guia teoria practica 03

7/23/2019 Guia Teoria Practica 03

1/16

Facultad de Ingeniera Industrial Matemtica III

1

APLICACIONES A LAS DERIVADAS

I.

INTRODUCCIN MOTIVACIN En esta seccin aprenderemos como usar lasderivadas parciales para localizar los mximos y mnimo de funciones de dos variables. Porejemplo si tenemos un negocio lo natural es hacerse las preguntas Cmo maximizo misganancias? Cmo minimizo costos? Saquemos algunas conclusiones de la grafica

Obsrvese las colinas y los valles en la grafica. Hay dos puntos ( , )a b donde f tiene un

mximo local, es decir donde es mayor ( , )f a b que los valores cercanos de ( , ) .f x y El mayor

de estos valores es el mximo absoluto. Asimismo, ftiene dos mnimos locales, donde es

ms pequeo ( , )f a b que los valores cercanos. El menor de estos valores es el mnimo

absoluto.

II.

CAPACIDAD A LOGRAR Interpreta los resultados de la matriz Hessiana en losproblemas de optimizacin.

III. DESARROLLO TERICOPRCTICO

APLICACIONES DE LA DERIVDA

DEFINICIN Una funcin 2f : D , definida en un conjunto abierto 2D tiene

alcanza un mximo relati voen ( , )a b si ( , ) ( , )f x y f a b cuando ( , )x y est cerca de ( , )a b ; es

decir en algn disco con centro ( , )a b . El nmero ( , )f a b recibe el nombre de valor mximo

relativo. Si ( , ) ( , )f x y f a b cuando ( , )x y est cerca de ( , )a b , entonces ( , )f a b es unmnimo relativoen ( , )a b y ( , )f a b es un valor mnimo relativo

Si las desigualdades de la definicin anterior se cumplen para todos los puntos ( , )x y en el

dominio de f (es decir en D), entonces decimos que f alcanza un mximo absoluto, o unmnimo absoluto,en ( , )a b .

Gua de Teora y Prctica

Matemtica III

Se ana N 3


2/16


2

a. VALORES MAXIMOS Y MNIMOSTEOREMA Si f tiene un mximo relativo o un mnimo relativo en ( , )a b y las derivadas

parciales de primer orden existen all, entonces ( , ) 0xf a b y ( , ) 0.yf a b

OBSERVACIN:La interpretacin geomtrica de este teorema es que si la grafica de ftiene un plano tangente en un mximo relativo o en un mnimo relativo, entonces el planotangente debe ser horizontal al plano XY

DEFINICION Un punto ( , )a b se llama punto crtico o punto estacionario de f si

( , ) 0xf a b y ( , ) 0,yf a b o si una de estas derivadas parciales no existen.

COROLARIO. Sif tiene un mximo relativo o un mnimo relativo en ( , )a b , entonces

( , )a b es un punto crtico def.

OBSERVACIN: Como en el clculo de una variable, no todos los puntos crticosgeneran un mximo o mnimo. En un punto crtico, una funcin podra tener un mximorelativo o un mnimo relativo o ninguno de los dos.

EJEMPLO Determine los puntos donde 2 2

2 6 14f x, y x y x y . alcanza sumximo o mnimo

Las derivadas parciales son 2 2 y 2 6x yf x, y x f x, y y ,

Estas derivadas parciales son iguales a 0 cuando 1 y 3x y , de modo que el nico punto

crtico es (1,3). Al completar el cuadrado, se encuentra que

2 2

4 1 3f x, y x y .

Puesto que 2 2

1 0 y 3 0x y , tiene que 4f x, y para todos los valores de yx y.

Por lo tanto, 1 3 4f , es un mnimo relativo, y, en efecto, es el mnimo absoluto de f.

Se puede confirmar lo anterior en forma geometra a partir de la grafica de f, la cual es el

paraboloide elptico con vrtice (1, 3, 4) .

