hidrologia

ESTUDIO HIDROLOGICO

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“MEJORAMIENTO DEL SISTEMA DE AGUA POTABLE Y ALCANTARILLADO DEL CIRCUITO DEL RESERVORIO N-34 DEL CONO NORTE DISTRITO DE YURA, PROVINCIA Y DEPARTAMENTO DE

AREQUIPA II ETAPA."

02.00 ESTUDIO HIDROLOGICO

Contenido1. GENERALIDADES..............................................................................................................................................3

1.1 UBICACIÓN.........................................................................................................................................................3

1.2 OBJETIVOS..........................................................................................................................................................3

2. PARÁMETROS DE LA MICROCUENCA........................................................................................................3

2.1 INFORMACIÓN CARTOGRÁFICA Y GEOGRÁFICA...................................................................................3

2.2 PARÁMETROS MORFOLÓGICOS..................................................................................................................3

3. ANALISIS DE MAXIMAS AVENIDAS.............................................................................................................7

3.1 DATOS HIDROMETEOROLÓGICOS.............................................................................................................7

3.2 PROBABILIDAD DE OCURRENCIA DE LA PRESENTACION...............................................................10

3.3 ANÁLISIS ESTADISTICO DE PRECIPITACIONES MAXIMAS................................................................11

3.4 METODOS DE ESTIMACION DE PARAMETROS DE LAS FUNCIONES PROBABILÍSTICAS........11

3.5 METODO DE MOMENTOS............................................................................................................................12

3.5.1 DISTRIBUCION NORMAL.....................................................................................................................12

3.5.2 DISTRIBUCION DE VALOR EXTREMO TIPO I................................................................................13

3.5.3 DISTRIBUCION LOG – NORMAL DE II PARAMETROS.................................................................18

3.5.4 DISTRIBUCION LOG – NORMAL DE III PARAMETROS................................................................21

3.5.5 DISTRIBUCION LOG PEARSON TIPO III..........................................................................................23

3.5.6 DISTRIBUCION PEARSON TIPO III....................................................................................................27

3.6 VERIFICACION ESTADISTICA DE LAS DISTRIBUCIONES...................................................................30

3.6.1 PRUEBAS DE AJUSTE............................................................................................................................30

3.6.2 PRUEBA DE SMIRNOV KOLMOGOROV...........................................................................................30

3.6.3 METODO DEL ERROR CUADRÁTICO MINIMO..............................................................................32

3.6.4 SELECCIÓN DEL METODO ESTADÍSTICO APROPIADO.............................................................34

3.6.5 PRECIPITACION MAXIMA E INTENSIDAD MAXIMA.....................................................................34

3.6.6 ANÁLISIS DE RIESGO DE FALLA.......................................................................................................35

3.6.7 CURVAS DE INTENSIDAD-DURACIÓN Y FRECUENCIA (IDF)...................................................37

3.7 CAUDAL MAXIMO...........................................................................................................................................39

3.7.1 COEFICIENTE DE ESCORRENTÍA......................................................................................................39

3.7.2 TIEMPO DE CONCENTRACIÓN Tc....................................................................................................40

3.7.3 APLICACIÓN DEL METODO RACIONAL...........................................................................................41

4. CONCLUCIONES Y RECOMENDACIONES...............................................................................................42

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1. GENERALIDADESEl presente estudio contempla el análisis hidrológico de máximas avenidas de cuatro microcuencas también denominadas quebradas que influyen en el área de proyecto “MEJORAMIENTO DEL SISTEMA DE AGUA POTABLE Y ALCANTARILLADO DEL CIRCUITO DEL RESERVORIO N-34 DEL CONO NORTE DISTRITO DE YURA, PROVINCIA Y DEPARTAMENTO DE AREQUIPA II ETAPA." ubicadas en el distrito de Yura, Asociacion de Vivienda Hijos ciudad de Dios y Nueva Juventud.La información proporcionada del presente informe servirá para diseñar estructuras de paso de tubería y otros con la finalidad de evitar el colapso producido por máximas avenidas.

1.1 UBICACIÓNEl área de proyecto está ubicada Políticamente.Departamento : ArequipaProvincia : ArequipaDistrito : Yura

1.2 OBJETIVOSLos objetivos principales del presente informe son:

- Determinar el caudal máximo de diseño de 04 microcuencas comprendidas en el proyecto y la escorrentía en el área urbano.

- Determinar el tirante máximo en el cauce de la torrentera debido al caudal máximo para diferentes periodos de retorno.

2. PARÁMETROS DE LA MICROCUENCA

2.1 INFORMACIÓN CARTOGRÁFICA Y GEOGRÁFICACartas Nacionales a escala 1:100,000 elaboradas por el Instituto Geográfico Nacional, cuya identificación es la siguiente:Arequipa : ( 33S ).

2.2 PARÁMETROS MORFOLÓGICOSEl relieve de las cuencas en estudio, en general es propia de la cordillera, fisiográficamente de paisaje escarpado y abrupto, concerniente a la cobertura vegetal árida, y el resto constituida por especies propias de la zona tales como: Festuca, Canlli, etc.En lo que respecta a este ítem, se desarrolló el marco teórico y el cálculo de los parámetros geomorfológicos en el Área de Proyecto asociados a su capacidad de respuesta a la precipitación en forma de escorrentía, tales como: Área. Perímetro, Longitud del Cauce Principal, Ancho Promedio, Coeficiente de Compacidad. Factor de forma, Grado de Ramificación, Densidad de drenaje y Pendiente Media.

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ÁREA DE LA CUENCALa superficie de la cuenca delimitada por el divisor topográfico, corresponde a la superficie de la misma proyectada en un plano horizontal, y su tamaño influye en forma directa sobre las características de los escurrimientos pluviales y sobre la amplitud de las fluctuaciones.PERÍMETRO DE LA CUENCAEl perímetro de la cuenca está definido por la longitud de la línea de división de aguas (Divortium Aquarium).LONGITUD MAYOR DEL CAUCE (L)Recibe este nombre, el mayor cauce longitudinal que tiene una cuenca determinada, es decir, el mayor recorrido que realiza el río desde la cabecera de la cuenca, siguiendo todos los cambios de dirección o sinuosidades hasta un punto fijo de interés, que puede ser una estación de aforo o desembocadura.FORMA DE CUENCA Es la que determina la distribución de las descargas de agua a lo largo del curso principal, y es en gran parte responsable de las características de las crecientes que se presentan en la cuenca.Es expresada por parámetros, tales como el Ancho Promedio, Coeficiente de Compacidad y el Factor de formaANCHO PROMEDIOEs la relación entre el área de la cuenca y la longitud mayor del curso del río, la expresión es la siguiente:

Ap= AL

Dónde:Ap = Ancho promedio de Ia cuenca (Km)A = Área de la cuencaCOEFICIENTE DE COMPACIDAD (Kc)

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O índice de Gravelius, constituye la relación entre el perímetro de la cuenca y el perímetro de una circunferencia cuya área - igual a la de un círculo - es equivalente al área de la cuenca en estudio.Su fórmula es la siguiente:

Kc= P2√P∗A

Kc=0 .28∗√P/ ASiendo:Kc = Coeficiente de Compacidad (Km/Km2)P = Perímetro de la cuenca (Km)A = Área de la cuenca (Km2)Una cuenca se aproximará a una forma circular cuando el valor Kc se acerque a la unidadCuando se aleja de la unidad, presenta una relación irregular con relación al círculo.Si este coeficiente fuera igual a la unidad, significa que habrá mayores oportunidades de crecientes debido a que los tiempos de Concentración, Tc (duración necesaria para que una gota de agua caiga en el punto más alejado de aquella, llegue a la salida o desembocadura), de los diferentes puntos de la cuenca serían iguales.De igual modo, cuanto mayor sea el valor de Kc, también será mayor el tiempo de concentración de las aguas y. por lo tanto, estará menos propensa a una inundación.Generalmente en cuencas muy alargadas el valor de Kc, es mayor que 2.Un valor de Kc. menor que 1. nos indica una cuenca de forma circular, siguiendo el desarrollo de su curso principal, debiendo estar más expuesta a las crecientes que una cuenca de forma redondeada.FACTOR DE FORMA (Ff)Es otro índice numérico con el que se puede expresar la forma y la mayor o menor tendencia a crecientes de una cuenca.Es la relación entre el ancho promedio de la cuenca (Am) y la longitud del curso de agua mas largo (L).La expresión es la siguiente

Ff= ApL

Siendo:Ff = Factor de FormaAp = Ancho promedio de la cuenca (Km)L = Longitud del curso más largo (Km)Una cuenca con Factor de Forma bajo, está sujeta a menos crecientes que otra del mismo tamaño pero con un Factor de Forma mayor. Este valor es adimensional.SISTEMA DE DRENAJEEl sistema de drenaje de una cuenca está conformado por un curso de agua principal y sus tributarios: observándose por lo general, que cuanto más largo sea el curso de agua principal, más llena de bifurcaciones será la red de drenaje.Con la finalidad de determinar las características de dicha red, se definen los siguientes índices:GRADO DE RAMIFICACIONPara definir el grado de ramificación de un curso de agua principal (Según Horton), se ha considerado el número de bifurcaciones que presentan sus tributarios, asignándole un orden a

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cada uno de ellos en forma creciente desde el curso principal hasta el encuentro con la divisoria de la cuenca. DENSIDAD DE DRENAJEIndica la relación entre la longitud total de los cursos de agua: efímeros, intermitentes o perennes de una cuenca (Li) y el área total de la misma (A).Valores altos de densidad refleja una cuenca muy drenada que debería responder relativamente al influjo de la precipitación, es decir que las precipitaciones influirán inmediatamente sobre las descargas de los ríos (Tiempos de Concentración cortos).Una cuenca con baja densidad de drenaje refleja un área pobremente drenada con respuesta hidrológica muy lenta. Una baja densidad de drenaje es favorecida en regiones donde el material del subsuelo es altamente resistente bajo una cubierta de vegetación muy densa y de relieve plano.La densidad de drenaje tiende a uno en ciertas regiones desérticas de topografía plana y terrenos arenosos, y a un valor alto en regiones húmedas, montañosas y de terrenos impermeables.Esta última situación es la más favorable, pues si una cuenca posee una red de drenaje bien desarrollada, la extensión medía de los terrenos a través de los cuales se produce el escurrimiento superficial es corto y el tiempo en alcanzar los cursos de agua también será corto; por consiguiente la intensidad de las precipitaciones influirá inmediatamente sobre el volumen de las descargas de los ríos.La expresión es la siguiente:

Dd=LiA

Siendo:Dd = Densidad de drenaje (Km/Km2)Li = Longitud total de los cursos de agua (Km/Km2)A = Área de la cuenca (Km2)Monsalve1, refiere que Dd usualmente toma los siguientes valores:Entre 0.5 Km/Km2 para hoyas con drenaje pobre.Hasta 3.5 Km/Km2 para hoyas excepcionalmente bien drenados.PENDIENTE MEDIA DEL CAUCEEl agua superficial concentrada en los lechos pluviales escurre con una velocidad que depende directamente del declive de éstos, así a mayor declive habrá mayor velocidad de escurrimiento. La pendiente Media del río es un parámetro empleado para determinar el declive de un curso de agua entre dos puntos.Se determina mediante la siguiente expresión:

Ic=(HM−Hm )1000∗L

Siendo:Ic = Pendiente media del ríoL = longitud del ríoHM y Hm = Altitud Máxima y mínima del lecho del río, referidas al nivel medio de las aguas del mar.

