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2017. En Xxxx (Eds.). 4 Coloquio de Doctorado (vol. 1, págs. XXX-YYY). México.
Hacia un modelo de enseñanza para las fracciones basado en el uso de applets: El caso de Álvaro
Carlos Valenzuela García y Olimpia Figueras
Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional
[email protected], [email protected]
Resultados parciales de una investigación en la cual se construye un Modelo Teórico Local para
las fracciones y su enseñanza se exponen en este artículo. Parte de la construcción comprende el
diseño y desarrollo de una secuencia de enseñanza, en la que se usan applets como herramientas
tecnológicas y la recta numérica como recurso didáctico y conceptual. Entre los objetivos de la
indagación se tienen: 1) coadyuvar a la mejora del objeto mental fracción de alumnos de 11 a 13
años de edad de comunidades marginadas y 2) favorecer el uso de herramientas tecnológicas en
esas poblaciones. La secuencia de enseñanza se probó en un estudio piloto en el que participó
Álvaro; sus actuaciones antes, durante y después de la enseñanza permiten afirmar que mejoró su
objeto mental; su conocimiento inicial relacionado con fenómenos de partición de figuras
geométricas contribuyó a consolidar el aspecto de la fracción como medidora.
Palabras claves: Modelo Teórico Local sobre fracciones, recta numérica, objeto mental
fracción, applets para la enseñanza.
Planteamiento del problema y objetivos
Entre las investigaciones que se hacen en el campo de la Matemática Educativa, el
aprendizaje y la enseñanza de las fracciones siguen siendo temas de interés. En México,
la afirmación anterior se puede sustentar en el informe de Avila (2016), y está vinculada
con el hecho de que las fracciones forman parte del currículo de la educación básica
(SEP, 2011). Además, es un tema difícil de enseñar y con el cual los alumnos enfrentan
grandes dificultades al hacer tareas, ejercicios, actividades o resolver problemas (Ni y
Zhou, 2010, Siegler, Fazio, Bailey y Zhou, 2013).
Investigar sobre el tema de las fracciones es importante para diseñar herramientas
que promuevan la mejora del objeto mental fracción de los estudiantes. Siguiendo las
ideas de Freudenthal (1983), un objeto mental se entiende como el conjunto de ideas que
han elaborado los alumnos sobre un concepto matemático (el objeto pensado) y su
relación con los fenómenos que éste organiza. El objeto mental fracción de un alumno
mejora cuando éste logra resolver una gama amplia de problemas que se relacionan con
los distintos fenómenos que organiza dicho concepto.
La trascendencia del estudio de las fracciones en la educación matemática ha sido ya
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resaltada por algunos investigadores. Freudenthal (1983) afirma que las fracciones son el
recurso fenomenológico de los números racionales. Por otro lado, Kieren (1992) sostiene
que los números racionales “son una parte rica de las matemáticas que proporciona
ideas a las personas más allá de los números enteros, y es un vehículo para relacionar
esos conocimientos de números con muchos aspectos de las matemáticas y sus
aplicaciones” (pág. 327). Mientras que Siegler et al. (2012) concluyeron a través de un
estudio longitudinal que el conocimiento de las fracciones y la división son predictores
del desempeño en matemáticas de alumnos egresados de primaria hasta el bachillerato.
Por todo lo anterior, en el proyecto de investigación que se está realizando, se intenta
apoyar la construcción de herramientas que permitan enriquecer o crear nuevos
modelos de enseñanza para las fracciones. Los resultados que se exponen en este
artículo forman parte de un estudio más amplio en el que se construye un Modelo
Teórico Local (MTL) sobre las fracciones y su enseñanza; y en cuya fase de
experimentación del MTL se diseñó una secuencia de enseñanza para las fracciones.
Como ya se mencionó, los objetivos generales de la investigación son: 1) contribuir a la
mejora del objeto mental fracción de alumnos de 11 a 13 años de edad de comunidades
marginadas y 2) favorecer el uso de herramientas tecnológicas en esas poblaciones.
