historias 58 5:kouku.qxd - albeniz-matematicas-acaro ... · pdf filehache, a la que se le...

hora que SUMA está al cargo de la Societat d’EducacióMatemàtica de la Comunitat Valenciana “al-Khwārizmī”,parece razonable que esta sección, que se va a dedicar a con-tar historias de matemáticos y matemáticas, comience con-tando historias del matemático cuyo nombre pusimos a nues-tra sociedad.

Yo fui el culpable del bautizo, que se decidió en un viaje encoche en diciembre de 1993, hace ya quince años, desdeValencia a Castellón, donde íbamos a celebrar la AsambleaConstituyente, después de descartar encomendarnos a un parde matemáticos valencianos, Tosca y Corachán, ambos sacer-dotes y de nombres sonoros. De al-Khwārizmī nos interesabaque de su nombre y de su obra provienen dos palabras de laterminología matemática presentes en la enseñanza primariay secundaria, algoritmo y álgebra. Pero también que, en laépoca en que vivió al-Khwārizmī, finales del siglo VIII y pri-mera mitad del IX, Valencia formaba parte del emirato deCórdoba, que, aunque era política y administrativamenteindependiente del califato de Bagdad, seguía manteniéndoseunido a él desde el punto de vista cultural y espiritual. Esdecir, que al-Khwārizmī trabajó en el mismo ámbito culturalen que entonces estaba Valencia, a pesar de haber nacido enel otro extremo del imperio árabe, a miles de kilómetros.

1

Luis PuigUniversitat de Valè[email protected]

Historias de al-Khwārizmī (1ª entrega)

A

Histo

rias

Junio 2008, pp. 1-558

Cercanía y lejanía, proximidad y extrañeza hicieron que al-Khwārizmī haya acabado identificando a nuestra sociedadvalenciana de profesores de matemáticas, aunque no fuera unmatemático valenciano.

El matemático más antiguo del que tengo noticia que nació enValencia es cAbd ar-Rahmān Ibn Sayyid, cuya vida sitúaAhmed Djebbar en torno a 1070 (Djebbar, 2005, p. 137), ya,por tanto, un par de siglos posterior a al-Khwārizmī, y en laépoca en que Valencia era uno de los reinos de taifas en quequedó dividido el califato de Córdoba después de la fitna, caoso guerra civil, que acabó con él. Sánchez Pérez también lomenciona en su Biograf ía de matemáticos árabes que florecie-ron en España, con el nombre de Abuzeid AbderrahmanBenabdala Abensayid el Kelbi, y dice de él que “nació enValencia, no podemos precisar en qué año, pero sí asegurar quevivía en Játiva en el 456/1063” (Sánchez Pérez, 1921, p. 37).

Djebbar afirma que sus libros no se han encontrado, pero que“conocemos los trabajos de Ibn Sayyid a partir de un resumen

que hizo de ellos uno de sus alumnos, que no es otro que elfilósofo Ibn Bājja” (Djebbar, 2005, p. 69).

No se qué hubiera pasado si nos hubiéramos encomendado alos valencianos Tosca, Corachán o Ibn Sayyid, pero el haberelegido a alguien lejano y extraño a nuestro(s) idioma(s) hahecho que desde el primer momento hayamos tenido compli-caciones con nuestro nombre. Complicaciones para sabercómo se escribe o cómo se pronuncia, o qué son esas rayasencima de una a y una i, que no son fáciles de escribir con elprocesador de textos. Hablaré en esta primera entrega de“Historias” de cómo se escribe, cómo se llama, de dónde era ysi era árabe y hablaba árabe al-Khwārizmī. En próximas entre-gas, lo haré de sus libros.

¿Cómo se escribe al-Khwārizmī?

En los libros de historia podemos encontrarnos con el nom-bre de nuestro matemático escrito de muchas maneras. Lasrayas sobre la a y la i pueden estar presentes o no, o ser subs-tituidas por acentos circunflejos, por razones tipográficas,pero ésa no es la diferencia más importante. Con rayas o acen-tos circunflejos, podemos encontrarnos con al-Khwārizmī, al-Jwārizmī, o al-Hwārizmī, y también al-Khowārizmī, al-Jowārizmī, o al-Howārizmī, o al-Khuwārizmī, al-Juwārizmī, oal-Huwārizmī, pero también con una e en el lugar de la pri-mera i, al-Khwārezmī, al-Khowārezmī, al-Khuwārezmī, etc.

El origen de tanta variación está en que en realidad el nombrede nuestro matemático se escribe con un alfabeto distinto dellatino, el alfabeto árabe o alifato, y se escribe así: ارز��ا

Para escribirlo en el alfabeto latino hay que transliterar elnombre escrito en árabe, para lo que hace falta que se hayaestablecido un convenio para hacer corresponder a cada letradel alfabeto árabe una letra, o una combinación de letras o sig-nos del alfabeto latino, que se pronuncien de forma similar.Ahora bien, precisamente como el objetivo de la translitera-ción es representar la palabra árabe en el alfabeto latino deforma que la pronunciación sea similar, se han establecido sis-temas diferentes de transliteración del árabe, al buscarse lasimilitud de la pronunciación en distintos idiomas.

La primera letra del nombre de ارز��ا después del artículo“al”, es decir, la tercera letra, �, –empezando por la derecha, yaque el árabe se escribe de derecha a izquierda– es una letraque se pronuncia como la jota castellana, de ahí la translitera-ción al-Jwārizmī. Pero el sonido de la jota castellana no existeni en inglés, ni en francés o alemán, y además, en esos idio-mas, la letra jota se pronuncia de forma muy distinta, por loque no resulta razonable usarla para representar ese sonido.En el caso inglés, esa letra árabe se translitera por la combi-nación de letras kh, de forma convencional, indicando con lak que el sonido se parece al de su hache, pero que es más fuer-te. En el caso alemán y francés, se translitera por la letra

2

SUMA 58Junio 2008

Figura 1. Portadilla árabe de la edición de Rosen del álgebra de al-Khwārizmī

Figura 2. Portada de la edición de Masharrafa y Ahmad del álgebrade al-Khwārizmī

hache, a la que se le añade un pequeño arco debajo, que yo nohe podido escribir aquí, para indicar también que el sonido separece al de su hache aspirada, sólo que más fuerte.

Así que las variantes al-Khwārizmī, al-Jwārizmī, o al-Hwārizmī responden a tres sistemas distintos de translitera-ción del alfabeto árabe al alfabeto latino, que podemos llamaranglosajón, español y franco-alemán1.

Nosotros decidimos optar por la transliteración anglosajonapara nuestra sociedad por el predominio del inglés como len-gua científica, por un lado, pero también porque el nombre denuestra sociedad es Societat d’Educació Matemàtica de la Co-munitat Valenciana, y en cualquiera de las variantes del cata-lán no existe el sonido de la jota castellana y la letra jota sepronuncia de otra manera. Podíamos haber optado por latransliteración al-Hwārizmī, como hicieron Paradís y Maleten su historia del álgebra escrita en catalán, pero ése no fue elcaso. De modo que nos quedamos con la transliteración quees de hecho la más extendida2.

En cualquier caso, se translitere como se translitere esta pri-mera letra, la primera letra del nombre de nuestro matemáti-co se pronuncia como la jota castellana, no por escribir al-Khwārizmī, se tiene que pronunciar “al-kuarismi”.

Ahora bien, la existencia de esas tres normas de translitera-ción distintas sólo explican las tres variantes Kh, J o H, para laprimera letra del nombre de nuestro matemático, pero no elresto de las variantes en las que lo que es distinto es la pre-sencia o ausencia de algunas vocales y el cambio de unas voca-les por otras: las variantes que, en el caso de dejar Kh fija, danal-Khwārizmī, al-Khawārizmī, al-Khowārizmī, al-Khuwā-rizmī, y al-Khwārezmī, al-Khawārezmī, al-Khowārezmī, al-Khuwārezmī (y las correspondientes variantes con J y con H,en vez de Kh). El origen de estas variantes está, en primerlugar, en una peculiaridad de la escritura de la lengua árabe, y,en segundo lugar, en diferencias de pronunciación del árabe.

La peculiaridad a la que me refiero no es de hecho exclusivade la lengua árabe, sino que es algo que el árabe comparte conotras lenguas semíticas como el hebreo. En árabe hay dostipos de vocales: las vocales largas y las vocales breves3. Puesbien, en el árabe escrito sólo se representan las consonantes ylas vocales largas, pero no las vocales breves. Así, por ejemplo,en ارز��ا no está escrita una de las íes, porque es breve, demanera que, si sólo transliteráramos lo escrito, escribiríamosal-Khwārzmī.

Leer un texto escrito en árabe es una tarea distinta de leer untexto escrito en castellano, ya que no basta con conocer quésonidos resultan de la combinación de las letras, sino que hayque reconocer por el contexto cuáles son las vocales brevesque no están escritas. En el caso de al-Khwārizmī, apenas fal-

tan vocales, pero, cuando uno se encuentra escrito en un textoárabe, por ejemplo, درس, que son las tres consonantes quetransliteramos drs, tiene que decidir por el contexto si se tratade “darasa”, con tres aes breves, que significa “estudió”, o “duri-sa”, con otras tres vocales breves, que significa “se estudió”.

Como hay textos cuya lectura no se quiere que esté sometidaa esta necesidad de interpretar por el contexto de qué palabrase trata, en particular los textos sagrados del Islam, se usatambién una escritura “vocalizada”, en la que, además de lasletras del alifato, se utilizan otros signos, que se colocan enci-ma o debajo de las letras del alifato, y que indican las vocalesbreves y algunos otros rasgos de la pronunciación, como laausencia de vocal en una sílaba o la duplicación de una con-sonante al final de una sílaba y el comienzo de la siguiente. Atítulo de ejemplo, en las figuras 1 y 2 reproducimos dos por-tadas del libro de álgebra de al-Khwārizmī: la portadilla enárabe de la edición bilingüe en árabe e inglés de Rosen de 1831(figura 1), y la portada de la edición árabe de cAlī MustafāMasharrafa y Muhammad Mursī Ahmad de 1939 (figura 2).En la portadilla árabe de la edición de Rosen, la escritura es lacorriente; en la otra, hay algunas palabras vocalizadas, en par-ticular, el nombre de al-Khwārizmī. En la figura 3 hemosrecortado al-Khwārizmī escrito sin vocalizar, como lo escribióRosen, y en la figura 4, vocalizado, como lo escribieronMasharrafa y Ahmad.

Por otro lado, hay diferencias de pronunciación del árabe queafectan a las vocales breves, en concreto, hay una vocal quepuede pronunciarse como una “u” o como una “o”, según lazona lingüística, y una vocal que puede pronunciarse comouna “i” o como una “e”.

Las vocales breves no escritas en la escritura corriente árabe ylas diferencias de pronunciación son las responsables pues delas variantes al-Khwārizmī, al-Khawārizmī, al-Khowārizmī,al-Khuwārizmī, al-Khwārezmī, al-Khawārezmī, al-Khowārezmī y al-Khuwārezmī, según se escriban o no la “a”breve y la primera “u” breve, y según se tome la pronunciación“u”, e “i”, u “o” y “e”, de las vocales breves cuya pronunciaciónvaría.

¿Cómo se llama al-Khwārizmī?

Las variantes con que puede encontrarse escrito el nombre denuestro matemático no sólo afectan a lo que en la onomásticaárabe se llama su nisba, al-Khwārizmī, que es el nombre queindica procedencia, origen, tribu o similares. También hayvariantes respecto a su nombre completo.

Figura 3 Figura 4

3

SUMA 58Junio 2008

En la gran mayoría de las referencias, aparece comoMuhammad ibn Mūsa al-Khwārizmī, con su nombre propio,o ism, Muhammad (Mahoma), su filiación, o nasab, ibnMūsa (hijo de Moisés), y su nisba, al-Khwārizmī (el deKhwārizm). En algunas ocasiones, se le añade además lo queen árabe se denomina la kunya, que se forma con la palabraAbū, que significa “padre de”, seguida del nombre del hijovarón primogénito; éste es el caso, por ejemplo, de la páginaweb The MacTutor History of Mathematics archive,http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk, en la que aparece comoAbū Jacfar Muhammad ibn Mūsa al-Khwārizmī, es decir, elpadre de Jacfar Mahoma el hijo de Moisés el de Khwārizm.Pero aquí empiezan las discrepancias, porque en otros luga-res su kunya, en vez de Abū Jacfar, es Abū cAbd Allāh.

Aunque la variante que más consecuencias tiene y que hadado lugar incluso a alguna agria controversia entre historia-dores de las matemáticas es la que proviene del historiador al-Tabarī (838-923), en cuyo libro Historia de los profetas y losreyes, aparece en una ocasión escrito Muhammad ibn Mūsaal-Khwārizmī al-Majūsī al-Qutrubbullī. Roshdi Rashed afirmaque ése no es el nombre de al-Khwārizmī, sino que ahí se estáhablando de dos personas distintas y que algún copista delmanuscrito de al-Tabarī dejó de escribir la letra و que corres-ponde a nuestra conjunción copulativa “y” entre al-Khwārizmī y al-Majūsī (Rashed, 1984, p. 17). Sin embargo,Gerald Toomer en su biograf ía de al-Khwārizmī, publicada enla monumental obra Dictionary of Scientific Biography, tomaése como su nombre completo y saca consecuencias de losnuevos componentes del nombre, al-Majūsī y al-Qutrubbullī,para establecer su biograf ía, en particular para hacerle nacercerca de Bagdad. Esto nos lleva a la pregunta sobre de dóndeera al-Khwārizmī.

¿De dónde era al-Khwārizmī?

También en este asunto hay discrepancias. La mayor parte delos historiadores derivan del nisba al-Khwārizmī que nuestromatemático era oriundo de la región de Khwārizm. En TheMacTutor History of Mathematics archive, al que he hechoreferencia antes, sin embargo, al-Khwārizmī aparece comonacido en Bagdad4. Siguen en esto lo que Toomer mantiene ensu biograf ía incluida en el Dictionary of Scientific Biography,en la que, a partir del nisba al-Qutrubbullī, afirma que nacióen Qutrubbull, una pequeña población cercana a Bagdad, yque al-Khwārizmī sólo indicaría la procedencia de sus antece-sores.

La idea más extendida, sin embargo, es que al-Khwārizmīhabría nacido en algún lugar de Khwārizm, de donde emigra-ría a Bagdad para trabajar en la Casa de la Sabiduría.

Khwārizm era una región situada al sur del lago Aral, al nortede Persia, que en la época de al-Khwārizmī pertenecía alimperio árabe, al haber sido ya conquistada por los abásidasen el año 712, prácticamente al mismo tiempo en que, al otroextremo del mundo, otros árabes cruzaban el estrecho deGibraltar para conquistar gran parte de la península ibérica.Anteriormente había sido un reino independiente en algunaépoca, o sometido en mayor o menor medida a los imperiospersas. Posteriormente, fue el centro de un imperio con unaextensión que incluía toda Persia –período de esplendor queduró desde el siglo XI hasta comienzos del XIII, en que fue arra-sado por los mongoles de Genghis Khan. No voy a recorrer lahistoria de la región de origen de al-Khwārizmī, sólo señalaréa título de anécdota la existencia ef ímera de una RepúblicaSocialista Soviética de Khwārizm en los años veinte del siglo

Ruinas de la fortaleza de Ayaz Kala 2 en el antiguo Khwārizm,construida en el siglo IV, actualmente en Uzbekistán.

Foto: Marisa Fernández

Ruinas de la fortaleza de Ayaz Kala 1 en el antiguo Khwārizm,construida en el siglo V-IV a.n.e., actualmente en Uzbekistán.

Foto: Marisa Fernández

4

SUMA 58Junio 2008

pasado, que se incorporó a la URSS, dividiendo su territorioentre varias de las repúblicas socialistas soviéticas caucásicas.

Actualmente, queda con el nombre de Khwārizm una regiónen Uzbekistán, que es considerablemente más pequeña de loque fue en el pasado el territorio primigenio. Una región queno se escribe Khwārizm, sino Хорезм, es decir, en el alfabetocirílico, que es el que se usa en la escritura en Uzbekistán. Poreso, el sello tantas veces usado como ilustración en historiasde al-Khwārizmī, que es un sello de la URSS (СССР, en ciríli-co), lleva en él el nombre de al-Khwārizmī transliterado delalfabeto árabe, no al alfabeto latino, sino al alfabeto cirílico,аль Хорезми, ¡otra forma pues de escribir el nombre de nues-tro matemático!

Sello emitido en la antiguaURSS, para conmemorar el 1200aniversario (aproximado) delnacimiento de al-Khwārizmī

Si al-Khwārizmī procedía de Khwārizm, era en Bagdad unemigrante llegado a la metrópoli desde una región sometidapor los árabes. Lo que nos lleva a la última cuestión.

¿Era árabe y hablaba árabe al-Khwārizmī?

Si nació en Khwārizm, al-Khwārizmī no era árabe, y proba-blemente su lengua materna tampoco era el árabe, ya que enKhwārizm existía en la época una lengua propia, que actual-mente es una lengua muerta. Si fueron sus padres o sus abue-los quienes nacieron en Khwārizm y él ya era un inmigrantede segunda o tercera generación que vivía y trabajaba enBagdad, para responder a esa pregunta habría que examinarcuáles eran las formas de integración de culturas y lenguas enel Bagdad de los abásidas.

Ya hemos visto que los historiadores discuten sobre el lugarde procedencia de al-Khwārizmī. También pueden encontrar-se discrepancias con respecto a su adscripción étnica o denacionalidad. Junto al genérico “matemático árabe”, que habi-tualmente no implica que se esté afirmando que sea de origenárabe, sino su pertenencia a un ámbito político y cultural,puede encontrarse escrito también que es persa o turco. Así,en la versión inglesa de Wikipedia, una fuente que nuncapuede tomarse como fiable, está escrito a día de hoy que al-Khwārizmī era un “matemático persa islámico”, que “nació

alrededor de 780 en Khwarizm”. En la versión española deWikipedia, que aún es menos fiable, está escrito a día de hoyque era “persa musulmán” y que nació en la “ciudad persa deJuarism o Jwarizm”, con lo que no sólo hacen persa a al-Khwārizmī, sino también a la “ciudad de Juarism”. Una fuenteque sí es fiable, el historiador turco Aydin Sayili, argumentaextensamente, al estudiar el lugar del Asia Central en la histo-ria de la ciencia y la cultura, que “hay pruebas de que al-Khwārizmī conocía el turco y pertenecía al sector turco de lapoblación de Khwārizm” (Sayili, 1991, p. 29) y otro historia-dor turco llega a decir que al-Khwārizmī “era turco de nacio-nalidad y árabe de lengua” (Ayyubi, 1990, p. 213). La historiade Khwārizm, territorio independiente en ocasiones, centrode un imperio en otras, parte del imperio persa en otras,República Socialista Soviética ef ímera, parte de lo que en eldiccionario puede encontrarse con el nombre de Turquestán,“Forma tradicional española del nombre de la región del Asiacentral cuyo territorio se extiende por zonas de los actualespaíses de Afganistán, China, Kazajistán, Kirguistán,Tayikistán, Turkmenistán y Uzbekistán”, permite que se pue-dan reivindicar para al-Khwārizmī nacionalidades diversas sise quiere añadir un nombre ilustre al panteón nacional.

Youschkevitch es más comedido. Al explicar que va a utilizarlas expresiones “matemáticas árabes” o “matemáticas de lospaíses islámicos”, dice que lo hace “a pesar de que esas expre-siones son tan poco satisfactorias una como la otra”, porque“había pocos árabes entre los sabios y los filósofos”; y añade:“Al comienzo, eran sobre todo sirios, iraníes, khorasianos,griegos y judíos. Un gran número de sabios no eran por tantomusulmanes y pertenecían a distintas sectas cristianas opaganas. Luego, los habitantes de los territorios que seencuentran situados hoy en día en Irán y las RepúblicasSoviéticas de Tayikistán, Uzbekistán y Turkmenistán desem-peñaron un papel decisivo en la vida científica”. Pero tambiénadvierte contra la pretensión de atribuir nacionalidades deforma anacrónica porque como consecuencia de las invasio-nes sucesivas “se produjeron de manera constante fusiones denacionalidades y apariciones de nuevas entidades nacionales”,pero además, porque “nuestros conocimientos no nos permi-ten, en la mayor parte de los casos, más que dar indicacionessobre el origen y el lugar donde un sabio ha ejercido su activi-dad, pero no sobre su pertenencia nacional en el sentido étni-co del término” (Youschkevitch, 1976, pp. 13-14).

No voy a hacer, por tanto, ninguna afirmación de cuál era lanacionalidad de al-Khwārizmī. Lo que en cualquier caso síhizo al-Khwārizmī fue escribir en árabe sus libros científicos.El árabe era en su época la lengua de la ciencia y de la religiónen el mundo islámico, como lo fue el latín en el occidente cris-tiano medieval, o lo es el inglés actualmente en todo elmundo. Pero de sus libros hablaré en la próxima entrega deesta sección.

HISTORIAS

5

SUMA 58Junio 2008

6

SUMA 58Junio 2008

1 O, de forma más precisa, “anglosajón”, “de la escuela de arabistas espa-ñoles” y “centroeuropeo”, como puede verse en Corriente (2002), endonde se describen estos sistemas y su historia, y se propone un sistemaadaptado a las posibilidades de los medios electrónicos de comunica-ción, que es el anglosajón con ligeras variantes.

2 Si se buscan en Google las variantes en el momento en que estoy escri-biendo esta historia, se obtienen los siguientes resultados: al-Khwarizmi, 113000; al-Jwarizmi, 7950; al-Hwarizmi, 1120.

3 En la transliteración del alifato al alfabeto, la diferencia entre las voca-les largas y las breves está señalada por la raya que se coloca sobre lasvocales largas.

4 Ver http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Al-Khwarizmi.html.

NOTAS

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Al-Khwārizmī, Muhammad ibn Mūsa (1939). Kitāb al-mukhtasar fīhisāb al-jabr wa’l-muqābala, edited by cAlī Mustafā Masharrafaand Muhammad Mursī Ahmad. al-Qahirah. Reprinted 1968.Cairo.

Ayyubi, N. A. (1990). Contribution of Khwârazmî to Mathematicsand Geography. In Acts of the International Symposium on IbnTurk, Khwârazmî, Farabî, Beyrûnî, and Ibn Sina (Ankara, 9-12September 1985), pp. 213-214.

Corriente, F. (2002). Acerca de la transcripción o transliteración delcódigo grafémico árabe al latino, particularmente en su variantecastellana. Miscelánea de Estudios Árabes y Hebraicos. SecciónÁrabe-Islam. 51, 361-368.

Djebbar, A. (2005). L’algèbre arabe. Genèse d’un art.Vuibert-Adapt.Paris.

Malet, A. i Paradís, J. (1984). Els orígens i l’ensenyament de l’Àlgebrasimbòlica (1478-1545) Volumen I. Publicacions de la Universitatde Barcelona. Barcelona.

Rashed, R. (1984). Entre arithmétique et algèbre. Recherches surl’histoire des Mathématiques arabes. Les Belles Lettres. Paris.

Rosen, F. (1831). The algebra of Mohammed Ben Musa. OrientalTranslation Fund. London.

Sánchez Pérez, J. A. (1921). Biograf ía de matemáticos árabes que flo-recieron en España. Imprenta de Estanislao Maestre. Madrid.

Sayili, A. (1991). Al-Khwarizmi, Abu’l-Hamid Ibn Turk and the placeof Central Asia in the History of Science and Culture. ERDEM,VII, 19, pp. 1-100.

Toomer, G. (1970–1990). Al-Khwārizmī, Abu Jacfar Muhammad ibnMūsā. In C. C. Gillispie (Ed.) Dictionary of Scientific Biography.Vol. 7 (pp. 358–365). Charles Scribner’s Sons. New York.

Youschkevitch, A. P. (1976). Les Mathématiques arabes (VIIIe-XVe siè-cles). Trad. M. Cazenaze y K. Jaouiche. Vrin. Paris.

Estatua de al-Khwārizmī en Khiva (Uzbekistán). Foto: Marisa Fernández

Las fotograf ías que ilustran este artículo se las tenemos que agradecer a nuestra compañera y anti-gua tesorera de la Societat d’Educació Matemàtica de la C.V. al-Khwārizmī y viajera infatigable,Marisa Fernández, que las hizo en un viaje a Uzbekistán en 2007.

omo sucede en general con los autores de la antigüedadel establecimiento de una relación de los escritos de al-Khwārizmī es una labor detectivesca. No se conserva, porsupuesto, ningún manuscrito que haya salido de su mano,sino sólo, en el mejor de los casos, copias realizadas por otros.Y estas copias, pueden estar hechas por alguien con conoci-mientos de la materia del libro o por copistas de profesión,que podían no entender nada de lo que estaban copiando.Más aún, lo habitual es que la copia que se conserve haya sidoa su vez copiada de otra copia.

Hay libros que se conocen únicamente porque algún autorposterior lo cita, ya sea en libros que continúan el trabajo deal-Khwārizmī o lo evocan, o bien en repertorios bibliográficosescritos por historiadores. Y estos libros, a su vez, también seconservan a través de una tradición de copias.

O puede suceder que lo único que se conserve sea una traducción aotra lengua, que, a su vez, se conserva a través de una tradición decopias. También cabe que se hayan conservado libros que no soncopias sino adaptaciones comentadas o traducciones que no preten-den ser fieles sino ser adaptaciones a otra lengua. O incluso que dis-pongamos de un libro en el que se ha incorporado una parte de algúnlibro del autor anterior, más o menos textualmente, mencionándolo osin mencionarlo.

105

Luis PuigUniversitat de València Estudi [email protected]

Historias de al-Khwārizmī (2ª entrega): los libros

C

Histo

rias

Hay que añadir además que todo esto varía con el tiempo.Siempre es posible que aparezca en alguna biblioteca o enalgún depósito de libros un nuevo manuscrito del que no setenía noticia.

El trabajo pues de los historiadores que preparan la edición deun libro de un autor de la antigüedad acaba siendo siempre laelaboración de un texto a partir de los materiales de los que sedispone, que se acompaña de la explicación de las fuentes quese han utilizado, las decisiones que se han tomado para ela-borarlo, y las variantes que cabe considerar. Y este trabajo, enocasiones, no está exento de polémica.

Todas estas posibilidades están presentes en el caso de al-Khwārizmī. En esta entrega de Historias, voy a dar cuenta delo que yo conozco del asunto. Hablaré pues de los libros de al-Khwārizmī y la elaboración de las ediciones publicadas porlos historiadores, pero apenas de su contenido.

Noviembre 2008, pp. 105-11259

Los libros de al-Khwārizmī

Al-Khwārizmī es conocido sobre todo por su libro de álgebray por el libro en que introduce el sistema de numeración posi-cional y cifrado de los hindúes y el cálculo aritmético en esesistema, y es razonable que así sea por la importancia queambos libros han tenido en la historia de las matemáticas. Sinembargo, se tiene noticia de que escribió un buen número delibros en varias disciplinas.

