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Enseñando Matemáticas con TutorMates

Guía Didáctica

Elaborada por: el Equipo TutorMates* Última actualización: septiembre 2010.

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EL MATERIAL DIDÁCTICO DE TUTORMATES ESTÁ ELABORADO POR:

M. J. González, A. Mate, L. Patiño, (Dpto. de Matemáticas, Estadística y Computación de la Universidad de Cantabria, Santander);

M. R. Latorre, A. Limón, (Addlink Research, Barcelona);

EL EQUIPO TUTORMATES EN JULIO 2010 ESTÁ FORMADO POR:

J. M. Cifuentes, M. Fortia, S. Grimpa, M. R. Latorre, A. Limón, A. Molina, A. Pascual, J. A. Rubio, F. Sabaté, (Addlink Research, Barcelona);

E. Callejo, M. J. González, L. González, A. Mate, L. Patiño, T. Recio, (Universidad de Cantabria, Santander);

I. Celaya, C. Etayo, C. Martínez, J. J. Rubio, R. Sáenz, (Universidad de La Rioja, Logroño);

E. Borja, J. Molleda, (Suomitech S.L., Cantabria).

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Índice A. Introducción ................................................................................................................. 6

B. Metodología general .................................................................................................... 6

C. Temas presentados ...................................................................................................... 7

D. TEMA 1: Semejanza (2º ESO) ...................................................................................... 10D.1 Objetivos ........................................................................................................... 10

1.1 Objetivos específicos .................................................................................. 101.2 Capacidades ................................................................................................ 101.3 Competencias ............................................................................................. 10

D.2 Aportaciones específicas de TutorMates ......................................................... 11D.3 Hojas de trabajo para el alumno (7 sesiones) .................................................. 12

E. TEMA 2: Proporcionalidad directa e inversa (2º ESO) ................................................... 32E.1 Objetivos ........................................................................................................... 32


E.2 Aportaciones específicas de TutorMates ......................................................... 33E.3 Hojas de trabajo para el alumno (6 sesiones) .................................................. 35

F. TEMA 3: Iniciación al lenguaje algebraico (1º ESO) ...................................................... 54F.1 ........................................................................................................................ Objetivos


F.2 Aportaciones específicas de TutorMates ......................................................... 55F.3 Hojas de trabajo para el alumno (5 sesiones) .................................................. 56

G. TEMA 4: Medidas de centralización (2º ESO) ............................................................... 69G.1 Objetivos ........................................................................................................... 69


G.2 Aportaciones específicas de TutorMates ......................................................... 70G.3 Hojas de trabajo para el alumno (3 sesiones) .................................................. 72

H. TEMA 5: Potencias (2º ESO) ........................................................................................ 81H.1 Objetivos ........................................................................................................... 81


H.2 Aportaciones específicas de TutorMates ......................................................... 82H.3 Hojas de trabajo para el alumno (4 sesiones) .................................................. 83

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I. TEMA 6: Poliedros (2º ESO) ......................................................................................... 98I.1 Objetivos ........................................................................................................... 98


I.2 Aportaciones específicas de TutorMates ....................................................... 100I.3 Hojas de trabajo para el alumno (7 sesiones) ................................................ 101

J. TEMA 7: Números decimales (1º ESO) ....................................................................... 124J.1 Objetivos ......................................................................................................... 124

1.1 Objetivos específicos ................................................................................ 1241.2 Capacidades .............................................................................................. 1241.3 Competencias ........................................................................................... 124

J.2 Aportaciones específicas de TutorMates ....................................................... 125J.3 Hojas de trabajo para el alumno (4 sesiones) ................................................ 127

K. TEMA 8: Ecuaciones (2º ESO) .................................................................................... 141K.1 Objetivos ......................................................................................................... 141

1.1 Objetivos específicos ................................................................................ 1411.2 Capacidades .............................................................................................. 1411.3 Competencias ........................................................................................... 141

K.2 Aportaciones específicas de TutorMates ....................................................... 142K.3 Hojas de trabajo para el alumno (5 sesiones) ................................................ 144

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A. Introducción

TutorMates es un material informático para la enseñanza de las Matemáticas en Secundaria. Integra herramientas de cálculo científico y geométrico e incorpora la gestión educativa de dichas herramientas.

TutorMates se organiza en torno a temas de contenido matemático. Estos temas coordinan teoría, ejemplos, ejercicios y problemas, tratando de fomentar el aprendizaje a través de la experimentación con comandos y escenas interactivas. Además incorporan una Autoevaluación. Estos elementos básicos de cada tema incluyen una adaptación de los comandos de cálculo científico y geométrico al tema y al nivel del alumno, todo ello dentro de un esquema de gran flexibilidad que permite distintas formas de uso en el aula. Cada tema puede usarse con distintos perfiles de usuario.

En esta Guía Didáctica comenzamos exponiendo brevemente la metodología general que consideramos se adapta mejor al uso de TutorMates en el aula. Seguidamente, ejemplificamos sobre cuatro temas de matemáticas del Primer Ciclo de la ESO formas de uso concretas de TutorMates en el aula. Para explicar en detalle dichas formas de uso, en cada tema exponemos contenidos que se abordan, los objetivos a desarrollar, incluyendo las competencias a las que contribuye el tema, y las hojas de trabajo que el alumno trabajaría diariamente con la ayuda de TutorMates en todas sus clases de matemáticas.

B. Metodología general

Adoptamos, como planteamiento general, un modelo de aprendizaje significativo. Concretamos este planteamiento en dos aspectos:

El alumno tiene que implicarse de forma directa en su propio aprendizaje, evoluciona sobre sus capacidades y posibilidades, y es el principal protagonista del proceso de aprendizaje.

El profesor constituye una guía para el aprendizaje del alumno, interviniendo para plantearle cuestiones motivadoras y para interaccionar con él durante la resolución de problemas. El profesor adapta las actividades a las necesidades concretas y peculiares de cada alumno. Además, en consonancia con el actual currículo, proponemos actividades matemáticas que pretenden desarrollar competencias en los alumnos, tanto competencias básicas como competencias matemáticas específicas que capaciten a los alumnos para utilizar el conocimiento matemático en los distintos contextos en que éste se presenta.

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Utilizamos como referentes las competencias básicas siguientes (RD 1631/2006 de Enseñanzas Mínimas):

Competencia matemática.

Competencia en comunicación lingüística.

Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico.

Tratamiento de la información y competencia digital.

Competencia para aprender a aprender.

Autonomía e iniciativa personal.

Y las competencias matemáticas que se indican a continuación:

Pensar y razonar (A)

Argumentar (B)

Comunicar (C)

Modelar (D)

Plantear y resolver problemas (E)

Representar (F)

Utilizar el lenguaje simbólico, formal y técnico y las operaciones (G)

Usar herramientas y recursos (H)

La estructura de TutorMates está pensada para que, desde un punto de vista didáctico, el alumno:

desarrolle las destrezas operatorias de cada tema, con ayuda de herramientas de cálculo, mediante la resolución de ejercicios-tipo,

profundice en la comprensión de los contenidos del tema enfrentándose a la resolución de problemas en contexto y con ayuda de comandos que le faciliten el cálculo y la visualización,

conozca y manipule abundantes ejemplos que le permitan afianzar su conocimiento teórico sobre las distintas nociones de un tema.

C. Temas presentados

Bajo el planteamiento general anterior, TutorMates puede ser usado de distintas formas. Detallamos a continuación una ejemplificación sobre los cuatro temas de matemáticas del Primer Ciclo de la ESO siguientes:

1. Semejanza (2º ESO)

2. Proporcionalidad directa e inversa (2º ESO)

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3. Iniciación al lenguaje algebraico (1º ESO)

4. Medidas de centralización (2º ESO)

5. Potencias (2º ESO)

6. Poliedros (2º ESO)

7. Números decimales (1º ESO)

8. Ecuaciones (2º ESO)

En la Tabla 1 siguiente detallamos la lista de contenidos que TutorMates desarrolla en la parte teórica de cada tema.

Tema: Semejanza

Curso: 2º ESO

Horas lectivas: 7 horas

Proporción de segmentos. Figuras semejantes. Polígonos semejantes. Escala. Teorema de Thales.

Triángulos en posición de Thales. Semejanza de triángulos. Criterios de semejanza de triángulos. Semejanza entre triángulos rectángulos.

Tema: Proporcionalidad directa e inversa

Curso: 2º ESO


Razón entre dos números. Proporción numérica. Proporcionalidad directa. Constante de proporcionalidad. Cuarto proporcional. Medio proporcional. Regla de tres simple directa.

Repartos directamente proporcionales. Proporcionalidad inversa. Método de reducción a la unidad. Regla de tres simple inversa. Repartos inversamente proporcionales. Proporcionalidad compuesta.

Tema: Iniciación al lenguaje algebraico

Curso: 1º ESO


El lenguaje algebraico. Fórmulas. Monomios. Operaciones con expresiones algebraicas.

Tema: Medidas de centralización

Curso: 1º ESO


Media. Mediana. Moda. Comparación media, mediana y moda.

Tema: Potencias

Curso: 2º ESO


Potencia. Potencia de un cociente.

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Potencia de base 10. Signo de una potencia. Potencia de un producto.

Producto de potencias de la misma base. Cociente de potencias de la misma base. Potencia de una potencia.

Tema: Poliedros

Curso: 2º ESO


Puntos, rectas y planos en el espacio. Posiciones de rectas y planos en el espacio. Poliedros.

Desarrollo y superficie de los poliedros. Volumen de los poliedros.

Tema: Números decimales

Curso: 1º ESO


Unidades decimales. Números decimales. Comparación de números decimales. Representación de números decimales.

Tipos de números decimales. De fracciones a decimales y de decimales a fracciones. Suma y resta de números decimales. Producto de números decimales. División de números decimales.

Tema: Ecuaciones

Curso: 2º ESO


Igualdad, identidad y ecuación. Elementos de una ecuación. Ecuaciones equivalentes.

Resolver una ecuación. Resolución de ecuaciones de primer grado. Métodos de resolución.

Tabla 1. Detalle de los contenidos de cada tema.

Seguidamente, sobre cada uno de los temas, detallamos un modo de implementarlos en el aula. En esta descripción estamos asumiendo que el único material docente que va a usar el alumno de forma regular es TutorMates y que durante la instrucción los alumnos disponen, de forma individual o por parejas, de un ordenador. Se podrían describir otros usos en los que, por ejemplo, TutorMates fuese utilizado solamente como material de apoyo en el aula o como material de ayuda al estudio individual del alumno. No obstante, en esta guía nos centraremos en la posibilidad descrita, en la que TutorMates es el material único del alumno.

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D. TEMA 1: Semejanza (2º ESO)

D.1 Objetivos

1.1 Objetivos específicos

Conocer y comprender el concepto de semejanza y de razón de semejanza.

Conocer y aplicar el Teorema de Thales.

Conocer los distintos criterios de semejanza de triángulos y aplicarlos en la resolución de problemas geométricos.

Saber cómo se modifican algunas magnitudes (longitud, perímetro, superficie) por efecto de la semejanza.

Resolver triángulos utilizando las nociones de semejanza.

Emplear los conocimientos del tema para resolver problemas prácticos (cálculo de distancias inaccesibles).

1.2 Capacidades (asociadas al uso de los comandos del tema en TutorMates)

Construir segmentos, polígonos y triángulos semejantes.

Construir figuras semejantes a una dada a partir de la razón de semejanza.

Interpretar escalas.

1.3 Competencias

A continuación presentamos la relación entre los ejercicios y problemas ofrecidos por TutorMates y las competencias matemáticas que pretende desarrollar cada uno, según la interpretación que llevamos a cabo en las hojas de trabajo:

A B C D E F G H Ej1 X X X X X Ej2 X X X X X Ej3 X X X X Ej4 X X X X X Ej5 X X X X Ej6 X X X X X Ej7 X X X X X X X Ej8 X X X X X X X Ej9 X X X X X Ej10 X X X X X Ej11 X X X Ej12 X X X X X X X Ej13 X X X X X X X Ej14 X X X X X X X

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A B C D E F G H Prob1 X X X X Prob2 X X X X X Prob3 X X X X Prob4 X X X X X X X Prob5 X X X X X X X Prob6 X X X X X Prob7 X X X X X Prob8 X X X X X Prob9 X X X X X

En cuanto a las competencias básicas, la forma de trabajo que proponemos para este tema desarrolla de forma coordinada un buen número de ellas: la competencia matemática, el tratamiento de la información y competencia digital, la competencia para aprender a aprender, la autonomía e iniciativa personal y el conocimiento y la interacción con el mundo físico.

D.2 Aportaciones específicas de TutorMates

En este tema, la interactividad de las actividades propuestas en TutorMates se consigue gracias al uso de GeoGebra. En algunas situaciones, GeoGebra constituye una herramienta de apoyo para que el alumno calcule distancias y ángulos y así pueda, por ejemplo, comprobar la semejanza entre figuras. Pero el interés principal no es ese sino conseguir que el alumno explore y deduzca propiedades a partir de las manipulaciones que lleva a cabo en el entorno gráfico de GeoGebra.

Para profundizar en el conocimiento de las nociones del tema, se guía al alumno para que observe los patrones y las regularidades que surgen al trabajar con figuras semejantes. La facilidad de experimentación y la visualización que GeoGebra aporta son elementos clave para que los alumnos se impliquen en las actividades propuestas. Esta implicación permite proponer actividades con GeoGebra en las que los alumnos generen sus propias deducciones:

sobre definiciones teóricas (p. ej. triángulos en posición de Thales)

sobre propiedades (p. ej. Teorema de Thales) o

sobre procesos de construcción (p. ej. partición de un segmento en trozos iguales).

La teoría del tema actúa de apoyo para que los alumnos confirmen sus deducciones y conozcan una manera de formalizarlas por escrito. La mayoría de los ejercicios y problemas están asociados a ficheros GeoGebra preparados para que el alumno desarrolle las capacidades pretendidas.

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D.3 Hojas de trabajo para el alumno (7 sesiones)

“SEMEJANZA” (Sesión Nº1)

Nombre: Fecha:

Hoy vamos a empezar a estudiar qué son las figuras semejantes y sus propiedades.

Empecemos con ello.

Ejecuta TutorMates y accede a él como alumno de 2º ESO. Ahora, en el apartado “Geometría”, abre “Semejanza”.

Antes de nada, haz un dibujo de dos figuras que, según tu criterio, sean semejantes y, a partir de ello, da una definición de semejanza.

Ahora, en la Teoría lee “Figuras semejantes”. Si te fijas en el ejemplo, ¿por qué las figuras 1 y 2 son semejantes y las figuras 1 y 5 no lo son?

Haz el Ejercicio 5. ¿Qué relación hay entre los lados de las figuras semejantes? Para responder, mide la longitud de los lados y halla la relación entre los lados correspondientes.

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Ahora lee “Proporcionalidad de segmentos” y observa lo que ocurre en el ejemplo de GeoGebra (mueve sus puntos y el valor de la razón).

Haz el Ejercicio 1 y después contesta a las siguientes preguntas. Para responderlas, ayúdate manipulando los gráficos del ejercicio.

¿Qué ocurre con el segmento a’ si aumentamos la longitud de a? ¿Y si la disminuimos? ¿Por qué ocurre eso?

¿Y si lo que aumentamos es el valor de la razón? ¿Y si lo disminuimos? ¿Por qué ocurre eso?

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Una vez visto esto, contesta verdadero (V) o falso (F), a las siguientes afirmaciones.

Dado un segmento a’ fijo, cuanto mayor sea la razón de semejanza entre él y su semejante, mayor longitud tendrá su segmento semejante.

Dado un segmento a’ fijo, cuanto menor sea la razón de semejanza entre él y su semejante, mayor longitud tendrá su segmento semejante.

Dado un segmento a’ fijo, cuanto mayor sea la razón de semejanza entre él y su semejante, menor longitud tendrá su segmento semejante.

Dado un segmento a’ fijo, cuanto menor sea la razón de semejanza entre él y su semejante, menor longitud tendrá su segmento semejante.

Resuelve el Ejercicio 3 y justifica tu respuesta.

