¿Hay matemáticas en las pajaritas de papel?

José Ignacio Royo Prieto

Universidad del País Vasco – Euskal Herriko Unibertsitatea

Matematika Eguneroko Bizimoduan

Bilbao, 22 de noviembre de 2007

Papiroflexia: pajaritas… ¡y mucho más!

SUPERLÓPEZ

Reglas de la Papiroflexia (ortodoxa)

• Se utiliza un único trozo de papel cuadrado;

• Sólo se puede plegar el papel;

• No se pueden realizar cortes;

• No se puede usar pegamento.

Modelos tradicionales

Ilustración de “A través del Espejo”, de Lewis CarrolBarco de papel

León, leona y cría (David Brill,

Lancaster, Inglaterra)

Mantis religiosa (Ronald Koh, Singapur)

Bruja (José Aníbal Voyer Iniesta)

Rosa (Toshikazu Kawasaki, Japón)

Insectos (Robert Lang, California, EEUU)

Leonardo (Saadya Sternberg, Breesheva, Israel)

Clarinetista

MÚSICOS (Eric Joisel, París, Francia)

¡Hoy es Santa Cecilia!

Bandoneón

Trombón

Percusionista

Flautista

Saxofonista

Violinista

Phoenix

(Satoshi Kamiya,

Nagoya, Japón)

Dragón (Shatoshi Kamiya)

Stegosaurus (Fumiaki Kawahata)

Jedi Master Yoda

(Fumiaki Kawahata)

¿Error de diseño?

¡Diseño correcto!

May the Force be with you…

Máscara de Guy Fawkes y Rosa

(Michael Chan)

Tomoko Fuse

Pájaro aleteador

Origami

Ori = Doblar

Kami= Papel

“Un mago convierte hojas de papel en pájaros”

Grabado en madera japonés de 1818.

“Senbazuru Orikata”

Japón, 1789

Miguel de Unamuno (Zuloaga, 1925)

Escudo del Colegio Mayor Miguel de

Unamuno (Bilbao)

Miguel de Unamuno (Solana, 1933)

Akira Yoshizawa

(1911-2005)

Akira Yoshizawa

Elefantes (Akira Yoshizawa)

Avispa (Kamiya)

Avispa (Kamiya)

Avispa (Kamiya)

Avispa (Kamiya)

• Diseño de figuras con métodos matemáticos

• Figuras geométricas de papiroflexia

• Herramienta pedagógica

• Problemas clásicos

• …

MatemáticasPapiroflexia

Métodos matemáticos de diseño

Proceso de creación

Caballo(Saadya Sternberg)

Proyección sobre la base de un modelo plano

Mapa de cicatrices y base correspondiente

La sabiduría popular resuelve el problema de Kepler

Foto:Ana

Raposo(Lugo)

Empaquetado de círculos (circle packing)

Langosta (R. Lang)

Treemaker de Robert Lang

Teorema del árbol de Lang

Figura diseñada con Treemaker

Origag

(Roberto Morassi, 1984)

Teselación hexagonal

(Joel Cooper)

TESELACIONES

Nabucodonosor

(Joel Cooper)

Rostro con barba

(Joel Cooper)

Rostro sonriente (Joel Cooper)

rostros

(Joel Cooper)

Poliedros

• Definición: conjunto conexo de R3 formado por polígonos (caras) que cumplen:

• cada lado de cada cara es compartido con otra cara;

• en cada vértice hay un circuito cerrado de polígonos.

Sólidos Platónicos- Definición: Un poliedro convexo es regular si:

-sus caras son polígonos regulares;

-en cada vértice concurre el mismo número de aristas.

-(Teeteto, 425-379 a.C.): Tan sólo existen cinco, y son:

Cubo OctaedroTetraedro Dodecaedro Icosaedro

Pirámide de Micerinos (Gizeh, Egipto)

Icosaedro truncado, cuestión de estado.

El balón de la Champions

• Pentágonos• Triángulos• ¿Cuadrados?

Papiroflexia modular

• Hacer figuras geométricas ensamblando piezas de papel sencillas e idénticas (módulos)

• El interés para con las matemáticas es doble:– representación de poliedros y otras figuras;– la construcción nos acerca a las propiedades de

esas figuras.

Clases de módulos

• Por vértices;

• por aristas;

• por caras.

Dualidad de poliedros

Dualidad icosaedro-dodecaedro

Dualidad cubo-octaedro

PoliedrosM.C. Escher

Juan Pedro Rubio (Madrid)

Teoremas de papel

• Teoremas del triángulo

Trisección del ángulo con Origami

Método de Hisashi Abe

Axiomática de Humiaki Huzita

O1

O6

O5

O4

O3

O2

New York Journal of Mathematics, 2000

Eskerrik asko!http://www.ehu.es/joseroyo

Para saber más…http://www.pajarita.org (A.E.P.)

http://www.divulgamat.net

(cultura => matemáticas y papiroflexia)