hoja 7-. geogebra (algunas curvas maravillosas)

8/18/2019 Hoja 7-. GeoGebra (Algunas Curvas Maravillosas)

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Profesores: Miguel Ángel Baeza Alba y José María Sordo Juanena

Innovación Docente e Iniciación a la Investigación en

Educación MatemáticaHoja 7: GeoGebra (Algunas curvas maravillosas)

Ejercicio 1: CARDIOIDE

La Cardioide es una curva descrita por un punto de una circunferencia que, sin deslizarse,

rueda alrededor de otra circunferencia de igual radio. Se llama Cardioide por su

semejanza con el dibujo de un corazón. La Cardioide es conocida también como Caracol

de Pascal, en honor de Etienne Pascal, padre del gran sabio francés Blaise Pascal.

La ecuación genérica de la Cardioide en coordenadas cartesianas es:

(

− 2)

= 4

(

)

La ecuación genérica de la Cardioide en coordenadas polares es:

= (1 ())

El objetivo es construir dicha curva con GeoGebra. Para ello, debemos seguir el

videotutorial siguiente:

https://www.youtube.com/watch?v=BGG53r0FLEU

Para primero construirla a partir de la definición:

http://www.ecured.cu/index.php/Circunferenciahttp://www.ecured.cu/index.php/Blaise_Pascalhttp://www.ecured.cu/index.php/Ecuaci%C3%B3nhttp://www.ecured.cu/index.php?title=Coordenadas_cartesianas&action=edit&redlink=1http://www.ecured.cu/index.php?title=Coordenadas_polares&action=edit&redlink=1https://www.youtube.com/watch?v=BGG53r0FLEUhttps://www.youtube.com/watch?v=BGG53r0FLEUhttps://www.youtube.com/watch?v=BGG53r0FLEUhttp://www.ecured.cu/index.php?title=Coordenadas_polares&action=edit&redlink=1http://www.ecured.cu/index.php?title=Coordenadas_cartesianas&action=edit&redlink=1http://www.ecured.cu/index.php/Ecuaci%C3%B3nhttp://www.ecured.cu/index.php/Blaise_Pascalhttp://www.ecured.cu/index.php/Circunferencia


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Y después a partir de su ecuación paramétrica:

Ejercicio 2: CICLOIDE

La Cicloide es la curva trazada por un punto de una circunferencia (llamada

circunferencia generatriz) cuando ésta gira sobre una línea (llamada recta directriz) sin

deslizarse por ella.

La cicloide ha sido una curva muy estudiada a lo largo de la historia. Ya a finales del siglo

XVI, Galileo había estudiado esta curva, obteniendo ciertas aproximaciones sobre

cálculos relacionados con ella (en concreto sobre el área encerrada por un arco de

Cicloide). Mersenne, posiblemente después de conocer estos estudios de Galileo, llamó

la atención de los matemáticos de esta época (estamos ya en el siglo XVII) hacia esta

curva. Y muchos fueron los que acudieron al llamamiento. Tanta fue la expectación

creada por esta curva que acabó por conocerse como la Helena de los geómetras por la

cantidad de disputas entre matemáticos que provocaron los estudios relacionados con

ella.

El caso es que uno de los primeros que consiguieron resultados sobre la cicloide fue

Roberval. Mersenne le propuso en 1628 el estudio de esta curva y unos años después,

sobre 1634, Roberval demostró que el área encerrada por un arco de cicloide es

exactamente tres veces el área de la circunferencia que la genera.

