Historia de la geometría

La geometría es una de las ciencias más antiguas. Inicial-mente, constituía un cuerpo de conocimientos prácticosen relación con las longitudes, áreas y volúmenes. En elAntiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los textosde Herodoto, Estrabón y Diodoro Sículo. Euclides, en elsiglo III a. C. configuró la geometría en forma axiomática,tratamiento que estableció una norma a seguir durantemuchos siglos: la geometría euclidiana descrita en «LosElementos».El estudio de la astronomía y la cartografía, tratando dedeterminar las posiciones de estrellas y planetas en la es-fera celeste, sirvió como importante fuente de resoluciónde problemas geométricos durante más de un milenio.René Descartes desarrolló simultáneamente el álgebra yla geometría analítica, marcando una nueva etapa, don-de las figuras geométricas, tales como las curvas planas,podrían ser representadas analíticamente, es decir, confunciones y ecuaciones. La geometría se enriquece con elestudio de la estructura intrínseca de los entes geométri-cos que analizan Euler y Gauss, que condujo a la creaciónde la topología y la geometría diferencial.

La Geometría como una de las Artes Liberales y Euclides.

0.1 La geometría en el Antiguo Egipto

Papiro de Ahmes.

Las primeras civilizaciones mediterráneas adquieren po-co a poco ciertos conocimientos geométricos de ca-rácter eminentemente práctico. La geometría en elantiguo Egipto estaba muy desarrollada, como admitie-ron Heródoto, Estrabón y Diodoro, que aceptaban quelos egipcios habían “inventado” la geometría y la habíanenseñado a los griegos; aunque lo único que ha perdu-rado son algunas fórmulas –o, mejor dicho, algoritmosexpresados en forma de “receta"– para calcular volúme-nes, áreas y longitudes, cuya finalidad era práctica. Conellas se pretendía, por ejemplo, calcular la dimensión delas parcelas de tierra, para reconstruirlas después de lasinundaciones anuales. De allí el nombre γεωμετρία, geo-metría: “medición de la tierra” (de γῆ (gê) 'tierra' másμετρία (metría), 'medición').Los denominados Papiro de Ahmes y Papiro de Moscúmuestran conjuntos de métodos prácticos para obtenerdiversas áreas y volúmenes, destinados al aprendizaje deescribas. Es discutible si estos documentos implican pro-fundos conocimientos o representan en cambio todo elconocimiento que los antiguos egipcios tenían sobre lageometría.

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Los historiadores antiguos nos relataron que el conoci-miento de esta civilización sobre geometría –así como losde las culturas mesopotámicas– pasó íntegramente a lacultura griega a través de Tales de Mileto, los pitagóricosy, esencialmente, de Euclides.

0.2 La Geometría griega

0.2.1 La Geometría griega antes de Euclides

a

ba

b

ab

a b

cc

cc

La primera demostración del teorema de Pitágoras Probable-mente usó un diagrama como el que se muestra.

La Geometría Griega fue la primera en ser formal. Partede los conocimientos concretos y prácticos de tesis. Laveracidad de la tesis dependerá de la validez del razona-miento con el que se ha extraído (esto será estudiado porAristóteles al crear la Lógica) y de la veracidad de las hi-pótesis. Pero entonces debemos partir de hipótesis cier-tas para poder afirmar con rotundidad la tesis. Para poderdeterminar la veracidad de las hipótesis, habrá que con-siderar cada una como tesis de otro razonamiento, cuyashipótesis deberemos también comprobar. Se entra apa-rentemente en un proceso sin fin en el que, indefinida-mente, las hipótesis se convierten en tesis a probar.

0.2.2 Euclides y Los elementos

Euclides, vinculado al Museo de Alejandría y a suBiblioteca, zanja la cuestión al proponer un sistema deestudio en el que se da por sentado la veracidad de cier-tas proposiciones por ser intuitivamente claras, y deducirde ellas todos los demás resultados. Su sistema se sinteti-za en su obra cumbre, Los elementos, modelo de sistemaaxiomático-deductivo. Sobre tan sólo cinco postulados ylas definiciones que precisa construye toda la Geometríay la Aritmética conocidas hasta el momento. Su obra, en

Fragmento de uno de los Papiros de Oxirrinco con unas líneasde Los elementos de Euclides.

trece volúmenes, perdurará como única verdad geométri-ca hasta entrado el siglo XIX.Entre los postulados en los que Euclides se apoya hay uno(el quinto postulado) que trae problemas desde el princi-pio. No se ponía en duda su veracidad, pero tal y comoaparece expresado en la obra, muchos consideran que se-guramente podía deducirse del resto de postulados. Du-rante los siguientes siglos, uno de los principales proble-mas de la Geometría será determinar si el V postulado eso no independiente de los otros cuatro, es decir, si es ne-cesario considerarlo como un postulado o es un teorema,es decir, puede deducirse de los otros, y por lo tanto co-locarse entre el resto de resultados de la obra.

0.2.3 Después de Euclides

Euclides casi cierra definitivamente la geometría griega–y por extensión la del mundo antiguo–, a excepción delas figuras de Arquímedes y Apolonio de Perge.Arquímedes analizó exhaustivamente las secciones cóni-cas, e introdujo en geometría otras curvas como la espiralque lleva su nombre, aparte de su famoso cálculo del vo-lumen de la esfera, basado en los del cilindro y el cono.

Esquema de las tres secciones cónicas: elipse, parábola ehipérbola (más la circunferencia).

0.3 La Geometría en la Edad Media 3

Apolonio trabajó en varias construcciones de tangenciasentre círculos, así como en secciones cónicas y otras cur-vas.

