historia de la geometría

7/18/2019 Historia de La Geometra

1/13

Historia de la geometra

La geometra esunadelas ciencias ms antiguas. Inicial-mente, constitua un cuerpo de conocimientos prcticosen relacin con laslongitudes,reasyvolmenes. En elAntiguo Egiptoestaba muy desarrollada, segn los textosdeHerodoto,EstrabnyDiodoro Sculo.Euclides, en elsiglo III a. C. configur la geometra en forma axiomtica,tratamiento que estableci una norma a seguir durantemuchos siglos: lageometra euclidianadescrita en LosElementos.

El estudio de laastronomay lacartografa, tratando de

determinar las posiciones deestrellasyplanetasen la es-fera celeste, sirvi como importante fuente de resolucinde problemas geomtricos durante ms de un milenio.Ren Descartesdesarroll simultneamente ellgebraylageometra analtica, marcando una nueva etapa, don-de las figuras geomtricas, tales como lascurvasplanas,podran ser representadas analticamente, es decir, confunciones y ecuaciones. La geometra se enriquece con elestudio de la estructura intrnseca de los entes geomtri-cos que analizanEuleryGauss, que condujo a la creacinde latopologay lageometra diferencial.

LaGeometracomo una de lasArtes LiberalesyEuclides.

0.1 La geometra en el Antiguo Egipto

Papiro de Ahmes.

Las primeras civilizaciones mediterrneas adquieren po-co a poco ciertos conocimientos geomtricos de ca-rcter eminentemente prctico. La geometra en elantiguo Egiptoestaba muy desarrollada, como admitie-ronHerdoto, EstrabnyDiodoro, que aceptaban quelos egipcios haban inventado la geometra y la habanenseado a los griegos; aunque lo nico que ha perdu-

rado son algunas frmulas o, mejor dicho, algoritmosexpresados en forma de receta" para calcular volme-nes, reas y longitudes, cuya finalidad era prctica. Conellas se pretenda, por ejemplo, calcular la dimensin delas parcelas de tierra, para reconstruirlas despus de lasinundaciones anuales. De all el nombre,geo-metra: medicin de la tierra (de (g) 'tierra' ms (metra), 'medicin')

Los denominadosPapiro de AhmesyPapiro de Moscmuestran conjuntos de mtodos prcticos para obtenerdiversas reas y volmenes, destinados al aprendizaje deescribas. Es discutible si estos documentos implican pro-

fundos conocimientos o representan en cambio todo elconocimiento que los antiguos egipcios tenan sobre lageometra.

1
https://es.wikipedia.org/wiki/Papiro_de_Mosc%C3%BAhttps://es.wikipedia.org/wiki/Papiro_de_Ahmeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Diodorohttps://es.wikipedia.org/wiki/Estrab%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Her%C3%B3dotohttps://es.wikipedia.org/wiki/Antiguo_Egiptohttps://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Papiro_de_Ahmeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Euclideshttps://es.wikipedia.org/wiki/Artes_Liberaleshttps://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Topolog%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Gausshttps://es.wikipedia.org/wiki/Eulerhttps://es.wikipedia.org/wiki/Curvahttps://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADticahttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebrahttps://es.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descarteshttps://es.wikipedia.org/wiki/Planetahttps://es.wikipedia.org/wiki/Estrellahttps://es.wikipedia.org/wiki/Cartograf%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Astronom%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Los_Elementoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Los_Elementoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_euclidianahttps://es.wikipedia.org/wiki/Axiomahttps://es.wikipedia.org/wiki/Euclideshttps://es.wikipedia.org/wiki/Diodoro_S%C3%ADculohttps://es.wikipedia.org/wiki/Estrab%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Herodotohttps://es.wikipedia.org/wiki/Antiguo_Egiptohttps://es.wikipedia.org/wiki/Volumenhttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81reahttps://es.wikipedia.org/wiki/Longitudhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ciencia


2/13

2

Los historiadores antiguos nos relataron que el conoci-miento de esta civilizacin sobre geometra as como losde las culturas mesopotmicas pas ntegramente a lacultura griega a travs deTales de Mileto, lospitagricosy, esencialmente, deEuclides.

0.2 La Geometra griega

0.2.1 La Geometra griega antes de Euclides

a

ba

b

ab

a b

cc

cc

La primera demostracin del teorema de Pitgoras Probable-

mente us un diagrama como el que se muestra.

La Geometra Griega fue la primera en ser formal. Partede los conocimientos concretos y prcticos de las civiliza-ciones egipcia y mesopotmica, y da un paso de abstrac-cin al considerar los objetos como entes ideales un rec-tngulo ideal, en lugar de una pared cuadradaconcreta, uncrculo en lugar del ojo de un pozo, etc. que pueden sermanipulados mentalmente, con la sola ayuda deregla ycomps. Aparece por primera vez lademostracincomojustificacin de la veracidad de un conocimiento aunque,en un primer momento, fueran ms justificaciones intui-

tivas que verdaderas demostraciones formales.Talespermaneci enEgiptouna larga temporada de suvida, aprendiendo de los conocimientos de sacerdotes yescribas. Fue el primero en ser capaz de calcular la alturade lasPirmides de Egipto. Para ello midi su propia al-tura, y en el preciso momento en el que su sombra medaexactamente la misma cantidad, mand a marcar la som-bra del vrtice de la Gran Pirmide. De esa forma pudocalcular exactamente cul era su altura.[1] Tambin se leatribuye la prediccin de un eclipse solar.[2]

La figura dePitgorasy de la secta por l creada: lospitagricos, tiene un papel central, pues eleva a la catego-

ra de elemento primigenio el concepto de nmero (filo-sofa que de forma ms explcita o ms implcita, siempreha estado dentro de la Matemtica y de la Fsica), arras-

trando a la Geometra al centro de su doctrina en estemomento inicial de la historia de la Matemtica an nohay una distincin clara entre Geometra yAritmtica, y asienta definitivamente el concepto de demostracin(ste ya s coincide con el concepto de demostracin for-mal) como nica va de establecimiento de la verdad en

Geometra.Esta actitud permiti (aun fuera de la secta) la medicindel radio de la Tierra porEratstenes, as como la medi-cin de la distancia a la Luna, y la investigacin y esta-blecimiento de la teora de laspalancas, porArqumedes,varios siglos despus.

En el seno de la secta de los pitagricos surge laprimera crisis de la Matemtica: la aparicin de losinconmensurables, pero esta crisis es de carcter ms arit-mtico que geomtrico.

Surge entonces un pequeo problema de Lgica, que con-

siste en lo siguiente: una demostracin parte de una o va-rias hiptesis para obtener un resultado denominado tesis.La veracidad de la tesis depender de la validez del razo-namiento con el que se ha extrado (esto ser estudiadoporAristtelesal crear laLgica) y de la veracidad de lashiptesis. Pero entonces debemos partir de hiptesis cier-tas para poder afirmar con rotundidad la tesis. Para poderdeterminar la veracidad de las hiptesis, habr que con-siderar cada una como tesis de otro razonamiento, cuyashiptesis deberemos tambin comprobar. Se entra apa-rentemente en un proceso sin fin en el que, indefinida-mente, las hiptesis se convierten en tesis a probar.

0.2.2 Euclides yLos elementos

Fragmento de uno de losPapiros de Oxirrincocon unas lneasdeLos elementosdeEuclides.

Euclides, vinculado al Museo de Alejandra y a suBiblioteca, zanja la cuestin al proponer un sistema deestudio en el que se da por sentado la veracidad de cier-tas proposiciones por ser intuitivamente claras, y deducirde ellas todos los dems resultados. Su sistema se sinteti-za en su obra cumbre, Los elementos, modelo desistema

axiomtico-deductivo. Sobre tan slo cincopostuladosylasdefinicionesque precisa construye toda la Geometray la Aritmtica conocidas hasta el momento. Su obra, en
https://es.wikipedia.org/wiki/Definici%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Postulados_de_Euclideshttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_formalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_formalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Los_elementoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Biblioteca_de_Alejandr%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Museo_de_Alejandr%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Euclideshttps://es.wikipedia.org/wiki/Euclideshttps://es.wikipedia.org/wiki/Los_elementoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Papiros_de_Oxirrincohttps://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Arist%C3%B3teleshttps://es.wikipedia.org/wiki/Tesishttps://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%B3tesis_(m%C3%A9todo_cient%C3%ADfico)https://es.wikipedia.org/wiki/Inconmensurabilidadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Arqu%C3%ADmedeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Palancahttps://es.wikipedia.org/wiki/Erat%C3%B3steneshttps://es.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Pitag%C3%B3ricoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Pit%C3%A1gorashttps://es.wikipedia.org/wiki/Pir%C3%A1mides_de_Egiptohttps://es.wikipedia.org/wiki/Egiptohttps://es.wikipedia.org/wiki/Tales_de_Miletohttps://es.wikipedia.org/wiki/Demostraci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Regla_y_comp%C3%A1shttps://es.wikipedia.org/wiki/Regla_y_comp%C3%A1shttps://es.wikipedia.org/wiki/Euclideshttps://es.wikipedia.org/wiki/Pitag%C3%B3ricoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Tales_de_Mileto


3/13

0.2 La Geometra griega 3

trece volmenes, perdurar como nica verdad geomtri-ca hasta entrado el siglo XIX.

