~ 1 ~

COLEGIO UNIVERSITARIO“PROF. JOSÉ LORENZO

PÉREZ RODRÍGUEZ”

Prof. Johnny Lacruz Pulido

GUÍA DE EJERCITACIÓN N° 2

CONCEPTOS BÁSICOS

La Estadística es la disciplina que estudia la recolección, organización, presentación y análisis de un conjunto de datos relativos a un colectivo en estudio, a fin de obtener conclusiones válidas y confiables que nos permitan tomar decisiones lógicas.El uso de la Estadística está ampliamente difundido en muchos aspectos de nuestras vidas y a diario encontramos ejemplos que ponen de manifiesto su importancia en el desarrollo de la sociedad actual. Veamos algunos ejemplos:1. Industria alimentaria: Numerosos productos alimenticios son objeto de constantes análisis

estadísticos a fin de supervisar su calidad y evitar daños a la salud de los consumidores.2. Agricultura: La producción de buenas cosechas depende de las semillas que se han de

sembrar.3. Uso gubernamental: La política de estado necesita conocer detalles sobre el incremento

poblacional, los índices de natalidad y mortalidad, índice de desempleo, variación de la población estudiantil, etc. Esto permite al gobierno establecer estrategias de política social y económica para encarar los planes de desarrollo.

4. Meteorología: Mediante el acopio de datos es posible estimar el estado del tiempo en distintas regiones. Esto a su vez permite controlar otros parámetros de importancia fundamental para el mundo actual: época de siembras, tipos de construcciones que deben desarrollarse en un sitio determinado, faenas de pesca, época de cacería, etc.

A-1) A continuación cita ejemplos de la aplicación de la Estadística (recolección de datos, organización de datos, análisis (conclusiones)) en los siguientes campos: Medicina, Biología, Sicología, Deportes, Educación, Seguridad social, Métodos de estudio, Mercadeo.

División de la Estadística:Se divide en dos ramas: Estadística descriptiva y Estadística inductiva o inferencial.Si el objeto de la recolección de ciertos datos es describirlos y analizarlos sin hacer pronósticos o inferencias válidas sobre los mismos, la Estadística se conoce con el nombre de Estadística Descriptiva.Si el objeto de la recolección de datos es analizarlos con el fin de hacer pronósticos o inferencias válidas sobre los mismos, la Estadística se conoce con el nombre de Estadística Inductiva.Por ejemplo, si se recogen y agrupan datos meteorológicos concernientes al estado del tiempo, podemos hacerlo con dos propósitos:

~ 2 ~

1. Organizar y analizar los datos para saber la cantidad de lluvia que cayó sobre una región (Estadística descriptiva).

2. Organizar y analizar los datos para pronosticar las lluvias que caerán sobre una región (Estadística Inductiva).

Otro ejemplo: Determinar el número de estudiantes de la U.C.V. que trabajan.Característica en estudio: Estudiantes que trabajan.Colectivo: Los estudiantes de la U.C.V.Elementos: Cada uno de los estudiantes.Si este análisis lo hacemos a través del estudio de todos y cada uno de los estudiantes de la U.C.V., estamos aplicando una Estadística descriptiva, ya que se estudia la población completa. Ahora, si para alcanzar este objetivo, estudiamos solamente una parte (subconjunto) del conjunto total de estudiantes pertenecientes a la U.C.V. y las inferimos al conjunto, estamos aplicando una Estadística inductiva.

Población y muestra:La población constituye el conjunto que comprende todos los elementos, mientras que la muestra es sólo una parte de la población.La población puede ser finita o infinita.

Variables estadísticas:Considera una población formada por todos los estudiantes del C.S.L.C. Si decidiéramos indagar sobre el peso de los mismos, encontraremos que éste varía de un estudiante a otro. Se dice entonces que el peso es una variable estadística.Las variables estadísticas podemos clasificarlas en variables cualitativas y variables cuantitativas. Las variables cualitativas son aquellas que se refieren a aspectos de los componentes de una población que no pueden ser expresados numéricamente, por ejemplo, el color de piel, o de los ojos, sexo, color de los zapatos, el sabor de los mangos, estado civil, profesión, nacionalidad, etc. Son categóricas, no se pueden realizar operaciones. Las variables cuantitativas son aquellas que se refieren a aspectos de los componentes de una población que se pueden expresar numéricamente, la edad, las notas de un examen, el tamaño de los peces, número de hijos, estatura, peso, talla, etc. Se expresan directamente con números que indican cantidad.Las variables cuantitativas pueden clasificarse en variables continuas y variables discretas. Las variables continuas pueden asumir cualquier valor en un intervalo continuo de valores (números decimales) peso, altura, sueldo, longitud, espesor, velocidad, viscosidad, temperatura, etc. Las variables discretas son las que pueden asumir ciertos valores, por lo regular enteros: número de hijos por familia, número de carros, alumnos en el colegio, pupitres, paradas de autobús, pares de zapatos, etc.

