hacia la regla de oro en el modelo de ramsey 2006

F R O N T M A T T E R

HACIA LA REGLA DE ORO EN EL MODELO DE RAMSEY

Derry Quintana Aguilar

Octubre del 2006B O D Y

AbstractSe presenta el modelo de Ramsey de crecimiento neoclsico y un

mtodo para llegar al capital de regla de oro a partir del ptimoparetiano, mediante subsidios al capital y/o a la inversin. Paraobtener las sendas tempoorales de la economa, se resuelve numrica-mente el modelo de equilibrio general dinmico por el mtodo deeliminacin del tiempo. Adicionalmente, se hace un anlisis deesttica comparativa de la tributacin mediante las curvas de Lafferante diferentes tasas y/o subsidios al capital o a la inversin.

Estudiante de Economa-UNMSM. E-mail: [email protected]

1

1 INTRODUCCIN

En el modelo de Solow la tasa de ahorro es constante, apoyada en elargumento keynesiano de la ley psicolgica fundamental, pudiendo llegar as aalcanzarse la regla de oro, es decir el consumo de estado estacionariomximo. En el modelo Ramsey la tasa de ahorro en cada momento del tiempoes consistente con un comportamiento optimizador de las familias, pero en elequilibrio final el consumo de estado estacionario o de largo plazo es menorque el de la regla de oro, debido ello a la presencia de una tasa de descuentosubjetiva, llamndose a la nueva situacin regla de oro modificada. En lainicial aproximacin de Ramsey, la presencia de una tasa de descuento subje-tiva era ticamente indefendible; pero suponer que la tasa de descuento seacero, conlleva a problemas de resolucin (la suma de las utilidades instantneassera no convergente). En tal situacin, planteamos una situacin en la cual laeconoma puede funcionar en la regla de oro, para lo cual, se introduce a ungobierno que utiliza los subsidios al capital o a la inversin, que permitirnalcanzar el consumo de estado estacionario mximo.

Nos basamos en el anlisis que Ljunvist y Sargent (2004) hacen de lapoltica fiscal en un modelo de crecimiento neoclsico en tiempo discreto;nosotros extendemos ese anlisis, como ya se menciono, para verificar quepuede alcanzarse una economa que funcione en la regla urea. As, realizamosla resolucin del modelo en tiempo continuo, pues segn Mulligan y Sala-i-Martin (1991) hay mayores ventajas computacionales, a diferencia de Ljunvisty Sargent (2004) que utilizan soluciones aproximadas.

El trabajo se divide de la siguiente manera. En la seccin 2 se hace unadescripcin del modelo y los supuestos, con lo cual, se derivan de maneraanaltica las condiciones de ptimo para cada uno de los agentes econmicos.En la seccin 3 se muestran las curvas de Laffer y la manera en cmo puedealcanzarse la regla de oro utilizando subsidios a la inversin y/o al capital.Adems, se muestran las trayectorias de la situacin inicial del equilibrio deestado estacionario hacia el resultado de regla urea luego que el gobierno dasubsidios a la inversin. Por ltimo, se expresan las conclusiones, donde seresumen los resultados obtenidos a lo largo del trabajo.

Hacia la Regla de Oro en el Modelo de Ramsey.nb

2

2 TEORA

La economa a considerar es una donde existen tres instituciones: las famil-ias, las empresas y el gobierno. Los primeros son agentes que acuden al mer-cado a adquirir bienes de consumo de acuerdo a sus preferencias y restriccionespresupuestarias, y ofertar trabajo y capital a las firmas; en tanto las empresaspara maximizar beneficios producen el bien nico de la economa de acuerdo asu tecnologa y lo ofertan en el mercado de productos y demandan factores deproduccin.

Los agentes que acuden al mercado de productos o de factores son toma-dores de precios y su accin individual no puede influir el comportamiento deotros agentes. En tal sentido; los precios del producto, factores y crdito seforman en los respectivos mercados hasta ajustar las cantidades ofrecidas ydemandadas, de tal modo que dichas cantidades se igualan.