Ésta es una lista de los libros de los que yo tengo noticia. Doyde ellos una transliteración del título árabe, una traduccióndel título y unas someras indicaciones.

Kitāb al-Mukhtasar fī hisāb al-jabr wa’l-muqābala (Libroconciso de cálculo de restauración y oposición).

El libro de álgebra. Según el prólogo debió escribirlo entre 813y 833, ya que se lo dedica al califa al-Ma’mūn, y ésos son losaños en que fue califa. Roshdi Rashed dice que “Mukhtasar”,“conciso” no forma parte del título, sino que fue una decisiónde Rosen, en su edición de 1831, el usar para el título una frasedel prólogo donde al-Khwārizmī dice que va a “componer enel cálculo de al-jabr y al-muqābala un libro conciso” en el quetiene que “encerrar todo lo que es sutil en el cálculo y lo queen él es lo más noble”. Según Rashed, esto son “las normas deuna redacción elegante” (Rashed, 2007, p. 9), y no significanque el libro sea un compendio, como da a entender el colocarla palabra “conciso” en el título, y como titula Rosen su tra-ducción inglesa (Mohammed Ben Musa’s Compendium onCalculating by Completion and Reduction). El libro habría quellamarlo, como lo hicieron los matemáticos inmediatamenteposteriores a al-Khwārizmī que lo citan, Kitāb al-jabr wa’l-muqābala (Libro de restauración y oposición), y así lo hahecho él en su edición reciente (Rashed, 2007)1.

Kitāb al-hisāb al-cadad al-hindī (Libro del cálculo con losnúmeros hindúes).

Escrito también después de 813. El libro en que explica el sis-tema de numeración hindú y el cálculo aritmético con él. Nose conserva ningún manuscrito árabe de este libro. Veremos

en el apartado “El libro de cálculo hindú. La edición de A.Allard” lo que ha llegado hasta nosotros.

Kitāb al-jamc wa’t-tafrīq (Libro de la reunión y de la separa-ción).

Perdido. La opinión de Djebbar (2005) y de Rashed (2007) esque debía contener un cálculo aritmético anterior a la intro-ducción del cálculo hindú.

Kitāb sūrat al-ard (Libro de la configuración de la tierra).

Escrito alrededor de 817, según Djebbar, o terminado en 833,según Ayyubi (1990). Se conserva una copia árabe en laBiblioteca de la Universidad de Estrasburgo, y una traducciónlatina en la Biblioteca Nacional de Madrid. En esta geograf ía,al-Khwārizmī sigue la teoría de los siete climas, y usa datos dePtolomeo, pero otros que no están en el Almagesto. Es proba-ble que haya participado en la expedición organizada por al-Ma’mūn para comprobar los datos del libro de Ptolomeo. Enninguna de las copias hay mapas, y se especula sobre si al-Khwārizmī incluiría un mapa del mundo. Hay una recons-trucción hecha por Hubert Dannicht, a partir de las coorde-nadas que aparecen en el libro de al-Khwārizmī (figura 1), yun mapa del mundo (figura 2) atribuido a los geógrafos delcalifa al-Ma’mūn aparece en Masālik al-absār de IbnFadlallāh al-‘Umarī (ca. 1340)2.

Istikhrāj ta’rīkh al-Yahūd (Determinación del calendariojudío).

En este libro, escrito alrededor de 824 y descubierto alrededorde 1940, al-Khwārizmī muestra conocer también el mundohebreo, ya que describe las reglas de cálculo de las longitudesmedias del sol y de la Luna a partir del calendario judío.Youschkevitch (1976, p. 51) llega a decir que no excluye queal-Khwārizmī conociera el hebreo, lo que explicaría tambiénel parecido de la parte de geometría de su libro de álgebra conel Mishnat Ha Middot, el primer libro de geometría que seconoce en hebreo, escrito alrededor del año 1503.

Figura 2Mapa del mundo atribuido a los geógrafos del califa al-Ma’mūn

Figura 1Reconstrucción del mapa del mundo

106

SUMA 59Noviembre 2008

Zīj as-Sindhind (Tablas hindúes)

Escrito después de 813. El libro más importante de astrono-mía de al-Khwārizmī. Además escribió otros menos conoci-dos, perdidos o redescubiertos recientemente, que cito a con-tinuación. De éste hablaré en el apartado siguiente.

Macrifa sica al-mashriq fī kull balad (Determinación de laamplitud ortiva en cada ciudad).

No tengo más noticia de este libro y los dos siguientes que laque da Rosenfeld (1993), según la cual se encuentra en unosmanuscritos en Estambul (ver también Ahmedov, ad-Dabbagh, & Rosenfeld, 1987).

Macrifa samt min qibal al-irtifāc (Determinación del azimutsegún la altitud).

cAmal sica ayy mashriq shi’ta min al-burūj fī ayy ard shi’ta bi’l-handasa (Construcción geométrica de la amplitud ortiva decada signo y para cada latitud).

cAmal al-sācāt fī basīt al-rukhāna (Construcción de las horasen el plano del cuadrante solar).

Según Rashed (2007, p. 6, n. 10) éste libro y el siguiente estánen la colección Aya Sofya 4830 de la biblioteca Süleymaniyede Estambul.

Tarā’if min camal Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī:macrifat al-samt bi-al-asturlab (Nuevas adquisiciones deMuhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī: el conocimiento del azi-mut mediante el astrolabio).

Kitāb cAmal al-asturlāb (Libro sobre la realización del astro-labio).

No se conserva ninguna copia. Mencionado por al-Nadīm, ensu Kitāb al-Fihrist. En este libro, publicado en 938, al-Nadīmpretendió recoger en un índice todos los libros escritos enárabe hasta ese momento.

Kitāb al-rukhāma (Libro sobre el cuadrante solar).

Perdido, salvo que coincida como dice Rashed (2007, p. 376)con el libro cAmal al-sācāt fī basīt al-rukhāna, que está en labiblioteca Süleymaniye de Estambul. Mencionado tambiénpor al-Nadīm en su catálogo.

Kitāb al-cAmal bi’l-asturlāb (Libro sobre la utilización delastrolabio).

Identificado por unos fragmentos reproducidos por el astró-nomo del siglo IX al-Farghānī.

Kitāb al-Tārīkh.

Mencionado también por al-Nadīm, se trata de un libro dehistoria, escrito después de 826.

Las tablas astronómicas de al-Khwārizmī

Según Djebbar (2005, pp. 20-21), como el nombre de al-Khwārizmī no figura en la lista de miembros del equipo deastrónomos encargados por al-Ma’mūn de elaborar unastablas astronómicas, debió de trabajar en las suyas de formaindependiente. Estas tablas se basan sobre una obra hindúofrecida en 773 al califa al-Mansūr, que fue traducida al árabepor Muhammad al-Fazārī. Al-Khwārizmī, sin embargo, nousó sólo esa obra hindú, sino también tomó de la astronomíapersa recogida en las Zīj ash-Shāhī (Tablas del Sha) las ecua-ciones de máximos, entre otras cosas, y de la astronomía grie-ga del Almagesto de Ptolomeo, disponible en el mundo árabedesde el siglo VIII, las declinaciones del sol y las ascensionesrectas. Además tomó datos del libro de Brahmagupta (598-668) Brāhmasphutasiddhānta (La apertura del universo) parael movimiento de los siete planetas.

No se conserva ninguna copia de este libro. Si se conoce, es através de una versión de esas tablas de al-Khwārizmī, que sehabían introducido en al-Andalus en la época de cAbd al-Rahmān II, que escribió alrededor del año 1000 el astrónomode al-Andalus, nacido en Madrid, Maslama al-Majrītī.Maslama no se limitó a traducir el libro de al-Khwārizmī, sinoque cambió el meridiano de referencia, que era el que pasapor la localidad de Uyyain en la India, por el “meridiano deagua”, situado al oeste de las Islas Canarias, e introdujo otroscambios para el uso de las tablas con Córdoba como centroreligioso (Dorce, 2008). Pero tampoco se conserva ningunacopia árabe de la reelaboración de Maslama, sino sólo una tra-ducción latina, hecha probablemente por Adelardo de Bath en1126, de la que se conservan varios manuscritos. Suter laeditó en 1912, y hay una traducción inglesa con comentarioshecha por Neugebauer de esa edición latina de Suter, suple-mentada con un manuscrito del Corpus Christi College deOxford (Neugebauer, 1962).

El libro de cálculo hindú. La edición de Allard.

Si lo que nos ha llegado de las tablas astronómicas de al-Khwārizmī, escritas en el siglo IX en Bagdad y para el Orienteárabe, es una traducción latina del siglo XII, de una versiónárabe de alrededor del año 1000, adaptada por un astrónomode al-Andalus para su uso en el otro extremo del mundoárabe, lo que tenemos del Kitāb al-hisāb al-cadad al-hindī, ellibro de cálculo con los números hindúes, es también algo ale-jado del original escrito por al-Khwārizmī.

107



108

Tampoco en este caso se conserva ninguna copia en árabe. Síse conservan, sin embargo, varios textos en latín que estánrelacionados con el libro de al-Khwārizmī, aunque AndréAllard, que ha editado recientemente los cuatro más impor-tantes, mantiene que todos ellos son textos híbridos en losque lo que puede provenir del libro que escribiera al-Khwārizmī está combinado con cuestiones que proceden deotras tradiciones aritméticas (Allard, 1992).

Los cuatro libros que ha editado Allard se conocen por laspalabras con las que empiezan, lo que se llama el Incipit en laterminología de los estudiosos de manuscritos, y son lossiguientes:

Dixit Algorizmi…, es decir, Dijo al-Khwārizmī… (al que mereferiré como DA).

Liber Ysagogarum Alchorismi…, es decir, Libro de la introduc-ción de al-Khwārizmī… (LY).

Liber Alchorismi…, es decir, Libro de al-Khwārizmī… (LA).

Liber pulueris…, es decir, Libro de polvo… (LP).

El primero de ellos, Dixit Algorizmi… ha sido estudiado y seha editado en varias ocasiones, la primera por el príncipeBaldassarre Boncompagni en 1857. Sólo se conserva unmanuscrito de él, en la Biblioteca de la Universidad deCambridge, que es del siglo XII, y bastantes historiadores lohan considerado como una traducción directa al latín del librode al-Khwārizmī. Sin embargo, Allard mediante un examendetallado de ciertas series de expresiones que aparecen en estemanuscrito y en los de los otros tres libros latinos, dice quehay dos fuentes distintas que se manifiestan no sólo en losotros tres libros, sino también en éste, y llega a afirmar que enél no sólo está presente la traducción del libro de al-Khwārizmī, sino que también hay partes que tienen que pro-ceder de la tradición de Boecio y de la Aritmética deNicómaco. De todas maneras, DA sigue siendo, según Allard,la mejor fuente del libro de al-Khwārizmī. El traductor podríahaber sido Adelardo de Bath o Robert de Chester, según opi-nión bastante extendida, pero Allard también afirma que nohay ninguna razón de peso para preferir estos traductores acualquier otro traductor conocido de la época (Allard, 1992,p. VII, n. 31).

Crossley y Henry, que publicaron una traducción inglesa deeste manuscrito un par de años antes de la edición de Allard,también afirman que no es una traducción directa del textoárabe de al-Khwārizmī, sino una copia de una traducción lati-na hecha por un copista que no estaba familiarizado con lascifras hindoárabes y “que no entendía demasiado la aritméti-ca que estaba copiando” (Crossley y Henry, 1990, p. 107). Dehecho, en la mayoría de los folios del manuscrito en donde

deberían estar las cifras hay huecos, que el copista dejaba paraescribir las cifras más tarde en tinta roja, cosa que nunca llegóa hacer. Youschkevitch, que publicó también un facsímil deeste manuscrito, ya decía que “no se trata de una traducciónfiel del árabe, los diversos errores y añadidos hechos al textolo testimonian. Pero se ignora si se deben al primer traductoro al copista” (Youschkevitch, 1976, p. 15).

Si ésta es la situación del mejor testimonio que tenemos dellibro de al-Khwārizmī, el análisis de los otros tres libros porparte de Allard concluye con el descubrimiento de incorpora-ciones aún más variadas de las presentes en Dixit Algorismi…En particular, desglosa el Liber Ysagogarum Alchorismi…, delque hay cinco manuscritos de los siglos XII a XVI, en tres sub-tipos (que representaremos por LY I, LY II y LY III), y ve en élun conjunto de influencias variopintas, que habrían sido reco-gidas probablemente “alrededor de 1143 en los medios tole-danos cercanos a Avendauth” (Allard, 1992, p. XX). EsteAvendauth no está muy claro quién pueda ser, pero Allardseñala como hipótesis más convincente que se trate del filó-sofo judío Abraham ibn Daūd, que vivió en Toledo entre 1140y 1180.

El Liber Alchorismi…, del que hay nueve manuscritos de lossiglos XII a XVI, sale mejor parado del análisis de Allard, aun-que éste también se entretiene en desmontar la hipótesis deque su autor fuera Juan de Sevilla (Iohannis Hispalensis) aquien se atribuye desde que Boncompagni editara en 1857uno de los manuscritos que se conservan de él en la BibliotecaNacional de París, cuyo comienzo es “Incipit prologus in libroalghoarismi de pratica arismetrice qui editus est a magistroIohanne Yspalensi”, en el que se le menciona (Boncompagni,1857, p. 25). Allard aduce que eso sólo sucede en ese manus-crito, pero no en los otros ocho manuscritos que también seconservan de este libro, en los que en todo caso se habla de un“maestro Juan”, a secas. Así, por ejemplo, la primera página del

Figura 3.Liber Alchorismi, Biblioteca Nacional de Paris (s. XIII)


109

manuscrito del Liber Alchorismi… que reproducimos aquí(figura 3) y que se encuentra también en la BibliotecaNacional de París, codificado como Lat. 15461, está escrito enItalia en la primera mitad del siglo XIII, y comienza así: “Incipitprologus in libro alchorismi de pratica arismetice qui editusest a magistro Iahanne”, es decir, “Comienza el prólogo dellibro de al-Khwarizmi”, como en el otro manuscrito, pero en élse menciona que ha sido editado por un “Maestro Juan”, sinespecificar qué Juan. Allard propone llamar Juan de Toledo aese “Maestro Juan”, aunque no haya constancia de nadie conese nombre (Allard, 1992, p. XIX). De paso, señalaré que estemanuscrito es del siglo XIII, según Allard, y no del siglo XII,como dice Charbonier (2004), de cuyo folleto para profesoreseditado por el IREM de Clermont Ferrand hemos tomado lafigura. Lo que es del siglo XII es la traducción latina hecha enToledo, pero no esta copia.

El Liber pulueris, por su parte es más breve, está inspirado enlas mismas fuentes que LA, y de él sólo se conservan doscopias del siglo XIV.

El análisis de Allard está resumido gráficamente por él en elárbol genealógico de los manuscritos y sus influencias queincluimos aquí (figura 4), y que muestra la distancia entre ellibro de al-Khwārizmī y los libros de que disponemos parasaber algo de él.

En cualquier caso, la huella de al-Khwārizmī quedó en losincipit de estos libros en la forma latinizada de su nombre,Algorismi o Alchorismi, que pronto dejó de significar “de al-Khwārizmī” para adquirir como significado el contenido deesos libros. Así proliferan los libros de Algorismos, como elAlgorismus Vulgaris de Juan de Sacrobosco (comienzo delsiglo XIII), del que se conocen unos doscientos manuscritos yvarias ediciones impresas entre 1488 y 1582. Y a partir de ahíla palabra “algoritmo” va adoptando el significado que hoy endía tiene en la terminología de las matemáticas.

El libro de álgebra. Traducciones y ediciones.

Del libro de álgebra de al-Khwārizmī sí que se conservanmanuscritos árabes, pero eso no significa que el estableci-miento de un texto lo más cercano al original posible no estéexento de problemas. Hasta hace poco tiempo la edición delálgebra de al-Khwārizmī de que se disponía era la que hizoFrederic Rosen en 1831, acompañada de su traducción alinglés (Rosen, 1831). Esa edición estaba hecha a partir de unúnico manuscrito (figura 5) que se conserva en la BodleyanLibrary de Oxford (Hunt. 212, fol. 1v-54r), que es de 1342, esdecir, más de cinco siglos posterior a la fecha de redacción porparte de al-Khwārizmī.

Aunque el manuscrito está en muy buen estado y el copistahizo un trabajo cuidadoso, con el texto nítido en tinta negra ylos títulos y las figuras en tinta roja, y con la escritura vocali-zada a menudo, e incluso indicó el día exacto en que acabó lacopia (19 Muharram del 743 de la Hégira, es decir, 24 de juniode 1342), no cupo nunca duda de que el tiempo transcurridodesde el original tenía que haber producido cambios, pérdidaso incorporaciones por su paso por múltiples manos de copis-tas.

El libro fue editado de nuevo en Egipto en 1939 por cAlīMustafā Masharrafa y Muhammad Mursī Ahmad en árabe apartir del mismo manuscrito, en una edición ligeramente máscuidadosa que la realizada por Rosen (Masharrafa y Ahmad,1939), que apenas modificaba la situación.

A falta de manuscritos árabes más antiguos, los historiadoresrecurrieron al estudio de las traducciones latinas medievales,una de las cuales resultó ser especialmente buena. En efecto,se conservan tres traducciones latinas diferentes del álgebrade al-Khwārizmī. La más antigua es de Robert de Chester (ca.1145), seguida de cerca por una de Gerardo de Cremona (ca.1170). La tercera parece ser de Guglielmo de Lunis (ca. 1250),aunque esa atribución no está exenta de controversia, y, lo quela hace particularmente interesante, hay una traducción de

Figura 5.Portada del álgebra de al-Khwārizmī

Figura 4


110

ella a un italiano medieval (al vernáculo, o “volgare” comodice Raffaella Franci, que la ha publicado recientemente4).

Recientemente las dos primeras han sido editadas porBarnabas Hughes usando todos los manuscritos que se cono-cen actualmente, tres en el caso de la traducción de Robert deChester (Hughes, 1989), y quince en el caso de la de Gerardode Cremona (Hughes, 1986). Pero esas tres traducciones ya seconocían desde hace tiempo. En 1838, Libri publicó una edi-ción de la de Gerardo de Cremona (no muy buena, segúnHughes, 1986, p. 211); en 1850, Boncompagni publicó la deGuglielmo de Lunis como si fuera de Gerardo de Cremona, yKarpinski, en 1915, publicó la de Robert de Chester a partir deun único manuscrito.

La traducción de Robert de Chester comienza así: “In nominedei pii et misericordis incipit Liber Restaurationis etOppositionis Numeri quem edidit Mahumed filus MysiAlgaurizm”, es decir “En nombre de los píos y misericordiososcomienza el libro de Restauración y Oposición, que compusoMahoma hijo de Moisés, al-Khwārizmī”. Robert de Chestertraduce los términos árabes al-jabr y al-muqābala al latín por“restauración” y “oposición”, y, como hemos visto que diceRoshdi Rashed, no indica en el título del libro que sea “conci-so”.

La de Gerardo de Cremona se titula “Liber Maumeti filiiMoysi Alchorismi de Algebra et almuchabala”, es decir, “Librode Mahoma, hijo de Moisés, Alchorismi, de Álgebra y almu-chabala”. Gerardo de Cremona optó por no traducir los térmi-nos árabes al-jabr y al-muqābala al latín, sino que los transli-teró. Podemos hacer la hipótesis de que Gerardo pensó queesos términos tenían un significado técnico en el texto de al-Khwārizmī, que hacía poco aconsejable traducirlos por pala-bras del latín que tenían significados en su uso fuera de lasmatemáticas, que él no quería que los evocara el lector y poreso se decidió por la transliteración. El hecho es que su deci-sión tuvo como consecuencia la creación del término con queacabaría conociéndose no sólo una operación del cálculoexpuesto por al-Khwārizmī en su libro, sino la disciplinamatemática que en cierta manera funda: el Álgebra.

La traducción de Gerardo de Cremona ya es importante poreste hecho, pero además, la edición de Barnabas Hughes y elposterior estudio de Jens Høyrup comparándola con elmanuscrito árabe de la biblioteca Bodleian de Oxford, hademostrado que la traducción de Gerardo se puede conside-rar que está mucho más cerca del texto escrito por al-Khwārizmī que el manuscrito de Oxford (Høyrup, 1991). Dehecho, el mejor manuscrito de la traducción de Gerardo, quese conserva en la Biblioteca Nacional de París (Lat. 9335 fols.116v-125v) es del siglo XIII, y se supone que el manuscritoárabe que usó Gerardo para su traducción era del siglo XI.Høyrup ha mostrado que el cuidado y la meticulosidad de las

traducciones de Gerardo garantiza que ésta es lo mejor quetenemos hasta la fecha para conocer el álgebra de al-Khwārizmī.

Ésa era la situación hasta hace poco en que empezó a tenersenoticia de la existencia de otros manuscritos árabes del álge-bra de al-Khwārizmī5. Sin embargo, la reciente edición hechapor Roshdi Rashed a partir de los cinco manuscritos que hapodido consultar6 (más uno7 de poco valor), no le quita a latraducción latina de Gerardo de Cremona el lugar privilegia-do que ya tenía, a pesar de que ahora hay también un par debuenos manuscritos (uno de 1222), y, además, un manuscritode un comentario escrito por al-Khuzācī, en el mes delRamadan del 607 de la Hégira (febrero/marzo 1211), queRoshdi Rashed ha encontrado en Estambul (Yeni Cami 803),en el que éste va transcribiendo el texto de al-Khwārizmī,intercalando sus comentarios.

En el árbol de la figura 6 está resumida la genealogía de losmanuscritos que se conservan en árabe, más la posición enella de la traducción de Gerardo de Cremona (Rashed, 2007,p. 90). Los manuscritos que Rashed ha usado son:

A: Oxford, Bod., Hunt 214 (de 1342)B: Berlin, Landberg 199 (tardío)O: Medina, cArīf Hikmat, 4-jabr (1222)H: Medina, cArīf Hikmat, 4-jabr (1767, pero correspondientea una tradición anterior)M: Teherán, Malik 3418 (sólo contiene el capítulo de geome-tría o medida)S: Smith, New York, ColumbiaL: Gerardo de CremonaK: Gerardo de Cremona (problemas del apéndice)

Nota final

No he pretendido ser exhaustivo en esta entrega de “Historiasde al-Khwārizmī”, ni entra dentro de mi competencia, sinosólo mostrar que la historia de los textos no es simple. De loque me dejo en el tintero, mencionaré sólo que no hay tra-

Figura 6

1 Ya que sigo aquí a Roshdi Rashed, conviene señalar que el trabajo prolífico deeste historiador ha estado trufado de agrias controversias con otros historia-dores (Sesiano, Hojendijk, Toomer), en las que se han cruzado por ambosbandos acusaciones de trabajo poco cuidadoso, falta de rigor, apropiación deltrabajo del otro, etc. No conozco ninguna recensión de la edición de Rashedque estoy citando en ninguna revista especializada, hasta la fecha.

2 No he podido consultar esta enciclopedia de la época mameluca. La referen-cia aparece en:http://web.uni-frankfurt.de/fb13/igaiw/geschichte_arabisch/geschichte_arabisch.html,la página del Institut für Geschichte der Arabisch-IslamischenWissenschaften (Instituto para la Historia de las Ciencias Árabo-islámicas),que dirige Fuat Sedgin, en el que se está publicando una monumentalGeschichte des Arabischen Schrifttums (Historia de los escritos árabes).

3 Solomon Gandz publicó esta geometría hebrea junto con la parte de geome-tría del libro de álgebra de al-Khwārizmī, acompañadas ambas por su tra-ducción al inglés, en Gandz (1932), y afirma que esa parte del libro de al-Khwārizmī está simplemente copiada de ella, sin embargo pensaba que lohabía leído en una traducción al sirio o al persa y no en hebreo (Gandz ,1932,pp. 63-64).

4 Ver Franci (2003). La traducción está en un manuscrito de comienzos delsiglo xv. Franci indica que “la primera traducción en vernáculo completa ydeclarada del Al-jabr actualmente conocida está contenida en el manuscritoFon. Prin. II. III. 198 de la Biblioteca Nacional de Florencia y es de finales delsiglo xiv” (Franci, 2003, p. 29), con lo que el que ella ha editado sería unasdécadas posterior, pero tiene el interés de que se sabe exactamente de quétexto latino fue traducido.

5 De hecho Anbouba (1978) ya mencionaba hace treinta años un manuscritoque estaba en Berlín.

6 Rashed (2007, p. 83) dice que conoce la existencia de otros dos, pero que sondif ícilmente accesibles, porque ambos se encuentran en Kabul, Afganistán (o,al menos, se encontraban). Uno, dice, forma parte de una colección privada,y lo tuvo entre sus manos en un viaje que hizo entre la caída de la monarquíay el comienzo de la invasión soviética, pero nunca le enviaron la copia fotos-tática prometida. El otro debería haber estado en la biblioteca del antiguoPalacio Real, en la que Rashed nunca tuvo autorización para entrar. Rashedconcluye diciendo “se comprende que actualmente, después de la nueva inva-sión, sea imposible trabajar sobre el terreno” Rashed (2007, p. 83).

7 Se trata del manuscrito que luego llama S y que está en New York, Columbia.Rashed dice que este manuscrito es una copia que el historiador DavidEugene Smith hizo de la edición de Rosen. Rashed no parece haber leído aGandz (1932) que cuenta que Smith compró ese manuscrito en Lahore(India) a un persa que se lo vendió como antiguo, para descubrir posterior-mente que había sido timado, al comprobar que era de hecho una copia pos-terior a 1831 de la edición de Rosen.

8 A título de curiosidad diré que, aparte de tener una fotocopia de la ediciónoriginal de 1831, que conseguí hace años en la biblioteca de MatemáticaEducativa del CINVESTAV de México, tengo una edición en facsímil publi-cada en 2003 por The University Press of the Pacific, Honolulu, Hawaii.

NOTAS


111

ducción castellana alguna del álgebra de al-Khwārizmī. La hayinglesa, la de Rosen de 1831 que he citado y que ha sidorecientemente reeditada en facsímil en varias editoriales8

También la hay francesa muy reciente, la de Rashed (2007).Tengo noticia de que hay una traducción persa, cuya referen-cia no he podido localizar, y de una traducción rusa, quesegún Hughes (1989, p. 23) es de Rosenfeld y se publicó en1964. Ya he mencionado la casi primera traducción en verná-culo hecha en Italia, que ha editado Raffaella Franci (2003) yde la que también habla Hissette (2003).

