hoja de calculo - dialnet · la facilidad de disponer de hojas de cálculo. 2.- lo difundido que...

RESUMEN:

En un pasado artículo (MartínezPons, 2002) se presentaba lahoja de cálculo como recurso

didáctico en el aprendizaje de laingeniería química aplicada alproblema drenado de depósitos.Siguiendo en esta línea se proponela resolución de problemas de ba-lance de materia y energía, ponien-do de manifiesto las ventajas queesta herramienta informática reúne, especialmente enorden a facilitar la comprensión de los fenómenosquímicos que están detrás de los problemas analiza-dos.

1. INTRODUCCIÓN

Dentro de la línea de aplicar la hoja de calculo a la re-solución de problemas típicos de ingeniería químicaconsiderando entre otras ventajas.

1.- La facilidad de disponer de hojas de cálculo.2.- Lo difundido que está su manejo, la mayoría deestudiantes se han familiarizado con la hoja en elbachillerato.3.- El hecho de no tratarse de "cajas negras" en las quese introducen unos datos y se obtienen unos resulta-dos, sino implicar una cierta programación que exigemanejo del estudiante de los modelos utilizados y suconocimiento profundo.4.- La facilidad de cambiar situaciones, léase variableso constantes del problema con inmediata respuesta.5.- La facilidad de la representación gráfica también conrespuesta inmediata a los cambios en los datos.6.- La persistencia de los datos y procedimientos en lapantalla, cosa que no ocurre por ejemplo en un calcu-ladora, lo que facilita el repaso y la detección de errores.En un pasado trabajo (Martínez Pons, 2002) se pre-sentaba la hoja de cálculo como recurso didáctico en elaprendizaje de la ingeniería química, aplicándolo porvía de ejemplo a situaciones en las que se precisaba lasresolución de integrales complejas, como era el caso dedrenado de depósitos. En este trabajo se propone la uti-lización de la hoja para la resolución de problemas queimplican ya sea ecuación de sistemas complejos deecuaciones lineales, ya ecuaciones diferenciales, comoson los balances de materia o energía, que la experien-

cia docente muestra como cierta-mente dificultosos para los princi-piantes.

2. BALANCES DE MATERIA YENERGÍA

Los balances de materia y energíay en general de propiedades exten-sivas de un sistema se resuelve demodo genérico considerando queen todo sistema y respecto a la

propiedad que interesa existe una entrada, una salida,una generación y una acumulación.(Calleja, 1999;Costa López, 1994; Costa Novella,1983).

Un balance aplicado a todo el sistema, o a una parte delmismo, como es bien conocido, conduce a ecuacionesdel tipo

S = E +G -A, donde S es la cantidad de salida, E la deentrada, G es la que se genera en el propio sistema(positiva si se refiere a generación productos y negativasi se refiere a consumo de reactivos, y A es la acumu-lación en el sistema).

Obviamente en un sistema sin reacción química G = 0.

2.1. RÉGIMEN ESTACIONARIO

Los sistemas pueden trabajar en régimen estacionario,en este caso A = 0 o transitorio en cuyo caso A = 0.

En los problemas en régimen estacionario se debeestablecer los balances correspondientes que conduz-can al planteamiento de un conjunto de ecuaciones li-neales independientes cuya solución resuelve el pro-blema.

Evidentemente la hoja no ayuda demasiado en estaprimera fase pero si es útil para la resolución de sis-temas de ecuaciones.

El método recomendable es el método de la matrizinversa.

Para ello, una vez escritas las ecuaciones necesarias,en general lineales, se escribe el sistema en formamatricial

LA HOJA DE CÁLCULO COMO RECURSO DIDÁCTICO EN LA ENSEÑANZA...

José A. Martínez PonsDepartamento de química analítica e

ingeniería químicaUniversidad de Alcalá

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Hoja de calculo.qxd 13/10/2005 12:28 PÆgina 45

[M](X) = (B)

donde M es la matriz de los coeficientes deducidos delbalance correspondiente, X el vector que engloba lasvariables del problema y B los términos independientes,también deducidos del balance y multiplicando por laizquierda por [M]-1, matriz inversa de [M]

[M]-1 [M](X) = [M]-1 (B)[I](X) = (X) = [M]-1 (B)

con lo que el problema está resuelto.