Para que empieces a ser consciente de los resultados de tu esfuerzo, te iremos proponiendo que resuelvas ciertos problemas de Autoevaluación. Tienes que solucionar el problema y, después, has de pulsar en “resolver cuestionario” para saber si lo has hecho bien o mal. En ese momento podrás abrir una ventana en la que aparecen el problema y tu respuesta. Además, en caso de que la respuesta no sea correcta, aparecerá un enlace indicándote qué aspectos del tema debes repasar para mejorar.

Abre la Autoevaluación del tema y resuelve el Ejercicio 1, que será del tipo siguiente:

De la siguiente colección de figuras, di cuales son semejantes a la figura roja, marcando la casilla correcta.

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1. Solo son semejantes la A, C.

2. Solo son semejantes la C, B.

3. Solo es semejante la C.

4. Ninguna de las anteriores.

“Resuelve cuestionario” y si tu respuesta no ha sido correcta sigue las instrucciones del mensaje.

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Nombre: Fecha:

En la sesión anterior hemos estudiando cuándo unos segmentos son proporcionales y la idea intuitiva de qué son las figuras semejantes. Hoy vamos a trabajar con los polígonos semejantes.


Resuelve el Ejercicio 6. Después contesta a las siguientes preguntas.

¿Qué relación hay entre los ángulos de las figuras semejantes?

Si vas a una fotocopiadora y haces una ampliación de una figura ¿Obtienes una figura semejante a la original? ¿Han aumentado los ángulos en la ampliación?

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Ahora lee, “Polígonos semejantes” y manipula el ejemplo generado para aclarar tus ideas. Vuelve al Ejercicio 6 y comprueba si las respuestas que habías dado eran correctas.

Haz el Ejercicio 8. Para ello, utiliza el comando “Homotecia desde un Punto por un Factor de Escala”. ¿Por qué son semejantes las dos figuras? Compruébalo utilizando la definición.

Ahora resuelve lo siguiente:

Calcula con GeoGebra el perímetro de ambas figuras y calcula la razón que existe entre ambos. ¿Qué relación hay entre la razón de los perímetros y la de las figuras?

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Calcula el área de ambas figuras, mediante el comando “área” que ofrece GeoGebra y, calcula la razón que existe entre dichas áreas. ¿Qué relación hay entre la razón de las áreas y la de las figuras?

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Nombre: Fecha:

Hoy vamos a aprender a representar y leer mapas, para ello definiremos el concepto de escala y practicaremos con ejercicios y problemas.


Seguro que más de una vez habrás manejado algún mapa, o habrás visto algún plano, ¿no? ¿Y nunca te has preguntado cómo esas distancias pueden estar reflejadas en un trozo de papel manteniendo todas sus propiedades? Por ejemplo, sobre un plano del salón de tu casa, la televisión ocuparía un trozo muy pequeño de salón ¿no?. Para que el plano de nuestro salón guarde cierta coherencia con la realidad, usamos las escalas.

Lee la definición de “Escala” y después comprueba el ejemplo.

Resuelve el Ejercicio 9.

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Y si la escala fuese mayor (por ejemplo 1:1.000), la distancia real que separa a ambas ciudades sería mayor o menor que lo que acabas de calcular. Justifica tu respuesta.


Y si la escala fuese mayor (por ejemplo 1:1.000), la distancia en el plano que separa a ambas ciudades sería mayor o menor que lo que acabas de calcular. Justifica tu respuesta.


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Resuelve el Ejercicio 6 de Autoevaluación, que será del tipo siguiente:

En el siguiente mapa:

¿Cuál es el área de la habitación 1, si la escala es de 1:150?


De tarea realiza un plano de tu casa, a la escala que tú decidas y que consideres más apropiada.

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Nombre: Fecha:

Hoy vamos a estudiar el Teorema de Thales, presta atención a ello porque este teorema te permitirá resolver un montón de situaciones.


Lee en la Teoría el “Teorema de Thales” y compruébalo con el ejemplo.

Abre el Ejercicio 12, y contesta a lo siguiente:

Las rectas de la imagen ¿cumplen las condiciones del Teorema de Thales?

¿Podemos calcular la longitud del segmento B’C’? En caso afirmativo calcúlala.


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¿Qué método has utilizado para resolverlo? ¿Por qué?

Abre el Ejercicio 12, fíjate bien en la imagen y contesta a la siguiente pregunta:

Los polígonos ABB’A’ y BCC’B’, ¿son semejantes? Justifica tu respuesta.

Puedes generalizar tu respuesta a todos los polígonos ABB’A’ y BCC’B’, formados en el Teorema de Thales. Justifica tu respuesta.

Veamos ahora qué son los triángulos en posición de Thales. Para ello lee “Triángulos en posición de Thales” y, cuando acabes, vete a la imagen del Ejercicio 12 y contesta a las siguientes preguntas:

En la imagen ¿aparece algún triángulo en posición de Thales?

Si llamamos P al punto de corte de las rectas s y r, cuáles son los triángulos que están en posición de Thales?

Como tarea realiza el Ejercicio 4 de la Autoevaluación, que será del tipo siguiente:

Utilizando el teorema de Thales, construye un triángulo semejante al dado con razón de semejanza 1/5. ¿Cuánto mide su bisectriz respecto al vértice A?


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Nombre: Fecha:

Hoy vamos a seguir estudiando algunas de las propiedades de los triángulos.


Antes de empezar, para recordar lo que es, dibuja dos triángulos en posición de Thales.

Abre la imagen del Ejercicio 14 y fíjate bien en la figura.

Mueve cualquiera de los vértices del triángulo ABC y observa lo que ocurre. ¿Los triángulos siguen estando en posición de Thales? ¿Por qué?


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¿Puedes deducir que los triángulos ABC y AB’C’ son semejantes? Justifica tu respuesta.

¿Puedes generalizar tu respuesta para cualquier par de triángulos en posición de Thales? Justifica tu respuesta.

Lee “Semejanza de triángulos”, manipula el ejemplo, y compáralo con las respuestas dadas anteriormente.

Por tanto, se tiene que dos triángulos son semejantes si:

Vamos a aprender a dividir un segmento en partes iguales.

Abre el Problema 1 y lee con atención el método que se explica.

Comprueba que realmente esas divisiones miden lo mismo. ¿Conoces algún resultado matemático que justifique este hecho? Razona tu respuesta.

Ahora, para practicar, haz el Problema 2

a. ¿Cuánto mide el segmento inicial?

y contesta a las siguientes preguntas:

b. ¿Y cada división?

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Nombre: Fecha:

En la sesión anterior dedujimos cuándo dos triángulos eran semejantes y algunas de sus propiedades. Hoy aprenderemos unos criterios que nos facilitarán el decidir si algunos triángulos son semejantes o no.


Resuelve el Ejercicio 3 de Autoevaluación, que será del tipo siguiente:

Con ayuda del teorema de Thales, divide el siguiente segmento en 7 partes iguales. ¿Cuál es la razón de semejanza que hay entre el triángulo más pequeño y el más grande que se forman al hacer la construcción?


Haz el Ejercicio 7. Para ello construye con GeoGebra un triángulo semejante a partir de los segmentos proporcionales. ¿Qué tienes que comprobar para saber si los triángulos que aparecen son semejantes? Compruébalo.

Siempre que queramos saber si dos triángulos son semejantes ¿tenemos que comprobar si todos los lados son proporcionales y todos los ángulos iguales? Hacer eso siempre sería muy incómodo. Por eso, te interesa leer “Criterios de semejanza de triángulos”. Después construye un ejemplo para cada uno de los criterios.

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En el Ejercicio 7, ¿podrías haber comprobado si los triángulos eran semejantes usando directamente alguno de los criterios? ¿Cuál?

Haz el Problema 7. Ayúdate construyendo dichos triángulos en GeoGebra, comprobando si los triángulos son semejantes o no, haciendo la medidas necesarias. Después comprueba tu respuesta usando alguno de los criterios de semejanza que hemos visto.

Haz el Problema 9. ¿Qué criterio de semejanza has utilizado?

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Haz el Ejercicio 5 de Autoevaluación. En él aparecerá un ejercicio del estilo siguiente:

Señala si son verdaderas o falsas las siguientes frases. Justifica tu respuesta.

Todos los triángulos equiláteros son semejantes.

Todos los triángulos isósceles son semejantes.

Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales.


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Nombre: Fecha:

En la sesión anterior vimos que existen unos criterios, criterios de semejanza de triángulos, para determinar si unos triángulos son semejantes o no entre ellos. Hoy aprenderemos a usar estos criterios en determinadas situaciones que nos pueden surgir en la realidad.


Dibuja con GeoGebra dos triángulos rectángulos cualesquiera, con uno de sus ángulos agudos iguales. ¿Son semejantes esos triángulos? Compruébalo. ¿Puedes usar alguno de los criterios de semejanza de triángulos? Justifica tu respuesta.

Para salir de dudas, en teoría lee “Semejanza entre triángulos rectángulos” y compáralo con tus deducciones anteriores.

Por tanto, tenemos que dos triángulos rectángulos son semejantes si:

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Vamos a aplicar esto que acabamos de ver a alguna situación real, para ello resuelve el Problema 4. Para ello, dibuja la situación, ¿cómo son los triángulos que acabas de dibujar?

Resuelve ahora el Problema 3.

Abre la Autoevaluación y resuelve el Ejercicio 7, que será del estilo siguiente:

Halla a altura de un árbol que proyecta una sombra de 4 metros, sabiendo que una persona que mide 1,5 metros proyecta una sombra de 60 centímetros.


Para acabar, recordemos una de las propiedades de las figuras semejantes, para ello resuelve el Problema 6.

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Responde a lo siguiente:

¿Cuál es la relación entre el área de dos triángulos semejantes y su razón de semejanza?

Para que tengas una visión global de tus conocimientos en este tema, resuelve ahora todas las actividades de Autoevaluación de este tema. Cuando TutorMates las corrija de forma automática te indicará si necesitas profundizar en algún concepto o reforzar alguna idea importante.

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E. TEMA 2: Proporcionalidad directa e inversa (2º ESO)

E.1 Objetivos


Conocer la relación entre razón y proporción numérica.

Saber qué es y para qué sirve la proporcionalidad directa e inversa.

Comprender la idea de proporcionalidad numérica y saber aplicarla en situaciones sencillas de la vida cotidiana.


Obtener la razón entre dos números.

Calcular cuartos y medios proporcionales.

Hacer repartos proporcionales.

Determinar si dos colecciones de números son proporcionales.

Poner ejemplos de proporcionalidad directa e inversa.

1.3 Competencias


A B C D E F G H Ej1 X X Ej2 X X Ej3 X X Ej4 X X X Ej5 X X X Ej6 X X Ej7 X X X X Ej8 X X Ej9 X X

Ej10 X X Ej11 X X X

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A B C D E F G H Prob1 X X X X X X Prob2 X X X X X X X Prob3 X X X X X X Prob4 X X X X X Prob5 X X X X X

En cuanto a las competencias básicas, la forma de trabajo que proponemos para este tema desarrolla especialmente la competencia matemática, el tratamiento de la información y competencia digital y la competencia para aprender a aprender.

E.2 Aportaciones específicas de TutorMates

En este tema, TutorMates ofrece una serie de comandos de cálculo (medio proporcional, cuarto proporcional, ¿son proporcionales?, Razón) que, en determinadas situaciones, se utilizan para que el alumno dedique su tiempo a buscar regularidades o a deducir propiedades y, en otras, pretenden simplemente facilitar los cálculos. Aunque TutorMates pueda hacer los cálculos del tema mediante estos comandos, el alumno debe conocer el modo de realizar dichos cálculos sin ayuda de TutorMates. Para ejercitarse puede utilizar los generadores de ejemplos y de ejercicios y, posteriormente, comprobar sus resultados con los comandos.

Por otro lado, para profundizar en el conocimiento de las nociones del tema, se guía al alumno para que observe los patrones y las regularidades que ofrecen las magnitudes directa e inversamente proporcionales. Después, se les demanda que generen sus propias deducciones y que consulten en la teoría una manera de formalizar y escribir lo que han descubierto. Este proceso también se emplea para que los alumnos deduzcan métodos estándar para efectuar cálculos, por ejemplo el cálculo del cuarto o el medio proporcional. Asimismo, se fomenta que los alumnos lleven a cabo métodos informales, generados a partir de la sencilla experimentación que pueden realizar usando los comandos del tema. Por ejemplo, pueden emplear el comando ¿son proporcionales? para hacer un cálculo por tanteo del cuarto proporcional.

También interviene en la comprensión de las nociones del tema y de los vínculos entre ellas la posibilidad de intercambiar información entre el sistema de representación numérico, el algebraico, el tabular y el gráfico. Esta información también prepara a los alumnos para relacionar la noción de proporcionalidad con la de función lineal o hiperbólica, lo que le permite desarrollar interesantes razonamientos a partir de la información gráfica.

En las tablas siguientes aparece la correspondencia entre los comandos del tema programados en TutorMates y los Ejercicios y Problemas propuestos:

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Medio prop.

Cuarto Prop.

Reparto Prop.

¿Son Prop.?

Razón

Ej1 X Ej2 X Ej3 X Ej4 X X Ej5 X X Ej6 Ej7 X Ej8 X X Ej9 X

Ej10 Ej11

Medio prop.

Cuarto Prop.

Reparto Prop.

¿Son Prop.?

Razón

Prob1 X Prob2 X Prob3 X Prob4 X Prob5 X X

X → Uso directo (lo solicita el ejercicio)

X → Uso indirecto (el alumno lo puede utilizar si lo desea)

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E.3 Hojas de trabajo para el alumno (6 sesiones)

“PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA” (Sesión Nº1)

Nombre: Fecha:

Hoy empezamos un tema nuevo que es “Proporcionalidad directa e inversa”. ¿Qué vamos a aprender en él? Lee lo siguiente y lo descubrirás:

Aprenderemos:

Cuál es la relación entre razón entre dos números y proporción numérica.

Qué es y para qué sirve la proporcionalidad directa e inversa.

A aplicar la proporcionalidad en situaciones de la vida cotidiana.

Pero empecemos por el principio.

Ejecuta TutorMates y accede a él como alumno de 2º ESO. Ahora, en el apartado “Números” abre “Proporcionalidad directa e inversa”.

¿Qué relación hay entre el número 3 y el 6?, ¿y el 1 y el 4?, ¿y el 5 y el 2?

Para salir de dudas, abre la pestaña de teoría y lee lo que es la “Razón entre dos números”. Haz el Ejercicio 2. Recuerda que puedes comprobar la solución del ejercicio introduciendo tus expresiones en TutorMates y comprobando si son correctas mediante el comando Razón.

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Para practicar un poco más, haz el Ejercicio 3. Usa los comandos que creas necesarios para resolverlo.

¿Es lo mismo escribir que escribir ?, ¿y escribir en vez de ? ¿Por qué?

Ahora lee “Proporción Numérica” y comprueba si tus respuestas anteriores eran correctas, para ello comprueba si las fracciones anteriores son equivalentes. Después genera nuevos ejemplos, haz el Ejercicio 4 y comprueba su solución.

Te preguntarás para qué necesitamos la “Proporcionalidad numérica”. Vamos a descubrirlo.

Vamos a analizar los siguientes ejemplos:

Si compro 8 caramelos me gastaré más dinero que si compro 2 caramelos.

a más caramelos -> más dinero

Si trabajan 8 personas en una obra tardarán menos tiempo en terminar.

a más personas -> menos tiempo

La densidad de 2 litros de agua es la misma que la densidad de 5 litros de agua.

la densidad no es proporcional a la cantidad de agua

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37

Al leer “Proporcionalidad directa” y “Constante de proporcionalidad” te irás haciendo una idea de la importancia que esto tiene. Ahora piensa y completa los siguientes ejemplos:

La cantidad de Kg de azúcar que compro es directamente proporcional a _____________________________________________________________________

Ahora inventa tú un ejemplo:

_________________________________________ es directamente proporcional a

_____________________________________________________________________

Si aún no lo tienes claro, échale un vistazo al Ejercicio 6, seguro que te aclara las ideas.

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38


Nombre: Fecha:

Antes de empezar, recuerda lo que hemos visto sobre la proporcionalidad directa y la constante de proporcionalidad. Hoy vamos a seguir completando cosas sobre ello.


