guia3-2013

UNIVERSIDAD CATÓLICA DE SANTA MARÍAGuía de Prácticas de Ingeniería Económica

Factores: Como el tiempo y el interés afectan al dinero

A . OBJETIVOS

Analizar y calcular los factores de valor presente y recuperación de capital de serie uniforme.

Analizar y calcular los factores de valor futuro y fondo de amortización de serie uniforme.

Analizar y calcular los factores del valor presente de gradiente aritmético y de serie uniforme.

Realizar el análisis de sensibilidad básico mediante las funciones de la hoja de cálculo.

B . RECURSOS

Papel Calculadora Pizarra Computador. Guía de Prácticas.

C . DURACIÓN DE LA PRÁCTICA

Dos sesiones (2 horas).

D . MARCO TEÓRICO

1. ANUALIDAD

Una anualidad es una serie de pagos que cumple con las siguientes condiciones: 1. Todos los pagos son de igual valor. 2. Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo3. A todos los pagos se le aplica la misma tasa de interés

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PRÁCTICA

3

Curso de Ingeniería Económica

4. El número de pagos es igual al número de periodos 1.1. PLAZO DE UNA ANUALIDAD

El tiempo que transcurre entre el inicio del primer período y el final del último período se denomina el plazo de una anualidad y se representa por n.

Una anualidad tienes dos valores el valor final y el valor presente en el primer caso, todos los pagos son trasladados al final de la anualidad y en el segundo caso todos los pagos son trasladados al principio de la anualidad.

1.2 SERIES UNIFORMES DE VALOR PRESENTE

El caso del valor presente lo representaremos por (P/A,n,i%) en la notación tradicional y significará el valor presente de una anualidad de n pagos puestos en valor presente a la tasa i%.La fórmula se obtiene al plantear la ecuación de valor con fecha focal al principio y trasladando todos los pagos a valor presente a la tasa i

HALLAR P DADO A P = A * [ (1+i%) N - 1] [ i% *(1+i%)N ]

0 1 2 3

A A A n

1.3 RECUPERACIÓN DE CAPITAL

El caso de anualidades lo representaremos por (A/P,n,i%) en la notación tradicional y significará las anualidades de n pagos de un valor presente puestos en anualidades a la tasa i%.

HALLAR A DADO P A = P * [ i% * (1+i%) N ] [(1+i%) N - 1]

A A A

0 1 2 3 n

1.4 CANTIDAD COMPUESTA SERIE UNIFORME

El valor futuro de la serie uniforme ordinaria es un pago único futuro, el cual esta ubicado al final del plazo o termino de la serie, exactamente donde ocurre el ultimo pago y además es equivalente a las N cuotas de valor A cada una y situadas al final de cada intervalo de pago.

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Para determinar el valor futuro F, se establece una ecuación de valor con N, por facilidad, de la siguiente forma:

HALLAR F DADO A. F = A * [ (1+i%) N - 1) ] i%

A A A

0 1 2 3 n

1.5 FONDO DE AMORTIZACIÓN

Para determinar las anualidades de un valor futuro F, se establece una ecuación de anualidad con N, por facilidad, de la siguiente forma:

HALLAR A DADO F. A = F * i% [ (1+i%)N - 1) ]

0 1 2 3 n

A A A

1.6 RESUMEN DE LOS FACTORES Y DE LAS FUNCIONES DE EXCEL

=VA(i;n;;F;)Convierte una suma futura F al final del período n a una suma presente P al comienzo del período 1, o sea final del período 0.

=VF(i;n;A;;)Convierte una serie uniforme de valor A, que se inicia al final del período 1 y termina al final del período n, a una suma futura F, al final del período n.

=VA(i;n;A;;)Convierte una serie uniforme de valor A, que se inicia al final del período 1 y termina al final del período n a una suma presente P al comienzo del período 1, o sea final del período 0.

=PAGO(i;n;P;;)Convierte una suma presente P al comienzo del período 1, o sea final del período 0 a una serie uniforme de valor A, que se inicia al final del período 1 y termina al final del período n.

