guia de matematicas aplicadas calnali febrero julio 2015

Objetivo general

Utilizarás esta guía para aplicar los conocimientos previos de las matemáticas ya abordados en otros cursos, así como de otras disciplinas que son apoyadas por éstas, en el tratamiento y análisis de funciones, optimización, solución de integración de funciones, áreas bajo la curva, volúmenes de sólidos por revolución, la toma de datos e inferencia de estos, para la solución de problemáticas sociales, políticas, económicas y de la ciencia y tecnología.

Así como también el de proporcionarte los elementos necesarios para que en un futuro próximo puedas aplicarlos en el sector productivo o en el nivel superior universitario.

Introducción

El Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Hidalgo, institución formadora de técnicos, responde a las exigencias tanto sociales e institucionales que actualmente se requieren para poder brindar contenidos actuales a los estudiantes que alberga en sus aulas, una acción que ayude al propósito antes mencionado es la elaboración de la guía didáctica formativa de la asignatura de Matemática Aplicada, la cual forma parte del componente de formación básico de los alumnos que cursan el Sexto semestre de Bachillerato Tecnológico.

La presente guía formativa fue diseñada para servir de apoyo a los facilitadores y estudiantes de la materia Matemática Aplicada, la cual presentan sugerencias para su actuar durante el proceso de aprendizaje de los contenidos de la misma, con un enfoque multidisciplinar e interdisciplinar, dejando, la libertad para que los facilitadores y estudiantes, la adecuen a las circunstancias y necesidades que se presenten en las diferentes regiones que conforman al Estado de Hidalgo.

Con el objeto de aplicar conceptos básicos de matemáticas en la formación integral de los alumnos que posibiliten su ingreso y permanencia en el nivel superior, así como aplicarlos al tratamiento de problemáticas sociales, políticas, económicas, de la ciencia y la tecnología, se propone utilizar el mapa de contenidos que permite, con la libertad que otorgan los temas integradores, abordar convenientemente temas centrales y agotar sus interrelaciones con temas circundantes que lleven a reforzar, con la profundidad pertinente, los conceptos fundamentales de matemática Aplicada.

Es aconsejable practicar las recomendaciones mencionadas mediante la presentación de problemas que incluyan el contexto inmediato de los estudiantes, para lo cual el facilitador deberá tener presente siempre tales condiciones.

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También es posible su abordaje mediante la explicación de fenómenos que se presenten en el entorno social y tecnológico del alumno, dependiendo del área formativa elegida (físico–matemático, químico–biológico, y económico–administrativo).

También es muy importante el manejo completo de los contenidos fundamentales de las asignaturas, por parte del facilitador, con el objeto de que se aproveche el abordaje conceptual adecuadamente y se agote su riqueza de aplicación y reforzamiento para los temas y conceptos circundantes.

Con esta finalidad la guía se centra en aplicaciones, de tal manera que se conforme el medio para integrar conocimientos, habilidades, aptitudes y actitudes adquiridas en los cursos anteriores con el objeto de consolidar parte del componente de formación básica.

Propósito Formativo de la Asignatura

Que el estudiante analice e interprete las relaciones entre dos variables de problemas de tipo social o natural y los resuelva utilizando el teorema fundamental del cálculo.

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MATEMÁTICA APLICADA

CALCULO DIFERENCIAL

CALCULO INTEGRAL

FUNCIONES OPTIMIZACIÓN APLICACIONES ESTADÍSTICA INFERENCIAL

Modelado y análisis de funciones y su derivada

- Máximos y mínimos- Áreas- Costos

Áreas bajo la curvaÁreas entre curvasVolumen de sólidos por revolución

Distribución binomialDistribución normal

ESTADÍSTICA INFERENCIAL

INTEGRACION DE FUNCIONES

APLICACIONES

- Desplazamiento-Velocidad-Aceleración

- Mediante fórmulas de integración-Sustitución algebraica- Artificios de integración. Integración por partes-

Estructura general de la asignatura

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MATEMATICA APLICADA ENER0 2015- JULIO 2015

TODAS QUINTO TODOS

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE HIDALGO

CRONOGRAMA

DOCENTE PLANTEL

ASIGNATURA CICLO ESCOLAR

CARRERA SEMESTRE GRUPO:

No TEMA DEL PROGRAMA

SEMANA DE TRABAJO EN QUE SE CUBRE EL TEMA

ENERO FEBRERO MARZO ABRIL MAYO JUNIO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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15

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1 8

SECUENCIA 1

1 Cálculo

1.1 Aplicaciones de la derivada

Análisis de funciones

Rapidez de cambio, velocidad y aceleración

Optimización

SECUENCIA 2 Prueba Enlace

1.2 Aplicaciones de la integral

Integración inmediata de funciones mediante fórmulas de integración

Integración por sustitución algebráicaVacaciones

Integració por partes

Áreas bajo la curva- areas entre curvas

Volúmenes de sólidos de revolución

SECUENCIA 3

2 Estadística Inferencial

2.1 Distribución Binomial

2.2 Distribución Normal

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SECUENCIA FORMATIVA 1Desarrollo de las competencias

Competencias genéricas a las que contribuye la asignatura

COMPETENCIAS GENERICAS

ATRIBUTOS

1. Se conoce y valora así mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

Elige alternativas y cursos de acción con base en criterios sustentados y en el marco de un proyecto de vida.

Analiza críticamente los factores que influyen en su toma de decisiones.

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y expresar ideas.

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

Identifica los sistemas y reglas o principios medulares que subyacen a una serie de fenómenos.

6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando los puntos de vista de manera crítica y reflexiva.

Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad.

Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintética.

7.-Aprende por iniciativa e interés propios a lo largo de la vida.

Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimiento.

Identifica las actividades que le resultan de menor y mayor interés y dificultad, reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstáculos.

Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana.

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos.

Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que

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cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Competencias disciplinaresa desarrollar en la asignatura

COMPETENCIAS DISCIPLINARES

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

8. Interpreta tablas, graficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Resultado de Aprendizaje de la Asignatura respecto a la Competencia

Aplico la derivada en el análisis de funciones en problemas de mi vida cotidiana, modelando situaciones teórico- prácticas.

Relación con otras Disciplinas

LEOyE. El alumno puede expresarse de manera verbal y escrita adecuadamente con el fin de traducir adecuadamente las distintas formas de expresar un problema analítica y gráficamente.

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FISICA. Las matemáticas ayudan a representar el movimiento de algunos problemas de peso y fuerza para representarlos en una gráfica y de forma algebraica.

CTSyV III. Los conocimientos de la asignatura ayuda a para promover el sentido de escuchar, de participación, respeto, solidaridad y ética para entregar sus trabajos y no copiar las tareas.

ALGEBRA, GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA, GEOMETRÍA ANALÍTICA, CÁLCULO Y PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA. Los conocimientos de estas materias son de apoyo cognoscitivo y base fundamental de los algoritmos, manejo de plano cartesiano para la presente asignatura, y se trataron en semestres anteriores.

