DEPARTAMENTO DE MATEMATICASFACULTAD DE CIENCIAS BASICASUNIVERSIDAD DE ANTOFAGASTA

GUIA DE EJERCICIOS No. 2 TOPICOS MATEMATICOS CM572. I SEM 2007

1. Encuentre la serie de Fourier de las siguientes funciones:

a) f(x) =

{pi , pi < x 0x , 0 < x < pi

b) f(x) =

{x+ pi2 , pi < x 0x pi2 , 0 < x < pi

c) f(x) =

{x+ pi , pi < x 0x , 0 < x < pi

d) f(x) = eax , donde a < 0; e) f(x) =pi x2

sinx .

2. Determine cuales de las siguientes funciones es par o impar y encuentre su serie de Fourier.

a) f(x) =

{1 , pi < x 01 , 0 < x < pi

b) f(x) =

{ex , pi < x 0ex , 0 < x < pi

c) f(x) = x|x| d) f(x) = | sinx| .3. Muestre que cualquier funcion definida f : (p, p) < puede ser definida, de una unica manera,

como la suma de una funcion par y otra impar, las cuales son llamadas componentes pares eimpares de la funcion.

4. Escriba la funcion

f(x) =

{0 , pi < x 0sinx , 0 < x < pi

como la suma de sus componentes par e impar, y luego encuentre sus respectivas series de Fourier.

5. Encuentre la serie de Fourier de las siguienetes funciones definidas en el intervalo (pi, pi).a) f(x) = x2 b) f(x) = x4 c) f(x) = x3 pi2x .

6. Encuentre la serie de Fourier de las siguientes funciones definidas en sus respectivos intervalos.

a) f(x) =

0 , 2 x < 1|x| , 1 x 10 , 1 < x 2

b) f(x) =

{2 x , 1 < x < 2x 2 , 2 x < 3

c) f(x) =

{2 , 7 < x 810 x , 8 x9 d) f(x) =

1 , 2 < x < 34 x , 3 x < 4x 4 , 4 x < 51 , 5 x < 6

7. Encontrar las series de senos y cosenos de Fourier de las siguientes funciones.

a) f(x) = x , 0 x 3 b) f(x) = cosx , 0 x pic) f(x) = x(1 x) , 0 x 2 d) f(x) = x2 pix , 0 x pi

e) f(x) =

{1 , 0 < x < 121 , 12 x < 2

f) f(x) =

{sinx , 0 < x < pi2 cosx , pi2 x < 2

1

8. Dadas las siguientes funciones, obtenga su serie de Fourier considerando su extension periodicasobre todo el eje real.

a) f(x) =

{x+ 2 , 2 < x < 0x 2 , 0 < x < 2 b) f(x) =

{2 x , 2 < x < 3x 4 , 3 x < 4

c) f(x) =

{2 x , 1 < x < 2x 2 , 2 x < 3 d) f(x) =

{sinx , 0 < x < pi4sin(x pi2 ) , pi4 x < pi2

9. Evaluando en x = 0 y en x = pi2 , en la serie de Fourier obtenida en el Problema 2)d, muestreque:

n=1

14n2 1 =

12

yn=1

(1)n+14n2 1 =

pi 24

10. Pruebe que

|x| = pi2 4

pi

n=1

cos(2n 1)x(2n 1)2

en el intervalo [pi, pi]. Que resulta de hacer las susticiones x = pi o x = pi?.11. Usando las series de Fourier obtenidas en el problema 5), muestre que

a)n=1

1n2

=pi2

6b)

n=1

(1)n+1n2

=pi2

12

c)n=1

1n4

=pi2

90d)

n=1

(1)n+1(2n 1)3 =

pi3

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EJERCICIOS DE REPASO

1. Dada la funcion

f(x) =

{0 , 1 < x 0x , 0 < x < 1

a) Graficar y definir la extension periodica de f(x) en todo

3. Dada la funcion

f(x) =

{x 1 , 1 < x < 23 x , 2 < x < 3

a) Graficar y definir la extension periodica de f(x) en todo