppiano,

43

2002), (Nouvelot, Le Goulven, Alemán, & Pourrut, 1995), (Bell, 1969) y (Cheng, 1983), no se utilizaron

estas variables explicativas.

4.4.3. Modelos empíricos de precipitación máxima en función de factores y elementos climáticos

Se obtuvo un modelo no lineal empírico que relaciona la precipitación máxima con el logaritmo del periodo

de retorno, la altitud, la latitud y la longitud, estas variables poseen coeficientes significativos al 95% de

confianza. Se determinaron también cinco modelos empíricos, para 5 regiones homogéneas, las cuales fueron

obtenidas por análisis clúster. En estos modelos la variable que posee mayor influencia en la precipitación

máxima es el periodo de retorno seguido por la altitud y la latitud dependiendo de la zona. Estos resultados

apoyan la hipótesis que la precipitación máxima se relaciona más con el logaritmo del periodo de retorno

como se obtuvo en los resultados de estudios anteriores (Bell, 1969), (Cheng, 1983) y la también muestran

consistencia con la influencia de la latitud y longitud en la frecuencia de precipitación mostrada por otros

estudios (Morales, Casanova, Castellaro, & Mattar, 2005), (Saavedra, Müller, & Foppiano, 2002).

En los modelos empíricos no lineales que relacionan la precipitación máxima con los elementos del clima y

el periodo de retorno, se observa que la oscilación media de la temperatura, la humedad relativa media y el

periodo de retorno, son las variables que tienen mayor influencia por tener coeficientes estadísticamente

significativos al 95% de confianza. En los estudios revisados (Morales, Casanova, Castellaro, & Mattar,

2005), (Nouvelot, Le Goulven, Alemán, & Pourrut, 1995) no se tuvo en cuenta los elementos climáticos

considerados en la presente investigación, en cambio solo consideraron la precipitación media y en otros

estudios (Bell, 1969), (Cheng, 1983) se consideró la precipitación para un periodo de retorno y una duración

especifica como una variable explicativa de los modelos no lineales que propusieron.

44

VI. CONCLUSIONES

- Las distribuciones Log normal 3 parámetros y Log Gumbel son las que se ajustan mejor a las

precipitaciones máximas de 24 horas para todas las estaciones meteorológicas de la vertiente del lago

Titicaca.

- La prueba de normalidad de Anderson-Darling para la precipitación máxima de 24 horas, los

factores climáticos latitud, longitud, altitud y el periodo de retorno, obtuvo probabilidades de

excedencia menores a 0.05 por lo que se tuvo que transformar los datos, además los estadísticos

descriptivos indican también no normalidad de datos.

- El modelo regional no lineal múltiple aditivo entre los factores climáticos y la precipitación máxima

de 24 horas, tiene un ajuste adecuado con datos que se han tenido que transformar con logaritmos y

exponentes.

- El resultado del modelo de regresión lineal con valores transformados obtuvo r2 = 38.8 %, r2ajustado =

36.5%, desviación típica de sy = 0.0141, análisis de varianza que concluye un coeficiente de

determinación significativo al 95% de confianza, un estadístico de Durbin-Watson de 0.5456 que

indica que la regresión no es espuria. Los valores indican en que el modelo no se ajusta

perfectamente a los datos.

- El análisis clúster determino 05 grupos de estaciones con características y valores similares, siendo

estos: grupo I (Ananea y Cojata), grupo II (Arapa, Ayaviri, Azangaro, Cabanillas, Capachica,

Chuquibambilla, Crucero, Huancane, Lampa, Los Uros, Mañazo, Muñani, Pampahuta, Progreso,

Pucará y Putina), Grupo III (Capazo, Mazocruz y Pizacoma), grupo IV (Desaguadero, Huaraya-

Moho, Juli, Laraqueri, Puno, Tahuaco-Yunguyo y Taraco) y grupo V (Isla Taquile); estos grupos son

homogéneos en función a factores climáticos y precipitación máxima para los periodos de retorno

considerados.

- La influencia de los elementos climáticos como la oscilación de temperatura media anual y la

humedad relativa media, junto con los factores climáticos sobre la precipitación máxima en un

modelo no lineal de tipo potencial obtuvo un r2 = 47.98% y un r2ajustado = 45.00 %, un error estándar

de regresión de 12.55 y un estadístico de Durbin-Watson de 0.64, indicando que las variables

independientes tienen influencia sobre la variación de las precipitaciones máximas de 24 horas y que

la regresión no es espuria.

