“HISTORIA DE LOS METODOS NUMERICOS”

Hernández Mondragón Oscar

Ingeniería Civil

401

Métodos numéricos

Ing. Alonso Villeda Eleazar

Huixquilucan, Estado de México, Marzo 2015

Introducción

El planeta Urano fue descubierto en 1781 por un inteligente astrónomo aficionado, Willeam Herschel (1738 – 1822), con un telescopio de fabricación casera. Teniendo en cuenta las leyes de Kepler, la prevista órbita de Urano fue rápidamente calculada a partir de unas pocas observaciones muy separadas entre sí. Se encontró que la distancia media de Urano al Sol era aproximadamente el doble que la de Saturno y que una órbita completa requería 84 años. En 1830 los datos empíricos acumulados pusieron de manifiesto desviaciones inexplicables de la órbita prevista.

Algunos astrónomos llegaron a pensar que la ley de gravitación universal de Newton no fuera válida para distancias tan grandes como la de Urano al Sol; otros sospecharon que las perturbaciones fueran debidas a un cometa aún no descubierto o a un planeta más lejano.

Un estudiante de bachillerato de la Universidad de Cambridge, John Couch Adams (1819 – 1892), estaba intrigado por la posibilidad de un planeta desconocido. Se asignó la difícil tarea de calcular la influencia de un tal planeta en las posiciones observadas de Urano, suponiendo válida la ley de gravitación de Newton. Completó su cálculo en 1845 e instó al Real Observatorio de Greenwich a buscar el supuesto planeta, pero su requerimiento no fue tomado en cuenta.

Independientemente y casi simultáneamente Jean Joseph Leverrier (1811 – 1877) de París, realizó un cálculo parecido y pidió a Johann Galle, jefe del Observatorio de Berlín, que confirmara su predicción. La misma noche que recibió la carta de Leverrier, Galle encontró el nuevo planeta, Neptuno, casi exactamente en la posición calculada. Éste fue otro triunfo de la ley de gravitación de Newton y uno de los primeros grandes triunfos del análisis numérico, el arte y la ciencia de calcular.

La historia del análisis numérico data de los tiempos antiguos. Los babilonios, 2000 años a. C. compusieron tablas matemáticas. Se ha encontrado una tabilla de barro con los cuadrados enteros del 1 al 30. Los babilonios adoraban los cuerpos celestes y elaboraban efemérides astronómicas. El famoso astrónomo alejandrino Claudio Ptolomeo (aprox 150 d. C.) poseía unas efemérides babilónicas de eclipses que databan del año 747 a. C. Arquímedes, en el año 220 a. C., usó los polígonos regulares como aproximaciones del círculo y dedujo las desigualdades 7 1 71 10 3 < π < 3.

El trabajo de cálculo numérico desde entonces hasta el siglo XVII fue centrado principalmente en la preparación de tablas astronómicas. El advenimiento del álgebra en el siglo XVI produjo una renovada actividad en todas las ramas de la Matemática, incluyendo el análisis numérico. En 1614, Neper publicó la primera tabla de logaritmos, y en 1620, los logaritmos de las funciones seno y tangente fueron tabuladas son siete cifras decimales. Hacia 1628 habían sido calculadas tablas de logaritmos con catorce decimales de los números 1 al 100,000.

El cálculo en series empezó a florecer hacia fines del siglo XVII, con el desarrollo del cálculo. A principios del siglo XVIII Jacob Stirling y Brook Taylor sentaron los fundamentos del cálculo de diferencias finitas, que ahora desempeña un papel central en el análisis numérico. Con la predicción de la existencia y la localización del planeta Neptuno por Adam y Leverrier en 1845, la importancia científica del análisis numérico quedó establecida de una vez y para siempre.

A fines del siglo XIX, el empleo de las máquinas de cálculo automático estimuló más aún el desarrollo del análisis numérico. Tal desarrollo ha sido explosivo desde la terminación de la Segunda Guerra Mundial a causa del progreso en las máquinas de cálculo electrónicas de alta velocidad. Las nuevas máquinas han hacho posibles gran número de importantes logros científicos que antes parecían inaccesibles. El arte de calcular, que es distinto a la ciencia del cálculo, se basa en cálculos numéricos precisos y detallados por lo que también toma en cuenta precisión y exactitud así como los errores y la comprobación de los resultados.

Definición de métodos numéricos

“Son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas”

Los métodos numéricos se utilizan para:• Solución de sistemas de ecuaciones lineales• Solución de ecuaciones no lineales y trascendentales• Encontrar un valor por medio de tablas: interpolación• Encontrar un comportamiento (un modelo) a partir de datos ajustando una

curva: ajuste de curvas• Integración numérica de una función• Solución numérica de ecuaciones diferenciales

Historia: 

Los primeros registros de métodos numéricos quedan constatados en la tablilla babilona YBC7289, donde se da una aproximación a la raíz cuadrada de dos, usando numeración sexagesimal. Esta aproximación muy cercana a las que se aceptan actualmente, pero no tanto a comparación de la que nos puede ofrecer una computadora. La interpolación lineal ya era usada hace aproximadamente dos mil años. Muchos de los matemáticos del pasado de preocuparon por el análisis numérico como constan los siguientes algoritmos: método de Newton, interpolación polinomial de Lagrange, eliminación gaussiana o el método de Euler.Para facilitar los cálculos, se hicieron grandes libros donde venían fórmulas y tablas de interpolación de puntos y funciones de coeficientes. Usando estas tablas se podían calcular cifras con una exactitud de hasta 16 decimales. La mejor de estas obras fue un libro llamado NIST, editado por Abramowitz y Stegun. Una obra que contiene tablas tan exactas, que aún hoy en día puede ser útil. Además, se puede mencionar que también la invención de las calculadoras mecánicas ayudó mucho a la resolución de estas difíciles operaciones. El primero de estos hitos fue la calculadora de Leibniz. Pero fue hasta la invención de la computadora, en la década de los 40’s, cuando hubo una nueva revolución de exactitud en los datos. Día a día se hacen computadoras capaces de brindarnos datos más exactos a la resolución de métodos numéricos.El redondeo en los métodos numéricos es un punto controversial para los seguidores de exactitud, esto queda corroborado en un documento que fue publicado en 1947 por los matemáticos alemanes John von Neumann y Herman Goldstine.

Características:No son exactos

Utilizan la ayuda del computador para trabajarlos más fácilmente.El análisis numérico consiste en procedimientos que resuelven problemas y realizan cálculos puramente aritméticos.

Cuando son útiles:

Estos métodos se aplican cuando se necesita un valor numérico como solución a un problema matemático, y los procedimientos "exactos" o "analíticos" (manipulaciones algebraicas, teoría de ecuaciones diferenciales, métodos de integración, etc.) son incapaces de dar una respuesta. Debido a ello, son procedimientos de uso frecuente por físicos e ingenieros, y cuyo desarrollo se ha visto favorecido por la necesidad de éstos de obtener soluciones, aunque la precisión no sea completa. Debe recordarse que la física experimental, por ejemplo, nunca arroja valores exactos sino intervalos que engloban la gran mayoría de resultados experimentales obtenidos, ya que no es habitual que dos medidas del mismo fenómeno arrojen valores exactamente iguales.