Entre los postulados en los queEuclidesse apoya hay uno(elquinto postulado) que trae problemas desde el princi-pio. No se pona en duda su veracidad, pero tal y como

aparece expresado en la obra, muchos consideran que se-guramente poda deducirse del resto de postulados. Du-rante los siguientes siglos, uno de los principales proble-mas de la Geometra ser determinar si el V postulado eso no independiente de los otros cuatro, es decir, si es ne-cesario considerarlo como un postulado o es unteorema,es decir, puede deducirse de los otros, y por lo tanto co-locarse entre el resto de resultados de la obra.

0.2.3 Despus de Euclides

Euclides casi cierra definitivamente la geometra griegay por extensin la del mundo antiguo, a excepcin delas figuras deArqumedesyApolonio de Perge.

Arqumedes analiz exhaustivamente lassecciones cni-cas, e introdujo en geometra otras curvas como laespiralque lleva su nombre, aparte de su famoso clculo del vo-lumen de la esfera, basado en los delcilindroy el cono.

Esquema de las tres secciones cnicas: elipse, parbola ehiprbola(ms la circunferencia).

Apoloniotrabaj en varias construcciones de tangenciasentre crculos, as como en secciones cnicas y otras cur-vas.

0.2.4 Los tres problemas geomtricos de la Anti-

gedad

La geometra griega era incapaz de resolver tres famososproblemas geomtricos (que heredarn los matemticosposteriores), puesto que deban ser resueltos utilizandonicamente laregla y compsideales, nicos instru-mentos vlidos en la geometra griega. Estos tres proble-mas son los siguientes:

La duplicacin del cubo Cuenta la leyenda que unaterriblepesteasolaba la ciudad deAtenas, hasta el puntode llevar a la muerte aPericles. Una embajada de la ciu-dad fue alorculo de Delfos, consagrado aApolo, paraconsultar qu se deba hacer para erradicar la mortal en-fermedad. Tras consultar al Orculo, la respuesta fue quese deba duplicar el altar consagrado a Apolo en la isla deDelos. El altar tena una peculiaridad: su forma cbica.Prontamente, los atenienses construyeron un altar cbicocuyos lados eran el doble de las del altar de Delos, pe-ro la peste no ces, se volvi ms mortfera. Consultadode nuevo, el orculo advirti a los atenienses que el al-tar no era el doble de grande, sino cuatro veces mayor,

puesto que el volumen del cubo es el cubo de su lado ((2l)3 = 23l3 = 8l3 ). Nadie supo cmo construir un cu-bo cuyo volumen fuese exactamente el doble del volumende otro cubo dado, y el problema matemtico persistidurante siglos (no as la enfermedad).

La triseccin del ngulo Este problema consiste endividir un ngulo cualquiera en tres ngulos iguales, em-pleando nicamente la regla y el comps, de manera quela suma de las medidas de los nuevos tres ngulos seaexactamente la medida del primero.

La cuadratura del crculo Lacuadratura del crculoconsiste en tratar de obtener un cuadrado cuya rea mi-
https://es.wikipedia.org/wiki/Cuadratura_del_c%C3%ADrculohttps://es.wikipedia.org/wiki/Deloshttps://es.wikipedia.org/wiki/Apolohttps://es.wikipedia.org/wiki/Or%C3%A1culo_de_Delfoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Pericleshttps://es.wikipedia.org/wiki/Atenashttps://es.wikipedia.org/wiki/Pestehttps://es.wikipedia.org/wiki/Regla_y_comp%C3%A1shttps://es.wikipedia.org/wiki/Apolonio_de_P%C3%A9rgamohttps://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%A9rbolahttps://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Elipsehttps://es.wikipedia.org/wiki/Cilindrohttps://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_de_Arqu%C3%ADmedeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_de_Arqu%C3%ADmedeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Secciones_c%C3%B3nicashttps://es.wikipedia.org/wiki/Secciones_c%C3%B3nicashttps://es.wikipedia.org/wiki/Apolonio_de_Pergehttps://es.wikipedia.org/wiki/Arqu%C3%ADmedeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Teoremahttps://es.wikipedia.org/wiki/Quinto_postulado_de_Euclideshttps://es.wikipedia.org/wiki/Euclides


4/13

4

da exactamente lo mismo que el rea de un crculo dado.Anaxgorasfue el primero en intentar resolverlo, dibu-jando en las paredes de su celda. Fue apresado por ex-plicar diversos fenmenos que los griegos atribuan a losdioses. Tampoco pudo ser resuelto por los gemetras dela antigedad, y lleg a ser el paradigma de lo imposible.

Como curiosidad, el filsofo inglsDavid Humelleg aescribir un libro con supuestos mtodos para resolver elproblema. Hume no tena suficientes conocimientos ma-temticos, y nunca acept que sus mtodos eran fallidos.

0.3 La Geometra en la Edad Media

Durante los siguientes siglos la Matemtica comienzanuevos caminos de la mano de hindes y rabes enTrigonometraylgebra(el uso de lanotacin posicio-naly delcero), aunque relacionadas con laAstronomay la Astrologa; pero en geometra apenas hay nuevasaportaciones. En Occidente, a pesar de que la Geome-tra es una de las sieteArtes liberales(encuadrada en elQuadrivium), las escuelas y universidades se limitan a en-sear los Elementos, y no hay aportaciones.

0.4 La Geometra Proyectiva

Es en elRenacimientocuando las nuevas necesidades derepresentacin del arte y de la tcnica empujan a ciertoshumanistas a estudiar propiedades geomtricas para ob-tener nuevos instrumentos que les permitan representar la

realidad. Aqu se enmarca la figura del matemtico y ar-quitectoLuca Pacioli, deLeonardo da Vinci, deAlbertoDurero, deLeone Battista Alberti, dePiero della Fran-cesca, por citar slo algunos. Todos ellos, al descubrirla perspectiva y la seccin, crean la necesidad de sentarlas bases formales en la que cimentar las nuevas formasde Geometra que sta implica: la Geometra proyecti-va, cuyos principios fundamentales aparecen de la manodeDesarguesen el siglo XVII. Esta nueva geometra deDesargues fue estudiada ampliamante ya por Pascal oporde la Hire, pero debido al inters suscitado por la Geo-metra Cartesiana y sus mtodos, no alcanz tanta difu-sin como mereca hasta la llegada a principios del siglo

XIX deGaspard Mongeen primer lugar y sobre todo dePoncelet.

0.5 La Geometra Cartesiana

Pero es sin duda la aparicin de lageometra analticaloque marca la Geometra en laEdad Moderna.Descartespropone un nuevo mtodo de resolver problemas geom-tricos, y por extensin, de investigar en geometra.

El nuevo mtodo analiza la geometra utilizando ecua-ciones algebraicas. Se cambia laregla y compsclsicos

por expresiones numricas que se pueden representar me-diantecoordenadas cartesianas. Utilizando notacin ac-tual, dicho mtodo se expresa as:

Ren Descartes.

En un plano se trazan dos rectas perpendiculares (ejes) que por convenio se trazan de manera que una de ellas seahorizontal y la otra vertical, y cada punto del plano que-da unvocamente determinado por las distancias de dichopunto a cada uno de los ejes, siempre y cuando se d tam-

bin un criterio para determinar sobre qusemiplanode-terminado por cada una de las rectas hay que tomar esadistancia, criterio que viene dado por un signo. Ese parde nmeros, lascoordenadas, quedar representado porun par ordenado (x, y), siendo x la distancia a uno delos ejes (por convenio ser la distancia al eje vertical) e yla distancia al otro eje (al horizontal).