Haz el Ejercicio 8 y en cada caso comprueba, ¿Son proporcionales?, ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? Utiliza los comandos de TutorMates que creas que te puedan ayudar para resolverlo.

Imagina que queremos buscar un número que forme proporción con otros tres números. ¿Cómo lo hacemos? Podemos ir tanteando, pero eso no es nada cómodo, así que tenemos que buscar un método que solucione nuestro “problema”. ¿Quieres saber cuál es?

Busca algún número que forme proporción con 3, 2 y 6. Para ello, contesta: ¿qué condiciones tiene que cumplir tal número? Escribe alguna condición e intenta resolverlo.

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39

Si lees “Cuarto proporcional” encontrarás ideas para resolver el ejercicio anterior. Genera nuevos ejemplos para aclarar las ideas.

Ahora, para practicar un poco, haz el Ejercicio 5. Puedes comprobar tu solución usando el comando Cuarto proporcional.

Ahora lee “Medio proporcional” en la teoría. Después, vuelve al Ejercicio 5, genera nuevas proporciones y resuélvelas. Comprueba tus soluciones usando los comandos Cuarto proporcional y Medio proporcional.


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40

Abre la Autoevaluación del tema y resuelve el Ejercicio 1, que será del tipo siguiente:

La razón entre dos números es 7/2 y el menor de ellos es 26. ¿Cuál es el otro número?


Ahora resuelve el Ejercicio 2 que aparece en la Autoevaluación, que será del tipo siguiente:

Encuentra una pareja de números que formen proporción con 5 y con 6.


Vuelve a leer el ejemplo que aparece en “Proporcionalidad directa”, fíjate bien en su resolución y en cómo está hecha la gráfica.

Fíjate sobre todo en cuáles son los puntos que están marcados sobre la gráfica y busca la relación que hay entre esos puntos y los que aparecen en la tabla de las magnitudes.

Ahora para practicar, haz el Ejercicio 7. Resuélvelo usando el comando de TutorMates que consideres necesario.

Guía Didáctica

41


Nombre: Fecha:

Recuerda, que en la sesión anterior vimos el cuarto y el medio proporcional y la regla de tres simple directa. Sigamos con ello.


En la vida real, muchas veces nos surgen problemas que tenemos que resolver mediante la proporcionalidad numérica. Para ello usamos la “Regla de tres simple directa”

¿Cómo la planteamos? Haremos una tabla en la cual relacionaremos las dos magnitudes. Por ejemplo,

“Si en una tienda venden el litro de leche a 0,90 € ¿si compro dos litros de leche, ¿cuánto pagaré?”

Litros de leche 1 2

Dinero (€) 0,90 x

La proporción formada es: 1 2

0.90 x= .

Por tanto, las reglas de tres simples directas siempre se realizan con magnitudes

_____________________________________________

Lee “Regla de tres simple directa” y contesta a lo siguiente:

Las reglas de tres simples directas siempre se realizan con magnitudes _____________________________________________.

Resuelve el Problema 1. Usa los comandos de TutorMates que consideres necesarios.

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42

Veamos otros usos de las reglas de tres simples. Por ejemplo, ¿qué tengo que hacer si quiero repartir proporcionalmente una cantidad de dinero entre varias personas? En esos casos estamos frente a los repartos directamente proporcionales.

Abre el Problema 5 e intenta resolverlo por ti mismo.

Si no se te ocurre ninguna forma, lee “Repartos directamente proporcionales”. Fíjate bien cómo se resuelven las situaciones de reparto directamente proporcional y vuelve a intentar el Problema 5.

Sigue pensando:

¿Quién recibió más dinero, quién más dinero puso o quién menos dinero puso?

¿Son directamente proporcionales las magnitudes “dinero que pone cada uno” y “dinero del premio que recibe cada uno”?

¿Tiene eso algo que ver con el resultado? Explica tu respuesta.

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43

Ahora, responde a la siguiente pregunta:

“La velocidad a la que va un coche y el tiempo que tarde en llegar a su destino, ¿son magnitudes directamente proporcionales?”

Entre las magnitudes anteriores hay una relación de proporcionalidad, pero no es directa ¿Se te ocurren más ejemplos?

Lee “Proporcionalidad inversa”.

Ahora piensa y responde:

De las magnitudes que aparecen en el Ejercicio 10 ¿cuáles son inversamente proporcionales?

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44

La proporcionalidad directa sigue uno de los esquemas siguientes:

más magnitud 1 → más magnitud 2

menos magnitud 1 → menos magnitud 2

¿Serías capaz de decir qué esquemas sigue la proporcionalidad inversa?

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45


Nombre: Fecha:

Recordemos lo que hemos visto hasta el momento en el tema:

Razón entre dos números.

Proporción numérica.

Proporcionalidad directa.

Constante de proporcionalidad.

Cuarto de proporcionalidad.

Medio de proporcionalidad.

Regla de tres simple directa.

Repartos directamente proporcionales.

Proporcionalidad inversa.

Ejecuta TutorMates y accede a él como alumno de 2º ESO. Ahora, en el apartado “Números”, abre “Proporcionalidad directa e inversa”.

Abre la Autoevaluación y resuelve la pregunta 4, el ejercicio que aparece será del tipo:

¿Cuáles de los siguientes pares de magnitudes son inversamente proporcionales?

Cantidad de mangueras llenando depósito y el tiempo que se tarda en llenar. La velocidad y el tiempo que tardas en recorrer un espacio. La velocidad y el espacio que recorres.


Ya tienes claro lo qué es la proporcionalidad inversa, ¿no? Entonces, vamos a ver cómo se resuelven estas proporciones.

Vuelve a leer el ejemplo que aparece en “Proporcionalidad inversa”, fíjate bien en su resolución y en cómo está hecha la gráfica.

Fíjate, sobre todo, en los puntos que están marcados sobre la gráfica y busca la relación que hay entre esos puntos y los que aparecen en la tabla de las magnitudes.

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46

Ahora, para practicar, haz el Ejercicio 11.

Al igual que con la proporcionalidad directa usábamos las reglas de tres directas para resolver problemas, ahora con la proporcionalidad inversa, usaremos las reglas de tres inversas.

Lee “Método de reducción a la unidad”. En el ejemplo que nos dan ¿son directa o inversamente proporcionales las magnitudes? Justifica tu respuesta. Además explica qué hace el procedimiento.

Ya hemos dicho que en la vida real, muchas veces nos surgen problemas que tenemos que resolver mediante la proporcionalidad inversa. Lee “Regla de tres simple inversa” y verás algunos ejemplos.

Ahora completa las siguientes frases:

Guía Didáctica

47

“Las reglas de tres inversas sirven para resolver problemas con magnitudes _____________________________________________________”

“Las reglas de tres directas sirven para resolver problemas con magnitudes _____________________________________________________”

¿Cómo planteamos la regla de tres simple inversa? Primero haremos una tabla, en la cual relacionaremos las dos magnitudes, como en el ejemplo de “Regla de tres simple inversa” y después resolveremos el problema.

Resuelve el Problema 2.

Ayudándote de las soluciones que has obtenido, responde a las siguientes preguntas:

Si tengo menos mangueras, ¿el tiempo en llenar el depósito aumentará o disminuirá?

Si quiero disminuir el tiempo de llenado, ¿tengo que aumentar o disminuir el número de mangueras?

¿El “número de mangueras que utilizo” y el “tiempo de llenado”, son magnitudes directamente proporcionales o inversamente proporcionales? Justifica tu respuesta.

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48

Por último, ya para acabar, resuelve el siguiente problema.

Abre el Ejercicio 5 de Autoevaluación y resuelve el problema que aparecerá, que será del tipo:

Un coche que circula a 90 km/h, tarda 6 horas en realizar un recorrido. ¿Cuántas horas ganaría si aumentara su velocidad en 30 km/h?


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49


Nombre: Fecha:


Al igual que en la proporcionalidad directa vimos los repartos directamente proporcionales, hoy veremos los repartos inversamente proporcionales.

Imagínate que en una carrera hay 2.000 € de premio para repartir entre los tres primeros puestos, si queremos repartirlo de forma inversamente proporcional a los puestos conseguidos, ¿cómo lo haremos? Para ello lee lo qué son los “Repartos inversamente proporcionales”.

Cuando lo hayas entendido, haz el Problema 4.

En este caso, ¿cómo son las magnitudes “tiempo que ha tardado” y “dinero que recibe debido al tiempo tardado”? ¿directamente o inversamente proporcionales?

¿Quién se lleva mayor premio, quién más o quién menos tiempo ha tardado?

¿Hay alguna relación entre esto y el cómo son las magnitudes “tiempo que ha tardado” y “dinero que recibe debido al tiempo tardado”? Justifica tu respuesta.

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50

Queremos que el alumno compruebe si realmente ha comprendido la idea de de los repartos, tanto directamente proporcionales, como inversamente proporcionales, para ello le planteamos que realice la pregunta 6 de Autoevaluación en la cual aparecerá, o bien un reparto inversamente proporcional, o uno directamente proporcional.

Abre el ejercicio 5 de Autoevaluación y resuelve el problema que aparecerá, que será del tipo siguiente:

Tres hermanos se van a repartir 3.500 € en función de sus edades de tal forma que, el hermano menor sea el que más dinero reciba. Si tienen 12, 15 y 20 años, ¿cuánto recibirá el hermano mayor?


Hasta el momento hemos trabajado, por un lado, con dos magnitudes directamente proporcionales y, por otro, con dos magnitudes inversamente proporcionales. ¿Crees que se puede trabajar con más de dos magnitudes a la vez? Inventa un ejemplo, en el que intervengan 3 magnitudes.

Para aclarar las ideas, lee “Proporcionalidad compuesta”, fíjate en el ejemplo y responde a lo siguiente:

¿Las magnitudes que aparecen son todas directamente proporcionales? ¿Las magnitudes que aparecen son todas inversamente proporcionales? Describe cómo son dichas magnitudes (qué esquema siguen).

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51


Nombre: Fecha:


En la sesión anterior habíamos visto qué eran los “Repartos inversamente proporcionales” y comenzamos con la “Proporcionalidad compuesta”, sigamos con ella.

Para recordar un poco, vuelve a leer, “Proporcionalidad compuesta”.

¿Con qué métodos se puede resolver este tipo de problemas? ___________________

______________________________________________________________________

Abre el Problema 3, ¿cómo son las magnitudes que aparecen?, ¿Son todas directamente proporcionales?, ¿Son todas inversamente proporcionales? Descríbelas.

Ahora resuelve el Problema 3.

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Queremos que el alumno compruebe si realmente ha comprendido la idea de de la proporcionalidad compuesta, para ello debe realizar la pregunta 7 de Autoevaluación en la cual aparecerá un problema de proporcionalidad compuesta con magnitudes ligadas directamente, inversamente o “combinadas”.

Para resolver el siguiente problema, abre el Ejercicio 7 de Autoevaluación, aparecerá un problema del estilo siguiente:

Cinco albañiles, trabajando 8 horas diarias, reforman un parque en 27 días. ¿Cuánto tardarían en hacer el mismo trabajo, 9 albañiles trabajando 10 horas cada día?

Y para ayudarte a resolverlo, contéstate a las siguientes preguntas:

¿Qué magnitudes has usado?

¿Cómo están ligadas esas magnitudes?


Ahora escribe un ejemplo de cada caso:

Escribe tres magnitudes que estén ligadas de manera directamente proporcional.

Escribe tres magnitudes que estén ligadas de manera inversamente proporcional.

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Por último, hagamos un repaso del tema, así que responde a las cuestiones que aparecerán en la pregunta 8 de Autoevaluación:

La razón es una igualdad entre fracciones. La proporción es una igualdad entre razones. El producto de medios, es igual al producto de extremos, solo cuando los números son enteros.



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F. TEMA 3: Iniciación al lenguaje algebraico (1º ESO)

F.1 Objetivos


Entender la necesidad y la utilidad del lenguaje algebraico.

Distinguir expresiones, fórmulas, relaciones e identidades.

Formular expresiones algebraicas a partir de enunciados o situaciones dadas.

Operar correctamente con expresiones algebraicas.


Obtener el valor numérico de una expresión algebraica.

Operar con expresiones algebraicas sencillas.

Simplificar expresiones algebraicas.

1.3 Competencias


A B C D E F G H Ej1 X X X X Ej2 X X X X Ej3 X X Ej4 X X Ej5 X X X X X Ej6 X X X X Ej7 X X X Ej8 X X X

A B C D E F G H Prob1 X X X X X X Prob2 X X X X X Prob3 X X X X X X Prob4 X X Prob5 X X Prob6 X X X X X X X X

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55

En cuanto a las competencias básicas, la forma de trabajo que proponemos para este tema desarrolla especialmente la competencia matemática, el tratamiento de la información y competencia digital, la competencia para aprender a aprender y la autonomía e iniciativa personal.

F.2 Aportaciones específicas de TutorMates

En este tema, TutorMates ofrece una serie de comandos de cálculo (evalúa y simplifica) que, en determinadas situaciones, se utilizan para que el alumno dedique su tiempo a buscar regularidades o a deducir propiedades y, en otras, pretenden simplemente facilitar los cálculos. Aunque TutorMates pueda hacer los cálculos del tema mediante estos comandos, el alumno debe conocer el modo de realizar dichos cálculos sin ayuda de TutorMates. Para ejercitarse puede utilizar los generadores de ejemplos y de ejercicios y, posteriormente, comprobar sus resultados con los comandos.

Por otro lado, mediante el uso de algunos de los generadores de ejemplos y ejercicios se potencia el proceso de formalización del lenguaje matemático. La necesidad de intercambiar información entre expresiones cotidianas y lenguaje algebraico es una constante en el tema. Además, al contar con comandos que realizan las operaciones, se guía al alumno para que sea él quien deduzca propiedades sobre las operaciones con los monomios y las expresiones algebraicas. Este proceso de deducción permite al alumno profundizar en la comprensión de las reglas de cálculo que rigen las operaciones algebraicas. Se trata de evitar que el alumno haga una memorización inicial de esas reglas y se intenta que el alumno reflexione sobre la pertinencia y la coherencia de las mismas.


Ej1 Ej2 Ej3 Ej4 Ej5 Ej6 Ej7 Ej8

Evalúa X X

Simplifica X X

Prob1 Prob2 Prob3 Prob4 Prob5 Prob6 Evalúa X XX

Simplifica X XX



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56

F.3 Hojas de trabajo para el alumno (5 sesiones)

“INICIACIÓN AL LENGUAJE ALGEBRAICO” (Sesión Nº1)

Nombre: Fecha:

Hoy empezamos un tema nuevo: “Iniciación al lenguaje algebraico” ¿Qué vamos a aprender en él? Lee lo siguiente y lo descubrirás:

Vamos a ver por qué y para qué surgen las expresiones algebraicas.

También vamos a expresar distintos enunciados como expresiones algebraicas.

Trabajarás con expresiones y fórmulas y calcularás valores a partir de ellas.

Aprenderás a operar con los monomios.

Ánimo con ello y ¡vamos a empezar!

Ejecuta TutorMates y accede a él como alumno de 1º ESO. Ahora, en el apartado “Álgebra”, abre “Iniciación al lenguaje algebraico”.

Escribe: “El cuadrado de 5 más dos”

_____________________________________________________________________

Pero, si en vez de escribir “El cuadrado de 5 más dos” tienes que escribir “El cuadrado de un número cualquiera más dos”, ¿cómo lo escribirías?____________________________________________________________

Lee “Lenguaje algebraico” y a continuación, “Expresiones algebraicas”.

Para practicar haz el Ejercicio 1.

Guía Didáctica

57

Ahora haz del Ejercicio 2 y, cuando acabes, genera nuevas frases, cópialas aquí y transfórmalas al lenguaje algebraico. Como mínimo debes generar 10 frases más.


Resuelve el Ejercicio 2 de Autoevaluación, que será un ejercicio del tipo siguiente:

El cuadrado de la suma de dos números reales es igual a la suma de sus cuadrados más el doble de su producto. Si expresamos este enunciado en lenguaje algebraico, obtenemos (señala la opción correcta):


Guía Didáctica

58

Y para acabar por hoy, inventa una situación para cada una de las opciones y escríbela tanto en lenguaje coloquial como en lenguaje algebraico.