2.1 AGENTES DE LA ECONOMA

2.1.1 EMPRESAS

Las empresas producen el nico bien Y de la economa utilizando losinsumos capital K y trabajo L con la funcin de produccin Y =Y HK, LL , lasproductividades son marginales positivas y decrecientes YL > 0 > YLL ,YK > 0 > YKK , se satisface las condiciones de InadalimL YL = limK YK = 0 y limL 0 YL = limK 0 YK = 0, y asumimosrendimientos constantes a escala k Y = Y Hk K, k LL ; " k > 0.

En especial asumimos una funcin de produccin Cobb-Douglas quesatisface los supuestos anteriores Y = Ka La-1 .

Expresando en trminos por trabajador tenemos y = ka , donde y = YL yk = KL .

As, el problema de las firmas es maximizar los beneficios p dados el salarioreal w y el retorno del capital r.

(1)Max : p8k 0 > uc c y hay interioridad limc uc 0. Donde c es elconsumo . Adems, para que la integral anterior sea convergente asumimos quela tasa de descuento intertemporal es mayor a la tasa de crecimiento de lapoblacin n < r .

En especial, asumiremos una funcin de utilidad isoelstica:

(5)uHcL = c1-q - 11 - q

Donde q es el coeficiente de aversin relativa al riesgo.Este es un caso donde el agente representativo no valora el ocio.Asumimos que el mercado de crditos siempre esta en equilibrio, de tal

modo que los saldos acreedores netos son iguales a los activos netos de lasempresas y como la economa es cerrada habr una oferta neta de capital nonegativa. De ese modo, las rstricciones a la que se enfrentan las familias vienendadas por:

(6)H1 + tcL c + H1 + tiL i = H1 - twL wHkL + H1 - tkL rH k

L k + f

(7)i = k t + Hn + d L k

Donde tc es el impuesto al consumo, ti es el impuesto a la inversin, tw esel impuesto a la renta laboral, tk es el impuesto a la renta de capital, f son lastransferencias de suma fija que el gobierno da al agente representativo. Ademsla inversin i se compone de la inversin neta kt ms la inversin enreposicin Hn + d L k . Suponemos que el stock de capital inicial k (0) esta dado yes positivo.


4

2.1.3 GOBIERNO

El gobierno redistribuye ingresos y subsidia el sector de la economa quecree conveniente con la recaudacin tributaria. Este sector simplemente debecumplir en cada momento la siguiente restriccin presupuestaria.

(8)f = tc c + ti i + tw wHkL + tk rH k

L kEs decir las transferencias que realiza el gobierno deben ser iguales a sus

ingresos.

2.2 EQUILIBRIO GENERAL COMPETITIVO DINMICO

Definicin 1: Un equilibrio general competitivo y dinmico es aquellasecuencia de salarios, tasas de inters, consumo, capital, produccin e ingre-sos del gobierno, tal que la familia elige su senda de consumo maximizando (4)sujeto a las restricciones (6) a (7), las empresas maximizan sus beneficios dadala tecnologa y el gobierno satisface en todo momento su restriccin presupues-taria y los mercados se vacan en todo momento. Adems se cumple k = k .

Se puede demostrar que el equilibrio general competitivo dinmico existe yes nico, pero no necesariamente eficiente.

Formulamos el hamiltoniano para las familias, quienes toman como datoslos precios que les pagan por el alquiler del capital y trabajo y deciden la ofertaneta del capital k con tal de maximizar su utilidad.

(9)H = c

1-q - 11 - q + l @ H1 - twL wHk

L +

H1 - tkL rH k L k - H1 + tcL c + f y{

zzz H1 + tiL - Hn + d L kD

Las condiciones de primer orden son:

(10) Hc = c

-q - lK 1 + tc1 + ti

O = 0

(11) l t = -

Hk + Hr - nL l = K-1 - tk1 + ti

rH k L + d + rO l

(12)k t =

11 + ti

H1 - twL wHk

L + H1 - tkL rH k L k - H1 + tcL c + f y{

zz-Hn + d L kD

Tomando logaritmos a (10) y diferenciando respecto al tiempo tenemos:

(13)- qc

c t =1l

l t


5

Combinando con (11) tenemos:

(14)c t =

cq K1 - tk1 + ti

rH k L - d - rO

Antes de proseguir, hallaremos el estado estacionario de la economacaracterizado por ct =0, reemplazando este dato en la ecuacin anteriortenemos:

