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Ejemplo 1: La Compañía Envasadora Suponga que una compañía opera tres plantas envasadoras de un producto de bebidas gaseosas; están localizadas en Puerto La Cruz, Maracaibo y Ciudad Bolívar. Las envasadoras pueden llenar 250, 600 y 800 cajas de latas por día, respectivamente. Los distribuidores del producto tienen cinco almacenes localizados en Coro, Mérida, Caracas, Maturín y la Isla de Margarita. Las envasadoras desean determinar el número de cajas que deben ser enviadas desde las tres envasadoras hasta los cinco almacenes, de tal manera que cada almacén obtenga tantas cajas como pueda vender diariamente, a costo total de transporte mínimo. El problema es caracterizado por 15 posibles envíos de las envasadoras a los almacenes. Entonces hay 15 variables a ser determinadas (variables de decisión). Hay además ciertas restricciones que se deben satisfacer: Cada almacén debe recibir un número determinado de cajas y además cada envasadora no puede enviar más de lo que envasa diariamente. Observe que si el costo de enviar una caja desde una de las envasadoras a uno de los almacenes es cij, entonces el costo de enviar xij cajas seria cijxij (Proporcionalidad). Además, el costo total de los envíos individuales (Aditividad). Observe también que la premisa de divisibilidad no se viola, puesto que los requerimientos de los almacenes se satisfacen con valores enteros de las variables y se pueden permitir fracciones de una caja. Es bueno señalar, sin embargo, que se está haciendo una simplificación en el problema, ya que por lo general los costos de envió en cierta cantidad que se envía y esta variación, que usualmente es no lineal, no esta contemplada en el problema. En diversas oportunidades, es necesario hacer simplificaciones en un problema para poder aplicar el modelo de programación lineal y no violar sus premisas. En la práctica, muchas de estas simplificaciones no se expresan explícitamente como lo hemos hecho. En otros casos, los modelos de programación lineal que se han aplicado han producido buenos resultados, por lo que al presentarse una situación similar, implícitamente las premisas del modelo se cumplen. En nuestro caso y con fines didácticos, señalaremos la aplicabilidad del modelo al ejemplo 4 de esta sección, explicando que allí también se satisfacen las premisas del modelo.

1. Formulación Matemática del Problema de la Compañía Envasadora

Se tienen tres plantas envasadoras de bebidas gaseosas localizadas en tres distintos sitios de Venezuela. Estas plantas deben surtir a cinco distribuidoras situadas en cinco partes distintas del Territorio Nacional. Lo que se desea es saber el número de cajas que deben ser enviadas desde las envasadoras hasta los distribuidores de tal manera que, cumpliendo con los requerimientos y las capacidades de suministro, el costo total de transporte sea el mínimo. Vamos a suponer que los costos unitarios de transporte desde cada envasadora a cada distribuidor sean los siguientes:

Distribuidores (j) 1 2 3 4 5

1 1.8 2.4 0.7 5.6 2.3

2 4.1 6.2 5.0 3.1 1.8

3 6.3 4.9 0.9 0.8 4.0

Por ejemplo, el costo de enviar una caja desde la envasadora 1 hasta el distribuidor 5 es de Bs 2.3. Supongamos además que los requerimientos diarios de los distribuidores 1, 2, 3, 4 y 5 son respectivamente; 200, 400, 300, 450 y 300. Pasó 1: Designamos por xij, (i = 1, 2, 3), (j = 1, 2, 3, 4, 5) el número de cajas a enviar de la envasadora i al distribuidor j. Estas son las variables de decisión (15 en total) y toman valores no negativos. Pasó 2: Construyamos ahora la función objetivo. Si x11 es el número de cajas a enviar desde la envasadora 1 al distribuidor 1, el costo de transporte es 1.8x11. De igual manera podemos escribir que el costo de transportar x12 unidades desde la envasadora 1 al distribuidor 2 es 2.4x12. De manera general, si decimos que cij es el

Envasadoras

(i)

costo de transportar una unidad de la envasadora i (i = 1, 2, 3) al distribuidor j (j = 1, 2, 3, 4, 5), entonces el costo total seria:

Como lo que deseamos es obtener el costo total mínimo, entonces la función objetivo es Costos por Distribución

Pasó 3: Establezca el conjunto de restricciones. Es claro que la envasadora 1 sólo puede llenar 250 cajas de latas por día. Entonces; x11 + x12 + x13+ x14 + x15 = 250. De manera análoga se puede establecer que: Unidades por Línea

En forma resumida, estas tres ecuaciones las escribiremos:

En el caso de los distribuidores, el distribuidor 1 requiere 200 cajas por día. Esto se expresa:

De manera análoga, para el distribuidor 2 podemos escribir: Unidades por Distribuidor

En forma general, si designamos por rj el requerimiento del distribuidor j (j = 1, 2, 3, 4, 5), podemos escribir:

Como las variables de decisión, es decir, la cantidad de cajas a enviar de cada envasadora a cada distribuidor, no pueden ser negativas, se expresa de la siguiente manera:

En resumen, el modelo matemático para el problema de las compañías envasadoras es:

Un tipo de problema que se encuentra frecuentemente se refiere al diseño óptimo de una mezcla o de una aleación. Supongamos que una fábrica desea producir una aleación Z, con 30% del metal A, 30% del metal B y 40% del C. supongamos además que hay nueve aleaciones en el mercado cuya composición y precios se conocen y están señalados en la tabla 1.1. Se desea determinar la cantidad que debe comprarse de cada una de las nueve aleaciones, para formar un kilogramo de la aleación Z al menor costo posible.

Aleaciones 1 2 3 4 5 6 7 8 9

% A 10 10 40 60 30 30 30 50 20 % B 10 30 50 30 30 40 20 40 30 % C 80 60 10 10 40 30 50 10 50

Costo Bs/kg 82 86 116 120 152 150 146 138 146

Tabla 1.1. Datos para el ejemplo 2 Por supuesto, que el fabricante puede comprar la aleación N° 5, que coincide con la deseada, pero el costo es Bs 152 por kilogramo. Si el fabricante compra, por ejemplo, 250 gr de 1, 250 gr de 2 y 500 gr de 8, obtiene un kilogramo de la mezcla con las proporciones deseadas al menor precio, pero, claro esta, que este proceso es laborioso y tedioso cuando el número de aleaciones disponibles es grande y la mezcla deseada tiene varios componentes. Se necesita un enfoque más formalizado.

2. Formulación Matemática del Problema de la Aleación Z

Se quiere determinar las cantidades que deben tomarse de nueve aleaciones existentes en el mercado, con el fin de obtener un kilogramo de una aleación Z con 30% del metal A, 20% del metal B y 40% del metal C, de tal manera que el costo sea mínimo. Pasó 1: Designemos por xj la cantidad, en kilogramos, que el fabricante debe comprar de la aleación i (i = 1,2,…,9). Estas son las variables de decisión y toman valores no negativos. Pasó 2: Construyamos ahora la función objetivo. Si x1 es la cantidad, en kilogramos, que el fabricante debe comprar de la aleación 1, entonces el costo de esa compra es 82x1. De manera similar, el costo de comprar x2 kilogramos de la aleación 2 es 86x2. En forma general, si designamos por ci el costo de comprar xi kilogramos de la aleación i (i = 1, 2,…, 9) entonces el costo total será:

Como la que deseamos es obtener el costo total mínimo, entonces la función objetivo es:

Paso 3: establezca ahora el conjunto de restricciones. Como se desea obtener un kilogramo de la aleación Z, debe cumplirse que la suma de las cantidades de cada una de las aleaciones del mercado sea igual a 1 kg, es decir,

Por otra parte, la contribución de cada aleación del mercado debe formar una con 30% de metal tipo A, 30% de metal tipo B y 40% de C. O sea:

De igual manera podemos establecer la contribución de cada aleación con el 30% de la aleación Z. En resumen, el modelo de programación lineal para el problema de la aleación Z es:

3. Formulación del Problema de Producción de la Fabrica F

El modelo de programación lineal tiene también campo de aplicación en los sistemas de producción. Supongamos que en la fábrica F, la gerencia de producción considera conveniente descontinuar un producto que tiene poco margen de ganancia y dedicar esa capacidad de producción para fabricar uno dos o hasta tres nuevos productos (1, 2 y 3). La capacidad disponible en las maquinas A, B y C así como el número de horas que requiere cada unidad de los productos, se muestra en la tabla 1.2. El departamento de ventas indica que el potencial de venta para los productos 1 y 2 excede la tasa de producción y que el potencial para la productos 3 es de 20 unidades por semana. Cada unidad de los productos 1, 2 y 3 produce una ganancia neta de Bs 300, Bs 120 y Bs 150, respectivamente. Se desea determinar cuanto debe producir la fábrica de cada uno de los productos a fin de maximizar la ganancia total.

Tipo de Maquina

Tiempo Disponible

(Horas/sem.)

Horas de Maquinas/Unidad Producidas

1 2 3

A B C

500 350 150

9 3 5 5 4 0 3 0 2

Tabla 1.2. Datos para el Ejemplo 3 Al igual que en el ejemplo anterior, este problema puede ser resuelto por ensayo y error, hasta alcanzar aquella combinación de productos que genere la máxima ganancia. Sin embargo si el número de productos es grande o hay muchas máquinas, el trabajo de “tanteo” para obtener la solución es también largo y tedioso. De nuevo, necesitamos un enfoque más formalizado que el simple ensayo y error.