Describe una situación real, en la que su transformación al lenguaje algebraico utilice una sola letra.

Describe una situación real, en la que su transformación al lenguaje algebraico utilice al menos dos letras.

Guía Didáctica

59


Nombre: Fecha:

En la sesión anterior aprendimos a expresar situaciones reales mediante expresiones algebraicas. Hoy vamos a aprender algunas de las ventajas que nos ofrecen las expresiones algebraicas.


Tenemos que “El cuadrado de un número cualquiera más dos” es x2+2, te preguntarás para qué nos sirve escribir esto así. Enseguida verás que es muy útil.

Ahora lee “Valor numérico de una expresión algebraica” y, para practicar, resuelve el Ejercicio 3. Cuando acabes, para reforzar un poco más, genera nuevos ejemplos y resuélvelos. Recuerda que puedes comprobar tu solución con los comandos de TutorMates que consideres necesarios.


Guía Didáctica

60

¿Siempre va a ser más pequeña la longitud de la cuerda A que la de B? Compruébalo usando el comando Evalúa para los 5 valores que tú quieras.

Pero no todo esto que estamos viendo es nuevo para ti, haz un poco de memoria y escribe el área de un rectángulo: _______________________________

b

h

Tenemos que el área es una expresión algebraica donde b representa la base y h la altura del rectángulo.

Escribe una fórmula que represente el perímetro de un rectángulo. ¿Lo que has escrito es una expresión algebraica?

Ahora lee “Fórmulas” y “Tipos de fórmulas”, ¿serías capaz de escribir alguna fórmula diferente a las de los ejemplos?

Abre el Ejercicio 5 y resuélvelo.

Guía Didáctica

61

Por tanto,

Los números pares, mediante lenguaje algebraico, se representan como: Los números impares, mediante lenguaje algebraico, se representan como: Los múltiplos de 10, mediante lenguaje algebraico, se representan como:

Guía Didáctica

62


Nombre: Fecha:

En la sesión anterior trabajamos con fórmulas, hoy vamos a seguir con ellas aprendiendo a calcular algunos datos a partir de fórmulas. Además aprenderemos qué son los monomios.


Por ejemplo, sabemos que , esto se cumple para todos los números y es la propiedad distributiva de la suma respecto del producto de números. A partir de esto, resuelve el Ejercicio 6.

Intenta resolver el Ejercicio 4, ¿cómo lo haces? Para salir de dudas, en la teoría lee lo que es el “Cálculo de valores a partir de una fórmula” y retoma el ejercicio.

Resuelve el Ejercicio 4 de Autoevaluación. Será un problema del tipo siguiente:

El área de un círculo se calcula con la fórmula , siendo r la longitud del radio. Calcula el área de un círculo cuyo radio mide:

r = 4 cm r = 3,1 cm r = 1 cm


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63

Nos toca empezar con los monomios, así que ánimo con ellos, que nos van a solucionar muchas situaciones, ¡ya lo verás!

Para saber qué son los monomios, lee “Monomios” en la teoría y, responde si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F).

“ no es un monomio” “ es un monomio” “ ” no es un monomio” “ es un monomio” “ es un monomio” “ es un monomio”

Resuelve el Problema 6. Cuando sea posible, utiliza los comandos de TutorMates que consideres que son útiles.

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64


Nombre: Fecha:

Vamos a seguir donde lo dejamos en la sesión anterior, y vamos a continuar con los monomios. Hoy vamos a aprender cómo se hacen algunas operaciones con ellos.

Al igual que con los números, con los monomios también podemos hacer operaciones tales como, sumar, restar, multiplicar y dividir. Veamos cómo se hace.

Abre el Ejercicio 7, ¿sabes cómo resolverlo? Para ayudarte lee “Suma y resta de monomios” y, para que te quede un poco más claro, genera nuevos ejemplos y compruébalos. Una vez que lo tengas bien claro, haz el Ejercicio 7. Para practicar un poco más, genera nuevos ejemplos. Recuerda que puedes usar el comando Simplifica para comprobarlo.

Ahora, resuelve el Problema1. Puedes introducir tus expresiones en el editor de expresiones de TutorMates y usar los comandos Simplifica y Evalúa.

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Veamos cómo multiplicar monomios, para ello lee “Producto de Monomios”. Ahora genera nuevos ejemplos y obsérvalos atentamente para contestar a lo siguiente.

¿Cuándo multiplicamos monomios, qué ocurre con los exponentes de la parte literal?

¿Y qué hacemos con los coeficientes?

Abre el Ejercicio 8, y resuelve el apartado (a), después genera nuevas expresiones y resuelve, al menos, 6 expresiones en las cuales aparezcan un producto de monomios.

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66


Nombre: Fecha:

Hoy vamos a continuar operando con monomios.

Vamos a aprender a dividir monomios para ello lee “Cociente de monomios”. Ahora genera nuevos ejemplos y obsérvalos atentamente para contestar a lo siguiente.

¿Cuándo dividimos monomios, qué ocurre con los exponentes de la parte literal?

¿Y qué hacemos con los coeficientes?

Por tanto tenemos que:

Cuando se multiplican monomios los exponentes de la parte literal ________________________________________________________________ Cuando se dividen monomios los exponentes de la parte literal ________________________________________________________________

Ahora resuelve el Ejercicio 8. Genera, al menos, 6 expresiones nuevas en las que aparezca un cociente de monomios.

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Al igual que con los números podemos combinar operaciones, es decir, en una misma expresión puede haber, sumas, restas, divisiones y multiplicaciones (por ejemplo, 2+(5-1)-3*(3/2)). Con las expresiones algebraicas podemos hacer lo mismo, lo que tenemos que saber hacer, es operar bien los monomios y aplicar la jerarquía de las operaciones, que funciona exactamente igual que con los números, es decir:

1. Paréntesis

2. Multiplicaciones y divisiones.

3. Sumas y restas

Abre “Operaciones con expresiones algebraicas” y léelo. Genera nuevos ejemplos y fíjate bien en cómo se resuelven y en la jerarquía de las operaciones. Copia algunos de los ejemplos generados y resuélvelos.

Resuelve el Ejercicio 6 de Autoevaluación. En él aparecerá un ejercicio del tipo siguiente.

Escribe el coeficiente que acompaña a tras realizar las siguientes operaciones:


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Resuelve el Ejercicio 5 de Autoevaluación, en él aparecerá un ejercicio del tipo siguiente.

Escribe el coeficiente que acompaña a x tras dividir la expresión por:



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G. TEMA 4: Medidas de centralización (2º ESO)

G.1 Objetivos


Conocer, calcular y representar la media, moda y mediana de diferentes listas de datos.

Interpretar el significado de la media, la mediana y la moda en contextos reales.


Calcular la media, moda y mediana a partir de datos representados de diferentes formas.

Calcular las tablas de frecuencias, tanto relativas como absolutas, de unos datos.

Representar datos mediante diagramas de barras y diagramas de sectores.

1.3 Competencias


A B C D E F G H Ej1 X X X Ej2 X X X Ej3 X X X X X

A B C D E F G H Prob1 X X X X X Prob2 X X X X X X X X Prob3 X X X X X X X Prob4 X X X X X X Prob5 X X X X X Prob6 X X X X X X X X

En cuanto a las competencias básicas, la forma de trabajo que proponemos para este tema desarrolla especialmente la competencia matemática, el tratamiento de la información y competencia digital y la competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico.

Guía Didáctica

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G.2 Aportaciones específicas de TutorMates

En este tema, TutorMates ofrece una serie de comandos de cálculo (media, mediana, moda) y de representación de datos (diagrama de barras, diagrama de sectores, frecuencia absoluta, frecuencia relativa, frecuencias) que, en determinadas situaciones, se utilizan para que el alumno pueda hacer los cálculos rápidamente y con grandes cantidades de datos, lo que le permitirá dedicar su tiempo a deducir propiedades o a interpretar resultados. Aunque TutorMates pueda hacer los cálculos del tema mediante estos comandos, el alumno debe conocer el modo de realizar dichos cálculos sin ayuda de TutorMates. Para ejercitarse puede utilizar los generadores de ejemplos y de ejercicios y, posteriormente, comprobar sus resultados con los comandos.

En TutorMates se combinan diferentes tipos de representación y organización de datos: en forma de lista, mediante tablas de frecuencias, diagramas de barras o de sectores. Se pueden generar automáticamente grandes cantidades de datos, a partir de lo cual se guía al alumno para que, utilizando los diferentes tipos de representación, busque regularidades entre ellas y haga interpretaciones. Después, se les demanda que generen sus propias deducciones y que consulten en la teoría una manera de formalizar y escribir lo que han descubierto. De esta forma se refuerza la competencia en el uso de los distintos tipos de razonamiento. Este proceso también se emplea para que los alumnos deduzcan métodos estándar para efectuar cálculos, por ejemplo el cálculo de la media. La posibilidad de intercambiar información entre el sistema de representación numérico y el gráfico promueve la comprensión de las nociones del tema y de los vínculos entre ellas. Por ejemplo, los alumnos relacionan la noción de moda con la altura de las barras de los diagramas de barras y con la amplitud de los diagramas de sectores, lo que les permite desarrollar interesantes razonamientos a partir de la información gráfica.


Frec. absoluta

Frec. relativa

Frec. Mediana Media aritmética

Moda Diagrama Barras

Diagrama Sectores

Ej1 X X X X X X X X Ej2 X X X X X

Ej3 X X X X X

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71

Frec. absoluta

Frec. relativa

Frec. Mediana Media aritmética

Moda Diagrama Barras

Diagrama Sectores

Prob1 X X X X X Prob2 X X X X X X

Prob3 X X X X Prob4 X X X X X X X Prob5 X X X X Prob6 X X X X X X X X



X → Complementar la actividad

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72

G.3 Hojas de trabajo para el alumno (3 sesiones)

“MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN” (Sesión Nº1)

Nombre: Fecha:

Ahora vamos a aprender qué son y para qué sirven las medidas de centralización en Estadística. Presta atención, porque en este tema aprenderás:

Qué es la media, la mediana y la moda y cómo se calculan.

Para qué se utilizan y cómo se interpretan.

¡Vamos a empezar!

Ejecuta TutorMates y accede a él como alumno de 2º ESO. Ahora, en el apartado “Estadística y probabilidad”, abre “Medidas de centralización”.

Hasta ahora hemos aprendido a introducir unos datos dados -por ejemplo, de una encuesta- en tablas en las cuales dichos datos quedan ordenados y resumidos. Además hemos representado la información mediante gráficos: diagramas de sectores o de barras. Pero esto no es todo lo que podemos hacer con esos datos, ahora tendremos que aprender a interpretarlos y a deducir información a partir de ellos para poder compararlos con la realidad.

Imagínate que las notas de tus exámenes de matemáticas este curso han sido 5, 4, 7, 7, 5, 4, 8, 4. ¿Sabrías calcular la media de tus notas?

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73

Ahora te doy las notas de tus exámenes en una tabla:

Notas exámenes Frecuencia absoluta

4 3

5 2

7 2

8 1

¿Cómo calcularías ahora la media?, ¿serías capaz de escribir una fórmula para ello?

En Teoría lee lo que es la “Media”. Genera nuevos ejemplos y comprueba si el cálculo coincide con lo que has hecho tú.

Resuelve el Ejercicio 1 solo para la media. Genera nuevas listas de datos y repite. Recuerda que puedes usar los comandos de TutorMates que consideres necesarios.

Guía Didáctica

74

Haz lo mismo para el Ejercicio 2. Cuando acabes, genera nuevas tablas y repite.


Vete a la Autoevaluación y resuelve el ejercicio del tipo siguiente:

Encuentra el dato que falta en las siguientes lista sabiendo que la media es 5

2, 5, 6, 3



Guía Didáctica

75


Nombre: Fecha:

En la sesión anterior vimos lo qué era la media aritmética de unos datos dados, ¿no? Ahora vamos a estudiar otros parámetros.


En Teoría lee lo que es la “Mediana”, y genera nuevos ejemplos. Para practicar un poco, resuelve el Ejercicio 1 solo para la mediana. Genera nuevas listas de datos y repite. Recuerda que puedes usar los comandos de TutorMates que consideres necesarios.

Haz lo mismo para el Ejercicio 2. Cuando acabes genera nuevas tablas y repite.

Guía Didáctica

76

En la Autoevaluación resuelve el ejercicio del tipo siguiente:

Diez personas están reunidas en una habitación. Sus edades son 35, 34, 37, 40, 37, 33, 28, 36, 39, 40.

¿Cuál es la media de las edades de estas personas?

¿Y la mediana?


Teniendo en cuenta la media y mediana que has calculado ¿cuál crees que es el dato qué más se acerca a la realidad de las edades que hay en la habitación? ¿Por qué crees que pasa eso? Justifica tu respuesta.

En la Autoevaluación resuelve el ejercicio del tipo siguiente:

En la tabla siguiente aparecen los salarios diarios de los trabajadores de una empresa

Número de trabajadores

Salario diario (en €)

30 13

60 15

40 18

50 20

20 23

Calcula el salario medio.

Determina la moda de la distribución.

Calcula el valor de la mediana.


Guía Didáctica

77

Teniendo en cuenta la media, la moda y mediana que has calculado ¿cuál crees que es el dato qué más se acerca a la realidad del salario diario de los trabajadores de esa empresa?, ¿Por qué crees que pasa eso? Justifica tu respuesta.

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78


Nombre: Fecha:

Hoy vamos a estudiar qué es la moda y la relación que hay entre los tres parámetros que hemos visto durante estos días: media, mediana y moda.


En Teoría lee lo que es la “Moda”. Resuelve el Ejercicio 1 solo para la moda. Genera nuevas listas de datos y haz lo mismo. Recuerda que puedes usar los comandos de TutorMates que consideres necesarios.

En el Ejercicio 3, con solo observar el diagrama de barras, serías capaz de decir cuál es la moda de los datos. Justifica tu respuesta.

Ahora resuelve el Ejercicio 3 completo.

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Haz el Problema 2.

¿Cómo se refleja la moda en el diagrama de sectores?, ¿y en el diagrama de barras?

En la Autoevaluación resuelve le ejercicio que siga el siguiente patrón:

Encuentra cinco datos que tengan como media 3 y como moda 4.


Recuerda las relaciones que hemos ido concluyendo entre la mediana y la media.

Ahora lee “Comparación media aritmética, mediana y moda” y resuelve el Problema 6.

Guía Didáctica

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Queremos que el alumno compruebe si realmente tiene claro las ideas sobre la media, mediana y moda, para ello le propondremos que realice la pregunta 7 de Autoevaluación. En esta pregunta, hay dos tipos de ejercicios uno del tipo Verdadero/Falso y el otro de cálculo de datos. El alumno debe resolver el ejercicio y una vez que finalice, debe pulsar en “resolver cuestionario” para saber si lo ha resuelto bien o mal, en ambos casos podrá desglosar la ventana para observar tanto el ejercicio como lo que ha contestado y en el caso de que el alumno haya fallado, éste tendrá un enlace que le dirá en qué ha fallado y qué debe repasar para mejorar.

A continuación presentamos los tipos de ejercicios que aparecerán en dicha Autoevaluación.

Haz el Ejercicio 7 de Autoevaluación, en el te aparecerá un ejercicio del tipo siguiente:

Marca los enunciados correctos:

La moda es el dato que tiene mayor frecuencia relativa.

La mediana de una distribución es única.

La moda de una distribución es única.

La media de un conjunto de números enteros es un número entero.

O un ejercicio del tipo siguiente:

Escribe cinco valores distintos para los que la media, la mediana y la moda coincidan.



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H. TEMA 5: Potencias (2º ESO)

H.1 Objetivos


Conocer las propiedades de las potencias para poder operar, resolver y simplificar expresiones con potencias.

Manejar con soltura expresiones con potencias en base 10.


Operar y calcular potencias.

Resolver igualdades en las que aparecen potencias.

Simplificar expresiones formadas por potencias.

Expresar números como potencia de diez.

Expresar en notación decimal números expresados en notación científica.

