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8/18/2019 GuiaUnidad4EDO-P42

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GUÍA DE APRENDIZAJE

UNIDAD 4: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE 0RDENSUPERIOR

Objetivos espec!cos :

Generalizar los métodos vistos en EDO de 2° orden para resolver EDO deorden superior.

Resolver ecuaciones de Cauchy-Euler homoéneas y no homoéneas.

!plicar condiciones de "rontera para o#tener una soluci$n particular% cuandoella e&ista. 'sar un pa(uete de so"t)are apropiado para resolver ecuaciones

di"erenciales ordinarias de orden superior

"# PRERE$UISI%OS

*os temas necesarios para esta unidad son +

Rela de la cadena. Relas y métodos de interaci$n.

C,lculo de determinantes de cual(uier orden orma polar de nmeros comple/os 0oluci$n de ecuaciones polin$micas. 0oluci$n de sistemas de ecuaciones lineales mediante rela de Cramer. odos los conceptos revisados en la Gua de !prendiza/e de la unidad 3.

'A%ERIAL DE APO(O

!'OR+ 45** DE6650 G%7 C'**E6% 85C9!E* R. 5'*O+ :Ecuaciones Di"erenciales con pro#lemas de valores en la "rontera ;Cenae *earnin. 8e&ico .

a#la de interales y "$rmulas e&trada del te&to 0o"t)are matem,tico Calculadora con C!0

)# AC%I*IDADES ESPECÍFICAS

'na lectura compresiva de las de?niciones% enunciados% y e/emplosdesarrollados en clase.

Ela#oraci$n rupal de las respuestas del cuestionario% /usti?caci$n de cadaetapa del desarrollo de e/ercicios. Discusi$n rupal so#re procedimientos%

resultados. !n,lisis crtico de los e/ercicios desarrollados.

EC'!C5O6E0 D5ERE6C5!*E0 @ 65AE* B G'5! '65D!D 3


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2

4# 'E%ODOLOGÍA DE %RA+AJO

El docente durante la clase de?nir, los conceptos necesarios para eldesarrollo de la ua. ara lo cual es imprescindi#le (ue el estudiante analicela teora con anterioridad usando el te&to recomendado por el Docente.

En clase los estudiantes oranizan rupos dependiendo del nmero deestudiantes por curso para desarrollar los e/ercicios propuestos de la ua

El docente realiza el co,t-o. de desarrollo de uas .

/# AC%I*IDADES PRE*IAS e1t-2c.2se3

Realizar los siuientes e/ercicios para la siuiente sesi$n como preparaci$npara el estudio de la unidad B .Esta tarea e&traclase ser, evaluada con el ?n de medir el nivel deconocimientos de los temas necesarios como prerre(uisitos de la unidad 3.

/#" Dada la siuiente ecuaci$n di"erencial% seFale y /usti?(ue cual o cuales sonsoluciones en los literales a @ d.

xy - y ' =0a y =# y2&c y2d y2&2

/#& Dada la ecuaci$n siuiente% calcule ´ x % ´ x % y a continuaci$n com#ine esosresultados en una ecuaci$n di"erencial lineal de seundo orden de coe?cientes

constantes% (ue no contena las constantes C1 y C2% y (ue tena la "orma &% ´ x %´ x =.

x=C 1et +C 2t e

t

/#) Determine las races de la ecuaci$n de 2° rado% en "orma e&acta.

a m2+2m−1=0# r2−5 r+6=0c r2+3 r+3=0

/#4 0e tiene el siuiente nmero comple/o % como sera su representaci$n mediantela identidad de Euler."orma polar

a e(−3 i)t

# e(2−2 i)t

c e(1+2 i)t

/#/ Resolver el siuiente determinante y analizar si es posi#le (ue se anule.

EC'!C5O6E0 D5ERE6C5!*E0 @ 65AE* B G'H! '65D!D B


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3

/# 0i yI J 2 yK @ 3y < cos3&% cuya soluci$n de prue#a es yp ! cos3& J L

sen3&% determine los valores de las constantes ! y L. (ue cumple las condicionesiniciales y== y yK=1% ra?(ue la curva de soluci$n nica.