CTSyV I. Contribuye al análisis del ambiente y la alteración de este (contaminación, explosión demográfica) y a la promoción de valores universales.

Módulos profesionales. Contribuye y vincula los temas con las diferentes especialidades.

Tema Integrador

Deporte y la empresa

Concepto Fundamental

Aplicaciones al cálculo diferencial

Concepto Subsidiario

Funciones Rapidez de cambio Optimización

Concepto(s) Subsidiario(s) de Primer Nivel

Análisis de la derivada Desplazamiento, velocidad, aceleración de partículas Máximos y mínimos de una función en una razón dada Áreas Costos

Categorías

Espacio Diversidad Energía

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MATEMATICA APLICADA

CALCULO DIFERENCIAL

FUNCIONES RAPIDEZ DE CAMBIO

OPTIMIZACIÓN

Modelado y análisis de funciones y su derivada

- Máximos y mínimos- Áreas- Costos

- Desplazamiento-Velocidad-Aceleración

Tiempo Programado

20 horas

Mapa de contenidos

Dimensiones de la Competencia

Conceptual (aprender a conocer):

Análisis de la derivada Desplazamiento, velocidad, aceleración de partículas Máximos y mínimos de una función en una razón dada Áreas Costos

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Procedimental (aprender a hacer):

Análisis de funciones. Modelado de funciones. Cálculo de máximos y mínimos y la aplicación

Actitudinal (aprender a ser):

Participación Interés Respeto Sentido de colaboración Creatividad Saber escuchar Tolerancia

FASE DE APERTURA

Actividad 1

Lee el siguiente relato

Vivimos en un mundo en el que todo está en permanente cambio, aunque de diez mil maneras diferentes y a diferentes velocidades. El cielo puede oscurecerse en unas pocas horas, una banana sé oscurece en unos días. Los colores del empapelado se destiñen tan lentamente que pueden pasar años antes de que advirtamos el cambio. Algunos cambios son extremadamente irregulares, como las maneras en las que cambias de posición mientras duermes. Otros cambios, como los de la luna o la vibración de un átomo en una molécula, son más regulares que un reloj.La rama de la matemática más dedicada al cambio se llama cálculo. Es imposible ser físico actualmente sin saber cálculo, pero antes de entenderlo, debes saber primero muchísimo acerca de la matemática de los tipos de cambios simples y regulares que pueden resolverse por medio de la aritmética común. El ejemplo más común de ese tipo de cambio es el cambio de posición que denominamos velocidad constante. Se expresa por medio de la proporción entre la distancia y el tiempo:Velocidad = Distancia / TiempoTeniendo presente esta fórmula, y con una idea clara, tal vez puedas resolver problema el siguiente problema de velocidad que aquí se presenta.

Resuelve el siguiente acertijo de forma correcta, lo más pronto posible.

Las bicicletas y la mosca

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Dos muchachos en bicicleta, a 20 kilómetros de distancia entre sí, empiezan a andar para reunirse. En el momento en que parten, una mosca que está en el manubrio de una de las bicicletas empieza a volar directamente hacia el otro ciclista. En cuanto llega al otro manubrio, da la vuelta y vuela de regreso al primero. La mosca voló ida y vuelta de manubrio a manubrio hasta que las dos bicicletas se reunieron.Si cada bicicleta marchó a una velocidad constante de 10 km por hora, y la mosca voló a una velocidad constante de 15 km por hora, ¿qué distancia voló la mosca?

Actividad 2

Los deportes son indispensables como una práctica de vida saludable, es por ello que se hacen encuentros a nivel Nacional e Internacional haciendo esta consideración te invito a que en forma responsable y respetando las respuestas de tus compañeros, contesta el siguiente cuestionario.

1. ¿Qué deportes de conjunto conoces?

2. ¿De los deportes que alguna vez has jugado o has visto jugar que tipos de trayectorias identificas en el movimiento de los cuerpos?

3. Escribe las trayectorias que describe un atleta al correr, brincar, nadar.

4. ¿Qué trayectoria describe un balón de futbol al ser arrojado hacia arriba?, y dibújala.5. ¿Consideras que la velocidad que adquiera el balón de futbol al ser lanzado con fuerza hacia arriba describa una trayectoria diferente, que al ser lanzado con menos fuerza que al principio, y por qué?

Actividad 3

Recuerda que en las asignaturas de algebra, geometría y trigonometría, geometría analítica, física y química de tus semestres anteriores efectuaste gráficas, sin embargo éstas no todas eran funciones, porque para que lo sean, le debe corresponder un solo valor de la variable independiente a la variable dependiente; y que si al trazar una línea vertical paralela al eje de las ordenadas ésta solo toca un punto a la vez en todo el recorrido, de acuerdo a la regla de correspondencia de y = f(x).Considerando lo anterior de forma comprometida contesta, ¿cuáles de las siguientes gráficas representa una función y=f (x)

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Actividad 3.

A través de una dinámica tu docente formará equipos y posteriormentehaciendo uso del formulario que utilizaste en cuarto semestre para realizar la derivada de funciones, resuelvan en su libreta las derivadas de cada una de las funciones para verificar el

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resultado y ver cuál de los equipos resulto ser más componente, como lo has visto al término de un campeonato deportivo.

Función Derivada de la función

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

FASE DE DESARROLLO

Determinación de puntos críticos (primer método)

Ejemplo 1:

Primer paso: Se obtiene la primera derivada.

Aplicando la fórmula:

Segundo paso: Se iguala a cero la derivada de la función.

Simplificando y factorizando:

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Igualando cada factor a cero obtenemos las raíces de la ecuación:

Puntos críticos (raíces de la ecuación)

Tercer paso: Análisis de cada uno de los puntos críticos:

Para

Para un valor un poco menor que 1, es decir, para x = 0

Para un valor un poco mayor que 1, es decir, para x = 2

Evaluando para x = 0 en la derivada hallada:

Evaluando para x = 2 en la derivada:

Analizando los resultados obtenidos, nos damos cuenta que para x= 0, el valor de la derivada es positivo (+) y para x= 2, la derivada es negativa (-), por lo tanto deducimos que para éste punto crítico la gráfica tiene un punto máximo.

Para

Para un valor un poco menor que 3, es decir, para x = 2

Para un valor un poco mayor que 3, es decir, para x = 4

Evaluando para x = 0 en la derivada hallada:

Evaluando para x = 4 en la derivada:

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Analizando los resultados obtenidos, nos damos cuenta que para x= 2, el valor de la derivada es negativa (-) y para x= 4, la derivada es positiva (+), por lo tanto deducimos que para éste punto crítico la gráfica tiene un punto mínimo.

Graficando la función podemos notar el punto máximo y mínimo.

Actividad 1.

