UNIVERSIDAD DE ATACAMAFACULTAD DE INGENIERIA / DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

Guıa 1

Ecuaciones Diferenciales

Profesor: M. Poblete - F. Torres. Primer Semestre 2014

1. Ejercicios.

1. Comprobar que las siguientes ecuaciones diferenciales son homogeneas y resolverlas.

a) (x cos( yx)− y sin( yx))dx+ x sin( yx)dy = 0 Sol: y = x arc cos( xC ).

b) 2xy′(x2 + y2) = y(y2 + 2x2) Sol: ln |y2

x | − (x2

y2) = C.

c) xy′ = y + 2xe−y/x Sol: eyx = ln(Cx2), C > 0.

d) xdy − ydx =√x2 − y2dx Sol: arcsin( yx) = ± ln |Cx|.

e) xy′ sin( yx) = −x+ y sin( yx) Sol: cos( yx) = ln |Cx|.

2. Sea b 6= 0. Probar que la sustitucion z = ax+by+c transforma la ecuacion y′ = f(ax+by+c)en una ecuacion de variables separables. Aplicar este resultado para resolver las siguientesecuaciones diferenciales.

a) y′ = (x+ y)2 Sol: y = tan(x+ C)− x.

b) y′ = sin2(x− y − 1) Sol: x− y − 1 = arctan(x+ C).

3. Probar que las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas y hallar su solucion general.

a) (y − x3)dx+ (x+ y3)dy = 0 Sol: 4xy − x4 + y4 = C.

b) (y + y cos(xy))dx+ (x+ xcos(xy))dy = 0 Sol: xy + sin(xy) = C.

c) y′ = 2x−sin(y)x cos(y) Sol: x sin(y)− x2 = C.

d) (sin(x) sin(y)− xey)dy = (ey + cos(x) cos(y))dx Sol: xey + sin(x) cos(y) = C.

e) y′ = −2x(3y2+2x2)3y(y+2x2)

Sol: 3x2y2 + x4 + y3 = C.

4. Para las siguientes ecuaciones diferenciales, hallar un factor integrante de la forma que seindica y encontrar en cada caso la solucion general:.

a) (3x2 − y2)dy − 2xydx , µ(y) , Sol: y2 − x2 = Cy3.

b) (x4 ln(x)− 2xy3)dx+ 3x2y2dy = 0 , µ(x) , Sol: y3 + x3(ln(x)− 1) = Cx2.

c) y′ = yx−y2−1 , µ(y), Sol: y2 + x− 1 = Cy.

d) y′ cos(x) + 3 = 2y sin(x), µ(x), Sol: 3 sin(x) + y cos2(x) = C.

e) (x+ y)dx+ x ln(x)dy = 0, µ(x), Sol; y = C−xln(x) .

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f ) (y2 + 2xy)dx− x2dy = 0, µ(y), Sol: y = x2

C−x .

g) (x+ 3x3y4)dy + ydx, µ(xpyp), Sol: 3x2y4 − 1 = Cx2y2.

h) (2y2 + 4x2y)dx+ (4xy + 3x3)dy = 0, µ(xpyq), Sol: x2y4 + x4y3 = C.

i) xdx+ ydy + x(xdy − ydx) = 0, µ(x2 + y2), Sol:√x2 + y2 = C(1− y).

j ) (x2 + y2 + y)dx− xdy = 0, µ(x2 + y2), Sol: x− arctan( yx) = C.

k)(

ex

cos(y) − tan(y))dx+ dy = 0, µ(x, y) = f(x) cos(y), Sol: x+ e−x sin(y) = C.

5. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales.

a) xdy + (y − xex)dx = 0 Sol: y = ex(x−1)+Cx .

b) xy′ + y = x2 cos(x) Sol: y = (x2−2) sin(x)+2x cos(x)+Cx .

c) (1 + x2)dy + 2xydx = cot(x)dx Sol: y = ln | sin(x)|+C1+x2

.

d) y′ − 2yx = x2 sin(3x) Sol: 3y + x2 cos(3x) = Cx2.

6. Resuelva el problema de valor inicial (Determine un adecuado factor integrante)

a) (y2 + 2xy)dx− x2dy = 0

y(2) = 0

Sol: y = 0.

b) (1 + x2)(dy − dx) = 2xydy

y(0) = 1

Sol: y = (1 + x2)(arctan(x) + 1).

7. Resolver el problema de valor inicial

a) 1xy′ − 2y

x2= x cos(x)

y(π2 ) = 3

Sol: y = x2(12−π2

π2 + sin(x))

, x > 0.

b) x2(x− 1)y′ + 2x2y = x+ 1

y′(12) = 0

Sol: y = −74(x−1)2 + x2+1

x(x−1)2 .

c) y2

2 + 2yex + (y + ex)y′ = 0

y(0) = −1

Sol: y2ex + 2ye2x + 1 = 0.