De un modo práctico es recomendable en la hoja rotu-lar las columnas en que se escribirá [M] con los símbo-los de las variables a continuación escribir los coefi-cientes de las ecuaciones. En la siguiente columna serotulan los términos independientes.

La función MINVERSA permite el calculo de [M]-1 y elproducto de esta matriz por el vector (B) con la funciónMMULT da las soluciones.

Si se usa Excel conviene recordar que en el cálculomatricial es preciso:

a) Rellenar con ceros las celdas en que los coeficientestengan ese valor.b) Tener seleccionado el bloque de filas y columnas enque se situará la matriz solución a la operación.c) La solución se obtiene, una vez escrita la fórmula,pulsando simultáneamente "Control + mayúsculas (no"bloquea mayúsculas")+ intro".d) Un cambio en la matriz de entrada produce inmedia-tamente un cambio en la respuesta, sin embargo lasmatrices respuesta no se pueden modificar directa-mente.

En razón de brevedad no se propone ningún problemaejemplo dado que el análisis químico del problema noes objeto de este trabajo y la aplicación informática esinmediata.

El método que como es obvio sólo vale para sistemasde Cramer, es decir, compatibles y determinados,puede utilizarse siempre que sea necesario resolversistemas de ecuaciones lineales, por ejemplo, en pro-blemas de análisis dimensional. En estos problemashabitualmente aparecen sistemas homogéneos, en losque interesa alguna solución distinta de la trivial, por loque deberá fijarse el valor, por ejemplo con 1 de lasvariables necesarias para dejar el sistema determinado,pasando estas variables a ser el termino independiente.No se insiste en el tema.

2.2. RÉGIMEN TRANSITORIO.

En los problemas en régimen no estacionario es precisorealizar un balance extendido a un tiempo infinitesimallo que conduce a una ecuación diferencial.

Estas ecuaciones normalmente no tienen solución sen-cilla, en el mejor de los casos hay que recurrir a méto-dos de resolución de ecuaciones diferenciales ordina-rias, no dominados por los estudiantes y en otros hayque recurrir directamente a la solución numérica.(Bakhvalov, 1980; Shield,1968; Volkov,1990). Otrasalvedad es que los principiantes suelen comprendermal este tipo de problemas e incluso presentan difi-cultades para distinguir un régimen estacionario de unrégimen transitorio. La experiencia docente parecedemostrar que sobre todo los aspectos gráficos ayu-dan mucho en la comprensión del problema, mientrasque las dificultades matemáticas desvían la atenciónde lo que a juicio del autor interesa realmente, losaspectos físico químicos.

El planteamiento del problema, que por obvias razones,no se detalla consiste en plantear la ecuación diferen-cial representativa y si es posible despejar la derivada.En este trabajo se ha utilizado el método de Euler, y unRunge - Kutta de cuatro pasos, como se verá las solu-ciones a que se llega son prácticamente idénticas por loque el esfuerzo necesario para la programación delmétodo segundo método no compensa en absoluto.(Véase anexo a este artículo)

Se explicará el modelo con ejemplo de problema nomuy realista, pero que es representativo de la he-rramienta que se quiere mostrar.

2.2.1. Ejemplo: Balance en estado no estacionario:Evolución de la temperatura del líquido de un depositomal aislado, alimentado de forma continua.

Un recipiente cilíndrico de 1m de diámetro interno y 3 mde altura está construido con acero dulce de 5 mm deespesor (k % 39 kcal/(m hr ºC)) y tiene su base perfec-tamente aislada, en tanto que las paredes laterales nollevan ningún aislamiento. Se puede considerar un coe-ficiente global de transmisión conducción-convecciónde 360 kcal m-2h-1ºC-1, la temperatura ambiente es de22 ºC. El depósito se alimenta con un caudal de 5 l/s deagua a 80 ºC. Cuando comienza a alimentarse el líqui-do, el depósito ya se encuentra parcialmente lleno conagua a 22ºC hasta una altura de 1m. El tanque poseeun agitador de modo que en todo momento se suponeque existe mezcla perfecta y que las únicas pérdidas decalor son por conducción-convección a través de lasparedes laterales.