PARAMETROS MORFOLOGICOS DE LAS MICROCUENCAS

1

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MicrocuencasAREA Cota

SuperiorCota

Inferior

Long. De

CaucePERIMETRO ANCHO

PROMEDIOCoef. De

Compacidad

Fac. Form

a

Densidad de

Drenaje

Pend. Media del

Rio(Km2) (msnm) (msnm) (Km) (Km) (Km) (1/km) (m/m)

QUEBRADA 1 0.66 3241 2687 1.323 3.831 2.896 0.12 0.46 0.35 4.19QUEBRADA 2 3.815 3815 2653 3.918 9.5 2.425 0.18 1.62 0.41 2.97QUEBRADA 3 1.368 3692 2688 2.543 7.048 2.772 0.12 0.92 0.36 3.95QUEBRADA 4 3.479 3856 2678 3.917 9.77 2.494 0.17 1.57 0.40 3.01

3. ANALISIS DE MAXIMAS AVENIDAS

3.1 DATOS HIDROMETEOROLÓGICOS

Es necesario identificar un período común de análisis, siendo este 1984 – 2001 en cuanto a precipitaciones máximas en 24 horas, de acuerdo a la información disponible y que se requiere para efectos de cálculo, siendo estos los parámetros de Precipitación de las estaciones de:Characato.La pampillaChiguata

Estacion : LA PAMPILLA Latitud : 16°24'00" S : Arequipa

Tipo : CP Longitud : 71°30'00" W : Arequipa

Altitud : 2,370.00 msnm : Arequipa

N°

REGISTROAÑO ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SET OCT NOV DIC MAXIMO

1 1984 4.90 14.70 4.60 0.00 0.00 0.00 0.00 2.90 0.00 0.10 4.90 0.00 14.70

2 1985 3.60 15.30 5.90 2.10 0.00 0.90 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 9.50 15.30

3 1986 6.10 18.40 4.20 0.00 1.50 0.00 0.00 2.50 0.00 0.00 3.00 11.70 18.40

4 1987 19.00 4.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.20 0.00 0.00 0.50 0.00 0.00 19.00

5 1988 3.50 0.00 11.50 0.20 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.90 11.50

6 1989 1.40 22.90 9.30 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 22.90

7 1990 0.00 0.00 11.50 0.00 0.00 0.80 0.00 0.00 0.00 0.00 1.50 2.60 11.50

8 1991 5.50 0.20 7.70 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 7.70

9 1992 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 3.40 3.40

10 1993 13.50 2.10 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 3.10 0.00 1.80 0.00 0.00 13.50

11 1994 13.60 10.30 11.70 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.10 13.60

12 1995 28.00 0.00 21.60 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.30 0.00 28.00

13 1996 12.10 8.90 0.30 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.30 12.10

14 1997 11.20 33.40 23.20 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.05 33.40

15 1998 7.80 1.90 0.00 1.10 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.40 7.80

16 1999 3.00 12.30 3.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2.80 12.30

17 2000 20.20 9.20 23.70 0.30 0.90 0.70 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.90 23.70

18 2001 4.90 14.50 30.00 1.80 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.60 0.00 0.00 30.00

N° Datos 18.00 18.00 18.00 18.00 18.00 18.00 18.00 18.00 18.00 18.00 18.00 18.00 18.00

Media 8.79 9.39 9.34 0.31 0.13 0.13 0.01 0.47 0.00 0.17 0.54 1.98 16.60

Desv . Estandar 7.72 9.38 9.47 0.66 0.40 0.31 0.05 1.09 0.00 0.44 1.33 3.35 8.18

Coef. Variacion 87.75 99.88 101.35 214.60 301.10 - - - - 266.75 247.02 168.92 301.10

Prec. Max . 28.00 33.40 30.00 2.10 1.50 0.90 0.20 3.10 0.00 1.80 4.90 11.70 33.40

FUENTE : SENAMHI

REGISTRO DE PRECIPITACION MAXIMA EN 24 HORAS

(mm)

Departamento

Prov incia

Distrito

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:


AREQUIPA II ETAPA."

Estacion : CHARACATO Latitud : 16°27'00" S : Arequipa

Tipo : Conv encional Longitud : 71°29'00" W : Arequipa

Altitud : 2,451.00 msnm : Characato

N°


1 1984 16.60 18.20 19.60 0.00 0.00 0.10 0.00 4.00 0.00 0.10 10.80 0.00 19.60

1985 5.20 24.30 18.20 3.00 0.00 1.50 0.00 0.00 0.00 0.00 1.10 21.10 24.30

2 1986 26.20 24.60 10.90 0.10 2.70 0.00 0.10 6.90 0.00 0.00 4.80 22.70 26.20

3 1987 83.60 6.20 2.70 0.00 0.00 0.00 0.10 0.00 0.00 0.70 0.00 0.00 83.60

4 1988 9.30 0.50 22.00 0.30 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 7.00 22.00

5 1989 4.50 51.30 8.30 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 51.30

6 1990 0.40 4.70 17.60 0.00 0.00 8.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.70 18.50 18.50

7 1991 1.80 0.00 2.80 1.00 0.00 1.50 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2.80

8 1992 0.40 3.40 0.00 0.00 0.20 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 18.00 18.00

9 1993 17.10 3.80 3.20 0.00 0.00 0.00 0.00 7.60 0.00 3.50 0.00 4.20 17.10

10 1994 21.90 20.50 13.90 0.40 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 21.90

11 1995 81.40 0.00 32.90 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.20 0.00 81.40

12 1996 20.75 11.15 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 20.75

13 1997 17.90 58.90 32.90 0.00 0.00 0.00 0.00 21.50 6.80 0.00 0.00 38.10 58.90

14 1998 19.90 13.40 2.40 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2.95 19.90

15 1999 25.00 45.80 52.60 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 3.21 52.60

16 2000 18.30 13.40 2.40 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 3.40 18.30

17 2001 8.97 23.00 51.40 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.08 51.40

18.00 18.00 18.00 18.00 18.00 18.00 18.00 18.00 18.00 18.00 18.00 18.00 18.00

21.07 17.95 16.38 0.27 0.16 0.62 0.01 2.22 0.38 0.24 1.03 7.85 33.81

23.87 17.89 16.58 0.73 0.64 1.90 0.03 5.39 1.60 0.83 2.71 11.03 23.39

113.29 99.67 101.24 272.55 394.37 308.82 291.04 242.76 424.26 347.61 262.00 140.61 69.19

83.60 58.90 52.60 3.00 2.70 8.00 0.10 21.50 6.80 3.50 10.80 38.10 83.60

FUENTE : SENAMHI

N° Datos

Media

Desv . Estandar

Coef. Variacion

Prec. Max .


(mm)

Departamento

Prov incia

Distrito

ESTUDIO HIDROLOGICO

:


AREQUIPA II ETAPA."

Estacion : CHIGUATA Latitud : 16°24'05" S : Arequipa

Tipo : Conv encional Longitud : 71°24'07" W : Arequipa

Altitud : 2,964.00 msnm : Chiguata

N°


1 1984 10.70 21.00 14.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2.80 0.00 21.00

2 1985 11.40 20.30 10.30 1.40 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2.40 16.50 20.30

3 1986 20.00 17.00 8.20 0.00 0.80 0.00 0.50 8.60 0.00 0.00 3.10 37.90 37.90

4 1987 30.40 3.90 0.00 0.00 0.00 0.00 1.40 0.00 0.00 2.70 0.00 0.00 30.40

5 1988 19.50 1.90 22.70 0.90 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 4.10 22.70

6 1989 8.50 32.20 10.20 1.30 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 32.20

7 1990 3.40 2.80 18.90 0.30 0.00 4.80 0.00 0.00 0.00 0.00 1.40 15.80 18.90

8 1991 5.30 3.50 13.50 3.60 0.00 7.40 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 13.50

9 1992 0.00 6.00 1.80 0.00 0.10 1.20 0.00 0.00 0.00 0.10 0.00 5.20 6.00

10 1993 21.80 14.30 3.90 0.00 0.00 0.00 0.00 6.30 0.00 4.30 0.00 1.80 21.80

11 1994 35.30 21.20 15.00 2.50 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2.50 35.30

12 1995 25.10 0.00 48.80 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 48.80

13 1996 15.90 10.20 2.60 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 15.90

14 1997 14.90 44.00 28.50 1.14 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 4.43 44.00

15 1998 10.40 12.60 3.90 1.40 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 6.40 12.60

16 1999 10.20 19.90 25.00 3.60 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 4.28 25.00

17 2000 14.30 22.10 36.20 1.40 0.40 0.60 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2.20 36.20

18 2001 11.40 19.40 20.90 2.50 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 20.90

N° Datos 18.00 18.00 18.00 18.00 18.00 18.00 18.00 18.00 18.00 18.00 18.00 18.00 18.00

Media 14.92 15.13 15.80 1.11 0.07 0.78 0.11 0.83 0.00 0.39 0.54 5.62 25.74

Desv . Estandar 9.17 11.50 12.98 1.23 0.21 2.01 0.34 2.44 0.00 1.16 1.08 9.48 11.46

Coef. Variacion 61.45 76.02 82.18 110.82 284.18 - - - - 294.82 200.99 168.75 294.82

Prec. Max . 35.30 44.00 48.80 3.60 0.80 7.40 1.40 8.60 0.00 4.30 3.10 37.90 48.80

FUENTE : SENAMHI


(mm)

Departamento

Prov incia

Distrito

3.2 PROBABILIDAD DE OCURRENCIA DE LA PRESENTACION

Existen varias fórmulas para calcular la probabilidad de ocurrencia, la misma que se muestra en las siguientes tablas, siendo la fórmula más utilizada de Weibull.