0.2.4 Los tres problemas geométricos de la Anti-güedad

La geometría griega era incapaz de resolver tres famososproblemas geométricos (que heredarán los matemáticosposteriores), puesto que debían ser resueltos utilizandoúnicamente la regla y compás «ideales», únicos instru-mentos válidos en la geometría griega. Estos tres proble-mas son los siguientes:

La duplicación del cubo Cuenta la leyenda que unaterrible peste asolaba la ciudad de Atenas, hasta el puntode llevar a la muerte a Pericles. Una embajada de la ciu-dad fue al oráculo de Delfos, consagrado a Apolo, paraconsultar qué se debía hacer para erradicar la mortal en-fermedad. Tras consultar al Oráculo, la respuesta fue quese debía duplicar el altar consagrado a Apolo en la islade Delos. El altar tenía una peculiaridad: su forma cú-bica. Prontamente, los atenienses construyeron un altarcúbico cuyos lados eran el doble de las del altar de Delos,pero la peste no cesó, se volvió más mortífera. Consul-tado de nuevo, el oráculo advirtió a los atenienses que elaltar no era el doble de grande, sino ocho veces mayor,puesto que el volumen del cubo es el cubo de su lado ((2l)3 = 23l3 = 8l3 ). Nadie supo cómo construir un cu-bo cuyo volumen fuese exactamente el doble del volumende otro cubo dado, y el problema matemático persistiódurante siglos (no así la enfermedad).

La trisección del ángulo Este problema consiste endividir un ángulo cualquiera en tres ángulos iguales, em-pleando únicamente la regla y el compás, de manera quela suma de las medidas de los nuevos tres ángulos seaexactamente la medida del primero.

La cuadratura del círculo La cuadratura del círculoconsiste en tratar de obtener un cuadrado cuya área mi-da exactamente lo mismo que el área de un círculo dado.Anaxágoras fue el primero en intentar resolverlo, dibu-jando en las paredes de su celda. Fue apresado por ex-plicar diversos fenómenos que los griegos atribuían a losdioses. Tampoco pudo ser resuelto por los geómetras dela antigüedad, y llegó a ser el paradigma de lo imposible.Como curiosidad, el filósofo inglés David Hume llegó aescribir un libro con supuestos métodos para resolver elproblema. Hume no tenía suficientes conocimientos ma-temáticos, y nunca aceptó que sus métodos eran fallidos.

0.3 La Geometría en la Edad Media

Durante los siguientes siglos la Matemática comienzanuevos caminos de la mano de hindúes y árabes enTrigonometría y Álgebra (el uso de la notación posicio-nal y del cero), aunque relacionadas con la Astronomíay la Astrología; pero en geometría apenas hay nuevasaportaciones. En Occidente, a pesar de que la Geome-tría es una de las siete Artes liberales (encuadrada en elQuadrivium), las escuelas y universidades se limitan a en-señar los “Elementos”, y no hay aportaciones.

0.4 La Geometría Proyectiva

Es en el Renacimiento cuando las nuevas necesidades derepresentación del arte y de la técnica empujan a ciertoshumanistas a estudiar propiedades geométricas para ob-tener nuevos instrumentos que les permitan representar larealidad. Aquí se enmarca la figura del matemático y ar-quitecto Luca Pacioli, de Leonardo da Vinci, de AlbertoDurero, de Leone Battista Alberti, de Piero della Fran-cesca, por citar sólo algunos. Todos ellos, al descubrirla perspectiva y la sección, crean la necesidad de sentarlas bases formales en la que cimentar las nuevas formasde Geometría que ésta implica: la Geometría proyecti-va, cuyos principios fundamentales aparecen de la manode Desargues en el siglo XVII. Esta nueva geometría deDesargues fue estudiada ampliamante ya por Pascal o porde la Hire, pero debido al interés suscitado por la Geo-metría Cartesiana y sus métodos, no alcanzó tanta difu-sión como merecía hasta la llegada a principios del sigloXIX de Gaspard Monge en primer lugar y sobre todo dePoncelet.

0.5 La Geometría Cartesiana

Pero es sin duda la aparición de la geometría analítica loque marca la Geometría en la Edad Moderna. Descartespropone un nuevo método de resolver problemas geomé-tricos, y por extensión, de investigar en geometría.El nuevo método analiza la geometría utilizando ecua-ciones algebraicas. Se cambia la regla y compás clásicos

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René Descartes.

por expresiones numéricas que se pueden representar me-diante coordenadas cartesianas. Utilizando notación ac-tual, dicho método se expresa así:En un plano se trazan dos rectas perpendiculares (ejes) –que por convenio se trazan de manera que una de ellas seahorizontal y la otra vertical–, y cada punto del plano que-da unívocamente determinado por las distancias de dichopunto a cada uno de los ejes, siempre y cuando se dé tam-bién un criterio para determinar sobre qué semiplano de-terminado por cada una de las rectas hay que tomar esadistancia, criterio que viene dado por un signo. Ese parde números, las coordenadas, quedará representado porun par ordenado (x, y) , siendo x la distancia a uno delos ejes (por convenio será la distancia al eje vertical) e yla distancia al otro eje (al horizontal).En la coordenada x , el signo positivo (que suele omitirse)significa que la distancia se toma hacia la derecha del ejevertical (eje de ordenadas), y el signo negativo (nunca seomite) indica que la distancia se toma hacia la izquierda.Para la coordenada y , el signo positivo (también se sueleomitir) indica que la distancia se toma hacia arriba deleje horizontal (eje de abscisas), tomándose hacia abajosi el signo es negativo (tampoco se omite nunca en estecaso). A la coordenada x se la suele denominar abscisadel punto, mientras que a la y se la denomina ordenadadel punto.Existe una cierta controversia (aun hoy) sobre la verda-dera paternidad de este método. Lo único cierto es quese publica por primera vez como “Geometría Analítica”,apéndice al "Discurso del Método", de Descartes, si biense sabe que Pierre de Fermat conocía y utilizaba el méto-do antes de su publicación por Descartes. Aunque Omar

−3 −2 −1 1 2 3

3

2

1

−3

−2

−1

(−3,1)

(−1.5,−2.5)

(2,3)

(0,0) x

y

Ejes coordenados.

