herramientas y modelos de la termodinámica de sistemas continuo

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Herramientas y modelosde la termodinámica

de sistemas continuos

MANUEL CRIADO-SANCHO

UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA

CUADERNOS DE LA UNEDHERRAMIENTAS Y MODELOS DE LA TERMODINÁMICADE SISTEMAS CONTINUOS

Quedan rigurosamente prohibidas, sin laautorización escrita de los titulares delCopyright, bajo las sanciones establecidasen las leyes, la reproducción total oparcial de esta obra por cualquier medioo procedimiento, comprendidos la reprografíay el tratamiento informático, y la distribuciónde ejemplares de ella mediante alquilero préstamos públicos.

© Universidad Nacional de Educación a DistanciaMadrid 20

© Manuel Criado-Sancho

ISBN : 987-84-362-

dición :

www.uned.es/publicaciones

7

ÍNDICE

Prólogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

UNIDAD DIDÁCTICA IHERRAMIENTAS Y MODELOS DE LA TERMODINÁMICA

DE SISTEMAS CONTINUOS

Capítulo I. CALCULO VECTORIAL Y TENSORIAL EN COORDENADAS

CARTESIANAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1. Álgebra de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2. Concepto de tensor. Operaciones tensoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.1. Producto diádico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.2. Algunas operaciones en que intervienen tensores . . . . . . . . . . 19

1.3. Operaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Capítulo II. COORDENADAS CURVILÍNEAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1. Coordenadas curvilíneas. Bases covariante y contravariante . . . . . 27

2.1.1. Coeficientes y tensores métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2. Expresión de un vector en coordenadas curvilíneas . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.1. Operaciones entre vectores en coordenadas curvilíneas . . 332.3. Operaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.1. Derivadas de los vectores de la base covariante . . . . . . . . . . . . . 362.3.2. Derivadas de los vectores de la base contravariante . . . . . . . 40

2.4. Expresiones explícitas resultado de operaciones diferenciales . . . 422.5. Coordenadas curvilíneas ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.5.1. Derivadas de los vectores de la base {e1, e2, e3} . . . . . . . . . . . . . . 452.5.2. Algunos ejemplos de aplicación de � en coordenadas

curvilíneas ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Ápendice 2.A. ALGUNOS SISTEMAS DE COORDENADAS CURVILÍNEAS USUALES 482.A.1. Coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.A.2. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Capítulo III. SISTEMAS CONTINUOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.1. Coordenadas convectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.2. Dependencia temporal de los vectores gi y gi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.2.1. Derivada de los tensores de deformación materialy espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.2.2. Derivada local y material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.3. Tensores de deformación finita e infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3.1. Tensor de deformación infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.3.2. Derivada de los tensores de deformación finita . . . . . . . . . . . . . 61

3.4. Derivadas convectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.4.1. Derivada corrotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.5. Tensor presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Ápendice 3.A. MAGNITUDES OBJETIVAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Capítulo IV. FORMULACIÓN CLÁSICA DE LA TERMODINÁMICA

DE PROCESOS IRREVERSIBLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.1. Ecuaciones de balance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.1.1. Balance de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.1.2. Balance de momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.1.3. Balance de energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.2. Ecuaciones de balance en términos de derivadas materiales . . . . . 864.3. Hipótesis de equilibrio local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.4. Las ecuaciones constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.5. Teoría clásica de la termodinámica de no equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . 94

Ápendice 4.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Capítulo V. EL FLUIDO NEWTONIANO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.1. Ecuaciones de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.1.1. Divergencia del Tensor P de un fluido newtoniano . . . . . . 1015.1.2. Ecuación de balance de momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.2. Integración de la Ecuación de Stokes estacionaria . . . . . . . . . . . . . . . 1055.2.1. Expresión explícita del tensor de Oseen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.3. Ecuación de Langevin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.3.1. Consideraciones acerca de las fuerzas aleatorias . . . . . . . . . 114

5.4. Integración de la Ecuación de difusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Ápendice 5.A. OPERADORES DE PROYECCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

HERRAMIENTAS Y MODELOS DE LA TERMODINÁMICA DE SISTEMAS CONTINUOS

8

Capítulo VI. EL MODELO DE TERMODINÁMICA EXTENDIDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.1. Hipótesis y desarrollo del modelo EIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

6.1.1. Evolución temporal de las variables clásicas . . . . . . . . . . . . . . 1236.1.2. Tasa de producción de entropía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

6.2. Flujos, fuerzas y ecuaciones constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.2.1. Determinación de los parámetros α1, α2, β1 β2 . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.3. Variables de estado fuera de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.4. La teoría de la información como herramienta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.5. Algunas expresiones del tensor presión viscosa deducidas

a partir del modelo EIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1386.5.1. Modelo de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1386.5.2. Modelo de Maxwell en términos de derivadas

convectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

ÍNDICE

9

10


PRÓLOGO

En el supuesto de que a cualquiera de nosotros nos mencionaran la exis-tencia de un proverbio chino que dijera algo así como: «Si no vas a decirnada mejor que el silencio, por favor, permanece callado», sin duda alaba-ríamos la sabiduría oriental, pero si, mutatis mutandis, ese mismo proce-der se lo recomendáramos a un escritor en grado de tentativa, es probableque su proyecto editorial no se consumara y, en todo caso, fuera reconsi-derado. Personalmente, reflexioné sobre ello al escribir mi primer libro1 en1983, en cuyo prólogo mencionaba que al consultar la bibliografía, podíaconstatarse que un buen número de libros son a modo de eco de páginasescritas por unos pocos autores ya clásicos. Esta percepción es común amuchos autores y, tal vez, sea Aris quién lo exprese de forma más directaen la primera línea del prologo de uno de sus libros2, donde la presentaciónde la obra comienza con la exclamación que pone en boca tanto del estu-diante, como del profesional que se encuentra con el texto en una libreríay que, en términos castizos, podríamos traducir por ¡más de lo mismo!

Por consiguiente, antes de que un libro de carácter científico vea la luz,su autor ha debido responderse dos preguntas: por qué lo escribo y quéaporto. Posiblemente la autojustificación de quienes transitamos por estosjardines editoriales sea (al menos lo es en mi caso) que a lo largo de nues-tra ejercicio profesional, ya sea como investigadores, pero sobre todo comoprofesores, hemos acumulado una serie de experiencias que no nos resig-namos a no transmitir, haciendo énfasis de forma más o menos implícita,en que lo que se escribe fue engendrado mucho tiempo atrás (en tal líneapodemos citar a Maugin, quien en la página vii de su obra3 publicada en1999 atribuye su origen a un curso impartido en 1987).

PRÓLOGO

11

1 CRIADO-SANCHO, M. Introducción conceptual a la Termodinámica Química, Editorial AC, Madrid(1983).

2 ARIS, R., VECTORS, Tensors, and the Basic Equations of Fluid Mechanics, Dover, Nueva York (1989).3 MAUGIN, G. A. The thermomechanics of non linear irreversible behaviors, World Scientific, Singapur

(1999).

Quede para los estudiosos de la mente y la antropología discernir si esel sentimiento o la racionalidad quien está detrás de ese propósito de «per-petuarnos» en nuestros lectores; pero en todo caso el autor sigue interpela-do por ese ¿qué aporto? mencionado con anterioridad; por supuesto, la pre-gunta no se refiere sólo a los contenidos que se piense incluir en un libro,sino en cómo se perfila esa tarea en un contexto general del conocimientocientífico. En su prólogo a la obra de Lewis y Randall4 (uno de los textosclásicos de la bibliografía termodinámica) Kenneth S. Pitzer y Leo Brewercomparan la ciencia con las catedrales, inspiradoras de solemnidad y reve-rencia una vez construidas y asentadas en el imaginario colectivo, perotambién hacen una certera reflexión acerca de ese tiempo de construcciónque precedió a la obra maestra que ahora vemos concluida. Se refierenPitzer y Brewer a la etapa de construcción de forma muy gráfica «Butsometimes we enter such an edifice that is still partialy under construction;then the sound of hammers, the reek of tobacco, the trivial jests bandiedfrom workman...» para así concluir que la obra de arte es el resultado dedar al esfuerzo humano ordinario una dirección y un propósito.

El escenario que mencionan Pitzer y Brewer presenta tres elementos:ruido de herramientas, humo de tabaco y bromas banales, que ponen demanifiesto que sobre la cotidianidad ¿no nace la ciencia de la curiosidad yel deseo de interpretar lo que se observa en nuestro entorno? se puedenconstruir «obras maestras» siempre que se apueste por la convicción deque el hombre puede influir en la naturaleza y se posean las herramientasadecuadas. Por supuesto, la monografía que el lector tiene entre sus manosdista mucho de ser una obra maestra, pero teniendo en cuenta que elhumo (no sólo de tabaco) y las opiniones banales nos las brinda la socie-dad en cantidades ingentes, ¿tiene algo de extraño que alguno de nosotrosapueste por amenizar la fiesta con el ruido de los martillos? Posiblemente,este derecho de acudir al «tajo» llevando algo más que un cigarro podríaser el argumento legitimador de por qué escribir un libro y a tal derechome acojo para presentar al lector esta modesta herramienta (espero quemenos contundente que un martillo), que pretende facilitar el trabajo depicapedrero de la ciencia, en que tantas veces nos vemos embarcados pro-fesores y estudiantes.


12

4 LEWIS, G. N. y RANDALL, M. (revisión de PITZER, K. S. y BREWER, L.), Thermodynamics, McGraw-Hill, Nueva York (1961).

Por tanto, esta monografía posee un carácter instrumental, no concep-tual, que pretende facilitar a los lectores herramientas matemáticas ymodelos que se emplean en diversos campos, pero cuya dispersión en pro-gramas y bibliografía hace que, aun siendo oficialmente conocidos, algunosestudiosos tengan la sensación de tratar con temas estigmatizados por unasutil «omertà». Acorde con lo que acaba de exponerse, se efectúa un estu-dio exhaustivo de las coordenadas curvilíneas no ortogonales que facilitaráal lector el estudio de libros especializados de dinámica de polímeros omecánica de fluidos y que también puede ser de utilidad en cursos deMecánica Cuántica o Ingeniería. Por lo que respecta al concepto de tensor,se introduce de forma sucinta, haciendo énfasis en el estudio del tensor pre-sión (imprescindible en el estudio de fluidos) y de aquellos otros tensoresque intervienen en el tratamiento de sistemas continuos; asimismo, en rela-ción con los sistemas continuos, se presta especial atención a las ecuacio-nes de balance de materia, momento y energía, cuyo interés en Física,Química e Ingeniería no es necesario recordar. Teniendo en cuenta que laTermodinámica de no-equilibrio es una herramienta básica para el estudiode los sistemas continuos, se introducen dos capítulos (uno dedicado almodelo clásico basado en la hipótesis del equilibrio local y otro dedicado almodelo de EIT); asimismo, otro capítulo se dedica específicamente al estu-dio del fluido newtoniano. Puesto que no se trata de una obra deTermodinámica de no-equilibrio, únicamente se exponen los elementosbásicos que configuran los respectivos modelos y dado el carácter de herra-mienta con que se ha concebido esta obra, el lector echará en falta temastan importantes como el teorema de producción mínima de entropía o lasdiversas elecciones de flujos, aunque, eso sí, podrá comprobar que se pres-ta mucha atención a las manipulaciones matemáticas.

No puedo concluir esta presentación sin agradecer el apoyo del Directordel Departamento de Ciencias y Técnicas Fisicoquímicas de la UNED y demis compañeros a la hora de publicar esta monografía. Asimismo, expresomi afecto y gratitud a los Profesores José Casas-Vázquez y David Jou, quie-nes no sólo me han introducido en la Termodinámica de no-equilibrio, sinoque me han brindado su amistad entrañable a lo largo de los muchos añosque llevo colaborando con ellos en la Universidad Autónoma de Barcelona.

Madrid, 7 de enero de 2009

PRÓLOGO

13


14

CAPÍTULO ICÁLCULO VECTORIAL Y TENSORIAL

EN COORDENADAS CARTESIANAS

El estudio de sistemas continuos, inherente a la Termodinámica deno-equilibrio, la Mecánica de Fluidos y otras ramas de la Física, recurrefundamentalmente a dos herramientas matemáticas: las operacionesentre vectores y tensores (tanto en su aspecto algebraico, como utilizan-do operadores diferenciales) y las ecuaciones diferenciales en derivadasparciales.

En este capítulo se aborda el manejo de vectores y tensores cuando seconsidera un sistema de coordenadas cartesianas. Restringir el estudio aeste tipo de coordenadas, con las que se suele estar más familiarizado, per-mite introducir de forma intuitiva ciertos conceptos, operaciones y entesmatemáticos, aunque a la hora de resolver muchos de los problemas plan-teados, se manifiesta la necesidad de recurrir de otros sistemas de coorde-nadas más adecuados a la geometría particular del sistema.

Aunque posiblemente el lector haya estudiado previamente las opera-ciones vectoriales en coordenadas cartesianas, conviene que se sirva de estecapítulo como ayuda para acceder a conceptos y herramientas formales,presentes en todos los artículos y monografías relacionados con sistemascontinuos, pero no siempre expuestos de forma suficientemente explícita osistemática.

1.1. ÁLGEBRA DE VECTORES

Al considerar un sistema de ejes cartesiano cualquier vector r se expre-sa en términos de los vectores unitarios uj (i=1,2,3)

(1.1)r u==

∑xj j

j 1

3

15

de tal modo que los vectores {u1,u2,u3} constituyen una base del espacio vec-torial y satisfacen diversas operaciones (productos) que se enumeran segui-damente.

Producto escalar

Definido de acuerdo con las reglas

1) (1.2)

2) (1.3)

3) (1.4)

Asimismo, conviene resaltar que si los vectores u1, u2, u3 se agrupan enforma de matriz columna

(1.5)

la ortogonalidad de la base, puesta de manifiesto por (1.2), se expresamediante el producto matricial

(1.6)

siendo I la matriz unidad.

En el caso de que se consideren vectores distintos a los de la base {u1,u2, u3}, el producto escalar viene dado por

(1.7)

a b u u⋅ =⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⋅⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

=

= =∑ ∑a b

a

i i

i

j j

j

i

1

3

1

3

bb a b a bj i j

ji

i j ij

ji

i i

i

u u⋅ = === == =

∑∑ ∑∑ ∑1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

δ

u u I⋅ =T

u =

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

u

u

u

1

2

3

u u u u u u ui j k i j i k i j⋅ + = ⋅ + ⋅( ) ( ) ( ) ,( =1,2,3)

u u u ui j i j i j⋅ = ⋅( ) ( ) ,λ λ ( =1,2,3)

u ui j ij i j⋅ = δ ( =1,2,3),

16


Nótese que si los vectores se hubieran considerado como matricescolumnas1, es decir

(1.8)

el producto escalar puede expresarse como producto matricial

(1.9)

Producto vectorial

Definido de acuerdo con las reglas

1) (1.10)

2) (1.11)

3) (1.12)

4) (1.13)

Obsérvese que el producto vectorial entre vectores unitarios puedeexpresarse de forma compacta mediante la notación

(1.14)

donde el coeficiente εijk adopta los valores +1 o −1, dependiendo de la per-mutación de índices ijk considerada2.

u u ui j ijk k× = ε

u u u u u u ui j k i j i k i j k× + = × + ×( ) ( ) ( ) , ,( =1,22,3)

a b =⋅ = ⋅

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

⋅( , , )a a a

b

b

b

T1 2 3

1

2

3

a b

u ui i i× = =0 1 2 3( , , )

u u u ui j j i i j× = − × ( =1,2,3),

u u u u u u u u u1 2 3 2 3 1 3 1 2× × ×= = =

a b ==

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟a

a

a

b

b

b

1

2

3

1

2

3

⎟⎟⎟

17

CÁLCULO VECTORIAL Y TENSORIAL EN COORDINADAS CARTESIANAS

1 Por comodidad de notación, se usará indistintamente a y a como símbolo para una matrizcolumna, la correspondiente matriz fila se indicará como aT o aT, respectivamente.

2 El valor de εijk puede calcularse mediante la fórmula εijk =(i–j)(j–k)(k–i) / 2.

Así, el producto vectorial a b puede expresarse de acuerdo con laexpresión

(1.15)

a partir de la cual puede concluirse que

(1.16)

1.2. CONCEPTO DE TENSOR. OPERACIONES TENSORIALES

Además de los productos mencionados, se define el producto diádico quepermite generar unos nuevos entes matemáticos denominados tensores. Porsupuesto, la introducción del concepto tensor que se lleva a cabo seguida-mente constituye una simplificación demasiado drástica que no satisfará aun lector exigente; para aquellos interesados en una presentación más rigu-rosa, se recomienda recurrir a textos clásicos [Lichnerowicz (1950);Sokolnikoff (1964); Aris (1989)] o a otra referencia [Ruíz-Tolosa y Castillo(2005)] donde se efectúa una exposición exhaustiva y de nivel elevado.

1.2.1. Producto diádico

El producto diádico ui ⊗ uj da lugar a un ente denominado unidad diá-dica3. Del mismo modo que los vectores {u1, u2, u3} constituyen la base ala que referir un vector, las diadas {u1 ⊗ u1, u1 ⊗ u2,...,ui ⊗ uj,...,u3 ⊗ u3} sir-ven para desarrollar el tensor T en términos de sus componentes carte-sianas Tij

×

a b

u u u

× =1 2 3

1 2 3

1 2 3

a a a

b b b

a b u u u× = × = ≠== ==

∑∑ ∑∑a b a b ki j i j

ji

ijk i j k

ji1

3

1

3

1

3

1

3

ε ( ii j, )


18

3 En ocasiones el producto diádico ui ⊗ uj se indica simplemente por uiuj.

(1.17)

En el caso de que se verifique la igualdad Tij = Tij, se dice que el tensores simétrico y se expresa de acuerdo con la notación T=TT, donde el supe-ríndice T hace referencia a la matriz transpuesta; análogamente, se le deno-minará antisimétrico al tensor si verifica T=–TT. Asimismo, conviene resal-tar que todo tensor T puede descomponerse en suma de un tensor simétricoTs y otro antisimétrico Ta, definidos del modo siguiente

(1.18)

Para las unidades diádicas se definen las operaciones siguientes

(1.19)

(1.20)

(1.21)

(1.22)

(1.23)

(1.24)

donde con el símbolo : introducido en la última ecuación se denota el pro-ducto contraído de tensores.

1.2.2. Algunas operaciones en que intervienen tensores

De acuerdo con lo que se acaba de exponer, pueden considerarse diver-sas operaciones en las que intervienen tensores

T = ⊗==

∑∑ Tij i j

ji

u u

1

3

1

3

( ) : ( ) ( )( )u u u u u u u ui j k l j k i l jk il⊗ ⊗ = ⋅ ⋅ = δ δ

( ) ( ) ( )u u u u u u u u u ui j k l i j k l jk i l⊗ ⋅ ⊗ = ⊗ ⋅ = ⊗δ

u u u u u ui j k i j k× ⊗ = × ⊗( ) ( )

( ) ( )u u u u u ui j k i j k⊗ × = ⊗ ×

u u u u u u ui j k i j k ij k⋅ ⊗ = ⋅ =( ) ( ) δ

( ) ( )u u u u u u ui j k i j k jk i⊗ ⋅ = ⋅ = δ

T T T T T Ts T a T= ( ) = ( )12

12

+ –


19

Producto tensorial de vectores

(1.25)

que conduce al tensor T, que tiene por representación matricial

(1.26)

Nótese que T también puede obtenerse mediante la operación

(1.27)

donde el punto hace referencia a producto matricial.

Producto escalar tensor-vector

(1.28)

resultado del que puede colegirse de forma inmediata que el resultado de laoperación es el vector b que tiene por componentes

T ⋅ = ⊗⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⋅⎛

⎝

⎜⎜⎜== =

∑∑ ∑a T aij i j

ji

k k

k

u u u

1

3

1

3

1

3 ⎞⎞

⎠

⎟⎟⎟

= ⊗ ⋅ ====

∑∑∑ T a T aij k i j k

kji

ij k i( ) (u u u u u

1

3

1

3

1

3

jj k

kji

ij k jk i

kji

T a

⋅

=

===

===

∑∑∑

∑∑∑

u

u

)

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

δ ==⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟==

∑∑ T aij j

j

i

i 1

3

1

3

u

T= ⋅a bT

a b⊗ = =

⎛

⎝

⎜⎜⎜

T

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

1 1 1 2 1 3

2 1 2 2 2 3

3 1 3 2 3 3⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

a b u u⊗ =⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⊗⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

== =

∑ ∑a b a bi i

i

j j

j

i

1

3

1

3

jj i j

ji

u u⊗==

∑∑1

3

1

3


20

(1.29)

Por consiguiente, recordando la notación (1.26), la operación puedeinterpretarse como un producto matricial ordinario b = T · a.

Producto contraído de dos tensores

(1.30)

que en forma abreviada se expresa como4

(1.31)

El producto contraído posee las propiedades siguientes:

1) Si S es un tensor simétrico y A es antisimétrico, su producto contraídoes nulo

(1.32)

tal y como se pone de manifiesto en las igualdades siguientes

S A: = 0

T P T P: ( )= ⋅Tr

T P: :=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟== ==

∑∑ ∑T Pij i j

ji

kl k l

lk

u u u u

1

3

1

3

1

3

1

33

1

3

1

3

1

∑

∑∑

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

====

T Pij kl i j k l

lkj

( ) : ( )u u u u

33

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

∑∑∑∑∑∑

=

====

=

= =

i

ij kl jk il

lkji

ijT P T Pδ δ jji

ji

ii

i== =∑∑ ∑= ⋅

1

3

1

3

1

3

( )T P

b T a ii ij j

j

==

∑1

3

( =1,2,3)


21

4 La traza de una matriz se denota por el símbolo Tr y viene dada por la suma de los elementos desu diagonal principal.

(1.33)

2) El producto contraído de dos tensores simétricos es conmutativo

(1.34)

3) Si S es un tensor simétrico y T cualquier otro tensor, se verifica

(1.35)

lo cual se demuestra descomponiendo T en suma de parte simétricay antisimétrica, lo que permite escribir las igualdades

(1.36)

que junto con la propiedad 2 prueban la validez de (1.35).

1.3. OPERACIONES DIFERENCIALES

Como una cuestión previa, conviene mencionar que los tres tipos deproductos de vectores considerados se comportan de manera análoga fren-te a la derivación con respecto a un escalar (al que de forma genérica sedenominará s), de tal modo que puede escribirse

(1.37)

Por otra parte, la mayoría de operaciones diferenciales que se llevan a cabosobre vectores se efectúan empleando el operador nabla, definido como

(1.38)∇ =∂

∂=

∑ujj

jx

1

3

∂∂

∧ =∂∂

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∧ + ∧∂∂

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∧ = ⋅ × ⊗s s s

( ) ( , , )a b a b a b

S T S T T S T T S T T S T: : ( ) : : ( ) := + = = + =s a s s a s :: S

S T T S: :=

S S S S: :′ = ′ = ′ = ′== ==

∑∑ ∑∑S S S Sij ji

ji

ji ij

ji1

3

1

3

1

3

1

3

S A S A: := = − = −== ==

∑∑ ∑∑S A S Aij ji

ji

ji ij

ji1

3

1

3

1

3

1

3


22

asimismo, es bien conocido que a partir de se construye el operador

(1.39)

que recibe el nombre de laplaciana.

Cuando se consideran coordenadas cartesianas, la aplicación de � per-mite construir los siguientes entes:

Gradiente de un escalar

(1.40)

Divergencia de un vector

(1.41)

Rotacional de un vector

(1.42)

Gradiente de un vector

(1.43)∇ ⊗ =∂

∂

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⊗⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=∂

= =∑ ∑a u ui

ii

j j

jx

a

1

3

1

3

aa

xj

ii j

ji∂

⊗==

∑∑ u u

1

3

1

3

∇

∇ × =∂

∂∂

∂∂

∂a

u u u1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x x

a a a

∇ ⋅ =∂∂

=∑a uj

j

jj

a

x1

3

∇ =∂∂

=∑s

s

xjj

j

u

1

3

∇ =∂∂

=∑2

2

2

1

3

xjj


23

y así se llega al tensor

(1.44)

que, de acuerdo con (1.27), también puede obtenerse mediante la operación

(1.45)

donde el punto indica producto matricial.