/#5 Resolver el siuiente sistema mediante la rela de Cramer

3& @ y -3 -2& J By M

# RE*ISI6N DE CONCEP%OS

#" ECUACIONES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR

)()()()()( 011

1

1 x g y xadx

dy xa

dx

yd xa

dx

yd xa

n

n

nn

n

n =++++ −

−

−

*a siuiente EDO lineal de orden n+

se dice (ue es no homogénea.

0)()()()( 011

1

1 =++++ −

−

− y xa

dx

dy xa

dx

yd xa

dx

yd xa

n

n

nn

n

n

si g x = la ecuaci$n es homogénea.

Aeremos (ue para resolver una ecuaci$n no homoénea tendremos (ueresolver tam#ién la ecuaci$n homoénea asociada.

#"#" Ope-27o-es 7i8e-e,ci2.es

0ea Dy dy/dx. !l sm#olo D se le llama operador diferencial . De?nimos a unoperador di"erencial de n-ésimo orden u operador polinominal como

)()()()( 011

1 xa D xa D xa D xa L n

nn

n ++++= −

−

El operador di"erencial L es un operador lineal:))(())(()}()({ x g L x f L x g x f L β α β α +=+

odemos escri#ir las EDOs anteriores simplemente como

L y = y L y g x



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P

0ean an ( x ) , an−1 ( x )… a1 ( x ) , a0 ( x ) y g( x) continuas en el intervalo 5 y sea an ( x )≠0para todo x del intervalo. 0i x= x 0 es cual(uier punto en el intervalo e&isteuna soluci$n de dicho intervalo y ( x) del pro#lema de valor inicial.

P-ob.e


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M

- races repetidas m2=−63¿=−6

m¿

y1=e0

y2=e−6 x

y3=e−6 x

Y =C 1+C 2 e−6 x+C 3 x e

−6 x

R2ces co


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<

#robamos como soluci$n particular

y p %e x cos x + &e x sen x

ras sustituir y simpli?car%

% -1;1=% & 1;P

*ueo

senxe xeec xcc y y y x x x pc5

1cos

10

1321 +−++=+=

−

!s (ue la rela "ormal en este caso es (ue la soluci$n particular es unacom#inaci$n lineal de las "unciones linealmente independientes (ue se eneranmediante di"erenciaciones repetidas de &.

S cu,l es la rela si la soluci$n particular as propuesta es tam#ién una soluci$n dela ecuaci$n homoénea asociadaT

0i aluna yp contiene términos (ue duplican los términos de yc% entonces esa yp sede#e multiplicar por &n% donde n es el entero positivo m,s pe(ueFo (ue elimina esaduplicaci$n.

Eje


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U

Completando la etapa 5 del p-oceso. ! continuaci$n% se resuelve M "ormando laecuaci$n au&iliar+

S "actorizando tenemos+

De las races y o#tenemos la soluci$n de M

En las (ue se reconocen los dos ltimos términos como la soluci$n de la ecuaci$nhomoénea relacionada asociada con P. or tanto C y E son constantes ar#itrariaspara la soluci$n de P% lo cual de/a ! y L como los coe?cientes indeterminados.!hora% la etapa 55 est, completa.

En la etapa 555 se esta#lece y di"erenciamos dos veces+

*ueo sustituimos estas "unciones en P+

Ordenando términos% este resultado se simpli?ca en+

lo cual conduce a las dos ecuaciones+

Estas ecuaciones se satis"acen con los valores+

or ltimo% se introducen estos valores en


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>

02211 =′++′+′ nnu yu yu y

02211 =′′++′′+′ nnu yu yu y

0uposiciones para simpli?car la EDO+

Vue nos lleva a las ecuaciones soluci$n uk K ) k ;) con k 1% 2% N% n. Donde W esel )ronsXiano de la yYs y WX es el determinante (ue se o#tiene de sustituir en W laX-ésima columna por =% =%...% "&.

