I. MÉTODO CIENTÍFICO

Definir el problema (determinar los objetivos del modelo para saber como alcanzar- los).

a) Realizar una revisión bibliográfica acerca del problema. b) Proponer un modelo que solucione el problema (Hipótesis) b) Determinar las limitaciones del modelo. c) Determinar la región de validez del modelo d) Determinar con que equipo se cuenta

=> Bases para proponer el modelo que soluciona el problema. => Intervalo en el que se realizarán las mediciones y en consecuencia elección del equipo de medición.

Diseño del experimento (planeación del trabajo desde saber cuales son los componentes del experimento hasta la obtención de los datos experimentales)

a)Analizar el equipo b) Acoplar los componentes. c) Realizar un experimento de prueba. d) Interpretación tentativa. e)Realizar el experimento final.

=> Determinar si el equipo cumple los requerimientos (alcance, sensibilidad, incertidumbre, etc) => Armar el equipo, revisando el buen funcionamiento de cada componente. => Determinar el funcionamiento del conjunto, posibles errores, fuentes de incertidumbre =>Modificación, en caso necesario, del modelo o del método. =>Obtención de los datos, recopilación en tablas considerando: valores, unidades, incertidumbre y posibles cálculos.

Interpretación de resultados.

a) Graficar los datos. b) Analizar las graficas c) Contrastar los resultados predichos por el modelo con los resultados experimentales.

=> Selección adecuada, de acuerdo con el modelo, de las variables a graficar. => Utilizar alguna técnica para establecer la relación entre las variables graficadas. => Determinar la validez del modelo, realizar los cambios necesarios en el modelo, que permitan explicar los resultados experimentales. En caso necesario repetir el proceso

Presentación y

conclusiones.

a) Preparar un informe claro y conciso

=> Destacando: Planteamiento del problema, modelo propuesto, descripción del experimento, datos y análisis de datos, conclusiones; bibliografía.

Pasos del método experimental

En términos generales, suele decirse que son siete:

1. Delimitar y simplificar el objeto de la investigación o problema.

2. Plantear una hipótesis de trabajo. Una hipótesis es una suposición comprobable basada en información

disponible.

Elaborar un diseño experimental. Un diseño es el plan o la descripción de los pasos a realizar. Tal descripción

puede hacerse con dibujos y con palabras.

3. Realizar la investigación. Una investigación debe ser rigurosa en tanto que se lleve a cabo solicita, escrupulosa,

pulcra, detallada, cuidadosa, y prolijamente.

4. Analizar los resultados.

5. Obtener conclusiones.

6. Elaborar un informe escrito.

COMENTARIOS ACERCA DE LA BASE AXIOMÁTICA DE LA CIENCIA MODERNA

La ciencia moderna no acepta axiomas ni verdades absolutas apriorísticas Acepta, sin embargo un número

importante de postulados, no definidos a la manera de Euclides, como verdades necesarias aunque no obvias.

Estos postulados son definidos como principios sugeridos por la experiencia y aceptados, sin prueba previa, para

ser desechados si la experiencia ulterior estuviera en desacuerdo con ellos. Aunque la mayor parte de estos

postulados no son formulados explícitamente en las monografías o tratados científicos, un análisis cuidadoso

revela su existencia implícita en ellos. La necesidad de adoptar algunos principios básicos para orientar la

investigación científica, aparece desde las épocas tempranas de la ciencia moderna. Los cuatro postulados,

formulados por Descartes en su Discurso sobre el método, aun cuando no constituyen una lista completa siguen

siendo importantes y, en gran parte, aplicables. Estos postulados son:

1. No aceptar nada que no constituya un conocimiento claramente verificable.

2. Dividir cada problema en partes.

3. Proceder de lo sencillo a lo complejo.

4. Aspirar a ser tan Completos como sea posible y a generalizar.

Por otra parte, los principios de Galileo fueron los siguientes:

1. Que existe una correspondencia y armonía absolutas, entre las verdades matemáticas y los eventos

naturales.

2. Que, en consecuencia, la actitud teleológica aristotélica, debiera ser sustituida por el concepto de

relaciones causales.

1

3. Que los aspectos no medibles de la naturaleza, no constituyen un tema apropiado para el estudio

científico, ya que no son susceptibles de una formulación matemática.

4. Que la justificación lógica de los procedimientos empleados en la investigación empírica, no es necesaria.

5. Que la naturaleza íntima o esencial de las cosas, consideradas como sustancias con atributos, no es del

dominio de la ciencia, sino que ésta debe, ocuparse de las relaciones que existen entre estas cosas.

6. Que las explicaciones, o teorías científicas, no deben ser finales absolutas, sino que deben dejar lugar a

verificaciones, correlaciones y estudios ulteriores.

Por su parte, Newton, en los Principia, dio cuatro reglas de raciocinio para la "filosofía natural'"

1. No debemos aceptar más causas para los eventos naturales, que aquellas que son tanto verdaderas como

suficientes para explicar su aparición.

2. Por lo tanto, debemos asignar, siempre que sea posible, las mismas causas a los mismos efectos naturales.

3. Debemos considerar como cualidades universales de todos los objetos, a las cualidades que encontramos

que pertenecen a todos los cuerpos

que están al alcance de nuestros experimentos, y que son susceptibles de extensión o reducción a otros

cuerpos u objetos.

4. Aunque pueda haber hipótesis alternativas concebibles, debemos aceptar como ciertas, las inducciones

hechas a partir de los fenómenos observados, hasta tanto que no se observen otros fenómenos que las

puedan hacer más precisas, o que las invaliden.

Podemos resumir los postulados de la ciencia moderna como sigue:

FILOSÓFICOS

1. La. existencia de un Universo o realidad exterior: la materia o sustancia de los filósofos. Este Universo

exterior, se manifiesta a través de nuestros órganos de los sentidos. De acuerdo con Galileo, la ciencia no

se preocupa de elucubrar acerca de la naturaleza íntima de esta realidad externa; le interesan los atributos y

relaciones, no la esencia.

2. La posibilidad de hacer observaciones, abstracciones y juicios. A estos atributos podemos llamarlos

mentales. Como hice notar antes, la aceptación de estos dos primeros postulados, asigna al hombre de

ciencia una filosofía dualista.

3. La existencia de otras mentalidades independientes. El solipsismo mental es incompatible con la

investigación científica, no sólo porque niega la existencia de una realidad externa independiente de la

mente del observador, sino también porque la ciencia requiere de intercambios, de críticas y de

2

repeticiones independientes de experimentos; todos estos requisitos necesariamente implican pluralidad de

mentalidades independientes.

PERSONALES

1. La posibilidad de depender de la memoria, propia y ajena. Los informes científicos encierran siempre

afirmaciones, que fueron confiadas a la memoria; y nadie tendría tiempo de repetir todos los experimentos

que han hecho otros.

2. La confianza en la honorabilidad de los hombres de ciencia. En ocasiones, esta fe se puede ver frustrada,

pero la ciencia avanzaría bien poco si cada hombre de ciencia no aceptara sino sus propios resultados.

3. La fidelidad de los órganos de los sentidos. No quiero decir con esto que un hombre de ciencia que tenga

alguna deficiencia en sus órganos de los sentidos, sólo ha de confiar en lo que él mismo percibe. Tampoco

esto significa que los .hombres de ciencia, piensan que todos los fenómenos del mundo exterior, deben y

pueden impresionar sus órganos de los sentidos. El postulado afirma que las relaciones que establecen los

receptores del observador entre el mundo exterior y su mentalidad son, en general, unívocas. Cuando estas

relaciones son equívocas hay siempre criterios capaces de eliminar la confusión.

DE JUICIO 0 RACIOCINIO

1. La validez de la lógica. Este postulado afirma que hay raciocinios legítimos, y que la ciencia debe siempre

conformarse a ellos. Como en realidad no existe una lógica absoluta y única, sino que hay varias, y como

algunos de los cánones que estas lógicas aceptación sólo relativos, el hombre de ciencia tendrá que adoptar

alguno. De hecho lo adopta y, así, la lógica gobierna todas las deducciones científicas.

2. La validez de la inducción: Aun cuando es imposible de justificar lógicamente este método de inferencia.

SOBRE LA REALIDAD DEL MUNDO EXTERIOR

1. La existencia de uniformidad o regularidad en la naturaleza. Esta uniformidad tiene dos aspectos. El

primero tiene relación con la permanencia o individualidad de algunos objetos o eventos exteriores. Me

refiero a la creencia de quien afirma que la mesa que vio ayer, es la misma vio hoy, y que verá mañana. El

segundo es el que está en relación con la aceptación de la validez de la inducción.

2. La posibilidad de formular matemáticamente las leyes naturales. Este es el primer principio de Galileo. En

vista de la aceptación del postulado de uniformidad, es casi innecesario citarlo como un nuevo postulado,

ya que si las relaciones entre las variables o eventos ocurren con regularidad, siempre será posible

formularlas con precisión, es decir, en lenguaje matemático.

3. La necesidad de poder someter a prueba experimental todas, las leyes, hipótesis y teorías. Esta es una

extensión del sexto principio de Galileo, que declara carentes de sentido científico a todas las proposiciones

3

acerca de los hechos, cuando es imposible llevar a cabo alguna operación confirme o invalide. Como hace

notar Bridgman, las nociones de velocidades o dimensiones absolutas, o la del éter, no pertenecen a la ciencia

ya que no son reducibles a prueba experimental. De la misma manera la seudo-explicación de los fenómenos

que ocurren en los seres vivos, por la afirmación de que poseen un fluido o atributo vital característico, no es

aceptable para la ciencia, ya que nadie ha sugerido todavía algún procedimiento experimental que permita el

estudio de este fluido o atributo.

Hay otros principios generales, adoptados por la ciencia, que son, a veces, citados como postulados científicos.

Pienso que es preferible separarlos de los anteriores, porque representan, más bien, tendencias o reglas. Por otra

parte, es posible desarrollar trabajos científicos sin tener que seguir estos principios.

A. El principio de simplicidad. La regla de dar siempre preferencia a la explicación o a la hipótesis más sencilla,

es generalmente atribuida a Occam. En realidad, esta regla es de aplicación común. Cuando se inicia un estudio

científico hay que escoger entre dos hipótesis igualmente posibles, pero desigualmente complicadas, seguramente

que se prefiere a la más sencilla. Cuando se inicia un estudio, conviene empezar por formular hipótesis sencillas.

Es cierto, también, que muchas de las leyes naturales encierran pocos parámetros. La historia de la ciencia, Sin

embargo, presenta numerosos ejemplos de complicación gradual de las hipótesis, leyes o teorías, que fue-

ron inicialmente sencillas. Esta complicación es requerida por las observaciones, cada vez más cuidadosas y

completas, y por las medidas, cada vez más exactas. La simplicidad, además, es siempre relativa. Si estudiamos

fenómenos complejos, y no cabe duda que los hay en la naturaleza, no debe sorprendemos que nos veamos

obligados a hacer teorías complicadas. No juzgo que el criterio de simplicidad deba ser un criterio, ni decisivo, ni

básico, para decidir acerca de la aceptabilidad de una hipótesis o teoría científica.

B. EI principio de las interpretaciones monística. Existe la tendencia a no admitir la posibilidad de que hayan dos

explicaciones o teorías distintas e independientes, que sean igualmente válidas para un mismo fenómeno o grupo

de fenómenos. Cuando ocurre esta situación, como ha ocurrido en numerosas ocasiones en la historia de la

ciencia, se considera importante el buscar hechos que discriminen entre las distintas alternativas, o bien, el

averiguar si la independencia no es sólo ficticia, y si los dos puntos vista son formalmente equivalentes.

C. El principio de la unidad de la ciencia. Aun cuando los hombres de ciencia en general trabajan en aislamiento

relativo dentro de su campo particular, en ninguna ciencia se aceptan hipótesis o teorías que no sean consistentes

con las de las demás ciencias.

D. El principio de la generalidad. El deseo de elaborar teorías de aplicabilidad tan grande como sea posible, está

íntimamente relacionado con el principio anterior. La mayoría de los hombres de ciencia, considera probable la

realización de teorías que sean aplicables a todos los campos de la ciencia. Siendo la física, la que se ocupa de las

propiedades y relaciones comunes a todas las entidades del Universo, es natural que los investigadores que se

ocupan de fenómenos restringidos, recurran a la física como al paso intermediario para lograr que su teoría logre

su incorporación a la

4

ciencia universal, y a su unificación con las demás ciencias. Es obvio que

si se ha de lograr alguna vez una ciencia única universal, las teorías de esta

ciencia deben tener alcances de una generalidad completa.

Si la ciencia se basa en estos postulados y estos principios, que son explícitamente arbitrarios, es porque no

reconoce ninguna verdad absoluta y porque, cuando en su principio aceptó axiomas y verdades obvias a la

intuición, su progreso no se vio favorecido, sino dificultado e impedido. Afirmó que estos postulados son

arbitrarios. Lo son, pero son inspirados por la observación empírica, y su arbitrariedad es solamente ab initio. Su

justificación es pragmática. La ciencia ha tenido, en el curso de su historia, innumerables fracasos. Pero también

es cierto que ha tenido, y tiene todavía, muchos éxitos. Nuestra experiencia de todos los días atestigua, sin lugar a

dudas, estos éxitos. El espíritu de duda y de crítica que aplica la ciencia a sus leyes y teorías, lo aplica también a

sus postulados básicos. Así como basta un solo hecho experimental contradictorio para derribar una teoría, así

también bastaría una sola excepción notoria para abandonar alguno de los postulados. Si la ciencia sigue

aceptando estos postulados, es porque esta excepción no ha ocurrido todavía. Es evidente que sin estos postulados

el estudio científico de la naturaleza no sería posible.

Tomado de: Rosenblueth Arturo “El Método Científico”, Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del

Instituto Politécnico Nacional. México 1971.

Bibliografía.

Arana Federico, “Método Experimental para Principiantes”, Joaquín Mortiz, México 1982.

Bunge Mario, “La Ciencia su Método y su Filosofia”, Siglo Veinte, Buenos Aires 1976.

Pérez Tamayo Ruy, “Cómo Acercarse a la Ciencia”, Limusa Noriega, México 1989.

II. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES

Algunas definiciones antes de empezar

¿QUÉ ES MEDIR? Medir es la comparación de la magnitud de una determinada entidad física con un

patrón de características conocidas.

¿QUÉ ES LA METROLOGÍA? La Metrología es la ciencia de las medidas, cuyo estudio comprende los

patrones, las magnitudes y los sistemas de unidades.

¿QUÉ ESTUDIA LA METROLOGÍA? La fiabilidad de la relación establecida entre cualquier cantidad y

su patrón,. La elección de unidades y magnitudes fundamentales de medida y la uniformidad y coherencia de los

sistemas utilizados constituyen los principios básicos de la metrología.

5

EVOLUCIÓN DE LOS SISTEMAS DE UNIDADES

Sistemas mediterráneos antiguos:

Egipto: Unidad de longitud el cúbito real, equivalente a 524 mm y subdividido en dígitos, palmos y

manos. Unidad de peso el kit.

Babilonia: Unidad de peso la mina babilónica (aproximadamente 640 g), influyó en las culturas

vecinas: la mina hebrea, el siclo y el talento.

Grecia: Su presencia en el Mediterráneo sirve de vehículo para trasmitir hacia el oriente los

sistemas de unidades del norte de África y de Asía. El talento, subdividido en cien dracmas, fue una herencia

evidente de los hebreos, y el dedo constituía la versión helénica del dígito egipcio.

Roma: Adopta gran parte de las unidades griegas e incorpora la libra.

Sistemas orientales:

Se desarrolla en forma independiente de Europa y tiene como base elementos del cuerpo humano.

China: El emperador Shi Huangdi en 221 a. C. Ordenó la unificación del valor de las unidades, ya

que variaban según la zona geográfica.

Medidas y pesos medievales:

Europa, durante la edad media, utilizó unidades de pesos y medidas heredadas de la cultura

grecolatina. Sin embargo debido a las influencias árabes y escandinavas, junto a las numerosas variedades e

interpretaciones que había de los patrones clásicos, conformaron un conjunto de magnitudes y unidades que

constituía un reflejo de la disgregación social y política característica de la época.

En el siglo XIII, como consecuencia del incremento del comercio de la lana y el ganado hubo necesidad de

establecer cierta uniformidad en los patrones de medida.

Sistema métrico de pesas y medidas:

Con los avances científicos de los inicios de la edad moderna se hizo necesaria la creación de un sistema

unificado de pesas y medidas que favoreciera la comunicación de los nuevos descubrimientos e ideas. En 1670, el

religioso francés Gabriel Mounton sugirió los tres principios capitales que caracterizarían a los posteriores

sistemas de medición: el empleo de subdivisiones decimales, la elección de dimensiones físicas de la Tierra para

establecer unidades básicas y básicas y la utilización de prefijos racionales.

6

Charles-Maurice de Talleyrand-Périgord, miembro de la Asamblea Constituyente de la República

Francesa, propuso en el mes de abril de 1790 la formación de un comité científico, cuya función habría de ser la

compilación de un informe sobre la elección de magnitudes y unidades fundamentales. En ese comité

participaron personalidades de la talla de Joseph-Louis Lagrange y Pierre-Simon Lapalce.

El grupo se pronunció a favor de que el metro, unidad de longitud muy extendida en la época se

redefiniese como la diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre.

Los ingenieros Jean Delambre y Pierre Méchain recibieron el encargo de determinar la longitud exacta del

metro de acuerdo con la definición, para tal motivo tuvieron necesidad de medir la distancia de Barcelona a

Dunkerque. En 1799, la Asamblea Nacional presentó un metro patrón que sirvió como base del sistema métrico

decimal, en el que se establece que los prefijos que designan a los múltiplos y submúltiplos de las unidades son

derivados de vocablos griegos (deci, centi, kilo, etc.).

