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Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 1

14.- INTEGRACIÓN

0.- Introducción

La integración es el proceso inverso al de la derivación; es decir, si la derivada de 2( )f x x es ( ) 2f x x , entonces una integral de ( ) 2f x x es 2( )F x x .

Dada una función, existe una única derivada, esto no sucede con la integración, ya que

dada una función existen infinitas integrales. Por ejemplo, 2( ) 5F x x y 2( ) 3G x x

son integrales de la función ( ) 2f x x , porque ( ) 2F x x y también ( ) 2G x x . A cada

una de las integrales se le llama primitiva y a la integral general se le llama integral

indefinida, o simplemente integral. Para hallar las integrales se aplica una tabla de integrales

inmediatas.

La primera aplicación de la integral es el cálculo de áreas, que se resuelve con la

integral definida. Gracias a este concepto, y a la regla de Barrow, se puede calcular, en un

intervalo (a, b), el área comprendida entre el eje X y una función, o entre dos funciones.

El cálculo de integrales tiene aplicaciones en la física, la economía, la demografía, etc.

Por ejemplo, si las hojas de una especie vegetal transpiran a razón de 1,5 mg de agua por cm2

y los bordes se ajustan a curvas de ecuaciones conocidas, mediante una integral se puede

calcular la cantidad total de agua que transpiran.


1.- Primitivas de una función. La integral indefinida

a) Primitiva de una función

La primitiva de una función, f(x), es otra función, F(x), definida en el dominio de f,

que cumple ( ) ( ) F x f x .

La operación que permite obtener una primitiva, F(x), a partir de una función, f(x),

recibe el nombre de integración.

Ejemplo resuelto

1.- Encuentra dos primitivas de la función 4( ) 5 2f x x . De todas las primitivas halla la que pasa por el punto (1, 3).

Dos primitivas de f son: 5 5

1 2( ) 2 7 ( ) 2 4F x x x F x x x

Son primitivas de f , pues 1 2( ) ( ) ( )F x F x f x .

Todas las primitivas de la función 4( ) 5 2f x x son 5( ) 2F x x x C . De todas

ellas, la que pasa por el punto (1, 3) es la que cumple:

5(1) 1 2 1 3 1 2 3 4F C C C

Por tanto, 5( ) 2 4F x x x es la primitiva de 4( ) 5 2f x x que pasa por el punto

(1, 3).

Ejemplos

2.- Encuentra dos primitivas de la función: 3( ) 4 5f x x

3.- Determina la primitiva de 2( ) 3 5f x x , que pasa por el punto (1, 7).

De los ejemplos anteriores, se deduce que si F(x) es una primitiva de f, también lo es

la función F(x) + C, es decir, que una función f tiene infinitas primitivas que únicamente

difieren entre sí en una constante aditiva.

Ejercicios

4.- Encuentra dos primitivas de la función: 4( ) 5 6f x x x

5.- Determina la primitiva de 3( ) 4 5f x x , que vale 10 para x = 2.


b) Integral indefinida

La integral indefinida de una función, f(x), es el conjunto de todas las primitivas de

esta, y se representa por ( )f x dx . Es decir,

( ) ( )f x dx F x C

, donde C es un número real llamado constante de integración.

El símbolo integral ∫ siempre va acompañado del factor dx, cuyo significado es

indicar la variable respecto de la que se integra. De esta forma, cualquier otra variable que

aparezca en el integrando se considerará una constate a efectos de realizar la integral.

Podemos deducir que: ( ) ( )f x dx f x

Observamos que la diferencia entre primitiva e integral indefinida es:

Primitiva: es una función.

