guia para examen ceneval de bachillerat1

7/28/2019 Guia Para Examen Ceneval de Bachillerat1

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------------------------------- GUIA PARA EXAMEN CENEVAL DE BACHILLERATO -------------------------

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MATEMATICAS

Su Significado proviene del idioma griego y su significado es conocimiento

Ciencia encargada del estudio de las propiedades de entes abstractas como los son los nmeros o bien pueden ser lasfiguras geomtricas usando el razonamiento lgico como herramienta.

Se le puede considerar la madre de las ciencias.

Propiedades y clasificacin de los nmeros reales.

Nmero:

Es un smbolo que representa una cantidad. Y se utilizan para un sin nmero de actividades como lo es las matemticas,y en las diversas aplicaciones de la vida diaria, como contar cajas, estrellas, etc.

Tambin se puede definir como la entidad abstracta usada para describir cantidades.

Muy seguramente te pedirn identificar algunos nmeros, como buscar el nmero que no es primo, buscar el irracional,

etc., por lo que te debes familiarizar con las caractersticas de cada uno de ellos, es ms fcil concentrarte enentenderlas que memorizarlas


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Definicin y propiedades de los nmeros reales

Nmeros reales: Es el conjunto de nmeros que incluye todos los nmeros racionales e irracionales. (Todos losnmeros)

Nmeros racionales:Es todo aquel nmero que puede ser expresado como resultado de la divisin de dos nmerosenteros.

O bien tambin pueden ser los llamados nmeros decimales, y se representan por medio de una fraccin o tambin pormedio de comas.

Ejemplos:

2/62/4

3.3333333333333

9.2727272727272

(Ntese como en estos 2 ltimos ejemplos, mostramos como estas cifras pueden ser compuestas por decimales infinitaspero siguen periodos definidos). Ya que a diferencia de los irracionales los patrones no siguen periodos definidos porejemplo: .3456507923747503726237434043873262528430404505

Nmeros irracionales:

Son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan porposeer infinitas cifras decimales que no siguen periodos definidos.

Ejemplo:

(Pi): relacin entre el permetro de una circunferencia y su dimetro. Que los decimales no siguen un patrn definido.

3.14159 2 6535...


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Los nmeros racionales se dividen en los siguientes grupos

A) Nmeros naturales: conjunto de nmeros que utilizamos para contar cantidades enteras positivas

Por lo que su primer elemento es el cero

Todos sus nmeros podrn ser escritos con el nmero del sistema decimal

Es un conjunto infinito por lo que a cada nmero siempre le seguir otro mayor

Por ser enteros, no tiene nmeros intermedios entre un numero y el que le sigue a este

B) Nmeros primos

Todos los elementos de este conjunto mayores que 1 que son divisibles nicamente por s mismos y por la unidad.

Ejemplo:

El nmero 5 tiene solo dos divisores que son el 1 y el mismo 5 por lo que es nmero primo.

C) Nmeros compuestos (Lo opuesto a Numero primo)

Tiene ms de dos divisores distintos. Tambin lo podemos definir como aquel nmero natural que es mayor que 1y no es primo. Todo nmero compuesto puedo descomponerse de forma nica como producto de nmeros primos.

Ejemplos:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30 y 32.

Para ejemplificar ms

El 12 es numero compuesto dado que aparte de dividirse entre 1 y 12, tambin se divide entre 3, 4, 6, etc.

D) Nmeros perfectos

Son los (POCOS) nmeros que su valor es igual a la suma de todos sus divisores positivos, sin incluirse lmismo.

Por ejemplo: el 6 (se puede dividir entre 1,2 y3) y si sumas 1,2y3 la suma te dar 6

Los nmeros que le siguen al 6 son en este orden. 28, 496 y 8128
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primohttp://es.wikipedia.org/wiki/Cuatrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Seishttp://es.wikipedia.org/wiki/Ochohttp://es.wikipedia.org/wiki/Nuevehttp://es.wikipedia.org/wiki/Diezhttp://es.wikipedia.org/wiki/Docehttp://es.wikipedia.org/wiki/Catorcehttp://es.wikipedia.org/wiki/Quincehttp://es.wikipedia.org/wiki/Diecis%C3%A9ishttp://es.wikipedia.org/wiki/Dieciochohttp://es.wikipedia.org/wiki/Veintehttp://es.wikipedia.org/wiki/Veintiunohttp://es.wikipedia.org/wiki/Veintid%C3%B3shttp://es.wikipedia.org/wiki/Veinticuatrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Veinticincohttp://es.wikipedia.org/wiki/Veintis%C3%A9ishttp://es.wikipedia.org/wiki/Veintisietehttp://es.wikipedia.org/wiki/Veintiochohttp://es.wikipedia.org/wiki/Treintahttp://es.wikipedia.org/wiki/Treinta_y_doshttp://es.wikipedia.org/wiki/Treinta_y_doshttp://es.wikipedia.org/wiki/Treintahttp://es.wikipedia.org/wiki/Veintiochohttp://es.wikipedia.org/wiki/Veintisietehttp://es.wikipedia.org/wiki/Veintis%C3%A9ishttp://es.wikipedia.org/wiki/Veinticincohttp://es.wikipedia.org/wiki/Veinticuatrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Veintid%C3%B3shttp://es.wikipedia.org/wiki/Veintiunohttp://es.wikipedia.org/wiki/Veintehttp://es.wikipedia.org/wiki/Dieciochohttp://es.wikipedia.org/wiki/Diecis%C3%A9ishttp://es.wikipedia.org/wiki/Quincehttp://es.wikipedia.org/wiki/Catorcehttp://es.wikipedia.org/wiki/Docehttp://es.wikipedia.org/wiki/Diezhttp://es.wikipedia.org/wiki/Nuevehttp://es.wikipedia.org/wiki/Ochohttp://es.wikipedia.org/wiki/Seishttp://es.wikipedia.org/wiki/Cuatrohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo


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E) Nmeros enteros

Los nmeros enteros son una generalizacin del conjunto de nmeros naturales que incluye nmeros negativos(resultados de restar a un nmero natural otro mayor adems del cero).

As los nmeros enteros estn formados por un conjunto de enteros positivos que podemos interpretar como losnmeros naturales convencionales, el cero, y un conjunto de enteros negativos que son los opuestos de losnaturales (stos pueden ser interpretados como el resultado de restar a 0 un nmero natural).

F) Nmeros pares

Mltiplo de 2

G) Nmeros impares

Numero que no es par y por ende no es mltiplo de 2

Existen otros grupos de nmeros pero estos son los ms importantes, por lo que el resto no vendr al caso enexmenes, por lo que no se pretende sobre saturarte de informacin.
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_naturalhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_natural


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Propiedades de los Nmeros Reales:

1. Conmutativa de adicin:

Es irrelevante el orden de los nmeros en una operacin de suma y el resultado siempre ser el mismo.

Es decir si vas a sumar dos o ms nmeros no importa el orden en que los acomodes, siempre sumara lo mismo.

X+Y = Y+X

2+3 = 3+5

2. Conmutativa de multiplicacin:

El orden de los factores no altera el producto. (Mismo caso, que el anterior).

(X) (Y) = (Y) (X)

(5) (4) = (4) (5)

3. Asociativa de adicin:

Es irrelevante el orden de los nmeros en una operacin de suma y el resultado siempre ser el mismo.

O dicho de otra forma: si vas a sumar 3 o ms nmeros no importa si cual sumes con cual, lo importante es que losincluyas a todos en la suma y el resultado invariablemente ser el mismo.

(X+Y)+Z = X (Y+Z)

(5+3)+4 = 5 (3+4)


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4. Asociativa de multiplicacin:

Es irrelevante el orden de los factores en una multiplicacin y el resultado siempre ser el mismo.

(Similar al anterior, si vas a multiplicar 3 o ms nmeros no importa el orden que tomes para iniciar a multiplicarlos,mientras los incluyas a todos, el resultado ser el mismo).

(X) (Y Z) = (X Y) (Z)

(3) (4 5) = (3 4) (5)

5. Distributiva de multiplicacin sobre adicin:

Es irrelevante el orden que se realice una operacin de factores, cuando se interviene una suma y una multiplicacin

Es decir no importa si primero se hace la multiplicacin o la suma y el resultado siempre ser el mismo.

(X) (Y + Z) = X Y + X Z

(5) (3 + 2) = 5 3 + 5 2


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AritmticaDefinicin es la parte de las matemticas que estudia los nmeros y las operaciones que pueden ser hechas con

ellos.

La aritmtica tiene cuatro propiedades bsicas y son:

A) Suma

B) Resta

C) Multiplicacin

D) Divisin

De las cuales la suma y la resta son operaciones inversas as mismo la multiplicacin y divisin inversas sontambin.

Esta muy seguramente ser pregunta de examen, aunque es muy fcil solo familiarzate con esto.


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SumaLa suma o tambin llamada adicin, es la operacin matemtica que consiste en combinar, agregar, aadir dos nmerospara obtener una cantidad final o resultado.

Por ejemplo si tenemos 2 grupos de objetos o cosas y los agregamos de tal forma que se unan en uno solo.

Las propiedades de la suma son:

Propiedad conmutativa: Podemos alterar el orden de los sumandos es decir si sumamos A+B o bien B+A enambos casos tendremos el mismo resultado. Por lo que se dice que A+B=B+A.