(15)1 - tk1 + ti

rH k L = d + r

2.3 ESTADO ESTACIONARIO DE LA ECONOMA COMPETITIVA

Despejando la tasa de retorno de estado estacionario en (15), tenemos:

(16)rss = K1 + ti1 - tk

O Hd + rL

Con la tasa de retorno del capital de estado estacionario, obtenemos elcapital de estado estacionario competitivo tomando en cuenta la ecuacin (2):

(17)kss = Karss

O11-a

Con el capital de estado estacionario obtenemos el producto y la inversinen el estado estacionario:

(18)yss = kssa

(19)iss = Hn + d L kssCon el producto y la inversin de estado estacionario, obtenemos el

consumo:

(20)css = yss - issTeniendo en cuenta la ecaucin (3) obtenemos el salario de estado

estacionario:

(21)wss =H 1 - a L yssUna vez obtenidos los principales valores de estado estacionario, podemos

obtener las trasferencias de suma fija en el estado estacionario teniendo encuenta la ecuacin (8):

(22)fss = tc css + ti iss + tw wss + tk rss kss


6

Debemos notar que todos los valores de equilibrio en estado estacionario(excepto la recaudacin), no estn afectados por el impuesto al consumo tc nipor el impuesto a la renta laboral tw , por ello, decimos que no son distorsiona-dores, en cambio, los impuestos o subsidios a la inversin ti y/o al capital tk stienen efectos sobre el equilibrio de largo plazo.

2.4 PTIMO PARETIANO

Definicin 2: El ptimo paretiano es una situacin en la cual los impuestosdistorsionadores son nulos ti =tk =0.

Una manera de verificar que el ptimo partetiano est de acuerdo a laDefinicin 2 es formular un prolema tipo Ramsey para el gobierno, es decir, elgobierno decide una secuencia de tributos 8ti, tk, tc, tw

Como se asumi que n < r , el capital de la regla de oro modificada esmenor al capital de la regla de oro".

2.6 DINMICA DE TRANSICIN

Teniendo en cuenta (14) y la condicin de equilibrio k = k , tenemos elsiguiente sistema de ecuaciones diferenciales en k y c :

(27)c t =

cq K1 - tk1 + ti

a ka-1 - d - rO

(28)k t = k

a - Hn + dL k - c

Este sistema no tiene solucin analtica, razn por la cual es menesterresolverla numricamente para analizar la dinmica de transicin.

3 RESULTADOS NUMRICOS

Para las simulaciones utilizamos la siguiente parametrizacin:a = 0.5d = 0.05r = 0.03q = 0.5n = 0.02tk = 0ti = 0ti = 0.3tc = 0.19Antes de proseguir analizaremos el largo plazo para diferentes alcuotas al

capital y a la inversin, mediante las curvas de Laffer para cada una de lasvariables relevantes del modelo.

3.1 ESTTICA COMPARATIVA PARA DIFER-ENTES TASAS A LA INVERSIN

El siguiente grfico despliega todos los valores de equilibrio con los valoresde los parmetros anteriores para diferentes tasas impositivas a la inversin. Enespecial nos interesan tres distintas tasas (0, -0.125 y 0.34).


8

0 0.5 1 1.5 20123456

f

i

c

y

Figure 1: CURVAS DE LAFFER PARA DISTINTAS TASAS A LA INVERSIN

La ordenada (cuando la ti =0), va dar con los valores de ptimo paretiano sindistorsiones, ntese este intercepto con la curva azul correspondiente al con-sumo eficiente es menor en comparacin con el de la regla de oro (interceptocon la primera lnea azul). De otro lado hasta la tasa de 0.34 corresponde a laregin econmica (en la cual la recaudacin es creciente), a partir de dicha tasala recaudacin disminuye (regin aritmtica). En la regin aritmtica todas lasvariables disminuyen a mayores tasas a la inversin.

3.2 ESTTICA COMPARATIVA PARA DIFER-ENTES TASAS AL CAPITAL

El siguiente grfico despliega todos los valores de equilibrio, para diferentestasas impositivas a la inversin. En especial nos interesan tres distintas tasas (0,-0.14 y 0.28).