Solución

Se deseaba determinar cuanto debe producir la fabrica de cada uno de los tres productos que compiten en su capacidad de producción, con el fin de maximizar la ganancia total por la venta de los productos. La gerencia de producción de la fabrica “F” considera conveniente descontinuar un producto que tiene poco margen de ganancia y dedicar esa capacidad de producción para fabricar uno, dos o hasta tres nuevos productos (1, 2 y 3). La

capacidad disponible en las maquinas A, B y C así como el número de horas que requiere cada unidad de los productos se muestra en la tabla. El departamento de ventas indica que el potencial de venta para el producto 1 y 2 excede la tasa de producción y que el potencial para el producto 3 es de 20 unidades por semana. Cada unidad de los productos 1, 2 y 3 produce una ganancia neta de Bs. 300, Bs. 120 y Bs. 150, respectivamente. Se desea determinar cuanto debe producir la fábrica de cada uno de los productos a fin de maximizar la ganancia total.

I. Variables de Decisión: II. Función Objetivo:

III. IV. Restricciones

4. Formulación Matemática del Problema de Programación de Inventario y Ventas

Considere el problema de almacenar un determinado tipo de artículo para ser vendido en fechas posteriores. El almacén solo tiene capacidad para 100 artículos. Los costos de almacenamiento son de Bs 100 por trimestre por cada unidad. En cada trimestre el precio de compra iguala al precio de venta. Este precio varía de trimestre a trimestre

Tipo de Maquina

Tiempo Disponible

Horas Maquinas/Unidad Producidas

1 2 3

A B C

500 350 150

9 3 5 5 4 0 3 0 2

de acuerdo a la Tabla 1.3.; de tal manera que se puede obtener una ganancia comprando cuando el precio es bajo y vendiendo cuando el precio es alto. El objetivo es determinar el programa óptimo de venta, almacenamiento y compra para el periodo de un año (en trimestres), suponiendo que el inventario inicial es de 50 unidades.

Trimestre Precio

(Bs/unidad)

1 1000 2 1200 3 800 4 900

Tabla 1.3. Datos para Ejemplo 4 En cada trimestre t se distinguen tres tipos de actividades relacionadas con las ventas, almacenamiento y compra de artículos. Esto conduce a 12 variables de decisión (tres por trimestre) con ocho restricciones, excluyendo las de no negatividad de las variables de decisión. Los problemas de inventario conllevan aspectos no lineales. Por ejemplo, la determinación de la capacidad óptima a almacenar para que los costos sean mínimos, es un problema no lineal. En nuestro caso, hemos supuesto que esa cantidad a almacenar ha sido determinada para cada periodo t y que lo que necesitamos establecer es la programación de ventas, almacenamiento y compras. La proporcionalidad se mantiene si suponemos que habrá descuentos o costos adicionales cuando se vendan, compren o almacenen artículos. Es decir, si al vender una unidad se recibe una cierta cantidad c, entonces al vender x unidades se recibirá cx. Algo similar podemos decir con las compras y el almacenamiento. Con relación a la premisa de Aditividad, no es necesario hacer una simplificación, ya que todo se ha reducido a cantidades de dinero. Para que se cumpla la premisa de divisibilidad, se establece que las unidades a vender, almacenar y comprar, pueden tomar valores no enteros sin introducir cambios en los costos. Por ejemplo, almacenar 1,7 unidades cuesta lo mismo que cuesta almacenar 2 unidades. Dicho de otra manera, es posible redondear a valores enteros sin necesidad de hacer ajustes en los costos totales.

Un almacén tiene capacidad para 100 artículos. Los costos de almacenamiento son de Bs. 100 por cada unidad. En cada trimestre el precio de compras iguala el precio de venta. Este precio varia de trimestre a trimestre de acuerdo a la tabla; de tal manera que se puede obtener una ganancia comprando cuando el precio es bajo y vendiendo cuando el precio es alto. El objetivo es determinar el programa óptimo de venta, almacenamiento y compra para el periodo de un año (en trimestre), suponiendo que el inventario inicial es de 50 unidades.

Trimestre Precio

(Bs/unidad)

1 1000 2 1200 3 800 4 900

I. Variables de Decisión II. Función Objetivo

El Programa debe hacerse a un costo mínimo Z

Para t = 1:

Para t = 2:

Para t = 3:

Para t = 4:

III. Restricciones:

(Para t = 1; el inventario es de 50 unidades)