Apoyándote en el ejemplo anterior, reúnete en equipo de 5 integrantes, para realizar los ejercicios que tu maestro y compañeros te propongan, escuchando y poniendo atención a las indicaciones para socializar en plenaria ante el grupo tu forma de dar solución a estos.

Actividad 2.

Investiga el segundo método de máximos y mínimos y resuelve en tu cuaderno al menos 3 ejercicios que tu docente o compañeros propongan

Ejemplo 2:

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En los pasados juegos olímpicos el checoslovaco JanZelezny al lanzar su jabalina horizontalmente describió una trayectoria parabólica dada

por la ley en m con una velocidad inicial de 96 Calcular:

a)La altura máxima alcanzadab)La velocidad y aceleración que adquirió a los t= 5 segundos

Derivando la función que representa este comportamiento

Aplicando la fórmula:

Para determinar los puntos críticos igualamos a cero la derivada de la función:

, resolviendo para t, tenemos:

, punto crítico.

Por lo tanto:

Para

Para un valor un poco menor que 3, es decir, para t = 2

Para un valor un poco mayor que 3, es decir, para t = 4

Evaluando para t = 2 en la derivada hallada:

Evaluando para t = 4 en la derivada:

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Analizando los resultados obtenidos, nos damos cuenta que para t= 2, el valor de la derivada es positivo (+) y para t= 4, la derivada es negativa (-), por lo tanto deducimos que para éste punto crítico la gráfica tiene un punto máximo, es decir, la altura máxima es a los t = 3 segundos

Evaluando t = 3 en la función, determinamos la altura máxima.

Para determinar la velocidad a los t = 5 s, evaluamos en la primera derivada de la función.

, el signo indica que la jabalina va hacia abajo.

Para determinar la aceleración determinamos la segunda derivada

Evaluando para t = 5 s.

, el signo indica que la jabalina va desacelerándose.

Actividad 3

Toda actividad que realices requiere de ejercicio para volverte competente en ella (disciplina a desarrollar), es por eso que tú también debes hacerlo, ahora en binas resuelve el siguiente ejercicio y socializa tu respuesta.

Un jugador de fútbol cobra un tiro libre en dirección a la portería, si se sabe quela distancia entre ambos es de 50 metros; se desea saber si anotará o no el gol, tomando que la trayectoria del disparo tiene

como ecuación y la altura de la portería es de 2.35 metros.

Actividad 4

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Lee la siguiente lectura considerando las reglas que aprendiste en tu materia de LEOyE, para que comprendas y des respuesta al cuestionamiento que se te plantea:

“La mayoría de las personas en la actualidad no identifican la optimización como algo que tenga que ver con su vida cotidiana”.

Sin embargo, la optimización afecta virtualmente a cada una de las personas del planeta.

La optimización se puede definir como el proceso de escoger las acciones que den como resultado la mejor salida.

En otros términos, permite calcular la mejor utilización posible de los recursos que se requieren para la obtención de un resultado deseado.

El hecho de querer casi siempre obtener mejores resultados con menos recursos se aplica a muchos problemas de la vida real. Por ejemplo, en las mañanas quisiéramos llegar lo más rápido posible la escuela recorriendo la menor distancia y gastando la menor cantidad de dinero. Al momento de planear un viaje en avión quisiéramos poder encontrar el boleto más económico con el menor número de escalas y en el mejor asiento posible. La optimización nos puede ayudar a encontrar la mejor respuesta a estos ejemplos.

La optimización permite a las organizaciones considerar escenarios alternativos que las puedan llevar a un mejor resultado reflejado en un incremento de ganancias o en una disminución de costos. Así como también determinar los mejores planes para alcanzar los objetivos planteados.Algunas de las soluciones existentes para responder preguntas específicas en diferentes industrias son:

Optimización de campañas, ¿cuáles son las campañas que tendrán un mayor impacto en los resultados que se están buscando?

Optimización de promociones, ¿cuál es la promoción que después de ser aplicada maximizará las ventas?

Optimización de precios regulares, ¿cuál es el precio regular que conviene mantener para incrementar todas las ventas?

Optimización de inventarios, ¿cuáles son las existencias que se deben de tener para no tener costos asociados a un sobre inventario o sub inventario?

La optimización ayuda a tomar la mejor decisión de acuerdo a las condiciones actuales de las organizaciones. Sin la optimización, las empresas solo repetirían sus errores tomando siempre las mismas acciones y creyendo que éstas son las mejores.

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La verdadera utilización de la optimización en nuestro país es todavía muy poco común. Sin embargo, ésta continuará creciendo de una manera exponencial debido a los grandes resultados que pueden ser obtenidos. Entre más pronto una compañía implemente la tecnología para la optimización de sus procesos de toma de decisiones, mayores serán los beneficios logrados.Una de las preguntas que con más frecuencia se escucha en la industria actualmente es: “¿es óptimo este diseño?”¿De qué manera piensas que una empresa que se dedica a construir cajas para empacar tenis, hacen sus cálculos para construir una pieza usando la mínima cantidad de material?

EJEMPLO 3

En la figura puedes ver los elementos necesarios para construir una caja que sirva para guardar ropa deportiva, tenis, playeras, balones.

La figura geométrica total es un rectángulo

Los cortes que le hagas a las esquinas soncuadrados.

Uniendo las 4 pestañas se forman las caras laterales de la caja.

Actividad 5

De acuerdo al ejemplo anterior realiza lo que a continuación se te pide:

Haciendo uso de material resistente intégrate en equipo y de manera responsable construye una caja haciendo uso de tu habilidad imaginativa, de tal forma que quede abierta por arriba y del mayor volumen posible, para lo cual debes disponer de una pieza de 32 cm por lado.

Recuerda que:

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Para medir el volumen de cualquier cuerpo usamos las unidades de volumen. Su unidad principal es el metro cúbico, cuyo símbolo es m3. Un metro cúbico es el espacio que ocupa un cubo de 1 metro de arista.1m3 = 1000 l

Las unidades de área son dadas en unidades cuadradas (m2, cm2, mm2)Los milímetros cúbicos (mm3) no es lo mismo que mililitros (ml)

Actividad 6.

De manera grupal comenten con tus compañeros cual será la forma más idónea y segura de construir una caja del material que fuese, de manera que tenga el mayor volumen posible y/o la mínima área a emplear.

Ejemplo 4

Se desea construir una caja cuadrada abierta por arriba y del mayor volumen posible, cortándolas esquinas cuadradas iguales doblando hacia arriba para formar las caras laterales. Si se dispone de una pieza de hojalata de 32 cm por lado, ¿Cuánto debe medir el cuadrado que se recorta para obtener el volumen máximo?

32 cm

32 cm

De acuerdo a la figura, tenemos los siguientes datos:

: altura de la caja

: longitud del lado cuadrado que formará la base de la caja.

Encontrando la ecuación para calcular el volumen de la caja.

