UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR

MAESTRIA EN ADMINISTRACION FINANCIERA

METODOS CUANTITATIVOS PARA FINANZAS

CATEDRATICO

HECTOR QUITEÑO

GUIA DE EJERCICIOS # 3Capitulo 4 Probabilidad y Conteo

Capitulo 5 Variables Aleatorias DiscretasCapitulo 6 Variables Aleatorias Continuas

ALUMNOS

OSCAR ARMANDO CHAVEZ BONILLAJUAN CARLOS HERNANDEZ MUÑOZ

CARLOS MAURICIO MARROQUIN MONTERROSAROBERTO CARLOS RODRIGUEZ

Lista de ejercicios No. 3

Capitulo 4. Probabilidad y Conteo: 1, 2, 3, 6, 9, 12, 16, 19,, 23, 28, 30, 31, 33, 35.

Capitulo 5. Variables Aleatorias Discretas: 12, 14, 20-24, 29, 31, 32, 35, 38, 40, 42, 45.

Capitulo 6: Variables Aleatorias Continuas: 4-7, 11, 13, 16, 18-25, 32-38

Ejercicio 1

Un experimento consta de tres pasos; para el primer paso hay tres resultados posibles, para el segundo hay dos resultados posiblesy para el tercer paso hay 4 resultados posibles. Cuantos resultados distintos hay para el experimento completo?

Solucion:∑E(p1)*∑E(p2)*∑E(p3) El resultado final es igual ala multiplicacion del total de los eventos posibles

en cada paso.

Paso 1 ∑E(p1) = 3Paso 2 ∑E(p2) = 2Paso 3 ∑E(p3) = 4

S =3*2*4

Resultado de eventos del experimento completo: 24

Donde:

∑E(p1) = A la sumatoria de los resultados posibles en el paso 1.

Ejercicio 2

Decuantas maneras es posible seleccionar tres objetos de un conjunto de 6 objetos? Use las letras A,B,C,D,E y F.para identificar a los objetos y enumere todas las combinaciones diferentes de tres objetos.

Solucion:

En las combinaciones no interesa el orden por lo que se utilizara las combinaciones para resover este problema.

nCr = n!

r! (n!-r!)

6C3 = 6!

3! (6!-3!)

TOTAL DE COMBINACIONES 20 Aplicando excel (=COMBIN(6,3)

Las combinaciones se muestran en la siguiente tabla:

ABC ACE BCD BEFABD ACF BCE CDEABE ADE BCF CDFABF ADF BDE CEFACD AEF BDF DEF

Ejercicio 3

Cuantas permutaciones de 3 objetos se pueden seleccionar de un grupo de 6 objetos?Use las letras: A,B,C,D,,E y F. Para identificar a los objetos y enumere cada una de las permutaciones factibles para los objetosB,D y F.

Solucion:

A) cuantas permutaciones se pueden seleccionar de un grupo de 6 objetos?

nPr = n!(n!-r!)

6P3 = 6!(6!-3!)

Permutaciones totales 120 Usando excel (=PERMUT(6,3))

B) PERMUTACIONES POSIBLES USANDO B,D y F

3P3 = 3!3!-3!

PERMUTACIONES POSIBLES 6 Usando excel (=PERMUT(3,3))

1er 2do 3erBFD B F DBDF B D FDBF D B FDFB D F BFDB F D BFBD F B D

Nota: solo debe comprobarse que cada elemento aparece ocupando cada posicion posible 2 veces:Asi para "B" se tiene 2 permutaciones con "B" ocupando la primera posicion, 2 permutaciones que tienen a "B" ocupando la segunda posiciony 2 permutaciones con "B" ocupando la ultima posicion. Lo anterior se cumple con las dos letras restantes.

Ejercicio 6

Un experimento que tiene 3 resultados es repetido 50 veces y se ve que E1 aparece 20 veces, E2 13 veces y E3 17 veces.Asigne probabilidades a los resultados. Que metodo empleo?

Por existir datos para estimar la proporcion de veces que se presentara un resultado si el experimento se repite muchas vecesEl metodo de las frecuencias relativas es el indicado.