Divergencia de un tensor

(1.46)

que conduce al vector b cuyas componentes son

(1.47)bT

xik

ik

ii

=∂

∂=

∑1

3

( =1,2,3)

∇ ⋅ = ∂∂

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⋅ ⊗⎛

⎝

⎜

= ==∑ ∑∑T ui

ii

jk j k

kjx

T

1

3

1

3

1

3

u u⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=∂

∂⋅ ⊗

=∂

∂

===∑∑∑ T

x

T

jk

ii j k

kji

jk

u ( )u u

1

3

1

3

1

3

xx

T

xiij k

kji

ik

ii

δ u u

=== =∑∑∑ ∑=

∂∂

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1

3

1

3

1

3

1

3

kk

k=∑

1

3

T a= ∇ ⋅ T

∇ ⊗ = =

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

a T

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

1

1

2

1

3

1

1

2

2

2

3

2

1

33

2

3

3

3

∂∂

∂∂

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

a

x

a

x


24

Una vez más, el resultado se puede expresar de forma más compactarecurriendo a la notación de producto matricial

(1.48)

Laplaciana de un vector

Se define como la divergencia del gradiente de un vector; es decir. Haciendo uso de (1.38) y (1.43), es posible escribir

(1.49)

lo que pone de manifiesto que el resultado de la operación es el vector

(1.50)∇ ⋅ ∇ ⊗ = ∇( )=

∑( )a u2

1

3

ak k

k

∇ ⋅ ∇ ⊗ =∂

∂

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⋅∂∂

⊗= =

∑ ∑( )a u uuii

i

k

jj k

kjx

a

x1

3

1

3

==

==

∑

∑∑

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=∂

∂ ∂⋅ ⊗

1

3

2

1

3

1

3

a

x xk

i ji

k

j k

ji

u ( )u u

==

===

=

∑∑∑∑=

∂∂ ∂

=∂

∂

1

3

2

1

3

1

3

1

3

2

2

a

x x

a

x

k

i jij k

kji

k

ii

δ u

11

3

1

3

∑∑⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

uk

k

∇ ⋅ ∇ ⊗( )a

b T= ∇ ⋅T


25

CAPÍTULO IICOORDENADAS CURVILÍNEAS

Sin duda, los lectores están suficientemente familiarizados con elempleo del sistema de ejes cartesiano como referencia de los puntos en elespacio, de tal modo que el vector trazado desde el origen de coordenadas(punto O) hasta el punto genérico P viene dado por

(2.1)

donde vectores u1,u2,u3 satisfacen las ecuaciones (1.2), (1.5) y (1.6).

Asimismo, si se considera un punto P' suficientemente próximo a P, elvector que tiene su origen en P y su extremo en P' puede expresarse enforma diferencial

(2.2)

de tal modo que si P y P' pertenecen a una curva, el vector tangente en elpunto P viene dado por dr.

2.1. COORDENADAS CURVILÍNEAS. BASES COVARIANTEY CONTRAVARIANTE

Sin embargo, las coordenadas cartesianas no son siempre las más ade-cuadas para estudiar cualquier problema, ya que la mayor o menor idonei-dad de un sistema de coordenadas viene dictada por la geometría del pro-blema, circunstancia que obliga a introducir otros sistemas de coordenadas.Desde un punto de vista formal, el paso de un sistema de ejes cartesiano a

d dr u==

∑( )xj j

j 1

3

r u==

∑xj j

j 1

3

27

otro de coordenadas curvilíneas expresado por la terna q1, q2, q3, puede iden-tificarse con el cambio de variables

(2.3)

asociado con la matriz jacobiana J que tiene por elementos

(2.4)

Al introducir las nuevas matrices

(2.5)

construidas a partir de (1.5) de acuerdo con las igualdades

(2.6)

quedan definidas las nuevas bases de vectores {g1, g2, g3} y {g1, g2, g3}, a lasque respectivamente se denominan covariante y contravariante.

Desarrollando (2.6) en términos de los elementos de las matrices res-pectivas, se llega a las expresiones equivalentes

(2.7)

(2.8)g u uiij j

j

i

jj

j

Jqx

i= = ∂∂

== =

∑ ∑1

3

1

3

1 2 3( , , )

g u u ui ij

T

j

j

ji j

j

j

i j

j

J Jx

q= ( ) = ( ) =

∂

∂−

=

−

= =∑ ∑ ∑1

1

3

1

1

3

1

3

( , , )i = 1 2 3

( , , ) ( , , )x x x q q q1 2 31 2 3→

g J u g J u= ( ) ⋅ = ⋅−1 T�

g g=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

g

g

g

g

g

g

1

2

3

1

2

3

�⎟⎟⎟⎟

Jqx

Jx

qij

i

jij

ij

=∂∂ ( ) =

∂∂

−1

28


que permiten poner de manifiesto el significado geométrico de los vectoresde las bases introducidas. Así, basta recordar (2.2) y tener en cuenta (2.7)para concluir que

(2.9)

de lo que se colige el carácter de vector tangente que posee gi. Análogamente(2.8) pone de manifiesto el carácter de gradiente de gi

(2.10)

Asimismo, las expresiones homólogas de (2.1) y (2.2) vienen dadas por

(2.11)

Por otra parte, el producto escalar entre un vector de la base covariantey otro de la contravariante puede expresarse como producto matricial entreg y g̃

(2.12)

lo cual significa que

(2.13)

y pone de manifiesto que las bases covariante y contravariante son orto-normales.

2.1.1. Coeficientes y tensores métricos

Los coeficientes métricos de cada una de las bases se definen a partir delos productos escalares

(2.14)g gij i jij i j= ⋅ = ⋅g g g g

gr

i iqi=

∂∂

=( , , )1 2 3

g i iq i= ∇ =( , , )1 2 3

g gij

ij⋅ = δ

g g J u u J J J J J I⋅ = ( ) ⋅ ⋅ ⋅ = ( ) ⋅ = ⋅( ) =− − −� T T T T T T T1 1 1

r g rr

g= =∂

∂= ( )

= =∑ ∑q

qq qj

j

j

ii

i

ii

1

3

1

3

d d d

ii=∑

1

3

29

COORDENADAS CURVILÍNEAS

que ordenados en forma matricial

(2.15)

constituyen los respectivos tensores métricos covariante y contravariante.

A partir de (2.6) y (2.14), puede escribirse

(2.16)

(2.17)

relaciones de las cuales se concluye que

(2.18)

Obsérvese finalmente que los coeficientes métricos adoptan las formasexplícitas

(2.19)

(2.20)

a partir de las cuales el elemento de longitud de una curva viene dado porla forma cuadrática

(2.21)d d d d dr r r g g2

1

3

1

3

= ⋅ = ( )⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⋅ ( )⎡

⎣= =∑ ∑q qi

i

i

jj

j

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

===

∑∑ g q qiji j

ji

d d

1

3

1

3

gq

x

q

xij

i

k

j

kk

=∂∂

∂∂

=∑

1

3

gx

q

x

qijki

k

kj

=∂∂

∂∂

=∑

1

3

G =

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

g g g

g g g

g g g

11 12 13

21 22 23

31 32 33

�G =

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

g g g

g g g

g g g

11 12 13

21 22 23

31 32 33 ⎟⎟

G = g g J u u J J J⋅ = ( ) ⋅ ⋅ ⋅ = ( ) ⋅− − − −T T T T1 1 1 1

� � �G g g J u u J J J= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅T T T T

G G I⋅ =�


30

que, en forma compacta, se expresa como producto matricial

(2.22)

2.2. EXPRESIÓN DE UN VECTOR EN COORDENADASCURVILÍNEAS

Al considerar un sistema de coordenadas curvilíneas, cualquier vectorpuede referirse tanto a la base covariante como a la contravariante, deacuerdo con alguna de las igualdades

(2.23)

de las que se siguen las relaciones

(2.24)

(2.25)g v

g g g g

g g

i

ij

jj

i jj

ij

jjj

i j

v v v g

v

⋅ =

⋅ = ⋅ =

⋅

===∑∑∑

1

3

1

3

1

3

jj

j

j ij

j

j ij i

j

v v v

= = =∑ ∑ ∑= ⋅ = =

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

1

3

1

3

1

3

g g δ

g v

g g g g

g

i

i jj

j ij

jij

i

jjj

i

v v v g v

⋅ =

⋅ = ⋅ = =

⋅

===∑∑∑

1

3

1

3

1

3

vv v v gjj

j

ji j

j

jij

j

g g g

= = =∑ ∑ ∑= ⋅ =

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

1

3

1

3

1

3

d d d d

d

d

d

r2 1 2 3

1

2

3

= ⋅ ⋅

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

( , , )q q q

q

q

q

G

v g v g= == =

∑ ∑v vjj

j

jj

j1

3

1

3


31

que permiten concluir que

(2.26)

Asimismo, la siguiente proposición permite establecerse la relaciónentre los vectores de ambas bases

Proposición 2.1.

Los vectores gi y gi se relacionan a través de las ecuaciones

(2.27)

Demostración

Si el vector gi se refiere a la base contravariante, ha de satisfacerse laexpresión

(2.28)

donde los coeficientes αij se obtienen multiplicando escalarmente por gk losdos miembros de la igualdad anterior. Así se obtiene

(2.29)

y queda probada la primera de las igualdades (2.27). La segunda de ellas seobtiene a partir de un razonamiento análogo, escribiendo para el vector gi

la expresión homóloga de (2.28).

gik i k ijj

k

j

ij jk

j

ik= ⋅ = ⋅ = == =

∑ ∑g g g gα α δ α1

3

1

3

g gi ijj

j

==

∑α1

3

v vi ii i= ⋅ = ⋅g v g v

g g g gi ijj

j

i ijj

j

g g= == =

∑ ∑1

3

1

3


32

2.2.1. Operaciones entre vectores en coordenadas curvilíneas

Producto escalar

Haciendo uso de (2.23), (1.3) y (2.13), puede escribirse

(2.30)

que da lugar al resultado

(2.31)

Operaciones diádicas

Las operaciones diádicas (para las que se usa el símbolo ⊗) introduci-das en el Capítulo I se generalizan del modo siguiente

(2.32)

(2.33)

(2.34)

(2.35)

(2.36)g g g g g gi j k i j k× ⊗ = × ⊗( ) ( )

( ) ( )g g g g g g gi jk

i jk

jk i⊗ ⋅ = ⋅ = δ

g g g g g g gij k

ij k ij k⋅ ⊗ = ⋅ =( ) ( ) δ

( ) ( )g g g g g g gi j k i j k jk ig⊗ ⋅ = ⋅ =

g g g g g g gi j k i j k ij kg⋅ ⊗ = ⋅ =( ) ( )

v w⋅ =

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

=

==

∑∑∑

v w

v w g

ii

i

i j

j

ij

i

1

3

1

3

1

3

v w

g g

⋅ =

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⋅⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

== =

∑ ∑v w v wii

i

jj

j

i

1

3

1

3

jj

j

ij

i

ij

j

ij

i

ii

i

v w

v

== ==

=

∑∑ ∑∑

∑

⋅ =

⎛

⎝

⎜

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

g g

g

δ

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⋅⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

= ⋅= ==

∑ ∑∑w v wjj

j

i ji

ji

g g g

1

3

1

3

1

3

jji j

j

ij

i

v w g=

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪ ==

∑∑1

3

1

3


33

(2.37)

(2.38)

(2.39)

donde el punto indica producto escalar y el símbolo producto vectorial.

Asimismo, un tensor referido a la base covariante se expresa mediantela igualdad

(2.40)

Producto tensor-vector

De acuerdo con lo que acaba de exponerse, el producto entre un tensory un vector viene dado por

(2.41)

donde, de acuerdo con la primera de las igualdades (2.23), el término con-tenido en el paréntesis de la última igualdad es la componente contrava-riante del vector que resulta al efectuar el producto T·νν.

Proposición 2.2.

El tensor unidad viene dado por la expresión

(2.42)I = ⊗==

∑∑ giji

ji

jg g

1

3

1

3

T ⋅ = ⊗⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⋅⎛

⎝

⎜⎜⎜== =

∑∑ ∑v g g gT viji

ji

j kk

k1

3

1

3

1

3 ⎞⎞

⎠

⎟⎟⎟

= ⋅ =

=

===∑∑∑ T v

T v

ijk i j

k

kji

ijk jk

g g g

g

( )

1

3

1

3

1

3

δ ii

kji

ijj

ji

iij

j

j

T v T v

=== == =∑∑∑ ∑∑ ∑= =

⎛

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

g

⎝⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

∑i

i

1

3

g

T = ⊗==

∑∑ T iji

ji

jg g

1

3

1

3

( ) ( )g g g g g gi jk

i jk⊗ × = ⊗ ×

g g g g g gij k

ij k× ⊗ = × ⊗( ) ( )

( ) ( )g g g g g gi j k i j k⊗ × = ⊗ ×


34

×

Demostración

Si se considera el segundo miembro de (2.42) como un operador y seaplica a un vector arbitrario νν, se llega al resultado siguiente

(2.43)

que pone de manifiesto que el tensor I coincide con el operador unidad.

2.3. OPERACIONES DIFERENCIALES

Como una cuestión previa, conviene mencionar que los tres tipos deproductos de vectores considerados en este capítulo se comportan de mane-ra análoga frente a la derivación

(2.44)

(2.45)

Operador nabla

En coordenadas cartesianas el operador nabla se define como

(2.46)∇ =∂

∂=

∑ujj

jx

1

3

∂∂

∧ =∂∂

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∧ + ∧∂∂

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∧ = ⋅ ×s s s

i j i j i j( ) ( , ,g g g g g g ⊗⊗)

∂∂

∧ =∂∂

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∧ + ∧∂∂

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∧ = ⋅ ×s s si j i j i j( ) ( , ,g g g g g g ⊗⊗)

I ⋅ = ⊗⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⋅⎛

⎝

⎜⎜⎜== =

∑∑ ∑v g g gg viji

ji

j kk

k1

3

1

3

1

3 ⎞⎞

⎠

⎟⎟⎟

= ⋅ =

=

===∑∑∑ g v

g v

ijk i j

k

kji

ijk jk

g g g

g

( )

1

3

1

3

1

3

δ ii

kji

ijj

ji

iij

j

j

g v g v

=== == =∑∑∑ ∑∑ ∑= =

⎛

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

g

⎝⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

= =

=

=

∑

∑i

i

i

i

iv

1

3

1

3

g

g v


35

que puede escribirse en la forma

(2.47)

y de acuerdo con (2.8) se convierte en

(2.48)

2.3.1. Derivadas de los vectores de la base covariante

En la derivación de los vectores de la base se recurre a unos entes deno-minados símbolos de Christoffel, que se introducen del modo siguiente:

Definición 2.1.

Se denomina símbolo de Christoffel de primer orden Γijk al ente definidomediante la igualdad

(2.49)

Nótese que los símbolos de Christoffel de primer orden satisfacen lasrelaciones

(2.50)

(2.51)∂∂

⋅ =g

gij k ijkq

Γ

∂∂

⋅ = ⋅ ==

∑gg g gi

j l ijkk

l

k

ijlqΓ Γ

1

3

∂∂

==

∑ggi

j ijkk

kq

Γ1

3

∇ =∂

∂=

∑g ii

iq

1

3

∇ =∂

∂=

∂∂

∂∂

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

== ==

∑ ∑∑u ujj

j

j i

i

jij

x q

q

x1

3

1

3

1

3

∂∂∂

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

∂∂

==∑∑ q

x q

i

jj

j

i

i

u

1

3

1

3


36

cuya utilidad para obtener las derivadas de los vectores gi se pone de mani-fiesto en lo que se expone a continuación. A fin de que los cálculos sean másfáciles de seguir, se va a proceder en varias etapas:

Etapa 1.

A partir de las ecuaciones (2.9) y (2.11), rescritas como

(2.52)

se obtiene la siguiente relación entre los símbolos de Christoffel

(2.53)

Etapa 2.

Haciendo uso de la primera de las igualdades (2.14) y de (2.51), se sigueque

(2.54)

y al efectuar las adecuadas reordenaciones de índices es posible escribir

(2.55)

que junto con (2.53) permite colegir que

(2.56)2Γ Γ Γijk ikj jki

jk

iikj

g

q

g

q+ + =

∂

∂+

∂∂

∂

∂= +

∂∂

= +

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

g

q

g

q

jk

i kij jik

ikj kji ijk

Γ Γ

Γ Γ

∂

∂=

∂∂

⋅ = ⋅∂

∂+

∂∂

⋅ = +g

q q q qij

k k i j i

j

kik j jki ikjg g g

g gg Γ Γ

∂∂

=∂

∂ ∂=

∂∂ ∂

⇒ =g r ri

j i j j i ijk jikq q q q q

2 2

Γ Γ

gr

r gi ij

j

jq

q=∂

∂=

=∑

1

3


37

Despejando Γijk en esta ecuación se obtiene

(2.57)

que junto con (2.55) da lugar al resultado

(2.58)

Definición 2.2.

Se denomina símbolo de Christoffel de segundo orden Γ kij al ente definidomediante la igualdad

(2.59)

A partir de la definición anterior resulta inmediato comprobar que lossímbolos de Christoffel de segundo orden satisfacen las relacionessiguientes

(2.60)

de donde se deduce

(2.61)

Asimismo, el hecho de verificarse gi · gj = δij , da lugar a la identidad

(2.62)∂

∂⋅ = ⋅

∂∂

+∂∂

⋅ =q q qk i

ji

j

kik

jg g gg g

g 0

∂∂

⋅ =g

gij

kijk

qΓ

∂∂

⋅ = ⋅ == =

∑ ∑gg g gi

jl

ijk

kl

k

ijk

kl

kq

Γ Γ1

3

1

3

δ

∂∂

==

∑ggi

j ijk

k

kq

Γ1

3

Γ ijk

jk

iikj

ij

k

g

q

g

q

g

q=

∂

∂+

∂∂

−∂

∂

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

12

Γ Γ Γijk

jk

iikj ikj jki

g

q

g

q=

∂

∂+

∂∂

− −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

12


38

que junto con (2.61) conduce a la expresión

(2.63)

Etapa 3.

Al multiplicar escalarmente el segundo miembro de (2.59) por el vec-tor gm y tener en cuenta (2.60), (2.27), (2.49), (2.51), se pueden escribirlas igualdades

(2.64)

y, a partir de ellas, establecer la nueva expresión

(2.65)

Ahora bien, haciendo uso de (2.27), el primer miembros de la igualdadanterior puede transformarse del modo siguiente

(2.66)

y al igualar los segundos miembros de (2.65) y (2.66), es posible escribir

(2.67)

Al multiplicar escalarmente por un vector de la base contravariante gl enla expresión anterior, se llega a las nuevas igualdades

Γ Γijk

k

k

ijmm

m

g g

= =∑ ∑=

1

3

1

3

m

ijk

kmm

k

ijk

k

kmm

m

ijk

k

m

g g

= = = =∑ ∑ ∑ ∑= =

1

3

1

3

1

3

1

3

Γ Γ Γg g g

==∑

1

3

m

ijk

kmm

k

ijmm

m

g

= = =∑ ∑ ∑=

1

3

1

3

1

3

Γ Γg g

Γ ijk

km

k

ij

kkm

k

ij

kkm

k

gq

gq

g

= = =∑ ∑=

∂∂

⋅ =∂∂

⋅1

3

1

3

1

3

gg

gg∑∑ =

∂∂

⋅ =g

gij m ijmq

Γ

∂∂

⋅ = −g

gj

k i ikj

qΓ


39

(2.68)

(2.69)

que al efectuar las permutaciones de índices l ↔ k y m ↔ l en la última deellas adopta la forma

(2.70)

Al tener en cuenta la expresión explícita de los símbolos de Christoffelde primer orden dada por (2.58), se concluye que

(2.71)

2.3.2. Derivadas de los vectores de la base contravariante

Al igual que en el caso de la base covariante, se expresará la derivadacomo combinación lineal de alguna de las bases; así, en el caso de elegir lacontravariante, ha de satisfacerse la relación genérica

(2.72)

siendo la etapa siguiente tratar de relacionar αijk con los símbolos deChristoffel.

∂∂

==

∑gg

i

j ijkk

kq

α1

3

Γ ijk kl

l

jl

iilj

ij

lg

g

q

g

q

g

q=

∂

∂+

∂∂

−∂

∂

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=∑1

21

3

Γ Γijk

ijlkl

l

g==

∑1

3

Γ Γijk

kl

k

ijmlm

m

gδ= =

∑ ∑=1

3

1

3

Γ Γijk

kl

k

ijmm l

m

g g g g⋅ = ⋅= =

∑ ∑1

3

1

3


40

Si, una vez más, se tiene en cuenta la ortogonalidad entre las bases cova-riante y contravariante, resulta inmediata la igualdad

(2.73)

que, al tener en cuenta (2.72) y (2.61) se transforma en

(2.74)

de donde se deduce de forma inmediata que αijk = –Γ ikj y se llega al resultado

(2.75)

Definición 2.3.

Si se considera cierto vector a, se define la derivada covariante de suscomponentes de acuerdo con las siguientes igualdades

(2.76)

en el caso de que se consideren sus componentes covariantes y

(2.77)

si la derivación se refiere a las componentes contravariantes del vector.

aa

qaj

ii

j kji k

k

, =∂∂

+=

∑Γ1

3

aa

qai j

ij ij

kk

k

, =∂∂

−=

∑Γ1

3

∂∂

= −=

∑gg

i

j kji k

kq

Γ1

3

α ijkk

l

k

ljig g⋅ + =

=∑

1

3

0Γ

∂∂

⋅ =∂∂

⋅ + ⋅∂∂

=q q qj

il

i

j li l

jg g

gg g

g0


41

2.4. EXPRESIONES EXPLÍCITAS RESULTADO DE OPERACIONESDIFERENCIALES

La generalización de lo expuesto en 1.3 para las coordenadas cartesia-nas se lleva a cabo utilizando la expresión (2.48) para � y las definicionesde los símbolos de Christoffel, con lo que se llega a las expresionessiguientes


(2.78)

que, recordando la definición derivada covariante (2.77), permite escribir

(2.79)


(2.80)

que puede rescribirse del modo siguiente

∇ ⊗ =∂

∂

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⊗⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

== =

∑ ∑a g g gii

i

jj

jq

a

1

3

1

3

iij

i jj j

i

ji

j

ii

a

qa

q

a

q

⊗∂

∂+

∂

∂

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

=∂

∂⊗

==∑∑ g

g

g

1

3

1

3

gg g gjj i

jik

k

kji

a+ ⊗⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟===

∑∑∑ Γ1

3

1

3

1

3

∇ ⋅ =∂∂

+⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=== =

∑∑ ∑aa

qa a

i

i jii j

ji

ii

i

Γ1

3

1

3

1

3

,

∇ ⋅ =∂

∂

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⋅⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

== =

∑ ∑a g g gii

i

jj

jq

a

1

3

1

3

iij

i jj j

i

ji

j

ii

a

qa

q

a

q

⋅∂

∂+

∂

∂

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

= ∂∂

⋅

==∑∑ g

g

g

1

3

1

3

gg jj

jii

ji

j

i ijj

jiia

a

qa+

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= ∂

∂+

⎛

⎝⎜⎞

==∑∑ Γ Γ

1

3

1

3

δ⎠⎠⎟

==∑∑

ji 1

3

1

3


42

(2.81)

y conduce al resultado

(2.82)

Por otra parte, si sólo se hubieran considerado vectores de la base con-travariante, se llega a la expresión

(2.83)

Divergencia de un tensor

(2.84)

y considerando con detalle las operaciones siguientes

(2.85)gg

g g g g gi j

i ki

jil

l

l

k jil i

q⋅

∂

∂⊗ = ⋅

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⊗ ==

∑Γ Γ1

3

⋅⋅ ⊗ ==

∑ g g gl k

l

jii

k

1

3

Γ

∇ ⋅ =∂

∂

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⋅ ⊗⎛

⎝

⎜

= ==∑ ∑∑T g g gi

i

i

jkj k

kjq

T

1

3

1

3

1

3

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

=∂

∂⋅ ⊗ + ⋅

∂

∂⊗ +

T

qT

qT

jk

ii

j kjk i j

i kjk ig g g g

gg g ⋅⋅ ⊗

∂∂

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

===∑∑∑ g

gj

ki

kjiq

1

3

1

3

1

3

∇ ⊗ = ⊗ ∂∂

−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟===

∑∑∑a g gi jj

i jik k

kji

a

qaΓ

1

3

1

3

1

3

====

∑∑ aj i

ji

,

1

3

1

3

∇ ⊗ = ⊗∂

∂+

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟===

∑∑∑a g gij

j

i kij k

kji

a

qaΓ

1

3

1

3

1

3

====

∑∑ a ij

ji

,

1

3

1

3

∇ ⊗ =∂

∂⊗ + ⊗

== ==∑∑ ∑∑a g g g g

a

qa

j

ii

j

ji

jjik i

k

kj1

3

1

3

1

3

1

3

Γii

j

ii

j

ji

kkij i

j

kj

a

qa

=

== =

∑∑∑ ∑

=

=∂

∂⊗ + ⊗

1

3

1

3

1

3

1

3

g g g gΓ===

∑∑1

3

1

3

i


43

(2.86)

la expresión (2.84) se convierte en

(2.87)

Si la notación de los índices del segundo sumatorio de (2.87) se trans-forma de acuerdo con k → j y j → l y en el tercero se modifica haciendo l → jy k → l, se llega al resultado

(2.88)

2.5. COORDENADAS CURVILÍNEAS ORTOGONALES

Un sistema de coordenadas curvilíneo es ortogonal, si lo son los vecto-res de cualquiera de las bases covariente o contravariante y, asimismo, sepone de manifiesto de forma inmediata que la ortogonalidad de una de lasbases implica necesariamente la de la otra.