Propiedad asociativa: Es decir que tenemos que A+(B+C)ser igual a (A+B)+C

Elemento neutro: 0. Para cualquier nmero A+0 = A o bien 0+A=A

Elemento opuesto. Para cualquier nmero entero, racional, real o complejo, existe un numero inverso u opuestoque al sumarlo tendremos un resultado con valor cero, (A)+(-A)=0

Suma de fracciones

De estas hay 2 tipos y se resolvern de diferente forma (fracciones que tienen el mismo denominador y fracciones quetienen con diferente denominador).

A) Suma de dos ms fracciones que tienen el mismo denominador, slo hay que sumar losnumeradores y se deja el denominador comn. (el numerador es el nmero que se ubica arriba del

quebrado o fraccin, mientras que el denominador se encuentra en la parte baja del mismo).

De estas te podrn poner un ejemplo y 4 respuestas, recuerda que en muchos casos podr estar a su mnima expresin


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B) Suma de dos o ms fracciones con distinto denominador Este tipo es un poco mscomplicado aunque fcil de aprender.

Pasos

1. Se busca el mnimo comn denominador

En el ejemplo, es el 30 ya que puede ser dividido entre 5,6 y 2

2 Se calcula el numerador de esta forma: (Comparar con dibujo de abajo durante el anlisis para que sea ms fcil lacomprensin).

A) Para sacar el PRIMER NUEVO NUMERADOR: Se divide el DENOMINADOR COMUN, entre el PRIMERDENOMINADOR ANTIGUO y se le multiplica por el PRIMER NUMERADOR ANTIGUO,(ver ejemplo lnea azul)30 entre 5 nos da 6 y este 6 lo multiplicamos por5, dndonos un nuevo primer numerador con resultado 30

B) Para el sacar el SEGUNDO NUEVO NUMERADOR: Se divide el DENOMINADOR COMUN, entre el SEGUNDO

DENOMINADOR ANTIGUO y se le multiplica por el SEGUNDO NUMERADOR ANTIGUO,(ver ejemplo lneaverdel) 30 entre 6 nos da 5 y este 5 lo multiplicamos por4, dndonos un nuevo Segundo numerador conresultado 20

C) Para el sacar el TERCER NUEVO NUMERADOR: Se divide el DENOMINADOR COMUN, entre el TERCERDENOMINADOR ANTIGUO y se le multiplica por el TERCER NUMERADOR ANTIGUO, de tal forma quetendremos que: 30 entre 2 nos da 15 y este 15 lo multiplicamos por6, dndonos un nuevo tercer numeradorcon resultado 90

D) Despus sumamos los 3 nuevos numeradores; 30+20+90 lo cual suma 140 y se pasa el nuevo denominador. Yel resultado es 140/30.

Aun cuando la operacin ya fue concluida, se debe simplificar el resultado, es decir llevarlo a su mnima expresin


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en este caso primero se divide entre 2 dado que es la operacin ms simple, y despus observamos que aun se puedendividir entre 3 quedando 25/3 (este resultado ya no se puede simplificar mas dado que no existe numero que puedadividir el numerador y el denominador y darnos como resultado un numero entero.

En examen seguramente te pondrn que simplifiques algunos quebrados, as es que familiarizarte con este tema


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B) Resta de dos fracciones con distinto denominador Este tipo es un poco ms complicadoaunque fcil de aprender.

Procedimiento de solucin

1. Se busca el mnimo comn denominador

En el ejemplo, es el 30 ya que puede ser dividido entre 5 y el 6 (denominadores antiguos)

2 Se calculan los NUEVOS NUMERADORES de esta forma: (Comparar con dibujo de abajo durante el anlisis para quesea ms fcil la comprensin).

A) Para sacar el PRIMER NUEVO NUMERADOR:

Se divide el DENOMINADOR COMUN, entre el PRIMER DENOMINADOR ANTIGUO y se le multiplica por elPRIMER NUMERADOR ANTIGUO, (ver ejemplo lnea azul) 30 entre 5 nos da 6 y este 6 lo multiplicamos por5,dndonos un nuevo primer numerador con resultado 30

B) Para el sacar el SEGUNDO NUEVO NUMERADOR:

Se divide el DENOMINADOR COMUN, entre el SEGUNDO DENOMINADOR ANTIGUO y se le multiplica por elSEGUNDO NUMERADOR ANTIGUO, (ver ejemplo lnea verdel)30 entre 6 nos da 5 y este 5 lo multiplicamospor4, dndonos un nuevo Segundo numerador con resultado 20

C) Despus restamos 30-20 y tenemos un resultado de RESULTADO CON NUMERADOR de valor 10 y se pasa elnuevo denominador. Y el resultado es 10/30. Pero vemos que numerador y denominador aun se pueden dividirentre 10 por lo que tendremos 1/3 como resultado simplificado a su menor expresin


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MultiplicacinEs la operacin matemtica que se utiliza para resolver problemas donde se suman n veces las mismas cantidades.

Es decir cualquier nmero de veces una cantidad.

Se puede decir que esta se puede explicar como la suma de varios nmeros idnticos

Y se puede representar una multiplicacin de estas 3 formas, con las cuales debers estar plenamente familiarizado

En algunas ocasiones te podrn representar una multiplicacin de esta forma

Que significa una multiplicacin de m, n cantidad de veces, o que el nmero M se deber multiplicar las veces que nindiquen

Ejemplo

Ser igual a 3+3+3+3+3=15 o bien el numero 3 se sumara 5 veces


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El tema de la propiedades de suma, resta, multiplicacin divisin, se trata de que lo entiendas ms que memorizar, siobservas son las mimas, muy similares y lgicas.

Aun cuando es poco probable que sea pregunta directa de examen.

Propiedades de la multiplicacinPropiedad conmutativa, y se cumple en general para dos nmeros cualesquiera X, Y entonces.

XY = YX (el orden de los factores no altera el producto).

Propiedad asociativa, que consiste en que, para tres nmeros cualesquiera X, Y, Z se cumple que:

(XY)Z = X (YZ)

Propiedad distributiva con la suma,

Tenemos que:

X (Y+Z) = XY+XZ

Por lo tanto:

(X+W)(Y+Z) = X (Y+Z)+W (Y+Z) = XY+XZ+WY+WZ

Elemento de identidad

1x = x (todo numero multiplicado por 1, es igual al nmero multiplicado es decir no es afectado).

Nota: todo nmero multiplicado por cero es igual a ceroEjemplo: (5) (0) = 0 o bien 0+0+0+0+0=0


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Multiplicacin de fracciones o quebrados

Se multiplican los numeradores para calcular el nuevo numerador y se multiplican los denominadores paracalcular el nuevo denominador. Ejemplo:

4-- x3

2-- =2

4 x 2---------- =

3 x 2

8---12

Observar cmo se multiplican siguiendo las lneas

Se multiplican los numeradores el 4 por el 2 y despus tambin se multiplican los denominadores 3 por el 2;obteniendo el resultado de 8/12

Despus simplificando dividimos denominador y numerador del resultado obtenido (ambos entre 2), quedando4/6, y como el resultado aun puede ser dividido ente 2, entonces lo hacemos nuevamente, quedando 2/3como el resultado expresado en su mnima expresin


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DivisinOperacin aritmtica que se utiliza para determinar el nmero de partes iguales de una cantidad determinada, o biendividir una magnitud o un numero en partes iguales.

Es la operacin inversa de la multiplicacin.

O de otra forma dicho, es la operacin que se realiza para determinar cuntas veces un numero est contenido en otro

numero

Divisin de fracciones o quebrados

Se multiplican en cruz, o de otra forma dicho: el numerador se calcula multiplicando le primer numerador por elsegundo denominador. El denominador se calcula multiplicando el primer denominador por el segundonumerador.

6-- :2

4-- =3

6 x 3-------- =2 x 4

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Observar las flechas de abajo


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Conceptos Importantes que debes conocer para acreditar aritmtica

VariablesSe llama variable al smbolo que representa una cantidad desconocida.

Cuando queremos hacer una ecuacin matemtica a partir de una declaracin ordinaria utilizando una o msvariables, este proceso facilita, mecaniza y automatiza el pensamiento para llegar a una solucin.

Ejemplo:

2x + 3y = 12

X y Y son variables dado que sus valores son desconocidos

Variables dependientes e independientes

A) Variables dependientes: basados en el concepto de que una variable dependiente es la variables que esdeterminada por otra variable.

Entonces matemticamente se puede decir que:

Sera el nmero resultado de una funcin. Y Su valor depende de la funcin dada y el valor o los valoreselegidos para las variables independientes.

Por ejemplo, en y = f(x) = 2 x, x es la variable independiente, y es la variable dependiente. Se tiene la

libertad de elegir cualquier valor para (X) mientras se encuentre en el dominio de la funcin. Sin embargo,el valor de (Y) tiene que cambiar conforme cambia x. Si x = 1, y = 2 x = 2.

B) Variables independientes: Son las variables en donde los cambios en los valores de la misma determinacambios en los valores de otra variable. (de las variables dependientes).

Por lo que una variable independiente puede cambiar libremente su valor, sin que su valor se vea afectadopor alguna otra u otras variables.

Generalmente, una variable independiente es la entrada de una funcin y normalmente se denota por el

smbolo x, en tanto que frecuentemente y se reserva para la variable dependiente.

Por ejemplo, en y = f(x) = x 2, (X) es la variable independiente y (Y), es la variable dependiente.


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Reglas de los signos

Aun cuando no ser pregunta directa de examen, algunas respuestas de operaciones algebraicas se diferenciaran solopor el uso de estas reglas, as es que dale la importancia debida.