Evento Resultado ProbabilidadE1 20 0.40E2 13 0.26E3 17 0.34

Total 50 1.00

Ejercicio 9

El muestreo aleatorio simple usa una muestra de tamaño "n" tomada de una poblacion de tamaño "N" para obtener datos para hacerinferencias acerca de las caracteristicas de la poblacion. Suponga que, de una poblacion de 50 cuentas bancarias, desea tomaruna muestra de 4 cuentas con objetode tener informacion acerca de la poblacion. Cunatas muestras diferentes de cuatro cuentaspueden obtener?

50C4 = 50!

4! (50!-4!)

= 50x49x48x47x46!4!x46!

= 50x49x48x474x3x2x1

= 230,300 Usando Excel (=COMBIN(50,4))

Ejercicio 12

En estados Unidos hay una loteria que se juega dos veces por semana en 28 estados, en las Islas Virgenes y el Distrito de Columbia. Para jugar, debe comprar un billete y selecionar 5 numeros del 1 al 55 y un numero del 1 al 42. Para determinar el ganador se sacan 5 bolas bolas blancas entre 55 bolas blancas y una bola roja entre 42 bolas rojas. Quien atine alos 5numero de bolas blancas y al numero de la bola roja es el ganador. Ocho trabajadores de una empresa tienen el record del mayor premio, ganaron $ 365,000,000.00 al atinarle a los numeros 15-17-43-44-49 de las bolas blancas y al 29 de las bolasrojas. En cada juego hay tambien otros premios. Por ejemplo, quien atina a los cinco numeros de las bolas blancas se lleva un premio de $ 200,000.00 (WWW.powerball.com, 19 de marzo de 2006).

A) Decuantas maneras se pueden seleccionar los primeros 5 numeros?

B)Cual es la probalidad de ganar los $200,000.00 atinandole a los 5 numeros de bolas blancas?

C)Cual es la probalidad de atinarle a todos los numeros y ganar el premio mayor?

Solucion:

A) Decuantas maneras se pueden seleccionar los primeros 5 numeros?

55C5 = 55!

5! (55!-5!)

= 55x54x53x52x51x50!5!x50!

= 55x54x53x52x515x4x3x2x1

= 3,478,761 Usando Excel (=COMBIN(55,5)

B) Cual es la probalidad de ganar los $200,000.00 atinandole a los 5 numeros de bolas blancas?

La probabilidad seria muy pequeña

= 1

55C5

= 1/3,478,761

= 0.00000029 Usando Excel (=1/COMBIN(55,5))

C)Cual es la probalidad de atinarle a todos los numeros y ganar el premio mayor?

SOLUCION:

Para obtener el numero de elecciones de 6 numeros: (multiplicamos el numero de combinaciones por el numero de bolas rojas)

= (55C5) X 42

= 146,107,962 Usando Excel (=COMBIN(55,5)*42)

La probabilidad de atinarle al premio mayor seria.

=1/((22C5)*42)

0.0000000068 Usando Excel (=1/(COMBIN(55,5)*42))

Ejercicio 16

Considere el experimento que consiste en lanzar un par de dados .Suponga que lo relevante es la suma de los puntosen las dos caras que caen hacia arriba.A) Cuantos puntos muestrales habra? (Sugerencia use la regla de conteo para experimentos de pasos multiples)

B) Enumere los puntos muestrales

C) Cual es la probabilidad de obtener un siete?

D) De obtener 9 o un numero mayor?

E) Como en cada lanzamiento son son factibles seis valores pares(2,4,6,8,10,12) y solo cinco impares (3,5,7,9,11), se tendramas veces resultados pares que impares. Esta de acuerdo? Explique.

F) Que metodo uso para calcular las probabilidades pedidas?

Solucion:

A) Cuantos puntos muestrales habra? (Sugerencia use la regla de conteo para experimentos de pasos multiples)

1er Dado 2do Dadoresultados 6 6

n1=6n2=6

= n1 x n2

= 6 x 6

= 36

B) Enumere los puntos muestrales

1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7 83 4 5 6 7 8 94 5 6 7 8 9 105 6 7 8 9 10 116 7 8 9 10 11 12

Total 36 Usando Excel (=COUNT(D47:I52))

C) Cual es la probabilidad de obtener un siete?Encontrando los resultados igual a 7 tenemos

= 6 Usando Excel ( =COUNTIF(D47:I52,7) )

Luego la probabilidad sera igual a dividir los eventos posibles (que suman 7) entre el total de puntos muestrales.