El gramo, definido como la cantidad de materia equivalente a un centímetro cúbico de agua pura a

temperatura de 4 oC, se estableció como unidad de masa, dando lugar a la construcción de un kilogramo patrón,

un cilindro de platino. El litro se definió unidad de volumen. La unidad de área fue la que estaba delimitada por un

cuadrado de 10 metros de lado.

El sistema Métrico Francés, legitimado en 1799, se impuso en toda Europa como secuela de las invasiones

napoleónicas de principios del siglo XIX.

En la década de 1970 el Reino Unido de la Gran Bretaña adapta el sistema internacional de unidades,

evolución del sistema métrico decimal.

Sistemas de tres y cuatro unidades:

En el siglo XX surgen tres sistemas de unidades que utilizan como magnitudes fundamentales la longitud,

la masa y el tiempo.

El inicial MKS (metro, kilogramo, segundo) adoptó el amperio como unidad de intensidad eléctrica,

transformándose en sistema MKSA

El sistema cegesimal (centímetro, gramo, segundo) gozó de popularidad ha mediados del siglo XX.

El sistema Técnico utilizaba las mismas unidades fundamentales del sistema MKS excepto el kilogramo

sustituido por la unidad técnica de masa (UTM) cuya definición simplificaba la correspondiente unidad de fuerza.

El sistema técnico incluyó como unidad derivada el Kilopodio, peso que equivale a la fuerza de atracción que

ejerce la Tierra sobre un cuerpo de un kilogramo de masa situado en su superficie.

7

Sistema Internacional de Unidades:

En 1948 la IX Conferencia General de Pesos y Medidas designó un comité internacional, que a través de

una encuesta a los medios científicos, técnicos y pedagógicos de todos los países, determinase un sistema de

unidades que respondiese a los avances científicos y tecnológicos del momento. En 1954 la X conferencia

decidió adoptar seis unidades básicas para las magnitudes de longitud, masa, tiempo, intensidad de corriente

eléctrica, temperatura termodinámica e intensidad luminosa (aumento de sustancia).

La XI Conferencia Internacional de Pesas y Medidas de 1960 denominó Sistema Internacional de

Unidades (SI) al resultante de los anteriores estudios, y fijo las reglas para los prefijos, las unidades derivadas y

las suplementarias, así como una serie de especificaciones sobre su manejo.

En un sistema coherente el único factor numérico que debe de aparecer en las unidades derivadas de las

unidades base es el uno.

El SI está formado por: 7 unidades base, mutuamente independientes; unidades derivadas, resultado de

combinar a través de la multiplicación o la división a las unidades base.

Actualmente sólo hay dos clases de unidades en Sistema Internacional de Unidades: unidades base y

unidades derivadas. Las unidades de estas dos clases forman un sistema coherente de unidades conocido con el

nombre de SI de unidades. En este caso el término coherente significa un sistema en el que todas las unidades

derivadas son obtenidas de las unidades base a través de las reglas de la multiplicación y la división utilizando

como único factor numérico el 1 en las expresiones para las unidades derivadas en términos de las unidades base.

El SI incluye prefijos para formar múltiplos y submúltiplos decimales de las unidades del SI. Dado que las

unidades formadas con los prefijos no son coherentes con las unidades del SI, las unidades así formadas deben de

llamarse por su nombre completo “múltiplos y submúltiplos decimales del SI de unidades”, con el fin de

distinguir entre ellas y el conjunto coherente de unidades del SI. Al conjunto de unidades del SI junto con sus

múltiplos y submúltiplos decimales se le designa frecuentemente como: “Unidades del SI”1.

DEFINICIÓN DE LAS UNIDADES BASE DEL S. I.

Introducción

1 Tomado de: “Metric System of Measurements: Interpretation of internacional System of Units for the United States. Federal Register, 63.144, 40333-40340, (1998)/Notices. Edit Barry N. Taylor

8

Las definiciones de las unidades base han sido tomadas de "The International System of Units (SI), ed. por

B. N. Taylor, Natl. Inst. Stand. Technol. Spec. Publ. 330, 1991 Edit. (U.S.) Governament Printing Office,

Washington, D.C, August 1991). Las definiciones de la unidades suplementarias, el radian y el steradian que

ahora se interpretan como unidades derivadas han sido tomadas de "American National Standard ofr Metric

Practice", ANSI/IEEE std 268-1992 (Institute of Electrical and Electronics Engineers, New York, NY, October

1992).

Tabla 1. Unidades de SI

Unidad Base SI

Magnitud Base Nombre Símbolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eléctrica ampere A

temperatura termodinámica kelvin K

cantidad de sustancia1 mole mol

intensidad luminosa candela cd

Es necesario hacer notar que cualquier otra unidad derivada del SI está definida en términos de las unidades base

del S.I.

Metro (17° CGPM, 1983)

El metro es la longitud de la trayectoria recorrida por la luz en el vacío durante un intervalo de tiempo de

1/299792458 de segundo.

Kilogramo (3° CGPM, 1901)

El kilogramo es la unidad de masa, y es la masa del prototipo internacional del kilogramo.

Segundo (13° CGPM, 1967)

El segundo es la duración de 9 192 631 770 periodos de la radiación debido a la transición entre 2 niveles

hiperfinos del estado base de los átomos de cesio 133.

1 De acuerdo con: NORMA Oficial Mexicana NOM-008-SCFI-2002, Sistema General de Unidades de Medida, 2002.

9

Ampere (9° CGPM, 1948)

El ampere es la corriente eléctrica que el circular a través de 2 conductos, de longitud infinita y sección

transversal despreciable, paralelas entre ellos y a una distancia de un metro en el vacío produce entre los

conductos una fuerza de 2 X10-7 Newton por cada metro de longitud.

Kelvin (13° CGPM, 1967).

El kelvin, unidad de la temperatura termodinámica, es la fracción 1/273.16 de la temperatura

termodinámica del punto triple del agua.

Mole (14° CGPM, 1971).

1.- Es la cantidad de sustancia de un sistema que tiene tantos individuos elementales de la sustancia

(moléculas, átomos, iones, etc) como átomos de carbono 12 hay en 0,012 kilogramos de átomos de carbono 12.

2.- Para poder hacer uso del mole es necesario definir cuales son las individuos elementales que pueden ser

átomos, moléculas, iones, electrones, otras partículas o grupos específicos de dichas partículas.

En la definición de mole los átomos de carbono se consideran que no están interactuando, que se

encuentra en estado base y en reposo.

Candela (16 ° CGPM, 1979).

La candela es la intensidad luminosa, es una dirección dada proveniente de un fuerte monocromática con

frecuencias de radiación de 5.40 X 1012 hertz y que tiene una intensidad radiante a la dirección de (1/683) watts

por cada esterradián.

Tabla 2.- Nombres de las magnitudes, símbolos y definiciones de las unidades SI derivadas1

Magnitud Unidad Símbolo Definición

ángulo plano radián rad Es el ángulo plano comprendido entre dos

radios de un círculo, y que interceptan

sobre la circunferencia de este círculo un

arco de longitud igual a la del radio (ISO-

31/1)

1 Copiada de: NORMA Oficial Mexicana NOM-008-SCFI-2002, Sistema General de Unidades de Medida, 2002.

10

ángulo sólido esterradián sr Es el ángulo sólido que tiene su vértice en

el centro de una esfera, y, que intercepta

sobre la superficie de esta esfera una área

igual a la de un cuadrado que tiene por

lado el radio de la esfera (ISO-31/1)

Tabla 3. Ejemplos de unidades derivadas del SI expresadas en términos de unidades base del SI

Unidades derivadas del SI

Magnitud derivada Nombre Símbolo

área metro cuadrado m2

volumen metro cúbico m3

velocidad, rapidez metro en cada segundo m/s

aceleración metro en cada segundo al cuadrado m/s2

número de onda inverso de metro m-1

densidad de masa (densidad) kilogramo en cada metro cúbico kg/m3

volumen específico metro cúbico en cada kilogramo m3/kg

densidad de corriente ampere en cada metro cuadrado A/m2

intensidad de campo magnético ampere en cada metro A/m

Aumento de concentración de

substancia (concentración)

mole en cada metro cúbico mol/m3

luminiscencia candela en cada metro cuadrado cd/m2

Tabla 3a. Unidades derivadas del SI con nombres especiales y símbolos, incluyendo el radian y el esterradián.

Unidades Derivadas del SI

Magnitud derivada Nombre Símbolo Expresada en Expresada en

11

Especial especial términos de otras

unidades del SI

términos de

unidades base del

SI

ángulo plano radian rad m*m-1

ángulo sólido steradian sr m2*m-2

frecuencia hertz Hz s-1

fuerza newton N m*kg*s-2

presión, tensión pascal Pa N/m2 m-1*kg*s-2

energía, trabajo, cantidad de calor joule J N*m m2*kg*s-2

potencia, flujo de radiación watt W J/s m2*kg*s-3

carga eléctrica, cantidad de

electricidad

coulomb C A*s

diferencia de potencial, fuerza

electromotora

volt V W/A m2*kg*s-3*A-1

capacitancia farad F C/V m-2*kg-1*s4*A2

resistencia eléctrica Ohm Ω V/A m2*kg*s-3*A-2

conductancia eléctrica siemens S A/V m-2*kg-1*s3*A2

flujo magnético weber Wb V*s m2*kg*s-2*A-1

densidad de flujo magnético tesla T Wb/m2 kg*s-2*A-1

inductancia henry H Wb/A m2*kg*s-2*A-2

temperatura Celsius grados

Celsius

oC K

flujo luminoso lumen lm cd*sr cd*sr

luminiscencia lux lx lm/m2 m-2*cd*sr

actividad (de un núcleo

radiactivo)

becquerel Bq s-1

dosis absorbida gray Gy J/Kg m2*s-2

Dosis equivalente, dosis

ambiental equivalente, dosis

direccional equivalente, dosis

personal equivalente, dosis

equivalente

sievert Sv J/Kg m2*s-2

actividad catalítica* katal kat s-1mol

concentración de actividad

catalítica

kat/m3 m-3s-1mol

12

*La 21° CGPM 1999, aprobó el katal, con símbolo kat, como nombre de la unidad derivada del SI mol en cada

segundo para expresar la actividad catalítica. Actualmente hay 22 unidades derivadas del SI con nombres

especiales y símbolos.

Magnitudes de Dimensión 1.

Algunas magnitudes derivadas se definen como el radio de cantidades mutuamente comparables, dos

magnitudes de la misma clase. Dada la coherencia del SI, la unidad derivada de tal magnitud es el radio de dos

unidades idénticas del SI, tal unidad es expresada por el número 1, símbolo 1. Tales magnitudes se conocen como

“magnitudes de dimensión 1”, o “magnitudes adimensionales” y en el SI la unidad de este tipo de magnitudes es

el número 1. Ejemplo de este tipo de unidades son: la fracción de masa, la permeabilidad relativa, el factor de

fricción dinámico, índice de refracción, números característicos como el número Mach, y números resultado de

contar, tal como el caso del número de moléculas. Por lo general el número 1 no se escribe explícitamente al

expresar un valor de alguna magnitud de dimensión 1. Por ejemplo, el índice de refracción de un medio dado se

expresa como n=1.51 en lugar de n=1.51X1. Con el fin aumentar la claridad, en algunos casos, se ha dado un

nombre especial al símbolo 1, el radián y el esterradián son dos ejemplos.

MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DE LAS UNIDADES DEL S I

Es posible expresar, a través de un conjunto de prefijos aceptados, múltiplos y submúltiplos decimales de

las unidades del SI.

El prefijo debe de anteceder el nombre de la unidad, por ejemplo: kilómetro.

El símbolo del prefijo debe de anteceder al símbolo del nombre de la unidad, por ejemplo: km.

Tabla 4. Prefijos.

Factor Prefijo Símbolo Factor Prefijo Símbolo

1024=(103)8 yotta Y 10-1 deci d

1021=(103)7 zetta Z 10-2 centi c

1018=(103)6 exa E 10-3=(103)-1 mili m

1015=(103)5 peta P 10-6=(103)-2 micro

1012=(103)4 tera T 10-9=(103)-3 nano n

109=(103)3 giga G 10-12=(103)-4 pico p

106=(103)2 mega M 10-15=(103)-5 femto f

103=(103)1 kilo k 10-18=(103)-6 atto a

102 hecto h 10-21=(103)-7 zepto z

101 deca da 10-24=(103)-8 yocto y

13

CONVENSIÓN DE REGLAS Y ESTILOS PARA IMPRIMIR Y USAR LAS UNIDADES DEL S.I.

Reglas y estilos para el uso de símbolos de las unidades:

Los símbolos de las unidades se escriben con el tipo de letra Romano derecho, sin importar el tipo de letra

del resto del texto.

Los símbolos se escriben con minúsculas, excepto cuando el nombre de la unidad proviene de una persona,

por ejemplo: metro (m), segundo (s), volt (V), pascal (Pa). En Estados Unidos de Norteamérica se utiliza la

L como símbolo de litro.

Los símbolos no se usan en plural, por ejemplo: “l= 75 cm” pero no “l= 75 cms”.

No se escribe punto después del símbolo, excepto cuando es fin de oración, por ejemplo: “75 cm de

longitud.”, “longitud de 75 cm.”

Los símbolos de unidades que provienen del producto de otras unidades pueden expresarse:

a).- Colocando un punto a la mitad de los símbolos de las unidades que se multiplican.

b).- Dejando un espacio entre los símbolos.

Ambos estilos son incompatibles en un escrito.

Por ejemplo: “N.m” ó “N m”

El espacio puede omitirse cuando no cause confusión: “kWh” en lugar de “kW h”; pero no “ms-1” (que

significa milisegundo a la menos uno) en lugar de “m s-1” (que significa metro por segundo a la menos uno).

Los símbolos de unidades que provienen de una división de otras unidades pueden expresarse a través de

los símbolos /, o exponentes negativos. “m/s2”, “ 2sm

”, “m.s-2”.

No debe de utilizarse más de una vez ninguno de los símbolos /, - . Es correcto “m/s2”, “ 2sm

”, pero no

“m/s/s” ó “ ssm

”. En casos complicados es más conveniente hacer uso de los exponentes negativos.

Al escribir, no mezclar símbolos de unidades con nombres de unidades. “C/kg”; “C kg-1” pero no

“coulomb/kg” o “coulomb en cada kg”.

En caso de requerir escribir el nombre de la unidad, éste debe de escribirse completo.

No se debe hacer uso de abreviaturas de los nombres de las unidades. Estas tienen nombre y símbolos

aceptados internacionalmente.

14

Unidad Símbolo

aceptado

Abreviatura no

aceptada

segundo S sec

milímetro

cuadrado

mm2 Sqmm

centímetro

cúbico

cm3 cc

hora H hr

litro L lit

Reglas y estilos para el uso de símbolos de las unidades:

Los símbolos de los prefijos se escriben con el tipo de letra Romano derecho. Sin espacio entre el símbolo

del prefijo y el símbolo de la unidad. Sin espacio entre el nombre del prefijo y el nombre de la unidad, por

ejemplo: mL (mililitro), pm (picometro), GΩ (gigaohm), THz (terhertz).

Los símbolos de los prefijos que se escriben con mayúsculas son: Y (yotta), Z (zetta), E (exa), T (tera), G

(giga) y M (mega); el resto de los símbolos de los prefijos se escriben con minúsculas.

Los nombres de los prefijos se escriben con minúsculas

Los símbolos de los prefijos asociados a los símbolos de las unidades forman un ente, que pueden ser

combinados con otros. Estos entes (prefijos-unidad) pueden ser expresadas en potencias positivas (negativas) de

diez de la unidad.

Los nombres de los prefijos con el de las unidades forman una sola palabra.

No deben de mezclarse prefijos; “nm” (nanómetros) y no “mμm” (milimicrómetro).

En el caso de unidades derivadas provenientes de una división, la existencia de símbolos de prefijos en el

numerador y en el denominador puede causar confusión. Se acepta “10 kV/mm” pero es mejor “10 MV/m”. Para

el caso de unidades derivadas provenientes de multiplicación, la mezcla de prefijos puede causar confusión. Se

acepta “10 MV.ms” pero es mejor “10 kV.s”. Es necesario aclarar que estas dos últimas consideraciones no se

aplican cuando el kg está involucrado, así “0.13 mmol/g” no es mejor que “0.13 mol/kg”.

Los prefijos siempre deben de estar asociados a una unidad, no pueden encontrarse solos: “5X106 /m3”

pero no “5 M/m-3”.

Ya que por motivos históricos la unidad base de la masa es el kilogramo (kg), unidad en la que ya se encuentra

el prefijo kilo y debido a que no se deben unir prefijos, los múltiplos y submúltiplos del “kg” se forman con la

unidad g. Así “10-6 kg = 1 mg” (miligramo) y no “10-6 kg = 1 μKg” (microkilogramo).

Es posible combinar prefijos y sus nombres con los “°C” (grados Celsius), por ejemplo “12 m°C” (miligrados

Celsius).

15

No se permite, para evitar confusión, combinar prefijos con las unidades aceptadas de tiempo (minuto, hora,

día, etc.), ni con las relacionadas con ángulos (°,minuto, seg. ).

Los prefijos y sus nombres pueden ser utilizados con las siguientes unidades: Litro (los múltiplos: kL

(kilolitro) y ML (megalitro) no son comunes, los submúltiplos como mL (mililitro) y dL (decilitros) son de

uso común); la tonelada métrica (los múltiplos como kt (kilotolnelada) son de uso común, mientras que los

submúltiplos como el mt (militonelada) no son comunes); ev (electrón volt) y U (unidad de masa unificada).

Reglas y estilos para expresar valores de cantidades.

El valor de una cantidad es su magnitud expresada como el producto de un número y una unidad, el número

que está multiplicando la unidad es el valor numérico de la variable expresado en esa unidad.

