Álgebra.

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UNEFA – Núcleo Caracas Asignatura: Álgebra

Curso de Inducción Universitaria Profesor: Minerva Bueno R.

SISTEMA DE ECUACIONES

1. ECUACIÓN Y FUNCIÓN

Ecuación es toda función algebraica igualada a 0 ó a otra igualdad algebraica. A la primera parte de la igualdad

se la llama 1er término y a la segunda se la llama 2º término. Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen el

mismo resultado.

Hay distintos tipos de igualdades:

Una igualdad numérica: 2+5 = 4+3

Una igualdad algebraica: 2x+3x = 6x

Una función: 3x+2 = y Una función es una expresión algebraica igualada a y.

La ecuación 2x - 3 = 0 se llama ecuación lineal de una variable. Obviamente sólo tiene una solución.

La ecuación -3x + 2y = 7 se llama ecuación lineal de dos variables. Sus soluciones son pares ordenados de

números.

2. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

Para resolver una ecuación, hallaremos el valor de la incógnita, siendo la incógnita el número desconocido,

expresado normalmente por x.

Pasos para resolver una ecuación:

1º- Se quitan los paréntesis si los hubiere.

2º- Se quitan los denominadores si los hubiere.

3º- Se pasan todas las incógnitas al 1er miembro de la igualdad.

4º- Se reducen los términos semejantes.

5º- Hallamos el valor de la incógnita.

Ej: 5x-7=28+4x ; 5x-4x=28+7 ; x = 35

Ecuaciones con denominadores:

Quitamos los denominadores por el m.c.m. para ello:

1º- Hallamos el m.c.m. de los denominadores.

2º-Ese es el denominador común y lo sustituimos por los denominadores anteriores.

3º- Se divide el m.c.m. entre el denominador antiguo y se multiplica por el denominador.

Ej: x/2 –4 = x/3 –3 ; m.c.m.(2 y 3)=6 ; 3x-24 = 2x-18 ; 3x-2x = -18+24 ; x = 6

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2.1. SISTEMAS DE ECUACIONES

Si una expresión algebraica la igualamos a otra expresión algebraica y nos encontramos con dos incógnitas

necesitamos otra igualdad de expresiones algebraicas para poderla resolver.

Una expresión algebraica con dos incógnitas es lo que llamamos sistema de ecuaciones.

Todo sistema de ecuaciones necesita tantas ecuaciones como incógnitas tenga.

Resolver un sistema de ecuaciones es hallar el conjunto de valores que satisfacen simultáneamente cada una de

sus ecuaciones.

2.1.1 Sistema de ecuaciones lineales:

Para resolver un sistema de ecuaciones podemos utilizar cuatro métodos:

1º- Método de sustitución.

2º- Método de igualación.

3º- Método de reducción o de sumas y restas.

4º- Método por Determinantes.

Caso 1: MÉTODO DE REDUCCIÓN (o de sumas o restas).

Procedimiento:

1º- Quitamos los paréntesis (si los hubiere) de las dos ecuaciones.

2º- Quitamos los denominadores (si los hubiere) de las dos ecuaciones.

3º- Pasamos las incógnitas al 1er miembro de la igualdad y los números al 2º miembro.

4º- Igualar los coeficientes de una incógnita y cambiar de signo si son iguales.

5º- Sumar o restar el sistema que ha quedado al multiplicar y resolver la ecuación resultante, con lo cual se

obtiene el valor de la incógnita que contiene.

6º- Sustituir este valor en una de las ecuaciones dadas y resuélvase; así se obtiene la otra incógnita.

Ejemplo:

1er

Paso: Multiplicamos las 2 ecuaciones por un “número” (resultado del m.c.m. entre ellos), para igualar el

valor numérico de los coeficientes de la incógnita “x” en las 2 ecuaciones.

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2

do Paso: Restamos las 2 ecuaciones para eliminar las incógnitas "x" luego resolvemos la ecuación.

3

er Paso: Reemplazamos la incógnita "y", en cualquiera de las 2 ecuaciones para obtener el valor de la incógnita

"x" o bien se calcula está incógnita repitiendo los pasos anteriores.