= 6/36

= 0.17 Usando Excel ( =COUNTIF(D47:I52,7)/COUNT(D47:I52))

D) De obtener 9 o un numero mayor?

En este caso se pueden obtener facilmente por simple vista pero se procedera a calcularlo con formula en excel para efectosde referencia en un caso mas complejo.

Total suma9 Usando Excel ( =COUNTIF(D47:I52,9) )

10 Usando Excel ( =COUNTIF(D47:I52,10) )11 Usando Excel ( =COUNTIF(D47:I52,11) )12 Usando Excel ( =COUNTIF(D47:I52,12) )

Total1

10

Dad

o 2

Dado 1

Numero de casos posibles432

Luego la probabilidad de obtener 9 o mas seria igual a dividir el total de casos posibles (que sumen 9 o mas) entre el total depuntos muestrales.

= 10/36

= 0.28

Usando Excel ( =(COUNTIF(D47:I52,9)+COUNTIF(D47:I52,10)+COUNTIF(D47:I52,11)+COUNTIF(D47:I52,12))/COUNT(D47:I52) )

E) Como en cada lanzamiento son son factibles seis valores pares(2,4,6,8,10,12) y solo cinco impares (3,5,7,9,11), se tendramas veces resultados pares que impares. Esta de acuerdo? Explique.

Calculando los pares 18 Usando Excel ( {=SUM(IF(MOD(D46:I51,2)=0,1))}

Calculando los impares 18 Usando Excel ( {=SUM(IF(MOD(D47:I52,2)<>0,1,0))})

Total de casos 36

Asignando ProbabilidadEventos # de Casos ProbabilidadPares 18 0.50Impares 18 0.50

36 1.00

No estoy de acuerdo debido a que la probabilidad de que resulte par es igual a la probabilidad que resulte impar (0.50 C/una)

F) Que metodo uso para calcular las probabilidades pedidas?

El metodo clasico es decir : Ei/n =1/36 De probabilidad para cada uno de los eventos resultantes.

Ejercicio 19

Una asociación deportiva realiza un sondeo entre las personas mayores a 6 años respecto de su participación en actividades deportivas. (Statistical Abstract of United States: 2002). El total de la población de estas edades fue 248.5 millones, de los cuales 120.9 milloneseran hombres y 127.6 millones mujeres. A continuación se presenta el número de participantes en los cinco deportes principales.

Participantes (En millones)actividad Hombres MujeresAndar en bibicleta 22.2 21.0Acampar 25.6 24.3Caminar 28.7 57.7Hacer Ejercicios con Aparatos 20.4 24.4Nadar 26.4 34.4

A) Estime la probabilidad que una mujer elegida al azar, participe en cada una de estas actividades.

B) Estime la probabilidad de que un hombre elegido en forma aleatoria, participe en cada una de estas actividades deportivas.

Solucion: Usando la frecuencia relativa tenemos

Participantes (En millones)actividad Hombres Mujeres actividad Hombres MujeresAndar en bibicleta 22.2 21.0 Andar en bibicleta 0.18 0.16Acampar 25.6 24.3 Acampar 0.21 0.19Caminar 28.7 57.7 Caminar 0.24 0.45Hacer Ejercicios con Aparatos 20.4 24.4 Hacer Ejercicios con Aparatos 0.17 0.19Nadar 26.4 34.4 Nadar 0.22 0.27Total 120.9 127.6

Probabilidad

C) Estime la probabilidad de que una persona elegida en forma aleatoria, haga ejercicios caminando.

Participantes (En millones)actividad Hombres MujeresCaminar 28.7 57.7

Total poblacion de personas mayores a 6 años 248.5 (millones)

Para esto sumamos el total de hombres + el total de mujeres que hacen ejercicio caminando y lo dividimos entre el total de la poblacionmayores de 6 años

P(caminar) = 28.7+57.7/248.5

P(caminar) = 0.35

D) Suponga que acaba de ver una persona que pasa caminando para hacer ejercicio. Cual es la probabilidad de que sea mujer? De que sea Hombre?

