UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR

FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA DE OCCIDENTE

DEPARTAMENTO DE INGENIERA Y ARUITECTURA

Mtodos Probabilsticos

Gua #1

Distribucin muestral de medias

1. Una poblacin consta de los siguientes cuatro valores: 12, 12, 14 y 16.

a) Enumere todas las muestras de tamao 2 y calcule la media de cada muestra.

b) Calcule la media de la distribucin muestral de la media y la media de la poblacin.

Compare los dos valores.

c) Compare la dispersin en la poblacin con la de las medias de las muestras.

d) Calcule la desviacin estandar de la media.

2. En la tabla se incluyen los ingresos por hora de cada empleado.

Empleado Ingresos por hora Empleado Ingresos por hora

Joe $7 Han $7

Sam 7 Art 8

Su 8 Ted 9

Bob 8

a) Cul es la media de la poblacin?

b) Cul es la distribucin muestral de la media para muestras de tamao 2?

c) Cul es la media de la distribucin muestral de la media?

3. En el despacho de abogados Tybo and Associates, hay seis socios. En la siguiente tabla

se incluye el nmero de casos que en realidad atendi cada socio en los tribunales

durante el mes pasado.

Socio # de casos

Ruud 3

Wu 6

Sass 3

Rores 3

Wilhelm 0

Schueller 1

a) Cuntas muestras de 3 son posibles?

b) Enumere todas las posibles muestras de 3 y calcule el nmero medio de casos en

cada muestra.

c) Compare la media de la distribucin muestral de las medias con la de la media

poblacional.

d) Calcule la desviacin estandar de la media.

4. Para una muestra de 19 observaciones de una distribucin normal con media 18 y

desviacin estndar 4.8,calcule

a) P (16 < < 20).

b) P (16 20).

c) Suponga un tamao de muestra de 48. Cul es la nueva probabilidad en el a)?

5. Mary Bartel, auditora de una gran compaa de tarjetas de crdito, sabe que el saldo

promedio mensual de un cliente dado es $112 y la desviacin estndar es $56. Si Mary

audita 50 cuentas seleccionadas al azar, encuentre la probabilidad de que el saldo

promedio mensual de la muestra sea

a) Menor que $100.

b) De entre $100 y $130.

6. El costo promedio de un estudio en condominio en el desarrollo Cedar Lakes es de

$62,000 con una desviacin estndar de $4,200.

a) Cul es la probabilidad de que un condominio en este desarrollo cueste al menos

$65,000?

b) La probabilidad de que el costo promedio de una muestra de dos condominios sea

al menos de $65,000 es mayor o menor que la probabilidad de que un condominio

cueste eso? En qu cantidad?

7. En el sur de California, la renta de un departamento con una recmara tiene una

distribucin normal con una media de $2 200 mensuales y una desviacin estndar de

$250 mensuales. La distribucin del costo mensual no se rige por la distribucin

normal. De hecho, tiene un sesgo positivo. Cul es la probabilidad de seleccionar una

muestra de 50 departamentos de una recmara y hallar que la media es de por lo

menos $1 950 mensuales?

8. El granjero Braun, quien vende granos a Alemania, posee 60 acres de campos de trigo.

Basndose en su experiencia pasada, sabe que la produccin de cada hectrea est

normalmente distribuida con una media de 120 fanegas y una desviacin estndar de

12 fanegas. Ayude al granjero Braun a planear la cosecha del sig. ao encontrando:

a) la media esperada de las cosechas de sus 60 hectreas.

b) la desviacin estndar de la media de muestra de las cosechas de las 60 hectreas.

c) la probabilidad de que la cosecha media por hectrea exceda las 123.8 fanegas.

d) la probabilidad de que la cosecha media por hectrea caiga entre las 117 y 122

fanegas.

Distribucin muestral de proporciones

9. Suponga que se cuenta con un grupo de 12 personas, el cual tiene 4 personas con

fobias. Se van a seleccionar 5 personas al azar de ese grupo sin reemplazo. Calcular:

a) La media de la distribucin muestral

b) La desviacin tpica de la desviacin muestral.

10. Despus de construir una maquina nueva, se producen 5 faros prototipo para

automvil y se descubre que 2 estn defectuosos y 3 son aceptables Suponga que se

seleccionan 2 faros al azar con reemplazo. Calcule:

a) Calcule la proporcin de defectuosos en cada muestra

b) La media de la distribucin muestral

c) La desviacin tpica de la desviacin muestral.

11. Un experimento en gentica incluye una poblacin de moscas de la fruta consistente

en un macho y 3 hembras. Suponga que se seleccionan 2 oscas de fruta al azar con

reemplazo. Calcular :

a) Calcule la proporcin de hembras en cada muestra

b) La media de la distribucin muestral

c) La desviacin tpica de la desviacin muestral.

12. Se ha determinado que 60% de los estudiantes de una universidad grande fuman

cigarrillos. Se toma una muestra aleatoria de 800 estudiantes. Calcule la probabilidad

de que la proporcin de la muestra de la gente que fuma cigarrillos sea menor que

0.55.