Frecuencia:

FRECUENCIAS¿¿¿¿

~ 3 ~

Puede decirse también que FRECUENCIA es el número de veces que aparece un ítem en la muestra.

FRECUENCIA SIMPLE, fi Es lo que hemos definido hasta ahora, el número de veces que se observa un mismo ítem, o la cantidad de datos que caen en un mismo intervalo.

FRECUENCIA SIMPLE RELATIVA, hi Es la razón geométrica entre la frecuencia absoluta y el total de datos. O sea, el cociente de dividir el número de veces que aparece un dato de un intervalo, entre la totalidad de los datos que conforman la muestra de que se trate. El valor de la frecuencia relativa oscilará entre cero y uno. La suma de las frecuencias relativas

de todos los intervalos de clase de la muestra, es siempre igual a la unidad. hi=

f iN

FRECUENCIA ACUMULADA, Fi Es la suma de las frecuencias de un intervalo de clase con todas las frecuencias de los intervalos que le Preceden. Es la acumulación o suma de todas las frecuencias absolutas hasta el intervalo de clase considerado, inclusive.

FRECUENCIA ACUMULADA RELATIVA, Hi viene a ser la acumulación de todas las

frecuencias RELATIVAS hasta el mismo intervalo considerado, inclusive. H i=

F iN

La frecuencia relativa porcentual se obtiene del producto de la frecuencia relativa por 100:

. Si el conjunto de datos está agrupado en clases, decimos que la frecuencia absoluta de una clase es el número de datos que pertenece a la clase considerada.Un intervalo de clase es cada uno de los subconjuntos en que se agrupa un conjunto de datos.La marca de clase o punto medio x’ de un intervalo es la semisuma de sus límites: {[límite

superior (Ls) + límite inferior (Li)] sobre 2} x '=L s+Li

2 (valor representativo de toda una clase).

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS SIMÉTRICAS, o bien formadas se caracterizan por el hecho de que las observaciones que equidistan del máximo central tienen la misma frecuencia. La sumatoria de la frecuencia relativa es igual a 1. La primera frecuencia acumulada (F1) es igual a la primera frecuencia absoluta simple (f1) La última frecuencia acumulada (FN) es igual al número de datos, (N). La última frecuencia relativa acumulada es igual a la unidad.

Nociones Fundamentales: La Estadística se relaciona con cantidades, números, agrupados o no, los cuales presentan entre sí características comunes. Existen fenómenos como los precios de los productos de un mercado, la altura de un grupo de individuos, las calificaciones de los estudiantes de cierto grado, temperatura, etc. Que pueden asumir diferentes valores representativos gracias a una unidad apropiada, que llamaremos variable. A su representación numérica se denomina datos.

Estos datos cuantitativos se dividen en dos clases: discretos y continuos. Los primeros son aquellos en que sólo pueden ser contados a medidos en valores enteros; el número de nacimientos, fallecimientos, etc. Son de naturaleza continua cuando pueden ser medidos o contados en valores fraccionarios, como sería la estatura o peso de los habitantes de una ciudad, etc. Ahora bien, cuando se realiza una investigación, se obtiene una más de datos que deben ser organizados para disponerlos en un orden o secuencia lógica que se

~ 4 ~

ponga de manifiesto su estructura interna y facilite la continuación de su análisis. Estas operaciones dan origen a las distribuciones.

Distribución: se define como un conjunto de datos dispuestos conforme a los valores de un carácter variable, midiendo la cualidad serial en la disposición de estos valores.

Las principales formas de organizar los datos, son por orden de importancia:A. OrdenamientoB. Rol de frecuencias.C. Distribución de frecuencias.

Ordenamiento: Es la forma más simple de organizar o agrupar los datos, y consiste en disponerlos por orden de su magnitud ya sea en forma creciente o decreciente.

Ejemplo: Porcentajes de áreas no cultivadas en 29 zonas agrícolas

2.612.292.611.931.973.92

4.382.573.272.143.212.95

3.162.742.572.243.053.55

1.753.943.401.853.933.82

5.762.553.671.873.28

En forma ordenada:1.751.851.891.931.972.14

2.242.292.553.572.572.61

2.612.742.953.053.163.21

3.273.283.403.553.673.82

3.923.933.944.385.76

Rol de frecuencia: Una segunda forma de agrupar los datos es el rol de frecuencia, que consiste en ordenar los datos en forma creciente o decreciente de acuerdo a su magnitud, e indicar el número de veces que cada dato se repite. Para determinar el número de veces que cada dato se repite, se utiliza el conteo a través del sistema.