V = área de la base por la altura. Si recordamos queArea del cuadrado = lado x lado = l²

Entonces:

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, o sea:

Aplicamos el criterio de la primera derivada obtenemos el punto máximo para el volumen.

Derivando tenemos que:

Igualamos a cero la derivada de la función y la resolvemos por factorización o usando la fórmula general de las ecuaciones cuadráticas para encontrar los puntos críticos.

o bien :

Factorizando tenemos:

Igualando cada factor a cero:

, es decir:

, es decir:

Se deja al alumno resuelva la ecuación anterior mediante la fórmula general para que compare resultados.

Ahora bien, analicemos cada punto crítico

Nota: Para , el volumen es cero, por lo tanto, para éste punto crítico, el volumen es mínimo.

Para

Para un valor un poco menor que

, es decir, para 5

Para un valor un poco mayor que

, es decir, para 6

Evaluando para en la derivada hallada:

( + )

Evaluando para 6 en la derivada:

( - )

20

x

y

1 cm

1.5 cm

Analizando los resultados obtenidos, nos damos cuenta que para

5, el valor de la derivada es positivo (+) y para 6, la derivada es negativa (-), por lo tanto deducimos que para éste punto crítico la gráfica tiene un volumen máximo.

Las medidas de la caja deben ser:

Altura cm. o el cuadrado que se debe recortar es de cm por lado

Para calcular el volumen de la caja, sustituyamos y evaluemos el

valor en la función:Es decir:

Opina brevemente acerca de que diariamente se construyen grandes cantidades de cajas, unas pequeñas por ejemplo para empacar medicinas y otras tan grandes como las de un refrigerador y que procedimientos como el anterior les permite obtener las medidas adecuadas.

Ejemplo 5.

Una página rectangular ha de contener 24 de impresión; los márgenes superior e inferior de la página tienen una anchura de 1.5 cm; los márgenes laterales tienen 1 cm. ¿Cuáles deben de ser las dimensiones de la página de modo que la cantidad de papel a emplear sea mínima?

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Sigue los procedimientos de manera reflexiva y completa los espacios con una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuentas para darle solución al problema.

¿Los datos son?

Encontrando la ecuación para conocer los valores del largo (x) y ancho (y) del área impresa y así las dimensiones de la hoja.

Aplica el criterio de la primera derivada para obtener el máximo; obtén y´=____________________________

El resultado de y´ lo igualamos a cero para obtener los valores de " x" quedando:

_______________________ = 0

Resuelve la ecuación que formaste por el método que gustes, es decir por la fórmula general o por factorización:

Para el punto crítico -4


, es decir, para -5


, es decir, para -3


Evaluando para -3 en la derivada:

Analizando los resultados obtenidos, nos damos cuenta que para

5, el valor de la derivada es positivo (+) y para -3, la derivada es negativa (-), por lo tanto deducimos que para éste punto

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crítico la gráfica tiene un área máxima.

Para el punto crítico 4


, es decir, para 3


, es decir, para 5


Evaluando para 5 en la derivada:

Analizando los resultados obtenidos, nos damos cuenta que para , el

valor de la derivada es negativa (-) y para 5, la derivada es positiva (+), por lo tanto deducimos que para éste punto crítico la gráfica tiene un área mínima.

Como el signo cambia de ____________ a __________ se concluye que hay un ___________ en x=4

Las medidas de la hoja impresa deben ser:

Largo del área impresa x = ___________Ancho del área impresa y = __________Largo del hoja = ____________________Ancho de la hoja = __________________Área mínima de la hoja = _____________

Escribe de manera concreta qué opinas de la manera de resolver este problema en donde siguiendo una serie de pasos y completando otros te pueden ayudar a construir tú conocimiento.

FASE DE CIERRE

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Actividad 1

Si te comentarán que la atleta más bella de los juegos olímpicos de Beijing 2008, YelenaIsimbayeva al saltar con garrocha describió la

trayectoria de la función , contesta.

1. ¿Qué te imaginas?________________________________________________

2. ¿Intervinieron las matemáticas en el momento de su desempeño en esta actividad?_________________________________________________

3. ¿Calcula la altura máxima que alcanzó?___________________________________________________

4. ¿Qué velocidad adquirió en el punto más alto?____________________________________

Actividad 2

Intégrate en equipo y analiza junto con tus compañeros tus respuestas y compárala con la de ellos de manera clara y apreciativa siempre respetando la opinión de los demás para llegar a una conclusión.

Actividad 3.

En sesiones de taller integrándote en trinas formadas por el docente mediante alguna dinámica elige tres de los siguientes problemas de manera que se cuente con una diversidad de ejemplos de aplicación y que a la vez te permita realizar tu microempresa que entregarás al final de la secuencia en tu proyecto integrador.

1. En el costado de un corral se encuentra una barda de piedra, se disponen de 900 m de malla de acero de la misma altura de la barda; se desea hacer un corral rectangular utilizando el muro de piedra como uno de sus costados, calcula las dimensiones que debe tener el corral para encerrar la mayor área posible. Apóyate de la siguiente figura:

yy

24

r

h

x2. Se va a construir un corral doble que forma dos rectángulos idénticos adyacentes. Si se dispone de 120 m de malla de alambre ¿Qué dimensiones harán que el área del corral sea máxima?

3. Se desea construir una caja rectangular sin tapa utilizando una lámina de plata de 16 por cm. Calcula la altura de la caja para que tenga el mayor volumen posible con el material disponible.

4. Una empresa refresquera solicita le fabriquen un envase cilíndrico cerrado que tenga una capacidad de 300 cm3. Cuáles son las dimensiones que minimicen la cantidad de material usado en su fabricación, suponiendo que el espesor del aluminio es el mismo en todo el envase.

5. Un partido político para su campaña le solicita a una imprenta que

le realice un póster el cual debe incluir 3000 de texto con imágenes, los márgenes superior e inferior deben tener 10 cm de ancho y los laterales 5 cm. Calcula las dimensiones mínimas de cada póster.

25

x

10 cm

16 cm

Vota por:

10 cm

5 cm

6. Una maquiladora puede vender 2000 aparatos por mes a $15.00 cada uno; si acepta bajar el precio unitario en cincuenta centavos podrá vender 10 piezas más. Calcula cuántas piezas debe vender para obtener la utilidad máxima y ¿cuál sería el ingreso al venderlas?

7.- Una larga lámina rectangular de metal de 12 pulg de ancho, se va a convertir en un canalón para lluvia doblando dos lados hacia arriba, de manera que queden perpendiculares al resto de la lámina. ¿De cuántas pulgadas debe ser el doblez para dar al canalón la máxima capacidad?

8.- Descomponer el número 44 en dos sumandos tales que el quíntuplo del cuadrado del primero más el séxtuplo del cuadrado del segundo sea un mínimo.