EJEMPLO Hallar los puntos crticos o estacionarios de la funcin:2 2 2 2

( , ) 5 8 5f x y x y x xy y

0

( , )f

a by

0

( , )f

a bx

( , )a b

( , , ( , ))a b f a b

0

( , )f

a by

0

( , )f

a bx

( , )a b

( , , ( , ))a b f a b

f tiene un mnimo relativo en (a,b)f tiene un mximo relativo en (a,b)


3/16


3

Consideremos( , ) 0

,

( , ) 0

fx y

x

fx y

y

Para calcular los puntos crticos o estacionarios, hacemos

2

2

( , ) 2 10 8 0,

( , ) 2 8 10 0

f

x y xy x yx

fx y x y x y

y

De la primera ecuacin, hacemos el despeje

2 2

8 4

2 10 5

y yx

y y

. Ahora reemplazamos en la segunda ecuacin

2

2 2

4 42 8 10 0

5 10

y yy

y y

, simplificando 4 2( 10 9) 0,y y y entonces

2 2( 9)(10 1) 0y y y , de donde 0y , 1,y 3y . Luego si y = 0, se tiene

x= 0. Por tanto los puntos crticos son (0,0)

Para y = 1, se tienex= -1, es decir (-1,1)

Para y = -1, tenemos x= 1, es decir (1,-1)

Para y = -3, tenemosx=-3, es decir (-3,-3)

Para y = 3, tenemos x =3, es decir (3,3)

DEFINICION Un punto crtico que no mximo ni mnimo relativo es llamado punto sil la.

EJEMPLO La funcin 2 2( , ) ,f x y y x no alcanza mximos ni mnimos.

Las derivadas parciales son

( , ) 2 0

( , ) 2 0

fx y x

x

fx y y

y

de donde 0,x y

A pesar de esto la funcin no tiene mximo ni mnimo relativo. En este caso el punto (0,0)es un punto de silla de f

La grafica tiene la forma de unasilla de montar y por eso se llamapunto de silla de f.


4/16


4

Es necesario ser capaz de determinar si la funcin tiene o no un valor extremo en un puntocrtico. El criterio de la segunda derivada nos da las condiciones para las cuales un puntocrtico ser un mximo o un mnimo relativo. A continuacin damos el teorema que nospermite disernir.

TEOREMA (CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA)Sea 2:f D , definida en un conjunto abierto 2D , de tal modo que lasprimeras y segundas derivadas de f sean continuas en la regin abierta D en el que el

punto ),( ba de tal modo que: ( , ) 0f

a bx

y ( , ) 0

fa b

y

. Considerando

22 2 2

2 2( , ) ( , ) ( , )

f f fa b a b a b

x y x y

, tenemos

(a)Si 0 y2

2

( , ) 0f

a bx

, entonces f alcanza un mnimo relativo en (a , b)

(b)Si 0 y2

2( , ) 0

fa b

x

, entonces f alcanza un mximo relativo en (a , b)

(c) Si 0 , entonces (a , b) es un punto de silla

(d) Si 0 , no se afirma nada

OBSERVACIN: Para recordar la frmula de es til escribirla como un determinante:

2 2

2

2 2

2

( , ) ( , )

( , ) ( , )

f fa b a b

x y x

f fa b a b

x y y

siendo2 2

( , ) ( , )f f

a b a bx y y x

EJEMPLO Determinar los extremos relativos de la funcin 2 2( , ) 6 2f x y x xy y x

Calculando los puntos crticos o estacionarios

( , ) 2 6 0

,

( , ) 2 0

fx y x y

x

fx y x y

y

entonces4

2

x

y

por lo tanto el punto crtico es (4, 2).p Luego


5/16


5

2 2

2

2 2

2

(4, 2) (4, 2)2 1

,1 2

(4, 2) (4, 2)

f f

x y x

f f

x y y

entonces 2(2)(2) (1) 3 . Aplicando el criterio de la segunda derivada, como

3 0 y2

2 (4 2) 2 0,

f

x

entonces en el punto (4, -2) se alcanza un mnimo relativo,

cuyo valor mnimo es (4, 2) 10.f

EJEMPLO Una caja rectangular sin tapa se fabrica con 212 m de cartn. Calcule elvolumen mximo de la caja.

Sean , ,x y z la longitud, el ancho y la altura de la caja en metros, segn se muestra en la

figura, entonces, el volumen de la caja es .V xyz

Exprese V como una funcin de solo dos variables x y

y recurriendo al hecho de que el rea de los cuatro lados

y el fondo de la caja es:

2 2 12,xy xz yz entonces

12

2

xyz

x y

Como

2 212

, 0, 0, 12,2

xy x y

V xyz x y xyx y

el cual se desea que sea mximo.