1. Regla de los signos en la Suma:A) Si los signos son iguales: entonces los nmeros se suman

Ejemplo:

6 +12 = 18

7 + 3 = 10

B) Si los signos son diferentes: entonces se realiza una resta entre los nmeros y el resultado llevara el

signo del nmero mayor.

Ejemplo:

(-5) + (7) = 2

(-15) + (8) = -7

2. Regla de los signos en la Resta:

A) Si los signos son iguales: Se restan los nmeros y el resultado lleva el signo del mayor.

Ejemplo:

(5) (8) = -3

(-3) (-6) = -9

B) Si los signos son diferentes: se suman los nmeros y el resultado lleva el signo del mayor.

Ejemplo:

5 - (-8) = 13


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3. Regla de los signos en la Multiplicacin y Divisin:

Si los signos son iguales el resultado es positivo.

Si los nmeros son signos opuestos el resultado es negativo.

Ejemplo:

5 x 8 = 40

4 x -8 = -40

Anqu de todas las reglas de los signos esta es la ms fcil, esta la usaras para determinar respuestas correctas enexamen, ya que al ponerte una ecuacin algebraica todos los resultados sern muy parecidos y solo diferenciados por laregla de los signos, as es que en general las reglas de los signos ES UN TEMA DE LOS MAS RELEVANTES


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RaznR

La solucin de algunos problemas basados en razn, proporcin y variacin nos podrn llevar con frecuenciaa soluciones rpidas y simples para problemas que de otra forma pudiesen ser muy complicados.

RAZN

Si alguien nos dice que una persona corre 30 kilmetros por hora, este dato tal vez no nos diga nada, y sipreguntamos habr quien nos diga que corre muy rpido y otros que nos digan que corre muy lento, y hastademasiado lento.

Pero qu pasa si al mencionar el dato decimos, que esta persona corre 30 kilmetros por hora, mientras queel promedio de las personas corremos solo 20 kilmetros por hora; entonces cualquiera puede saber que estapersona corre muy rpido.

Porque fue ms fcil determinarlo, pues porque comparamos el valor de nuestra observacin con un valornormal, que nos dio un verdadero significado al entendimiento del valor obtenido.

Para determinar lo antes dicho tenemos que: este corredor corre a

De lo que corre una persona normal.

Por lo que podemos decir que: Una razn es una comparacin de dos cantidades semejantes.

(Es el cociente obtenido dividiendo el primer nmero de la comparacin por el segundo).

Observe como se pueden establecer estas comparaciones, por ejemplo si tenemos 2 engranes y uno tiene veintedientes y el segundo tiene 10 dientes

Tendremos una relacin de engranes de 20:10, Tambin se puede expresar como 20/10, o decir que los engranestienen una razn (o relacin de 20 a 10).

Cuando se habla de una relacin inversa solo se invierten los nmeros y citando el ejemplo anterior decimosque la relacin inversa de 20 a 10 ser 10 a 20

En los problemas 1 a 6, escriba la razn como una fraccin y reduzca a los trminos de menor valor. En losproblemas 7 a 10, escriba la inversa de la razn dada.


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Ejemplos de razn

Qu razn existe en tres los siguientes:

A) qu razn existe entre 5 kilos y15 kilos

Los ordenamos en forma de razn y tenemos 5/15,

Reducindolos a su mnima expresin ser 1/3, dado que ambos nmeros pudimos dividirlos entre 3

Por lo que la relacin ser de 1/3

Pero tambin podemos hacer la divisin de y tendremos .33333333333

Nota es muy importante y me gustara dejarlo sper claro, como observaste la razn se puede expresar de variasformas, por lo que en ocasiones en examen no vendr la respuesta que t buscas, por lo que debers buscar susequivalencias

Ejemplo en ocasiones buscaras un quebrado y vendr en forma de decimal, etc.

Y no solo podrs tener este problema en esta pregunta, sino en todas las respuestas de matemticas, por lo que

asegura entender bien lo que es reducir a mnima expresin los quebrados o convertirlos a decimales

B) qu razn existe entre 16 pesos y 12 pesos4. Los ordenamos en forma de razn y tenemos 16/12,5. Reducindolos a su mnima expresin ser 4/3, dado que ambos nmeros pudimos dividirlos entre 46. Por lo que la relacin ser de 4/37. Pero tambin podemos hacer la divisin de y tendremos 1.33333333333

En donde otra vez TODOS los marcados en rojo, son relaciones validas


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PROPORCIN

Este tema es muy ligado al uso de la razn, por lo que recomiendo asegurarse haber comprendido lo que unarazn significa.

Una PROPORCIN es una ecuacin en la cual los miembros son razones. O bien dicho en otras palabras,cuando dos razones se igualan una a otra se forma una proporcin.

Por lo que la proporcin podr escribirse en tres formas diferentes, y te muestro algunos ejemplos de ello.

15:20 :: 3:4

Entonces como ya habamos explicado, 15/20 y , son la misma razn, pero una de ellas est reducida a sumnima expresin Porque el 15 se dividi entre 5 y nos dio el 3,

As mismo el 20 se dividi entre 5 y nos dio 4.

Por lo que se puede decir que 15/20 y son razones PROPORCIONALES


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Regla de tresLa regla de tres es una relacin que se establece entre tres (o ms) valores conocidos y una incgnita. Normalmente seusa cuando se puede establecer una relacin de linealidad (proporcionalidad) entre todos los valores involucrados(anlogo para proporcionalidad inversa).

Normalmente se representa de la siguiente forma:

A - B

X - C

Siendo A, B y C valores conocidos y X la incgnita cuyo valor queremos averiguar. Esto se lee de la siguiente manera: Aes a B como X es a C. La posicin de la incgnita puede variar, por supuesto.

Ver ejemplo

Si 5 perros de 20 son pequeos, que % de perros pequeos tenemos?? (5x100/20)=25%

Si observan se da esta operacin

El elemento que est en el lado contrario a la X es quien divide, mientras los otros 2 se multiplican

Como se muestra.

Esto siempre se debe de realizar de esta forma sin importar cul sea la incgnita.


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Ver otro ejemplo y compara similitudes.

Si tenemos 10son el 100%, cuantos perros sern el 30%?? (30x10/100)=30 Perros

Compara como se resuelve de la misma forma, que ya habamos mencionado!!

El elemento que est en el lado contrario a la X es quien divide, mientras los otros 2 se multiplican

Como se muestra.


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Clculo de porcentajes

Esta seccin es tambin sumamente importante que la aprendas, dado lo cotidiano de su uso es considerada importante,

y aun cuando no te pedirn que lo definas el concepto; vendrn varios problemas que te pedirn sacar porcentajes o bienque la respuesta ser dada en porcentaje.

Porcentaje

Definicin: una forma de expresar una proporcin o fraccin como una fraccin de denominador 100, es decir, como unacantidad de centsimas. Es decir, una expresin como "45%" ("45 por ciento") es lo mismo que la fraccin 45/100.

"El 45% de la poblacin humana..." es equivalente a: "45 de cada 100 personas..."

Un porcentaje puede ser un nmero mayor que 100. Por ejemplo, el 200% de un nmero es el doble de dicho nmero, oun incremento del 100%. Un incremento del 200% dara como resultado el triple de la cantidad inicial. De esta forma, sepuede apreciar la relacin que existe entre el aumento porcentual y el producto.

En realidad sacar porcentaje es una regla de 3

Ejemplo: si 8 pelotas de 70 son verdes, cual es el porcentaje de pelotas verdes

70 pelotas es igual al 100% de las pelotas

8 pelotas que porcentaje ser?

70 - 100

8 - x

X= 8 x 100 / 70 100/70*8

X= 11.42%

SI OBSERVASTE ESTO SE PUEDE SACAR POR REGLA DE 3, POR LO QUE SI LA DOMINAS, NO TENDRASPROBLEMA ALGUNO.


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Potencia

Elevar un numero a su potencia, es multiplicar un numero por s mismo.Y se expresa de la siguiente forma

X2 = x . x

X3 = x . x . x

X4 = x . x . x . x

Familiarzate con ellos porque lo usaras en expresiones algebraicas en examen

Raz cuadrada

Casi imposible te pidan la definicin de raz cuadrada en examen por lo pobre la aplicacin, pero sumamente importanteque sepas de que se trata y que sepas usarla bien en tu calculadora.

Por lo que la tocaremos de forma muy, muy ligera.

La raz cuadrada de un nmero (X), es encontrar un nmero que multiplicado por s mismo, nos d el nmero al que leestamos buscando la raz cuadrada.

Por ejemplo:

Si buscamos la Raz cuadrada de 16 entonces el resultado ser el numero que multiplicado por si mismo nos de 16

Y en este caso es 4, ya que 4x4=16

Nota importante, durante el examen podemos cometer el error de dedo al presionar teclas de la calculadora,

afectndonos todo el resultado, pon mucha atencin cada que la uses, y si tienes duda de inmediato verifcalo.


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Solucin de ecuaciones

De primer grado con una incgnitaEs un hecho que no te pondrn a solucionar ecuaciones de primer grado con una incgnita por un mtodoen especifico, dado que si recuerdas en tu hoja de respuestas solo seleccionas marcando un circulo conlpiz.

