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Hacienda Judibana. Kilómetro 10, Sector La Pedregosa. El Vigía. Mérida - Venezuela. Portal Web: www.ula.ve/vigia. Correo-e: [email protected]. Teléfonos: 0275-808.59.01 / 267.18.62. Telefax: 0274-240.29.47

VICERRECTORADO ACADÉMICO Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia (CEIDIS)

NÚCLEO UNIVERSITARIO “ALBERTO ADRIANI”

Guía didáctica: Álgebra

Curso de Extensión

PARTE A SESIONES 1 - 4

Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor Contenidos desarrollados por: Francísco Carrera, José Luis García.

MATERIAL EN REVISIÓN

Hacienda Judibana. Kilómetro 10, Sector La Pedregosa. El Vigía. Mérida - Venezuela. Portal Web: www.ula.ve/vigia. Correo-e: [email protected]. Teléfonos: 0275-808.59.01 / 267.18.62. Telefax: 0274-240.29.47

NÚCLEO UNIVERSITARIO “ALBERTO ADRIANI”

CURSO DE EXTENSIÓN

ÁLGEBRA

MODALIDAD: NO PRESENCIAL

DURACIÓN: 5 SEMANAS

FACILITADORES

MARTES – MIÉRCOLES – JUEVES Horario: 8:30 A.M. – 11:30 A.M.

2:00 P.M. – 5:00 P.M.

CONSULTAS

SEMANA 1: 05/11/2007 al 09/11/2007 SESIONES 1 - 4

SEMANA 2: 12/11/2007 al 16/11/2007

SESIONES 5 - 9


SEMANA 4: 26/11/2007 al 30/11/2007

SESIONES 14 - 16


1 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático.

Curso Básico de Nivelación en el área de

Álgebra

Contenidos desarrollados por: Prof. Francisco Carrera Lic. José Luís García

Índice Introducción……………………………………………….. i Objetivos…………………………………………………… ii Estrategias………………………………………………….. iv Contenido Programático ………………………………. vi Tema 1 “Preliminares”

Sesión 1: Preliminares ……………………. …..1 Problemas propuestos……………………… 22 Autoevaluación 1…………………………..... 24

Tema 2 “Operaciones notables” Sesión 2: Operaciones notables……….…. 26 Problemas propuestos……………………… 42 Autoevaluación 2……………………………. 43 Sesión 3: Operaciones notables………..… 45 Problemas propuestos……………………… 53 Autoevaluación 3…………………………… 54 Sesión 4: Operaciones notables………..… 57 Problemas propuestos……………………… 66 Autoevaluación 4…………………………… 67

Datos de Identificación Ciclo: Introductorio Duración: 10 semanas Unidad Académica: Correo electrónico:

Datos de Identificación Profesores del área:

Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Nayive Jaramillo, José Luís García

Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia.


Tema 3 “Teorema del resto” Sesión 5: Teorema del resto………….…… 69 Problemas propuestos………………………78 Autoevaluación 5 …………………………...79 Sesión 6: Teorema del resto………….…… 83 Problemas propuestos………………………91 Autoevaluación 6 …………………………...92

Tema 4 “Factorización” Sesión 7: Factorización …………………….95 Problemas propuestos……………….……107 Autoevaluación 7………………………….108 Sesión 8: Factorización ………………….. 110 Problemas propuestos……………….…… 126 Autoevaluación 8…………………………. 127 Sesión 9: Factorización ………………….. 129 Problemas propuestos……………….…… 149 Autoevaluación 9…………………………. 150

Tema 5 “Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polinomios”

Sesión 10: Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polinomios …………152 Problemas propuestos……………….…… 182

Autoevaluación 10……………………… 183 Tema 6 “Expresiones racionales”

Sesión 11: Expresiones racionales …..… 187 Problemas propuestos ……………….….. 203 Autoevaluación 11………………………… 205 Sesión 12: Expresiones racionales …..… 209 Problemas propuestos ……………….….. 215 Autoevaluación 12………………………… 217 Sesión 13: Expresiones racionales …..… 221 Problemas propuestos ……………….….. 228 Autoevaluación 13………………………… 230

Tema 7 “Ecuaciones”

Sesión 14: Ecuaciones ……………. …..… 234 Problemas propuestos ……………….….. 250 Autoevaluación 14………………………… 252

Sesión 15: Ecuaciones ……………. …..… 256 Problemas propuestos ……………….….. 263 Autoevaluación 15………………………… 265

Tema 8 “Matrices, determinantes y sistema de ecuaciones”




Sesión 16: Matrices, determinantes y sistema de ecuaciones ……………………...……….. 268 Problemas propuestos ……………….…. 280 Autoevaluación 16……………………….. 282 Sesión 17: Matrices, determinantes y sistema de ecuaciones ……………………...……….. 286 Problemas propuestos ……………….…. 299 Autoevaluación 17……………………….. 301 Sesión 18: Matrices, determinantes y sistema de ecuaciones ……………………...………... 305 Problemas propuestos ……………….….. 310 Autoevaluación 18……………………….. 312

Tema 9 “Números complejos”

Sesión 19: Números complejos………... 316 Problemas propuestos ……………….….. 323 Autoevaluación 19……………………….. 324




Introducción Álgebra es el área de la matemática que

estudia las cantidades en una forma abstracta, a

través de símbolos, relacionándolas por medio de operaciones

simbólicas que resumen operaciones aritméticas. Las asignaturas de

las carreras de ingeniería requieren dominar con destreza dichas

operaciones. Procurando cubrir esta necesidad, se ha elaborado el

curso de nivelación en Álgebra, dirigido a estudiantes de nuevo

ingreso de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Los Andes.

Esencialmente orientado a la apropiación de los conceptos básicos

del Álgebra, el curso ofrece contenidos tales como: Operaciones

Notables, Teorema del Resto, Factorización, Máximo Común Divisor y

Mínimo Común Múltiplo de Polinomios, Expresiones Racionales,

Ecuaciones, Matrices, Determinantes y Sistemas de Ecuaciones. Así

pues, se complementará la formación en el área, para lograr un

nivel adecuado que facilite el proceso de enseñanza-aprendizaje

de los estudiantes

Objetivos

Objetivo general Capacitar al estudiante en la aplicación de las herramientas

básicas del álgebra.

Objetivos específicos

Tema 1: Preliminares

Aplicar las propiedades de la potenciación, los productos y los cocientes notables en la solución de problemas.

Tema 2: Operaciones Notables

Resolver problemas relacionados con la división de polinomios. Emplear los teoremas del resto y del factor.

Tema 3: Teorema del Resto

Resolver problemas utilizando todos los productos de dos o tres factores.

Tema 4: Factorización

Utilizar los conceptos de divisor, múltiplos, máximo y mínimo común.




Tema 5: Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo de

Polinomios

Manejar expresiones racionales de todo tipo.

Tema 6: Expresiones Racionales

Resolver ecuaciones de primer grado.

Tema 7: Ecuaciones

Resolver ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

Tema 8: Matrices, Determinantes y Sistema de Ecuaciones

Discutir y resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando los principios básicos de matrices y determinantes y de hallar la inversa de una matriz.

Tema 9: Números Complejos

Reconocer y emplear los números complejos.

Estrategias Realizar estudios a distancia es una tarea que requiere esfuerzo, voluntad y dedicación, pero que a su vez depara grandes satisfacciones, tanto de índole personal como profesional. Esta modalidad le permitirá.

1.- Estudiar a su propio ritmo y administrar su propio tiempo, en la

comodidad de su domicilio. 2.- Disponer de Módulos Instruccionales Asistidos Por El

Computador, M.I.A.C., que facilitan el proceso de enseñanza y aprendizaje.

Los Módulos Instruccionales Asistidos Por El Computador, M.I.A.C. están estructurados de la siguiente manera dentro del PLAN DEL CURSO:

− Temas: comprendidas por sesiones de clases teóricas, las

cuales abarcan todos los contenidos del curso.

− Sesiones: conformadas por temas que deben leerse, para

ser analizados e interpretados y por actividades que deben

realizarse en un tiempo determinado.

− Objetivos específicos por cada tema: muestran de manera

clara los aprendizajes que lograrán durante la interacción

con cada sesión.

− Contenidos: a través de éstos se puede interactuar con los

diferentes temas que comprende cada sesión.




− Actividades: se plantea de forma sencilla los pasos que

deben seguirse para el logro de los objetivos de enseñanza y

aprendizaje de cada sesión. Como estudiante podrás

descargar y/o revisar los contenidos en formato PDF, repasar

los temas más importantes (críticos) a través de clases

interactivas, realizar ejercicios prácticos y, al finalizar, podrás

realizar una autoevaluación, la que te permitirá determinar el

nivel de aprendizaje obtenido en cada sesión.

− Recursos: contienen los enlaces a páginas recomendadas

por el autor, ejercicios propuestos y resueltos, bibliografía y

vocabulario empleado.

− Autoevaluaciones: contiene un enlace, al que se accede

después de finalizar las actividades de cada tema. Esta la

realizarás cuando te sientas preparado para presentar la

evaluación final.

− Respuestas a las autoevaluaciones: al final de cada tema se

encuentran las respuestas a las autoevaluaciones.

− Respuestas a los ejercicios propuestos: al final de cada tema

se encuentran las respuestas a los ejercicios propuestos.

Recomendaciones generales para cursar esta asignatura:

- Realizar todas las actividades propuestas en cada sesión

- Realizar dos sesiones semanales como mínimo durante el

transcurso de 10 semanas.

- Leer pausadamente cada sesión de clase.

- Realizar cuidadosamente los ejercicios resueltos y propuestos y

verificar las soluciones a los mismos, cuyas respuestas se encuentran

al final de cada tema.

- Es indispensable realizar las autoevaluaciones de cada sesión con

la finalidad de verificar individualmente el aprendizaje logrado en

cada sesión de clases.

- No ver los resultados de las autoevaluaciones que se encuentran

al final de la unidad, antes de realizar las mismas.

- Es importante consultar a través del correo electrónico

[email protected] cualquier duda de los temas expuestos.



1 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 1: Preliminares

Tema 1 / Sesión 1

Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras

Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia


.

Sesión 1


* Definir con sus propias palabras un concepto de álgebra.

* Diferenciar y clasificar los números como conjunto y realizar su representación gráfica.

* Identificar en las operaciones las propiedades: distributiva, asociativa, conmutativa y el elemento, identidad e inverso.

Actividades

* Leer el contenido de la sesión 1 sobre” Preliminares” * Realizar los ejercicios con respuesta. * Realizar los ejercicios prácticos de toda la unidad. * Realizar la autoevaluación.

Recursos

* Contenido de la sesión 1: “Preliminares” * Páginas Web recomendadas * La autoevaluación de la sesión 1

¿Qué es el álgebra?

Álgebra es el área de la matemática que estudia las cantidades en

una forma abstracta, a través de símbolos, relacionándolas por

medio de operaciones simbólicas que resumen operaciones

aritméticas.

¡El álgebra no es respecto a números!

¡El álgebra se trabaja en forma simbólica!

Su diferencia fundamental con la aritmética es la representación de

las cantidades. En la aritmética, las cantidades se representan por

números y en el álgebra, se representan mediante símbolos que

pueden ser números o letras.

Los números representan cantidades conocidas y determinadas,

mientras que las letras representan cantidades conocidas no

determinadas o desconocidas. Las cantidades conocidas se

conocen con el nombre de constantes y las desconocidas se

conocen como variables.

Ejemplo 1.1

a. Números: −3, 2, 0, 1/2, −2/3, . . .

b. Letras: a, b, c, x, y, z, A, B, . . .


Tema 1 / Sesión 1



Ejemplo 1.2

Determinar una fórmula algebraica que represente el área de un

rectángulo "A" de base determinada "5" y altura conocida "a":

Vemos que existe una cantidad numérica que es la base, una

cantidad constante no determinada que es la altura y una cantidad

variable desconocida que es el área, la cual cambiará para cada

valor que le asignemos a la altura. De esta manera podemos escribir

la fórmula algebraica:

Q = 5 . a

.

El concepto de número

Los hombres supieron contar mucho antes de que escribieran los

números. La aritmética desarrollaba sólo operaciones de contar.

De esta forma, la necesidad de representar esa forma empírica de

contar llevó a la escritura de lo que es un número.

Los números como conjunto

El conjunto de números más frecuentemente usado en álgebra es

conocido como Números Reales. Este conjunto es el resultado de la

integración gradual de otros conjuntos de números que indicaremos

a continuación:

1. Números naturales: son los que se utilizan para contar y también

se llaman Enteros Positivos. Se denotan con la letra "N". Ej: Si

contamos 10 personas en una fila, cada una es una y sólo una

persona, y nunca existe media persona ó ¼ de persona. Para

hacer este tipo de conteos, se utilizan los números naturales

comenzando siempre desde el número 1 hasta el infinito.

2. Números enteros: son los que agrupan a los naturales, sus

opuestos o negativos y el cero. Se denotan con la letra "Z". Ellos

forman un conjunto que contiene a los números naturales,

Ζ⊂Ν .