Si se parte de la hipótesis

(2.89)

el tensor métrico covariante adopta la forma

(2.90)G =

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h

h

h

12

22

32

0 0

0 0

0 0

g hij i j i ij= ⋅ =g g 2δ

∇ ⋅ =∂∂

+ +⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟

= =∑ ∑T g j

ij

ilj

lii

l

illij

l

T

qT TΓ Γ

1

3

1

3

⎟⎟⎟==∑∑

ji 1

3

1

3

∇ ⋅ =∂

∂+

== ===∑∑ ∑∑T

T

qT

ik

i k

ki

jkjii

k

kji

g g

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

Γ∑∑ ∑∑∑+===

T ikkil

l

lki

Γ g

1

3

1

3

1

3

g gg

g g g gij

ki

ij ki

ll

l

kil i

q⋅ ⊗

∂∂

= ⋅ ⊗⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

==

∑Γ Γ1

3

⋅⋅ ⊗ == =

∑ ∑g g gj l

l

ij kil

l

l1

3

1

3

δ Γ


44

y teniendo en cuenta (2.16) y (2.17), se obtiene para G�

(2.91)

que pone de manifiesto que la base contravariante es ortogonal y se verifica

(2.92)

Asimismo, los coeficientes métricos hi y hi permiten definir las bases devectores unitarios

(2.93)

con lo cual el operador � definido de acuerdo con (2.48) adopta la forma

(2.94)

2.5.1. Derivadas de los vectores de la base {e1, e2, e3}

En el caso de un sistema de coordenadas curvilíneas ortogonales, laexpresión de los símbolos de Christoffel de segundo orden (2.71) se modifi-ca de acuerdo con (2.89) y (2.92), lo que da lugar a las nuevas expresiones

(2.95)

(2.96)Γ ijk

kj

j

i jk iij ik i

ik ijh

hh

qh

h

qh

h

q=

∂

∂+

∂∂

−∂∂

⎡

⎣⎢

12

δ δ δ⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

Γ ijk

kkl

l

i j jl j ih qh

qh=

∂∂

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+∂

∂⎛⎝⎜

⎞

=∑1

21

2

1

3

2 2δ δ⎠⎠⎟

−∂∂

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

δ δil l i ijqh2

∇ = ∂∂

=∑e1

11

3

1h qi

i

e g e gii

ii

ii

h h= 1

=1

�g h h hiji j i

iji

i= ⋅ = =g g ( )2 1δ

�G G= =

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

−

−

−

−

1

12

22

32

0 0

0 0

0 0

( )

( )

( )

h

h

h


45

Por otra parte, de (2.93) se sigue

(2.97)

y al expresar la derivada del segundo miembro de esta última igualdad entérminos de (2.59) y (2.96) se obtiene a la expresión

(2.98)

de la cual se llega al resultado

(2.99)

2.5.2. Algunos ejemplos de aplicación de � en coordenadascurvilíneas ortogonales


(2.100)

que al introducir (2.99) se convierte en

(2.101)∇ ⋅ =∂∂

+∂∂

−∂

∂=

∑a e1 1 1

1

3

h

a

q

a

h h

h

q h

h

qi

i

i

i

j

i j

ij i ij

k

j

kδ

kk

k i

ji ===∑∑∑

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⋅1

3

1

3

1

3

e e

∇ ⋅ = ∂∂

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⋅⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

= =∑ ∑a e ei

ii

i

jj

jh q

a1

1

3

1

3

⎟⎟= ∂

∂⋅ + ⋅

∂

∂

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

=

==∑∑ 1

1

3

1

3

ha

qa

qi

j

i i jj

i

j

i

ji

e e ee

11

1

3

1

3

1

3

ha

q

ah qi

i

i

i

j

i

j

i i

ji

∂∂

+∂

∂⋅

= ==∑ ∑∑ e

e

∂∂

=∂

∂−

∂∂

=∑e

e eij

i

j

i j ijk

ik

k

kq h

h

q h

h

q

1 1

1

3

δ

∂∂

= −∂∂

+∂

∂+

∂∂

eei

ji

ij i

i kj

j

i jk iijq h

h

q h hh

h

qh

h

q

1 1 1 δ δiik iik ij

k

khh

q−

∂∂

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=∑ δ

1

3

e

∂∂

= −∂∂

+∂∂

eg

gij

i

ij i

i

ijq h

h

q h q

1 12


46

que finalmente adopta la forma1

(2.102)


(2.103)

y haciendo uso de (2.99) se llega al resultado

(2.104)∇ ⊗ =∂∂

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⊗ +∂

==∑∑a e e

1 1

1

3

1

3

hah

h

q hi

j

j

ij

j

i i

ii

aa

q

ah

h

q

j

i

i

j

ij i j

ji∂

−∂∂

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ⊗

==∑∑ e e

1

3

1

3

∇ ⊗ =∂

∂

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⊗⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

= =∑ ∑a e ei

ii

i

j

jh q

a1

1

3

1

1

3

⎟⎟=

∂∂

⊗ + ⊗∂

∂

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

==∑∑ 1

1

3

1

3

h

a

qa

qi

j

i i jj

i

j

i

ji

e e ee

∇ ⋅ = ∂∂

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+

∂∂

= ==∑ ∑∑a

q

ah

ah h

h

qi

i

ii

j

i j

ij

ji1

3

1

3

1

3


47

1 Conviene resaltar que en (2.100) las componentes del vector están referidas a la base ortonormal{e1, e2, e3}. Por tal motivo, a la hora de particularizar la expresión de la divergencia para un determina-do sistema de coordenadas ortogonales, debe precisarse si las componentes del vector están referidas ala base anterior o a la base {g1, g2, g3}.

APÉNDICE 2.AALGUNOS SISTEMAS DE COORDENADAS CURVILÍNEAS USUALES

2.A.1. Coordenadas cilíndricas

El cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas

(2.A.1)

en forma explícita viene dado por

(2.A.2)

de tal modo que la matriz jacobiana asociada a la transformación adopta laforma

(2.A.3)

Teniendo en cuenta lo que acaba de exponerse, las ecuaciones (2.6) seconvierten en

(2.A.4)

de tal modo que las relaciones de ortogonalidad se expresan

g u u

g u u

g u

r

z

r r

= += − +

=

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

1 2

1 2

3

cos sen

sen cos

ϕ ϕϕ ϕϕ

g u u

g u u

r

r r

= +

= − +−1 2

11

21

cos sen

sen co

ϕ ϕ

ϕϕ ssϕ

g uz =

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪ 3

J− =−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1

0

0

0 0 1

cos sen

sen cos

ϕ ϕϕ ϕ

r

r J = −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

− −

cos sen

sen cos

ϕ ϕϕ ϕ

0

0

0 0 1

1 1r r

x r

x r

x z

1

2

3

===

⎧

⎨⎪

⎩⎪

cosϕϕsen

( , , ) ( , , )x x x r z1 2 3 → ϕ


48

(2.A.5)

lo que da lugar a la base de vectores unitarios

(2.A.6)

y el operador � en coordenadas cilídricas viene dado por

(2.A.7)

El resultado de aplicar (2.99) para calcular las derivadas de los vectoresde la base se recogen en la Tabla 2.A. 1.

A título de ejemplo, resulta inmediato particularizar la expresión (2.102)y escribir la divergencia de un vector del modo siguiente

(2.A.8)∇ ⋅ =∂∂

+∂∂

+∂

∂+a

a

r r

a a

z

a

r

r z r1 ϕ

ϕ

∇ =∂∂

+∂∂

+∂∂

e e er zr r zϕ ϕ1

e e u u

e e u u

e e u

rr

zz

= = +

= = − +

= =

1 2

1 2

3

cos sen

sen cos

ϕ ϕ

ϕ ϕϕϕ

⎧⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

g g

g g

g g

g g

gr r

z z

r r

r

⋅ =

⋅ =

⋅ =

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⋅ =1

1

12

ϕ ϕϕϕ ϕ⋅ =

⋅ =

⎧

⎨⎪

⎩⎪

−g

g g

rz z

2

1


49

er eϕ ez

∂ / ∂r

∂ / ∂ϕ

∂ / ∂z

0 0 0

eϕ –er 0

0 0 0

Tabla 2.A.1.

aunque en la bibliografía suele presentarse escrita en la forma alternativa

(2.A.9)

En [Bird, Armstrong y Hassager (1977)] puede encontrar una recopila-ción exhaustiva de expresiones de operadores diferenciales presentada.

2.A.2. Coordenadas polares

El cambio de coordenadas cartesianas a polares

(2.A.10)

en forma explícita se expresa

(2.A.11)

y la matriz jacobiana viene dada por

(2.A.12)

que junto con (2.6) permite escribir

(2.A.13)

(2.A.14)h h r h rr = = =1 θ ϕ θsen

g u u u

g u ur

r

= + +

= +1 2 3

1

sen cos sen sen cos

cos cos

θ ϕ θ ϕ θθ ϕθ 22 3

1 2

r r

r r

cos sen sen

sen sen sen cos

θ ϕ θθ ϕ θ ϕϕ

−= − +

⎧

u

g u u

⎨⎨⎪

⎩⎪

J− =−

1

sen cos cos cos sen sen

sen sen cos sen

θ ϕ θ ϕ θ ϕθ ϕ θ

r r

r ϕϕ θ ϕθ θ

r

r

sen cos

cos sen−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟0

x r

x r

x r

1

2

3

===

⎧

⎨⎪

⎩⎪

sen

sen sen

θ ϕθ ϕθ

cos

cos

( , , ) ( , , )x x x r1 2 3 → ϕ θ

∇ ⋅ =∂

∂+

∂∂

+∂

∂a

1 1r

rar r

a az

r z( ) ϕ

ϕ


50

Por consiguiente, los vectores de la base ortonormal del sistema de coor-denadas polares son

(2.A.15)

y el operador nabla adopta la forma

(2.A.16)

Por lo que respecta a las derivadas de los vectores de la base, éstas serecogen en la tabla Tabla 2.A. 2.

Tal y como se hizo en el caso de coordenadas cilíndricas, sólo se da laexpresión de la divergencia de un vector

(2.A.17)

y de nuevo se remite a [Bird, Armstrong y Hassager (1977)] para consultarlas expresiones relacionadas con los restante operadores diferenciales.

∇ ⋅ =∂∂

+∂∂

+∂∂

a1 1 12

2

r rr a

ra

r

ar( )sen

( sen )senθ θ

θθ ϕ

θϕ

∇ =∂∂

+∂∂

+∂∂

e e er r r rθ ϕθ θ ϕ1 1

sen

e u u u

e u ur = + +

= +1 2 3

1 2

sen cos sen sen cos

cos cos

θ ϕ θ ϕ θθ ϕθ ccos sen sen

sen cos

θ ϕ θϕ ϕϕ

−= − +

⎧

⎨⎪

⎩⎪

u

e u u3

1 2


51

er eθ eϕ

∂ / ∂r

∂ / ∂θ

∂ / ∂ϕ

0 0 0

eθ –er 0

eϕ sen θ eϕ cos θ –er sen θ –eθ cos θ

Tabla 2.A.2

CAPÍTULO IIISISTEMAS CONTINUOS

3.1. COORDENADAS CONVECTIVAS

Durante la deformación de un medio continuo sus partículas se despla-zan siguiendo determinadas trayectorias, de tal manera que la partícula queen el instante t tenía a r por vector posición, ocupa la posición r' en el ins-tante t' (ver Figura 3.1), de tal modo que el movimiento de la partícula seexpresa por

(3.1)

que constituye una formulación más general que aquella que considera quela partícula se localizaba en el punto r en el instante t = 0 [Gyarmati (1970);Criado-Sancho y Casas-Vázquez (2007), pág. 482].

Figura 3.1

r r r' '( , , ')= t t

53

Al vector r = (x1, x2, x3) de la ecuación (3.1) puede atribuírsele el papel de«etiqueta» de la partícula, lo cual implica que su valor permanece constan-te para todo valor t' y sugiere, asimismo, la posibilidad de construir un sis-tema de coordenadas (q1, q2, q3), a las que se denomina coordenadas con-vectivas [Bird, Armstrong y Hassager (1977)], que se deforman con elsistema, de tal modo que en todo instante se satisfaga la identidad qi = xi

La evolución desde la posición r a la r' puede interpretarse formalmen-te como la transformación de coordenadas

(3.2)

con la que están asociadas las matrices

(3.3)

que corresponden, respectivamente, a los tensores de deformación materialy espacial; nótese que H = F–1 y que tales tensores pueden generarse comogradientes de los vectores posición

(3.4)

Sin embargo, la identificación qi = xi permite escribir

(3.5)

lo que pone de manifiesto que el cambio de variable (mediante el que sedefine el sistema de coordenadas convectivas) tiene a F–1 como matriz jaco-biana; por consiguiente, los vectores de la base covariante {g1,g2,g3} y con-travariante {g1,g2,g3} se construyen de acuerdo con lo expuesto en elCapítulo II [ver ecuación (2.6)]

( , , ) ( , , ) ( , , )′ ′ ′ → ≡x x x q q q x x x1 2 31 2 3

1 2 3

F H= ∇ ′( ) = ∇( )′r rr rT T

F =

∂ ′∂

∂ ′∂

∂ ′∂

∂ ′∂

∂ ′∂

∂ ′∂

∂ ′

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

1

1

1

2

1

3

2

1

2

2

2

3

33

1

3

2

3

3∂∂ ′∂

∂ ′∂

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟x

x

x

x

x

H =

∂∂ ′

∂∂ ′

∂∂ ′

∂∂ ′

∂∂ ′

∂∂ ′

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

1

1

1

2

1

3

2

1

2

2

2

3

∂∂∂ ′

∂∂ ′

∂∂ ′

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

x

x

x

x

x

x3

1

3

2

3

3

( , , ) ( , , )x x x x x x1 2 3 1 2 3

→ ′ ′ ′

54


(3.6)

expresiones en las que intervienen las matrices

(3.7)

siendo (u1,u2,u3} los vectores de la base cartesiana. Si (3.6) se particularizapara el vector gi, es posible escribir

(3.8)

El hecho de permanecer constantes las coordenadas (q1, q2, q3) durante laevolución del sistema, exige que los vectores gi(t') y gi(t') sean distintos encada posición de la partícula considerada; tal modificación en el transcursodel tiempo se pone de manifiesto en (3.6) y (3.7) resaltando la dependenciacon respecto a t'. Asimismo, F y H son función del tiempo, que verifican

(3.9)

Figura 3.2

F I H I( ) ( )′ = = ′ = =t t t t

g u ui ji j

j

j

ij

j

Fx

xi= =

∂ ′∂

= =∑ ∑

1

3

1

3

( = 1, 2, 33)

u g=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

′ =

′

′

u

u

u

g

g1

2

3

1

2( )

( )

( )t

t

t

gg

g

g

g3

1

2

( )

( )

( )

( )

′

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

′ =′

′t

t

t

t�g33( )′

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

t

g F u g F u( ) ( )′ = ⋅ ′ = ⋅−t tT 1

55

SISTEMAS CONTINUOS

Un ejemplo sencillo acerca de las coordenadas convectivas lo brinda unfluido sometido a esfuerzo de cizalla (Ver Figura 3.2), situación en la cualse verifica sistema de ecuaciones diferenciales

(3.10)

que tiene por solución

(3.11)

de la que fácilmente se obtiene la expresión explícita de F y H

(3.12)

y que, junto con (3.6), permiten conocer los vectores covariantes y contra-variantes de la base convectiva (q1, q2, q3) ≡ (x1, x2, x3)

(3.13)

3.2. DEPENDENCIA TEMPORAL DE LOS VECTORES gi Y gi

Al derivar con respecto a t' en (3.8), es posible establecerlas igualdadessiguientes

(3.14)∂∂ ′

= ∂∂ ′

∂ ′∂

= ∂∂

∂ ′∂ ′

=∂∂

=∑g

u u ui j

ij

ji

j

j

j

it t

x

x x

x

t

v

x1

3

jj

jj

j

k

k

ij

kj

v

x

x

x== ==

∑∑ ∑∑=∂∂ ′

∂ ′∂

1

3

1

3

1

3

1

3

u

g u

g u u

g u

1 1

2 1 2

3 3

( )

( ) – ( )

( )

′ =

′ = − ′ +′ =

⎧

⎨⎪

⎩⎪

t

t t t

t

�γ

g u u

g u

g

11 2

22

3

( ) ( )

( )

′ = + − ′

′ =

t t t

t

�γ

(( )′ =

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪ t u3

F H=− ′⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=−1 0

0 1 00 0 1

1– ( ) (� �γ γt t t ′′⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

t ) 0

0 1 00 0 1

d

dd

d

x

tx

x

t

12

2 0

=

=

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

�γ

′ = − − ′′ =

′ =

⎧

⎨⎪

⎩⎪

x x t t x

x x

x x

1 1 2

2 2

3 3

�γ ( )


56

Por otra parte, si también en (3.8) se multiplica por el vector unidad uk,se concluye que

(3.15)

resultado que sustituido en (3.14) y tras tener en cuenta la relación (1.20)permite escribir

(3.16)

Por consiguiente, las derivadas con respecto al tiempo de los vectores dela base covariante vienen dadas por

(3.17)

Respecto a los vectores de la base contravariante, su derivada temporalse calcula haciendo uso de la relación de ortogonalidad gi·gj = δij, de la cualse sigue la relación

(3.18)

cuyo primer sumando se obtiene a partir de (3.16). Por consiguiente, sellega al siguiente resultado

(3.19)∂

∂ ′= −∇ ⋅

gv g

jj

t

( )g v g gg

ij

i

j

t⋅ ∇ ⋅ + ⋅

∂∂ ′

= 0

∂∂ ′

= ∇ ⋅g

v gi Tit

( )

∂∂ ′

= ∇ ⋅ = ∇ ⋅ ⊗==

∑∑gv g u u v g u ui

kj i k j

kj

kj i kt( ) ( ) ( ) (

1

3

1

3

jj

kj

i kj k j

kj

i

)

( ) ( )

==

==

∑∑∑∑

=

= ⋅ ∇ ⊗ = ⋅ ∇

1

3

1

3

1

3

1

3

g v u u g v

u g u uk i

j

ij k

j

j

ijk

j

k

i

x

x

x

x

x

x⋅ =

∂ ′∂

⋅ =∂ ′∂

=∂ ′∂

= =∑ ∑

1

3

1

3

δ

SISTEMAS CONTINUOS

57

3.2.1. Derivada de los tensores de deformación material y espacial

Para calcular la derivada temporal del tensor F, se parte de la definición(3.3) y de forma inmediata se deduce

(3.20)

que, de forma compacta, puede expresarse

(3.21)

Con respecto a la deducción de la derivada de H, basta tener en cuenta queF ·H = I, de tal modo que al derivar con respecto a t' se obtiene la igualdad

(3.22)

en consecuencia, basta multiplicar por la izquierda ambos miembros por Hy tener en cuenta (3.21) para llegar al resultado

(3.23)

3.2.2. Derivada local y material

Considerar una magnitud física Φ dependiente de la posición y del tiem-po, se plasma formalmente en la expresión funcional Φ = Φ (r', t'); ahorabien, la existencia de la relación (3.1) implica que Φ no puede considerarsesólo como función de r' y t', ya que también ha de considerarse la depen-dencia funcional Φ =Φ [r' (r, t, t'), t']. Estas consideraciones de caráctermatemático dan lugar a que a la hora de definir derivadas temporales de Φ,deba definirse con precisión qué variables espaciales se mantienen cons-

∂∂ ′

= − ⋅ ∇t

TH H ( )v

F H F H⋅∂

∂ ′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −∂

∂ ′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅t t

∂∂ ′

= ∇ ⋅t

TF F( )v

∂∂ ′

=∂

∂ ′∂ ′∂

=∂

∂∂ ′∂ ′

=∂ ′∂

=∂ ′∂ ′t

Ft

x

x x

x

t

v

x

v

xiji

j j

i i

j

i

kk

k

jk

ikT

kj

k

x

xF

∂ ′∂

= ∇= =

∑ ∑1

3

1

3

( )v


58

tantes [Criado-Sancho y Casas-Vázquez (2004), pág. 487]. Si se desea cal-cular la derivada en un determinado punto de la trayectoria que sigue unpunto del sistema (es decir, cuando se fija r'), se estaría ante una derivadalocal definida como

(3.24)

y que también recibe el nombre de derivada euleriana.

Por el contrario, si la derivada se refiere al sistema de referencia queviaja con la partícula, habrá que imponer la constancia del vector r, al que,de acuerdo con lo expuesto en el Apartado 3.1, se le asigna el papel de «eti-queta» de la partícula, que permanece constante para todo valor t'. Así, seconstruye la derivada material1

(3.25)

también denominada derivada lagrangiana.

A partir de las respectivas definiciones, resulta sencillo establecer larelación entre las derivadas local y material. Así, al derivar la relación fun-cional Φ =Φ [r' (r,t,t'), t'] con respecto a t' manteniendo r constante, es posi-ble escribir

(3.26)

lo que pone de manifiesto que las derivadas local y material se relacionanentre sí de acuerdo con la igualdad

(3.27)ddt t

=∂∂

+ ⋅ ∇v

dΦ Φ Φ Φ Φd ′

= ∂∂ ′

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ ∂∂ ′

⋅ ∂ ′∂ ′

= ∂∂ ′

+ ∇ ⋅′t t t t

rr

rv

dΦ Φd ′

=∂∂ ′

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟t t

r

∂∂ ′

=∂∂ ′

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ′

Φ Φt t

r

SISTEMAS CONTINUOS

59

1 En [MATOLCSI y VÁN (2006)] se estudia si la derivada material puede considerarse magnitud obje-tiva, de acuerdo con la definición de este concepto introducida en el Apéndice 3.A.

3.3. TENSORES DE DEFORMACIÓN FINITA E INFINITESIMAL

Tal y como se expuso en el Capítulo II, para un sistema de coordenadascurvilíneas los coeficientes métricos

(3.28)

proporcionan información acerca de la forma del elemento de volumen.Por consiguiente, constituyen el punto de partida para construir magnitu-des que permitan cuantificar la deformación del sistema.

Así, a partir de los tensores métricos,

(3.29)

se construyen los nuevos tensores

(3.30)

(3.31)

que reciben el nombre de tensor deformación finita relativa (covariante ycontravariante, respectivamente).

Por otra parte, al tener en cuenta (3.29), (3.6) y (3.9), es fácil concluirque los tensores γ [0] y γ [0] adoptan la forma

(3.32)

(3.33)

3.3.1. Tensor de deformación infinitesimal

En la Figura 3.1 se pone de manifiesto que la deformación del sistema dalugar a que el punto P (cuyo vector posición es r) se transforme en P', sien-

γγ [ ]0 = − ⋅ −⎡⎣ ⎤⎦H H IT

γγ [ ]0 = ⋅ −F F IT

γγ [ ] ( , , ) ( , , )0 = − ′ −⎡⎣ ⎤⎦� �G Gr t t r t t

γγ [ ] ( , , ) ( , , )0 = ′ −G Gr t t r t t

G g g=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

= ⋅

g g g

g g g

g g g

T

11 12 13

21 22 23

31 32 33

�G =

⎛

⎝

⎜⎜⎜

g g g

g g g

g g g

11 12 13

21 22 23

31 32 33

⎞⎞

⎠

⎟⎟⎟

= ⋅� �g gT

g gij i jij i j= ⋅ = ⋅g g g g


60

do r' = r + s el nuevo vector posición. Al tener en cuenta la ecuación (3.3) enque se define el tensor de deformación material F, se concluye que

(3.34)

resultado que en notación matricial se expresa

(3.35)

La sustitución de (3.35) en (3.32) permite obtener para el tensor dedeformación finita covariante la siguiente expresión

(3.36)

que, en el caso en el caso de considerar una deformación suficientementepequeña, puede escribirse omitiendo el término cuadrático �s · (�s)T.

Asimismo, puede llegarse a un resultado análogo para el tensor γ [0], detal modo que definiendo el tensor de deformación infinitesimal

(3.37)

se concluye que para pequeños desplazamientos se verifican las relaciones

(3.38)

3.3.2. Derivadas de los tensores de deformación finita

Al proceder a la derivación con respecto a t' en la ecuación (3.32) y teneren cuenta (3.21), se obtienen las igualdades siguientes

(3.39)γγ γγ[ ] [ ]1 0=∂

∂ ′=

∂∂ ′

⋅( ) = ⋅∂∂ ′

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+∂

∂ ′⎛

t t t tT T TF F F

FF

⎝⎝⎜⎞⎠⎟

⋅ = ⋅ ∇ + ∇⎡⎣ ⎤⎦ ⋅F F FT Tv v( )

γγ γγ γγ γγ[ ][ ]

00� �

γγ == ∇ + ∇s s( )T

γγ [ ] ( ) ( ) ( )0 = + ∇⎡⎣ ⎤⎦ ⋅ + ∇⎡⎣ ⎤⎦ − = ∇ + ∇ + ∇ ⋅ ∇I I Is s s s s sT T T

F I= + ∇( )s T

Fx

x xx s

s

xiji

j ji i ij

i

j

=∂ ′∂

=∂

∂+ = +

∂∂

( ) δ

SISTEMAS CONTINUOS

61

y se concluye que

(3.40)

donde se ha introducido el tensor γ (1) (r,t',t) definido del modo siguiente

(3.41)

Las derivadas de orden superior se obtienen reiterando la operación queha conducido a γ [1]: es decir

(3.42)

que en forma compacta se expresa

(3.43)

y donde se introduce el nuevo tensor

(3.44)

El mismo proceso puede repetirse partiendo del tensor contravarianteγ [0], lo cual da lugar a las expresiones

(3.45)

(3.46)

γγ γγ γγ

γγ

[ ] [ ] ( )

( )( )

2 1 1

1

= ∂∂ ′

= ∂∂ ′

⋅ ⋅( ) =

= − ⋅ ∇ ⋅ ⋅

t tT

T T

H H

H Hv ++ H H H H⋅∂

∂ ′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅ − ⋅ ⋅ ∇ ⋅t

T Tγγ γγ( ) ( )1 1 v

γγ γγ[ ] [ ] ( )1 0=∂

∂ ′= −

∂∂ ′

⋅( ) = ⋅ ∇ + ∇⎡⎣ ⎤⎦ ⋅t t

T T TH H H Hv v

γγ γγ γγ γγ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 1=∂

∂ ′+ ∇ ⋅ + ⋅ ∇⎡⎣ ⎤⎦t

Tv v

γγ γγ[ ] ( )2 2= ⋅ ⋅F FT

γγ γγ γγ

γγ

[ ] [ ] ( )

( )

2 1 1

1

=∂

∂ ′=

∂∂ ′

⋅ ⋅( ) =

= ⋅ ∇ ⋅ ⋅ ⋅

t tT

T T

F F

F F + Fv∂∂

∂ ′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅ + ⋅ ⋅ ∇ ⋅t

T Tγγ γγ( ) ( ) ( )1 1F F Fv

γγ γγ[ ] ( )1 1= ⋅ ⋅F FT

γγ ( ) ( )1 = ∇ + ∇v v T


62

y γ [2] puede escribirse del modo siguiente

(3.47)

donde se ha introducido el nuevo tensor

(3.46b)

3.4. DERIVADAS CONVECTIVAS

Cuando se verifica la condición t'=t, las relaciones (3.9) permiten com-probar que (3.40) se convierte en

(3.48)

donde la última igualdad se deduce de (3.41). Asimismo, (3.41) puede escri-birse en la forma alternativa

(3.49)

y, de todo lo anterior, se siguen las identidades γ [1](r,t,t)=γ (1) (r,t)=γ·· (r,t).