Por lo que podrs resolverlas con el mtodo que te sea ms fcil, o bien te recomiendo usar los concejosde el primer modulo (de substituir las respuestas por las x)

Para que veas cual es ms lgico

Ecuacin: es una igualdad literal que slo es cierta para algunos valores de las letras.

La letra o letras desconocidas de una ecuacin se llaman incgnitas.

En la ecuacin X + 3 = 7 la incgnita es X. La incgnita de una ecuacin se puede designar con cualquierletra, pero en general se utiliza la letra X.

Solucionesde una ecuacin son los nmeros que la verifican, es decir, los nmeros que convierten laecuacin en una igualdad de nmeros cierta.

Resolver una ecuacin: es encontrar su solucin.

As la ecuacin X + 5 = 12 slo se verifica si X = 7. Se dice que 7 es la solucin de la ecuacin

Trminos:de una ecuacin son los sumandos que tienen cada miembro de la ecuacin, pueden sertrminos en x, y trminos independientes

Por ejemplo la ecuacin: 3x - 1 = x + 3

Primer miembro: 3x - 1

Segundo miembro: x + 3

Trminos en x: 3x, x

Trminos independientes: -1, 3


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Transposicin de trminos:

Pasar trminos de un miembro a otro de una igualdad segn las siguientes reglas:

El trmino que est sumando en un miembro, pasa al otro restando, y viceversa. Si est multiplicando,pasa al otro miembro dividiendo, o viceversa.

Ejemplos:

SI tenemos la ecuacin X-9=3, Entonces debemos pasar el Nueve hacia el lado del 3

Para poder dejar la X sola estos es (despejar la X), entonces segn la regla ya mencionada detransposicin, el nueve que est siendo sumado con la X, deber pasara al otro lado de signo igual, peroesta vez restado (recordando que pasa de forma inversa [es decir si suma pasa restando, si multiplica pasadividiendo, etc.])

Por lo que quedara

X=3+9, entonces

X=12

Le dar un ejemplo muy cotidiano, porque se trata de que lo entienda y no de que lo memorice

Si tenemos que 5 + 8 = 10 + 3 (dado que la suma de ambos es igual a 13).

Si pasamos el 8 al otro lado de la igualdad, debe pasar al otro lado restando dado que esta sumando!!

Veamos 5 = 10 + 3 8 Observemos como al pasar el 8 de forma inversa, continua la igualdad,ya que la suma de los dos lados ser igual a 5

Y ahora pasaremos el 3 hacia el otro lado del trmino, y como esta sumando pasara restando, quedando:

5 - 3 = 10 8 Observemos como al pasar el 3 de forma inversa, continua la igualdad,ya que la resta de ambos lados nos dar como resultado 2.

En este ejemplo omit las incgnitas para que te fuese ms fcil comprender el porqu, as es queno memorices, sino que raznalo y comprndelo, esta es un de las bases para poder resolvercualquier ecuacin!


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Ya entendido esto pasemos a resolver algunas ecuaciones de primer grado con una incgnita

Que muy seguramente te vendrn un par de preguntas y necesitaras resolver otros para encontrarrespuestas de otras preguntas, es decir con una sola pregunta podrn evaluar 2 aspectos, que msadelante te indicare.

X+4=12

Como queremos dejar la X sola para saber su valor, entonces pasemos el 4 al otro lado del trmino

CON SIGNO CONTRARIO, es decir pasmoslo restando.

X=12-4, entonces si lo resolvemos tenemos que: X=8 (fcil).

Ejemplo 2

X/2=5

Despejemos X, o bien dejmosla sola, entonces el 2 lo pasaremos al otro lado del termino

De forma contraria, es decir est dividiendo, pasmoslo multiplicando.

X=2.5 entonces X=10

Ejemplo 3

2X-5=15

Para iniciar a despejar primero pasemos el 5 al otro lado del trmino, entonces:

2X=15+5 (ya que paso sumando en vez de restando). Y podemos resolver quedando: 2X=20

Entonces despejemos X, pasando el 2 que est multiplicando a x, al otro lado del trmino, pero dividiendo

Entonces tenemos que: X=20/2 entonces resolvemos y tenemos que X=10

Ves que fcil, recomiendo que tomes papel y resuelvas estos ejercicios


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2x=24-12

3x+11=10+5+3+2

50=3x+2x (recuerda primero resuelve las X)

4x-6=3x+3 (recuerda primero agrupa los nmeros y luego las x, luego realiza las operaciones).

2y+10+3y=10+5y (Lo mismo, agrupa los nmeros y luego las x, luego realiza las operaciones).

De forma intencional no te dar las respuestas, pero recuerda que ambos valores de cada lado deben seriguales para comprobar el resultado, ejemplo

Si ya vimos en el ejemplo numero 3, de pgina anterior

Que

2X-5=15

X=10

Entonces como ya conocemos el valor de X comprobemos si ambos lados del trmino son iguales

2(10)-5=15

Multiplicamos 2(10) y tenemos 20, entonces:

20-5=15Entonces X=10, es una respuesta correcta, usa este mtodo para comprobar tusrespuestas


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Solucin de ecuaciones de primer grado con 2 incgnitas por sustitucin

Antes que nada te dir que en examen, nunca te dirn resuelve esta ecuacin por este o por tal mtodo, recuerdaque en hoja de respuestas solo marcaras una respuesta correcta con una marca, y no debes mostrar ningn tipo

de desarrollo, lo cual es una enorme ventaja

Por lo que abajo se te muestran dos formas de resolver ecuaciones de primer grado con 2 incgnitas, yfamiliarzate con ambas y usa la que mejor se te acomode cuando sea requerido.

Ejemplo: Tenemos 2 ecuaciones con 2 incgnitas

X-Y=22X-Y=6

Aqu el gran problema es que es difcil saber el valor de Y y X, por lo que tenemos que primeramente despejaruna de ellas (en este caso la X)

Para esto tomamos la primer ecuacin solamente de ellas (la amarilla de arriba)X-Y=2

Como solo nos interesa saber el valor de una sola incgnita, optamos por despejar solo la X y pasamos la Y alotro lado del trmino (como estaba restando a la X, pues pasa sumando), como se muestra as queda:

X= 2+YAun cuando pensemos que no tenemos el valor de X muy claro, si sabemos que es igual a la Y+2

Despus tomamos la segunda ecuacin, (la azul).2X-Y=6

Y como sabemos que X=Y+2, entonces substituimos el valor de X por Y+2

Quedando la ecuacin azul de arriba de tal forma:

2(Y+2)-y=6

Si multiplicamos el 2 por cada smbolo dentro del asterisco (es decir resolvemos la zona verde)Nos queda este resultado (tambin marcado en verde) y completamos conY=6 para terminar de resolver2Y+4-Y=6

Ahora despejamos nmeros e incgnitas

2Y-Y=6-4 (ya que para dejar solo Y, pasamos el 4 al otro lado del trmino RESTANDO, ya que estaba sumando)


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Quedando:2Y-Y=2

Resolviendo las Y, nos queda:Y=2Ya tenemos el valor real de Y!!!

Entonces tomemos cualquiera de las ecuaciones inciales y substituyamos el valor real de YEn este caso tomare la marcad de amarilla, y quedando as

X-Y=2

Entonces, substituimos Y

X-2=2

Despejamos la X, pasando el dos que resta, pero sumando y queda:

X=2+2X=4

Entonces tenemos queY=2X=4


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Sistema de ecuaciones de 2 por 2

Tomando la ecuacin anterior veremos la otra forma de resolverla, que es tomar 2 ecuaciones y despejar una deellas.

Ejemplo:

X-Y=22X-Y=6

Necesitamos multiplicar la primera de ellas (por -2) para poder eliminar las X, es decir queremos convertir la Xde la ecuacin marcada en rojo en -2X, para anular en una suma, de la primera ecuacin ms la segundaecuacin.

Para ello debemos multiplicar TODA la ecuacin roja por -2

Quedando:

-2 por (X-Y=2) nos da -2X +2Y=-4

Entonces tomamos la segunda ecuacin (la gris) y le sumamos esta nueva ecuacin que nos resulto quedandoas:

2X -Y = 6-2X +2Y = -4

Y= 2

Y observamos cmo se cumple nuestro cometido (2x-2x=0) y se eliminan como se muestra con la diagonal

Con esto logramos aislar la "Y" y resolvindola suma vemos que Y=2

Tomamos nuevamente CUALQUIER ecuacin inicial, (buscar la ms fcil) y substituimos el valor de Y que yaes conocido, quedado as:

X-Y=2

X=2+YX=2+(2)X=4

Y ya tenemos que Y=2 y X=4..USA la tcnica, que MEJOR se te acomode!


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Te pongo un par de ejercicios para que resuelvas POR LOS 2 METODOS, y ya sabes cmo comprobar lasrespuestas.

Lo podrs evitar hacer pero la experiencia dice que solo cuando t te metes en el problema, realmente es cuandoaprendes, ya que el simple observador puede dejar pasar detalles y como l no est haciendo el examen, elresultado nunca es afectado

2X+4Y=3X+2Y+12Y-2X+14=10

2Y+X=83Y-2X+4=2


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Polinomios

A continuacin te daremos unos trminos con los que te debes de familiarizar, para que puedas comprender elsiguiente tema.

A) Una expresin algebraica: es una combinacin de nmeros y smbolos (que representannmeros). Por ejemplo: 5x2 + 3x3y3z.

B) Un monomio: es una expresin algebraica en la que se utilizan letras, nmeros y signos deoperaciones.

Un monomio posee una serie de elementos con denominacin propia.