Calcúlese la temperatura del agua cuando el nivel delrecipiente alcanza: a) 2 m; b) 3 m.

2.2.1.1. Planteamiento del problema

Se resuelve planteando un balance entálpico duranteun tiempo infinitesimal dt cuando la temperatura deldepósito es T

Cálculo del calor cedido por el agua caliente en un tiem-po muy pequeño.

=

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dQ1=dm ce (Ta-T) = 5 kg/s 1 kcal/kg ºC (80-T) ºC dts=(400-5T)dt kcal (1)

Calor evacuado: Puesto que la chapa es muy delgadano son precisas correcciones del radio ni distinguir entreradio interno y externo y dadas las aproximaciones

dQ2 =U (T-22) dt S = 360 (T- 22)ºC. π y /3600=0,314y(T-22)dt kcal. (2)

Calor acumulado por el sistema

dQ3= m ce dT =V.ρ ce dT =785,4y dT kcal. (3)

Estableciendo el correspondiente balance

dQ1-dQ2=dQ3 (4)se llega a

(400-5T -0,314y(T-22))dt=785,4y dT (5)

Además

y = (y0 +5.10-3 t/π )= (1+5.10-3 t/π) (6)

la ecuación que resulta se puede resolver de modo máscómodo en función de y que de t

dy = 1,59.10-3dt (7)dt= 638,22dy

325,04-4,06T-0,255 yT+5,613y =y T' (8)

donde T' representa derivación respecto a y

yT' +T(4,06T+0,255y)= 325,04 +5,613y (9)T' +T(4,06T+0,255y)/y= 325,04/y +5,613 (10)

2.2.1.2. Solución informática:

La ecuación (10) que resulta no es de integracióninmediata por lo que resulta más cómoda la operaciónnumérica con la hoja Excel: Se presentarán dos méto-dos, el primero es el sencillo método de Euler. (tabla 1)

Se utiliza directamente el balance inicial por lo que noson precisas las ulteriores manipulaciones algebraicas

Si se despeja en (5) se tiene, en modo simbólico

Esta ecuación es la que se programa : Obsérvese queen la tabla se deja fuera los parámetros y datos paratener el problema resuelto de la forma más generalposible y hacer uso de la facilidad que da la hoja decambiar alguno de estos y obtener de modo inmediatolos resultados.

Las columnas representan tiempo, altura, temperatura

(11)

Tabla1.- Evolución de los cálculos en la hoja Excel para obtener la integral, observese que para facilitar la lectura se ha co-piado el valor de la celda solución ( K2)

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del tanque y variación de la temperatura, así como lamasa contenida en el tanque.

La columna de programación más compleja es precisa-mente d T = ( $ E $ 2 * ( $ B $ 2 - C 4 ) - $ A $ 2 * ( C 4 -$C$2)*PI()*$F$2*B4)*$D$2/($G$2*1000*B4)m =1000*G2*H2T =C4+D4y =E4/($G$2*1000)

Una vez programada la hoja y extendido el cálculohasta un número suficiente de puntos, en este caso8000, se utiliza la herramienta solver para imponer queel último punto corresponda a la altura máxima desea-da. La temperatura cuando se llega a los tres metros esde 22,085 ºC

Otra ventaja añadida es la facilidad para conseguir grá-ficos de la evolución del sistema, altamente informa-tivos (figura 2, 3, 4 y 4b).

Utilizando un método Runge - Kutta en este caso decuatro pasos los resultados son prácticamente idénti-cos, sin embargo, la programación de la hoja es bas-tante más compleja.

El comentario de los resultados queda para el lector. Esmuy interesante variar por ejemplo el coeficiente U y vercomo cambian las gráficas de modo inmediato.También es de respuesta inmediata en las condicionesde ambiente o alimentación. Un cambio en el caudalrequerirá un nuevo uso de Solver.

