guía jornadas - primer semestre

Guía jornadasPrimer semestre

Orden de las operaciones

Operaciones con fraccionesSuma y resta División

Multiplicación

Proporcionalidad

Directa

Inversa

Proporcionalidad compuestaMagnitud A Magnitud B Magnitud C

ab

cd

ex

𝑎𝑏=

𝑐𝑑=

𝑒𝑥

𝑎𝑏 ∙

𝑐𝑑=

𝑒𝑥 𝑥=

𝑒 ∙𝑏𝑑𝑎𝑐

Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando a razón de 6 horas por día un muro de 30 m. ¿Cuántos días necesitarán 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar los 50 m de muro que faltan?

A más obreros, menos días Inversa.A más horas, menos días Inversa.A más metros, más días Directa.

Se acomodan las magnitudes dependiendo de si es directa o inversa

Sucesiones

Donde:= término buscado= primer término de la sucesión=posición del término= diferencia =suma de los términos

Donde:= término buscado= primer término de la sucesión=posición del término= razón =suma de los términos

Sucesión aritmética - ejemplo• Dada la sucesión 1, 4, 7, 10,… encuentra y

Sucesión geométrica - ejemplo• Dada la sucesión 3, 6, 12, 24,… encuentra y

Sucesión geométrica infinita - ejemplo• Dada la sucesión 32, 24, 18,… encuentra

Leyes de los exponentes

Ejemplo usando diferentes leyes

Polinomios• Un monomio el producto de números y

variables. Al número se le llama coeficiente y a las variables con sus exponentes se le llama la parte literal.

• Un polinomio es la suma de monomios.6 𝐱𝟐𝐲𝟑

Coeficiente Parte literal

Términos semejantes

Suma y resta de monomios

Multiplicación y división de monomios

Suma y resta de polinomios• Agrupación de términos semejantes(4+ 7 -12) + (-9 - 6 + 2)

+(7 𝑎 + 2𝑎)+

[ + (7+ 2) 𝑎 + (

-5+ 9 𝑎 -

• Por columnas 4 + 7 -12 (+) - 9 + 2 - 6

-5+ 9 𝑎 -

Multiplicación de polinomios

División de polinomios• División larga • División sintética (solo para

divisiones entre )

Productos notables

Triángulo de Pascal

Binomio de Newton

( 𝑛𝑚)= 𝑛 !𝑚 ! (𝑛−𝑚 )!

(50)= 5 !0 ! (5−0 ) !

= 5 !(0 !)(5 !)

=1 (51)= 5 !1! (5−1 )!

= 5 !(1 !)(4 !)

=5 (52)= 5 !2! (5−2 )!

= 5 !(2 !)(3 !)

=10

(53)= 5!3 ! (5−3 )!

= 5 !(3 !)(2!)

=10 (54)= 5 !4 ! (5−4 ) !

=5 !4 !

=5 (55)= 5 !5 ! (5−5 ) !

= 5 !(5 !)(0 !)

=1

Donde Ejemplo:

FactorizaciónFactorización

1. Factor común 2. Binomio

3. Diferencia de cuadrados

3. Binomio al cubo

2.Trinomio

3. Trinomio cuadrado perfecto

3. 3.

Factor común

𝑎(𝑎−𝑎𝑥+𝑥2)

𝑚2(𝑚4−3𝑚2+8𝑚−4 )

5 𝑥(3𝑥2+4 𝑥−1)

8 𝑥2 𝑦 (2 𝑥𝑦−1−3𝑥2 𝑦 )

Diferencia de cuadrados

Ejemplos:

Suma y diferencia de cubos

Ejemplos:

Trinomio cuadrado perfecto

4 𝑥2−12 𝑥𝑦+9 𝑦 2=(2𝑥−3 𝑦 )2

25𝑚6+30𝑚3𝑛2+9𝑛4=(5𝑚3+3𝑛2)2

Ejemplos

𝑎2±2𝑎𝑏+𝑏2=(𝑎±𝑏)2

Trinomio de la forma 𝑥2+𝑏𝑥+𝑐

Se buscan 2 números que multiplicados den “c”

Pero sumados o restados den “b”

(𝑥+7)(𝑥+3)

(𝑥−20)(𝑥−1)

(𝑥−5)(𝑥+12)

(𝑥+10)(𝑥−3 0)

Si el signo del tercer término es “+”, los números se suman y se pone el signo del segundo término.

Si el signo del tercer término es “-”, los números se restan y se pone el signo del segundo término al mayor.

Trinomio de la forma 𝑎𝑥 2+𝑏𝑥+𝑐Pasos

1. Se multiplica (a)(c)2. Con ese número se buscan 2 números que sumados o restados den b3. Se escriben el primer término, los 2 números encontrados y el tercer término.4. Se factorizan por agrupación.

3 𝑥2+8 𝑥+5(𝑎 ) (𝑐 )=(3 ) (5 )=15

3 𝑥2+3𝑥+5 𝑥+5

+3 𝑥+5 𝑥

3 𝑥2+3𝑥+5 𝑥+5

)

(3 𝑥+5)(𝑥+1)

Factorización por agrupación1. Se divide el problema en 2 partes factorizables (factor común/TCP)2. Después de factorizar por separado se juntan los resultados para

factorizarlos (Factor común/binomios conjugados)Ejemplo:

5 𝑥2−30 𝑥−𝑥+6

) )

)

𝑥2+6 𝑥+9− 𝑦2

(𝒙+𝟑)𝟐 −𝒚𝟐

[ (𝒙+𝟑 )+𝒚 ] [ (𝒙+𝟑 )−𝒚 ]

Simplificación de fracciones algebraicas1. Se factoriza todo lo que sea posible en numerador y denominador 2. Se elimina lo que esté repetido arriba y abajo.