En la coordenada x , el signo positivo (que suele omitirse)significa que la distancia se toma hacia la derecha del ejevertical (eje de ordenadas), y el signo negativo (nunca seomite) indica que la distancia se toma hacia la izquierda.Para la coordenaday, el signo positivo (tambin se suele

omitir) indica que la distancia se toma hacia arriba deleje horizontal (eje de abscisas), tomndose hacia abajosi el signo es negativo (tampoco se omite nunca en estecaso). A la coordenada x se la suele denominarabscisadel punto, mientras que a la y se la denominaordenadadel punto.

Existe una cierta controversia (aun hoy) sobre la verda-dera paternidad de este mtodo. Lo nico cierto es quese publica por primera vez como Geometra Analtica,apndice al "Discurso del Mtodo", de Descartes, si biense sabe quePierre de Fermatconoca y utilizaba el mto-do antes de su publicacin por Descartes. AunqueOmar

Khayyamya en el siglo XI utilizara un mtodo muy pare-cido para determinar ciertas intersecciones entre curvas,es imposible que alguno de los citados matemticos fran-
https://es.wikipedia.org/wiki/Omar_Khayyamhttps://es.wikipedia.org/wiki/Omar_Khayyamhttps://es.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermathttps://es.wikipedia.org/wiki/Discurso_del_m%C3%A9todohttps://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadashttps://es.wikipedia.org/wiki/Semiplanohttps://es.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descarteshttps://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianashttps://es.wikipedia.org/wiki/Regla_y_comp%C3%A1shttps://es.wikipedia.org/wiki/Descarteshttps://es.wikipedia.org/wiki/Edad_Modernahttps://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Jean-Victor_Poncelethttps://es.wikipedia.org/wiki/Gaspard_Mongehttps://es.wikipedia.org/wiki/Philippe_de_la_Hirehttps://es.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascalhttps://es.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9rard_Desargueshttps://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_proyectivahttps://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_proyectivahttps://es.wikipedia.org/wiki/Piero_della_Francescahttps://es.wikipedia.org/wiki/Piero_della_Francescahttps://es.wikipedia.org/wiki/Leone_Battista_Albertihttps://es.wikipedia.org/wiki/Alberto_Durerohttps://es.wikipedia.org/wiki/Alberto_Durerohttps://es.wikipedia.org/wiki/Leonardo_da_Vincihttps://es.wikipedia.org/wiki/Luca_Paciolihttps://es.wikipedia.org/wiki/Renacimientohttps://es.wikipedia.org/wiki/Quadriviumhttps://es.wikipedia.org/wiki/Artes_liberaleshttps://es.wikipedia.org/wiki/Astrolog%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Astronom%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Cerohttps://es.wikipedia.org/wiki/Notaci%C3%B3n_posicionalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Notaci%C3%B3n_posicionalhttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebrahttps://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/David_Humehttps://es.wikipedia.org/wiki/Anax%C3%A1goras


5/13

0.6 Los nuevos mtodos 5

3 2 1 1 2 3

3

2

1

3

2

1

(3,1)

(1.5,2.5)

(2,3)

(0,0) x

y

Ejes coordenados.

ceses tuviera acceso a su obra.

Lo novedoso de la Geometra Analtica (como tambin seconoce a este mtodo) es que permite representar figurasgeomtricas mediante frmulas del tipo f(x, y) = 0,dondefrepresenta unafuncin. En particular, las rectaspueden expresarse comoecuaciones polinmicasde gra-do 1 (v.g.:2x+ 6y = 0) y las circunferencias y el restode cnicas como ecuaciones polinmicasde grado 2 (v.g.:la circunferencia x2 +y2 = 4, la hiprbola xy = 1).Esto converta toda la Geometra griega en el estudio delas relaciones que existen entre polinomios de grados 1y 2. Desde un punto de vista formal (aunque ellos aunlo saban), los gemetras de esta poca han encontradouna relacin fundamental entre la estructura lgica queusaban los gemetras griegos (el plano, la regla, el com-ps...) y laestructura algebraicadelidealformado por lospolinomiosde grados 0, 1 y 2 delAnillo de polinomiosR[x, y], resultando que ambas estructuras son equivalen-tes. Este hecho fundamental (no visto con nitidez hasta eldesarrollo dellgebra Modernay de laLgica Matem-ticaentre finales del siglo XIX y principios del siglo XX)

resulta fundamental para entender por qu la Geometrade los griegos puede desprenderse de sus axiomasy es-tudiarse directamente usando laaxiomtica de Zermelo-Fraenkel, como el resto de la Matemtica.

El mtodo original de Descartes no es exactamente el quese acaba de explicar. Descartes utiliza solamente el eje deabscisas, calculando el valor de la segunda componentedel punto(x, y)mediante la ecuacin de la curva, dndo-le valores a la magnitudx. Por otro lado, Descartes sloconsidera valores positivos de las cantidades xey, dadoque en la poca aun resultaban sospechosos los nme-ros negativos. Como consecuencia, en sus estudios exis-

ten ciertas anomalas y aparecen curvas sesgadas. Con eltiempo se aceptaron las modificaciones que muestran elmtodo tal y como lo conocemos hoy en da.

0.6 Los nuevos mtodos

0.6.1 Agotamiento del mtodo sinttico

La aparicin de la Geometra Analtica trae consigo unanueva forma de entender la Geometra. El nuevo mtodo,

algebraico, sustituye al antiguo, el sinttico, consistenteen establecer unos axiomas y unas definiciones y dedu-cir de ellos los teoremas. El mtodo sinttico est a estasalturas casi agotado (aunque aun dar algunos resultadosinteresantes, como lacaracterstica de Euler, la natura-leza de estos resultados no es ya tanto geomtrica comotopolgica, y los resultados realmente importantes que sehagan en adelante en el campo de la Geometra ya ven-drn de la mano de mtodos algebraicos o diferenciales),da paso al mtodo algebraico: estudio de los objetos geo-mtricos como representaciones en el espacio de ciertasecuaciones polinmicas, o dicho de otro modo, del con-

junto deracesde polinomios. El mtodo sinttico slovolver a abordarse cuando aparezcan las geometras noeucldeas, y definitivamente deja de ser un instrumento deinvestigacin geomtrica a principios del siglo XX, que-dando relegado a un conjunto de instrumentos y herra-mientas para la resolucin de problemas, pero ya comouna disciplina cerrada.

0.6.2 Los lmites del mtodo algebraico

El mtodo algebraico se ve posibilitado por un avance enlgebra hecho durante el siglo XVI, la resolucin de las

ecuaciones de grado 3 y 4. Esto permite generalizar laGeometra, al estudiar curvas que no son dadas por po-linomios de segundo grado, y que no pueden construirseconregla y comps-adems de las cnicas, excluyendo ala circunferencia, claro-. Pero este mtodo, que termina-r constituyendo una disciplina propia, laGeometra Al-gebraica, tardar aun mucho -siglo XX- en salir de unaspocas nociones iniciales, prcticamente inalteradas desdeDescartes, Fermat yNewton. La razn ser la imposibili-dad de resolver por radicales la ecuacin de quinto grado,hecho no descubierto hasta el siglo XIX, y el desarrollode laTeora de Anillosy dellgebra Conmutativa.

0.6.3 El Clculo Infinitesimal

El mtodo algebraico tiene otra generalizacin natural,que es la de considerar una curva no solo como una ecua-cin polinmica, sino como una ecuacin f(x, y) = 0en la que el polinomio es ahora sustituido por una fun-cin cualquiera f . La generalizacin de todo esto desde elplano (2 coordenadas) al estereoespacio (3 coordenadas)se hace de forma natural aadiendo un tercer eje perpen-dicular (eje z) a los dos ya considerados, y las funcionestomarn la formaf(x, y, z).

YaIsaac Barrowdescubre gracias a la Geometra Ana-ltica la relacin entre la tangente a una curva y el reaque encierra entre dos puntos y los ejes coordenados en
https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Barrowhttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_conmutativahttps://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newtonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_algebraicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_algebraicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Regla_y_comp%C3%A1shttps://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Caracter%C3%ADstica_de_Eulerhttps://es.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Zermelo-Fraenkelhttps://es.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Zermelo-Fraenkelhttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_formalhttps://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_abstractahttps://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_de_polinomioshttps://es.wikipedia.org/wiki/Polinomiohttps://es.wikipedia.org/wiki/Idealhttps://es.wikipedia.org/wiki/Estructura_(teor%C3%ADa_de_las_categor%C3%ADas)https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_Anal%C3%ADtica


6/13

6 1 LA GEOMETRA EN LA EDAD CONTEMPORNEA

su famosaRegla de Barrow, antes incluso de que Newtony Leibnitz dieran cada uno su exposicin delClculo In-finitesimal. La relacin entre elAnlisis Matemticoy laGeometraes as estrechsima desde incluso los orgenesde aqul. Las ideas geomtricas no slo fueron la base delos instrumentos iniciales del Clculo Infinitesimal, sino

que fueron en gran medida su inspiracin. Por eso resultanatural que en un primer momento, Descartes, Newton olosBernoullino distinguieran entre los conceptos de cur-va y de funcin de una variable (o si se quiere, de curvay los ceros de una funcin de dos variables). Fue Eulerel primero en empezar a intuir la diferencia, y el primerotambin en ampliar este tipo de estudios a las superficies(como funcin de dos variables o como el conjunto delos ceros de una funcin de tres variables). El trabajo deMonge contina por esta lnea.