Práctica

Resuelve en tu cuaderno de evidencias de producto las siguientes cuestiones y comprueba lo que aprendiste y has mención del tipo de aplicación de la derivada.Supón que algunos amigos te transmiten sus quejas de que no pueden resolver ninguno de los problemas anteriores. Cuando les pides que te muestren su trabajo, ellos dicen que ni siquiera pudieron comenzar. En esta secuencia hemos hecho énfasis en dibujar una imagen y definir variables. Parte del beneficio de esto esayudarte a comenzar escribiendo algo (cualquier cosa). ¿Crees que este consejo ayuda? ¿Cuál crees que es el aspecto más difícil de estos problemas? Identifica cuáles son los principales problemas en la resolución de los ejercicios y da a tus amigos el mejor consejo que puedas.Hemos dejado de lado un aspecto de los problemas de optimización, un aspecto que podría llamarse “sentido común”. Por ejemplo supón que estás calculando las dimensiones óptimas para una cerca y la solución matemática es construir una cerca cuadrada de longitud 10

26

x

x

5 metros por lado. Al reunirte con el carpintero que va a construir la cerca, ¿Qué longitud ordenarías? ¿Por qué probablemente10 5 no es la mejor forma de expresar la longitud? Podemos hacer la aproximación 10 5 = 22.36, ¿qué le dirías al carpintero?

Aquí tienes otras aplicaciones aparte de las ya vistas con anterioridad en la que para resolverlas de la mejor manera posible necesitas apoyarte del uso de la derivada.Un fabricante de acuerdo con sus registros de producción considera que el costo de fabricación de unos radios de pilas depende del número de unidades fabricadas según la función

. Calcula la cantidad de radios por fabricar para que el costo de cada unidad sea el mismo.Calcula dos números cuya suma sea 125 y el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máximo.Calcula las dimensiones de un rectángulo con perímetro de 240 m, de manera que el rectángulo tenga el área máxima.Determina la mínima cantidad de superficie que se puede utilizar para fabricar un bote cilíndrico abierto en una de sus tapas, tal que contenga un volumen de 1 litro (1 l = 1 dm3).En cuanto a las diferentes aplicaciones de la derivada en tu entorno, ahora estás en condiciones de resolver los problemas de manera responsable, que te planteará tu maestro, para poner en práctica lo aprendido.




ATRIBUTOS




4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas



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apropiados.








Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimiento.





Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Competencias disciplinares a desarrollar en la asignatura





4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático

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y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.



Identifica y aplica las diferentes formas de integración de funciones en forma directa y con el método de sustitución algebraica; así como también comprende los conceptos de la integral definida para determinar el área y volumen de figuras geométricas y entre curvas, lo que permite al alumno resolver problemas de la vida cotidiana, modelando situaciones teórico-prácticas.


LEOyE. El alumno puede expresarse de manera verbal y escrita adecuadamente con el fin de traducir adecuadamente las distintas formas de expresar un problema analítica y gráficamente.

FISICA. Las matemáticas ayudan a representar el movimiento de algunos problemas de peso y fuerza para representarlos en una gráfica y de forma algebraica.

CTSyV III. Los conocimientos de la asignatura ayuda a para promover el sentido de escuchar, de participación, respeto, solidaridad y ética para entregar sus trabajos y no copiar las tareas.

ALGEBRA, GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA,GEOMETRÍA ANALÍTICA, CÁLCULO Y PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA. Los conocimientos de estas materias son de apoyo cognoscitivo y base fundamental de los algoritmos, manejo de plano cartesiano para la presente asignatura, y se trataron en semestres anteriores.

CTSyV I. Contribuye al análisis del ambiente y la alteración de este (contaminación, explosión demográfica) y a la promoción de valores universales.

Módulos profesionales. Contribuye y vincula los temas con las diferentes especialidades.

Tema Integrador

La integral como parte fundamental de tu vida

29

MATEMATICA APLICADA

CALCULO INTEGRAL

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES

APLICACIONES


Integración de funciones y aplicaciones


Por fórmulas de integración Sustitución algebraica Técnica de integración. Integración por partes Áreas bajo la curva Área entre curvas Volúmenes de sólidos por revolución


Definición de integración de funciones Integracióninmediata de funciones mediante formulario Integración por sustitución algebraica Integración por partes Definición de integral definida Áreas bajo la curva Áreas entre curvas Volúmenes de sólidos por revolución

Categorías

Espacio Diversidad Energía

Tiempo Programado

30 horas

Mapa de contenidos

30



Integración de funciones Integración inmediata mediante formulario Integración por sustitución algebraica Técnicas de integración. Integración por partes Integral definida Áreas bajo la curva Áreas entre curvas Volumen de sólidos por revolución


Investigaciones Lecturas Elaboración de formulario Uso de calculadora Elaboración y resolución de problemas. Uso de formulario.


31


Actividades de apertura

Actividad 1

Da lectura al siguiente texto “Topología y acertijos matemáticos”A continuación se presenta información recopilada por Martin Gardner de su libro “Matemática divertida”

Un matemático o científico creativo debe tener una mente constantemente en guardia, que no se deje sorprender por facetas inesperadas. Einstein, por ejemplo, el mayor científico de épocas recientes, jamás habría desarrollado su famosa teoría de la relatividad si no hubiera cuestionado ciertas suposiciones que ningún otro científico se había atrevido a cuestionar durante siglos. Resolvió problemas que parecían no tener solución, y los resolvió descubriendo el elemento "sorprendente", ese extraño factor oculto que todo el mundo había pasado por alto. A veces el nuevo giro es tan simple que, una vez descubierto, otros científicos se preguntan cómo no se les ocurrió a ellos. No se les ocurrió, sin duda, porque sus mentes estaban encadenadas por el hábito a las maneras de pensar familiares y ortodoxas.Así que desempolva tu cerebro antes de intentar responder a estas divertidas preguntas. No son de gran importancia matemática... pero te enseñarán que en matemática, como en la vida, las cosas no son siempre lo que parecen.La topología es una de las ramas más nuevas y complejas de la geometría moderna.Algunas de sus curiosas figuras, superficies de un solo lado, botellas cerradas sin "adentro", tubos interiores que se dan vuelta como un guante, son tan extrañas que parecen haber sido inventadas por escritores de ciencia ficción y no por matemáticos de mente sobria.¿Qué es la topología? Es el estudio de propiedades que permanecen invariablesIndependientemente de la manera en la que se retuerza, extienda o comprima una figura.Para un topólogo, un triángulo es lo mismo que un círculo porque si imaginamos que ese triángulo está hecho con hilos, podemos con toda facilidad estirar ese hilo hasta formar un círculo. Supongamos que tenemos un anillo (un topólogo lo llama toro) hecho de una sustancia plástica que puede moldearse de cualquier manera que se nos antoje, pero que no se pega ni puede romperse. Puedes pensar

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que no quedará ninguna característica original del anillo si lo estiramos, lo doblamos y deformamos lo suficiente. Pero hay muchas características que sobrevivirán. Por ejemplo, siempre tendrá un agujero. Esas propiedades invariables son las propiedades topológicas. No tienen nada que ver con el tamaño, ni con la forma en el sentido en el que habitualmente se entiende la forma. Son las más profundas de todas las propiedades geométricas.