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

2

4

6

8

f

i

c

y

Figure 2: CURVAS DE LAFFER PARA DISTINTAS TASAS AL CAPITAL


9

Las interpretaciones son similares al caso anterior, la principal diferenciaradica en que cuando la tasa al capital es del 100% la economa desaparece; porotro lado el subsidio al capital que nos lleva a la regla de oro es cercano al14%; mientras que la mxima recaudacin se logra con una tasa de 28%.

3.3 PUEDE EL GOBIERNO LLEVAR A LA ECONOMA A LA REGLA DE ORO EN UN CONTEXTO DE LIBRE MERCADO?

Antes de analizar como puede el gobierno conseguir que la economafunciones el la regla de oro, veamos el diagrama de fases de las ecuaciones (27)y (28) cuando las imposiciones a la inversin y al capital son nulas:

0 50 100 150 200k

0

1

2

3

4

5

c

Figure 3: CAMPO VECTORIAL DEL PTIMO PARETIANO

Las curvas azules muestran las curvas de demarcacin, mientras que curvapunteada verde nos presenta el valor de estado estable para el capital de reglade oro.

Partiendo del equilibrio de largo plazo paretiano, encontraremos el subsidioa la inversin que nos lleve a la regla de oro.

Combinando las relgas para el capital de regla de oro modificada (24) y elde la regla de oro (26), podemos obtener una mezcla de subisidos a la inversiny al capital que lllevan a la economa a funcionar en la regla de oro.

(29)1 + ti = H1 - tkL n + dr + d

Nosotros asumimos que tk = 0.En consecuencia el nuevo subsidio a la inversin debiera ser 0.125, teniendo

en cuenta la ecuacin anterior.Con ello, hemos logrado llevar la curva de demarcacin de estado estaciona-

rio para la dinmica del consumo coincida con el capital de la regla de oro.Combinando con la situacin inicial tenemos:


10

0 50 100 150 200k

0

1

2

3

4

5

c

Figure 4: CAMPO VECTORIAL PARA ALCANZAR LA REGLA DE ORO

Si se quiere lograr alcanzar el capital de la regla de oro, la economa tieneque ubicarse en la funcin de poltica representada por la curva roja, as, setendr que disminuir el consumo inicialmente para luego alcanzar un consumoalgo mayor en el estado estacionario; pero esa disminucin del consumo alinicio no es arbitraria.

A continuacin, mostramos la dinmica de transicin para cada una de lasvariables relevantes del modelo utilizando el mtodo de eliminacin del tiempo:

0 20 40 60 80

6.2

6.4

6.6

6.8

7

7.2

y

yop

yss

yHtL

Figure 5: SENDA TEMPORAL DEL PRODUCTO PER CAPITA HACIA LA REGLADE ORO

0 20 40 60 80

2.6

2.8

3

3.2

3.4

3.6

c

cop

css

cHtL

Figure 6: SENDA TEMPORAL DEL CONSUMO PER CAPITA HACIA LA REGLADE ORO


11

Podemos notar que hay una gran cada del consumo para luego de un largotiempo, ste en el estado estacionario de la regla de oro alcance un valor algomayor que el del ptimo paretiano.

0 20 40 60 80

3.52

3.54

3.56

3.58

3.6i

iss

iHtL

Figure 7: SENDA TEMPORAL DE LA INVERSIN PER CAPITA HACIA LAREGLA DE ORO

En el caso de la inversin hay una gran salto de su valor de estado estaciona-rio en el ptimo paretiano 2.73438 hasta 3.57143 en la inversin de la regla deoro.

0 20 40 60 800.07

0.072

0.074

0.076

0.078

0.08

r

Figure 8: SENDA TEMPORAL DE LA RETRIBUCIN AL CAPITAL HACIA LAREGLA DE ORO

0 20 40 60 80

3.2

3.3

3.4

3.5

w

Figure 9: SENDA TEMPORAL DE LA RETRIBUCIN AL TRABAJO HACIA LAREGLA DE ORO


12

0 20 40 60 801

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3

f

Figure 10: SENDA TEMPORAL DE LA RECAUDACIN HACIA LA REGLA DEORO

Ntese que cuando se subsidia la inversin, la tasa de inters tiende adisminuir, en tanto que los salarios crecen. De otro lado la recaudacin tambinaumenta, lo cual se nota en los dibujos de las curvas de Laffer.