En adelante, y hasta la aparicin deGauss, la Geome-tra queda supeditada a sus aplicaciones enMecnicay

otras ramas de laFsicapor medio de la resolucin deEcuaciones Diferenciales. Se estudia en especial la in-terpretacin geomtrica de las ecuaciones diferenciales(tanto de la solucin en s como problemas asociados aellas, como puede ser el de las curvas ortogonales). Enesta poca aparece el que ser el caballo de batalla de laGeometra Diferencial: elTeorema de la Funcin Impl-cita.

FueHuygensel primero en estudiar lacurvaturade unacurva plana, aunque parece que fueClairautel que usacon maestra y fija el concepto.

1 La Geometra en la Edad Con-

tempornea

1.1 Carl Friedrich Gauss

Gaussdevuelve el carcter geomtrico que impregna par-te del anlisis matemtico, fundamentalmente con doscontribuciones: el nacimiento delanlisis complejoy delageometra diferencial.

Pero no son las nicas contribuciones de ste genio alcampo de la geometra. En su adolescencia se vio dividi-do entre dedicarse a lafilologao a lamatemtica. A los17 descubri la manera deconstruir el polgonoregularde 17 lados, y la condicin necesaria y suficiente para queun polgono regular pueda construirse. Esto determin suvocacin.

En su primera demostracin delteorema fundamental dellgebra(de las cinco que realiz a lo largo de su carrera)sent las bases del anlisis devariable compleja, usandola interpretacin geomtrica de los nmeros complejoscomo vectores fijos del plano (no en este lenguaje, que

ser introducido mucho ms tarde). Por cierto, se atribu-ye a Gauss la paternidad de esta idea. PrimeroWesselyluegoArgandse le anticiparon, pero nadie conoca los es-

Carl Friedrich Gauss.

tudios de ambos. Aunque no es propiamente obra suya,pues elanlisis complejoest desarrollada fundamental-mente porCauchy, s es el primero en abordarla seria-mente, y sobre todo le da una interpretacin geomtrica

que marcar el desarrollo de esta rama.Pero la principal contribucin de Gauss a la geometraes la creacin de lageometra diferencial, retomando lasideas que sobre las relaciones entre el anlisis matemti-co y la geometra haba hasta entonces y desarrollndolasampliamente.

Partiendo de la base de que la geometra estudia el espa-cio, lascurvasy lassuperficies, establece la nocin fun-damental decurvaturade una superficie. Gracias a ella,y a la definicin degeodsica, demuestra que si consi-deramos que una geodsica es una curva con menor dis-tancia entre dos puntos sobre una superficie (es decir, si

tenemos dos puntos sobre una superficie, el camino mscorto entre esos dos puntos sin salirnos de la superficie esun segmento de geodsica), concepto totalmente anlogosobre la superficie al de recta en el plano, existen superfi-cies en las que los tringulos formados por las geodsicasmiden ms de la medida de dos ngulos rectos, y otras enlas que mide menos. Esto, esencialmente, es contradecirelV postulado de Euclides.

Estas consideraciones llevaron a Gauss a considerar la po-sibilidad de creargeometras no eucldeas, pero aunquea esas alturas ya era el matemtico ms prestigioso deEuropa, consider que la mentalidad de la poca no esta-

ba preparada para un resultado de tal magnitud, y nuncapublic esos resultados. Slo vieron la luz cuandoBolyaipublic su geometra no eucldea, y comprob que la co-
https://es.wikipedia.org/wiki/J%C3%A1nos_Bolyaihttps://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADas_no_eucl%C3%ADdeashttps://es.wikipedia.org/wiki/V_postulado_de_Euclideshttps://es.wikipedia.org/wiki/Geod%C3%A9sicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Curvaturahttps://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Curvahttps://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Cauchyhttps://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_complejohttps://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gausshttps://es.wikipedia.org/wiki/Jean-Robert_Argandhttps://es.wikipedia.org/wiki/Caspar_Wesselhttps://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_complejohttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_%C3%A1lgebrahttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_%C3%A1lgebrahttps://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono_construiblehttps://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Filolog%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencialhttps://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_complejohttps://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttps://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gausshttps://es.wikipedia.org/wiki/Alexis_Clairaulthttps://es.wikipedia.org/wiki/Curvaturahttps://es.wikipedia.org/wiki/Huygenshttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_la_Funci%C3%B3n_Impl%C3%ADcitahttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_la_Funci%C3%B3n_Impl%C3%ADcitahttps://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_Diferencialeshttps://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Gausshttps://es.wikipedia.org/wiki/Eulerhttps://es.wikipedia.org/wiki/Bernoullihttps://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_Matem%C3%A1ticohttps://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimalhttps://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Barrow


7/13

1.2 El final de los grandes problemas de la antigedad 7

munidad cientfica general aceptaba el resultado.

As que, por un lado, Gauss fue el primero en crear unageometra no eucldea, y por otro fue el creador de la geo-metra diferencial y precursor de la variable compleja.

Adems, Gauss es el primero en considerar una nueva

propiedad en la geometra: la orientacin.

1.2 El final de los grandes problemas de la

antigedad

1.2.1 La controversia sobre el V postulado

Jnos Bolyai.

Como ya se ha adelantado, Gauss es el primero en cons-truir una geometra (un modelo del espacio) en el que nose cumple el V postulado de Euclides, pero no publica sudescubrimiento. Son Bolyai yLobatchevskyquienes, de

manera independiente y simultneamente publican cadauno una geometra distinta en la que no se verifica tam-poco el V postulado.

Qu quiere decir esto? Tanto Bolyai como Lobatchevskyparten de un objeto geomtrico y establecen sobre l unospostulados que son idnticos a los de Euclides en Los Ele-mentos, excepto el quinto. Pretenden originalmente razo-nar por reduccin al absurdo: si el V postulado dependede los otros cuatro, cuando lo sustituya por aqul que di-ce exactamente lo contrario, he de llegar a alguna con-tradiccin lgica. Lo sorprendente es que no se llega acontradiccin ninguna, lo cual quiere decir dos cosas:

1 El V postulado es independiente de los otros cuatro,es decir, no puede deducirse de los otros cuatro, no es unteorema, y Euclides hizo bien en considerarlo como un

Nikolai Ivanovich Lobatchevsky.

postulado.2 Existen modelos del espacio en los que, en contra detoda intuicin, por un punto que no est en una ciertarecta no pasa una nica recta paralela a la dada. Esto estremendamente antiintuitivo, pues no podemos concebirtal cosa, no podemos imaginar (ni mucho menos dibu-jar) una situacin as, sin reinterpretar los conceptos derecta, plano, etc. Pero desde el punto de vista lgico esperfectamente vlido.

Como es de imaginar, esto supuso una fuerte crisis enla Matemtica del siglo XIX, que vino a sumarse a otrascontroversias.

Es importante sealar que las geometras de Bolyai y deLobatchevsky, no depende de si se construyen usandomtodos analticos o sintticos. Existen formas de cons-truirlas tanto de manera sinttica como analtica. El mo-delo es el mismo se llegue como se llegue, lo que abundaen su veracidad.

1.2.2 La triseccin del ngulo y la duplicacin del

cubo

Un hecho aparentemente lejano en lgebra dar como re-

sultado la resolucin de estos dos problemas.Galois mue-re a los 21 aos de edad dejando un testamento lleno deideas apresuradamente escritas. Entre ellas se encuentran
https://es.wikipedia.org/wiki/Galoishttps://es.wikipedia.org/wiki/Nikolai_Ivanovich_Lobachevskyhttps://es.wikipedia.org/wiki/Nikolai_Ivanovich_Lobachevskyhttps://es.wikipedia.org/wiki/J%C3%A1nos_Bolyai


8/13

8 2 GEOMETRA INTRNSECA

las bases de laTeora de Gruposy de laTeora de Galois.Galois resolvi el problema de encontrar una frmula pa-ra solucionar las ecuaciones de 5 grado, pero este resul-tado no lleg a ser publicado en (su corta) vida. Concluyque una ecuacin de grado 5 o mayor no puede ser reso-luble por radicales (es decir, mediante una frmula con

un nmero finito de operaciones algebraicas). Su manerade abordar el problema abre una nueva va dentro de laMatemtica.