Formulas empíricas para determinar la probabilidad de Ocurrencia

Método Probabilidad de Ocurrencia (P)

Californiamn

Hazenm−1/2

n

Weibullm

n+1

Chegadayevm−0 .3n+0. 4

ESTUDIO HIDROLOGICO

:


AREQUIPA II ETAPA."

Blomm−3/8n+1/4

Tukey3m−13n+1

Gringortenm−a

n+1−2aDónde:P= Probabilidad experimental o frecuencia relativa empíricam= Número de Ordenn= Número de datosa= Valor comprendido en el intervalo 0<a<1, y depende de n, de acuerdo a la siguiente tabla

N 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100A 0.448 0.443 0.442 0.441 0.440 0.440 0.440 0.440 0.439 0.439

3.3 ANÁLISIS ESTADISTICO DE PRECIPITACIONES MAXIMAS

FUNCION DE PROBABILIDADUna función f(x) es llamada función de probabilidad o función de densidad de la variable aleatoria continúa X si cumple con las siguientes condiciones:f ( x )≥0 ,∀ x∈R

∫ f ( x )dx=1 Cuando se encuentra en los límites −∞ y ∞

Sea el evento A=( x /a≤x≤b ); luego, P( A )=P( x∈ A )=P(a≤x≤b )=∫ f ( x )dxCuando se encuentra entre los límites a y bEn la estadística existen decenas de funciones de distribución de probabilidad teórica; y obviamente no es posible probarlas todas para un problema particular, por lo tanto es necesario escoger uno de esos modelos, el que se adapte mejor al problema bajo análisis.Para el análisis de precipitaciones máximas de las microcuencas de las torrenteras del área de proyecto se han utilizado los últimos registros históricos máximos de 24 horas de 10 años (1984-2001), para ello se ajustaron a 6 Distribuciones de probabilidades las cuales son:

Distribución Normal Estándar. Distribución Gumbel (Distribución extrema Tipo I). Distribución Log Pearson Tipo III. Distribución Log Normal II Parámetros. Distribución Log Normal III Parámetros. Distribución Pearson tipo III.

3.4 METODOS DE ESTIMACION DE PARAMETROS DE LAS FUNCIONES PROBABILÍSTICASExisten varias técnicas para estimar los parámetros de una distribución como:

Método de Momentos

ESTUDIO HIDROLOGICO

:


AREQUIPA II ETAPA."

El objetivo de estimar los parámetros es de relacionar los registros observados (media, varianza, sesgo, etc.) de un fenómeno aleatorio con el modelo probabilística seleccionado.

3.5 METODO DE MOMENTOS

3.5.1DISTRIBUCION NORMALEl método de momentos fue desarrollado por primera vez por Karl Pearson en 1902. Él consideró que una estimación óptima de parámetros de una función de probabilidad son aquellos para los cuales los momentos de la función de densidad de probabilidad alrededor del origen son iguales a los momentos correspondientes de la información de la muestra.

∑i=1

n X i

n=1n∑i=1

n

X i=X−

La media o promedio es el estimador que corresponde a la función teórica de probabilidad que es:

u=∫−∞

∞xf ( x )dx

Originalmente Pearson consideró solamente momentos alrededor del origen, pero posteriormente se volvió común al uso de la varianza como el segundo momento central,

σ 2=E [(( x−u )2] ,y el coeficiente de asimetría como el tercer momento central estandarizado,

γ=E [(( x−u )3 ]/σ3,

para determinar el segundo y el tercer parámetro de la distribución.Cuando la distribución de probabilidad, a la que se estima los parámetros por este método es simétrica y particularmente si es normal, se puede demostrar que este método es muy eficiente, pero cuando las distribuciones son asimétricas y por lo tanto sesgadas, como ocurre muy a menudo con las variables hidrológicas, el utilizar este método representa una pérdida de eficiencia en la estimación.

Distribution Analysis: Normal Distribution------------------Summary of Data -----------------------

First Moment (mean) = 37.1917Second Moment = 4.666e02

Skew = 8.64e-01---------------------------------------------------------

Point Weibull Actual Predicted StandardNumber Probability Value Value Deviation

---------------------------------------------------------1 0.0526 13.5000 2.1950 9.69342 0.1053 18.0000 10.1422 8.15903 0.1579 18.9000 15.5241 7.21134 0.2105 19.9000 19.8164 6.53395 0.2632 20.7500 23.5120 6.02636 0.3158 21.0000 26.8432 5.64537 0.3684 21.8000 29.9426 5.37028 0.4211 22.7000 32.8968 5.1909

ESTUDIO HIDROLOGICO

:


AREQUIPA II ETAPA."

9 0.4737 24.3000 35.7693 5.102210 0.5263 35.3000 38.6140 5.102211 0.5789 36.2000 41.4865 5.190912 0.6316 37.9000 44.4407 5.370213 0.6842 51.3000 47.5401 5.645314 0.7368 51.4000 50.8714 6.026315 0.7895 52.6000 54.5669 6.533916 0.8421 58.9000 58.8593 7.211317 0.8947 81.4000 64.2411 8.159018 0.9474 83.6000 72.1884 9.6934

-------------------------------------------------------------------------- Predictions --------------------------

Exceedence Return Calculated StandardProbability Period Value Deviation

---------------------------------------------------------0.9950 200.0 92.8387 14.06960.9900 100.0 87.4506 12.89380.9800 50.0 81.5625 11.63170.9600 25.0 75.0152 10.26640.9000 10.0 64.8773 8.27670.8000 5.0 55.3674 6.65380.6670 3.0 46.5060 5.54440.5000 2.0 37.1918 5.0912

---------------------------------------------------------

3.5.2DISTRIBUCION DE VALOR EXTREMO TIPO I

Función de distribución acumulada.La función de distribución acumulada, tiene la forma:

F ( x )=e−e−α [x−β ]

Para: −∞<x <+∞ 0<α<+∞ −∞<β <+∞

Dónde:El parámetro α se le conoce como parámetro de escala.El parámetro β se le conoce como parámetro de posición.

Función densidad de probabilidad.Derivando la función de distribución acumulada, con respecto a x, se obtiene la función de densidad de probabilidad, es decir:

f ( x )=dF ( x )dx

f ( x )=α∗e[±α (x−β )−ezα (x−β ) ]

Para −∞<x <+∞ ,El signo (+) se aplica para valores mínimos y el signo (-) se aplica para valores máximos (distribución Gumbel o Tipo I).

ESTUDIO HIDROLOGICO

:


AREQUIPA II ETAPA."

Si se hace la transformación:Y=α ( x−β )

Con lo cual, la función densidad reducida es:

f ( y )=e(± y−e±y )

El signo (+) se emplea para eventos mínimos y el signo (-) para eventos máximos.La función de distribución acumulada es:

F ( y )=e−e− y

→ (Máximo) F ( y )=1−e−e y

→ (Mínimo)

F ( y )min=1−F (− y )max

Los valores correspondientes de x e y, están relacionadas por: F(x) = F(y) y la relación:

Y=α ( x−β ) ó x=β+ y

α

Método de Gumbel (Valor extremo tipo I)Según Paulet, 1974, El método de Gumbel se utiliza para predecir magnitudes máximas de variables hidrológicas asumiendo que estos valores son independientes entre sí, también son usadas frecuentemente para el estudio de magnitud - duración - frecuencias de lluvias (Hershfiel 1961).Según Linsley 1971, aplicó al río Clear Water en Idaho Estados Unidos. Este método es adecuado cuando se utiliza como datos las descargas máximas anuales en un punto de control de una vertiente o un Río.La función de densidad reducida de Gumbel (Tipo I) tiene la forma de la ecuación anterior pero con signo negativo.

Estimación de parámetros

Para la estimación de los parámetros α y β de la Función Acumulada F(x) ecuación se utilizaron 2 métodos de estimación.

Método de momentosSegún Lowery y Nash, 1970 utilizando el método de momentos se obtienen las siguientes relaciones:Media:

E(x)= x=β+ c

αDonde c, es la constante de Euler, cuyo valor es:

c=Limn→∞[1+12+ 1

3+. . .. .. . .. ..+ 1

n−Ln(n )]

c = 0.5772156649Por lo tanto :

X=β+ 0 .57721α

Varianza:

E [ ( X−E( x ))2]=S2= π2

α 2∗6De donde se obtienen:

ESTUDIO HIDROLOGICO

:


AREQUIPA II ETAPA."

α=1.2825S

β=X−0 .57721α

Reemplazando en las ecuaciones anteriores se tiene lo siguiente:

β=X−0 . 45∗S ==>Máximo

β=X−0 . 45∗S ==>MínimoPara muestras muy grandes, o bien como:

α=σ y

S

β=x−μy

a

Para muestras relativamente pequeñas, los valores de μ y y σ y se muestran en la tabla siguiente:Tabla de Medias esperadas y Desviaciones estándar de extremos reducidos

ESTUDIO HIDROLOGICO

:


AREQUIPA II ETAPA."

N my s y N my s y

20 0.524 1.063 50 0.549 1.161 21 0.525 1.07 51 0.549 1.162 22 0.527 1.076 52 0.549 1.164 23 0.528 1.081 53 0.55 1.165 24 0.53 1.087 54 0.55 1.167 25 0.531 1.092 55 0.55 1.168 26 0.532 1.096 56 0.551 1.17 27 0.533 1.1 57 0.551 1.171 28 0.534 1.105 58 0.552 1.172 29 0.535 1.109 59 0.552 1.173 30 0.536 1.112 60 0.552 1.175 31 0.537 1.116 62 0.553 1.177 32 0.538 1.119 64 0.533 1.179 33 0.539 1.123 66 0.554 1.181 34 0.54 1.126 68 0.554 1.183 35 0.541 1.129 70 0.555 1.185 36 0.541 1.131 72 0.555 1.187 37 0.542 1.134 74 0.556 1.189 38 0.542 1.136 76 0.556 1.191 39 0.543 1.139 78 0.557 1.192 40 0.544 1.141 80 0.557 1.194 41 0.544 1.144 82 0.557 1.195 42 0.545 1.146 84 0.558 1.197 43 0.545 1.148 86 0.558 1.198 44 0.546 1.15 88 0.558 1.199 45 0.546 1.152 90 0.559 1.201 46 0.547 1.154 92 0.559 1.202 47 0.547 1.156 94 0.559 1.203 48 0.548 1.157 96 0.56 1.204 49 0.548 1.159 98 0.56 1.206

Por otro lado, conocemos que la ecuación de GUMBEL se expresa como:

X=β+ yα

De las ecuaciones se puede escribir la ecuación como:

X=X−μ y

α+ y∗S

σ y

X=X−μ y∗S

σ y

+ y∗Sσ y

X=X+ SσY

(−μ y+ y )Se sabe que la función de distribución Acumulada ecuación es:F(y) = e−e− y

ESTUDIO HIDROLOGICO

:


AREQUIPA II ETAPA."