Señalaré finalmente que queda otra tradición medieval porexplorar, que es la hebraica. Tony Lévy afirma que no se cono-ce ninguna versión hebrea del álgebra de al-Khwārizmī en elprimero de sus estudios sobre el álgebra árabe en los textoshebraicos (Lévy, 2003), pero también habla de un manuscritoque él ha encontrado en el que hay una adaptación hebrea dela parte del libro de al-Khwārizmī en que se exponen las seis

ecuaciones canónicas y su procedimiento de solución, y afir-ma que, aunque no aparece la palabra álgebra, ni se cita a al-Khwārizmī, puede ser una traducción directa o una adapta-ción hecha por Ibn Ezra (1089-1164) o un contemporáneosuyo, y, por tanto, ser contemporánea de las traducciones lati-nas. Como Ibn Ezra se fue de España en 1140 al norte de Italiay luego a la Provenza en 1148, esta versión hebrea del álgebrade al-Khwārizmī, podría haber sido compuesta en España(Lévy, 2002 y 2003).

Esto es lo que los historiadores nos han puesto disponiblepara conocer la obra de al-Khwārizmī. Las vicisitudes que heesbozado aquí de la historia de los textos conviene tenerlaspresentes a la hora de hacer afirmaciones sobre lo que dijo al-Khwārizmī. En una próxima entrega de estas historias, podréentrar a hablar pues de lo que Dixit Algorizmi.

HISTORIAS

Algorismus de Johannes de Sacrobosco (s. XII-XIII)Primera pàgina del álgebra de al-Khwārizmī


112


Ahmedov, A. A., ad-Dabbagh, J., & Rosenfeld, B. A. (1987). IstanbulManuscripts of al-Khwārizmī’s Treatises. ERDEM, 3 (7), 163-211.

Allard, A. (Ed.). (1992). Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī. Lecalcul indien (Algorismus). Paris: Librairie Scientifique etTechnique Albert Blanchard.

Anbouba, A. (1978). L’algèbre arabe aux IXe et Xe siècles. Aperçugénéral. Journal for the History of Arabic Science, 2, 66-100.

Ayyubi, N. A. (1990). Contribution of Khwârazmî to Mathematicsand Geography. In Acts of the International Symposium on IbnTurk, Khwârazmî, Farabî, Beyrûnî, and Ibn Sina (Ankara, 9-12September 1985), pp. 213-214.

Boncompagni, B. (1857). Trattati di Aritmetica. II. IoannisHispalensis. Liber Algorisme de Parstica Arismetrice. Roma:Tipografia delle Scienze Fisiche e Matematiche.

Charbonnier, R. (2004). La route des chiffres à travers les civilisa-tions indienne, arabe et occidentale du Ve siècle au XVIIIe siècle.Aubiere: IREM de Clermont Ferrand.

Crossley, J. N., & Henry, A. S. (1990). Thus Spake al-Khwārizmī: ATranslation of the Text of Cambridge University Library Ms. Ii.vi.5. Historia Mathematica , 17, 103-131.

Djebbar, A. (2005). L’algèbre arabe. Genèse d’un art. Paris: Vuibert /Adapt.

Dorce, C. (2008). Azarquiel. El astrónomo andalusí. Madrid: Nívola.Franci, R. (2003). Una traduzione in volgare dell’al-jabr di al-

Khwarizmi (Ms. Urb. Lat. 291 Biblioteca Apostolica Vaticana).En R. Franci, P. Pagli, & A. Simi (Edits.), Il sogno di Galois.Scritti di storia della matematica dedicati a L. Toti Rigatelli peril suo 60º compleanno (pp. 19-49). Siena, Italia: Centro Studidella Matematica Medioevale. Università di Siena.

Gandz, S. (Ed. Trans.) (1932). The Mishnat ha Middot, the FirstHebrew Geometry of about 150 C.E., and the Geometry ofMuhammad ibn Musa al-Khowarizmi, the First ArabicGeometry <c. 820>, Representing the Arabic Version of theMishnat ha Middot. Quellen und Studien zur Geschichte derMathematik, Astronomie und Physik. Abteilung A: Quelle, 2.Band. Berlin: Julius Springer.

Hissette, R. (2003). L’al-Jabr d’al-Khwārizmī dans les mss Vat. lat.4606 et Vat. Urb. lat. 291 et Guglielmo de Lunis. Miscellanea

Bibliothecae Apostolicae Vaticanae , X, 137-158.Høyrup, J. (1991). ‘Oxford’ and ‘Cremona’: On the relations between

two Versions of al-Khwârizmî’s Algebra. Filosofi og videnskab-steori på Roskilde Universitetcenter. 3. Række: Preprint ogReprints nr. 1.

Hughes, B. (1986). Gerard of Cremona’s Translation of al-Khwārizmī’s al-jabr: A Critical Edition, Mediaeval Studies, 48,211-263.

Hughes, B. (1989). Robert of Chester’s Translation of al-Khwārizmī’sal-jabr: A New Critical Edition, Boethius, Band XIV. Stuttgart:Franz Steiner Verlag.

Lévy, T. (2002). A newly-discovered parcial translation of al-Khwārizmī’s Algebra. Aleph, 2, 225-234.

Lévy, T. (2003). L’algèbre arabe dans les textes hébraïques (I). Unouvrage inédit d’Issac Ben Salomon al-Ahdab (xive siècle).Arabic Sciences and Philosophy, 13, 269-301.

Libri, G. (1838). Histoire des sciences mathématiques en Italie,depuis la renaissance des lettres, jusqu’à la fin du 17e siècle. 4volumes. Paris: Chez Jules Renouard et Cie., libraires.

Masharrafa, A. M. y Ahmad, M. M. (Eds.) (1939). Al-Khwārizmī,Muhammad ibn Mūsa. Kitāb al-mukhtasar fī hisāb al-jabr wa’l-muqābala. Cairo: al-Qahirah. Reprinted 1968.

Neugebauer, O. (1962). The astronomical tables of al-Khwārizmī.Translation with Commentaries of the Latin Version edited byH. Suter supplemented by Corpus Christi College MS 283.København: Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab.

Rashed, R. (Ed.). (2007). Al-Khwārizmī. Le commencement de l’algè-bre. Paris: Librairie Scientifique et Technique Albert Blanchard.

Rosen, F. (1831). The algebra of Mohammed Ben Musa. London:Oriental Translation Fund.

Rosenfeld, B. A. (1993). “Geometric trigonometry” in treatises of al-Khwārizmī, al Māhānī and Ibn al-Haytham. En M. Folkerts, & J.P. Hogendijk (Edits.), Vestigia Mathematica. Studies in medievaland early modern mathematics in honour of H. L. L. Busard (pp.305-308). Amsterdam - Atlanta, GA: Rodopi.

Youschkevitch, A. P. (1976). Les Mathématiques arabes (VIIIe-XVesiècles). Paris: Librairie Philosophique Vrin.

abe poca duda hoy en día entre los historiadores de lasmatemáticas sobre el lugar central que ocupa en la historiadel álgebra el libro de al-Khwārizmī Kitāb al-mukhtasar fīhisāb al-jabr wa’l-muqābala (Libro conciso de cálculo de res-tauración y oposición). No sólo porque el nombre de la disci-plina provenga de la decisión de Gerardo de Cremona de notraducir al latín la palabra al-jabr que designa una de las ope-raciones del cálculo, como ya conté en la segunda entrega deestas historias de al-Khwārizmī, sino también porque en eselibro de al-Khwārizmī está presente lo que podemos llamar elproyecto algebraico de resolución de problemas, y los objetos,los términos técnicos y el método que constituyen una nuevadisciplina, así como su aplicación a otras disciplinas preexis-tentes. En esta entrega de las historias de al-Khwārizmī pre-sentaré dos historias sobre el origen del libro y la originalidadde su contenido.

al-jabr wa’l-muqābala

103

Luis PuigUniversitat de València Estudi [email protected]

Historias de al-Khwārizmī (3ª entrega).Orígenes del álgebra.

C

Histo

rias

A todo libro famoso se le atribuye un origenmítico

El libro de al-Khwārizmī es un libro escrito por encargo. Elmismo al-Khwārizmī narra en sus primeros párrafos, despuésde las habituales invocaciones a Dios y a su profeta, que loescribe a petición del califa al-Ma’mūn, y que lo hace “paraayudar a aclarar lo que era impenetrable y a facilitar lo que eradif ícil1” (Rashed, 2007, p. 94), sin atribuirse la invención detodo lo que va a presentar en él.

Djebbar (2005, pp. 41-42) cuenta que fue corriente entre loshistoriadores y comentaristas árabes medievales el atribuir unpapel crucial en el origen del interés por el álgebra a uno delos personajes fundamentales en la historia de la fundacióndel Islam, cAlī, el yerno y primo del profeta, que a la muerte deéste sin que hubiera establecido ningún procedimiento parasu sucesión fue considerado por sus seguidores como el únicoque legítimamente podía sucederle. El hecho de que cAlī no

Febrero 2009, pp. 103-10860

fuera el elegido como primer califa tras la muerte del profetacondujo a que sus seguidores no reconocieran la autoridad deninguno de los tres primeros califas, y su asesinato, cuandofinalmente fue nombrado califa, produjo la escisión chiíta delIslam, que persiste en nuestros días.

Según el origen legendario del álgebra, cAlī, el yerno y primodel profeta, mártir chiíta, habría sido el primer árabe en cono-cer el álgebra, una ciencia traída de Persia, que él habríaaprendido en cinco días. Así se narra en el comentario al librode al-Khwārizmī escrito por al-Khuzācī en el siglo XIII y con-servado en un manuscrito en Estambul (Yeni Cami 803), quecita y traduce Rashed (2007, p. 4):

Se cuenta que, bajo el califato de cUmar ibn al Khattāb,unos persas trajeron la ciencia del álgebra y al-muqābala.cAlī ibn Abī Tālib –que Dios esté satisfecho de él– aconse-jó a cUmar ibn al Khattāb –que Dios esté satisfecho de él–que les gratificara con una subvención de dinero público,para que la enseñaran. Se le concedió. Se cuenta que enton-ces cAlī comprendió en cinco días lo que poseían de álgebray al-muqābala. Después de lo cual, se continuó intercam-biando esta ciencia oralmente, sin consignarla en un libro,hasta que el califato recayó sobre al-Ma’mūn, cuando yadesaparecía. Se informó de ello a al-Ma’mūn, que inquiriópor expertos en la materia. Se encontró que sólo el Shayk

Abū Bakr Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī era expertoen ella. Al-Ma’mūn le pidió entonces que compusiera unlibro de álgebra y al-muqābala, para resucitar lo que habíadesaparecido. Éste consintió en escribir ese libro para fijaren él los principios del álgebra y al-muqābala, y para quesirviera de referencia.

La rapidez de aprendizaje de cAlī la envidiarían los escolares alo largo de los siglos, pero esta leyenda no sólo proporcionaun origen glorioso al álgebra, sino que establece la importan-cia del paso de la tradición oral, que siempre está en peligrode desvanecerse, a su fijación en un texto escrito. El gesto fun-dacional de al-Khwārizmī se presenta en esta leyenda comoese gesto de fijación y ordenación “para que sirva de referen-cia”, no muy distinto de la fijación de la palabra en los textossagrados.

A todo libro famoso se le discute la prioridad

Abandonando el terreno de lo legendario, de la historia sagra-da, que convierte a al-Khwārizmī en el amanuense de lo quecAlī sabía, también en el terreno de los hombres vulgares se leha discutido a al-Khwārizmī la originalidad de su libro deálgebra.

104

SUMA 60Febrero 2009

Portada del manuscrito de la biblioteca Bodleyan de Oxforddel álgebra de al-Khwārizmī

No me refiero a quienes han atribuido a al-Khwārizmī, al igualque al conjunto de la ciencia árabe medieval, el papel demeros intermediarios entre el pasado glorioso de la matemá-tica griega clásica y la matemática que renace en el occidentecristiano después de años oscuros. El competidor al que merefiero es el libro que Aydin Sayili ha editado y traducido alturco y al inglés con el título Logical Necessities in MixedEquations, escrito por un cAbd al-Hamīd Ibn Turk en lamisma época en que al-Khwārizmī escribió el suyo (Sayili,1962), y que ya el nieto del autor del libro, que también eramatemático, que vivió a finales del siglo IX y principios delsiglo X, y a quien se conoce con el nombre de Abū Barza,habría afirmado que el libro de su abuelo era anterior al de al-Khwārizmī (Djebbar, 2005, pp. 44-45).

De hecho, al-Khwārizmī no reivindica que lo que presente ensu libro no lo haya tratado nadie antes que él. Más bien selimita a colocarse en una estirpe:

Los sabios del tiempo pasado y de las naciones de antañocontinuaban escribiendo libros que componían en los dis-tintos tipos de ciencias y los diversos aspectos de la sabi-duría, para que los que les sucedieran y en previsión de unarecompensa, en la medida de su capacidad […] (Rashed,2007, p. 92).

Sabios que escribían libros para “elucidar los secretos de laciencia y lo que encierra de obscuro”, de tres posibles mane-ras:

O bien es un hombre que ha llegado a <descubrir> el pri-mero lo que no se había descubierto antes de él y lo ha lega-do después suyo; o un hombre que ha explicado lo que suspredecesores habían dejado inaccesible, para aclarar sumétodo, allanar el camino y acercar el acceso; o un hombreque ha encontrado un fallo en ciertos libros, y que enton-ces ha reunido lo que estaba disperso, ha enderezado suporte teniendo una buena opinión de su autor, sin echarleen cara el fallo ni enorgullecerse de lo que él ha hecho.(Rashed, 2007, p. 94).

De las tareas de esos sabios, al-Khwārizmī parece que no pre-tenda situarse más que en la segunda, al decir que va

a aclarar lo que era impenetrable y a facilitar lo que eradif ícil […] componer un libro conciso en el cálculo de al-jabr y al-muqābala (Rashed, 2007, p. 94).

El orgullo familiar del nieto de Ibn Turk estuvo probablemen-te detrás de su reivindicación de la prioridad del libro de suabuelo sobre el libro de al-Khwārizmī, que ya en ese momen-to se había convertido efectivamente, la propia protesta deAbū Barza se convierte en una prueba de ello, en el libro dereferencia sobre el cálculo de al-jabr y al-muqābala.

Djebbar (2005) afirma que no sólo era el libro de referencia,sino que su prioridad prevaleció ya a partir del siglo x, comolo atestigua la reivindicación que hace de ello Abū Kāmil en laintroducción de su libro de álgebra2:

Habiendo estudiado mucho los libros de los sabios <relati-vos> al cálculo y habiendo investigado sus afirmaciones ylo que hay de más precioso en lo que han escrito en suslibros, he constatado que el libro de Muhammad ibn Mūsāal-Khwārizmī, que se conoce bajo <el título de> La restau-ración y la comparación, es aquel cuyo fundamento es elmás preciso y cuya demostración es la más verdadera; loque debería incitarnos, a nosotros especialistas en cálculo,a reconocer su ciencia y su preeminencia, porque él ha pre-cedido <a los otros> en la realización del Libro de al-jabr yal-muqābala, que él es su iniciador y que él ha inventadolos fundamentos que contiene. (Djebbar, 2005, p. 45)


105

SUMA 60Febrero 2009

SUMA 60Febrero 2009

106

Abū Kāmil va en su reivindicación mucho más lejos de lo queel propio al-Khwārizmī se atribuía, y probablemente barrepara casa (aunque él fuera egipcio, como atestigua que se leconociera como al-Hāsib al-Misrī, el calculista egipcio).

Sayili, historiador turco como Ibn Turk, estira en la otra direc-ción, a pesar de que lo único que tiene para reivindicar la prio-ridad de Ibn Turk sea un texto muy breve, que ensalza:

El texto que existe de cAbd al-Hamīd Ibn Turk, que tieneunas mil cuatrocientas palabras, es probablemente uncapítulo del Álgebra de cAbd al-Hamīd. Posiblemente essólo una parte de un capítulo, pero en ese caso constituyeun apartado bien definido, completo en sí mismo, conprincipio y fin (Sayili, 1962, p. 99).

Con tan poco material, Sayili concede no poder demostrarcuál de los dos textos, el de Ibn Turk o el de al-Khwārizmī,

está escrito antes, ni mucho menos que uno copiara del otroo se inspirara en él, pero sí que el texto de Ibn Turk es unaprueba contra el que al-Khwārizmī iniciara, como dice AbūKāmil, la ciencia del álgebra, inventando sus fundamentos.

El texto de cAbd al-Hamīd, sin embargo, puede decirse quecorrobora la hipótesis contraria. El álgebra de cAbd al-Hamīd y al-Khwārizmī no parece estar en absoluto cercadel estado de su génesis. No tiene los rasgos de un álgebraque aún no ha terminado de recorrer un proceso inicial dedesarrollo, sino un álgebra con reglas, tradiciones y puntosde vista bien establecidos (Sayili, 1962, p. 125).

Sayili, al no poder probar la prioridad de Ibn Turk, le quita laprioridad a ambos sobre la fundación del álgebra como disci-plina independiente, colocándolos en un estadio desarrolladode la disciplina tras un pasado del que lamentablemente noquedan huellas.

Primera página del manuscrito de la biblioteca Bodleyan de Oxford delálgebra de al-Khwārizmī

SUMA 60Febrero 2009

107

Al-Khwārizmī no ha pretendido inventar gran cosa, sino par-tir de un conocimiento preexistente, el que el califa le ha pedi-do que explique. Jens Høyrup en un artículo que publicó en1986 comparaba, tanto el libro de álgebra de al-Khwārizmīcomo el fragmento que se conserva de Ibn Turk, con otrolibro de un tal Abū Bakr, que sólo se conoce por una traduc-ción medieval latina del siglo XII hecha por Gerardo deCremona, que lleva el título de Liber Mensurationum3. Unaparte de ese libro contiene una serie de problemas que estánresueltos de dos maneras: una que sigue una pauta similar a lade los textos paleobabilónicos y otra que Abū Bakr indica queestá hecha “según al-jabr” y que es muy similar a la que apa-rece en el libro de al-Khwārizmī. Esta segunda técnica corres-pondería a una tradición, que Høyrup califica de subcientífi-ca, propia de los que Thābit ibn Qurrah llama “gentes de al-jabr” o “seguidores de al-jabr”4, que según Høyrup probable-mente eran algún tipo de contables.

Høyrup se inclina por que el texto de Ibn Turk sea anterior alde al-Khwārizmī, pero eso no lo hace valorarlo como un ini-ciador del álgebra ya que, al compararlo con el LiberMensurationum, Høyrup encuentra el texto de Ibn Turk másprimitivo en las demostraciones por parecerse al LiberMensurationum más que el texto de al-Khwārizmī.

En Ibn Turk encontramos […] un paralelismo más patentecon la tradición de geometría ingenua que está reflejada enel Liber Mensurationum que en el caso de al-Khwārizmī(Høyrup, 1986, p. 474).

El trasfondo sobre el que escriben tanto Ibn Turk como al-Khwārizmī sería, en opinión de Høyrup, tanto lo que pode-mos llamar el álgebra babilónica, como esas tradiciones quellama “subcientíficas” y que están representadas en el libro deAbū Bakr. Sobre ese trasfondo, al “aclarar lo que era impene-trable y […] facilitar lo que era dif ícil” construye al-Khwārizmī, lo que se reconocerá a partir de él como unanueva disciplina.

Algo de la radical novedad que supone el paso del álgebrababilónica al álgebra de al-Khwārizmī examiné en mi texto Laresolución de problemas en la historia de las matemáticas(Puig, 2006), y sobre lo que hay en general de radicalmentenuevo en el texto de al-Khwārizmī he escrito en varias oca-siones (p. e., Puig, 1998, 2008)5. Volveré sobre ello en la próxi-ma entrega de estas historias.

HISTORIAS

Las fotograf ías que ilustran este artículo son de MarisaFernández que las hizo en un viaje a Uzbekistán en 2007.

108

SUMA 60Febrero 2009

1 Traduzco aquí de la traducción francesa de Roshdi Rashed.

2 Cito la introducción a partir de Djebbar (2005) porque no dispongo delmanuscrito árabe que él cita, y en las ediciones publicadas de las versionesmedievales latina (Sesiano, 1993) y hebrea con traducción al inglés (Levey,1966) del libro de Abū Kāmil, la introducción no aparece.

3 Este libro ha sido editado por Busard (1968).

4 El texto de Thābit ibn Qurrah se titula Proposiciones sobre la rectificación delos problemas del álgebra mediante demostraciones geométricas, está escri-to unos cincuenta años después de la aparición del de al-Khwārizmī y estáeditado en Luckey (1941).

5 Estos tres textos están disponibles en http://www.uv.es/puigl/textos.htm enformato pdf.

NOTAS


BUSARD, H. L. L. (1968). L’algèbre au Moyen Âge: Le ‘LiberMensurationum’ d’Abu Bekr. Journal des Savants, avril-juin, pp.65-125.

DJEBBAR, A. (2005). L’algèbre arabe. Genèse d’un art. Paris: Vuibert/ Adapt.

HØYRUP, J. (1986). Al-Khwârizmî, Ibn Turk, and the LiberMensurationum: On the Origins of Islamic Algebra, ERDEM 2,445-484.

LEVEY, M. (Ed.) (1966). The Algebra of Abû Kâmil, in a Commentaryby Mordecai Finzi. Hebrew text and translation, and commen-tary. Madison, WI: The University of Wisconsin Press

LUCKEY, P. (1941). Thâbit b. Qurra über den geometrischenRichtigkeitsnachweis der Auflösung der quadratischenGleichungen. Sitzungsberichte des sächsischen Gesellschaft derWissenschaften zu Leipzig, Mathematisch-physische Klasse.Berichte 93, pp. 93-114.

PUIG, L. (1998). Componentes de una historia del álgebra. El texto deal-Khwarizmi restaurado. En F. Hitt (Ed.) Investigaciones enMatemática Educativa II (pp. 109-131). México, DF: GrupoEditorial Iberoamérica.

PUIG, L. (2006). La resolución de problemas en la historia de lasmatemáticas. En Aymerich, José V. y Macario, Sergio (Eds.)Matemáticas para el siglo XXI (pp. 39-57) Castellón: Publicacionsde la Universitat Jaume I.

PUIG, L. (2008). History of algebraic ideas and research on educa-tional algebra. In M. Niss (Ed.) Proceedings of the TenthInternational Congress on Mathematical Education. CD-version.Roskilde: IMFUFA, Department of Science, Systems and Models,Roskilde University.

RASHED, R. (Ed.). (2007). Al-Khwārizmī. Le commencement de l’al-gèbre. Paris: Librairie Scientifique et Technique AlbertBlanchard.

SAYILI, A. (Ed.). (1962). Abdülhamid ibn Türk’ün Katışık denklem-lerde Mantıkî Zururetler adlı yazısı ve Zamanın Cebri (Logicalnecessities in mixed equations by cAbd al-Hamîd Ibn Turk and thealgebra of his time). Ankara: Türk Tarih Kurumu Basımevi.

SESIANO, J. (1993). La version latine médiévale de l’Algèbre d’AbûKâmil. In M.FOLKERTS, AND J. P. HOGENDIJK (Eds.) VestigiaMathematica. Studies in medieval and early modern mathemat-ics in honour of H. L. L. Busard (pp. 315-452). Amsterdam andAtlanta, GA: Editions Rodopi B. V.

roblema problematum

El libro de François Viète (1540-1603) Introducción al arteanalítica (In artem analyticem Isagoge)1, que se considera pormuchos historiadores como el que comienza el álgebra sim-bólica, termina enunciando cuál es la ambición del proyectoalgebraico:

29. Denique fastuosum problema problematum ars Analytice,triplicem Zetetices, Poristices & Exegetices formam tandeminduta, iure sibi adrogat, Quod est, NULLUM NON PROBLEMA SOL-VERE.

[29. Finalmente, el Arte Analítica, una vez ha sido presentada ensu triple forma de Zetética, Porística y Exegética2, se apropia ajusto título del fastuoso problema de los problemas, que es: NODEJAR NINGÚN PROBLEMA SIN RESOLVER] (Viète, 1591, p. 9r).

La declaración de Viète es pues explícita: de lo que se trata esde tener una manera de trabajar, un arte, que garantice quetodos los problemas pueden ser resueltos. De la misma natu-

87

Luis PuigUniversitat de València Estudi General

Historias de al-Khwārizmī (4ª entrega). El pro-yecto algebraico.

P

Histo

rias

raleza es el propósito de Descartes expresado en su libroinacabado y publicado sólo póstumamente Reglas para ladirección del espíritu (Regulæ ad directionem ingenii)3, cuyasreglas pueden reescribirse de manera que sean la descripciónprecisa y metódica de cómo resolver cualquier problematransformándolo en un sistema de ecuaciones4.

El Kitāb al-mukhtasar fī hisāb al-jabr wa’l-muqābala (Libroconciso de cálculo de restauración y oposición), el libro deálgebra de al-Khwārizmī, es el primer libro que conocemosdel que se puede decir que se plantea ese proyecto, que lo quepretende es que todos los problemas puedan ser resueltos.

Noviembre 2010, pp. 87-9465

Último párrafo del libro de Viète In artem analyticem Isagoge

El proyecto algebraico

Como dice Viète, esa pretensión de resolver problema proble-matum, el problema de los problemas, es fastuosa, desmesu-rada. ¿Cómo se puede estar seguro de que todos los proble-mas pueden resolverse? ¿Con qué medios puede abordarseese problema problematum? ¿Cómo lo hace en concreto elálgebra?

Los matemáticos griegos ya tuvieron esa pretensión y forjaronpara ello el método de análisis y síntesis. Ahora bien, el méto-do de análisis y síntesis es un método heurístico, es decir, sirvepara descubrir, ése es el significado del verbo griego heuriskōdel que se deriva la palabra “heurística”. Concebido como unmétodo de resolución, sirve para descubrir la solución de losproblemas5, pero como es un método heurístico lo que hacees transformar el problema original en otros problemas, sinque dé garantías de que esos otros problemas puedan serresueltos6. El proyecto algebraico necesita transformar elmétodo de análisis y síntesis y completarlo, si quiere teneréxito con el problema de los problemas.

Una parte crucial de esa transformación del método de análi-sis y síntesis es superar la concepción griega de la necesidadde tratar con objetos que estén dados. Klein (1968) explicacuál es el escollo: la síntesis sólo puede realizarse en la con-cepción griega con magnitudes que han sido dadas7. Cuandoel análisis se realiza en problemas que tratan con objetos geo-métricos, el carácter de “dado” puede tomarse como “posibili-dad de haber sido dado” al trazar la figura de análisis que dala construcción por ya realizada y constituye el primer pasodel análisis:

Esta “posibilidad de haber sido dado” aparece en el análisis geomé-trico en el hecho de que la construcción que se considera como yaefectuada […] no necesita el uso de magnitudes “dadas” como uní-vocamente determinadas, sino sólo como que tienen el carácter dehaber sido “dadas” (Klein, 1968, p. 164).

Ahora bien, Klein se pregunta cómo puede transferirse esasituación al análisis en el terreno de la aritmética, y responde:

Claramente de esta manera: que los números “dados” en un proble-ma se consideren sólo en su carácter de haber sido dados, y no comoprecisamente esos números determinados (Klein, 1968, p. 164).