Calcule las derivadas parciales

2 2 2 2

22

(12 2 ) (12 2 ),

2( ) 2

V y xy x V x xy y

x x y y x y

Si Ves mximo, entonces 0,x yV V de modo que debe resolver las ecuaciones

2 212 2 0, 12 2 0xy x xy y

Esto significa que 2 2x y y ,x y as 2, 2x y y 1.z Podra utilizar la prueba de la

segunda derivada para demostrar que esto da un mximo relativo de V.

x

z y


6/16


6

EJEMPLO La empresa Gonzalez SAC fabrica dos tipos de modelos bsicos determostatos para la cadena de super mercados Megaplaza. Un modelo mecnico estndar yuno de lujo, electrnico. Los ingresos mensuales de la empresa (en cientos de dlares) son:

2 21 1 1( , ) 20 60 ,8 2 4

I x y x y xy x y

dondex(en cientos) indica el nmero de termostatos mecnicos fabricados y y el nmero

de termostatos electrnicos fabricados por mes. Los costos mensuales totales relativos a laproduccin de estos termostatos son:

( , ) 7 20 280C x y x y

cientos de dlares. Cuntos termostatos de cada modelo debe fabricar Gonzalez SAC cadames para maximizar sus ganancias? Cul es la ganancia mxima?

Solucin La ganancia mensual de Gonzales SAC es

2 2

2 2

( , ) ( , ) ( , )

1 1 120 60 (7 20 280)

8 2 4

1 1 113 40 280)

8 2 4

G x y I x y C x y

x y xy x y x y

x y xy x y

El punto crtico de Gse halla resolviendo el sistema

1 113 0

4 4,

140 0

4

x

y

G x y

G x y

lo que da x = 16 y y = 36. As, (16,36) es el punto crtico de G. Luego

1

4xxG ,

1

4xyG y 1.yyG

De la frmula2

2 1 1 3( 1) .

4 4 16xx yy xyG G G

Aplicando el criterio de la segunda

derivada para 0 y (16,36) 0xxG , el punto (16, 36) proporciona un mximo relativo

de G. Se concluye que la ganancia mensual se maximiza fabricando 1600 termostatos

mecnicos y 36 termostatos electrnicos por mes. La mxima ganancia mensual posible

es:

2 21 1 1(16, 36) (16) (36) (16)(36) 13(16) 40(36) 280 544,8 2 4

G

es decir: $ 54 400.


7/16


7

(0,2) L3 (3,2)

(0,0) L1 (3,0) x

L4 L2

y

b. VALORES MAXIMOS Y MNIMOS ABSOLUTOS

TEOREMA Toda funcin continua, definida en una regin D cerrada y acotada en 2 , alcanza un valor mximo absoluto y un valor mnimo absoluto en algunos puntos enD.

OBSERVACIN: Para determinar los valores extremos que garantiza el teorema anterior,hay que resaltar el hecho que un punto extremo, es para este caso un punto crtico de lafuncin, o bien, un punto lmite o frontera de la regin.

Para calcular los valores absolutos mximos y mnimos de una funcin continua f es uncerrado y acotadoD:

(a)Se calculan los valores def en los puntos crticos def enD.(b)Se determinan los valores extremos def en el lmite deD.(c)El ms grande de los valores de los pasos i y ii es el valor mximo absoluto; el ms

pequeo de estos es el valor mnimo absoluto.

EJEMPLO Determinar los valores mximo y mnimo absoluto de la funcin2( , ) 2 2f x y x xy y en el rectngulo ( , ) / 0 3, 0 2 .D x y x y

Solucin: Puesto que f es un polinomio satisface las condiciones del teorema anterior,por lo tanto existe un mximo absoluto y un mnimo absoluto enD. Para determinar dichospuntos, seguiremos los pasos mencionados anteriormente.

Primero, calcule los puntos crticos, estos puntos ocurren cuando

( , ) 2 2 0, ( , ) 2 2 0f f

x y x y x y x

x y

De modo que el nico punto crtico es (1,1), y el valor def ah esf (1,1) = 1.

Segundo, observe los valores de f en la frontera de D., el cual consiste en los cuatrosegmentos rectilneos L1 ,L2 , L3 y L4 mostrados en la figura debajo. Analizando para

cada segmento de recta, se obtiene que:

Para L1: su valor mnimo es f (0,0) = 0 y suvalor mximo es f (3,0) = 9



Para L4: su valor mnimo es f (0,0) = 0 y su valor mximo es f (0,2) = 4


8/16


8

Tercero, compare estos valores con el valor f (1,1) = 1 en el punto crtico, luego el valormximo absoluto def enDes f (3,0) = 9 y el valor mnimo absoluto es f (0,0) = f (2,2) =0.

c.