Pero la Teora de Galois (una rama del lgebra que tratasobre cundo es posible resolver una ecuacin polinmicaestudiando el conjunto de nmeros en los que se expresaesa ecuacin) no da slo esos frutos. Tambin demues-tra que todo lo construible con regla y comps tiene unatraduccin a polinomios muy concreta. Se demuestra quetrisecar un ngulo o duplicar un cubo necesita de polino-mios que no tienen esa forma, y por lo tanto, es imposiblecon la sola ayuda de la regla y el comps trisecar un n-

gulo cualquiera o duplicar un cubo.

1.2.3 La cuadratura del crculo

En1862, Lindemann demuestra que el nmero es tras-cendente, es decir, no puede ser raz de ningn polino-mio con coeficientes enteros. Esto implica que no es unnmero que pueda construirsecon regla y comps, y de-muestra que no es posible construir con slo estos instru-mentos un cuadrado de rea igual a la de un crculo dado.

2 Geometra intrnseca

Resulta complicado establecer una fecha precisa en la quelos gemetras comenzaron a interesarse por cuestiones degeometra intrnseca. La matemtica griega plante losproblemas geomtricos haciendo referencia a las propie-dades mtricas de un conjunto de puntos definidos y lo-calizados en el planoyen el espacio. La perspectiva era,por tanto, extrnseca.

Tradicionalmente, se le atribuye aEulerel descubrimien-to en 1752 de una propiedad de lospoliedrosconvexos.[3]

LlamandoS,AyFal nmero de vrtices, aristas y caras,Euler demostr la relacin de igualdadS-A+F=2, cono-cida hoy comocaracterstica de Euler. El resultado erasorprendente porque no haca intervenir ni la longitud niel rea.

En1813 Simon Antoine Jean L'Huillierse dio cuenta deque la frmula de Euler se modificaba para un poliedrono convexo, con la forma, por ejemplo, de un slido conagujeros (como eltoro:S-A+F=2-2g, siendogel nmerode agujeros).[4] ste es el primer clculo de uninvariantetopolgico que permit clasificar las superficies del espa-cio. No obstante, la perspectiva continuaba siendo extrn-

seca, pues los agujeros se ven desde el exterior. Cmo,por ejemplo, una hormiga que anduviese por una habita-cin sin techo podra representarse el agujero?

Carl Friedrich Gauss, interesado por la geometra de lassuperficies, estableci un resultado sin precedentes: elteorema egregium: lacurvatura de Gaussde una super-ficie del espacio no depende del modo en el que sta seinserta en el espacio ambiente.[5]"

Lafrmula de Gauss-Bonnet, presentida por Gauss y de-mostrada porPierre-Ossian Bonneten 1848, expresar lacaracterstica de Euler en trminos de curvatura, eviden-ciando la imbricacin entre las consideraciones geom-tricas y topolgicas.

2.1 Nuevos espacios con extraas propie-

dades

Lageometra no euclidiananace de la imposibilidad dedemostrar elquinto postulado de Euclides. El primer in-tento de demostrarlo por reduccin al absurdo fue ensa-

yado porSaccherien 1733.[6] Gaussfue el primero encomprender la posibilidad de que existiesen geometrasalternativas a la eucldea.[7] Estas geometras seran desa-rrolladas porLobatchevskyyBolyai.

Lacinta de Mbius, introducida casi simultneamente en1858por dos matemticos alemanes August FerdinandMbiusyJohann Benedict Listingfue el primer ejemplode superficie no orientable.

2.2 Riemann

Bernhard Riemann.

El 10 de junio de1854, BernhardRiemannda una con-ferencia en la Universidad deGotingapara completar su

habilitacin (grado que le permitira optar a una plaza decatedrtico). El tema de la conferencia fue la Geometra,a eleccin de Gauss, su protector y antiguo profesor du-
https://es.wikipedia.org/wiki/Gotingahttps://es.wikipedia.org/wiki/Riemannhttps://es.wikipedia.org/wiki/1854https://es.wikipedia.org/wiki/Johann_Benedict_Listinghttps://es.wikipedia.org/wiki/August_Ferdinand_M%C3%B6biushttps://es.wikipedia.org/wiki/August_Ferdinand_M%C3%B6biushttps://es.wikipedia.org/wiki/1858https://es.wikipedia.org/wiki/Cinta_de_M%C3%B6biushttps://es.wikipedia.org/wiki/J%C3%A1nos_Bolyaihttps://es.wikipedia.org/wiki/Nikolai_Ivanovich_Lobachevskihttps://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gausshttps://es.wikipedia.org/wiki/1733https://es.wikipedia.org/wiki/Giovanni_Gerolamo_Saccherihttps://es.wikipedia.org/wiki/Quinto_postulado_de_Euclideshttps://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_no_euclidianahttps://es.wikipedia.org/wiki/Pierre-Ossian_Bonnethttps://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_Gauss-Bonnethttps://es.wikipedia.org/wiki/Curvatura_de_Gausshttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_egregiumhttps://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gausshttps://es.wikipedia.org/wiki/Invariantehttps://es.wikipedia.org/wiki/Toro_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Simon_Antoine_Jean_L%2527Huillierhttps://es.wikipedia.org/wiki/1813https://es.wikipedia.org/wiki/Caracter%C3%ADstica_de_Eulerhttps://es.wikipedia.org/wiki/Poliedrohttps://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Eulerhttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_construiblehttps://es.wikipedia.org/wiki/1862https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_Galoishttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_grupos


9/13

2.2 Riemann 9

rante la licenciatura y el doctorado. La conferencia, cuyottulo fueber die Hypothesen, Welche der Geometrie zuGrunde liegen(Sobre las hiptesis que estn en los fun-damentos de la geometra), pasa por ser una de las mscelebradas de la historia de la Matemtica, y uno de losmayores logros cientficos de la humanidad. De entre los

presentes se dice que slo Gauss fue capaz de compren-der su contenido, y hay que decir que le entusiasm.

2.2.1 Variedades riemannianas y el tensor curvatu-

ra

En la primera parte de la conferencia, Riemann se pre-gunta qu problema hay en aumentar el nmero dedimensionesdel espacio. Riemann, usando aun un len-guaje intuitivo y sin hacer demostraciones, introduceprimero el concepto devariedad diferenciable, genera-

lizacin del concepto de superficiea cualquier nmero(entero positivo) arbitrario de dimensiones. De hecho, elnombrevariedadhace referencia a las varias coordena-das que variaran para ir obteniendo los puntos del ob-jeto. Las superficies seran las variedades de dimensin2, mientras que las curvas seran las variedades de di-mensin 1, y aun los puntos las de dimensin 0. De to-das formas, esta aproximacin al concepto es demasia-do imprecisa, pues el punto clave de la definicin formalde una variedad diferenciable (definicin no expuesta co-rrectamente hasta 1913 porHermann Weyl) es que estoes cierto localmente, es decir, cada punto de la variedadtiene algnentorno homeomorfoa un abierto delespacio

eucldeo Rn

, de manera que cuando el inverso de unode estos homeomorfismos se compone con otro de estoshomeomorfismo se obtiene unafuncin diferenciabledeunabiertode Rn en otro abierto de Rn . Pero como de-cimos hicieron falta casi 60 aos para que la definicinterminara de cuajar.

No era la primera vez que se especulaba con la posibili-dad de la existencia de espacios de dimensin superior a3. De hecho este tema ha sido tratado en la Historia envarias ocasiones, pero siempre desde un punto de vista dela realidad sensible (para negar su existencia) o metafsi-co. EsCayleyquien en 1843 trata explcitamente el tema

por primera vez, y volver a l nuevamente en repetidasocasiones. Le seguirnSylvester,Clifford,GrassmannySchlflientre otros, aunque hay que decir que la visin detodos ellos es mucho ms algebraica que geomtrica.

Es probable que el estudio de lassuperficies de Riemann,objetos a cuyo estudio haba dedicado su tesis doctoral,indujeran a Riemann a pensar en este concepto de varie-dad de dimensin arbitraria.