Por otro lado se tiene:

F ( y )=1− 1T

Entonces se tiene que.

1− 1T

=e−e− y

=F ( y )

Tomando dos veces Ln a la ecuación a ambos miembros se obtiene lo siguiente:

y=−Ln(−Ln(T−1T ))

Reemplazando el valor de y en la ecuación se obtiene:

X=X+ Sσ y

(−μ y−Ln(−Ln(T−1T )))

X=X+S(− 1σ y

(μ y+LnLn( TT−1 ))⏟

K)

S i consideramos que para valores grandes de N, la expresión

1σ y tiende a

√6π y que μ y

tiende a c =0.5772 entonces hemos comprobado que la ecuación general para expresar un valor de una serie hidrológica es: X=X+K∗S

Distribution Analysis: Gumbel Extremal Type I------------------Summary of Data -----------------------


Skew = 8.64e-01---------------------------------------------------------


---------------------------------------------------------1 0.0526 13.5000 5.7350 6.15452 0.1053 18.0000 11.0131 5.30993 0.1579 18.9000 14.9179 4.79834 0.2105 19.9000 18.2496 4.46675 0.2632 20.7500 21.2889 4.26896 0.3158 21.0000 24.1764 4.18737 0.3684 21.8000 26.9994 4.21358 0.4211 22.7000 29.8222 4.34289 0.4737 24.3000 32.7005 4.571610 0.5263 35.3000 35.6893 4.898111 0.5789 36.2000 38.8502 5.323612 0.6316 37.9000 42.2600 5.854713 0.6842 51.3000 46.0233 6.506214 0.7368 51.4000 50.2956 7.3061

ESTUDIO HIDROLOGICO

:


AREQUIPA II ETAPA."

15 0.7895 52.6000 55.3312 8.306916 0.8421 58.9000 61.6011 9.612517 0.8947 81.4000 70.1561 11.461618 0.9474 83.6000 84.3403 14.6251

-------------------------------------------------------------------------- Predictions --------------------------


---------------------------------------------------------0.9950 200.0 131.1067 25.38400.9900 100.0 117.4272 22.21020.9800 50.0 103.6977 19.04180.9600 25.0 89.8660 15.87750.9000 10.0 71.2214 11.69570.8000 5.0 56.4651 8.53890.6670 3.0 44.7457 6.27850.5000 2.0 34.1775 4.7226

---------------------------------------------------------

3.5.3DISTRIBUCION LOG – NORMAL DE II PARAMETROS

Si la variable aleatoria Y = log X está normalmente distribuida, entonces se dice que X está distribuida en forma log-normal. Esta función fue estudiada por primera vez por Galtón en el año de 1875, por eso es que se le llama también función de Galtón.Por el teorema del límite central, tenemos que si X es una variable aleatoria con distribución normal, se puede esperar una variable y=lnx, también con distribución normal con media μy y varianza σy2, se usan estos parámetros para especificar que la distribución es logarítmica, puesto que también puede usarse la media y la varianza de x.

Función de densidad de probabilidadLa función densidad de distribución normal para Y es:

f ( y )= 1σ y√2Π

e−1

2( y−μy

σ y)

2

Para -∞ < y < +∞Refiriendo la función de distribución de f(y) con f(x), se tiene:

f ( x )=f ( y )d y

d x

Como Y=lnx

⇒|d y

d x

|=1x

, X>0

f ( x )= 1√2Π xσ y

e−

12

[ ln x−μy ]σ y

Para X>0f(y) = Es la función de densidad de la distribución normal para y con media μy y variancia σy2.f(x) = Es la función de densidad de la distribución Log - Normal para X con parámetro μy y σy2.

ESTUDIO HIDROLOGICO

:


AREQUIPA II ETAPA."

Las tablas de distribución normal estándar pueden ser usadas para evaluar la distribución Log Normal.Como f(x) = f(y)/x; pero f(y) es una distribución normal tenemos: f(x)=f(z)/xσy.Función de distribución acumuladaLa función de distribución acumulada para X e Y es:

F ( x )= 1√2 Π

∫0

x1xσ y

e

−12 [ Lnx−μ y

σ y ]2

dx

F ( x )= 1√2 Π

∫y−∞

y

e

−12 [ y−μy

σ y ]2

dy

Los valores de la función de distribución de probabilidad F(y) se obtienen usando la fórmula de Abramowitz y Stegún si la variable estandarizada se define como:

Z=y−μy

σ y

F ( x )=1

√2 Π∫−∞

x

e− z2

2 dz

Para la estimación de los parámetros μ y y σ y de la función de Distribución Acumulada F(x) se estimaron por 2 Métodos de estimación:

Método de MomentosUtilizando el método de momentos de las relaciones entre la media y la varianza de la variable

x y los parámetros μ y y δ

y2 , pueden ser estimados por y y Sy2 mediante la transformación yi = LnXi. Se sabe qué y = Lnx tiene distribución normal, mientras que x tiene distribución Log-Normal.

y=Σi=1

n

y1

n

S y2=

(Σi=1

n

y i2−n y2)

n−1

Los valores de y y Sy2 se estiman a partir de n observaciones Xi, i=1,2,3,4....n

Según Chow (1954), se presentó la siguiente relación para calcular y y Sy2 sin que sea necesario transformar los datos previamente en sus logaritmos.

y=12Ln( x2

Cv2+1 )S y

2=Ln(Cv2+1)

Donde Cv es el coeficiente de variación de los datos originales Cv=

Sxx

ESTUDIO HIDROLOGICO

:


AREQUIPA II ETAPA."

Existen las siguientes relaciones para obtener la Media y Varianza de la distribución Log Normal.

μx=E ( x )=e(μ y+

12σy2)

Var(x)=μx2(eσ

y2

−1)

Cv= [eσy2−1]1/2

Coeficiente de Asimetría: g = 3Cv+Cv3

Para valores prácticos de σ

y2 ; 0.1<σ y2<0. 6 , la relación es casi lineal y puede ser

aproximada por:

g=0.52 + 4.85*σ

y2

Que es correcta dentro del 2%, en el rango mencionado.

Distribution Analysis: 2 Parameter Log Normal------------------Summary of Data -----------------------


Skew = 8.64e-01---------------------------------------------------------


---------------------------------------------------------1 0.0526 13.5000 13.4269 6.63032 0.1053 18.0000 16.3728 5.81063 0.1579 18.9000 18.7267 5.21864 0.2105 19.9000 20.8443 4.75285 0.2632 20.7500 22.8585 4.38776 0.3158 21.0000 24.8403 4.12277 0.3684 21.8000 26.8382 3.96928 0.4211 22.7000 28.8919 3.94449 0.4737 24.3000 31.0394 4.065010 0.5263 35.3000 33.3234 4.343411 0.5789 36.2000 35.8003 4.789112 0.6316 37.9000 38.5397 5.412213 0.6842 51.3000 41.6395 6.231614 0.7368 51.4000 45.2496 7.286315 0.7895 52.6000 49.6219 8.653916 0.8421 58.9000 55.2333 10.494717 0.8947 81.4000 63.1741 13.190418 0.9474 83.6000 77.0344 18.0184

-------------------------------------------------------------------------- Predictions --------------------------


---------------------------------------------------------

ESTUDIO HIDROLOGICO

:


AREQUIPA II ETAPA."

0.9950 200.0 128.9818 36.51240.9900 100.0 112.7515 30.70520.9800 50.0 97.3413 25.20890.9600 25.0 82.6660 20.00330.9000 10.0 64.1852 13.53860.8000 5.0 50.6232 8.97660.6670 3.0 40.5784 5.94020.5000 2.0 32.1612 4.1839

---------------------------------------------------------

3.5.4DISTRIBUCION LOG – NORMAL DE III PARAMETROS

Es una función de distribución análoga a la anterior con la única diferencia que el límite inferior no es cero, fue introducida por primera vez por R. Gibrart el cual la llamó la ley de efectos proporcionales.Difiere de la distribución Log Normal de II parámetros por la introducción de un límite inferior X0, tal que: y = ln(x-x0).Función de densidad de probabilidadLa función de densidad de x es:

f ( x )= 1( x−x0 )√2 Π σ y

e

−12 [ ln( x− x0)−μy

σ y ]2

Para x>x0Dónde:x0 = Parámetro de posiciónμy = Parámetro de escala o mediaσy2 = Parámetro de forma o varianzaHaciendo la transformación y = ln(x-x0); la función de densidad reducida es:

f ( y )= 1σ y√2π

e

−12 [ y−μ y

σ y ]2

Para −∞< y <+∞

si z=

y−μ y

σ y⇒ f ( z )= 1

√2πe

−12

z2

Función de distribución acumuladaLa función de distribución acumulada del Método Log - Normal de III Parámetros es:

F ( x )= 1( x−x0 )σ y √2 π

∫x

0

x

e

−12 [ ln(x−x 0)−μ y

σ y ]2dx

F ( y )= 1σ y√2π

∫−∞

y

e

−12 [ y−μ y

σ y ]2dy

ESTUDIO HIDROLOGICO

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AREQUIPA II ETAPA."

Como z=

y−μ y

σ y

⇒ f ( z )= 1√2π

∫−∞

z

e−z2

dz

Las funciones: F(x) y F(y) son iguales.La función F(z) es una distribución normal estándar, la que puede ser usada para evaluar la distribución Log Normal.