Khayyam ya en el siglo XI utilizara un método muy pare-cido para determinar ciertas intersecciones entre curvas,es imposible que alguno de los citados matemáticos fran-ceses tuviera acceso a su obra.Lo novedoso de la Geometría Analítica (como también seconoce a este método) es que permite representar figurasgeométricas mediante fórmulas del tipo f(x, y) = 0 ,donde f representa una función. En particular, las rectaspueden expresarse como ecuaciones polinómicas de gra-do 1 (v.g.: 2x+ 6y = 0 ) y las circunferencias y el restode cónicas como ecuaciones polinómicas de grado 2 (v.g.:la circunferencia x2 + y2 = 4 , la hipérbola xy = 1 ).Esto convertía toda la Geometría griega en el estudio delas relaciones que existen entre polinomios de grados 1y 2. Desde un punto de vista formal (aunque ellos aunlo sabían), los geómetras de esta época han encontradouna relación fundamental entre la estructura lógica queusaban los geómetras griegos (el plano, la regla, el com-pás...) y la estructura algebraica del ideal formado por lospolinomios de grados 0, 1 y 2 del Anillo de polinomiosR[x, y] , resultando que ambas estructuras son equivalen-tes. Este hecho fundamental (no visto con nitidez hasta eldesarrollo del Álgebra Moderna y de la Lógica Matemá-tica entre finales del siglo XIX y principios del siglo XX)resulta fundamental para entender por qué la Geometríade los griegos puede desprenderse de sus axiomas y es-tudiarse directamente usando la axiomática de Zermelo-Fraenkel, como el resto de la Matemática.El método original de Descartes no es exactamente el quese acaba de explicar. Descartes utiliza solamente el eje deabscisas, calculando el valor de la segunda componentedel punto (x, y)mediante la ecuación de la curva, dándo-le valores a la magnitud x . Por otro lado, Descartes sóloconsidera valores positivos de las cantidades x e y , dadoque en la época aun resultaban “sospechosos” los núme-ros negativos. Como consecuencia, en sus estudios exis-

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ten ciertas anomalías y aparecen curvas sesgadas. Con eltiempo se aceptaron las modificaciones que muestran elmétodo tal y como lo conocemos hoy en día.

0.6 Los nuevos métodos

0.6.1 Agotamiento del método sintético

La aparición de la Geometría Analítica trae consigo unanueva forma de entender la Geometría. El nuevo método,algebraico, sustituye al antiguo, el sintético, consistenteen establecer unos axiomas y unas definiciones y dedu-cir de ellos los teoremas. El método sintético está a estasalturas casi agotado (aunque aun dará algunos resultadosinteresantes, como la característica de Euler, la natura-leza de estos resultados no es ya tanto geométrica comotopológica, y los resultados realmente importantes que sehagan en adelante en el campo de la Geometría ya ven-drán de la mano de métodos algebraicos o diferenciales),da paso al método algebraico: estudio de los objetos geo-métricos como representaciones en el espacio de ciertasecuaciones polinómicas, o dicho de otro modo, del con-junto de raíces de polinomios. El método sintético sólovolverá a abordarse cuando aparezcan las geometrías noeuclídeas, y definitivamente deja de ser un instrumento deinvestigación geométrica a principios del siglo XX, que-dando relegado a un conjunto de instrumentos y herra-mientas para la resolución de problemas, pero ya comouna disciplina cerrada.

0.6.2 Los límites del método algebraico

El método algebraico se ve posibilitado por un avance enÁlgebra hecho durante el siglo XVI, la resolución de lasecuaciones de grado 3º y 4º. Esto permite generalizar laGeometría, al estudiar curvas que no son dadas por po-linomios de segundo grado, y que no pueden construirsecon regla y compás -además de las cónicas, excluyendo ala circunferencia, claro-. Pero este método, que termina-rá constituyendo una disciplina propia, la Geometría Al-gebraica, tardará aun mucho -siglo XX- en salir de unaspocas nociones iniciales, prácticamente inalteradas desdeDescartes, Fermat y Newton. La razón será la imposibili-dad de resolver por radicales la ecuación de quinto grado,hecho no descubierto hasta el siglo XIX, y el desarrollode la Teoría de Anillos y del Álgebra Conmutativa.

0.6.3 El Cálculo Infinitesimal

El método algebraico tiene otra generalización natural,que es la de considerar una curva no solo como una ecua-ción polinómica, sino como una ecuación f(x, y) = 0en la que el polinomio es ahora sustituido por una fun-ción cualquiera f . La generalización de todo esto desde elplano (2 coordenadas) al estereoespacio (3 coordenadas)se hace de forma natural añadiendo un tercer eje perpen-

dicular (eje z) a los dos ya considerados, y las funcionestomarán la forma f(x, y, z) .Ya Isaac Barrow descubre gracias a la Geometría Ana-lítica la relación entre la tangente a una curva y el áreaque encierra entre dos puntos y los ejes coordenados ensu famosa Regla de Barrow, antes incluso de que Newtony Leibnitz dieran cada uno su exposición del Cálculo In-finitesimal. La relación entre el Análisis Matemático y laGeometría es así estrechísima desde incluso los orígenesde aquél. Las ideas geométricas no sólo fueron la base delos instrumentos iniciales del Cálculo Infinitesimal, sinoque fueron en gran medida su inspiración. Por eso resultanatural que en un primer momento, Descartes, Newton olos Bernoulli no distinguieran entre los conceptos de cur-va y de función de una variable (o si se quiere, de curvay los ceros de una función de dos variables). Fue Eulerel primero en empezar a intuir la diferencia, y el primerotambién en ampliar este tipo de estudios a las superficies(como función de dos variables o como el conjunto delos ceros de una función de tres variables). El trabajo deMonge continúa por esta línea.En adelante, y hasta la aparición de Gauss, la Geome-tría queda supeditada a sus aplicaciones en Mecánica yotras ramas de la Física por medio de la resolución deEcuaciones Diferenciales. Se estudia en especial la in-terpretación geométrica de las ecuaciones diferenciales(tanto de la solución en sí como problemas asociados aellas, como puede ser el de las curvas ortogonales). Enesta época aparece el que será el caballo de batalla de laGeometría Diferencial: el Teorema de la Función Implí-cita.Fue Huygens el primero en estudiar la curvatura de unacurva plana, aunque parece que fue Clairaut el que usacon maestría y fija el concepto.