Es decir, que, cuando los problemas pertenecen al terreno dela aritmética, es necesario para efectuar el análisis que losnúmeros se consideren como dados, pero no determinados.Pero, se pregunta Klein ahora, “¿cómo puede ser que númerosdados y por tanto determinados desempeñen un papel inde-terminado?” (Klein, 1968, p. 165). La manera de Viète de supe-rar este escollo es abandonar el cálculo con números, lo que élllama Logistica8 numerosa, y crear un cálculo con especies denúmeros, lo que él llama Logistica especiosa, que es otro nom-

bre para su nueva álgebra. Las especies de números no repre-sentan números concretos, sino formas distintas que losnúmeros pueden adoptar cuando se calcula con ellos, son, enese sentido, indeterminados. Las incógnitas de los problemasaritméticos, que son números desconocidos, pero determina-dos, ya que están dados por las relaciones del enunciado delproblema, pueden convertirse así en el objeto del cálculo: porel intermedio de considerarlas no como números, sino comoespecies de números, y por tanto su carácter de dado estátomado como posibilidad de haber sido dado.

Portada del libro de Viète In artem analyticem Isagoge

Esta ruptura con el escollo de la concepción griega de con quépuede calcularse, le permitirá a Descartes, poco después deViète, zanjar el asunto estableciendo que en el análisis hay quetratar de la misma manera lo conocido y lo desconocido, ydecir que ahí reside el meollo del método:

[…] totum huius loci artificium consistet in eo, quod ignota pro cog-nitis supponendo possimus facilem & directam quærendi viamnobis proponere, etiam in difficultatibus quantumcumque intrica-tis9. (Descartes, 1701, pp. 61-62)

88


El proyecto algebraico usa pues, para resolver el problema delos problemas, un cálculo con especies de números que per-mite tratar de la misma manera lo conocido y lo desconocidoen el análisis de los problemas, y ese cálculo con especies seestablece como un lenguaje, un sistema de signos, específico.En Viète, el sistema de signos está en el umbral de lo simbóli-co, casi se puede calcular con él en el terreno de la expresiónsin recurrir al terreno del contenido, en Descartes ya es ple-namente simbólico10.

El uso de un cálculo con especies ya está presente en lasAritméticas de Diofanto11, y en este libro de Diofanto, lasespecies de números se representan mediante abreviaturas desus nombres. El sistema de signos es, por tanto, sincopado, eneste sentido, y no permite el cálculo en el nivel de la expresión.El álgebra de al-Khwārizmī también está basada en un cálcu-lo con especies, que veremos de inmediato.

Pero, aunque este desarrollo de un cálculo con especies sea unelemento crucial del proyecto algebraico, no basta para resol-ver el problema de los problemas. Para ello es necesario con-tar al menos con otras dos cosas. Por un lado, el cálculo conespecies es un lenguaje, un sistema de signos, distinto del len-guaje natural en el que están expresados los problemas. Asíque hace falta que el nuevo método establezca cómo traducirel enunciado de cualquier problema a una expresión en esenuevo sistema de signos. Por otro lado, las expresiones queresultan de la traducción de los problemas son ecuaciones, demodo que hace falta saber resolver todas las ecuaciones.

Es decir que, una vez establecido el procedimiento de traduc-ción de enunciados de problemas a ecuaciones en el métodode análisis, el problema de los problemas queda reducido atener un procedimiento de solución de todas las ecuaciones.Pero ese problema sigue siendo fastuoso, casi tan desmesura-do como el problema de los problemas, ya que hay un sinnú-mero de ecuaciones. Sin embargo, el lenguaje del álgebra tieneuna estructura y una sintaxis que permite hacer con susexpresiones algo que no puede hacerse con el lenguaje verná-culo. La infinidad de ecuaciones distintas que pueden apare-cer como traducción de los enunciados de problemas se pue-den clasificar en conjuntos finitos de ecuaciones representa-dos por formas canónicas. El problema de los problemas sereduce entonces a dos cosas: saber resolver todas las formascanónicas, y tener un cálculo que permita transformar cual-quier ecuación en una de las formas canónicas.

Resumiendo todo lo dicho, el proyecto algebraico de resolu-ción del problema de los problemas consiste en:

• La elaboración del concepto de especie de número.• La elaboración de un sistema de signos específico para tra-

tar el cálculo con especies.

• El establecimiento de un procedimiento de traducción delenunciado de un problema a una ecuación.

• La clasificación de las ecuaciones en formas canónicas, yel establecimiento de todas las formas canónicas.

• La elaboración de un cálculo que garantice transformarcualquier ecuación en una forma canónica.

• La resolución de todas las formas canónicas.

El proyecto algebraico de al-KhwārizmīEl propio orden con el que organiza al-Khwārizmī su Kitāb al-mukhtasar fī hisāb al-jabr wa’l-muqābala (Libro conciso decálculo de restauración y oposición) es una indicación de quese está planteando resolver el problema de los problemas. Enefecto, el libro podemos dividirlo en las siguientes partes12:

1. Introducción.2. Las especies de números.3. Las (seis) formas canónicas, simples y compuestas.4. Los algoritmos de solución de las formas canónicas.5. Las demostraciones de los algoritmos de solución de las

formas canónicas compuestas.6. Sobre la multiplicación [de expresiones con especies].7. Sobre la adición y la substracción [de expresiones con

especies y con radicales].8. Sobre la división [de radicales].9. Los seis problemas [ejemplos de las seis formas canóni-

cas].10. Varios problemas.11. Transacciones mercantiles13.12. Medida14 [de áreas y volúmenes].13. Testamentos15.14. Devolución de dotes.

Al-Khwārizmī comienza efectivamente definiendo las espe-cies de números con las que va a calcular. En la introducción,tras indicar que el libro lo escribe por encargo del califa al-Ma’mūn, dice que quiere exponer “lo que las gentes necesitanen sus herencias, legados, repartos, arbitrajes, comercios […]medida de tierras, perforación de canales, medición y otrascosas que dependen del cálculo” (Rashed, 2007, p. 94-9516). Acontinuación presenta las especies de números como las for-mas que adoptan los números que se necesitan en el cálculo:

He encontrado que los números que se necesitan en el cálculo de al-jabr y al-muqābala son de tres especies, que son: raíces, tesoros ynúmeros simples no relacionados con raíz ni con tesoro. La raíz(jidr) es cualquier cosa que se multiplica por sí misma, como la uni-dad, o los números, que le son superiores, o las fracciones17, que leson inferiores. El tesoro (māl) es todo lo que resulta de la raíz mul-tiplicada por sí misma. El número simple (cadad mufrad) es todo loque, entre los números, es expresable y que no se relaciona con raízni con tesoro (Rashed, 2007, p. 96-97; Hughes, 1986, p. 23318).

89


Traduzco las palabras que usa al-Khwārizmī para designar lastres especies de números, jidr, māl, y cadad mufrad, de formabastante literal, por ‘raíz’, ‘tesoro’19 y ‘número simple’. Cabeidentificar sin más las tres especies de números con los trestérminos de la forma canónica de una ecuación de segundogrado, y decir entonces que la raíz es la incógnita, x, que māles la segunda potencia de la incógnita, el cuadrado, x2, y que“número simple” es el término independiente, pero esta iden-tificación es anacrónica. Aunque traducir así las especies denúmeros hace más legible el texto de al-Khwārizmī para unlector actual, es aras de la legibilidad se sacrifica la posibilidadde comprensión de cuáles eran los conceptos que al-Khwārizmī elaboraba y usaba; más aún, traducir así hace pocopatente que se trata de especies de números.

Si examinamos las definiciones de al-Khwārizmī y el uso quehace de esos términos en el libro, podemos ver que la raíz noes la incógnita, al-Khwārizmī tiene otro nombre para la incóg-nita, shay’, cosa, que no aparece hasta el apartado “Sobre lamultiplicación”, que en nuestra división del libro en partes esla sexta. La cosa se identificará con la raíz, pero si hay queidentificar esos dos términos es porque de entrada no sonidénticos: “cosa” designa una cantidad desconocida, “raíz” esuna especie de número.

Un número es de la especie jidr, “raíz”, si en algún momentode los cálculos se multiplica por sí mismo: lo que hace que secalifique a un número de “raíz” no tiene nada que ver con quesea o no sea una cantidad desconocida de un problema, “raíz”no designa a una incógnita como hace la x en el sistema de sig-nos actual del álgebra. De hecho, cuando al-Khwārizmī estádefiniendo qué es una raíz, está hablando de números, queson por tanto, cantidades conocidas, dadas, no está hablandode cantidades desconocidas, de incógnitas, y lo que está defi-niendo es la forma que tiene un cierto tipo de números cuan-do se usan en cálculos aritméticos.

Correlativamente, un número es de la especie māl, “tesoro”, sien algún momento de los cálculos se ha obtenido como resul-tado de que un número se ha multiplicado por sí mismo(número que será la raíz de ese tesoro). Finalmente, un núme-ro es de la especie cadad mufrad, número simple, si en elcurso de los cálculos no se ha multiplicado por sí mismo ni hasido el resultado de la multiplicación de un número por símismo.

Si queremos que la traducción conserve en la medida de loposible los conceptos de al-Khwārizmī, no podemos por tantoleer las especies de números como potencias de la incógnita. Además, en el caso de māl, su traducción por ‘cuadrado’ esinconveniente por más motivos. Høyrup (1991) da tres razo-nes de peso para no hacerlo. En primer lugar, ‘cuadrado’ tieneun significado geométrico del que māl carece por completo,

con lo que traducir māl por ‘cuadrado’ hace incomprensible elesfuerzo de al-Khwārizmī (en la parte del libro en quedemuestra los algoritmos) para explicar que māl puede repre-sentarse mediante un cuadrado. La segunda potencia de laincógnita y la figura geométrica se nombran en castellano conla misma palabra ‘cuadrado’, pero en el árabe matemático, haydos palabras distintas para dos conceptos de ámbitos distin-tos: māl es una especie de número y el cuadrado, figura geo-métrica, se dice murabc. En segundo lugar, el significado de x2

como cuadrado de la incógnita, propio del álgebra elementalactual, hace que para un lector actual carezca de sentido con-siderar el cuadrado como incógnita; por lo tanto, una conse-cuencia de traducir māl por ‘cuadrado’ es que entonces no seentiende por qué al-Khwārizmī, después de encontrar la raíz,calcula también el māl, cuando es éste la incógnita del pro-blema. En tercer lugar, la identificación de māl con x2 conllevala identificación de la raíz con la raíz de la ecuación, cuandopara al-Khwārizmī es la raíz del māl, la raíz del tesoro.

Esta inconveniencia de traducir māl por cuadrado no es dehecho una novedad. Ya Gerardo de Cremona, en el siglo XII,tradujo māl por census, y no por quadratus, y la traducción deGerardo de Cremona hizo tal fortuna que la palabra census,que en latín significa “patrimonio”, “riqueza”, fue usada enlibros de álgebra escritos en latín en la época medieval, y tam-bién más adelante cuando en el Renacimiento empezaron aaparecer libros de álgebra en lenguas vernáculas. En éstos, lapalabra census, convertida en término técnico, cuyo significa-do en el lenguaje natural ya carecía de importancia, no se tra-dujo sino que se castellanizó (censo20), catalanizó (cens) o ita-lianizó (censo)21.

El libro de al-Khwārizmī presenta pues un primer rasgo de loque he llamado el proyecto algebraico ya que comienza defi-niendo especies de números con las que va a calcular, así queno va a tener que calcular con números dados, sino que va apoder hacerlo con formas de números, que tienen carácterindeterminado. Pero en esto al-Khwārizmī no es distinto deDiofanto, que también comienza sus Aritméticas de formaparecida, e incluso con una lista más larga de especies denúmeros22. Sin embargo, hay algo que los distingue y que nose encuentra en ningún libro conocido anterior al de al-Khwārizmī. Diofanto dice que muchos de los problemas arit-méticos se pueden tratar con cálculos aritméticos con lasespecies y resuelve un gran número de problemas, desarro-llando técnicas para ello. Al-Khwārizmī pretende resolverlostodos, y para ello comienza por establecer cuáles son todas lasposibilidades de combinación de las especies de números. Esegesto combinatorio sitúa el proyecto de al-Khwārizmī en elcorazón de lo que hemos llamado el proyecto algebraico: ladeterminación de cuáles son todas las posibilidades es el pasofundamental para poder resolver el problema problematum,el problema de los problemas, resolver todos los problemas.

90


Al-Khwārizmī encuentra que todas las posibilidades son seis,tres simples (Rashed, 2007, pp. 96-97 Hughes, 1998, p. 233), ytres compuestas (Rashed, 2007, pp. 100-101 Hughes, 1998, p.234), a saber:

tesoro igual a raícestesoro igual a númeroraíces igual a númerotesoro y raíces igual a númerotesoro y número igual a raícesraíces y número igual a tesoro

Esas seis posibilidades son otras tantas formas canónicas, a lasque se tratará de que mediante el cálculo de al-jabr y al-muqābala se pueda reducir cualquier ecuación que resulte detraducir un problema a este lenguaje algebraico23. Al-Khwārizmī prosigue el libro, como hemos indicado al dividir-lo en partes, enunciando una regla algorítmica para resolvercada una de las formas canónicas y demostrando los algorit-mos. Con ello, todas las ecuaciones que se pueden transfor-mar en las seis formas canónicas se pueden resolver, y éstasson todas las formas canónicas. Precisemos: todas dentro deun dominio acotado previamente, el de las tres especies denúmeros de las que parte al-Khwārizmī. Al-Khwārizmī noresuelve pues el problema de los problemas, pero sí que pre-senta en un mundo de problemas manejable un modelo decómo abordarlo. La continuación está implícita: basta conampliar el conjunto de especies de números y aplicar de nuevouna combinatoria que garantice que se están considerandotodas las formas canónicas para ese nuevo conjunto de formascanónicas.

Eso es exactamente lo que hace cUmar al-Khayyām (1048-1131) unos dos siglos más tarde en su Tratado de álgebra y al-muqābala (Rashed y Vahebzadeh, 1999): habla de una lista deespecies más larga, que se prolonga “tan lejos como se quiera”,y de la que se sabe que están en proporción continua “la razóndel número a las raíces es igual a la razón de las raíces a lostesoros y es igual a la razón de los tesoros a los cubos, y esigual a la razón de los cubos a los tesoro-tesoros, y esto tanlejos como se quiera” (Rashed y Vahebzadeh, 1999 pp. 120-123), y luego establece todas las formas canónicas hasta laespecie siguiente a las consideradas por al-Khwārizmī, esdecir, hasta el cubo.


La lista de todas las posibilidades tiene veinticinco formascanónicas (Rashed y Vahebzadeh, 1999 pp. 124-129):

número igual a raíznúmero igual a tesoronúmero igual a cuboraíces igual a tesorotesoros igual a cuboraíces igual a cubo

tesoro y raíz igual a númerotesoro y número igual a raízraíz y número igual a tesorocubo y tesoro igual a raízcubo y raíz igual a tesorocubo igual a raíz y tesorocubo y raíz igual a númerocubo y número igual a raíznúmero y raíz igual a cubocubo y tesoro igual a númerocubo y número igual a tesoronúmero y tesoro igual a cubo

cubo y tesoro y raíz igual a númerocubo y tesoro y número igual a raízcubo y raíz y número igual a tesorocubo igual a raíz y tesoro y númerocubo y tesoro igual a raíz y númerocubo y raíz igual a tesoro y númerocubo y número igual a raíz y tesoro

El proyecto algebraico tropieza con un escollo: cUmar al-Khayyām no encuentra algoritmos para todas las formascanónicas. Sin embargo, sí que es capaz de encontrar, cuandoel algoritmo no está disponible, un procedimiento de cons-trucción de la solución mediante intersecciones de cónicas.Admirable solución, pero que no satisface el proyecto alge-braico. No es éste el lugar para exponer la continuación de lahistoria que conduce a la teoría de Galois y el álgebra moder-na. Volvamos al libro de al-Khwārizmī.

Hasta esta altura de su libro, al-Khwārizmī no ha resuelto aúnningún problema concreto, pero ya ha puesto las bases delproyecto algebraico. Para resolver problemas concretos lefalta poder traducir cualquier enunciado a una expresión delcálculo con especies y transformar las expresiones en una delas formas canónicas. Los capítulos siguientes del libro sededican a ello, y en ellos aparece un nuevo término técnico,shay’, cosa, que en el occidente medieval cristiano acabaráconstituyendo otro nombre del álgebra cuando no se quierausar su nombre bárbaro: el arte de la cosa. Trataremos de elloen la próxima entrega de estas historias.

HISTORIAS

91


92


1 Viète publicó en 1591 a sus expensas (era un hombre de negocios en buenasituación económica y se publicada él mismo sus escritos) este libro, quetiene el tamaño de un manifiesto: 9 folios. Esta edición original latina estádisponible en Gallica, http://gallica.bnf.fr/, la biblioteca digital de laBiblioteca Nacional de Francia. Existe una traducción al francés hecha pocodespués de la muerte de Viète por Vaulézard, con largos comentarios de ésteintercalados en la traducción, en un volumen titulado La nouvelle algèbre deM. Viète, que también contiene otro libro de Viète que continúa éste. De esatraducción francesa hay una edición facsímil reciente (Vaulézard, 1986). Hayuna traducción inglesa de J. Winfree Smith incluida como apéndice de la edi-ción inglesa del clásico estudio de Jakob Klein Greek Mathematical Thoughtand the Origin of Algebra, que está accesible en una reedición barata de laeditorial Dover (Klein, 1968).

2 Viète pretende en este libro “restaurar el análisis matemático” de los griegos,y así lo subtitula, como una parte de su “restauración del análisis matemáti-co”. Para ello parte del texto de Pappus en el que éste describe el método deanálisis y síntesis, y lo transforma a su manera mediante el álgebra, quetransforma a su vez en lo que él llama “logística especiosa” o cálculo conespecies. La zetética, la porística y la exegética son los tres términos queViète introduce para caracterizar las tres partes del nuevo análisis. Pappusdistingue entre dos tipos distintos de análisis: el problemático (cuando setrata de resolver un problema) y el teorético (cuando se trata de demostrarun teorema). Viète toma la palabra zētētikón (que significa “investigación”)de la descripción del análisis teorético y la palabra poristikón (que significa“obtención”) de la descripción del análisis problemático, para las partes de sunuevo análisis en el que se plantea una ecuación (por la zetética), y se exa-mina la verdad del teorema que expresa la ecuación (por la porística), yañade una tercera parte cuyo nombre, exegética, viene de una palabra grie-ga que significa “mostrar”, y que consiste en resolver la ecuación para obte-ner los valores concretos. La terminología de Viète es bastante idiosincrási-ca, lo que hizo que apenas hiciera escuela y que no se haya conservado enabsoluto. Estos tres términos introducidos para las tres partes del nuevoanálisis son una buena muestra de su uso idiosincrásico de la terminología,ya que el término usado para la parte del nuevo análisis en que se examinaun teorema está tomada del análisis problemático, y el término usado para laparte del análisis en que el problema se traduce a una ecuación está tomadodel análisis teorético.

3 La edición canónica de las obras de Descartes es la de Charles Adam and PaulTannery, Œuvres de Descartes, cuyo volumen X contiene el original latino delas Reglas, que no se publicó en vida de Descartes. La primera vez que lasReglas se imprimieron fue en una colección de textos no publicados que seeditó en Holanda en 1701, con el título Opuscula posthuma physica etmathematica (Descartes, 1701).

4 En la entrega anterior de estas historias (Puig y Navarro, 2010) ya citaba micaracterización del método cartesiano en forma de una serie de pasos quedescriben la conducta del sujeto ideal y, por tanto, pueden considerarsecomo un modelo de competencia en la resolución (algebraica) de problemas.En Puig (2003) y Puig y Rojano (2004) expongo con un cierto grado de deta-lle cómo derivar ese modelo de competencia de lo que dice Descartes en lasRegulæ y en la Geometría, reelaborando y modificando lo que ya presentóPólya en el capítulo “The cartesian pattern” del volumen primero de su libroMathematical Discovery (Pólya, 1962).

5 En su exposición del método de análisis y síntesis, Pappus distingue entre elanálisis problemático y el teorético, ya se trate de resolver problemas odemostrar teoremas. Siguiendo en esto a Polya, yo considero que problemasy teoremas son ambos problemas (unos “de encontrar” y los otros “dedemostrar”), con lo que el método de análisis y síntesis es un método deresolución de problemas (Puig, 1996; Polya, 1945).

6 Sobre esta característica de la heurística, ver Puig (1996, p. 46) y Polya (1965,p. 84).

7 Euclides escribió un libro que se suele conocer con su nombre latino Data,pero que se titula en griego Dedomena, el participio pasado pasivo en pluraldel verbo “dar”, y significa, por tanto, “que han sido dados”. Pappus lo consi-deraba como uno de los libros que formaban parte del “Tesoro del Análisis”.Sobre el significado de dedomenon, ver mi texto sobre otro libro, este medie-val, que también trata de lo que sido dado: el De Numeris Datis de Jordanusde Nemore (Puig, 1994)

8 En la tradición griega hay dos disciplinas distintas que tratan con números:la Aritmética y la Logística. La Aritmética estudia la naturaleza de los núme-ros y los clasifica, la Logística estudia los cálculos con números. En los

Elementos de Euclides sólo hay aritmética, no hay nada de logística, dehecho, todas las proposiciones de los libros aritméticos de los Elementosacaban con la frase “como queríamos demostrar”, es decir están tratadascomo teoremas. Por el contrario, el libro de Diofanto que se conoce con elnombre de las Aritméticas, es, desde este punto de vista, un libro de logísti-ca, no de aritmética.

9 Juan Manuel Navarro Cordón traduce de esta manera: “[…] el artificio enterode esta exposición consistirá en que, suponiendo lo desconocido como cono-cido, podamos preparar un camino de investigación fácil y directo, incluso enlas dificultades más intrincadas que se quiera” (Descartes, 1984, p. 161).

10 Ver en el apartado “Una historia de la simbolización” de Puig y Rojano(2004) cómo la creación del actual sistema de signos del álgebra combina ele-mentos del sistema de signos de Viète y del de Chuquet-Bombelli, pero cómoa cada uno de ellos le falta una característica, que el otro posee: en el caso deViète, las especies se representan mediante abreviaturas de sus nombres, envez de mediante números, lo que no permite el cálculo en la expresión; en elcaso de Chuquet-Bombelli, no hay ningún signo para representar las canti-dades, sólo se representa de qué especie es una cantidad, lo que impiderepresentar más de una cantidad con signos distintos.

11 La edición canónica es la de Tannery (1893). Hay una traducción castellanareciente en Nívola (Diofanto de Alejandría, 2007).

12 Las cinco primeras partes no aparecen como capítulos en el libro.

13 Las traducciones latinas de Gerardo de Cremona (Hughes, 1986) y de Robertde Chester (Hughes, 1989) sólo llegan hasta aquí. La de Robert de Chestertitula este capítulo de transacciones mercantiles “Regula de tribus”, es decir,“Regla de tres”; de hecho, los problemas planteados están todos resueltosmediante una regla de tres.

14 Moreno (Al-Jwarizmi, 2009) traduce este capítulo como “Capítulo de geo-metría”. Rosen (1831) y Rashed (2007) traducen ambos por “medida”. En eltexto árabe la palabra que aparece es masāhat, que significa medición, área;la palabra árabe que se usa para geometría es handasa. Solomon Gandz tra-duce masāhat por “área” en el texto en que mantiene que este capítulo dellibro de al-Khwārizmī es simplemente una versión del Mishnat ha Middot,la primera geometría escrita en hebreo alrededor del año 150, y lo demues-tra traduciendo el texto de al-Khwārizmī como apéndice a su edición y tra-ducción inglesa del texto hebreo del Mishnat ha Middot, y comparandoambos textos (Gandz, 1932). Por supuesto que Roshdi Rashed opina, por elcontrario, que el Mishnat ha Middot es un texto mucho más tardío, quedepende de fuentes árabes, y que al-Khwārizmī no lo usa (Rashed, 2007, p. 57).

15 Este capítulo y el siguiente que tratan de problemas de repartos de herenciasy devolución de dotes, siguiendo lo establecido por la ley islámica, ocupan lamitad del libro, y están desglosados en varios capítulos, que no detallo aquí.

16 En la edición de Rashed, el texto árabe está en las páginas impares y su tra-ducción francesa en las páginas pares; en las citas, indico ambas páginas.

17 Las fracciones, cuando no se especifica más, son fracciones propias, portanto, menores que la unidad. De hecho, en la matemática árabe se llamabanfracciones “expresables” las fracciones unitarias, que además eran “expresa-bles” en el sentido de que la lengua árabe tiene palabras para expresar esasfracciones; las otras fracciones se llamaban “inexpresables” o “sordas”, califi-cadas con la misma palabra que también se usaba para calificar los númerosque nosotros llamamos “irracionales”: asamm.

18 Como mi conocimiento de la lengua árabe es limitado, la versión castellanadel texto de al-Khwārizmī la he compuesto utilizando el texto árabe deRashed (2007), que está construido utilizando todos los manuscritos queactualmente se conocen como describo en Puig (2008b), su traducción fran-cesa, y la traducción latina de Gerardo de Cremona editada por Hughes(1986), que se supone que es más cercana al texto original de al-Khwārizmīque cualquiera de los manuscritos árabes que se conservan. No utilizo la tra-ducción castellana de Moreno, aparecida en Nívola en 2009, por dos moti-vos: porque está hecha a partir del único manuscrito árabe que se había edi-tado y traducido antes del trabajo de Rashed (2007), pero, sobre todo, por-que ha adoptado decisiones de traducción contrarias a las que yo arguyo queson necesarias para no ser anacrónicos, y poder entender los conceptos alge-braicos de al-Khwārizmī.

19 Fuera del significado técnico en el álgebra, māl en árabe significa ‘fortuna’,‘patrimonio’, ‘cantidad de dinero’, ‘bien’.

NOTAS

93


20 Así aparece en los tres primeros libros en que se trata el álgebra en castella-no, escritos por Marc Aurel, Pedro Nunes y Pérez de Moya, y todos ellospublicados en el siglo XVI.

21 Robert de Chester, que también tradujo en el siglo XII el libro de al-Khwārizmī, tradujo māl por substantia. Un caso más curioso es el deMordecai Finzi, que tradujo al hebreo en el siglo XIV el álgebra de Abū Kāmil(Levey, 1966). Mordecai Finzi era probablemente un judío español o que tra-bajaba en España ya que usó una palabra castellana transliterada al hebreo,y no una palabra hebrea para traducir māl: “algo” (אלגו). Quienes se han pre-ocupado de distinguir māl de “cuadrado” han usado en inglés “treasure”,“fortune”, “wealth”, “possession”; en francés, “bien” (así lo hace, por ejemplo,Ahmed Djebbar en su libro de 2005 L’algèbre arabe. Genèse d’un art), “pos-session”; en alemán, “Vermögen”; palabras que todas ellas tienen el signifi-cado de “cantidad de dinero”. Rashed, aunque menciona la especificidad deltérmino māl como término del lenguaje del álgebra, lo traduce por “carré”,pero lo distingue de la figura geométrica escribiendo carré, en cursiva, cuan-do traduce māl, y sin cursiva cuando traduce murabc. Rosen traduce māl por‘square’, y lo que hace para distinguir māl de murabc es traducir esta últimapalabra por ‘quadrate’.