Formalmente A = A[A]; con Avalor numérico, [A] unidad, entonces el valor numérico se expresa como

A= A / [A] de tal forma que al representar en una tabla o en una gráfica los valores numéricos es

recomendable presentarlos de esta forma, por ejemplo: “t/°C” en lugar de “t (°C)”; “E/(V/m)” en lugar de “E (

V/m)”.

Una forma alternativa de expresar A= A / [A] es A[A]. Por ejemplo: “t°C”; “EV/m”.

Es necesario dejar un espacio entre el valor numérico y el símbolo de la unidad, esta regla no aplica para las

unidades: grados (°), minutos (‘) y segundos (‘ ‘) que se escriben en forma seguida.

No se debe de expresar una cantidad en más de una unidad. “l = 10.234 m” y no “l = 10 m, 23 cm, 4 mm”.

Esta regla no vale para intervalos de tiempo y para ángulos (°, ‘ , ‘ ‘) aunque es recomendable que el ángulo se

exprese en décimas de grado, excepto en algunos campos como la Cartografía.

No debe de asociarse información a las unidades. Cuando la cantidad expresada sea un valor especial, esta

denominación debe de darse a la cantidad no a las unidades, por ejemplo debe escribirse “Vmax = 1000 V” y no

“V = 1000 Vmax”.

No debe mezclarse información con las unidades. Cuando se desee expresar alguna condición particular de la

cantidad, característica o condición de la medición, esta información no debe mezclarse con las unidades.

“El contenido de Pb es 5 mg/L” y no “5 mg de Pb/L” o “5 mg de Plomo/L”

“La sensibilidad por molécula de NO3 es de 5 X 1010/cm3” pero no “la sensibilidad es 5 X 1010 NO3 molécula

/cm3”.

Esta regla es valida inclusive para las unidades “1”.

La idea de un informe es que el material contenido en éste sea comprendido por la mayor cantidad posible de

personas, en ese sentido la presentación de los resultados debe de ser lo más independiente posible del idioma

en el que se escribe el informe, por tal motivo es necesario hacer uso de los símbolos aceptados mundialmente.

16

Los valores numéricos se escriben en números arábigos, de los cuales no se escribe el nombre y se utilizan los

símbolos de las unidades y de los prefijos, en caso de haber, en lugar de sus nombres. Ejemplos:

“la longitud del láser es de 5 m” pero no “la longitud del láser es de cinco metros”

Cuando la audiencia es lega es necesario definir las unidades usadas conforme estas van apareciendo.

No deben de combinarse nombres de números con símbolos de unidades.

En algunas ocasiones el valor numérico es utilizado descriptivamente o en forma literal, en tal caso es

recomendable hacer uso del número y del nombre de la unidad, por ejemplo: “La lámpara requiere el uso de

dos bombillas de 60 watts”; “Ellos han adquirido un rollo de película de 35 milímetros”.

Los valores de las cantidades se expresan como el producto de un número con una unidad. Se recomienda, para

determinar intervalos hacer uso de la preposición “a” en lugar del símbolo “-“ que puede generar confusión con

la resta. Ejemplos:

“51 mm X 51 mm X 25 mm” pero no “51 X 51 X 25 mm”

“225 mm a 2400 mm” ó “(225 a 2400) mm” pero no “225 a 2400 mm”

“63.2 m ± 0.1 m” ó “(63.2 ± 0.1) m” pero no “63.2 ± 0.1 m” ó “63.2 m ± 0.1”

“129 s – 3 s =126 s” ó “(129-3) s = 126 s” pero no “129 – 3 s =126 s”.

Es inaceptable escribir los símbolos de las unidades solos. Los símbolos de las unidades nunca deben de ser

utilizados sin valores numéricos o símbolos de cantidades (no deben de ser abreviaturas). Ejemplo:” Hay 106

mm en 1 km” pero no “ hay muchos mm en un km”.

Las condiciones para elegir los prefijos, para generar los múltiplos y submúltiplos de las unidades son:

La necesidad de que los dígitos de los valores numéricos sean significativos. Un dígito es significativo si éste

es necesario para expresar el valor numérico de la cantidad.

La necesidad de tener valores numéricos que sean fácilmente entendibles.

Las necesidades particulares del campo científico y tecnológico en el cual se esté trabajando.

Es recomendable no obligatorio, que los valores numéricos se encuentren entre 0.1 y 1000 y que las potencias

de 10 sean múltiplos de 3.

Por ejemplo:

“3.3 X 107 Hz” se puede expresar como “33 X 106 Hz = 33 MHz”

“0.00952 g” se puede expresar como “9.52 X10-3 g = 9.52 mg”

“2703 W” se puede expresar como “2.703 X 103 W = 2.703 kW”

“5.8 X 10-8 m” se puede expresar como “58 X 10-9 m = 58 nm”

17

Es recomendable que cuando se tiene un conjunto de datos todos tengan el mismo prefijo, ejemplo: “10 mm X

2 mm X 0.02 mm” en lugar de “1 cm X 3 mm X 20 μm”.

Aquellas cantidades que son el resultado del cociente de 2 cantidades con la misma unidad, tienen como

unidad 1, que por lo general su símbolo no se escribe. Ejemplos de estas cantidades son: índice de refracción,

permeabilidad relativa, fracción de masa.

Algunas cantidades cuya unidad es 1, tienen un nombre especial para designar a su unidad. Ejemplo de tales

cantidades son: el ángulo plano cuya unidad es el radian (rad) el ángulo sólido cuya unidad es el steradian (sr).

Ya que no se debe unir un prefijo de múltiplos o submúltiplos con la unidad 1, se hace necesario expresar los

múltiplos y submúltiplos como potencias de 10. Por ejemplo:

“r = 1.2 X 10-6” no “1.2.10-6 ” “r permeabilidad relativa”.

Considerando que el símbolo % significa un factor multiplicativo de 100, la forma como se expresan

cantidades con este símbolos es el valor numérico, espacio y el símbolo %. Por ejemplo:

“xB = 0.0025 = 0.25 %” pero no “xB = 0.0025 = 0.25%” ó “xB = 0.25 por ciento”

No se aceptan expresiones del estilo: “por ciento por masa”, “por ciento en volumen”, ó “% (m/m)”, “% (por

peso)”, “% (V/V)”. “Se prefiere la fracción de masa es igual a .01” ó “ la fracción de masa es 10 %”.

Para hacer referencia a diferencia de valores en forma de porcentaje, es incorrecto decir: “la cantidad A difiere

de B en un tanto por ciento” es mejor “A = B(1+ x %)” o definir “Δ = (A – B)/B”.

En algunas ocasiones el término “fracción de” o “relativo” es aceptado. Por ejemplo: “El incremento fraccional

de la resistencia de referencia de 10 kΏ, en 1994, fue de 0.002 %.

No se recomienda el uso de: ppm, partes por millón; ppb, partes por billón; ppt, partes por trillón.

Ejemplos:

“Una estabilidad de 0.5 (μA/A)/min” pero no “una estabilidad de 0.5 ppm/min”

“Una deriva de 1.1 nm/m” pero no “Una deriva de 1.1 ppb”

“Un cambio de frecuencia de 0.35 X 10-9 f” pero no “Un cambio de frecuencia de 0.35 ppb”

“Una sensibilidad de 2 ng/kg” pero no “Una sensibilidad de 2 ppt”

“La incertidumbre expandida relativa de la resistencia R es Ur= 3 μΩ/Ω” o “La incertidumbre expandida de la

resistencia R es U= 3 X 10-6 R” o “La incertidumbre expandida relativa de la resistencia R es Ur= 3 X 10-6”

pero no “La incertidumbre expandida relativa de la resistencia R es Ur= 3 ppm”

La razón para evitar el uso de las abreviaturas comentadas, radica en el hecho de que no hay un acuerdo

mundial respecto al nombre del número 109 y de números mayores (en muchos países, 1billón = 1 X 1012,

1billón = 1 X 109 como en los Estados Unidos de América); el mejor camino es, entonces, el escribir a los

18

números grandes haciendo uso de las potencias de 10. Otra y más importante razón, es lo inapropiado que

resulta hacer abreviaciones que dependen del lenguaje en combinación con signos y símbolos aceptados

mundialmente, como son: Mpa, ln, 1013 y %, para expresar el valor de cantidades y en ecuaciones u otras

expresiones matemáticas.

Cabe mencionar que en ciertos casos se justifica el uso de las abreviaturas ppm y ppb, por requerimientos

legales o de regulación.

Es inaceptable el uso de números romanos para expresar el valor de alguna cantidad. En particular, no debe de

utilizarse C, m, MM para sustituir 102, 103 y 106 respectivamente.

Una ecuación de una cantidad expresa una relación entre cantidades. Como ejemplo “l=vt, donde l es la

distancia recorrida por una partícula en movimiento uniforme, con una velocidad v y después de que ha

transcurrido un tiempo t”.

Dado que una ecuación de cantidades como l=vt es independiente de las unidades en las que se expresen los

valores numéricos de las magnitudes que intervienen en la ecuación, y ya que l, v y t representan cantidades y

no valores numéricos de las cantidades, es incorrecto asociar a la ecuación comentarios tales como:”donde l

está en metros, v en metros en cada segundo y t en segundos”

Por otro lado, una ecuación numérica expresa la relación que hay entre los valores numéricos de las cantidades

y entonces depende de las unidades utilizadas para expresar los valores de las cantidades. Por ejemplo, “lm=

3.6-1 vkm/hts” expresa la relación entre los valores de las cantidades l, v y t solamente cuando los valores de

las cantidades l, v y t están expresadas en unidades de metros, kilómetros en cada hora y segundos,

respectivamente. (Aquí Ax representa el valor numérico de la cantidad A expresado en unidades x).

Una forma alternativa de expresar la anterior ecuación numérica, por su simplicidad y su generalidad, es l/m

=3.6-1 [v/(km/h)](t/s). Los autores del NIST prefieren hacer uso de esta ecuación en lugar de la forma

tradicional: “ l =3.6-1 vt con l está en metros, v está en kilómetros en cada hora y t está en segundos”. En

efecto esta formase presta a ambigüedades ya que no se hace una distinción entre la cantidad y sus valores

numéricos. Una forma correcta de expresar esta ecuación numérica es: “l*= 3.6-1 v*t*, donde l* es el valor

numérico de la distancia l recorrida por una partícula en movimiento uniforme, cuando l está expresada en

metros, con v* valor numérico de la velocidad v de la partícula, cuando v está expresada en kilómetros en cada

hora, y t* es el valor numérico del tiempo t que ha transcurrido, cuando t está expresado en segundos”. Debe

de quedar claro que se hace necesario expresar con diferentes signos los valores numéricos de las cantidades y

las cantidades con el fin de evitar confusiones.

Cuando una cantidad sea el resultado de un cociente debe de expresarse como “dividida por” y no como “por

unidad de” con el fin de evitar la apariencia de asociar una unidad particular con una cantidad derivada. Por

ejemplo “Presión es fuerza dividida por área” pero no “presión es fuerza por unidad de área”.

19

Es necesario no confundir la característica del objeto en estudio, con el objeto mismo. Es decir se debe de tener

la posibilidad de diferenciar entre un fenómeno, un objeto o una sustancia: Es diferente un cuerpo que su masa,

la superficie que su área, un capacitor que su capacitancia. Por ejemplo: es correcto “ Se colgó un objeto, de

masa de 1 kg, de un hilo inextensible para formar un péndulo” pero no se acepta “se colgó una masa de 1 kg de

un hilo inextensible para formar un péndulo”.

Cualquier cantidad derivada Q, del S I, puede ser expresada como combinación de las cantidades base del SI

longitud (l), masa (m), tiempo (t), corriente eléctrica (I), temperatura termodinámica (T), aumento de sustancia

(n), intensidad luminosa (Iυ) a través de una ecuación de la forma:

∑=

=n

1kk

ην

ξεδγβα aInTItmlQ

con α, β, γ, δ, ε, ζ, η valores numéricos y ka también valores numéricos. La dimensión de Q está dada por:

ην

ξεδγβα JNITMLQ dim Θ=

con: L dimensión de longitud

M dimensión de masa

T dimensión de tiempo

I dimensión de corriente eléctrica

Θ dimensión de temperatura termodinámica

N dimensión de aumento de sustancia

J dimensión de intensidad luminosa.

Los exponentes α, β, γ, δ, ε, ζ, η se conocen como exponentes dimensionales. Para obtener la unidad derivada

correspondiente de Q es necesario sustituir en la ecuación de la dimensión de Q las dimensiones básicas por las

unidades correspondientes. La unidad de Q es ην

ξεδγβα cdmolKAskgm . Existen casos en los que todos los

exponentes dimensionales son iguales a cero, en esta situación la cantidad Q es una cantidad adimensional, es

decir dimQ = 1. En tal situación la unidad de tal cantidad es 1 y se conoce como unidad derivada adimensional.

ESTADÍSTICA

20

Introducción

Cuando se cuenta con un número considerable de datos (10, 15, 20, 100 ó más) que representan valores de

alguna variable (edad de una población, ingresos por familia, masa de un lote de objetos, longitud de un lote de

barras de acero, etc.), los cuales se han obtenido ya sea a través de alguna encuesta, como es el caso de las

variables de interés en la Ciencias Sociales, o realizando alguna medición, como es el caso de las Ciencias

Experimentales. No basta contar con una tabla que muestre a estos datos para poder obtener información valiosa

del proceso o fenómeno, se requiere hacer un análisis de los mismos, el cual se puede iniciar con la construcción

de un histograma de frecuencias o de un histograma de frecuencias relativas.

Tabla de frecuencia Frecuencia Valor de la variable

1 17,821 1 17,90 2 17,95 2 18,02 2 18,09 4 18,10 2 18,15 1 18,20 1 18,25 1 18,30 2 18,37 1 18,40

Si se hiciese una gráfica de la frecuencia con la que aparece cada uno de los valores en el conjunto de

datos en función de los posibles valores de la variable, se obtiene una gráfica como la mostrada en la figura 1, en

donde solamente se observan un conjunto de puntos aislados, es claro que una gráfica de estas características no

es de gran ayuda.

Histograma de Frecuencias.

Si ahora el intervalo en el que quedan comprendidos los valores, espacio muestral, que forman el conjunto de

datos es dividido en sub-intervalos, llamados clases y que tienen las siguientes características:

1 De acuerdo con la NORMA Oficial Mexicana NOM-008-SCFI-2002, Sistema General de Unidades de Medida, los decimales se separan de los enteros a través de una coma (,).

21

GRÁFICA DE PUNTOS

0

1

2

3

4

17.8 17.9 18 18.1 18.2 18.3 18.4

VARIABLE

FREC

UEN

CIA

Figura 1

a). Cada uno de los datos debe pertenecer a una y sólo una clase. Los intervalos que forman las clases son

cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha ([x1, xf⟩), excepto el último que es cerrado por ambos lados.

b). Las clases deben tener igual longitud.

c). Es deseable que no haya clases con frecuencia cero

d). El número de clase depende del número de datos. Es posible hacer uso de los siguientes valores.

Tamaño de la muestra número de clases (número de datos)

menos de 10 4 de 10 a 20 5 de 20 a 45 6 de 45 a 90 7 de 90 a 180 8 de 180 a 360 9 de 360 a 720 10

más de 720 entre 10 y 20

Para determinar el tamaño de las clases, una vez que se ha determinado el número de clases, se aplica:

máximo mínimoX -XTamaño de claseNúmero de clases

= (1)

Para facilitar la construcción del histograma y para que el tamaño de las clases sea igual, es recomendable que el

tamaño de cada clase se un múltiplo de la resolución del equipo que se está utilizando, así por ejemplo si se miden

longitudes con un vernier cuya resolución es de 0,05 mm, dependiendo del número de datos, el tamaño de la clase

puede ser 0,05 mm, 0,10 mm, 0,15 mm, etc. Pero no es recomendable 0,08 mm, 0,12mm.

22

Una vez determinado el número de clases, el tamaño de las clases y el intervalo de valores de cada clase es

posible construir una tabla de frecuencias y clases, donde la frecuencia (F) es el número de datos que pertenece a

cada clase. Si cada frecuencia se divide entre el número total de datos entonces se tiene una tabla de una

frecuencia relativas (f) y clases. Es posible construir ahora una gráfica de frecuencias en función de clases con lo

que se obtiene un histograma de frecuencia (fig. 2), mientras que si se gráfica frecuencia relativa en función de

intervalo se obtiene un histograma de frecuencias relativas (fig. 3).

Aplicando al ejemplo numérico se tiene:

582,1740,18clase de tamaño −

=

tamaño de clase = 0,116

con el fin de que el tamaño de clase no imponga complicaciones se puede hacer:

tamaño de clase = 0,10

y entonces la tabla de clases y frecuencias queda como:

Tabla de Clases y Frecuencias

Clases Frecuencias 90,17 ;80,17 1

00,18 ;90,17 3

10,18 ;00,18 4

20,18 ;10,18 6

30,18 ;20,18 2

[ ]40,18 ;30,18 4 En el caso de tener un histograma de frecuencia si se considera la base de cada una de las barras es igual a

uno entonces, el área total de las barras que forman el histograma es el número total de datos. Mientras que en el caso de un histograma de frecuencias relativas se tiene que el área total de las barras es uno en este caso el área de cada barra es la probabilidad de ocurrencia de cada clase, es decir la probabilidad de que al realizar una nueva medición el resultado de ésta pertenezca a una clase.

23

Figura 2

Figura 3

Probabilidad

Es posible definir de dos formas la probabilidad de un evento, la probabilidad A priori y la probabilidad A

posteriori.