Si tomamos unos ejes coordenados y dibujamos todos lospuntos(x, f(x)), donde x vara en unintervaloy fesuna funcin real, derivable y definida sobre ese mismo

intervalo, obtendremos la curva (dimensin 1) dada porla grfica de una funcin.

Si en lugar de ser una funcin de una variable tenemos

una funcin de dos variablesf(x, y), al dibujar todos lospuntos(x, y, f (x, y)), donde (x, y)son de una regindel plano donde est definida f , obtenemos una superfi-cie (dimensin 2). Riemann estudia funciones complejasde variable compleja, es decir, funciones cuya grfica ten-dra por puntos cosas de la forma(x, y, u(x, y), v(x, y))

, siendo tanto u(x, y)comov(x, y)funciones reales (esdecir, cada uno representa un nmero real). Las grficasde este tipo de funciones tendran dimensin 2, es decir,seran superficies, pero estaran en un espacio de 4 di-mensiones.

Unavariedad riemannianano es slo un objeto geom-trico n-dimensional. Es una variedad diferencial a la queadems hay que dotar de unamtrica. Unamtricaes uncampo de tensores diferenciable de grado 2. Veamos:en cada punto de una variedad diferencial se puede calcu-lar elespacio tangentea la variedad en ese punto, al igualque en una superficie (suave), en cada punto podemos cal-

cular elplano tangenteen ese punto a la superficie, y enunacurva suavepodemos calcular en cada punto larectatangentea la curva en dicho punto.

Ese espacio tangente tendr la misma dimensin que lavariedad (en el caso de curvas, el espacio tangente -larecta tangente- tiene dimensin 1, en el de superficiestiene dimensin 2). Una mtrica (oestructura rieman-niana) sobre una variedad es unaaplicacinque a cadapunto de la variedad le asigna unproducto escalaren elespacio tangente a la variedad en ese punto, y esa aplica-cin esdiferenciable. Un producto escalar es, para enten-dernos, una regla que nos permite calcular longitudes de

segmentos y ngulos entre rectas. A travs de una mtri-ca, se pueden definir sobre una variedad conceptos comolongitud de una curvao elngulo entre dos curvas, gene-ralizar a variedades el concepto de geodsica, ya utilizadopor Gauss para superficies, que viene a ser (ojo, esto esuna explicacin de cmo es una geodsica, no es una de-finicin) una curva dibujada sobre una superficie (o ennuestro caso sobre una variedad) de tal forma que entredos de sus puntos minimice la distancia medida sobre lasuperficie (variedad). Por ejemplo, si tenemos un globo ymarcamos dos puntos sobre l, la distancia ms corta secalcular, como sabemos, por la medida del segmento de

recta queatraviesa el globo por ambos puntos. Sin embar-go, si lo que pretendemos es buscar el camino ms cortopara llegar de un punto a otro sin salirnos de la superfi-cie del globo, tendremos que dibujar sobre l una curvaque una los puntos y se combe por la propia curvaturadel globo. Esa curva sera un segmento de geodsica enla superficie del globo.

El punto culminante de la primera parte de la conferencialleg cuando Riemann,utilizando las geodsicas,define el[[curvatura seccional|tensor curvatura seccional], que esla generalizacin a variedades del concepto de curvaturaestudiado por Gauss. Este instrumento permite medir la

curvatura de una variedad.
https://es.wikipedia.org/wiki/Geod%C3%A9sicahttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo_entre_dos_curvashttps://es.wikipedia.org/wiki/Longitud_de_arcohttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_diferenciablehttps://es.wikipedia.org/wiki/Producto_escalarhttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Recta_tangentehttps://es.wikipedia.org/wiki/Recta_tangentehttps://es.wikipedia.org/wiki/Curva_suavehttps://es.wikipedia.org/wiki/Plano_tangentehttps://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_tangentehttps://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_m%C3%A9tricohttps://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_riemannianahttps://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_de_Riemannhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Schl%C3%A4flihttps://es.wikipedia.org/wiki/Hermann_Grassmannhttps://es.wikipedia.org/wiki/William_Kingdon_Cliffordhttps://es.wikipedia.org/wiki/Sylvesterhttps://es.wikipedia.org/wiki/Arthur_Cayleyhttps://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_topol%C3%B3gicohttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_diferenciablehttps://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_eucl%C3%ADdeohttps://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_eucl%C3%ADdeohttps://es.wikipedia.org/wiki/Homeomorfismohttps://es.wikipedia.org/wiki/Entorno_(topolog%C3%ADa)https://es.wikipedia.org/wiki/Hermann_Weylhttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_enteroshttps://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_diferenciablehttps://es.wikipedia.org/wiki/Dimensi%C3%B3n


10/13

10 2 GEOMETRA INTRNSECA

2.2.2 El modelo delUniverso

En la segunda parte de la conferencia, Riemann se pre-gunta por el modelo que debe de seguir el espacio fsico,el espacio en el que nos movemos, cul es su dimensin,cul es su geometra.

Las ideas de Riemann, decididamente muy avanzadas pa-ra su poca, cuajaron definitivamente cuandoEinsteinyPoincar, al mismo tiempo pero de manera independien-te, las aplicaron al espacio fsico para crear laTeora dela Relatividad.

El nuevo modo de Riemann de estudiar la Geometra con-sidera que cualquier modelo de espacio (ya sea el plano, elespacio tridimensional, o cualquiera otro) puede ser estu-diado como una variedad diferenciable, y que al introdu-cir en ella una mtrica se est determinando la geometraque gobierna ese objeto. Por ejemplo, el plano no es, por

s solo, euclidiano ni no euclidiano, sino que introducien-do lamtrica eucldeaes cuando en el plano verifica elV postulado de Euclides. Si en lugar de considerar esamtrica se introduce en el plano otra mtrica, como la deLobatchevsky, deja de verificarse el mismo postulado. Lapropiedad de las geodsicas de minimizar la longitud en-tre dos de sus puntos sin salirse de la variedad recuerdamucho a la definicin de las rectas como aquellas lneasque determinan la menor distancia entre dos puntos. Seconsidera que las geodsicas son a las variedades rieman-nianas lo que las rectas al espacio euclidiano, es decir, lasgeodsicas son comolas rectasde las variedades.

Esta nueva visin permite estudiar todas las nuevas geo-metras no eucldeas, as como la geometra euclidianabajo la misma ptica de la nuevaGeometra Riemannia-na.

Cuando las ideas de Riemann consiguen extenderse, laGeometra pasa ya definitivamente a ser el estudio de lasvariedades, dejando de ser definitivamente el estudio detringulos, circunferencias, polgonos, etc.

Los puntos bsicos de la conferencia de Riemann son,por un lado, la posibilidad de aumentar indefinidamen-te el nmero de dimensiones del espacio (el lgebra yel Anlisis estn ya creando la maquinaria necesaria para

poder operar en dimensin finita arbitraria, con lo que de-finitivamente se podr estudiar Geometra ms all de suvisualizacin grfica), es decir, de estudiar espacios de 3,4, 5...dimensiones, y por otro lado dotar a los gemetrasde un instrumento, el tensor curvatura, que les permite es-tudiar las propiedades intrnsecas de esos nuevos objetos,esos nuevos espacios, las variedades.

2.3 Klein

Felix Kleines la otra gran pieza clave de la Geometra

en el siglo XIX. En 1871 descubri que la geometra eu-clidiana y las no euclidianas pueden considerarse comocasos particulares de la geometra de una superficie pro-

Felix Klein.

yectiva con una seccin cnica adjunta. Esto implicabados cosas: la primera es que la geometra euclidiana ylas no euclidianas podan considerarse como casos par-ticulares de la geometra proyectiva (o mejor dicho, dela geometra de una superficie en un espacio proyectivo).La segunda, que la geometra euclidiana es consistente(es decir, no puede llevar a contradicciones) si y slo silo son las geometras no euclidianas.

Con esto se da fin a la controversia de si las geometras noeuclidianas tienen sentido o no, aunque el asunto colearaun unos aos ante el escepticismo de quienes considera-rn errneo el argumento de Klein.

Pero la aportacin ms importante de Klein a la Geome-tra es su famosoPrograma de Erlangen, donde da unanueva definicin de Geometra.

2.3.1 El Programa de Erlangen

Con motivo de su ingreso como profesor en la Facultadde Filosofa y al Senado de la Universidad de Erlangen,Klein escribi una memoria en 1872 (que por cierto nolleg a leer en pblico) que puede considerarse, junto a laConferencia de Riemann y a los Elementos de Euclides,como los puntos esenciales del estudio de la Geometra.