=PAGO(i;n;;F;)

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Convierte una suma futura de valor F, situada en el final del período n a una serie uniforme de valor A, que se inicia en el final del período 1 y termina al final del período n.1.7 Ejemplos

Un documento estipula pagos trimestrales de $80,000 durante 6 años. Si este documento se cancela con un solo pago de:a) al principio b) al final, con una tasa del 32% capitalizable trimestralmenteSolución:El número de pagos es n = 4 x 6 = 24, A = -$80.000i = 32/4 = 8% efectivo trimestral

a)

P = 80 000 [ (1+0.08) 24 – 1 = $ 842 301 [ 0.08 *(1+0.08) 24 ]

b)

F = 80 000 * [ (1+0.08) 24 - 1) ] = $ 5 341 181 0.08

Una persona empieza el día primero de julio de 1986 a hacer depósitos de $1,000 mensualmente el día primero de cada mes. Estos depósitos son efectuados en una entidad financiera que le paga el 24% capitalizable mensualmente pero, a partir del primero de octubre de 1987, decidió que de ahí en adelante, sus depósitos serían de $2,500. El último depósito lo hizo el primero de agosto de 1.989. Si el primero de diciembre de 1989 decide cancelar la cuenta. ¿Cuál será el monto de sus ahorros?

Solución:

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80000

80000 80000 80000

0 1 2 3…………. . ….. n

P

8000080000 80000 80000

0 1 2 3…………. . ….. 24

F

25002500

10001000 1000

2500

1-6-86 1-7-86 1-8-86 ………. 1-9-87 1-10-87 1-11-87 ….. 1-9-89…. . ….. 1-12-89

F


Observemos que hay 2 anualidades: la de renta de $1.000 y la de renta de $2,500. La primera anualidad empieza el 1-6-86 (primero de junio de 1986) y termina el 1-9-87 (primero de septiembre de 1987) y la segunda anualidad empieza el 1-9-87 y termina el 1-8-89. De ésta forma la primera anualidad tendrá 15 períodos y su valor final deberá ser trasladado por 27 períodos para llevarlo a la fecha focal (desde el 1-9-87 hasta el 1-12-89). La segunda anualidad tendrá 23 períodos y su valor final lo debemos trasladar por 4 períodos. Respuesta: F = $107,574.69

Una deuda de $50.000 se va a cancelar mediante 12 pagos uniformes de $A. Con una tasa del 2% efectivo para el período, hallar el valor de la cuota A situando: la fecha focal el día de hoy y poniendo la fecha focal en 12 meses

a. En este caso se usa A/P porque todo el flujo de caja debe ser puesto al principio que es donde está la fecha focal, … donde A = $4,727.98b. En este caso puede usarse F/A porque todo el flujo de caja debe ser puesto en el punto 12 que es donde está la fecha focal, pero la deuda de los $50.000 sigue en 0 lo cual implica que deberá ser trasladada a valor final con todos los pagos, … donde A = $4,727.98

2. GRADIENTES

Un gradiente uniforme es una serie de flujo de caja que aumenta o disminuye de manera uniforme. Es decir que el flujo de caja, ya sea ingreso o desembolso, cambia en la misma cantidad cada año. La cantidad de aumento o disminución es el GRADIENTE. Esta serie de pagos, cumple con las siguientes condiciones:1. El número de pagos es igual al número de períodos. 2. Los pagos se efectúan a iguales intervalos de tiempo. 3. Todos los pagos cumplen con una ley de formación. 4. Todos los pagos se trasladan al principio o al final a la misma tasa de interés.

Si un fabricante de ropa predice que el costo de mantenimiento de una máquina cortadora aumentará en $ 50.000 anuales hasta dar de baja la maquina, hay involucrada una serie de gradiente y la cantidad gradiente es $ 50.0000. De la misma, manera si la compañía espera que el ingreso disminuya en $ 30.000 anuales durante los próximos cinco años, el ingreso que disminuye representa un gradiente por la cantidad de $ 30.000.

2.1 GRADIENTE ARITMÉTICO.

Denominado igualmente gradiente lineal. En el gradiente aritmético cada pago es igual al anterior, más una cantidad constante G; si esta constante es positiva, el gradiente será creciente, si la constante es negativa, el gradiente será decreciente. Si G = 0 todos los flujos de caja son iguales y la serie se convierte en una anualidad.