6 x – 7 y = 5

6 x – 7 . (1) = 5

6 x – 7 = 5

6 x = 5 + 7

6 x = 12

x = 2

Por último, la solución es: (x=2 ; y=1)

Caso 2: MÉTODO DE SUSTITUCIÓN.

Procedimiento:

1º- Quitamos los paréntesis (si los hubiere) de las dos ecuaciones.

2º- Quitamos los denominadores (si los hubiere) de las dos ecuaciones.

3º- Pasamos las incógnitas al 1er miembro de la igualdad y los números al 2º miembro.

4º- Reducimos los términos semejantes.

5º- Despejamos una incógnita y la sustituimos en la 2ª ecuación.

6º- Resolvemos la ecuación resultante.

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Ejemplo:

1

er Paso: Se despeja la incógnita "x" de una de las ecuaciones dadas.

x + 2 y = 9

x = 9 – 2 y

2do

Paso: Reemplazamos la incógnita "x", en la otra ecuación dada; para obtener el valor de la incógnita "y".

3

er Paso: Reemplazamos la incógnita "y", en la 1

ra expresión obtenida; para obtener el valor de la incógnita "x".

x = 9 – 2 y

x = 9 – 2 . (2)

x = 9 – 4

La solución es: (x=5 ; y=2)

Caso 3: MÉTODO DE IGUALACIÓN.

Procedimiento:

1º- Quitar los paréntesis (si los hubiere) de las dos ecuaciones.

2º- Quitar los denominadores (si los hubiere) de las dos ecuaciones.

3º- Pasamos las incógnitas al 1er miembro de la igualdad y los números al 2º miembro.

4º- Despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones.

5º- Igualar las incógnitas despejadas y resolver la ecuación resultante, con el cual se obtiene el valor de una de

las incógnitas.

6º- Sustituir el valor hallado en una de las expresiones que representa el valor de la otra incógnita, y resuélvase.

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Ejemplo:

1

er Paso: Se despeja la incógnita "x" de cada una de las ecuaciones dadas.

2

do Paso: Igualamos las incógnitas "x" luego resolvemos la ecuación.

3

er Paso: Reemplazamos la incógnita "y", en cualquiera de las 2 ecuaciones despejadas para obtener el valor de

la incógnita "x".

Por último; la solución es: (x= -2 ; y=4).

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TIPS:

1ª Cuando se resuelve un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de adición, escójanse

números tales que multiplicados por los coeficientes de la incógnita que se quiere eliminar, den como producto

el m.c.m. de dichos coeficientes.

2ª En el método de sustitución, despéjese la incógnita que tenga menor coeficiente.

3ª En la resolución de un sistema dado, puede usarse indistintamente uno cualquiera de los tres métodos

estudiados, y cada uno tiene sus ventajas según los casos particulares.

Sin embargo, como los últimos procedimientos introducen, por lo general, expresiones fraccionarias, se usa con

preferencia el método por adicción o sustracción, por ser el más sencillo.

Caso 4: MÉTODO POR DETERMINANTES.

Antes de estudiar este caso, es importante hacer un breve repaso sobre las determinantes.

El determinante es una notación matemática formada por una tabla cuadrada de números y otros

elementos, entre dos líneas verticales; el valor de la expresión se calcula mediante su desarrollo siguiendo

ciertas reglas.

Tipos de determinantes

Existen determinantes de distinto orden, para los cuales existen diferentes formas de resolución, como lo

son el de 2x2, 3x3 y 4x4.

2x2 En este caso los elementos se multiplican cruzado y se restan.

3x3 En este caso, la resolución de la matriz se hace de la siguiente forma:

-

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Para esto las primeras 2 columnas se añaden a la matriz y se multiplican las diagonales que

posean 3 dígitos, restándose entre sí.

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas (n=m) y es compatible

determinado.

El valor de cada incógnita xi se obtiene de un cociente cuyo denominador es el determinante de la

matriz de coeficientes, y cuyo numerador es el determinante que se obtiene al cambiar la columna i

del determinante anterior por la columna de los términos independientes.