Por otra parte, supuesto satisfechas las adecuadas condiciones de regu-laridad, de (3.1) se sigue

(3.50)

de tal modo que la derivación con respecto a t' de los dos miembros de estaúltima igualdad, permite escribir

(3.51)

que al imponer la condición t' = t, conduce al resultado

∂∂ ′

′ =∂

∂ ′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+∂

∂ ′⎛⎝⎜

⎞⎠′t

t tt

γγ γγ γγ( ) ( ) ( )( , , )1 1 1rr

r⎟⎟ ⋅

∂ ′∂ ′

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=∂

∂ ′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ ′ ⋅∂

∂ ′′ ′t tt t

rv

rr r,

( ) (γγ γγ1 11)

γγ γγ( ) ( )( , , ) ( , , ),1 1r r r′ = ′ ′ ′⎡⎣ ⎤⎦t t t t t

�γγ ==( , ) ( )r v vt T∇ + ∇

γγ γγ ==[ ] ( )( , , ) ( , ) ( )1 1r r v v′ = = ∇ + ∇t t t t T

γγ γγ γγ γγ( ) ( ) ( ) ( )– ( )2 1 1 1= ∂∂ ′

∇ ⋅ + ⋅ ∇⎡⎣ ⎤⎦tTv v

γγ γγ[ ] ( )2 2= ⋅ ⋅H HT

SISTEMAS CONTINUOS

63

(3.52)

donde se ha introducido la derivada material d/dt definida por (3.27).

A partir de estos últimos resultados, las ecuaciones (3.40) y (3.44) se res-criben del modo siguiente

(3.53)

(3.54)

y que fácilmente pueden generalizarse para derivadas de orden superior

(3.55)

donde γ (n) (r,t) se denomina derivada convectiva covariante.

Al efectuar un tratamiento análogo para los tensores contravariantes, sellega a resultados análogos, definiendo

(3.56)

como derivada convectiva contravariante

Derivada convectiva de un tensor

A partir de (3.55) y (3.56), resulta inmediato establecer que las deriva-das convectivas de un tensor vienen dadas por

(3.57)

(3.58)T T T T( ) ( )1 = − ∇ ⋅ + ⋅ ∇⎡⎣ ⎤⎦ddt

Tv v

T T T T( ) ( )1 = + ∇ ⋅ + ⋅ ∇⎡⎣ ⎤⎦ddt

Tv v

γγ γγ γγ γγ( ) ( ) ( ) ( )( , ) ( )n nT

n ntt

r v v= − ∇ ⋅ + ⋅ ∇⎡⎣ ⎤⎦− − −

dd 1 1 1

γγ γγ γγ γγ γγ[ ] ( ) ( ) ( ) (( , , ) ( , )n n n n nt t tt

r r v= = + ∇ ⋅ +− − −dd

1 1 1)) ( )⋅ ∇⎡⎣ ⎤⎦v T

γγ γγ γγ γγ γγ[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( , , ) ( , ) ( )2 2 1 1 1r r v vt t tt

= = + ∇ ⋅ + ⋅ ∇dd

TT⎡⎣ ⎤⎦

γγ γγ[ ] ( )( , , ) ( , ) ( )1 1r r v vt t t T= = ∇ + ∇

∂∂

=∂∂

+ ⋅ ∇ ≡t

tt t

γγ γγ γγ γγ( ) ( ) ( ) ( )( , )1 1 1 1r vdd


64

Con relación a estos resultados, conviene puntualizar que la derivaciónconvectiva de un tensor constante no conduce necesariamente a un resulta-do nulo; tal es el caso cuando se efectúa la derivación del tensor unidad

(3.59)

(3.60)

Para conocer de forma explícita los componentes del tensor derivada, serecurre a los desarrollos siguientes.

(3.61)

(3.62)

(3.63)

(3.64)

que dan lugar a los resultados

(3.65a)

(3.65b)T( )1⎡⎣ ⎤⎦ =

∂∂

+∂

∂−

∂∂

−∂∂mn

mnl

mn

l

m

l

n

l

T

tv

T

x

v

xT

v

xTln ml

⎡⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=∑

l 1

3

T( )1⎡⎣ ⎤⎦ =∂

∂+

∂∂

+∂∂

+∂∂mn

mnl

mn

l

m

l

n

l

T

tv

T

x

v

xT

v

xTln ml

⎡⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=∑

l 1

3

ddt

TT

tv

T

xmnmn

lmn

ll

=∂

∂+

∂∂

=∑

1

3

( )∇ ⋅ + ⋅ ∇⎡⎣ ⎤⎦ =∂∂

+∂∂

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

v vT

mn

m

l

n

ll

v

xT

v

xTΤΤ ΤΤ ln ml

1

33

∑

ΤΤ ⋅ ∇⎡⎣ ⎤⎦ = ∇ =∂∂

= =∑ ∑v v

mn

l

n

ll

Tv

xT

ml ln ml( )

1

3

1

3

( ) ( )∇ ⋅⎡⎣ ⎤⎦ = ∇ =∂∂

= =∑ ∑v vT

mn lm

l

m

ll

Tv

xTΤΤ ln ln

1

3

1

3

I( ) ( )( )1 1= − ∇ + ∇⎡⎣ ⎤⎦ = −v vT γγ

I( ) ( )( )1 1= ∇ + ∇⎡⎣ ⎤⎦ =v vT γγ

SISTEMAS CONTINUOS

65

Derivada convectiva del producto de un escalar por un tensor

El resultado plasmado en (3.59) y (3.60) no es la única situación en quelas reglas de derivación convectiva difieren de las de la derivación ordina-ria; así, cuando se considera el producto aT (siendo a un escalar y T un ten-sor), su derivada convectiva contravariante viene dada por

(3.66)

obteniéndose una expresión análoga para el caso contravariante.

Derivada convectiva de un producto de tensores

Si se considera el tensor T = A · B y se sustituye en la ecuación (3.57) laderivada del producto tensorial consta de varias contribuciones que parafacilitar los cálculos se desglosa en varias contribuciones

Contribución 1.

(3.67)

que permite escribir

(3.68)

Contribución 2.

Corresponde a la derivada material del producto, es decir

( ) ( ) ( ) ( )∇ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ∇⎡⎣ ⎤⎦ =∂∂

⋅ +∂∂

v vT

ij

i

llj

j

l

v

x

v

xA B A B A B (( )A B⋅

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=∑ il

l 1

3

( ) ( )A B A B⋅ ⋅ ∇⎡⎣ ⎤⎦ = ⋅ ⋅ ∇⎡⎣ ⎤⎦ =∂∂

=∑v v

ij ij ik

j

ll

Av

xBkl

1

3

kk

j

lil

l

v

x= =

∑ ∑=∂∂

⋅1

3

1

3

( )A B

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )at

a a a

at

a

TT T T T

T

1 = − ∇ ⋅ + ⋅ ∇⎡⎣ ⎤⎦ =

= +

dd

dd

v v

ddd

ddt

aat

aTT T T T T− ∇ ⋅ + ⋅ ∇⎡⎣ ⎤⎦ = +( ) ( )v v 1


66

(3.69)

Contribución 3.

Se trata de un término que permite expresar de forma compacta las doscontribuciones anteriores

(3.70)

(3.71)

Expresión global del producto

La combinación de (3.68) y (3.69) en (3.65) conduce al resultado

(3.72)

que puede escribirse en forma más compacta teniendo en cuenta (3.27),(3.56) y (3.65)

( )( )

A B⋅⎡⎣ ⎤⎦ =∂

∂+

∂∂

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥

=∑1

1

3

ij ik

kj

l

kj

ll

AB

tv

B

x ⎥⎥⎥

+∂

∂+

∂∂

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥= ==

∑ ∑∑k

ikl

ik

llk

k

A

tv

A

xB

1

3

1

3

1

3

jj

i

llk kj

lk

j

lik kl

lk

v

xA B

v

xA B

−

−∂∂

−∂∂

== ==∑∑ ∑

1

3

1

3

1

3

1

33

∑

A B⋅ ⋅⎡⎣ ⎤⎦ =∂∂

+∂∂

==∑∑γγ ( )1

1

3

1

3

ij

k

llk

k

l

v

xA B

v

xAil kj ikBB

lk

lj

==∑∑

1

3

1

3

A B A B A B + A B⋅ ⋅ = ⋅ ∇ + ∇⎡⎣ ⎤⎦ ⋅ = ⋅ ∇ ⋅ ⋅ ∇ ⋅γγ ( ) ( ) ( )1 v v v vT T

ddt t

A B vx

A Bij ik kj

k

ll

ik kj

kl

( )A B⋅ =∂∂

+∂

∂= ==

∑ ∑1

3

1

3

1

3

∑∑∑

=

=∂

∂+

∂∂

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

+∂∂

=

AB

t

A

tB v A

Bik

kj ikkj

k

l ik

kj

1

3

xx

A

xB

l

ik

lkj

kl

+∂∂

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

==∑∑

1

3

1

3

SISTEMAS CONTINUOS

67

(3.73)

y al sustituir (3.71) en esta última expresión, se llega al resultado

(3.74)

Asimismo, un cálculo análogo permite concluir que

(3.75)

3.4.1. Derivada corrotacional

A partir de las derivadas convectivas puede construirse una nueva deri-vada, denominada corrotacional (a la que también se conoce en la biblio-grafía como derivada de Jaumann), definida del modo siguiente

(3.76)

A diferencia de lo que sucede con las derivadas convectivas, la derivadacorrotacional de un producto de tensores satisface las mismas reglas que laderivación ordinaria; en efecto, al expresar de forma conjunta las respecti-vas definiciones (3.55), (3.56) y (3.76), es posible escribir

(3.77)

que puede reordenarse dando lugar al resultado

DD t

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )A B A B A B A B + A B A B⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

12 1 1

1 1 1γγ −− ⋅ ⋅⎡⎣ ⎤⎦ =

= +⎡⎣ ⎤⎦ ⋅ + ⋅ +

A B

A A B A B B

γγ ( )

( )( )

( )( )

1

11

111

212

⎡⎡⎣ ⎤⎦

DD t

T T T= +⎡⎣ ⎤⎦12 1

1( )

( )

( )( ) ( ) ( ) ( )A B A B A B A B⋅ = ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅1 1 1 1γγ

( )( ) ( ) ( )

( )A B A B A B A B⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅1 1 1

1γγ

( )( ) ( ) ( )A B A B A B⋅⎡⎣ ⎤⎦ = ⋅⎡⎣ ⎤⎦ + ⋅⎡⎣ ⎤⎦ +

+∂∂

1 1 1ij ij ij

kv

xllik lj

lk

k

lil kj

lk

A Bv

xA B

== ==∑∑ ∑∑+

∂∂

1

3

1

3

1

3

1

3


68

SISTEMAS CONTINUOS

69

(3.78)

3.5. TENSOR PRESIÓN

Al considerar una región en el seno de un sistema continuo, el materialen ella contenido experimenta la acción que ejerce el resto del sistema a tra-vés de la superficie que delimita dicha región y ello es el origen de los efec-tos de presión y viscosidad. Así, en la Figura 3.3, se pone de manifiesto laexistencia de dos fuerzas que actúan sobre el elemento de área dA, unatiene en cuenta la presión y la otra los efectos de la viscosidad (contribu-ción netamente de no-equilibrio).

Las fuerzas de presión, actúan en la dirección de la normal a la superfi-cie (dA = ndA), es decir

(3.79)

siendo P la presión de equilibrio.

d dF Apre P= − ⋅

Figura 3.3

D D DD D Dt t t

( )A B A B A B⋅ =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅ + ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

La componente de dFpre en la dirección del vector unitario ui viene dadapor

(3.80)

de tal modo que la ecuación (3.79) puede escribirse en notación matricial

(3.81)

siendo I la matriz unidad.

Por lo que respecta a la fuerza asociada con la viscosidad, es posibleadoptar una expresión análoga a la anterior

(3.82)

donde se ha introducido el nuevo tensor Pv denominado presión viscosa. Deeste modo, los efectos de la presión de equilibrio y de la viscosidad puedenenglobarse en el tensor presión P definido como suma de las dos contribu-ciones consideradas

(3.83)

Antes de atribuir una expresión explícita al tensor Pv, conviene dete-nerse en algunas consideraciones previas. En primer lugar, las compo-nentes del tensor presión viscosa, es decir Pv

ij corresponde a la contribu-ción por unidad de área del componente de la fuerza en la dirección ui

actuando sobre un elemento de superficie cuya normal está orientada enla dirección uj.

Por otra parte, hay que tener presentes dos consideraciones de carácterfísico, la primera que la viscosidad es el resultado de la fricción interna delas partículas del sistema y, por consiguiente, Pv únicamente será distintode cero si tiene lugar un movimiento relativo de unas partículas del sistemarespecto a otras; ello exige que Pv sólo sea función de las derivadas de la

P I P= +P v

d dF Avisv= − ⋅P

d dF Apre P= − ⋅I

(d d d dF F A Apre i i pre i j j

j

ij j

j

P P) ( ) ( )= ⋅ = − ⋅ = −=

∑u u u

1

3

δ==

∑1

3


70

velocidad con respecto a las coordenadas espaciales, aunque esta conclu-sión puede hacerse menos general al considerar un régimen de gradientesde velocidad suficientemente bajos (teniendo en cuenta sólo las derivadasprimeras de la velocidad) y, restringiendo aún más, proponer únicamenterelaciones lineales entre Pv y las derivadas ∂vi / ∂xj.

Otra consideración que no ha de perderse de vista, tiene en cuenta quePv debe anularse en el caso de que el sistema en su conjunto efectúe unarotación, situación que implica que la velocidad viene dada por νν = ω r,siendo ω la velocidad angular. Nótese que para tal campo de velocidades severifica

(3.84)

de donde se deducen las relaciones

(3.85)

Como conclusión de lo que se acaba de exponer, en el contexto de laaproximación lineal puede proponerse para Pv una expresión del tipo

(3.86)

Antes de seguir adelante, se abre un paréntesis para explicitar algunasconsideraciones de tipo formal relacionadas con el tensor gradiente de velo-cidad �v; éste puede descomponerse como suma de los tensores

(3.87)V W= ∇ + ∇⎡⎣ ⎤⎦ = ∇ = ∇ − ∇⎡⎣ ⎤12

12

v v v v v( ) ( ) ( )T S T

⎦⎦ = ∇( )v A

P Av

x

v

xB

v

xijv i

j

j

i

i

ii

=∂∂

+∂∂

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

∂∂

=∑

1

3

∂∂

= =∂∂

= −∂∂

=v

xi

v

x

v

xi ji

i

i

j

j

i

0 1 2 3( , , ) ( , 11 2 3, , ; )i j≠

v

u

u

u

=−−−

⎧

⎨⎪

⎩⎪

( )

( )

( )

ω ωω ωω ω

2 3 3 2 1

3 1 1 3 2

1 2 2 1 3

x x

x x

x x

×

SISTEMAS CONTINUOS

71

el primero de los cuales es de naturaleza simétrica y el segundo poseecarácter antisimétrico2. Asimismo, el tensor V se descompone del modosiguiente

(3.88)

Al tener en cuenta (3.86) y (3.87), es posible escribir

(3.89)

que al sustituir (3.88) en (3.89) se convierte en

(3.90)

y corresponde a una descomposición del tipo

(3.91)

donde pν=(1/3)Tr Pν es la presión viscosa escalar y P^ v es una matriz de trazanula.

El valor de los parámetros A y B se determina fácilmente en el caso deun tipo particular de fluidos, denominados newtonianos, para los cuales severifican la ley de Newton de la viscosidad y la ley de Stokes, cuyas expre-siones respectivas son

(3.92)

donde η es la viscosidad de cizalla y ζ la viscosidad de volumen.

Así, resulta inmediato establecer las relaciones

(3.93)A B= − = −η η ζ23

ˆ ˆ ( )P Vv vp= − = − ∇ ⋅2η ζ v

P I P Pv v v vp= + =ˆ ˆTr 0

P I Vv A B v A= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∇ ⋅ +23

2( )

P V Iv A B v= + ∇ ⋅2 ( )

V I V V= ∇ ⋅ + =13

0( ) ˆ ˆv Tr


72

2 Resulta fácil comprobar que si S es tensor simétrico y A antisimétrico, el producto S : A es nulo.Por consiguiente, si se considera el carácter simétrico del tensor presión, se verifica Pν : �ν = Pν : V.

y puede concluirse que la presión viscosa de un fluido newtoniano vienedada por

(3.94)

expresión de la cual se deduce de forma inmediata

(3.95)

Para los fluidos no newtonianos existen diferentes expresiones explíci-tas del tensor presión viscosa, dependiendo de cuál sea el sistema conside-rado. Suponiendo simétrico dicho tensor, las magnitudes que tienen inte-rés desde el punto de vista experimental son P v

12, P v11 – P v

22 y P v22 – P v

23, dondelas dos últimas reciben el nombre de presiones normales. En el caso de unfluido no newtoniano sometido a un gradiente de velocidad con una tasa decizalla γ·· ver Figura 3.2), se proponen las siguientes expresiones generales

(3.96)

donde se han introducido las funciones materiales viscosidad no newtonia-na η(γ·· ) y los coeficientes de presión normal Ψ1(γ ·· ) y Ψ2 (γ ·· ).

Antes de concluir este apartado, conviene exponer algunas considera-ciones relacionadas con el tensor presión cuando se trabaja en un sistemade coordenadas curvilíneas; la primera de ellas hace referencia al modo deescribir el propio tensor P, que puede expresarse en forma análoga a (2.40),en este caso

(3.97)

donde Pkl son las componentes covariantes del tensor y gk y gl vectores de labase contravariante. Asimismo, las componentes del tensor se obtienen apartir de las operaciones siguientes

P = ⊗==

∑∑ Pklk l

lk

g g

1

3

1

3

P

P P

P P

v

v v

v v

12

11 22 12

22 33 2

= −

− = −

− = −

η γ γ

γ γ

( )

( )

(

� �

� �Ψ

Ψ �� γ γ) 2

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

TrPv = − ∇ ⋅3ζ( )v

P V Iv = − + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∇ ⋅223

η η ζ ( )v

SISTEMAS CONTINUOS

73

(3.98)

donde se ha hecho uso de la relación homóloga de (1.24).

Por otra parte, si se utiliza la base de vectores covariante {g1, g2 ,g3} alconsiderar un elemento de superficie cuya normal está orientada en ladirección del vector gi, los efectos de la presión y la viscosidad dan lugar ala fuerza

(3.99)

expresión que, con la ayuda de (2.33), puede desarrollarse de la formasiguiente

(3.100)

lo que permite expresar el vector Fi en términos de sus componentes cova-riantes

(3.101)

Asimismo, la proyección de la fuerza Fi en la dirección del vector gj

puede calcularse del modo siguiente

Fgi

ki

i

k

k

P= −

=∑ g

1

3

P ⋅ = ⊗ ⋅ = ⋅== ==

∑∑ ∑g g g g g g gi klk l

i

lk

klk l

i

lk

P P( ) (

1

3

1

3

1

3

11

3

1

3

1

3

1

3

∑∑∑ ∑

=

= === =

)

P Pkl li

k

lk

kik

k

δ g g

Fg

gii

i= − ⋅1

P

P : ( ) ( ) : ( ) (g g g g g g g gi j klk l

i j

lk

kllP P⊗ = ⊗ ⊗ = ⋅

==∑∑

1

3

1

3

iik

j

lk

kl il kl

lk

jiP P

)( )g g⋅ =

= =

==

==

∑∑∑∑

1

3

1

3

1

3

1

3

δ δ


74

(3.102)

que, de acuerdo con (3.98), adopta la forma

(3.103)F ggi j

ii j⋅ = − ⊗

1P : ( )g g

F gg

gg gi j

ki

i

kj

k

ki

ikj

k

ji

i

P P P⋅ = − ⋅ = − = −

= =∑ ∑g

1

3

1

3

δ

SISTEMAS CONTINUOS

75

APÉNDICE 3.AMAGNITUDES OBJETIVAS

Si dos sistemas de referencia se encuentran en movimiento, la posiciónde un punto del espacio en el instante t puede definirse mediante el vectorr referido al sistema inercial, o mediante el vector r* referido al otro siste-ma de coordenadas. Cuando se considera el movimiento de un cuerpo, serequiere que la relación entre r y r* sea tal que no se modifique ni la dis-tancia entre dos puntos arbitrarios del conjunto de puntos en movimientoni el ángulo entre dos direcciones.

La ley de transformación más general que garantiza las condiciones queacaban de enumerarse es la transformación euclídea [Noll (1958); Jou,Casas-Vázquez y Lebon (2001); Matolcsi (2006)]

(3.A.1)

donde Q(t) es un tensor ortogonal que satisface las condiciones

(3.A.2)

y c(t) es el vector que une los orígenes de los dos sistemas de coordenadas.

La transformación (3.A.1) permite introducir el concepto de magnitudobjetiva, que son las más adecuadas para la descripción de las deformacio-nes cinemáticas. Dependiendo de que se trate de un escalar, un vector o untensor, una magnitud se denomina objetiva si se verifica

(3.A.3)

(3.A.4)

(3.A.5)A Q A Q∗ = ⋅ ⋅ T

a a∗ = ⋅Q

a a∗ =

Q Q Q Q I Q⋅ = ⋅ = =T T det 1

r r c∗ = ⋅ +Q( ) ( )t t


76

A título de ejemplo, puede estudiarse el carácter objetivo de la velocidad,para lo cual basta derivar con respecto al tiempo en los dos miembros de(3.A.1) y así comprobar que

(3.A.6)

donde se han introducido las derivadas temporales

(3.A.7)

Nótese que el resultado (3.A.6) pone de manifiesto que no se satisface(3.A.4) y, en consecuencia, la velocidad no es una magnitud objetiva.

Análoga conclusión puede establecerse para el tensor � ; aunque ahoralos desarrollos presentan algo más de complejidad. En primer lugar, hayque tener en cuenta que

(3.A.8)

de tal modo que

(3.A.9)

ahora bien, la identidad �rT = I permite concluir que

(3.A.10)

de lo que se infiere que el tensor gradiente de velocidad no es una magni-tud extensiva.

Por el contrario, el tensor γ·· (r,t) = � + (� )Τ definido por (3.49) sí esuna magnitud objetiva. Para probar este aserto, se parte de la expresión

(3.A.11)

v

�γγ ==∗ ∗ ∗ ∗∇ + ∇⎡⎣ ⎤⎦ = ∇ + ∇⎡⎣ ⎤⎦v v v v( ) ( ) ( )T T

v v

( )∇ = ⋅ ∇ ⋅ + ⋅∗v vQ Q Q QT T�

( ) ( ) ( ) (∇ = ∇ = ∇ ⋅ + ⋅ +⎡⎣ ⎤⎦ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗v v v r c vQ Q Q Q� � �T T rr

v r

)

( ) ( )

T

T T T T

=

= ⋅ ∇ ⋅ + ⋅ ∇ ⋅Q Q Q Q�

∇ = ⋅ ∇ = ∇ ⋅∗ Q QT

� �Q Q= =dd

ddt t

c c

v v r c v∗ = ⋅ + ⋅ + ≠ ⋅Q Q Q( )� �

SISTEMAS CONTINUOS

77

y se hace uso de (3.A.10) y de las operaciones que seguidamente se efectúan

(3.A.12)

Por consiguiente

(3.A.13)

Ahora bien, si se deriva con respecto al tiempo en (3.A.2), resulta inme-diato concluir que se anula el término Q·Q

· T + Q··Q T, de tal modo que se veri-

fica la igualdad γ··* = Q·γ··QT, lo que implica que para γ·· se satisface la condi-ción de objetividad (3.A.5).