Una parte de la investigación en desarrollo comprende, como ya se ha enunciado, un
estudio piloto, en el que se pone a prueba la secuencia de enseñanza diseñada. Los
propósitos del estudio piloto son: (1) validar la secuencia de enseñanza en general y sus
elementos en particular y (2) bosquejar una metodología de análisis que permita
caracterizar tanto el objeto mental fracción de los estudiantes, como su mejoría. Para dar
cuenta de este último propósito se expone el caso de Álvaro, un estudiante de primer
año de secundaria que participó en el estudio piloto.
Marco teórico y metodológico
Para el desarrollo de la investigación global se ha elegido como marco teórico y
metodológico a los Modelos Teóricos Locales (Filloy, Rojano, Puig y Rubio, 1999). Desde
el punto de vista teórico, este marco permite observar los fenómenos inmersos en una
problemática enfocada a través de la interrelación que existe entre sus cuatro
componentes: (1) modelos de competencia formal, (2) modelos de enseñanza, (3)
modelos de procesos cognitivos, y (4) modelos de comunicación.
Desde el punto de vista metodológico, los MTLs permiten organizar la
investigación. Así, este estudio se lleva a cabo en seis fases, en la primera se identifica la
problemática, se construyen los componentes del MTL inicial que sirven como
referentes teóricos y se plantean hipótesis que posteriormente serán contrastadas con el
análisis resultante de la parte experimental. La segunda fase se refiere al diseño de la
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experimentación, en la que se construye una secuencia de enseñanza y se diseñan un
cuestionario inicial y uno final para evaluar los usos y aspectos de las fracciones. En la
tercera fase, por medio de un estudio piloto, se validan a través de las actuaciones de los
estudiantes, los cuestionarios y la secuencia de enseñanza. La fase cuatro comprende la
descripción de los resultados de esa indagación. Las fases cinco y seis corresponden a la
experimentación y al análisis, respectivamente, de las actuaciones de estudiantes
mexicanos de una comunidad marginada, estas dos últimas fases aún no se efectúan. En
este documento se describen de forma breve los resultados de las construcciones de los
componentes del MTL que sirven para sustentar las actuaciones de los alumnos en el
estudio piloto y la descripción del estudio de casos del que se da informe.
El componente formal del MTL
A partir del ejemplo de fenomenología didáctica de las fracciones elaborada por
Freudenthal (1983) se construye el componente formal del MTL, tomando en cuenta
además ideas de otros autores sobre los subconstructos de los números racionales, por
ejemplo, las de Kieren (1992). De acuerdo con Freudenthal (1983), una fenomenología
didáctica rica ayuda a proveer a los estudiantes de ejemplos para constituir mejores
objetos mentales. Los usos y aspectos de las fracciones desde el lenguaje cotidiano hasta
la formalización a través de construcciones matemáticas se exponen como resultado de
la construcción del componente formal. Este proceso permite al investigador u
observador tener un Sistema Matemático de Signos (en el sentido de Filloy et al. 1999)
más amplio y abstracto que el de quienes están siendo observados. Además, este
componente se constituye como un referente teórico para caracterizar los modelos de
enseñanza y las actuaciones de los estudiantes observados.
Las fracciones en el lenguaje cotidiano se utilizan principalmente para describir o
comparar cantidades, valores de magnitud, razones o procesos cíclicos o periódicos. Por
ejemplo: un medio de…, ¼ de pollo, la mitad del camino. Otros aspectos de las
fracciones distinguidos en el análisis fenomenológico son: la fracción como fracturador,
como comparador, como operador, como medidora y como número.
La fracción como fracturador se refiere al proceso de producir fracciones
(fracturar), por medio del cual se relacionan las partes con un todo. Esto podría surgir
de hacer una partición para repartir equitativamente, distribuir o simplemente dividir
cantidades o magnitudes con o sin resto. En el proceso de producir fracciones a partir de
la relación de un todo y sus partes, el todo puede ser discreto o continuo, definido o
indefinido, estructurado o carente de estructura.
