PRACTICA #2

1.- TEOREMA DE TRANSPORTE DE REYNOLDS

El teorema de transporte de Reynolds relaciona, la derivada Lagrangiana de

una integral de volumen de un sistema, con una integral en derivadas Eulerianas.

En otras palabras, este teorema relaciona la tasa de cambio en el tiempo de una

propiedad extensiva   con la generación y el flujo de la propiedad intensiva

correspondiente  , una y otra relacionadas por la ecuación:

La expresión general de este teorema es:

El teorema del transporte de Reynolds es una expresión matemática muy útil que

relaciona integrales y derivadas y tiene grandes usos en la mecánica de medios

continuos. En su aplicación a este campo, relaciona cómo varian las propiedades

de una masa de control con cómo varían las propiedades de un volumen de

control. ¡Un momento! ¿Qué es una masa de control y qué es un volumen de

control?

Masa de control

Es una cierta cantidad de material a la que hacemos un seguimiento. Por lo

tanto, una masa de control es un objeto físico igual que lo es una pelota,

pero puede ser difícil distinguir una masa de control de su vecina (por

ejemplo, es difícil distinguir una masa de agua de otra en medio del

océano).

Volumen de control

Es un volumen al que hacemos un seguimiento. Las masas de control

pueden atravesar un volumen de control. Los volúmenes de control son

entidades geométricas que definimos aparte de los objetos físicos: por

ejemplo, el interior de una caja es un volumen de control cuyo contenido,

las masas de control que tiene dentro, puede variar con el tiempo.

En general, el teorema del transporte de Reynolds relaciona el ritmo de variación

en un dominio móvil (el de la masa de control) y un dominio fijo (el del volumen de

control) o incluso entre varios volúmenes móviles. Es una generalización a

dimensiones múltiples de la regla de Leibniz. En lo que sigue, usaremos

volúmenes y superficies, pero en realidad el teorema es válido para dimensiones

superiores e inferiores. La exposición estará centrada, sobre todo, en el concepto

de la masa de control por su cómoda interpretación física.

2.- ECUACION DE CONTINUIDAD

La ecuación de continuidad es un importante principio físico muy útil para la descripción de los fenómenos en los que participan fluidos en movimiento, es decir en la hidrodinámica. Para la formulación de la ecuación de continuidad de los fluidos se asumen un grupo de consideraciones ideales que no siempre se tienen en los fenómenos reales de movimientos de fluidos, de modo que en general, aunque la ecuación es clave para la interpretación de los fenómenos reales, los cálculos derivados de su uso serán siempre una aproximación a la realidad, sin embargo, en una buena parte de los casos con suficiente exactitud como para poder ser considerados como ciertos.

Antes de entrar en el tema que nos ocupa debemos definir algunos conceptos importantes y útiles para la comprensión:

1. Lineas de corriente: Para muchas aplicaciones resulta conveniente considerar el flujo total del fluido en movimiento como un manojo de corrientes muy finas (infinitesimales) que fluyen paralelas. Estas corrientes, que recuerdan hilos, se conocen como lineas de corriente.

2. Flujo laminar: Cuando las lineas de corriente de un flujo nunca se cruzan y siempre marchan paralelas se le llama flujo laminar. En el flujo laminar siempre las lineas de corriente marchan en la misma dirección que la velocidad del flujo en ese punto.

3. Flujo turbulento: En el flujo turbulento el movimiento del fluido se torna irregular, las lineas de corriente pueden cruzarse y se producen  cambios en la magnitud y dirección de la velocidad de estas.

4. Viscosidad: Este término se utiliza para caracterizar el grado de rozamiento interno de un fluido y está asociado con la resistencia entre dos capas adyacentes del fluido que se mueven una respecto a la otra.

Entrando en la ecuación de continuidad

La ecuación de continuidad parte de las bases ideales siguientes:

1. El fluido es incompresible.2. La temperatura del fluido no cambia.3. El flujo es continuo, es decir su velocidad y presión no dependen del

tiempo.4. El flujo es laminar. No turbulento.5. No existe rotación dentro de la masa del fluido, es un flujo irrotacional.6. No existen pérdidas por

rozamiento en el fluido, es decir no hay viscosidad.

Tomemos un tubo imaginario de sección variable formado por un racimo de lineas de corriente del interior de un fluido en movimiento como se muestra en la figura 1. En un intervalo pequeño de tiempo Δt, el fluido que entra por el fondo del tubo imaginario recorre una distancia Δx1 = v1 Δtsiendo v1 la velocidad del fluido en esa zona. Si A1 es el área de la sección transversal de esta región, entonces la masa de fluido contenida en la parte azul del fondo es ΔM1 = ρ1A1 Δx1 =ρ1A1v1Δt, donde ρ es la densidad del fluido. De la misma forma el flujo que sale por el extremo superior del tubo imaginario en el mismo tiempo Δt tiene la masa ΔM2 = ρ2A2v2Δt. Como la masa debe conservarse y debido también a que el flujo es laminar, la masa que fluye a través del fondo del tubo en la sección A1, en el tiempo Δt, será igual a la que fluye en el mismo tiempo a través deA2. Por lo tanto ΔM1 = ΔM2, o:

ρ1A1v1Δt = ρ2A2v2Δt    (ecuación 1)

Si dividimos por Δt tenemos que: 

ρ1A1v1 = ρ2A2v2   (ecuación 2)

La ecuación 2 se conoce como ecuación de continuidad.

