Universidad del Bo-Bo

Departamento de Ciencias Bsicas Estructuras Algebraicas

Profesor Jairo Navarrete

Ayudante Jos Maldonado

Gua I de Estructuras Algebraicas.

1) Si = obliga a que = en . Demuestre que 1 = , .

2) Sean un grupo finito y un subgrupo de . Sea () el mnimo positivo tal

que . Prubese que ()|() [con () el orden de ].

3) Sea un grupo abeliano de orden , 1, sus elementos.

Sea = 1 2 . Demustrese que:

a) Si tiene exactamente un elemento tal que 2 = , entonces = .

b) Si tiene ms elementos tal que 2 = , entonces = .

c) Si es impar, entonces = .

4) Cuantos elementos de orden 2 estn contenidos en el grupo simtrico 4.

5) Sea : un homomorfismo sobreyectivo pruebe que:

a) Si es cclico entonces cclico.

b) Si es abeliano entonces abeliano.

6) Sea U grupo de matrices triangulares superior de orden 2 2 = ( 0

) y si

: , 2, ( 0

) = 2. Pruebe que este mapeo es un homomorfismo

y determine su e imagen.

7) Si , , y = (), demuestre que para , , = .

8) Sean = 3, el grupo simtrico de grado 3 y = {, }, donde (1) = 2,

(2) = 1, (3) = 3.

a) Enumere todas las clases laterales izquierdas de en .

b) Enumere todas las clases laterales derechas de en .

c) Es toda clase lateral izquierda de una clase lateral derecha de .

9) Si es un grupo no abeliano de orden 6, prubese que 3.

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Profesor Jairo Navarrete

Ayudante Jos Maldonado

10) Sean un grupo y un subgrupo de . Sea = {| } el conjunto de todas

las clases laterales izquierdas de en . Defnase, para : por

() = 1.

a) Prubese que = para todo , . (por lo tanto, la aplicacin :

() definida por () = es un homomorfismo).

b) Descrbase () el ncleo de : ().

c) Demustrese que () es el subgrupo normal ms grande de contenido en

(en el sentido de que si y , entonces ()).