3. Números racionales: resultan de la división de dos números

enteros, se denotan con la letra "Q". Dicho cociente puede ser

exacto o fraccionario, por ejemplo:

{ }KK ,2,1,0,1,2 −−=Ζ

{ }KK,4,3,2,1=Ν


Tema 1 / Sesión 1



.

Cuando el resultado es exacto se tiene un número entero, de lo

contrario se tiene un número decimal periódico. De esta forma,

dicho conjunto contiene a los números enteros:

Q⊂Ζ⊂Ν

4. Números irracionales: son números no racionales, es decir, no

tienen una expresión decimal periódica, por ejemplo:

e,,2 π

Se denotan con la letra “I” y no tienen números comunes con los

racionales, es decir:

∅=∩ IQ

5. Números reales: son la integración de todos estos conjuntos de

números, y se denotan con la letra R. Ellos son la unión de los

racionales e irracionales:

IQR ∪=

Representación gráfica de los números

El conjunto más amplio es el de los números reales y pueden ser

representados como puntos sobre una recta "L", de modo que cada

punto "P" sobre la recta corresponde a un número real. De esta

forma, hay una asociación uno a uno entre los números reales y los

puntos sobre una recta.

Para iniciar la representación, se fija un punto arbitrario "O", llamado

origen, y se asocia con el número real 0. Luego se establece un

punto "U" a la derecha del origen, el cual se asocia con el número 1

y se denomina valor unitario. A partir de allí, los números enteros

serán un factor de ese valor unitario, estableciendo la orientación

positiva hacia la derecha y negativa a la izquierda (ver Fig. 1.1)

,236,3

13

== 31

62,

25

615,

21

42,3

515 −

=−

==−=−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ≠Ζ∈= 0byb,a:

baQ


Tema 1 / Sesión 1



.

Representación gráfica de los números

Operaciones y propiedades de los números reales

Este conjunto tiene definida dos operaciones básicas: adición,

denotada por "+", y multiplicación, denotada por " . ". Decimos que

los números reales son cerrados para ambas operaciones, es decir,

para todo par de números reales "a, b" existe un número real "a + b",

llamado la suma, y otro número real "a . b", llamado el producto. Las

principales propiedades de los números reales con relación a estas

operaciones se describen en las Tablas 1 y 2.

Ejemplo 1.3

¿Cuáles son los números, que al aplicar la propiedad del elemento

identidad tanto para la suma como para el producto, el resultado es

el mismo número?

Sabiendo que el elemento identidad para la suma es 0 y para el

producto es 1, podemos ver que los únicos números que cumplen

simultáneamente:

a + 0 = a y a . 1 = a

Son el número 0 y el número 1, ya que:

0 + 0 = 0 y 0 . 1 = 0

1 + 0 = 1 y 1 . 1 = 1

El elemento inverso de la suma, también es llamado opuesto aditivo,

y el inverso de la multiplicación es llamado reciproco multiplicativo,

ver Tabla 1 y 2 respectivamente.


Tema 1 / Sesión 1



SUMA

PROPIEDAD CASO EJEMPLO SIGNIFICADO

Conmutativa a + b = b + a 2 + 3 = 5 = 3 + 2 El orden de los sumandos no altera el resultado

Asociativa a + (b + c) =

(a + b) + c

3 + (1 + 4) = 3 + 5 = 8

(3 + 1) + 4 = 4 + 4 = 8

El orden como se agrupan las cantidades no altera la suma

Elemento

Identidad a + 0 = a 2 + 0 = 2

Al sumar 0 a un número nos da el mismo número

Elemento

Inverso a + ( −a) = 0 3 + (−3) = 0

Al sumar a un número su elemento opuesto se obtiene el elemento identidad.

.

Tabla 1. Operaciones y propiedades de los números reales

PRODUCTO

PROPIEDAD CASO GENERAL EJEMPLO SIGNIFICADO

Conmutativa a . b = b . a 2 . 3 = 6 = 3 . 2 El orden de los sumandos no altera el resultado

Asociativa a . (b . c) =

(a . b) . c 3 (2 . 4) = 3 . 8 = 24 (3 . 2) 4 = 6 . 4 = 24

El orden en que se multiplica por 2 o más factores no afecta el resultado de la operación

Elemento

Identidad a . 1 = a 2 . 1 = 2

El producto de un número por 1 da el mismo número.

Elemento

Inverso

Si a ≠ 0,

a . ⎟⎞

⎜⎛ 1

⎠⎝a = 1

3 . ⎟⎠

⎜⎝ 3

⎞⎛ 1 = 1

El producto de un número distinto de 0 por su reciproco da 1.

Tabla 2. Operaciones y propiedades de los números reales

Una propiedad adicional en donde se combinan ambas

operaciones es la Propiedad Distributiva de la multiplicación sobre la

adición, la cual señala que:


Tema 1 / Sesión 1



Sean a, b y c números reales, entonces:

a . (c + d) = a . c + a . d

(a + b) . c = a . c + b . c

.

Ejemplo 1.4

Desarrollar mediante la propiedad distributiva el producto de

( 2 + 3 ) ( −1 + 4).

Aquí tenemos que aplicar una doble propiedad distributiva, de esta

forma:

( 2 + 3 ) ( −1 + 4) = 2 .( −1 + 4) + 3 . ( −1 + 4)

= 2 .( −1) + 2 . 4 + 3 .( −1) + 3 . 4

= −2 + 8 −3 + 12 = 15

El cual es el mismo resultado si efectuamos las operaciones dentro

de los paréntesis primero y luego hacemos el producto de los

resultados, así:

( 2 + 3 ) ( −1 + 4) = 5 . 3 = 15

Expresiones algebraicas

Una expresión algebraica es la representación simbólica de una

colección de variables y números reales en forma individual o como

resultado de alguna operación fundamental (suma, resta, producto,

división, potencias o radicales).

Ejemplo 1.5

Las siguientes son expresiones algebraicas:

a

2x

3 − z

5 (a − b)

y3

y3x2

−−

Si sustituimos las variables por números reales en una expresión

algebraica, el resultado será un número real que se llamará el valor


Tema 1 / Sesión 1



de la expresión algebraica para esos números, es decir, que al

utilizar nuevos números reales podremos obtener un valor diferente

para la expresión correspondiente.

.

Ejemplo 1.6

Determinar el valor de la expresión algebraica.

y3x2

−−

cuando x = −1 y y = 1.

Claramente el valor de dicha expresión será:

( )( ) 1

33

1312

−=−

=−

−−

Similarmente, si sustituimos x por 2 e y por cualquier número distinto

de 0, entonces el valor de la expresión algebraica será 0.

Clasificación de las expresiones algebraicas

Las Expresiones Algebraicas se clasifican basándose en el número de

términos que esta tienen. De esta forma podemos hablar de:

Monomio: es la expresión algebraica que consta de un solo término,

aunque puede tener varias variables incluidas, como:

5

2ª

−3yx2

2ba2

Binomio: es la expresión algebraica que se forma de la suma de dos

monomios, como:

3x − 4

a + b

zy2x 2 −

b3c2

a3 3

+

Trinomio: es la expresión algebraica que se forma de la suma de tres

monomios, como:


Tema 1 / Sesión 1



a + b + c

2x2 − 3x + 7

zxyzy2x3 2

−+−

Polinomio: es la expresión algebraica que resulta de la suma de

cualquier número de monomios, de esta forma tanto un Binomio

como un Trinomio son Polinomios, como:

ax − by2 + 3xy − 5ay

5x3x2x3 24 −−+

.

Cuando el polinomio tiene una sola variable lo podemos definir de la

siguiente forma.

Polinomio: una expresión algebraica únicamente en la variable x, se

llama un polinomio cuando es la suma de expresiones monómicas

de la forma:

011n

1nn

n axaxaxa ++++ −− KK

En donde n es un número entero no negativo y los términos son

números reales llamados coeficientes. El coeficiente de la potencia

más alta de la variable es el coeficiente principal del polinomio.

ka

Ahora podemos decir que un polinomio tiene un grado, el cual es la

mayor potencia de sus variables. Este puede ser absoluto si tenemos

una sola variable o relativo a una cierta variable, si hay diversas

variables en la expresión.

Ejemplo 1.7

Determinar el grado de los siguientes polinomios:

a. 5 grado 0 (absoluto)

b. 2 − 5x grado 1 (absoluto)

c. grado 4 (absoluto) 5x3x2x3 24 −−+

d. ax − by2 + 3xy − 5ay grado 2 (relativo a y)

e. grado 3 (relativo a x) y 5

(relativo a y)

54223 y3xyyx5yx2 +−+

Los polinomios de grado cero “0” se conocen como polinomios

constantes. Si todos los coeficientes de un polinomio son cero,

entonces obtenemos el polinomio cero; el cual no tiene un grado

determinado. Diremos que dos polinomios son iguales si y sólo si son

del mismo grado y tienen los mismos coeficientes para cada una de

las potencia.


Tema 1 / Sesión 1



Operaciones con las expresiones algebraicas

Al realizar operaciones con expresiones algebraicas estaremos

aplicando, con factores abstractos, las mismas operaciones

fundamentales usadas en Aritmética (Suma, Resta, Multiplicación,

División y Potenciación).

1. Suma y Resta

La Suma en general se entiende por aumentar un valor, pero en

álgebra, como tratamos con expresiones simbólicas, puede significar

un aumento o una disminución. Así, cuando sumamos a y b resulta

a + b, pero el valor numérico de esta expresión algebraica

dependerá de cual de las dos variables es mayor, de esta forma el

resultado puede ser positivo o negativo, en todo caso mayor o

menor que a.

Ejemplo 1.8

Sumar a y b, en donde el valor de a = 4 y b = 3.

Conociendo los valores tendremos: a + b = 4 + 3 = 7.

Si ahora a = 3 y b = −4 entonces a + b = 3 + (−4) = 3 − 4 = −1.

.

Por lo anterior, podemos decir que la Resta es equivalente a la

Suma, ya que al efectuar la operación a - b en realidad estamos

realizando la operación a + ( -b). Estas operaciones se apoyan en

dos reglas básicas que son la Supresión de Signos de Agrupación y la

Reducción de Términos Semejantes.

Supresión de signos de agrupación: es una regla que permite

eliminar los signos de agrupación, dando como resultando una

expresión algebraica que puede tener términos semejantes.

Recordemos que los signos de agrupación son los paréntesis ( ),

corchetes [ ] y las llaves { }. Tenemos dos casos a considerar:

a. Signo de agrupación precedido del signo "+". Se elimina el signo

de agrupación y los términos mantienen el signo que ellos tenían.

b. Signo de agrupación precedido del signo "-". Se elimina el signo

de agrupación y los términos cambian el signo que ellos tenían.

Ejemplo 1.9

Suprimir los signos de agrupación de la expresión:

4x + (−x − 2) − [6x − 3] − {3 + (1 − x)}

Como existe un signo de agrupación dentro de otro signo de


Tema 1 / Sesión 1



agrupación, primero suprimimos el signo de agrupación más interno,

así:

4x + (−x − 2) − [6x − 3] − {3 + 1 −x}

= 4x + (−x − 2) − [6x − 3] − {4 − x}

.

Luego aplicamos la regla que corresponda a cada signo de

agrupación y tendremos:

4x − x − 2 − 6x + 3 − 4 + x

Después de agrupar términos semejantes, el resultado será:

− 2x − 3

Reducción de términos semejantes: es una regla que permite

agrupar en un solo término dos o más términos semejantes. Para ello

tenemos tres casos a considerar:

a. Términos del mismo signo. Se suman los coeficientes y se coloca el

signo que tienen todos.

b. Dos términos de signo contrario. Se restan los coeficientes y se

coloca el signo del mayor.

c. Varios términos de signo contrario. Se aplica la primera regla tanto

a los positivos como a los negativos y al resultado se le aplica la

regla anterior.

Ejemplo 1.10

Agrupar la expresión 4x − 7x + 11x + x − 5x − 2x.

Agrupamos los positivos: 4x + 11x + x = 16x

Agrupamos los negativos: −7x − 5x − 2x = −14x

Luego agrupando los dos resultados: 16x − 14x = 2x

Por lo tanto el resultado de agrupar la expresión es 2x

Regla general para sumar o restar: para Sumar o Restar dos o más

expresiones algebraicas se escribe una a continuación de la otra

con sus propios signos y se aplican las reglas anteriores, si es

necesario.


Tema 1 / Sesión 1



Ejemplo 1.11

Sumar 3a − 2b + c y 8a − 5b + 2c − 3 y restarle −3a + 2b − 3c y 4b − c

+ 3

.

