ECUACIONES DIFERENCIALES - GUIA 1

1. Un embudo, en cuya salida se tiene un angulo de 60◦ y un area de la seccion rectade 0.5cm2, contiene agua. En el instante t = 0 se abre la salida y el agua fluye haciaafuera. Determinar el tiempo en que se vaciara el embudo. Suponiendo que el nivelinicial es h(0) = 10cm.

Solucion. En la figura se muestra el embudo con agua, con una altura h para uninstante t.

60

h

h

0.5cm 2

El volumen del agua que fluye hacia afuera en un instante corto de tiempo 4t es

4V = (area de la seccion recta) (velocidad)4t,

es decir4V = 0,5 v4t

donde v es la velocidad del agua que sale.

De la Ley de Torricelli, la velocidad a la que un lıquido mana de un orificio es

v = 0,6√

2gh

donde g = 980 cm/s2 es la aceleracion de la gravedad en la superficie de la Tierra yh es la altura instantanea del nivel del lıquido por encima del orificio. De aquı que

4V = 0,3√

2gh4t. (1)

1

Por otro lado, la variacion del volumen del agua en el embudo 4V ∗, esta dada por

4V ∗ = −π r24h

donde 4h es la disminucion de la altura h(t) del agua y r = h tan 30◦ =h√3

es el

radio del embudo a la altura h(t) de donde

4V ∗ = −πh2

34h. (2)

El signo menos aparece porque el volumen del agua en el embudo decrece.

Como la cantidad de agua que varıa dentro del embudo 4V ∗, es la misma que lacantidad de agua que ha salido al exterior 4V , entonces igualando las ecuaciones 1y 2, se obtiene

0,3√

2gh4t = −πh2

34h o

4h

4t= −0,9

√2g

πh−3/2. (3)

Si ahora se hace tender 4t hacia cero, se obtiene la ecuacion diferencial

dh

dt= −kh−3/2 (4)

donde k =0,9√

2g

π≈ 12,7.

Separando variables e integrando

h3/2dh = −k dt y25h5/2 = −kt + c (5)

Usando la condicion inicial en (5), esto es h(0) = 10, se obtiene c =25105/2. Sustitu-

yendo el valor de c en la ultima formula de (5) se tiene

25h5/2 = −kt +

25105/2. (6)

Despejando t en (6) y sustituyendo el valor de k se infiere

t =25k

(105/2 − h5/2) ≈ 10− 0, 0315h5/2.

De aquı que el embudo se vaciara cuando h = 0, esto acontece cuando t ≈ 10s.

2. Hallar la solucion general de las siguientes ecuaciones (donde a, b, k, θ y ω son cons-tantes)

a) y′ − 2y + a = 0

b) (x− 1)y′ = 2x3y

c) y′ = 2x−1√

y − 1

d) y′ = y cot 2x

e) y′ = y tanhx

f ) sen 2x dy = y cos 2xdy

g) x ln x dy − y dx = 0

h) (1− cos θ)dr = r senθ dθ

i) y′ + 3y senωx = 0.

3. Resolver los siguientes problemas con valor inicial

2

a) (x2 + 1)yy′ = 1; y(0) = −3

b) y′ = y2 senx; y(π) = 0,2

c) xyy′ = y + 2; y(2) = 0.

4. Hallar todas las curvas en el plano que tienen la propiedad dada:

a) Las normales pasan por el origen.

b) Las tangentes pasan por el origen.

c) Las tangentes en el punto (x, y) se intersecan con el eje x en el punto (x−1, 0).

d) La pendiente en cada punto P es igual al recıproco de la pendiente de la rectaque pasa por P y el origen.

5. . Considerese un tanque esferico de radio R=50cm. que contiene agua y tiene en elfondo una salida de radio r0 = 5 cm. En el instante t = 0 se abre la salida y el aguafluye hacia afuera. Determinar el tiempo en que el tanque quedara vacıo, suponiendoque la altura inicial del nivel del agua es h(0) = R = 50 cm.

6. Los experimentos muestran que el radio se desintegra a una rapidez proporcional ala cantidad de radio instantaneamente presente. Su vida media, es decir, el tiempoen que desaparecera el 50% de una cantidad dada, es de 1590 anos. ¿Que porcentajedesaparecera en 1 ano?

7. Supongase que en un cultivo de levadura, en cada instante la rapidez de cambiorespecto al tiempo del fenomeno activo y(t) es proporcional a la cantidad existente.Si y(t) se duplica en dos horas, ¿cuanto puede esperarse al final de 8 horas, a lamisma rapidez de crecimiento?

8. La ley de accion de masas afirma que, si la temperatura se mantiene constante, lavelocidad de una reaccion quımica es proporcional al producto de las concentracionesde las substancias que estan reaccionando. En la reaccion bimolecular

A + B → M,

se combinan a moles por litro de una substancia A y b moles por litro de unasubstancia B. Si y es el numero de moles por litro que han reaccionado despues detranscurrido el tiempo t, la rapidez de la reaccion esta dada por

y′ = k(y − a)(y − b)

Resolver la ecuacion suponiendo que a y b son distintos.

9. La ley de Lambert, afirma que la absorcion de la luz en una capa transparentemuy delgada es proporcional al espesor de la capa y a la cantidad de luz incidente.Plantear lo anterior en terminos de una ecuacion diferencial y resolverla

Chiclayo, Agosto 2011

Docente: Adelmo Perez Herrera.

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