La probabilidad que sea mujer: Es igual a dividir el total de mujeres que caminan entre el total de individuos que caminan (mujeres y hombres)

P(mujer_caminar)= Total de mujeres_caminar / total de hombres_caminar + mujeres_caminar

P(mujer_caminar)= =57.7/(28.7+57.7)

P(mujer_caminar)= 0.67

La probabilidad que sea hombrer: Es igual a dividir el total de hombres que caminan entre el total de individuos que caminan (mujeres y hombres)

P(hombre_caminar)= Total de hombre_caminar / total de hombres_caminar + mujeres_caminar

P(hombre_caminar)= =28.7/(28.7+57.7)

P(hombre_caminar)= 0.33

Cuadro resumen:

Participantes (En millones)actividad Hombres Mujeres TotalCaminar 28.7 57.7 86.4Probabilidad 0.33 0.67 1

Ejercicio 23

Suponga que tiene el espacio muestral S= {E1,E2,E3,E4,E5,E6,E7} . Donde Ei denotan puntos muéstrales. La asignación de probabilidades la siguiente:

P(E1) 0.05 Sea:P(E2) 0.20 A={E1,E4,E6}P(E3) 0.20 B={E2,E4,E7}P(E4) 0.25 C={E2,E3,E5,E7}P(E5) 0.15P(E6) 0.10P(E7) 0.05

A) Halle P(A), P(B) y P( C )

P(A)= P(E1)+P(E4)+P(E6)

P(A)= 0.05+0.25+0.10

P(A)= 0.40

P(B)= P(E2)+P(E4)+P(E7)

P(B)= 0.20+0.25+0.05

P(B)= 0.50

P( C )= P(E2)+P(E3)+P(E5)+P(E7)

P( C )= 0.20+0.20+0.15+0.05

P( C )= 0.60

B) Encuentre A U B y P(AUB)

A U B = P(E1)+P(E2)+P(E4)+P(E6)+P(E7)

P(AUB)= P(A)+P(B)-P(A∩B)

P(AUB)= 0.40+0.50-0.25

P(AUB)= 0.65

C) Halle A ∩ B y P(A ∩ B)

A ∩ B = E4

P(A ∩ B) = 0.25

D) Los eventos A y B son mutuamente excluyentes?

No ya que no cumplem con la ley de la adicion para eventos mutuamente excluyentes:

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

P(AUB)= P(A) + P(B)

P(A) P(B)

Los eventos A y B tienen eventos en comun observe a continuacion

P(AUB)= P(A)+P(B)-P(A∩B)

E) Halle B' y P(B')

B'= E1+E6

P(B')= P(E1)+P(E6)

P(B')= 0.15

c cE4

E1

E6

E2

E7

A B

Ejercicio 28

En una encuesta aplicada a los suscriptores de una revista se encontro que en los ultimos 12 meses 45.8% habian rentado un automovilpor razones de trabajo, 54% por razones personales y 30% pro razones de trabajo y personales.

A) Cual es la probabilidad que un suscriptor haya rentado un automovil en los ultimos 12 meses por razones de trabajo o razones personales?

Sea:T = Razones de trabajoP = Razones Personales

P(T U P) = P(T) + P(P) -P(T ∩ P)

P(T U P) = 0.458 + 0.54 - 0.30

P(T U P) = 0.698

P(T U P) = 69.80%

B) Cual es la probabilidad de que un suscriptor no haya rentado un automovil en los ultimos 12 meses ni por razones de trabajo ni por razonesPersonales?

Sea:

T = Razones de trabajoP = Razones PersonalesN= Ninguna Razon

P(N)= 1-P(T U P)

P(N)= 1 - 0.698

P(N)= 0.302

P(N)= 30.20%

Ejercicio 30

Supongase dos eventos A y B, Y que:

P(A)= 0.50P(B)= 0.60

P(A ∩ B)= 0.40

A) Halle P(A I B)

P(AIB) = P(A∩B)P(B)

P(AIB) = 0.400.60

P(AIB) = 0.67

B) Halle P(B I A)

P(BIA) = P(A∩B)P(A)

P(BIA) = 0.400.50

P(BIA) = 0.80

C) A y B son independientes? Por que si o por que no?