Primero colocamos las expresiones algebraicas una a continuación

de la otra manteniendo la operación que se quiere realizar entre

ellas, así:

(3a − 2b + c) + (8a − 5b + 2c − 3) − (−3a + 2b − 3c) − (4b − c + 3)

Luego suprimimos los signos de agrupación:

3a − 2b + c + 8a − 5b + 2c − 3 + 3a − 2b + 3c − 4b + c − 3

Ahora agrupamos los términos semejantes:

3a + 8a + 3a = 14a

−2b − 5b − 2b − 4b = −13b

c + 2c + 3c + c = 7c

−3 − 3 = −6

Y tendremos como resultado final:

14a − 13b + 7c − 6

Ejemplo 1.12

De la suma de 22 y52x

21

− con xy43y

31x 22 −+ , restar la suma de

22 x41y

54xy

45

−− con xy32y2 − :

Primero sumamos los dos primeros términos:

xy43y

31xy

52x

21 2222 −++− = xy

43y

151x

23 22 −−

Luego sumamos los otros dos términos:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−− xy

32yx

41y

54xy

45 222

xy32yx

41y

54xy

45 222 −+−− xy

127y

51x

41 22 ++−


Tema 1 / Sesión 1



Ahora restamos el primer resultado del segundo:

.

⎟⎞

⎜⎛

−− xy3y1x3 22 ⎠⎝ 4152

− ⎟⎞

⎜⎛

++− xy7y1x1 22 = ⎠⎝ 1254

xy4

y15

x2

313 22 −− xy12

y5

x4

= 711 22 −−+

xy3

y15

x4

−− 447 22

2. Multiplicación

ación es

plicada en forma abstracta a las expresiones algebraicas.

jemplo 1.13

forma al agrupar las variables y multiplicar los

oeficientes, así:

.

Es la operación que asocia a dos números dado un tercero, llamado

producto. Esto representa en cada uno de ellos un aumento, tantas

veces indique el valor absoluto del tercer número. La oper

a

E

Dadas las expresiones 2a y 3b, el producto es simplemente la

expresión que se

c

2a 3b = 6ab

Esta operación, al igual que la operación de división, se apoya en

las siguientes leyes: la Ley de los Signos, la Ley de los Exponentes y la

ey de los Coeficientes. L

Ley de los signos: es una regla aplicada a la multiplicación de dos

actores, en donde:

. Si los términos tienen signos diferentes el producto es negativo (-).

n número impar de

érminos negativos el producto es negativo (−).

jemplo 1.14

ultiplicar la expresión −x por z por −w por k por −b por −c:

s un

úmero par de términos negativos, entonces el resultado será:

f

a. Si los términos tienen signos iguales el producto es positivo (+).

b

En caso de más de dos términos la ley se generaliza al número par o

impar de términos negativos. Así, para un número par de términos

negativos el producto es positivo (+) y para u

t

E

M

En este caso al multiplicar (−x) (z) (−w) (k) (−b) (−c) tendremo

n

x . z . w . k . b . c


Tema 1 / Sesión 1



Ley de los exponentes: es una regla aplicada, también, a la

ultiplicación de dos factores, que dice:

ase y se suman algebraicamente los

xponentes.

vo y el otro es

egativo, se realiza la suma algebraica respectiva.

.

m

Al multiplicar expresiones de la misma base se escribe

la misma b

e

Es importante aclarar que la expresión "se suman algebraicamente"

significa que, si uno de los exponentes es positi

n

Ley de los coeficientes: es una regla aplicada a los coeficientes

onstantes de los factores en una multiplicación, que dice:

ación de los

oeficientes de cada una de las expresiones.

. Multiplicar las expresiones: 3x3 por 4x2 por −2x-4

coeficientes y luego sumamos algebraicamente los

expo ntes, así:

c

Al multiplicar expresiones que contengan coeficientes

constantes, el resultado final será la multiplic

c

Ejemplo 1.15 a

Vemos que son expresiones con la misma base, por lo tanto primero

multiplicamos los

ne

3x3 . 4x2 . (−2x−4) = −24x3+2−4 = −24x

b. Multiplicar las expresiones: 2xy2 por −xz−3 por 3x2y−1z

Aquí, agrupamos las expresiones de la misma base y sumamos

algebraicamente sus exponentes:

2xy2 . (−xz−3) . 3x2y−1z = −6x4yz−2

Ahora podemos establecer la multiplicación entre expresiones

algebraicas. Por ejemplo, un monomio por un monomio, un

monomio por un binomio, un trinomio por un polinomio. Todas ellas

se globalizan en la regla general para multiplicar un polinomio por

un polinomio ya que, tanto el monomio, binomio y trinomio son

ejemplos de polinomios.

Regla para Multiplicar dos Polinomios: se multiplican todos los

términos de uno de los polinomios por cada uno de los términos del

otro polinomio, teniendo en cuenta las leyes mencionadas

anteriormente, y aplicando la regla de Reducción de Términos

Semejantes, en caso de ser necesario.


Tema 1 / Sesión 1



Ejemplo 1.16

Multi car los polinomios 3x − 4y por 2x + y − 3z.

Pode os escribir esta operación como:

(3x − 4y) (2x + y − 3z) = 3x (2x + y − 3z) − 4y (2x + y − 3z)

.

pli

m

Utilizando la propiedad distributiva hemos multiplicado cada uno de

los términos del primer polinomio (3x − 4y) por el segundo polinomio

(2x + y − 3z), y aplicando las reglas y leyes del producto entre

3x(2x) + y(3z) =

6x2 + 3xy − 9xz − 8xy − 4y2 + 12yz

polinomios:

3x(y) − 3x(3z) − 4y(2x) − 4y(y) + 4

Y ahora agrupando los términos semejantes tendremos el resultado

final:

6x2 − 5xy − 9xz − 4y2 + 12yz

rimero realizamos por separado cada una de las multiplicaciones:

2 (x + 1) =

Ejemplo 1.17

Realizar las operaciones indicadas (x − 2)(x + 1) + 2(x − 1)(x + y).

P

(x − 2)(x + 1) = x (x + 1) −

x2 + x − 2x − 2 = x2 − x − 2

2(x − 1)(x + y) = 2{x (x + y) − (x + y)} =

2{x2 + xy − x − y} = 2x2 + 2xy − 2x − 2y

Ahora agrupamos los términos semejantes

x2 − x − 2 + 2x2 + 2xy − 2x − 2y = 3x2 − 3x + 2xy − 2y − 2

. División

os la división del

esión que representa la división (a/b) la podemos definir

como:

3

Es la operación que asocia a dos números dados, dividendo y

divisor, un tercero llamado cociente, el cual es el resultado de la

división de dichos números. Así, dados a y b definim

número a entre el número b, como el número a/b.

La división es la operación asociada a la multiplicación y de alguna

manera, podemos decir que es una multiplicación implícita, ya que

la expr


Tema 1 / Sesión 1



1bab1a

ba −== (1)

De esta forma, la división a/b es la multiplicación de a por 1/b o si se

quiere a por b−1. De acuerdo a esta afirmación, las leyes utilizadas

para la multiplicación también son válidas para la división.

Ejemplo 1.18

1. Dividir 2x4y2 entre (−4x2y):

Claramente debemos aplicar la Ley de los signos, la Ley de los

Exponentes y la Ley de los Coeficientes, por lo cual:

2yxyxyx

42

yx4yx2 2

12242

24−=−=

−−−

.

2. Dividir −12x2yz3 entre 3x4z2 :

Aquí aplicamos nuevamente las leyes y tenemos:

222432

24

32

xyz4yzx4zxyzx

312

zx3yzx12

−=−=−=− −−−

En forma equivalente a la multiplicación, podemos establecer la

división entre polinomios en cualquiera de sus casos (monomio,

binomio, trinomio o polinomio).

Regla para dividir dos polinomios: primero se ordenan el dividendo y

el divisor con relación a una variable y se comienza con la mayor

potencia de dicha variable. Luego se divide el primer término del

dividendo entre el primer término del divisor y se obtiene el primer

término del cociente.

Este primer término del cociente se multiplica por cada uno de los

términos del divisor y el producto se resta del dividendo, para lo cual

se le cambia el signo al producto realizado, escribiendo cada

término debajo de su semejante. En caso de no existir dicho término

semejante, se le creará un lugar o espacio de acuerdo con el orden

establecido previamente. La expresión resultante de la resta término

a término se conoce con el nombre de resto.

Luego se divide el primer término del resto entre el primer término del

divisor y se repite el proceso hasta que el resto tenga un grado

inferior al grado del divisor.

Ejemplo 1.19

Dividir el polinomio x3 − 2x + 3 entre el polinomio x − 1:


Tema 1 / Sesión 1



En este caso los polinomios ya están ordenados, luego para realizar

la operación utilizaremos el siguiente formato:

.

x3 − 2x + 3 x − 1

− x3 + x2 x2 + x − 1

x2 − 2x + 3

− x2 + x

− x + 3

x − 1

2

Claramente al realizar el primer proceso de división se obtiene un

término (x2) que no tiene semejante en el dividendo, por lo cual se le

crea el lugar correspondiente, y el proceso continua. Al finalizar el

proceso, el término restante 2 es de grado cero, es decir, menor que

el grado del divisor (grado 1), por lo cual el proceso termina.

Así se obtiene el cociente x2 + x − 1 y el resto es 2.

De esta forma:

(x2 + x − 1)(x − 1) + 2 = (x3 − 2x + 1) + 2 = x3 − 2x + 3

Luego, podemos establecer el algoritmo general de la división

como:

Dividendo = (Divisor) (Cociente) + Resto (2)

En el ejemplo anterior, se dividió el polinomio (x3 − 2x + 3) entre el

binomio (x − 1) y el resultado del resto fue diferente de 0.

Definición 1

Dado un polinomio cualquiera y un binomio de la forma x - a, donde

a es un número real. Diremos que el valor que anula el binomio x = a,

es una raíz o un cero del polinomio si el resto de la división del

polinomio entre x - a es cero (0).

Definición 2

Dado un polinomio cualquiera y un binomio de la forma x - a, donde

a es un número real. Diremos que el polinomio es divisible entre el

binomio si x = a es una raíz o un cero del polinomio ó lo que es igual

si el resto de la división del polinomio entre x - a es cero (0).

Nota: podemos decir también, que un polinomio es divisible entre

cualquier otro polinomio de grado menor si el resto de la división es

0.


Tema 1 / Sesión 1



Ejemplo 1.21

.

Dividir el polinomio 2x3 + x2 − 3x − 2 entre el polinomio x + 1:

Utilizando el formato del ejemplo anterior tenemos:

2x3 + x2 − 3x − 2 x + 1

−2x3 − 2x2 2x2 − x − 2

− x2 − 3x − 2

x2 + x

− 2x − 2

2x + 2

0

Ejemplo 1.22

Dividir el polinomio x4 − 2x − 3x2 + 1 entre el polinomio: x2 + x − 1.

Primero ordenamos el dividendo x4 − 3x2 − 2x + 1 y luego realizamos

el proceso:

x4 − 3x2 − 2x + 1 x2 + x − 1

− x4 − x3 + x2 x2 − x − 1

− x3 − 2x2 − 2x + 1

x3 + x2 − x

− x2 − 3x + 1

x2 + x − 1

− 2x

Para comprobar el resultado aplicamos el algoritmo de la formula

Dividendo = (Divisor) (Cociente) + Resto

( x2 + x − 1 ) ( x2 − x − 1 ) + (− 2x) = x4 − 3x2 + 1 + (− 2x)

= x4 − 3x2 + 1 − 2x

= x4 − 3x2 − 2x + 1

4. Potenciación

Es la operación mediante la cual el exponente de cada término es

multiplicado por el exponente de la potenciación. Por ejemplo, (x2)3

es igual a x2.3. Esta operación es equivalente a la multiplicación de

cada uno de los términos la cantidad de veces que lo indique el

exponente de la potenciación. Por ejemplo, (x2)3 es igual a x2x2x2.


Tema 1 / Sesión 1



Adicionalmente, para poder realizar completamente la operación,

se necesita la Ley de los Signos de la Potencia.

Ley de los signos de la potencia: Esta ley es fundamentalmente para

los términos negativos, ya que para los positivos la potencia

mantiene el mismo signo porque equivale a un producto de términos

positivos. Para los términos negativos se tiene:

.

a. La potencia par produce un término positivo, y

b. La potencia impar produce un término negativo.

Ejemplo 1.23

1. Desarrollar (3xy2z3)3

Como el coeficiente es positivo entonces el resultado de la

potenciación será positivo. Luego cada uno de los exponentes de

los términos será multiplicado por el exponente de la potenciación

1bab1a

ba −== .

Así, tendremos:

(3xy2z3)3 = (3)3 (x)3 (y2)3 (z3)3 = 27 x3 y6 z9

2. Desarrollar 4

3

2

y4zx3⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

Como el coeficiente es negativo y la potencia es par entonces el

resultado será positivo. Así:

4

3

2

y4zx3⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− = ( )

( )( ) ( ) ( )43442

4

4yzx

43 − = 1248 yzx

25681 −

¿Qué se puede decir si la potencia es negativa?. Claramente si

tomamos en cuenta la definición de la división, en donde se señala

que 1bb1 −= , podemos decir que el proceso no cambia.