Calcular la descomposición polinomial de números.

1.3 Competencias

A continuación presentamos la relación entre los ejercicios y problemas ofrecidos por TutorMates y las competencias matemáticas que pretende desarrollar cada uno, según la interpretación que llevamos a cabo en las hojas de trabajo.

A B C D E F G H Ej1 X X Ej2 X X X Ej3 X X X Ej4 X X Ej5 X X Ej6 X X X

A B C D E F G H Prob1 X X X X X Prob2 X X X X X Prob3 X X X Prob4 X X X X X Prob5 X X


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H.2 Aportaciones específicas de TutorMates

En este tema, TutorMates ofrece una serie de comandos de cálculo (Opera, Resuelve, Simplifica, Expresa en potencia de 10, Calcula en la misma base, Notación decimal, Descompón) que, en determinadas situaciones, se utilizan para que el alumno dedique su tiempo a buscar regularidades o a deducir propiedades y, en otras, pretenden simplemente facilitar los cálculos. Aunque TutorMates pueda hacer los cálculos del tema mediante estos comandos, el alumno debe conocer el modo de realizar dichos cálculos sin ayuda de TutorMates. Para ejercitarse puede utilizar los generadores de ejemplos y de ejercicios y, posteriormente, comprobar sus resultados con los comandos.

Por otro lado, para profundizar en el conocimiento de las nociones del tema, se guía al alumno para que observe las propiedades que ofrecen las potencias. Después, se les demanda que generen sus propias deducciones y que consulten en la teoría una manera de formalizar y escribir lo que han descubierto.


Opera Resuelve Simplifica Expresa en potencia de 10

Calcula en la misma base

Notación decimal

Descompón

Ej1 X

Ej2 X X

Ej3 X X X

Ej4 X

Ej5 X

Ej6 X

Opera Resuelve Simplifica Expresa en potencia de 10

Calcula en la misma base

Notación decimal

Descompón

Prob1 X

Prob2 X

Prob3 X

Prob4 X

Prob5 X

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H.3 Hojas de trabajo para el alumno (4 sesiones)

“POTENCIAS” (Sesión Nº1)

Nombre: ________________________________________ Fecha:_________________

Durante estos días vamos a descubrir qué son las potencias y algunas de sus propiedades y aplicaciones.

Ejecuta TutorMates y accede a él como alumno de 2º ESO. Ahora, en el apartado “Números”, abre “Potencias”.

¿Cómo expresarías, sin hacer ningún cálculo, la multiplicación del número dos, cuatro veces por él mismo?

Abre “Potencia” y lee la definición que aparece, ¿es correcto tu resultado anterior? Exprésalo ahora en forma de potencia. ¿Cuál es la base?, ¿y el exponente?

Pero, ¿cómo expresamos las potencias cuando nos referimos a ellas de forma oral, es decir, cómo las leemos? Por ejemplo, 5·5·5·5 = 54 se lee como “cinco a la cuarta” o bien como “cinco a la cuatro” y (-2)·(-2)·(-2)·(-2)·(-2) = (-2)6, como “menos dos a la sexta” o como “menos dos a la seis”.

Es decir, las potencias se leen como “‘número base’ a la ‘número exponente’”. Usaremos siempre esta regla excepto cuando el exponente sea 2 ó 3, en estos casos leeremos: “‘número base’ al cuadrado” si el exponente es 2, y “‘número base’ al cubo” si el exponente es 3.

Para practicar, pulsa sobre Genera un nuevo ejemplo y genera nuevas expresiones. Copia 8 y escribe al lado de cada una cómo se lee.

Expresión/Potencia Se lee como…

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84

Ya sabemos cómo escribir y leer potencias, ahora vamos a calcular su valor.

Tenemos, por ejemplo que,

1. 24 = 2·2·2·2 = 4·2·2 = 8·2 = 16

2. (-3)3 = (-3)·(-3)·(-3) = 9·(-3) = -27

Calcula el valor de las potencias generadas antes, para potencias un poco elevadas puedes utilizar la calculadora que encontrarás en el menú de TutorMates:

Ahora, sin calculadora, obtén el valor de:

(-2)4 = 24 =

(-2)5 = 25 =

¿Hay alguna relación entre la base y el exponente de la potencia con el resultado? Piénsalo y después en el índice pulsa sobre “Signo de una potencia”. Para deducir los resultados que se exponen, puedes utilizar la regla de los signos:

“ + por + = + ” y “ - por - = + ”

“ + por - = - “ y “ - por + = - “

Pulsa sobre Genera nuevo ejemplo las veces que consideres necesario y comprueba el signo de la solución.

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Practiquemos ahora lo que hemos visto hoy, para ello tenemos que tener en cuenta que las expresiones de la forma a0, por ejemplo 30 ó 40, dan siempre como resultado 1, es decir, a0=1 para cualquier valor de a excepto el 0.

Resuelve el Ejercicio 1, pulsa sobre Genera una nueva potencia, y resuelve al menos 8 más. Después comprueba tus resultados usando el comando Opera.

Ahora te pregunto, ¿a qué número hay que elevar dos para obtener como resultado ocho?, esto se traduce como, ¿cuál es el número x que consigue que 2x = 8? Evidentemente la respuesta es x = 3 ya que 23 = 8. Otra forma de hacerlo es escribir 8 como una potencia de base 2, es decir, 8 = 23, de esta forma se tiene 2x = 23, por tanto, x = 3.

Una vez comprendido esto, resuelve el Ejercicio 2. Practica un poco más generando nuevas expresiones. Después comprueba tus resultados utilizando el comando Resuelve.

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Resuelve el Problema 3. Pon ejemplos para ayudarte a escoger si la afirmación es verdadera o falsa.

Para acabar por hoy, plantea y resuelve la siguiente situación. Presta especial atención al enunciado para ayudarte a resolverlo y, piensa que las potencias pueden ayudarte a resolverlo.

Marta tiene tres gatos, cada gato tuvo tres gatos, y éstos han tenido cada uno otros tres gatos. ¿Cuántos gatos han nacido la última vez?

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Nombre: Fecha:

En la sesión anterior hemos aprendido qué es una potencia y cómo calcular su resultado o su expresión. Vamos a seguir trabajando con potencias, pero hoy nos dedicaremos a las que tienen base 10 y veremos también alguna de las propiedades de las potencias.


Utilizar potencias de base 10 es de gran utilidad en el lenguaje cotidiano, las utilizamos cuando nos referimos a medidas muy grandes, como a la velocidad de la luz, o cuando hacemos cambios de unidades, también en la descomposición algebraica de los números y más cosas.

Pulsa sobre “Potencia de base 10” y léelo. Comprueba que siempre es así pulsando sobre Genera nuevos ejemplos tantas veces como consideres necesario.

Vamos a ver algunos ejemplos de potencias de base 10.

Si tenemos que escribir el número mil, escribiremos 1.000, que en potencia de base 10 será 103.

Practica esto resolviendo el Ejercicio 4, genera por lo menos cinco nuevo números y escríbelos como potencia de base 10.

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Acabamos de ver que, a veces, es más cómodo expresar algunos números como potencia de 10 que escribirlos. Por ejemplo, un billón es preferible escribirlo como 1012 que escribir 1.000.000.000.000, escribir tantos ceros puede confundirnos. Si ahora lo que queremos expresar es 3 billones, ¿cómo lo haremos?

3 billones es: 3.000.000.000.000 = 3 · 1.000.000.000.000 o lo que es lo mismo, 3·1012 que es mucho más cómodo de expresar. Así que podemos “traducir” 3·1012 como “al 3 le siguen tantos ceros como indica el exponente de 10”.

¿Y si lo que queremos expresar ahora son 3 billones y medio?

3 billones y medio es: 3.500.000.000, que expresado como potencia de 10 es 3,5·1012. Así que podemos “traducir” 3,5·1012 como “movemos la coma a la derecha y ponemos los ceros necesarios, tantas veces como indica el exponente de 10”.

Aplica esto que acabamos de ver, para ello practica realizando el Ejercicio 5. Genera nuevos números y efectúa los cálculos.

Comprueba tu solución usando el comando que consideres oportuno.

¿Sabrías cómo descomponer el número 4.356 utilizando potencias de 10? Inténtalo

Sabemos que

4.356 = 4.000 + 300 + 50 + 6 = 4·1.000 + 3·100 + 5·10 + 6 = 4·103 + 3·102 + 5·10 + 6

De esta forma ya tenemos la descomposición de 4.356 utilizando potencias de 10. A esta descomposición se la llama Descomposición polinómica de 4.356.

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Para ver más ejemplos de cómo es la descomposición polinómica de otros números introduce los números que quieras con el editor de expresiones que te ofrece TutorMates y, con el comando Descompón obtén sus descomposiciones polinómicas.

Una vez que tengas claro cómo hacerlo, practica resolviendo el Ejercicio 6 y genera nuevos números para obtener su descomposición polinómica. Después comprueba tus resultados usando el comando Descompón.

Vamos a estudiar algunas de las propiedades de las potencias para ello, en la teoría lee “Potencia de un producto” y practica generando nuevos ejemplos. Puedes comprobarlos con las herramientas que te da TutorMates, es decir, usando el editor de expresiones, la calculadora y los comandos que consideres apropiados.

Calcula las siguientes expresiones usando la propiedad que acabas de ver:

1. (3 · 5)4 =

2. 23 · 53 =

3. 42 · 22 =

4. (1 · 6)3 =

¿Podrías deducir el valor de x en las siguientes igualdades sin hacer ningún cálculo?

1. (2 · 7)5 = 25 · x5 ⇒ x =

2. (4 · 3 · 5)3 = x3 · 33 · 53 ⇒ x =

3. (3 · 5)x = 34 · 54 ⇒ x =

4. (2 · 6)7 = 2x ·67 ⇒ x =

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Veamos ahora cómo calcular las potencias de un cociente, para ello lee “Potencia de un cociente” y al igual que antes, practica generando nuevos ejemplos y comprobándolo con las herramientas de TutorMates.

Usa la propiedad que acabas de estudiar y calcula las siguientes expresiones.

1. (6 : 3)5 =

2. (10 : 2)4 =

3. (3 : 9)3 =

4. (20 : 6)2 =

¿Podrías deducir el valor de x en las siguientes igualdades sin hacer ningún cálculo?

1. (8 : 2)5 = x5 : 25 ⇒ x =

2. (15 : 3)3 = x3 : 33 ⇒ x =

3. (12 : 4)x = 124 : 44 ⇒ x =

4. (18 : 5)7 = 18x ·57 ⇒ x =

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91


Nombre: Fecha:

Hoy vamos a continuar estudiando algunas de las propiedades de las potencias, pero antes vamos a repasar y comprobar todo lo que has aprendido hasta el momento.


Resuelve el Problema 4. Puedes ayudarte dibujando la situación, pero no cuentes el número de sillas, piensa cómo puedes hacerlo usando las potencias.


Vete a la Autoevaluación del tema y resuelve los ejercicios 1, 2 y 3 que serán del tipo:

Ejercicio 1

Marca los enunciados correctos:

El exponente de una potencia es el factor que se repite.

Una potencia de base positiva y exponente impar es positiva.

Una potencia de base negativa y exponente par es positiva.

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92

Ejercicio 2

Calcula las siguientes potencias:

22 =

(-2)2 =

105 =

Ejercicio 3

Marca las igualdades correctas:

(7 · 1 · 6)3 = 73 · 63

(22 : 2)5 = 115 : 45

(8 : 2)7 = 87 : 27

(34 : 2)3 = 173 : 43


Calcula el valor de:

1. 23 · 22 = 2. 25 =

3. 34 · 33 = 4. 37 =

5. 42 · 42 = 6. 44 =

¿Coinciden los dos resultados de cada fila? ¿Encuentras alguna relación entre los exponentes?

Lee “Producto de potencias de la misma base” y comprueba si tus conclusiones coinciden con lo que aquí se expone. Genera nuevos ejemplos para comprobarlo.

¿Puede aplicarse esto para multiplicar potencias con diferente base? Para contestar pon un ejemplo y resuélvelo. Puedes ayudarte con el editor de expresiones y el comando Simplifica.

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A partir de esto que acabamos de ver, escoge la afirmación correcta:

El resultado de multiplicar cualquier potencia por otra es el de multiplicar las bases de éstas y elevarlas a la suma de sus exponentes.

Para multiplicar potencias de la misma base, multiplicamos sus exponentes y elevamos la base a este nuevo exponente.

El resultado de multiplicar potencias de la misma base es la base elevada a la suma de los exponentes.

Ahora para practicar, vete al Ejercicio 3, resuelve el apartado a) y pulsa sobre Genera producto de potencias de la misma base y resuelve, utilizando la propiedad de producto de potencias de la misma base, al menos ocho más.

1. 52 · 54 · 54 =

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Comprueba los resultados usando el comando que consideres oportuno.

Al igual que con el producto de potencias de la misma base, para el cociente de potencias con la misma base vamos a buscar alguna relación entre sus exponentes, para ello calcula:

1. 25 : 22 = 23 =

2. 56 : 54 = 52 =

3. 34 : 32 = 32 =

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94

¿Coinciden los dos resultados de cada fila? Busca la relación entre los exponente de la primera y de la segunda operación de cada fila.

Lee “Cociente de potencias de la misma base” y comprueba si tus conclusiones coinciden con lo que aquí se expone. Genera nuevos ejemplos para comprobarlo.

Ahora para practicar, vete al Ejercicio 3, resuelve el apartado b) y pulsa sobre Genera cociente de potencias de la misma base y resuelve, utilizando la propiedad de cociente de potencias de la misma base, al menos ocho más.

1. (77 : 72) : 72 =

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Comprueba los resultados usando el comando que consideres oportuno.

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95


Nombre: Fecha:

Ya estamos llegando al final del tema. Hoy vamos a estudiar alguna propiedad más de las potencias y repasaremos todo lo que hemos visto hasta el momento.


Hasta el momento hemos estudiado cómo calcular la potencia de un producto y de un cociente, además de aprender a calcular de una manera más cómoda, cómo obtener el producto y el cociente de potencias de la misma base.

Nos falta saber cómo calcular las potencias de potencias.

Al igual que hicimos con el producto y con el cociente de potencias de la misma base, ahora vamos a buscar una relación entre sus exponentes, para ello calcula:

1. (32)3 = 32 ·32 · 32 = 32·3 =

2. (25)2 = 25·2 =

3. (63)4= 63·4 =

Ahora vete a “Potencia de una potencia”, y comprueba que se cumple la propiedad generando nuevos ejemplos. Para practicar, ve al Ejercicio 3 realiza los apartados y después genera nuevas potencias de potencias y calcúlalas usando la propiedad que acabas de aprender.

1. ((-3)4)7 =

2. (x2 · x3)2 =

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

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96

Ahora que ya hemos estudiado todas las propiedades de las potencias, vamos a profundizar un poco más:

Usando las propiedades de las potencias cómo calcularías:

1254 : 53 =

1254 : 53 es un cociente de potencias con diferente exponente, así que tenemos que ver si podemos ponerlas en la misma base. Sabemos que 125 = 53, así que podemos poner el cociente con potencias de la misma base:

1254 : 53 = (53)4 : 53 = 512 : 53 = 512-3 = 59

Para practicar todo lo que hemos visto sobre las propiedades de las potencias, genera al menos 10 nuevas expresiones en el Ejercicio 3 y calcúlalas. Ten en cuenta que pueden combinarse varias de las propiedades de las que hemos visto.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Comprueba tus resultados usando los comandos necesarios.

Resuelve el Problema 1. Dibuja la situación para ayudarte a plantearlo, pero resuélvelo usando las potencias.

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97

Para que tengas una visión global de tus conocimientos en este tema, resuelve ahora las actividades que quedan por resolver de la autoevaluación de este tema, es decir, los ejercicios 4, 5, 6 y 7. Cuando TutorMates los corrija de forma automática te indicará si necesitas profundizar en algún concepto o reforzar alguna idea importante.

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I. TEMA 6: Poliedros (2º ESO)

I.1 Objetivos


Conocer las características principales de las rectas y los planos así como sus posiciones relativas.

Distinguir y saber clasificar los diferentes tipos de poliedros y conocer sus características.