En el primer caso basta con saber el número de valores del espacio muestral que forman el evento estudiado y el

tamaño del espacio muestral:

Probabilidad A priori:

Apr

Número de valores de la variable que cumplen la condición impuestaPTamaño del espacio muestral

=

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS RELATIVAS

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

17,85 17,95 18,05 18,15 18,25 18,35

VARIABLE

FREC

UENC

IAS

RELA

TIV

AS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

0

1

2

3

4

5

6

17,85 17,95 18,05 18,15 18,25 18,35

VARIABLE

FREC

UENC

IAS

24

(2)

Por ejemplo la probabilidad de que al escoger a una persona al. azar, ésta sea del sexo femenino es: el Número de valores de la variable que hacen que el evento se cumpla es 1 (el valor de la variable es femenino), el tamaño del espacio muestral es 2 (la variable sexo solamente toma el valor femenino y el valor masculino). Entonces: PApr = ½. ¿Cuál es la probabilidad de que al arrojar un dado, legal, caiga un número par? El número de valores de la variable que hacen que el evento se cumpla es 3 ( los números pares en un dado son 2, 4, 6), el tamaño del espacio muestral es 6 (los posible valores que puede tomar la variable son: 1, 2, 3, 4, 5, 6), entonces la probabilidad A priori es: PApr = 3/6; PApr = ½.. Para determinar la probabilidad A posteriori es necesario contar con un conjunto de resultados experimentales, ya que: Probabilidad A posteriori:

(PApos) = Número de datos en el que se cumplió la condiciónNúmero de veces que se realizó el experimentoAposP =

(3)

Así por ejemplo de los datos reportados en la tabla 1 ¿Cuál es la probabilidad de que la variable tome el valor 18.1? El número de datos que satisfacen este evento (que la variable tome el valor 18.1) es 4, el número de veces que se realizó el experimento es 20, entonces: PApo= 4/20 es decir PApos = 1/5. La probabilidad del evento seguro es 1, mientras que la probabilidad del evento imposible es cero. Así por ejemplo la probabilidad de que al escoger a algún alumno el sexo de éste sea masculino o femenino es 1. Mientras que la posibilidad de que la variable sexo tome el valor 20 (la variable sexo sólo puede tomar los valores masculino y femenino) es cero. Parámetros de Tendencia Central y de Dispersión.

Sin proporcionar una información cuantitativa el histograma da cierta idea del comportamiento del

conjunto de datos estudiado. Así por ejemplo, si existe un solo máximo o sí hay más de uno, con lo que se puede

tener una idea del valor más representativo del conjunto de datos. También es posible ver qué tan dispersos se

encuentran los datos respecto al centro del histograma y si en éste es donde se localiza el máximo.

Existen dos parámetros básicos (en realidad son estimadores de los parámetros ya que el conjunto de datos

estudiado sólo representa una muestra del universo total de datos) que permiten cuantificar las características

globales del conjunto de datos analizado. El primero de ellos es el promedio o media aritmética o simplemente

media ( x ), que pertenece al grupo de parámetros de tendencia central y que se calcula de la siguiente manera:

n

i-i=1

x=

nx∑

(4)

25

donde xi es cada uno de los valores y n es el número total de datos. Sí el conjunto de datos se encuentra agrupado

en clases el procedimiento es el siguiente:

n

xFx

m

1jjj∑

==

(5) donde m es el número total de clases, Fj la frecuencia de la j-esima clase y xj el valor representativo de la j-esima

clase, el cual, si no existe algún valor preferencial se obtiene al promediar los extremos de la clase.

2XXX FI

J+

=

(6)

Para el caso de contar con frecuencias relativas el promedio de los datos se obtiene:

m

j jj=1

x= f x∑

(7)

Vale la pena hacer notar que los promedios obtenidos con las ecuaciones 5 y 7 no coinciden exactamente

con el obtenido con la ecuación 4, con la que se obtiene el valor exacto del promedio, sin embargo representan

una buena aproximación.

Aplicando la ecuación 4 al conjunto de datos del ejemplo se tiene:

=x ++++++++++ 10,1810,1809,1809,1802,1802,1895,1795,1790,1782,17

2040,1837,1837,1830,1825,1820,1815,1815,1810,1810,18 +++++++++

=x 18,12

Mientras que al aplicar la expresión 7, se llaga a:

26

Clases

Xj= 2*1 fxx +

Frecuencias jj xF

9.17;8.17 17,85 1 17,85

0.18;9.17 17,95 3 53,85

1.18;0.18 18,05 4 72,20

2.18;1.18 18,15 6 108,90

3.18;2.18 18,25 2 36,50

[ ]4.18;3.18 18,35 4 73,40 .

∑

=

m

jjj xF

1

362,70

de donde:

2070,362

=x

y =x 18,1351

El segundo parámetro que permite caracterizar un conjunto de datos es la desviación típica y pertenece a

los parámetros de medida de dispersión, la desviación típica se calcula como:

( )1n

xxs

n

1i

2i

−

−=

∑=

(8) Para el caso de tener los datos agrupados en clases se utiliza:

( )1n

xxFs

m

1j

2jj

−

−=

∑=

(9) La situación en la que se cuenta con las frecuencias relativas permite calcular la desviación típica como:

( )1n

xxfns

m

1j

2jj

−

−=

∑=

(10) Aplicando la Expresión 8 al ejemplo estudiado se tiene:

1 Es necesario hacer notar que el número de cifras significativas que se están informando es mayor que el adecuado, debería de reportarse hasta las centésimas, esto se ha hecho con el fin de hacer notar la diferencia entre el resultado obtenido a través de la expresión 4 y el obtenido por medio de la expresión 6, de hecho el valor que debería de informarse es 18.14, debido al redondeo. El mismo comentario aplica para la desviación típica.

27

+−+−+−+−+−=

22222 18,12)(18,0218,12)(17,9518,12)(17,9518,12)(17,9018,12)(17,82s

+−+−+−+−+− 22222 18,12)(18,1018,12)(18,1018,12)(18,0918,12)(18,0918,12)(18,02

+−+−+−+−+− 22222 18,12)(18,2018,12)(18,1518,12)(18,1518,12)(18,1018,12)(18,10

2018,12)(18,4018,12)(18,3718,12)(18,3718,12)(18,3018,12)(18,25 22222 −+−+−+−+−

++++++++++=

0,00040,00040,00090,00090,01000,01000,02890,02890,04840,0900s

190,07840,06250,06250,03240,01690,00640,00090,00090,00040,0004 +++++++++

=s19

0,4805

=s 025,0

=s 0,1590

Al aplicar la ecuación 9 se tiene que la desviación típica de los datos utilizados en el ejemplo es:

Clases

Xj= 2*1 fxx +

Frecuencias ( )2jxx − ( )2

jj xxF −

9.17;8.17 17,85 1 ,0812 ,0812

0.18;9.17 17,95 3 ,0342 ,1026

1.18;0.18 18,05 4 ,0072 ,0288

2.18;1.18 18,15 6 ,0002 ,0012

3.18;2.18 18,25 2 ,0132 ,0264

[ ]4.18;3.18 18,35 4 ,0462 ,1848 .

∑

=

−m

jjj xxF

1

2)(

,4250

de donde:

28

190,4250s =

=s 0223,0

=s 0,1496

Es indispensable aclarar, que tanto la media como la desviación típica tienen las unidades de la variable de los datos, en el ejemplo presentado este hecho se ha obviado, es decir la variable estudiada es adimensional entonces la media y la desviación típica también lo son.. La moda, la mediana y la desviación media tienen las mismas unidades de los datos de los que provienen; no así la varianza cuyas unidades son las unidades de los datos elevadas al cuadrado.

Dentro de los parámetros de dispersión se tienen también a:

1nxx

Media Desviación i

−

−= ∑

(11)

y la

( )1n

xxVarianza

2i

−

−= ∑

(12)

Existen dos parámetros más de tendencia central: la moda y la mediana. La moda se define como el valor

de mayor frecuencia dentro del conjunto de datos, en el caso de contar con un histograma la moda corresponde a

la clase con la barra más alta.

Al ordenar en forma ascendente los datos, el valor o valores que se encuentren a la mitad representan la mediana; en caso de contar con un histograma, la clase o clases que se encuentran a la mitad del intervalo de valores representan la mediana. Para el caso del conjunto de datos estudiado se tiene que la moda y la mediana coinciden. El valor 18,10 aparece 4 veces y es el de mayor frecuencia, por lo tanto la moda es 18,10. Al ordenar los datos en forma ascendente se tiene que el valor 18,10 ocupa el décimo y el undécimo lugar por lo tanto la median avale 18,10. 17,82, 17,90, 17,95, 17,95, 18,02, 18,02, 18,09, 18,09, 18,10, 18,10, 18,10, 18,10, 18,15, 18,15, 18,02, 18,25, 18,30, 18,37, 18,37, 18,40.

MEDIANA Para el caso de contar con los datos en un histograma se tiene:

29

MEDIA, MODA, MEDIANA Figura 4.

es decir la media, la moda y la mediana están en la clase 20.18;10.18 . Vale la pena mencionar que cuando se tiene un histograma simétrico respecto a un valor máximo central los valores de los tres parámetros de tendencia central coinciden, esto mismo pasa cuando la función de distribución de probabilidades es simétrica respecto al máximo. En la figura 5 se muestra la localización de los parámetros de tendencia central (moda, mediana y media) en una función de distribución de probabilidad.

Figura 5

Si se unen los puntos medio de los extremos superiores de las barras que forman el histograma de

frecuencias relativas, se obtiene un polígono irregular (figura 6) conocido como Polígono de Frecuencias; la

curva continua que se traza, de tal manera que pasa por la mayor parte de los vértices del Polígono de

Frecuencias, recibe el nombre de Curva de Distribución. La construcción de la Curva de Distribución de algún

experimento permite aplicar alguna de las Funciones de Distribución conocidas en el análisis de los datos.

30

Figura 6

Si se aumenta el número de mediciones o de encuestas realizadas, se incrementaría el número de datos,

con lo cual, sí el espacio muestral no cambia, el número de clases aumenta mientras su ancho disminuye con lo

que se obtiene un Polígono de Frecuencias "más suave". Si este proceso se continua hasta contar con un número

infinito de datos, el Polígono de Frecuencias deja de ser una curva quebrada y se convierte en una Curva de

Distribución. La función que genera a la Curva de Distribución se conoce como función de densidad de

probabilidad (f(x)) y cumple con las siguientes propiedades:

1. f(x) es una función unívaluada y positiva para todos los valores ℜ∈x .

2. f(x) está normalizada a la unidad ∫∞

∞−

= 1f(x)dx .

3. La probabilidad de que x caiga entre dos valores reales a y b está dada por:

∫=≤≤b

af(x)dxb)xP(a

y la probabilidad de que se obtenga un valor ≤ x está dada por:

∫ ∞−=

xf(x)dxF(x)

donde la función F(x) se conoce como función de distribución de probabilidad o función integral de distribución.

El valor de la media poblacional (µ) de la función de densidad de probabilidad está dado por:

∫∞

∞−

= xf(x)dxμ

(13)

POLÍGONO DE FRECUENCIAS

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

17,85 17,95 18,05 18,15 18,25 18,35

VARIABLE

FREC

UEN

CIA

S R

ELA

TIVA

S

31

Es necesario destacar que la media obtenida a través de la ecuación (13) es la media poblacional, mientras

que x es un estimador de esta media. Que tan buen estimador resulte x depende de que tan representativa es la

muestra de la población.

Algunas propiedades de la media poblacional, que también son validas para la media muestral

definida en la ecuación 2, son:

1.-Si c es una constante (magnitud no aleatoria)se cumple

µ(c)= c

(14)

µ(cx)= cµ(x)

(15)

2.- Si la magnitud aleatoria x es la suma de n magnitudes independientes

x = x1 + x2 + . . . +xn

el valor medio de la variable x es igual a la suma de los valores medios de cada una de las n variables

aleatorias

µ(x) = µ(x1) + µ(x2) + . . . +µ(xn)

(16)

3.- Si la magnitud aleatoria y es una cierta función no lineal de n magnitudes aleatorias independientes

y = f(x1,x2, . . ., xn)

que varía poco en intervalos pequeños de variación de los argumentos, para la media µ(y) se cumple, en forma

aproximada que

µ(y) = f(µ(x1), µ(x2), . . ., µ(xn))

(17)

La varianza poblacional (σ2 ) se obtiene:

xf(x)dμ)(xσ 22 ∫ −=

(18)

La varianza tiene las siguientes propiedades:

1.- Si c es un número constante entonces

σ2(c) = 0

(19)

σ2(cx) = c2σ2(x)

(20)

32

2.- La ley de adición de las varianzas: Si la magnitud aleatoria x es la suma de n magnitudes

independientes

x=x1 + x2 + . . . +xn

el valor de la varianza de la variable x es igual a la suma de los valores de las varianzas de cada una de las n variables aleatorias

σ2(x) = σ2(x1) + σ2(x2) + . . . +σ2(xn)

(21)

vale la pena hacer notar que la ley de adición es valida para las varianzas (σ2(x)) no así para las desviaciones

típicas (σ(x)).

Relación Entre la Desviación Típica Poblacional y Muestral.

Sea la función y = f(x1,x2), a pesar de que el desarrollo se hará para dos variables es válido para n

variables, al desarrollar en series de Taylor Δyy + se llega a

),( 2211 xxxxfyy ∆+∆+=∆+ (22)

mayororden de terminosΔxxfΔx

xf)x,f(xΔyy 2

21

121 +

∂∂

+∂∂

+=+

(23)

entonces

mayororden de terminosΔxxfΔx

xfΔy 2

21

1

+∂∂

+∂∂

=

(24)

Es necesario hacer notar que en particular, si el desarrollo se hace en torno del valor medio entonces

yyΔy −= , 111 xxΔx −= y 222 xxΔx −= ya que )x,xf(y 21= , de donde la varianza de y está dada por

( )nΔy

)y( σ2∑=

(25)

La n en el numerador se debe a que se está considerando la varianza poblacional. Sustituyendo el valor de

∆y se tiene

( ) ( )∑

∂∂

+

∂∂

=2

22

11

2 ΔxxfΔx

xf

n1)y(σ

(26)

al desarrollar el cuadrado del binomio llega a

33

( ) ( ) ( )( )∑

∂∂

∂∂

+

∂∂

+

∂∂

= 2121

22

2

2

21

2

1

2 ΔxΔxxf

xf2Δx

xfΔx

xf

n1)y(σ

(27)

Distribuyendo la suma y n

( ) ( ) ( )( )

∂∂

∂∂

+

∂∂

+

∂∂

= ∑∑∑n

ΔxΔxxf

xf2

nΔx

xf

nΔx

xf)y(σ 21

21

22

2

2

21

2

1

2

(28)

pero

( ))(xσ

nx

i2

2i =

∆∑

(29)

aplicando este resultado a la expresión

( )( )

∂∂

∂∂

+

∂∂

+

∂∂

= ∑n

ΔxΔxxf

xf2)(xσ

xf)(xσ

xf)y(σ 21

212

22

21

22

1

2

(30)

El comportamiento de ( )( )∑ 21 ΔxΔx depende de la relación que hay entre las variables x1 y x2.

Efectuando la suma

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n2n122211211

n

1ii2i1 ΔxΔx...ΔxΔxΔxΔxΔxΔx ++=∑

=

(31)

El término ( ) ( )k2k1 ΔxΔx es un sumando del producto punto de los vectores

( ) ( ) ( ) ( ) n121111 Δx,...Δx,ΔxΔX =

y

( ) ( ) ( ) ( ) nxxxX 222122 ,..., ∆∆∆=∆ (32)

Recordando que el producto punto de dos vectores está dado por

θcosXYXY =•

(33)

al sustituir en el doble producto de la expresión (30) se tiene

34

( ) ( ) θσσ cos2 2121

xxxf

xf

∂∂

∂∂

(34)

Para determinar el cosθ se grafica x1 en función de x2. Se determina el valor promedio 1x y 2x . Tomando

como origen los valores promedio ( 1x y 2x ) se refieren los puntos (x1)i ,(x2)i dando lugar al siguiente conjunto de

puntos

X2 X1

( ) 212 xx − ( ) 111 xx −

( ) 222 xx − ( ) 121 xx − . . . . . .

( ) 22 xx k − ( ) 11 xx k − . . . . . .

( ) 22 xx n − ( ) 11 xx n −

Se construyen las rectas X1 = m2X2 y X2 = m1X1 que se cruzan en el origen del nuevo sistema de ejes

coordenados, el punto ( 1x , 2x ) del sistema de ejes original.

Se tiene tres posibles situaciones con las rectas:

Caso en el que 900 <Θ≤ y entonces el cosΘ se encuentra entre 1,0

35

Caso en el que 90=θ y el cosθ=0

Caso en el que 18090 ≤< θ y el cosθ se encuentra entre 0,1−

El cosθ se obtiene del producto punto de los vectores n'12

'11

'11 ),...(x)(x,)(xX = y n

'22

'21

'21 ),...(x)(x,)(xX = ,

entonces

21

21cosXXXX •

=θ

(35)

de donde

36

( )( ) ( )∑ ∑∑

=2

22

1

21cosii

i

XX

XXθ

(36)

expresando ( )'1x y ( )'

2x en términos de (x1)i y (x2)i se llega a

1 2

2 21 2

)( ))

( ) ( )1 2

1 2

((x x x xcos

x x x xi

i i

θ− −

=− −

∑∑ ∑

(37)

que se conoce como coeficiente de correlación lineal (r).

Si hay una correlación directa entre x1 y x2 entonces 01 >≥ r .

Si x1 y x2 no están correlacionados entonces r=0..