22 Es interesante señalar, de paso, que Diofanto habla de las especies de núme-ros dos veces, lo que Viète hará de forma explícita en su In artem AnalyticenIsagoge. En la definición de las especies de números por la que comienza,éstos son números dados, que se clasifican en formas, en especies: “[…]todos los números están compuestos por una determinada cantidad de uni-

dades, admitiendo claramente cualquier agregación hasta el infinito. Demanera que, entre ellos, los hay que son cuadrados (tetragōnōn), resultantesde la multiplicación de un número denominado lado (pleurà) del cuadradopor sí mismo […]” (Diofanto, 2007, p. 18). Luego dice que “se sabe que cadauno de aquellos números recibe una designación más breve cuando es unelemento genérico del cálculo aritmético” (Diofanto, 2007, p. 18), e introdu-ce las abreviaturas de los nombres de las especies. Diofanto le cambia elnombre a la especie que primero ha llamado “cuadrado”, cuando se trata deelementos de la teoría aritmética: “Denominaré así dynamis al cuadrado(tetragōnos) y lo denotaré mediante una letra Δ con un superíndice Υ, esdecir, ΔΥ [las dos primeras letras griegas de la palabra dynamis]” (Diofanto,2007, p. 19). La lista de especies de números de Diofanto continúa con elcubo, y las combinaciones de cuadrado y cubo, cuadrado-cuadrado, cuadra-do-cubo y cubo-cubo, y se completa con “el número a secas, que no poseeninguna de estas propiedades y consta de una cantidad de unidades indeter-minada [que] se llamará simplemente número (arithmòs)” y “aún queda otrosigno para denotar una cantidad determinada y constante” [formado por lasdos primeras letras de la palabra griega monás, que significa “unidad”](Diofanto, 2007, p. 19). Diofanto también define las especies inversas deéstas por analogía con cómo se construyen en la lengua griega los nombresde las fracciones unitarias a partir de los nombres de los números: de arith-mòs, arithmostón; de dynamis, dynamostón; etc.

23 En Puig (1998, 2008a) he explicado cómo las operaciones del cálculo están con-cebidas para transformar cualquier ecuación a una de las formas canónicas.

Madrasa Ulugbek de Samarkanda (Uzbekistán). Foto: Marisa Fernández

94



Al-Jwarizmi, M. b. M. (2009). El libro del Álgebra. Traducción, intro-ducción y notas de Ricardo Moreno Castillo. Madrid: Nívola.

Descartes, R. (1701). Opuscula posthuma physica et mathematica.Amsterdam: Typographia P. & Blaev J.

Descartes, R. (1984). Reglas para la dirección del espíritu.Introducción, traducción y notas de Juan Manuel NavarroCordón. Madrid: Alianza Editorial.

Descartes, R. (1996). Regulæ ad Directionem Ingenii. En Œuvres deDescartes. Tome X. Édition de Charles Adam et Paul Tannery.Paris: Librairie Philosophique J. Vrin.

Diofanto de Alejandría (2007). La Aritmética y el libro Sobre losnúmeros poligonales. Versión en castellano, introducción, notas yapéndices de Manuel Benito Muñoz, Emilio Fernández Moral yMercedes Sánchez Benito. Tomo I y Tomo II. Madrid: Nívola.

Djebbar, A. (2005). L’algèbre arabe. Genèse d’un art. Paris: Vuibert /Adapt.

Gandz, S. (Ed. trans.) (1932). The Mishnat ha Middot, the FirstHebrew Geometry of about 150 C. E., and the Geometry ofMuhammad ibn Musa al-Khowarizmi, the First ArabicGeometry <c. 820>, Representing the Arabic Version of theMishnat ha Middot. Quellen und Studien zur Geschichte derMathematik, Astronomie und Physik. Abteilung A: Quelle, 2.Band. Berlin: Julius Springer

Høyrup, J. (1991). ‘Oxford’ and ‘Cremona’: On the relations betweentwo versions of al-Khwârizmî’s Algebra. Filosofi og videnskabste-ori på Roskilde Universitetcenter. 3. Række: Preprint og Reprintsnr. 1.

Hughes, B. (1986). Gerard of Cremona’s translation of al-Khwārizmī’sal-jabr: A critical edition. Mediaeval Studies 48, 211-263.

Hughes, B. (1989). Robert of Chester’s translation of al-Khwārizmī’sal-jabr: A new critical edition. Boethius, Band XIV. Stuttgart,Germany: Franz Steiner Verlag.

Klein, J. (1968). Greek Mathematical Thought and the Origins ofAlgebra. Cambridge, MA: MIT Press. [Reprinted in New York:Dover, 1992.]

Levey, M. (ed.) (1966). The Algebra of Abû Kâmil, in a Commentaryby Mordecai Finzi. Hebrew text and translation, and commen-tary. Madison, WI: The University of Wisconsin Press.

Polya, G., 1945, How to Solve It. (Princeton University Press:Princeton, NJ). [Traducción castellana de Julián Zugazagoitia,Cómo plantear y resolver problemas. (Trillas: México, 1965).]

Polya, G., 1962-1965, Mathematical Discovery. 2 vols. (John Wileyand Sons: New York).

Puig, L. (1994). El De Numeris Datis de Jordanus Nemorarius comosistema matemático de signos. Mathesis, 10, pp. 47-92.

Puig, L. (1996). Elementos de resolución de problemas. Granada:Comares.

Puig, L. (1998). Componentes de una historia del álgebra. El texto deal-Khwarizmi restaurado. En F. Hitt (Ed.) Investigaciones enMatemática Educativa II (pp. 109-131). México, DF: GrupoEditorial Iberoamérica.

Puig, L. (2003). Historia de las ideas algebraicas: componentes y pre-guntas de investigación desde el punto de vista de la matemáticaeducativa. En E. Castro, P. Flores, T. Ortega, L. Rico, y A.Vallecillos (Eds.) Investigación en Educación Matemática. Actasdel Séptimo Simposio de la Sociedad Española de Investigación enEducación Matemática (pp. 97-108). Granada: Universidad deGranada.

Puig, L. (2008a). History of algebraic ideas and research on educatio-nal algebra. In M. Niss (Ed.) Proceedings of the TenthInternational Congress on Mathematical Education. CD-version.Roskilde: IMFUFA, Department of Science, Systems and Models,Roskilde University.

Puig, L. (2008b). Historias de al-Khwārizmī (2ª entrega). Los Libros.Suma, 59, pp. 105-112.

Puig, L. y Navarro, T. (2010). Protoálgebra en Babilonia (2ª entrega).Métodos de solución. Suma, 64, pp. 97-104.

Puig, L., y Rojano, T. (2004). The history of algebra in mathematicseducation. In K. Stacey, H. Chick, y M. Kendal (Eds.), The futureof the teaching and learning of algebra: The 12th ICMI study (pp.189-224). Boston / Dordrecht / New York / London: KluwerAcademic Publishers.

Rashed, R. (Ed.) (2007). Al-Khwārizmī. Le commencement de l’algè-bre. Paris: Librairie Scientifique et Technique Albert Blanchard.

Rashed, R., y Vahebzadeh, B. (1999). Al-Khayyâm mathématicien.Paris: Librairie Scientifique et Technique Albert Blanchard.

Rosen, F. (1831). The algebra of Mohammed Ben Musa. London:Oriental Translation Fund.

Tannery, P. (Ed.) (1893). Diophanti Alexandrini opera omnia cumgraecis commentariis (Reprinted 1974, Vols. 1-2). Stuttgart,Germany: B. G. Teubner.

Vaulézard, J.-L. (1986). La nouvelle algèbre de M. Viète. Paris: Fayard.Vieta, F. (1591). In artem Analyticem Isagoge. Turonis: Iametium

Mettayer Typographum Regium.

Este artículo fue solicitado por SUMA en julio de 2010 y aceptado en octubre de 2010 para su publicación

osa en el lenguaje natural

En el apartado 11 “Variables en el lenguaje vernáculo” delcapítulo 16 de su Fenomenología didáctica de las estructurasmatemáticas, dedicado al análisis fenomenológico dellenguaje del álgebra, Hans Freudenthal cuenta la siguientehistoria de su hija:

Cuando mi hija estaba en la edad en que los niños juegan eljuego de “esto qué quiere decir” y le pregunté qué quieredecir “cosa” contestó que cosa es si quieres decir algo y nosabes cuál es su nombre. (Freudenthal, 1983, p. 474)1

A menudo las matemáticas han elaborado sus conceptos apartir de la riqueza inmensa de la lengua vernácula, fijando eluso de alguno de sus términos en un sentido preciso, deter-minado, unívoco. El proyecto algebraico necesita poder cal-cular con lo desconocido. Ya vimos en la entrega anterior deestas historias (Puig, 2010) que la elaboración del concepto deespecie de número hace posible referirse a los cálculos concantidades que se desconocen por el intermedio de las espe-cies, que son “formas de números”. Pero las especies de núme-ros, raíz, tesoro o simple número, son sólo esas formas que losnúmeros adoptan cuando se calcula con ellos. Cuando se

89


Historias de al-Khwārizmī (5ª entrega). La cosa

C

Histo

rias

trata de resolver un problema, también hace falta poder refe-rirse directamente a números concretos que son desconoci-dos, no basta con decir si son de la especie raíz, o de la espe-cie tesoro o de la especie simple número. Pero esos númerosson desconocidos, no sabemos cuál es su nombre, y, comodijo la hija de Freudenthal, “cosa” sirve para nombrar algocuyo nombre se desconoce.

No sabemos quién ni cuándo usó por primera vez la palabra“cosa” para referirse a un número desconocido y así poderdarle nombre. Lo que sí sabemos es que el libro de álgebra deal-Khwārizmī es el más antiguo que se conserva en el que lapalabra aparece usada así. En el fragmento que queda dellibro, casi contemporáneo, de Ibn Turk2 (Sayili, 1962) la pala-bra “cosa” no aparece, aunque eso no significa que no pudie-ra estar también en este libro, ya que la pequeña parte que seha conservado de él corresponde a las demostraciones de losalgoritmos de solución de las formas canónicas compuestas,y al-Khwārizmī tampoco usa el término “cosa” en esa parte desu libro de álgebra.

Febrero 2011, pp. 89-10066

Es bastante plausible que el uso de la palabra “cosa” como tér-mino técnico para nombrar una cantidad desconocida con laque se quiere calcular, proceda de una tradición distinta de latradición de la que proceden los términos con los que al-Khwārizmī designa las especies de números3. Venga de dondevenga, la primera vez que aparece, lo hace en árabe, shay’, yserá a partir de esa palabra árabe de la que pasará al latíncomo res, cuando se traduzca el libro de al-Khwārizmī al latínen el siglo XII. Luego aparecerá como “cosa” a principios delsiglo XIV en el primer libro escrito en una lengua romance, elTractatus algorismi de Jacopo da Firenze, y el término “cosa”hará tanta fortuna, que la “Regla de la cosa” acabará siendootro nombre del álgebra.

Como la observación de la hija de Freudenthal muestra, no esde extrañar que una palabra como “cosa” se use para designarlo desconocido, y la palabra árabe shay’, según Rashed, es unapalabra que pertenece al árabe clásico ya que aparece en elCorán, y

se dice de todo cuerpo animado o inanimado, de todo lo quepuede ser sujeto de atribución, sin ser, sin embargo, repre-sentado necesariamente por individuos […] Designando undesconocido, la palabra necesita siempre una determinacióno una explicación. Si por ejemplo se dice: “yo tengo una cosa”,la afirmación no puede entenderse sin un comentario suple-mentario. (Rashed, 1984, p. 122).

El mismo Rashed nos dice que los gramáticos de la época deal-Khwārizmī decían que la palabra shay’ era “lo más indefini-do de los indefinidos” y que

en teología, el término remite a una existencia cierta, pero dela que nuestro conocimiento todavía está indeterminado. Porejemplo, se atribuye al lingüista al-Khalil en el siglo VIII estaexpresión a propósito de Dios: “Es una cosa de una cosa, nocosa de no cosa, cosa de no cosa, no cosa de una cosa”, que seconjuga también como una tabla de verdad. Se entiende queal-Khwārizmī haya elegido este término para bautizar laincógnita algebraica4 (Rashed, 2007, p. 15).

La fórmula “es una cosa de una cosa, no cosa de no cosa, cosa deno cosa, no cosa de una cosa”, escrita en árabe

La cosa en el lenguaje del álgebra de al-KhwārizmīLa primera vez que aparece la palabra “cosa” con significadotécnico en el libro de al-Khwārizmī es en el primero de loscapítulos dedicados al cálculo literal, el que se titula “sobre lamultiplicación”. En él al-Khwārizmī comienza anunciando loque va a hacer en ese capítulo y el siguiente:

Yo te enseño cómo multiplicar unas por otras las cosas, queson las raíces; si están solas, si están con un número, si están

disminuidas en un número o si están restadas de un número;y cómo sumarlas unas a otras y cómo restarlas unas de otras(Rashed, 2007, p. 122-123; Hughes, 1986, p. 241).

Sin embargo, no es en esta parte del libro de al-Khwārizmīdonde puede verse por qué hace falta que al-Khwārizmī nosenseñe a “multiplicar unas por otras las cosas”, menos aún porqué aparece ese nuevo término “cosa”, del que al-Khwārizmī loúnico que dice al introducirlo es “que son las raíces”. Si “cosa”y “raíz” fueran la misma cosa, hubiera sido innecesario queapareciera la cosa en escena; podría al-Khwārizmī haberexplicado en este capítulo “cómo multiplicar unas por otraslas raíces” y ahorrarse un término primitivo, un concepto delcálculo de al-jabr y al-muqābala. Si al-Khwārizmī explica elcálculo con la cosa y no el cálculo con la raíz, es porque cosay raíz no son conceptualmente iguales, aunque al mencionarpor primera vez el término, al-Khwārizmī se limite a explicar-lo diciendo “que son las raíces”, o incluso, unas líneas más ade-lante diciendo “el significado de la cosa es la raíz” (Rashed,2007, p. 124-125; Hughes, 1986, p. 242)

El significado de la cosa en el texto de al-Khwārizmī está en suuso (ésa es la definición pragmática de significado deWittgenstein), más que en esa definición. Al-Khwārizmī nousa nunca “cosa” cuando introduce las especies de númerosque se usan en los cálculos: ahí usa “raíz”. Las especies denúmeros son raíz, tesoro y simples números. La raíz es raízdel tesoro, y el tesoro proviene de una raíz que se ha multipli-cado por sí misma, el tesoro no es una cosa que se ha multi-plicado por sí misma. Al-Khwārizmī no usa nunca “cosa”cuando establece las seis formas canónicas, ni cuando exponelos algoritmos de solución de las formas canónicas, ni cuandoexpone las demostraciones de esos algoritmos. En las formascanónicas, al-Khwārizmī siempre usa raíz y tesoro, por ejem-plo “tesoro y raíces igual a números”, nunca dice al-Khwārizmī“tesoro y cosas igual a números”.

En esto, sus sucesores inmediatos le son fieles. En el álgebrade Abū Kāmil (ca. 850-930) tampoco aparece la cosa en lasformas canónicas, ni en los algoritmos, ni en las demostracio-nes. Más aún, en la lista de veinticinco formas canónicas delas ecuaciones hasta el tercer grado que cUmar al-Khayyām(1048-1131) estudia unos dos siglos más tarde en su Tratadode álgebra y al-muqābala (Rashed y Vahebzadeh, 1999) tam-poco aparece la cosa, sino las especies cubos, tesoros, raíces ysimples números5.

Al-Khwārizmī introduce el término cosa en el capítulo dedi-cado al cálculo literal, pero donde al-Khwārizmī lo usa conti-nuamente y cobra sentido es en los capítulos dedicados aresolver problemas. En efecto, al-Khwārizmī comienza laresolución de cualquier problema llamando a alguna de lascantidades desconocidas “cosa”. Así, por ejemplo, el primerproblema que al-Khwārizmī plantea para estudiar las seis for-mas canónicas es

90


Es por ejemplo cuando dices: has dividido diez en dos partes;has multiplicado una de las dos partes por la otra; luego hasmultiplicado una por sí misma, de manera que la multiplica-da por sí misma es igual al cuádruple del producto de una delas dos partes por la otra. (Rashed, 2007, p. 144-145; Hughes,1986, p. 247)

y la solución, la regla para resolver problemas, comienza lla-mando “cosa” a una de las dos partes en que se ha divididodiez:

tú pones una de las dos partes una cosa y la otra diez menosuna cosa; multiplica una cosa por diez menos una cosa, yresulta diez cosas menos un tesoro (Rashed, 2007, p. 144-145;Hughes, 1986, p. 247).

Como esa cosa se multiplica por sí misma, es una raíz y el pro-ducto por sí misma es un tesoro. De esta manera, al-Khwārizmī traduce el enunciado del problema al lenguaje desu álgebra, que no tiene signos distintos de los del lenguajevernáculo, pero sí un vocabulario propio y preciso. La palabradel lenguaje vernáculo “cosa”, convertida en nombre de lo des-conocido, permite desarrollar un cálculo con lo desconocido,y que la resolución de los problemas se desarrolle por la víadel análisis. En el libro de álgebra de al-Khwārizmī, la palabra“cosa” aparece arrebatada al lenguaje vernáculo para ser apro-piada por el lenguaje del álgebra.

En efecto, si pensamos que el corazón de la resolución alge-braica de problemas se puede decir que es esa lectura delenunciado del problema, que está en lenguaje vernáculo, paratransformarlo en un nuevo texto que está en el lenguaje delálgebra, una de las señales en el texto de al-Khwārizmī de quese está pasando de un lenguaje a otro es que la palabra “cosa”nunca aparece en los enunciados de los problemas, dondeaparece es en las soluciones.

Hay una excepción, que en realidad no lo es: el problema 28(en la numeración de Rashed, 2007). En el enunciado de eseproblema sí que aparece la palabra “cosa”. Sin embargo, en lasolución del problema, la cantidad que al-Khwārizmī designacon “cosa” no es la que en el enunciado ha sido llamada “cosa”,sino otra cantidad desconocida. De hecho, la cantidad desco-nocida que en el enunciado se llama “cosa” no es necesariapara resolver el problema, el problema tiene la misma solu-ción, valga esa cantidad lo que valga. El enunciado del proble-ma es

Si te dicen: repartes un dirham entre unos hombres y les tocauna cosa; les añades un hombre, y repartes entre ellos un dir-ham, entonces les toca un sexto de dirham de menos que enel primer reparto (Rashed, 2007, p. 190-191; Hughes, 1986, p.255)

y al-Khwārizmī llama “cosa” al número de hombres que habíaal principio, y calcula con esa cosa. La cantidad que en el

enunciado se ha dicho que era una cosa no aparece para nadaen la solución del problema, con lo que “cosa” en el transcur-so de la solución es el nombre propio de la cantidad descono-cida “número de hombres que había al principio”, sin quequepa ambigüedad alguna sobre ello. En el lenguaje del álge-bra de al-Khwārizmī “cosa” es un nombre común, cuyo signi-ficado tiene que ver con el hecho de que la cantidad que nom-bra es una cantidad determinada, pero cuyo valor se descono-ce. De hecho, la mayor parte de las veces el término algebrai-co “cosa” aparece sin artículo, “cosa”, o de forma indetermina-da, “una cosa”, y muy pocas veces con el artículo determinado,“la cosa”.

En resumen, al-Khwārizmī nunca usa el término “cosa” en lasprimeras partes del libro en las que trata:

1. Introducción.2. Las especies de números.3. Las (seis) formas canónicas, simples y compuestas.4. Los algoritmos de solución de las formas canónicas.5. Las demostraciones de los algoritmos de solución de las

formas canónicas compuestas.

Al-Khwārizmī introduce el término “cosa” en el primer capí-tulo dedicado al cálculo literal:

6. Sobre la multiplicación [de expresiones con especies].

Al-Khwārizmī nunca utiliza el término “cosa” en los otros doscapítulos dedicados al cálculo literal:

7. Sobre la adición y la substracción [de expresiones conespecies y con radicales].

8. Sobre la división [de radicales].

Al-Khwārizmī usa sistemáticamente el término “cosa” en loscapítulos dedicados a enseñar a resolver problemas algebrai-cos de segundo grado:

9. Los seis problemas [ejemplos de las seis formas canóni-cas].

10. Varios problemas.

Los cuatro capítulos restantes son especiales y no entraré adescribir aquí cómo usa al-Khwārizmī el término “cosa” enellos. Sólo diré que en el corto capítulo titulado“Transacciones mercantiles” no usa el término “cosa”. Esto sedebe a que el capítulo está dedicado a una clase de problemasen los que siempre están implicadas cuatro cantidades quetienen nombre. Al-Khwārizmī comienza el capítulo diciendo“Que sepas que todas las transacciones entre las gentes, deventa, compra […] se realizan […] según cuatro nombres pro-nunciados por el que pregunta, que son cantidad de evalua-ción, tasa, precio y cantidad evaluada” (Rashed, 2007, p. 196-

91


197; Hughes, 1986, p. 2556). Esas cuatro cantidades formanuna proporción, y los problemas son problemas de hallar lacuarta proporcional dados los otros tres términos de la pro-porción. Al-Khwārizmī no usa el término “cosa” porque nonecesita darle nombre a la cantidad desconocida, ya tienenombre para referirse a ella, y los cálculos para resolver losproblemas son los que establece la regla de tres, en los que nose calcula con lo desconocido.

La cosa y la raízHe señalado que “cosa” y “raíz” son términos con significadodistinto, que probablemente provienen de tradiciones ante-riores a al-Khwārizmī distintas, y que él identifica, pero usa demanera diferenciada. Esa situación no podía dejar de causardificultades, y la historia lo atestigua. El historiador tunecinoMohamed Souissi así lo afirma en uno de los capítulos de sulibro Feuilles d’automne en que, ya jubilado quince años antes,repasa su trabajo. Trata ese capítulo del poema didáctico deIbn al-Yāsamīn, del que hablaré más adelante, y Souissi cita uncomentario a ese poema hecho en el año 1506 por un tal al-Māridini que

señala una polémica que se había desatado en torno al uso delas dos palabras shay’ (cosa, res) y jidhr7 (raíz). Para ciertosalgebristas son dos términos sinónimos. Otros, como Ibn al-Hā’im, piensan que es necesario reservar la palabra shay’ parael número desconocido, y restringir jidhr al número conoci-do. Ibn al-Yāsamīn, así como su comentarista, optan por elprimer punto de vista y se refieren a una cita de Abū KāmilShujāc ibn Aslam, en su obra Al-Mabsūt fī-l-jabr wa-l-muqā-bala: “La shay’ no es sino la jidhr, y la jidhr no significa másque la shay’; son dos nombres que sirven, uno y otro, paraexpresar la misma noción”. (Souissi, 2001, p. 120).

Rastraeré indicaciones del uso de cosa y raíz en algunos tex-tos y autores posteriores a al-Khwārizmī en este apartado.

Abū Kāmil (ca. 850-930)

En el siglo XVI andaban pues los algebristas discutiendo sobreel uso de cosa y raíz, y quien mantenía que eran términossinónimos usaba como autoridad las palabras de Abū Kāmil,conocido en su tiempo como el calculista egipcio, que nacecuando muere al-Khwārizmī. Sin embargo, si se recorre ellibro de álgebra de Abū Kāmil8, aunque afirme que cosa y raízson lo mismo, igual que ya lo había hecho al-Khwārizmī, eluso que hace de los dos términos en su libro es prácticamen-te el mismo que el que hace al-Khwārizmī: no lo usa en loscapítulos iniciales, lo introduce cuando comienza el cálculoliteral, y lo usa en la resolución de problemas de forma simi-lar a al-Khwārizmī.cUmar al-Khayyām (1048-1131)

El caso del persa cUmar al-Khayyām es más interesante. Lapalabra “cosa” sólo aparece una vez en todo su libro de álge-bra, muy al comienzo, cuando dice:

Es la costumbre, entre los algebristas, nombrar en su arte laincógnita que se quiere determinar “cosa”, su producto por símisma, tesoro, su producto por su tesoro, cubo, el productode su tesoro por su semejante, tesoro tesoro, el producto desu cubo por su tesoro, tesoro cubo, el producto de su cubopor su semejante, cubo cubo, y así sucesivamente hasta tanlejos como se quiera. Se sabe a partir del libro de losElementos de Euclides que esos grados son todos proporcio-nales, quiero decir que la razón de la unidad a la raíz es iguala la razón de la raíz al tesoro y es igual a la razón del tesoro alcubo. La razón del número a las raíces es por tanto igual a larazón de las raíces a los tesoros, igual a la razón de los teso-ros a los cubos, e igual a la razón de los cubos a los tesorotesoro, y esto hasta tan lejos como se quiera (Rashed andVahebzadeh, 1999, pp. 120-122).

En esa frase, “cosa” aparece como un término propio del len-guaje del álgebra (“es la costumbre, entre los algebristas”) quese usa para designar la “incógnita que se quiere determinar”.Al-Khayyām está pues dando a “cosa” el sentido en que hemosvisto que al-Khwārizmī usa el término, pero, de inmediato, lousa para generar las especies de número bastante más allá deltesoro, que es donde se queda al-Khwārizmī, mezclando puesel sentido en que al-Khwārizmī usa raíz.

Podría parecer que la raíz ya no va a ser para al-Khayyām untérmino necesario porque la ha substituido por la cosa en lalista de especies de número, pero, muy al contrario, cuandoexplica que “se sabe a partir del libro de los Elementos deEuclides que esos grados son todos proporcionales”, la cosadesaparece y ya sólo habla de la raíz. Mucho más significativoaún es que la término “cosa” no vuelve a aparecer en todo ellibro. Esto se debe claramente a que al-Khayyām no resuelveni un solo problema en todo el libro; a lo que el libro está dedi-cado es a encontrar algoritmos de solución para las veinticin-co formas canónicas, que son todas las posibilidades de com-binar las especies números, raíces, tesoros y cubos, y, para lasque no consigue encontrar un algoritmo, encontrar su solu-ción geométrica mediante la intersección de cónicas. Las for-mas canónicas están enunciadas en términos de números, raí-ces, tesoros y cubos, nunca aparece el término “cosa” al enun-ciarlas, y nunca se usa el término “cosa” en las soluciones delas ecuaciones.