5. Formulación Matemática del Problema del Contratista

El modelo de programación lineal se ha utilizado también para obtener los máximos beneficios cuando se interviene en licitaciones por precios unitarios de una obra de ingeniería. Supongamos que el departamento de construcción de un Ministerio saca a licitación la construcción de una carretera. En los cómputos métricos se indican las cantidades de cada una de las partidas que se piensa serán necesarias para llevar a cabo el proyecto. Las empresas contratistas enviaran sus precios unitarios por cada partida y formar así el monto total por el cual ellas van a competir. El contrato se otorga, usualmente, a la oferta menor y se establecen pagos periódicos (mensualmente, digamos) por las cantidades completas durante cada periodo. Una vez que el contrato se ha otorgado, el monto total es irrelevante, puesto que las cantidades señaladas en los cómputos métricos rara vez concuerdan con las ejecutadas en obra. Un licitante puede entonces colocar precios unitarios altos en aquellas partidas que se completan a corto tiempo y precios unitarios bajos en partidas que se completan a más largo tiempo. De esta manera, él obtiene pagos parciales rápidamente que pueden ser utilizados para financiar etapas posteriores del proyecto. Desde el punto de vista del contratista, un objetivo razonable es la maximización del valor presente de todos los ingresos futuros. Suponga que hay n partidas y que el tiempo propuesto para finalizar la obra es de k meses. El problema es entonces determinar el precio unitario xj para la i-ésima partida (i = 1, 2,…, n) para cumplir con la maximización del valor presente que mencionamos.

Solución

El departamento de construcción de un Ministerio saca a licitación la construcción de una carretera. En los cómputos métricos se indican las cantidades de cada una de las partidas que se piensa serán necesarias para llevar a cabo el proyecto. Las empresas contratistas enviarán sus precios unitarios por cada partida y forman así el monto total por el cual ellas van a competir. El contrato se otorga, usualmente, a la oferta menor y se establecen pagos periódicos (mensualmente, digamos) por las cantidades completas durante cada periodo. Una vez que el contrato se ha otorgado, el monto total es irrelevante, puesto que las cantidades señaladas en los cómputos métricos, rara vez concuerdan con las ejecutadas en obra. El problema es entonces determinar el precio unitario Xi para la i-ésima partida (i = 1, 2, 3,… n) para cumplir con la maximización del valor presente que mencionamos.

Sea Xm el precio unitario licitado por la m-ésima partida.

La ganancia esperada en el j-ésimo mes por la cantidad de obra completada de la m-ésima partida es . Por no estar disponible para el contratista la suma hasta el j-ésimo mes, se desea maximizar el valor presente de esa suma. Valor Presente (P);

Para una tasa de interés fija, la expresión

es una constante f, llamada vector

de descuento.

En este caso el valor presente es , donde f es el factor de descuento.

Función Objetivo: Si el valor presente de las ganancias futuras es Z, entonces la función objetivo es:

Restricciones: La primera restricción es que la suma (no descontada) de todas las ganancias no debe exceder la oferta total B. Esto es;

El segundo grupo de restricciones se refiere a los precios unitarios corrientes en las diversas partidas. Se sabe que la excavación en roca es más cara que la excavación en tierra. Entonces habrá varias restricciones de este tipo, así:

El tercer grupo de restricciones establece que hay valores de precios unitarios mínimos Cmi;

Se licita la ejecución de una obra de limpieza y excavación con cuatro partidas; 1, 2, 3 y 4; con las siguientes cantidades; 25.000, 60.000, 40.000 y 25.000; respectivamente.

Se prepara la siguiente cotización:

Partidas Cantidades Precios

U. Totales Tiempo Comp.

1 25.000 20 500.000 3 meses 2 60.000 10 600.000 12 meses 3 40.000 35 1.400.000 12 meses 4 25.000 20 500.000 15 meses

Total: 3.000.000

Cada pago se realiza después que la partida se ha completado y que el valor del dinero es del 1% mensual (12% anual). El valor presente de la oferta, si se mantienen esos precios unitarios, es:

Z = (500.000) (1.01)-3+ (600.000) (1.01)-12+ (1.400.000) (1.01)-12+ (500.000) (1.01)-15

Z = 2.690.898,00 Bs. < 3.000.000 Bs.

Como lo que se busca es maximizar el valor presente, entonces necesitamos determinar los precios unitarios; X1, X2, X3 y X4; tal que se maximice el valor presente Z, o sea;

Maximizar: Z = (25.000) (1.01)-3X1+ (60.000) (1.01)-12X2+ (40.000) (1.01)-12X3+ (25.000) (1.01)-15X4

Z = 24.265X1+ 53.247X2+ 35.498X3+ 21.534X4

Las restricciones serán;

25.000X1 + 60.000X2 + 40.000X3 + 25.000X4 = 3.000.000

X2 X3

10 X1 30

X2 10

10 X4 30

Las restricciones (2) a (5) se refieren a la relación que el contratista estima debe existir entre los precios unitarios de las diferentes partidas y los máximos y mínimos de estas partidas.