13. De un total de 1000 muestras de 200 nios cada una, en cuantas cabe esperar (a)

menos del 40% sean nios, (b) entre el 40% y el 60% sean nias, (c) El 53% o ms sean

nias.

14. En una determinada poblacin el 30% votara por el partido X en caso de que se

celebraran las elecciones maana. si seleccionamos al azar una muestra de 200

personas y las encuestamos. Obtengan la probabilidad que las personas que expresen

esa intencin de voto superen el 38%.

15. Un medicamento para malestar estomacal tiene la advertencia de que algunos

usuarios pueden presentar una reaccin adversa a l, ms an, se piensa que

alrededor del 3% de los usuarios tienen tal reaccin. Si una muestra aleatoria de 150

personas con malestar estomacal usa el medicamento, encuentre la probabilidad de

que la proporcin de la muestra de los usuarios que realmente presentan una reaccin

adversa, exceda el 4%.

Estimacin por intervalo para la media

16. Se selecciona una muestra de 10 observaciones de una poblacin normal para la cual

la desviacin estndar poblacional es de 5. La media de la muestra es de 20.

a) Determine el error estndar de la media.

c) Determine el intervalo de confianza de 95% para la media de la poblacin.

17. Bob Nale es propietario de Nales Texaco GasTown. A Bob le gustara estimar la

cantidad de galones de gasolina vendidos a sus clientes. Suponga que la cantidad de

galones vendidos tiende a seguir una distribucin normal, con una desviacin estndar

de 2.30 galones. De acuerdo con sus registros, selecciona una muestra aleatoria de 60

ventas y descubre que la cantidad media de galones vendidos es de 8.60.

a) Cul es el estimado puntual de la media poblacional?

b) Establezca un intervalo de confianza de 99% para la media poblacional.

18. La Universidad de Carolina del Norte est llevando a cabo un estudio sobre el peso

promedio de los adoquines que conforman los andadores del campus. Se enva a

algunos trabajadores a desenterrar y pesa una muestra de 421 adoquines, y el peso

promedio de la muestra resulta ser 14.2 libras. Todo mundo sabe que la desviacin

estndar del peso de un adoqun es 0.8 libras.

a) Encuentre el error estndar de la media.

b) Cul es el intervalo alrededor de la media de la muestra que incluir la poblacin

de la media el 95.5% de las veces?

19. Eunice Gunterwal es una ahorradora estudiante de licenciatura de la universidad del

estado que est interesada en comprar un auto usado. Selecciona al azar 125 anuncios

y ve que el precio promedio de un auto en esta muestra es $3,250. Eunice sabe que la

desviacin estndar de los precios de los autos usados en esta ciudad es $615.

a) Establezca una estimacin de intervalo para el precio promedio de un automvil de

manera que Eunice tenga una seguridad del 68.3% de que la media de la poblacin

est dentro de este intervalo.

b) Establezca una estimacin de intervalo para el precio promedio de un auto de modo

que la seorita Gunterwal tenga el 95.5% de certeza de que la media de la poblacin

est dentro de este intervalo.

20. La administradora del puente Neuse River est preocupada acerca de la cantidad de

automviles que pasan sin pagar por las casetas de cobro automticas del puente, y

est considerando cambiar la manera de cobrar, si el cambio permite solucionar el

problema. Muestre al azar 75 horas para determinar la tasa de violacin. El nmero

promedio de violaciones por hora fue 7. Si se sabe que la desviacin estndar de la

poblacin es 0.9, estime un intervalo que tenga el 95.5% de probabilidad de contener

a la media verdadera.

21. Suponga que se toma una muestra de 50 elementos de una poblacin con desviacin

estndar de 27, y que la media de la muestra es 86.

a) Establezca una estimacin de intervalo para la media de la poblacin que tenga el

95.5% de certeza de incluir a la media verdadera de la poblacin.

b) Suponga, ahora, que el tamao de la muestra es 5,000 elementos. Establezca un

intervalo para la media de la poblacin que tenga el 95.5% de certeza de incluir a la

media verdadera de la poblacin.

c) Por qu la estimacin del inciso a) sera preferible a la del inciso b)? Por qu la

estimacin del inciso b) sera mejor que la del inciso a)?

Estimacin de una proporcin

22. El propietario de West End Kwick Fill Gas Station desea determinar la proporcin de

clientes que utilizan tarjeta de crdito o dbito para pagar la gasolina en el rea de las

bombas. Entrevist a 100 clientes y descubre que 80 pagaron en el rea de las

bombas.

a) Calcule el valor de la proporcin de la poblacin.

b) Construya un intervalo de confianza de 95% para la proporcin poblacional.

23. El dueo de la empresa Home Loan Company investig aleatoriamente 150 de las

3,000 cuentas de la compaa y determin que el 60% estaba en una posicin

excelente.

a) Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la proporcin de cuentas que

estn en posicin excelente.

b) Con base en el inciso anterior, qu tipo de estimacin de intervalo podra dar para

el nmero absoluto de cuentas que cumplen con el requisito de excelencia,

manteniendo el mismo nivel de confianza del 95%?