Para la estimación de los parámetros de Xo, μ y y δ y de la Función de Distribución Acumulada F(x) se tienen 2 Métodos de estimación:

Método de MomentosLos momentos de X pueden obtenerse de los correspondientes momentos de la distribución Log Normal de II parámetros, debido a que las variables difieren solo en el parámetro de posición Xo, ya que y = Ln (x-xo).X = Xo + H

Dónde:X = variable aleatoria con distribución Log Normal de III parámetrosH = Variable aleatoria con distribución Log Normal de II parámetrosXo = Parámetro de posiciónμx=x0+E(H )=x0+μH

σx2=σ

H2

Media: μx=x0+e(μ y+

12σy2)

Varianza: σ x2=(eσ

y2

−1)∗e(2μ y+σ y2)

El coeficiente de asimetría (g) esta dado por:

g=(eσ y2−1)

12 (eσ

y2+2)

Y de forma aproximada puede ser: g =0 . 52+4 . 85sy2 g =0.52+4.85sy2Luego de las ecuaciones anteriores se obtienen los siguientes resultados:

σ y=√ g−0. 524 .85

μ y=12 [Ln( σ

x2

eσy 2−1 )−σ

y2]X 0=μx−e

μ y+σ

y2

2

Distribution Analysis: 3 Parameter Log Normal------------------Summary of Data -----------------------

ESTUDIO HIDROLOGICO

:


AREQUIPA II ETAPA."


Skew = 8.64e-01---------------------------------------------------------


---------------------------------------------------------1 0.0526 13.5000 7.6596 6.29072 0.1053 18.0000 12.7169 4.93363 0.1579 18.9000 16.4445 4.53514 0.2105 19.9000 19.6063 4.51465 0.2632 20.7500 22.4707 4.65656 0.3158 21.0000 25.1708 4.86377 0.3684 21.8000 27.7881 5.09128 0.4211 22.7000 30.3809 5.31819 0.4737 24.3000 32.9974 5.535710 0.5263 35.3000 35.6847 5.742511 0.5789 36.2000 38.4990 5.942512 0.6316 37.9000 41.5028 6.145413 0.6842 51.3000 44.7783 6.370914 0.7368 51.4000 48.4460 6.657515 0.7895 52.6000 52.7014 7.084016 0.8421 58.9000 57.9022 7.822017 0.8947 81.4000 64.8383 9.302818 0.9474 83.6000 75.9915 13.0150

-------------------------------------------------------------------------- Predictions --------------------------


---------------------------------------------------------0.9950 200.0 110.8516 33.47810.9900 100.0 100.8535 26.45010.9800 50.0 90.6849 20.19690.9600 25.0 80.2390 14.84260.9000 10.0 65.6901 9.52810.8000 5.0 53.6498 7.19840.6670 3.0 43.6709 6.29280.5000 2.0 34.3290 5.6404

---------------------------------------------------------

3.5.5DISTRIBUCION LOG PEARSON TIPO III

Según Chow, 1995, si log X sigue una distribución Pearson Tipo III, entonces se dice que X sigue una distribución log - Pearson tipo III. Esta es la distribución estándar para análisis de frecuencias de crecientes máximas anuales en los Estados Unidos (Benson, 1968).La localización del límite X0 en la distribución Log - Pearson Tipo III depende de la asimetría de la información, se plantea 2 casos:Si la información tiene asimetría positiva, entonces Log x ≥ X0 y X0 es un límite inferior.Si la información tiene asimetría negativa, Log x ≤ X0 y X0 es un límite superior.

ESTUDIO HIDROLOGICO

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AREQUIPA II ETAPA."

Según Bobee, 1975. La transformación Log reduce la asimetría de la información transformada y puede producir información transformada con asimetría negativa utilizando información original con asimetría positiva. En este caso, la aplicación de la distribución Log - Pearson Tipo III impondría un límite superior artificial a la información.Dependiendo de los valores de los parámetros, la distribución Log - Pearson Tipo III puede asumir muchas formas diferentes, tal como se muestra en la siguiente tablaLocalización de la moda para la distribución Log - Pearson Tipo III como una función de sus parámetros.

Parámetro de Forma β

α<-Ln10 -Ln10<α<0 α >0

0<β<1 Sin moda, forma en J

Moda mínima forma en U

Sin moda, forma en J invertida

Β >1 Unimodal Sin moda forma en J invertida

Unimodal

Función de densidad de probabilidad.El primer paso es tomar los logarítmicos de la información hidrológica, Z=logx, mayormente se utilizan logaritmos con base 10, se calculan la media X, la desviación estándar Sx y el coeficiente de asimetría Cs para los logaritmos de los datos.La función de densidad para X y Z se dan a continuación:

f ( x )= 1αΓ ( β1) (

log x−xα )

β−1

∗e− ( log x− x )/α

Si se hace una transformación: Z = log(x) La función densidad reducida es:

f ( z )=(z−z0)α β Γ (β )

β−1

∗e−( z−z0 )/α

Dónde:Z = Variable aleatoria con distribución Pearson Tipo IIIX = Variable aleatoria con distribución Log - Pearson Tipo IIIZ0 = Parámetro de Posiciónα = Parámetro de escalaβ = Parámetro de formaEn el caso de la distribución Log - Pearson Tipo III: X = 10z, la variable reducida es:

Y=Z−Z0

αPor lo que la ecuación queda de la siguiente manera:

f ( y )= 1Γ (β )

∗y β−1∗e− y

Función de distribución acumuladaLa función de distribución acumulada de la distribución Log Pearson Tipo III es:

F ( z )=∫Z0

Z1

αΓ (β ) ( z−z0

α )β−1

¿e−

( z−z0)

α dz

ESTUDIO HIDROLOGICO

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Sustituyendo las ecuaciones anteriores se obtiene lo siguiente:

F ( y )= 1Γ (β )∫0

y

y β−1∗e− ydy

La ecuación anterior es una distribución Ji cuadrada con 2β grados de libertad y X2=2yF ( y )=F (x2/ν )=F

x2(2 y /2 β )Para la estimación de los parámetros Zo, y de la función acumulada se usaron 2 métodos de estimación.Método de MomentosEl procedimiento recomendado para el método de momentos es convertir la serie de datos a sus logaritmos y luego calcular los siguientes parámetros:

Media:

Logx =

∑ log x

n

Desviación Estándar:

σ log x=√ Σ ( log x− log x )2

n−1 Coeficiente de Asimétrica:

g =

n∑ (log x−log x )3

(n−1 ) (n−2 ) (σ log x )3

El valor de X; para cualquier nivel de probabilidad se puede calcular a partir de la siguiente expresión:

Logx = log x+Kσ log x

Los valores de K se toman de la tabla siguiente:

ESTUDIO HIDROLOGICO

:


AREQUIPA II ETAPA."

ESTUDIO HIDROLOGICO

:


AREQUIPA II ETAPA."

Distribution Analysis: Log Pearson Type III------------------Summary of Data -----------------------


Skew = 8.64e-01---------------------------------------------------------


---------------------------------------------------------1 0.0526 13.5000 13.4417 2.43012 0.1053 18.0000 15.9041 2.40503 0.1579 18.9000 17.9338 2.56354 0.2105 19.9000 19.8093 2.79995 0.2632 20.7500 21.6378 3.07806 0.3158 21.0000 23.4803 3.38357 0.3684 21.8000 25.3820 3.71238 0.4211 22.7000 27.3834 4.06569 0.4737 24.3000 29.5273 4.449410 0.5263 35.3000 31.8654 4.874511 0.5789 36.2000 34.4688 5.360212 0.6316 37.9000 37.4309 5.937113 0.6842 51.3000 40.8882 6.657614 0.7368 51.4000 45.0568 7.616815 0.7895 52.6000 50.3119 9.002116 0.8421 58.9000 57.3900 11.229317 0.8947 81.4000 68.0538 15.427818 0.9474 83.6000 88.5131 26.2414

-------------------------------------------------------------------------- Predictions --------------------------


---------------------------------------------------------0.9950 200.0 186.9394 118.64910.9900 100.0 152.3972 79.49800.9800 50.0 122.8243 51.51630.9600 25.0 97.5064 32.05270.9000 10.0 69.4665 16.06020.8000 5.0 51.5473 9.35980.6670 3.0 39.6921 6.40160.5000 2.0 30.6683 4.6558

3.5.6DISTRIBUCION PEARSON TIPO IIISegún Chow, la distribución Pearson Tipo III se aplicó por primera vez en la Hidrología por Foster (1924) para describir la distribución de probabilidad de picos crecientes máximos anuales. Cuando la información es muy asimétrica positivamente, se utiliza una transformación Log para reducir la asimetría.La distribución Pearson Tipo III, También llamada la distribución gamma de tres parámetros, introduce un tercer parámetro, el límite inferior o parámetro de posición ε, de tal manera que

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por el método de los momentos, los tres momentos de la muestra (la media, la desviación estándar y el coeficiente de asimetría) pueden transformarse en los tres parámetros λ, β, ε de la distribución de probabilidad.Función de densidad de probabilidad Pearson Tipo III

f ( x )=( λβ ( x−ε )β−1 eλ (x−ε ) )/Γ (β ) parax≥εEl sistema de distribuciones Pearson incluye siete tipos; todos son soluciones para f(x) en una ecuación de la forma:

d ( f ( x )/dx=( f ( x )∗( x−d )) /(C0+C1∗x+C2∗x2 )Donde d es la moda de la distribución (el valor de x para la cual f(x) es un máximo) y C0, C1 y C2 son coeficientes que deben determinarse. Cuando C2 = 0 es la solución de la ecuación anterior, es una distribución Pearson tipo III, con una función de densidad de probabilidad según la ecuación anterior Para C1 = C2 = 0, la solución de la ecuación anterior es una distribución normal.Según Markovick, 1965, mostró que no hay diferencia entre el ajuste de una distribución Gamma y una Log Normal, esta función de distribución es muy popular debido a que cuando el coeficiente de asimetría se iguala a cero se obtiene la distribución Normal.Función de densidad de probabilidadSe dice que una variable aleatoria X tiene una distribución Tipo III si su función densidad de probabilidades con origen en la moda, está dada por:

f ( x )= 1α 1Γ ( β1) ( x−δ 1

α 1)β1−1

∗e−( x−δ1

α1 )

Donde α1, β1 y δ1, son los parámetros de la función Γ(β1) es la función Gamma.En la tabla de función gama se halla las propiedades básicas y la tabla de valores de la función Gamma.Para: δ 1≤x<∞

Dónde:δ1 = Parámetro de Posiciónα1 = Parámetro de escalaβ1 = Parámetro de formaLa variable reducida.

y=x−δ1

α1

Por lo que

f ( y )= 1Γ (β1)

y β−1∗e− y

Función de distribución acumulada.La función de distribución acumulada de la distribución Pearson Tipo III es:

F ( x )= 1α1 Γ ( β1 )

∫0

x

e−( x−δ1

α1)¿( x−β1

α 1)dx

Combinando las ecuaciones anteriores se tiene:

ESTUDIO HIDROLOGICO

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F ( y )= 1Γ (β1)

∫0

y

y β−1 e− ydy

La ecuación anterior es una función de distribución Ji cuadrada con 2β1 grados de libertad y X2=2yF ( y )=F (x2/ν )=F

x2 (2 y /2 β1 )En las tablas de estadística se encuentra la función de distribución X

2

Según Aparicio 1996, manifiesta que la manera de usar la función de distribución Pearson Tipo III es estrictamente válida cuando β1=n/2, donde n es un entero positivo cualquiera si, como es común, 2β1 es no entero, puede tomarse como el entero más próximo o bien interpolar en la tabla Nº A.2 del apéndice A. Cuando β1<0.3, será necesario acudir a tablas de la función de distribución Gamma de un Parámetro.Para la estimación de parámetros de la Función Acumulada F(x) se tiene 2 Métodos de Estimación.Método de Momentos

Los parámetros de α 1, β1 y d1 de la Función Acumulada F(x) se evalúan a partir de n datos medidos mediante el siguiente sistema de ecuaciones.X=α 1∗β1+δ1S2=α

12∗¿

β1

¿

g= 2

√ β1

Donde X es la media de los datos S2 su varianza y g su coeficiente de sesgo ó coeficiente de Asimetría, que se define como:

Cs=g=Σi=1

n

(X i−X )3∗n

(n−1 ) (n−2 )S3

Distribution Analysis: Pearson Type III------------------Summary of Data -----------------------


Skew = 8.64e-01---------------------------------------------------------


---------------------------------------------------------1 0.0526 13.5000 12.8549 8.43562 0.1053 18.0000 15.4748 5.13833 0.1579 18.9000 17.7606 3.66314 0.2105 19.9000 19.9131 3.38775 0.2632 20.7500 22.0185 3.79976 0.3158 21.0000 24.1285 4.44127 0.3684 21.8000 26.2813 5.10218 0.4211 22.7000 28.5112 5.71129 0.4737 24.3000 30.8528 6.246810 0.5263 35.3000 33.3465 6.7055

ESTUDIO HIDROLOGICO

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11 0.5789 36.2000 36.0476 7.091912 0.6316 37.9000 39.0240 7.416113 0.6842 51.3000 42.3708 7.699814 0.7368 51.4000 46.2330 7.990615 0.7895 52.6000 50.8508 8.397116 0.8421 58.9000 56.6719 9.181617 0.8947 81.4000 64.6973 11.026418 0.9474 83.6000 78.1116 16.1873

-------------------------------------------------------------------------- Predictions --------------------------


---------------------------------------------------------0.9950 200.0 122.5983 44.71280.9900 100.0 109.5627 35.11960.9800 50.0 96.4988 26.39310.9600 25.0 83.3550 18.79150.9000 10.0 65.7011 11.32590.8000 5.0 51.8984 8.51080.6670 3.0 41.2281 7.60940.5000 2.0 32.0776 6.4856

---------------------------------------------------------

3.6 VERIFICACION ESTADISTICA DE LAS DISTRIBUCIONESPara un mejor análisis de los datos hidrológicos es necesario conocer el tipo o forma de distribución teórica que puede representar aproximadamente a la distribución empírica (método estadístico) de estos datos. Para averiguar cuan aproximada es esta distribución empírica a la teórica, es necesario realizar algunas pruebas estadísticas conocidas como prueba de ajuste.

3.6.1PRUEBAS DE AJUSTEConsisten en comprobar gráfica y estadísticamente si la frecuencia empírica de la serie de registros analizados se ajustan a un determinado modelo probabilística adoptado a priori, con los parámetros estimados en base a los valores maestrales.Las pruebas estadísticas tienen por objeto medir la certidumbre que se obtiene al hacer una hipótesis estadística sobre una población. Es decir, calificar el hecho de suponer que una variable aleatoria se distribuye según un modelo probabilístico.Los ajustes más comunes son:

- Smirnov – Kolmogorow.- Método del error cuadrático mínimo

3.6.2PRUEBA DE SMIRNOV KOLMOGOROVEsta prueba consiste en comparar el máximo valor absoluto de la diferencia D que hay entre la función de distribución observada Fo(Pm) y la estimada F(Pm)

D=máx|F0(Pm)−F(Pm )|Con un valor crítico d que depende del número de datos y el nivel de significancia seleccionada si D<d, se acepta la hipótesis. Esta prueba tiene la ventaja sobre la X2 de que compara los datos con el modelo estadístico sin necesidad de agruparlos. La función de distribución de probabilidad observada se calcula como:

ESTUDIO HIDROLOGICO

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Fo(Pm)=1− mn+1

Donde m es el número de orden del dato Xm en una lista de mayor a menor y n es el número total de datos. Valores críticos para la prueba Smirnov –Kolmogorov de bondad de ajuste

Tamaño de la muestra

a= 0.10 a = 0.05 a = 0.01

5 0.51 0.56 0.6710 0.37 0.41 0.4915 0.30 0.34 0.4020 0.26 0.29 0.3525 0.24 0.26 0.3231 0.22 0.24 0.2940 0.19 0.21 0.25

N grande 1 .22√n

1 .36√n

1 .63√n

En el cuadro siguiente se muestra el procedimiento de cálculo por método de Smirnov Kolgomorov, de donde en la columna 2 se han escrito las precipitaciones máximas anuales registradas ordenadas de mayor a menor, en la columna 3 se calculan los valores de la función de distribución de probabilidad observada según la ecuaciones anteriores

weibull T P (mm.)

m/(n+1) AÑOS Po Pe (Pe-Po)^2 Pe (Pe-Po)^2 Pe(Pe-

Po)^2Pe

(Pe-Po)^2

Pe (Pe-Po)^2 Pe (Pe-Po)^2

1 0.053 19.000 13.500 2.195 127.803 5.735 60.295 13.4269 0.005 7.6596 34.110 13.4417 0.003 12.8549 0.4162 0.105 9.500 18.000 10.1422 61.745 11.0131 48.817 16.3728 2.648 12.7169 27.911 15.9041 4.393 15.4748 6.3773 0.158 6.333 18.900 15.5241 11.397 14.9179 15.857 18.7267 0.030 16.4445 6.029 17.9338 0.934 17.7606 1.2984 0.211 4.750 19.900 19.8164 0.007 18.2496 2.724 20.8443 0.892 19.6063 0.086 19.8093 0.008 19.9131 0.0005 0.263 3.800 20.750 23.512 7.629 21.2889 0.290 22.8585 4.446 22.4707 2.961 21.6378 0.788 22.0185 1.6096 0.316 3.167 21.000 26.8432 34.143 24.1764 10.090 24.8403 14.748 25.1708 17.396 23.4803 6.152 24.1285 9.7887 0.368 2.714 21.800 29.9426 66.302 26.9994 27.034 26.8382 25.383 27.7881 35.857 25.382 12.831 26.2813 20.0828 0.421 2.375 22.700 32.8968 103.975 29.8222 50.726 28.8919 38.340 30.3809 58.996 27.3834 21.934 28.5112 33.7709 0.474 2.111 24.300 35.7693 131.545 32.7005 70.568 31.0394 45.420 32.9974 75.645 29.5273 27.325 30.8528 42.939

10 0.526 1.900 35.300 38.614 10.983 35.6893 0.152 33.3234 3.907 35.6847 0.148 31.8654 11.796 33.3465 3.81611 0.579 1.727 36.200 41.4865 27.947 38.8502 7.024 35.8003 0.160 38.499 5.285 34.4688 2.997 36.0476 0.02312 0.632 1.583 37.900 44.4407 42.781 42.26 19.010 38.5397 0.409 41.5028 12.980 37.4309 0.220 39.024 1.26313 0.684 1.462 51.300 47.5401 14.137 46.0233 27.844 41.6395 93.325 44.7783 42.533 40.8882 108.406 42.3708 79.73114 0.737 1.357 51.400 50.8714 0.279 50.2956 1.220 45.2496 37.827 48.446 8.726 45.0568 40.236 46.233 26.69815 0.789 1.267 52.600 54.5669 3.869 55.3312 7.459 49.6219 8.869 52.7014 0.010 50.3119 5.235 50.8508 3.06016 0.842 1.188 58.900 58.8593 0.002 61.6011 7.296 55.2333 13.445 57.9022 0.996 57.39 2.280 56.6719 4.96417 0.895 1.118 81.400 64.2411 294.428 70.1561 126.425 63.1741 332.183 64.8383 274.290 68.0538 178.121 64.6973 278.98018 0.947 1.056 83.600 72.1884 130.225 84.3403 0.548 77.0344 43.107 75.9915 57.889 88.5131 24.139 78.1116 30.123

C 23.344665.144 661.849 447.798 544.937

DISTRIBUCION LOG PERSON TIPO III

32.699 21.986 25.790 25.726 21.161

METODO DE ERROR CUADRATICO MINIMO

SUMA

nDISTRIBUCION NORMAL

DISTRIBUCION EXTREMO TIPO I

DISTRIBUCION LOG NORMAL 2 PARAMETROS

DISTRBUCION LOG NORMAL III

PARAMETROS

DISTRIBUCION PEARSON TIPO III

1069.194 483.377

ESTUDIO HIDROLOGICO

:


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3.6.3METODO DEL ERROR CUADRÁTICO MINIMOEste método consiste en calcular, para cada función de distribución, el error cuadrático.

C=[∑i=1

n

(X i−Y i )2 ]

12

DóndeXi = es el i-esimo dato estimadoYi = es el i-ésimo dato calculado con la función de distribución bajo análisisN = Número de datosEn el cuadro siguiente se muestra el procedimiento estimado para cada uno de los diferentes métodos estadísticos usados en el presente estudio.