Si x1 y x2 están correlacionados inversamente entonces 10 −>≥ r

De lo anterior se tiene que la ecuación (25) se puede expresar como

∂∂

∂∂

+

∂∂

+

∂∂

= rxxxf

xfx

xfx

xfy )()(2)()()( 21

212

22

21

22

1

2 σσσσσ

(38)

el caso general en el que y = f(x1, x2, x3, . . . , x N) entonces la varianza de y (σ(y)) es

∂∂

∂∂

+

∂∂

= ∑∑∑=

−

==ijji

ji

N

j

N

ii

i

N

irxx

xf

xfx

xfy )()(2)()(

1

1

1

22

1

2 σσσσ

(39)

Es necesario hacer notar que la ecuación (39) es la utilizada en la “GUÍA BIMP/ISO PARA LA EXPRESIÓN DE LAS INCERTIDUMBRES EN LAS MEDICIONES” para determinar la incertidumbre combinada. Al obtener el valor promedio de la variable x se tiene

( )nxxxxn

x ++++= ...1321

(40)

++++=

nx

nx

nx

nx

x n...321

de donde las derivadas parciales son:

nxf

k

1=

∂∂

37

(42)

introduciendo este resultado en la expresión 39

( ) ( ) ( )

++

+

= nxs

nxs

nxs

nx 2

2

22

2

12

22 1...11)(σ

(43)

Se han sustituido las kσ(x )por ks(x ) ; ya que solamente se cuenta con las desviaciones típicas de cada valor

individual de x. Ya que las varianzas s2(xk) son varianzas de la misma variable entonces cumplen

( ) ( ) ( ) 2 2 21 2 ... ns x s x s x≈ ≈ ≈

(44)

de donde se obtiene que la varianza del promedio está dada por

( ) ( )n

xsx2

2 =σ

(45)

La expresión (45) multiplicada por el factor de corrección t es la incertidumbre tipo A. Ejemplos de Funciones de Densidad de Probabilidad.

Función de Densidad de Probabilidad Normal.

Un ejemplo de función de densidad de probabilidad es la Función Gaussiana o Función de Densidad de

Probabilidad Normal. En la naturaleza no existe un gran número de variables que cumplan con esta distribución;

sin embargo, presenta la ventaja que para un número grande de datos otras funciones de densidad se aproximan a

la función de Densidad de Probabilidades Normal.

La Función de Densidad Normal o Función Gaussiana para una variable aleatoria x está dada por:

−

−=2

21exp

21

σµ

πσxf

(46)

Mientras que la Función de Distribución de Probabilidad es:

( ) 02

x

-

1 1 x-μF x = dx exp -σ2π 2 σ∞

∫

(47)

La curva de la Función de Densidad de Probabilidad (figura 7) es simétrica con respecto a la posición de µ,

razón por la cual la moda y la mediana coinciden con la media. Vale la pena hacer notar que el ancho de la curva

depende de σ, entre más grande es la desviación típica más ancha y más baja es la campana.

38

Figura 7

El área bajo la curva cumple que el .68 se encuentra en la región determinada por [µ−σ, µ+ σ], es decir

existe un 68%de probabilidad de que dado un valor de la variable aleatoria éste caiga en dicho intervalo.

Para la región comprendida en [µ−2σ, µ+ 2σ], se cuenta con un .955 del área bajo la campana, lo que indica que

dado un valor de x existe um .955 de probabilidad de que caiga en esa región.

El 99.7% del área bajo la Función de Densidad de probabilidad está comprendida en [µ−3σ, µ+ 3σ], con

lo que se tiene una probabilidad de. .997 de encontrar un valor dado de la variable x.

Los valores del área bajo la curva de la Función de Densidad de probabilidad Normal se encuentran en

tablas para los valores µ=O y σ = 1, de tal suerte que para poder hacer uso de estos datos es necesario efectuar el

siguiente cambio de variable:

x-xz=s

(48)

Con x valor de la variable estudiada, x valor medio, s valor medio de las desviaciones típicas de cada valor de x

y z es el valor de la variable que se requiere consultar en la tabla.

Para poder hacer uso de la información contenida en las tablas de área bajo la función normal de

distribución de probabilidad, se hace necesario saber que zona de la función se está presentando. En las siguientes

figuras se muestran algunas posibilidades.

39

Figura 8.- La zona achurada representa la función de Distribución de Probabilidad F(x).

De acuerdo con la ecuación 47 la Función de Distribución de Probabilidad (F(x)) es el área bajo la función

de Densidad de Probabilidad de −∞ a un cierto valor x0 de la variable, es decir es la probabilidad de encontrar un

valor de la variable en el intervalo , 0x−∞ :

)0 0F(x )= P(- <x x∞ ≤

(49)

Con esta tabla también es posible determinar, directamente1, la probabilidad del intervalo

complementario:

)0 0P(x x< )= 1 - P(- <x x≤ ∞ ∞ ≤

(50)

1 La aclaración “directamente” es porque la determinación de la probabilidad no requiere hacer ninguna otra operación matemática, sin embargo con cualquier tabla es posible determinar la probabilidad de cualquier intervalo, basta recordar que la integral de un intervalo es igual a la suma de las integrales de los subintervalos en los que se divide el intervalo.

40

Figura 9.- Área central bajo la curva de la función de densidad de probabilidad Normal o de Gauss.

Algunas tablas de área bajo la curva de densidad de probabilidad Normal lo que contienen es el área

central de la curva (Fig. 9), es decir la probabilidad del intervalo centrado en el valor medio 0 0(P(-x x x ))≤ ≤ .

Es claro que con la información contenida en esta tabla es posible determinar las siguientes probabilidades:

0 00 0

P(-x x x )P(-x x 0) = P(0 x x ) = 2≤ ≤≤ ≤ ≤ ≤

(51)

expresión valida cuando 0 0-x = x y sin olvidar que el valor medio usado para realizar los cálculos es igual a

cero (μ = 0) . La probabilidad de las colas:

0 0 0 0P(- <x x ) + P(-x x< ) = 1 - P(-x x x )∞ ≤ ≤ ∞ ≤ ≤

(52)

por cierto existen tablas que contienen esta probabilidad (fig. 10).

Vale la pena repetir que sabiendo el tipo de información contenida en las tablas de la función de

densidad de probabilidad Normal es posible determinar la probabilidad de cualquier intervalo de interés, basta

hacer las sumas o las restas correspondientes, sin olvidar que las probabilidades de los intervalos son áreas bajo la

curva y que éstas pueden sumarse o restarse.

41

Figura 10.- Área de colas bajo la curva de la función de densidad de probabilidad Normal o de Gauss.

Con el fin de ver la aplicación de las tablas de valores de la función de densidad de probabilidad se

presenta el siguiente ejemplo: Suponiendo que los datos utilizados en el ejemplo (tabla de frecuencia) siguen una

distribución normal, suposición inadecuada ¿por qué?, ¿cuál es el intervalo de valores de la variable, centrado en

el valor promedio, en el que existe un 50 % de probabilidad de encontrar un valor x de la variable?.

Como se ve en la tabla mostrada en la figura 11, para un área de 0.5 se tiene un valor de z = 0,674, con este

valor y haciendo uso de la ecuación 48 es posible determinar el valor la variable x. Despejando a x:

x = (z s) + x×

(53)

Sustituyendo: x = 18,12 y s = 0,16 en la ecuación 53 se tiene:

x = (0,674 0,16) + 18,12×

x = 18,23

Este valor de la variable x representa el límite superior de la región central que es el 50% del área

bajo la curva, el límite inferior se obtiene de la siguiente forma:

42

Figura 11.- Ejemplo de diferentes formas de presentación del área bajo la curva de la Función de de

Densidad de Probabilidad.

supΔx = x -x

infx = x-Δx

Sustituyendo los valores correspondientes:

Δx = 18,23-18,12

Δx = 0,11

infx = 18,12 - 0,11

infx = 18,01

El intervalo de valores de x en que existe un 50 % de probabilidad de que un valor de x caiga es

[ ]18,01;18,23 . De la tabla de frecuencia se observa que hay 11 datos que caen en el intervalo, lo que demuestra

una buena aproximación.

Con la misma hipótesis (que los datos utilizados en el ejemplo (tabla de frecuencia) siguen una

distribución normal) determinar cual es la probabilidad de encontrar un valor de x en el intervalo[ ]17,80;18,44 ,

centrado en el valor promedio.

43

Para poder hacer uso de la tabla de la figura 11 es necesario transformar el intervalo de interés a un

intervalo en términos de la variable z, dado que el intervalo está centrado en el valor promedio bastará

transformar uno de los valores extremos, por ejemplo 17,80 entonces haciendo uso de la expresión 48 se tiene:

17,80-18,12z=0,16

z = -2

Lo que significa, en términos de la variable z, que el intervalo es [ ]2,2− . De acuerdo a la tabla de la figura

11, en dicho intervalo, se tiene aproximadamente (z = 1.960) un área de 0,95. Recordando que el área total bajo

la función de distribución está normalizada a uno, entonces el área comprendida en el intervalo representa un 95

% del área total, lo cual quiere decir que existe un 95 % de probabilidad de encontrar un valor en dicho intervalo:

P (17,80 x 18,44) = 0,95≤ ≤

Sin embargo de la tabal de frecuencia se tiene que el espacio muestral está comprendido en el

intervalo [ ]17,82;18,40 , situación que se debió prever. Es necesario reflexionar en el sentido que se está tratando

de predecir el comportamiento de una función de densidad de probabilidad obtenida a partir de un número finito

de datos y que su espacio muestral está contenido en un intervalo finito, a través de una función de densidad

desarrollada para un número infinito de datos y cuyo espacio muestral es ,< −∞ ∞ > .

Función de distribución t-Student.

La función t-Student es una función de distribución de probabilidad que considera a la desviación típica

muestral,, en contraste con la función normal que utiliza la desviación típica poblacional.

−

=−

−

xs

xt µ

(49)

La función de la densidad de probabilidad t-Student depende del número de grados de libertad (f) de la

desviación típica muestral, que es igual a n-1 con n número de observaciones, y se determina a través de la

fórmula.

44

( )( )

∞<<∞−

+

Γ

+

Γ=Φ

+−

t

ft

ff

f

t

f2

12

21

1

2

21

π

(54)

Donde la función gama ( Γ(x)) se define como:

1-

0Γ( ) = e

zyz y dy

−∞

∫

(55) En la figura 12 se muestra la función de distribución t-Student para varios grados de libertad, la función es

simetríca respecto al valor t=0. Para valores de f>20 la función de distribución t-Student se acerca a la función

normal y para f = ∞ ambas coinciden. Para valores pequeños de f, es decir para pocos grados de libertad (pocas

observaciones) la función de distribución se diferencia fuertemente de la normal. Por ejemplo para f=1 la función

ф(t) su máximo es menor y se acerca al eje de las abscisas más lentamente para t→±ºº.

Una de las aplicaciones de las funciones de distribución de probabilidad, es dada una probabilidad

determinar el intervalo de valores de la variable que cumple con dicha probabilidad. En el caso de la función t-

Student si la probabilidad α de que la magnitud aleatoria t caiga en un intervalo cualquiera está dada, los límites

del intervalo buscado se caracterizan por las magnitudes -t1-α(f),t1-α(f), dependientes del número de grados de

libertad f y determinados de la condición.

P(-t1-α(f)<t(f)<t1(f))= α (52)

45

Figura 12

Un ejemplo de aplicación de la distribución t-Studen es la determinación del error que hay entre la media poblacional de una variable y la media muestral. Considerando como centro la media muestral, dado un intervalo. (Por lo general la probabilidad de que la media poblacional caiga en dicho intervalo es de 0.95, pudiendo tomar otros valores dependiendo del tipo de observaciones.

El intervalo de confianza para la media poblacional de la magnitud aleatoria se puede construir mediante la

magnitud aleatoria t y la función de distribución t-Student, ya que el número de observaciones es pequeño.

Aplicando la expresión (52), que determina los límites del intervalo de confianza por la probabilidad de que la

magnitud aleatoria x caiga en él; como tal se toma la magnitud de la función t-Student (f) con f=n-1 grados de

libertad, donde n es el número de observaciones.

P(-t1α(f)<t(f)<t1-α(f))=α

Sustituyendo el valor t(f) de acuerdo con la expresión (49). Se obtiene

P(-t1-α(f)<αµ

α =<−

−

−

))()( 1 ft

xsx

(53)

A solucionar la desigualdad para μ, se llega a

( ) ( ) αµ αα =

•+<<

•−

−

−

−−

−

−

xsftxxsftxP 11(

(54)

este intervalo es el intervalo de confianza, que determina la certeza de la media muestral, como estimador de la

media poblacional de la magnitud que se mide.

Aplicando el resultado de la ecuación (45) se obtiene

( ) ( )nxsftxsft )(11 αα −

−

− =

•

(55)

Este resultado será utilizado para expresar la desviación típica poblacional (σ(x)) en base a la desviación típica

muestral (s(x)) en el momento de determinar la incertidumbre tipo A.

Bibliografía

46

Baird D. C. "Experimentation: An Introduction to Measurement Theory and Experiment Design. Prentice Hall.

New Jersey, 1962.

Spiridonov V. P. Y Lopatkin A. A., Tratamiento Matématico de Datos Físico-Químicos. MIR. Moscú, 1973.

López Carmona Sergio y Sánchez Fernández Carlos. A. Reporte Técnico CNM-MEE-PT-0001. "Resumen y

Ejemplos de Aplicación de la Guía ISO/Bipm para la Expresión de Incertidumbres en la Mediciones". Querétaro,

1994.

Riveros G. Héctor y Rosas Lucía. "El Método Científico Aplicado a las Ciencias Experimentales": Trillas.

México, 1982.

"EVALUACION DE LA INCERTIDUMBRE EN LOS RESULTADOS DE LAS MEDICIONES"

Un poco de historia acerca de la evolución de la recomendación para la expresión de la incertidumbre.

1977 El CIPM (International Cornmittee for Weights and Measures) encarga al BIPM (International

Bureau of Weights and Measures) busque un consenso internacional en la forma de expresar la incertidumbre en

las mediciones.

1980 El BIPM convoca al grupo de trabajo sobre "El Informe de la Incertidumbre". Ese mismo año surge la

recomendación INC-.

1985 A solicitud que le hace el CIPM a la ISO (International Organization for Standardization) surge "La Guía

para la Expresión de la Incertidumbre en las Mediciones".

1993 Aparece la segunda edición de "lntemational V ocabulary of Basic and General Terms in Metrology" en

donde se establece:

INCERTIDUMBRE EN LA MEDICION: parámetro asociado con el resultado de una medición, que

caracteriza la dispersión de valores que puede ser razonablemente atribuido al mensurando ( cantidad particular

sujeta a medición).

47

1996 NMX-CH-140:1996IMNC “GUÍA PARA EVALUACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE EN LOS

RESULTADOS DE LAS MEDICIONES”

48

49

Cercanía entre el resultado de una medición y el valor verdadero de la cantidad medida. Cercanía entre los resultados de mediciones de la misma cantidad, bajo medición. Cercanía entre los resultados de mediciones de la

misma cantidad, bajo medición.

Mediciones resultado de una

comparación directa entre un

instrumento de medición y la cantidad

que se está midiendo.

Mediciones resultado de algún modelo

matemático o relación funcional, entre

la cantidad de interés y cantidades que

se miden directamente.

EXACTITUD

REPRODUCIBILIDAD

(de los resultados de condiciones

diferentes de mediciones)

REPETBILIDAD

(de los resultados las mismas

condiciones de de mediciones)

MEDICIONES DIRECTAS

MEDICIONES INDIRECTAS

1

Incertidumbre (de la medición) Parámetro asociado con el resultado de

una medición que caracteriza la

dispersión de los va1ores, que

razonablemente pudiera ser atribuida al

mensurando.

Estandar-Incertidumbre del resultado

de una medición expresada como una

desviación típica.

Tipo A-Incertidumbre determinada mediante

el análisis estadístico de una serie de

observaciones.

Tipo B- Incertidumbre determinada por otro

medio que no sea el análisis estadístico de

una serie de observaciones.

Estándar Combinada- Incertidumbre estándar

del resultado de una medición cuando el

resultado se obtiene a partir de los valores

de algunas otras magnitudes, igual a la raíz

cuadrada positiva de una suma de términos,

siendo estos términos las varianzas y

covarianzas de estas otras magnitudes

ponderadas de acuerdo a cómo el resultado

de la medición varía con respecto a cambios

en esas magnitudes.

Expandida-Cantidad que define un intervalo

alrededor de una medición del que se puede

esperar abarque una fracción grande de la

distribución de valores que razonablemente

pudieran ser atribuidos al mensurando.

2

INTUITIVAMENTE

-MEDICIONES DIRECTAS: Una sola medida: se asocia la incertidumbre del aparato, por ejemplo: la mitad de la

mínima escala para el caso de un flexómetro o cinta métrica; la mínima escala para

sistemas con nonio, de acuerdo a lo indicado en el manual para equipos eléctricos y

electrónicos.

Repetición de varias medidas: Se toma en cuenta la incertidumbre del aparato y se le

suma la desviación típica de los resultados de las mediciones.

1)( 2

−−

= ∑n

xxs

-MEDICIONES INDIRECTAS: En este caso se tiene un modelo matemático que relaciona la variable de interés

con las variables de las que depende. y=f(xl,x2,...xn)

Suponiendo, por facilidad, que "y" depende de una sola variable y considerando

a las derivadas como cocientes se tiene:

xdxdyy ∆

=∆

Con Δy y Δx incertidumbres de las variables x e y. Para el caso en el que y

depende de más de una variable se tiene:

nn

xdxdyx

dxdyx

dxdyy ∆

++∆

+∆

=∆

121

21

1

...

De Acuerdo con la Guía BIMP/ISO para la Expresión de las Incertidumbres en

las Mediciones:

La incertidumbre de una medición se expresa como una desviación típica

3

2/1

1

1

1 1

21

2

)()()(2))(()(

+

= ∑ ∑ ∑

=

−

= +=

n

i

n

i

n

ijjiji

jii

xxrxxxy

xyx

xyy σσ

δδ

δδσ

δδσ

Existen 2 contribuciones a la incertidumbre:

Incertidumbre Tipo A es igual a:

nxSftxA)()()( 1 ασ −=

Es común no contar con una muestra mayor a 10 datos, en esas situaciones es

necesario multiplicar la desviación típica muestral (s(x)) por el factor de corrección t, el

cual se obtiene de la Función de Distribución de Probabilidad t-Student. La tabla

muestra los valores de α−1t para un factor de cobertura k=2 y diferentes números de

datos.