24. El consejo estudiantil de una universidad tom una muestra de 45 libros de texto de la

librera universitaria y determin que de ellos, 60% se venda en ms del 50% arriba de

su costo al mayoreo. D un intervalo de confianza del 96% para la proporcin de libros

cuyo precio sea ms del 50% mayor que el costo al mayoreo.

25. Michael Gordon, un jugador profesional de bsquetbol, lanz 200 tiros de castigo y

encest 174 de ellos.

a) Estime el error estndar de la proporcin de todos los tiros que Michael falla.

b) Construya un intervalo de confianza del 98% para la proporcin de todos los tiros de

castigo que Michael falla.

26. En una muestra aleatoria de 500 familias que tienen televisores en la ciudad de

Hamilton se encuentra que 340 estn inscritas a HBO. Calcule un intervalo de

confianza del 95% para la proporcin real de familias que tienen HBO.

27. Se esta considerando un nuevo sistema de lanzamiento de cohetes. La probabilidad de

que el sistema existente tenga un lanzamiento exitoso se representa con p = 0.8. Se

toma una muestra de 40 lanzamientos con el nuevo sistema y 34 resultan exitosos.

a) Construya un intervalo de confianza del 95%

b) Con base en sus resultados concluira que el nuevo sistema es mejor?.

28. Schadek Silkscreen Printing, Inc., compra tazas de plstico para imprimir en ellas

logotipos de actos deportivos, graduaciones, cumpleaos u otras ocasiones

importantes. Zack Schadek, el propietario, recibi un envo grande esta maana. Para

asegurarse de la calidad del envo, seleccion una muestra aleatoria de 300 tazas.

Hall que 15 estaban defectuosas.

a) Cul es la proporcin aproximada de tazas defectuosas en la poblacin?

b) Construya un intervalo de confianza de 95% para la proporcin de tazas

defectuosas.

c) Zack lleg con su proveedor al acuerdo de que devolver lotes con 10% o ms de

artculos defectuosos. Debe devolver este lote? Explique su decisin.

29. Durante un ao y medio las ventas han estado disminuyendo de manera consistente

en las 1,500 sucursales de una cadena de comida rpida. Una empresa de asesores ha

determinado que el 31% de una muestra de 95 sucursales tiene claros signos de una

mala administracin. Construya un intervalo de confianza del 98% para esta

proporcin.

Estimacion del tamao adecuado de una muestra

30. Suponga que el presidente de Estados Unidos desea un clculo de la proporcin de la

poblacin que apoya su actual poltica relacionada con las revisiones del sistema de

seguridad social. El presidente quiere que el clculo se encuentre a menos de 0.04 de

la proporcin real. Suponga un nivel de confianza de 95%. Los asesores polticos del

presidente calculan que la proporcin que apoya la actual poltica es de 0.60.

a) De qu tamao debe ser la muestra que se requiere?

b) De qu tamao debe ser una muestra si no hubiera disponible ningn estimador

de la proporcin que apoya la actual poltica?

31. Suponga que una universidad est efectuando una investigacin acerca de los ingresos

anuales de los estudiantes del ltimo ao de su escuela de administracin. Se sabe,

por experiencia, que la desviacin estndar de los ingresos anuales de la poblacin

completa (1,000 estudiantes) de los egresados es alrededor de $1,500. Qu tan

grande debe ser la muestra que debe tomar la universidad con el fin de estimar el

ingreso medio anual de los estudiantes graduados el ao pasado, dentro de ms

menos $500 y con un nivel de confianza del 95%?

32. Quiere estimar la media de la poblacin a menos de 5, con un nivel de confianza de

99%. Se calcula que la desviacin estndar es de 15. De qu tamao debe ser la

muestra?

33. Debe votarse una propuesta importante y un poltico desea encontrar la proporcin de

personas que estn a favor de la propuesta. Encuentre el tamao de muestra

requerido para estimar la proporcin verdadera dentro de 0.05 con un nivel de

confianza del 95%. Suponga que no se tiene idea de cul es la proporcin.

Cul sera el cambio en el tamao de la muestra si pensara que cerca del 75% de las

personas favorece la propuesta? Cul sera el cambio si slo alrededor del 25%

favorece la propuesta?

34. Se planea llevar a cabo una encuesta para determinar el tiempo medio que ven

televisin los ejecutivos corporativos. Una encuesta piloto indic que el tiempo medio

por semana es de 12 horas, con una desviacin estndar de 3 horas. Se desea calcular

el tiempo medio que se ve televisin a menos de un cuarto de hora. Se utilizar el nivel

de confianza de 95%. A cuntos ejecutivos debe entrevistarse?

35. La universidad est considerando la posibilidad de elevar la colegiatura con el fin de

mejorar las instalaciones; para ello, sus autoridades desean determinar qu porcentaje

de estudiantes estn a favor del aumento. La universidad necesita tener una confianza

del 90% de que el porcentaje se determin dentro del 2% del valor verdadero. Qu

tamao de muestra se requiere para garantizar esta precisin independientemente

del porcentaje verdadero?