Figura 1. Un fluido en movimiento con las lineas de corriente a lo largo de un tubo imaginario de sección variable.

Como hemos considerado que el fluido es incompresible entonces ρ1 = ρ2 y la ecuación de continuidad se reduce a:

A1v1 = A2v2

Es decir, el área de la sección transversal de un tubo, multiplicada por la velocidad

del fluido es constante a todo lo largo del tubo.

3.- FLUJOS EN CANALES ABIERTOS

El flujo en canales abiertos tiene lugar en la naturaleza en ríos, arroyos, etc. De

forma artificial (es decir, construidas por el hombre) tiene lugar en los canales,

acequias y canales de  desagüe. En la mayoría de los casos, los canales tienen

secciones rectas regulares, y suelen ser rectangulares, triangulares o

trapezoidales. El flujo en canales abiertos también tiene lugar en el caso de

conductos cerrados (como en tuberías de sección recta circular) cuando el flujo no

es a conducto lleno. En los sistemas de alcantarillado por lo general, no se

presenta el flujo a conducto lleno y su diseño se realiza como canal abierto.

Un canal abierto es una conducción abierta a la atmósfera en el que el líquido fluye sometido a la presión atmosférica y movido por la pendiente del propio canal, los canales estarán definidos por una serie de caracterísitcas que le son propias, que son las que se citan a continuación:

Calado (y).- Es la altura de la lámina de agua en una sección transversal. Hay que medirlo respecto aun plano de referencia que usualmente se coloca en la cota inferior de la sección transversal o solera.

Anchura superior de la sección (B).- Se define como la anchura de la superficie libre de fluido en el canal.

Calado medio (ym).- Es el cociente entre el área mojada del canal y la anchura superiro de la sección (A/B).

Área mojada (A).- Es la superficie de la sección transversal que ocupa el agua.

Perímetro mojado. Es la longitud de la pared del canal que está en contacto con el agua.

Radio hidraulico (Rh).- Es la relación existente entre el área mojada y el perímetro mojado del canal.

Pendiente del canal (I).- Se define como la altura que desciende el canal por metro lineal, se puede expresar en % y en tanto por mil.

TIPOS DE FLUJO

El flujo en canales abierto puede clasificarse en muchos tipos y distribuirse de diferentes maneras. La siguiente clasificación se hace de acuerdo con el cambio en la profundidad del flujo con respecto al tiempo y al espacio.

FLUJO PERMANENTE Y NO PERMANENTE: tiempo como criterio. Se dice que el flujo en un canal abierto es permanente si la profundidad del flujo no cambia o puede suponerse constante durante el intervalo de tiempo en consideración.

EL FLUJO ES NO PERMANENTE si la profundidad no cambia con el tiempo. En la mayor parte de canales abiertos es necesario estudiar el comportamiento del flujo solo bajo condiciones permanentes. Sin embargo el cambio en la condición del flujo con respecto al tiempo es importante, el flujo debe tratarse como no permante, el nivel de flujo cambia de manera instantánea a medida que las ondas pasan y el elemento tiempo se vuelve de vital importancia para el diseño de estructuras de control. Para cualquier flujo, el caudal Q en una sección del canal se expresa por Q=VA. Donde V es la velocidad media y A es el área de la sección transversal de flujo perpendicular a la dirección de este, debido a que la velocidad media esta definida como el caudal divido por el área de la sección transversal.

FLUJO UNIFORME Y FLUJO VARIADO: espacio como criterio. Se dice que el flujo en canales abiertos es uniforme si la profundidad del flujo es la misma en cada sección del canal. Un flujo UNIFORME puede ser permanente o no permanente, según cambie o no la profundidad con respecto al tiempo. El flujo uniforme permanente es el tipo de flujo fundamental que se considera en la hidráulica de canales abiertos. El flujo es VARIADO si la profundidad de flujo cambia a lo largo del canal. El flujo VARIADO PUEDE SER PERMANENTE O NO PERMANENTE es poco frecuente, el termino "FLUJO NO PERMANENTE" se utilizara de aquí en adelante para designar exclusivamente el flujo variado no permanente.

A.- flujo permanente1) flujo uniforme2) flujo variadoa) flujo gradualmente variadob) flujo rápidamente variado

B.- flujo no permanente1) flujo uniforme no permanente "raro"2) flujo no permanente (es decir, flujo variado no permanente)a) flujo gradualmente variado no permanenteb) flujo rápidamente variado no permanente

ESTADO DE FLUJO. El estado o comportamiento del flujo en canales abiertos esta gobernado básicamente por los efectos de viscosidad y gravedad con relación con las fuerzas inerciales del flujo.