Mostraremos esto en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1.24

Desarrollar (2y2)-2

Dado que la potencia es negativa, aplicamos primero lo antes

mencionado, así:


Tema 1 / Sesión 1



( ) ( )( ) 422

12222

y41

y2

1y2y2 ==⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

−−

Si ahora aplicamos el proceso a la inversa tendremos que

( ) 44

22 y41

y41y2 −−

==

De esta manera, podemos decir que el procedimiento, para

potencias negativas, es el mismo, se multiplica el exponente de

cada uno de los términos por el exponente de la potencia.

Ejemplo 1.25

Desarrollar 3

2

3

y2xz3

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

Aplicando lo mencionado anteriormente tendremos:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) 63

933

323

33333

2

3

y2zx3

y2

zx3y2xz3

−−

−−−

−−

−−−−−

=−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

Y si ahora queremos aplicar de forma inversa la definición

1bab1a

ba −== para cada uno de los términos, tendremos que:

( )( )

( )( ) 93

6

933

63

63

933

zx27y8

zx3y2

y2zx3

−=−

=−

−−

−−−

.


Tema 1 / Sesión 1




.

Sesión 1: Ejercicios Resueltos

Ejercicios

1. Dígase qué clase de términos son los siguientes atendiendo al signo, a si tienen o no denominador y a si tienen o no radical:

Solución

2a5 positivo, entero y racional

b3a4− negativo, entero y racional

3a2 positivo, entero y racional {se considera entero porque no

hay letras en el denominador}

6

2b5− negativo, entero y racional {se considera entero porque no

hay letras en el denominador} a positivo, entero e irracional {se considera entero porque no

hay letras en el denominador} 3 2b5− negativo, entero e irracional {entero porque no hay letras

en el denominador}

6a positivo, entero e irracional {se considera entero porque no

hay letras en el denominador}

a6ba4 32

− negativo, fraccionario e irracional.

2. Dígase el grado absoluto de los términos siguientes:

Solución

a5 primer grado b2a6− tercer grado {suma de los exponentes: 2+1=3}

2b2a cuarto grado {suma de los exponentes: 2+2=4}

c4b3a5− octavo grado {suma de los exponentes: 3+4+1=8} 6y5x8 undécimo grado {suma de los exponentes: 5+6=11} 3n2m8 quinto grado {suma de los exponentes: 2+3=5} 3xyz

3. Dígase el grado de los términos siguientes respecto de cada uno de sus factores literales:

− séptimo grado {suma de los exponentes: 1+1+5=7}

Solución

23ba− tercer grado respecto a y según grado respecto a b a

34yx5− cuarto grado a x y tercer grado respecto a y 32bxa6 segundo grado respecto a , primer grado respecto a b y a

tercer grado respecto a x 2abcx4− primer grado respecto a , b y c y de segundo grado a

respecto a x 5432 cbnm10 segundo grado respecto a m, tercer grado respecto a

n, cuarto respecto a b quinto grado respecto a c


Tema 1 / Sesión 1



4. De los términos siguientes escoger cuatro que sean homogéneos y tres heterogéneos.

Solución

Cuatro términos homogéneos son -4a3b2, -x5, 6x4y, 4abcx2 : tienen igual grado absoluto Tres heterogéneos -4a3b2, 6ab3 y -2ac {tienen diferentes grado absoluto} 5. Escribir tres términos enteros; dos fraccionarios; dos positivos,

enteros y racionales; tres negativos, fraccionarios e irracionales.

Solución Enteros: 5abcd2efg, -x2, 389yz

Fraccionarios: 2xf,

ba

−

Positivos, enteros y racionales: 8xyz3, 99bc

Negativos, fraccionarios e irracionales: x

8,ab,

axb 5

−−

−

6. Escribir un término de cada uno de los grados absolutos

siguientes: tercer grado, quinto grado, undécimo grado, décimo quinto grado, vigésimo grado.

Solución

Tercer grado: 19abc Quinto grado: x5 Undécimo grado: 5a2x7yz Decimoquinto grado: abcdex2y2z6

Vigésimo grado: -7c8x12

7. Escribir un término de dos factores literales que sea de cuarto grado con relación a la x; otro de cuatro factores literales que sea de séptimo grado con relación a la y; otro de cinco factores literales que sea de décimo grado con relación a la b.

Solución

De cuarto grado con relación a la x: 45366b10x4

De séptimo grado con relación a la y: -3a5v56y7z5

De décimo grado con relación a la b: 55533366677a58b10x34yz10 8. Dígase el grado absoluto de los siguientes polinomios: a. x3+x2+x: tercer grado absoluto b. 5a-3a2+4a4-6: cuarto grado absoluto c. a3b-a2b2+ab3-b4 : cuarto grado absoluto d. x5-6x4y3-4ab2+x2y4-3y6: séptimo grado absoluto

9. Dígase el grado de los siguientes polinomios con relación a cada

una de sus letras. a. a3+a2-ab3: tercer grado con respecto tanto a a b b. x4+4x3-6x2y4-4xy5: cuarto grado con relación a la x y quinto con

relación a la y c. 6a4 b7-4a2 x+ab9 -5a3 b8 x6 b4 : cuarto grado con relación a la a,

noveno grado con relación a la b y sexto grado con relación a la x

d. m4-n2-mn6+mx4y3-x8+y15-m11: octavo grado con relación a x, décimo quinto grado con relación a y, undécimo grado con relación a m y sexto grado con relación a n

.


Tema 1 / Sesión 1




.

Sesión 1: Ejercicios Propuestos

1. Hallar el valor numérico de cada uno de los siguientes monomios

en donde a = −2, b = −1, c = 3:

a. 3a2bc

b. c

ab2 2

c. 32ca

b3

d. cb2

a52

2. Agrupar términos semejantes en cada una de las siguientes

expresiones:

a. 8x − 5y + 4z + x + 2z − 11y − 5x

b. 4x + 2xy − y + 3xy − 5x − 2y

c. xy65y2xx

32xy

32y

43yxy

41y

31x

21 2222 −+−+++−+−

3. Eliminar los signos de agrupación y luego agrupar términos

semejantes:

a. 4x − (3x − y) − [x + (3x − 2y) − 3] + (3y −x − 1)

b. 2x2 − 3x + 2y − [1 − (x2 − 3x) + (y − 2x2 + 5x)] + (y + x +2)

c. 4xy2 − 3xy + {2x2y − [xy2 − 2xy + 4x2y] − xy + xy2 −3yx2}

4. Dados los polinomios

1xx)x(R;xx4)x(Q;6xx5x4)x(P 23234 +−−=−+=−+−=

Hallar:

a. P(x) + Q(x) − R(x)

b. P(x) − Q(x)R(x)

c. Q(x) − xR(x)

d. P(x)/Q(x)

5. Realizar las operaciones indicadas:

a. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +− x52y

43y

21xx

53

b. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−−−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++41x

23x

431x

21x

31 223


Tema 1 / Sesión 1



⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−31x

21x

32x

41 32

c. ( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−++ y21xy

21xzyx 2

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −++⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −− xy21z1zyx

312 22

6. Dados los siguientes polinomios:

3x2x2)x(P 2 +−=

=)x(Q 1x2 −

3xx)x(R 23 +−=

2x)x(S 2 +=

Hallar:

a. P(x) ÷ Q(x)

b. R(x)Q(x) ÷ S(x)

c. {P(x)S(x) − R(x)} ÷ Q(x)

d. P(x)Q(x)R(x) ÷ S(x)

e. {(Q(x) − R(x))2 + P(x)S(x)} ÷ R(x)

.


Tema 1 / Sesión 1




.

Sesión 1

Autoevaluación 1

Pregunta Nº 1 Dividir el polinomio: 4x3-3x2+3 entre el polinomio: x2-x+1 : a. Cociente = 4x + 1 Resto = 3x - 2 b. Cociente = 4x + 1 Resto = - 3x +2 c. Cociente = - 4x - 1 Resto = - 3x + 2 d. Cociente = 4x - 1 Resto = 3x - 2 Pregunta Nº 2 Dar un ejemplo de un entero que no sea un número natural.

a. 4 b. 3 c. – 3 d. 3.44

Pregunta Nº 3

Sumar los siguientes monomios y agruparlos x3, -x2, x, -1, x4, x3, x2, -x, 1

a. 4x + 2x3 b. 3x + x2 c. x4 + 3x2 d. x4 + 2x3

Pregunta Nº 4

Multiplicar y Simplificar )43)(23( +−

a. 5− 3

b. 532 −

c. 32

d. 532 + Pregunta Nº 5 A cuál de los conjuntos pertenece el siguiente número: 3.14

a. R , Q b. R , Q , I c. I , R d. Z , R , Q Una vez contestadas las preguntas, puede ver respuestas al final de la Unidad. Si sus respuestas han sido correctas, continúe con la sesión siguiente, de lo contrario se le recomienda repasar la sesión antes de continuar.


Tema 1 / Sesión 1



Unidad 1: Preliminares

.

Sesión 1

Respuestas de la autoevaluación 1

Pregunta Nº 1 Dividir el polinomio: 4x3-3x2+3 entre el polinomio: x2-x+1 : a. Cociente = 4x + 1 Resto = 3x - 2 b. Cociente = - 4x - 1 Resto = - 3x + 2 c. Cociente = 4x + 1 Resto = - 3x +2 Correcto d. Cociente = 4x - 1 Resto = 3x - 2 Pregunta Nº 2 Dar un ejemplo de un entero que no sea un número natural.

a. 4 b. 3 c. – 3 Correcto d. 3.44

Pregunta Nº 3

Sumar los siguientes monomios y agruparlos x3, -x2, x, -1, x4, x3, x2, -x, 1

a. 4x + 2x3 b. x4 + 3x2 Correcto c. 3x + x2 d. x4 + 2x3

Pregunta Nº 4

Multiplicar y Simplificar )43)(23( +−

a. 5− 3

b. 32

c. 532 +

d. Correcto 532 − Pregunta Nº 5 A cuál de los conjuntos pertenece el siguiente número: 3.14

a. R , Q , I b. I , R c. Z , R , Q d. R , Q Correcto

26 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones Notables

Tema 2 / Sesión 2




.

Sesión 2


* Aplicar las propiedades de la potenciación y los productos en la solución de problemas.

Actividades

* Leer el contenido de la sesión 2 sobre “ Productos Notables”

* Visitar las páginas recomendadas * Realizar los ejercicios * Realizar la autoevaluación propuesta al final de la

sesión

Recursos

* Contenido de la sesión 2: “ Productos Notables ” * Páginas Web recomendadas * Ejercicios con respuestas * La autoevaluación de la sesión 2

Operaciones notables

Se entiende por Operaciones Notables al procedimiento en el cual

se aplica una regla fija o predeterminada, donde no se necesita

realizar la operación indicada sino simplemente aplicar la regla. Las

operaciones para las cuales se establecen estas reglas fijas son la

multiplicación o producto, la división o cociente y la potenciación.

Productos notables

Se llaman Productos Notables a ciertas multiplicaciones que

cumplen con una regla fija y cuyo resultado puede ser presentado

directamente, es decir, sin realizar la operación.

1. Cuadrado de un monomio

Regla

Se eleva el coeficiente al cuadrado y luego se

multiplica el exponente de cada una de las variables

por dos (2).

Ejemplo 2.1

Desarrollar el cuadrado de 3xy3.


Tema 2 / Sesión 2



Para ello aplicamos la regla y obtenemos:

(3xy3)2 = 9x2 y6

.

2. Cuadrado de un binomio

Cuando elevamos al cuadrado un binomio se tienen que considerar

dos casos, como son el cuadrado de la suma (x + y) y el cuadrado

de la diferencia (x − y). En ambos casos, elevar al cuadrado es

simplemente multiplicar la expresión por sí misma, por ejemplo:

(x + y)2 = (x + y) (x + y) (1)

2.1. Cuadrado de la suma

Cuando multiplicamos la suma de las variables (x + y) por sí misma

tendremos

(x + y)2 = (x + y) (x + y) = x2 + 2xy + y2

Regla

El cuadrado de la suma de dos variables es igual al

cuadrado de la primera variable más el doble del

producto de la primera por la segunda variable más el

cuadrado de la segunda variable.

Ejemplo 2.2

Desarrollar el cuadrado de 3x + 2y.

Para ello aplicamos la regla y tendremos:

(3x + 2y) = (3x)2 + 2(3x)(2y) + (2y)2 = 9x2 + 12xy + 4y2


Tema 2 / Sesión 2



Representación gráfica del cuadrado de la suma

.

El cuadrado de la suma puede representarse geométricamente

cuando las variables representan valores positivos. Construimos un

cuadrado de lados iguales a la suma (x + y) (ver gráfica 2.1).