1 La Geometría en la Edad Con-temporánea

1.1 Carl Friedrich Gauss

Gauss devuelve el carácter geométrico que impregna par-te del análisis matemático, fundamentalmente con doscontribuciones: el nacimiento del análisis complejo y dela geometría diferencial.Pero no son las únicas contribuciones de éste genio alcampo de la geometría. En su adolescencia se vio dividi-do entre dedicarse a la filología o a la matemática. A los17 descubrió la manera de construir el polígono regularde 17 lados, y la condición necesaria y suficiente para queun polígono regular pueda construirse. Esto determinó suvocación.En su primera demostración del teorema fundamental delálgebra (de las cinco que realizó a lo largo de su carrera)sentó las bases del análisis de variable compleja, usando

6 1 LA GEOMETRÍA EN LA EDAD CONTEMPORÁNEA

Carl Friedrich Gauss.

la interpretación geométrica de los números complejoscomo vectores fijos del plano (no en este lenguaje, queserá introducido mucho más tarde). Por cierto, se atribu-ye a Gauss la paternidad de esta idea. Primero Wessel yluego Argand se le anticiparon, pero nadie conocía los es-tudios de ambos. Aunque no es propiamente obra suya,pues el análisis complejo está desarrollada fundamental-mente por Cauchy, sí es el primero en abordarla seria-mente, y sobre todo le da una interpretación geométricaque marcará el desarrollo de esta rama.Pero la principal contribución de Gauss a la geometríaes la creación de la geometría diferencial, retomando lasideas que sobre las relaciones entre el análisis matemáti-co y la geometría había hasta entonces y desarrollándolasampliamente.Partiendo de la base de que la geometría estudia el espa-cio, las curvas y las superficies, establece la noción fun-damental de curvatura de una superficie. Gracias a ella,y a la definición de geodésica, demuestra que si consi-deramos que una geodésica es una curva con menor dis-tancia entre dos puntos sobre una superficie (es decir, sitenemos dos puntos sobre una superficie, el camino máscorto entre esos dos puntos sin salirnos de la superficie esun segmento de geodésica), concepto totalmente análogosobre la superficie al de recta en el plano, existen superfi-cies en las que los triángulos formados por las geodésicasmiden más de la medida de dos ángulos rectos, y otras enlas que mide menos. Esto, esencialmente, es contradecirel V postulado de Euclides.Estas consideraciones llevaron a Gauss a considerar la po-sibilidad de crear geometrías no euclídeas, pero aunque

a esas alturas ya era el matemático más prestigioso deEuropa, consideró que la mentalidad de la época no esta-ba preparada para un resultado de tal magnitud, y nuncapublicó esos resultados. Sólo vieron la luz cuando Bolyaipublicó su geometría no euclídea, y comprobó que la co-munidad científica general aceptaba el resultado.Así que, por un lado, Gauss fue el primero en crear unageometría no euclídea, y por otro fue el creador de la geo-metría diferencial y precursor de la variable compleja.Además, Gauss es el primero en considerar una nuevapropiedad en la geometría: la orientación.

1.2 El final de los grandes problemas de laantigüedad

1.2.1 La controversia sobre el V postulado

János Bolyai.

Como ya se ha adelantado, Gauss es el primero en cons-truir una geometría (un modelo del espacio) en el que nose cumple el V postulado de Euclides, pero no publica sudescubrimiento. Son Bolyai y Lobatchevsky quienes, demanera independiente y simultáneamente publican cadauno una geometría distinta en la que no se verifica tam-poco el V postulado.¿Qué quiere decir esto? Tanto Bolyai como Lobatchevskyparten de un objeto geométrico y establecen sobre él unospostulados que son idénticos a los de Euclides en Los Ele-mentos, excepto el quinto. Pretenden originalmente razo-nar por reducción al absurdo: si el V postulado dependede los otros cuatro, cuando lo sustituya por aquél que di-ce exactamente lo contrario, he de llegar a alguna con-

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Nikolai Ivanovich Lobatchevsky.

tradicción lógica. Lo sorprendente es que no se llega acontradicción ninguna, lo cual quiere decir dos cosas:1º El V postulado es independiente de los otros cuatro,es decir, no puede deducirse de los otros cuatro, no es unteorema, y Euclides hizo bien en considerarlo como unpostulado.2º Existen modelos del espacio en los que, en contra detoda intuición, por un punto que no esté en una ciertarecta no pasa una única recta paralela a la dada. Esto estremendamente antiintuitivo, pues no podemos concebirtal cosa, no podemos imaginar (ni mucho menos dibu-jar) una situación así, sin reinterpretar los conceptos derecta, plano, etc. Pero desde el punto de vista lógico esperfectamente válido.Como es de imaginar, esto supuso una fuerte crisis enla Matemática del siglo XIX, que vino a sumarse a otrascontroversias.Es importante señalar que las geometrías de Bolyai y deLobatchevsky, no depende de si se construyen usandométodos analíticos o sintéticos. Existen formas de cons-truirlas tanto de manera sintética como analítica. El mo-delo es el mismo se llegue como se llegue, lo que abundaen su veracidad.