- El modelo más adecuado obtenido tiene la siguiente forma

Pmax = 193.9512 (T)0.1586(Osc)-0.6508

Dónde: Pmax = precipitación máxima en 24 horas (mm), T = periodo de retorno (años), Osc =

oscilación media de temperatura (°C); este modelo presenta coeficientes estadísticamente

significativos al 95% de confianza, un r2 = 50% y un estadístico de Durbin-Watson de 0.52 que

indica que la regresión no es espuria.

45

VII. RECOMENDACIONES

Tomar en cuenta que al considerar solamente la información de precipitación máxima de 24 horas

en los cálculos de diseño hidráulico puede llevar a errores puesto que se oculta la distribución de a

precipitación en el tiempo, lo cual se puede mejorar investigando curvas intensidad-duración-

frecuencia; sin embargo, existen pocas estaciones pluviográficas.

Utilizar esta información, implica mejorar la exactitud de los cálculos y por consiguiente optimizar

la inversión en una obra. Los resultados presentados se convierten en un instrumento general y

versátil para la estimación de Lluvias de Diseño y, por lo tanto, en una herramienta de empleo

asegurado no solo en Hidrología, sino también en la agricultura, Ecología, Diseño de obras y

Planeamientos hidráulicos y obras en zonas de la región del altiplano.

Se recomienda para realizar una mejor caracterización de las tormentas extremas contar con datos

relativos a la temperatura, presión atmosférica e imágenes satelitales de los días pluviométricos, así

como en los días previos y posteriores al mismo, que harían posible encuadrar a cada evento dentro

de una clasificación dada por su génesis que no es posible realizar solo con los datos de

pluviometría.

46

VIII. BIBLIOGRAFÍA O REFERENCIAS

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UNALM.