Grafica 2.1 Representación gráfica del cuadrado de la suma

2.2. Cuadrado de la diferencia

En este caso es la multiplicación de la resta de las variables (x − y)

por sí misma:

(x − y)2 = (x − y) (x − y) = x2 − 2xy + y2 (2)

Regla

El cuadrado de la diferencia de dos variables es igual al

cuadrado de la primera variable menos el doble del

producto de la primera por la segunda variable más el

cuadrado de la segunda variable.

Ejemplo 2.3

Desarrollar el cuadrado de x − 3.

Al aplicar la regla tenemos:

(x − 3)2 = (x)2 − 2(x)(3) + (3)2 = x2 − 6x + 9

x y

x

y

x + y

x +

x2 xy

xy y2


Tema 2 / Sesión 2



Representación gráfica del cuadrado de la diferencia

Al igual que en la suma, el cuadrado de la diferencia (x − y) puede

representarse geométricamente cuando las variables representan

valores positivos. Construimos un cuadrado de lados iguales a la

primera variable x, cuadrado azul, y anexamos un cuadrado de

lados iguales a la segunda variable y, cuadrado rojo, representado

por D (ver gráfica 2.2).

.

Gráfica 2.2 Representación gráfica del cuadrado de la diferencia

La suma del área del cuadrado azul y el cuadrado rojo D será:

cuadrado azul + cuadrado D = x2 + y2 (3)

Ahora bien, el cuadrado azul lo dividimos en regiones más

pequeñas, un cuadrado A y los rectángulos B y C. Podemos ver que

el área del rectángulo negro C es equivalente a la suma del área

del rectángulo B y el cuadrado rojo D, y ambas áreas son iguales a

xy.

Por lo tanto, el área representada (3) puede dividirse en:

cuadrado A + rectángulo C + (rectángulo B + cuadrado D) =

(x − y)2 + xy + xy = (x − y)2 + 2xy (4)

De esta manera al igualar (4) y (3) tendremos:

(x − y)2 + 2xy = x2 + y2

Por lo tanto,

(x − y)2 = x2 − 2xy + y2

x

y x − y

y D

A

C

x

B


Tema 2 / Sesión 2



3. Producto de la suma por la diferencia

El producto de la suma por la diferencia es la multiplicación de la

suma de las variables x + y por la resta de ellas mismas x – y.

.

(x + y) (x − y) = x2 − y2 (5)

Regla

El producto de la suma de dos variables por la

diferencia de las mismas es igual al cuadrado de la

primera variable menos el cuadrado de la segunda

variable.

Ejemplo 2.4

1. Desarrolar (2x + 3)(2x − 3):

Aplicamos la regla y tendremos:

(2x + 3)(2x − 3) = (2x)2 − (3)2 = 4x2 − 9

2. Desarrollar (x − y − 1)(x + y + 1):

Aquí se nos presentan tres términos, pero los podemos agrupar como

un binomio, por ejemplo, x y y + 1. De esta forma podemos aplicar la

regla anterior y la fórmula (5):

(x − y − 1)(x + y + 1) = {x − (y + 1)}{x + (y + 1)} = (x)2 − (y + 1)2

= x2 − (y2 + 2y + 1) = x2 − y2 − 2y − 1

Representación gráfica del producto de la suma por la diferencia

Como en los casos anteriores, esta representación es posible

cuando las variables simbolizan valores positivos. Construimos un

cuadrado de lados iguales a la primera variable x, cuadrado azul, el

cual incluye un cuadrado rojo de lados iguales a la segunda

variable y ver gráfica 2.3 (a).

Ahora el rectángulo negro A tiene como lado mayor la variable x y

como lado menor la diferencia (x − y) y el rectángulo restante B

tiene por lados la diferencia (x − y) y a la variable y.

De esta forma, si desplazamos el rectángulo B y lo colocamos a

continuación del rectángulo A, como muestra la gráfica 2.3 (b),

tendremos un rectángulo de lado mayor (x + y) y de lado menor

(x − y).


Tema 2 / Sesión 2



Así, el área del cuadrado azul menos el cuadrado rojo será:

.

Cuadro azul − cuadro rojo = x2 − y2 (6)

Y esto será equivalente a la suma de los dos rectángulos A y B

Rectángulo A + Rectángulo B =

x (x − y) + y (x − y) = (x − y)(x + y) (7)

Por lo tanto, al igualar (7) y (6) se tiene:

(x − y)(x + y) = x2 − y2 (8)

x

׀y

y B

x y A B

y x

Gráfica 2.3 (a) Representación gráfica del producto de la suma por

la diferencia


Tema 2 / Sesión 2



.

Gráfica 2.3 (b) Representación gráfica del producto de la suma por

la diferencia

4. Cubo de un binomio

Tenemos dos casos (x + y)3 y (x − y)3, los cuales se resolverán al

multiplicar la suma o resta de las variables tres veces seguidas.

(x + y)3 = (x + y) (x + y) (x + y) = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 (9)

(x − y)3 = (x − y) (x − y) (x − y) = x3 − 3x2y + 3xy2 − y3 (10)

De esta forma podemos establecer las reglas:

Regla para la suma

y B El cubo de la suma de dos variables es igual al cubo

de la primera variable más el triple del cuadrado de

la primera por la segunda variable más el triple de la

primera por el cuadrado la segunda variable más el

cubo de la segunda variable.

x A B y ׀

Regla para la resta y x

El cubo de la resta de dos variables es igual al cubo

de la primera variable menos el triple del cuadrado

de la primera por la segunda variable más el triple de

la primera por el cuadrado la segunda variable

menos el cubo de la segunda variable.

Ejemplo 2.5

1. Desarrollar (x + 2)3:

Aplicando la regla de la suma tendremos:

(x + 2)3 = (x)3 + 3(x)2 (2) + 3(x)(2) 2 + (2) 3 = x3 + 6x2 + 12x + 8


Tema 2 / Sesión 2



2. Desarrollar (x2 − 2y)3:

Aplicando la regla de la resta tendremos:

(x2 − 2y)3 = (x2)3 − 3(x2)2 (2y) + 3(x2)(2y)2 − (2y)3 =

x6 − 6x4y + 12 x2y2 − 8y3

.

5. Producto de dos binomios de la forma (x + a)(x + b)

El desarrollo de este producto se realizará teniendo en cuenta la

propiedad distributiva (sección 1), en donde a y b representan

valores constantes:

(x + a)(x + b) = x (x + b) + a (x + b) =

x2 + bx + ax + ab = x2 + (b + a)x + ab

Regla

1. El primer término es el cuadrado de la variable.

2. El segundo término es el producto de la suma de las

constantes por la variable.

3. El tercer término es el producto de las constantes.

Ejemplo 2.6

1. Multiplicar (x + 2) por (x + 5):

Al aplicar la regla tenemos:

(x + 2) (x + 5) = x2 + (2 + 5)x + (2)(5) = x2 + 7x + 10

2. Multiplicar (x2 + 3) por (x2 − 1):

Aquí, podemos ver que la regla se puede extender, al caso donde

la variable representa cualquier expresión (monomio, binomio, etc.)

y las constantes pueden ser positivas o negativas. El proceder es

equivalente:

(x2 + 3) (x2 − 1) = (x2)2 + (3 + (−1))x2 + (3)(−1) = x4 + 2x2 − 3

Notemos que en este último caso la suma de las constantes es una

suma algebraica, en consecuencia, el resultado puede ser tanto

positivo como negativo y el producto siempre será negativo.

Podemos establecer una generalización de este producto al caso

en que tengamos las expresiones (mx + a) por (nx + b), así:


Tema 2 / Sesión 2



(mx + a)(nx + b) = mx (nx + b) + a (nx + b) =

(mn) x2 + bmx + anx + ab =

(mn) x2 + (bm + an) x + ab

Ejemplo 2.7

Multiplicar (5x + 2) por (−2x + 3):

Aplicamos la generalización de la regla:

(5x + 2)(−2x + 3) = (5)(−2) x2 + ((5)(3) + (2)(−2)) x + (2)(3) =

−10 x2 + 11x + 6

.


Tema 2 / Sesión 2





Ejercicios: Cuadrado de un binomio

Procedimiento 1. "El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado

de la primera cantidad, más el doble producto de la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad"

2. "El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el doble producto de la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad"

Nota: recuérdese que en el producto de dos o más potencias con igual base, se escribe la base común y se suman los exponentes.

Desarrollar:

1. 245 )b7a( + Solución

244525245 )b7()b7)(a(2)a()b7a( ++=+ ,

84510245 b49ba14a)b7a( ++=+⇒

2. 234 )xy5x3( − Solución

233424234 )xy5()xy5)(x3(2)x3()xy5x3( +−=− ,

3x223142x4234 yx25yx30x9)xy5x3( +−=−⇒ +

62358234 yx25yx30x9)xy5x3( +−=−∴

Ejercicios: Cuadrado de la suma de dos cantidades

Procedimiento

1. Se identifica tanto el primero como el segundo término del binomio

2. "El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual a, el cuadrado de la primera cantidad, más el doble producto de la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad"

3. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2

Escribir por simple inspección, el resultado de:

1. (m+3)2 Solución 222 32(m)(3)m3)(m ++=+

9+6m+m=3)+(m 22∴

2. (5+x) 2 Solución

.


Tema 2 / Sesión 2



222 x2(5)(x)5 x)(5 ++=+

22 x10x25 x)(5 ++=+∴

3. (6a+b)2 Solución

, 222 b2(6a)(b)(6a)b)(6a ++=+

b12ab62ab)(6a 222 ++=+⇒

222 b12ab36ab)(6a ++=+∴

4. 2)m49( + Solución

222 )m4()m4)(9(29)m49( ++=+

222 )m4()m4)(9(29)m49( ++=+∴

5. 2)11x7( +

Solución

222 11)11)(x7(2)x7()11x7( ++=+ 121x154x49)11x7( 22 ++=+∴

6. 2)yx( +

Solución

222 y)y)(x(2x)yx( ++=+ ;

222 yxy2x)yx( ++=+∴

7. 22)x31( +

Solución

222222 )x3()x3)(1(21)x31( ++=+ ,

2x22222 xx3x61)x31( ++=+⇒ ; 4222 x9x61)x31( ++=+∴

8. 2)y3x2( +

Solución

222 )y3()y3)(x2(2)x2()y3x2( ++=+ ;

222 y9xy12x4)y3x2( ++=+∴

9. 222 )byxa( +

Solución

22222222 )by()by)(xa(2)xa()byxa( ++=+ , 2x222222x2222 ybbxya2xa)byxa( ++=+⇒ ;

422224222 ybbxya2xa)byxa( ++=+∴

10. 243 )b8a3( +

Solución

244323243 )b8()b8)(a3(2)a3()b8a3( ++=+ ,

.


Tema 2 / Sesión 2



4x2433x2222 b64ba48a9)byxa( ++=+⇒ ; 8436222 b64ba48a9)byxa( ++=+∴

Ejercicios: Cuadrado de la diferencia de dos cantidades

Procedimiento 1. Se identifica tanto el primero como el segundo término del

binomio 2. "El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual a, el

cuadrado de la primera cantidad, menos el doble producto de la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad"

3. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2


1. 2)3a( −

Solución

222 3)3)(a(2a)3a( +−=− ;

9a6a)3a( 22 +−=−∴

2. 2)7x( − Solución

222 7)7)(x(2x)7x( +−=− ;

49x14x)7x( 22 +−=−∴

3. 2)a9( − Solución

222 a)a)(9(29)a9( +−=− ;

22 aa1881)a9( +−=−∴

4. 2)b3a2( − Solución

222 )b3()b3)(a2(2)a2()b3a2( +−=− ;

222 b9ab12a4)b3a2( +−=−∴

5. 2)1ax4( − Solución

222 1)1)(ax4(2)ax4()1ax4( +−=− ;

1ax8xa16)1ax4( 222 +−=−∴

6. 233 )ba( − Solución

3x2333x2233323233 bba2a)b()b)(a(2)a()ba( +−=+−=− ;

6336233 bba2a)ba( +−=−∴

7. 224 )b5a3( −

.


Tema 2 / Sesión 2



Solución

2x22244x22222424224 b5ba30a3)b5()b5)(a3(2)a3()b5a3( +−=+−=− ; 4248224 b25ba30a9)b5a3( +−=−∴

Ejercicios: Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades

Procedimiento 1. "El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es

igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo"

2. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2.


1. )yx)(yx( −+ Solución

22 yx)yx)(yx( −=−+

2. )nm)(nm( +−

Solución

22 nm)nm)(nm()nm)(nm( −=−+=+−

3. )ax)(xa( +−

Solución

)xa)(xa()ax)(xa( +−=+− {Cambiando el orden de los sumandos en el segundo paréntesis}

)xa)(xa()ax)(xa( −+=+−⇒ {Cambiando el orden de los factores}

22 xa)ax)(xa( −=+−∴

4. )ax)(ax( 2222 −+ Solución

2x22x222222222 ax)a()x()ax)(ax( −=−=−+ ;

442222 ax)ax)(ax( −=−+∴

5. )a21)(1a2( +− Solución

)1a2)(1a2()a21)(1a2( +−=+− {Cambiando el orden de los

sumandos en el segundo paréntesis} )1a2)(1a2()a21)(1a2( −+=+−⇒ {Cambiando el orden de los

factores} 1a41)a2()a21)(1a2( 222 −=−=+−∴

6. )1n)(1n( +−

Solución

1n)1n)(1n)(1n()1n)(1n( 2 −=+−+=+−

7. )1ax3)(ax31( +−

.