ESTUDIO HIDROLOGICO

:


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F(Xm) F(PX)-Fo(Xm) F(Xm) F(PX)-Fo(Xm) F(Xm) F(PX)-Fo(Xm) F(Xm) F(PX)-Fo(Xm) F(Xm) F(PX)-Fo(Xm)1 13.50 0.95 0.0330 0.9144 0.0270 0.9204 0.0514 0.8960 0.073 0.8744 0.0000 0.00002 18.00 0.89 0.0780 0.8167 0.0680 0.8267 0.1041 0.7907 0.113 0.7813 0.0932 0.80163 18.90 0.84 0.1280 0.7141 0.1160 0.7261 0.1571 0.6850 0.156 0.6863 0.1450 0.69714 19.90 0.79 0.1810 0.6085 0.1690 0.6205 0.2103 0.5791 0.201 0.5888 0.1991 0.59045 20.75 0.74 0.2370 0.4998 0.2250 0.5118 0.2636 0.4732 0.248 0.4887 0.2548 0.48206 21.00 0.68 0.2940 0.3902 0.2830 0.4012 0.3169 0.3673 0.298 0.3861 0.3119 0.37237 21.80 0.63 0.3520 0.2796 0.3430 0.2886 0.3702 0.2614 0.351 0.2809 0.3699 0.26168 22.70 0.58 0.4110 0.1679 0.4050 0.1739 0.4234 0.1555 0.000 0.0000 0.4287 0.15039 24.30 0.53 0.4700 0.0563 0.4670 0.0593 0.4766 0.0497 0.000 0.0000 0.4878 0.0385

10 35.30 0.47 0.5300 0.0563 0.5290 0.0553 0.5297 0.0561 0.521 0.0473 0.5470 0.073411 36.20 0.42 0.5890 0.1679 0.5910 0.1699 0.5828 0.1617 0.581 0.1601 0.6062 0.185112 37.90 0.37 0.6480 0.2796 0.6530 0.2846 0.6357 0.2673 0.642 0.2740 0.6650 0.296513 51.30 0.32 0.7060 0.3902 0.7130 0.3972 0.6885 0.3727 0.704 0.3884 0.7229 0.407114 51.40 0.26 0.7630 0.4998 0.7720 0.5088 0.7411 0.4780 0.766 0.5026 0.7795 0.516315 52.60 0.21 0.8190 0.6085 0.8290 0.6185 0.7936 0.5831 0.826 0.6154 0.8341 0.623616 58.90 0.16 0.8720 0.7141 0.8820 0.7241 0.8458 0.6879 0.883 0.7254 0.8859 0.728017 81.40 0.11 0.9220 0.8167 0.9310 0.8257 0.8978 0.7926 0.935 0.8300 0.9334 0.828118 83.60 0.05 0.9670 0.9144 0.9720 0.9194 0.9494 0.8968 0.978 0.9251 0.9741 0.9215

METODO DE SMIRNOV - KOLMOGOROV

Distribucion NormalDistribucion Log Normal IIparámetros

Distribucion Extremo Tipo I Distribucion Pearson Tipo III Distribucion Log PearsonP (mm.) Fo(Xm)N

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:


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3.6.4SELECCIÓN DEL METODO ESTADÍSTICO APROPIADOEn el cuadro siguiente se resume los resultados de las pruebas efectuadas anteriormente. En este cuadro se han calificado las funciones según el orden de preferencias indicado por cada prueba de ajuste, dando 1 a la “mejor” y 6 a la “peor”. De estos resultados se concluye que la función que mejor se ajusta a los datos es la Distribucion GumbelSelección de la función de Distribución

ERROR CUAD.MIN.

SMIRNOV KOLMOGOROV

TOTAL

4 2 62 1 3

LOG NORMAL 2P 6 3 9LOG NORMAL 3P 5 6 11LOG PEARSON II I 1 4 5

3 5 8PEARSON TIPO III

DISTRIBUCIONES

NORMALGUMBEL

En conclusión después de realizar todas las pruebas de análisis estadístico la distribución que mejor se adecua es el método de Gumbel Tipo I porque tiene menor error

3.6.5PRECIPITACION MAXIMA E INTENSIDAD MAXIMAEl estudio de la Precipitación Máxima e Intensidad Máxima es muy importante para tener conocimiento de la intensidad de las tormentas, sus magnitudes, así como su frecuencia, son muy necesarios para el diseño de las diferentes obras hidráulicas que pudieran construirse en las zonas de estudio en la Microcuencas.Para el análisis se ha tenido en cuenta la información de precipitación máxima en 24 horas.Con la finalidad de obtener información de precipitación máxima en 24 horas y la para diferentes periodos de retorno y que permita tener confiabilidad de su recurrencia, se le evaluó a través de 6 distribuciones de frecuencia

Distribución Normal Estándar. Distribución Gumbel (Distribución extrema Tipo I). Distribución Log Pearson Tipo III. Distribución Log Normal II Parámetros. Distribución Log Normal III Parámetros. Distribución Pearson tipo III.

En el cuadro siguiente se muestra el resumen de los resultados por el método estadístico de la distribución que más se ajusta aplicando el método de momentos desarrollados en el presente estudio la distribución que se considera es la distribución GumbelI. Se observa que la diferencia entre uno y otro método puede ser apreciable. En muchos casos las diferencias son muchos mayores que las que resultan aquí. Una selección apresurada de cualquiera de los métodos podría traducirse en una estructura sobre diseñada y costosa o subdiseñada y peligrosa

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0.995 200 131.107 25.3840.990 100 117.427 22.2100.980 50 103.698 19.0420.960 25 89.866 15.8780.900 10 71.221 11.6960.800 5 56.465 8.5390.667 3 44.746 6.2790.500 2 34.178 4.723

Precipitaciones Máximas en (mm) y periodo de retorno en (años)

3.6.6ANÁLISIS DE RIESGO DE FALLAEl diseño de estructuras para el control de agua incluye la consideración de riesgos. Una estructura para el control de agua puede fallar si la magnitud correspondiente al periodo de retorno de diseño T se excede durante la vida útil de la estructura. Este riesgo hidrológico natural, o inherente, de falla puede calcularse utilizando la ecuación:Es el tiempo medio en años (evento) es igualdad o superada por lo menos una vez es decir

periodo de retorno= 1probabilidad

⇒T= 1P

T = periodo de retornoP = probabilidad de ocurrencia de un caudalEn hidrología se utiliza más el periodo de retorno que la probabilidad

Probabilidad de que un suceso de retorno T se produzca el próximo año . .. .. . .. .. . .. ..1T

Probabilidad de que un suceso de retorno NO se produzca el próximo año . .. .. . .. .. .. 1-(1T )Probabilidad de que un suceso de retorno NO se produzca los proximos dos años .. [1-(1T )] [1-(1T )]Probabilidad de que un suceso de retorno NO se produzca los proximos n años . . .. .[1-(1

T )]n

Probabilidad de que un suceso de retorno SI se produzca los proximos n años .. .. . .. 1- [1-(1T )]n

En El diseño de obras públicas, la última expresión obtenida es el Riesgo de falla (R, es decir la probabilidad de que SI se produzca alguna vez un suceso de periodo de retorno T a lo largo a un periodo de n años:

R={1−(1−1T )

n}

ESTUDIO HIDROLOGICO

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Valores de periodo de retorno T asociado al riesgo R

Un análisis de la tabla anterior muestra que si adopta un riesgo de 10% de que durante los 10 años de vida útil de una estructura ocurra una descarga igual o superior a la del proyecto, se debe usar un periodo de retorno de 95.41 años.

Dada la magnitud de las subcuencas, para la estimación de las máximas avenidas se ha tenido en consideración los siguientes rangos de superficies de cuenca de recepción:

Área Método< 10 Km2 Hidrograma del US - SCS< 100 Km2 Mac Math> 100 km2 Curvas Envolventes de Creager

Riesgo de Falla

Vida esperada del proyecto, n (años)

1 2 5 10 20 25 50 1000.99 1.01 1.11 1.66 2.71 4.86 5.94 11.37 22.22

0.9 1.11 1.46 2.71 4.86 9.20 11.37 22.22 43.93

0.75 1.33 2.00 4.13 7.73 14.93 18.54 36.57 72.64

0.5 2.00 3.41 7.73 14.93 29.36 36.57 72.64 144.77

0.25 4.00 7.46 17.89 35.26 70.02 87.40 174.30 348.11

0.1 10.00 19.49 47.96 95.41 190.32 237.78 475.06 949.62

0.05 20.00 39.49 97.98 195.46 390.41 487.89 975.29 1950.07

0.01 100.00 199.50 498.00 995.49 1990.48 2487.98 4975.46 9950.42

Vida esperada de la Estructura

3.6.7CURVAS DE INTENSIDAD-DURACIÓN Y FRECUENCIA (IDF)

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Uno de los primeros pasos que debe seguirse en muchos proyectos de diseño hidrológico, como el diseño de un drenaje, es la determinación del evento o los eventos de lluvia que deben usarse. La forma más común de hacerlo es utilizar una tormenta de diseño o un evento que involucre una relación entre la intensidad de lluvia (o profundidad), la duración, y las frecuencias o periodos de retorno apropiados para la obra y el sitio. Deberían existir curvas (IDF) estándar desarrolladas por instituciones del gobierno disponibles para el sitio para que su uso sea de forma general, uniforme y oficial.Para construir la curva IDF para diferentes periodos de retorno utilizamos la formula de DYCK PESCHKE para el cálculo de máximas avenidas.

Pd=P24h ( d1440 )

0 .25

DondePd : Precipitación máxima para un periodo de duraciónd : Periodo de duración (min. 10, 15, 30………., etc)P24h : Precipitación máxima para 24 horas (En este estudio se utilizara el modelo adecuado según las pruebas realizados en los acápites anteriores.