� � �γγ ==∗ ⋅ ∇ + ∇⎡⎣ ⎤⎦ ⋅ + ⋅ + ⋅⎡⎣ ⎤⎦Q Q Q Q Q Qv v( )T T T T

( ) ( )

(

∇⎡⎣ ⎤⎦ = ∇⎡⎣ ⎤⎦ = ⋅ ∇ ⋅( ) + ⋅( ) =

= ⋅ ∇

∗ ∗v v vT T T T T TQ Q Q Q

Q

�

vv)T T T⋅ + ⋅Q Q Q�


78

CAPÍTULO IVFORMULACIÓN CLÁSICA DE LA TERMODINÁMICA

DE PROCESOS IRREVERSIBLES

Uno de los aspectos más llamativos de la Termodinámica de equilibrioes que describe al sistema por medio de propiedades que son independien-tes de la posición y del tiempo; es decir: homogéneas, isótropas y estacio-narias. Por supuesto, tal descripción se limita a los estados de equilibrio, detal modo que sólo se consideran las diferencias que experimentan los valo-res de las magnitudes al pasar de un estado a otro.

Sin embargo, si se consideran situaciones de no equilibrio, el interés secentra en la evolución del sistema, es decir, en el proceso y no en el estado,lo cual exige conocer el valor de las propiedades del sistema en todo ins-tante y en cada punto del espacio; formalmente, lo anterior requiere la con-sideración de variables de campo, del tipo Φ = Φ (r,t) en las que r es el vec-tor posición del punto y t el tiempo.

4.1. ECUACIONES DE BALANCE

En el desarrollo de la Termodinámica de los procesos irreversibles jue-gan un papel fundamental las ecuaciones de balance. En efecto, puestoque la Termodinámica de no equilibrio considera al sistema como un con-tinuo, en las ecuaciones de balance se da razón de cómo varía el valor deuna propiedad en un elemento de volumen en el transcurso del tiempo.En general, la variación puede deberse a dos efectos: la existencia de unflujo y la generación en el interior del volumen considerado; en el caso dela entropía se produce producción siempre que tenga lugar algún proce-so irreversible en el seno del sistema y es, precisamente, el criterio de pro-ducción positiva de entropía el que determina la dirección de evoluciónespontánea.

El desarrollo de una teoría Termodinámica de no equilibrio requiere dis-poner de una expresión que dé razón de la producción de entropía, lo cuales inherente al establecimiento de la pertinente ecuación de balance. Para

79

conseguir ese objetivo, es preciso conocer la evolución temporal de otraspropiedades del sistema, en particular la masa, el momento y la energía.

Figura 4.1

4.1.1. Balance de masa

Si se considera un fluido que se desplaza a la velocidad ν es posibleconstruir el elemento diferencial dV mostrado en la Figura 4.1, que corres-ponde al volumen de fluido que circula durante el tiempo dt

(4.1)

de tal modo que la masa que circula por unidad de tiempo viene dada por

(4.2)

siendo ρ la densidad del fluido.

dd

dd

dmt

Vt

= = ⋅ρ ρ( )v A

d d d d d d dV L A v t A t= = = ⋅cos ( )α v A

80


Por consiguiente, la variación de la masa contenida en un volumen V enel transcurso del tiempo viene dada por

(4.3)

que al aplicar el teorema de Gauss a la integral del segundo miembro deesta igualdad

(4.4)

permite escribir (4.3) en la forma

(4.5)

de la que se deduce la ecuación de balance de masa

(4.6)

que también se conoce como ecuación de continuidad.

4.1.2. Balance de momento

Teniendo en cuenta la definición del momento p = mνν, la Figura 4.1 ponede manifiesto que el momento transportado por el flujo de materia por unidadde tiempo viene dado por

(4.7)

que para la componente i del vector adopta la forma

[momento][tiempo]

dd

d= = ⋅mt

v v v A( )ρ

∂∂

= − ⋅∫ ∫tV

V A

ρ ρd dv A

∂∂

= −∇ ⋅ρ ρt

( )v

∂∂

+ ∇ ⋅⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =∫ ρ ρ

tV

V

( )v d 0

ρ ρv A v⋅ = ∇ ⋅∫ ∫d dA V

V( )

81

FORMULACIÓN CLÁSICA DE LA TERMODINÁMICA DE PROCESOS IRREVERSIBLES

(4.8)

donde con la notación se indica el producto tensorial .

Por otra parte, es un resultado bien conocido en Mecánica que lavariación temporal del momento coincide con la suma de las fuerzas queactúan sobre el sistema

(4.9)

donde el término P·dA corresponde a las fuerzas de presión y viscosidad yƒ se refiere a las fuerzas externas.

En consecuencia, la variación del momento consta de dos contribución,una debida al flujo [ecuación (4.8)] y otra a las fuerzas actuantes [ecuación(4.9)]. Al considerar todo el volumen del sistema, se obtiene el balance

(4.10)

que por aplicación del teorema de Gauss a las integrales de superficie,adopta la forma

(4.11)

expresión que permite escribir para el momento la siguiente ecuación debalance

(4.12)

4.1.3. Balance de energía

La energía total de un sistema viene dada por la suma de las energíascinética, potencial (a la que no se hará referencia explícita en lo que sigue)

vvv v

[momento][tiempo]

d⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ==

∑i

i j

j

j j

j

v v A vρ ρ1

3

==∑ = ⋅

1

3

v Ai j id dρ( )vv A

∂∂

= −∇ ⋅ + +t( ) ( )ρ ρ ρv vv f�

∂∂

= = − ⋅ +∑t k

k

p F A f� d ρ

∂∂

+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =∫ t

VV

ρ ρ ρv vv f( ) � d 0

∂∂

= − ⋅ − ⋅ +∫ ∫ ∫ ∫tV V

V A A V

ρ ρ ρv vv A A fd d d d�


82

e interna; asimismo, a la hora de establecer el balance de energía, es preci-so tener en cuenta la existencia de flujos y fuerzas exteriores. Por otra parte,conviene hacer énfasis en que el balance de energía interna es el que poseemayor interés desde el punto de vista de la Termodinámica.

Energía cinética

La energía cinética por unidad de volumen viene dada por

(4.13)

Al derivar con respecto al tiempo el segundo miembro de la igualdadanterior se obtiene

(4.14)

y si la relación trivial

(4.15)

se combina con (4.14), es posible escribir

(4.16)

Por otra parte, al multiplicar escalarmente por los dos miembros de(4.12) y tener en cuenta (4.A.3) se llega a la expresión

(4.17)

que junto con la ecuación de balance de masa (4.6) conduce al resultado

v

12

12

2ρ ρv = ⋅v v

∂∂

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ∂∂

⋅ + ⋅ ∂∂

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟t t t

12

12

2ρ ρ ρv v v v vv

v v v v vv⋅ ∂

∂= ∂

∂⋅ + ⋅ ∂

∂t t t( )ρ ρ ρ

v v v vv v v v f⋅∂∂

= − ∇ ⋅ − ∇ − ∇ ⋅ ⋅ + ⋅t

v( ) ( ) : ( )ρ ρ ρ ρ2 P

∂∂

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −∂∂

⋅ + ⋅∂∂t t t

12

12

ρ ρ ρv v v v v v( )


83

(4.18)

expresión que, al tener en cuenta (4.A.7), se convierte en

(4.19)

Energía interna

La energía total del sistema puede considerarse como suma de la ener-gía cinética y de la energía interna U. Cuando se expresa por unidad devolumen, viene dada por

(4.20)

donde se ha introducido energía interna por unidad de masa

(4.21)

La energía de un sistema puede modificarse por los efectos que se deta-llan a continuación:

1. Transporte de materia. Teniendo en cuenta (4.1), el volumen de mate-ria que atraviesa un elemento de superficie por unidad de tiempoviene dada por el producto escalar ·dA Por otra parte, la energíaque atraviesa tal elemento de superficie por unidad de tiempo vale

(4.22)

2. Flujo de calor q.

v

∂∂

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= − ∇ ⋅ − ∇ − ∇ ⋅ ⋅ + ⋅t

v12

12

2ρ ρ ρ ρv v v vv v v v f( ) : ( )P

uUV

=ρ

∂∂

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −∇ ⋅ − ∇ ⋅ ⋅ + ⋅t

v v12

12

2 2ρ ρ ρ( ) ( )v v v fP

eV

v u= = +Energíacinética+Energía interna 1

22ρ ρ

Energíacinética+Energía internaTiempo

= +⎛⎝

12

2ρ ρv u⎜⎜⎞⎠⎟

⋅v Ad


84

3. Efectos viscosos y de presión. De acuerdo con lo expuesto en el Apartado3.5 [consultar las ecuaciones (3.81)-(3.83) y la Figura 3.3], la fuerza aso-ciado con los efectos viscosos y la presión se expresa por F = –P·dA, detal modo que al considerar un desplazamiento dl = ννdt, la energía (refe-rida al elemento de superficie dA) disipada por unidad de tiempo vienedada por

(4.23)

y al desarrollar el segundo miembro de la igualdad anterior, se puedeescribir

(4.24)

que pone de manifiesto que si el tensor presión es simétrico (P=PT), severifica

(4.25)

4. Trabajo efectuado por fuerzas externas. A las que siguiendo la notaciónempleada anteriormente se denominan ƒ.

Al tener en cuenta todas las contribuciones que acaban de explicitarse,el balance de energía total se obtiene al combinar las ecuaciones (4.20),(4.22)-(4.25) integradas para todo el sistema

(4.26)

La aplicación del teorema de Gauss en (4.26), conduce a la expresión

E

tvis pre+ = − ⋅ ⋅( )P dA v

( ) ( )P P⋅ ⋅ = === ==

∑∑ ∑d d dA v P v A v Aij i j

ji

Tji i j

ji1

3

1

3

1

3

1

33

∑ = ⋅ ⋅( )PT v Ad

Evis pre+ = − ⋅ ⋅Tiempo

d( )P v A

∂∂

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅ −

− ⋅

∫ ∫tv u V v u

V A

12

12

2 2ρ ρ ρ ρd dv A

q dd d dA v A v f− ⋅ ⋅ + ⋅∫ ∫ ∫A A V

V( )P ρ


85

(4.27)

que puede transformarse utilizando (4.19) y (4.A.9) para dar lugar al resul-tado

(4.28)

Con relación a esta última ecuación de balance, conviene resaltar denuevo el carácter simétrico del tensor presión, por lo que de acuerdo con(1.35), se verifica P : �νν = �νν : P, lo que explica el cambio de orden en elproducto contraído respecto a lo indicado en (4.A.9).

4.2. ECUACIONES DE BALANCE EN TÉRMINOS DE DERIVADASMATERIALES

Hasta ahora se ha venido utilizando ∂ /∂t para indicar la derivacióncon respecto al tiempo; sin embargo, puede introducirse otro tipo de deri-vada con un significado físico distinto al asociado con ∂ /∂t. Tal y como seexpuso en el Apartado 3.2.2, el operador ∂ /∂t se aplica en un punto fijodel espacio y por ello recibe el nombre de derivada local (también deno-minada euleriana), pero si lo que interesa es la derivada temporal en el sis-tema de referencia que viaja con la partícula, es necesario considerar laderivada material (también llamada lagrangiana) que se denota por el sím-bolo d/dt.

La relación entre las derivadas local y material viene dada por (3.27)

(4.29)

y a partir de esta expresión las ecuaciones de balance pueden escribirse entérminos de d/dt, tal y como se hace seguidamente

∂∂

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ ∂∂

= −∇ ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− ∇ ⋅ −t

vt

u v u12

12

2 2ρ ρ ρ ρ( ) ( )v v

−− ∇ ⋅ − ∇ ⋅ ⋅ + ⋅q v v f( )P ρ

∂∂

= −∇ ⋅ − ∇ ⋅ − ∇t

u u( ) ( ) :ρ ρ v q vP

ddt t

=∂∂

+ ⋅ ∇v


86

Balance de masa

La expresión conjunta de (4.6) y (4.29) permite escribir

(4.30)

de donde se deduce

(4.31)

Balance de momento

La aplicación de (4.29) a la magnitud ρv conduce a la igualdad

(4.32)

cuyo primer miembro puede desarrollarse del modo siguiente

(4.33)

que expresado junto con (4.31), (4.12) y (4.A.12) conduce al resultado

(4.34)

Balance de energía interna

De acuerdo con la definición de derivada material, es posible escribir

(4.35)ddt

ut

u u( ) ( ) ( )ρ ρ ρ=∂∂

+ ⋅ ∇v

dd

ρ ρ ρ ρ ρt t

=∂∂

+ ⋅ ∇ = −∇ ⋅ + ⋅ ∇v v v( )

dd

ρ ρt

= − ∇ ⋅ v

ddt t

ρ ρ ρv v v v=∂

∂+ ⋅ ∇( )

dd

dd

dd

dd

dd

t t t t t

t

ρ ρ ρ ρ ρ ρ

ρ

vv

vv

v v

v

= + = +∂∂

+ ⋅ ∇⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

= ++ −∇ ⋅ + ⋅ ∇⎡⎣ ⎤⎦ = − ∇ ⋅v v vv

v v( )ρ ρ ρ ρddt

ρ ρddv

ft

= −∇ ⋅ +P


87

que haciendo uso de la ecuación de balance (4.28) da lugar a la ecuación

(4.36)

cuyo primer miembro se desarrolla del modo siguiente

(4.37)

y donde la última igualdad se obtiene al hacer uso de (4.31).

Al expresar de forma conjunta (4.36) y (4.37), se llega al resultado

(4.38)

A la vista de las ecuaciones que acaban de obtenerse, conviene resaltarque las ecuaciones de balance poseen la misma estructura; así, para cualquiermagnitud por unidad de masa φ su tasa de variación en el transcurso deltiempo viene dada por

(4.39)

donde Jφ es un flujo asociado a la propiedad considerada y σφ es un térmi-no de producción (o destrucción).

4.3. HIPÓTESIS DE EQUILIBRIO LOCAL

La hipótesis del equilibrio local [De Groot y Mazur (1984)], estableceque al suponer dividido en regiones suficientemente pequeñas un sistema,aun cuando no esté en equilibrio, para cada una de ellas se satisfacen lasecuaciones termodinámicas que, en rigor, sólo serían aplicables en condi-ciones de equilibrio; así, para un sistema en equilibrio (por sencillez se con-sidera un fluido puro) la ecuación de Gibbs adopta la forma

(4.40)d d ds T u T P= +− −1 1 v

dd

dd

dd

ddt

uut

ut

ut

u( )ρ ρ ρ ρ ρ= + = − ∇ ⋅ v

ρ φ σφ φ

ddt

= −∇ ⋅ +J

ρ ddu

t= −∇ ⋅ − ∇q vP :

ddt

u u u( ) ( ) : ( )ρ ρ ρ= −∇ ⋅ − ∇ ⋅ − ∇ + ⋅ ∇v q v vP


88

donde la energía interna u y la entropía s están referidas a la unidad demasa y con el símbolo se denota el volumen específico

(4.41)

Por consiguiente, la variación temporal de entropía puede calcularse apartir de (4.40) y (4.41)

(4.42)

Al multiplicar por la densidad los dos miembros de la ecuación anteriory sustituir en ella (4.31) y (4.38) se llega al resultado

(4.43)

Si el tensor presión se descompone [tal y como se puso de manifiesto en(3.83)] en la suma de una contribución de equilibrio y otra asociada con losefectos viscosos

(4.44)

donde I es el tensor unidad y Pv es el denominado tensor presión viscosa, severifican las igualdades siguientes

(4.45)

que permite modificar (4.43) del modo siguiente

(4.46)

expresión en la cual se ha introducido el símbolo s· para la tasa de variaciónde entropía en el transcurso del tiempo (s· = ds/ dt); por otra parte, si se tieneen cuenta la relación

v

ρ �s T T v= − ∇ ⋅ − ∇− −1 1q vP :

P I P P P: ( ) :∇ = + ⋅ ∇⎡⎣ ⎤⎦ = ∇ + ⋅ ∇⎡⎣ ⎤⎦ = ∇ ⋅ + ∇v v v v vTr TrP P Pv v v vv

P I P= +P v

ρ ddst

T T T P= − ∇ ⋅ − ∇ + ∇ ⋅− − −1 1 1q v vP :

dd

dd

dd

st

Tut

TP

t= −− −1 1

2ρρ

v v= = −1 1

2ρ ρρd d


89

(4.47)

el balance de entropía viene dado por

(4.48)

ecuación, que si se compara con la expresión general de un balance (4.39),muestra inmediatamente la existencia de dos contribuciones: un flujo deentropía (Js = T–1q)) y un término de producción de entropía.

Tal y como se puso de manifiesto en el Apartado 3.5 [véase la ecuación(3.91)], el tensor presión viscosa puede escribirse en la forma

(4.49)

con lo cual el término de producción de entropía puesto de manifiesto en(4.48) adopta la forma

(4.50)

Si se denomina a la parte simétrica del tensor gradiente develocidad, el hecho de poseer carácter simétrico el tensor P^ v permite esta-blecer la relación

(4.51)

Asimismo, el tensor V puede descomponerse de forma análoga a Pv

véase la ecuación (4.49)], es decir

(4.52)

con lo cual se concluye que

(4.53)ˆ : ˆ : ˆP P Vv v∇ =v

V I V V= ∇ ⋅ + =13

0( ) ˆ ˆ )v (tr

ˆ : ˆ : ( ) ( ) ˆ :P P P Vv v s a v∇ = ∇ + ∇⎡⎣ ⎤⎦ =v v v

V = ∇( )v s

σ = ⋅ ∇ − ∇ ⋅ − ∇− − −q v v( ) ( ) ˆ :T T p Tv v1 1 1P

P I P Pv v v vp= + =ˆ ˆ )(Tr 0

ρ �s T T T T v= −∇ ⋅ + − ⋅ ∇ − ∇⎡⎣ ⎤⎦− − −( ) :1 2 1q q vP

∇ ⋅ = − ⋅ ∇ + ∇ ⋅− − −( )T T T T1 2 1q q q


90

y la producción de entropía debida a los procesos de no equilibrio que tie-nen lugar en el sistema viene dada por

(4.54)

donde, de acuerdo con el Segundo Principio, ha de verificarse que el valorde σ sea siempre mayor que cero.

Al observar el segundo miembro de la ecuación (4.54), lo primero que sepone de manifiesto es que se trata de una suma de términos, cada uno delos cuales está asociado con un efecto físico bien definido (conducción decalor y de viscosidad), pero también se constata que cada uno de estossumandos se escribe como producto de una fuerza por un flujo [Criado-Sancho y Casas-Vázquez (2004), Tabla 23.1]. Conviene resaltar que al exis-tir flujos de orden tensorial diferente, el tipo de producto es diferente de uncaso a otro (multiplicación entre números reales en el caso de flujos esca-lares, producto escalar para los flujos vectoriales y producto contraídocuando flujo y fuerza son de carácter tensorial); es decir

(4.55)

4.4. LAS ECUACIONES CONSTITUTIVAS

Puesto que el segundo principio de la Termodinámica impone la condi-ción σ ≥ 0, ello supone una condición restrictiva a cualquier posible relaciónfuncional entre flujos y fuerzas

(4.56)

Resulta inmediato constatar que la expresión más sencilla se basa enadmitir que cada flujo es proporcional a su fuerza asociada. En efecto, alconsiderar los flujos que intervienen en (4.54), se conocen ecuaciones que

X Xi i i i i

i i i i i

i i i i i

=

==

⎧

⎨

( , , )

( , , )

( , , )

ΦΦΦ

ΦΦΦΦΦΦ

ΦΦ

ΦΦΦΦ

X X

X X

⎪⎪

⎩⎪

σ = + ⋅ +∑ ∑ ∑Φi i

i

i i

i

i i

i

X ΦΦ X ΦΦ : X

σ = ⋅ ∇ − ∇ ⋅ −− − −q v( ) ( ) ˆ : ˆT p T Tv v1 1 1P V


91

los relacionan con la variación espacial de magnitudes tales como la tem-peratura o el gradiente de velocidad. Así, puede hacerse mención a lassiguientes expresiones empíricas:

Ley de Fourier

(4.57)

que establece la proporcionalidad entre el flujo de calor y el gradiente detemperatura, siendo λ la conductividad térmica1.

Ley de Fick de la difusión

(4.58)

donde el flujo de materia es directamente proporcional al gradiente de con-centración.

Ley de Newton de la viscosidad

(4.59)

válida para los fluidos denominados newtonianos y donde η es la viscosidadde cizalla.

Ley de Stokes

(4.60)

en la que el flujo pv es proporcional a la divergencia de la velocidad del fluidoy donde la constante de proporcionalidad ζ se denomina viscosidad de volu-men; ésta última es cero para gases ideales monoatómicos, pero no así paragases ideales diatómicos o poliatómicos, ni, por supuesto, para gases reales.

pv = − ∇ ⋅ζ v

ˆ ˆP Vv = − 2η

J = − ∇D c

q = − ∇λ T


92

1 A partir de la ley de Fourier se establece la ecuación de difusión del calor, que permite conocer elvalor de la temperatura en una posición e instante dados [Criado-Sancho y Casas-Vázquez (2004), pág.528; Lebon, Jou y Casas-Vázquez (2008), pág. 56]. Asimismo, en el apartado 5.4 se efectuará la integra-ción de la ecuación de difusión de materia deducida a partir de la ley de Fick.

En general, se denominarán ecuaciones constitutivas2 a relaciones fun-cionales tales como las (4.56). Por lo que respecta a su forma explícita,puede generalizarse la hipótesis de proporcionalidad entre un flujo y sufuerza asociada admitiendo que además existe acoplamiento entre los diver-sos efectos que dan lugar a la producción de entropía; estas dos hipótesisson la base de la teoría lineal de la Termodinámica de no equilibrio, quepuede enunciarse de acuerdo con los puntos siguientes:

1. Los flujos dependen linealmente de las fuerzas de acuerdo con laexpresión

(4.61)

donde Lij se denominan coeficientes fenomenológicos.

2. En sistemas isótropos un flujo sólo depende funcionalmente de aque-llas fuerzas que tengan su mismo orden y carácter tensorial (princi-pio de Curie).

3. Los coeficientes fenomenológicos satisfacen las relaciones de reci-procidad de Onsager, cuya justificación puede encontrarse en[Onsager (1931)]

(4.62)

o en forma matricial

(4.63)

Al tener en cuenta (4.55) y (4.61), la teoría lineal predice que la produc-ción de entropía por unidad de volumen y unidad de tiempo viene dada por

(4.64)σ = ≥==

∑∑ L X Xij i j

j

n

i

n

11

0

L L= T

L Lij ji

=

Φi ij j

j

n

L X==

∑1


93

2 También se denominan relaciones fenomenológicas.

Esta última desigualdad condiciona los valores admisibles de los coefi-cientes fenomenológicos, que han de verificar [Criado-Sancho y Casas-Vázquez (2004)]

(4.65)

Por otra parte, es un sencillo ejercicio [Criado-Sancho y Casas-Vázquez(2004)] establecer la relación entre los coeficientes fenomenológicos y la con-ductividad y viscosidades que intervienen en las leyes clásicas de Fourier,Newton y Stokes; los resultados a los que se llega son

(4.66)

(4.67)

que junto con (4.54) y (4.64) permiten escribir

(4.68)

que por ser una forma cuadrática asegura que los coeficientes de transpor-te son siempre semipositivos definidos

(4.69)

lo que está de acuerdo con la evidencia experimental.

4.5. TEORÍA CLÁSICA DE LA TERMODINÁMICADE NO EQUILIBRIO

Todo lo expuesto a lo largo de este capítulo permite configurar la «teo-ría clásica» de la Termodinámica de no equilibrio; en estas páginas sólo sepresenta una exposición resumida de la misma, omitiendo aspectos tanfundamentales como el teorema de producción mínima de entropía quepuede consultarse en [Criado-Sancho y Casas-Vázquez (2004)].

λ ζ η≥ ≥ ≥0 0 0, ,

σ λ ζ η= ∇ ⋅ ∇ + ∇ ⋅ ∇ ⋅ +− − − − −T T T T T T T2 1 1 1 1 12( ) ( ) ( )( ) ( ˆ )v v V :: ( ˆ )

( ) ( ) ˆ : ˆ

T

TT

T T

−

= ∇ + ∇ ⋅ + ≥

1

22 21 1 2

0

V

V Vλ ζ ηv

L T L Tvv vv= =ζ ηˆ 2

L Tqq = λ 2

L L L L Lii ii jj ij ji

≥ ≥ +( )0 14

2


94

Recopilando lo expuesto a lo largo de este capítulo, la teoría clásica delos procesos irreversibles puede formularse de forma esquemática enun-ciando las hipótesis siguientes [De Groot y Mazur (1984); Criado-Sancho yCasas-Vázquez (2004); Lebon, Jou y Casas-Vázquez (2008)]:

1. El sistema es un medio continuo y las magnitudes necesarias para sudescripción son magnitudes de campo, es decir dependientes de laposición y del tiempo.

2. Las magnitudes extensivas obedecen a ecuaciones de balance deforma local o material, en las que intervienen términos de flujo y defuente con significado físico preciso.

3. La entropía, al igual que las restantes magnitudes extensivas, obede-ce a una ecuación de balance, cuyo término de fuente, de acuerdocon el segundo principio, es siempre positivo (producción) o nulo.

4. Se postula la hipotesis del equilibrio local, según la cual los paráme-tros intensivos (derivadas primeras de la entropía cuando ésta seexpresa como una función de sus variables naturales: energía, volu-men y composición) poseen localmente el mismo significado que enequilibrio.