Tema 2 / Sesión 2



Solución:

)ax31)(ax31()1ax3)(ax31( +−=+− {Cambiando el orden de los sumandos en el segundo paréntesis}

)ax31)(ax31()1ax3)(ax31( −+=+−⇒ {Cambiando el orden de los factores}

22 22 xa91)ax3(1)1ax3)(ax31( −=−=+−∴

Ejercicios: Cubo del binomio

Procedimiento

1. Se desarrolla el paréntesis, observando si se trata del cubo, de la suma o la diferencia de dos cantidades; en el primer caso se procede como indica el paso 2, en el segundo caso se aplica el enunciado del paso 3:

2. "El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad más el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda"

3. "El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad menos el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la segunda"

4. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2.

32233 bab3ba3a)ba( ±+±=±

Escribir por simple inspección, el resultado de: 1. 3)2a( +

Solución

8)4(a3)2(a3a2)2(a3)2(a3a)2a( 2332233 +++=+++=+ ;

8a12a6a)2a( 233 +++=+∴ 2. 3)1x( −

Solución

32233 1)1(x3)1(x3x)1x( −+−=− ;

1x3x3x)1x( 233 −+−=−∴

3. 3)3m( + Solución

27)9(m3)3(m3m3)3(m3)3(m3m)3m( 2332233 +++=+++=+ ;

27m27m9m)3m( 233 +++=+∴

4. 3)4n( − Solución

64)16(n3)4(n3n4)4(n3)4(n3n)4n( 2332233 −+−=−+−=− ;

64n48n12n)4n( 233 −+−=−∴

5. 3)1x2( + Solución

1)x2(3)x4(3x81)1)(x2(3)1()x2(3)x2()1x2( 2332233 +++=+++=+ ;

.


Tema 2 / Sesión 2



16128)12( 233 +++=+∴ xxxx

6. 3)y31( − Solución

3232233 y27)y9)(1(3)y3)(1(31)y3()y3)(1(3)y3)(1(31)y31( −+−=−+−=− ;

323 y27y27y91)y31( −+−=−∴

.

7. 32 )y2( + Solución

642322222332 y)y)(2(3)y)(4(38)y()y)(2(3)y)(2(32)y2( +++=+++=+ ;

64232 yy6y128)y2( +++=+∴

Ejercicios: Producto de dos binomios de la forma(x+a)(x+b)

Procedimiento

1. El desarrollo de los paréntesis da un trinomio 2. El primer término será el cuadrado del primer término de los

paréntesis (igual en ambos) 3. El segundo término será el producto de la suma de los términos

independientes por el primer término común de los paréntesis El tercer término será el producto de los términos independie4. ntes

abx)ba(x)bx)(ax( 2 +++=++


1. )2a)(1a( ++ Solución

21a)21(a)2a)(1a( 2 ×+++=++ ;

2a3a)2a)(1a( 2 ++=++∴

2. )4x)(2x( ++ Solución

42x)42(x)4x)(2x( 2 ×+++=++ ;

8x6x)4x)(2x( 2 ++=++∴

3. )2x)(5x( −+ Solución

)2(5x)25(x)2x)(5x( 2 −×+−+=−+ ;

10x3x)2x)(5x( 2 −+=−+∴

4. )5m)(6m( −− Solución

−

)5()6(m)56(m)5m)(6m( 2 −×−+−−+=−− ; 30m11m)5m)(6m( 2 +−=−−∴

5. )3x)(7x( +


Tema 2 / Sesión 2



Solución

2

)1x)( −+

olución

2

)1x)(3x −−

olución:

2

)3(7x)37(x)3x)(7x( −×+−+=−+ ;

21x4x)3x)(7x( 2 −+=−+∴

2x6. ( S

)1(2x)12(x)1x)(2x( −×+−+=−+ ;

2xx)1x)(2x( 2 −+=−+∴

7. (

S

)1()3(x)13(x)1x)(3x( −×−+−−+=−− ;

3x4x)1x)(3x( 2 +−=−−∴

.


Tema 2 / Sesión 2




.


1. Desarrollar cada uno de los siguientes productos notables:

a. ( )23x2 +

b. ( )22 a2x +

c. 2

31

2x

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

d. 2

( )2

22

axy

xa3

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

e.

f. ( )x43 −

ax3a2 −

g. 2

43

2x

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

h. 2

( )( )5x25x2 −+

2

x4

a2x

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

i.

j. ( )( )y

k

x2y3y3yx2 +− 22

. ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +a3xa3x

l. ( )( )5x3x32 ++

m. ( )( )1x3x 22 −−

n. ( )( )2x3yyx3 −+

o. ( )31x3 +

p. ( )32xx2 +

q. 3

2 2x

x1

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

r. 32

ax

3a2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−

s. ( )3x23 +−

t. 3

1

2

a2

3a

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

u. 3

2

ax2ax3 ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

v. ( )3212 xb3ba2 −−

x2x2


Tema 2 / Sesión 2



Tema 2: Operaciones notables

.

Sesión 2

Autoevaluación 2

Pregunta Nº 1 Determinar = (x + 5) 2

a. 2x2 + 25 b. x2 + 10x + 25 c. x2 + 5x + 25 d. x2 +25x +10 Pregunta Nº 2 Determinar = (x2 – 5y3)2

a. x4 + 10 x4y3 – 10y6 b. 2x4 – 10 y6 c. x4 – 10 x2y3 + 25y6 d. x4 – 10x4y6 +25y9 Pregunta Nº 3 Determinar = (4x6 – 5y) 3

a. 3y15x12 −18

b. 318 y125x64 −

c. 3261218 y125yx300yx240x64 −+−

d. 36418 y25yx10x +−

Pregunta Nº 4 Determinar = (10x+12y3) (10x-12y3) a. 6332 y144xy120xy120x100 −−+

b. 62 y144x100 −

c. 6332 y144xy120xy120x100 −+−

d. 62 y144x100 + Pregunta Nº 5 Determinar = )4y)(9y( −+

a. y5y2 2 +− 36b. 36y5y2 2 −−

c. 5y36y2 +−

d. 36y5y2 −+

Una vez contestadas las preguntas, puede ver respuestas al final de la Unidad. Si sus respuestas han sido correctas, continúe con la sesión siguiente, de lo contrario se le recomienda repasar la sesión antes de continuar.


Tema 2 / Sesión 2




.

Sesión 2

Respuestas de la Autoevaluación 2

Pregunta Nº 1 Determinar = (x + 5) 2

a. 2x2 + 25 b. x2 + 5x + 25 c. x2 +25x +10 d. x2 + 10x + 25 Correcto Pregunta Nº 2 Determinar = (x2 – 5y3)2

a. x4 + 10 x4y3 – 10y6 b. 2x4 – 10 y6 c. x4 – 10x4y6 +25y9 d. x4 – 10 x2y3 + 25y6 Correcto Pregunta Nº 3 Determinar = (4x6 – 5y) 3

a. 3y15x12 −18

b. 318 y125x64 −

c. Correcto 3261218 y125yx300yx240x64 −+−

d. 36418 y25yx10x +−

Pregunta Nº 4 Determinar = (10x+12y3) (10x-12y3) a. 6332 y144xy120xy120x100 −−+

b. 62 y144x100 +

c. 6332 y144xy120xy120x100 −+−

d. Correcto 62 y144x100 − Pregunta Nº 5 Determinar = )4y)(9y( −+

a. y5y2 2 +− 36b. 36y5y2 2 −−

c. 5y36y2 +−

d. Correcto 36y5y2 −+




Tema 2 / Sesión 3


Sesión 3


* Aplicar las propiedades de los cocientes notables en la solución de problemas

Actividades

* Leer el contenido de la sesión 3 sobre “Cocientes notables”

* Visitar las páginas recomendadas * Realizar los ejercicios * Realizar la autoevaluación propuesta al final de la

sesión

Recursos

* Contenido de la sesión 3: “Cocientes notables” * Páginas Web recomendadas * Ejercicios resueltos * La autoevaluación de la sesión 3

Cocientes notables

Se llaman Cocientes Notables a ciertas divisiones que cumplen con

una regla fija y cuyo resultado puede ser presentado directamente,

es decir, sin realizar la operación.

1. Cociente de la diferencia del cuadrado de dos variables entre un

binomio formado con dichas variables

Consideremos las variables x e y para construir el binomio. Debemos

estudiar dos casos: el binomio de la suma y el de la diferencia.

1.1. El binomio de la suma

El denominador en este caso será la expresión (x + y). Entonces sea

el cociente yxyx 22

+− , al realizar la operación de división según la

regla de la (sesión 1), tendremos:

x2 − y2 x + y

− x2 − xy x − y

− xy − y2

xy + y2

0




Tema 2 / Sesión 3

Así,

yxyxyx

−=+− 22

(11)

Regla

La diferencia de los cuadrados de dos variables

dividida por la suma de dichas variables es igual a la

diferencia de las variables.

Ejemplo 2.8

Hallar de forma directa el cociente de:

1. 2x4x2

+− 2.

y3x2y9x4 22

+− 3.

1x1x

2

4

+−

En el primer ejemplo al aplicar la regla tendremos:

2x2x4x2

−=+−

En el segundo tenemos una extensión de la regla al estar incluidos

coeficientes para cada una de las variables:

y3x2y3x2y9x4 22

−=+−

En el tercero tenemos una generalización de la regla al tener una

potencia cuarta en el numerador. Sin embargo, podemos aplicar la

regla porque la potencia del numerador es el doble de la del

denominador, luego:

1x1x1x 2

2

4−=

+−

1.2. El binomio de la diferencia

El denominador en este caso será la expresión x − y. Entonces sea el

cociente yxyx 22

−− , al realizar la operación de división según la regla

para dividir dos polinomios (ver sesión 1), tendremos:




Tema 2 / Sesión 3

x2 − y2 x − y

− x2 + xy x + y xy − y2 − xy + y2

0

Así,

yxyxyx 22

+=−− (12)

Regla

La diferencia de los cuadrados de dos variables

dividida por la diferencia de dichas variables es igual a

la suma de las variables.

Ejemplo 2.9

Hallar de forma directa el cociente de:

1. x2

x4 2

−− 2.

xyyx 22

−− 3. ( )

1yx1yx 22

−−+−

En el primer ejemplo es la aplicación directa de la regla:

x2x2

x4 2+=

−−

En el segundo, se presenta la dificultad que el orden de las variables

en el numerador no es la misma que el denominador, entonces,

antes de aplicar la regla debemos reordenar el numerador o el

denominador, por ejemplo:

( ) ( )yxyxyx

yxyx

xyyx 222222

+−=−−

−=−−−

=−−

En el tercero, debemos reagrupar los términos del denominador

para poder aplicar la regla, así:

( ) ( )( )1yx

1yx1yx1yx 2222

+−+−

=−−+−

Luego aplicamos la regla:

( ) ( )( ) 1yx)1y(x

1yx1yx

1yx1yx 2222

++=++=+−+−

=−−+−




Tema 2 / Sesión 3

Observación

La propiedad o regla que se establece para la

diferencia de cuadrados no es válida para la suma de

cuadrados.

De esta forma los cocientes yxyx 22

−+ y

yxyx 22

++ son irreducibles.

2. Cociente de la suma o diferencia del cubo de dos variables entre

un binomio formado con dichas variables

Utilizaremos las mismas variables que en el caso anterior para

construir los binomios y estudiaremos los dos casos siguientes:

2.1. Suma del cubo de dos variables

En este caso, el binomio del denominador solo puede ser la

expresión (x + y). Luego, al realizar la operación de división, según la

regla de la (sesión 1), para el cociente, yxyx 33

++ tendremos:

x3 + y3 x + y

− x3 − x2y x2 − xy + y2

− x2y + y3

+ x2y + xy2

+ xy2 + y3

− xy2 − y3

0

Así,

2233

yxyxyxyx

+−=++ (13)

Regla

La suma de los cubos de dos variables dividida por la

suma de dichas variables es igual al cuadrado de la

primera variable menos el producto de las variables

más el cuadrado de la segunda variable.

Ejemplo 2.10

Dividir en forma directa x3 + 27y3 entre x + 3y.




Tema 2 / Sesión 3

Al aplicar la regla tendremos:

222233

yxy3x)y()y3(x)x(y3xy27x

+−=+−=++

Observación

La suma del cubo de dos variables no puede ser

dividida entre la diferencia de las variables.

De esta forma el cociente yxyx 33

−+ es irreducible.