MULTIPLICADORES DE LAGRANGEEn el ejemplo 4 se obtuvo el valor mximo de la funcin de volumen V xyz sujeta a la

restriccin 2 2 12,xy xz yz la cual expresa la condicin lateral que el rea superficial era

de 12m2. En esta seccin se trata el mtodo de Lagrange para maximizar o minimizar una

funcin general ( , , )f x y z sujeta a una restriccin, o condicin lateral, de la forma

( , , ) .g x y z k

Mtodo de los Multiplicadores de Lagrange. Para determinar los valores mximos ymnimos de ( , , )f x y z sujeta a la restriccin ( , , ) ,g x y z k (suponiendo que estos valores

existan y que 0g se encuentre en la superficie ( , , ) ,g x y z k ):

(a)Determine todos los valores de , ,x y zy tal que

( , , ) ( , , )f x y z g x y z y ( , , )g x y z k

(b)Evalu f en todos los puntos , ,x y z que resulten en el paso (a). El ms grande de

estos valores es el valor mximo de f ; el ms pequeo es el valor mnimo de f.

En el caso de funciones de dos variables, el mtodo de los multiplicadores de Lagrange es

similar al mtodo anterior. Para determinar los valores extremos de ( , )f x y sujeta a la

restriccin ( , ) ,g x y k busque valores de ,x y y tales que

( , ) ( , )f x y g x y y ( , )g x y k

En el primer ejemplo del mtodo de Lagrange, se reconsidera el problema dado en elejemplo 4.


9/16


9

EJEMPLO Una caja rectangular sin tapa se fabrica con 212m de cartn. Calcule elvolumen mximo de la caja.

Al igual que en el ejemplo 4, sean , ,x y z la longitud, el ancho y la altura,

respectivamente, de la caja en metros. Se busca maximizar

.V xyz

sujeta a la restriccin

, , 2 2 12.g x y z xy xz yz

Al aplicar el mtodo de los multiplicadores de Lagrange, busca valores de , ,x y zy tal

que V g y ( , , ) 12.g x y z De aqu se obtiene las ecuaciones

, , , 2 2 2 12x x y y z zV g V g V g xy xz yz

Las cuales se transforman en

1 (2 )

2 (2 )

3 (2 2 )

4 2 2 12

yz z y

xz z x

xy x y

xy xz yz

No hay reglas generales para resolver sistemas de ecuaciones. Algunas veces se requiere

ingenio. En el presente ejemplo, se ve que si se multiplica 1 porx, 2 por y y 3 porz,

entonces los primeros miembros de estas ecuaciones son idnticos. Al hacerlo se tiene

5 (2 )

6 (2 )

7 (2 2 )

xyz xz xy

xyz yz xy

xyz xz yz

Observe que 0 porque 0 significara que 0yz xz xy de acuerdo con 1 , 2 y 3

y esto contradice 4 . Por lo tanto, segn 5 y 6

2 2 ,xz xy yz xy

lo cual da .xz yz Pero 0z (ya que 0z dara 0V ), de modo que .x y De acuerdo con

6 y 7

2 2 2yz xy xz yz

lo cual da 2xz xy y de este modo, (como 0x ), 2 .y z Si hace 2x y z en 4 , obtiene

2 2 24 4 4 12z z z


10/16


10

Puesto que , ,x y zson positivos, por lo tanto 1z de este modo 2x y 2y como antes.

Esto concuerda con la respuesta del ejemplo 4.

EJEMPLO Determine los valores extremos de la funcin 2 2, 2f x y x y en el crculo2 2 1.x y