5. A partir de la ecuación de Gibbs inherente a la hipótesis de equilibriolocal y de las ecuaciones de balance de masa y energía, se determinala evolución temporal de la entropía y se calcula el término de pro-ducción de entropía

6. Los flujos y las fuerzas están relacionados por ecuaciones constituti-vas lineales, lo que da lugar a que la producción de entropía sea unaforma bilineal en flujos y fuerzas.

7. Se verifican las relaciones de reciprocidad de Onsager.

La Teoría Clásica a la que se viene haciendo referencia constituye unaherramienta sumamente útil en el estudio de los procesos irreversibles ensituaciones próximas al equilibrio (dominio de validez de las leyes lineales),pero presenta una serie de limitaciones [Lebon, Jou y Casas-Vázquez(2008)], algunas de las cuales se exponen a continuación.

Por supuesto, el modelo no permite el tratamiento de fenómenos regi-dos por leyes fenomenológicas no-lineales, cual es el caso de las reacciones


95

químicas y de los fluidos no-newtonianos. Sin embargo, la crítica más duraque puede formularse está relacionada con la validez de la propia hipótesisde equilibrio local; no cabe duda que suponer a priori la existencia de unaexpresión analítica para la función entropía permite escribir de formaexplícita la evolución de la entropía y el correspondiente término de pro-ducción. Ahora bien, no conviene olvidar que no resulta evidente que fuerade equilibrio la entropía sólo dependa de las mismas variables que en equi-librio (energía interna y volumen en el caso de un fluido puro), ya que bienpudiera ocurrir, y de hecho ocurre, que en las situaciones de no equilibriointervengan variables que «no se manifiestan» en equilibrio, tal y comosucede en el caso de disoluciones de macromoléculas, superfluidos y super-conductores. Asimismo, la hipótesis de equilibrio local presupone sistemasde dimensiones relativamente grandes, donde además se consideran tiem-pos largos; por ello, difícilmente puede ser compatible con fenómenos quetranscurren a frecuencias altas (propagación de ultrasonidos, colisionesnucleares o dispersión de neutrones), ni con sistemas cuyas dimensionessean del orden de las nanoestructuras.

No conviene perder de vista que la adopción de ecuaciones constitutivaslineales, no sólo puede ser criticada desde el punto de vista de su mayor omenor capacidad para interpretar la información experimental, sino quepredicen comportamientos incorrectos desde un punto de vista físico. Así,la introducción de la ley de Fourier (supuesta conductividad térmica cons-tante) en la ecuación de balance de energía conduce a una ecuación dife-rencial de tipo parabólico, lo cual predice que cualquier perturbación queexperimente el sistema se propagará con velocidad infinita. A situaciónanáloga se llega al considerar la ecuación de Navier-Stokes, cuya deducciónse efectúa en el Capítulo V al sustituir en (4.34) las leyes de Newton y Stokesde la viscosidad.


96

APÉNDICE 4.A

Cálculo de

A partir del término que aparece en (4.12), resulta inmediata laigualdad

(4.A.1)

de la que se deduce

(4.A.2)

que puede escribirse en la forma compacta

(4.A.3)

Cálculo de

Si se adopta como punto de partida la expresión

(4.A.4)∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅( ) ( )ρ ρ ρv v v2 2 2v v v

∇ ⋅ ( )ρv2v

∇ ⋅⎡⎣ ⎤⎦ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇( ) ( ) :ρ ρ ρvv v v vv vv2

∇ ⋅⎡⎣ ⎤⎦ ⋅ =∂

∂=

=

==

=

∑∑

∑

( ) ( )ρ ρvv v vx

v v

v

ij

i j

ji

i

i

1

3

1

3

2

1

3⎛⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

∂∂

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

+∂∂

= =∑v

xv

v

xjj

j

i

j

jj

ρ ρ1

3

2

1

33

1

3

1

3

1

3

∑∑ ∑∑= ==

+∂∂

i

i ji

jji

v vv

xρ

∇ ⋅⎡⎣ ⎤⎦ =∂

∂=

∑( ) ( )ρ ρvvi

ji j

jx

v v

1

3

∇ ⋅ ( )ρvv

∇ ⋅⎡⎣ ⎤⎦ ⋅( )ρvv v


97

y se tiene en cuenta la definición de gradiente, resulta inmediato que

(4.A.5)

de donde se deduce

(4.A.6)

Al sustituir este resultado en (4.A.4), se obtiene finalmente

(4.A.7)

Cálculo de

Al escribir esta expresión en términos de las componentes tanto de lavelocidad, como del tensor presión, es posible escribir

(4.A.8)

que puede reordenarse dando lugar a

(4.A.9)∇ ⋅ ⋅ = ∇ ⋅ ⋅ + ∇( ) ( ) :P P Pv v v T

∇ ⋅ ⋅ =∂

∂ ( ) =∂∂

== ==∑∑ ∑( )P v

xP v

P

xv

iji

ij j

ij

ij

ji1

3

1

3

1

3

1

33

1

3

1

3

∑ ∑∑+∂∂

==

Pv

xij

j

iji

∇ ⋅ ⋅( )P v

∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇( ) ( ) :ρ ρ ρv v2 2 2v v v vv

∇⎡⎣ ⎤⎦ ⋅ = ∂∂

+∂∂

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

==∑( )ρ ρ ρv v

xv v

v

xii

j j

j

iji

2 2

1

3

2v

11

3

2

1

3

1

3

1

3

2

2

∑∑ ∑∑

=

=∂∂

+∂∂

=

== ==

v vx

v vv

x

v

ii

i

i j

j

iji

ρ ρ

vv v vv⋅ ∇ + ∇ρ ρ2 :

∇⎡⎣ ⎤⎦ =∂

∂

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=∂∂

+=

∑( )ρ ρ ρ ρvx

vx

vi

ij

ji

j2 2

1

3

2 2 vvv

xj

j

ij

∂∂

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=∑

1

3


98

Cálculo de

Recordando la definición de gradiente de un vector se llega a la relación

(4.A.10)

de la que se deduce de forma inmediata

(4.A.11)

que puede escribirse de forma compacta como

(4.A.12)v v vv v⋅ ∇⎡⎣ ⎤⎦ = ∇ ⋅⎡⎣ ⎤⎦ − ∇ ⋅( ) ( )ρ ρ ρi i iv

v v⋅ ∇⎡⎣ ⎤⎦ =∂

∂+

∂∂

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

=∂∂

=∑( )ρ ρ ρ

i jj

ii

jj

j

vx

vv

x

x

1

3

(( )ρ ρv v vv

xi j i

j

jjj

−∂∂

==∑∑

1

3

1

3

∇⎡⎣ ⎤⎦ =∂∂

+∂∂

( )ρ ρ ρvji

ji

i

jxv

v

x

v v⋅ ∇( )ρ


99

CAPÍTULO VEL FLUIDO NEWTONIANO

5.1. ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES

El estudio hidrodinámico de un fluido tiene por objeto conocer en cadauno de sus puntos la densidad y la temperatura en un instante dado, asícomo la velocidad v considerada en el apartado 4.1.1. Esas variables decampo están asociadas con alguna de las ecuaciones de balance (4.31),(4.34) y (4.38), aunque, expresándonos en un lenguaje coloquial, no puedeatribuírseles un carácter estrictamente «termodinámico». Por otra parte,además de basarse en las ecuaciones de balance, la teoría clásica de laTermodinámica de no equilibrio se construye en el ámbito de ecuacionesfenomenológicas lineales, de las que las ecuaciones de transporte (4.57),(4.59) y (4.60) son un buen ejemplo.

El modelo lineal desarrollado en el Capítulo IV permite llevar a cabo elestudio hidrodinámico de fluidos [Lebon, Jou y Casas-Vázquez (2008), pág.60], aunque exige que éstos se encuentren sometido a un regimen laminar,de tal modo que se excluye cualquier consideración acerca de la turbulen-cia y adolece, además, del inconveniente de utilizar unas ecuaciones detransporte que implican la respuesta instantánea del fluido ante cualquierefecto [tales serían �T, �·v y , de acuerdo con (4.57), (4.59) y (4.60)]. Unode los primeros sistemas que pueden estudiarse en el contexto de las res-tricciones anteriores anterior es el fluido newtoniano, para lo que se adop-ta como punto de partida la ecuación de balance de momento. En lo quesigue se exponen con detalle los pasos que conducen a la ecuación que rigeel comportamiento hidrodinámico de tal fluido.

5.1.1. Divergencia del tensor P de un fluido newtoniano

Según lo expuesto en el Capítulo III, la expresión explícita del tensorpresión de un fluido newtoniano puede establecerse a partir de las ecua-ciones (3.83) y (3.94), de las cuales se obtiene

V̂

101

(5.1)

Por consiguiente, al efectuar sobre P la operación � se llega al resultado

(5.2)

de tal modo que han de considerarse las contribuciones siguientes:

1) Término �·[(�·v)I]

(5.3)

2) Término �·V

Tal y como establece (3.87), el tensor V es la parte simétrica del gra-diente de velocidad ( ), de tal modo que al aplicar �· espreciso considerar las relaciones siguientes

(5.4)

(5.5)

Al sustituir (5.3)-(5.5) en (5.2), se llega al resultado

(5.6a)∇ ⋅ = ∇ − ∇ − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∇ ∇ ⋅P P η η ζ2 13

v v( )

P I V I= − + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∇ ⋅P 223

η η ζ ( )v

V = ∇ + ∇[ ( ) ] /v v T 2

∇ ⋅ ∇ =∂

∂∂

∂∂

∂⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⋅

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( ) , , ,v T

x x x

v x v x v x

1 2 3

1 1 1 2 1 33

2 1 2 2 2 3

3 1 3 2 3 3

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟v x v x v x

v x v x v x

⎟⎟⎟⎟

= ∇ ∇ ⋅( )v

∇ ⋅ ∇ =∂

∂∂

∂∂

∂⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⋅

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂vx x x

v x v x v x

v1 2 3

1 1 2 1 3 1

, , , 11 2 2 2 3 2

1 3 2 3 3 3

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

x v x v x

v x v x v x

== ∇2v

∇ ⋅ = ∇ − ∇ ⋅ + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∇ ⋅ ∇ ⋅⎡⎣ ⎤⎦P V IP 223

η η ζ ( )v

∇ ⋅ ∇ ⋅⎡⎣ ⎤⎦ = ∂∂

∂∂

∂∂

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⋅

∇ ⋅∇ ⋅( ) , , ,v

vvI

x x x1 2 3

0 00 00 0 ∇∇ ⋅

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

= ∇ ∇ ⋅v

v( )

102


que puede escribirse en la forma equivalente

(5.6b)

donde se ha introducido el parámetro

(5.7)

5.1.2. Ecuación de balance de momento

Al sustituir la ecuación de la continuidad (4.6) en la expresión del balan-ce de momento (4.12), es posible escribir

(5.8)

Por otra parte, al desarrollar (4.A.1) se obtiene el resultado

(5.9)

que, en forma compacta, puede expresarse

(5.10)

lo cual permite rescribir (5.8) en la forma

∇ ⋅ = ⋅ ∇ + ⋅ ∇ + ∇ ⋅ == ∇ ⋅ + ⋅ ∇

( ) ( )

( )

ρ ρ ρ ρρ ρ

vv v v v v v v

v v v v

∇ ⋅ = ∇ − ∇ − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∇ ∇ ⋅P P η η ζ2 13

v v( )

∇ ⋅⎡⎣ ⎤⎦ =∂

∂=

=∂∂

+

=

=

∑∑

( ) ( )ρ ρ

ρ ρ

vvi

ji j

j

i jj

j

xv v

v vx

1

3

1

3

∂∂∂

+∂∂

=

= ⋅ ∇ + ∇ ⋅= =

∑ ∑v

xv v

v

x

v

i

jj

j

i

j

jj

iT

1

3

1

3

ρ

ρ ρ( ) ( )v v vv v⎡⎣ ⎤⎦ + ∇ ⋅i ivρ

ρ ρ ρ ρ∂∂

− ∇ ⋅ = −∇ ⋅ + +v

v v vv ft

( ) ( )P

β ζη

= +13

103

EL FLUIDO NEWTONIANO

(5.11)

Al sustituir en esta última ecuación �·P por el segundo miembro de (5.6b),se llega al resultado

(5.12)

que se conoce como ecuación de Navier-Stokes y puede considerarse comola base de la hidrodinámica de los fluidos viscosos [Landau y Lifshitz(1986)].

Conviene resaltar que (5.12) constituye un sistema de ecuaciones dife-renciales de carácter parabólico, lo cual implica que cualquier perturbaciónse propaga a velocidad infinita en el seno del fluido; desde el punto de vistafísico esto constituye una objeción seria, aunque no se manifiesta si se con-sideran tiempos característicos que sea mucho mayores que el tiempo detránsito de las señales que soporte de la información. Para profundizar enel estudio de la ecuación de Navier-Stokes, se sugiere los lectores consultarla referencia [Brenner (2005)].

Para un fluido incompresible, la ecuación de la continuidad permiteestablecer que �·νν = 0 y la ecuación de Navier-Stokes adopta la forma

(5.13)

Asimismo, cuando se desprecia el término de inercia ρ · � , la ecua-ción anterior se simplifica dando lugar a

(5.14)

que recibe el nombre de ecuación de Stokes.

v v

ρ ρ ρ∂∂

+ ⋅ ∇ = −∇ ⋅ +v

v v ft

P

ρ η ρ∂∂

= −∇ + ∇ +v

v ft

P 2

ρ ρ η ρ∂∂

+ ⋅ ∇ = −∇ + ∇ +v

v v v ft

P 2

ρ ρ η βη ρ∂∂

+ ⋅ ∇ = −∇ + ∇ + ∇ ∇ ⋅ +v

v v v v ft

P 2 ( )


104

5.2. INTEGRACIÓN DE LA ECUACIÓN DE STOKES ESTACIONARIA

En situación estacionaria la ecuación de Stokes adopta la forma

(5.15)

donde se ha introducido la fuerza F = ρ ƒ.

A la hora de integrar la ecuación de Stokes estacionaria, hay que tenerpresente que en la deducción de (5.14), y por tanto en la de (5.15), se intro-dujo la hipótesis de incompresibilidad del fluido (�·v = 0), lo cual implicaque el tratamiento matemático afecta al par de ecuaciones

(5.16)

En la bibliografía se presentan diferentes métodos para integrar la ecua-ción de Stokes estacionaria, siendo [Venkatalaxmi et al. (2007)] uno de losartículos más recientes que se han publicado; en esta monografía se va autilizar la transformada de Fourier como herramienta para resolver (5.16),que constituye un método menos farragosos que el seguido por otros auto-res [Yamakawa (1971), pág. 355].

La transformada de Fourier1 aplicada a cualquier función genérica delas coordenadas espaciales A(r) permite genera la nueva función defi-nida del modo siguiente

(5.17)

y, análogamente, la transformada inversa viene dada por

(5.18)A A i( )( )

( )exp/

r k k r k= ⎡⎣ ⎤⎦ ⋅( )∫1

2 3 2πF d

F A A i⎡⎣ ⎤⎦ = − ⋅( )∫( )( )

( )exp/

k r k r r1

2 3 2πd

F A⎡⎣ ⎤⎦

η∇ − ∇ = −∇ ⋅ =

⎧⎨⎩⎪

2

0

v

v

P F

η∇ − ∇ = −2v P F


105

1 Aquellos lectores poco familiarizados con la transformada de Fourier, pueden encontrar en[Kreyszig (1993), pág. 612] las definiciones anteriores, así como las propiedades de la transformación.

Cuando se aplica a las dos ecuaciones de (5.16) se obtiene

(5.19)

pudiendo colegirse de la segunda de las ecuaciones que la transformadade la velocidad es perpendicular al vector k. Asimismo, de la primera delas ecuaciones (5.19) se puede despejar la transformada de v y llegar alresultado

(5.20)

Al aplicar el operador definido en el Apéndice 5.A a la función

, se proyecta la componente de la función perpendicular al vector k;

ahora bien, el hecho de verificarse , implica que la tal proyección

coincide con la propia función , es decir

(5.21)

donde la última igualdad se deduce a partir de (5.20) teniendo en cuentaque el término es paralelo a k y, por consiguiente, desaparece alaplicar I–k̂k̂. Asimismo, en (5.21) interviene la transformada

(5.22)

Aplicando la transformada de Fourier inversa a (5.21) puede obtenersela expresión de la velocidad v(r)

(5.23)

v r v k k r k( )( )

( )exp

( )

/

/

= ⎡⎣ ⎤⎦ ⋅( ) =

=

∫1

2

1

2

1

3 2

3 2

π

π η

F i

k

d

22I −( ) ⎡⎣ ⎤⎦ ⋅( )∫ ˆ ˆ ( )expkk F k k r kF i d

F v⎡⎣ ⎤⎦

F v⎡⎣ ⎤⎦F v k⎡⎣ ⎤⎦ ⊥

F

F F k F r k r r⎡⎣ ⎤⎦ = ′ − ⋅ ′( ) ′∫( )( )

( )exp/

1

2 3 2πi d

k ⋅ ⎡⎣ ⎤⎦F P

F F Fv kk v kk F⎡⎣ ⎤⎦ ≡ −( ) ⎡⎣ ⎤⎦ = −( ) ⎡⎣ ⎤⎦I Iˆ ˆ ˆ ˆ12ηk

I − ˆ ˆkk

F F Fv F k⎡⎣ ⎤⎦ = ⎡⎣ ⎤⎦ + ⋅ ⎡⎣ ⎤⎦( )12ηk

i P

− ⎡⎣ ⎤⎦ − ⋅ ⎡⎣ ⎤⎦ = − ⎡⎣ ⎤⎦⋅ ⎡⎣ ⎤⎦ =

⎧⎨⎪

⎩⎪

ηk i P

i

2

0

F F FF

v k F

k v


106

que, al tener en cuenta (5.22), permite escribir

(5.24)

y llegar al resultado

(5.25)

que constituye la expresión del campo de velocidades como función de lasfuerzas externas y donde H se define como

(5.26)

y recibe el nombre de tensor de Oseen.

Figura 5.1

v r r r F r r( ) ( ) ( )= ′ − ⋅ ′ ′∫ H d

H I( )( )

ˆ ˆ exp( )r kk k r k= −( ) − ⋅∫1

2

13 2π η k

i d

v r kk F r k r( )( )

ˆ ˆ( )

( )exp/ /

= −( ) ′ − ⋅ ′1

2

1 1

23 2 2 3 2π η πkiI (( ) ′

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⋅( ) =

= −( )∫∫ d dr k r k

kk

exp

( )ˆ ˆ

i

k

1

2

13 2π η

I eexp ( ) ( )∫∫ − ⋅ ′ −⎡⎣ ⎤⎦⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪⋅ ′ ′ik r r k F r rd d


107

5.2.1. Expresión explícita del tensor de Oseen

De acuerdo con (5.26) los elementos del tensor de Oseen vienen dadospor

(5.27)

donde I0 y Ijl son las integrales

(5.28)

(5.29)

Ahora bien, puesto que la integración se efectúa sobre el vector k, laposición del vector r no varía durante el proceso de integración y por como-didad puede fijarse en la dirección del eje k3, tal y como se muestra en laFigura 5.1. En tales circunstancias, el producto escalar que aparece en laexponencial de las integrales (5.28) y (5.29) viene dado por k·r = rk cos θ yse verifica la igualdad

(5.30)

asimismo, el elemento de volumen dk en coordenadas polares esféricas [verecuaciones (2.A.12) y(2.A.13)] viene dado por

(5.31)

Por otra parte, a partir de (5.28) y (5.29) pueden considerarse los casossiguientes:

d sen d d dk = k k2 θ ϕ θ

1 0 0 00 0 00 0 1

2rrr =

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

Ik

i0 2

1= − ⋅∫ exp( )k r kd

H I I j ljl jl jl= −1

8 3 0π ηδ( ) ,( = 1,2,3)

Ik

k k i j ljl j l= − ⋅∫ 12

ˆ ˆ exp( ) ,k r k d ( = 11,2,3)


108

Cálculo de I0

(5.32)

donde con el símbolo I�

0(k) se denota la integral

(5.33)

y al efectuar la integración sobre k, se llega al resultado

(5.34)

donde Si(t) es la función seno integral, definida como

(5.35)

Cálculo de I11

(5.36)

donde I��

1(k) viene dada por

(5.37)

�I k ikr

krikr

13

0

3

1

2

( ) sen d= − =

= −

∫ θ θ θπ

exp( cos )

( )exp( ccos ) cos [ ( ) ( ) cos ]θ θ θ

π4 2 42 2

0kr i kr kr+ − + −{ }⎡

⎣⎤⎦

I I k k11

0

2

1

0

= ∫ ∫∞

cos d ( )d2ϕ ϕπ

�

Sisen

d( )tt

tt= ∫

�I k ikr

i

krikr

0

0

( ) sen d= − =

= − −

∫ θ θ θπ

exp( cos )

exp( ) exp(( )ikrkr

kr⎡⎣ ⎤⎦ =2

sen( )

I k irk I k k0

0

2

0 0

02= − =∫ ∫ ∫∞

d d sen d ( )dϕ θ θ θ ππ π

exp( cos ) �00

∞

∫

Ikr

krk

rt

r0

00

2

44 2= = ⎡⎣ ⎤⎦ =

∞∞∫π π πsen( )

d Si( )


109

cuya integración conduce a

(5.38)

y, al sustituir en (5.36), permite escribir

(5.39)

(5.40)

Cálculo de I22

(5.41)

resultado al que se llega a partir de (5.39).

Cálculo de I33

(5.42)

donde I�

1(k) viene dada por

(5.43)

�I k ikr

kr

32

0

3

1

2

( ) sen d= − =

= −

∫ θ θ θ θπ

cos exp( cos )

( )exp(( cos ) ( ) ( ) cos ( )cos− + − −{ }⎡

⎣⎤⎦ikr kr kr i krθ θ θ2 2

02 4 4

ππ

I I k k33

0

2

3

0

= ∫ ∫∞

d ( )dϕπ

�

I I k kr22

0

2

1

0

2

= =∫ ∫∞

sen d ( )d2ϕ ϕ ππ

�

�I k kr

t

t

t

tt

r

k

1

02

0

2( )d

senSi∫ = − +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

∞cos

( )π

�I kkr

kr

kr

kr1 2 34( )

sen= − +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

cos( )

( )

( )

( )

Ir11

2

= π


110

que puede rescribirse como

(5.44)

y tras efectuar la integración sobre k, puede concluirse que

(5.45)

y, en consecuencia, se sigue que

(5.46)

Cálculo de los términos no diagonales

Las integrales asociadas con los elementos no diagonales del tensor deOseen son las siguientes:

(5.47)

(5.48)

(5.49)

y resulta sencillo comprobar que en todas ellas se anulan la integrales sobreϕ. Por consiguiente, se concluye que

(5.50)I I I12 13 23 0= = =

I k ikr23

0

2

00

= −∫ ∫∫∞

sen d d sen d2ϕ ϕ θ θ θ θπ π

cos exp( cos )

I k ikr13

0

2

00

= −∫ ∫∫∞

cos cos exp( cos )ϕ ϕ θ θ θ θπ π

d d sen d2

I I k k12

0

2

1

0

= ∫ ∫∞

sen d ( )dϕ ϕ ϕπ

cos �

�I kkr

kr

kr

kr

kr

kr3 2 32 2 2( )

sen sen= − + −

⎡ ( ) cos( )

( )

( )

( )⎣⎣⎢

⎤

⎦⎥

I33 0=

�I k kr

tt

tt

tt

t

t

k

3

02

22( )d Si 2Si

sen∫ = − − − + +( )cos

( )cos

++⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

∞

Si( )t0

0


111

Al expresar de forma conjunta (5.27), (5.34), (5.40), (5.41), (5.46) y(5.50), se llega a la siguiente expresión explícita del tensor de Oseen

(5.51)

que al tener en cuenta (5.30), conduce al resultado

(5.52)

5.3. ECUACIÓN DE LANGEVIN

Tal y como se expuso anteriormente, la ecuación de Navier-Stokes es elpunto de partida para el estudio de los fluidos newtonianos, y, en tal con-texto, la relación (5.25) es uno de los resultados a los que se llega para elcaso de un sistema estacionario e incompresible. De entre los diversos pro-blemas que pueden abordarse haciendo uso de (5.25), se va a efectuar unestudio fenomenológico del movimiento browniano, cuyo carácter aleatorioobliga a considerar en F(r) no sólo contribuciones «deterministas» (porejemplo, las derivadas de un potencial), sino otras cuya génesis está en pro-medios a nivel molecular y a las que se prestará atención más adelante.

Con respecto al estudio teórico del movimiento browniano, pueden con-sultarse las referencias clásicas [Uhlenbeck y Orstein (1930); Wang yUhlenbeck (1945)]; sin embargo, en estás páginas se efectuará un trata-miento mucho más simplificado, considerando un fluido en el que las par-tículas suspendidas en su seno son puntos materiales [Doi y Edwards(1986), pág. 68]. Así, cuando ri es el vector posición de la partícula i, la fuer-za sólo actúa en r = ri, lo que de un modo formal se plasma en la igualdad

(5.53)F r F r r( ) ( )= −=

∑ j j

j

N

δ1

H( )r =⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=⎛

⎝

⎜18

1 0 00 1 00 0 2

18

1 0 00 1 00 0 1

πη πηr r ⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

+⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

0 0 00 0 00 0 1

H I( )r rr= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

18

12πηr r


112

La segunda hipótesis a la que se recurre consiste en admitir que cadapartícula se mueve a la misma velocidad que el fluido [es decir ],lo que de acuerdo con (5.25) permite escribir

(5.54)

y se plasma en la expresión

(5.55)

donde se han introducido los tensores2

(5.56)

denominándose a H(ij) matriz movilidad y al parámetro ζ coeficiente de fricción3.