Ejemplo: 6X3 analizar sus elementos:

coeficiente: 6 parte literal o variable: X exponente: 3 (de la parte literal)

C) Grado de los monomios: Es igual a la suma de los exponentes de sus trminos.

Ejemplo:

6Y2X1, se suma la potencia de Y y de X (2+1)=3, entonces es un monomio de 3er. Grado.

En este caso te puse marcado el exponente 1, para que lo identificaras, pero recuerda quecuando es uno, nunca se pone y debi haber sido as:

6Y2X


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Ejemplo 2:

6Y2Xes un monomio de segundo grado.

D) Un polinomio: es una expresin algebraica que se obtiene al sumar (o restar), dos o msmonomios.

Ejemplo

2x3

+2z4

-2y2

+3x

E) Un trmino: es la combinacin de nmeros y smbolos (que representan nmeros) unidospor operaciones de multiplicacin o divisin.

Ejemplo: 7x2,6x3y3z son los trminos de la expresin algebraica 2x2 + 4x3y3z.

F) Se llama forma reducida: de un polinomio cuando se ha simplificado, es decir cuandoya se sumaron todos sus trminos semejantes.

Ejemplo:

7x+2Y+3x-y y reducimos cuando queda as: 10x+Y

Ya que se sumaron todas las X y todas las Y


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Leyes de los exponentes:

Tambin llamados reglas de los exponentes, muy relevantes para examen, ya que las repuestas solo pueden

variar entre una suma y una multiplicacin de los exponentes.

1) Regla del ProductoSi MULTIPLICAMOS 2 trminos, entonces debemos de SUMAR sus exponentes.

Mucha atencin ya que un error muy comn es multiplicarlos dado que se trata de una multiplicacin

Ejemplo

x5 * x3 = x5+3 entonces tenemos que el producto es: = x8

2) Regla de la DivisinCuando tenemos un Cociente con trminos de la MISMA BASE, los Exponentes se RestanEjemplo

Suponiendo que a>n

En la divisin que se muestra

Xa------ = Xa-nXn

O bien

X5------ = X5-3 entonces tenemos que el resultado es: = X2X3


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3) Regla de la Potencia

Cuando tenemos un Termino elevado a mas de una Potencia, las Potencias se Multiplican

(Xa) n = Xa*n

(X2) 3 = X6

4) Regla del Exponente Cero

Todo nmero elevado a la Potencia Cero es uno

X^0 = 1

5) Regla del Exponente Negativo

Muy difcil que te venga un ejercicio en donde aplica esta regla, pero si pueden pedirte que definas la respuestacorrecta (escoger una de 4). Familiarzate con ellas simplemente.

Todo nmero Elevado a una Potencia Negativa se puede representar como su inverso para cambiarle la Potenciade Negativa a Positiva

1x^

-n= -----

x6) ReglaCuando un parntesis esta elevado a una potencia entonces podremos elevar cada elemento a la misma potenciade forma separada(ab) = a b


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Operaciones con polinomios

Suma y resta de polinomios

Para sumar o restar polinomios,

Simplemente sumaremos o restaremos los monomios semejantes de ambos. Es decir si ambos estn elevados alcuadrado, debemos hacer la suma de ellos, si varios estn elevados al cubo debemos hacer la suma de ellos, verel siguiente diagrama y sigue las lneas de colores para que observes, como se suman los monomios semejantes

Nota: es sumamente importante tener cuidado al momento de pasar los signos, ya que es muy fcilequivocarse y perder todo el sentido del resultado de la suma


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Producto de un monomio por un polinomio

1. Para multiplicar un monomio por un polinomio, se multiplica el monomio por cada trmino delpolinomio y se suman los resultados.

2. RECUERDA QUE, Al multiplicar los exponentes se suman (vea ejemplo del resultado)

Ejemplo (llevar orden en la multiplicacin como se muestra).

(6Y4-2Y3+3Y2-5). 2Y2

Multiplicamos 6Y4 por2Y2Quedando:

12Y6

Despus

Multiplicamos-2Y3 por2Y2Quedando:

12Y6-4Y5(recuerda que en multiplicacin de signos diferentes el resultado es negativo).

Despus

Multiplicamos3Y2 por2Y2

Quedando:

12Y6-4Y5+6Y4 (recuerda que en multiplicacin de signos iguales, el resultado es positivo).

Despus

Multiplicamos-5 por2Y2Quedando:

12Y

6

-4Y

5

+6Y

4

-10Y

2

(recuerda que en multiplic. de signos diferentes el resultado es negativo).

Si observas es fcil y debes ir multiplicando uno a uno los monomios en el orden que se presentan y tereitero lo importante de los signos.

Ya que en examen muy seguramente tu pregunta puede ser as:


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Trata de buscar tu solo la respuesta correcta y de nada te sirve hacerte trampa a ti mismo, o engaarte ati mismo.

Cul es el resultado de esta operacin?

(6Y4-2Y3+3Y2-5). 2Y2

Respuesta 1> 12Y6+4Y5 +6Y4+10Y2Respuesta 2> 12Y6+4Y5+6Y4-10Y2Respuesta 3> 12Y6-4Y5 +6Y4-10Y2Respuesta 4> 12Y6-4Y5 -6Y4-10Y2

En donde la nica variable te sern los signos, O tambin puede ser respuestas como estas:

Respuesta 1> 12Y12-4Y6 +6Y8-10Y2Respuesta 2> 2Y6+4Y5 +6Y4-10Y2Respuesta 3> 12Y12-4Y6 -6Y8-10Y2Respuesta 4> 12Y6-4Y5 +6Y4-10Y2

Por que deben venir as las preguntas? , porque solo tienes un minuto 20 segundo para resolverlo

Y una persona que sabe todas las reglas de la materia, fcilmente llega a una respuesta correcta en estetiempo, sin necesidad de hacer el desarrollo.

Recuerda que puedes usar tu cuadernillo de preguntas para hacer anotaciones PRCTICAS.

Respuesta correctas 3 para primer grupo de respuestasY 4 para el segundo grupo. ACERTASTE!!


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Producto de polinomios

1. Para multiplicar dos polinomios, se multiplica cada monomio de uno de sus factores por todos y cadauno de los monomios del otro factor y, despus, se suman los monomios semejantes obtenidos.

2. Es muy importante saber que cuando

Bsicamente es lo mismo que el ejemplo anterior, pero en vez de multiplicar por un monomio, multiplicaremospor 2Te recomiendo seguir las flechas para que veas que vamos multiplicando, durante el desarrollo.

Ejemplo:

Calcula el producto:

Primer paso:4x4


Segundo paso:4x4-6x3 (ntense como en ambos casos el exponente se sumadado que se est multiplicando unavariable por otra variable es decir X por X


Tercer paso:4x4-6x3 -6x3


Cuarto paso:4x4-6x3-6x3+9x2 (ntense como en el 3er y 4to casos el exponente NO se sumadado que se est multiplicando una variable por otra constante es decir X por un Numero por lo que el exponente pasa tal cual


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Quinto paso:4x4-6x3 -6x3 +9x2+2x


Sexto paso:4x4-6x3-6x3+9x2+2x-3

Despues se simplifica, Sumando-6x3 + -6x3 dando -12x3y quedando asi:

4x4-12x3+9x2+2x-3

Realiza estos ejercicios,

(3x7-5x3-4x2+2x-8)*( 9x3+2x)

(x2

+6x4

+9x5

+7x3

-5)*( 2x3

-x2

)(8x2-5x5-4x7+2x-8)*( 4x2+8x3)(x2+9x4+2x5+3x3-5)*( x3-5x2)


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Sacar Factor comn de un binomio

Usa la propiedad distributiva para simplificar las expresiones y sacar el factor comn.

Ejemplo

Saca factor comn en la expresin

16XYZ-24XZ+4X

Lo primero que se observa es que todos los monomios se pueden dividir entre 4Y como todos tienen tambin una X, entonces todos puedes ser dividido entre 4X

Quedando as:

(4X)*(4YZ)(4X)*(6z) + (4X)*(1)Y despus podemos simplificarlo aun mas quedando as:

4X*(4YZ6z + 1)

Recuerda que la clave es

1) Buscar un nmero que divida toda la expresin (como en este caso fue el 4).2) Despus busca que incgnitas estn en todos los monomios (como en este caso fue la X).

Resolver

24YZ-12XYZ+6XY9XYZ-27XZ+6X10XYZ-20XYZ+6Y

De estos seguro vendrn un par en examen, e igual mente con que sepas usar signos estas del otro lado.


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Simplificacin de trminos semejantesMuy requerido en exmenes

Es simplemente separar manzanas con manzanas y peras con peras, ver desarrollo.

La simplificacin de expresiones consiste en agrupar los trminos semejantes y simplificarlo, si es posible.

Para simplificar la expresin se suman o restan los coeficientes de los trminos semejantes.

Por ejemplo: 5a - 3b + 2a

Descripcin de semejanzas

5a y 2a Son trminos semejantes

-3b No es trmino semejante5a + 2a - 3b Se deben sumar los semejantes es decir (4a y 2a)7a - 3b Resultado SIMPLIFICADO

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ejemplo 2:

6a + 8b

La expresin no se puede simplificar, ya que 2a y 4c no son trminos semejantes. Entonces, la expresin ya

est simplificada.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ejemplo 3:8x + 4y - 14 + 8x +4

8x, 8x son trminos semejantes entre si4y no es semejante-14, 4 son trminos semejantes entre si

Reagrupar trminos semejantes:8x + 8x + 4y - 14 + 4

Resolver trminos semejantes, quedando as el resultado.16x + 4y - 10


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Binomio al cuadrado

Binomio al cuadrado y al cubo son las obligadas a aparecer en examen y no solo una pregunta as es que

asegura el conocer bien este tema.