6. Formulación del Modelo Matemático del Problema de Inversión Un inversionista puede invertir en dos negocios A y B, al comienzo de los primeros 5 años. Cada bolívar invertido en A al comienzo de un año le produce una ganancia de 0.30 Bs. Dos años después (a tiempo para reinvertirlos si se desea). Cada bolívar invertido en B al inicio de un año le produce una ganancia de 0.50 Bs. Tres años después.

Se dispone además de dos negocios C y D para invertir en los años 2 y 5. Cada bolívar invertido en C al inicio del año 2 devuelve1.70 Bs., al final del año 5. Cada bolívar invertido en D al inicio del año 5 devuelve 1.20 Bs. Al final de ese año.

El inversionista comienza con 10.000,00 Bs. Y desea determinar que plan de inversión maximiza la cantidad de dinero que puede acumular al inicio del año 6.

I. Variables de Decisión: II. Función Objetivo;

At = cantidad de bolívares invertidos en negocio A al inicio Z = 1.3A4 + 1.5B3 + 1.7C2

del año t (t = 1, 2, 3, 4)

Bt = cantidad de bolívares invertidos en negocio B al inicio del año t (t = 1, 2, 3)

C2 = cantidad de bolívares invertidos en negocio C al inicio del año 2

D5 = cantidad de bolívares invertidos en negocio D al inicio del año 5

Rt = cantidad de bolívares no invertidos en el año t (t = 1, 2, 3, 4)

+ 1.2D5

III. Restricciones;

A1 + B1 + R1 = 10.000

A2 + B2 + C2 + R2 = R1

A3 + B3 + R3 = R2 + 1.3A1

A4 + R4 = 1.3A2 + 1.5B1 + R3

D5 = 1.3A3 + 1.5B2 + R4

At 0, t = 1, 2, 3, 4

Bt 0, t = 1, 2, 3

C2 0,

D5 0,

Rt 0, t = 1, 2, 3, 4

EJERCICIOS 1. Una compañía produce dos tipos de productos A y B. Se puede vender hasta

180.000 unidades/semana del tipo A, y hasta 100.000 unidades/semana del tipo B. La ganancia por la venta de cada unidad del tipo A es de Bs. 0.30 y por cada unidad del tipo B es de Bs. 0.50. El departamento de producción puede elaborar 7.000 unidades/hora del tipo A y 3.000 unidades/hora del tipo B. Las unidades elaboradas pasan a una sección donde se colocan en cajas individuales para su distribución y

venta posterior. En esa sección se pueden empacar 5.000 unidades/hora de productos tipo A y 4.000 unidades/hora de productos tipo B. Se requiere determinar la cantidad de unidades del producto A y del producto B que se puede producir y vender, a fin de maximizar las ganancias. (Suponer semanas de trabajo de 40 horas). Formular el modelo de programación lineal que permita determinar las cantidades mencionadas.

2. Un fabricante elabora tres productos A, B y C. Hay dos procesos V y W por los cuales tienen que pasar los tres productos. El tiempo de manufactura (en horas) para cada unidad es:

Productos V W

A 9 11 B 5 18 C 20 6

En el proceso V no se dispone de más de 400 horas/semana de máquina y en el W dispone a lo sumo de 750 horas/semana. La ganancia por la fabricación y venta de los productos es la siguiente; A-32 Bs/unidad, B-20 Bs/unidad y C-60 Bs/unidad. Suponiendo que todo lo que se produzca se puede vender. ¿Cuánto debe producirse de cada producto para maximizar las ganancias?

3. Una compañía elabora dos tipos de fertilizantes: A y B; utilizando tres tipos de materias primas; 1, 2 y 3. La materia prima es utilizada en la manufactura de los fertilizantes de la siguiente manera:

Materias Primas

Materia Prima para Elaboración 1 ton

Fertilizante

Disponibilidad máxima Materia Prima (ton/mes)

A B

1 2 1 1.500 2 1 1 1.200 3 1 0 500

Precio Venta 150 100

Formular un modelo de programación lineal, que permita determinar la cantidad de cada fertilizante que debe elaborar la compañía con el fin de maximizar las ganancias.

4. Una compañía fabricante de productos de acero tiene tres fábricas. En la siguiente tabla se muestran los datos más relevantes:

Minas

Costos de envió Minas-Fabricas Bs/ton

Disponibilidad (ton)

1 2 3

1 9 16 28 103 2 14 29 19 97

Requerimientos fabricas (ton) 71 133 96

Construir un modelo de programación lineal que permita determinar la cantidad de material que debe enviarse de la mina; i (i = 1,2) a la fabrica j (j = 1, 2, 3). SOLUCIONES A EJERCICIOS 1.

Formulación del Problema I. Variables de Decisión: II. Función Objetivo:

Xi = cantidad de productos a producir; donde i = A y B

Maximizar:

III. Restricciones:

2. Formulación


Xi = cantidad de productos a producir; donde i = A, B, C

III. Restricciones:

3.