Sharaf al-Dīn al-Tūsī (1135-1213)

El libro fundamental que se conserva del persa al-Tūsī (naci-do en el ciudad de Tūs) es su Tratado de las ecuaciones (Al-Tūsī, 1986). En él al-Tūsī aborda la resolución de las veinti-cinco formas canónicas de las ecuaciones de tercer grado,como lo había hecho al-Khayyām, pero, a diferencia de éste, loque hace es desarrollar métodos aproximados para la resolu-

92


ción de las formas canónicas para las que no se había encon-trado en la época ningún algoritmo de solución.

En su libro, el término “cosa” tampoco aparece cuando pre-senta las veinticinco formas canónicas, que están enunciadasen términos de números, raíces, tesoros y cubos:

De la formación de las ecuaciones entre los números, las raí-ces, los tesoros y los cubos se engendran veinticinco proble-mas que son: una raíz igual a un número, un tesoro igual a unnúmero […] (Al-Tūsī, 1986, p. 16).

El término “cosa” tampoco aparece en los algoritmos, ni en lasdemostraciones de éstos, ni en los cálculos aproximados delas soluciones de las ecuaciones. Como además el libro sólotrata de la resolución de ecuaciones y no de la resolución deproblemas de enunciado verbal, no hay lugar a que se use eltérmino “cosa” para nombrar alguna cantidad desconocida yasí traducir el enunciado del problema al lenguaje del álgebra.

Sin embargo, el término “cosa” tiene una única aparición entodo el libro cuando al-Tūsī demuestra que la forma canónicatesoro igual a raíces y números se puede resolver transfor-mándola en la forma canónica tesoro y raíces igual a números,para la que ya ha dado previamente un algoritmo de solución.

Veamos qué es lo que hace al-Tūsī exactamente. Se trata deresolver la ecuación “raíces y números igual a tesoros”, que, enel lenguaje del álgebra simbólica actual, podemos escribir x2 =bx + c. Al-Tūsī comienza demostrando que es posible tenerefectivamente un tesoro que sea la suma de raíces y números.La demostración utiliza una figura similar a la que al-Khwārizmī usa para demostrar el algoritmo de esta formacanónica, pero al-Tūsī no ha dado ningún algoritmo y no estápor tanto demostrando algoritmo alguno sino sólo la posibili-dad de existencia de esa forma canónica. Tras hacer esto, con-tinúa diciendo:

Para determinar la raíz, sea AE el cuadrado [murabac]9 deAD. Tracemos BG paralela a DE y pongamos DB una cosa, esdecir, la raíz de un tesoro desconocido, y AB el número deraíces mencionado en el problema. (al-Tūsī, 1986, p. 31)

Al-Tūsī quiere determinar la raíz, que es lo que hemos repre-sentado por x en nuestro lenguaje algebraico en x2 = bx + c, ydesigna con el nombre de “cosa” no a la raíz que tiene quedeterminar, sino a otra “raíz de un tesoro desconocido”. En lafigura, la raíz que hay que determinar es el lado del cuadradoAE, es decir, AD, la cosa es el segmento DB, de manera quecomo dice al-Tūsī

AD es, por tanto, el número de raíces y una cosa.

Figura 1

es decir que la raíz que hay que determinar es el número deraíces más una cosa. La cosa no se identifica aquí con la raízque hay que determinar, sino con otra raíz de otro tesoro. Siqueremos expresar lo que al-Tūsī hace en nuestro lenguajealgebraico, tendremos que usar para representar la cosa unaletra distinta de la x, ya que la x la hemos usado para repre-sentar la raíz; pongamos una y. Entonces, lo que acaba dedecir al-Tūsī es que x = b + y.

Podríamos pensar que al-Tūsī está haciendo un cambio devariable. En efecto, si substituimos en la forma canónica x porb + y, obtenemos

(b + y)2 = b(b + y) + cb2 + 2by + y2 = b2 + by + cby + y2 = c

es decir, que obtenemos la forma canónica “tesoro y raícesigual a números”, que es lo que al-Tūsī quiere obtener. Sinembargo, al-Tūsī no desarrolla un cálculo algebraico con lasexpresiones hasta obtener la ecuación que quiere, sino quebusca obtener esa ecuación en las relaciones que tienen laspartes de la figura que ha construido. En efecto, al-Tūsī con-tinúa su demostración así:

el rectángulo BE proviene pues del producto del número deraíces y una cosa por una cosa, pero el producto de una cosapor una cosa es el tesoro desconocido y el producto delnúmero de raíces por una cosa es cosas en número igual alnúmero de raíces, pero esta suma es igual al rectángulo BE,que es el número mencionado en el problema. Se tiene puesun tesoro y raíces en número igual al número mencionado enel problema iguales al número mencionado en el problema.(al-Tūsī, 1986, p. 31).

93


Lo que ha hecho pues al-Tūsī es mostrar que el rectángulo BE,que representa el número (c), también representa el productode sus lados, que son BD, que representa la cosa (y) y DE. PeroDE es igual a AD, ya que AE es un cuadrado, y AD representala suma del número de raíces y una cosa (b + y). De maneraque el único cálculo que ha hecho al-Tūsī es el equivalente a(b + y)y = by + y2: “el producto de una cosa por una cosa es eltesoro desconocido y el producto del número de raíces poruna cosa es cosas en número igual al número de raíces”.

En esta demostración de cómo una forma canónica puedetransformarse en la otra está patente una de las deficienciasque tiene el sistema de signos del álgebra árabe medieval, queno se resolverá hasta Viète: sólo hay un nombre para lo des-conocido y los términos raíz y tesoro no son potencias de unaincógnita, sino especies de números. En el curso de estademostración “raíz” y “tesoro” se han referido a dos raíces ydos tesoros distintos, que con nuestro lenguaje del álgebraactual hemos podido diferenciar: la primera raíz con x, lasegunda con y; el primer tesoro con x2, el segundo con y2.

En términos de lo que ha hecho al-Tūsī no hay cambio devariable, no ha substituido una cantidad desconocida porotra, lo que ha probado ha sido más bien que si una ecuacióntiene la forma “raíces y números igual a tesoros”, se puedetransformar en otra que tiene la forma “tesoros y raíces igua-les a números”. La primera está representada en la figura 1 porel hecho de que el cuadrado AE (que representa un tesoro) esel resultado de pegar los rectángulos AG (que representa raí-ces) y BE (que representa un número); la segunda está repre-sentada en la misma figura 1 por el hecho de que el rectángu-lo BE (que representa un número) es también el resultado depegar un cuadrado de lado BD (que representa un tesoro) y unrectángulo (que representa raíces) de lado BD (que represen-ta una raíz).

As-Samaw’al (ca. 1130- ca. 1175)

As-Samaw’al era hijo de un judío nacido en Fez en el Magreb,que emigró a Bagdad y allí se casó con una judía de Basora(Iraq). Según Djebbar (2005) su familia era de gran cultura yél publicó libros de medicina (“El paseo de los compañeros,que es esencialmente un tratado de sexología y de historiaseróticas”, Djebbar, 2005, p. 54), de teología (“publicó, despuésde su conversión al islamismo, varios panfletos contra el juda-ísmo10 y el cristianismo”, Djebbar, 2005, p. 54). Para lo que aquínos interesa su libro fundamental de matemáticas es el Kitābal-bāhir fī l-jabr, el Libro resplandeciente sobre álgebra(Ahmad & Rashed, 1972).

Ese libro de as-Samaw’al se sitúa en una línea de desarrollo delálgebra que es diferente a la que representan los libros de AbūKāmil, al-Khayyām y al-Tūsī, en los que el objetivo principaldel libro es lo que en la entrega anterior de estas historias

(Puig, 2010) hemos llamado el proyecto algebraico de Viète, laresolución del problema de los problemas, y para ello se cons-truye la teoría algebraica, su lenguaje, y se estudian las formascanónicas y sus soluciones. Lo que hace as-Samaw’al en estelibro es estudiar lo que podríamos llamar ahora una teoría depolinomios, siguiendo los trabajos de al-Karajī, y facilitándologracias a la introducción de una representación de los polino-mios en forma de tablas, encabezadas por los nombres de lasespecies, en las que se escriben sólo lo que llamamos ahora loscoeficientes, de manera que en la tabla lo que aparece escritoes la sucesión de los coeficientes.

Figura 2

En la figura 2 (tomada de Ahmed & Rashed, 1972, p. 45 deltexto árabe) puede verse un ejemplo de la disposición en unatabla de los coeficientes de los polinomios

y

preparados para ejecutar en la tabla un algoritmo para la divi-sión de polinomios (por lo que el divisor está desplazado yatres lugares hacia la izquierda).

La primera palabra que aparece en todas las casillas de la tablasignifica “rango”, “orden”, es decir que indica lo que ahora lla-mados el grado del monomio. Las palabras que aparecendebajo son los nombres de las especies. Como puede verse, nosólo se consideran lo que para nosotros son monomios deexponentes positivos, sino también monomios de exponentesnegativos. Éstos no están expresados, sin embargo, comoposiciones negativas en una serie ordenada, sino que estánexpresadas como fracciones: el nombre de esas especies seforma añadiendo la palabra “parte” a los nombres de las espe-cies. Así, en esta tabla, debajo de la palabra que significa“rango” u “orden”, aparecen las especies “parte de tesoro teso-ro”, “parte de cubo”, “parte de tesoro”, “parte de cosa”, “núme-ro”, “cosa”, “tesoro”, “cubo”, “tesoro tesoro”, “tesoro cubo” y“cubo cubo”.

20 2 58 75 125 96 94140 50 99 206 5 4 3 2

2 3 4x x x x x x

x x x x+ + + + + + + + + +

2 5 5103x xx

+ + +

94


Figura 3

En la figura 3 (tomada de Ahmed & Rashed, 1972, p. 48 deltexto árabe) se puede ver la representación en la tabla de lospolinomios

y

también dispuestos ya para ejecutar el algoritmo de la división.Puede verse que los coeficientes negativos también están repre-sentados en la tabla escribiendo antes de los números la palabraque significa “menos” (que es la misma que significa “no”).

En estas tablas, gracias a las cuales as-Samaw’al desarrolla sucálculo con polinomios, la raíz ha desaparecido de la lista delos nombres de las especies y ha sido reemplazada por la cosa.De esta manera, as-Samaw’al está usando “cosa” en el sentidoen que al-Khwārizmī usaba “raíz”, como una especie de núme-ro. Sin embargo, eso no quiere decir que as-Samaw’al identifi-que totalmente la cosa con la raíz, ya que parece querer dife-renciar dos usos cuando afirma

se dice que la cosa es un lado de cada una de sus potencias,pero no se dice que es raíz más que del tesoro (Ahmed &Rashed, 1972, p. 19)

Al-Karajī (ca. 953- ca. 1029)

Menciono a al-Karajī sin entrar en grandes detalles sobre suuso de los términos “cosa” y “raíz”, ya que as-Samaw’al partióde sus trabajos. Se sabe poco de su vida, lo que ha hecho quelos historiadores hayan discutido si nació en Bagdad o si erade Karaj, con lo que sería persa, e incluso a que también sehaya discutido sobre cuál era exactamente su nombre. Encualquier caso, los libros más importantes que se conservande él los escribió en Bagdad: el libro al-Fakhrī, que es un librode álgebra que lleva ese nombre porque está dedicado al visirFakhr al-Mulk, gobernante de la época en Bagdad, al-Kitāb al-Badīc, el Libro maravilloso, otro tratado de álgebra, y el libroal-Kāfī fī l-hisāb, El suficiente sobre cálculo, un libro de cálcu-lo mercantil en el que aparece también el álgebra aplicada11.

Al comienzo de al-Fakhrī, si confiamos en el resumen deWoepcke (1853, p. 48) al-Karajī coloca sin más la cosa con laraíz, e incluso con el lado, cuando expone en una lista losnombres de las especies; y habla en especial de la cosa, en tér-minos similares a como lo hace al-Khwārizmī en un capítulotitulado “Sobre los seis problemas”:

El autor explica que el objetivo del álgebra es la determina-ción de las incógnitas mediante las premisas conocidas; quese nombra al asunto del problema “cosa”, y se la somete a lasoperaciones enseñadas en los capítulos precedentes de estetratado, de acuerdo con lo que aparece en el enunciado delproblema. (Woepcke, 1853, p. 63).

Ibn al-Yāsamīn (muerto en 1204)

Al comienzo de este apartado ya he indicado que el historia-dor tunecino Mohamed Souissi dice que Ibn al-Yāsamīn erade los que identificaba “cosa” y “raíz”. Según el historiadorargelino Ahmed Djebbar,

cAbdallah Ibn al-Yāsamīn nació en el Magreb Extremo demadre negra y padre bereber de esa región. […] Algunos bió-grafos dejan entender que estudió las ciencias en Sevilla, queera en esa época la verdadera capital política y cultural de laEspaña musulmana. Igualmente en esa ciudad y enMarrakech habría sido donde enseñó y donde habría publi-cado sus escritos matemáticos” (Djebbar, 2005, p. 132).

Souissi añade que murió degollado en Marrakech porque “suconducta dejaba que desear” (Souissi, 2001, p. 117).

Su nombre completo, según el historiador tunecino MahdiAbdeljaouad era Abū M. cAbd Allah b. M. b. Hajjāj Al-‘Adrīnī,conocido como Ibn al-Yāsamīn.

El poema sobre álgebra ya mencionado antes es el texto que lohizo más famoso. En la edición de Adbeljaouad (2005) tiene54 versos y lleva el título de al-Urjūza fi’l-jabr wa’l-muqāba-la. El poema corresponde a un estilo de textos de enseñanzaen los que se presentaban de forma sucinta las cuestiones fun-damentales de alguna disciplina en verso para que el versohiciera más sencilla su memorización.

Este poema sobre álgebra de Ibn al-Yāsamīn tuvo tanto éxitoque se escribieron muchos comentarios sobre él, de los que seconservan veinte “incluyendo los de Ibn Qunfudh (muerto en1404), Ibn Al-Hā’īm (muerto en 1412), Al-cIrāqi (muerto en1423), Al-Qalasādī (muerto en 1486), Al-Māradīnī (muerto en1506) y Al-Ansāri (muerto en 1661)” (Adbeljaouad, 2005, p.3), es decir, que aún en el siglo XVII se seguían escribiendocomentarios al poema, cuatro siglos después de su composi-ción.

6 28 6 80 38 92 200 208 7 6 5 4 3 2x x x x x x x x+ + − + + − +

25 8 205 4 2x x x+ −

95

SUMA 66Febrero 2011


Cito la parte del poema en que introduce las especies denúmeros y la cosa, y el comienzo de la lista de las formascanónicas, a partir del verso 11:

11. Sobre tres gira el álgebra:los tesoros y los números y luego las raíces

12. El tesoro es cualquier número cuadradoy la raíz uno de sus lados

13. El número absoluto no está relacionadoni con los tesoros ni con las raíces. ¡Compréndelo!

14. Y la cosa y la raíz significan lo mismo,igual que los términos padre y progenitor.

15. Pueden ser iguales a un número aislado o añadidos a otras especies.

16. Hay seis ecuaciones bien ordenadasla mitad compuestas, la mitad simples.

17. La primera, según la terminología actual, consiste en igualar los tesoros y las raíces.

(Abdeljaouad, 2005, p. 5, en inglés, y p. 15, en árabe)

Efectivamente, como dice Souissi, Ibn al-Yāsamīn identificacosa con raíz: el verso 14, para dejar claro que significan lomismo, utiliza dos palabras sinónimas del lenguaje natural.Sin embargo, cuando Ibn al-Yāsamīn enumera las formascanónicas no usa “cosa” sino “raíz”. De hecho la palabra “cosa”sólo aparece una vez más en el resto del poema en una de lasreglas algorítmicas en la que dice que hay que “dividir por doslas cosas”, en vez de decir “dividir por dos las raíces” como haceen las otras dos reglas algorítmicas en que hay que dividir pordos las raíces. Sin embargo, aunque sólo sea en una de tres, yaestá el término “cosa” también en las reglas algorítmicas.

96

SUMA 66Febrero 2011

Figura 4. Versos 11 a 17 del poema de Ibn al-Yāsamīn, en árabe.

Ibn Badr (s. XIII)

Según Djebbar, muy poco se sabe de Muhammad Ibn Badr,del que sólo se conoce el Libro que contiene un resumen delálgebra. “Como según los bioblibliógrafos árabes, hubo, en elsiglo X en Córdoba, un matemático llamado cAbd ar-RahmānIbn Badr, es posible que nuestro algebrista del siglo XIII seauno de sus descendientes. En ese caso sería originario de laEspaña musulmana. Pero ningún otro elemento permite con-firmar esta hipótesis” (Djebbar, 2005, p. 133).

Ese libro fue editado y traducido al castellano en 1916 por JoséA. Sánchez Pérez, con el titulo de Compendio de álgebra deAbenbéder (Sánchez Pérez, 1916), a partir de un manuscritoque se conserva en la biblioteca escurialense. Sánchez Péreztambién fue muy cauto a la hora de afirmar si Ibn Badr, aquien él llamó Abendéder, era nacido en la península ibérica.En efecto, tras decir que Suter y Casiri indican que el autor delmanuscrito del Escorial en cuestión era de Sevilla, continúa:

Esta afirmación de Suter y Casiri acerca de la patria deAbenbéder, a quien hacen sevillano, fue, sin duda, el princi-pal motivo que nos decidió a emprender el estudio de sucompendio de Álgebra. Sinceramente debemos confesar, sinembargo, que no poseemos más datos que las noticias deSuter y Casiri, para suponer que Abenbéder fuera español(Sánchez Pérez, 1916, pp. xvii-xviii).

Figura 5. Primera página del manuscrito del Escorial del álgebra de Ibn Badr

Ibn Badr habla de las especies número, raíz y tesoro en elcomienzo del libro, como ya hemos visto en otras ocasiones,y, en su caso, la cosa hace su aparición como en el libro de al-Khwārizmī en el capítulo de la multiplicación, sin que semoleste Ibn Badr siquiera en decir que cosa y raíz sean lomismo; simplemente titula el capítulo “de la multiplicación delas cosas, los tesoros, los cubos y los números”, y en la lista delo que ahora va a enseñar a multiplicar las raíces han desapa-recido y han sido substituidas por las cosas.

Al-Qalasādī (1412-1486)

Al-Qalasādī nació en Baza y, aunque después de pasar algúntiempo en Tlemcen en el Magreb se instaló a trabajar enGranada durante un buen número de años, abandonó el reinonazarí por su inestabilidad política y su debilidad ante los rei-nos cristianos, para acabar en Béja, en el actual Túnez. Al-Qalasādī es citado normalmente en las historias del álgebrapor su uso de un simbolismo propio de la matemática árabeoccidental, de al-Andalus y el Magreb, que durante tiempo sepensó que había desarrollado él, pero que ahora se sabe que yase usaba siglos antes. Sin embargo, lo que me interesa aquí esel libro que escribe como comentario a un álgebra de Ibn al-Bannā (1256-1321), en el que la cosa ya toma el lugar de laespecie raíz. El libro de Ibn al-Bannā se titula Compendio delas operaciones del cálculo, y se convirtió en el manual de basede la enseñanza de las matemáticas en el Magreb entre lossiglos XIV y XVII, según Djebbar (2005, p. 130). En su comenta-rio, al-Qalasādī presenta así las especies de números:

Él dice: el álgebra gira en torno a tres especies: el número ylas cosas y los tesoros. Las cosas son las raíces. El tesoro es elresultado de multiplicar la raíz por sí misma. (Bentaleb, 1999,p. 249 del árabe, 285 de la traducción francesa).

La cosa pues, en el texto que va a ser el más usado en elMagreb hasta el siglo XVII, ya ha pasado a ser una especie denúmero y ha substituido a la raíz. Y el comentario de al-Qalasādī continúa:

Él ha comenzado por el número, porque es absoluto y notiene relación con la raíz o el tesoro, no tiene exponente. Hahablado luego de la cosa, ya que su exponente es uno. Hahablado después del tesoro ya que es el producto de la cosapor sí misma y su exponente es dos. La cosa y la raíz son dostérminos sinónimos, por eso él ha dicho: las cosas son las raí-ces. Dicho de otra manera, es lo esencial de lo que componeel tesoro, el cubo y los demás. (Bentaleb, 1999, pp. 249-250del árabe, 286 de la traducción francesa).

La cosa se ha convertido pues en “lo esencial de los que com-pone el tesoro, el cubo y los demás”, es decir, en el términocentral del álgebra.

97

SUMA 66Febrero 2011

La regla de la cosa

Al desplazar a la raíz, la cosa acaba convirtiéndose en el cen-tro del álgebra, que se identifica como cálculo con la cosa oRegla de la cosa, y se incorpora al nombre de la disciplina,como alternativa al nombre bárbaro de álgebra. Incluso, en lasprimeras álgebras alemanas, el álgebra se llama simplemente

Die Coss, por un curioso fenómeno de adopción de la palabraitaliana, en su ortograf ía del norte de Italia “cossa”, sin tradu-cirla al alemán (“Ding”, es la palabra alemana que traduce“cosa”). El libro de Die Coss de Christoff Rudolff de 1553 es elprimer ejemplo. Pero esa es otra historia, de la que hablaré enuna próxima entrega.

HISTORIAS

98

SUMA 66Febrero 2011

Figura 6. Portada del libro Die Coss de Christoff Rudolff

99

SUMA 66Febrero 2011

1 La referencia es a la página del original de Freudenthal publicado en ingléspor Kluwer como primer volumen de la ya clásica colección MathematicsEducation Library, dirigida por Alan Bishop. Yo traduje una selección decapítulos de este libro, que publicó en 1994 el Centro de Investigación y deEstudios Avanzados de México, en la que figuraba este capítulo sobre ellenguaje algebraico, junto a los capítulos “El método” y “Fracciones”. Enesa edición, el texto que cito aparece en la página 68 (Freudenthal, 1994,p. 68). Unos años después incluí también el capítulo “Razón y proporcio-nalidad” en una segunda edición ampliada de la selección de textos. En esasegunda edición, el texto aparece en la página 124 (Freudenthal, 2001, p.124).

2 Ver en la tercera entrega de estas historias la discusión sobre si el libro deIbn Turk es anterior o no al de al-Khwārizmī (Puig, 2009).

3 En Puig & Rojano (2004) presenté sucintamente, siguiendo una indicaciónque aparece en Høyrup (1994), cómo esta hipótesis puede apoyarse en elhecho de que esos términos aparecen en dos partes distintas, y separadaspor doscientas páginas, del Liber Abacci de Leonardo de Pisa, sin queLeonardo de Pisa relacione ambas partes de forma alguna.

4 Rashed no duda en atribuirle a al-Khwārizmī la paternidad del término.Høyrup por el contrario apunta que el término probablemente venga deuna tradición anterior, que, hasta ahora, no ha dejado rastro escrito. Elhistoriador egipcio Rashed suele ser muy contundente en sus afirmacio-nes, en particular cuando se trata de atribuir prioridades a los autores queedita.

5 Ver la lista de las veinticinco formas canónicas en la anterior entrega deestas historias (Puig, 2010). Diré de paso que nada de esto puede obser-varse en el libro de Moreno dedicado a cUmar al-Khayyām, publicado porNívola: en él, Moreno escribe la lista de formas canónicas con la cosa envez de la raíz, cuando no aparece así en el texto árabe.

6 En la traducción latina de Gerardo de Cremona, los nombres de las canti-dades son “pretium et appretiatum secundum positionem, et pretium etappretiatum secundum querentem”.

7 Souissi no translitera estas dos palabras árabes así, porque usa la transli-teración “centroeuropea”, que es la habitual en los países del ámbito cul-tural francés, en vez de la transliteración que yo estoy usando. He preferi-do no ser fiel en la cita y mantener la misma transliteración que estoyusando en estas historias.

8 El álgebra de Abū Kāmil está disponible en tres ediciones: una edición dela traducción hebrea del siglo XV del judío probablemente españolMordecai Finzi, con traducción al inglés del texto hebreo de Martin Levey(Levey, 1966); una edición de la traducción latina del siglo XIV (Sesiano,1993), y una edición del texto árabe con traducción al alemán (Chalhoub,2004).

9 Obsérvese que al-Tūsī utiliza aquí la palabra murabac y no la palabra māl,porque se refiere al cuadrado figura geométrica y no al cuadrado alge-braico, que como sabemos se denomina māl, “tesoro”, en el lenguaje alge-braico de la época.

10 Su libro contra los judíos se titula Ifhām al-Yahūd, Confundir a los judí-os, y fue muy popular en la Edad Media a raíz de su traducción al latín enel siglo XIV, por lo que ha sido traducido también al alemán, el italiano, elinglés, el español y el ruso (Ahmed & Rashed, 1972, p. 3).

11 Del al-Fakhrī hay una edición resumida y comentada en francés por FranzWoepcke (Woepcke, 1853). Del Libro maravilloso hay una edición de AdelAnbouba del texto árabe con un comentario y un resumen en francés(Anbouba, 1964). De El suficiente sobre cálculo hay una traducción ale-mana de Adolf Hochheim (Hochheim, 1878).

NOTAS

100

SUMA 66Febrero 2011

Abdeljaouad, M. (2005). 12th Century Algebra in an Arabic Poem :Ibn Al-Yāsamīn’s Urjūza fi’l-jabr wa’l-muqābala. Tunis.Descargable en enero de 2011 de: http://membres.multimania.fr/mahdiabdeljaouad/Urjuza.pdf

Ahmad, S. & Rashed, R. (Eds.) (1972). Al-Bāhir en algèbre d’as-Samaw’al. Damas: Université de Damas.

Al-Tūsī, S. (1986). Œuvres mathématiques. Tome I et II. Texte établiet traduit par R. Rashed. Paris: Les Belles Lettres.

Anbouba, A. (Ed.) (1964). L’algèbre al-Badīc d’al-Karagī. Beyrouth:Publications de l’université libanaise.

Bentaleb, F. (Ed.) (1999). Abū al Hasān al-Qalasādī. Sarh talhīs a’mālal hisāb. Œuvre mathématique en Espagne musulmane du XVe

siècle. Beyrouth: Dar al-Gharb al-Islami.Chalhoub, S. (Ed.) (2004). Die Algebra Kitab al-Gabr wal-muqabala

des Abu Kamil Soga ibn Aslam. Aleppo: Aleppo University.Djebbar, A. (2005). L’algèbre arabe. Genèse d’un art. Paris: Vuibert/

Adapt.Freudenthal, H. (1983). Didactical Phenomenology of Mathematical

Structures. Dordrecht: Kluwer.Freudenthal, H. (1994). Fenomenología didáctica de las estructuras

matemáticas. Textos seleccionados. (L. Puig, Introducción, tra-ducción y notas.) México: CINVESTAV.

Freudenthal, H. (2001). Fenomenología didáctica de las estructurasmatemáticas. Textos seleccionados. (2ª edición ampliada). (L.Puig, Introducción, traducción y notas.) México: CINVESTAV.