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NORMAS GENERALÍSIMAS PARA EFECTUAR, COMO DIOS MANDA,

LAS ECUACIONES

Enrique Pascual Orellana

Veamos primero algunos conceptos útiles:

Una ecuación es una igualdad. Lo que tenemos que hallar es el valor de la incógnita -puede estar representada por la letra x o por otra cualquiera- para que se cumpla esa igualdad. Por lo tanto es imprescindible que exista el símbolo "=".

En la ecuación tenemos que hacer las operaciones necesarias para mantener siempre la igualdad original, no podemos, por comodidad, no hacer caso de alguno de los pasos.

Cuando ponemos 3x significa "tres veces el valor de la incógnita" o sea "3 por x". No pierdas de vista que si ponemos sólo x significa, como es lógico "1 por x"

Las operaciones están indicadas por los signos de sumar, restar, multiplicar o dividir. Ya sabes que siempre hay que empezar haciendo las multiplicaciones o las divisiones antes que las sumas o las restas.

Los términos de la ecuación van siempre separados por los signos + ó -. Irán variando su número según las operaciones que hagamos.

Vamos a empezar. No hay nada mejor que tomar una de las ecuaciones que te resulten más complicadas. Así verás que es muy fácil.

Resolver:

- 1r paso: Efectuar las operaciones indicadas.

Las únicas operaciones que podemos hacer son los productos indicados en los numeradores de las fracciones. Ten en cuenta que en esta ecuación hay 6 términos.

En el primer término de esta ecuación el 3 multiplica a todo el paréntesis, por lo que tendremos que aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma. Y lo mismo haremos con el primer término del segundo miembro de la igualdad.

Quedará:

- 2º paso: Quitar denominadores: (si los hay)

1.- Si hay algún término que no tenga denominador se sitúa el denominador 1.

2.- Se halla el mínimo común múltiplo de los denominadores.

- Si se tiene vista se pone.

- Si se es miope:

- se descomponen los denominadores en factores primos.

- se toman los factores comunes y no comunes afectados con el mayor exponente.

3.- Se ponen tantas rayitas de fracción como tengamos en el paso 2-1 y se coloca como denominador el mínimo común múltiplo hallado en el apartado anterior.

4.- Se multiplica cada numerador por el mismo número que el que hemos tenido que multiplicar su denominador para encontrar el denominador común. Es conveniente dejar las multiplicaciones indicadas.

5.- Se quitan los denominadores.

Veámoslo paso por paso:

Paso 2-1.

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... a que no es difícil

Paso 2-2.

Hallar el mcm de 2, 4, 6 y 12.... como supongo que no eres miope verás que es 12

Paso 2-3. ... poner rayitas..

Paso 2-4. Fíjate bien en este paso: para que la primera fracción sea igual que la de arriba te das cuenta que el denominador ha pasado de ser 2 a ser 12. O sea que lo hemos multiplicado por 6. Para que la fracción que escribas sea la misma que la de arriba has de multiplicar el numerador por el mismo numerito que en el denominador... recuerda que para que una fracción no varía si se multiplica por el mismo número arriba - el numerador- y abajo - el denominador-.

Como ves en las dos partes de la igualdad tenemos todo dividido por un mismo número.

Aplicamos la propiedad uniforme de la multiplicación que dice que si a las dos partes de una igualdad se le multiplica por un mismo número la igualdad no varía,

¿ Qué te parece si multiplicamos ahora todo por 12? ... se irán los denominadores...

Por supuesto que en cada ecuación el denominador será distinto... por lo que en realidad no tendremos nunca que multiplicar por ese dichoso numerito... bastará quitar el denominador.

Por lo que quedará:

6.(15.x - 24) - 3.(8 - 5.x) - 12.x = 2.(2.x - 8) - 12 + (x - 7)

Como ves hemos eliminado el 1 que multiplicaba al último paréntesis. Ya sabes que todo multiplicado por 1 queda lo mismo... pero fíjate que hemos mantenido el paréntesis.