1.2.2 La trisección del ángulo y la duplicación delcubo

Un hecho aparentemente lejano en Álgebra dará como re-sultado la resolución de estos dos problemas. Galois mue-re a los 21 años de edad dejando un “testamento” lleno deideas apresuradamente escritas. Entre ellas se encuentranlas bases de la Teoría de Grupos y de la Teoría de Galois.Galois resolvió el problema de encontrar una fórmula pa-ra solucionar las ecuaciones de 5º grado, pero este resul-tado no llegó a ser publicado en (su corta) vida. Concluyóque una ecuación de grado 5 o mayor no puede ser reso-luble por radicales (es decir, mediante una fórmula conun número finito de operaciones algebraicas). Su manerade abordar el problema abre una nueva vía dentro de laMatemática.Pero la Teoría de Galois (una rama del Álgebra que tratasobre cuándo es posible resolver una ecuación polinómicaestudiando el conjunto de números en los que se expresaesa ecuación) no da sólo esos frutos. También demues-tra que todo lo construible con regla y compás tiene unatraducción a polinomios muy concreta. Se demuestra quetrisecar un ángulo o duplicar un cubo necesita de polino-mios que no tienen esa forma, y por lo tanto, es imposiblecon la sola ayuda de la regla y el compás trisecar un án-gulo cualquiera o duplicar un cubo.

1.2.3 La cuadratura del círculo

En 1862, Lindemann demuestra que el número π es tras-cendente, es decir, no puede ser raíz de ningún polino-mio con coeficientes enteros. Esto implica que no es unnúmero que pueda construirse con regla y compás, y de-muestra que no es posible construir con sólo estos instru-mentos un cuadrado de área igual a la de un círculo dado.

2 Geometría intrínseca

Resulta complicado establecer una fecha precisa en la quelos geómetras comenzaron a interesarse por cuestiones degeometría intrínseca. La matemática griega planteó losproblemas geométricos haciendo referencia a las propie-dades métricas de un conjunto de puntos definidos y lo-calizados en el plano y en el espacio. La perspectiva era,por tanto, extrínseca.Tradicionalmente, se le atribuye a Euler el descubrimien-to en 1752 de una propiedad de los poliedros convexos.[1]Llamando S, A y F al número de vértices, aristas y caras,Euler demostró la relación de igualdad S-A+F=2, cono-cida hoy como característica de Euler. El resultado erasorprendente porque no hacía intervenir ni la longitud niel área.En 1813 Simon Antoine Jean L'Huillier se dio cuenta deque la fórmula de Euler se modificaba para un poliedrono convexo, con la forma, por ejemplo, de un sólido con

8 2 GEOMETRÍA INTRÍNSECA

agujeros (como el toro: S-A+F=2-2g, siendo g el númerode agujeros).[2] Éste es el primer cálculo de un invariantetopológico que permitó clasificar las superficies del espa-cio. No obstante, la perspectiva continuaba siendo extrín-seca, pues los agujeros se ven desde el exterior. ¿Cómo,por ejemplo, una hormiga que anduviese por una habita-ción sin techo podría representarse el agujero?Carl Friedrich Gauss, interesado por la geometría de lassuperficies, estableció un resultado sin precedentes: elteorema egregium: “la curvatura de Gauss de una super-ficie del espacio no depende del modo en el que ésta seinserta en el espacio ambiente.[3]"La fórmula de Gauss-Bonnet, presentida por Gauss y de-mostrada por Pierre-Ossian Bonnet en 1848, expresará lacaracterística de Euler en términos de curvatura, eviden-ciando la imbricación entre las consideraciones geomé-tricas y topológicas.

2.1 Nuevos espacios con extrañas propie-dades

La geometría no euclidiana nace de la imposibilidad dedemostrar el quinto postulado de Euclides. El primer in-tento de demostrarlo por reducción al absurdo fue ensa-yado por Saccheri en 1733.[4] Gauss fue el primero encomprender la posibilidad de que existiesen geometríasalternativas a la euclídea.[5] Estas geometrías serían desa-rrolladas por Lobatchevsky y Bolyai.La cinta de Möbius, introducida casi simultáneamente en1858 por dos matemáticos alemanes August FerdinandMöbius y Johann Benedict Listing fue el primer ejemplode superficie no orientable.

2.2 Riemann

El 10 de junio de 1854, Bernhard Riemann da una con-ferencia en la Universidad de Gotinga para completar suhabilitación (grado que le permitiría optar a una plaza decatedrático). El tema de la conferencia fue la Geometría,a elección de Gauss, su protector y antiguo profesor du-rante la licenciatura y el doctorado. La conferencia, cuyotítulo fue Über die Hypothesen, Welche der Geometrie zuGrunde liegen (Sobre las hipótesis que están en los fun-damentos de la geometría), pasa por ser una de las máscelebradas de la historia de la Matemática, y uno de losmayores logros científicos de la humanidad. De entre lospresentes se dice que sólo Gauss fue capaz de compren-der su contenido, y hay que decir que le entusiasmó.

2.2.1 Variedades riemannianas y el tensor curvatu-ra

En la primera parte de la conferencia, Riemann se pre-gunta qué problema hay en aumentar el número de

Bernhard Riemann.