De acuerdo con Freudenthal (1983) las fracciones también surgen de una
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comparación, la cual puede ser directa o indirecta. Cuando la comparación es directa, es
decir, los objetos que se comparan se consideran o piensan como si uno fuera parte del
otro, entonces esto se reduce a la fracción como fracturador. En cambio, cuando un
tercer objeto media entre los objetos que se comparan, la comparación es indirecta. En
este último caso se establece una relación razón entre las medidas de magnitud o entre los
propios objetos que se comparan.
En el proceso de establecer la relación razón se podría usar la fracción como
medidora, ya que se puede utilizar una medida no convencional o convencional para
determinar cuánto mide cada objeto o magnitud y así establecer la relación razón entre
ambos objetos en términos de esas medidas. La fracción como medidora también surge
en la medición, por ejemplo en la de segmentos sobre la recta numérica. Para identificar
las fracciones que preceden a una unidad de medida, en el proceso fue necesario usar las
fracciones en su aspecto de operador fracturante.
El operador fracción es considerado como el inverso del operador multiplicación, es
decir, el operador fracción actúa en el puro dominio del número. Se extiende esta
fenomenología a un ámbito más abstracto y formal de la matemática, donde se
identifican a las fracciones como elementos de las clases de equivalencia de un campo de
cocientes, el cual define a los números racionales.
El componente de los modelos de enseñanza del MTL
Para construir este componente se hizo una caracterización del modelo de enseñanza del
último ciclo de la escuela primaria –5to y 6to grados–. En este documento se muestran
los resultados obtenidos para 5to grado. La caracterización se hizo tomando en cuenta el
análisis de: los contenidos propuestos en los programas de estudio; las lecciones sobre
fracciones del libro de texto, y los applets propuestos para complementar lo que se
estudia en el libro. El análisis se hizo tomando en cuenta los primeros cuatro elementos
que determinan un modelo de enseñanza según Figueras (1988), es decir:
1) los significados particulares de un constructo, 2) el tratamiento didáctico
con el que se aproxima (sucesión de mensajes, ya sea informativos o
planteando situaciones problemáticas a resolver, apelativas, motivadores,
etc.), 3) los lenguajes que intervienen en las secuencias de enseñanza, 4) las
habilidades necesarias para comprender el primero vía el segundo, y, 5) las
relaciones inherentes entre todos estos elementos (pág. 21).
En esta investigación, los significados particulares de un constructo corresponden a los
aspectos y usos de las fracciones que se identifican en el componente formal del MTL. El
tratamiento didáctico con el que se aproxima dicho “constructo” se refiere a las
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secuencias de enseñanza estructuradas para favorecer el aprendizaje de los distintos
aspectos de la fracción. En el diseño de las secuencias se consideran diferentes recursos
didácticos, como la recta numérica, el modelo de áreas, los conjuntos discretos, tablas y
applets como recursos tecnológicos. En los “lenguajes” que intervienen en las secuencias
de enseñanza están el lenguaje cotidiano y las representaciones simbólicas, gráficas y
digitales (animaciones por computadora). El cuarto elemento del modelo de enseñanza
se refiere a las habilidades necesarias que tiene un usuario competente para comprender
aspectos de las fracciones a través de su tratamiento didáctico.
Los resultados de la construcción de este componente permitieron identificar que,
en quinto grado de la primaria, se pone mayor énfasis en los aspectos de la fracción
como fracturador, comparador y como número. Estos resultados condujeron a orientar
el diseño de la secuencia de enseñanza hacia los aspectos de la fracción como medidora
y como número. En la investigación que aquí se describe se hace hincapié en nociones
de equivalencia, orden, densidad y la caracterización de fracciones propias e impropias.