Formulación del Modelo I. Variables de Decisión: II. Función Objetivo:

Xi = cantidad de productos a producir Maximizar: Z = 150XA + 100XB

III. Restricciones:

2XA1 + XB1 1500

XA2 + XB2 1200

XA3 500

XAi 0

XBi 0

4


Xij = cantidad material a enviar; donde; i = 1,2 y j = 1, 2, 3

Minimizar: Z = 9X11 + 16X12 + 28X13 + 14X21 + 29X22 + 19X23

III. Restricciones:

X11 + X12 + X13 103

X21 + X22 + X23 97

X12 + X22 133

X13 + X23 96

Xij 0

AUTOEVALUACIÓN 1. Una compañía ABC fabrica dos productos X e Y. Cada unidad debe ser procesada en

dos maquinas 1 y 2. La cantidad total de tiempo disponible en cada máquina es de 100 h/sem. Y las ganancias de la compañía son de Bs 40 por cada unidad producida y vendida del producto X, y Bs 30 por cada unidad producida y vendida del producto Y. Cada unidad del producto X requiere 1 hora de la máquina 1 y 3 horas en la máquina 2. El producto Y requiere 2 horas por unidad en la máquina 1 y 1 hora/unidad en la máquina 2. Determinar las cantidades que se deben producir de cada uno de los productos para maximizar las ganancias.

Productos Variables Maquinas

Ganancias 1 2

x x1 1 3 40 y x2 2 1 30

Disponibilidad máquinas 100 h/s 100 h/s

2. Una granjero posee 1.000 Ha de tierra donde puede sembrar maíz, trigo y soya. Cada hectárea de maíz cuesta Bs 2.000,00 en preparación, requiere 7 días/hombres de trabajo y proporciona una ganancia de Bs. 600,00. Cada hectárea de trigo cuesta Bs 2.400,00 en prepararla, requiere 10 días/hombres de trabajo y proporciona una ganancia de Bs 800,00. Para cada hectárea de soya los correspondientes valores son; 1.400, 8 y 400. Si el granjero tiene Bs 2.000.000,00 para preparación y puede contar con 8.000 días/hombres de trabajo. ¿Cuántas hectáreas debe plantar de cada cultivo para maximizar sus ganancias?

Productos Variables Preparación Días/Hombres Ganancias

Maíz x1 2.000 7 600 Trigo x2 2.400 10 800 Soya x3 1.400 8 400

Disponibilidad 2.000.000 8.000

3. Una refinería utiliza dos grados de crudos y produce como salida gasolina de dos calidades y aceite de motor. De cada barril de crudo grado 1; se obtienen: 0.5 barriles de gasolina de alto octanaje, 0.3 barriles de gasolina de bajo octanaje y 0.1 barril de aceite de motor. De cada barril de crudo de grado 2 se obtiene 0.2 barriles

de gasolina de alto octanaje, 0.3 de la de bajo octanaje y 0.4 barriles de aceite. El barril de crudo grado 1 cuesta Bs 135, mientras que el de grado 2 cuesta Bs 108. Cada día se debe producir 1000 barriles de gasolina de alto octanaje, 600 barriles de bajo octanaje y 100 barriles de aceite. ¿Cuántos barriles de crudo de cada tipo debe comprar la refinería a fin de cumplir con los requerimientos al menor costo?

Crudos Variables Gasolina

AO Gasolina

BO Aceite

Costo (Bs

)

1 x1 0.5 0.3 0.1 135 2 x2 0.2 0.3 0.4 108

Producción diaria 1000 600 100

4. El ejército está interesado en construir almacenes en tres estados. El costo por

cada sitio es el siguiente:

Estado Bolívares (Bs)

Estado A 20.000.000 Estado B 30.000.000 Estado C 24.000.000

Las necesidades de inventario requieren la construcción de por lo menos 15 almacenes. Sin embargo, el departamento de planificación ha especificado que el número de almacenes en A sea al menos el doble del número de almacenes en B. Adicionalmente, el número total de empleados no debe exceder a 4.000. Cada almacén en A empleara 200, en B cada uno empleara 750 y cada uno en C empleará 300. Se desea determinar la cantidad de almacenes en A, B y C; a fin de cumplir los requerimientos a un costo mínimo.

Almacenes Variables Costos

(Bs.) Empleados Estado A x1 20.000.000 200 Estado B x2 30.000.000 750 Estado C x3 24.000.000 30

Total de empleados 4.000

5. Un mayorista almacena uno de sus productos en una edificación que puede acomodar 200 unidades. El primer día de cada mes, el mayorista puede comprar tanto como desee y va despachando artículos a lo largo del mes. La demanda es constante, de tal manera que no es necesario considerar ninguna distribución de probabilidad para esa demanda. Los precios de venta y costo para los tres meses siguientes son:

Meses 1 2 3

Costo/unidad 10 11 10 Venta/unidad 12 12 15

Actualmente el mayorista tiene 50 unidades.

