8/2/2019 GUIA ECUACIONES DIFERENCIALES 2012

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UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILEFACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERIA - CCBB.

BAIN041 Ecuaciones Diferenciales - Primer semestre 2012

Algunos problemas de Ecuaciones diferenciales ordinarias.

1. La tasa de cambio respecto al tiempo de la velocidad de un bote es proporcional al cuadradode esa velocidad. Determinar una ecuacion diferencial que modele tal situacion.

2. En una ciudad que tiene una poblacion fija de P personas, la tasa de cambio con respecto altiempo del numero N de personas que han odo un cierto rumor es proporcional al numero delas que todava no lo han odo. Determinar una ecuacion diferencial que modele tal situacion yel numero de personas que han odo un cierto rumor en funcion del tiempo.

3. La rapidez con que una poblacion crece, en un instante cualquiera, es proporcional a la poblacionP existente en dicho instante. Establecer el modelo de crecimiento de la poblacion.

a) Suponiendo que la constante de proporcionalidad es 3, y que la poblacion inicial es de5000 individuos. Determinar el numero de individuos en cualquier instante.

b) Suponiendo que la constante de proporcionalidad es 0,005, y que la poblacion en tres anoses de 200000 individuos. Determinar la poblacion inicial.

4. Hallar la curva que pasa por (1, 1) en el plano XY, tal que en cada punto (x, y) tiene pendiente

y

x .

5. Se tira una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 39 , 2 metros porsegundos. Determinar la posicion de la pelota luego de 2 segundos y la altura maxima quealcanza.

6. Antes del medio da, el cuerpo de una vctima de homicidio se encuentra en una pieza a 21

Celcius, al medio da la temperatura del cuerpo es de 27 Celsius y a las 13 horas es de 24

Celsius. Si la temperatura del cuerpo a la hora de la muerte era de 37 Celsius y se ha enfriadode acuerdo a la Ley de Newton. Determinar la hora en que murio la vctima.

7. Considerar la familia de curvas que verifican que los puntos medios de los segmentos de sustangentes comprendidos entre el punto de contacto y el eje X describen la parabola y2 = 2x.Establecer la ecuacion diferencial que modela este problema.

8. Un reactor transforma plutonio 239 en uranio 238 que es relativamente estable para uso indus-trial. Despues de 15 anos se determina que el 0.0043 por ciento de la cantidad inicial A0 deplutonio se ha desintegrado. Determinar la semivida de este isotopo si la rapidez de desinte-gracion es proporcional a la cantidad restante.

9. En una ciudad que tiene una poblacion fija de P personas, la tasa de cambio con respecto altiempo del numero N de personas que han contrado una cierta enfermedad es proporcional

al producto entre el numero de personas enfermas y el numero de las que no estan enfermas.Determinar una ecuacion diferencial que modele tal situacion.

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10. Una pelota es arrojada directamente hacia abajo desde lo alto de un elevado edificio. La velo-cidad inicial de la pelota es de 10 m/seg. Si cae al piso con una velocidad de 60 m/seg. Cuales la altura del edificio?

11. Una curva en el plano es tal que en cada punto (x, y), su recta tangente tiene pendiente (x+2)1

2

y pasa por el punto (2,

1). Halle la ecuacion de la curva.

12. Una cierta ciudad tenia una poblacion de 25.000 habitantes en 1980 y una poblacion de 30.000en 1990, suponiendo que la rapidez con que una poblacion crece, en un instante cualquiera,es proporcional a la poblacion P existente en dicho instante. Que poblacion puede esperarsepara el ano 2200?

13. Un pastel es retirado del horno a 210oF y dejado enfriarse de acuerdo a la Ley de Newtona atemperatura ambiente, 70oF. Despues de 30 min. la temperatura del pastel es de 140oF Cuandoestara a 100oF?

14. Un estanque en forma cilndrica de 3 pies de radio tiene un agujero circular en su fondo de 1pulgada de radio. Si inicialmente contiene agua con una profundidad de 9 pies. Considerandola Ley de Torricelli, Cuanto tardara en vaciarse?

