HETEROCEDASTICIDADUn modelos de regresión múltiple.• Marreros Gongora, Sharon Ivette• Nonato Vertiz, Piero• Silva Ferradas, Félix Guillermo

Heterocedasticidad• En un modelo de Regresión Lineal, hay Heterocedasticidad cuando las varianzas (de Ui) son diferentes a medida que se incrementa la variable Xi.

Para examinar un supuesto, se propone el siguiente método:

1. Naturaleza y Origen de la Heterocedasticidad.2. Consecuencias de la violación del supuesto.3. Formas de detectar Heterocedasticidad.4. Medidas remediales.

1. Naturaleza y Origen de la Heterocedasticidad • La presencia de varianza heterocedastica se define de la siguiente forma:

• Si recordamos que el termino de error del modelo es, la diferencia entre el valor observado y el valor estimado mediante el modelo de regresión, se puede introducir la varianza condicional.

• En síntesis, la Heterocedasticidad es una característica del modelo por la que las varianzas condicionales del error no son constantes.

• La Heterocedasticidad aparece porque ha omitido una variable relevante para explicar el comportamiento de Y. Con frecuencia, entonces, lo que parece ser un problema de Heterocedasticidad puede deberse al hecho de que alguna de las variable importantes han sido omitidas del modelo.

• Ejemplo: Cuando se está interesado en regresar el ahorro sobre el nivel de ingresos de un hogar, la teoría económica indica que el incremento del ingreso puede entenderse también con un incremento en las alternativas discrecionales de utilización de este ingreso marginal. Por tanto, también se incrementaría la varianza en el nivel de ahorro observado para estos hogares con altos ingresos respecto de los hogares con mas bajos ingresos.

2. Consecuencias de la violación del supuesto.

• En presencia de Heterocedasticidad, las estimaciones hechas mediante mínimos cuadrados (MCO) siguen siendo insesgadas pero ya no son de varianza mínima.

• Si no es posible estimar con certeza los errores estándares para cada uno de los coeficientes de regresión, esto supone que tampoco podrá computarse el valor del estadístico t.

• Finalmente, no es posible tomar decisiones respecto de las hipótesis nulas formuladas para los coeficientes de regresión porque no se cuenta con estadísticos t.

3. Formas de detectar Heterocedasticidad.

• La detección de la Heterocedasticidad supone que ya se ha ajustado el modelo de regresión lineal, por ejemplo:

• Para probar si un modelo presenta Heterocedasticidad, se disponen de dos grandes tipos de pruebas: las graficas, también denominadas no-formales, y las pruebas formales.

Método Gráfico (Informal)1. Se hace la regresión bajo el supuesto que no existe Heterocedasticidad.2. Calcular el vector de errores U² y se grafica contra Ŷi para ver si ellos muestran un patrón sistémico. De esta forma se ve si el valor medio estimado de Y está relacionado sistemáticamente con el residual al cuadrado. También se puede graficar U² contra una de las variables explicadoras.En el caso en que U² Vs Ŷ presentan un comportamiento de la forma en que aparece en la figura se pueden establecer las siguientes conclusiones:

Prueba de Goldfeld-Quant (Formal)• Opera comparando la magnitud de la suma cuadrada de los errores de regresiones (SCE) ajustadas con subconjuntos de la muestra original de los datos. La hipótesis nula es que existe homocedasticidad: si es correcta entonces el conjunto de modelos ajustados tendrán los mismo residuos cuadrados.

1. Ordenar la matriz de datos de acuerdo a los valores de X, de menor a mayor.2. Omitir P observaciones en la mitad de la muestra de modo que queden dos grupos de datos con datos de cada uno. Algunas reglas para practicas para seleccionar P son: Si Si 3. Se hace regresiones por separado a las primeras (que corresponden a los valores más bajos de Xi es decir de varianza pequeña) y de las últimas observaciones (que corresponda los valores mas altos de Xi, el grupo de mayor varianza) y en cada uno de estas regresiones calcular:

4. Bajo el supuesto de homocedasticidad y normalidad del termino de error del cociente.

Pasos:

Ejemplo:

AñoRetiro Desempleo

66 2,6 3,2

68 2,5 3,3

69 2,7 3,3

67 2,3 3,6

65 1,9 4

64 1,5 5

70 2,1 5,6

72 2,2 5,6

63 1,4 5,7

62 1,4 5,8

60 1,3 6,2

71 1,8 6,8

61 1,2 7,8

Se tienen datos de tasa de retiro contra desempleo. Datos ordenados según

• Park formula el método gráfico suponiendo que en función de la variable explicativa , la forma funcional sugerida por él fue: 

  donde  es estocástico.• Como no se conoce, entonces sugiere utilizar los errores como aproximación y correr la siguiente regresión: 

si  es significativamente diferente de cero entonces puede implicar la existencia de Heterocedasticidad en los datos.

Prueba de Park

Ejemplo:

DS   (936.47)        (0.0998)

 t      (2.127)          (2.333)

Se tiene una relación entre compensación salarial y productividad para diferentes niveles de empleados:

Donde:

: Compensación salarial promedio en millones US$

:Productividad promedio en millones de US$Los resultados de la regresión fueron:

Prueba de Glejser• Es similar a la prueba de Park, sólo que después de obtener Ûi de la regresión de MCO, Glejser sugiere regresar los valores absolutos o al cuadrado de los residuos, sobre una potencia de la variable Xi, seleccionando el que se cree que esté asociado con la σ²i, de la siguiente forma funcional: 

• Para valores de y escoger el valor de h que proporcione una mejor regresión (β₂ significativo y una SRC pequeña).

Prueba de White• Esta prueba no se apoya en el supuesto de normalidad.

Consideremos un modelo original:Yᵢ=β +β₁ ₂X₂ᵢ+β₃ᵢ+UᵢIPasos:a. Estimar el modelo I. y hallar Ûᵢ²b. Efectuar la regresión auxiliar:

Ûᵢ²=α₁+α₂X₂ᵢ+α₃X₃ᵢ+α₄X²₂ᵢ+α₅X²₃ᵢ+α₆X₂ᵢX₃ᵢ+Vᵢ y obtener R²j de esta regresión auxiliar.

c. Bajo la hipótesis nula de que no existe Heterocedasticidad (H₀:α₂=α₃=α₄=α₅=α₆=0) puede demostrarse que el tamaño de la muestra multiplicado por R²j asintóticamente sigue con distribución X² con kj-1 grados de libertad, donde kj es el numero de variables regresoras de la regresión.

d. Si el valor de X² excede el valor de critico al nivel de significancia seleccionado, la conclusión es que hay Heterocedasticidad.

• Se tiene un modelo basado en información de corte trasversal de 41 países

Y = Impuestos arancelarios (impuestos sobre importaciones y exportaciones) y recaudos totales del gobierno.

• X₂= entre suma de exportaciones e importaciones y el PIB

• X₃= PIB per cápita

Ejemplo:

4. Medidas remediales.

• Las medidas remediales disponibles para lidiar con el problema de la Heterocedasticidad dependen de la causa que la ha generado. Conviene que antes de tomar decisiones, se haya identificado la o las causas de Heterocedasticidad presentes.

Bibliografía:• Econometría, Universidad Nacional de Colombia. Capitulo 6: Contraste de hipótesis sobre la pertuación aleatoria.