Hochheim, A. (ed., trans.), (1878). Kâf î f îl Hisâb (Genügendes überArithmetik) des Abu Bekr Muhammed ben Alhusein Alkarkhi. I-III. Halle: Louis Nebert.

Høyrup, J. (1994). The Antecedents of Algebra, Filosofi og videns-kabsteori på Roskilde Universitetcenter. 3. Række: Preprint ogReprints 1994 nr. 1.

Hughes, B. (1986). Gerard of Cremona’s translation of al-Khwārizmī’sal-jabr: A critical edition. Mediaeval Studies 48, pp. 211-263.

Levey, M. (ed.) (1966). The Algebra of Abū Kāmil, in a Commentaryby Mordecai Finzi. Hebrew text and translation, and commen-tary. Madison, WI: The University of Wisconsin Press.

Puig, L. (2009). Historias de al-Khwārizmī (3ª entrega). Orígenes delálgebra. Suma, 60, pp. 103-108.

Puig, L. (2010). Historias de al-Khwārizmī (4ª entrega). El proyectoalgebraico. Suma, 65, pp. 87-94.

Puig, L., y Rojano, T. (2004). The history of algebra in mathematicseducation. In K. Stacey, H. Chick, y M. Kendal (Eds.), The futureof the teaching and learning of algebra: The 12th ICMI study (pp.189-224). Boston / Dordrecht / New York / London: KluwerAcademic Publishers.

Rashed, R. (Ed.). 1984. Diophante. Tome III. Les Arithmétiques. LivreIV, et Tome IV, Livres V, VI et VII. Texte de la traduction arabe deQustâ ibn Lûqâ établi et traduit par Roshdi Rashed. Paris: LesBelles Lettres.

Rashed, R. (Ed.). (2007). Al-Khwārizmī. Le commencement de l'algè-bre. Paris: Librairie Scientifique et Technique Albert Blanchard.

Rashed, R., y Vahebzadeh, B. (1999). Al-Khayyâm mathématicien.Paris: Librairie Scientifique et Technique Albert Blanchard.

Sánchez Pérez, J. A. (1916). Compendio de álgebra de Abenbéder.Madrid: Junta para la ampliación de estudios e investigacionescientíficas.

Sayili, A. (Ed.). (1962). Abdülhamid ibn Türk’ün Katışık denklemler-de Mantıkî Zururetler adlı yazısı ve Zamanın Cebri (Logicalnecessities in mixed equations by cAbd al-Hamîd Ibn Turk and thealgebra of his time). Ankara: Türk Tarih Kurumu Basımevi.

Sesiano, J. (1993). La version latine médiévale de l’Algèbre d’AbūKāmil. In M. Folkerts, and J. P. Hogendijk (eds.) VestigiaMathematica. Studies in medieval and early modern mathema-tics in honour of H. L. L. Busard (pp. 315-452). Amsterdam andAtlanta, GA: Editions Rodopi B. V.

Souissi, M. (2001). Feuilles d’automne ou En souvenir des Congrès etColloques du patrimoine scientifique Maghrébo-arabe. Beyrouth:Dar al-Gharb al-Islami.

Woepcke, F. (1853). Extrait du Fakhrî, traité d’algèbre par Aboû BekrMohammed ben Alhaçan Alkarkhî; precede d’un mémoire sur l’al-gèbre indéterminé chez les Arabes. Paris: L’Imprimerie Impériale.


Este artículo fue solicitado por Suma en diciembre de 2010 y aceptado en enero de 2011 para su publicación

álculo literal, cálculo con especies, cálculo conla cosa

Como ya vimos en una entrega anterior de estas historias quesubtitulé “El proyecto algebraico” (Puig, 2010), François Viète,en su libro Introducción al arte analítica (In artem analyticemIsagoge), presenta lo que él llama “Logística especiosa”, un cál-culo que no se hace con números, sino con especies, con “for-mas de números”. También vimos que esto es lo que le permi-te efectuar el análisis para resolver los problemas. La logísticaespeciosa, en el caso de Viète, y esto le hace ser consideradoel iniciador del álgebra simbólica, se acompaña de un cálculocon letras. Así lo dice explícitamente Viète en el recto del folio5 de la Introducción al arte analítica:

Logistice numerosa est quæ per numeros, Speciosa quæ perspecies seu rerum formas exhibetur, ut pote per Alphabeticaelementa.[La Logística numerosa es la que se presenta mediantenúmeros, la Especiosa la que se presenta mediante especieso formas de las cosas, como, por ejemplo, mediante elemen-tos alfabéticos] (Viète, 1591, p. 5r).

El álgebra de al-Khwārizmī no es simbólica en este sentido: nilas especies ni las cantidades desconocidas ni las cantidadesconocidas están representadas mediante letras, ni mediante

101


Historias de al-Khwārizmī (6ª entrega). El cálculocon la cosa

C

Histo

rias

ningún signo distinto de las palabras del lenguaje vernáculo.No hay pues en el libro de al-Khwārizmī, estrictamentehablando, lo que nosotros llamamos cálculo literal, en el sen-tido de cálculo con letras. Sin embargo, sí que hay desarrolla-do un cálculo con la cosa y un cálculo con especies, hay puesuna “logística especiosa”. Además, al-Khwārizmī le dedica aese cálculo una parte específica del libro situada antes de queaborde el procedimiento para resolver los problemas y des-pués de haber expuesto cuáles son los objetos de los que va atratar el cálculo, es decir, las especies de números, y haberestablecido el conjunto completo de formas canónicas, susalgoritmos de solución y las demostraciones de esos algorit-mos.

Los capítulos del libro en que al-Khwārizmī desarrolla esecálculo con la cosa y con especies son (con la numeración queles di en Puig, 2010) los siguientes:

6. Sobre la multiplicación.7. Sobre la adición y la substracción.8. Sobre la división.

Junio 2011, pp. 101-11067

En el capítulo “Sobre la multiplicación” al-Khwārizmī calculacon la cosa y en los cálculos aparecen las especies. En los otrosdos capítulos calcula con especies y con radicales, sin que apa-rezca el término “cosa”. Además, al final del capítulo “Sobre ladivisión” vuelve sobre tres de los cálculos expuestos en el capí-tulo “Sobre la adición y la substracción” para demostrarlos.Veamos, en primer lugar, cómo explica al-Khwārizmī el cál-culo con la cosa.

El cálculo con la cosaAl-Khwārizmī comienza manifestando explícitamente queescribe con intención pedagógica:

Yo te enseño cómo multiplicar unas por otras las cosas, queson las raíces; si están solas, si están con un número, si estándisminuidas en un número o si están restadas de un número;y cómo sumarlas unas a otras y cómo restarlas unas de otras(Rashed, 2007, p. 122-123; Hughes, 1986, p. 241).

Los tipos de expresiones que al-Khwārizmī va a enseñar cómose multiplican los podemos escribir en el lenguaje actual delálgebra así:

las cosas solas: axlas cosas con un número: ax + blas cosas disminuidas en un número: ax – blas cosas restadas de un número b – ax

Como para al-Khwārizmī los números son positivos, tieneque haber dos tipos de expresiones con la substracción, lascosas disminuidas en un número y las cosas restadas de unnúmero, mientras que sólo hay un tipo de expresión cuandose suman cosas y números. Veremos más adelante que en unode los ejemplos al-Khwārizmī dice explícitamente que diezmás cosa y cosa más diez es lo mismo, y por qué necesitadecirlo.

Para enseñar a multiplicar esas expresiones con la cosa al-Khwārizmī recuerda qué significa multiplicar:

Que sepas que para cualquier número multiplicado por otronúmero es necesario sumar uno de los números tantas vecescomo las unidades que contiene el otro (Rashed, 2007, p.122-123; Hughes, 1986, p. 241).

Al-Khwārizmī no continúa, como podría esperarse, dandoahora una regla para multiplicar las expresiones con númerosy cosas, sino que presenta una situación puramente aritméti-ca que utiliza como un modelo más concreto a partir del cualdar sentido a los cálculos (algebraicos) con la cosa. La situa-ción en cuestión es la multiplicación de números cuandoestán representados en el sistema de numeración posicionaldecimal, es decir, lo que al-Khwārizmī explicará en su Libro

del cálculo con los números hindúes (Allard, 1992)1. En efecto,lo que hace al-Khwārizmī es explicar que para multiplicardecenas más unidades por decenas más unidades hay quehacer cuatro multiplicaciones. Pero no sólo explica eso, sinoque extiende el modelo concreto del cálculo aritmético hindúa la situación en que las unidades no se añaden a las decenas(como en la representación hindú de los números) sino que sesubstraen:

Si se tiene decenas a las que se ha añadido unidades o de lasque se ha quitado unidades, es necesario multiplicar cuatroveces: las decenas por las decenas, las decenas por las unida-des, las unidades por las decenas y las unidades por las uni-dades. (Rashed, 2007, p. 122-123; Hughes, 1986, p. 241).

Vale la pena observar que, como al-Khwārizmī tiene disponi-bles los nombres “decenas” y “unidades”, puede enunciar laregla en general sin verse obligado a enunciarla mediante unejemplo numérico concreto. “Decenas” y “unidades” desem-peñan, en los cálculos aritméticos en el sistema de numera-ción posicional decimal, un papel similar al que van a desem-peñar las especies de números en los cálculos algebraicos, poreso al-Khwārizmī puede usar ese cálculo como modelo (másconcreto) para enseñar el cálculo (más abstracto) algebraico.

Además, al extender el modelo de la situación propia del sis-tema de numeración (la adición de decenas y unidades) a unasituación similar a la anterior, pero nueva (la substracción deunidades a decenas), da paso también a un modelo para laregla de los signos:

Entonces, si las unidades que están con las decenas sonambas añadidas, la cuarta multiplicación es aditiva, y si sonambas substraídas, la cuarta multiplicación es también aditi-va. Pero si unas están añadidas y otras substraídas, la cuartamultiplicación es substractiva (Rashed, 2007, p. 122-123;Hughes, 1986, p. 241).

Vale la pena detenerse un momento en el detalle de los térmi-nos que acompañan este modelo aritmético de la regla de lossignos: al-Khwārizmī no multiplica los signos más y menos ala manera de la moderna formulación de la regla de los signos(+ × + = +; + × − = −; − × − = +). Al-Khwārizmī no dice siquie-ra en lenguaje vernáculo: “más por más, más; más por menos,menos; menos por menos, más”. Al-Khwārizmī no habla deesos signos sueltos, sino de las cantidades que se suman o serestan.

Pero además, al-Khwārizmī no habla de cantidades positivaso cantidades negativas, esto último es simplemente impensa-ble, sino de cantidades que se suman y cantidades que se res-tan a otras: en este caso “unidades añadidas” y “unidadessubstraídas” a unas decenas. El calificativo “añadido” o “subs-traído”, “aditivo” o substractivo” no tiene sentido para unacantidad aislada, sólo tiene sentido para una cantidad que estáinmersa en un cálculo. La regla de multiplicación es pues una

102


regla operatoria sobre lo que la cantidad está realizando o harealizado en una operación aritmética: ser añadida o ser subs-traída en el curso de la realización de un cálculo es lo que leda a las cantidades, sólo a efectos de ese cálculo, el carácteraditivo o substractivo. Ese carácter aditivo o substractivo noes pues una propiedad absoluta de una cantidad, sino una pro-piedad de la cantidad relativa a un cálculo concreto en el queaparece: como se está multiplicando una cantidad, a la que sele ha añadido otra, por otra cantidad, a la que se le ha subs-traído otra, el cuarto producto es una cantidad “substractiva”,es decir, una cantidad que se va a substraer de otra.

Por otro lado, la regla sólo está enunciada para “la cuarta mul-tiplicación”, que es la multiplicación en la que los factores pro-vienen ambos de las cantidades que están añadidas o substra-ídas a otras. Sólo en este caso tiene al-Khwārizmī que enun-ciar una regla. En los otros casos, interviene una cantidad queni está añadida ni está substraída, sino que es la cantidad a laque se le añade o se le quita algo. Cuando dos de esas canti-dades se multiplican, el producto no es aditivo ni substracti-vo, es de nuevo una cantidad a la que se le añade o se le quitaalgo. Cuando una de estas cantidades se multiplica por unacantidad añadida o substraída, el producto resultante tiene elcarácter aditivo o substractivo de la cantidad por la que semultiplica, sin que la cantidad que ni es añadida ni substraídapueda influir en ese carácter.

Al-Khwārizmī ejemplifica a continuación las reglas que haformulado en general en el modelo aritmético concreto contres ejemplos numéricos, elegidos para tener uno de cada unade las posibilidades de producto de “unidades añadidas” y“unidades substraídas”. El primero, y más simple, es:

Por ejemplo: diez y uno por diez y dos; el diez por el diez escien; el uno por el diez, diez aditivo; el dos por el diez, veinteaditivo; el uno por el dos, dos aditivo. Y todo esto es treinta ydos. (Rashed, 2007, p. 122-123; Hughes, 1986, p. 241).

En este ejemplo está patente ese carácter asimétrico de la adi-ción que hemos indicado: en “diez y uno”, diez es la cantidad ala que se le suma otra cantidad; uno es la cantidad añadida. Elmodelo de adición que subyace es el de una cantidad inicial alque se le añade una cantidad que cambia la cantidad inicial,no es el modelo de adición que la presenta como el cardinal dela unión de dos conjuntos disjuntos y en el que los dos suman-dos desempeñan el mismo papel en la adición.

Ambos dieces, el de “diez y uno” y el de “diez y dos”, son can-tidades que ni son añadidas ni substraídas: su producto, portanto, no es aditivo ni substractivo. Al-Khwārizmī escribe “eldiez por el diez es cien”, y no “el diez por el diez es cien aditi-vo”. En las otras tres multiplicaciones, el producto sí que estácalificado, en este caso, siempre como “aditivo”. Veamos losotros dos ejemplos:

Si se tiene diez menos uno por diez menos uno, el diez por eldiez es cien; y el uno substraído por el diez es diez substrac-tivo, y el uno también substraído por el diez es diez substrac-tivo. Esto es ochenta. Y el uno substraído por el uno substra-ído, uno aditivo. Esto es pues ochenta y uno.Si se tiene diez y dos por diez menos uno, el diez por el diezes cien; el uno substraído por el diez es diez substractivo; eldos añadido por el diez es veinte aditivo. Esto es ciento diez.El dos añadido por el uno substraído es dos substractivo.Todo esto es pues ciento ocho (Rashed, 2007, pp. 122-125;Hughes, 1986, pp. 241-242).

Los tres ejemplos son pues

(10 + 1) (10 + 2)(10 – 1) (10 – 1)(10 + 2) (10 – 1)

Los dieces son siempre cantidades que ni son añadidas nisubstraídas. En los cálculos al-Khwārizmī siempre escribe“diez” sin calificativo alguno. En el primer ejemplo, en que lasotras cantidades están ambas añadidas, al-Khwārizmī no sepreocupa de escribir el calificativo “añadido” con el uno o eldos, pero en los otros dos ejemplos, siempre lo escribe: “el unosubstraído”, “el dos añadido”.

Los productos siempre van acompañados de su calificativo,“aditivo” o “substractivo”, de manera que el cálculo se comple-ta luego realizando sobre el primer producto, es decir, elresultado de la multiplicación de las dos cantidades iniciales(que es al que se van a añadir o del que se van a substraer elresto de los productos) las adiciones o substracciones corres-pondientes al carácter de los otros tres productos. Al-Khwārizmī, además, se detiene en subrayar el efecto de lacuarta multiplicación, que es en la que ambos factores estáncalificados como “añadido” o “substraído”.

Una vez expuestos los ejemplos de los cálculos aritméticosque son el modelo concreto para enseñar las reglas de cálculocon la cosa, al-Khwārizmī dice explícitamente que ésa ha sidosu intención al explicar todo lo anterior:

Te he mostrado esto para indicarte cómo multiplicar lascosas unas por otras, si están añadidas a un número, o resta-das de un número, o disminuidas por un número (Rashed,2007, pp. 124-125; Hughes, 1986, p. 242).

Dicho esto, al-Khwārizmī desgrana ejemplos de cálculos conexpresiones con la cosa del estilo que ha anunciado, en losque, al poner en funcionamiento para esas expresiones alge-braicas los cálculos que ha mostrado en el modelo concretoaritmético, va más allá de la imitación con las expresionesalgebraicas de los cálculos aritméticos. En particular, lo aditi-vo y lo substractivo dejan de ser calificativos estrictamenteligados a lo que se añade o se substrae a una cantidad que nies aditiva ni substractiva, para calificar también a las cantida-des que en las expresiones aritméticas aparecían como canti-

103


dades iniciales. Pero además, lo substractivo, aunque sigueapareciendo como substraído de una cantidad, parece inde-pendizarse en el curso de los cálculos. Veamos cómo son losejemplos.

Los ejemplos son estos diez:

1. (10 – x) · 10 2. (10 + x) · 103. (10 + x) · (10 + x) 4. (10 – x) · (10 – x)5. (1– 1/6) · (1– 1/6) 6. (10 – x) · (10 + x)7. (10 – x) · x 8. (10 + x) · (x – 10)9. (10 + x/2) · (1/2 – 5x) 10. (10 + x) · (x – 10)

El quinto ejemplo no es en realidad un cálculo de expresionescon la cosa, sino que el lugar de la cosa está ocupado por unafracción. En el ejemplo noveno también hay fracciones, o,para ser más preciso, mitades, y curiosamente, el número decosas es la mitad de diez. Estos dos ejemplos no responden almismo esquema sistemático de desarrollo de posibilidadesque los otros, y sólo parece tener sentido que al-Khwārizmīlos incluya por la dificultad que conllevaba el cálculo con frac-ciones en su época.

En el ejemplo décimo, cuyo enunciado es el mismo que el deloctavo, lo que hace al-Khwārizmī es decir que “diez y cosa” eslo mismo que “cosa y diez” y desarrollar entonces el cálculo(x + 10) · (x – 10).

Veamos en detalle cómo desarrolla al-Khwārizmī los ejem-plos. Empecemos por los cuatro primeros.

1. (10 – x) · 10

Si se te dice: diez menos cosa, y el sentido de la cosa es la raíz,por diez, entonces multiplica diez por diez, resulta cien, ymenos cosa por diez, resulta diez raíces substractivas.Decimos: cien menos diez cosas (Rashed, 2007, pp. 124-125;Hughes, 1986, p. 242).

2. (10 + x) · 10

Si se dice: diez y cosa por diez, tú multiplicas diez por diez,resulta cien, y cosa por diez, resulta diez cosas aditivas. Setiene pues cien y diez cosas (Rashed, 2007, pp. 124-125;Hughes, 1986, p. 242).

3. (10 + x) · (10 + x)

Si se dice: diez y cosa por sí misma, tú dices: diez por diez,cien, y diez por cosa, diez cosas, y diez por cosa, diez cosastambién, y cosa por cosa, tesoro aditivo. Resulta entoncescien dirhams y veinte cosas y tesoro aditivo (Rashed, 2007,pp. 124-125; Hughes, 1986, p. 242).

4. (10 – x) · (10 – x)

Si se dice: diez menos cosa por diez menos cosa, tú dices: diezpor diez, cien, y menos cosa por diez, diez cosas substracti-vas, y menos cosa por diez, diez cosas substractivas, y menos

cosa por menos cosa, tesoro aditivo. Resulta pues cien y teso-ro menos veinte cosas (Rashed, 2007, pp. 124-125; Hughes,1986, p. 242).

En estos cuatro ejemplos, al-Khwārizmī hace las dos o las cua-tro multiplicaciones por separado, y luego combina los pro-ductos teniendo en cuenta si cada uno de ellos es aditivo osubstractivo. Hasta aquí no hace más que calcar sobre lasexpresiones con la cosa lo que ha hecho con el modelo arit-mético más concreto, substituyendo simplemente el uno o eldos, que estaban añadidos o substraídos a diez en los ejemplosaritméticos, por la cosa.

Sin embargo, hay algo que es nuevo: en los ejemplos aritméti-cos en que aparece “diez menos uno”, al-Khwārizmī llamabaen los cálculos “el uno substraído” a ese uno que en la expre-sión aritmética está después de la palabra “menos”, aquí al-Khwārizmī ante la expresión equivalente “diez menos cosa” nodice en los cálculos “la cosa substraída”, sino “menos cosa” yadesde el primer ejemplo.

“Lo substraído” de una cantidad, el uno substraído de diez enel ejemplo aritmético expresado en la frase “diez menos uno”,se independiza para ser no una cosa substraída sino “menoscosa”.

Por supuesto que esto está lejos de indicar la constitución dela idea de número negativo: sólo cuando nombra lo que se vaa multiplicar dice al-Khwārizmī “menos cosa”, en cuanto setrata del resultado de la multiplicación, de nuevo está presen-te que cualquier cosa que lleve delante la palabra “menos”representa una cantidad que ha de substraerse de otra. Elresultado de la multiplicación de “menos cosa” por diez no es“menos diez cosas”, sino “diez cosas substractivas. La palabra“menos”, la expresión “menos cosa” sólo se ha independizadode la cantidad de la que se substrae mientras se está calculan-do con ella.

Eso no quita para que la reiteración a lo largo del texto de al-Khwārizmī de la expresión “menos cosa” le dé carta de natu-raleza como parte del lenguaje algebraico que al-Khwārizmīusa en su libro, y probablemente contribuyó a establecer. Siusamos la clásica caracterización de Nesselman (1842) de lostipos de lenguaje algebraico, el texto de al-Khwārizmī es“retórico” porque los cálculos algebraicos están expresadostotalmente y en detalle usando palabras del lenguaje vernácu-lo. Ahora bien, decir que entonces el álgebra está escrita enlenguaje vernáculo es contar sólo la mitad de la historia: al-Khwārizmī sólo usa el lenguaje vernáculo, por supuesto, pero,por un lado, fija significados técnicos de las palabras, y, porotro, y más importante para lo que quiero señalar aquí, esque-matiza y estereotipa el texto. Salta a la vista cuando se lee ellibro de álgebra de al-Khwārizmī, o simplemente los fragmen-tos que estoy citando aquí, que al-Khwārizmī construye frasesrepitiendo expresiones verbales que, por la reiteración, se

104


convierten en fórmulas estereotipadas. El historiador libanésAdel Anbouba dice que una frase como “illā shay’ fī illā shay’māl zā’id (menos cosa por menos cosa, tesoro aditivo)”, queacabamos de encontrar en el cuarto ejemplo, “va contra lagramática” (Anbouba, 1978, p. 72). Al-Khwārizmī rompe lagramática de la lengua vernácula como parte de su elabora-ción del sistema de signos del álgebra, que no se hace con másmateria de la expresión que la de la propia lengua vernácula2.La nueva gramática produce textos esquemáticos y estereoti-pados: “menos cosa” es más compacto y manejable en untexto esquemático y estereotipado que “la cosa substraída”, y,una vez se ha permitido violar la gramática, se puede inde-pendizar de la expresión completa que le daba sentido (“diezmenos cosa”), para designar algo con lo que se hacen cálculosalgebraicos3.

Veamos el quinto ejemplo, en el que no aparece la cosa, peroque al-Khwārizmī enlaza con los anteriores al empezardiciendo “De la misma manera”, lo que nos podría hacer pen-sar que el sentido de incluir este ejemplo no está en usarlocomo modelo aritmético y por tanto más concreto de la mul-tiplicación de expresiones con la cosa, sino, por el contrario,como aplicación ahora de esos cálculos de vuelta a la aritmé-tica, para unos cálculos que son dif íciles.

5. (1– 1/6) · (1– 1/6)

De la misma manera si te dicen: un dirham menos un sextopor un dirham menos un sexto. Se tiene cinco sextos por símismo, es decir, veinticinco partes de treinta y seis partes dedirham, que es dos tercios y un sexto de un sexto.La regla para ello es: multiplicas un dirham por un dirham, setiene un dirham. Y menos un sexto por un dirham vale unsexto substractivo, y menos un sexto por un dirham vale unsexto substractivo. Queda dos tercios de un dirham. Y menosun sexto por menos un sexto vale un sexto de un sexto aditi-vo. Es pues dos tercios y un sexto de un sexto (Rashed, 2007,pp. 126-127; Hughes, 1986, p. 242).

No entraré aquí en las peculiaridades de la denominación delas fracciones en la época árabe medieval, que son responsa-bles de algunos de los detalles de estos cálculos. Sólo mencio-naré que la lengua árabe tiene nombre sólo para las fraccionesunitarias, y que éstas se llaman “fracciones expresables”, mien-tras que las demás se llaman “inexpresables” o “sordas” (exac-tamente la misma palabra se usa también para las magnitudesinconmensurables). Las fracciones sordas se describen conexpresiones como la que aparece en este texto: “veinticincopartes de treinta y seis partes” para 25/36, reiterando la pala-bra “parte” para indicar claramente que la unidad (en estecaso, el dirham) se ha dividido en treinta y seis partes y que sehan tomado veinticinco de esas treinta y seis. También tienenombre para fracciones con un dos en el numerador, comodos tercios, pero eso se debe a que la lengua árabe no sólotiene singular y plural, sino también dual, por lo que paradecir dos cosas, por ejemplo, no se usa el número dos, sino

que se pone la palabra “cosa” en dual. Esto explica la forma enque al-Khwārizmī da aquí el resultado: en árabe se ve comomás simple la expresión “dos tercios y un sexto de un sexto”que “veinticinco partes de treinta y seis partes”.

Lo que interesa señalar, y va en el sentido que había adelanta-do antes de exponer este ejemplo, es que aquí al-Khwārizmīaplica al cálculo de expresiones con fracciones la regla que haenunciado para expresiones con la cosa, e incluso usa elmismo lenguaje esquematizado y estereotipado que viola lagramática: “menos un sexto por menos un sexto”, etc.

Veamos ahora los ejemplos sexto, séptimo y octavo

6. (10 – x) · (10 + x)

Si se dice: diez menos cosa por diez y cosa, tú dices: diez pordiez, cien, y menos cosa por diez, diez cosas substractivas;cosa por diez, diez cosas aditivas, y menos cosa por cosa,tesoro substractivo. Y esto es cien dirhams menos un tesoro(Rashed, 2007, pp. 126-127; Hughes, 1986, p. 242).

7. (10 – x) · x

Si se dice: diez menos cosa por cosa, tú dices: diez por cosa,diez cosas, y menos cosa por cosa, tesoro substractivo.Resulta pues diez cosas menos un tesoro (Rashed, 2007, pp.126-127; Hughes, 1986, pp. 242-243).

8. (10 + x) · (x – 10)

Si se dice: diez y cosa por cosa menos diez, tú dices: cosa pordiez, diez cosas aditivas; cosa por cosa, tesoro aditivo; menosdiez por diez, cien dirhams substractivos; menos diez porcosa, diez cosas substractivas. Decimos entonces: un tesoromenos cien dirhams. Después de haberlas opuesto, se elimi-nan diez cosas aditivas con diez cosas substractivas. Quedaráentonces un tesoro menos cien dirhams (Rashed, 2007, pp.126-129; Hughes, 1986, p. 243).