Número de

observaciones

t1-α

2 7.0

3 2.3

4 1.7

5 1.4

6 1.3

4

7 1.3

8 1.2

9 1.2

En el caso de las incertidumbres tipo B se tiene que la desviación típica se evalúa por medios diferentes al análisis estadístico, tomando en cuenta toda la información de que se disponga, tal Como:

-Datos de mediciones previas. - Experiencia con el sistema de mediciones o conocimiento general del mismo - Especificaciones del fabricante - Datos disponibles de calibración y otros reportes - Incertidumbre asignadas a datos de referencia de manuales, informes, etc..

Es, en la mayoría de los casos, necesario realizar alguna manipulación de la

información para poder expresar la incertidumbre como una desviación típica, por

ejemplo: a).- Suponiendo que la incertidumbre se expresa como un múltiplo de la desviación

típica, se tiene BE hσσ = en donde Eσ es la Incertidumbre y Bσ es la desviación

típica. Entonces la incertidumbre tipo B está dada por:

hE

Bσσ =

b ).- Si se supone que Eσ se expresa como un nivel de confianza se tiene:

kσ

σ EB =

donde k es el factor de cobertura y se supone que el mensurando sigue una distribución normal. c).- Suponiendo que el valor del mensurando se encuentra en un intervalo tal que, la

probabilidad de que el mensurando tome cualquier valor de dicho intervalo es la

misma, función de distribución rectangular.

5

d).- En el caso en el que el mensurando siga una distribución triangular :

6a

B =σ

donde a es la semibase del triángulo, de la función de distribución.

La incertidumbre expandida ( expσ ) es la incertidumbre combinada multiplicada

por un factor de cobertura k

cexp kσσ =

6

suponiendo que el mensurando sigue una función de distribución normal alrededor del valor informado, el factor de cobertura tiene el siguiente nivel de confianza :

k

(factor de cobertura)

Nivel de confianza

1 68,27 %

2 95,45 %

3 99, 73 %

El valor de k=2, con un nivel de confianza de 95,45%, es el valor utilizado en la

mayoría de los trabajos de metrología.

Pasos necesarios para determinar la incertidumbre:

l.-Definir el mensurando, determinando los mensurandos de los que depende

II.-Determinar el modelo que representa el proceso de medición, es decir expresar a través de la relación entre el mensurando de interés y los mensurandos de los que depende.

III.-Clasificar las componentes de la incertidumbre: Incertidumbre tipo A e

incertidumbre tipo B.

IV.- Para determinar la Incertidumbre Estándar Combinada Aplicar la expresión:

2/1

1 1 1

22

),()()(2))(()(

+

= ∑ ∑ ∑

= = +=

N

I

n

i

n

ijjiijji

jii

i

xxrxxxy

xyx

xyy σσ

δδ

δδ

σδδ

σ

7

con

∑ ∑∑

−−

−−=

22

21

221

)()(

)))(((

iijj

jiiih

xxxx

xxxxr

V.- Determinar la Incertidumbre Expandida

ckσσ =exp

con k factor de cobertura.

ANEXO.

DEFINICIONES UTILIZADAS EN LA NORMA ISO 5725-1

EXACTITUD (VERACIDAD Y PRECISIÓN) DE MÉTODOS DE MEDICIÓN Y RESULTADOS

3.5 valor de referencia aceptado (accepted reference value): Un valor que sirve

como un valor de referencia acordado para comparación, y que se obtuvo como:

a) un valor teórico o establecido, basado sobre principios científicos;

b) un valor asignado o certificado, basado en trabajo experimental realizado por

alguna organización nacional o internacional;

c) un valor por consenso o certificado, basado en un trabajo experimental de

colaboración bajo el auspicio de un grupo científico o de ingeniería;

d) cuando a), b) y c) no estén disponibles, el valor de expectación de una cantidad

8

(mensurable), y entonces el valor promedio de una población especial de

medidas.

3.6 exactitud (accuracy): la cercanía o acuerdo que hay entre el resultado de una

prueba y el valor de referencia aceptado.

Nota 2 El término exactitud aplicado a un conjunto de resultados, involucra una

combinación de componentes aleatorias y un error sistemático común o componente de

desviación.

3.7 veracidad?? (truenes): La cercanía de concordancia entre el valor promedio

obtenido de un gran número de series de resultados de una prueba y el valor de

referencia aceptado.

Notas 3 La medida de la veracidad se expresa, usualmente, en términos de una desviación.

4 La veracidad es referida como “exactitud del promedio”. Este uso no es recomendado.

3.8 sesgo (bias): La diferencia entre la expectación (expectation)? de los resultados de

la prueba y el valor aceptado de referencia.

Nota ¿a qué se refiere la expectación? Nota 5 Sesgo es el error sistemático total y se contrasta con el error aleatorio. Puede

haber más de un error sistemático contribuyendo al sesgo. Un diferencia grande

sistemática respecto al valor aceptado se refleja en un sesgo grande.

3.12 precisión (precision): Cercania en concordancia entre resultados de pruebas

independientes obtenidos bajo condiciones estipuladas.

Notas

9 La precisión depende exclusivamente de la distribución aleatoria de errores y no está

relacionada con el valor verdadero oel valor especificado.

10 La medida de la precisión es usualmente expresada en términos de imprecisión y es

calculada como una desviación típicade los resultados de las prueba. Una precisión baja

se refleja en una desviación típica muy grande..

11”Resultados de pruebas independientes” significa que los resultados obtenidos no

están influidos de ninguna forma por resultados obtenidos previamente sobre el mismo

objeto u objeto similar.

9

ANEXO RESUMEN

METROLOGÍA-VOCABULARIO DE TÉRMINOS FUNDAMENTALES Y GENERALES

(Metrology-vocabulary of basic and general terms) NMX-Z-055-1996-1MNC

10

1.-MAGNITUDES Y UNIDADES

1.1 Magnitud (medible)

Atributo de un fenómeno, cuerpo o substancia que es susceptible de ser diferenciado

cualitativamente y determinado cuantitativamente.

NOTAS

1 El término "magnitud" puede referirse a una magnitud en un sentido general (ver

Ejemplo a) o a una magnitud particular (ver Ejemplo b).

Ejemplos:

a) Magnitudes en un sentido general:

Longitud, tiempo, masa, temperatura, resistencia, concentración en una cantidad de

substancia;

b) Magnitudes particulares:

-Longitud de una varilla.

-Resistencia eléctrica de un alambre de una muestra dada.

-Concentración de etanol, en cantidad de substancia, en una muestra de vino.

2 Las magnitudes que pueden ser clasificadas, las unas en relación a las otras en

orden creciente o decreciente, son llamadas magnitudes de la misma naturaleza (ver

1.22).

3 Las magnitudes de la misma naturaleza pueden ser agrupadas en su conjunto en

categorías de magnitudes por Ejemplo:

-Trabajo, calor, energía;

-Espesor, circunferencia, longitud de onda.

4 Los símbolos de las unidades se establecen en la norma NOM-008-SCFI.

1.18 Valor (de una magnitud)

Expresión cuantitativa de una magnitud particular, expresada generalmente en la

forma de una unidad de medida multiplicada por un número.

Ejemplos:

a) Longitud de una varilla 5,34 m ó 534 cm;

b) Masa de un cuerpo 0,152 kg ó 152 g;

c) Cantidad de substancia de una muestra de agua (H20): 0,012 mol ó 12 mmol.

NOTAS

1 El valor de una magnitud puede ser positivo, negativo o cero.

11

2 El valor de una magnitud puede ser expresado en más de una forma.

3 Los valores de las magnitudes de dimensión uno se expresan como números.

4 Algunas magnitudes para las cuales no se sabe definir su relación con una

unidad, puede ser expresadas por referencia a una escala de referencia o a un

procedimiento de medida especificado o a los dos.

1.19 Valor verdadero (de una magnitud).

Valor compatible con la definición de una magnitud particular dada.

NOTAS

1 Es un valor que se obtendría por una medición perfecta.

2 Los valores verdaderos son por naturaleza indeterminados.

3 El articulo indefinido "un" más que el articulo definido "el" se utiliza

conjuntamente con el "valor verdadero" porque puede haber varios valores

compatibles con la definición de una magnitud particular dada.

1.20 Valor convencionalmente verdadero (de una magnitud).

Valor atribuido a una magnitud particular y aceptado, algunas veces por convención,

como un valor que tiene una incertidumbre apropiada para un propósito dado.

Ejemplos:

1 En un lugar determinado, el valor asignado a la magnitud realizada por un

patrón de referencia puede tomarse como un valor convencionalmente verdadero;

2 El valor recomendado por CODATA (1986) para la constante de Avogadro es:

NA=6,022 136 7 x 1023 mol-1.

NOTAS

1 El valor convencionalmente verdadero es algunas veces llamado, valor asignado,

mejor estimado del valor, valor convenido o valor de referencia. El termino "valor de

referencia", en este sentido, no debe confundirse con el mismo termino utilizado en

5.7.

2 Con frecuencia se utiliza un número de resultados de medidas de una magnitud para establecer un valor convencionalmente verdadero. 2 MEDICIONES

2.1 Medici6n.

Conjunto de operaciones que tienen por objeto determinar el valor de una magnitud.

NOTA

1 Las operaciones pueden ser realizadas automáticamente.

2.2 Metrología.

12

Ciencia de la medici6n.

NOTA

1 La metrología incluye todos los aspectos teóricos y prácticos relacionados con las

mediciones; cualquiera que sea su incertidumbre, en cualquiera que sea el campo de la

ciencia y de la tecnología.

2.3 Principio de medici6n.

Base científica de una medici6n.

Ejemplos:

a) El efecto termoeléctrico aplicado a la medici6n de temperatura;

b) El efecto Josephson aplicado a la medición de la diferencia de potencial eléctrico;

c) El efecto Doppler aplicado a la medición de velocidad;

d) El efecto Raman aplicado a la medición del número de onda de las vibraciones

moleculares.

2.4 Método de medición

Secuencia 1ógica de las operaciones, descritas de manera genérica, utilizada en la

ejecución de las mediciones.

NOTA

1 Los métodos de medición pueden ser calificados en varias formas:

- Método de substitución;

- Método diferencial;

- Método nulo o de cero.

2.5 Procedimiento (de medición)

Conjunto de operaciones, descritas específicamente, para realizar mediciones

particulares de acuerdo a un método dado.

NOTA

1 Un procedimiento de medición es usualmente descrito en un documento,

llamado algunas veces "procedimiento" y que proporciona suficientes detalles para

que un operador pueda realizar una medición sin necesitar más informaci6n.

2.6 Mensurando.

Magnitud particular sujeta a medición.

Ejemplo:

a) Presión de vapor de una muestra dada de agua a 20 °C.

NOTA

13

1 La especificación de un mensurando puede requerir indicaciones acerca de

magnitudes tales como el tiempo, la temperatura y la presión.

2.7 Magnitud de influencia.

Magnitud que no es el mensurando pero que afecta al resultado de la medición.

Ejemplos:

a) La temperatura de un micrómetro cuando se trata de la medida de una longitud;

b) La frecuencia en la medición de la amplitud de una tensión eléctrica alterna;

c) La concentración de bilirubina cuando se mide la concentración de hemoglobina

en una muestra de plasma sanguíneo humano.

3 RESULTADOS DE MEDICIONES

3.1. Resultado de una medición

Valor atribuido a un mensurando, obtenido por medición.

NOTAS

1 Cuando se da un resultado, se indicara claramente si se refiere:

- a la indicación;

- al resultado no corregido;

- al resultado corregido;

y si el resultado es un promedio obtenido a partir de varias mediciones.

2 Una expresión completa del resultado de una medición incluye información sobre la

incertidumbre de la medición.

3.3 Resultado no corregido.

Resultado de una medición antes de la corrección del error sistemático.

3.4 Resultado corregido.

Resultado de una medición después de la corrección del error sistemático.

3.5 Exactitud de medición.

Proximidad de la concordancia entre el resultado de una medición y un valor verdadero

del mensurando.

NOTAS

1 El concepto de <<exactitud>> es cualitativo.

2 El termino <<precisión>> no debe utilizarse por exactitud.

3.6 Repetibilidad (de los resultados de mediciones).

Proximidad de la concordancia entre los resultados de las mediciones sucesivas del

mismo mensurando, con las mediciones realizadas con la aplicación de la totalidad de

las siguientes condiciones:

14

NOTAS

1 A estas condiciones se les llama condiciones de repetibilidad.

2 Las condiciones de repetibilidad comprenden:

- el. mismo procedimiento demedición;

- el. mismo observador;

el mismo instrumento de medición utilizado en las mismas condiciones;

- el mismo lugar;

- la repetición dentro de un periodo corto de tiempo.

3 La repetibilidad se puede expresar cuantitativamente con la ayuda de las

características de la dispersión de los resultados.

3.7 Reproducibilidad (de los ;'resultados de mediciones).

Proximidad de la concordancia entre los resultados de las mediciones del mismo

mensurando, con las mediciones realizadas haciendo variar las condiciones de

medición.

NOTAS

1 Para que una expresión de la reproducibilidad sea válida, es necesario

especificar las condiciones que se hacen variar.

2 Las condiciones que se hacen variar pueden ser:

- el principio de medición;

- el método de medición;

- el observador;

- el instrumento de medición;

- el patrón de referencia;

- el lugar;

- las condiciones de uso; - el tiempo.

3 La repetibilidad puede ser expresada cuantitativamente con la ayuda de las

características de la dispersión de los resultados.

4 Los resultados considerados aquí son, habitualmente, los resultados corregidos.

3.9 Incertidumbre de medición.

Parámetro asociado al resultado de una medición, que caracteriza la dispersión de los

valores que podrían razonablemente, ser atribuidos al mensurando.

NOTAS

1 El parámetro puede ser, por Ejemplo, una desviación estándar (o un múltiplo de

ésta), o la mitad de un intervalo de nivel de confianza determinado.

15

2 La incertidumbre de medición comprende, en general, varios componentes.

Algunos pueden ser evaluados a partir de la distribución estadística de los resultados de

series de mediciones y pueden ser caracterizados por las desviaciones estándar

experimentales. Los otros componentes, que también pueden ser caracterizados por las

desviaciones estándar, son evaluados admitiendo distribuciones de probabilidad, según

la experiencia adquirida o de acuerdo con otras informaciones.

3 Se entiende que el resultado de la medición es la mejor estimación del valor del

mensurando, y que todos los componentes de la incertidumbre, incluyendo aquellos que

provienen de efectos sistemáticos, tales que los componentes asociados a las

correcciones y a los patrones de referencia, contribuyen a la dispersión.

Esta definición se toma de "Guide to the expression of uncertainly in measurement",

donde las bases se exponen detalladamente (ver en particular 2.2.4 y el anexo D [10]).

3.10 Error (de medición).

Resultado de una medición menos un valor verdadero del mensurando.

NOTAS

1 Puesto que un valor verdadero no puede ser determinado, en la practica se

.utiliza un valor convencionalmente verdadero (ver 1.19 y 1.20).

2 Cuando es necesario hacer la distinción entre <<el error>> y <<el error

relativo>>, el primero a veces es llamado <<error absoluto de medición>>. No se le

debe confundir con el valor absoluto del error, el cual es el modulo del error.

3.11 Desviación.

Un valor menos su valor de referencia.

3.12 Error relativo.

Es el error de medición dividido entre un valor verdadero del mensurando

NOTA

1 Puesto que un valor verdadero no puede ser determinado, en la practica se utiliza

un valor convencionalmente verdadero (ver 1.19 y 1.20).

3.13 Error aleatorio.

Resultado de una medición menos la media de un número infinito de mediciones del

mismo mensurando, efectuadas estas en condiciones de repetibilidad.

NOTAS

1 El error aleatorio es igual al error menos el error sistemático.

2 Como só1o se puede hacer un número finito de mediciones, só1o es posible

determinar una estimaci6n del error aleatorio.

16

3.14 Error sistemático.

Media que resultaría de un número infinito de mediciones del mismo mensurando,

efectuadas bajo condiciones de repetibilidad, menos un valor verdadero del

mensurando.

NOTAS

1 El error sistemático es igual al error menos el error aleatorio.

2 Como el valor verdadero, el error sistemático y sus causas no pueden ser

conocidos completamente.

3 Para un instrumento de medici6n, ver "error de ajuste" (5.25)

3.15 Correcci6n

Valor agregado algebraicamente al resultado no corregido de una medición, para

compensar un error sistemático.

NOTAS

1 La corrección es igual al valor negativo del error sistemático estimado.

2) Puesto que el error sistemático no puede ser conocido perfectamente, la

compensación no puede ser completa.

3.16 Factor de correcci6n.

Factor numérico por el cual se multiplica el resultado no corregido de una medici6n

para compensar un error sistemático.

5.1 Alcance nominal.

Alcance de las indicaciones que se obtienen para una posición dada de los controles de

un instrumento de medición.

NOTAS

1 El alcance nominal se expresa normalmente en términos de sus límites inferior y

superior, por Ejemplo, "100 AC a 200 AC". Cuando el límite inferior es cero, el alcance

nominal se expresa habitualmente sólo por el límite superior, por Ejemplo, a un alcance

nominal de 0 V a 100 V se le llama alcance nominal de "100 V".

2 Ver la NOTA -5.2.

5.2 Intervalo de medición.

Modulo de la diferencia entre los dos límites de un alcance nominal.

Ejemplos:

Para un alcance nominal de -10 V a + 10 V, el intervalo de medida es de 20 V.

NOTA

17

1 En ciertos campos científicos, a la diferencia entre el valor más grande y el más

pequeño se le llama intervalo.