Solucin: Se pide calcular los valores extremos de f sujetos a la restriccin

2 2( , ) 1.g x y x y Mediante los multiplicadores de Lagrange, resuelva las ecuaciones

f g y ( , ) 1,g x y lo que se puede escribir como

, , , ( , ) 1x x y y z zf g f g V g g x y

o bien, como

2 2

8 2 2

9 4 2

10 1

x x

y y

x y

De acuerdo con 8 0,x o bien 1. Si 0,x entonces 10 da 1.y Si 1, entonces

0y de acuerdo con 9 , de modo que 10 da 1.x Por lo tanto f tiene posible valores

extremos en los puntos (0,1), (0, 1), (1,0) y ( 1,0). Al evaluar f en estos cuatro puntos, se

obtiene que el valor mximo de f en el crculo 2 2 1x y es (0, 1) 2f y el valor mnimo

es ( 1,0) 1.f

d. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE Suponga que ahora desea calcular los valores

mximos y mnimo de una funcin f sujeta a dos restricciones (condiciones colaterales)de la forma ( , , )g x y z k y ( , , ) .h x y z c desde el punto de vista geomtrica, esto quiere decir

que est buscando los valores extremos de f cuando ( , , )x y z est restringida a quedar en la

curva de interseccin C de las superficies de nivel ( , , )g x y z k y ( , , ) .h x y z c Se puede

considerar como una generalizacin del caso anterior la frmula que determina los valores

de mximo y mnimo de la funcin., entonces hay nmeros y , (llamados

multiplicadores de Lagrange) tales que

0 0 0 0 0 0 0 0 011 ( , , ) ( , , ) ( , , )f x y z g x y z h x y z

En este caso, el mtodo de Lagrange es para determinar valores extremos resolviendo cincoecuaciones con cinco incgnitas , , ,x y z y . estas ecuaciones se obtienen escribiendo la

ecuacin anterior en funcin de sus componentes y usando las ecuaciones de restriccin:


11/16


11

,

,

12 ,

( , , ) ,

( , , )

x x x

y y y

z z z

f g h

f g h

f g h

g x y z k

h x y z c

EJEMPLO Determine el valor mximo de la funcin , , 2 3f x y z x y z en la curva deinterseccin del plano 1x y z y el cilindro 2 2 1.x y

De forma anloga a los ejemplos anteriores, pero considerando la formula dada en 12 para

el caso de dos restricciones, se obtiene que 3, 29 / 2, 2 / 29, 5 / 29x y y

1 7 / 29z . Por tanto, el valor mximo de f en la curva dada es 3 29.

IV.ACTIVIDADES:

A.

Hallar los puntos crticos o estacionarios de las siguientes funciones:

B.En los ejercicios, encuentre los puntos crticos de las funciones dadas. Luego, utilice elcriterio de la segunda derivada para clasificar la naturaleza de cada uno de estos puntos,de ser posible. Por ltimo, determine los extremos relativos de cada funcin.

1. f x y x y x y( , ) 18 32 36 128 1102 2

2. f x yx y

x y( , )

2 2 1

12 2

3. f x y x y x y( , ) 18 32 36 128 1102 2

4. f x y x y xy( , ) 3 3 18

5. )1)((),( xyyxyxf

1.

22 321),( yxyxf 2. 12),( 22 yxyxyxf

3. 142),( 22 yxyxyxf

4. 3642),( 22 yxyxyxf

5. 2 22 2 4 8 1f ( x, y ) x xy y x y

6. 18424),( 22 yxyxyxyxf

7. 212492),( 223 xyxyxyxf

8. 212462),( 223 xyxyxyxf

9. yyxeyxf coscos21

22),(

10. 1 1( , )f x y xyx y

11.2 2

( , )1

x yf x y

x y

12.

23),( 33 yxyxyxf 13. 52),( 23 yxyxyxf

14.yx

xyyxf 24

),(

15. xyy

xyxf

2),(

16.2

2),( yexyxf

17.22

),( yxeyxf

18.2 2

2 2( , ) 1

x yf x y xy

a b

19. yxeyxf ),(

20. )2ln),( 2yxxyyxf

21. 4 4 2 2 3( , ) 6 8f x y x y x y x 22. ( , ) sen( )f x y x xy

23. ( , ) (47 )( )2 3 4

xy x yf x y x y


12/16


12

C.Determine el valor de k para que las siguientes funciones tengan un mximo o unmnimo relativo en (0,0)

24. 2 2( , ) 9f x y x kxy y

25.2 2

( , ) x yf x y ke

D.

Determine los puntos en la esfera 2 2 2 4x y z que estn ms cercanos al punto (3,1,-1)

y ms lejos al mismo.

E.EJERCICIOS DE APLICACIN:

26.Maximizacin de la produccin. Sea P una funcin de produccin dada por2 3 2 3( , ) 0,54 0, 02 1,89 0, 09 ,P f l k l l k k

donde l y k son las cantidades de trabajo y capital, respectivamente, y P es lacantidad producida. Encontrar los valores de l y k que maximizan P.