Por otra parte, la fuerza Fj puede considerarse como suma de dos con-tribuciones, una que se deriva del potencial U y otra aj de carácter aleato-rio que tiene en cuenta las colisiones entre las moléculas del fluido y laspartículas. De acuerdo con todo lo anterior, (5.55) se convierte en

(5.57)

y recibe el nombre de ecuación de Langevin. El gradiente que aparece en elsegundo miembro de la igualdad se refiere a las coordenadas de una partí-cula genérica j, es decir

∂∂

= ⋅ −∇ +⎡⎣ ⎤⎦=

∑rai ij

j j

j

N

tU tH( ) ( )

1

H H H I( ) ( )( )ijj i

ii= − =r r1ζ

v v ri i= ( )

v Fiij

j

j

N

= ⋅=

∑H( )

1

v r r F r r r r r Fi i j j

j

N

j i j

j

N

= ′ − ⋅ ′ − ′ = − ⋅∫∑= =

H H( ) ( ) ( )δ d

1 1

∑∑


113

2 Ha de tenerse en cuenta que (5.52) predice que H(0) es infinito. Para obviar este inconveniente,se introduce la segunda de las igualdades (5.56).

3 Para partículas esféricas de radio a, el coeficiente de fricción vale ζ = 6πηa.

(5.58)

Por otra parte, un tratamiento más riguroso del problema [Lax (1960),(1966)] conduce al resultado

(5.59)

5.3.1. Consideraciones acerca de las fuerzas aleatorias

La fuerza que experimenta una partícula como resultado de las colisio-nes con las moléculas del disolvente no pueden plasmarse en una relaciónfuncional explícita. Por ello, el carácter aleatorio de las fuerzas aj(t) queaparecen en la ecuación de Langevin requiere que se les asocie con una fun-ción de distribución. En términos generales, las variables cuyos valores xfluctúan en el transcurso de un proceso, dependiendo de la posición en quese efectúe la medida, poseen un comportamiento estadístico regido porcierta función de distribución , tal que todos los valores posibles con-ducen al valor medio

(5.60)

De entre todas las posibles distribuciones estadísticas, existe una, deno-minada gaussiana, cuya función de distribución viene dada por

(5.61)

de la cual se deducen las igualdades siguientes

Ψ ( ) exp

/

xx

x x

x=

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

−−( )⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

1

2 22

1 2 2

2π

x x x x= ∫ Ψ ( )d

Ψ ( )x

∇ =∂

∂=

∑jk

j

kx( )

1

3

∂∂

= ⋅ −∇ + + ∇⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

rai ij

jj

B jij

j

N

tU t k TH H( ) ( ) ( )( )

12

1

∑∑


114

(5.62)

Si se consideran de nuevo las fuerzas aj(t) y se admite la hipótesis deatribuirles carácter gaussiano, es preciso rescribir (5.61) para poder pro-mediar funciones temporales ƒ(t). Esto puede conseguirse introduciendo lafunción de distribución

(5.63)

asociada con los valores medios

(5.64)

resultado que se particulariza para las fuerzas aj(t), de tal modo que la ecua-ción de Langevin debe completarse con las relaciones siguientes

(5.65)

5.4. INTEGRACIÓN DE LA ECUACIÓN DE DIFUSIÓN

Para terminar este capítulo se procede a integrar la ecuación de difusiónplanteada a partir de la ley de Fick. Así, al considerar un sistema multi-componente en ausencia de reacción química, las ecuaciones (4.6) y (4.58)pueden escribirse para cada uno de los componentes i en la forma [Criado-Sancho y Casas-Vázquez (2004), págs. 493, 500]

(5.66)

donde Di es el coeficiente de difusión de la especie i y ci su concentraciónexpresada en moles por unidad de volumen. Teniendo en cuenta que

∂∂

= −∇ ⋅ = −∇ ⋅ = − ∇ρ

ρii i i i i it

D c( )v J J

a( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

j

mi

nj

B ij mn

t

a t a t k T t t

=

′ = − ′

0

2ζ δ δ δ ( , , , )m n =

⎧⎨⎪

⎩⎪ 1 2 3

x x x x= = −0 2 2Δ [ ]

f t f t f t k T t tB( ) ( ) ( ) ( )= ′ = − ′0 2ζ δ

Ψ [ ( )] exp ( )f tk T

f t dtB

∼ −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥∫1

42

ζ


115

ρi = Mici (donde Mi es la masa molecular del componente i), las ecuaciones(5.66) pueden combinarse para dar lugar a

(5.67)

que se conoce como ecuación de difusión.

Al efectuar la trasformada de Fourier de los dos miembros de la igual-dad (5.67), ésta se convierte en

(5.68)

cuya solución viene dada por

(5.69)

Al hacer uso de (5.18) para efectuar la transformada inversa, la concen-tración viene dada por

(5.70)

que al tener en cuenta que la transformada de la concentración inicial vienedada por

(5.71)

permite escribir

(5.72)c t c k D t ii i i( , )( )

( , )exp[ ]exp[ ( )]r r k r - r= ′ − ⋅ ′1

20

32

πdd d′∫∫ r k

F c c ii i( , )( )

( , )exp[ ]/

′⎡⎣ ⎤⎦ = ′ − ⋅ ′∫r r k r r01

20

3 2πd

c t c i

c

i i( , )( )

exp[ ]

( )

/

/

r k r k= ⎡⎣ ⎤⎦ ⋅ =

=

∫1

2

1

2

3 2

3 2

π

π

F

F

d

ii ik D t i( , ) exp[ ]exp[ ]r k r k0 2⎡⎣ ⎤⎦ − ⋅∫ d

∂∂

= ∇c

tD ci

i i2

F Fc t c k D ti i i( , ) ( , ) exp[ ]r r⎡⎣ ⎤⎦ = ⎡⎣ ⎤⎦ −0 2

∂∂

⎡⎣ ⎤⎦ = − ⎡⎣ ⎤⎦tc t k D c ti i iF F( , ) ( , )r r2


116

Conviene observar que la integral con respecto a k es el producto de tresintegrales de la forma

(5.73)

donde la segunda igualdad se obtiene al tener en cuenta que las propieda-des de simetría de la función seno hacen que se anule la parte imaginaria.

Por otra parte, si se consideran las relaciones

(5.74)

se concluye que

(5.75)

Asimismo, si en el instante inicial existen ni0 moles de la especie i en el

punto r = r0, es decir ci(r,0) = ni0 V–1δ (r–r0), la concentración debida la difu-

sión viene dada por

(5.76)c t

n V

D t D tii

i i

( )/

( )exp

( )r

r r, 0= −

−⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

0

3 2

2

8 4π

c tD t

cD ti

ii

i

( , )( )

( , )(

r rr r

= ′ −− ′⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

1

80

43 2πexp

)2

dd ′∫ r

exp ) cos )d exp( (− =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛

⎝⎜⎞

⎠−∞

+∞

∫ α β πα

βα

t t t2

1 2 2

4 ⎟⎟ >, α 0

exp ) exp d

exp

( ( )

(

− − − ′⎡⎣ ⎤⎦ =

= −

−∞

+∞

∫ k t i k x x k

k

j j j j j

j

2 χ

22 χ t k x x kj j j j) cos d( )− ′⎡⎣ ⎤⎦−∞

+∞

∫


117

(j = 1, 2,3)

APÉNDICE 5.AOPERADORES DE PROYECCCIÓN

En este apéndice se introducen dos operadores, que aplicados a un vec-tor permiten proyectar sus componentes longitudinal y normal según unadirección dada. Para ello se comienza por considerar el vector unitario uque define una dirección en el espacio y un vector arbitrario a

(5.A.1)

y con ellos se efectúa la operación

(5.A.2)

donde se ha tenido en cuenta (1.19) y que en forma compacta se expresa delmodo siguiente

(5.A.3)

lo que pone de manifiesto que la aplicación del operador u⊗u sobre el vec-tor a genera el nuevo vector a|| paralelo a la dirección fijada por u.

( ) ( )u u a u a u a⊗ ⋅ = ⋅ = �

( )u u a u u⊗ ⋅ =⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⊗⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟= =

∑ ∑u ui i

i

j j

j1

3

1

3⎡⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⋅⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

= ⊗ ⋅

=∑a

u u a

k k

k

i j k i j

u

u u

1

3

( ) uu uk

kji

i j k jk i

kji

u u a

=== ===∑∑∑ ∑∑∑= =

=

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

δ

uu a u u aj j

j

i i

i

j j

j== =∑∑ ∑

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟

1

3

1

3

1

3

u ⎟⎟⎟ =∑ui i

i

u

1

3

u u a u= == =

∑ ∑u ai i

i

i i

i1

3

1

3


118

Por otra parte, si se consideran las igualdades

(5.A.4)

y se tiene en cuenta (5.A.3), se llega al resultado

(5.A.5)

que pone de manifiesto que I –u ⊗ u actúa como un operador que proyectala componente normal de a perpendicular a la dirección de u.

Los resultados anteriores pueden resumirse en las dos igualdades

(5.A.6)

que en notación simplificada (u⊗u ≡ uu) vienen dadas por

(5.A.7)uu a a

uu a a

⋅ =

− ⋅ =

⎧⎨⎪

⎩⎪ ⊥

�

( )I

( )

( )

u u a a

u u a a

⊗ ⋅ =

− ⊗ ⋅ =

⎧⎨⎪

⎩⎪ ⊥

�

I

a a u u a= + − ⊗ ⋅� ( )I

a a u u u u a u u a u u a= ⋅ = ⊗ + − ⊗ ⋅ = ⊗ ⋅ + − ⊗ ⋅I I I( ) ( ) ( )


119

CAPÍTULO VIEL MODELO DE TERMODINÁMICA EXTENDIDA

A pesar de que la teoría clásica de los procesos irreversibles constituyeuna herramienta teórica sumamente útil en el estudio de muchas situacio-nes de no-equilibrio, no cabe duda que no pueden ignorarse las limitacio-nes consideradas en el Capítulo IV. Por tal motivo, han sido varios los inten-tos de desarrollar modelos que permitieran superar las contradicciones dela teoría lineal y poder efectuar un tratamiento satisfactorio de situacionesalejadas del equilibrio. De entre todos los modelos presentes en la biblio-grafía, se va a considerar únicamente el modelo de TermodinámicaExtendida (también conocido por sus siglas en inglés EIT1), ya que poseeuna fundamentación rigurosa, un formalismo sencillo y conduce a resulta-dos muy satisfactorios.

6.1. HIPÓTESIS Y DESARROLLO DEL MODELO EIT

El modelo de Termodinámica Extendida [Jou, Casas-Vázquez y Lebon(2001)], se introduce de acuerdo con las proposiciones siguientes:

1. Además de la energía interna, volumen, etc., se incorporan comovariables independientes los flujos disipativos existentes en el siste-ma (flujo de calor, transporte de materia, presión viscosa, etc.).

2. La evolución temporal de las variables clásicas viene dada por lasecuaciones de balance de materia, momento y energía interna.

3. Se postula la existencia de una entropía generalizada que es funciónanalítica de las variables clásicas (energía interna, volumen y com-posición) y del conjunto de flujos disipativos {Φι}. Esta funcións=s(u,v,c1,c2,...,Φ1,Φ2,...) denominada ecuación de Gibbs generalizada,

121

1 Corresponden a las palabras inglesas Extended Irreversible Thermodynamics.

debe ser aditiva, convexa2 y garantizar que la producción de entropíaσ sea localmente positiva.

4. El flujo de entropía J S no consta sólo del término T–1q (siendo q elflujo de calor y T la temperatura), sino que depende de los demás flu-jos existentes en el sistema. Puesto que el flujo de entropía es decarácter vectorial, su expresión formal ha de construirse combinan-do los flujos de distintos órdenes tensoriales de tal modo que el resul-tado sea un vector.

5. Al expresar de forma conjunta la ecuación de Gibbs generalizada, lasecuaciones de balance y la expresión de J S, se puede escribir la pro-ducción de entropía como suma de productos de flujo por una fuer-za asociada (σ=Φ1X1+Φ2X2+...) .

Para exponer con algo más de detalle el método de trabajo propio de laTermodinámica Extendida, va a considerarse un sistema constituido poruna especie (componente 1) que actúa como soluto y otra (componente 2)que lo hace como disolvente, teniendo en cuenta el efecto de la presión vis-cosa Pν y la existencia del flujo de difusión de soluto J [Casas-Vázquez,Criado-Sancho y Jou (2002)]. En estas circunstancias la ecuación de Gibbses una función analítica del tipo s=s(u,ν,c1, J, Pv), siendo c1 la fracción mási-ca de soluto, y la expresión diferencial de la entropía por unidad de masaviene dada por

(6.1)

donde u es la energía interna específica , volumen específico (definidocomo inverso de la densidad = 1/ρ) y el potencial químico se ha definidocomo μ = μ1– μ2. Con el fin de no complicar excesivamente el formalismo, seha omitido la dependencia respecto del flujo de calor q, lo cual implica quese está considerando un sistema en el que los efectos más importantes sonel transporte de materia y la deformación (caso típico de una disolución depolímero sometida a un gradiente de velocidades).

vv

d d d d d ds T u T P T c v v= + − − ⋅ −− − −1 1 11 1 2v v vμ α αJ J P P:

122


2 Los conceptos convexo y cóncavo no siempre se corresponden en español y en inglés; para evitarconfusiones, el término que aquí se utiliza hace referencia a una función que siempre permanece «pordebajo» de sus líneas tangentes.

Los tres primeros sumandos del miembro de la derecha de la igualdad(6.1) coinciden con la ecuación de Gibbs en condiciones de equilibrio yponen de manifiesto la dependencia funcional respecto de las variables deestado energía interna, volumen y composición; asimismo, de acuerdo conel modelo EIT, se añaden como variables independientes los flujos J y Pv,lo cual exige introducir las nuevas funciones α1 y α2 cuya expresión explí-cita y significado se establecen más adelante. También conviene hacer unbreve comentario acerca de la inclusión de la temperatura T como varia-ble, ya que en rigor debería introducirse una temperatura de no equilibrioθ en lugar de T; sin embargo, para simplifica la exposición se consideraráque θ ≡ T y se remite al lector interesado en el tema a referencias másespecializadas [Jou, Casas-Vázquez y Lebon (2001)]; [Casas-Vázquez yJou (2003)], [Jou, Criado-Sancho y Casas-Vázquez (2005); Criado-Sancho, Jouy Casas-Vázquez (2006)].

Asimismo, en el modelo EIT se considera que el flujo de entropía JS nodepende sólo del flujo de calor q, sino de éste y de la contribución de losdemás flujos existentes en el sistema, lo que en el caso que nos ocupa con-duce a

(6.2)

Sin embargo, para ser coherente con el criterio seguido al escribir (6.1),se desprecia el acoplamiento entre flujo de calor y presión viscosa, lo cualimplica ignorar la contribución Pv· q al flujo de entropía y, en consecuencia,J S viene dado por

(6.2a)

expresión en la que se introduce el coeficiente de acoplamiento ξ cuyo sig-nificado se determinará junto con el de α1 y α2.

6.1.1. Evolución temporal de las variables clásicas

De acuerdo con lo expuesto en el Capítulo IV, las ecuaciones de balancede materia, energía interna y entropía vienen dadas por

(6.3)ρ �v = ∇ ⋅ v

J q J JS vT T= − + ⋅− −1 1μ ξP

J q J J qS v vT T= − + ⋅ + ⋅− −1 1μ ξ ϖP P

123

EL MODELO DE TERMODINÁMICA EXTENDIDA

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Nuevamenente, se procede a descomponer el tensor presión de acuerdocon las igualdades (3.83) y (4.44), es decir

(6.7)

siendo I el tensor unidad. Así, resulta inmediato comprobar que se verifica

(6.8)

y el balance de energía interna adopta la forma

(6.5a)

6.1.2. Tasa de producción de entropía

La variación temporal de entropía se deduce de forma inmediata a par-tir de la ecuación de Gibbs (6.1)

(6.9)

y al tener en cuenta (6.3), (6.4) y (6.5b), la ecuación (6.9) adopta la forma

(6.10)

que puede reordenarse del modo siguiente

(6.11)ρ μ α α� �s T T T P Tv= − ∇ ⋅ − ∇ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅ − ⋅ −− − − −1 1 1 11 2q v v J J JP P: vv v: �P

ρ

μ α

�s T P

T P T

v= −∇ ⋅ − ∇ ⋅( ) − ∇⎡⎣ ⎤⎦ +

+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ −

−

− −

1

1 1

q v v

v J

P :

11 2J J⋅ −� �α P Pv v:

ρ ρ ρ μρ α α� � � � ��s T u T P T c v v= + − − ⋅ −− − −1 1 11 1 2v J J P P:

ρ �u P v= −∇ ⋅ − ∇ ⋅( ) − ∇q v vP :

P Pv vI P P+( ) ∇ = ∇ ⋅( ) + ∇: :v v v

P I P= +P v

ρ σ�s S+ ∇ ⋅ =J

ρ �u = −∇ ⋅ − ∇q vP :

ρ �c1 = −∇ ⋅ J


124

Por otra parte, al recordar (6.2a) y hacer uso de la relación

(6.12)

la divergencia del flujo de entropía viene dada por

(6.13)

que sustituida en (6.6) y haciendo uso de (6.11) permite obtener el términode producción de entropía

(6.14)

6.2. FLUJOS, FUERZAS Y ECUACIONES CONSTITUTIVAS

La producción de entropía que acaba de deducirse posee la estructurade suma de los productos de cada flujo por una «fuerza» asociada con él; esdecir

(6.15)

donde los flujos se representan por los símbolos Φi, ΦΦi, ΦΦi, dependiendo deque sean escalares, vectores o tensores; análogamente, las fuerzas se deno-minan Xi, Xi, Xi, de acuerdo con su orden tensorial, de tal modo que en cadacaso se efectúa el producto adecuado para que σ sea un escalar.

Las ecuaciones constitutivas, es decir las relaciones funcionales entrecada una de las fuerzas y los diferentes flujos, pueden expresarse en laforma general

(6.16)

X Xi i i i i

i i i i i

i i i i i

=

==

⎧

⎨

( , , )

( , , )

( , , )

Φ

ΦΦ

ΦΦΦΦΦΦ

ΦΦ

ΦΦΦΦ

X X

X X

⎪⎪

⎩⎪

σ = + ⋅ +∑ ∑ ∑Φi i

i

i i

i

i i

i

X ΦΦ X ΦΦ : X

σ μ α ξ= ⋅ ∇ + ⋅ −∇( ) − + ∇ ⋅ ( )⎡⎣

⎤⎦ +

+ − ∇

− −

−

q J J

v

T T

T

v

v

1 11

1

� P

P : −− + ∇⎡⎣ ⎤⎦α ξ2�Pv J

∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ − ∇ ( ) ⋅ − ∇ ⋅ +

+ ⋅ ∇ ⋅ ( )− − − −J q q J J

J

S

v

T T T T1 1 1 1μ μ

ξP⎡⎡⎣

⎤⎦ + ∇ξPv : J

∇ ⋅ ⋅( ) = ⋅ ∇ ⋅ ( )⎡⎣

⎤⎦ + ∇ξ ξ ξP P Pv v vJ J J:


125

Para que exista coherencia con (6.15), las fuerzas asociadas con los flu-jos q, J y Pv considerados en (6.14) han de ser respectivamente

(6.17)

(6.18)

(6.19)

La expresión funcional más sencilla que puede adoptarse para una ecua-ción constitutiva se obtiene al establecer que la fuerza es proporcional a suflujo asociado; si se sigue este criterio para las fuerzas (6.17)-(6.19) y, unavez más, se desprecia el flujo de calor, es posible escribir

(6.20)

(6.21)

donde se han introducido los coeficientes fenomenológicos β1 y β2. Asimismo,ambas ecuaciones pueden reordenarse del modo siguiente

(6.20a)

(6.21a)

en la última de las cuales los símbolos V y (�J)S hacen referencia a laparte simétrica de los tensores �v y �J que, de acuerdo con (1.18), vienendados por

(6.22)

Nótese que (6.20a) y (6.21a) dan razón de cómo evolucionan los flujos Jy Pν en el transcurso el tiempo y, a este respecto, conviene resaltar su dife-rencia cualitativa con las ecuaciones de evolución de las variables«clásicas»(energía, densidad, momento, etc.) dadas por los balances (6.3)-(6.5), quehan sido utilizadas como punto de partida para llegar a (6.20a) y (6.21a).

V = ∇ + ∇⎡⎣ ⎤⎦ ∇( ) = ∇ + ∇12

12

v v J J J( ) ( )T S TT⎡⎣ ⎤⎦

α β ξ2 21�P P V +v v S

T+ = − ∇( )− J

α β μ ξ1 11�J J+ = −∇ ( ) + ∇ ⋅ ( )−T vP

− ∇ − + ∇ =−T v v12 2v Jα ξ β�P P

−∇ ( ) − + ∇ ⋅ ( ) =−T v11 1μ α ξ β�J JP

X P= − ∇ − + ∇−T v12v Jα ξ�

X J = −∇( ) − + ∇ ⋅ ( )−T v11μ α ξ�J P

X qq = ⋅ ∇ −T 1


126

6.2.1. Determinación de los parámetros α1,α2, β1 y β2

Un caso físico sumamente sencillo es el que brinda un sistema isotermo,en estado estacionario (lo cual implica que J

·y P

· v son nulos) y sin acopla-mientos entre flujos [condición equivalente a suponer ξ= 0 en (6.20a) y(6.21a)]; en tales condiciones, las ecuaciones fenomenológicas (6.20a) y(6.21a) se particularizan del modo siguiente

(6.23)

(6.24)

que pueden compararse con la ley de Fick

(6.25)

y con la ley de Newton de la viscosidad3

(6.26)

De tales comparaciones se concluye que

(6.27)

donde D�

se relaciona con el coeficiente de difusión ordinario D de acuerdocon

(6.28)�D Dc

=∂∂

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

−μ

1

1

β βη1 2

1 12

= =�DT T

P Vv = −2η

J = − ∇�D μ

P Vv

T= −

1

2β

J = − ∇1

1βμ

T


127

3 Para simplificar los cálculos se utiliza esta expresión en lugar de (4.59).

El resultado puesto de manifiesto en (6.27) puede incluirse en las expre-siones generales (6.20a) y (6.21a), de tal modo que las ecuaciones fenome-nológicas pueden escribirse

(6.29)

(6.30)

donde τ1 y τ2 son tiempos de relajación relacionados con los parámetros α1,α2, β1 y β2, y del modelo EIT a través de los cocientes

(6.31)

Con relación a los tiempos de relajación conviene resaltar su carácter demagnitud mensurable; en tal sentido puede recordarse la ecuación deMaxwell-Cattaneo

(6.32)

que constituye una herramienta teórica sumamente útil para el estudio de losfluidos viscoelásticos4, tal y como se pone de manifiesto en el apartado 6.5.

Volviendo de nuevo a (6.30), conviene resaltar que algunos autores[Yuan (1999); Lu, Olmsted y Ball (2000)] han considerado la expresión5

(6.33)

para poner de manifiesto la insuficiencia del modelo de equilibrio local enel estudio de bandas en disoluciones poliméricas sometidas a un gradientede velocidad. Por consiguiente, α puede considerarse como parámetro quese determina experimentalmente.

τ μ ξ11� � �J J+ = − ∇ ( ) + ∇ ⋅ ( )−DT T DT vP

τ η α222�P P V + Pv v v+ = − ∇

τ η2 2�P P Vv v+ = −

τ α βi i i i= =( , )1 2

τ η η ξ2 2 2�P P V +v v ST+ = − ∇( )J


128

4 En 1948 Cattaneo propuso la ecuación τ q.

+ q = λ�� para estudiar situaciones experimentales enlas cuales la transmisión de calor no era bien interpretada por la ley de Fourier. Observése la analogíacon (6.32).

5 En las referencias citadas se emplean derivadas objetivas (por ejemplo, derivadas convectivas, yasean covariantes o contravariantes, tales como las estudiadas en el Capítulo III), en lugar de las deriva-das temporales ordinarias. En el apartado 6.5, se tendrá ocasión de hacer uso de una de tales derivadas.

Si se supone que el tiempo de relajación del flujo de difusión es muchomás corto que el correspondiente a la presión viscosa (τ2>>τ1�0), el sistemaes isotermo y los coeficientes D

�y ξ permanecen constantes, la expresión

conjunta de (6.29) (6.30) permite escribir

(6.34)

Cuando el valor del potencial químico sea homogéneo en todo el siste-ma, la ecuación anterior se convierte en (6.33), verificándose la relación

(6.35)

que permite expresar el parámetro ξ en términos de magnitudes mensurables.