5.10 Sensibilidad.

Cociente del incremento de la repuesta de un instrumento de medición entre el

incremento correspondiente de la señal de entrada.

NOTA

1 El valor de la sensibilidad puede depender del valor de la señal de entrada.

5.11 (Umbral de) movilidad.

La variación máxima de la señal de entrada que no provoca variación detectable en la

respuesta de un instrumento de medición, siendo lenta y monótona la variación de la

señal de entrada.

NOTA

1 El límite de discriminación puede depender, por Ejemplo, del ruido (interno o

externo) o de la fricción; también puede depender del valor de la serial de entrada.

5.12 Resolución (de un dispositivo indicador).

La mínima diferencia de indicación de un dispositivo indicador, que puede ser percibida

de manera significativa.

NOTAS

1 Para un dispositivo indicador digital, es la diferencia de indicación que

corresponde al cambio de una unidad de la cifra la menos significativa.

2 Este concepto se aplica también a un dispositivo registrador.

AJUSTE DE RECTAS A TRAVÉS DEL MÉTODO DE LOS CUADRADOS MÍNIMOS.

El método de los cuadrados mínimos permite determinar los parámetros que

mejor ajustan una relación entre dos variables, basado en hacer mínima la suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores de las variables obtenidos experimentalmente y los obtenidos a través de la relación propuesta

(2

1

1

−∑

=

n

iii XX

donde las X1i son los valores de la variable obtenidos a través de la

relación propuesta, mientras que las Xi son los valores experimentales, n es el número de datos.

En el caso en el que la relación entre las variables sea lineal ésta se expresa con la siguiente ecuación:

18

Y=mx + b

De donde el método de los cuadrados mínimos es usado para determinar el mejor valor de la pendiente (m) y de la ordenada al origen (b). Es necesario hacer notar que para el presente caso es posible minimizar la suma de los cuadrados de las diferencias para la variable "y" y para la "x". Para simplificar los cálculos se minimizará exclusivamente la suma de los cuadrados de las diferencias de la variable "y", para poder hacer esto es necesario que la incertidumbre relativa de cada valor de la variable "x" sea más pequeña que la incertidumbre relativa de su correspondiente valor de la variable "y", con el fin de que las diferencias entre los valores calculados y los experimentales en la variable "x" sean despreciable respecto a las mismas diferencias entre los valores de la variable "y".

Se tiene entonces que la diferencia entre cada uno de los valores de "y" calculados y los experimentales se puede expresar como:

Y-(mxi+b)

Al elevar al cuadrado cada diferencia y hacer la suma se tiene:

( )( )2i

1bmxy +−∑

=

n

ii

Vale la pena recordar que al derivar una función con respecto a alguna variable, cuando la derivada se hace cero se tiene un máximo o un mínimo, entonces si se desea

buscar el mínimo de( )( )2

i1

bmxy +−∑=

n

ii

se debe de cumplir

( )( )0

m

bmxy2n

1iii

=∂

+−∂∑=

y

( )( )0

b

bmxy2n

1ii1

=∂

+−∂∑=

es de hacer notar que el símbolo de diferencial utilizado en las anteriores expresiones (∂) es diferente al acostumbrado (d), esto se debe a que en el presente caso se tienen

derivadas parciales

∂∂m ya que la función depende de más de una variable, sin

embargo, desde el punto de vista operativo el manejo es similar. En el presente caso la derivada con respecto a ”m” se hace considerando a “b” como un constante y para la derivada con respecto a “b” la pendiente se considera como una constante, de donde se llega a:

19

( )( )( )(( )∑

∑=

= −+−=∂

+−∂ n

1iiii

2n

1iii

xbmxy2m

bmxy

haciendo la multiplicación, en el miembro derecho, por -xi e igualando a cero:

( ) 0bxmxxy2n

1ii

2iii =−−∑

=

distribuyendo el símbolo de suma (∑) y dividiendo la expresión entre 2:

0xbxmxyn

1ii

n

1i

2ii

n

1ii =−− ∑∑∑

===

(1)

siguiendo el mismo procedimiento para la derivada parcial respecto a b se tiene:

( )( )(( )( )1bmxy2

b

bmxy n

1iii

2n

1iii

−+−=∂

+−∂

∑∑

=

=

haciendo la multiplicación, del miembro derecho, por -1 e igualando a cero:

( )∑=

=−−n

1iii 0bmxy2

distribuyendo el símbolo de una suma (∑) y dividiendo la expresión entre 2:

∑∑∑===

=−−n

1i

n

1ii

n

1ii 0bxmy

se tiene ∑

=

=n

1ibn,b

al sustituir este resultado se llega a:

0bnxmyn

1ii

n

1ii =−− ∑∑

==

(2)

de la ecuación 1 y 2 se tiene el sistema de ecuaciones:

iy∑∑ ∑== =

=+n

1ii

n

1i

n

1ii

2i xxbxm

20

∑∑==

=+n

1ii

n

1ii ybnxm

que al encontrar la solución para “m” se obtiene la pendiente y al encontrar la solución para “b” se obtiene la ordenada al origen. Estos parámetros generan la recta que mejor se ajusta a los datos experimentales. Existen varios métodos para solucionar el sistema de ecuaciones, aquí se hará uso del método por determinantes.

El determinante del sistema es:

nx

xxΔ n

1ii

n

1ii

n

1ii2

∑

∑∑

=

===

2n

1ii

n

1i

2i xxnΔ

−= ∑∑

==

de donde la pendiente es igual a:

m= Δ

ny

xyxn

1ii

n

1ii

n

1iii

∑

∑∑

=

==

calculando el determinante del numerador y sustituyendo el valor del determinante del sistema (Δ) se llega a:

∑ ∑

∑ ∑ ∑

= =

= =

−

−=

n

1i

2n

1ii

2i

n

1i

n

1iiiii

xxn

yxyxnm

(3)

siguiendo los mismos pasos para determinar el valor de la ordenada la origen se llega a:

21

n n2i i i

i 1 i 1n n

i ii 1 i 1

x x y

x yb=

= =

= =

∆

∑ ∑

∑ ∑

n n n n2

i i i iii 1 i 1 i 1 i 1

2n n2i i

i 1 i 1

y x x yb=

n x x

x= = = =

= =

−

−

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑

(4)

La pendiente y la ordenada al origen han sido obtenidas de datos experimentales, se hace pues necesario determinar su desviación típica, con la cual es posible determinar su incertidumbre combinada y expandida.

En general se sabe que si “y = f(x1, x2, x3, ..., xn)” entonces la desviación cuadrática media de “y” está dada por:

2x

2

n

2x

2

3

2x

2

2

2x

2

1

2n321

S)xf(...S)

xf(S)

xf(S)

xf((y)S

∂∂

++∂∂

+∂∂

+∂∂

=

(5) Para el caso particular para determinar la desviación típica de “m” y de “b”, se

ha supuesto que no hay dispersión en los valores de la variable "x" y por lo tanto su

desviación típica es igual a cero, de donde la desviación típica de los parámetros “m” y

“b” proviene de la dispersión de la variable “y”, entonces se puede hacer la siguiente

identificación con las variables que interviene en la ecuación (5):

nn332211 yxyxyxyx SS ..., ,SS ,SS ,SS ====

Desarrollando la suma sobre “yi” en la expresión (3) es posible expresar la pendiente de la siguiente forma:

−++−++−+−

= ∑ ∑ ∑

∑ ∑= = =

= =

n

1i

n

1i

n

1innikkk2222i111n

1i

2n

1ii

2i

y)yn(x... xy)yn(x... xy)yn(x xy)yn(xx - xn

1 m

derivando la expresión anterior respecto a yk se llega a :

22

−

=

∂∂ ∑

∑ ∑=

= =

n

1iikn

1i

2n

1ii

2i

k

xnxx - xn

1 ym

elevando al cuadrado:

+−

=

∂∂ ∑ ∑

∑ ∑= =

= =

n

1i

2n

1iiik

2k

22

n

1i

2n

1ii

2i

k

x x2nx xn

x - xn

1ym

(6)

Se tiene que la desviación media cuadrática de “y” se puede expresar como:

( )( )

2n

bmxy S

2n

1iii

2yi −

+−=

∑=

suponiendo que 2yi

S es igual para cada “yi” y sustituyendo los resultados de (6) en la ecuación (5), se obtiene:

2

1...

22 n n ny2 2 2 2 2

m 1 1 i i 2 2 i22n n i=1 i=1 i 12i i

i=1 i=1

SS = n x - 2nx x + x + n x - 2nx x

n x - x

n

ii

x= =

+ +

∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑

2n n2 2

n n i ii=1 i=1

+ n x - 2nx x + x

∑ ∑

compactando las sumas:

2 22 n n ny2 2 2

m i i i22n n i=1 i=1 i=12i i

i=1 i=1

SS = n x - 2n x + n x

n x - x

∑ ∑ ∑∑ ∑

puede expresarse de la siguiente manera

22 n ny2 2 2

m i i22n n i=1 i=12i i

i=1 i=1

SS = n x - n x

n x - x

∑ ∑∑ ∑

23

finalmente se tiene

m y 2n n2i i

i=1 i=1

S = Sn x - x

n

∑ ∑

(7)

Para determinar la desviación típica de la ordenada al origen, b, se sigue un procedimiento similar obteniéndose:

n2i

i=1b y 2n n

21 i

i=1 i=1

χS =S

n χ - χ

∑

∑ ∑

CIFRAS SIGNIFICATIVAS

Algunas definiciones de "Cifras Significativas" son: "El número de cifras que dan información real" "Las cifras significativas son dígitos susceptibles de ser

comprobados por la precisión de un instrumento de medición".

24

Las cifras estimadas son aquellas que el observador determina de acuerdo a su criterio. No tienen valor significativo para el resultado de la medición.

El cero como cifra significativa: Si el cero se encuentra al inicio de un número, el cero no es cifra

significativa. Por ejemplo: ,00052=5,2 x 10'4 1

tiene solamente dos cifras significativas el 5 y el 2, suponiendo que ambos son resultado de una medición.

,07= 7X 10''2 tiene sólo una cifra significativa, el 7.

Una forma útil de expresar los resultados experimentales es a través de potencias de 10. Para números mayores o iguales a 10 se tiene:

101=10 102= 10 X 10 = 100

103= 10 X 10 X 10 = 1000 ................. ................. ..................

10n= 10 X 10 X 10 X 10 ...........= 1 000 n veces n ceros

Es necesario recordar que 100 = 1.

Los números menores que uno, decimales, se expresan por potencias

negativas de 10:

10-1 = 101

= 0,1

10-2 = =−210

1,01

10-3 = =210

1,001

.............................

.............................

.............................

25

10-n = =n10

1,000...1

n-1 ceros

Cuando es necesario hacer uso de las potencias de 10 para expresar alguna medición se recomienda:

• El factor multiplicativo debe de contener exclusivamente las cifras significativas. Por ejemplo. La velocidad de la luz c=300 000 km/s se expresa como: c=3 X 105 Km/s

• Se recomienda que el factor multiplicativo se presente en unidades. Por ejemplo: La densidad del aire a 20˚C y una presión de una atmósfera es ,00121 gr/cm3.

• Si el cero se encuentra entre cifras diferentes de cero que son significativas, entonces el cero es significativo. Por ejemplo:

20,5 cm tiene tres cifras significativas. 35,05 gr tiene cuatro cifras significativas.

Cuando el cero se encuentra al final de un número es significativo si

el cero representa un valor real medible. Por ejemplo: Se ha medido la masa de un objeto, obteniéndose de lectura 10 Kg entonces el 0 es cifra significativa, por lo que el resultado tiene dos cifras significativas.

En el caso en que los ceros, al final de un número, no representan el resultado de una medición, entonces no se considera cifra significativa. Por ejemplo: En 33 000 cm/s haciendo referencia a la velocidad del sonido en el aire, se tiene que los ceros no son resultado de una medición entonces no son cifras significativas. El valor 33 000 cm/s = 3.3 X 104 cm/s tiene sólo 2 cifras significativas.

Operaciones Matemáticas y Cifras Significativas.

En muchas ocasiones es necesario realizar operaciones matemáticas para obtener el resultado de alguna medición, estos resultados deben de expresarse con el número adecuado de cifras significativas, entonces ¿cómo deben realizarse las operaciones para que los resultados contengan exclusivamente cifras significativas? La respuesta, si desea continuar leyendo, la encontrará en los siguientes párrafos.

Adición ¿Cuál será el resultado de sumar: 4,15 + 0,842 + 0,0785? La

operación es sencilla:

4,15

26

+0,842 0,0785 5,0705

.........(1)

Este es el resultado obtenido si se estuviesen sumando números sin considerar que éstos son el resultado de alguna medición. Este resultado es el correcto si solamente se toman en cuenta los valores numéricos, sin considerar que los sumandos son resultados de mediciones y por lo tanto, cada uno de los dígitos que forman los números son cifras significativas y que al realizar la operación matemática, adición en este caso, el resultado debe de estar constituido por cifras significativas.

Así el número 4,15 indica que más allá de las centésimas se desconoce el valor de los dígitos, que no necesariamente tienen que ser cero, es decir 4,15? Donde los signos de interrogación significan que no se conoce el valor de los dígitos que ocupan esos lugares, es decir no son cifras significativas.

Una situación similar se da con 0,842 para la posición de las diezmilésimas, 0,842?.

De acuerdo con lo anterior la suma original queda como:

4,15?? +0,842?? 0,0785 5,06??

Cuyo resultado ya no coincide con el obtenido en la expresión (1). Para efectuar la suma planteada en el expresión (2) existen 2

posibilidades: La primera más sencilla pero menos exacta consiste en redondear los sumandos, redondeándolos al menor número de dígitos, a la derecha de la coma decimal. Así en el ejemplo los 3 sumandos deben de redondearse a las centésimas, ya que 4,15 es el número que menos cifras significativas tiene a la derecha de la coma decimal, entonces: 0,842 se redondea a 0,84, mientras que 0,785 se redondea a 0,08.

La regla para realizar el redondeo indica que cuando el dígito que se va a redondear es mayor o igual que cinco, entonces el siguiente dígito a la izquierda se incrementa en uno. Por ejemplo: Al redondear el 7 se tiene que 4,87≈ 4,9 Al redondear el 5 se tiene 2,825≈ 2,83

27

Para la situación en la que el dígito que se va a redondear es menor que 5, entonces el dígito que se encuentra a su izquierda no sufre ninguna modificación

4,31≈ 4,3

28,71 ≈ 28,7

4,24 ≈ 4,2

No es recomendable que el redondeo afecte más allá de un dígito a la

izquierda del dígito que se está redondeando. Por ejemplo:

4,249 ≈ 4,25 y no 4,3

excepto en casos como:

2,96 ≈ 3 y no 2,9

Retomando el ejemplo se tiene que aplicando este método el resultado está dado por:

4,15 +0,84 0,08 5,07

El segundo método consiste en: Primero, en ordenar los sumandos

por grado de aproximación de izquierda a derecha. Segundo, sumar por grupos aquellos números con el mismo grado de aproximación. Tercero, sumar el resultado de la suma parcial de mayor aproximación, con el resultado de la suma parcial del grupo de la siguiente aproximación, a este resultado se le suma el resultado parcial de la suma de los números de la siguiente aproximación. Este proceso se repite hasta haber sumado el resultado de la suma parcial de menor aproximación.

Al aplicar este método al ejemplo que se ha trabajado se tiene:

0,0785 es el número de mayor aproximación. 0,842 es el siguiente número en aproximación.

4,15 es el número de menor aproximación.

28

Ya que no hay números con la misma aproximación, se suma el número de mayor aproximación al número con la siguiente menor aproximación:

0,0785 + 0,842? 0,920

A este resultado se le suma el número de menor aproximación:

0,920 +4,15?

5,07

Seguro que un ejemplo con mayor número de sumandos puede aclarar el segundo método;

3,28 + 0,075 + 0,1 + 4,2 + 5,822 + 0,3 + 2,28 + 5,671 + 4,7 + 2,25

Se ordenan por grados de aproximación: Los números de mayor aproximación: 0,075; 5,822; 5,671. Los números de la siguiente aproximación: 3,28; 2,28; 2,25. Los números de menor aproximación: 0,1; 4,2; 0,3; 4,7.

Se realizan las sumas parciales de acuerdo al orden de los números:

La suma parcial de las números con mayor aproximación es:

0,075 + 5,822 + 5,671 = 11,568

La suma parcial de los números con el siguiente orden de

aproximación:

3,28 + 2,28 + 2,25 + = 7,81

La suma parcial de números con menor aproximación:

0,1 + 4,2 + 0,3 + 4,7 = 9,3

29

Se suman las sumas parciales de la de mayor aproximación a la de menor aproximación:

11,568 + 7,81? 19,37

A este resultado se suma la siguiente suma parcial, en este ejemplo la

suma de números de menor aproximación:

19,37 + 9,3? 28,6

Es decir al tomar en cuenta las cifras significativas el resultado de la

suma: 3,28 + 0,075 + 0,1 + 4,2 + 5,822 + 0,3 + 2,28 + 5,671 + 4,7 + 2,25 = 28,6.

En general se tiene que las sumas no deben de tener más cifras significativas a la derecha de la coma decimal que el sumando con menor cifras significativas a la derecha de la coma decimal.

Vale la pena hacer notar que al realizar una suma en una calculadora el resultado, tomando en cuenta las cifras significativas, se obtiene efectuando la adición de los sumandos y tomando como cifras significativas, a la derecha de la coma decimal, las que tienen el sumando de menor aproximación. Resta (sustracción). Para obtener el resultado de una resta el proceso es similar al realizado para el caso de la suma ejemplo:

425,8 - 2,43

se rescribe como:

425,8? - 2,43 423,4

Un segundo ejemplo:

30

258,622 - 45, 1

se rescribe como:

258,622 - 45,1?? 213,5

El resultado tiene tantas cifras significativas a la derecha de la coma

decimal como el que menos cifras tenga de los números que intervienen en la sustracción. Multiplicación.