Adems te darn la respuesta para que la simplifiques, y tambin te darn el binomio para que lo eleves alcuadrado.

Cuando el binomio que se elevara al cuadrado es positivo, Siempre se usa esta formula

Es decir: (y memorzatelo)A) Se eleva el primer elemento se pone al cuadrado (a2)B) Despus se pone el doble producto del primer elemento por el segundo (2ab)C) Despus se eleva el segundo elemento al cuadrado (b2)D)Nota: cuando el binomio que se elevara al cuadrado es Positivo, entonces TODOS, sus

signos en la respuesta sern positivos.

Cuando el binomio que se elevara al cuadrado es negativo, Siempre se usa esta formula

Es decir: (y memorzatelo)

A) Se eleva el primer elemento se pone al cuadrado (a2)

B) Despus se pone el doble producto del primer elemento por el segundo (2ab)C) Despus se eleva el segundo elemento al cuadrado (b2)D)Nota: cuando el binomio que se elevara al cuadrado es Negativo, entonces el primer signo

SIEMPRE ser negativo y el segundo SIEMPRE ser positivo.


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Explicacin de cmo se llega a esa frmula, por lo que te doy 2 opciones

Memoriza las formulas y de plano ni leas esto, pero si eres mejor razonando que aprendiendo de memoria, esta ser tuopcin adecuada

La explicacin de cmo se llega a este resultado es muy fcil y se muestra, haciendo una multiplicacin simple (como sifueran nmeros en vez de variables o letras)

Estas es la explicacin de cmo (A+B)2 Tiene como respuesta correcta A2+2AB+B2

Si acomodamos este binomio para hacer una multiplicacin, tal cual nos la ensearon en la primaria, yadems la resolvemos como tal, tenemos que:

A+ B. A+B

AB+B

2

A2 +AB______A2 +2AB+B2

Es decir, si multiplicamos(B)(B) =B2(B)(A)=AB(A)(B)=AB(A)(A)=A2

Si observan y acomodan los resultados individuales, de forma lineal quedara A2 +AB+AB+B2

Y simplificando suman los 2 (AB),Nos queda la respuesta A2 +2AB+B2


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Misma explicacin de cmo (A-B)2 enfatizo es el binomio negativo, Tiene como respuesta correctaA2-2AB+B2

Si acomodamos este binomio para hacer una multiplicacin, tal cual nos la ensearon en la primaria, y

adems la resolvemos como tal, tenemos que:

A- B. A-B- AB+B2

A2 -AB______A2 -2AB+B2

Es decir, si multiplicamos

(-B)(-B) =B2 (recuerda que si multiplicas 2 elementos de mismo signo incluyendo los negativos el resultado es positivo).(-B)(A)=AB (multiplicacin de signos diferentes, dan resultado negativo).(A)(-B)=AB (multiplicacin de signos diferentes, dan resultado negativo).(A)(A)=A2 (multiplicacin de 2 elementos de mismo signo incluyendo los negativos el resultado es positivo).

Si observan y acomodan los resultados individuales, de forma lineal quedara A2 AB - AB+B2

Y simplificando suman los 2 (-AB),Nos queda la respuesta A2 -2AB+B2

Por lo ya explicado en ambos casos es muy valido memorizar la formula, ya que siempre ser igual el resultado

Observa la similitud que existe con multiplicar nmeros, y te ayudada a fijar mejor la informacin


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Binomio al cubo

Al igual que el cuadrado de un binomio, se usa esta frmula por que el resultado siempre ser as, incluyendo sus signos

En realidad es mejor que te aprendas la formula a que te explique el desarrollo, ya que de ninguna forma te daroportunidad de desarrollarlo en el examen en tu minuto y 20 segundo que tienes por pregunta, y dejaras de contestar 4preguntas por resolver esta!.

Binomio al cubo (positivo)

Para calcular el cubo de un binomio, se suma: el cubo del primer trmino, con el triple producto del cuadrado del primeropor el segundo, ms el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, ms el cubo del segundo trmino.

Observar ejemplo: (y memorizar).

Binomio al cubo (negativo)

Cuando la operacin del binomio es resta, el resultado es:

El cubo del primer trmino, menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, ms el triple producto delprimero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo trmino.

Observar ejemplo: (y memorizar).

Entonces nota, como solo el signo de en medio ser positivo y el resto negativo


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Solucin de ecuaciones de segundo grado con una incgnita

Son de la formaax2+ bx + c = 0

La incgnita es x los coeficientes a, b, c.

Aplicando la frmula general. (Que debers aprenderte de memoria) , para que puedas resolverla y ademsuna pregunta de examen podr ser que identifiques la formula general, en donde no la escribirs pero si ladebers identificar en una respuesta.

Ver ejemplo:

x2 - 5x + 6 = 0

Ntese que este tipo siempre se diferenciara por tener una incgnita elevada al cuadrado x2,

y le llamaremos A

Despus seguir LA MISMA incgnita, elevada a la 1 es decir5x y le llamaremos B

Despus le seguir un numero 6 y le llamaremos C

Y Siempre estar igualada a CERO

Porque le llamaremos A, B, y C?

Si vemos el tipo de la formula, ya es una constante que as se llamaran para poder usar la Formula General.

Por lo que la incgnita elevada al cuadrado siempre ser A

La incgnita elevada a la 1, Siempre ser B

El nmero, siempre ser C

Y esta es la formula general

Misma que debers aprenderte de memoria, ya que muy seguramente es pregunta de examen, el que laidentifiques entre varias formulas y no tanto que la resuelvas por motivo de tiempos


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Retomado el ejemplo para resolverlo, tenemos que:


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Funcin linealComenzaremos este tema con los diagramas y coordenadas cartesianas

Vamos a recordar brevemente en qu consisten:

Un Diagrama cartesiano: Consiste en dividir el plano en cuatro partes llamadas a lascuales les lamamos cuadrantes, y se dividen por medio de dos rectas perpendiculares entre s

De las cuales la horizontal recibe el nombre de eje de las Abscisas o de las (X), y la verticalcorresponde el eje de las ordenadas o de las (Y) o tambin se le llama F(x), que significa funcinde x.

El punto en donde coinciden las x y las y, es llamado origen de coordenadas.

En el eje de las Abscisas (x), desde el punto de corte u origen de coordenadas y hacia la derecha se mide connmeros positivos y a la izquierda con nmeros negativos.

En el eje de las ordenadas (y), desde el origen de las coordenadas y hacia arriba, los nmeros son positivos

Y hacia abajo son negativos.


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Para que nos sirven las coordenadas?

Compralo con la cuidad que conoces, como sabes el nombre de las calles, al mostrarte un mapa podrs llegara un punto dado de forma fcil.

Pero qu pasa cuando vas a otra ciudad desconocida

Imagina que todas las calles de norte a sur estn numeradas, por lo que si buscas un numero de calle, te sermuy fcil encontrarla, despus que encontraste la calle de norte a sur, ahora esa calle mide kilmetros de largopero no importa ya que tambin sus avenidas estn numeradas y sabes exactamente cuntas calles te hacen faltapara llegar.

Bsicamente esto es lo que se pretende con esta grafica, que al darte unas coordenadas fcil mente las puedasubicar

Ejemplo si te doy las coordenadas (2,3), y sabemos que la ubicacin de los valores de las coordenadasSIEMPRE sern (X,Y),

Entonces nos vamos sobre la lnea de las X hasta el valor 2, y por eje de la Y hasta valor 3, y marcamos elpunto de interseccin, ver diagrama anexo.

Nota Observe como hacia la izquierda y hacia abajo los valores son negativos.


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Ecuaciones y coordenadas:Descartes estableci una relacin entre la geometra y el lgebra.A la recta, a la parbola, etc., y por tal razn, vamos a asignar una ecuacin que relaciona el eje y con el ejex, y que a la vez puede ser representado en un diagrama.

Ejemplo una ecuacin de una recta es y=3x-3

Con esta ecuacin debemos de buscar valores para sacar coordenadas y poder trasar una lnea quecorresponda a la ecuacin.

Por ejemplo tomamos al azar el valor X=0, y con la ecuacin dada sabemos qu Y=3x-3, entoncesresolvemos:

Y=3(0)-3, entonces Y=0-3, entonces Y= -3, por lo que ya encontramos una coordenada (X=0, Y=-3), o (0,-3),ya que sabemos que siempre el valor de X ira primero.

Posteriormente ubicamos la coordenada en grafica.

Despus tomamos otro valor al azar para X=2, y con la ecuacin dada sabemos qu Y=3x-3, entoncesresolvemos:

Y=3(2)-3, entonces Y=6-3, entonces Y= 3, por lo que ya encontramos una coordenada (X=2, Y=3), o (2,3),ya que sabemos que siempre el valor de X ira primero.

Ubica las coordenadas y traza lnea, que es la correspondiente a la ecuacin dada.


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Una pregunta de examen podr ser , encontrar la lnea que representa la funcin dada:Ver ejemplo: (ninguna de las lneas corresponde, salo como ejercicio y traza tu propia lnea).