La ecuación genérica de la Cardioide en coordenadas cartesianas es:

= 1 −

− 2 −

http://www.ecured.cu/index.php/Ecuaci%C3%B3nhttp://www.ecured.cu/index.php?title=Coordenadas_cartesianas&action=edit&redlink=1http://www.ecured.cu/index.php?title=Coordenadas_cartesianas&action=edit&redlink=1http://www.ecured.cu/index.php/Ecuaci%C3%B3n


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La ecuación genérica de la Cardioide en coordenadas polares es:

{ = ( − () = (1 − cos()

El objetivo es construir dicha curva con GeoGebra. Para ello, debemos seguir el

videotutorial siguiente:

https://www.youtube.com/watch?v=_weLOJfB95c

Para primero construirla a partir de la definición:

Y después a partir de su ecuación paramétrica:

http://www.ecured.cu/index.php?title=Coordenadas_polares&action=edit&redlink=1https://www.youtube.com/watch?v=_weLOJfB95chttps://www.youtube.com/watch?v=_weLOJfB95chttps://www.youtube.com/watch?v=_weLOJfB95chttp://www.ecured.cu/index.php?title=Coordenadas_polares&action=edit&redlink=1


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Ejercicio 3: ESPIRAL DE DURERO

En 1525, tres años antes de morir, el genial pintor renacentista y gran enamorado de las

Matemáticas, Alberto Durero (1471-1528) publica una obra titulada Instrucción sobre la

medida con regla y compás de figuras planas y sólidas . Es un precioso libro en el quepretende enseñar a los artistas, pintores y matemáticos de la época diversos métodos

para trazar diversas figuras geométricas.

En esta obra Durero muestra cómo trazar con regla y compás algunas espirales y entre

ellas una que pasará a la historia con su nombre: la Espiral de Durero.

No se trata de una espiral de Arquímedes ni de una espiral logarítmica pues ninguna de

las dos puede construirse con regla y compás. Sin embargo se aproxima bastante a esta

última. Es una de las espirales gnómicas basadas en el famoso número de oro, o mejor

dicho, en los rectángulos áureos.

Los rectángulos áureos son aquellos cuyos lados están en proporción áurea, es decir, el

cociente entre su lado mayor y su lado menor es precisamente el número de oro.

Son los únicos que tienen esta curiosa propiedad: si cortamos un cuadrado cuyo lado

sea el lado corto del rectángulo obtenemos un rectángulo semejante al original, es decir

tiene las mismas proporciones.

O expresado al revés, si a un rectángulo áureo le añadimos sobre su lado mayor, un

cuadrado obtenemos otro rectángulo áureo. Una buena aproximación a esta sucesión

de rectángulos áureos es la obtenida a través de los rectángulos cuyos lados son los

términos de la sucesión de Fibonacci.

Una vez construida esta sucesión de rectángulos áureos encajados si unimos mediante

un arco de circunferencia dos vértices opuestos de cada uno de los cuadrados obtenidos,

utilizando como centro de la misma otro de los vértices del mismo cuadrado, obtenemos

una curva muy similar a una espiral logarítmica, es la famosa Espiral de Durero.

http://www.ite.educacion.es/formacion/enred/web_espiral/naturaleza/vegetal/fibonacci/fibonacci.htmhttp://www.ite.educacion.es/formacion/enred/web_espiral/naturaleza/vegetal/fibonacci/fibonacci.htm


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Pues bien, ahora vamos a construir dicha espiral utilizando GeoGebra. Para ello, vamos

a crear una herramienta que, dados dos puntos, cree el cuadrado que tiene por lado

dicho segmento y su arco correspondiente; tal y como indica la siguiente imagen.

Dicha herramienta la creamos ya que nos vamos a encontrar con un proceso iterativo.

Posteriormente, borramos la construcción creada y situamos dos puntos A(0,0) y B(0,1)

en los ejes de GeoGebra.


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Una vez creados dichos puntos, utilizamos la herramienta, tantas veces como queramos,

para construir la espiral buscada.

–––

Por último, será necesario comprobar que los rectángulos que aparecen en esta

construcción se parecen, cada vez más, a los rectángulos áureos. Para ello, deberemos

calcular el valor aproximado del número aureo +√ 5 y comprobar que los cocientesde las longitudes de los lados de dichos rectángulos, se van aproximando, cada vez más,

a dicho número.

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