27.

Minimizacin de costos. Supngase que una empresa ha recibido un pedido por200 unidades de sus productos y desea distribuir su fabricacin entre dos de susplantas: planta 1 y planta 2. Sean q1 y q2 las producciones de las plantas 1 y 2,respectivamente, y supngase que la funcin de costo total est dada por

2 2

1 2 1 1 2 2( , ) 2 200.c f q q q q q q Cmo debe distribuirse la produccin para

minimizar los costos?

28.Maximizacin de La Ganancia El ingreso total semanal (en dlares) de CountryWorkshop por la produccin y venta de sus escritorios est dado por

yxxyyxyxR 1602002.025.02.0),( 22

donde x denota la cantidad de unidades acabadas, e y las unidades no acabadas,

fabricadas y vendidas por semana. El gasto total semanal relativo a la fabricacin deestos escritorios est dado por

400070100),( yxyxC

dlares Cuntas unidades acabadas y no acabadas debe fabricar la compaa cadasemana para maximizar su ganancia? Cul es la mxima ganancia posible?

29.Maximizacin De La Ganancia El ingreso total diario (en dlares) de la compaa

editorial Weston por la produccin y venta de su diccionario est dado por

yxxyyxyxR 1520002.0003.0005.0),( 22

donde x denota la cantidad de ejemplares de lujo, y y los ejemplares econmicos,

publicados y vendidos por da. El gasto total semanal relativo a la publicacin deestos diccionarios est dado por


13/16


13

( ) 6 3 200C x, y x y

dlares. Determine cuntos ejemplares de lujo y econmicos debe publicar Westoncada da para maximizar su ganancia. Cul es la mxima ganancia posible?

30.

Empacado Hay que construir una caja rectangular abierta con un volumen de 108pulgadas cbicas a partir de una hoja de metal. Encuentre las dimensiones de la cajasi la cantidad de material por utilizar en su construccin debe ser mnima.

Sugerencia: Sean x, y y z las dimensiones de la caja en pulgadas. Entonces,108xyz y la cantidad de material utilizado est dada por xzyzxyS 22

31.Precio Mximo La regin rectangular R que aparece en la siguiente figurarepresenta el distrito financiero de una ciudad. El precio de los terrenos en estedistrito se aproxima mediante la funcin

221( , ) 10 15( 1)

2p x y x y

dondep(x, y) es el precio del terreno en el punto (x, y) en dlares por pie cuadrado y

x,y se miden en millas. En qu punto dentro del distrito financiero es ms caro elprecio del terreno?

32.Empacado Hay que construir una caja rectangular abierta con un rea de lasuperficie igual a 300 pulgadas cuadradas a partir de una hoja de metal. Encuentrelas dimensiones de la caja si el volumen de la caja debe ser lo ms grande posibleCul es el valor mximo?

Sugerencia: Sean x, y y zlas dimensiones de la caja (ver figura anexa). Entoncesel rea de la superficie es yzxzxy 22 y su volumen esxyz.

33.Empacado Los reglamentos de correo especifican que el largo y el anchocombinados de un paquete enviado por paquetera no deben exceder 108 pulgadas.Encuentre las dimensiones del paquete rectangular que tenga el mximo volumenposible dado este reglamento.


14/16


14

Sugerencia: Sean x, y y z las dimensiones de la caja en pulgadas. Entonces,

2 2 108x z y y el volumen V xyz. Demuestre que 22 22108),( xzzxxzyxfV .

Maximice f ( x, z ).

34.Minimizacin De Costos De Calefaccin Y Enfriamiento Un edificio con laforma de una caja rectangular debe tener un volumen de 12,000 pies cbicos (vasela figura). Se estima que los costos anuales por calefaccin y enfriamiento sern de$2 por pie cuadrado para el techo, $4 por pie cuadrado para el frente y la parteposterior y $3 por pie cuadrado para los lados. Halle las dimensiones del edificioque produzcan los gastos anuales por calefaccin y enfriamiento mnimos. Cul esel gasto mnimo anual por calefaccin y enfriamiento?

35.Empacado Hay que construir una caja abierta con un volumen de 48 pulgadascbicas. Si la caja debe incluir una divisin paralela a uno de sus lados, comomuestra la figura, y la cantidad de material por utilizar debe ser mnima, culesdeben ser las dimensiones de la caja?