El ejemplo séptimo no incluye nada nuevo, su diferencia conlos ejemplos primero y segundo es simplemente que la expre-sión simple es una cosa en vez de ser un diez, por lo que unade las dos multiplicaciones da origen a un tesoro, en este casosubstractivo. Esa multiplicación de la cosa por la cosa ya habíaaparecido en los ejemplos tercero y cuarto, y es una multipli-cación de especies de números: cosa por cosa es tesoro ya queal-Khwārizmī ha advertido que “el sentido de la cosa es laraíz4”.

En los ejemplos sexto y octavo, las diez cosas aditivas se com-pensan con las diez cosas substractivas, quedando una expre-sión en la que sólo hay dos especies: simples números o dir-hams y tesoros. En el ejemplo sexto al-Khwārizmī se limita aenunciar el resultado: “Y esto es cien dirhams menos un teso-ro”. El ejemplo octavo es más interesante porque al-Khwārizmī explica cómo han desaparecido las cosas al finalde los cálculos, y, en la explicación, utiliza la palabra “qābālat”,

105


que tiene la misma raíz que al-muqābala, la palabra que apa-rece en el título del libro de al-Khwārizmī acompañando a al-jabr, y que es el nombre de una de las operaciones fundamen-tales que definen el cálculo. Esa raíz tiene el significado deoponer una cosa a otra, y se usa para compensar los términosde una expresión algebraica que sean de la misma especie. Enel caso de este cálculo, hay dos de las cuatro multiplicacionesque han producido términos de la misma especie: diez cosasaditivas y diez cosas substractivas. El calculista algebraico lasopone, las pone una frente a otra y las compensa, en este casola oposición, al-muqābala, tiene como consecuencia que lascosas se eliminan y en la expresión final no hay cosas, sólo dir-hams y tesoros.

El ejemplo noveno, ya lo anunciaba cuando comenzamos aexaminar estos ejemplos, es peculiar por la presencia de mita-des:

9. (10 + x/2) · (1/2 – 5x)

Si se dice: diez dirhams y media cosa por medio dirhammenos cinco cosas, tú dices: medio dirham por diez, cincodirhams aditivos; y medio dirham por media cosa, un cuartode cosa aditivo, y menos cinco por diez dirhams, cincuentaraíces substractivas. Resulta la suma de todo entonces cincodirhams menos cuarenta y nueve raíces y tres cuartos de raíz.Multiplicas luego cinco raíces substractivas por media raízaditiva. Resulta dos tesoros y medio substractivos. Es enton-ces cinco dirhams menos dos tesoros y medio y menos cua-renta y nueve raíces y tres cuartos de raíz. (Rashed, 2007, pp.128-129; Hughes, 1986, p. 243).

Este ejemplo nos hace ver de nuevo que la presencia de frac-ciones era una dificultad notable para los cálculos, pero nonos vamos a entretener más que en constatarlo.

El último ejemplo muestra, en primer lugar, que es necesariodecir explícitamente que “diez y cosa” es lo mismo que “cosa ydiez”.

10. (10 + x) · (x – 10)

Si se dice: diez y cosa por cosa menos diez. Es como si sehubiera dicho: cosa y diez por cosa menos diez. Tú dices: cosapor cosa, tesoro aditivo; diez por cosa, diez cosas aditivas;menos diez por cosa, diez cosas substractivas. Se anula loaditivo con lo substractivo y queda el tesoro. Y menos diezpor diez, cien substraído del tesoro. Resulta pues un tesoromenos cien dirhams. (Rashed, 2007, pp. 128-129; Hughes,1986, p. 243).

Aquí, la oposición de los dos términos que son de la mismaespecie se enuncia sin tanta precisión como en el ejemplooctavo, y como después de las tres primeras multiplicacionessólo queda el tesoro, la cuarta multiplicación, que da un resul-tado substractivo, se enuncia como “cien substraído del teso-

ro”. Pero eso no completa el cálculo, sino que el resultado se dacon la expresión algebraica en su forma esquemática y estere-otipada: “un tesoro menos cien dirhams”.

Después de este último ejemplo, al-Khwārizmī termina elcapítulo “Sobre la multiplicación” recapitulando:

Y para todo lo que se obtiene por la multiplicación de aditi-vo y substractivo, como menos cosa por cosas añadidas, elúltimo producto es substractivo siempre. (Rashed, 2007, pp.128-129; Hughes, 1986, p. 243).

El cálculo con especiesAl-Khwārizmī sólo trata con tres especies: tesoros, raíces ysimples números. En el capítulo “Sobre la multiplicación”, quehemos examinado, desarrolla un cálculo con expresiones enlas que está la cosa y enseña a calcular con las cosas “si estánsolas, si están con un número, si están disminuidas en unnúmero o si están restadas de un número”. Con ello trata todaslas multiplicaciones entre expresiones con especies que pue-den aparecer en su cálculo; cualquier otra multiplicación exi-giría ampliar la serie de las especies, incluyendo el cubo, eltesoro tesoro, el tesoro cubo, etc., como hicieron tras él sobretodo al-Karajī, as-Samaw’al y los que les siguieron. En losotros dos capítulos al-Khwārizmī aborda las tres operacionesaritméticas que faltan: adición, substracción y división. Sinembargo, en estos capítulos al-Khwārizmī no sigue calculan-do con la cosa; de hecho, la palabra “cosa” ni siquiera apareceuna sola vez en ellos. Las expresiones con las que al-Khwārizmī calcula en estos dos capítulos son algunas expre-siones con especies y, sobre todo, expresiones en las que apa-recen radicales.

No examinaré los dos capítulos completos como he hecho enel caso del capítulo “Sobre la multiplicación”, sino que melimitaré a examinar unos cálculos que presenta en el capítulo“Sobre la adición y la substracción” que son peculiares. En elconjunto de estos dos capítulos, el estilo de presentación esbastante diferente del que hemos visto que al-Khwārizmī uti-liza en el capítulo “Sobre la multiplicación”: no hay aquímodelo concreto alguno a partir del cual se le dé sentido a loscálculos algebraicos. Los cálculos que vamos a examinar tie-nen la peculiaridad, además, de que al-Khwārizmī losdemuestra mediante figuras en dos casos, y dice que no esposible demostrarlo mediante figuras en otro, pero que en esecaso se puede hacer una demostración “con palabras”. Esta“demostración con palabras” puede verse como el germen dela demostración puramente algebraica.

Los dos primeros cálculos no son cálculos con especies sinocon radicales, en concreto la adición y la substracción de dosbinomios con radicales cuadráticos que son irracionales:

106


y

Veamos cómo enuncia al-Khwārizmī los cálculos:

Que sepas que la raíz de doscientos menos diez, sumada aveinte menos la raíz de doscientos, es igual a diez.La raíz de doscientos menos diez restada de veinte menos laraíz de doscientos es treinta menos dos raíces de doscientos,y dos raíces de doscientos es la raíz de ochocientos (Rashed,2007, pp. 130-131; Hughes, 1986, p. 243).

Los otros cálculos son la adición y la substracción de dosexpresiones algebraicas que ambas contienen las tres espe-cies:

(100 + x2 – 20x) + (50 + 10x – 2x2)y (100 + x2 – 20x) – (50 + 10x – 2x2)

Veamos cómo enuncia al-Khwārizmī los cálculos:

Cien y tesoro menos veinte raíces, a lo que se añade cincuen-ta y diez raíces menos dos tesoros, resulta ciento cincuentamenos un tesoro y menos diez raíces (Rashed, 2007, pp. 130-131; Hughes, 1986, p. 243).Cien y tesoro menos veinte raíces, de lo que se substrae cin-cuenta y diez raíces menos dos tesoros, resulta cincuenta dir-hams y tres tesoros menos treinta raíces (Rashed, 2007, pp.130-1315).

Tras esos enunciados en los que nada se explica, al-Khwārizmī promete demostraciones:

Te muestro su causa verdadera de una forma que te conducea lo que se busca, si Dios quiere (Rashed, 2007, pp. 130-131;Hughes, 1986, p. 243).

Las demostraciones no están, sin embargo, a continuación deestos enunciados, sino que al-Khwārizmī continúa el capítulo

“Sobre la adición y la substracción” con cuestiones cómo“duplicar la raíz de cualquier tesoro, conocido o sordo”, tripli-carla, etc., cuestiones que no vamos a examinar, y sólo al finaldel capítulo “Sobre la división” aparecen las demostraciones.

La primera de ellas, que pretende demostrar que efectiva-mente

es una demostración hecha mediante una figura, que se cons-truye para representar las expresiones y ver en ella que los cál-culos dan lo que se ha dicho que dan. En la figura 1 indicamoscómo están representadas las expresiones en la figura que al-Khwārizmī construye. La figura 2 es la que aparece en la edi-ción de Masharrafa y Ahmad del texto de al-Khwārizmī(Masharrafa y Ahmad, 1939 p. 33). La demostración comienza como sigue:

En cuanto a la causa de la raíz de doscientos menos diez aña-dida a veinte menos la raíz de doscientos, ésta es la figura: larecta AB es la raíz de doscientos: de A al punto B es el diez, ylo que queda de la raíz de doscientos es el resto de la rectaAB, es decir la recta CB (Rashed, 2007, pp. 136-137; Hughes,1986, p. 245).

Al-Khwārizmī comienza pues construyendo un segmento ABpara representar la raíz de doscientos (que es irracional,“sorda”, en la terminología de al-Khwārizmī) en el que señalaun segmento igual a diez para tener así representado tanto laraíz de doscientos como el binomio inicial, raíz de doscientosmenos diez.

Construye luego una recta del punto B al punto D, la rectaveinte, que es el doble de la recta AC, que es diez (Rashed,2007, pp. 136-137; Hughes, 1986, p. 245).

Lo que le va a añadir al binomio inicial, no lo representa acontinuación del segmento ya construido, como pareceríanatural para representar la adición como yuxtaposición desegmentos, sino que en otra recta (dispuesta perpendicular-mente a la anterior, pero el hecho de que aparezca perpendi-

200 10 20 200−( ) + −( )

20 200 200 10−( ) − −( )

200 10 20 200 10−( ) + −( ) =

107

SUMA 67Junio 2011


Figura 1 Figura 2

cular en la figura no desempeña papel alguno) va a represen-tar el otro binomio, comenzando para ello por la cantidad a laque se le substrae algo, en este caso, por el veinte. El segmen-to BD se construye de manera que sea el doble del segmentoAC, ya que éste representa diez, y ahora se trata de represen-tar veinte. De la misma manera, llevará a ese nuevo segmentootro igual a la raíz de doscientos, para representar así veintemenos la raíz de doscientos, es decir, el binomio que se sumaal inicial:

Del punto B al punto E una igual a la recta AB, es también laraíz de doscientos. El resto del veinte es del punto E al puntoD (Rashed, 2007, pp. 136-137; Hughes, 1986, p. 245).

Con los dos binomios representados, ya está en condicionesde representar su adición:

Ya que queremos añadir lo que queda de la raíz de doscien-tos una vez quitado el diez, que es la recta CB, a la recta ED,que es veinte menos la raíz de doscientos, cortamos de larecta BE una recta igual a la recta CB, sea la recta GE(Rashed, 2007, pp. 136-139; Hughes, 1986, p. 245).

Es decir, al-Khwārizmī traslada ahora el segmento que repre-senta raíz de doscientos menos veinte en la primera recta a lasegunda recta, colocándolo a continuación del segmento querepresenta veinte menos la raíz de doscientos, de manera queesté a la vez separando una parte del segmento que represen-ta a la raíz de doscientos. Entonces puede identificar los seg-mentos correspondientes en las dos rectas que ha construido.

Ahora bien, es evidente que la recta AB, que es la raíz de dos-cientos, es igual a la recta BE; que la recta AC, que es el diez,es igual a la recta BG, y que el resto de la recta AB que es CB,es igual al resto de la recta GE (Rashed, 2007, pp. 138-139;Hughes, 1986, p. 245).

Con lo que puede proceder a ver que, representada así la adi-ción de los dos binomios en la segunda recta, el resultado esel que había enunciado.

Añadimos a la recta ED la recta GE; será evidente que se hasubstraído de la recta BD, que es veinte, una recta igual a larecta AC, que es diez, es decir, la recta BG, y que nos quedala recta GD, que es diez (Rashed, 2007, pp. 138-139; Hughes,1986, p. 245).

Y concluye:

Lo que había que demostrar. He aquí la figura (Rashed, 2007,pp. 138-139; Hughes, 1986, p. 245).

La demostración es del mismo estilo que la que al-Khwārizmīhace de los algoritmos de resolución de las formas canónicascompuestas. Una demostración cuya garantía de verdad resi-de en que se ve lo que se quiere demostrar en una figura en laque se representan los objetos algebraicos (en este casomediante segmentos) y las operaciones con ellos (mediante

operaciones de cortar, trasladar y pegar, en este caso los seg-mentos). En ningún caso se duda que lo que se vea pueda serengañoso, continuamente está diciendo al-Khwārizmī “es evi-dente que” (Cremona traduce “ergo manifestum est nobis”,“por tanto es evidente para nosotros”).

Por tanto, al-Khwārizmī no busca la garantía de verdad en unconjunto establecido de proposiciones que se aceptan comoverdaderas y de procedimientos de derivación de nuevas pro-posiciones verdaderas a partir de las ya establecidas. Es decir,no son demostraciones que se sustenten en el edificio euclí-deo de definiciones, nociones comunes, postulados y propo-siciones derivadas a partir de ellos. Son demostracioneshechas con figuras geométricas, pero no demostraciones geo-métricas (en el sentido euclídeo).

La segunda de las demostraciones es del mismo estilo. En lafigura 3 indicamos cómo están representadas las expresionesen la figura que al-Khwārizmī construye. La figura 4 es la queaparece en la edición de Masharrafa y Ahmad del texto de al-Khwārizmī (Masharrafa y Ahmad, 1939 p. 34).

En cuanto a la causa de la raíz de doscientos menos diezsubstraída de veinte menos raíz de doscientos, he aquí lafigura: la recta AB es la raíz de doscientos; de A al punto C,es el diez conocido. Construyamos del punto B al punto Duna recta y pongámosla veinte. Pongamos del punto B alpunto E una recta igual a la recta raíz de doscientos, que esigual a la recta AB. Es evidente que la recta CB es lo quequeda de la raíz de doscientos, una vez quitado el diez, y quela recta ED es lo que queda de veinte una vez quitada la raízde doscientos. (Rashed, 2007, pp. 138-139; Hughes, 1986, p.246).

La representación comienza de la misma manera que en elcaso anterior, ya que los binomios son los mismos, pero ahorase trata de substraer uno de otro en vez de sumarlos, por loque la construcción del segundo segmento ha de ser distinta.El diez que está substraído del binomio que se substrae, locoloca en la figura añadido al segmento que representa elbinomio del que se tiene que substraer, en la derecha del seg-mento que lo representa (ver la figura 3).

Queremos substraer la recta CB de la recta ED.Construyamos una recta desde el punto B al punto G, que seigual a la recta AC, que es diez. La recta GD entera será puesigual a la recta GB, y la recta BD. Ahora bien, es evidente quetodo esto es treinta. (Rashed, 2007, pp. 138-141; Hughes,1986, p. 246).

El resto de la demostración transcurre de forma similar a laanterior:

Es evidente que la recta BE es la raíz de doscientos, y que larecta GB y BC es igualmente la raíz de doscientos. Ya que larecta EH se ha hecho igual a la recta CB, será evidente que loque se ha substraído de la recta GB, que es treinta, es dos raí-

108

SUMA 67Junio 2011

ces de doscientos. Pero dos raíces de doscientos es la raíz deochocientos (Rashed, 2007, pp. 140-141; Hughes, 1986, p.246).

Y concluye:

Lo que había que demostrar. He aquí la figura (Rashed, 2007,pp. 140-141; Hughes, 1986, p. 246).

La tercera demostración que vamos a examinar es diferente, yno tiene parangón con ninguna de las demostraciones que al-Khwārizmī hace en su libro. No es una demostración configuras geométricas del estilo “ingenuo”, con la garantía deverdad en lo que se ve, sin dudar de ello, que acabamos de veren práctica en las dos demostraciones anteriores. Lo que al-Khwārizmī quiere demostrar no es ahora un cálculo con radi-cales, sino una adición de dos expresiones con especies, cuyoresultado ha enunciado en el capítulo “Sobre la adición y lasubstracción” unas páginas antes6:

(100 + x2 – 20x) + (50 + 10x – 2x2) = 150 – x2 – 10x

El mismo al-Khwārizmī explica por qué no va a hacer unademostración con figuras:

En cuanto a cien y un tesoro menos veinte raíces, a las que seañaden cincuenta y diez raíces menos dos tesoros, no le con-viene ninguna figura porque está compuesta por tres espe-cies diferentes, tesoros, raíces y números, y no hay con ellaslo que les sea igual, para que pueda ser representado en unafigura (Rashed, 2007, pp. 140-141; Hughes, 1986, pp. 246-247).

En las demostraciones mediante figuras de los algoritmos desolución de las formas canónicas compuestas que hace al-Khwārizmī, la manera que tiene de representar las tres espe-cies depende efectivamente de que lo que ha de representar esuna ecuación. En efecto, al-Khwārizmī representa los tesorosmediante cuadrados y las raíces mediante rectángulos en losque un lado representa la raíz (del tesoro) y el otro el númerode raíces, con lo que las raíces es también una superficie. Para representar la tercera especie, los simples números, al-

Khwārizmī recurre al artificio de que éstos estén representa-dos por toda la superficie de la figura, lo que puede hacer yaque los simples números están relacionados con las otras dosespecies por substracción o adición en las ecuaciones. Esto nopuede hacerse si no se trata de representar una ecuación, sinouna expresión algebraica como las que tiene que representarahora, por eso dice al-Khwārizmī que “no le conviene unafigura” porque tiene las tres especies y “no hay con ellas lo queles sea igual”.

Al-Khwārizmī concluye esta explicación con una frase enig-mática:

Pudimos hacer una figura de ello, pero no sensible (Rashed,2007, pp. 140-141; Hughes, 1986, p. 247).

Nada más nos dice al-Khwārizmī de esa “figura no sensible”,porque ante esta dificultad abandona el recurso a las figurassensibles en las que cortar, trasladar y pegar para ver lo que sequiere demostrar (y tampoco recurre a esa enigmática “figurano sensible”), para hacer lo que podemos llamar el primerprecursor del que tenemos noticia de una demostración pura-mente algebraica: una demostración que se hace simplemen-te en el terreno de la expresión en el sistema de signos delálgebra sin recurso a las figuras. Al-Khwārizmī la llamademostración mediante palabras (al-lafz), o por la expresión(Cremona traduce “verbis”, “por las palabras”):

En cuanto a su necesidad es evidente en palabras7 [por laexpresión] (Rashed, 2007, pp. 140-141; Hughes, 1986, p. 247).

Ésta es la demostración “por la expresión” o “en palabras”:

Sabes en efecto que tienes cien y un tesoro menos veinte raí-ces. Ya que le has añadido cincuenta y diez raíces, resultaciento cincuenta y un tesoro menos diez raíces porque estasdiez raíces han restaurado las veinte raíces substraídas a diezraíces (Rashed, 2007, pp. 140-141; Hughes, 1986, p. 247).

Al-Khwārizmī trata las expresiones por partes, considerandoque las dos que se van a añadir constan de una parte que es lacantidad digamos principal o inicial, y otra que es la cantidadque se le ha quitado, y por tanto le falta a la cantidad inicial, y

109

SUMA 67Junio 2011

Figura 3 Figura 4

ha de restaurarse en el curso de los cálculos, si se quiere llegara una forma canónica. Ése es el sentido que tiene al-jabr, laoperación fundamental del cálculo: la restauración de lo quefalta. Lo primero que hace aquí al-Khwārizmī es restaurar lasveinte raíces substraídas a la primera cantidad (cien y tesoro)con las diez raíces de la segunda cantidad, con lo que consiguerestaurar parte de lo que le falta a la primera. Ahora puedetratar el caso de los dos tesoros que le faltan a la segunda can-tidad:

Queda pues ciento cincuenta y un tesoro menos diez raíces;había un tesoro con el cien; así, cuando has substraído decien y un tesoro los dos tesoros substraídos de cincuenta, un

tesoro se anula con un tesoro y te queda un tesoro. Resultapues ciento cincuenta menos un tesoro menos diez raíces(Rashed, 2007, pp. 140-141; Hughes, 1986, p. 247).

Y concluye

Lo que había que demostrar (Rashed, 2007, pp. 140-141;Hughes, 1986, p. 247).

inaugurando así una nueva forma de demostrar, cuya historiavale la pena indagar8. Sin embargo, no puedo dejar de pensarque me hubiera gustado ver esa “figura no sensible” que al-Khwārizmī dice haber hecho, pero que se guardó para sí.

HISTORIAS

110

SUMA 67Junio 2011

1 Se supone que el libro de cálculo hindú lo escribió al-Khwārizmī despuésdel libro de álgebra, porque al comienzo de él cita el libro de álgebra.Aunque esa hipótesis es plausible, cabe que no fuera así ya que no se con-serva ningún testimonio del libro de cálculo hindú que no esté mezcladocon textos procedentes de otras fuentes (ver la entrega de estas historiasde al-Khwārizmī subtitulada “Los Libros”, Puig, 2008). Además, que al-Khwārizmī aún no hubiera escrito su libro de cálculo hindú no excluyeque no conociera ya la representación de los números hindú que luegocontribuiría decisivamente a difundir en todo el mundo.

2 El historiador tunecino Mahdi Abdeljaouad hace, en su introducción a untexto del siglo XIV de Ibn al Hā’im, un comentario del mismo orden: “se vefuncionar una lengua matemática, totalmente retórica, pero que respon-de a las reglas lingüísticas específicas de la lengua algebraica”(Adbeljaouad, 2003, p. 11). Es ese responder a reglas específicas lo quepermite hablar del sistema algebraico de signos del texto de al-Khwārizmī,aunque todo él sea “retórico”, es decir, no use más materia de la expresiónque la materia de la expresión de la lengua vernácula.

3 En la traducción latina de Cremona, las cosas no son exactamente iguales.“Diez menos cosa por diez menos cosa” es “Decem re diminuta in decem

re diminuta”, en donde “diminuta” viene del verbo “diminuere”, substraer,y, por tanto, está mas cerca de “cosa substraída” que de “menos cosa”. Enconsecuencia, cuando Cremona traduce la frase contra la gramática árabe“illā shay’ fī illā shay’ māl zā’id (menos cosa por menos cosa, tesoro adi-tivo)”, escribe “res diminuta in rem diminutam fit census additus”, literal-mente “cosa substraída por cosa substraída hace censo añadido”, en la queno aparece “menos cosa”, quizá gracias a la sintaxis latina.

4 Sobre las complejas relaciones entre “cosa” y “raíz”, ver la anterior entregade estas historias, que subtitulé precisamente “La cosa” (Puig, 2011).

5 Este cálculo no aparece en la traducción latina de Cremona.6 De la substracción de estas dos expresiones, que también aparece enun-

ciada en el capítulo “Sobre la adición y la substracción”, pero no en la tra-ducción latina de Cremona, no da al-Khwārizmī ninguna demostración,ni la menciona al presentar esta demostración.

7 Cremona traduce: “Eorum vero necessitas verbis manifesta est”, “Cuyanecesidad es evidente por las palabras [por la expresión].

8 Véase un punto de vista para hacerlo en Puig (2009) y Puig (in press), y losresultados de algunas indagaciones en el trabajo de Infante (2010), que sehan presentado parcialmente en Infante y Puig (2011).

NOTAS

Este artículo fue solicitado por Suma en febrero de 2011 y aceptado en mayo de 2011 para su publicación

Abdeljaouad, M. (2003). Sharh al-Urjūza al-Yasminīya d’Ibn Al-Hā’im texte établi et commenté par Mahdi Abdeljaouad. Tunis:Association Tunisienne des Sciences Mathématiques.

Allard, A. (Ed.). (1992). Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī. Lecalcul indien (Algorismus). Paris: Librairie Scientifique etTechnique Albert Blanchard.

Anbouba, A. (1978). L’algèbre arabe aux IXe et Xe siècles. Aperçugénéral. Journal for the History of Arabic Science, 2, pp. 66-100

Hughes, B. (1986). Gerard of Cremona’s translation of al-Khwārizmī’sal-jabr: A critical edition. Mediaeval Studies 48, 211-263.

Infante, J. F. (2010). Un estudio de las demostraciones de los algorit-mos de solución de las formas canónicas de las ecuaciones desegundo grado en al-Khwārizmī, Abū Kāmil, Marc Aurel, JuanPérez de Moya y Pedro Nunes. Trabajo Fin del Máster deInvestigación en Didácticas Específicas. Universitat de València.

Infante, F. y Puig, L. (2011). Una comparación entre las demostra-ciones de Pedro Nunes y al-Khwārizmī de los algoritmos de lasformas canónicas de la ecuación de segundo grado. CongressoIbero-americano de História do Ensino da Matemática.Comunicación. Covilhã, 26 a 29 de mayo de 2011.

Masharrafa, A. M. y Ahmad, M. M. (Eds.) (1939). Al-Khwārizmī,Muhammad ibn Mūsa. Kitāb al-mukhtasar fī hisāb al-jabr wa’l-muqābala. Cairo: al-Qahirah. Reprinted 1968

Nesselman, G. H. F. (1842). Versuch einer Kritischen Geschichte derAlgebra, 1. Teil. Die Algebra der Griechen. Berlin: G. Reimer.

Puig, L. (2008). Historias de al-Khwārizmī (2ª entrega). Los Libros.Suma, 59, pp. 105-112.

Puig, L. (2009). Naïve, geometric and algebraic proof in ancient andmodern times. Talk to the meeting Semiotic Approaches toMathematics, the History of Mathematics, and MathematicsEducation (SemMHistEd) – 3rd Meeting. Aristotle University ofThessaloniki, July 16-17, 2009.

Puig, L. (2010). Historias de al-Khwārizmī (4ª entrega). El proyectoalgebraico. Suma, 65, pp. 87-94.

Puig, L. (2011). Historias de al-Khwārizmī (5ª entrega). La cosa.Suma, 66, pp. 89-100.

Puig, L. (in press). Researching the History of Algebraic Ideas froman Educational Point of View. In. V. Katz & C. Tzanakis (Eds.)Recent Developments on Introducing a Historical Dimension inMathematics Education. The Mathematical Association ofAmerica.

Rashed, R. (Ed.). (2007). Al-Khwārizmī. Le commencement de l’algè-bre. Paris: Librairie Scientifique et Technique Albert Blanchard.

Vieta, F. (1591). In artem Analyticem Isagoge. Turonis: IametiumMettayer Typographum Regium.


historias 58 5:kouku.qxd - albeniz-matematicas-acaro ... · pdf filehache, a la que se le...

Documents