Respecto al tratamiento didáctico se puede concluir que en el modelo de
enseñanza para 5to grado se tiene la intención de que los alumnos identifiquen y
representen las fracciones usando diferentes representaciones, como gráfica, simbólica y
en el lenguaje cotidiano, a través del planteamiento de diversas situaciones o problemas
en contextos “familiares” para los alumnos. El tratamiento didáctico también se enfoca
en la resolución de problemas aditivos y multiplicativos donde se usan las fracciones; la
resolución de problemas que implican comparación de razones; cálculo de operaciones
con fracciones y comparación de fracciones para establecer un orden y una equivalencia.
En el modelo de enseñanza para 5to grado se emplean distintos recursos
didácticos, entre los más usados son: tablas, la recta numérica, figuras geométricas,
problemas y recursos tecnológicos que proporcionan información digital –a veces con
animaciones sobre procesos de fractura y comparación de las partes–. La construcción
del componente modelos de enseñanza dio pauta para emplear en el diseño de la
secuencia de enseñanza la recta numérica como recurso didáctico y conceptual, así como
para definir lineamientos relativos al diseño de applets como un recurso tecnológico.
El componente de procesos cognitivos del MTL
Como parte del componente de procesos cognitivos del MTL se hace referencia a
errores, dificultades y actuaciones de los estudiantes cuando usan las fracciones. Estos
resultados se tomaron de informes de otras investigaciones y tienen la intención de ser
un catálogo de observaciones que sirvan para describir las actuaciones de estudiantes
que participan en el desarrollo experimental de la investigación que se realiza.
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Respecto a las dificultades enfrentadas por los niños al trabajar con el modelo de
áreas, Saxe, Taylor, McIntosh y Gearhart (2005) han observado que hay alumnos de
educación primaria que tienen dificultades para identificar una fracción que se
representa en una figura donde hay más de una unidad fraccionaria. Dicha dificultad se
atribuye al hecho de que los niños utilizan un razonamiento numérico para contar las
partes sin tener en cuenta la relación entre el tamaño de las partes y el todo.
En un compendio de investigaciones hecho por Petit, Laird y Marsden (2010, pág.
42-43) se informa que durante el proceso para establecer la relación entre las partes y el
todo, los alumnos podrían tener dificultades en los procesos para: (1) identificar el todo
cuando está compuesto por más de un elemento (todo discreto); (2) comparar fracciones
representadas por el área de figuras distintas, y (3) reestablecer el todo cuando se da
sólo una parte. Por otro lado, Tzur (1999) proporciona evidencias de que los niños tienen
dificultades para identificar fracciones impropias, esto lo relaciona con el esquema de
partición de los estudiantes, ya que sus primeras experiencias con procesos de partición
se enmarcan en el uso de modelos en los que se representan fracciones propias.
Respecto a dificultades que los estudiantes enfrentan cuando representan
fracciones en la recta numérica, Mitchell y Horne (2008) y Ni y Zhou (2010) mencionan
que cuando los estudiantes usan por primera vez la recta numérica cuyo segmento es
mayor que uno, es común que representen las fracciones considerando al todo como el
segmento completo, y no la fracción relativa al segmento unitario. Otra dificultad
enfrentada se relaciona con el proceso de división del segmento unitario para ubicar
fracciones en la recta numérica. En el estudio que desarrollaron Mitchell y Horne (2008)
encontraron que algunos niños cometían el error de contar las muescas de la subdivisión
del segmento unidad, incluido el punto que representa al cero, en lugar de contar los
espacios que hay entre cada muesca. Así mismo, observaron que algunos niños siempre
partían la unidad en 10 partes iguales para ubicar cualquier fracción en la recta.
La extensión de las propiedades de los números enteros a las fracciones también
causa dificultades al usar la recta numérica para representar fracciones. Petit, Laird y
Marsden, (2010) dan cuenta de indagaciones en las cuales se proporcionan evidencias de
que para ordenar las fracciones en la recta numérica, los alumnos se basan en la
magnitud del numerador o del denominador de la fracción, lo que constituye un
obstáculo para ubicar las fracciones en la recta numérica de forma correcta.