Valores f Valores f Valores f Valores f Valores f

100101102103104105

102

321

106107108109110111

64

714

112113114115116117

1610742

118119120121122123

1213

1

124 3

Distribución de Frecuencia: La clasificación a través del rol de frecuencia presenta el inconveniente que en la mayoría de los casos el número de datos que se debe ordenar es

~ 5 ~

exageradamente elevado, por ejemplo, si se quiere clasificar las personas por edad, se debe anotar año por año, lo que arrojaría casi 100 anotaciones (se suele tomar para n>30); asimismo sucede si se quiere clasificar pesos, estaturas, precios, índices, etc.

Es por ello, que se ha hecho necesario el agrupar los diferentes datos de determinados límites, lo que se puede realizar basándose en el principio de que un dato no puede considerarse distinto de otro por presentar pequeñas diferencias cuantitativas.

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

COMPONENTES DE LA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

A. AMPLITUD TOTAL O RANGO: Diferencia entre la intensidad máxima y mínima presentada por los casos observados o por la escala; en el ejemplo Bs. 100 es el límite inferior y Bs. 120 límite superior más uno.

B. CLASE O GRUPO : Fraccionamiento de la amplitud total para reunir los casos que presentan intensidades comprendidas entre los límites dados; en la distribución anterior existen 8 clases.

C. INTERVALO O AMPLITUD DE CLASE: Definido como la diferencia existente entre los límites superior o inferior de clase; también existen casos en que se toman como intervalo de clase la diferencia entre los límites inferiores de dos clase consecutivas.

D. PUNTO MEDIO DEL INTERVALO O MARCA DE CLASE: Punto medio del intervalo que, a falta de otro conocimiento más preciso, representa la intensidad media de los casos comprendidos en el grupo, o sea, se considera que los casos presentaron el valor o intensidad correspondiente a dicho punto medio, por lo que se usa frecuentemente para designar la clase o grupo.

E. FRECUENCIA DE CLASE: Números de casos cuya intensidad de la variable está comprendida entre los límites de una clase, o sea el número de datos que se encuentran dentro de cada clase.

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA.

Los datos o ELEMENTOS

Son cada uno de los términos que componen la muestra y, de acuerdo a la función existente entre ellos, pueden ser DISCRETOS O CONTINUOS.

CLASES O GRUPOS FRECUENCIA100—102103---104106---108109---111112---114115---118119---121122---124

126101233764

~ 6 ~

En general, los datos DISCRETOS son los que se pueden CONTAR y los CONTINUOS, los que se pueden medir.

LOS DATOS NO AGRUPADOS.Son los elementos tal cual se encuentran, tomados sin ningún género de clasificación.

Su utilidad en NULA, para los fines estadísticos. Tal sería el caso, por ejemplo, de las calificaciones obtenidas por los alumnos de un curso, tomados en el orden alfabético de la lista.

LOS DATOS AGRUPADOSA los fines estadísticos, es conveniente agrupar los datos integrantes de la muestra,

siguiendo cierto orden; ya sea ascendente o descendente, en SUBGRUPOS, por categorías, en INTERVALOS, etc.

Es en esta forma de presentación de dichos datos, que la muestra comienza a ofrecer significación para el estudio estadístico de la población o universo que representa. Al agrupar los datos en subgrupos o INTERVALOS de clase, pierden su identidad individual y pasan a tomar el valor medio del intervalo o subgrupo, en la cual se clasifiquen.

LOS INTERVALOS DE CLASE, “C”Al agrupar un gran número de datos para su estudio estadístico, conviene, para su mejor

clasificación, determinarlos por categorías o INTERVALOS DE CLASE.Ejemplo: si tomamos a 100 alumnos de la Universidad, para estudiar sus estaturas y vemos que el más bajo mide 1,55m y, el más alto, mide 1,80 m; estos dos valores serán los LIMITES de la muestra, y su diferencia será el RANGO, RECORRIDO o ALCANCE de la misma.