)()1(

2

)1(

21

)1(

1 x f u yu yu y nn

n

nn=′++′+′

−−−

#/ ECUACI6N DE CAUC@(EULER

)(011

1

11 x g ya

dxdy xa

dx yd xa

dx yd xa n

n

nnn

n

nn =++++ −

−

−−

*orma de ecuaci$n de (aucy"Euler

ro#amos yx- = x m, donde de#emos determinar m% para resolver la ecuaci$nhomoénea asociada+ O#serva (ue+

k

k k

k dx

yd xa

k mk k xk mmmm xa

−+−−−= )1()2)(1(

mk xk mmmma )1()2)(1( +−−−=

( ) 0...)1()2)(1( 01 =++++−−−

m

n xamanmmmma

Eje


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1=

enemos (ue+

*a soluci$n General es+

Eje


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11

5# AC%I*IDADES A DESARROLLAR

AC"#9allar la soluci$n eneral de la ecuaci$n di"erencial+

U yQQQ - 12 y QQ J M y Q - y =

AC 9allar la soluci$n eneral de la ecuaci$n di"erencial+ yQQQJ > yQ 2 sen 2&

AC)# 9allar la ecuaci$n y y& de la curva (ue satis"ace a la ecuaci$n di"erencial+

yKKK J 3 yKK J2 yK B & J 1=

y cuya r,?ca tiene al e/e OZ como tanente de in[e&i$n en el orien.

AC4# Dada la ecuaci$n di"erencial lineal completa+ yKKK J yKK J yK J y h& Escri#irla soluci$n eneral de la correspondiente homoénea y el "ormato de soluci$nparticular yp de la completa% (ue se pro#ara por el método de coe?cientes

indeterminados% en los distintos casos de h& (ue se indican+

a h& 3 cos 2&# h& &2 e-& J e&

c h& 1 J & sen &d h& &e2& J 1

AC/# Determine el operador di"erencial lineal (ue anule las "unciones dadas.

e− x

sen ( x )−e2 x cos ( x )+ x3

S o l.D4 ( D2+2 D+2) ( D2−4 D+5 )

AC# Resolver la ecuaci$n di"erencial dada usando el método del anulador +

SKKK - yK 2 e&

AC5# Resolver la ecuaci$n di"erencial dada usando el método del anulador +

y(4)+2 y ' ' + y=( x−1 )2

Sol . y ( x )=C 1cos ( x)+C 2 sen ( x )+C 3 x cos ( x )+C 4 x sen ( x )+ x2−2 x−3

AC# Resuelva las EDO de coe?cientes constantes% mediante el método deAariaci$n de ar,metros+

V ' ' ' +V ' =tan ( t )

Sol.V (t )=C 1+C 2 cos ( t )+C 3 sen ( t )+ln|sec(t )|−sen ( t ) ln|sec ( t )+ tan(t )|

AC# Resuelva la ecuaci$n de Cauchy @ Euler mediante cam#io de varia#le .

¿

x3

y' ' '

+3 x2

y' '

−3 xy ' = xln( x);¿



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AC"0# Resolver el pro#lema de valor inicial y ra?car la soluci$n o#tenida

x2 y

' ' ' − x y '' + y ' =ln ( x )

x ; y (1 )=0, y ´ (1 )=1, y '' (1 )=−1

AC""# *a temperatura ur en el anillo circular de la ?ura esta de?nida por elpro#lema de valor en la "rontera +

r d

2u

d r2+

du

dr =0u (2 )=10℃u (4 )=60℃

9allar la temperatura en el punto (3, /4) y ra?car la temperatura en "unci$n der.

AC" En una via de lonitud M metros% de per?l de acero 56 2== 8$duloelasticidad E 21==== \;mm2 % 5 =%====21B mB . 0e aplica una "uerza puntualde valor 2=== \. a una distancia del e&tremo iz(uierdo de Bm. *a via estasimplemente apoyada en los e&tremos Determinar +

a *a curva el,stica de la via y ra?carla.# 'se un sistema ale#raico de c$mputo para determinar en "orma apro&imada

el punto donde se produce la [e&i$n m,&ima [echa . cuanto vale la [e&i$nm,&imaT

c Vue sucede si se toma en cuenta la in[uencia del peso propio de la via.

# O+SER*ACIONES ESPECIALES

Revise los conceptos vistos en clase% (ue est,n relacionados con estaua.

Desarrollar todos los e/ercicios propuestos en esta ua y losrecomendados por el docente.

*os talleres en clase pueden desarrollarse con rupos de 2 o 3estudiantes

'tilice so"t)are matem,tico para ayuda con las r,?cas de alunose/ercicios.

!nte cual(uier duda% preunte a su pro"esor.

# +I+LIOGRAFÍA

AU%OR: ZILL DENNIS G# CULLEN 'IC@AEL R#



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%I%ULO: HEc92cio,es Di8e-e,ci2.es co, p-ob.e

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