15. Entre los alumnos de esta asignatura se extiende extiende el rumor de que el examen de pro-blemas va a ser muy difcil. Si hay 1000 alumnos de dicha asignatura y el rumor se extiende demanera proporcional al numero de alumnos que todava no lo han odo. Cuantos das tardaranen saberlo 950 alumnos sabiendo que a los dos das lo saban 850 alumnos?

16. Supongamos que el producto de los segmentos interceptados por cualquiera de sus tangentessobre los ejes coordenados es una constante positiva. Hallar la ecuacion diferencial que expresa

lo anterior.

17. La poblacion P(t) de un suburbio de una gran ciudad en un instante cualquiera se rige por

dP

dt= P(101 107P)

con P(0) = 5000, en donde t se mide en meses.

a) Cual es el valor lmite de la poblacion?

b) En que momento sera la poblacion igual a la mitad de su valor lmite?

18. Si la mitad del numero original de nucleos radiactivos ha expermientado la desintegracion enun perodo de 1500 anos. En cuantos anos quedara solamente un decimo del numero originalde nucleos radiactivos?

19. Supongamos que deciden matar al profesor de ecuaciones diferenciales. Una vez perpetrado elhecho, se encuentra el cuerpo en su oficina a una temperatura de 20 C a las 6 de la tarde.La temperatura corporal de cadaver era de 35C en dicho momento. Una hora mas tarde latemperatura era de 33C. A que hora se produjo el horripilante y brutal suceso?

20. Un tanque esferico de 4 pies de radio tiene un agujero en el fondo de una pulgada de radio yesta lleno de gasolina. Determinar en cuanto tiempo se vacia el tanque al abrir el agujero.

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21. Un ganadero salio el da de ayer, lunes 12 de marzo del ano 2012, a cazar un lobo solitario quepor las noches atacaba a su rebano. El cuerpo del ganadero fue encontrado sin vida por unturista, en un cerro cercano junto al animal cazado, a las 6:00 horas de hoy, martes 13 de marzo.Un medico forense llego a las 7:00 tomo la temperatura del cadaver, a esa hora anoto 23C;una hora mas tarde, al darse cuenta de que en la noche, y aun a esas horas, la temperatura

ambiente era aproximadamente de 5C, el medico volvio a medir la temperatura corporal delcadaver y observo que era de 18.5C y que se ha enfriado de acuerdo a la Ley de enfriamientode Newton.

22. Un gran deposito esta lleno con 500 gal de agua pura. Una salmuera que contiene 2 lb de salpor galon se bombea al tanque a razon de 5 gal/min; la solucion adecuadamente mezclada sebombea hacia afuera con la misma rapidez. Hallar el numero de libras de sal que hay en eltanque en un instante cualquiera.

23. Un da como hoy un estudiante portador de un virus de gripe, entra a un campus universitario,aislado, que cuenta con 1000 estudiantes sanos. Suponiendo que la rapidez con que el virus se

propaga, por medio del contacto fsico entre las personas, es proporcional no solo al numero decontactos de estudiantes contagiados, sino tambien, al numero de estudiantes no contagiados.Si al cabo de tres das haban 11 estudiantes contagiados, determinar el tiempo en que toda lacomunidad universitaria ha tenido contacto con la enfermedad.

24. Un estanque con forma de paraleleppedo rectangular de base cuadrada, de 1.5 m de lado basal,tiene un agujero circular en su fondo de 3 cm de radio. Si inicialmente contiene agua con unaprofundidad de 4m. Cuanto tardara en vaciarse?

25. El agua del Lago Magdalena se est a viendo sujeta a un proceso contaminante debido a laconcentracion de plaguicidas consecuencia de la fumigacion de los naranjales cercanos. Porotro lado, el ro Aguadulce, que desemboca en el lago, fluye hacia este a razon de 200 l/mportando una concentracion de plaguicidas de 5 partes por millon. Si se suspende la fumigacionen los alrededores del lago en el momento en el que la concentraci on de plaguicidas habaalcanzado el valor de 40 partes por millon y se supone que en dicho instante el volumen dellago es de 100 millones de litros, calcular el tiempo que transcurrira hasta que la concentracionsea inferior a 20 partes por millon. Que volumen tendra el lago en ese instante? Nota: Suponerque el lago pierde agua a razon de 300 l/m.