EFECTO DE VISCOSIDAD. El flujo puede ser laminar, turbulento o transaccional según el efecto de la viscosidad en relación de la inercia.

EL FLUJO ES LAMINAR: si las fuerzas viscosas son muy fuertes en relación con las fuerzas inerciales, de tal manera que la viscosidad juega con un papel muy importante en determinar el comportamiento del flujo. En el flujo laminar, las partículas de agua se mueven en trayectorias suaves definidas o en líneas de corriente, y las capas de fluido con espesor infinitesimal parecen deslizarse sobre capas adyacentes.

EFECTO DE LA GRAVEDAD. El efecto de la gravedad sobre el estado del flujo representa por relación por las fuerzas inerciales y las fuerzas gravitacionales.

REGIMENES DE FLUJO: en un canal el efecto combinado de la viscosidad y la gravedad puede producir cualquiera de 4 regimenes de flujo, los cuales son:1. subcritico-laminar2. súper critico-laminar3. subcritico-turbulento4. supercrítico-turbulento

4.- BALANCE DE ENERGIA

La energía total de un sistema corresponde a la sumatoria de tres tipos de energía:

1.- Energía Cinética: energía debida al movimiento traslacional del sistema considerado como un todo, respecto a una referencia (normalmente la superficie terrestre) ó a la rotación del sistema alrededor de un eje.

2.- Energía Potencial: energía debida a la posición del sistema en un campo potencial (campo gravitatorio o campo electromagnético)

3.- Energía Interna: toda energía que posee un sistema que no sea cinética ni potencial, tal como la energía debida al movimiento relativo de las moléculas respecto al centro de masa del sistema o energía debida a la vibración de las moléculas o la energía producto de las interacciones electromagnéticas de las moléculas e interacciones entre los átomos y/o partículas subatómicas que constituyen las moléculas.

Recordemos que al estudiar balances de materia, definimos un proceso cerrado como aquel proceso en el que no hay transferencia de materia con los alrededores mientras el mismo se lleva a cabo. Sin embargo, nada dice de la transferencia de energía o sea, en este sistema, la energía puede ser intecambiada con los alrededores (el sistema puede recibirla o entregarla) y seguir siendo cerrado. Las dos formas de energía en tránsito son calor y trabajo.

Calor: energía que fluye como resultado de una diferencia de temperatura entre el sistema y sus alrededores. La dirección de este flujo es siempre de la mayor temperatura a la menor temperatua. Por convención, el calor es positivo cuando la transferencia es desde los alrededores al sistema (o sea, el sistema recibe esta energía)

Trabajo: energía que fluye como consecuencia de cualquier fuerza impulsora diferente a un gradiente de temperatura, tal como una fuerza, una diferencia de voltaje, etc. Por ejemplo, si un gas en un cilindro en su expansión mueve un pistón venciendo una fuerza que restringe el movimiento, este gas efectúa un trabajo sobre el pistón (la energía es transferida desde el sistema a los alrededores (que incluyen el pistón) como trabajo.

BALANCE DE ENERGÍA EN SISTEMAS CERRADOS

El principio que rige los balances de energía es la ley de conservación de la energía que establece que la energía no puede crearse ni destruirse (excepto en procesos nucleares). Esta ley es también llamada primer principio de la termodinámica. En la más general de sus formas, la primera ley dice que la velocidad a la cual la energía (cinética + potencial + interna) es ingresada a un sistema por un fluido, más la velocidad a la cual ingresa energía en forma de calor, menos la velocidad a la cual la energía es transportadda por el fluido fuera del sistema, menos la velocidad a la cual el sistema realiza trabajo sobre los alrededores, es igual a la velocidadd a la cual la energía se acumula en el sistema.

Por lo expuesto, el balance integral de energía de un sistema cerrado será:

Energía final del sistema - Energía inicial del sistema = Energía neta transferida al sistema (entrada - salida)

Ahora:

Energía inicial del sistema = Ui + Eci + EPi

Energía final del sistema = Uf + Ecf + EPf

Energía transferida = Q +W

BALANCE DE ENERGÍA EN SISTEMAS ABIERTOS EN ESTADO ESTACIONARIO

Por definición de proceso abierto, en estos hay un flujo de materia que atraviesa los límites del mismo mientras el proceso se lleva a cabo. Por lo tanto, para que la masa ingrese al sistema es necesario efectuar un trabajo para empujar esta masa en el sistema y el sistema debe realizar un trabajo sobre los alrededores para que la masa pueda salir del sistema.

Trabajo de Flujo y Trabajo en el Eje

El trabajo neto realizado por el sistema sobre los alrededores puede ser escrito como:

W'= W's + W'fl

donde:

W's : es el trabajo en el eje o velocidad a la cual el sistema realiza trabajo sobre partes móviles del sistema (por ejemplo una bomba)

W'fl : es el trabajo de flujo o velocidad a la cual el fluido realiza trabajo para salir del sistema menos la velocidad a la cual los alrededores realizan trabajo sobre el sistema para introducir el fluido en el proceso.