2.1.1 VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMETICO

El modelo a utilizar es el siguiente:Si la gradiente es positiva: PT = PA + PGSi la gradiente es negativa: PT = PA - PG

Si la gradiente es positiva será la primera de las fórmulas y si es negativa la segunda.

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PG = G * [ ( 1+ i ) N - iN - 1 ] i 2 ( 1 + i )N

Ejemplo:

Una pareja se propone empezar a ahorrar dinero depositando $ 500 en su cuenta de ahorros dentro de un mes. Calculan que los depósitos aumentarán en $ 100 cada mes durante nueve meses. Cuál sería el valor presente de la inversión si la tasa de interés es 5% mensual?.

Se deben hacer dos cálculos: 1. P = A ( P/A, i , N ) y, 2. P = G ( P/G, i ,N )

Entonces el valor presente total - PT - es igual al valor presente de la cantidad base - PA - más el valor presente del gradiente - PG, ya que ambos ocurren en el año cero. PT = PA + PG = 500 ( P/A, 5%, 10) + 100( P/G, 5%, 10) = $ 3,860.8675 + 3,65.2048 = $ 7,026.0723

2.1.2 VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE ARITMETICO

F = G [ 1 * ( 1 + i ) N - 1 N ] i i

2.1.3 VALOR DE LA AMORTIZACIÓN DADO UN GRADIENTE ARITMETICO

A = G [ 1 N ] i ( 1 + i ) N - 1

ACTIV IDADES DE LA PRÁCTICA

1. Calcular el valor de contado de un equipo industrial comprado así: $ 150.000 de cuota inicial y 12 pagos trimestrales de $ 80.000, a una tasa de interés del 10% trimestralmente.

2. Un terreno que vale de contado $ 25.000.000 se va a financiar de la siguiente forma: cuota inicial igual al 8%, 36 cuotas mensuales iguales pagaderas en forma anticipada, y una cuota extraordinaria al final del mes 18 de $ 2.500.000. Si la tasa de interés que le cobran es del 2% mensualmente, calcular el valor de las cuotas.

3. Se está construyendo un negocio que estará en servicio dentro de un año. Suponga que las utilidades sean de $ 650.000 mensuales y durante 4 años de servicio. Usted desea comprar este negocio ¿Cuál será el valor, en pesos de hoy, que debe ofrecer para que al final de los 4 años tenga una ganancia adicional de $ 3.000.000, si su tasa de interés es del 3% mensual?

4. ¿Cuánto dinero podría invertir una compañía de limpieza ambiental de suelos para financiar un proyecto de reclamación de sitio, si espera ingresos de S/. 140,000

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Año

Año


anuales durante un periodo de limpieza de 5 años? Suponga que la tasa de interés es de 10% anual.

5. Una Ingeniería inició una pequeña empresa que usa tecnología de banda ultra ancha para desarrollar dispositivos que pueden detectar objetos dentro de edificios, tras las paredes o bajo la tierra. La compañía espera gastar S/. 100,000 anuales para laborar y S/. 125,000 anuales para suministros antes de que un producto se comercialice, a una tasa de interés del 12%. ¿Cuál es la cantidad futura equivalente total de los gastos de la compañía al final de 3 años?

6. En una empresa, los ingresos del reciclado de plástico se incrementaron a una tasa constante de S/. 800 en cada uno de los últimos 3 años. Si se espera que el ingreso de este año (es decir, al final del año 1) sea de S/. 4 000 y la tendencia de ingreso continúa hasta el año 5, a) cuál será el ingreso dentro de 3 años? y b)¿qué cantidad igual en los años 1 al 5 es la equivalente de todo el ingreso durante dicho periodo de tiempo a una tasa de interés de 10% anual?

7. Una compañía distribuidora de libros por internet considera comprar un avanzado sistema de cómputo para cúbicar las dimensiones de un libro: medir su altura, largo y ancho para que se utilice para embarque al tamaño apropiado de la caja. Esto ahorrará material de empaque, cartón y trabajo. Si los ahorros serán de S/. 12 000 el primer año, S/. 13 000 el segundo año y cantidades crecientes en S/. 1 000 cada año durante 10 años. ¿Cuales son: a) el valor presente y b) el valor anual uniforme del sistema a una tasa de interés de 15% anual?.