Integral Indefinida: es un conjunto de funciones que se diferencia en una constante

c) Propiedades de la integral indefinida

Integral del producto por un nº real:

( ) ( ) ,a f x dx a f x dx a

Integral de una suma o diferencia:

( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx


2.- Integrales inmediatas

Existe una gran variedad de métodos de integración, que depende del tipo de función

que integremos. En este curso vamos a ver el método de integración por integrales

inmediatas.

a) Función constante

K dx Kx C

b) Función potencial (n - 1)

Forma simple: 1

1

nn x

x dx Cn

Ejemplos

6.- Calcula las siguientes integrales indefinidas: 4

63 5 5 3

) 0 ) ) 7 )

) ) ) 7 ) 3

a dx b dx c dx d x dx

e x dx f x dx g x dx h x dx

7.- Calcula las siguientes integrales indefinidas:

4 2 22

1) (2 3 1) ) ( )a x x dx b x x dx

x

8.- La función ( ) 2 5f x x tiene infinitas primitivas que difieren en una constante. ¿Cuál de estas funciones toma el valor 18 para x = 2?

9.- La función de beneficios de una empresa, expresada en miles de euros, depende de la cantidad de producto fabricada, x, expresada en miles de kg, según la función B(x). Si la función de beneficios marginales de la empresa (derivada de la función de beneficios) tiene la expresión

180( ) 140 40

1B x x

x

, obtenga la expresión de la función de beneficios

B(x), si se considera que, si no se produce nada, el beneficio es nulo, es decir, B(0) = 0.

Ejercicios

10.- Calcula las siguientes integrales indefinidas: 3 3 2 6) ( 5 2 4) ) ( 2 )a x x dx b x x x dx

11.- Halla una función cuya derivada sea 3 2( ) 4 7 5 1f x x x x y que se anule para x = 1


Forma compuesta: 1( )

( ) ( )1

nn f x

f x f x dx Cn

1

( ) 1

( ) ( 1) ( )n n

f xdx C

f x n f x

Ejemplos

12.- Calcula las siguientes integrales indefinidas: 2 2 52 3

2 252 5

) ( 3 ) (2 3) ) (2 7) 4 ) (2 1)

6 1) ( ) (2 1) )

(3 )

a x x x dx b x x dx c x dx

xd x x x dx e dx

x x

c) Función exponencial

Forma simple: x

x aa dx C

ln a

x xe dx e C

Ejemplo

13.- Calcula la siguiente integral indefinida: 5 x dx

Forma compuesta: ( )

( ) ( )f x

f x aa f x dx C

ln a

( ) ( )( )f x f xe f x dx e C

Ejemplos

14.- Calcula las siguientes integrales indefinidas: 27 1 3

2 3

) 3 ) 3 )

)

x x x

x

a dx b x dx c e dx

d e dx


d) Función logarítmica

Forma simple: 1

dx ln x Cx

Forma compuesta: ( )

( )( )

f xdx ln f x C

f x

Ejemplos

15.- Calcula las siguientes integrales indefinidas:

2 2

6 2 1) ) )

4

x xa dx b dx c dx

x x x x

INTEGRALES INMEDIATAS

TIPO DE FUNCIÓN

PRIMITIVA FORMA SIMPLE FORMA COMPUESTA

Constante K dx Kx C

Potencial (n - 1) 1

1

nn x

x dx Cn

1( )

( ) ( )1

nn f x

f x f x dx Cn

1

( ) 1

( ) ( 1) ( )n n

f xdx C

f x n f x

Exponencial

x xe dx e C

xx a

a dx Cln a

( ) ( )( )f x f xe f x dx e C

( )( ) ( )

f xf x a

a f x dx Cln a

Logarítmica 1

dx ln x Cx

( )

( )( )

f xdx ln f x C

f x


3.- Integral definida. Regla de Barrow

La integral definida de una función f continua y positiva en [a, b], entre los límites a

y b es el área del recinto limitado por su gráfica, el eje OX (abscisas) y las rectas x = a y x

= b. Se representa por: ( )b

af x dx

a) Regla de Barrow

En el siglo XVII, el matemático inglés Isaac Barrow dio una regla que lleva su nombre

y que permite calcular integrales definidas a partir de las indefinidas.

La regla de Barrow dice:

Si una función f es continua en [a, b] y F una primitiva cualquiera de f, entonces:

( ) ( ) ( ) ( )b b

aaf x dx F x F b F a

Para calcular integrales definidas ( )b

af x dx , seguimos los pasos siguientes:

1. Calculamos la integral indefinida correspondiente ( ) ( )f x dx F x C , y

tomamos una primitiva cualquiera, en particular podemos hacer C = 0 y

considerar F(x).