dimensiones del espacio. Riemann, usando aun un len-guaje intuitivo y sin hacer demostraciones, introduceprimero el concepto de variedad diferenciable, genera-lización del concepto de superficie a cualquier número(entero positivo) arbitrario de dimensiones. De hecho, elnombre variedad hace referencia a las varias coordena-das que variarían para ir obteniendo los puntos del ob-jeto. Las superficies serían las variedades de dimensión2, mientras que las curvas serían las variedades de di-mensión 1, y aun los puntos las de dimensión 0. De to-das formas, esta aproximación al concepto es demasia-do imprecisa, pues el punto clave de la definición formalde una variedad diferenciable (definición no expuesta co-rrectamente hasta 1913 por Hermann Weyl) es que estoes cierto localmente, es decir, cada punto de la variedadtiene algún entorno homeomorfo a un abierto del espacioeuclídeo Rn , de manera que cuando el inverso de unode estos homeomorfismos se compone con otro de estoshomeomorfismo se obtiene una función diferenciable deun abierto de Rn en otro abierto de Rn . Pero como de-cimos hicieron falta casi 60 años para que la definiciónterminara de cuajar.No era la primera vez que se especulaba con la posibili-dad de la existencia de espacios de dimensión superior a3. De hecho este tema ha sido tratado en la Historia envarias ocasiones, pero siempre desde un punto de vista dela realidad sensible (para negar su existencia) o metafísi-co. Es Cayley quien en 1843 trata explícitamente el temapor primera vez, y volverá a él nuevamente en repetidasocasiones. Le seguirán Sylvester, Clifford, Grassmann ySchläfli entre otros, aunque hay que decir que la visión detodos ellos es mucho más algebraica que geométrica.Es probable que el estudio de las superficies de Riemann,objetos a cuyo estudio había dedicado su tesis doctoral,indujeran a Riemann a pensar en este concepto de varie-

2.2 Riemann 9

dad de dimensión arbitraria.Si tomamos unos ejes coordenados y dibujamos todos lospuntos (x, f(x)) , donde x varía en un intervalo y f esuna función real, derivable y definida sobre ese mismointervalo, obtendremos la curva (dimensión 1) dada porla gráfica de una función.Si en lugar de ser una función de una variable tenemosuna función de dos variables f(x, y) , al dibujar todos lospuntos (x, y, f(x, y)) , donde (x, y) son de una regióndel plano donde esté definida f , obtenemos una superfi-cie (dimensión 2). Riemann estudia funciones complejasde variable compleja, es decir, funciones cuya gráfica ten-dría por puntos cosas de la forma (x, y, u(x, y), v(x, y)), siendo tanto u(x, y) como v(x, y) funciones reales (esdecir, cada uno representa un número real). Las gráficasde este tipo de funciones tendrían dimensión 2, es decir,serían superficies, pero estarían en un espacio de 4 di-mensiones.Una variedad riemanniana no es sólo un objeto geomé-trico n-dimensional. Es una variedad diferencial a la queademás hay que dotar de una métrica. Unamétrica es uncampo de tensores diferenciable de grado 2. Veamos:en cada punto de una variedad diferencial se puede calcu-lar el espacio tangente a la variedad en ese punto, al igualque en una superficie (suave), en cada punto podemos cal-cular el plano tangente en ese punto a la superficie, y enuna curva suave podemos calcular en cada punto la rectatangente a la curva en dicho punto.Ese espacio tangente tendrá la misma dimensión que lavariedad (en el caso de curvas, el espacio tangente -larecta tangente- tiene dimensión 1, en el de superficiestiene dimensión 2). Una métrica (o estructura rieman-niana) sobre una variedad es una aplicación que a cadapunto de la variedad le asigna un producto escalar en elespacio tangente a la variedad en ese punto, y esa aplica-ción es diferenciable. Un producto escalar es, para enten-dernos, una regla que nos permite calcular longitudes desegmentos y ángulos entre rectas. A través de una métri-ca, se pueden definir sobre una variedad conceptos comolongitud de una curva o el ángulo entre dos curvas, gene-ralizar a variedades el concepto de geodésica, ya utilizadopor Gauss para superficies, que viene a ser (ojo, esto esuna explicación de cómo es una geodésica, no es una de-finición) una curva dibujada sobre una superficie (o ennuestro caso sobre una variedad) de tal forma que entredos de sus puntos minimice la distancia medida sobre lasuperficie (variedad). Por ejemplo, si tenemos un globo ymarcamos dos puntos sobre él, la distancia más corta secalculará, como sabemos, por la medida del segmento derecta que atraviesa el globo por ambos puntos. Sin embar-go, si lo que pretendemos es buscar el camino más cortopara llegar de un punto a otro sin salirnos de la superfi-cie del globo, tendremos que dibujar sobre él una curvaque una los puntos y se combe por la propia “curvatura”del globo. Esa curva sería un segmento de geodésica enla superficie del globo.

El punto culminante de la primera parte de la conferenciallegó cuando Riemann, utilizando las geodésicas, define el[[curvatura seccional|tensor curvatura seccional], que esla generalización a variedades del concepto de curvaturaestudiado por Gauss. Este instrumento permite “medir lacurvatura” de una variedad.

2.2.2 El modelo del Universo

En la segunda parte de la conferencia, Riemann se pre-gunta por el modelo que debe de seguir el espacio físico,el espacio en el que nos movemos, cuál es su dimensión,cuál es su geometría.Las ideas de Riemann, decididamente muy avanzadas pa-ra su época, cuajaron definitivamente cuando Einstein yPoincaré, al mismo tiempo pero de manera independien-te, las aplicaron al espacio físico para crear la Teoría dela Relatividad.El nuevomodo de Riemann de estudiar la Geometría con-sidera que cualquier modelo de espacio (ya sea el plano, elespacio tridimensional, o cualquiera otro) puede ser estu-diado como una variedad diferenciable, y que al introdu-cir en ella una métrica se está determinando la geometríaque gobierna ese objeto. Por ejemplo, el plano no es, porsí solo, euclidiano ni no euclidiano, sino que introducien-do la métrica euclídea es cuando en el plano verifica elV postulado de Euclides. Si en lugar de considerar esamétrica se introduce en el plano otra métrica, como la deLobatchevsky, deja de verificarse el mismo postulado. Lapropiedad de las geodésicas de minimizar la longitud en-tre dos de sus puntos sin salirse de la variedad recuerdamucho a la definición de las rectas como aquellas líneasque determinan la menor distancia entre dos puntos. Seconsidera que las geodésicas son a las variedades rieman-nianas lo que las rectas al espacio euclidiano, es decir, lasgeodésicas son como las rectas de las variedades.Esta nueva visión permite estudiar todas las nuevas geo-metrías no euclídeas, así como la geometría euclidianabajo la misma óptica de la nueva Geometría Riemannia-na.Cuando las ideas de Riemann consiguen extenderse, laGeometría pasa ya definitivamente a ser el estudio de lasvariedades, dejando de ser definitivamente el estudio detriángulos, circunferencias, polígonos, etc.Los puntos básicos de la conferencia de Riemann son,por un lado, la posibilidad de aumentar indefinidamen-te el número de dimensiones del espacio (el Álgebra yel Análisis están ya creando la maquinaria necesaria parapoder operar en dimensión finita arbitraria, con lo que de-finitivamente se podrá estudiar Geometría más allá de suvisualización gráfica), es decir, de estudiar espacios de 3,4, 5...dimensiones, y por otro lado dotar a los geómetrasde un instrumento, el tensor curvatura, que les permite es-tudiar las propiedades intrínsecas de esos nuevos objetos,esos nuevos espacios, las variedades.