Asociar el desarrollo plano de prismas con su prisma correspondiente y obtener el desarrollo plano de algunos.

Calcular el área de los poliedros.

Deducir las fórmulas para calcular el volumen de algunos poliedros.

Aplicar las fórmulas para el cálculo del volumen de los poliedros.

Deducir la no relación entre el área y volumen de los poliedros, es decir, mismo área no implica mismo volumen, ni viceversa.


Observar cómo se obtiene el desarrollo plano de algunos poliedros.

Concebir y observar la idea de qué es y cómo calcular el volumen de los poliedros.

Comprobar el Principio de Cavalieri para después poder aplicarlo para deducir el volumen de poliedros.

Deducir las fórmulas y relaciones para el cálculo del volumen de los poliedros.

Calcular el volumen de algunos poliedros.

Estudiar la no relación: figuras con mismo volumen no implica que tengan la misma superficie, ni viceversa.

1.3 Competencias


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A B C D E F G H Ej1 X X Ej2 X X X Ej3 X X X Ej4 X Ej5 X Ej6 X X X Ej7 X Ej8 X Ej9 X X

A B C D E F G H Prob1 X X X X X Prob2 X X X Prob3 X X X X Prob4 X X X X X X X X Prob5 X X X X Prob6 X X X X

En cuanto a las competencias básicas, la forma de trabajo que proponemos para este tema desarrolla de forma coordinada un buen número de ellas: la competencia matemática, el tratamiento de la información y competencia digital, la competencia para aprender a aprender, la autonomía e iniciativa personal y el conocimiento y la interacción con el mundo físico.

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100

I.2 Aportaciones específicas de TutorMates

En este tema, la interactividad de las actividades propuestas en TutorMates se consigue gracias al uso de Geogebra. En algunas situaciones, Geogebra constituye una herramienta de apoyo para que el alumno calcule la superficie y el volumen de algunos poliedros, pero el interés principal no es ese sino conseguir que el alumno explore y deduzca propiedades a partir de las manipulaciones que lleva a cabo en el entorno gráfico de GeoGebra.

Para profundizar en el conocimiento de las nociones del tema, se guía al alumno para que deduzca y compruebe algunas propiedades y características de los poliedros. La facilidad de experimentación y la visualización que GeoGebra aporta son elementos clave para que los alumnos se impliquen en las actividades propuestas. Esta implicación permite proponer actividades con GeoGebra en las que los alumnos generen sus propias deducciones:

sobre propiedades (p. ej. desarrollos planos de poliedros) o

sobre características (p. ej. poliedros con mismo volumen no implica que tengan el mismo área).

La teoría del tema actúa de apoyo para que los alumnos confirmen sus deducciones y conozcan una manera de formalizarlas por escrito. La mayoría de los problemas están asociados a ficheros GeoGebra preparados para que el alumno desarrolle las capacidades pretendidas. En cambio, la mayoría de los ejercicios están propuestos para que los alumnos apliquen las propiedades que han conocido bien para deducir el tipo de poliedro al que se refiere o bien para aplicar las fórmulas para el cálculo del área o del volumen de diferentes poliedros.

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I.3 Hojas de trabajo para el alumno (7 sesiones)

“POLIEDROS” (Sesión Nº1)

Nombre: ________________________________________ Fecha:_________________

Hasta ahora la geometría que has estudiado (rectas, puntos, polígonos, etc. y sus propiedades y características -perímetro y superficie-) era geometría en el plano, lo que se conoce matemáticamente como Geometría Euclídea. En este tema, vamos a introducir la geometría en el espacio, es decir, vamos a trabajar en 3 dimensiones, como la propia realidad.

¿Qué es lo que vas a aprender en este tema?

Verás cómo se forman los las rectas y los planos en el espacio y cuáles son sus posiciones.

Estudiarás qué son los poliedros, su clasificación y sus características.

Aprenderás a “abrir” los poliedros y estirarlos en el plano.

Deducirás las fórmulas para calcular la superficie y el volumen de los poliedros.

¡Empecemos con ello!

Ejecuta TutorMates y accede a él como alumno de 2º ESO. Ahora, en el apartado “Geometría”, abre “Poliedros”.

Para que te hagas una idea de lo que es un plano, asemeja éste a un trozo de papel que puedes extender todo lo que quieras.

Dibuja ahora una recta y un plano.

Pinta dos puntos, ¿puedes con ellos dibujar una recta?, ¿y un plano?

Guía Didáctica

102

Y si pintas tres puntos no alineados, ¿puedes dibujar una recta usando los tres puntos?, ¿y un plano?, ¿y si los tres puntos están alineados?

Ahora lee “Puntos, rectas y planos en el espacio”, ¿tus dibujos de antes eran correctos? Fíjate bien en las imágenes que aparecen para así poder deducir tú esas conclusiones.

Dos planos, ¿siempre se cortan o pueden ser paralelos? Dibuja las dos situaciones.

Ahora dibuja todas las posiciones que tú creas posibles entre dos rectas, entre dos planos y entre una recta y un plano, para ayudarte a visualizarlo, si quieres, utiliza folios como planos y los bolígrafos o lápices como rectas.

Posiciones entre dos rectas:

Posiciones entre dos planos:

Posiciones entre una recta y un plano:

Compara tus resultados con los que aparecen en “Posiciones de rectas y planos en el espacio”.

Guía Didáctica

103

Resuelve el Ejercicio 1, para ello dibuja aquí el cubo que aparece y, con diferentes colores, marca los resultados que se indican. Otra forma de marcarlo es utilizar el nombre de los puntos, es decir, si queremos señalar una recta, tendremos que indicar qué dos puntos la determinan, lo mismo para un plano, en este caso tendremos que nombrar los tres puntos que lo determinan. Por ejemplo, podremos decir “la recta que pasa por A y B”, si nos referimos a la recta que contiene al lado , o “el plano determinado por los puntos A, B y C”, si nos referimos al plano en el que está la cara delantera del cubo.

Por último ya para acabar por hoy, responde verdadero o falso a las siguientes afirmaciones explicando por qué, para ello puedes utilizar un ejemplo:

1. Tres puntos cualesquiera determinan un plano.

2. Dos rectas que se cruzan pueden estar en el mismo plano.

3. Dos rectas que se cortan están en diferentes planos.

Guía Didáctica

104


Nombre: Fecha:

Una vez que ya hemos estudiado los puntos, rectas y planos en el espacio y sus posiciones, vamos a indagar sobre los poliedros. Hoy vamos a ver qué son y cómo podemos clasificarlos.


Lee “Poliedros” y dibuja dos poliedros cóncavos y otros dos convexos diferentes a los que aparecen en la teoría. En ellos señala las caras, los vértices y las aristas.

Poliedros cóncavos

Poliedros convexos

Como puedes leer en “Poliedros regulares”, un poliedro es regular si todas sus caras son iguales y en cada vértice concurre el mismo número de aristas.

Ahora vas a calcular el número de aristas, vértices y caras de algunos poliedros, para ello resuelve el Problema 1.

Guía Didáctica

105

Figura

Nombre

Caras (C)

Vértices (V)

Aristas (A)

Fíjate en los datos que has obtenido y busca una fórmula que relacione el número de caras, con el de aristas y con el de vértices.

Esa fórmula se llama Fórmula de Euler

Fíjate en este poliedro, ¿qué diferencia hay entre éste y los anteriores?

.

¿Cumple la Fórmula de Euler? Compruébalo.

Por tanto podemos deducir que la Fórmula de Euler se cumple solo para los poliedros _________________________________.

Guía Didáctica

106

Los poliedros que a partir de ahora vamos a estudiar son los prismas y las pirámides. Para saber cuáles son los poliedros clasificados como prismas, lee “Prismas” y, a continuación, “Tipos de prismas”.

Ahora observa los siguientes cuerpos geométricos.

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.

H.

Teniendo en cuenta lo que acabas de estudiar, contesta a las siguientes preguntas señalando qué cuerpos cumplen la pregunta y porqué:

1. ¿Alguna de las figuras no es un poliedro?

2. ¿Qué poliedros son cóncavos y cuáles convexos?

3. ¿Hay algún poliedro que no sea un prisma?

4. ¿Qué figuras son prismas?

Guía Didáctica

107

5. ¿Qué prismas son rectos y cuáles son oblicuos?

6. ¿Qué prismas son regulares y cuáles son irregulares?

7. ¿Hay algún paralelepípedo?

Ahora, haz el Ejercicio 2. Justifica tu respuesta.

Vamos a estudiar ahora las pirámides para ello, lee los apartados: “Pirámides”, “Tronco de pirámide” y “Tipos de pirámide”.

Resuelve el Ejercicio 3. Justifica tu respuesta.

Guía Didáctica

108

Para acabar por hoy, escribe una lista con los tipos de poliedros que hemos visto hoy.

Guía Didáctica

109


Nombre: Fecha:


Vamos a ver qué tal estás siguiendo el tema:


Resuelve los ejercicios 2, 3 y 4 de la Autoevaluación, que se corresponden con lo que hemos visto hasta ahora. Estos ejercicios serán del tipo:

Ejercicio 2

Completa la siguiente tabla sabiendo que los datos corresponden a poliedros convexos.

Nº caras Nº vértices Nº aristas

10 24

4 6

Ejercicio 3

Un prisma tiene 16 vértices. ¿Cuántos lados tiene su base?

Ejercicio 4

Una pirámide está formada por 12 aristas. ¿Cuántos vértices tiene?


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110

Hoy vamos a estudiar la superficie de los poliedros, así que veamos cómo son los desarrollos planos de éstos.

En “Desarrollo y superficie de los poliedros” puedes leer que el área de cualquier poliedro es la suma de las áreas de cada una de las caras que lo forman.

Además, también puedes ver cómo son los desarrollos planos de un paralelepípedo y de una pirámide con base un rectángulo, y a partir de éstos, obtener su área. Fíjate bien en cómo se obtienen los desarrollos planos, porque ahora tendrás que identificar algunos desarrollos planos con su poliedro.

Resuelve el Problema 2. Dibuja los desarrollos que se dan en el problema y después haz marcas (con colores, por ejemplo) para identificar las aristas que se unen. ¿Qué poliedros son?

Resuelve el Ejercicio 1 de la Autoevaluación, que será del tipo siguiente:

De los siguientes desarrollos planos, ¿cuáles corresponden al desarrollo plano de un dodecaedro?


Guía Didáctica

111

Ahora practica el cálculo de superficies resolviendo el Ejercicio 4 (haz todos, excepto el apartado d.). Para hacer los cálculos recuerda que debes poner todas las medidas en la misma unidad

Guía Didáctica

112


Nombre: Fecha:

En la sesión anterior vimos cómo obtener los desarrollos planos de los poliedros y cómo calcular su área. Hoy manejaremos la idea de volumen y aprenderemos cómo calcular el volumen de diferentes poliedros.


Para tener una idea general de lo que es el volumen de cualquier figura, lee “Volumen” y experimenta con el fichero GeoGebra que aparece en él siguiendo las instrucciones que se indican.

Fíjate en la tabla que aparece en “Volumen”, ésta te ayudará a pasar de unas unidades de volumen a otras. Veamos cómo hacerlo con unos ejemplos:

Para practicar resuelve:

Una vez que ya tenemos una visión general de la idea de volumen, vamos a deducir cuál es el volumen de algunos poliedros.

Vamos a calcular el volumen de un ortoedro, para ello vete a “Volumen del ortoedro” y abre el archivo GeoGebra que aparece.

Como puedes observar, un ortoedro es un paralelepípedo en el que sus caras son todas rectángulos.

Guía Didáctica

113

Vamos a deducir la fórmula del volumen del ortoedro ensayando con el fichero GeoGebra.

Completa la siguiente tabla, para ello mueve los botones de altura, ancho y largo que aparecen en el fichero.

Ancho Largo Alto Volumen

6 6 1

6 6 2

4 2 4

5 4 3

¿Qué relación hay entre el volumen y el largo, ancho y alto del ortoedro? Escribe la fórmula.

Volumenortoedro=

¿Puedes escribir la fórmula del volumen del ortoedro relacionando la superficie de su base con la altura de éste? Justifícalo.

Resuelve ahora el Ejercicio 5. Si quieres, ayúdate dibujando el ortoedro de las dimensiones indicadas.

Guía Didáctica

114

Para aprender a calcular los volúmenes de otros poliedros nos es muy útil el “Principio de Cavalieri”, lee lo que se expone en él y comprueba que es cierto manipulando el fichero GeoGebra que aparece.

Al deslizar “corte” observarás el corte de un plano paralelo a la base del prisma con el prisma. Con el botón “Área” mide el área de la base del prisma y del corte. Ten en cuenta que las medidas viene dadas en cm2 tal y como se indica en el botón “Área”.

Áreabase del prima=

Áreacorte=

Si deslizas “oblicuo”, el prisma se convierte en oblicuo, ¿las áreas calculadas se mantienen igual?

Calcula la altura de ambos prismas, el oblicuo y el recto, recuerda que ésta viene dada en cm tal y como indica el botón “Distancia o longitud”, ¿coinciden?

Alturaprisma recto= Alturaprisma oblicuo=

¿Se cumplen la hipótesis de Principio de Cavalieri?

¿Qué podemos deducir entonces sobre los volúmenes de ambos prismas?

Compruébalo deslizando “medidas”.

Guía Didáctica

115


Nombre: Fecha:

Hoy a partir del Principio de Cavalieri, que ya hemos estudiado en la sesión anterior, vamos a deducir las fórmulas para calcular el volumen de un prisma cualquiera.


Lee “Volumen del prisma” y abre el archivo Geogebra que aparece. Comprueba que se cumplen las hipótesis de Principio de Cavalieri.

Áreabase prisma recto= Áreabase prisma oblicuo= Áreacorte= Alturaprisma recto= Alturaprisma oblicuo=

¿El volumen de los dos prismas es el mismo?, ¿por qué?

Se tiene que el volumen de cualquier prisma es:

Volumenprisma=Áreabase·altura

Comprueba con la fórmula, usando las medidas que acabas de calcular, que el volumen de ambos prismas coincide.

Guía Didáctica

116

Resuelve el Ejercicio 8. Dibuja el paralelepípedo y recuerda que para hacer las operaciones debes poner todas las medidas en la misma unidad.

Resuelve ahora el Ejercicio 6

. En la siguiente imagen tienes dibujadas las situaciones que se indican.

Guía Didáctica

117

¿Crees que dos figuras con el mismo volumen tienen la misma superficie?, ¿y con la misma superficie tendrán el mismo volumen? Para responder a esto, resuelve el Problema 4.

Sigue las indicaciones y completa la siguiente tabla, usando las fórmulas que conoces para calcular el área y el volumen de las figuras.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Superficie

Volumen

¿Coincide el área de las tres figuras?, ¿y el volumen?

Entonces:

Si dos figuras tienen el mismo volumen, ¿tienen que tener la misma área?

Y si tienen la misma área, ¿tienen que tener el mismo volumen?

Guía Didáctica

118


Nombre: Fecha:

Hasta el momento hemos estudiado los diferentes tipos de poliedros. Sabemos cómo calcular la superficie de éstos y cómo calcular el volumen de cualquier prisma. Lo que aún no hemos visto es cómo calcular el volumen de una pirámide y por ello, hoy vamos a trabajar sobre ello.


Antes de nada, para repasar, resuelve el Problema 3

, para ello haz las medidas necesarias con los comandos de GeoGebra que tienes disponibles y anótalas en el dibujo.

¿Cuál es el volumen del agua de la piscina si está llena por la mitad?

Si colocamos dentro de la piscina un cofre y el nivel del agua sube 25 cm, ¿cuál es el volumen del cofre?

Guía Didáctica

119

Para saber cómo se calcula el volumen de cualquier pirámide lee “Volumen de la pirámide” y para practicar resuelve el Ejercicio 7, puedes ayudarte dibujando las pirámides. Recuerda que para poder realizar los cálculos, todas las medias deben estar en la misma unidad.

Como acabamos de ver, el volumen de una pirámide es un tercio del volumen de un prisma, es decir, en un prisma “caben” tres pirámides con el mismo volumen. Para comprobar esto, resuelve el Problema 6.

