CENTRO DE CIENCIAS BSICAS CLCULO DIFERENCIAL

GUIA DE TRABAJO INDEPENDIENTE No 1

TEMAS: Funciones de nmeros reales, Lmites de funciones reales.

COMPETENCIA: Aplicar analticamente las reglas de la derivacin de funciones definidas en el

campo de los nmeros reales en el trazo de la grfica de una funcin y en la resolucin de problemas

de optimizacin.

INDICADORES DE COMPETENCIA

Determinar las caractersticas ms importantes de una funcin (dominio y rango, simetra,

crecimiento o decrecimiento, funcin inversa, puntos crticos) y realizar su respectiva grfica.

Encontrar el lmite de una funcin real e interpretarlo grficamente.

FUNCIONES REALES

A. Dadas las siguientes funciones, determinar: Dominio y rango de la funcin; hacer las grfica,

de:

1. = = 3 7

2. = = 52 + 8 11

3. = = 121 2

4. = = 2 25

5. = = 4 +3

76

6. = = 8

2718

7. = = 37

8. = = 2

9. = = log(32 2 + 11)

10. = = (3

+1)

11. y =4x210

5x+15

12. f x = 6x 18

B. Resuelva cada uno de los siguientes puntos.

1. Determinar la ecuacin de la recta perpendicular a la recta que une los punto P (- 2,- 5) y

Q (3,4).

2. Si = = 35 73 + 82 + 5 26. Calcular: f(3h); f(-4); f(-); f(5); f(11)

3. Si = 1

, probar que = [

]

4. Dada la funcin: = 65

2+8 . Determinar el dominio, el rango y hacer la grfica de su

funcin inversa.

5. El espacio recorrido por un mvil en cada libre est dado por = 2

2 , donde g es una

constante. Represente la funcin.

6. Determinar el dominio de la funcin compuesta, para los siguientes pares de funciones:

a) f g b) g f c) f f d) g g

= 2 y = 9 + 5

= 1

y =

7. Dada la funcin = . Determinar su dominio y hacer su respectiva grfica.

8. Sea la funcin = = 2 1

(+1)2, determinar: f(- 1); f(a - 1).

9. Graficar las funciones = 0.3+2 y = +2 y escribir dos semejanzas y

dos diferencias. No se toman en cuenta ni el dominio ni el rango de ambas

funciones.

10. Un estudio de eficiencia en el turno de la maana de cierta fbrica indica que un

trabajador promedio que ingresa a la 8:00 a.m. habr ensamblado:

= 3 + 62 + 15 televisores horas despus.

a. Cuntos televisores habr ensamblado un trabajador a las 10:00 a.m.?

b. Cuntos televisores habr ensamblado un trabajador entre las 9:00 a.m. y las

10:00 a.m.?

11. Dadas las funciones = +7

2 y = . Calcular:

y hacer la

representacin grfica de la funcin obtenida.

12. Trace la grfica de las siguientes funciones por tramos y encuentre el dominio y el rango.

a) =

2 5 22 1 2 < 34 > 3

b) = + 2 < 01 0

c) = 4 1

3 + 2 1 < < 17 2 1

d) = 2 + 3 12 > 1

LMITE DE FUNCIONES REALES

1. Evale el lmite, si existe:

a) lim22 +6

2

b) lim42 +5+4

2 +34

c) lim2 34 + 22 + 1

d) lim1 2 1 + 3 5

e) lim1 1+3

1+42+34

3

f) lim22+6

2

g) lim424

234

h) lim3 2+9

22+7+3

i) lim2+2

3 +8

j) lim12 +2+1

21

k) lim2(33 + 22 + 1)

l) lim232+2+8

322

m) lim 3+34+10

52+44

n) lim0 2 +7

o) lim1 2 +2

1 2

p) lim1 +3 2

+1

q) lim0 2

4+322

r) lim4 32816

229+4

s) lim9 3

9

t) lim7 2 3

249

u) lim 22++7

2+3

v) lim 2 3 + 1

w) lim 25+3

32+2

x) lim1 1

2 +23

y) lim3 2+3

3

z) lim2 42

+2

aa) lim4 216

4

bb) lim0 +2 2

cc) lim1 23+2

24+3

dd)2 +22

2

ee) 0 9+23

ff) lim2 2322

16+62

gg) lim3 29

22+7+3

hh) lim2 3 +8

+2

ii) lim 52+9

52+6

jj) lim 82+3 +1

42+5

kk) lim 62++7

2+33

ll) 92+5+7

32+9

mm) lim 226+1

224

nn) lim0 1

+2

1

2

oo) lim 2 + 3 2 +

pp) lim 1 + 2 ( 4)

2. Dado que:

lim

= 3 lim

= 0 lim

= 8

Encuentre los lmites que existan. Si el lmite no existe, explique por qu:

a) lim +

b) lim 2

c) lim2

+

3.