10 2 GEOMETRÍA INTRÍNSECA

2.3 Klein

Felix Klein.

Felix Klein es la otra gran pieza clave de la Geometríaen el siglo XIX. En 1871 descubrió que la geometría eu-clidiana y las no euclidianas pueden considerarse comocasos particulares de la geometría de una superficie pro-yectiva con una sección cónica adjunta. Esto implicabados cosas: la primera es que la geometría euclidiana ylas no euclidianas podían considerarse como casos par-ticulares de la geometría proyectiva (o mejor dicho, dela geometría de una superficie en un espacio proyectivo).La segunda, que la geometría euclidiana es consistente(es decir, no puede llevar a contradicciones) si y sólo silo son las geometrías no euclidianas.Con esto se da fin a la controversia de si las geometrías noeuclidianas tienen sentido o no, aunque el asunto colearáaun unos años ante el escepticismo de quienes considera-rán erróneo el argumento de Klein.Pero la aportación más importante de Klein a la Geome-tría es su famoso Programa de Erlangen, donde da unanueva definición de Geometría.

2.3.1 El Programa de Erlangen

Con motivo de su ingreso como profesor en la Facultadde Filosofía y al Senado de la Universidad de Erlangen,Klein escribió una memoria en 1872 (que por cierto nollegó a leer en público) que puede considerarse, junto a laConferencia de Riemann y a los Elementos de Euclides,como los puntos esenciales del estudio de la Geometría.La idea de la memoria, conocida como el Programa deErlangen, es bastante sencilla. Se trata de dar una defi-nición formal de lo que es una geometría, más allá de laidea más o menos intuitiva que tenemos de ella.

Ante la aparición de las nuevas geometrías no euclidia-nas, parece lógico preguntarse qué es la Geometría, má-xime cuando la propia idea de la geometría euclidiana sehabía visto modificada desde la irrupción de los méto-dos algebraicos y analíticos. Empieza a no estar tan claroque la Geometría sea el estudio de puntos, líneas (rec-tas o curvas) y superficies, puesto que el propio AnálisisMatemático (sobre todo en el estudio de Ecuaciones Di-ferenciales) parece que también estudia tales objetos. Porotra parte, los métodos analíticos y algebraicos tambiénson aplicables a las geometrías no euclidianas. Hay, di-gamos, dos niveles de distinciones: por un lado, la de lasgeometrías no euclidianas y la geometría euclidiana, porotro lado, la distinción entre el método sintético, el alge-braico y el analítico.

¿Qué es entonces la Geometría? Klein da respuestaa esta pregunta introduciendo en la Geometría un nuevoconcepto de carácter algebraico: el concepto de grupo.Un grupo es un conjunto G en el que hay definida unaoperación, es decir, una aplicación G × G −→ G que acada par de elementos del conjunto le asigna otro elemen-to del conjunto (que será el resultado de operar dichosdos elementos). Mientras que la mayoría de la gente estáfamiliarizada con las operaciones numéricas, les resultadifícil imaginar que puedan operarse puntos, rectas, etc.Puede hacerse, y no hay más que pensar en, por ejemplo,la operación “tomar el punto medio”, que a cada par depuntos le asigna el punto medio del segmento que une losdos primeros puntos.Para que un conjunto en el que haya una operación sea ungrupo deben de cumplirse ciertas condiciones, que son:

• La operación debe ser asociativa: esto quiere decirque si tomamos cualesquiera tres elementos a, b, cdel conjunto, el resultado de operar los dos primeros( a y b ) y operar el resultado de ello con el tercero (c ) debe de ser lo mismo que si primero operamos elsegundo y el tercero ( b y c ) y el resultado lo opera-mos con el primero ( a ). Es decir, si la operación ladenotamos por ⋆ ha de ocurrir que a ⋆ (b ⋆ c) debede ser lo mismo que (a ⋆ b) ⋆ c .

• Debe existir un elemento neutro: esto quiere decirque ha de haber un elemento e del conjunto de ma-nera que si tomo cualquier otro elemento a del con-junto y lo opero con él, entonces el resultado vuelvea ser el elemento a , es decir, es como si al elementoa no lo hubiera operado. Así, con nuestra notación,e ⋆ a = a y a ⋆ e = a .

• Por último, cada elemento debe tener un elemen-to simétrico: esto quiere decir que si yo tomo unelemento cualquiera a del conjunto, entonces puedoencontrar otro elemento a del conjunto de tal mane-ra que al operar ambos, el resultado que obtengo esel elemento neutro: a ⋆ a = a ⋆ a = e .