La idea de la memoria, conocida como el Programa deErlangen, es bastante sencilla. Se trata de dar una defi-nicin formal de lo que es una geometra, ms all de laidea ms o menos intuitiva que tenemos de ella.

Ante la aparicin de las nuevas geometras no euclidia-nas, parece lgico preguntarse qu es la Geometra, m-

xime cuando la propia idea de la geometra euclidiana sehaba visto modificada desde la irrupcin de los mto-dos algebraicos y analticos. Empieza a no estar tan claro
https://es.wikipedia.org/wiki/Programa_de_Erlangenhttps://es.wikipedia.org/wiki/Programa_de_Erlangenhttps://es.wikipedia.org/wiki/Programa_de_Erlangenhttps://es.wikipedia.org/wiki/Felix_Kleinhttps://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_riemannianahttps://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_riemannianahttps://es.wikipedia.org/wiki/Distancia_euclidianahttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_Relatividadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_Relatividadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincar%C3%A9https://es.wikipedia.org/wiki/Einsteinhttps://es.wikipedia.org/wiki/Universo


11/13

11

que la Geometra sea el estudio de puntos, lneas (rec-tas o curvas) y superficies, puesto que el propio AnlisisMatemtico (sobre todo en el estudio de Ecuaciones Di-ferenciales) parece que tambin estudia tales objetos. Porotra parte, los mtodos analticos y algebraicos tambinson aplicables a las geometras no euclidianas. Hay, di-

gamos, dos niveles de distinciones: por un lado, la de lasgeometras no euclidianas y la geometra euclidiana, porotro lado, la distincin entre el mtodo sinttico, el alge-braico y el analtico.

Qu es entonces la Geometra? Kleinda respuestaa esta pregunta introduciendo en la Geometra un nuevoconcepto de carcter algebraico: el concepto de grupo.Un grupo es un conjunto Gen el que hay definida unaoperacin, es decir, una aplicacinG G Gque acada par de elementos del conjunto le asigna otro elemen-to del conjunto (que ser el resultado de operar dichosdos elementos). Mientras que la mayora de la gente estfamiliarizada con las operaciones numricas, les resultadifcil imaginar que puedan operarse puntos, rectas, etc.Puede hacerse, y no hay ms que pensar en, por ejemplo,la operacin tomar el punto medio, que a cada par depuntos le asigna el punto medio del segmento que une losdos primeros puntos.

Para que un conjunto en el que haya una operacin sea ungrupo deben de cumplirse ciertas condiciones, que son:

La operacin debe ser asociativa: esto quiere decir

que si tomamos cualesquiera tres elementos a,b,cdel conjunto, el resultado de operar los dos primeros(ayb) y operar el resultado de ello con el tercero (c) debe de ser lo mismo que si primero operamos elsegundo y el tercero ( byc) y el resultado lo opera-mos con el primero ( a). Es decir, si la operacin ladenotamos porha de ocurrir quea (b c)debede ser lo mismo que(a b) c.

Debe existir un elemento neutro: esto quiere decirque ha de haber un elementoedel conjunto de ma-nera que si tomo cualquier otro elemento adel con-

junto y lo opero con l, entonces el resultado vuelvea ser el elementoa, es decir, es como si al elementoano lo hubiera operado. As, con nuestra notacin,e a = aya e= a.

Por ltimo, cada elemento debe tener un elemen-to simtrico: esto quiere decir que si yo tomo unelemento cualquieraadel conjunto, entonces puedoencontrar otro elementoadel conjunto de tal mane-ra que al operar ambos, el resultado que obtengo esel elemento neutro:a a= a a = e.

El concepto de grupo no es invencin de Klein, pero esl quien descubre un hecho fundamental que lo relacionacon las distintas geometras: cada geometra es el estudio

de ciertas propiedades que no cambian cuando se le apli-can un tipo de transformaciones. Esas propiedades, porno cambiar, las denominainvariantes, y las transforma-ciones que a un invariante no le hacen cambiar han detener estructura de grupo bajo la operacin de compo-sicin (componer dos transformaciones es hacer una de

ellas y aplicarle la otra transformacin al resultado de laprimera). Resumiendo, Klein define soterradamente unageometra como dar el subgrupo de las biyecciones de unconjunto en s mismo que uno admitir comogrupo prin-cipal. Los conceptoso definicionessern los invariantespor ese grupo principal, y losteoremassern las relacio-nes entre los conceptos.

As Klein descubre que, por ejemplo, la geometra eucli-diana es el estudio de los invariantes mediante el grupode los movimientos rgidos (como las simetras, giros ytraslaciones), que la geometra afn es el estudio de losinvariantes mediante el grupo de las translaciones, que

la geometra proyectiva es el estudio de los invariantesmediante el grupo de las proyectividades, e incluso quela Topologa es el estudio de los invariantes mediante elgrupo de las funciones continuas y de inversa continua,entre otras.

De hecho, Klein afirma que la comprensin de tener unageometra, entonces hay ungrupo principal" es ms bienal revs. Uno a priori dice qu tipo de transformacionesadmitir (es decir, da el grupo) y todo lo dems se puedereconstruir a partir de l. Se demuestra incluso, que si unoda un subgrupo de las biyecciones de un conjunto en smismo isomorfo a algn grupo clsico (simetras, transla-

ciones, proyectividades) entonces todos los teoremas deesa geometra son vlidos en este.

El descubrimiento de Klein es fundamental, ya que porun lado nos permite clasificar las geometras, compren-diendo cul es una subgeometra de cual, por otro ladonos permite comprender qu es el estudio general de laGeometra (como disciplina matemtica) y por ltimo,pero no menos importante, es la confirmacin de que losmtodos sinttico y algebraico no dan geometras distin-tas, sino que realmente estudian la misma geometra encada caso. Se pone fin as a la distincin entre el mtodosinttico y el algebraico-analtico. En su poca supuso la

consagracin de laGeometra proyectivacomo laReinade las Geometras.

3 Referencias

[1] Indro Montanelli,Historia de los griegos.

[2] Herodoto, Losnuevelibros de la Historia, Libro I, LXXIV.

[3] Otros atribuyen la paternidad del descubrimiento aDescartes. Cfr. M. De Jonquires,Note sur un Mmoirede Descartes longtemps indit, et sur les titres de son auteur

la priorit d'une dcouverte dans la thorie des polydre,Acadmie des sciences (France). Comptes rendus hebdo-madaires des sances de l'Acadmie des sciences. 1835.
https://es.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descarteshttps://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_proyectivahttps://es.wikipedia.org/wiki/Invariantehttps://es.wikipedia.org/wiki/Operaci%C3%B3n_binariahttps://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Felix_Klein


12/13

12 5 VASE TAMBIN

1890 (T. 110). p261-266

[4] S.A.J. L' Huillier,Mmoire sur la polydromtrie, conte-nant une dmonstration directe du thorme d'Euler sur les

polydres et un examen des diverses exceptions auxquellesce thorme est assujetti, annales de mathmatiques pureset appliques, 1812-13

[5] C.F. Gauss, Disquisitiones generales circa superficies cur-vas, 1827

[6] Saccheri,Euclides ab omni naevo vindicatus, 1733

[7] Vase O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F.,Biografa de Johann Carl Friedrich Gauss (en ingls),MacTutor History of Mathematics archive, Universidadde Saint Andrews, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Gauss.html.