Contesta los siguientes acertijos, utilizando los materiales propuestos y realizando los procedimientos sugeridos

1. Los dos nudosActualmente mucha gente sabe qué es la cinta de Moebius. Es una cinta de papel retorcida media vuelta antes de pegar los extremos, como muestra la figura 1. Tiene un solo lado y un solo borde.

Mucha gente sabe también que si uno trata de cortar una cinta de Moebius por la mitad, cortando a lo largo por el medio de la cinta, no se formarán dos cintas como uno esperaba que ocurriera. Se abre en una cinta larga. Y si se empieza a cortar a un tercio del borde, puede cortarse dos veces alrededor de la cinta para lograr una cinta larga que tiene unida a ella, como un eslabón, otra más corta.Si la cinta se retuerce dos medias vueltas antes de engomar los extremos (figura 2), un corte por el medio dará dos cintas del mismo tamaño, pero enlazados. ¿Qué ocurre si cortas una cinta retorcida tres medias vueltas? (figura 3). ¡Esta vez obtendrás una cinta larga con un nudo! (figura 4).

33

Hay dos maneras de hacer una cinta con un retorcimiento de tres medías vueltas. Podemos retorcerla en el sentido de las agujas del reloj o en sentido opuesto a las agujas del reloj. En ambos casos, si cortamos la cinta, formamos un nudo. Ahora la pregunta: ¿son esos dos nudos exactamente iguales?

2. La pelota de baloncesto moteada¿Cuál es el mayor número de puntos que puede dibujarse en una pelota de baloncesto de manera tal que cada punto quede a la misma distancia de todos los demás? Y que esta distancia sea la mayor trazada sobre el balón"Distancia" en este caso alude a la distancia medida sobre la superficie de la esfera. Una buena manera de trabajar sobre este problema consiste en marcar puntos sobre una pelota y medir la distancia entre ellos mediante un cordón.Si unes estos puntos ¿qué obtienes dentro de la pelota?¿Qué figura forma la pelota de baloncesto?

Actividad 2Investiga las fórmulas para determinar el volumen de las figuras que se mencionan a continuación.. Cilindro:_____________. Cono: ______________. Cono truncado:_______. Esfera:______________

Actividad 3Obtén la derivada (f´(x)) de las siguientes funciones (f(x)), y comprueba tus respuestas con tus compañeros1. - f(x) = 5 f’(x) =2. - f(x) = x f’(x) =3. - f(x) = 3x f’(x) =4. - f(x) = x2 f’(x) =5. - f(x) = -6x2 f’(x) =6. - f(x) = 3x2-5x+ 2 f’(x) =

34

Te has preguntado si las respuestas de las derivadas de funciones son correctas o nó, si es así, entonces lee lo siguiente.Si sabes que para que compruebes una división utilizas a la multiplicación, de la misma manera si compruebas a una resta utilizas a la suma y si aplicas la potenciación para comprobar la radicalización de un término; entonces realiza procedimientos para que compruebes la derivada de las funciones anteriores, es decir determines lo contrario a una derivada.

Nota: 1) Si vas a determinar lo contrario a la derivada de una función, le

llamaremos como antiderivada de una función. 2) Si vas a comprobar a la derivada de una función, entonces la

antiderivada de una función debe ser la función que se te dio inicialmente

Función f(x) Función derivada f´(x) Antiderivada A(f ‘ (x))f(x) = 3 f´(x)=f(x) = x f´(x)=f(x) = x2 f´(x)=f(x) = x3 f´(x)=f(x) = xn f´(x)=f(x) = 3x2 f´(x)=f(x) = -5x4 f´(x)=f(x) = 7x3-5x2+ 3x-2 f´(x)=

Actividad 4Al último proceso que acabas de realizar se le conoce como antidiferenciación de funciones, investiga que otra manera se le conoce y como se representa simbólicamente y verifica si hay fórmulas para los diferentes tipos de funciones, y si es así construye dicho formulario en hojas blancas.

Actividades de Desarrollo

Actividad 1Investiga que es la Integración de funciones y con la información realiza un organizador gráfico en una hoja en blanco

De acuerdo a la investigaciónrealizada, ahora analiza los ejemplos que se presentan a continuación, consultando las dudas presentadas con tu docente y así mismo recuerda que el procedimiento aquí utilizado no es único; consulta con tu docente de que otras maneras puedes determinar la integral de funciones

Ejemplos. Determine las integrales de las siguientes funciones, y verifique la respuesta realizando la derivada de las siguientes funciones.

35

Ejemplo 1.-De acuerdo a la definición de integración de funciones utilizamos

y con se tiene:

Utilizando la fórmula , donde c representa a una constante y en este caso c=3, por lo tanto

Comprobación Derivando a la función obtenida, tenemos:

3 = 3 = 3 + 0, por lo tantof(x) = 3

Ejemplo 2.-

Utilizando la fórmula y de donde

, con n=1 comprobación

Derivando a la función obtenida, tenemos:

, es decir

f(x) =5x

Ejemplo 3.-

Escribiendo a la integral de la función dada: .

Utilizando la fórmula , donde u,v y w son funciones, por lo tanto:

, identifica que podemos aplicar las fórmulas de los ejemplos pasados, y tendremos resultados parciales

36

aplicando

Ejemplo 4.-

Observa que al desarrollar la funciónuna expresión demasiada grande que no sería complicada de integrar, lo complicado es desarrollar a la expresión original, y reducir a la función ya integrada.

Es por esta razón que se utiliza la fórmula , donde u representa a una función y du a la diferencial de la función, pero al aplicarla siempre asegúrate de tener a du para acompañar a un. Entonces de:

tenemos que , n = 5 y al

obtener la diferencial de u con respecto de x se tiene Nota:

1) Siempre que te den una función a integrar de la forma de producto o cociente de funciones, identifica quien puede ser “u” y que “du” siempre será obtenida de “u”, es decir “u” genera a “du”.

2) Ya que obtuviste a “du” reescríbela algebraicamente de tal manera que se parezca a la parte de la función que no toma como “u”

Por lo tanto y entonces

Aplicando la fórmula

Simplificando la expresión y considerando que

37

Ejemplo 5.-

Si te preguntas como relacionamos esta función racional con la

fórmula , recuerda si se puede, ya menciono anteriormente; basta con reescribir la función aplicando leyes de los radicales y exponentes, tal como se muestra a continuación.