Los INTERVALOS DE CLASE vendrían a ser ciertos SUBGRUPOS, fijados por categorías, a nuestra conveniencia. Ejemplo, en este caso, intervalos de 5 cms cada uno, así:

Ier intervalo, de 1,55 m inclusive, hasta 1,60 m exclusiveIIo ² ² 1,60 m ² ² 1,65 m ²IIIer ² ² 1,65 m ² ² 1,70 m ²IVo ² ² 1,70 m ² ² 1,75 m ²Vo ² ² 1,75 m ² ² 1,80 m ²

LIMITE INFERIOR de la muestra: 1,55 mLIMITE SUPERIOR de la muestra: 1,80 mLa diferencia de los límites constituye, EL RANGO de la muestra e igual a 0,25 m.

NOTA: hay que diferenciar entre el límite superior de la muestra y de una clase en idéntica forma del límite inferior de una muestra y el de una clase.

EL TAMAÑO CONVENIENTE DE LOS INTERVALOS

El tamaño que habrán de tener los intervalos de clase, en que habrá de agruparse los datos de la muestra estadística, que se pretende estudiar, no podrá decidirse a capricho ni empíricamente; ya que esto influirá en las conclusiones estadística de una manera contundente.

Al escoger el tamaño de los intervalos de clase hay que procurar que los grupos resulten dispuestos en una distribución lo más uniforme posible. Hay que tener presente también, que la escogencia de tales tamaños determina, automáticamente, el número de grupos que ha de tener la MUESTRA

NOTA: En caso de dudas, para hallar el tamaño adecuado de los intervalos de clase, es de suma utilidad la siguiente fórmula.

~ 7 ~

C=i= R

N° deClases

Como quiera que sea muy probable que, al aplicar esta fórmula, no obtenemos un número entero; sino más bien, un número fraccionario, no siempre “manuable”, habrá que redondear entonces el resultado, hacia el entero o dimensión más conveniente.

De la fórmula anterior se deduce que el NÚMERO más conveniente de intervalos, en los cuales debe subdividirse la muestra vendrá dado por la fórmula:

N ° de clases=√N para N<200 y N ° de clases=3√N para N>200

NOTA: Casi nunca se utilizan MENOS de 5 intervalos de clase, ni MÁS de 20. Usted puede utilizar cualquiera de las dos expresiones antes dadas.

EJEMPLO: Las siguientes puntuaciones se obtuvieron al aplicar una prueba a un curso de 50 alumnos:

20 37 13 17 40 29 32 19 38 18

15 13 25 19 21 30 36 20 23 33

32 16 30 22 14 26 27 39 35 22

23 11 31 33 24 35 21 28 17 39

17 23 28 26 27 34 20 22 36 15

Calculamos el rango Rg o amplitud de la distribución.

Rg=Ls−Li+1 Para cuando la variable es discretaRg=Ls-Li Paracuando la variable es continua

Rg=Ls−Li+1=40−11+1=30 Procedemos a calcular el número de elementos que conformarán cada clase, para

ello utilizaremos la fórmula de STURGES.

ic=

Rg

√N=30

√50=30

7 ,07=4 ,23≈5

Selecciones un intervalo de clase, un número entero, preferiblemente impar, i=5

x ' es denominado marca de clase, y constituye el punto medio de cada clase, para

ello procedemos a x ´= Li+Ls

2 Para el registro de los datos utilizaremos la siguiente tabla:

CLASE x ' f i F i hi H i % hi %H i

11—1516--2021--25

~ 8 ~

26—3031--3536--40

∑ f i=N=

Ejercicios:

Completar los siguientes cuadros:

I)

Clases X’25742

II)

Clases X’56676

III)

Clases

248

106 1)

IV)

Clases

28

105

1)V) La edad de los asistentes a un ciclo de conferencias es la siguiente:

~ 9 ~

25 – 28 – 26 – 34 – 30 – 27 – 29 – 30 – 3131 – 29 – 35 – 28 – 29 – 34 – 36 – 27 – 34

30 – 27 – 29 – 32 – 36 – 35 – 28

Elaborar una distribución de frecuencia con

Nota: Si el ic es un número racional, se toma la mejor aproximación (por exceso o

defecto). VI)

La presión sanguínea máxima de un grupo de personas fue la siguiente:

107 – 112 – 130 – 136 – 117 – 114 – 136 – 139

120 – 135 – 109 – 115 – 123 – 119 – 137 – 115

113 – 124 – 120 – 125 – 140 – 128 – 110 – 124

Elaborar una distribución de frecuencia con VII)

La nota de Matemática obtenida por los alumnos de una sección fue:

18 – 15 – 10 – 19 – 17 – 11 – 08 – 11

13 – 12 – 13 – 11 – 10 – 12 – 10 – 13

09 – 08 – 17 – 06 – 13 – 05 – 12 – 10

Elaborar una distribución de frecuencia con VIII)

La temperatura media en una ciudad, a lo largo de un día en ºC, fue:

8 – 9 – 10 – 12 – 12 – 13 – 14 – 16 – 16 – 18 – 20 – 21

22 – 24 – 25 – 21 – 20 – 19 – 14 – 13 – 12 – 10 – 10 – 9

Elaborar una distribución de frecuencia con

IX) Efectúe la distribución de frecuencia de los siguientes valores.