8. Por medio de la aplicación de técnicas de ingeniería industrial, una empresa logró ahorrar $28000 el primer año, disminuyendo los ahorros en $4000 cada año durante un periodo de cinco años. A una tasa de interés de 12% anual, ¿a cuánto equivalen los ahorros de los cinco años al final del quinto año?

EJERCIC IOS PROPUESTOS

1. Determine el valor actual del flujo de efectivo de la siguiente figura usando a lo sumo tres factores de interés a un interés compuesto del 10% anual.

$200 $150 $100 $100 $100

0 1 2 3 4 5

A A A

0 1 2 3 4 5

20


2. Una mujer acuerda pagar un préstamo bancario de $1,000 en 10 pagos iguales a una tasa anual de 10%. En forma inmediata a su tercer pago, toma prestados $500 también al 10%. Cuando recibe este segundo préstamo, acuerda con el banquero que le permita pagar el restante de la deuda del primer préstamo y la cantidad total del primer préstamo en doce pagos iguales anuales. El primer pago se hará un año después de que reciba los $500. Calcule la cantidad de los 12 pagos.

3. Suponga que se espera que el ingreso anual por la renta de una propiedad comience en $1300 por año y disminuya en una cantidad uniforme de $50 cada año después del primero, durante la vida esperada de 15 años de la propiedad. El costo de la propiedad es de $8000 y el i es de 9% por año. ¿es una buena inversión? Suponga que la inversión tiene lugar en el momento cero (ahora) y que el primer ingreso anual se recibe al final del primer año.

4. ¿Cuánto dinero deberá invertirse al final de cada año durante 25 años, comenzando el próximo año en un fondo que ascenderá a $ 180,000, al final de los 25 años? Suponga que la tasa de interés es de 14% anual.

5. Si en el problema anterior se ofrecen dos cuotas extraordinarias: la primera de $ 350,000 en el mes 5, y la segunda de $ 500,000 en el mes 18, cuál será el valor de la cuota ordinaria?

6. Suponga que los padres de un niño deciden realizar pagos anuales en una cuenta de ahorros, el primero de los cuales se efectúa en el quinto cumpleaños del niño y el ultimo en el decimoquinto. Después comenzando en el cumpleaños 18, se realizan retiros como se muestran en la figura. Si la tasa es de 8% por periodo. Cuales son los depósitos anuales cinco a quince.

7. Hallar el valor de $X del siguiente flujo de caja, con intereses al 30%

21

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

100100

100

100100

100

100

80 80 80

X


8. Hallar $X del siguiente flujo de caja, con tasa del 20%.

9. Un banco otorgó un préstamo por $11 000 a una tasa de interés anual de 8% y acordó que se le pagaría en 10 cantidades iguales al final de cada año, dando inicio en el primero. Después de pagar la quinta anualidad el banco ofrece, como alternativa, hacer sólo un pago de $7000 al finalizar el siguiente año, es decir, ya no se harían los cinco pagos restantes sino uno solo al final del sexto año. Determine qué opción de pago le conviene aceptar al deudor para liquidar las últimas cinco anualidades.

10. El exclusivo club deportivo Failured Champs ofrece dos opciones a los posibles socios: un pago de contado de $10000 que da derecho a una membresía por 10 años, o pagos anuales al inicio de cada año. En el primer año se pagarán $1200 y este monto se incrementará en $100 anualmente. Si se considera una tasa de interés de 12% capitalizado cada año, ¿cuál plan escogería usted en caso de que deseara pertenecer al club por un periodo de 10 años?

CUESTIONARIO

1. ¿Qué condiciones reúne anualidad o serie de pagos?2. ¿Qué factores podemos tener en cuenta en las anualidades?3. ¿Qué condiciones reúne una gradiente?

B . REFERENCIAS BIBL IOGRÁFICAS

[ 1 ] Chan S. Park, “Ingeniería Económica Contemporánea”, Ed. Addison Wesley, 1997.

[ 2 ] Blank - Tarkin “Ingeniería Económica”, Ed. Mc Graw Hill, 2003.

22

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

220

100150

225

337.5

100140

120

X

506.25

500


[ 3 ] Valera Moreno, Rafael “Matemática Financiera” Universidad de Piura.

C . DOCUMENTOS ADJUNTOS

Ninguno

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