48

ANEXOS

ESTACIONES METEOROLÓGICAS Y FACTORES CLIMÁTICOS Y P ERIODO DE RETORNO

Estación T (Años) Pmax (Mm) Altitud Latitud Longitud

Ananea 25 52.86 4660 14.67872222 69.53452778

50 66.58 4660 14.67872222 69.53452778

100 82.70 4660 14.67872222 69.53452778

200 101.50 4660 14.67872222 69.53452778

Arapa 25 50.94 3830 15.13555556 70.11861111

50 57.89 3830 15.13555556 70.11861111

100 65.71 3830 15.13555556 70.11861111

200 74.57 3830 15.13555556 70.11861111

Ayaviri 25 55.96 3928 14.88111111 70.59277778

50 62.62 3928 14.88111111 70.59277778

100 69.43 3928 14.88111111 70.59277778

200 76.44 3928 14.88111111 70.59277778

Azangaro 25 57.16 3863 14.91472222 70.19111111

50 63.94 3863 14.91472222 70.19111111

100 70.76 3863 14.91472222 70.19111111

200 77.69 3863 14.91472222 70.19111111

Cabanillas 25 56.11 3900 15.63930000 70.34638889

50 61.60 3900 15.63930000 70.34638889

100 67.01 3900 15.63930000 70.34638889

200 72.38 3900 15.63930000 70.34638889

Capachica 25 54.47 3933 15.61580000 69.84430000

50 61.80 3933 15.61580000 69.84430000

100 69.63 3933 15.61580000 69.84430000

200 78.00 3933 15.61580000 69.84430000

Capazo 25 44.38 4530 17.18638889 69.74555556

50 50.23 4530 17.18638889 69.74555556

100 56.52 4530 17.18638889 69.74555556

200 63.29 4530 17.18638889 69.74555556

Chuquibambilla 25 57.31 3971 14.79638889 70.72833333

50 64.18 3971 14.79638889 70.72833333

100 71.23 3971 14.79638889 70.72833333

200 78.50 3971 14.79638889 70.72833333

Cojata 25 54.17 4380 15.01666667 69.35555556

50 61.52 4380 15.01666667 69.35555556

100 69.39 4380 15.01666667 69.35555556

200 77.85 4380 15.01666667 69.35555556

49


Estacion T (AÑOS) PMAX (mm) ALTITUD LATITUD LONGITUD

Crucero 25 63.78 4183 14.36260000 70.02380000

50 70.74 4183 14.36260000 70.02380000

100 77.63 4183 14.36260000 70.02380000

200 84.52 4183 14.36260000 70.02380000

Desaguadero 25 66.94 3808 16.56880000 69.04040000

50 74.22 3808 16.56880000 69.04040000

100 81.58 3808 16.56880000 69.04040000

200 89.09 3808 16.56880000 69.04040000

Huancane 25 59.84 3890 15.20333333 69.76250000

50 64.52 3890 15.20333333 69.76250000

100 69.04 3890 15.20333333 69.76250000

200 73.45 3890 15.20333333 69.76250000

Huaraya Moho 25 65.62 3890 15.38972222 69.49138889

50 71.10 3890 15.38972222 69.49138889

100 76.49 3890 15.38972222 69.49138889

200 81.83 3890 15.38972222 69.49138889

Isla Taquile 25 84.04 3850 15.77944444 69.69472222

50 99.09 3850 15.77944444 69.69472222

100 116.69 3850 15.77944444 69.69472222

200 137.34 3850 15.77944444 69.69472222

Juli 25 70.26 3812 16.20361111 69.45972222

50 81.3 3812 16.20361111 69.45972222

100 93.96 3812 16.20361111 69.45972222

200 108.55 3812 16.20361111 69.45972222

Lampa 25 54.82 3892 15.35583333 70.37277778

50 59.57 3892 15.35583333 70.37277778

100 64.22 3892 15.35583333 70.37277778

200 68.81 3892 15.35583333 70.37277778

Laraqueri 25 66.21 3900 16.15250000 70.06777778

50 77.50 3900 16.15250000 70.06777778

100 89.92 3900 16.15250000 70.06777778

200 103.56 3900 16.15250000 70.06777778

Los Uros 25 50.41 3808 15.79638889 69.91500000

50 54.22 3808 15.79638889 69.91500000

100 57.79 3808 15.79638889 69.91500000

200 61.19 3808 15.79638889 69.91500000

Mañazo 25 61.54 3920 15.81333333 70.33888889

50 69.18 3920 15.81333333 70.33888889

100 76.97 3920 15.81333333 70.33888889

200 84.95 3920 15.81333333 70.33888889

50


Estación T (Años) Pmax (Mm) Altitud Latitud Longitud

Mazo Cruz 25 40.22 4003 16.74555556 69.71166667

50 42.86 4003 16.74555556 69.71166667

100 45.29 4003 16.74555556 69.71166667

200 47.56 4003 16.74555556 69.71166667

Muñani 25 40.5 3948 14.77944444 69.96583333

50 43.44 3948 14.77944444 69.96583333

100 46.27 3948 14.77944444 69.96583333

200 49.02 3948 14.77944444 69.96583333

Pampahuta 25 45.99 4400 15.49138889 70.67750000

50 48.49 4400 15.49138889 70.67750000

100 50.85 4400 15.49138889 70.67750000

200 53.10 4400 15.49138889 70.67750000

Pizacoma 25 49.76 3930 16.91500000 69.37277778 50 54.05 3930 16.91500000 69.37277778

100 58.18 3930 16.91500000 69.37277778

200 62.20 3930 16.91500000 69.37277778

Progreso 25 42.46 3980 14.69472222 70.35555556

50 46.02 3980 14.69472222 70.35555556

100 49.52 3980 14.69472222 70.35555556

200 52.99 3980 14.69472222 70.35555556

Pucara 25 56.53 3900 15.03361111 70.37277778

50 61.84 3900 15.03361111 70.37277778

100 67.03 3900 15.03361111 70.37277778

200 72.14 3900 15.03361111 70.37277778

Puno 25 63.61 3812 15.82333333 70.01805556

50 73.70 3812 15.82333333 70.01805556

100 85.30 3812 15.82333333 70.01805556

200 98.67 3812 15.82333333 70.01805556

Putina 25 48.30 3878 14.9150000 69.86805556

50 51.44 3878 14.9150000 69.86805556

100 54.36 3878 14.9150000 69.86805556

200 57.13 3878 14.9150000 69.86805556

Tahuacoyunguyo 25 56.72 3891 16.3050000 69.06750000

50 64.43 3891 16.3050000 69.06750000

100 72.75 3891 16.3050000 69.06750000

200 81.73 3891 16.3050000 69.06750000

Taraco 25 68.61 3849 15.3050000 69.98250000

50 81.06 3849 15.3050000 69.98250000

100 94.77 3849 15.3050000 69.98250000

200 109.85 3849 15.3050000 69.98250000

51

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO PUNO

OFICINA UNIVERSITARIA DE INVESTIGACIÓN

FACULTAD DE INGENIERÍA AGRÍCOLA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA AGRÍCOLA

INFORME FINAL DE INVESTIGACIÓN

INFLUENCIA DE FACTORES CLIMÁTICOS EN LA REGIONALIZACIÓN DE PRECIPITACIONES

MÁXIMAS EN LA VERTIENTE DEL LAGO TITICACA

PRESENTADO POR:

EDUARDO FLORES CONDORI

EDUARDO LUIS FLORES QUISPE

PUNO – PERÚ

2013

i. resumen vi ii. introducciÓn 1 iii. revisiÓn … · iv lista de tablas tabla 1. ubicaciones...

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