0.738 0.729 0.743 0.740 0.736 0.741 0.735 0.731 0.726 0.7400.728 0.737 0.736 0.735 0.724 0.733 0.742 0.736 0.739 0.7350.745 0.736 0.742 0.740 0.728 0.738 0.738 0.733 0.734 0.7320.733 0.730 0.732 0.730 0.739 0.734 0.736 0.739 0.727 0.7350.735 0.732 0.735 0.727 0.734 0.732 0.725 0.741 0.736 0.7440.732 0.737 0.731 0.746 0.735 0.735 0.729 0.734 0.730 0.737

X) Efectúe la distribución de frecuencia de los siguientes valores.

68 84 75 82 68 90 62 88 76 9373 79 88 73 60 93 71 59 85 7561 65 75 87 74 62 95 78 63 7266 78 82 75 94 77 69 74 83 6096 78 89 61 75 95 60 79 71 7179 62 67 97 78 85 76 65 53 7565 80 73 57 88 78 62 76 85 7486 67 73 81 72 63 76 75 68 77

~ 10 ~

XI) Dada la estatura correspondiente a 50 alumnos, efectúe la distribución de frecuencia de los siguientes valores.

1.50 1.52 1.71 1.47 1.54 1.53 1.52 1.56 1.59 1.621.58 1.52 1.72 1.50 1.52 1.63 1.45 1.59 1.62 1.651.57 1.61 1.59 1.49 1.73 1.62 1.56 1.64 1.61 1.621.58 1.70 1.57 1.64 1.61 1.50 1.67 1.67 1.62 1.591.62 1.73 1.63 1.48 1.61 1.57 1.68 1.58 1.60 1.52

XII) La siguiente tabla nos ilustra la medidas en pulgadas, de 60 tornillos de vigas de acero para remaches hechos en una fábrica por hora, establezca una distribución de frecuencia de límites reales, y calculemos: x’, fi, hri, Fi, Hri, de igual manera determine el porcentaje de tornillos contenidos en las dos primeras clases. Que tornillos le interesa al fabricante hacer. Elabore un histograma y su correspondiente polígono de frecuencia.

0.38 0.29 0.43 0.40 0.36 0.41 0.35 0.31 0.26 0.400.28 0.37 0.36 0.35 0.24 0.33 0.42 0.36 0.39 0.350.45 0.36 0.42 0.40 0.28 0.38 0.38 0.33 0.34 0.320.33 0.30 0.32 0.30 0.39 0.34 0.36 0.39 0.27 0.350.35 0.32 0.35 0.27 0.34 0.32 0.25 0.41 0.36 0.440.32 0.37 0.31 0.46 0.35 0.35 0.29 0.34 0.30 0.37

XIII) Los números de llamadas de urgencia realizadas en 50 días consecutivos a una compañía de servicios de ambulancias son, los de la tabla. Establezca una distribución de frecuencias y señale, x’, fi.

95 89 81 78 73 69 66 62 59 5593 87 81 77 72 69 65 61 58 5591 85 80 75 72 67 65 61 58 5491 83 80 75 70 67 63 60 56 5390 83 78 73 70 66 63 60 56 53

XIV) El siguiente cuadro representa las calificaciones, de un curso de 45 alumnos, en la signatura de matemática. Determine su frecuencia, su frecuencia relativa, % de alumnos con más de 15 puntos, % de alumnos aplazados.

14 04 12 12 12 08 06 10 1204 10 08 02 12 12 18 08 0806 08 12 16 04 08 04 02 1208 10 12 08 16 12 06 02 1006 14 08 02 12 10 08 17 18

~ 11 ~

XV) En una distribución simétrica se sabe que: N° de clases es 7

∑ f i=40

H4=0.65; H6=0,95; h5=0,20 El límite inferior de la clase más baja es 20 y el límite superior de la clase más alta es

90.

XVI) Dada la siguiente información sobre el precio de 100 artículos:

Clases xi fi Fi hi Hi %hi %Hi

102.5—104.5 103.5 13 —106.5 28106.5-- 107.5 35 -- 110.5 25110.5—112.5 111.5 12

Completar la tabla Indique que porcentaje de artículos cuestan menos de 108.5 Bs.