PRECIPITACIONES MAXIMAS PARA DIFERENTES TIEMPOS DE DURACIONPARA LA DISTRIBUCION LOG PEARSON TIPO III

T(años) (mm) 5 10 15 30 60 120 180 360 1440

1000 131.107 31.826 37.847 41.885 49.810 59.234 70.442 77.957 92.706 131.107500 117.427 28.505 33.898 37.515 44.613 53.054 63.092 69.823 83.034 117.427250 103.698 25.172 29.935 33.128 39.397 46.851 55.715 61.659 73.325 103.698100 89.866 21.815 25.942 28.710 34.142 40.602 48.284 53.435 63.545 89.86650 71.221 17.289 20.560 22.753 27.058 32.178 38.266 42.348 50.361 71.22125 56.465 13.707 16.300 18.039 21.452 25.511 30.338 33.574 39.927 56.46510 44.746 10.862 12.917 14.295 17.000 20.216 24.041 26.606 31.640 44.7465 34.178 8.296 9.866 10.919 12.985 15.441 18.363 20.322 24.167 34.178

Periodo de Retorno

PERIODO DE DURACION (min)P.MAX. 24horas

Prec.mm

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T(años) (mm) 5 10 15 30 60 120 180 360 1440

1000 131.107 381.91 227.08 167.54 99.62 59.23 35.22 25.99 15.45 5.46500 117.427 342.06 203.39 150.06 89.23 53.05 31.55 23.27 13.84 4.89250 103.698 302.07 179.61 132.51 78.79 46.85 27.86 20.55 12.22 4.32100 89.866 261.78 155.65 114.84 68.28 40.60 24.14 17.81 10.59 3.7450 71.221 207.46 123.36 91.01 54.12 32.18 19.13 14.12 8.39 2.9725 56.465 164.48 97.80 72.16 42.90 25.51 15.17 11.19 6.65 2.3510 44.746 130.34 77.50 57.18 34.00 20.22 12.02 8.87 5.27 1.865 34.178 99.56 59.20 43.67 25.97 15.44 9.18 6.77 4.03 1.42

Periodo de Retorno

PERIODO DE DURACION (min)

Prec.mm/hr

P.MAX. 24horas

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3.7 CAUDAL MAXIMO

3.7.1COEFICIENTE DE ESCORRENTÍA

El coeficiente de escorrentía se considera como el porcentaje de agua que escurre en una lluvia determinada. Los valores típicos del coeficiente de escorrentía para una amplia variedad de condiciones son dados en manuales de diseño y otros libros de referencia., ver tabla siguienteTabla Puntajes para la obtención del Coeficientes de escorrentía: C (para método Racional)

Caracterisitcas de la cuenca

Caracterisiticas de la escorrentia y los correspondientes valores numericos

EXTREMO ALTO NORMAL BAJO

RELIEVE Terreno escarpado y empi-nado con pendientes mayo-res que 30%. Puntos……..….…..40

Accidentes, con pendiente promedio del 10% al 30% Puntos……..….…..30

Ondulados, con pendientes promedio del 5% al 10%. Puntos……..….…..20

Terreno Relativamente pla-no con promedio del 0% al 5% Puntos……..….…..10

INFILTRACION

sin una capa efectivade suelo superficical terreno rocoso de insignificante ca-pacidad de infiltracion . Pun-tos……..….…..20

Lento para absorber el agua, arcilla u otro suelo de baja capacidad de infiltra-cion Puntos……….....…15

Normal, franco profundo coninfiltracion similar a los suelos tipicos de praderas Puntos……..….…..10

Alta, arena u otro suelo que absrbe el agua facil y rapi-damente puntos……..….…..5

INFILTRACION Terreno desnudoo o sin cobertura Puntos.……..….…..20

Cobertura regular, cultivos limpios (de escarda) o cu-bierto natural pobre menos del 10% del area bajo buena cobertura Puntos……….....…15

regular a buena cerca del 50% del area con buenos pastizales bosques o equi-valentes . No mas del 50% cultivos limpios Puntos……..….…..10

Excelente, cerca del 90% con buenos pastizales bos-ques o cobertura equivalen-te puntos……..….…..5

ALMACENAMIEN-TO SUPERFICIAL

Insignificnate depresiones en la superficie poco profun-das, desagues pequeños y empinados no hay lagunas o pantanos Puntos……..….…..20

Bajo, sistemas bien defini-dos de pequeños desagues, no hay lagunas o pantanos Puntos……….....…15

Normal, considereable al-macenamiento en depresio-nes superficiales lagunas y pantanos menores del 2% del area Puntos……..….…..10

alto almacenamiento en depresiones superficiales, sistema de drenaje no bien definidos; muchas lagunas y pantanos puntos……..….…..5

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El coeficiente de escorrentía C es la variable del Método Racional menos susceptible a una precisa determinación y requiere en consecuencia criterio y entendimiento ingeniería. Su uso en la fórmula implica un valor fijo para un área dada. El coeficiente de escorrentía representa los efectos integrados de infiltración, almacenamiento por detención y retención, evaporación, tránsito del flujo e intercepción, los cuales afectan el tiempo de distribución y el valor del escurrimiento.Frecuentemente es conveniente desarrollar un C compuesto basado en porcentajes de diferentes tipos de superficie en el área de drenaje, que debe calcularse como:

C=∑ CiAi

∑ AiDondeCi = Coeficiente de Escurrimiento para el área AiAi = Área del sector específico de la cuenca

3.7.2TIEMPO DE CONCENTRACIÓN Tc

Es el tiempo empleado por una gota de agua que cae en el punto hidrológicamente más alejado de la cuenca para llegar a la salida de ésta.

De Acuerdo a esta definición, el caudal pico Qp en la salida de la cuenca debe alcanzar después de un lapso igual al del tiempo de concentración tc.

La obtención de los tiempos de concentración para la microcuenca de las torrenteras denominados de la siguiente manera: Quebrada 01, Quebrada 02, Quebrada 03 y Quebrada 04, por los diferentes métodos, ha sido desarrollada empleando los parámetros y procedimientos descritos por las siguientes formulas:

Ecuación de Kirpich (1940)

t c=60 ( 0. 06628 L0 .77

S0 . 385 )Dónde:tc = tiempo de concentración( min.)L = longitud del canal desde aguas arriba hasta la salida (km. )S = pendiente promedio de la cuenca (m/m.)

Fórmula de Federal Aviation Agency (1970)

t c=3 .26036(1 . 1−C )L0 . 50

S0 . 333

Dondetc = tiempo de concentración, min.C= coeficiente de escorrentía de método racional ver TablaL = longitud del flujo superficial, m;

ESTUDIO HIDROLOGICO

:


AREQUIPA II ETAPA."

S = pendiente de la superficie, %.

Valores de C de la Federal Aviation Agency.

Clasificación Coeficiente de escorrentía C

Zona urbana comercial

0.70 - 0.95

Zona de residencia familiar

0.30 - 0.50

Asfalto / concreto 0.70 - 0.95Suelo arenoso 0.05 - 0.20Suelo rocoso 0.13 - 0.35Pavimento de adoquines

0.70 - 0.85

El valor de i intensidad es igual al tiempo de concentración

Tc=(0 . 871L3

H )0.385

DondeTc = Tiempo de concentración en horasL = Longitud del cauce principal Km.H = Desnivel máximo en m

DESCRIPCION QUEBRADA 1 QUEBRADA 2 QUEBRADA 3

Cota Superior msnm. 3241 3815 3692Cota Inferior msnm. 2687 2653 2688Longitud (Km) 1.32 3.92 2.54Coeficiente de Escorr. 0.30 0.30 0.30

Area (Km2) 0.66 3.82 1.37Tiempo de Conc. (mim) 27.66 53.34 39.10Area (ha) 66.00 381.50 136.80Pendiente (m/km) 418.75 296.58 394.81

3.920.303.48

53.09347.90300.74

QUEBRADA 4

TIEMPO DE CONCENTRACION

3856.002678.00

3.7.3APLICACIÓN DEL METODO RACIONAL

Las descargas máximas para las Sub cuencas ó áreas que lo componen el área de drenaje que escurre al río se determinó mediante la fórmula del Método Racional, cuya expresión es la siguiente:

Qmax=C∗I∗A360

Dónde:Qmax : Caudal de diseño (m3/s)

ESTUDIO HIDROLOGICO

:


AREQUIPA II ETAPA."

C : Coeficiente de escorrentía que depende de topo-fisiográfica de la cuenca receptora (adimensional)A - Área de la subcuenca (ha.)I - Precipitación máxima en 24 horas (mm/hr)Las descargas máximas calculadas por el Método Racional, se muestran en los cuadros respectivos de cada uno de las sub cuencas, tomando en cuenta las precipitaciones máximas de 24 horas donde se contaban con datos.

Periodo de Retorno

T(años) (mm) (mm/hr) (mm) (mm/hr) (mm) (mm/hr) (mm) (mm/hr)1000 48.81 105.87 57.52 64.70 53.22 81.66 57.45 64.93500 43.72 94.82 51.52 57.95 47.67 73.14 51.46 58.15250 38.61 83.74 45.49 51.17 42.10 64.59 45.44 51.35100 33.46 72.57 39.43 44.35 36.48 55.97 39.38 44.5050 26.52 57.51 31.25 35.14 28.91 44.36 31.21 35.2725 21.02 45.60 24.77 27.86 22.92 35.17 24.74 27.9610 16.66 36.13 19.63 22.08 18.16 27.87 19.61 22.165 12.72 27.60 14.99 16.87 13.87 21.29 14.98 16.93

INTENSIDAD MAXIMA PARA Tc.

Intensidad . Max. QUEBRADA 1 QUEBRADA 2 QUEBRADA 3

Intensidad . Max. para QUEBRADA 4

Intensidad . Max. para T. Intensidad . Max.

CAUDAL MAXIMO DE DISEÑO (m3/s)

Periodo de Retorno QUEBRADA 1 QUEBRADA 2 QUEBRADA 3 QUEBRADA 4

T(años) m3/s m3/s m3/s m3/s

1000 5.82 20.57 9.31 18.82500 5.22 18.42 8.34 16.86250 4.61 16.27 7.36 14.89100 3.99 14.10 6.38 12.9050 3.16 11.17 5.06 10.2325 2.51 8.86 4.01 8.1110 1.99 7.02 3.18 6.425 1.52 5.36 2.43 4.91

4. CONCLUCIONES Y RECOMENDACIONES

Las estaciones meteorológicas de SENAMHI utilizadas en el estudio son:Characato: periodo (1984 – 2001)Pampilla: periodo (1984 – 2001)Chiguata: periodo (1984 – 2001)

Los parámetros de la Microcuenca estudiada se muestran en el siguiente cuadro:

ESTUDIO HIDROLOGICO

:


AREQUIPA II ETAPA."

(Km2) (msnm) (msnm) (Km) (Km) (Km) (1/km) (m/m)QUEBRADA 1 0.66 3241 2687 1.323 3.831 2.896 0.12 0.46 0.35 4.19QUEBRADA 2 3.815 3815 2653 3.918 9.5 2.425 0.18 1.62 0.41 2.97QUEBRADA 3 1.368 3692 2688 2.543 7.048 2.772 0.12 0.92 0.36 3.95QUEBRADA 4 3.479 3856 2678 3.917 9.77 2.494 0.17 1.57 0.40 3.01

Coef. De Compacida

d

Fac. Forma

Cota Inferior

Long. De Cauce

PERIMETROANCHO

PROMEDIO

PARAMETROS MORFOLOGICOS DE LAS MICROCUENCAS

MICROCUENCASDensida

d de Drenaje

Pendiente Media del Rio

AREACota

Superior

El caudal máximo fue determinado por el método racional. Para obras de protección se tomara como dato de diseño el caudal para un periodo de retorno de 25 años y se tiene 2.51; 8.86; 4.01 y 8.11 m3/s en la Microcuenca de la QUEBRADA 1; 2; 3 y 4 respectivamente.

hidrologia

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