2. Calculamos F(a) y F(b).

3. Calculamos la integral definida aplicando la regla de Barrow: F(b) – F(a)

Ejemplo resuelto

16.- Calcula la siguiente integral definida 4 2

1( 4 1)x x dx aplicando la regla de

Barrow:

1. 3

2 2( ) ( 4 1) 23

xF x x x dx x x

2. 3

21 8 4 44(1) 2 1 (4) 2 4 4

3 3 3 3F F

3. 4 2

1

44 8 36( ) ( 4 1) (4) (1) 12

3 3 3F x x x dx F F


Ejemplos

17.- Calcula las siguientes integrales definidas: 2 22 2

0 1) ) ( 3 1)a x dx b x x dx

18.- Determina 5

3( )f x dx

siendo f(x) la función:

3

2

5 2

2 2 0( )

1 0 2

3 2 2

si x

x si xf x

x si x

x x si x

4.- Cálculo de áreas

a) Área comprendida entre una función, el eje OX y las rectas x = a y x = b

Para calcular el área comprendida entre la curva f(x) el eje OX (abscisas) y las rectas

de ecuación x = a y x = b, conviene dar los siguientes pasos:

1. Resolver la ecuación f(x) = 0 para averiguar los

puntos de corte de la curva con el eje OX.

2. Seleccionar, entre las raíces de la ecuación anterior,

aquellas que estén comprendidas entre a y b.

Imaginemos que estas raíces, ordenadas de menor a

mayor, sean x1, x2 y x3.

Es decir, se cumple: a < x1 < x2 < x3 < b.

3. Buscar una primitiva de f(x) sin constante.

Llamémosla G(x).

4. Calcular G(a), G(x1), G(x2), G(x3) y G(b).

5. Calcular cada una de las áreas aplicando la regla de Barrow: G(x1) - G(a),

G(x2) - G(x1), G(x3) - G(x2) y G(b) - G(x3); y tomando sus valores absolutos.

Son las integrales de los cuatro recintos en los que queda dividida el área buscada.

6. El área buscada es la suma de ellas:

1 2 3

1 2 3

( ) ( ) ( ) ( )x x x b

a x x xA f x dx f x dx f x dx f x dx


Ejemplos

19.- Calcula el área de la región limitada por la curva 2( )f x x el eje X y las rectas x = 2 y x = 4.

20.- Calcula el valor del área encerrada entre la gráfica de 3( ) 3 2f x x x el eje X y las rectas x = - 3 y x = 0.

Ejercicios

21.- Halla el valor del área encerrada entre la gráfica de ( ) 2 1f x x el eje X y las rectas x = 1 y x = 3.

22.- Halla el valor del área encerrada entre la gráfica de 3( ) 16f x x x el eje X y las rectas x = 1 y x = 3.

b) Área comprendida entre una función y el eje OX

Para calcular el área comprendida entre la curva f(x) el eje OX (abscisas), conviene

dar los siguientes pasos:

1. Resolver la ecuación f(x) = 0 para averiguar los puntos de corte de la curva con

el eje OX.

2. Formar intervalos con cada dos raíces consecutivas: [x1, x2], [x2, x3]

3. Buscar una primitiva de f(x) sin constante. Llamémosla G(x).

4. Calcular G(x1), G(x2) y G(x3).

5. Calcular cada una de las áreas aplicando la regla de Barrow: G(x2) - G(x1) y

G(x3) - G(x2); y tomando sus valores absolutos. Son las integrales de los dos

recintos en los que queda dividida el área buscada.


2 3

1 2

( ) ( )x x

x xA f x dx f x dx


Ejemplos

23.- Calcula el área de la región limitada por la curva 2( ) 4f x x y el eje de abscisas.

24.- Calcula el valor del área encerrada entre la gráfica de 3( ) 4f x x x y el eje X.