Designar por:

Xi: número de unidades compradas en el mes i (i = 1, 2, 3)

Yi: número de unidades vendidas en el mes i (i = 1, 2, 3)

Hay varias restricciones que caen dentro de dos categorías: Aquellas que se refieren al hecho que el mayorista no puede vender lo que no tiene, aquellas que se refieren a no sobrepasar el límite de almacenamiento

6. La demanda natural de cierto mineral de purezas; altas, medias y bajas, es: 12, 8 y 24 toneladas respectivamente. El mineral se extrae de dos minas A y B. La mina A produce diariamente 6, 2 y 4 toneladas del mineral de pureza alta, media y baja respectivamente. La producción diaria de B es de 2, 2 y 12 toneladas respectivamente. Los costos de operación de las minas A y B son respectivamente; 2000000 Bs/día y 1600000 Bs/día. ¿A qué nivel deben operarse las minas para cumplir con la demanda al menor costo?

7. Una compañía posee cuatro diferentes lotes de terreno donde puede cultivar

cuatro diferentes tipos de cultivos: A, B, C y D. Los datos se suministran a continuación:

Lotes Áreas

Cosecha Anual (tons/anuales)

Ganancias anuales (Bs 103/Has)

A B C D A B C D

1 1500 17 14 10 9 16 12 20 18 2 1700 15 16 12 11 14 13 24 20 3 900 13 12 14 8 17 10 28 20 4 600 10 11 8 6 12 11 18 17

Requerimientos mínimos (tos) 22.5 9 4.8 3.5

¿Qué cantidad de hectáreas deben disponer para cada tipo de cultivo a fin de maximizar las ganancias de la compañía?

8. Un contratista licita el trabajo de fundación de una presa de concreto. Después de

revisar el proyecto y considerar los competidores potenciales, llega a un monto global de7.500.000, 00 bolívares. Las cantidades de obra estimadas se muestran en las respectivas tablas. La última columna es el rango de precios unitarios estimados por el contratista. Dado el tiempo e construcción estimado y la tasa de interés (8% anual). Determinar los precios unitarios de las cuatro partidas a fin de maximizar el valor presente de las ganancias.

Partidas

Cantidades estimadas (Bs)

Dueño Contratista

1 Excavación en tierra (m3) 400.000,00 350.000,00

2 Excavación en roca

(m3) 30.000,00 35.000,00

3 Perforación

(m) 1.800,00 1.800,00

4 Concreto

(m3) 300 400

Partidas

Tiempo de Construcción Precios (Bs)

Rangos 1 año 2 años 3 años

1 250.000,00 100.000,00 8 a 18 2 5.000,00 30.000,00 60 a 110 3 500 1.300,00 60 a 120

4 400 2000 a

3500

9. En una planta de producción que opera las 24 horas del día, se requiere una cantidad mínima de obreros que depende de la hora del día. Los requerimientos mínimos son los siguientes:

Variables Horas del día Nº de Obreros

x1 2 a 6 40

x2 6 a 10 80

x3 10 a 14 100

x4 14 a 18 70

x5 18 a 22 120

x6 22 a 2 40

Cada trabajador labora 8 horas por día. El objetivo es encontrar el menor número de trabajadores para cumplir con los requerimientos señalados.

10. Una planta de reducción de aluminio produce dos grados de lingotes que se venden

por; 2850,00 Bs/ton y 3200,00 Bs/ton. La compañía tiene dos fuentes de bauxita disponibles con los siguientes análisis y costos:

Bauxita A (%) B (%) C (%) Costo (tons/Bs)

1 40 30 30 150 1 10 70 20 200

La planta tiene una capacidad de fundición de 200 tons de producto y ha contratado la compra de un mínimo de 50 tons/semana de la bauxita de calidad 1 y 50 tons/sem de la bauxita de la calidad 2. El lingote de grado 1 debe tener al menos 30% de A y no más de 20% de B o C. El lingote de grado 2 debe tener al menos 40% de B y no más de 30% de A o C. Un 80% de A y un 90% de B y C se pierden en el proceso de fundición. ¿Qué mezcla de bauxita 1 y 2 maximizará la ganancia?

SOLUCIONES A LA AUTOEVALUACIÓN

1. Formulación del Modelo


Xi = cantidad de productos a producir; (i = X, Y = 1, 2) Maximizar: Z = 40X1 + 30X2

III. Restricciones:

X1 + 2X2 100

3X1 + X2 100

Xi 0



Xi = cantidad de hectáreas a plantar

(donde i = 1, 2, 3 = maíz, trigo, soya) Maximizar: Z = 600X1 + 800X2 + 400X3

III. Restricciones:

7X1 + 10X2 + 8X3 8.000

2.000X1 + 2.400X2 + 1.400X3 2.000.000

X1 + X2 + X3 1000

Xi 0



Xi = cantidad de barriles a producir

(i = 1, 2 = grado 1, grado 2) Minimizar: Z = 135X1 + 108X2

III. Restricciones:

0.5X1 + 0.2X2 1.000

0.3X1 + 0.3X2 600

0.1X1 + 0.4X2 100

Xi 0

4.