6.3. VARIABLES DE ESTADO FUERA DE EQUILIBRIO

El tratamiento efectuado en el apartado anterior ha permitido establecerde forma precisa el significado de todos los parámetros que intervienen en(6.1), de tal modo que la entropía inherente al modelo EIT viene dada por

(6.36)

El hecho de aceptar la existencia de una función entropía fuera del equi-librio deja abierta la posibilidad de definir otras funciones termodinámicasfuera de equilibrio [Jou, Casas-Vázquez y Criado-Sancho (2000)]. Para sim-plificar la exposición posterior, va a estudiarse una situación más particu-lar que la considerada en (6.36), fijando la atención en un sistema en el cualse ignoran los flujos de materia, para el cual la entropía de no equilibrioadopta la forma

(6.37)d d d2

dS T U T P VT

v v= + −− −1 1 τη

P P:

d d d d d2

ds T u T P T cDT T

v= + − − ⋅ −− − −1 1 11

1 2v v vμ

μτ τη� J J P P: vv

α η ξ= 2 2 2T D�

τ η η ξ μ ξ

η2 2 2

2 2

� � �P P V + P

V

v v vT D DT+ = − ∇ − ∇ + ∇ ⋅ ( )⎡⎣

⎤⎦ =

= − − ηη ξ μ η ξT D T D v� �∇∇ + ∇2 2 2 2P


129

donde en lugar de valores específicos se consideran los valores totales de laentropía, energía interna y volumen (para ello se ha tenido en cuenta que lamasa del sistema viene dada por el cociente V/ ).

La ecuación (6.37) puede integrarse entre los valores de equilibrio de lasvariables independientes (correspondientes a la anulación de Pv) y los queéstas poseen una vez apartado el sistema de tal situación; así se obtiene

(6.38)

que, de forma más compacta, pude escribirse

(6.39)

donde la contribución de equilibrio Seq viene dada por

(6.40)

También es posible generalizar la función de Gibbs para situaciones deno equilibrio. Aunque la transformación de Legendre para situaciones fuerade equilibrio no es un problema trivial [Casas-Vázquez, del Castillo, Jou yCriado-Sancho (2001)], puede recordarse la definición G=U–TS+PV paraintroducir la función de Gibbs de acuerdo con el modelo EIT del modo mássencillo posible; al sustituir en ella la expresión (6.38) de la entropía, se llegaal resultado

(6.41)

donde la contribución de equilibrio Geq viene dada por

(6.42)

Continuando con la generalización de funciones termodinámicas fuerade equilibrio, merece especial énfasis el caso del potencial químico, cuyadefinición es

v

G U TS U V PVeq eq eq eq eq= − +( , ) ( )

G U V Gveq

v v( , , ) :P P P= +τ

η4

S S U V T U T U T PV T PVeq eq eq eq eq= + − + −− − − −( , ) ( )1 1 1 1

S U V Sveq

v v( , , ) :P P P= −τ

η4

S U V S U V T U T PV T Uveq eq

v veq( , , ) ( , ) :P P P= + + − −− − −1 1 1τ

η4−− −T PV eq

1( )


130

(6.43)

donde con el símbolo Z se indica una magnitud de no equilibrio (no res-tringida a un orden tensorial dado). Por coherencia con la expresión (6.41),parece razonable definir el potencial químico como

(6.43a)

Los criterios de estabilidad considerados en Termodinámica [Criado-Sancho y Casas-Vázquez (2004)] pueden generalizarse en el marco de losprocesos irreversibles mediante la introducción de un potencial químico deno equilibrio. A título de ejemplo, puede estudiarse el caso de la coexisten-cia de dos fases en presencia de efectos asociados a Pv; así, denotando elnúmero de moles del componente i en la fase γ por ni

(γ) y el correspondientepotencial químico por μi

(γ)se verifican las relaciones

(6.44)

la segunda de las cuales se deduce de suponer que el sistema es cerrado.

Por consiguiente, la variación temporal de la función de Gibbs y de lacomposición de cada fase vienen dadas por

(6.45)

que permite establecer para G la siguiente ecuación de balance

(6.46)�G Ji i i= −( )μ μα β( ) ( )

dd

d

d

d

dd

d

d

d

G

t

n

t

n

tn

t

n

t

ii

ii

i i

= +

= +

μ μαα

ββ

α

( )( )

( )( )

( ) dd

d

n

ti( )β

=

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪ 0

G n n

n n n ni i i i

i i i i

= +

= + =

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) (

α α β β

α β

μ μ

const.))

⎧⎨⎪

⎩⎪

μii T P n

Gn

kv

=∂∂

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟, , ,P

μii T P n Z

Gn

k

=∂∂

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟, , ,


131

donde se define Ji ≡ n· i(α) como flujo de materia, de tal modo que μi

(α)– μi(β)

puede interpretarse como la fuerza conjugada a dicho flujo. Por otra parte,tal y como se estableció anteriormente, la ecuación constitutiva más senci-lla que puede proponerse en el caso que nos ocupa viene dada por

(6.47)

siendo L>0 el correspondiente coeficiente fenomenológico.

En el caso estacionario (n·i(α) = 0) resulta trivial la anulación del flujo Ji y,

de acuerdo con (6.47), ha de satisfacerse la condición

(6.48)

que constituye la generalización de la condición obtenida en Termodinámicaa partir del carácter de extremo de la función de Gibbs en el equilibrio.

6.4. LA TEORÍA DE LA INFORMACIÓN COMO HERRAMIENTA

La Teoría de la Información [Jaynes (1963); Levine y Tribus, M. (1979);Luzzi et al (2000); Jou, Casas-Vázquez y Lebon (2001)] proporciona unajustificación basada en argumentos de carácter mecano-estadísticos(microscópicos) que avala la existencia de la ecuación de Gibbs propuestapor el modelo EIT.

Por otra parte, la propia EIT permite identificar los multiplicadores deLagrange que intervienen en el formalismo de la Teoría de la Informacióny, en todo caso, esta última constituye una herramienta que se adapta biena la metodología EIT y permite deducir resultados y conclusiones intere-santes. En la somera introducción que se efectúa a continuación se sigue loexpuesto en [Jou, Casas-Vázquez y Lebon (2001)].

El punto de partida del la Teoría de la Información es estrictamentemecano-estadístico, ya que considera un sistema constituido por N partí-culas cuyo estado viene definido por el conjunto de posiciones y momentosde cada una de las partículas � = {r1,..., rN, p1 ,..., pN}. Ahora bien, no todoslos posibles conjuntos de valores de posición y momento son igualmente

μ μα βi

vi

vT T( ) ( )( , ) ( , )P P=

J Li i i= − −( )μ μα β( ) ( )


132

probables y cada uno de ellos está asociado con una función de densidad deprobabilidad ƒ(� ), aunque por comodidad se hará referencia a ella con eltérmino probabilidad. Asimismo, para que la función ƒ(� ) posea el carácterde «probabilidad» debe satisfacer la condición de normalización

(6.49)

donde d� = dr1,...drNdp1,...dpN es el elemento de volumen en el espacio defase.

Los parámetros macroscópicos de un sistema pueden considerarsecomo resultado de promediar el comportamiento microscópico; así, paracada conjunto � la energía del sistema viene dada por el correspondientehamiltoniano H(�), aunque a nivel macroscópico el observable energíaviene dado por

(6.50)

resultado que puede generalizarse para las m variables extensivas que inter-vienen en una descripción termodinámica

(6.51)

Sin embargo, para que todo lo expuesto sea algo más que mero for-malismo, es preciso conocer la expresión explícita de la función ƒ(�). LaTeoría de la Información permite conseguir ese objetivo partiendo de dospremisas:

1. La expresión de la entropía prevista por argumentos de carácter meca-no-estadístico

(6.52)

2. El carácter de máximo que posee la entropía.

S kh N

f f1

!( )ln ( )dN3B ∫ Γ Γ Γ= −

Ah N

A f i mi N i= =∫11

3 !( ) ( ) ( ,..., )Γ Γ Γd

U Hh N

H fN

= = ∫13 !

( ) ( )Γ Γ Γd

11

3h Nf

N !( )Γ Γd∫ =


133

Resulta inmediato que el problema planteado no es otro que determinarqué función ƒ(� ) hace que la entropía definida por (6.52) alcance un valorextremo, sujeto a las condiciones de ligadura

(6.53)

Por consiguiente, se está ante un problema de extremos condicionados,para cuya resolución se recurre al método de Lagrange. Como es bien sabi-do, el método se reduce, en definitiva, a calcular los extremos «ordinarios»de una nueva función construida a partir de la función inicial y de las con-diciones de ligadura, incorporando unos determinados parámetros deno-minados multiplicadores de Lagrange.

En el caso que nos ocupa, debe determinarse el máximo de la función

(6.54)

Teniendo en cuenta que tanto los multiplicadores como los observables�Ai� no son función de ƒ, se anulan sus derivadas y, por tanto, pueden igno-rarse en (6.54); por otra parte, sustituyendo S por el segundo miembro de(6.52) he introduciendo los nuevos multiplicadores 0

0 = 0kB y i0 = ikB, en

lugar de 0 puede considerarse la nueva función

(6.55)

Nótese que en la última ecuación se ha introducido la notación Ai y i

que indica que tanto los observables como los multiplicadores no son nece-sariamente escalares y pueden ser vectores o tensores; por ello, se utiliza el

f f f fln di i

i

m

0

1

� �∑∫Φ λ Γλλ= + +⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥=

A

Φ0 00

3

0

3 00

1

= − − + +∫ ∫∑=

Sh N

fh N

A fN

iN i

i

m

λ λλ λ

! !d dΓ Γ ii i

i

m

A0

1=∑

11 0

10

3

3

h Nf

h NA f A i

N

N i i

!( )

!( ) ( ) (

Γ Γ

Γ Γ Γ

d

d

∫∫

− =

− = = 11,..., )m

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪


134

símbolo � que indica producto escalar en el caso de vectores y doble con-tracción cuando intervengan tensores.

Si con el operador ƒ se indica la operación derivada funcional, la pro-babilidad que hace máxima la entropía es aquella para la cual se verifica

(6.56)

de donde se llega al resultado

(6.57)

donde Z es la función de partición definida como

(6.58)

Nótese que la derivada de Z satisface la relación

(6.59)

de la que se siguen las igualdades

(6.60)

Cuando se sustituye (6.57) en (6.52), es posible escribir

ZZ

d lnln

d di

i

i

m

i i

i

m

1 1

�∑ ∑λλλλ λλ=

∂∂

= −= =

A

Zlni

iλλ= −

∂∂

A

Zh N

1!

exp dN i i

i

m

3

1

�∑∫ Γλλ= −⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥=

A

fZ1

exp i i

i

m

1

�∑λλ= −⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥=

A

ff f f fln 0i i

i

m

0

1

�∑λ λλδδ

+ +⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

==

A


135

(6.61)

y al diferenciar la expresión anterior y hacer uso de (6.60) se llega alresultado

(6.62)

Con respecto a esta última expresión de la entropía, conviene resaltarque posee la misma estructura que la función de Gibbs que postula la EIT,por ejemplo (6.1) y (6.36); en esta última el conjunto de variables �Ai� vienedado por {u,v,c1, J, dPv}, siendo los correspondientes multiplicadores deLagrange

(6.63)

que están asociados con las variables termodinámicas que intervienen en ladescripción de equilibrio, en tanto que

(6.64)

lo están con las nuevas variables que introduce el modelo EIT.

Por otra parte, la Teoría de la Información permite abordar el trata-miento de las fluctuaciones definidas como diferencia entre el valormicroscópico de una propiedad y su promedio a escala macroscópica; esdecir:

(6.65)

Para ello, se derivan con respecto a λj los dos miembros de (6.65) y se

hace uso de (6.51) y (6.57), lo que da lugar a la expresión

δδA A Ai i i= −

S k ZB i

i

m

i= +

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥=

∑ln λλ �1

A

λλJ = − = −v vμτ τ

η1 2

2k DT TB

vv� J λλ

PP

λ λ λ μμu

B B Bk T

P

k T k T= = =

1v

d dS kB i

i

m

i==

∑λλ �1

A


136

(6.66)

que tras considerar de nuevo (6.59), da lugar al resultado

(6.67)

Si se tiene en cuenta la fluctuación definida por (6.65), resulta inmediato

(6.68)

de tal modo que

(6.69)

Este último resultado puede expresarse en términos de las derivadas dela entropía; para ello, se parte de la ecuación (6.62) de la cual resulta inme-diato colegir

(6.70)

Ahora bien, de (6.59) se sigue

(6.71)

que expresada de forma conjunta con (6.69) y (6.70) conduce al resultado

∂

∂=

∂∂ ∂

A j

i i j

Zλλ λλ λλ

2 ln

∂∂ ∂

=∂

∂

2Sk

i j

Bi

jA A A

λλ

∂∂ ∂

=2 ln Z

i ii jλλ λλ

δδ δδA A�

δδ δδA A A A A A A A A Ai j i i j j i j i j� � � �= −⎡⎣ ⎤⎦ −⎡⎣

⎤⎦ = −

∂∂ ∂

= −2 ln Z

i ii j i jλλ λλ

A A A A�

∂∂ ∂

= −∂

∂= −

∂∂

−2

3

1 1ln

!( )exp

Z

h N Zi i

i

jN

ji i iλλ λλ λλ λλ

λλA

A AΓ �

ii

m

Nj

ih N

Zf

=∑∫

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

=

= − −∂

∂+

1

3

1

dΓ

Γ Γ!

ln( ) ( )

λλA Aii j f( ) ( ) ( )Γ Γ Γ Γ�A

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥∫ d


137

(6.72)

Por lo que se refiere a casos concretos en que se recurre a la Teoría dela Información en el contexto de la EIT, puede consultarse [Casas-Vázquezy Jou (1997)], [Jou, Casas-Vázquez y Criado-Sancho (2000)], [Jou, Casas-Vázquez y Lebon (2001)].

6.5. ALGUNAS EXPRESIONES DEL TENSOR PRESIÓN VISCOSADEDUCIDAS A PARTIR DEL MODELO EIT

6.5.1. Modelo de Maxwell

Nuevamente se considera el caso del fluido no newtoniano que se men-cionó en el apartado 3.5; se trata de un sistema sometido a un gradiente develocidad caracterizado por la tasa de cizalla γ· = ∂v1/∂x2, tal como se esque-matiza en la Figura 3.2. En tales circunstancias, los tensores �v y � vienendados por

(6.73)

de tal modo que, al tener en cuenta (6.22), la ecuación (6.32) adopta laforma

(6.74)

en la que se ha introducido el nuevo tensor γγ· = 2V.

Desde un punto de vista general, debería considerarse la viscosidadcomo función de γ·. La existencia de la dependencia funcional η = η(γ· ) cons-tituye un típico efecto no-newtoniano6 [de hecho η (γ· ) se denomina visco-

τ η2

ddt

v vP P+ == −− γγ�

δδ δδA AA A

i jB i j

k

S� = −

∂∂ ∂

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

−

1 21

∇ =⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=v0 0

0 0 00 0 0

12

0 0

0 0

0 0

� �

�γ γ

γV

00

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟


138

6 Para muchos sistemas (por ejemplo las disoluciones de polímeros) al aumentar γ· · disminuye elvalor de la viscosidad, efecto que se denomina shear thinnnig en la bibliografía en lengua inglesa.

sidad no-newtoniana], aunque para valores pequeños de γ· la dependenciade η con respecto de γ· es poco acusada y, por tal motivo, suele considerar-se a la viscosidad como independiente de la tasa de cizalla.

Para proceder a la integración de (6.74), se comienza por integrar laecuación diferencial homogénea

(6.75)

lo cual conduce al resultado

(6.76)

La segunda etapa consiste en convertir la «constante» de integración �en una función � = �(t) y sustituir Pv en la ecuación completa (6.74); así seobtiene

(6.77)

donde K constituye una «verdadera» constante de integración. Por consi-guiente, al incorporar en (6.76) la expresión de �(t) que acaba de obtener-se, se llega al resultado

(6.78)

Ahora bien, hay que tener presente que para que Pv sea finita cuandot=–�, es condición necesaria que se anule K. Por consiguiente, el tensor pre-sión viscosa puede escribirse en la forma

(6.79)Pv

t

t t t t= − − − ′⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪′ ′

−∞∫ ητ

τ2

2exp[ ( ) ] ( )�γγ d

P Kv

t

t t t t= − − ′ ′ ′ + −−∞∫η

ττ τ

22 2

exp( / ) ( )exp( / ) exp(�γγ d tt / )τ2

ΘΘ γγ( ) ( )exp( / )t t t tt

= − ′ ′ ′ +−∞∫η

ττ

22

� d K

Pv t= −ΘΘexp( / )τ 2

τ 2 0ddt

v vP P+ =


139

La expresión de Pv que acaba de deducirse está acuerdo con lo que seconoce como modelo de Maxwell de la viscoelasticidad. Conviene men-cionar que los modelos viscoelásticos han de dar razón de que el fluidoresponde como newtoniano a los estímulos lentos, en tanto que frente alos rápidos (tiempo inferior al tiempo de relajación τ2) se comportacomo un sólido elástico. Por otra parte, el modelo de Maxwell puedegeneralizarse considerando más de un tiempo de relajación y constituyeun caso particular de los modelos viscoelásticos lineales, en los que eltensor Pv viene dado por una expresión del tipo [Bird, Armstrong yHassager (1977)].

(6.80)

donde G(t–t’) recibe el nombre de módulo de relajación.

Conviene resaltar que la estructura de las ecuaciones (6.79) y (6.80) estal que el integrando consta de dos términos, uno de ellos G (t–t’) depen-de de la naturaleza del fluido (a través de la viscosidad y el tiempo de rela-jación), en tanto que el otro γγ·

(t’) depende del tipo de flujo a que estásometido. Nótese asimismo que el término {...} de la ecuación (6.79) y engeneral G(t–t’) es una función positiva, monótona decreciente que seanula para tiempo infinito; por tal motivo, se dice que aquellos fluidoscuyo comportamiento modeliza son sistemas viscoelásticos de «memoriacorta».

La ecuación (6.74) permite concluir de forma inmediata que en régimenestacionario el tensor Pv viene dado por

(6.81)

Al tener en cuenta (3.96), se concluye que el modelo de Maxwell predi-ce que la viscosidad no depende de la tasa de cizalla y que las presiones nor-males son nulas.

Pv =−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

0 0

0 0

0 0 0

ηγηγ

�

�

Pv

t

G t t t t= − − ′ ′ ′−∞∫ ( ) ( )�γγ d


140

6.5.2. Modelo de Maxwell en términos de derivadas convectivas7

Al final del apartado 6.3 se hizo mención a la posibilidad de escribir lasecuaciones de evolución de Pv no en términos de derivadas temporales ordi-narias, sino de algunas de las definidas en el Capítulo III. Así, en el caso desustituir P

· v por la derivada convectiva contravariante, la ecuación deMaxwell-Cattaneo (6.32) adopta la forma

(6.82)

donde, de acuerdo con (3.58) la derivada Pv(1) viene dada por

(6.83)

Si se considera el mismo sistema estudiado en el apartado anterior, sonvalidas las igualdades (6.73) y la ecuación de evolución (6.82) puede escri-birse en la forma8

(6.84)

Cuando se considera estado estacionario, se anula el término de laizquierda de la igualdad anterior y resulta un sencillo ejercicio algebraicollegar al resultado

ddt

P P P P

v

v v v v

P =

− − −− − −2 12 21

11 22 21

12 21� � � �γ τ γ τ ητ γ γγ τ

γ τ ητ γ τ

P P

P P P

v v

v v v

23 21

13

22 21

12 21

21

22

−

− − −

−

− − −� � −−

− − −

⎛

⎝

⎜⎜

−

− − −

τ

γ τ τ τ

21

23

23 21

13 21

23 21

33

P

P P P P

v

v v v v�

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

P P P P( ) ( )1v v T v v

t= − ∇ ⋅ + ⋅ ∇⎡⎣ ⎤⎦

dd

v v

τ η2 1 2P P V( )v v+ = −


141

7 El modelo que se estudia en este apartado se denomina upper-convected Maxwell model en labibliografía en lengua inglesa.

8 Se sigue manteniendo la hipótesis de que el tensor presión es simétrico.

(6.85)

que pone de manifiesto que en el caso que se está considerando las funcio-nes materiales introducidas en (3.96) vienen dadas por

(6.86)

De esto último se colige que la viscosidad es independiente de γ· y el pri-mer coeficiente de presión normal Ψ1= 2τ2 η es diferente cero (aunque inde-pendiente de γ· ); sin embargo, Ψ2 es siempre nulo en este modelo.

Pv =

− −

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

2 0

0 0

0 0 0

22τ ηγ ηγ

ηγ

� �

�

P

P P

P P

v

v v

v v

12

11 22 12

22

22 33

2

= −

− = − = −

−

ηγ

γ γ τ ηγ

�

� � �Ψ ( )

== − =

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪ Ψ 2

2 0( )� �γ γ


142

REFERENCIAS

ARIS, R.: Vectors, Tensors, and the Basic Equations of Fluid Mechanics, Dover,Nueva York (1989).

BIRD, R. B.; ARMSTRONG R. C. y HASSAGER O.: Dynamics of Polymeric Liquids.(Volumen 1): Fluid Mechanics. Wiley, Nueva York (1977).

BIRD, R. B.; CURTISS C. F.; ARMSTRONG R. C. y HASSAGER O.: Dynamics of PolymericLiquids. (Volume 2): Kinetic Theory, Wiley, Nueva York (1977).

CASAS-VÁZQUEZ, J. y JOU, D.: Brazilian Journal of Physics, 27(4), 547, diciembre(1997).

CASAS-VÁZQUEZ, J.; DEL CASTILLO, L. F.; JOU, D. y CRIADO-SANCHO, M.: Phys Rev. E, 63057101-1, (2001).

CASAS-VÁZQUEZ, J.; CRIADO-SANCHO, M. y JOU, D.: Physica A, 311, 353 (2002).

CASAS-VÁZQUEZ, J. y JOU, D.: Rep. Prog. Phys. 66, 1937 (2003).

CRIADO-SANCHO, M. y CASAS-VÁZQUEZ, J.: Termodinámica Química y de ProcesosIrreversibles (2.ª ed.), Pearson, Madrid (2004).

CRIADO-SANCHO, M.; JOU, D. y CASAS-VÁZQUEZ, J.: Phys. Lett. A, 350, 339 (2006).

DOI, M. y EDWARDS, S. F.: The Theory of Polymer Dynamics, Clarendon Press, Oxford(1986).

DE GROOT, S. R. y MAZUR, P.: Non-Equilibium Thermodynamics, Dover, Nueva York(1984).

GYARMATI, I.: Non-Equilibium Thermodynamics, Springer, Berlín (1970).

JAYNES, E. T.: Statistical Physics (Ed. Ford, W. K.), Benjamin, Nueva York (1963).

JOU, D.; CASAS-VÁZQUEZ, J. y CRIADO-SANCHO, M.: Thermodynamics of Fluids underFlow, Springer, Berlín (2001).

JOU, D.; CASAS-VÁZQUEZ, J. y LEBON, G.: Extended Irreversible Thermodynamics (3.ª ed.)Springer, Berlín (2001).

143

144


JOU, D.; CRIADO-SANCHO, M. y CASAS-VÁZQUEZ, J.: Physica A, 358, 49 (2005).

KREYSZIG, E.: Advanced Engineering Mathematics, (7.ª Ed.), John Wiley, Nueva York(1993).

LANDAU, L. y LIFSHITZ, E. M.: Mecánica de Fluidos, Reverté, Barcelona (1986).

LAX, M.: Rev. Mod. Phys., 32, 25 (1960).

LAX, M.: Rev. Mod. Phys., 38, 541 (1966).

LEBON, G.; JOU, D. y CASAS-VÁZQUEZ, J.: Understanding Non-equilibriumThermodynamics, Springer, Berlín (2008).

LEVINE, R. D. y TRIBUS, M. (editores): The Maximum Entropy Formalism, MIT Press,Cambridge, Mass. (1979).

LICHNEROWICZ, A.: Èlèments de Calcul Tensoriel, Armand Colin, París (1950).

LICHNEROWICZ, A.: Elementos de Cálculo Tensorial, Aguilar, Madrid (1965).

LU, C. Y. D.; OLMSTED, P. D. y Ball, R. C., Phys Rev. Lett. 84, 642 (2000).

LUZZI, R.; VASCONCELLOS, A. R. y RAMOS, J. G.: Statistical Foundations of IrreversibleThermodynamics, Teubner Verlag, Berlín (2000).

MATOLCSI, T. y VÁN, P.: Phys. Lett. A, 353, 109 (2006).

NOLL, W.: Arch. Rational Mech. Anal., 2, 197 (1958).

ONSAGER, L.: Phys. Rev., 37, 405 (1931); 38, 2265 (1931).

RUÍZ-TOLOSA, J. R. y CASTILLO, E.: FromVectors to Tensors, Springer, Berlín (2005).

SOKOLNIKOFF , I. S.: Tensor analysis, John Wiley, Nueva York (1964).

UHLENBECK, G. E. y ORSTEIN, L. S.: Phys. Rev., 36, 823 (1930).

VENKATALAXMI, A.: SRI PADMAVATI, B. y AMARANATH, T.: Fluid Dynamics Research, 39,595 (2007).

YAMAKAWA, H.: Modern Theory of Polymer Solutions, Harper & Row, Nueva York(1971).

YUAN, X. F., Europhys. Lett., 46, 542 (1999).

herramientas y modelos de la termodinámica de sistemas continuo

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