Ejercicio

25.- Calcula el valor del área encerrada entre la gráfica de 3( ) 3 2f x x x y el eje X.

c) Área comprendida entre dos curvas

El área comprendida entre dos curvas f(x) y g(x) es igual al

área comprendida entre la función diferencia, f(x) – g(x) y el eje

OX. Los pasos a seguir son:

1. Restar las funciones: f(x) – g(x) = h(x).

2. Resolver la ecuación: h(x) = 0 para averiguar los

puntos de corte de la nueva curva con el eje OX.

3. Formar intervalos con cada dos raíces consecutivas:

[x1, x2], [x2, x3]

4. Buscar una primitiva de f(x) sin constante. Llamémosla G(x).

5. Calcular G(x1), G(x2) y G(x3).

6. Calcular cada una de las áreas aplicando la regla de Barrow: G(x2) - G(x1) y

G(x3) - G(x2); y tomando sus valores absolutos. Son las integrales de los dos

recintos en los que queda dividida el área buscada.


3 2 3

1 1 2

( ) ( ) ( ) ( )x x x

x x xA f x g x dx h x dx h x dx

x1 x2 x3

x1 x2 x3


Ejemplos

26.- Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones ( ) 2f x x , 2( ) 1g x x x .

27.- Calcula el área limitada por las gráficas de las funciones 2( ) 3f x x y 2( ) 4g x x .

Ejercicios

28.- Halla el área encerrada por la parábola de ecuación 2( ) 2(1 )f x x y la recta de ecuación ( ) 1g x .

29.- Calcula el área del recinto limitado por la parábola de ecuación 2( ) 4f x x y la recta de ecuación ( ) 2 5g x x .


Ejercicios finales

Primitivas. Integral indefinida

30.- Calcula 22

6 2( 3 )x x dx

x x

31.- Calcula 2( 8 17)x x dx

32.- Calcula 9( 2 )

2 5dx

x

33.- Dada la función 2( ) 2( )xf x x e , calcula la función F(x) sabiendo que ( ) ( )F x f x y que su gráfica pasa por el punto (0; 2).

34.- De una cierta función f(x), sabemos que su función derivada es 2( ) 3 6 9f x x x . Calcula la expresión de la función f(x), sabiendo que la

gráfica de la función pasa por el punto (0; 1).

Integral definida. Regla de Barrow 35.- Calcula las siguientes integrales definidas:

53 2 2

1 2) (4 ) ) ( 6 10)a x x dx b x x dx

36.- Halla 3

1( )f x dx siendo f(x) la función:

2( )

2 3 2

x si xf x

x si x

37.- Halla 5

2( )f x dx

siendo f(x) la función: 2

1 0

( ) 1 0 2

2 1 2

x si x

f x x si x

x si x

Cálculo de áreas 38.- Calcula el área de la región limitada por la curva 2( ) 4f x x en el intervalo

[0, 3].

39.- Calcula el valor del área encerrada entre la gráfica de 3 2( ) 2f x x x y el eje X.

40.- Dada la función : 2

3 2 1( )

2 1 1

x si xf x

x si x

, calcula:

a) 3

1( )f x dx

b) El área de la región encerrada por la gráfica de f(x), el eje de abscisas y las rectas x = - 1 y x = 3.


41.- Calcula el área en cada uno de los siguientes casos:

a) Recinto limitado por la función 2( ) 4f x x y el eje de abscisas.

b) Recinto limitado por la gráfica de la función 1( )f x

x , el eje OX y las

rectas x = 1 y x = e. c) Recinto limitado por la gráfica de la función 2( ) xf x e , el eje de

abscisas, el eje de ordenadas y la recta x = 2.

42.- Calcula el área comprendida entre las gráficas de las siguientes funciones: 2( ) 4f x x x y ( ) 2 3g x x .

43.- Calcula el área comprendida entre las gráficas de las siguientes funciones: 3( ) 2f x x x y 2( )g x x .

44.- Halla el área de la región comprendida por las gráficas de las funciones: 2( ) 2 15f x x x y ( ) 12g x

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