El componente de comunicación del MTL
La construcción del componente de comunicación se relaciona con los análisis de los
procesos que se llevan a cabo entre diferentes actores en situación de aprendizaje y de
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enseñanza. En el caso de la investigación que se describe en este documento, el proceso
considerado fundamental es el que se instaura entre el investigador y los alumnos vía su
interacción con los applets, recurso tecnológico esencial de la secuencia de enseñanza.
En la Figura 1 se muestra cómo las herramientas tecnológicas construidas para esta
indagación están diseñadas para promover dicho proceso de comunicación.
Figura 1. Proceso de comunicación entre Investigador/Applet/Estudiante
Como se observa en la Figura 1, a través de una serie de códigos programados en
JavaScript y HTML, el investigador proporciona información a los estudiantes, esto
propicia la interacción del estudiante con el applet. La información que el alumno
proporciona por medio del applet es almacenada en una base de datos, la cual es
recuperada y utilizada para proceder al análisis de las actuaciones de los estudiantes.
Población y método
Como se mencionó antes, en el presente artículo se informa el caso de Álvaro, alumno
que participó en el estudio piloto llevado a cabo con 45 estudiantes (4 grupos) en una
escuela secundaria pública ubicada en una zona de conflicto de la ciudad de Valencia,
España. Los estudiantes de ese centro educativo tienen problemas de absentismo y bajo
desempeño escolar. Se eligió a Álvaro debido a que fue uno de los que completó la fase
experimental (en este caso, 5 sesiones). Los estudiantes trabajaron de manera individual
y no se les proporcionó ayuda. El profesor del grupo participó aplicando el cuestionario
inicial y final. Durante las sesiones de la secuencia de enseñanza participaron el profesor
titular de los grupos y dos investigadores. Para el análisis de las actuaciones de los
estudiantes durante la secuencia de enseñanza, solo se analiza la evidencia guardada en
la computadora como producto de la interacción estudiante/applet.
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Diseño de la experimentación
El diseño de la experimentación se describe por medio de la Figura 2; éste se puede
consultar en Valenzuela, Figueras, Arnau y Gutiérrez-Soto (2016). En este artículo
también se decribe la construcción del applet de la etapa I de la secuencia de enseñanza.
Figura 2. Diseño de la experimentación
En el cuestionario inicial se evaluaron seis tareas. Con las primeras tres se
valolaron aspectos de la fracción como fracturador. El alumno, en la tarea 1, debe
establecer una relación de fractura y expresarla de forma simbólica a partir de una
representación gráfica (modelos continuos). La tarea 2 contiene a la fracción como un
operador fracturante para establecer una relación de fractura, en este caso la fracción
está escrita en forma simbólica y se debe representar de forma gráfica (modelos
continuos). También se debe establecer una relación de fractura en la tarea 3, pero en
este caso se usan modelos discretos. La localización de fracciones en la recta numérica es
la demanda de la tarea 4. Identificar fracciones entre dos números enteros; y entre dos
fracciones; así como clasificar fracciones como propias o impropias son los propósitos de
la tarea 5. La tarea 6 comprende un problema en el cual subyacen distintos aspectos de
las fracciones. El cuestionario final fue modificado debido al tiempo que les tomó a los
estudiantes responder el cuestionario inicial; así, solo se conservaron las tareas 2, 4 y 5.