Xi = cantidad de almacenes a producir; i = A, B, C = 1, 2, 3

Minimizar: Z = (20.000) X1 + (30.000.000) X2 + (24.000.000) X3

III. Restricciones:

200X1 + 750X2 + 30X3 4.000

X1 + X2 + X3 15

X1 2X2

Xi 0

5. Formulación del Model0 G: Ganancias V: Ventas C:

Costos

Maximizar: G = ventas –costos

I. Variables de Decisión: II. Función Objetivo

50+x1 50+x1+x2-y1 50+x1+x2+x3-y1-y2

Mes 1 Mes 2 Mes 3

50+x1-y1 50+x1+x2-y1-y2 50+x1+x2+x3-y1-y2-

y3

Restricciones:

50+x1 200

50+x1- y1 0

50+x1+x2-y1 200

50+x1+x2-y1-y2 0

50+x1+x2+x3-y1-y2 200

50+x1+x2+x3-y1-y2-y3 0

Xi 0, Yi 0; i = 1, 2, 3 6.


Xi = nivel de producción de las minas i (i = A, B = 1, 2)

Minimizar: Z = (2.000.000,00) X1 + (1.600.000,00) X2

III. Restricciones:

6X1 + 2X2 12

2X1 + 2X2 8

4X1 + 12X2 24

Xi 0

0 X1 7

0 X2 7


I. Variables de Decisión:

Xij = cantidad de hectáreas a disponer; i = 1, 2, 3, 4 y j = A, B, C, D

II. Función Objetivo:

Maximizar:

Z =16X11+12X12+20X13+18X14+14X21+13X22+24X23+20X24+17X31+10X32+28X33+20X34+12X41+11X42+18X43+17X44

III. Restricciones: 17X11 + 15X21 + 13X31 + 10X41 22.5

14X12 + 16X22 + 12X32 + 11X42 9

10X13 + 12X23 + 14X33 + 8X43 4.8

9X14 + 11X24 + 8X34 + 6X44 3.5

X11 + X12 + X13 + X14 1500

X21 + X22 + X23 + X24 1700

X31 + X32 + X33 + X34 900

X41 + X42 + X43 + X44 600

Xij 0; i = 1, 2, 3, 4 y j = A, B, C, D

8.


Xm = cantidad de obra a realizar en m (m = 1, 2, 3, 4)

gm = ganancia estimada por m3; donde m = 1, 2, 3, 4

fj = constante de proporcionalidad para el valor presente (j = 1, 2, 3)

Estimación de “f”:

8% anual; entonces; f = (1+0.08)-1 f = 0,926

Z = [(0,926) (2,5.105) + (0,926) (1.105)] X1+ [(0,926) (5.103) + (0,926)2(3.104)] X2 + [(0,926)2 (5.102)+

(0,926)3(1,3.103)]X3 +[(0,926)3(400)]X4 III. Restricciones:

400.000X1 + 30.000X2 + 1.800X3 + 300X4 7.500.000

8 X1 18

60 X2 110

60 X3 120

2000 X4 3500

Xm 0

9.

Formulación del Modelo I. Variables de Decisión: II. Función Objetivo: X1 = cantidad de trabajadores en el periodo i (i = 1, 2, 3, 4,

5, 6) Minimizar: Z = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6

III. Restricciones:

X1 40

X2 80

X3 100

X4 70

X5 120

X6 40

Xj 0


Xi = cantidad de bauxita usada en el lingote grado 1 (i = 1, 2)

Yi = cantidad de bauxita usada en el lingote grado 2 (i = 1, 2)

Maximizar: Z = 2850 (0,14X1 + 0,11X2) + 3200 (0,14y1 + 0,11y2) – 150 (x1 + y1) – 200 (x2 + y2)

III. Restricciones:

X1 + X2 + Y1 + Y2 200

X1 + X2 50

Y1 + Y2 50

0,3 (0,14X1 + 0,11X2) 8X1 + 2X2

0,2 (0,14X1 + 0,11X2) 3X1 + 7X2

0,2 (0,14X1 + 0,11X2) 3X1 + 2X2

O,4 (0,14X1 + 0,11X2) 3Y1 + 7Y2

0,3 (0,14X1 + 0,11X2) 8Y1 + 2Y2

0,3 (0,14X1 + 0,11X2) 3Y1 + 2Y2

Xi, Yi 0

guia

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