4 Enlaces externos

Wikcionariotiene definiciones y otra informa-cin sobregeometra.Wikcionario

Historia de la Geometra Griega

5 Vase tambin

Historia de la gnomnica
https://es.wikipedia.org/wiki/Historia_de_la_gnom%C3%B3nicahttp://www.gobiernodecanarias.org/educacion/3/Usrn/fundoro/web_fcohc/005_publicaciones/seminario/geometria.htmhttps://es.wiktionary.org/wiki/:geometr%C3%ADahttps://es.wiktionary.org/wiki/:geometr%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Wikcionariohttp://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Gauss.htmlhttp://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Gauss.htmlhttps://es.wikipedia.org/wiki/Universidad_de_Saint_Andrewshttps://es.wikipedia.org/wiki/Universidad_de_Saint_Andrewshttps://es.wikipedia.org/wiki/MacTutor_History_of_Mathematics_archivehttp://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Gauss.htmlhttps://es.wikipedia.org/wiki/Giovanni_Gerolamo_Saccherihttps://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gausshttps://es.wikipedia.org/wiki/Simon_Antoine_Jean_L%2527Huillier


13/13

13

6 Text and image sources, contributors, and licenses

6.1 Text

Historia de la geometraFuente:http://es.wikipedia.org/wiki/Historia%20de%20la%20geometr%C3%ADa?oldid=81475157Colabora-dores:Pino, Vivero, Rsg, Schummy, Loco085, Caos, Digigalos, Petronas, Airunp, Magister Mathematicae, Platonides, Alhen, Akhram,Yrbot, Varano, Vitamine, .Sergio, Wewe, No s qu nick poner, Heliocrono, Banfield, McPolu, Monta990, BludgerPan, Er Komandante,Ging Freecs, Tamorlan, BOTpolicia, CEM-bot, Laura Fiorucci, JMCC1, Mister, Iqmann, Gafotas, Dorieo, R2D2Art2005, Tortillovsky,IrwinSantos, Tonis, Jurgens~eswiki, Osiris fancy, CommonsDelinker, Alephcero~eswiki, Humberto, Netito777, Xsm34, Nioger, Plux,Rovnet, Macalla, Carlagrandon, Jtico, Technopat, Libertad y Saber, Matdrodes, BlackBeast, AlleborgoBot, Muro Bot, Bucho, Mushii,Greek, El bot de la dieta, Tirithel, Jarisleif, HUB, Nicop, DragonBot, Addicted04, Eduardosalg, Leonpolanco, Charly genio, Alecs.bot, Pe-truss, YourEyesOnly, Juan Mayordomo, Rge, Raulshc, UA31, AVBOT, David0811, J.delanoy, NicolasAlejandro, Diegusjaimes, Arjuno3,Saloca, Andreasmperu, Luckas-bot, Xtquique, Roinpa, Vic Fede, Barteik, Almavirt, Nixn, DSisyphBot, Gsobrevilla, Ortisa, Manuelt15,Jkbw, Igna, Torrente, Botarel, AstaBOTh15, BOTirithel, Linux65, Jerowiki, Foundling, Miss Manzana, Axvolution, Allforrous, Sergio An-dres Segovia, Grillitus, ChuispastonBot, Waka Waka, Metrnomo, Lcsrns, Antonorsi, KLBot2, Acratta, Johnbot, Mega-buses, Asqueladd,Helmy oved, Engoca, Mmcarnicer, Alan, WBritten, Jean70000, ConnieGB, Maliutt, Jarould, Matiia, Egis57, ELTACOMASTERIZADORy Annimos: 274

6.2 Images

Archivo:AllFourConics.png Fuente:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2e/AllFourConics.pngLicencia:CC-BY-SA-

3.0 Colaboradores:?Artista original:? Archivo:Carl_Friedrich_Gauss.jpg Fuente:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9b/Carl_Friedrich_Gauss.jpgLicencia:

Public domainColaboradores:Gau-Gesellschaft Gttingen e.V. (Foto: A. Wittmann).Artista original:Gottlieb BiermannA. Wittmann (photo)

Archivo:Cartesian-coordinate-system.svg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0e/Cartesian-coordinate-system.svg Licencia: Public domain Colaboradores: Made by K. Bolino (Kbolino), based upon earlier ver-sions.Artista original:K. Bolino

Archivo:Egyptian_A'h-mos_or_Rhind_Papyrus_(1065x1330).png Fuente:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4b/Egyptian_A%27h-mos%C3%A8_or_Rhind_Papyrus_%281065x1330%29.pngLicencia:Public domainColaboradores:?Artista original:?

Archivo:Felix_Klein.jpegFuente:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e2/Felix_Klein.jpegLicencia:Public domainCo-laboradores:?Artista original:?

Archivo:Frans_Hals_-_Portret_van_Ren_Descartes.jpg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/73/Frans_Hals_-_Portret_van_Ren%C3%A9_Descartes.jpgLicencia: Public domain Colaboradores:Andr Hatala [e.a.] (1997)De eeuw van

Rembrandt, Bruxelles: Crdit communal de Belgique,ISBN 2-908388-32-4.Artista original:SegnFrans Hals(1582/15831666) Archivo:Georg_Friedrich_Bernhard_Riemann.jpeg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/82/Georg_

Friedrich_Bernhard_Riemann.jpegLicencia:Public domainColaboradores:http://www.sil.si.edu/digitalcollections/hst/scientific-identity/explore.htmaccording to theGerman Wikipedia.Artista original:?

Archivo:JanosBolyai.jpgFuente:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/JanosBolyai.jpgLicencia:Public domainCola-boradores:?Artista original:?

Archivo:Nikolay_Ivanovich_Lobachevsky.jpeg Fuente:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c5/Nikolay_Ivanovich_Lobachevsky.jpegLicencia:Public domainColaboradores:en:Image:Nikolay_Ivanovich_Lobachevsky.jpegArtista original:Desconocido

Archivo:Oxyrhynchus_papyrus_with_Euclid{}s_Elements.jpg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8d/P._Oxy._I_29.jpgLicencia:Public domainColaboradores:http://www.math.ubc.ca/~{}cass/Euclid/papyrus/tha.jpgArtista original:Euclid

Archivo:Pythagoras_proof.svg Fuente:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/84/Pythagoras_proof.svgLicencia: PublicdomainColaboradores:en:Image:Pythagorean.gifArtista original:Traced byUser:Stannered

Archivo:Secciones_Conicas.svg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c4/Secciones_Conicas.svgLicencia: CC-

BY-SA-3.0 Colaboradores:Original uploader wasWillyates.wikipediaArtista original:The original uploader wasWillyde Wikipediaen espaol

Archivo:Unibibliotek_Salzburg_Artes_liberales_Geometria.jpg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/52/Unibibliotek_Salzburg_Artes_liberales_Geometria.jpgLicencia:Public domainColaboradores:Kolorierte Federzeichnung. UnibibliothekSalzburg, M III 36Artista original:Desconocido

Archivo:Wiktionary-logo-es.pngFuente:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/06/Wiktionary-logo-es.pngLicencia:CCBY-SA 3.0 Colaboradores:originally uploaded there by author, self-made by authorArtista original:es:Usuario:Pybalo

6.3 Content license

Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_5//en.wiktionary.org/wiki/es:Usuario:Pybalohttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/06/Wiktionary-logo-es.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/52/Unibibliotek_Salzburg_Artes_liberales_Geometria.jpghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/52/Unibibliotek_Salzburg_Artes_liberales_Geometria.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/.pdfhttp://es.wikipedia.org/wiki/.pdfhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_5//es.wikipedia.org/wiki/User:Willyhttp://es.wikipedia.org/http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_5//es.wikipedia.org/wiki/User:Willyhttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c4/Secciones_Conicas.svghttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_5//commons.wikimedia.org/wiki/User:Stanneredhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_5//en.wikipedia.org/wiki/Image:Pythagorean.gifhttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/84/Pythagoras_proof.svghttp://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/papyrus/tha.jpghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8d/P._Oxy._I_29.jpghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8d/P._Oxy._I_29.jpghttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_5//en.wikipedia.org/wiki/Image:Nikolay_Ivanovich_Lobachevsky.jpeghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c5/Nikolay_Ivanovich_Lobachevsky.jpeghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c5/Nikolay_Ivanovich_Lobachevsky.jpeghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/JanosBolyai.jpghttp://de.wikipedia.org/wiki/.pdfhttp://www.sil.si.edu/digitalcollections/hst/scientific-identity/explore.htmhttp://www.sil.si.edu/digitalcollections/hst/scientific-identity/explore.htmhttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/82/Georg_Friedrich_Bernhard_Riemann.jpeghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/82/Georg_Friedrich_Bernhard_Riemann.jpeghttp://es.wikipedia.org/wiki/Frans_Hals.pdfhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_5//commons.wikimedia.org/wiki/Special:BookSources/2908388324http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/73/Frans_Hals_-_Portret_van_Ren%25C3%25A9_Descartes.jpghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/73/Frans_Hals_-_Portret_van_Ren%25C3%25A9_Descartes.jpghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e2/Felix_Klein.jpeghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4b/Egyptian_A%2527h-mos%25C3%25A8_or_Rhind_Papyrus_%25281065x1330%2529.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4b/Egyptian_A%2527h-mos%25C3%25A8_or_Rhind_Papyrus_%25281065x1330%2529.pnghttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_5//commons.wikimedia.org/wiki/User:Kbolinohttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0e/Cartesian-coordinate-system.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0e/Cartesian-coordinate-system.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9b/Carl_Friedrich_Gauss.jpghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2e/AllFourConics.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Historia%2520de%2520la%2520geometr%25C3%25ADa?oldid=81475157

historia de la geometría

Documents