Para efectuar la multiplicación se aplica la siguiente regla: El número de cifras significativas de un producto es igual al número de cifras significativas del multiplicador con menor grado de aproximación, sin embargo cuando el producto es de mayor orden que el de los multiplicadores el número de cifras significativas del producto aumenta, de acuerdo al incremento del orden del producto; es decir, si el producto aumentó un orden respecto a los multiplicadores, el número de cifras significativas del producto aumenta en uno. Por ejemplo:

3 X 2

Se expresa como: 3,?

X 2,? ?? 6?

6,??

Cada multiplicador tiene una cifra significativa, el producto tiene una cifra significativa, ya que no aumentó de orden.

Es necesario hacer notar que en el lugar, a la derecha de la última cifra significativa, se pone un ?, lo que significa que a partir de esa posición se desconoce el valor de los dígitos correspondientes. Por lo general, como se ve en el tema de incertidumbres, el desconocimiento de más cifras significativas está relacionado con la incertidumbre en la medida

5 X 8

31

Se expresa como:

5,?

X 8,? ??

40? 40,??

Los multiplicadores tienen una cifra significativa pero el producto es

de un orden superior, entonces tiene dos cifras significativas. Se puede ver un ejemplo con más cifras significativas:

4,1234 X 2,3

Se tiene:

4,1234? X 2,34? ??????

123702? 82468?

9,4??????

El multiplicador que tiene menos cifras significativas, 2,3, tiene 2 cifras significativas, el producto no aumenta de orden, entonces debe de tener dos cifras significativas (9,4).

Para el caso:

5,45 X 3,2

Se expresa como:

5,45? X 3,2?

17,3????

El menor número de cifras significativas es de 3,2 pero el producto es de un orden mayor, que el multiplicador de mayor orden (En el presente ejemplo ambos números son de igual orden) entonces tiene tres cifras significativas.

Un último ejemplo puede ser:

32

(3 X 102) X (25,25)

La cual se puede expresar como:

( 3 X 102) X (0,2525 X 102)

Expresión en que la ambos multiplicadores se han expresado como la misma potencia de 10. El primer multiplicador tiene sólo una cifra significativas, mientras que el segundo tiene cuatro.

Al realizar el producto de los coeficientes de las potencias de 10 se tiene:

0,2525 X 3,????

???? ???? ???? ???? 7575

7???????

De tal suerte que el resultado es 0,7 X 104. con sólo una cifra significativa. División En la división se aplica la misma regla que en la multiplicación. Por ejemplo:

233 ÷ 174 La cual es posible presentar como:

???,1 6,8?

??,07??52,

??059, ?174,

?34,1?,233?,174

33

Ambos números, divisor y el dividendo, tienen 3 cifras significativas, el cociente tiene tres cifras significativas:

Un ejemplo más:

44,33 ÷ 16

Que es igual a:

?1?, ?112,

12?,3 32?

2,7443,3?,16

DERIVADAS Y DERIVADAS PARCIALES

En el presente desarrollo la incertidumbre se considera como el parámetro que

determina el intervalo en el que se tiene casi la certeza de que el valor de la medición se

encuentra.

Si se considera que una variable "Y" depende de otras variables xi, de tal forma que;

Y = f(x1, x2. x3, ....., xn)

Entonces se tiene que la incertidumbre de la variable "Y" depende, entre otras

cosas, de las incertidumbres de las variables "xi", la pregunta que surge es ¿cómo se da

34

esa dependencia? Con el fin de dar una explicación clara se supondrá que la variable

"Y" sólo depende de la variable "x". Por ejemplo el perímetro de un cuadrado depende

exclusivamente de la longitud del lado del cuadrado. Si "Y" sólo depende de "x" se

tiene que "Y=f(x)". Al graficar "Y" en función de "x" se tiene una gráfica como la

mostrada en la figura 1. En la cual “Δx” representa la incertidumbre en la variable “x”,

es decir “x ± Δx”, y “ΔY” la incertidumbre en la variable “Y”.Si “Δx” "no es muy

grande" “f(x)”, función a través de la cual se mide "Y", se puede aproximar a una recta

en el intervalo “± Δx”, y entonces la razón que existe entre “ΔY” y “Δx” es muy

parecida a la que existe entre los lados del triángulo “df”, “dx”, es decir:

( )dx

xdfΔxΔY

≈

(1)

Donde “ ΔxΔY

” es la tangente del ángulo formado por la línea que contiene la

hipotenusa y el eje de las x. Se sabe que la definición de tangente es:

opuesto catetoadyacente cateto TanΘ =

Si la base del triángulo, “Δx”, se hace cada vez más pequeña se tiene que en el

límite “Δx→0” la expresión “ ΔxΔY

” es igual a la derivada de la función “f(x)”, que en

35

general da lugar a una función, a través de la cual es posible determinar las pendientes

de las rectas tangentes a cada uno de los puntos de la función “f(x)”.

En la figura 2 se muestra con una línea discontinua una línea secante72 a f(x),

mientras que la línea continua es la tangente en ese punto.

Se tiene entonces que la incertidumbre en “Y”, “f(x)”, se puede expresar como8:

dxdfΔxΔY =

(2)

en muchos textos se encuentra

1fdxdf

=

(3)

de manera que: 1ΔxfΔY =

(4)

En este punto surgen tres preguntas:

¿Qué tan válida es la aproximación de la ecuación 1?

7 Vale la pena recordar que la secante de una curva es la línea que corta en 2 puntos a una curva. Mientras que la tangente a una curva es la línea que toca en un solo punto a la curva. La derivada de una función permite determinar la pendiente de la tangente de dicha función en todos los puntos de la función. 8 La formula, aquí presentada, para determinar la incertidumbre es una aproximación de la establecida en: “GUÍA PARA EVALUACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE EN LOS RESULTADOS DE LAS MEDICIONES”,NMX-CH-140:1996 IMNC.

36

1 Vale la pena recordar que la secante de una curva es la línea que corta en 2 puntos a la curva. Mientras que la tangente a una curva es la línea que toca en un solo punto a la curva. La derivada de una función permite determinar la pendiente de la tangente de dicha función en todos los puntos de la función. 1 La formula aquí presentada para determinar la incertidumbre es una aproximación de

la establecida en: “GUÍA PARA LA EVALUACIÓN DE LA INCERTIDUMBREEN

LO SRESULTADOS DE LAS MEDICIONES”, NMX-CH-140:1996IMNC.

¿Cómo se obtiene ?

dxdf

y

¿Qué para cuando la variable "Y" depende de más de una variable?

Para poder responder a la pregunta uno es necesario saber cómo se obtienen las

derivadas, así que primero se responderá a la segunda pregunta?

La definición de la derivada de una función es:

( ) ( )Δx

xfΔxxf0Δx

limdxdf −+

→=

(5)

donde ∆x = xf –xo.

Aplicando la definición de la expresión 5 a la función:

Y= mx + c

Que por cierto es la ecuación de una línea recta, se tiene:

( ) ( )Δx

cmx-cΔxxmlimdxdy

0+++

= →∆x (6)

efectuando las operaciones:

Δxmxlim

dxdy

0Δxcmxcxm −−+∆+

= →

Δxlim

dxdy

0Δxxm∆

= →

mlimdxdy

0Δx→=

37

mdxdy

=

(7)

De donde la derivada de una recta es la pendiente de la recta (m).

Para el caso de la parábola que pasa por el origen (y= ax2) la derivada está dada por:

( ) ( )Δx

xaΔxxalimdxdy 22

0Δx−+

= →

Desarrollando el binomio al cuadrado:

( )Δx

axΔx2xΔxxalimdxdy 222

0Δx−++

= →

Δxxa2axΔalim

dxdy 2

0Δx∆−

= →

xa2axlimdxdy

0Δx ∆+= →

2axdxdy

=

(8)

Aplicando el mismo procedimiento es posible obtener la derivada de

cualquier función, siempre y cuando esta función sea derivable. Y como siempre pasa,

los ejemplos sencillos son los que se presentan y los de mayor dificultad ni se tocan.

Desde fines del siglo XVII, cuando Newton y Leibniz desarrollan el Cálculo

Diferencial e Integral, muchos matemáticos han obtenido las derivadas de diversas

funciones, de manera que actualmente se puede acceder a tablas de derivadas

(integrales) sin mayor dificultad.

A continuación se da una lista de algunas funciones y sus correspondientes

derivadas. Es un ejercicio interesante comprobar algunos de estos resultados.

38

0dx

c d=

si “c” es una constante.

1dxdx

=

1nn

nxdx

dx −=

con "n" cualquier número real.

( ) ( )dx

xducdx

xdcu=

con "c" cualquier constante y u (x) cualquier función derivable de x.

( )][ ( )[ ]dxduxun

dxxud 1-n

n

=

)( )([ ] ( )( ) ( )dx

xu dxusendx

xucosd−=

( )( )[ ] ( )( ) ( )dx

xu dxucosdx

xusind=

( )( )[ ] ( )( ) ( )dx

xu dxusecdx

xutand 2=

( )( )[ ] ( )( ) ( )dx

xu dxucscdx

xucotd 2−=

( )( )[ ] ( )( ) ( )( ) ( )dx

xu dxu tanxusecdx

xusecd=

( )( )[ ] ( )( ) ( )( ) ( )dx

xu dxucot xucscdx

xucscd−=

( )( )[ ]( )

( )( )2xu1dx

xu d

dxxuarcsind

−=

39

( )( )[ ]( )

( )( )21

- arccos

xudx

xud

dxxud

−=

( )( )[ ]( )

( )( )2xu1dx

xu d

dx

xuarctan d+

=

( )( )[ ]( )

( ) ( ) 1xuxudx

xu d

dxxuarcsecd

2 −=

( )( )[ ]( )

( ) ( ) 1xuxudx

xu d

- dx

xuarccscd2 −

=

( )( )[ ] ( )( ) ( )dx

xu dxuexpdx

xuexpd=

( )( ) ( )( ) ( )

dxxu dxuexpa1n

dxa d xu

=

( )([ ]( )

( )xudx

xu d

dxxu1nd

=

( )( )[ ]( )

( )1naxudx

xu d

dxxulgd a =

( )( )[ ]( )

( )( )2xu1dx

xu d

- dx

xuarccotd+

=

40

En muchas ocasiones la función de interés es una combinación de otras, por

ejemplo:

y= F(f(x)g(x))

(9)

Es decir "y" no sólo depende de una función de "x" si no de al menos 2, para

derivar tales funciones existe una serie de reglas, consecuencia de las propiedades de las

funciones y de las derivadas, a continuación se enlistan algunas de ellas sin dar su

demostración la cual es fácil de encontrar en algún libro de Cálculo Diferencial e

Integral.

Si y= f(x) + g(x), “y” es igual a la suma de dos funciones de “x”.

( ) ( )( )dx

xgxfddxdy +

=

(10)

( ) ( )dx

xdgdx

xdfdxdy

+=

(11)

La derivada de la suma de funciones es la suma de las derivadas de las

funciones.

Para y= f(x) * g(x), "y" es el producto de dos funciones.

( ) ( )( )dx

xgxfddxdy *

=

(12)

( ) ( ) ( ) ( )dx

xg dxfdx

xf dxgdxdy

+=

(13)

41

La derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera

función por la segunda función, más la derivada de la segunda función por la primera

función.

En el caso

( )( )xgxfy =

, "y" es igual al cociente de dos derivadas.

( )( )

=

xgxf

dxdy

dxd

(14)

( ) ( ) ( ) ( )

( )[ ]2xgdx

xg dxfdx

xf dxg

dxdy −

=

(15)

La derivada del cociente de dos funciones es igual al cociente de la función divisor por la derivada de la función dividendo menos la función divisor por la derivada de la función dividendo, entre el cuadrado de la función divisor. Hasta aquí queda contestada la segunda pregunta. La primera pregunta se contesta a través de un ejemplo: Se ha medido el área de la sección circular de un cilindro, a través de medir su diámetro con diversos instrumentos con lo cual se tiene diferentes valores para la incertidumbre. Como se sabe el área de un círculo se obtiene:

A = лr2

(16)

donde r es el radio del círculo.

Aplicando la ecuación (2) y considerando que la única fuente de incertidumbre

es el equipo de medición, se tiene:

drdAΔr ΔA =

r rΔ 2π ΔA =

(17)

42

Calculando la incertidumbre del área a partir de calcular el área tomando en cuenta la

incertidumbre del radio:

( )2Δr r πΔA A ±=±

(18)

( )( )22 Δr2rΔr rπΔA A +±=±

entonces:

( )2ΔrπrΔr2ΔA π+=±

(19)

Comparando las ecuaciones 18 y 19 se observa que la diferencia entre ellas es el

término ( )2Δrπ . En la siguiente tabla se muestran los resultados experimentales, en

donde se hace la comparación entre la incertidumbre calculada a través de la ecuación

18 y el término ( )2Δrπ

Equipo r (cm) Δ r (cm) A (cm2) πrΔr2ΔA = (cm2) ( )2Δrπ

(cm2)

Vernier 1,00 0,005 3,14 0,031 77X10-6

Regla 1,0 0,05 3,1 0, 31 77X10-4

Metro 1 0,5 3 3,1 77X10-2

De la 5a y 6a columnas es evidente que la contribución ( )2Δrπ es despreciable

respecto a la contribución ΔA. Vale la pena hacer notar, a pesar de no ser tema de esta

unidad, que es indispensable hacer una elección adecuada elección del equipo de

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medición tomando en cuenta la precisión y exactitud requerida, así como las como

características y costo del equipo. Comparando la 4a columna con la 5a, se observa que

la incertidumbre porcentual asociada a la medición hecha con el vernier es cercana al 1

% , mientras que la asociada a la regla es del 10% y finalmente la incertidumbre

porcentual asociada a la medición realizada con el metro es de aproximadamente del

100%. ¿Para qué se va a usar el resultado de la medición?, ¿Cuál es el equipo más

adecuado?

Del anterior ejemplo se puede concluir que una forma intuitiva de determinar la

incertidumbre asociada a un mensurando “y”, “Δy”, está dada por:

0x|dxdyΔx Δy =

0|x significa que la derivada debe de ser evaluada en el valor x0 , valor en el cual se

está calculando "y".

La tercera pregunta, de qué hacer cuando la variable "y " depende de más de una

variable, es decir y = f(x,v,w,...), se soluciona si al efectuar la. derivada con respecto

a una variable el resto de las variables se mantienen fijas, es decir:

( ) ( )Δx

,...w,vx,f,...w,vΔx,xflim

xy 0000

0Δx−+

=∂∂

→

(20)

donde el subíndice "0" significa que las variables se toman como parámetros fijos. Se

hace necesario destacar que el símbolo dxdy

se ha modificado, para dar lugar al símbolo

xy

∂∂

y el nombre ha pasado de derivada a derivada parcial. Los resultados obtenidos

para las derivadas son los mismos que para las derivadas parciales y la derivada total de

y = f(x,v, w, ...) está dada por:

44

......

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂∂ w

fvf

xf

wvxdy

(21)

Como se muestra en la sección “EVALUACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE EN LOS RESULTADOS DE LAS MEDICIONES” (teo4incert) de las derivadas parciales de una variable dependiente con respecto a cada una de las variables independientes permite determinar la incertidumbre en las mediciones.

A continuación se muestra un ejemplo:

Se mide la densidad de un líquido (p), midiendo su volumen (V) y su masa (m) y

aplicando la relación:

Vmρ =

Ya que la densidad es el resultado de una medición es necesario calcular su

incertidumbre, para lo cual se requiere determinar las derivadas parciales de la densidad

respecto a las variables de las que depende:

Respecto al volumen se tiene:

2Vm

Vρ

−=∂∂

(22)

en este caso se aplicó la igualdad:

1nn

nxdx

dx −=

Respecto a la masa se tiene:

45

V1

mρ

=∂∂

(23)

y entonces la incertidumbre asociada a la medición de la densidad es:

mV ∆∂∂

+∆∂∂

=∆m

V

ρρρ

al sustituir los valores de las derivadas parciales se llega a:

mV ∆+∆=∆V1

Vm 2ρ

(24)

Es necesario hacer notar que la derivada parcial de la densidad respeto al

volumen tiene un signo negativo, el cual ha sido suprimido en la ecuación 24. La

justificación se tiene en el hecho de que al propagarse la incertidumbre, ésta tiende a

crecer no a disminuir.

Al medir la masa se obtuvo (13,6 ± 0,05) Kg, mientras que el volumen fue de (1,00 ±

0,005) x 10-3 m3. Sustituyendo estos valores en la ecuación (24):

( ) 33-

323 kg/m

1,00x100,005 0,005x10

)(1,00x1013,6Δρ

+= −

−

46

3kg/m 73 Δρ =

El resultado de la densidad es:

33 kg/m

1,00x1013,6ρ

−=

al realizar las operaciones se llega a:

3kg/m 13600,0 ρ =

El valor de la densidad con su incertidumbre es:

33 kg/m 0,07)x10 6 (13, ρ ±=

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BIBLIOGRAFÍA -Herrera Miguel Ángel. “Cifras Significativa”, Departamento de Física y Química

Teórica. Laboratorio de Física. Facultad de Química. U.N.A.M.

-Greenberg Leonard H. "Discoveries in Physics for Scientists and Engineers", W.B.

Saunders Company. Philadelphia 1975.

-Baird D.C. "Experimentation: An Introduction to Measurement Theory and Experiment

Design”, Prentice- Hall. Englewood Cliffs, 1962.

-Kuratowski Kazimierz. “Introducción al Cálculo”, Limusa, México, 1975.

-Courant R. y John F. “Introducción al Cálculo y al Análisis Matemático”, Vol. I y II.

Limusa, México 1974.

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