4. Determine si la siguiente funcin es continua en x=2. En caso de no serlo, indique el tipo de

discontinuidad y si es removible, redefina la funcin. Justifique su respuesta

=

22 5 + 2

2, < 2

3 + 2

4+ 1, 2

MODELOS LINEALES

1. En pruebas realizadas en una dieta experimental para cerdos, se determin que el peso

(promedio) P (en kilogramos) de un cerdo, estadsticamente era una funcin lineal del nmero

de das, d. Si el peso de un cerdo al inicio de la dieta fue de 20 kg, y a partir de ah gan 6 kg

cada 10 das, determine:

a) La pendiente de la funcin y que representa.

b) El intercepto con el eje y y que representa.

c) La ecuacin de la recta, del peso (P) como funcin del nmero de das.

d) Calcule el peso de un cerdo para 50 das despus de iniciar la dieta.

e) Realice la grfica de la funcin lineal con los siguientes datos

d (das) 0 20 40 60 80 100 P (kg) 20

2. Un anunciante va con un impresor y ste le cobra $79 por 100 copias de un volante y $88 por

cada 400 copias de otro volante. Este impresor cobra un costo fijo, ms una tarifa por cada

copia de volantes de una sola pgina. Determine:

a) La pendiente de la funcin y que representa.

b) El intercepto con el eje y y que representa.

c) La ecuacin de la recta, que describa el costo de un trabajo de impresin, si x es el

nmero de copias que se hacen.

d) Calcule el costo de 600 copias.

e) Realice la grfica de la funcin lineal con los siguientes datos

X (No copias) 0 100 200 300 400 500 C ($)

3. A medida que el aire seco se mueve hacia arriba, se expande y se enfra. Si la temperatura

del suelo es 20C y la temperatura a la altura de 1Km es 10 C. Suponiendo que es un modelo

lineal adecuado,

a) Calcule la pendiente de la recta.

b) Exprese la temperatura T (C) como una funcin de la altura h (en kilmetros).

c) Trace la grfica de la funcin

d) Cul es la temperatura a una altura de 2.5 Km?

4. Los bilogos han notado que la cantidad de chirridos que emiten los grillos de cierta especie

est relacionada 0con la temperatura y la relacin parece ser casi lineal. Un grillo produce 113

chirridos por minuto a 70 F y 173 chirridos por minuto a 80 F.

a) Cul es la pendiente de la grfica? Qu representa?

b) Cul es el intercepto con el eje Y?

c) Encuentre una ecuacin lineal que modele la temperatura T como una funcin del nmero

de chirridos por minuto N.

d) Si los grillos emiten 150 chirridos por minuto, estime la temperatura.

5. Suponga que el costo para producir 10 unidades de un producto es $40 y el costo para 20

unidades es $70. Si el costo, C, est relacionado de manera lineal con la produccin, X,

Determine el costo de producir 35 unidades.

6. En un circuito elctrico el voltaje, V (en volts), y la corriente, i (en amperes), estn

relacionados linealmente. Cuando i = 4, V = 2; cuando i = 12, V = 6.

a) Determine V como una funcin de i.

b) Encuentre el voltaje cuando la corriente es de 10.

7. La presin, P, de un volumen constante de gas, en centmetros de mercurio, est relacionado

linealmente con la temperatura, T, en grados Celsius. En un experimento con aire seco, se

encontr que P = 90 cuando T = 40, y que P = 100 cuando T= 80. Exprese P como una

funcin de T.

8. Un televisor nuevo se deprecia $120 por ao, y tiene un valor de $340 despus de 4 aos.

Determine una funcin lineal que describa el valor de este televisor, si X es la edad, en aos,

de la televisin.

9. El costo mensual de conducir un automvil depende del nmero de millas que se recorran.

Cierta persona encontr que en el mes de mayo recorrer 480 millas le cost 380 dlares y en

junio le cost 460 dlares recorrer 800 millas. Suponiendo que una funcin lineal provee un

modelo adecuado,

a) Cul es la pendiente de la grfica y que representa?

b) Cul es el intercepto con el eje y y que representa?

c) Exprese el costo mensual C como una funcin de la distancia recorrida x

d) Trace la grfica de la funcin lineal.

e) Predecir el costo de conducir 1500 millas al mes.

10. En la superficie del ocano la presin del agua es la misma que la presin del aire por arriba

del agua, 15 psi. Por debajo de la superficie, la presin del agua aumenta en 4.34 psi por cada

10 pies de descenso.

a) Exprese la presin del agua como funcin de la profundidad por debajo de la superficie

del ocano.

b) Qu representa la pendiente y la interseccin con el eje y?

c) Trace la grfica de la funcin lineal.

d) Cul es el valor de la presin a una profundidad de 25 pies?

e) A qu profundidad la presin es de 100 psi?