HIPERBOLOIDE

Usos del Hiperboloide

La primera estructura hiperboloide erigida en el mundo fue una torre de celosa en acero, localizadaen la localidad de Polibino, region Lipetsk. La torre hiperboloide fue construida y patentada en1896 por el ingeniero y cientfico ruso Vladimir Shujov. Sin embargo, Antoni Gaud ya habautilizado estructuras hiperboloides integradas en la construccion de algunos de sus edificios, como enla majestuosa boveda del Palau Guell, en 1888. Las estructuras hiperboloides fueron construidasposteriormente por otros arquitectos famosos, como Le Corbusier u Oscar Niemeyer. El ingenieroespanol Eduardo Torroja diseno mas tarde la torre de agua de cascara delgada en Fedala y laazotea de Hipodromo de la Zarzuela en forma de hiperboloide

Estructura Hiperboloide

Las estructuras hiperboloides son estructuras designadas con geometra hiperbolica. A menudo setrata de estructuras altas como torres donde se aprovecha la resistencia estructural de la geometrahiperbolica para apoyar un objeto, como tanques de agua, pero tambien se utiliza para efecto decora-tivo, as como por su economa estructural. Las primeras estructuras hiperboloides fueron construidaspor el ingeniero ruso Vladmir Shujov (1853-1939).

Figura 1: Torre de agua de Vladmir Shujov en Nizhni Novgorod (1896)

1

Hiperboloide de una Hoja

Es el lugar geometrico de todos los puntos P (x, y, z) de R3 que satisface a la ecuacionx2

a2+

y2

b2 z

2

c2= 1 donde a 6= 0, b 6= 0,c 6= 0, forma Canonica de la Hiperboloide

a) interseccion con los ejes coordenados.

con el eje X, se hace y = z = 0, x = a, A1(a, 0, 0), A2(a, 0, 0)con el eje Y, se hace x = z = 0, y = b, B1(0, b, 0), B2(0,b, 0)con el eje Z, se hace x = y = 0, z2 = c2 @

b)Las trazas sobre los planos coordenados.

La traza sobre el plano XY se hace z = 0; donde x2

a2+ y

2

b2= 1 es elipse.

La traza sobre el planoXZ, se hace y = 0; dondex2

a2 z

2

c2= 1 es hiperbola

La traza sobre el plano Y Z, se hace x = 0; dondey2

b2 z

2

c2= 1 es Hiperbola

c)Simetra.

con respecto al origen es simetrica.

con respecto a los ejes coordenados es simetrica.

con respecto a los planos coordenados simetrica.

d)Secciones paralelas a los planos coordenados.

Los planos Z = K corta la superficie en la curvax2

a2+

y2

b2= 1 +

K2

c2que es una familia de elipsis y

los planos Y = K corta la superficie en la curvax2

a2 z

2

c2= 1 +

K2

c2=

b2 k2

b2b < K < b, que es

una familia de hiperbola.

2

Figura 2: Hiperboloide de una Hoja

Hiperboloide de Dos Hojas

Es el lugar geometrico de todos los puntos P (x, y, z) de R3 que satisfacen a la ecuacion:

x2

a2 y

2

b2 z

2

c2= 1

donde a, b, c 6= 0 es la forma Canonica de la Hiperboloide

a)interseccion con los ejes coordenados.

con el eje X, se hace y = z = 0, x = a, A1(a, 0, 0), A2(a, 0, 0)con el eje Y, se hace x = z = 0, y =

b2 @

con el eje Z, se hace x = y = 0, z = c2 @

b)Las trazas sobre los planos coordenados

La traza sobre el plano XY se hacen z = 0; donde2

a2 y

2

b2= 1 es Hiperbola

La traza sobre el plano XZ se hace y = 0; dondex2

a2 z

2

c2= 1 es Hiperbola

La traza sobre el plano Y Z se hace x = 0; dondey2

b2 z

2

c2= 1 @

c)Simetras Con respecto al origen, existe simetra.

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Con respecto al los ejes coordenados, existe simetra.

Con respecto a los planos coordenados existe.

d)Secciones paralelas a los planos coordenados.

Los planos Z = K, corta la superficie, donde la curva,x2

a2 y

2

b2= 1 +

K2

c2que es una familia de

Hiperbolas.

Los planos Y = K, corta la superficie dando la curva.x2

a2 z

2

c2= 1 +

K2

b2que es una familia de

Hiperbolas.

Los planos X = K corta la superficie dando la curva,y2

b2+

z2

c2= 1 +

K2

a2donde K > a o K < a,

que es una familia de elipses.

Figura 3: Hiperboloide de Dos Hojas

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Ejercicios Resueltos

Ejemplo 1

Analizar la superficie de la ecuacion.

a) x2 y2 + z2 = 1

,

Es un hiperboloide de una hoja.

El hiperboloide corta a los ejes coordenadas en los siguientes puntos:

Eje X: A1(1, 0, 0), A2(1, 0, 0)Eje Y: El Hiperboloide no corta al eje Y.

Eje Z: C1(0, 0,1), C2(0, 0, 1)las secciones con planos paralelos a los coordenados son:

Con planos paralelos al X Y (Z = K): Hiperbolas de la forma:

a)x2 y2 = 1K2, z = K

,

en las que puede asumir cualquier valor real y que cambian de eje focal en z = 1 con planos para-lelos al x z(y = k) circunferencias de la forma:

a)x2 + z2 = 1 + K2, y = K

,

en las que puede asumir cualquier valor real.

con planos paralelos al z k(x = K) Hiperbolas de la forma:

a)y2 + z2 = 1K2, x = K

,

en las que puede asumir cualquier valor real y que cambian de eje focal en x = 1El grafico de este hiperboloide de una hoja es:

ejemplo 2

Analizar la superficie de ecuacion:

b)x2 y2 z2 = 1

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Figura 4:

,

Es un hiperboloide de dos hojas

El Hiperboloide corta a los ejes coordenadas en los siguientes puntos:

Eje X:A1(1, 0, 0), A2(1, 0, 0)Eje Y: el hiperboloide no corta al eje Y

Eje Z: el hiperboloide no corta al eje Z

Las secciones con planos paralelos a los coordenados son:

con planos paralelos al x y(z = k) hiperbolas de la forma:

b)x2 y2 = 1 + k2, z = k

en las que puede asumir cualquier valor real.

con planos paralelos al x z(y = k) hiperbolas de la forma:

b)x2 + z2 = 1 + k2, y = k

en las que puede asumir cualquier valor real.

con planos paralelos al z y(x = k) circunferencias de la forma:

b)y2 + z2 = 1 + k2, x = k

en las que puede asumir cualquier valor real tal que 1 |k|El grafico de este hiperboloide de dos hojas es:

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Figura 5:

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