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8. Demostrar que toda ecuacion de la forma

yf(xy)dx+ xg(xy)dy = 0

admite como factor integrante

µ(x, y) =1

xy(f(xy)− g(xy))

9. Encuentre la solucion general de la ecuacion de Bernoulli.

a) y′ + y = xy2 Sol: y−1 = x+ 1 + Cex.

b) y′ − 3y = xy−4 Sol: y5 = −13

(x+ 1

15

)+ Ce15x.

c) x2y′ − xy = x−7y12 Sol: y

12 = − 1

17x−8 + Cx

12 .

d) 2y′ = yx −

xy2

con y(1) = 1 Sol: y3 = −3x2 + Cx32 .

e) y12 y′ + y

32 = 1 con y(0) = 4 Sol: y =

(1 + 7e−

32x) 2

3.

f ) xy2(xy′ + y) = a2 Sol: y = 3

√Cx3

+ 3a2

2x .

10. Encuentre la solucion general de la ecuacion de Riccati. (Use ambos metodos)

a) y′ = −ex2y2 + 2x(ex2 − 1)y + 1 + 2x2 − x2ex2 con yp = x

Sol: y = x+ e−x2

x+C .

b) y′ − sin2(x)y2 + 1sin(x) cos(x)y + cos2(x) = 0 con yp = cot(x)

Sol: y = cot(x) +[tan(x)(Ce

sin(2x)2 − 1)

]−1.

c) y′ = 2 cos2(x)−sin2(x)+y22 cos(x) con yp = sin(x)

Sol: y = sin(x) +[− sin(x)

2 + C cos(x)]−1

.

2. Aplicaciones.

1. La sala de diseccion de un forense se mantiene frıa a una temperatura constante de 5◦C.Mientras se encontraba realizando la autopsia de una vıctima de asesinato, el propio forensees asesinado. A las 10 am el ayudante del forense descubre su cadaver a una temperatura de23◦C. A las 12 am su temperatura es de 17◦C. Suponiendo que el forense tenıa en vida latemperatura normal de 37◦C. ¿A que hora fue asesinado?.Sol: A las 7 : 10 de la manana.

2. Lanzamos un objeto de masa m con una velocidad inicial v0 dirigida hacia abajo. Suponien-do que la fuerza debida a la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del objeto,determinar:

a) La ecuacion que representa el movimiento de dicho objeto. Resp: mdvdt = mg − kv.

b) La distancia recorrida por el objeto en funcion del tiempo.

Resp: x(t) = mgk t+ m

k

(v0 − mg

k

) (1− e−

ktm

).

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c) La velocidad del objeto en funcion del tiempo. Sol: v(t) = mgk −

(mgk − v0

)e−

ktm .

3. Un objeto de masa 3 kg se deja caer desde 500 metros de altura. Suponiendo que la fuerzade la gravedad es constante y que la fuerza debida a la resistencia del aire es proporcionala la velocidad del objeto, con constante de proporcionalidad k = 3 kg

sg . ¿En que momento elobjeto golpeara el suelo?.Resp: t ≈ 51,97 sg.

4. Un paracaidista cuya masa es 75 kg se deja caer desde un helicoptero que se encuentra sus-pendido a 4000 m de altura sobre la superficie y cae hacia la tierra bajo la influencia dela gravedad. Se supone que la fuerza gravitacional es constante y que la fuerza debida a laresistencia del aire es proporcional a la velocidad del paracaidista, con constante de propor-cionalidad k1 = 15 kr

sg cuando el paracaıdas esta cerrado y k2 = 105 kgsg cuando esta abierto.

Si el paracaıdas se abre 1 minuto despues de abandonar el helicoptero, veamos al cabo decuantos segundos llegara el paracaidista a la superficie.Resp: t ≈ 241, 49 sg.

5. Consideremos un tanque que, para un tiempo inicial t = 0, contiene Q0 kg de sal disuelta en100 litros de agua. Supongamos que en el tanque entra agua conteniendo 1

4 kg de sal por litro,a razon de 3 litros por minuto y que la solucion bien mezclada sale del tanque a la mismavelocidad.

a) Hallar una expresion que proporcione la cantidad de sal que hay en el tanque en untiempo t.

b) Hallar tambien una expresion que proporcione la concentracion de sal en el tanque encada instante t.

c) ´¿Cual es la cantidad de sal cuando pasa mucho tiempo?

Sol: a) x(t) = 25(1− e−0,03t

)+Q0e

−0,03t b) C(t) = x(t)100 c) 25 kg.

6. Consideremos un deposito grande que contiene 1000 lts de agua. Una solucion salada desalmuera empieza a fluir hacia el interior del deposito, a una velocidad de 6 lts

min . La soluciondentro del deposito se mantiene bien agitada y fluye hacia el exterior a una velocidad de 5ltsmin . Si la concentracion de sal en la salmuera que entra en el deposito es de 1 kg

lt . determinarla concentracion de sal en el tanque en funcion del tiempo.

Sol: C(t) =(

1− 10006

(100+t)6

)kglts .

7. Un estudiante portador de un virus de gripe regresa a un campus universitario aislado quetiene 1000 estudiantes. Al cabo de 4 dıas hay 50 estudiantes contagiados. Si se supone que larapidez con la que el virus se propaga es proporcional al numero de estudiantes contagiados yal numero de alumnos no contagiados, determinar el numero de estudiantes contagiados quehabra despues de 6 dıas.

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