CALCULO DIFERENCIAL

GUIA 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Una expresión algebraica es una combinación de constantes y variables de números reales ligadas mediante las operaciones básicas: suma, resta, producto, potenciación y radicación.

Ejemplos:

Polinomios de variable Real (x).

Un polinomio de grado n y variable real ( x ) es una expresión algebraica de la forma:

donde los coeficientes de la variable x son números reales y los exponentes son enteros positivos. Se llama término independiente a aquel que no contiene la variable.

Cada uno de los sumandos de un polinomio se llama término del polinomio, de acuerdo al número de términos los polinomios pueden tomar distintos nombres, así:Monomio: Es un polinomio de un solo término: Binomio: Es un polinomio de dos términos: Trinomio: Es un polinomio de tres términos:

Los polinomios de más de tres términos no tienen un nombre particular.

OPERACIONES CON POLINOMIOS

Suma de polinomios.

Términos semejantes. Dos términos son semejantes si la variable contiene el mismo exponente, por ejemplo los términos y son semejantes, este concepto se puede

extender a términos que tienen más de una variable, como por ejemplo: y son términos semejantes.

Si dos términos son semejantes, entonces se pueden sumar aplicando la Propiedad Distributiva (Recolectiva) de los números reales, así:

Resumiendo: Para sumar términos semejantes basta con sumar los coeficientes y multiplicar por la(s) misma(s) variable(s) con su(s) exponente(s). De tal manera que podemos generalizar esta operación cuando se suman más de dos términos:

La suma de dos o más polinomios consiste en construir un nuevo polinomio sumando los términos semejantes y agregando aquellos que no lo son, incluyendo los términos independientes.

Ejemplo, Dados los polinomios:

Realizar la operación: p(x)+q(x)+r(x)

Reunimos los términos semejantes aplicando las propiedades conmutativa y asociativa:

Al sumar obtenemos:

Nota: Recordemos que la resta de dos números reales consiste en sumar un real con el opuesto de otro.

Esta definición se puede aplicar a la resta de polinomios, considerando que el opuesto de un polinomio será aquel que tiene todos sus términos con signos cambiados, así:

Dados los polinomios:

Realice la operación: k(x)-t(x)

Convertimos la resta en una suma cambiando todos los signos del sustraendo (el polinomio de la derecha)

Ahora aplicamos la propiedad asociativa suprimiendo todos los paréntesis:

Finalmente sumamos, para obtener:

Veamos una resta cuyo resultado es cero al aplicar la propiedad del opuesto (inverso aditivo):

Producto de polinomios.

El producto de dos o más términos se realiza utilizando la propiedad de potenciación de números reales:

El coeficiente del producto resulta de multiplicar los coeficientes de los factores.

Ejemplos:

Generalización del producto

Es posible aplicar de producto de términos para multiplicar polinomios de cualquier cantidad de términos, usando la generalización de la propiedad distributiva de números reales: (a+b)(x-y)=ax-ay+bx-by. Aquí hemos multiplicado cada uno de los términos del primer factor por los términos del segundo factor.

Ejemplos:

Productos especiales (Productos notables)

Existen algunos productos, que por su continuo uso en álgebra y en cálculo, conviene memorizar. Estos productos son:

1. Binomio al cuadrado.

2. Suma por diferencia de dos cantidades.

3. Binomio al cubo:

2 2 2

2 2 2

( ) 2

( ) 2

a b a ab b

a b a ab b

4. Binomio de la forma

Al desarrollarlo obtenemos el polinomio:

Donde los coeficientes se pueden obtener a través del triángulo de pascal:

5. Binomio

Factorización de polinomios.

En matemáticas básicas es fundamental realizar el proceso de convertir ciertos polinomios en productos.Este procedimiento se llama factorización. Los casos de factorización que se estudian comúnmente son aquellos que conducen a los productos notables tratados con anterioridad.

3 3 2 2 3

3 3 2 2 3

( ) 3 3

( ) 3 3

a b a a b ab b

a b a a b ab b

Nota: Un polinomio está completamente factorizado si no contiene factores que se puedan factorizar.A continuación estudiamos los casos de factorización más comunes.

1. Factor común.

En este caso existe un factor (factor común) que se repite en cada uno de los términos del polinomio dado.

Ejemplo, en el polinomio existe un factor común que es p, para factorizarlo expresamos el polinomio como un producto utilizando la propiedad recolectiva de los números reales, así:

Otros ejemplos:

Para comprobar que la factorización es correcta basta con multiplicar aplicando la propiedad distributiva

2. Trinomio cuadrado perfecto.

Se llama así al trinomio que al factorizarse se convierte en un binomio al cuadrado. Un trinomio se reconoce como "trinomio cuadrado perfecto" si dos de sus términos son cuadrados perfectos, es decir, cada uno es el resultado de elevar una expresión al cuadrado y el otro término es el doble producto de dichas expresiones (sin elevar al cuadrado).

Los dos términos del binomio al cuadrado son los valores correspondientes a los cuadrados perfectos, es decir, si el trinomio es: entonces el binomio es

Ejemplo:

Nota: El único signo que puede ser negativo en el trinomio es del "doble producto" y en caso de serlo, entonces el binomio tendrá también signo negativo. Así:

Veamos otros ejemplos:

es un trinomio cuadrado perfecto porque tiene dos cuadrados perfectos: y el otro término: es el doble producto de n y m

De tal manera que su factorización es:

Factorizar el trinomio:

3. Diferencia de cuadrados.

Es la factorización cuyo resultado es el producto notable suma por diferencia de dos cantidades

Ejemplos:

4. Suma y diferencia de cubos.

Ejemplos:

5. Factorización por agrupación.

En algunos casos es necesario agrupar dos o más términos para factorizar. Veamos:

Ejemplos:

Agrupamos el polinomio como dos binomios, así:

Ahora factorizamos el primer binomio (factor común):

Tenemos de nuevo un factor común y se obtiene:

Aunque ya existe una factorización, aún no es completa, observemos que el segundo binomio es factorizable (diferencia de cubos):

por lo tanto, finalmente el resultado es:

6. Trinomio de la forma

Esta factorización conduce al producto notable de la forma donde y .Es decir, que para factorizar este trinomio debemos encontrar dos números cuyo producto sea n y su suma m.

Ejemplos:

7. Caso particular: Trinomio de la forma

En este caso el coeficiente de x no es uno por lo cual se trata de un caso particular del trinomio

El procedimiento para esta factorización consiste en multiplicar y dividir por k de tal manera que el coeficiente k se integre a la variable x y así se convierta en el trinomio

del cual ya conocemos sus factorización.

Ejemplo:

8. Factorización completando el trinomio cuadrado perfecto (por adición y sustracción).

Algunos polinomios permiten ser factorizados sumando y restando un mismo término, de manera que se completa un trinomio cuadrado perfecto, luego la expresión se convierte en una diferencia de cuadrados, la cual es fácil de factorizar.

Ejemplo:

para completar un trinomio cuadrado perfecto debemos sumar y restar , así:

sumando y conmutando, tenemos:

Ahora factorizamos (trinomio cuadrado perfecto):

Finalmente, factorizamos la diferencia de cuadrados:

Conclusión:

EJERCICIOS

1. Realice los productos de polinomios que aparecen indicados a continuación:

2. Realice mentalmente los siguientes productos y escriba el resultado:

3. Factorice los Polinomios:

Operaciones con expresiones no polinómicas

Realice las operaciones:

2. Halle un factor común y escriba la expresión en forma de productos (factorizada)