No son independientes ya que:

P(AIB) ≠ P(A)

P(BIA) ≠ P(B)

Ejercicio 31

Supongase dos eventos A y B, que son mutuamente excluyentes. Admita ademas , que P(A) =0.30 y P(B) = 0.40

A) Obtenga P(A∩B)

P(A∩B) = 0

B) Calcule P(AIB)

P(AIB)= P(A∩B)P(B)

P(AIB)= 00.40

P(AIB)= 0

C) Un estidiante de estadistica argumenta que los conceptos de eventos mutuamente excluyentes y eventos independientes son en realidad lo mismo y que si los eventos son mutuamente excluyentes deben ser tambien independientes.Esta usted de acuerdo? Use la informacion de probabilidad para justificar su respuesta.

No dado que:

P(AIB) ≠ P(A)

P(BIA) ≠ P(B)

Los eventsos a pesar de ser mutuamente excluyentes no son independientes.No hay que confundir la nocion de eventos mutuamente excluyentes con la de eventos independientes. Dos eventos cuyas probabilidades noson cero, no pueden ser mutuamente excluyentes e independientes. Si uno de los eventos mutuamente exclueyentes ocurre, el otro evento nopuede ocurrir, por tanto, la probabilida que ocurra el otro evento se reduce a cero.

D) Dados los resultados obtenidos. Que conclusion sacaria usted acerca de los eventos mutuamente excluyentes e independientes?

Los eventos mutuamente excluyentes son dependientes.

Ejercicio 33

Una Muestra de estudiantes de la maestria en administracion de negocios, arrojo la siguiente informacion sobre la principal razon quetuvieron los estudiantes para elegir la escuela en donde hacen sus estudios.

Tipo de estudiante Calidad de la escuela Costo de la escuela Otras TotalesTiempo completo 421 393 76 890Medio tiempo 400 593 46 1039

Totales 821 986 122 1929

A) Con estos datos elabore una tabla de porbabilida conjunta

Tipo de estudiante Calidad de la escuela Costo de la escuela Otras TotalesTiempo completo 0.218 0.204 0.039 0.461Medio tiempo 0.207 0.307 0.024 0.539

Totales 0.426 0.511 0.063 1.000

B) Use las probabilidades marginales: calidad de la escuela, costo de la escuela y otras para comentar cual es la principal razon por la queeligen una escuela.

La principal es el costo de la escuela con una probabilidad de 0.511, la segunda es la calidad de la escuela con probabilidad de 0.426

Tipo de estudiante Calidad de la escuela Costo de la escuela Otras TotalesTiempo completo 0.218 0.204 0.039 0.461Medio tiempo 0.207 0.307 0.024 0.539

Totales 0.426 0.511 0.063 1.000

2do 1er

C) Si es un estaudiante de tiempo completo. Cual es la probabilidad de que la primera razon para su eleccion de la escuela haya sido lacalidad de la escuela?

Tipo de estudiante Calidad de la escuela Costo de la escuela Otras TotalesTiempo completo 0.218 0.204 0.039 0.461Medio tiempo 0.207 0.307 0.024 0.539Totales 0.426 0.511 0.063 1.000

P(Calidad | Tiempo Completo) = 0.2180.461

P(Calidad | Tiempo Completo) = 0.473

D) Si es un estudiante de medio tiempo. Cual es la probabilidad de que la principal razon para su eleccion de la escuela haya sido la calidad de la escuela?

Tipo de estudiante Calidad de la escuela Costo de la escuela Otras TotalesTiempo completo 0.218 0.204 0.039 0.461Medio tiempo 0.207 0.307 0.024 0.539Totales 0.426 0.511 0.063 1.000

P(Calidad | Medio Tiempo) 0.2070.539

P(Calidad | Medio Tiempo) 0.385

E) Si A denota el evento es estudiante de tiempo completo y B denota el evento la calidad de la escuela fue la primera razon de para sueleccion. Son independientes los eventos A y B? Justifique su respuesta.