Por lo que debers entender bien como se resuelve la funcin y como se interpretan las coordenadasencontradas en la grafica, como se te mostro en pgina anterior.

Tambin te podrn poner la informacin en una tabla de coordenadas, como la que se presenta

Y basado en las coordenadas, debers ver cul es la lnea a la que corresponden, pusimos marcadas lascoordenadas para tu referencia.

Que es una funcin lineal, o qu funcin representa una funcin lineal?


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Pregunta de examen

La funcin lineal de una variable: se define como una funcin matemtica de la forma:

F(x) = mx+b

Y en donde

m=Pendiente de la rectab =es la ordenada en el origen, y el valor de y para x=0, y ser el punto (0, b).

Por lo que cuando veas una funcin de esta tendrs 2 valores importantes, uno de ellos es la pendiente de lalnea, es decir que tan inclinada esta la lnea. Y se presenta por la m, entonces el valorque se ponga en ellugar en donde est colocada la m, ser la inclinacin de la lnea. (Y no tiene nada, nada que ver con unacoordenada).

El otro valor b, indica la coordenadapor donde la lnea pasara cuando el valor de x sea cero, es decir a qualtura de la lnea de las y pasara la lnea.

Para lo cual te dar 3 ejemplos relaciona, las funciones con las lneas de cada color, para su anlisis.


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Si observas la funcin y=2x+6 y como sabemos que el 2 corresponde a la pendiente dado que se encuentraen la posicin m, de la funcin (y=mx+b) , y tambin sabemos que b es el valor de y cuando x escero por lo que la lnea , que corresponde a la ecuacin pasara por el valor (y=6), por lo que la lnea negra es laque corresponde, compralo con la grafica de abajo.

Si observas en y=0,5x+2 Entonces vemos que la pendiente de la reta es de .5 y que Y=2 cuando x+0. Y lalnea roja tambin pasa por el eje de las y=2.

Si observas en y=0,5x-8 Entonces vemos que la pendiente de la reta es de .5 y que Y= -8 cuando x+0. Y lalnea azul tambin pasa por el eje de las y=-8.

En examen te podrn poner funciones similares y debers identificar a cual lnea le corresponde.

>>>Puntos de ayuda en examen, usualmente ponen 2 lneas con la misma pendiente, entonces miras las lneas y 2 tienenla misma inclinacin, entonces la que tiene inclinacin diferente es la y=2x+6

>>> Observa como todas pasan por eje Y, con el mismo valor marcado al final de su funcin , es decir al valor de b

Cabe mencionar que tambin ser pregunta de examen, Que significa m y b Y tambin te pedirn que identifiques en una funcin, cual es la pendiente,Y debers sealar el lugar en donde se ubica m en la funcin. Es decir:


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Geometra

Definicin:

Es la rama de las matemticas que se ocupa de las propiedades del espacio (puntos, rectas, planos, curvas, etc.),

Que representa los conceptos geomtricos que no pueden definirse, ya que son ideas basadas en la observacin,como lo son el espacio, la recta, el punto, el plano, etc.

Espacio

Es el conjunto universo de la geometra. Y en l se encuentran ubicados todos los dems elementos.

Su smbolo es: E

Punto

El punto se ejemplifica con el orificio que deja un alfiler en una hoja de papel o tambin con un granito de arena, y singrosor definido.

Perteneciente al espacio, en el cual hay puntos de forma infinita.

Para formar lneas (rectas, mixtas, poligonales o rectas), debemos de unir una serie de puntos.

Ejemplos:


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Recta

Es la unin puntos infinita y se ejemplifica por una cuerda tensa, y se dice que es infinita dado que puede ser extendidasin limite a travez de la adicin infinita de puntos.

Las ms comunes

Para su representacin grafica se usan las letras AB (maysculas),

Ejemplo:

Plano

El ejemplo ms comn, es una hoja de papel, (aun cuando esta no tiene fin ni grosor).

Ejemplo las graficas cartesianas que ya vimos anteriormente.


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Que es un ngulo?

Un ngulo es la porcin de plano limitada por dos semirrectas y que tienen el mismo origen.

Los ngulos se simbolizan con la letra a, como se muestra:

Como se compone un ngulo?

Los lados del ngulo son las semirrectas que lo forman el ngulo.

El vrtice del ngulo es el punto comn que es origen de las rectas que forman el ngulo.

Como se miden los ngulos?

SISTEMA SEXAGESIMAL


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En este sistema, el ngulo que forman dos rectas perpendiculares es de 90.Los ngulos se miden en grados (), minutos (') y segundos ('').Un ngulo de 1 es el que resulta al dividir en 90 partes iguales un ngulo recto por lo que:

1 Angulo recto = 90

1 grado = 60 minutos. 1 = 601 minuto = 60 segundos. 1'= 60''

Para medir ngulos se utiliza un transportador de ngulos.

Para medir un ngulo, se coloca el centro del transportador sobre el vrtice del ngulo, y uno de los lados sobre la lnea del cero.

Observa que tiene dos graduaciones en orden inverso; esto es para facilitar la medida en cualquier posicin del ngulo.

Ejercicio:

Observa como el ngulo A mide 40 , pasa exactamente por el punto marcado con el 40 en el transportador.

Que es la bisectriz de un ngulo? es la semirrecta que divide al ngulo en dos partes iguales.


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Ejemplo:

La semirrecta OA es bisectriz del ngulo O y divide el ngulo dado en ngulos1,2

Clasificacin de los ngulos:

Completo, es el nguloformado por la coincidencia de dos semirrectas y su amplitud es de 360.

Llano, es el nguloformado por dos semirrectas opuestas. Tiene sus lados en la misma recta. Su amplitud es la mitadde un ngulo completo, es decir, de 180.

ngulo Recto, Angulo de 90 de amplitud.


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Agudo, es el ngulo cuya amplitud est entre 0 y 90.

Obtuso, es el ngulo cuya amplitud es mayor que la del ngulo recto y menor que la del llano, es decir que entre elrango de 90 y 180.

Cncavo, es el que vale menos que un llano. Por tal razn se dice que los ngulos cncavos, comprenden a losagudos, rectos y a los obtusos.

Dos ngulos opuestos por el vrtice (vrtice comn y lados de uno prolongacin de los del otro) siempre sern iguales.


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ngulos formados por paralelas y una secante

Al trazar dos lneas pueden ocurrir dos situaciones: la primera, que se crucen en un punto; la segunda, que por ms quese prolonguen no lleguen a unirse.

Dos rectas que se cortan o interceptan en algn punto, se llaman secantes

Dos rectas que jams se cruzan son Paralelas

Al cortar dos rectas con una secante se forman ocho ngulos,

(De los cuales 4 son iguales si y los otros cuatros tambin son iguales entre si, por lo que se forman dos grupos dediferente Angulo).

Para que lo puedas apreciar bien pondr un ejemplo en donde los ngulos son muy diferentes a simple vista, ylos llamaremos ngulos Grandes y pequeos.

G= ngulos Pequeos

P=ngulos Pequeos


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Un punto muy importante es que la suma de ambos ngulos dar 180, recordando que ambos ngulos estn formadospor una lnea recta.

Por lo que en el examen te podrn poner solo un Angulo y preguntarte cunto mide el otro, para lo cual solo debershacer una resta simple. 180- el ngulo conocido= ngulo desconocido (vital comprenderlo, ya que varias preguntas oejercicios, implican tu dominio del tema).


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Ms sin embargo tambin te podrn poner una ecuacin simple, como el siguiente ejemplo:

En ejemplo anterior, de donde sali el 70 de la substitucin?, pues se tomo el valor de la primer respuesta alazar, y se resolvi la ecuacin.

(Si te fijas el ngulo h, es un ngulo grande, y tenemos que las respuestas son del ngulo a, que es unngulo chico al igual que el ngulo g, entonces si vemos la ecuacin original h=2g-30, entonces tomamos el70 que es respuesta y resolvemos).

Una vez resuelto tenemos que el ngulo h=110, y sabemos que el ngulo g=70 y suman 180, entonces larespuesta es correcta, de otra forma hay que tomar el valor del segundo, tercero o cuarto resultado, hasta lograr

la suma de 180.


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Otro ejemplo:

Ejemplo de la gua (IMPORTANTE)

Datos conocidos E y F

Lo primero que se debe hacer es factorisar, ya que no sabemos cuntos grados mide ninguno E ni F

Entonces

Se sabe que E mas F es igual a 180, por lo que podemos factorisar

90- 2x + 5x = 180

Se pasan los 90 al otro lado de la ecuacin quedando

-2x+5x=180-90

3x=90

X=30

Entonces ponemos el valor conocido de X en el dato conocido del Angulo E

Quedando

E=90 - 2(30)

E=90-60

E=30

Como sabemos que E y F sumados son 180, Entonces F=180-30, Entonces F=150


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Medicin y conversin de ngulos y radianesUn Radian: es el ngulo que limita un arco de una circunferencia cuya longitud es igual al radio de la misma.

Es decir, este indica que el ngulo formado por dos radios de una circunferencia, medido en radianes, es igual a la

longitud del arco formado sobre el radio,

Es decir, = s /r= ngulos= longitud del arcor = radio.

Por lo que el ngulo , completo en radianes de una circunferencia de radio r, es:

Formula de la circunferencia

Por lo que para convertir una circunferencia completa a radianes, se debe multiplicar el 2 x , Lo que equivale a 360

EJEMPLOS

A) Por lo tanto si queremos sacar el valor radial de 180, la formula ser solamente , ya que 180 es lamitad de 360.