La secuencia de enseñanza está compuesta por siete etapas. El propósito de la
etapa I es que los alumnos logren identificar las relaciones entre los valores numéricos
de los deslizadores (herramientas del applet utilizadas para la interacción) con la
estructura simbólica de la fracción y su representación gráfica. En la etapa II se pretende
identificar el tipo de fracciones que le vienen en mente de manera espontánea a los
estudiantes, las ideas que tienen sobre la propiedad de densidad de las fracciones y
caracterizar los procesos que emplean los estudiantes para determinar el orden de las
fracciones. La etapa III tiene como principal propósito que los alumnos reconozcan el
segmento [0, 1] como la unidad. El propósito de la etapa IV es que los alumnos distingan
entre fracciones propias e impropias a partir de sus características, identifiquen la
unidad y los enteros en forma fraccionaria por medio de la equivalencia. En la etapa V
se pretende que los alumnos consoliden ideas sobre las características de las fracciones
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propias e impropias, así como dar un seguimiento a las ideas que tienen los alumnos
sobre la propiedad de densidad de las fracciones. Se da seguimiento a las ideas sobre las
propiedades de orden, densidad y la equivalencia de fracciones en la etapa VI, y en la
etapa VII se busca consolidar la instrucción de las etapas anteriores en cuanto a la
representación de fracciones como puntos en la recta numérica.
Resultados del análisis de las actuaciones de Álvaro
Las respuestas de Álvaro en el cuestionario inicial confirman que el objeto mental
fracción del estudiante le permite establecer correctamente una relación de fractura
cuando se le presenta una representación gráfica de una fracción, particularmente
cuando se usa el modelo de áreas y modelos discretos. Como se puede ver en la Figura
3, en los procesos para establecer la relación de fractura, el alumno extiende las
particiones para identificar la unidad fraccionaria menor (incisos b, e, f y h). Además, el
rastro de la punta de la pluma permite ver que hay una tendencia a contar el número de
partes en las que se divide el todo y las partes coloreadas, especialmente cuando la
partición tiene un número “grande” de partes (incisos d y f). Para establecer la relación
de fractura en el modelo discreto no se cuenta con evidencias del razonamiento del
alumno, pero Álvaro identifica la relación de fractura correctamente.
Figura 3. Respuestas de Álvaro a las tareas 1 y 3 del cuestionario inicial
El alumno también tiene éxito para representar fracciones (propias e impropias)
de forma gráfica a partir de su expresión simbólica, es decir, para usar la fracción en su
aspecto de operador fracturante, excepto cuando se le proporcionan figuras “menos
familiares”, en este caso un triángulo para representar la fracción 1/3. En los procesos de
partición se observa que el alumno estima la igualdad de las partes por congruencia; él
tiene dificultades técnicas para hacer la partición, pero no conceptuales.
La tarea 4 no fue contestada por Álvaro. Al parecer no logra transmitir su
conocimiento sobre la partición en el modelo de áreas “con figuras familiares” a un
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modelo lineal, en este caso la recta numérica. Hay un intento por responder la tarea 5, se
aprecia una tendencia a utilizar números decimales para proporcionar fracciones entre
dos números enteros, pero tiene dificultades para proporcionar fracciones. Al parecer no
reconoce la terminología fracciones propias e impropias, pero sí logra representar ambos
tipos de fracciones, tal como se ve en las tareas 1 y 2. Finalmente, el alumno enfrenta
dificultades para resolver problemas, ya que no respondió a las preguntas de la tarea 6.
Durante la secuencia de enseñanza, Álvaro no logra el propósito de la etapa I. Se
aprecia una tendencia a disociar el numerador y denominador en la interpretación de la
representación simbólica y gráfica de la fracción. En la etapa II el alumno escribió tres
fracciones propias (1/2, 2/3 y 2/4) y ninguna impropia. Reconoce que entre dos números
enteros [0,1] y [1,4] hay una cantidad infinita de fracciones. Para justificar el orden de las
fracciones que el alumno escribió durante la interacción con el applet, se centra en la
longitud del segmento que representa a la fracción en la recta numérica, ya que justifica
su respuesta como: “2/4 es menor, porque ocupa menos que las demás”.