2.2. Diferencia del cubo de dos variables

En este caso, el binomio del denominador solo puede ser la

expresión x − y. Luego, al realizar la operación de división, según la

regla de la (sesión 1), para el cociente yxyx 33

−− tendremos:

x3 − y3 x − y

− x3 + x2y x2 + xy + y2

+ x2y − y3

− x2y + xy2

+ xy2 − y3

− xy2 + y3

0

Así,

2233

yxyxyxyx

++=−− (14)

Regla

La diferencia de los cubos de dos variables dividida por

la diferencia de dichas variables es igual al cuadrado

de la primera variable más el producto de las variables

más el cuadrado de la segunda variable.

Ejemplo 2.11

1. Dividir en forma directa 8x3 − y3 entre 2x − y.




Tema 2 / Sesión 3

Al aplicar la regla tendremos:

222233

yxy2x4)y()y)(x2()x2(yx2yx8

++=++=−−

2. Hallar, por simple inspección, el cociente de 8x3 − 125y6 entre

2x − 5y2:

Aplicamos la regla:

=−

−2

63

y5x2y125x8 42

22222 y25xy10x4)y5()y5)(x2()x2( ++=++

Observación

La diferencia del cubo de dos variables no puede ser

dividida entre la suma de las variables.

De esta forma el cociente yxyx 33

+− es irreducible.

3. Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos

variables entre un binomio formado con dichas variables

Los casos estudiados del cuadrado o el cubo de la suma o

diferencia de dos variables pueden ser generalizados al caso de

potencias iguales. Para ello, tendremos que considerar las potencias

pares o impares e implementar una generalización de los dos casos

anteriores.

Luego, al hacer la división correspondiente, podríamos ver que:

1. Resta de potencias pares:

322344

yxyyxxyxyx

+++=−−

322344

yxyyxxyxyx

−+−=+−

2. Suma de potencias pares:

yxyx 44

−+ no es una división exacta. (y)

yxyx 44

++ no es una división exacta.

3. Restas de potencias impares:

43223455

yxyyxyxxyxyx

++++=−−

yxyx 55

+− no es una división exacta.

4. Suma de potencias impares




Tema 2 / Sesión 3

yxyx 55

+− no es una división exacta.

43223455

yxyyxyxxyxyx

+−+−=++

Regla

1. La diferencia de potencias pares de dos variables es

siempre divisible por la suma o la diferencia de dichas

variables.

2. La diferencia de potencias impares de dos variables es

sólo divisible por la diferencia de dichas variables.

3. La suma de potencias pares de dos variables no es

divisible por la suma ni por la diferencia de dichas variables.

4. La suma de potencias impares de dos variables es solo

divisible por la suma de dichas variables.

Los diferentes casos que presenta la regla pueden

generalizarse, de manera de establecer una expresión

integral para la división, la cual será comprobada cuando

veamos el Teorema del Resto.

De esta forma:

1n2n3n223n2n1nnn

yxyyxyxyxxyxyx −−−−−− ++++++=

−−

L (15)

Aquí podemos ver que el cociente de la división es un polinomio con

las siguientes características:

1. Todos los términos del polinomio son positivos y su coeficiente es

la unidad.

2. Todos los términos, a excepción del primero y el último, son una

combinación del producto de las variables.

3. El primer término está formado por la primera variable con

potencia un grado menor que la potencia original.

4. El último término está formado por la segunda variable con

potencia un grado menor que la potencia original.

5. La potencia de la primera variable, en los demás términos, ira

decreciendo desde un grado menor a la potencia del primer

término hasta alcanzar la unidad.

6. La potencia de la segunda variable, en los demás términos, ira

creciendo desde la unidad hasta alcanzar un grado menor a la

potencia del último término.

7. La suma de las potencias de las variables, en los términos del

producto, será igual a un grado menor a la potencia original.




Tema 2 / Sesión 3

Ejemplo 2.12

Hallar en forma directa el cociente de x7 + y7 entre x + y.

De acuerdo a la regla 4, podemos decir que la división es exacta.

Así, de acuerdo a la generalización, tendremos que el resultado del

cociente es:

1. El primero y último término estarán elevados a la potencia 6.

2. El producto de las variables se inicia con la potencia 5 para la

primera variable y la potencia unidad para la segunda.

3. Como vemos en el cuarto caso, los signos de los términos serán

alternos, y sus coeficientes unitarios.

Por lo cual:

654233245677

yxyyxyxyxyxxyxyx

+−+−+−=++

Esto nos permite establecer reglas.




Tema 2 / Sesión 3



1. Determinar el cociente sin realizar la división, es decir, utilizando

las reglas:

a. 2x4x 2

+−

b. x2a3

a9x42

42

+

−

c. 23

46

y6x9y36x81

−

−

d. ( )2xy2xy 22

−−+−

e. 2xx8 3

++

f. 3xy27yx 33

−+

g. 2

63

x4ax64a

−

−

h. 5ax

ax12515

315

−

−−

−

i. a2xa16x 44

+−

j. 1x

x12

6

+

−

k. 23

812

axax

+

−

l. 1x1x9

++




Tema 2 / Sesión 3


Sesión 3

Autoevaluación 3

Pregunta Nº 2

Determine el resultado de 42

842

cab1cba1

−

−

a. 42cab1+b. 422 cba1−c. 2x1− d. 2x1+ Pregunta Nº 3

Determine el resultado del 2x8x3

−−

a. 4x2x2 +− b. 4x4x2 ++ c. 4x2x2 ++ d. 4x2x2 −+

Pregunta Nº 4

Indique el resultado de 1x1x

2

6

+

−

a. 1xx 24 ++ b. 2xx 24 +− c. 1xx 24 +− d. 1xx 24 −− Pregunta Nº 5

Calcule el resultado de yxyx 33

++

a. 22 yxyx ++

b. 22 yxyx +−

c. 22 yxyx −−

d. 222 yxyx +− Una vez contestadas las preguntas, puede ver respuestas al final de la Unidad. Si sus respuestas han sido correctas, continúe con la sesión siguiente, de lo contrario se le recomienda repasar la sesión antes de continuar.




Tema 2 / Sesión 3


Sesión 3

Autoevaluación 3

Pregunta Nº 1

Determine el resultado de 42

842

cab1cba1

−

−

a. 422 cba1−b. Correcto 42cab1+c. 2x1− d. 2x1+ Pregunta Nº 2

Determine el resultado del 2x8x3

−−

a. 4x2x2 +− b. 4x4x2 ++ c. 4x2x2 −+ d. 4x2x2 ++ Correcto

Pregunta Nº 3

Indique el resultado de 1x1x

2

6

+

−

a. 1xx 24 +− b. 1xx 24 −− Correcto c. 2xx 24 +− d. 1xx 24 ++ Pregunta Nº 4

Calcule el resultado de yxyx 33

++

a. 22 yxyx ++

b. Correcto 222 yxyx +−

c. 22 yxyx −−

d. 22 yxyx +−

57 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones notables

Tema 2 / Sesión 4




.

Sesión 4


* Aplicar las propiedades de los cocientes notables en la solución de problemas

Actividades

* Leer el contenido de la sesión 4 sobre “Potencias notables”

* Visitar las paginas recomendadas * Realizar ejercicios resueltos * Realizar la autoevaluación propuesta al final de la

sesión

Recursos

* Contenido de la sesión 4: “Potencias notables” * Paginas Web recomendadas * La autoevaluación de la sesión 4

Potencias notables

Se llama Potencia Notable a la operación de elevar una expresión a

una potencia determinada mediante una regla fija y cuyo resultado

puede ser presentado directamente, es decir, sin realizar la

operación. Estas operaciones están regidas por la Ley de los Signos

de la Potencia (ver sesión 1).

En la potenciación, hay dos casos que ya fueron estudiados en los

Productos Notables. Éstos son, el cuadrado y el cubo (ver sesión 2)

de un binomio, respectivamente.

1. Potencia de un monomio

Para la potenciación de un monomio estableceremos una regla

equivalente al proceso de potenciación anterior (ver sesión 1).

Regla

Se eleva el coeficiente a la potencia indicada y luego

se multiplica el exponente de cada una de las

variables por el exponente que indica la potencia.


Tema 2 / Sesión 4



Ejemplo 2.13

Desarrollar (2x3y) a la quinta (5) potencia.

Aplicamos la regla

(2x3y)5 = (2)5 (x3)5 (y)5 = 32 x15 y5

.

2. Cuadrado de un polinomio

En este caso consideraremos los polinomios que tienen tres o más

términos, por ejemplo (x + y + z). La forma más simple de estudiar este

modelo es convertir el polinomio en un binomio, por ejemplo

(x + y + z) = (x + y) + z. Luego, aplicamos simplemente la regla para el

cuadrado de un binomio (ver sesión 2).

Los resultados (16) y (17) de los ejemplos anteriores, nos permiten

establecer la regla siguiente:

Regla

El cuadrado de un polinomio, es igual a la suma del

cuadrado de cada uno de los términos del polinomio,

más la suma algebraica del doble de los productos

binarios de todos los términos del polinomio.

Por productos binarios, se entiende los productos por

parejas de todos los términos del polinomio. Además,

decimos que es la suma, porque el término resultante del

producto binario, debe tomar en cuenta el signo que

resulte de la multiplicación, de acuerdo con la Ley de los

Signos (ver sesión 1) (Como está reflejado en el ejemplo

anterior).

Ejemplo 2.14

1. Desarrollar (x + y + z) al cuadrado.

Podemos escribir (x + y + z)2 = [(x + y) + z]2 y luego aplicamos la regla

del cuadrado de la suma de un binomio, (ver sesión 2) y tendremos:

(x + y + z)2 = [(x + y) + z]2 = (x + y)2 + 2(x + y)z + (z)2

= (x)2 + 2xy + (y)2 + 2xz + 2yz + (z)2

= x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz (16)

2. Desarrollar (x + y − z − 1) al cuadrado.

Si usamos el procedimiento anterior, y teniendo en cuenta que los

términos precedidos por el signo menos se pueden agrupar,


Tema 2 / Sesión 4



podemos escribir:

.

(x + y − z − 1)2 = [(x + y) − z − 1]2 = [(x + y) − (z + 1)]2

Y aplicamos la regla del cuadrado de la diferencia de un binomio

(ver sesión 2), así:

(x + y − z − 1)2 = [(x + y) − z − 1]2 = [(x + y) − (z + 1)]2 (17)

= (x + y)2 − 2(x + y)(z + 1) + (z + 1)2

= x2 + 2xy + y2 − 2xz − 2x − 2yz − 2y + z2 + 2z + 1

= x2 + y2 + z2 + 1 + 2xy − 2xz − 2yz − 2x − 2y + 2z

3. Cubo de un polinomio

Es un caso similar al anterior, en donde haremos un procedimiento

parecido y aplicaremos la regla del cubo de un binomio (ver sesión

2).

Ejemplo 2.15

Desarrollar (x − y + z) al cubo.

Primero separamos en forma conveniente el polinomio, por ejemplo:

(x − y + z)3 = [(x − y) + z]3

Y ahora aplicamos la regla de la suma y resta para el cubo de un

binomio

(x − y + z)3 = [(x − y) + z]3 = (x − y)3 + 3(x − y)2z + 3(x − y)z2 + z3

= x3 − 3x2y + 3xy2 − y3 + 3(x2 − 2xy + y2)z + 3xz2 − 3yz2 + z3

= x3 − 3x2y + 3xy2 − y3 + 3x2z − 6xyz + 3y2z + 3xz2 − 3yz2 + z3

= x3 − y3 + z3 − 3x2y + 3x2z + 3xy2 + 3y2z + 3xz2 − 3yz2 − 6xyz

(18)

El resultado (18) del ejemplo anterior nos permite establecer la regla

siguiente:

Regla

El cubo de un polinomio es igual a la suma del cubo de

cada uno de sus términos, más la suma del triple del

cuadrado de cada término por cada uno de los demás,

más la suma de seis veces las ternas (producto de tres

términos) que puedan formarse con todos los términos

del polinomio.


Tema 2 / Sesión 4



Ejemplo 2.16

.

Desarrollar (x − y2 + 2z − 3) al cubo.

Ahora aplicando directamente la regla tendremos:

(x−y2 + 2z −3)3 =(x)3 + (−y2)3 + (2z)3 + (−3)3 + 3x2(−y2) + 3x2(2z)+3x2(−3)

+ 3(−y2)2(x) + 3(−y2)2(2z) + 3(−y2)2(−3)

+ 3(2z)2(x) + 3(2z)2(−y2) + 3(2z)2(−3)

+ 3(−3)2(x) + 3(−3)2(−y2) + 3(−3)2(2z)

+ 6(x)(−y2)(2z)+6(x)(−y2)(−3) + 6(x)(2z)(−3) + 6(−y2)(2z)(−3)

= x3 − y6 + 8z3 − 27 − 3x2y2 + 6x2z − 9x2 + 3y4x + 6y4z) − 9y4

+ 12z2x − 12z2y2 − 36z2 + 27x − 27y2 + 54z

− 12xy2z + 18xy2 − 36xz + 36y2z

4. Potencia n-ésima de un binomio.

La potencia n-ésima que consideraremos será un número natural

(entero positivo); además estudiaremos dos casos: binomio de la

suma (x + y) y de la resta (x - y).