B) Por lo tanto si queremos sacar el valor radial de 45, la formula ser solamente /2, ya que 180 es lamitad de 180 y 4ta parte de 360.

Ejemplos de los ngulos ms comunes en radianes

Etc. si observas, solo debes recordar que 180=, y lo dems lo deduces.

Ejemplos

360= 2, 180=, 90=/2, 45=/4,
http://es.wikipedia.org/wiki/Longitudhttp://es.wikipedia.org/wiki/Radio_%28geometr%C3%ADa%29http://es.wikipedia.org/wiki/Circunferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Radio_%28geometr%C3%ADa%29http://es.wikipedia.org/wiki/Longitud


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Clasificacin de polgonos

Clasificacin de polgonos por su nmero de lados

Tringulo equiltero

Tiene los 3 lados y ngulos iguales.

Cuadrado

Tiene 4 lados y ngulos iguales.

Pentgono regular


Hexgono regular


Heptgono regular


Octgono regular



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Polgono Convexos

Es el polgono en que todos sus ngulos son menores que 180 y todas sus diagonales son interiores.

Polgono Cncavo

En el polgono cncavo, es el que tiene un ngulo que mide ms de 180 y adems una de sus diagonales es exterior.

Un polgono regular

Es el polgono, que tiene todos sus ngulos iguales y de la misma forma todos sus lados iguales.

Propiedades generales de los tringulos

1 Un lado de un tringulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

2 La suma de los ngulos interiores de un tringulo es igual a 180.


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3 El valor de un ngulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.

Clasificacin de tringulos Segn sus lados

Tringulo equiltero

Tres lados iguales.

Tringulo issceles

Dos lados iguales.

Tringulo escaleno

Tres lados desiguales

Clasificacin de los tringulos segn sus ngulos

Tringulo acutngulo

Tres ngulos agudos


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Tringulo rectngulo

Un ngulo rectoEl lado mayor es la hipotenusa y sus lados menores son los catetos.

Tringulo obtusngulo

Un ngulo obtuso.

Rectas notables de los tringulos

Recordando que la mediatriz de un segmento, es la recta perpendicular al segmento en su punto medio.

Se llaman mediatrices del tringulo a las mediatrices de cada uno de sus lados.

Se traza la mediatriz de cada uno de los lados.

Observa que las tres mediatrices se cortan en un punto, que se denomina circuncentro


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El circuncentro tiene una propiedad muy importante, si trazamos una circunferencia con centro en l, que pase por unode los vrtices del tringulo, tambin pasara por los otros dos vrtices.

El circuncentro es el centro de la circunferencia que pasa por los tres vrtices de un tringulo.

Para determinar el circuncentro, basta con trazar dos de las mediatrices y su punto de corte. Ya sabemos que la terceramediatriz tambin se corta con las anteriores en el mismo punto.

El trazado de mediatrices, y en consecuencia el circuncentro resuelven dos importantes problemas geomtricos.

1. Como determinar el centro de una circunferencia?,

El proceso a seguir es:

1. Se representan tres puntos cualquiera en ella A, B, C. Construimos dos segmentos, por ejemplo AB y BC.

2. Se trazan las mediatrices de los dos segmentos.

3. El punto en que se cortan las mediatrices es el centro de la circunferencia.

.

Ejemplo de la aplicacin

Se desea construir una escuela rural, que sirva para la enseanza de tres pueblos, a los que les llamaremos(A, B, C) y estos no estn alineados por lo que forma un triangulo.Exactamente en donde debemos construirla para asegurar la misma distancia entre los 3 pueblos?


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Alturas de un tringulo

La altura de un tringulo es el segmento que une un vrtice con el lado opuesto o su prolongacin formando ngulo recto


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La figura muestra como se debe trazar la altura sobre el lado AB.

A) Se traza la recta que contiene a AB.B) Se traza la perpendicular a esa recta por el punto C.

Nota: Si el ngulo A o el B son obtusos, la altura quedara en la parte exterior al tringulo.

Las tres alturas de un tringulo, o sus prolongaciones, se cortan en un punto que se llama ortocentro.

Medianas de un tringuloSe llama mediana de un tringulo al segmento que une un vrtice con el punto medio del lado opuesto.


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Baricentro

Es el punto de de se juntan las 3 medianas. Y divide a cada medina en 2 segmentos.

El baricentro, G, siempre est en el interior del tringulo.

Como se ve en la figura, el segmento CG es de medida el doble que el segmento GM.

En algunos casos, vers que el valor de CG que se muestra no es exactamente el doble que GM.

Eso es debido a que se muestran resultados redondeados a las centsimas.

Es siempre exactamente el doble.

El baricentro, suele denotarse por la letra G, Centro de Gravedad.


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Bisectrices de un tringulo

Bisectriz es cada una de las rectas que divide a un ngulo en dos ngulos iguales.

Incentro: Es el punto de corte de las tres bisectrices.

Es el centro de una circunferencia inscrita en el tringulo.

Recta de Euler

Recta de Euler

El ortocentro (H), el baricentro (G) y el circuncentro (O), estn alineados y la Recta de Euler los une.


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Clculo de permetros y reas

En este tema de reas y permetros, difcilmente te pondrn hacer los ms complicados, dado los tiemposPero si te aseguro te podrn salir de problemas de cuadrados, rectngulos, triangulo y circulo

De los ms difciles como esfera, cono, pirmide, etc. Muy seguramente, te pedirn que identifiques lasformulas, para medir tu conocimiento del tema pero limitados por el tiempo, no podrn poner problemas deeste tipo.

As es que identifica TODAS las formulas, y aprende a solucionar las bsicas.

El permetro Bsicamente es sacar la medida de todo alrededor de una figura geomtrica. Y se saca sumando lasmedidas de todos sus lados, cuando todos sus lados sus lados son iguales, simplemente se multiplica la medida de un

lado por el numero de lados que tenga la figura.

El rea o superficie es la medida del interior de un polgono.


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Cuadrado

PERMETROEl permetro de un cuadrado es cuatro veces el valor de su lado.P = 4 a

Ejemplo si el lado a=5 entonces el permetro ser 5*4=20

REAEl rea de un cuadrado es igual al cuadrado de la longitud del lado.A= a2

Ejemplo si el lado a=5, b=10 entonces el rea ser 5*10=50

Rectngulo

PERMETRO

El rectngulo tiene los lados iguales dos a dos, por tanto:P = 2 a + 2 b

Ejemplo si el lado a=5, b=10 entonces el permetro ser (5*2) + (10*2) = 10+20 = 30

REA

El rea de un rectngulo es el producto de la longitud de los lados.A= a b

Ejemplo si el lado a=5, b=10 entonces el rea ser 5*10=50


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ParalelogramoSi observas el paralelogramo, de abajo, si mueves la parte amarilla que se muestra en el primero de ellos, y lacolocas como en el segundo, observaras que se trata de la misma rea que un rectngulo.

Por tanto el rea del paralelogramo es el mismo que el del rectngulo y por lo tanto se resuelve igual.

PERMETROP = 2 b + 2 c = 2 (b + c)

REA

El rea de un paralelogramo es igual al producto de la base por la altura.

A= b a

Ejercicio

La base de un paralelogramo es 10 cm, y su altura es 24.5 cm. Cual es el rea del paralelogramo?

A= 10*24.5 = 245Cm


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TrapecioRecuerda que el trapecio es un cuadriltero con dos lados paralelos, que se llaman bases y otros dos noparalelos.

REA

El rea del trapecio es igual a la semisuma de las bases por la altura.

PERMETROPara calcular el permetro de un trapecio cualquiera se suma el valor de los cuatro lados.

TrianguloPERMETROSuma de sus ladosP=b+c+d

REAEl rea de un tringulo es el producto de uno de sus lados por la altura sobre l dividido entre dos.


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Polgono regularPentgono, hexgono, heptgono, etc.

Un polgono regular de N (cualquier numero de) lados se puede dividir en N (mismo nmero de) tringulosissceles.

Ejemplos;

Por lo que el rea del polgono regular ser igual a: = N ATringulo,

Es decir ser igual a la suma de las reas de el numero de tringulos contenidos en el.

Para sacar el permetro simplemente sume, la medida de sus lados.


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CirculoPara sacar el permetro del crculo

Dimetro= Dimetro * 3.1416 (= Pi)

rea= (Pi) * R2 (radio al cuadrado)

Ejemplos

Sacar rea y permetro del siguiente crculo

Permetro = 10*3.14 = 31.4 cm

rea= 52*3.14 = 25*3.14 = 78.5 cm


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Prisma regular

V= (numero de lados*ancho de lados*apotema*altura).

Que es apotema?

La apotema de un polgono regular es la distancia que existe entre el centro y cualquiera de sus lados.

Cilindro

(Pi) * R2 * Altura

Volumen, pirmide, esfera y cubo


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Familiarzate con las formulas de tal forma que el verlas, puedas saber cual le corresponde a cada una de ellas, muyseguro nuevamente ser pregunta de examen.

Teorema de Pitgoras

El Teorema de Pitgoras es una relacin entre los lados de tringulos rectngulos.

Un tringulo rectngulo es el que tiene un ngulo recto, esto es, un ngulo de 90.

En un tringulo rectngulo la hipotenusa al cuadrado es igual al cuadrado de la suma de los catetos.


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a2 + b2 = c2

Es decir:

Que el

guia para examen ceneval de bachillerat1

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