- 3r paso: Quitar paréntesis: (si los hay)

1.- Se efectúan las operaciones indicadas.

LOS RESULTADOS SE MANTIENEN ENTRE PARÉNTESIS.

2.- Se quitan los paréntesis teniendo en cuenta si van precedidos del signo + o del signo -.

- Si van precedidos del signo +: se quitan los paréntesis y ya está.

- Si van precedidos del signo -: se cambian todos los signos de dentro del paréntesis.

- El orden para quitar paréntesis es, si los hay:

1º. (...) 2º. [...] 3º. {...}

Veámoslo por pasos:

3-1. Tenemos que volver a aplicar la propiedad distributiva:

(90.x - 144) - (24 - 15.x) - 12.x = (4.x - 16) - 12 + (x - 7)

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3-2. Todo el mundo se equivoca aquí.

Fíjate: si tienes un paréntesis con un signo + delante significará que todo eso que está dentro se tiene que añadir; y si lleva signo - se deberá quitar. ¿Has pensado que si tienes - 9 pesetas en realidad debes 9 pesetas? Y ¿qué pasa si te quitan la deuda de 9 pesetas?... pues que has ganado 9 pesetas... En matemáticas esto último se escribe así - (-9x) = + 9x

El primer paréntesis y el que está a la derecha del signo = no llevan signo. ¿Que hacer? No te preocupes: en el lenguaje matemático si no llevan delante ningún signo se supone que llevan el +.

Pero ¿y dentro del paréntesis? ¿qué signo tienen el 90x del primer paréntesis o el 24 del segundo?... pues aplicamos lo de antes: llevan signo +. Ten en cuenta que los signos que van delante de los paréntesis afectan sólo al paréntesis y no a los primeros términos que están dentro de ellos.

Por lo que queda:

90.x - 144 - 24 + 15.x - 12.x = 4.x - 16 - 12 + x - 7

- 4º paso: Transposición de términos semejantes:

- Se ponen a un lado del signo igual (=) todos los términos que tenga incógnita (x), y al otro lado todos los términos independientes (que no tengan incógnita). - Nótese que si un término cambia de lateralidad cambia de signo.

Vamos a aplicar ahora la propiedad uniforme de la suma que dice que si a los dos miembros de una igualdad se le suma o se le resta un mismo número la igualdad no varía.

90.x - 15.x - 12.x - 4.x - x = 144 + 24 - 16 - 12 - 7

- 5º paso: Reducción de términos semejantes:

- Si se tiene la suficiente habilidad se efectúan las operaciones indicadas a cada lado del signo =. - Si no se está seguro (caso de lo más frecuente), a cada lado del signo igual se opera de la siguiente forma:

- Sumamos todos los términos precedidos de +. - Sumamos todos los términos precedidos de _. - Restamos como podamos las dos sumas anteriores. - Ponemos delante el signo de la suma de mayor valor absoluto. - Hacemos votos para no equivocarnos en esta tontería.

En realidad lo que volver a aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación al revés, es decir, sacamos factor común...

88.x = 133

Deberíamos haber hecho:

x.(90 + 15 - 12 - 4 - 1) = 144 + 24 - 16 - 12 - 7

... pero es un peñazo... mejor hacerlo directamente ¿no crees?

- 6º paso: Despejamos la incógnita:

- Despejar la incógnita consiste en dejarla sola y con signo +.

Para ello: el número que acompaña a la incógnita lo pasamos dividiendo (como denominador) a la otra parte del signo =.

- Se reduce al máximo la fracción resultante. - Se pone una vela a un Santo de vuestra devoción para suplicar no haberse equivocado. - Se convence uno que lo mejor es seguir el refrán "A Dios rogando y con el mazo dando", lo cual quiere decir que hay que hacer 25.308 ecuaciones por lo menos para conseguir una perfecta maña.

Y un detalle: cuando te encuentres con otra ecuación más sencilla que la que hemos resuelto sólo tienes que empezar en el paso en el que el ejemplo sea parecida a la tuya...