Consideremos el binomio (x + y): Utilizando la regla (1) para el

cuadrado de un binomio (ver sesión 2) y la regla (7) del cubo de un

binomio (ver sesión 2), tendremos:

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2

(x + y)3 = x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3

Similarmente, podemos desarrollar la potencia cuarta y quinta del

binomio:

(x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4

(x + y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 +10x2y3 + 4xy4 + y5

Si seguimos desarrollando las potencias, nos daremos cuenta de que

existe una relación entre los coeficientes de la potencia siguiente

con la potencia anterior.

De este modo, se establece un procedimiento que se conoce como

el Triángulo de Pascal, para determinar dichos coeficientes.

Este procedimiento, inicialmente llamado triángulo aritmético, fue

planteado por Pascal para resolver una discusión con Fermat sobre

un juego de azar [1].


Tema 2 / Sesión 4



4.1. Triángulo de pascal

Lo describiremos como una matriz cuadrada, en donde las filas

serán las potencias de una de las variables (x) y las columnas las

potencias de la otra variable (y), (ver Figura 2.4), y las diagonales

(ver línea azul), representan los coeficientes de los términos del

desarrollo de cualquier potencia de un binomio.

.

0y y 2y 3y 4y 5y 6y

0x 1 1 1 1 1 1 1

1x 1 2 3 4 5 6

2x 1 3 6

10 15

3x 1 4 10 20

4x 1 5 15

5x 1 6

6x 1

Figura 2.4 Triángulo de pascal

¿Cómo formar este triángulo o matriz?

En la primera fila y columna se coloca 1. Luego, en cada una de las

otras posiciones, se coloca el resultado de la suma de los números

que están a la izquierda y arriba de la posición deseada. Por

ejemplo, en la matriz descrita en la Figura 2.4, el elemento (10),

resaltado con un círculo azul de la posición x2:y3 (fila 3 y columna 4),

se forma de la suma del elemento en la posición x2:y2 (6), más el

elemento en la posición x1:y3 (4), es decir, 4 + 6 = 10.

¿Cómo se interpreta el triángulo o matriz?

Los elementos de la matriz representan los coeficientes de los

términos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio. Su

descripción estará dada por los elementos de la diagonal (como se

muestra en la línea punteada de la Figura 2.4.

Por ejemplo, si desarrollamos (x + y)3 la fórmula (9), (ver sesión 2),

tendremos:

(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

Al relacionar los coeficientes con los elementos de la diagonal

vemos que:


Tema 2 / Sesión 4



Posición x3:y0 x2:y x:y2 x0:y3

Valor 1 3 3 1

.

De igual forma, podríamos decir que el elemento (10), remarcado

con el círculo azul, corresponde a la posición x2:y3 del desarrollo de

(x + y)5.

Ejemplo 2.17

Desarrollar (x + y)6 utilizando el Triángulo de Pascal.

La diagonal será la que comienza con la posición x6:y0, es decir, la

última diagonal del Triángulo de Pascal representado en la Figura

2.4.

De esta forma, podemos ver que los coeficientes para cada

posición están dados en la tabla 4.1.

Posición x6:y0 x5:y x4:y2 x3:y3 x2:y4 x:y5 x0:y6

Valor 1 6 15 20 15 6 1

Tabla 4.1 Coeficientes de cada posición

Así, al desarrollar el binomio tendremos:

(x + y)6 = x6 + 6x5y + 15x4y2 + 20x3y3 + 15x2y4 + 6xy5 + y6

4.2. Potencia n-ésima del binomio de la suma

Esta potencia es una generalización de los casos estudiados

anteriormente. Esta regla fue presentada mediante una ley por

Newton. Es conocida como Ley del Binomio de Newton. La ley se

cumple para cualquier exponente natural y se representa por medio

de la siguiente fórmula:

( ) n1nmmn22n1nnn bab1n

nba

mn

ba2n

ba1n

aba +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+ −−−− LL (19)

En donde:

( )!mn!m!n

mn

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ es la combinatoria de n en m, y n! se conoce

como el factorial de n.

Al desarrollar los términos de combinatoria, nos queda la siguiente

fórmula:


Tema 2 / Sesión 4



( ) ( ) ( )( )LLL+

−−+

−++=+ −−− 33n22n1nnn ba

3.2.12n1nnba

2.11nnbnaaba

( ) n1n2n2 bnabba2.1

1nn++

−+ −− (20)

.

Ejemplo 2.18

Desarrollar (x + y)6 utilizando el Binomio de Newton y cotejar los

resultados con el ejemplo anterior.

Al aplicar la fórmula (20) tendremos:

( ) 65423324566 yxy6yx2.15.6yx

3.2.14.5.6yx

2.15.6yx6xyx ++++++=+

( ) 65423324566 yxy6yx15yx20yx15yx6xyx ++++++=+

De esta forma los coeficientes coinciden con los hallados en el

ejemplo anterior.

4.3. Potencia n-ésima del binomio de la diferencia

Cuando es la diferencia x - y, en realidad podemos considerar el

mismo caso anterior. Para ello escribimos:

(x − y) = [x + (−y)]

Y aplicamos la Ley del Binomio de Newton descrita en la sección

anterior.

( ) ( ) ( )( )LLL+

−−−

−+−=− −−− 33n22n1nnn ba

3.2.12n1nnba

2.11nnbnaaba

( ) ( ) ( ) ( ) nn1n1n2n22n b1nab1ba2.1

1nn1 −+−+−

−+ −−−− (21)

En este caso, los términos a potencia impar de la segunda variable

(−y) hacen que ese término sea negativo. Por lo tanto podemos

afirmar que los signos del desarrollo serán alternos, comenzando con

el signo positivo +. En general si la potencia n es par, el desarrollo

tendrá un número impar de términos, luego el último término será

positivo; y en el caso n impar habrá un número par de términos,

entonces el último término será negativo.

Ejemplo 2.19

Desarrollar (x − 2y)5 utilizando el Binomio de Newton.

(x − 2y)5 = x5 − 5x4(2y) + 10x3(2y)2 − 10x2(2y)3 + 5x(2y)4 − (2y)5

= x5 − 10x4y + 40x3y2 − 80x2y3 + 80xy4 − 32y5


Tema 2 / Sesión 4



Así, por lo descrito anteriormente, se certifica que el último término

es negativo, ya que la potencia era impar.

Ejemplo 2.20

Desarrollar (x2 − y + 1)4 utilizando el Binomio de Newton.

Primero agrupamos los términos: (x2 − y + 1)4 = [x2 − (y − 1)]4

Ahora aplicamos la regla (21):

(x2 − y + 1)4 = [x2 − (y − 1)]4

= (x2)4 − 4(x2)3(y − 1) + 6(x2)2(y − 1)2 − 4x2(y − 1)3 + (y − 1)4

.

Vemos que el último término es positivo, ya que la potencia es par.

Luego, desarrollando cada uno de los términos, tendremos que:

(x2 − y + 1)4 = (x2)4 − 4(x2)3(y − 1) + 6(x2)2(y − 1)2 − 4x2(y − 1)3 + (y − 1)4

= x8 − 4x6y + 4x6 + 6x4(y2 − 2y + 1) − 4x2(y3 − 3y2 + 3y − 1)

+ y4 − 4y3 + 6y2 − 4y + 1

= x8 − 4x6y + 4x6 + 6x4y2 − 12yx4 + 6x4 − 4x2y3 + 12x2y2 − 12x2y

+ 4x2 + y4 − 4y3 + 6y2 − 4y + 1


Tema 2 / Sesión 4



Tema 2: Operaciones Notables 3.

.


Eje cicios: Potencia de un r monomio

Procedimiento 1. pre es poSi el monomio es positivo la potencia sim sitiva. Si el

monomio es negativo, la potencia será positiva si el exponente es par, y negativa si el exponente es impar

2. Se eleva el coeficiente al exponente de la potencia 3. l exponente de cada letra se multiplica por el exponente de la E

potencia

Desarrollar:

1. 22)a4(

Solución

42x2222 a16a4)a4( ==

2. 3)a5(−

Solución

33x133 a125a5)a5( −==−

3)xy3( Solución

333333 yx27yx3)xy3( ==

4. 22 )ba6(−

Solución

2422x2222 ba36ba6)ba6( {p==− uesto que el exponente es

el signo de la potencia es positivo}.

par

5. 332 )yx2(− Solución

963x32x33332 yx8yx2)yx2( {pues−=−=− to que el exponente es i signo de lmpar el a potencia es negativo}.

6. 3) 432 cba4(

Solución

12964x33x32x333432 cba64cba4)cba4( ==

7. 254 )yx6(−

Solución

1085x24x22254 yx36yx6)yx6( ==−


Tema 2 / Sesión 4




S s

1. ilizando las reglas de esta sesión las siguientes

operaciones:

e ión 4: Ejercicios propuestos

Desarrollar ut

a. 2)1yzx( −+−

b. 32 )2z3yx( −+−

c. ( )52x +

d. 6

2x

31

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

e. ( )721 xa2 +−

2

yxx2

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

f.

.


Tema 2 / Sesión 4



.

Unidad 2: Operaciones Notables

Sesión 4

Autoevaluación 4

Pregunta Nº 1 Desarrollar (x+y)4 utilizando el triángulo de Pascal a. 423243 yxy4yx6yx4x ++++

b. 432234 yxy4yx6yx4x ++++

c. 423243 yxy4yx6yx4x −−−− d. 34 6yx4x −− 4322 yxy4yx −− Pregunta Nº 2 Desarrollar (2x-3y) 15 utilizando el Binomio de Newton

a. 15131415 )y3(1515...)y3()x2(

015)y3()x2(

1515)x2(

015

−++−+−+

b. 15131415 )y3(1515...)y3()x2(

215)y3()x2(

115)x2(

015

−++−+−+

c. 15141312 )y3(1515...)y3()x2(

015)y3()x2(

1515)x2(

015

−++−−−+

d. 15141312

1515)x2(

015

+ )y3(1515...)y3()x2(

015)y3()x2( −++−+−

Pregunta Nº 3 Desarrollar (2a+3b) al cubo a. 3223 b8ab36ba54a27 +++

b. 3223 b27ab54ba36a8 +++ c. 33 a54a27 + 33 b8ab36b ++ d. − 3333 b27ab54ba36a8 ++ Pregunt Nº 4 a De 22)a4( sarrol rla a. 2a16b. 4a16 c. 4a12 d. 2a12 Pregunta Nº 5 Desarrollar uadrado )1x2x( 2 +− al c a. 1x4x6x4x 234 ++−−

1x4x6x4x 234 +−−+ b. c. 1x4x6x4x 234 +++− d. 1x4x6x4x 234 +−+−


Tema 2 / Sesión 4



Una vez contestadas las preguntas, puede ver respuestas al final de la Unidad. Si sus respuestas han

.

sido correctas, continúe con la sesión siguiente, de lo contrario se le recomienda repasar la sesión antes de continuar.

Unidad 2: Operaciones notables

Sesión 4

Respuestas de la Autoevaluación 4

Pregunta Nº 1 Desarrollar (x+y)4 utilizando el tri e Pángulo d ascal a. 423243 yxy4yx6yx4x ++++ b. 423243 yxy4yx6yx4x −−−− c. 34 6yx4x ++ 4322 yxy4yx ++ Correcto d. 432234 yxy4yx6yx4x −−−− Pregunta Nº 2 Desarrollar (2x-3y) 15 utilizando el Binomio de Newton

a. 15131415 )y3(1515...)y3()x2(

015)y3()x2(

1515)x2(

015

−++−+−+

b. 15141312 )y3(1515...)y3()x2(

015)y3()x2(

1515)x2(

015

−++−−−+

c. 15131415

115)x2(

015

+ )y3(1515...)y3()x2(

215)y3()x2( −++−+− Correcto

d. 15141312 )y3()x2(15)x2(15+−+ )y3(

1515...)y3()x

015

150−++− 2(

Pregunta Nº 3 Desarrollar (2a+3b) al cubo

3223 b8ab36ba54a27 +++ a. b. 33 a54a27 + 33 b8ab36b ++ c. − 3333 b27ab54ba36a8 ++ d. 3 36a8 + 322 b27ab54ba ++ Correcto Pregunta Nº 4 De 22 )4( a sarrol rla

2a16 a. b. 4a16 Correcto c. 4a12 d. 2a12 Pregunta Nº 5 Desarrollar uadrado )12( 2 +− xx al c

1x4x6x4x 234 ++−− a.

b. Correcto 1x4x6x4x 234 +−+− 1x4x6x4x 234 +−−+ c.

d. 1x4x6x4x 234 +++−

guía didáctica: Álgebra - universidad de los andes (ula) · cocientes notables en la solución...

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