Ej:

Operaciones con fracciones algebraicas

Multiplicación:

División:

Suma y resta:

*Si al factorizar los denominadores b y d se observa que hay factores iguales, solo se multiplican por los términos que no estén presentes para conseguir que las 2 fracciones tengan denominadores iguales.

Después de realizar estos pasos, se factoriza y se simplifica.

¿(𝑥−4 )(𝑥+2)(2𝑥+5)(2 𝑥−5)(𝑥2)(2 𝑥−5)(6 𝑥−1)(𝑥+2)

=(𝑥−4 )(2 𝑥+5)(𝑥2)(6𝑥−1)

¿ 4(𝑥−5)(𝑥+5)

∙ (𝑥+3)(𝑥+3)

+(𝑥+2)

(𝑥−5)(𝑥+3)∙ (𝑥+5)(𝑥+5)

¿4 (𝑥+3 )+(𝑥+2)(𝑥+5)(𝑥−5)(𝑥+5)(𝑥+3)

=4 𝑥+12+𝑥2+7 𝑥+10(𝑥−5)(𝑥+5)(𝑥+3)

𝑥2+11𝑥+22(𝑥−5)(𝑥+5)(𝑥+3)

=𝑥2+11𝑥+22

(𝑥−5)(𝑥+5)(𝑥+3)

Reglas de la igualdad

Ecuaciones lineales1. Se reducen los términos

semejantes, cuando es posible.2. Se dejan los términos con x a la

izquierda y se pasan los términos numéricos a la derecha.

3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible.

4. Se despeja la incógnita, pasando dividiendo al lado derecho el número que multiplicaba a la x.

5. Se resuelve la división.

3 𝑥−1=2 𝑥+53 𝑥−2𝑥=5+1

𝑥=6

Ecuaciones con 2 incógnitas: Gráfico①②Pasos:1. Tabular las dos

ecuaciones para los mismos puntos en x

2. Dibujar la gráfica usando los puntos.

3. El punto donde cruzan las dos líneas es la solución (x , y)

Ecuaciones con 2 incógnitas: Reducción①②1. Multiplicar ① y ② por los valores

de y contrario y cambiar signo de la segunda

2. Eliminar y ; sumar los otros valores

3. Encontrar el valor de x

4. Sustituir x en ① para encontrar el valor de y

Ecuaciones con 2 incógnitas: Sustitución①②1. Despejar ① en y

2. Sustituir en ②

3. Multiplicar toda la ecuación por el denominador para eliminarlo



Ecuaciones con 2 incógnitas: Igualación①②1. Despejar ① y ② en y

2. Igualar ① y ②

3. Multiplicar toda la ecuación por el denominador para eliminarlo



Determinantes①②1. Tomar los números y signos de las “x” y “y”, multiplicarlos cruzados y restar los resultados.

2. Cambiar las “x” por los valores de resultado de las ecuaciones, multiplicarlos cruzados y restar los resultados.

3. Cambiar las “y” por los valores de resultado de las ecuaciones, multiplicarlos cruzados y restar los resultados.

4. Dividir el resultado del paso 2 entre el resultado del paso 1.

5. Dividir el resultado del paso 3 entre el resultado del paso 1.

Ecuaciones con 3 incógnitas: Reducción①②48③

1. Multiplicar ① y ② por los valores de z contrario y cambiar signo de la segunda (solo si los signos son iguales)

2. Eliminar y ; sumar los otros valores

④

3. Hacer lo mismo con ② y ③

⑤

4. Hacer lo mismo para ④ y ⑤ eliminando la y

Ecuaciones con 3 incógnitas: Reducción①②48③

5. Sustituir x en ④ para encontrar el valor de y

6. Sustituir x y y en ① para encontrar el valor de z

Determinantes (CRAMER)①②48③1. Tomar los números y signos de las x , y, z multiplicarlos

cruzados y restar los resultados.

2. Cambiar las x por los valores de resultado de las ecuaciones, multiplicarlos cruzados y restar los resultados.

Determinantes①②48③3. Cambiar las y por los valores de resultado de las ecuaciones, multiplicarlos cruzados y restar los resultados.

4. Cambiar las z por los valores de resultado de las ecuaciones, multiplicarlos cruzados y restar los resultados.

Determinantes①②48③5. Dividir el resultado del paso 2 entre el resultado del paso 1.

6. Dividir el resultado del paso 3 entre el resultado del paso 1. 7. Dividir el resultado del paso 4 entre el resultado del paso 1.

Ecuaciones cuadráticas

Ejemplo

Ecuaciones cuadráticas: caso 1

Ejemplo

Esto quiere decir que


Ejemplo

Esto quiere decir que


Fórmula general

Discriminante

Reglas:Si raíces igualesSi raíces imaginariasSi raíces diferentes de números enterosSi raíces diferentes de números decimales


Fórmula general

Ejemplo

Ecuaciones cuadráticas: raíces imaginarias

Fórmula general

Ejemplo

Ecuaciones cuadráticas: método gráfico

Pasos:1. Tabular la ecuación para

algunos valores en x2. Dibujar la gráfica usando los

puntos.3. Los puntos donde cruzan el eje

x son la solución.

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