Al deslizar los dos cortes, las tres figuras que se obtienen, ¿qué tipo de poliedros son?

Ahora se trata de comparar las bases y las alturas de estas figuras, para ello sigue las indicaciones y después, aplicando el Principio de Cavalieri, llegarás a una conclusión sobre sus volúmenes.

Visto esto, completa la siguiente afirmación:

Un prisma se puede dividir en tres ______________________ con el mismo ______________________.

Guía Didáctica

120

Por tanto, podemos deducir que la relación entre el volumen de un prisma y de un pirámide es

Volumenpirámide=

Para acabar por hoy, resuelve el apartado d. del Ejercicio 4.

Guía Didáctica

121


Nombre: Fecha:

En la última sesión hemos acabado de ver los contenidos del tema, lo que vamos a hacer hoy, es dar una pequeñas pinceladas sobre lo que ya hemos estudiado.



Ahora te toca resolver algunos de los ejercicios de la Autoevaluación. Cuando acabes de hacer todos los que se proponen, a continuación, pulsa sobre “resolver cuestionario” y sabrás si lo has hecho bien o mal. En ese momento podrás abrir una ventana en la que aparecen el problema y tu respuesta. Además, en caso de que la respuesta no sea correcta, aparecerá un enlace indicándote qué aspectos del tema debes repasar para mejorar.

Haz el Ejercicio 8 de Autoevaluación, en él tienes que comparar los volúmenes de las figuras dadas, fíjate que algunas son prismas y otras son pirámides. Utiliza los comandos de GeoGebra disponibles y aplica las fórmulas que conoces para calcular volúmenes. Puedes hacer aquí las operaciones.

Guía Didáctica

122

Ahora calcula la superficie del desarrollo plano que aparece en el Ejercicio 5 de Autoevaluación. Dibuja aquí el desarrollo plano y di qué poliedro es.

Responde verdadero o falso a las afirmaciones que aparecen en el Ejercicio 6 de Autoevaluación.

Resuelve el Ejercicio 7 de Autoevaluación, en él con los comandos GeoGebra que están disponibles, debes calcular el volumen de la figura dada. Deja indicado aquí las operaciones que ha hecho.

Guía Didáctica

123

Ya por último, resuelve los ejercicios 9 y 10 que aparecen en la Autoevaluación. Para ayudarte, si quieres, escribe aquí las operaciones que realices.

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124

J. TEMA 7: Números decimales (1º ESO)

J.1 Objetivos


Comparar, representar y ordenar diferentes números decimales.

Conocer la relación que existe entre los números decimales y las fracciones y, a partir de ella, distinguir y obtener los diferentes tipos de números decimales.

Saber operar con números decimales, y aplicarlo a la resolución de problemas de la vida cotidiana.


Clasificar los diferentes tipos de decimales.

Ordenar, representar y comparar los números decimales.

Obtener la fracción correspondiente de un número decimal cualquiera.

Obtener el decimal correspondiente de una fracción cualquiera.

Calcular operaciones con decimales.

1.3 Competencias


A B C D E F G H Ej1 X X X Ej2 X X X Ej3 X X X Ej4 X X X Ej5 X X X X Ej6 X X Ej7 X Ej8 X X X X Ej9 X X X X X Ej10 X X Ej11 X X Ej12 X X Ej13 X X Ej14 X X Ej15 X X

Guía Didáctica

125

A B C D E F G H Prob1 X X X X X Prob2 X X X X X Prob3 X X X X X Prob4 X X X X X X Prob5 X X X X


J.2 Aportaciones específicas de TutorMates

En este tema, TutorMates ofrece una serie de comandos de cálculo (calcula, pasa a fracción, pasa a decimal) y de representación de datos (clasifica, ordena) que, en determinadas situaciones, se utilizan para que el alumno pueda hacer los cálculos rápidamente además de poder comprobar sus cálculos e interpretar algunos resultados. Aunque TutorMates pueda hacer los cálculos del tema mediante estos comandos, el alumno debe conocer el modo de realizar dichos cálculos sin ayuda de TutorMates. Para ejercitarse puede utilizar los generadores de ejemplos y de ejercicios y, posteriormente, comprobar sus resultados con los comandos.

También interviene en la comprensión de las nociones del tema y de los vínculos entre ellas la posibilidad de intercambiar información entre el sistema de representación numérico y el gráfico, esta información prepara a los alumnos para relacionar la noción de número decimal y su representación en la recta real, lo que le permite entender el significado de número decimal.

En TutorMates se pueden generar automáticamente números decimales de diferentes tipos (exactos, periódicos puros, mixtos, …) y operaciones con ellos, a partir de lo cual se guía al alumno para que, utilizando los diferentes tipos de comandos haga interpretaciones de los números reales comparándolos, haciendo cálculos con ellos y viendo que dichos números decimales también se pueden expresar en forma de fracción y viceversa.


Guía Didáctica

126

Clasifica Calcula Ordena Pasa a fracción

Pasa a decimal

Ej1

Ej2

Ej3 X

Ej4 X

Ej5 X

Ej6 X

Ej7

Ej8 X X

Ej9 X X

Ej10 X

Ej11 X

Ej12 X

Ej13 X

Ej14 X

Ej15 X

Clasifica Calcula Ordena Pasa a fracción

Pasa a decimal

Prob1 X Prob2 X

Prob3 X Prob4 Prob5 X



Guía Didáctica

127

J.3 Hojas de trabajo para el alumno (4 sesiones)

“NÚMEROS DECIMALES” (Sesión Nº1)

Nombre: Fecha:

Durante estos días vamos a aprender a trabajar con números los números decimales.

Aprenderemos:

Cómo obtener un número decimal a partir de una fracción.

A comparar y representar números decimales.

Los diferentes tipos de números decimales que hay y cómo distinguirlos.

Cómo pasar de una fracción a un número decimal y cómo pasar de un número decimal a una fracción.

A operar con números decimales.

Ejecuta TutorMates y accede a él como alumno de 1º ESO. Ahora, en el apartado “Números”, abre “Decimales”.

Seguro que no es la primera vez que escuchas hablar de los números decimales, así que escribe el número que corresponde en cada caso:

1. Sesenta y tres coma trescientos cuatro: _______________________________

2. Quince unidades ocho centésimas: ___________________________________

3. Tres unidades, dos décimas, 8 milésimas: ______________________________

Lee “Unidades decimales”, fíjate bien en la imagen y después responde a lo siguiente:

1. ¿Cuántas décimas hay en una unidad?

2. Si dividimos la unidad en cien partes iguales, ¿cómo se llama cada parte?

3. ¿Cuántas décimas son veinte centésimas?

Resuelve el Ejercicio 2, utiliza la siguiente tabla para ordenar los números como puedes ver en el ejemplo.

Guía Didáctica

128

Núm

ero

Dec

enas

de

mill

ar

Mill

ares

Cent

enas

Dec

enas

Uni

dade

s

Déc

imas

Cent

ésim

as

Milé

sim

as

Die

z-

milé

sim

as

Cien

- m

ilési

mas

356,6348 0 0 3 5 6 6 3 4 8 0

Lo que tenemos que hacer ahora es ordenar y representar los números decimales, ¡no te preocupes porque no es complicado! La idea es similar a la de ordenar y representar los números naturales, así que ¡vamos a ello!

Recuerda, antes de nada, que para ordenar los números utilizamos los siguientes signos:

< representa “menor que”, por ejemplo 3 < 7.

> representa “mayor que”, por ejemplo 9 > 2.

≤ representa “menor o igual que”, por ejemplo 3 ≤ 7 ó 7 ≤ 7.

≥ representa “mayor o igual que”, por ejemplo 9 ≥ 2 ó 9 ≥ 9.

Para aprender a ordenar números decimales lee “Comparación de números decimales” y genera nuevos ejemplos para aclarar las ideas.

Ahora para practicar, realiza el Ejercicio 4. Genera algunos nuevos números y ordénales también. Después comprueba que están ordenados correctamente usando el comando necesario.

Guía Didáctica

129

Vamos ahora a representar los números decimales en la recta, recuerda que se ordenan de menor o mayor. Lee “Representación de números decimales” y comprueba, textual y gráficamente, con el generador de ejemplos que siempre es posible obtener un número entre otros dos.

Haz el Ejercicio 3.

a. 66,256; 66,25; 63,6; 65,5

b. 7,15; 7,16; 7,156; 7,158

c. 2,12; 2,13; 2,012; 2,102

Ahora que ya les tienes ordenados, encuentra en cada apartado, otro número decimal entre cada dos de ellos. Usa el signo “<” para ordenarlos, por ejemplo:

a. 63,6 < 64,2 < 65,5 < 66 < 66,25 < 66,254 < 66,256

b.

c.

Comprueba que las listas que acabas de ordenar están bien ordenadas, para ello usa el comando que creas apropiado.

Guía Didáctica

130


Nombre: Fecha:

Ejecuta TutorMates y accede a él como alumno de 1º ESO. Ahora, en el apartado “Números”, abre “Números decimales”.

En la sesión anterior aprendimos a ordenar y a representar sobre la recta real los números decimales. Además, también vimos que entre dos números decimales siempre hay otro número decimal.

Hoy vamos a estudiar cómo podemos clasificar en diferentes tipos los números decimales y, practicaremos cómo pasar de la forma decimal a fracción y viceversa.

Lee “Tipos de números decimales” y rellena la siguiente tabla con un par de números decimales que cumplan las características.

Números

Tipo

s de

dec

imal

es

Exactos

Periódicos Puros

Mixtos

No exactos ni periódicos

Ahora di si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, ¿por qué?:

a. Todos los números con infinitos decimales no son exactos ni periódicos.

b. El número 12,5656565656565656... es un número periódico puro.

Guía Didáctica

131

Comprueba si los números que has puesto en la tabla están bien clasificados usando el comando apropiado.

Si ves que no lo tienes aún muy claro, genera nuevos ejemplos y fíjate en si tienen infinitos decimales o no, si tienen periodo, etc. de esta forma aprenderás a clasificarlos mejor.

Haz el Ejercicio 7, para ello escribe a continuación los números e indica cuál es el periodo.

Como vimos en la primera sesión: “los números decimales son una forma de escribir una fracción, pero sin escribir el numerador y el denominador, sino el resultado del cociente”.

Vamos a aprender ahora a pasar de números decimales a fracciones y viceversa, para ello lee a “De fracciones a decimales y de decimales a fracciones” y, en cada caso, genera un nuevo ejemplo y sigue las pautas para llegar tú al mismo resultado.

Si ves que no lo tienes aún claro, genera nuevos ejemplos y practica más con ellos.

Haz el Ejercicio 8, pasa las fracciones a decimal y clasifícalas según el tipo de decimal que es.

Guía Didáctica

132

Comprueba que, tanto la clasificación como el paso a decimal de las fracciones, son correctos usando los comandos necesarios.

Si es necesario, genera nuevas ejemplos y resuélvelos.

Haz ahora el Ejercicio 9, para evitar equivocarte clasifica los números antes de nada, según el tipo de decimal que son y después realiza los pasos a seguir para transformarlos en una fracción.

Comprueba que tus resultados son correctos introduciendo los números con el editor de expresiones y usando los comandos apropiados.

Genera nuevos ejemplos y haz lo mismo que en el ejercicio.

Guía Didáctica

133


Nombre: Fecha:


Estos días hemos aprendido a ordenar, a representar y a clasificar los números decimales, además de conocer cómo se pasa de un número decimal a fracción o de una fracción a un número decimal. Lo que nos queda por aprender y practicar es a operar con números decimales, es decir, saber cómo se suman, se restan, se multiplican o se dividen éstos.

Antes de continuar, y para que empieces a ser consciente de los resultados de tu esfuerzo, resuelve algunos de los ejercicios de Autoevaluación. Tienes que solucionar el problema y, después, has de pulsar en “resolver cuestionario” para saber si lo has hecho bien o mal. En ese momento podrás abrir una ventana en la que aparecen el problema y tu respuesta. Además, en caso de que la respuesta no sea correcta, aparecerá un enlace indicándote qué aspectos del tema debes repasar para mejorar.

En la Autoevaluación resuelve los ejercicio del 1 al 5.


Vamos a empezar con las operaciones con los números decimales, para ello:

En teoría, pulsa sobre “Suma y resta de números decimales”. Cuando lo hayas leído haz el Ejercicio 10, y genera al menos cuatro sumas más. Después comprueba los resultados usando el comando apropiado.

Guía Didáctica

134

Resuelve ahora el Problema 1, para ello aplica lo que acabamos de aprender.

Ya hemos visto cómo sumar y restar números decimales, nos falta ver cómo multiplicarlos y dividirlos. La idea es hacerlo como lo hacemos con los números enteros pero siguiendo una pequeña regla.

Lee “Producto de números decimales” y distingue entre los dos casos que allí se presentan:

Multiplicación de un número decimal por otro decimal.

Multiplicación de un número decimal por la unidad seguida de ceros.

Practiquemos el primer caso: resuelve el Ejercicio 11 y comprueba tus resultados con el comando necesario.

Guía Didáctica

135

Guía Didáctica

136

Puedes practicar más generando nuevas expresiones, pero antes de nada vamos a practicar cómo resolver los casos en los que aparecen más de dos números decimales a multiplicar.

¿Cómo resolverías 56,4 · 4,23 · 1,45? Inténtalo

Lo más cómodo es agrupar los términos, es decir, primero multiplicamos dos, y después el resultado de éstos con el término que nos queda por operar.

56,4 · 4,23 · 1,45 =

56,4 238,572

x 4,23 x 1,45

1692 1192860

1128 954288

2256 238572

238,572 345,92940

Por tanto,

56,4 · 4,23 · 1,45 = 345,92940 = 345,9294

Pulsa sobre Genera nuevas expresiones y resuelve paso a paso, al menos, una expresión con tres factores a multiplicar.

Guía Didáctica

137


Nombre: Fecha:


En la sesión anterior estudiamos cómo sumar y restar números decimales, además de aprender a multiplicarlos. Hoy vamos a continuar con la multiplicación de números decimales y también aprenderemos a dividirlos. Pero antes de nada, vamos a repasar un poco las operaciones que ya hemos visto.

Genera, al menos, dos nuevas expresiones en los ejercicios 10 y 11, cópialas y resuélvelas.

Para multiplicar números decimales distinguíamos entre dos casos:

Multiplicación de un número decimal por otro decimal.

Multiplicación de un número decimal por la unidad seguida de ceros.

Ya hemos estudiado el primero, ahora practiquemos cómo multiplicar un número decimal por la unidad seguida de ceros, para ello pulsa sobre el Ejercicio 12 y resuélvelo. Para practicar más puedes generar nuevas expresiones y resolverlas

Guía Didáctica

138

Hasta el momento hemos visto cómo sumar, restar y multiplicar números decimales. Vamos a ponerlo en práctica resolviendo algunos problemas.


Ya solo nos queda aprender a dividir números decimales, ¡vamos a ello!

Lee “División de números decimales” y distingue entre los dos casos que allí se presentan:

División de un número decimal entre otro decimal.

División de un número decimal por la unidad seguida de ceros.

Para practicar la división de un número decimal entre otro decimal, haz el Ejercicio 13. Cuando acabes comprueba tus resultados usando el comando que consideres necesario.

Guía Didáctica

139

Haz ahora el Ejercicio 15 y así practicarás cómo dividir un número decimal por la unidad seguida de ceros.

Puedes practicar más divisiones con decimales generando nuevas expresiones en el Ejercicio 14 y en el Ejercicio 15.

Para aplicar lo que hemos estudiado resuelve el Problema 2.

Guía Didáctica

140

Puedes comprobar qué tal llevas el tema resolviendo los ejercicios 5, 6 y 7 de la Autoevaluación.


Guía Didáctica

141

K. TEMA 8: Ecuaciones (2º ESO)

K.1 Objetivos


Conocer la diferencia entre identidad y ecuación.

Saber obtener ecuaciones equivalentes a otras dadas.

Resolver ecuaciones de primer grado mediante los diferentes métodos de resolución.

Plantear y resolver situaciones problemáticas mediante ecuaciones de primer grado.


Determinar si unos valores dados son solución de una igualdad.