Si hacemos el cambio de variable, tenemos ,n =-1/2 y

Por lo tanto y aplicar la fórmula de integración

Realizando operaciones y aplicando nuevamente las leyes de exponentes y radicales se tiene:

Si

Nota: Observa que en estos dos últimos ejemplos hacemos el cambio de la función por la variable u, y esto también se puede aplicar a integrales elementales con formas exponenciales, trigonométricas y formas algebraicas escritas en formas racionales e irracionales

A continuación se te da al menos un ejemplo de integración de cada tipo de función.

38

Función exponencial

Ejemplo 6.-

Aplicando la fórmula , ya que esta fórmula tiene la forma de la función dada.

Si , entonces


, aplicando la fórmula

, si

Funciones trigonométricasEjemplo 7.-

Ahora si aplicamos una propiedad de las integrales

Utilizando la fórmula , ya que esta fórmula tiene la forma de la función dada.

Si , entonces


, realizando operaciones y aplicando la fórmula

, si

Ejemplo 8.-

Reescribiendo la expresión Comparando la función con las fórmulas y tenemos que la fórmula a utilizar es:

, con entonces .

39

Por lo tanto si , entonces

entonces

Funciones algebraicas donde se tienen una suma-resta de términos cuadráticos

Ejemplo 9.-

Comparando la función con las fórmulas y tenemos que la fórmula a utilizar es:

,

Donde , y si identificas en la fórmula se necesitan los

valores de a y u, entonces y , por lo tanto si

, entonces y de esta manera

Realizando la sustitución de y en la respuesta

Realizando operaciones

Actividad 2

Solicítale a tu docente facilitador del conocimiento que realice una dinámica de grupo, para que se agrupen mediante trinas y resuelvan los siguientes ejercicios, y ahora ya sabes cómo comprobar tus resultados.

40

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

8.-

9.- , se recomienda que utilices la forma

10.-

La integración ofrece más retos que la diferenciación. Para hallar la derivada de una función, es obvia la fórmula de diferenciación que se debe aplicar; pero quizá no sea obvia la técnica adecuada para integrar cierta función.Existe integrales que no se pueden resolver utilizando el método de integración inmediata, ni con la sustitución realizada anteriormente; se tienen métodos o técnicas de integración que nos ayudan a integrar funciones complejas, entre estos métodos tenemos a la integración por partes, integración por sustitución trigonométrica, por fracciones parciales, por cambio de variable para funciones de racionalización, entre otros.En dichos métodos se aplican técnicas individuales; no se pueden dar reglas inalterables y efectivas respecto a cuál método aplicar en determinado caso, pero se presentaran algunos consejos sobre la estrategia que puede ser de utilidad.Uno de los prerrequisitos para seleccionar una estrategia es el conocimiento de las fórmulas básicas de integración, por lo que es recomendable conocer todas y memorizarlas en su mayor parte.

Técnicas de integración. Integración por partes

Te presentamos el método de integración por partes, solicita a tu docente que ahonde en otros métodos de integración aparte del que se analiza en esta guía.

Toda regla de diferenciación tiene una regla de integración correspondiente; por ejemplo, la regla de sustitución para integrar corresponde a la regla de la cadena para diferenciar. La regla que corresponde a la del producto para la diferenciación, se llama regla de integración por partes.

41

Es decir si se tienen dos funciones diferenciables u y v, la fórmula aplicar es:

Que al ser integrada, esta ecuación se convierte en:

, que al ser

reordenada esta ecuación y considerando y que tenemos:

Que se conoce como la fórmula para integración por partes

Ejemplo 10.-. Determina

Sean y , realizando derivada e integral de las funciones correspondientes, para obtener de u a du y dv a v, tenemos:

aplicando

yasí:

aplicando

Nota: El objeto de emplear la integración por partes es obtener una integral más sencilla que la inicial. Así en el ejemplo si hubiéramos elegido a u= sen y dv= x dx, entonces du= Cos x dx y v= x2/2, y así la integración por partes resulta como:

pero es una integral más difícil que la original. Por lo que la elección que se hizo primero fue la indicada.

Ejemplo11.- Determina

Sean y , realizando las operaciones correspondientes

aplicando

y así:

42

Identifique la integral resultante no es más simple ni más difícil que la original, es semejante; por lo que se recomienda aplicar nuevamente integral por partes a la nueva integral.

Donde y , realizando las operaciones correspondientes

aplicando

y así:

Tal como observas la integral resultante es la misma integral que nos dieron a resolver desde el principio; no te preocupes, lo que tienes que hacer es despejar a la integral desconocida y operarla con la integral que se localiza a la izquierda de tu ecuación.

, realizando operaciones

, despejando a , finalmente se tiene:

Integral Definida

Actividad 3

Realiza la investigación de los siguientes temas en tu cuaderno: Definición de la integral definida y la simbología utilizada Aplicaciones de la integral y fórmulas utilizadas en dichas

aplicaciones

Actividad 4

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En una hoja reciclada de tamaño carta construye un mapa mental sobre las aplicaciones de la integral

Analiza la siguiente información de forma consciente, si tienes dudas hacerlas saber a tu docente, para que te retroalimente y puedes resolver los ejercicios que se plantean a continuación en esta guía y en tu vida cotidiana.

Aplicaciones de la integral

Hasta ahora “únicamente” hemos aprendido a calcular integrales, sin plantearnos la utilidad que éstas pueden tener. Sin embargo, tal como lo has investigado la integral definida es un método rápido para calcular áreas, volúmenes, longitudes, etc., lejos de los procesos lentos y laboriosos que empleaban los griegos. En Física, su empleo es constante, al estudiar el movimiento, el trabajo, la electricidad.Ahora vamos a ilustrar las distintas aplicaciones que tiene el cálculo integral

Cálculo de áreas planasTal como hemos visto antes, la integral definida es una generalización del proceso del cálculo de áreas. El área de un recinto es siempre positiva, mientras que la integral puede ser positiva, negativa o nula (cero). Por tanto en la aplicación de la integral al cálculo de áreas, debe tenerse en cuenta el signo de cada uno de los recintos limitados por el eje OX, y tomar el valor absoluto de los mismos. Su suma es el área.

Ejemplos. Determina el área de la región determinada por la función y límites dados; te sugerimos bosquejar el área dada para que realices una aproximación del área solicitada.