36.Administracin. Suponga que la ganancia de cierta compaa est aproximada por

2 2( , ) 100 24 80P x y x x y y

donde x es el costo de una unidad de fuerza de trabajo y y es el costo de una unidad

de bienes. Encuentre valores de x y y que maximicen la ganancia mxima.

37.

Administracin Un fabricante de acumuladores para autos estima que suproduccin total en miles de unidades est dada por 1 3 1 3( , ) 3f x y x y , donde x es el

nmero de unidades de fuerza de trabajo y y es el nmero de unidades de capital

utilizado.


15/16


15

a) Encuentre e interprete (64,125)x

f y (64,125)yf si el nivel presente de produccin

usa 64 unidades de capital.b) Cul sera el efecto aproximado sobre la produccin de incrementar a 65unidades de fuerza de trabajo mientras se mantiene el capital en su nivel presente?c) Suponga que las ventas han sido buenas y la administracin quiere incrementar

el capital o bien la fuerza de trabajo en 1 unidad. Qu opcin dar mayorincremento en la produccin?

38.

Administracin- Los costos de la fuerza de trabajo en dlares para fabricar unacmara de precisin pueden estar aproximados por

2 23( , ) 2 2 2 682

L x y x y x y xy ,

Donde x es el nmero de horas requeridas por un operador y y es el nmero de horas

requeridas por un obrero no especializado. Encuentre valores de x y y que minimicen

el costo de la fuerza de trabajo. Encuentre el costo mnimo de la fuerza de trabajo.

39.Ganancia. La ganancia (en miles de dlares) por la venta de calculadorasgraficadoras est aproximada por

3 2( , ) 800 2 12P x y x xy y ,

donde x es el costo de una unidad de chips y y es el costo de una unidad de fuerza d

trabajo. Encuentre la ganancia mxima y el costo de los chips y la fuerza de trabajo queproducen la ganancia mxima.

40.

Administracin. La ganancia total de acre de una cierta cosecha depende de lacantidad que se gasta en fertilizante x y y en semilla hbrida y, de acuerdo con el

modelo

2 2( , ) 3 160 5 200 2600000P x y x xy x y y

Encuentre valores de x y y que maximicen la ganancia. Encuentre la ganancia

mxima.

41.Costos.El costo total de producir x unidades de cinta elctrica y y unidades decinta para empacar est dado por

2 2( , ) 2 3 2 2 126 3800C x y x y xy x y

Encuentre el nmero de unidades de cada tipo de cinta que debe producirse para que elcosto sea mnimo. Encuentre el costo total mnimo.

42.

Ingresos. El ingreso total en miles de dlares por la venta de x tinas y y calentadores solares est aproximado por


16/16


16

2 2( , ) 12 74 85 3 5 5R x y x y x y xy

Encuentre el nmero de cada artculo que debe venderse para producir el ingresomximo. Encuentre el ingreso mximo.

43.Costos- una caja rectangular cerrada con capacidad de 27 metros cbicos debeconstruirse con costo mnimo. Como el costo depender del rea superficial,encuentre las dimensiones que minimizarn el rea superficial de la caja.

44.Costos- Encuentre las dimensiones que minimizarn el rea superficial (y enconsecuencia, el costo) de un acuario rectangular, abierto en su parte superior, con

un volumen de 32 pies cbicos.

45.Construccin de caja. El servicio de correo de Estados Unidos requiere quecualquier caja que se enve por correo tenga una longitud ms permetro (distancia

alrededor) de no ms de 108 pulgadas (vase el ejemplo 6 de la seccin 10.13 paraun caso especial). Encuentre las dimensiones de la caja con volumen mximo que

puede enviarse.

46.Ganancias- El ingreso mensual en cientos de dlares por la produccin de x milesde toneladas de mineral de hierro grado A y y miles de toneladas de mineral hierro

grado B est dado por

( , ) 2 2 12R x y xy y ,

Encuentre la cantidad de cada grado de mineral que producir la ganancia mxima.

47.

Administracin. Suponga que el ingreso y el costo en miles de dlares por lafabricacin de x unidades de un producto y y unidades de otro es

2( , ) 6 3R x y xy x y 2 3( , ) 3C x y x y

Cuntas unidades de cada producto producirn una ganancia mxima? Cuanto es laganancia mxima?

guia teoria practica 03

Documents