Calcular la solución de las ecuaciones de primer grado.

Diferenciar entre identidad y ecuación.

Simplificar ecuaciones de primer grado y así obtener ecuaciones equivalentes a una ya dada.

1.3 Competencias


A B C D E F G H Ej1 X X X Ej2 X X X Ej3 X X Ej4 X X X Ej5 X X X Ej6 X X X Ej7 X X X Ej8 X X X Ej9 X X X

Guía Didáctica

142

A B C D E F G H Prob1 X X X X X X Prob2 X X X X X X Prob3 X X X X X X Prob4 X X X X X X Prob5 X X X X X X Prob6 X X X X X X Prob7 X X X X X X Prob8 X X X X X X

En cuanto a las competencias básicas, la forma de trabajo que proponemos para este tema desarrolla especialmente la competencia matemática, el tratamiento de la información y competencia digital, la competencia para aprender a aprender y la autonomía e iniciativa personal.

K.2 Aportaciones específicas de TutorMates

En este tema, TutorMates ofrece una serie de comandos de cálculo (¿Es solución?, Resuelve, Simplifica) que, en determinadas situaciones, se utilizan para que el alumno dedique su tiempo a buscar regularidades o a deducir propiedades y, en otras, pretenden simplemente facilitar los cálculos además de poder comprobar sus cálculos e interpretar algún resultado. Aunque TutorMates pueda hacer los cálculos del tema mediante estos comandos, el alumno debe conocer el modo de realizar dichos cálculos sin ayuda de TutorMates. Para ejercitarse puede utilizar los generadores de ejemplos y de ejercicios y, posteriormente, comprobar sus resultados con los comandos.

Por otro lado, para profundizar en el conocimiento de las nociones del tema, se guía al alumno para que aprenda a diferenciar entre identidad y ecuación. Después se les orienta y entrena en la resolución de ecuaciones de primer grado mediante diferentes métodos para que, de esta manera, entiendan las peculiaridades de cada método de resolución y sepan cuál es el más adecuado para cada ecuación. Además, se potencia el proceso de formalización del lenguaje matemático a través del planteamiento y la resolución de problemas, en los cuales el planteamiento de ecuaciones de primer grado es imprescindible.

Asimismo TutorMates nos ofrece la posibilidad de generar automáticamente diferentes igualdades, tanto identidades como ecuaciones de primer grado, además de ecuaciones de diferente dificultad (con paréntesis, denominadores,…) con las cuales, los alumnos podrán practicar todo lo estudiado en el tema.


Guía Didáctica

143

¿Es solución? Resuelve Simplifica

Ej1 X

Ej2 X X X

Ej3 X

Ej4 X X X

Ej5 X X

Ej6 X X

Ej7 X X X

Ej8 X X X

Ej9 X X X

¿Es solución?

Resuelve Simplifica

Prob1 X X X Prob2 X X X

Prob3 X X X Prob4 X X X Prob5 X X X

Prob6 X X X Prob7 X X X Prob8 X X X



Guía Didáctica

144

K.3 Hojas de trabajo para el alumno (5 sesiones)

“ECUACIONES” (Sesión Nº1)

Nombre: Fecha:

Hoy vamos a empezar a estudiar un tema nuevo: Ecuaciones. ¿Qué es lo que vamos a aprender?

Aprenderás a distinguir entre identidades y ecuaciones.

Sabrás cómo obtener ecuaciones equivalentes a otra.

Aprenderás a resolver ecuaciones de primer grado.

Resolverás problemas mediante ecuaciones de primer grado.

Ejecuta TutorMates y accede a él como alumno de 2º ESO. Ahora, en el apartado “Álgebra”, abre “Ecuaciones”.

Vamos a empezar.

Hasta ahora hemos aprendido a expresar distintos enunciados como expresiones algebraicas, además de aprender qué son los polinomios y cómo se opera con ellos. Lo que vamos a hacer a partir de ahora es aplicar esto para resolver problemas de la vida cotidiana.

Supón que tienes una balanza en equilibrio con cajas y bolas. En un lado tienes 3 bolas y 2 cajas, y en otro lado 5 bolas y una caja. Tenemos que cambiar las cajas por bolas, así que queremos saber cuántas bolas equilibran una caja.

Intenta escribir este problema con una igualdad algebraica:

Guía Didáctica

145

_____________________________________________________________________

Situaciones como esta, son las que vamos a aprender a resolver en este tema.

Lee “Igualdad, identidad y ecuación” y presta especial atención en la diferencia entre ellas.

Veamos algunos ejemplos para diferenciarlas:

1. es una identidad, ya que se cumple para cualquier valor de a y b. Compruébalo tú mismo dando los valores que tú quieras para a y b. Puedes usar la calculadora que te ofrece TutorMates para hacer los cálculos.

2. es una ecuación, ya que sólo se cumple para .

3. Aunque hay ecuaciones que se cumplen para más de un valor, por ejemplo, se cumple para y para .

Genera nuevos ejemplos si sigues teniendo dudas.

Practica lo que acabas de ver haciendo el Ejercicio 1.

Puedes comprobar si lo has hecho bien introduciendo las expresiones mediante el editor de expresiones y usando el comando Resuelve, ya que si la expresión introducida es una ecuación se devolverá la solución de ésta, pero en cambio si es una identidad aparecerá un mensaje en el que se indique que dicha expresión es una identidad.

Practica un poco más generando, al menos, cinco nuevas igualdades.

1.

2.

3.

4.

5.

Guía Didáctica

146

Lee “Elementos de una ecuación”.

Resuelve el Ejercicio 2 indicando además, cuál es la incógnita y el grado de la ecuación.

Puedes comprobar tus resultados pulsando Resuelve.

Sigue practicando haciendo el Ejercicio 3. Escribe las operaciones necesarias para comprobar si es o no solución el número dado.

Genera, al menos, cinco nuevas ecuaciones y valores, y comprueba si los valores dados son soluciones de las ecuaciones.

En caso que no lo sean, busca una solución a dichas ecuaciones.

Comprueba tus soluciones usando el comando que consideres necesario.

Guía Didáctica

147

Para acabar por hoy, invéntate una ecuación que tenga como solución x=2.

Guía Didáctica

148


Nombre: Fecha:

En la sesión anterior aprendimos a distinguir entre identidad y ecuación, además de ver cuáles eran los elementos de una ecuación. Hoy vamos a estudiar cuándo dos ecuaciones son equivalentes y cómo se usa esto para resolver las ecuaciones.


Hasta el momento lo que hemos hecho para resolver ecuaciones ha sido tantear, pero esto no es ni lo más fácil, ni lo más cómodo para encontrar la solución o las soluciones de una ecuación. Por ejemplo, intenta resolver el apartado a) del Ejercicio 8

. A simple vista no parece fácil encontrar una solución a la ecuación, ¿verdad?, e ir probando una a una todas las posibles soluciones no parece una buena idea.

Copia en el editor de expresiones la ecuación y usa el comando Resuelve para hallar su solución, así te darás cuenta de lo difícil que habría sido calcularla tanteando.

Uno de los objetivos del tema es encontrar un método para resolver las ecuaciones de manera sencilla y cómoda, y así no tener que tantear la solución. Veamos cómo hacerlo.

Vuelve a leer “Igualdad, identidad y ecuación” y “Elementos de una ecuación” para recordar la diferencia entre identidad y ecuación y los elementos de las ecuaciones.

Después lee “Ecuaciones equivalentes” y practica generando, al menos, ocho nuevos ejemplos. ¿Cómo se ha pasado de una ecuación a otra? Explícalo.

Guía Didáctica

149

Para practicar esto que acabas de ver, haz el Ejercicio 4.

Resolver una ecuación es dar el valor o los valores que cumplen la ecuación. Para resolver ecuaciones lo que se hace es escribir la ecuación dada de forma más sencilla, para ello se utilizan ecuaciones equivalentes.

Resuelve las siguientes ecuaciones:

¿Puedes encontrar para todas un valor de x que cumpla la ecuación?

Lee “Resolver una ecuación” y después, revisa la respuesta que has dado a la pregunta anterior y explica el porqué de ella.

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150


Resuelve el Ejercicio 2 de Autoevaluación que será del tipo:

Señala si las siguientes afirmaciones son correctas o incorrectas:

Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.

Dos ecuaciones son equivalentes cuando no tienen solución.

La expresión (a+b)2=a2+b2+2ab es una identidad.

La expresión 2x-3=6 es una identidad.

“Resuelve cuestionario” y si tu respuesta no ha sido correcta sigue las instrucciones del mensaje

Para que vayas empezando a ver la utilidad de las ecuaciones, intenta resolver el problema siguiente:

Si a un número le restas 20 y el resultado lo divides entre 4, obtienes 15. ¿De qué número se trata?

Para resolverlo, escribe el enunciado en forma de igualdad algebraica, donde x será el número que estás buscando. Después busca el valor de x para el que se cumple esa igualdad.

Guía Didáctica

151


Nombre: Fecha:

En la sesión anterior estudiamos qué significa que dos ecuaciones sean equivalentes, y cómo se puede obtener una ecuación equivalente a otra para poder aplicarlo en la resolución de ecuaciones. Hoy vamos a ver un método para resolver ecuaciones.


Vamos a estudiar cuáles son los pasos a seguir para resolver una ecuación.

Haz el Ejercicio 7, para resolver estas ecuaciones lo primero que tienes que hacer es eliminar los paréntesis, si es que la ecuación los tiene, usando la propiedad distributiva y después pasar los términos con incógnita a un lado de la igualdad y, los números al otro, teniendo en cuenta que al pasarlo al otro lado pasa con el signo opuesto. Por último, hay que despejar la incógnita.

Antes de nada veamos algunos ejemplos y después continúa tú resolviendo los del Ejercicio 7

.

La solución es correcta ya que si se tiene que,

Guía Didáctica

152

Comprueba si tus soluciones son correctas, sustituyendo los valores que has obtenido en las ecuaciones.

Genera, al menos, cinco nuevas ecuaciones y resuélvelas. Comprueba si tu solución es correcta usando el comando ¿Es solución? Si no es correcta, vuelve a resolver la ecuación y comprueba que no te has equivocado.

Como dijimos al comienzo del tema, el objetivo principal de éste es utilizar la resolución de ecuaciones para resolver problemas de la vida cotidiana por ello, es importante que aprendas a plantearlos, porque una vez planteado lo que hay que hacer es resolver la ecuación con los métodos que estamos aprendiendo e interpretar la solución. Veamos cómo se resuelven mediante un ejemplo.

Intenta resolver el Problema 1, ¿cómo lo haces? Sigue los pasos que se explican a continuación.

Primer paso

x es la edad de Andrea

: Identificar los elementos del problema y, expresar algebraicamente los desconocidos. En nuestro caso:

_______ es el doble de la edad de Andrea

_______ es el doble de la edad de Andrea más 35

Guía Didáctica

153

Segundo paso: Expresar con una igualdad la relación entre los elementos del problema. Escribe la igualdad para este problema:

_____________________________________________________________________

Tercer paso: Resolver la ecuación. Resuelve la ecuación que has escrito antes. Recuerda que puedes comprobar tus resultados usando los comandos de TutorMates que veas que te pueden servir.

Cuarto paso: Interpretar la solución de la ecuación y comprobar si es correcta.

Ahora resuelve el Problema 5. Para ello debes saber que, dos números son consecutivos si se diferencian en una unidad, es decir, 3 y 4, 4 y 5, 5 y 6, 6 y 7,… son números consecutivos. Por tanto, para resolver el problema sólo tienes que tener en cuenta que si a un número lo llamamos , su consecutivo será , y así sucesivamente.

Guía Didáctica

154

Por último ya por hoy, resuelve de deberes las ecuaciones del Ejercicio 8.

Guía Didáctica

155


Nombre: Fecha:

Hasta el momento hemos aprendido cómo resolver algunas ecuaciones de primer grado y a resolver algunos problemas sencillos en los que éstas aparecen. Hoy vamos aprender cómo resolver el resto de las ecuaciones de primer grado y a plantear y resolver algunos problemas más complicados.

Antes de nada vamos a resolver algunas ecuaciones para recordar lo que hemos visto en la sesión anterior.

Genera tres nuevas ecuaciones en el Ejercicio 8 y resuélvelas.

no es una ecuación como las que has visto hasta ahora ésta, a

diferencia de las anteriores, tiene denominadores, ¿cómo se resuelven este tipo de ecuaciones? Lee “Resolución de ecuaciones de primer grado”, aquí se explica lo que debes hacer siempre para resolver cualquier tipo de ecuación de primer grado.

Para practicar cómo se resuelven estas ecuaciones, haz el Ejercicio 9 y presta atención en seguir todos los pasos cómo se indica en la teoría.

Guía Didáctica

156

Comprueba que tus soluciones son correctas con el comando que consideres oportuno.

Practica con algunos ejercicios más generando nuevas ecuaciones en el Ejercicio 9 y resolviéndolas. Cuando acabes, comprueba si tu solución es correcta.

La forma de resolver las ecuaciones no es única, lo importante es obtener la solución correcta de estás, así que cualquier método de resolución que nos lleve a la solución correcta es válido excepto si se indica expresamente que hay que resolverla por algún método específico. Para ver los diferentes métodos de resolución de ecuaciones lee “Métodos de resolución”.

Resuelve el Ejercicio 6 usando el método pedido y, cuando acabes resuélvelas de nuevo bien por tanteo o como las has resuelto durante estos días, verás cómo obtienes el mismo resultado, si no es que te has equivocado.

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Vamos a utilizar todo lo que hemos visto hasta el momento resolviendo los siguientes problemas.

Intenta resolver el Problema 2, para ello, vuelve a seguir los pasos ya estudiados a la hora de resolver un problema:

Primer paso

x es el número de años que tienen que pasar.

: Identificar los elementos del problema, y expresar algebraicamente los desconocidos. En nuestro caso:

_______ es la edad de Félix al cabo de esos años.

_______ es la edad de Manuel al cabo de esos años.

_______ es la mitad de la edad de Félix al cabo de esos años.

Segundo paso: Expresar con una igualdad la relación entre los elementos del problema. Escribe la igualdad para este problema:

_____________________________________________________________________

Tercer paso: Resolver la ecuación. Resuelve la ecuación que has escrito antes:

Cuarto paso: Interpretar la solución de la ecuación y comprobar si es correcta.

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Y para acabar por hoy, prueba a resolver el Problema 8. Para ayudarte, llama x al dinero que recibe cualquiera de los hermanos, y a partir de ello identifica el resto de los elementos del problema.

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Nombre: Fecha:

Una vez que ya sabemos resolver todo tipo de ecuaciones de primer grado, lo importante es que sepas aplicarlas a la resolución de problemas por ello, hoy vamos a dedicarnos a plantear y resolver problemas.

Antes de nada, para repasar cómo se resuelven las ecuaciones de primer grado, vamos a resolver algunas ecuaciones, para ello haz el Ejercicio 1 de Autoevaluación.


Plantea y resuelve el Problema 4. Recuerda que debes dar el valor tanto de los lados iguales como el del lado desigual para ello, te será útil escribir algebraicamente los elementos del problema antes de plantear la ecuación.

Comprueba que tus soluciones son correctas.

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Resuelve ahora el Problema 6. Recuerda la definición que dimos sobre los números consecutivos y aplícala para plantear la ecuación.

Prueba ahora a realizar los ejercicios que te faltan por resolver de Autoevaluación, son problemas que seguro que sabes resolver, así que ¡ánimo con ellos! No olvides anotar aquí las operaciones que realices para resolverlo.

Resuelve el Ejercicio 3 de Autoevaluación, que será del tipo:

Calcula un número sabiendo que la diferencia entre su quíntuplo y la tercera parte del número dado, es el doble de la suma de la mitad del número dado más 11.

Ahora te toca hacer el Ejercicio 4 de Autoevaluación, que será del tipo al siguiente:

Luis tiene 12 años, su hermana María 16 y su madre 53. ¿Cuántos años tienen que pasar para que entre los dos hijos igualen la edad de la madre?

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Y para acabar, haz el Ejercicio 5 de Autoevaluación, que será del tipo:

La suma de tres números consecutivos es 42. ¿Cuál es el menor de ellos?


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