Adicionalente las tasas de crecimiento son:

0 20 40 60 800

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

htworg

Dkk

Dcc

Dii

Dyy

Figure 11: TASAS DE CRECIMIENTO PARA DISTINTAS VARIABLES

Vemos pues que el consumo es la variable que se ajusta con mayor rapidez yen ltimo lugar la inversin.

4 ALGUNAS CONCLUSIONES

El marco de trabajo del modelo Ramsey en un entorno de equilibrio competi-tivo, nos muestra que el consumo de largo plazo per capita, es menor que el dela regla de oro.

El gobierno mediante su poltica de subsidios puede llevar a la economa afuncionar en la regla de oro en el modelo Ramsey.


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El hecho que se pueda alcanzar dicha regla no quiere decir que las familiasestn ms felices, dado que inicialmente disminuye su consumo, las primerasgeneraciones por el mecanismo de mercado se ven perjudicadas y, en cambio,las generaciones posteriores beneficiadas, pero la tasa de descuento hace que elresultado neto sea una disminucin de la utilidad en valor presente de lasociedad.


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5 REFERENCIAS

[1] La Cotera, D. ?. Una Exposicin Elemental del Modelo Ramsey-Cass-Koopmans. Documento no publicado.

[2] Ljungvist, L. y T. Sargent. 2004. Recursive Macroeconomic Theory.2nd edition. MIT Press.

[3] Koopmans, T. 1965. On the Concept of Optimal Economic Growth.Cowles Foundations Paper 238.

[5] Mulligan, C. y X. Sala-i-Martin. 1991. A Note on the Time Elimina-tion Method for Solving Recursive Dynamic Economic Problems. NBERWorking Paper No. 116, Nov.

[6] Sala-i-Martin, X. 2000. Lectures Notes on Economic Growth.(Versin castellana, Barcelona: Antoni Bosch, 2000).

[7] Tabarrok, A. ? The Ramsey Model of Economic Growth. Docu-mento escrito en el programa Mathematica.


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B A C K M A T T E R

A ANEXO: MTODO DE ELIMINACIN DEL TIEMPO

Este mtodo esta explicado con gran detalle en el trabajo de Mulligan y Sala-i-Martin (1991), aqu slo presentaremos los pasos elementales para estemodelo especfico.

Partimos de las ecuaciones de movimiento (27) y (28):

(30)c t =

cq K1 - tk1 + ti

a ka-1 - d - rO

(31)k t = k

a - Hn + dL k - cDividiendo (30) entre (31) eliminamos el tiempo y tenemos la funcin de

poltica (cambio en el consumo cuando cambia el stock de capital):

(32)ck =

ctkt= FHc, kL

Al resolver la anterior ecuacin diferencial (32) se obtiene el consumo enfuncin del stock de capital, pero como slo podemos obtener resultadosnumricos adicionalmente requerimos la condicin css = cHkssL , para obtener:

(33)c = cHkLPara obtener las sendas temporales utilizamos (30), y reemplazamos la

funcin de poltica c = cHkL para resolver la siugiente ecuacin diferencial en kteniendo en cuenta que kH0L esta dado:

(34)k t = kHtL

a - Hn + dL kHtL - cHkHtLL

De ese modo, obtendremos la senda temporal del stock de capital:

(35)k = kHtLPara la senda del consumo se utilizamos (35) y reemplazamos en la funcin

de poltica (33):

(36)cHtL = cHkHtLLCon la senda temporal del capital y del consumo, es fcil obtener las otras

variables de inters utilizando las siguientes identidades:

(37)rH tL = a kHtLa-1


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(38)wHtL =H 1 - a L kHtL a

(39)yHtL = kHtL a

(40)iHtL = yHtL - cHtL

(41)f HtL = tc cHtL + ti iHtL + tw wHtL + tk rH tL kHtLAdicionalmente, se pueden obtener otras variables de inters tales como la

presin tributaria f HtLyHtL o la tasa de ahorro nacional iHtLyHtL .


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