En el ejemplo los datos de entrada se copian automáti-camente en la hoja en que se programó un Runge -Kutta, por lo que sólo es necesario introducirlos unavez.

Fórmulas para el método (T corresponde a una fila más)K 1 = ( $ E $ 2 * ( $ B $ 2 - C 4 ) - $ A $ 2 * ( C 4 -$C$2)*PI()*$F$2*B4)*$D$2/($G$2*1000*B4)K2=($E$2*($B$2-(C4+0,5*D4))-$A$2*(C4+D4*0,5-$C$2)*PI()*$F$2*(B4+0,5*$J$2))*$D$2/($G$2*1000*(B4+$J$2))K3==($E$2*($B$2-($C4+0,5*E4))-$A$2*($C4+E4*0,5-

$C$2)*PI()*$F$2*($B4+0,5*$J$2))*$D$2/($G$2*1000*($B4+$J$2))K4=($E$2*($B$2-($C4+0,5*F4))-$A$2*($C4+F4*0,5-$C$2)*PI()*$F$2*($B4+0,5*$J$2))*$D$2/($G$2*1000*($B4+$J$2))T=C4+1/6*(D4+2*E4+2*F4+G4) (figura 5)

Figura1.- interactiva de la herramienta "Solver"48



3. CONCLUSIONES:

Los ejemplos anteriores muestran la efectividad de lahoja de cálculo como recurso en casos en que las difi-cultades matemáticas pueden ser un obstáculos para lasolución de ciertos problemas típicos, además deenriquecer a solución con la posibilidad de respuestainmediata al cambio de parámetros y con inmediata pre-sentación gráfica de los resultados. Sin embargo, obligaal estudiante un planteamiento riguroso del problema ala par que a concentrarse en la interpretación físicoquímica de tatos y soluciones al problema.

Otros casos en que la hoja se muestra como he-rramienta didáctica muy efectiva son aquellos querequieren cálculos de integrales a partir de datos expe-rimentales o métodos de tanteo-ensayo y error, unos yotros muy frecuentes en Ingeniería química.

ANEXO: BREVE ESBOZO A MODO DE RECORDATORIO,DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS DE RESOLUCIÓN DEECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Sea la ecuación y'= f(x,y) y h un incremento muypequeño de x.

Los métodos típicos recurren a aproximar la ecuacióndiferencial por una ecuación en diferencias y recurrir aiteraciones y entre ellos los más corrientes son

A) Método de Euler. Simplemente sustituye la derivadapor un cociente incremental de modo que yn+1 = yn +f(xn,yn).h.el método presenta la ventaja de ser muy intuitivo y muyfácilmente programable y aunque es muy lento en lahoja de cálculo no presenta mayor problemaB) Serie de Taylor: desarrollan la función f por una seriede Taylor. Son bastante efectivos, pero muchas veces

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requieren la obtención de derivadas complicadas.C) Métodos Runge - Kutta. Calculan la derivada por unaaproximación polinómica. Dependiendo del número detérminos se clasifican en de un paso, que no es sino elmétodo de Euler, de dos etc . El más habitual es de cua-tro pasos en este caso las fórmulas más corrientes sonk1= h f(x,y)k2= h f(x +h/2,y+k1/2)k3= h f(x +h/2,y+k2/2)k4= h f(x +h/2,y+k3/2)

yn+1 = yn + 1/6 (k1+2k2+2k3+k4)El error que se comete es del orden de hn, siendo n elnúmero de pasosD) Métodos predictor corrector utilizan una pareja pre-dictor corrector del tipo yn+1 = yn + h f(xn, yn)yn +1 = yn + ½ h(f (xn,yn)+ f(xn+1, yn+1)

Obsérvese como con la primera línea se predice elvalor de yn que es utilizado en la segunda como correc-tor.

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3. Costa López, J. Y cols (1994): Curso de ingenieríaquímica: Introducción a los procesos, las operacionesunitarias y los fenómenos de trasporte en la Ingenieríaquímica. Reverté. Madrid

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REFERENCIAS

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