Álvaro identifica correctamente, en la etapa III, el número de partes en las que se
divide el segmento [0,1] y cuenta las partes (o unidades fraccionarias) de manera
adecuada. En la etapa IV, el alumno enfrenta dificultades para expresar las
características de las fracciones propias e impropias, no logró expresar la escritura de los
enteros como fracciones, pero sí la escritura de la unidad como fracción. Álvaro logra
caracterizar por escrito a la fracción impropia en términos del numerador y
denominador: “que el numerador es mas [sic] grande que el denominador”, en la etapa
V, pero no logró hacer esta caracterización para las fracciones propias en términos de la
unidad. Aparentemente, el estudiante piensa que hay tantas fracciones propias como
impropias pero en términos de finitud.
Para escribir las fracciones en el applet de la etapa VI (fracciones en un
determinado intervalo), Álvaro requiere experimentar con el applet y dejar que, durante
la interacción, el applet le informe si la fracción escrita está ubicada correctamente en el
intervalo o no. Esta acción deja ver que el alumno requiere de un apoyo visual para
poder ordenar fracciones ya que se apoya en la longitud del segmento que representa a
la fracción en la recta numérica. En la etapa VII, Álvaro logra ubicar correctamente como
un punto sobre la recta a las fracciones que el applet le propone. Logra identificar la
fracción mayor que se puede representar en el segmento [0, 4] como 40/10, en ese mismo
segmento dice que la menor fracción que se puede representar es 1/10 en vez de 0. Hay
una tendencia por usar como denominador el 10, esto se relaciona posiblemente con la
dependencia sobre el uso de herramientas proporcionadas en el applet, y que ha puesto
de manifiesto en las otras etapas.
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Como se mencionó antes, en el cuestionario final sólo se conservaron las tareas 2,
4 y 5 del cuestionario inicial. Al respecto, en la tarea 2, Álvaro conservó las
características de sus actuaciones durante el primer cuestionario. En las otras dos tareas
surgen evidencias de que hubo un aprendizaje, ya que el alumno logró representar
correctamente las fracciones en la recta numérica, tal como se observa en la Figura 4.
Figura 4. Respuestas de Álvaro a la tarea 4 en el cuestionario final
Se observa que el alumno hace la partición completa para cada proceso de
representación de la fracción. Una estrategia que utiliza es hacer rayas de diferentes
tamaños para distinguir las distintas unidades fraccionarias. Además, se observa un
rastro de conteo de las partes. Con respecto a la tarea 5 del cuestionario inicial, también
hay registro en el cuestionario final de que Álvaro logró clasificar fracciones como
propias e impropias, además de poder identificar fracciones entre dos números enteros.
Conclusiones
A pesar de que en esta etapa experimental hubo distintos problemas referentes al diseño
e implementación del estudio, hay evidencia de que los alumnos lograron aprender
nuevos aspectos de las fracciones relacionados principalmente con el uso de la recta
numérica. En el cuestionario inicial se pudo observar que el objeto mental fracción de
Álvaro le permitió resolver únicamente tareas relacionadas con el aspecto de la fracción
como fracturador en modelos continuos e incluso discretos. Sin embargo, este
conocimiento no pudo ser empleado para representar fracciones en un modelo lineal.
Por lo que la enseñanza puesta en un solo enfoque no es garantía de que los estudiantes
puedan transferir esos conocimientos para poder resolver tareas donde se requieren
otros aspectos o usos de las fracciones. En este sentido, es necesario diseñar actividades
que enriquezcan la enseñanza de las fracciones. Una propuesta es emplear nuevos
recursos tecnológicos que posibiliten la visualización y manipulación de acciones que se
hacen sobre los objetos, (fracturar, comparar y ordenar). Además, los applets permiten
ser programados para almacenar parte de las actuaciones de los estudiantes, siendo
herramientas de evaluación y seguimiento a su desempeño.
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Reconocimiento: La investigación que se describe en este documento se enmarca en un proyecto más
amplio en el cual participan David Arnau y Juan Gutiérrez-Soto del Departamento de Didáctica de las
Matemáticas de la Universidad de Valencia, España (Mepame-EDU2015-69731-R (MINECO/FEDER)).
Referencias
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