11

El concepto de grupo no es invención de Klein, pero esél quien descubre un hecho fundamental que lo relacionacon las distintas geometrías: cada geometría es el estudiode ciertas propiedades que no cambian cuando se le apli-can un tipo de transformaciones. Esas propiedades, porno cambiar, las denomina invariantes, y las transforma-ciones que a un invariante no le hacen cambiar han detener estructura de grupo bajo la operación de compo-sición (componer dos transformaciones es hacer una deellas y aplicarle la otra transformación al resultado de laprimera). Resumiendo, Klein define soterradamente unageometría como dar el subgrupo de las biyecciones de unconjunto en sí mismo que uno admitirá como grupo prin-cipal. Los conceptos o definiciones serán los invariantespor ese grupo principal, y los teoremas serán las relacio-nes entre los conceptos.Así Klein descubre que, por ejemplo, la geometría eucli-diana es el estudio de los invariantes mediante el grupode los movimientos rígidos (como las simetrías, giros ytraslaciones), que la geometría afín es el estudio de losinvariantes mediante el grupo de las translaciones, quela geometría proyectiva es el estudio de los invariantesmediante el grupo de las proyectividades, e incluso quela Topología es el estudio de los invariantes mediante elgrupo de las funciones continuas y de inversa continua,entre otras.De hecho, Klein afirma que la comprensión de “tener unageometría, entonces hay un grupo principal" es más bienal revés. Uno a priori dice qué tipo de transformacionesadmitirá (es decir, da el grupo) y todo lo demás se puedereconstruir a partir de él. Se demuestra incluso, que si unoda un subgrupo de las biyecciones de un conjunto en símismo isomorfo a algún grupo clásico (simetrías, transla-ciones, proyectividades) entonces todos los teoremas deesa geometría son válidos en este.El descubrimiento de Klein es fundamental, ya que porun lado nos permite clasificar las geometrías, compren-diendo cuál es una “subgeometría” de cual, por otro ladonos permite comprender qué es el estudio general de laGeometría (como disciplina matemática) y por último,pero no menos importante, es la confirmación de que losmétodos sintético y algebraico no dan geometrías distin-tas, sino que realmente estudian la misma geometría encada caso. Se pone fin así a la distinción entre el métodosintético y el algebraico-analítico. En su época supuso laconsagración de la Geometría proyectiva como la Reinade las Geometrías.

3 Referencias

[1] Otros atribuyen la paternidad del descubrimiento aDescartes. Cfr. M. De Jonquières, Note sur un Mémoirede Descartes longtemps inédit, et sur les titres de son auteurà la priorité d'une découverte dans la théorie des polyèdre,Académie des sciences (France). Comptes rendus hebdo-madaires des séances de l'Académie des sciences. 1835.

1890 (T. 110). p261-266

[2] S.A.J. L' Huillier, Mémoire sur la polyédrométrie, conte-nant une démonstration directe du théorème d'Euler sur lespolyèdres et un examen des diverses exceptions auxquellesce théorème est assujetti, annales de mathématiques pureset appliquées, 1812-13

[3] C.F. Gauss, Disquisitiones generales circa superficies cur-vas, 1827

[4] Saccheri, Euclides ab omni naevo vindicatus, 1733

[5] Véase O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F.,«Johann Carl Friedrich Gauss» (en inglés), MacTutorHistory of Mathematics archive, Universidad de SaintAndrews, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Gauss.html.

4 Enlaces externos

• Wikcionario tiene definiciones y otra informa-ción sobre geometría.Wikcionario

• Historia de la Geometría Griega

5 Véase también• Historia de la gnomónica

12 6 ORIGEN DEL TEXTO Y LAS IMÁGENES, COLABORADORES Y LICENCIAS

6 Origen del texto y las imágenes, colaboradores y licencias

6.1 Texto• Historia de la geometría Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Historia_de_la_geometr%C3%ADa?oldid=85254957 Colaboradores:Pino, Vivero, Rsg, Schummy, Loco085, Caos, Digigalos, Petronas, Airunp, Magister Mathematicae, Platonides, Alhen, Akhram, Yrbot,Varano, Vitamine, .Sergio, Wewe, No sé qué nick poner, Heliocrono, Banfield, McPolu, Monta990, BludgerPan, Er Komandante, GingFreecs, Tamorlan, BOTpolicia, CEM-bot, Laura Fiorucci, JMCC1, Mister, Iqmann, Gafotas, Dorieo, R2D2Art2005, Tortillovsky, Irwin-Santos, Tonis, Jurgens~eswiki, Osiris fancy, CommonsDelinker, Alephcero~eswiki, Humberto, Netito777, Xsm34, Nioger, Pólux, Rovnet,Macalla, Carlagrandon, Jtico, Technopat, Libertad y Saber, Matdrodes, BlackBeast, AlleborgoBot, Muro Bot, Bucho, Mushii, Greek, Elbot de la dieta, Tirithel, Jarisleif, HUB, Nicop, DragonBot, Addicted04, Eduardosalg, Leonpolanco, Charly genio, Alecs.bot, Petruss, Osl-ber, YourEyesOnly, Juan Mayordomo, Rαge, Raulshc, UA31, AVBOT, David0811, J.delanoy, NicolasAlejandro, Diegusjaimes, Arjuno3,Saloca, Andreasmperu, Luckas-bot, Xtquique, Roinpa, Vic Fede, Barteik, Almavirt, Nixón, DSisyphBot, Gsobrevilla, Ortisa, Manuelt15,Jkbw, Igna, Torrente, Botarel, AstaBOTh15, BOTirithel, Linux65, Jerowiki, Foundling, Miss Manzana, Axvolution, Allforrous, Sergio An-dres Segovia, Grillitus, ChuispastonBot, Waka Waka, Metrónomo, Lcsrns, Antonorsi, KLBot2, Acratta, Johnbot, Mega-buses, Asqueladd,Helmy oved, Engoca, Mmcarnicer, Alan, WBritten, Jean70000, ConnieGB, Maliutt, Jarould, Matiia, Egis57, ELTACOMASTERIZADORy Anónimos: 287

6.2 Imágenes• Archivo:AllFourConics.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2e/AllFourConics.png Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: ? Artista original: ?

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