Solucion:Aplicando la ley de la multiplicacion para eventos independientes tenemos:

P(A∩B) = P(A) P(B)

Sustituyendo valores:

P(A∩B) = P(A) P(B)0.218 = 0.461 x 0.426

0.218 ≠ 0.196386

Debido a que P(A∩B) ≠ P(A) P(B) los eventos no son independientes

Ejercicio 35

El departamento de estadística laboral de Estados Unidos reúne datos sobre las ocupaciones de las personas entre 25 y 64 años. La tabla siguiente presenta el numero de hombres y mujeres en (millones) en cada una de las categorías ocupacionales.

Ocupación Hombres MujeresDirectivo/Profesional 19,079 19,021 Enseñanza/Ventas/Administrativo 11,079 19,315 Servicio 4,977 7,947 Producción con Precisión 11,682 1,138 Operadores/Obreros 10,576 3,482 Agricultura/Ganadería/Silvicultura/Pesca 1,838 514

A) Desarrolle una tabla de probabilidad conjunta.

Ocupación Hombres Mujeres TotalesDirectivo/Profesional 19,079 19,021 38,100 Enseñanza/Ventas/Administrativo 11,079 19,315 30,394 Servicio 4,977 7,947 12,924 Producción con Precisión 11,682 1,138 12,820 Operadores/Obreros 10,576 3,482 14,058 Agricultura/Ganadería/Silvicultura/Pesca 1,838 514 2,352

Totales 59,231 51,417 110,648

Ocupación Hombres Mujeres TotalesDirectivo/Profesional 0.172 0.172 0.344 Enseñanza/Ventas/Administrativo 0.100 0.175 0.275 Servicio 0.045 0.072 0.117 Producción con Precisión 0.106 0.010 0.116 Operadores/Obreros 0.096 0.031 0.127 Agricultura/Ganadería/Silvicultura/Pesca 0.017 0.005 0.021

Totales 0.535 0.465 1.000

B) Cual es la probabilida de que un trabajador mujer sea directivo o profesional?

Ocupación Hombres Mujeres TotalesDirectivo/Profesional 0.172 0.172 0.344 Enseñanza/Ventas/Administrativo 0.100 0.175 0.275 Servicio 0.045 0.072 0.117 Producción con Precisión 0.106 0.010 0.116 Operadores/Obreros 0.096 0.031 0.127 Agricultura/Ganadería/Silvicultura/Pesca 0.017 0.005 0.021

Totales 0.535 0.465 1.000

Sean:

P(DP) = Probabilidad de Mujer Directivo/Profesional

P(M) = Proibalidad que sea mujer.

P(DP | M)= P(DP ∩ F)P(M)

P(DP | M)= 0.172 0.465

P(DP | M)= 0.370

C) Cual es la probabilida de que un trabajador hombre este en produccion con precision?

Ocupación Hombres Mujeres TotalesDirectivo/Profesional 0.172 0.172 0.344 Enseñanza/Ventas/Administrativo 0.100 0.175 0.275 Servicio 0.045 0.072 0.117 Producción con Precisión 0.106 0.010 0.116 Operadores/Obreros 0.096 0.031 0.127 Agricultura/Ganadería/Silvicultura/Pesca 0.017 0.005 0.021

Totales 0.535 0.465 1.000

Sean:

P(PC) = Probabilidad de hombre en Produccion con Precision

P(H) = Proibalidad que sea Hombre.

P(PC | H)= P(PC ∩ H)P(H)

P(PC | H)= 0.106 0.535

P(PC | H)= 0.197

D) Es la ocupacion independiente del genero? Justifique su respuesta con el calculo de la probabilidad.

Para que sean independientes debe cumplir lo siguiente:

P(PC | H)= P(PC)

Sustituyendo tenemos:

P(PC | H)= P(PC)

0.197 ≠ 0.116

Debido a que no cumple esta igualdad NO son independientes .

1er paso 2do paso 3er Paso Resultados 27

B BBB

B D BBD

F BBF

B BDB

B D D BDD

F BDF

B BFB

F D BFD

F BFF

B DBB

B D DBD

F DBF

B DDB

D D D DDD

F DDF

B DFB

F D DFD

F DFF

B FBB

B D FBD

F FBF

B FDB

F D D FDD

F FDF

B FFB

F D FFD

F FFF