Ejemplo 12.-Hallar el área de la región limitada por la recta

determinada por la función , el eje “X” y las rectas

y Aplicando la fórmula para determinar el área:

, donde b > a tenemos:

, ,

Para resolver esta integral, la vamos a considerar como integral indefinida, de las que ya has resuelto

Tenemos que

44

Vamos a comprobar la respuesta, si graficamos a la función y a las rectas dadas

En el bosquejo tenemos que el área solicitada es un trapecio y cuya

fórmula es y donde

B , y , por lo tanto:

Ejemplo 13.-Hallar el área de la región limitada por la recta

determinada por la función , el eje “X” y las rectas

y Aplicando la fórmula para determinar el área:

, y donde , y

Tenemos

, aplicando la fórmula , donde y

, por lo que se aplica directamente la respuesta de la integral (pídele a tu docente que te explique este procedimiento)

si , entonces

45

Nota: El resultado es negativo, pero recuerda que no existen áreas negativas, integrales definidas sí, entonces se debe utilizar una propiedad de las integrales y la cual la cotejaras al observar la gráfica de la función, el área a determinar está bajo el eje “X”( es negativa) de tal manera para que el área a determinar sea positiva utilizaremos

, entonces

Áreas entre curvas

Hasta aquí todo va bien. Para regiones del tipo antes considerado, resulta bastante fácil escribir la integral correcta. Cuando consideremos regiones más complicadas, por ejemplo regiones entre dos curvas, la tarea de elegir la integral apropiada será más difícil. Sin embargo existe una forma de pensar que puede ser muy útil.1.- Dibuje la región2.- Córtela en piezas delgadas (tiras); marque una pieza representativa3.- Calcule el valor aproximado de la pieza representativa, considerándola como rectángulo4.- Sume las áreas aproximadas de las piezas5.-Tome el límite cuando la anchura de las piezas tienda a cero, obteniendo así una integral definida.Estos pasos anteriores te regresarán a la definición de integral definida y de área, y los cuales conducen a una expresión que se ha hecho fórmula:

, donde f(x) es la función continua superior, es decir la que está en la parte de arriba delimitando el área a calcular, g(x) es la función continua que se encuentra en la parte inferior en el intervalo [a, b].

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Ejemplo 14.-Hallar el área de la región limitada por y

, en el intervalo [-1,3]Como identificas no hemos determinado quien es f(x) o g(x), y para hacerlo necesitamos graficar las funciones, y así saber cuál de ellas es la gráfica superior en el intervalo dado.

Como se identifica en la gráfica la función que se encuentra en la

superior es por lo tanto será f(x), mientras que será g(x), en el intervalo dado, por lo tanto al aplicar la fórmula del área entre curvas, se tiene:

)

Nota: Identifica que el intervalo fue dado, hay ocasiones en que te dan las funciones y tienes que determinar dichos puntos, los cuales son las intersecciones entre dichas funciones. De la misma manera habrá ocasiones en que las funciones en determinado intervalo pueden pasar de inferior a superior y viceversa.

Actividad 5aDetermina en forma individual elárea que se forma con las siguientes funciones en el intervalo dado, realizando procedimientos adecuados y comprobando si es necesario si son figuras regulares.

1.- , ,y las rectas y

2.- , , en el intervalo [-1-,1]

3.- y , en el intervalo [0,1]

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Volúmenes de sólidos de revolución

Al introducir la integración, vimos que el área es solamente una de las muchas aplicaciones de la integral definida. Otra aplicación importante la tenemos en su uso para calcular el volumen de un sólido tridimensional. Si una región de un plano se gira alrededor de un eje E de ese mismo plano, se obtiene una región tridimensional llamada sólido de revolución generado por la región plana alrededor de lo que se conoce como eje de revolución. Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción. Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos.Existen distintas fórmulas para el volumen de revolución, según se tome de giro paralelo al eje OX o OY. Incluso a veces, es posible hallar el volumen de cuerpos que no son de revolución.Tal como investigaste la fórmula que aplicarás para obtener el volumen de un sólido generado por revolución de una región dada, alrededor del eje “X” es:

Para determinar el volumen de un sólido, pero gire alrededor del eje “Y” es:

Ejemplo 15.-Determina el volumen del cuerpo generado al girar la

región limitada por la curva y encerrado con el eje “X” y

las rectas y , alrededor del eje “x”Tal como se muestra en la gráfica, dada la región y sobre que eje se gira se forma el sólido.

Aplicando la fórmula , y de acuerdo a la gráfica

y con y

Actividad 5b

Resuelve los siguientes ejercicios

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1.- En forma individual del último acertijo presentado en la etapa de apertura, determina el volumen de la pelota de baloncesto moteada, si es del No. 5, utilizando integral definida.2.- Determina el volumen del sólido generado al girar la región que se

forma con la función , el eje “x” y las rectas y

, alrededor del eje “x”.

FASE DE CIERRE

De manera ordenada y limpia resuelve en hojas recicladas los siguientes ejercicios, es importante anexar tus procedimientos y entregarlo en tiempo y forma.

Actividad 1

Resolver el siguiente problemario.

1.- Determina la integral de las siguientes funciones:

a)

b)

c)

2.- Aplica la sustitución para resolver las siguientes integrales

a)

b)

c)

3.- Aplicando el método de integración por partes resuelve la siguiente integral:

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4.- Determina el área de cada una de las regiones que se forman con las funciones siguientes en el intervalo o rectas dado.

a) , , entre y

b) y , entre y

5.- Halla el volumen del sólido generado al girar la región

determinada por la función con el eje “X”, desde el

punto hasta el punto , alrededor del eje X




ATRIBUTOS




4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.






50









Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Competencias disciplinares a desarrollar en la asignatura





4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las

51

tecnologías de la información y la comunicación.



Aplica el muestreo en problemas de su entorno en forma individual y colaborativa, apoyándose de la Estadística inferencial para mostrar los resultados en distribuciones de probabilidad de variables discretas (binomial) y continuas (normal), modelando situaciones teórico-prácticas.


Álgebra, Geometría y Trigonometría, Geometría analítica, Probabilidad y Estadística:Nos auxiliamos de estas asignaturas en temas como: expresiones algebraicas, lenguajealgebraico, gráfica de funciones, límite de funciones.L.E.O.yE. Nos auxiliamos de esta disciplina para expresarse en forma verbal y escritaadecuadamente a fin de comprender el mensaje y así transitar al lenguaje con símbolos yexpresiones algebraicas para la deducción e interpretación de la función matemática.Física, Química y Biología. Vinculación de estas materias con la asignatura en los temascomo: En temas de temperatura, calor, electricidad, rapidez de movimiento, mezclas desustancias, velocidad de reacción, movilidad de especies.C.T.S.V. I y II. Contribuimos al análisis del ambiente y la alteración de este (contaminación,explosión demográfica), en problemas sociales y a la promoción de valores universales.Economía y Administración. Auxiliamos y contribuimos a los temas de mercado, oferta ydemanda, indicadores económicos, inflación valuación; así como el procesoadministrativo en la etapa de planeación.Dibujo. Apoyan para visualizar los fenómenos de una forma dinámica y atractiva.Módulos profesionales. Contribuye y vincula los temas con las diferentes especialidades.

Tema Integrador

Mi salud y la planificación

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Distribución binomialDistribución normal



Estadística inferencial


Distribución binomial Distribución normal


Definición de la distribución binomial Propiedades de la distribución binomial Definición de la distribución normal Propiedades de la distribución normal

Categorías

Diversidad Espacio Tiempo

Tiempo Programado

20 horasMapa de contenidos


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Concepto de estadística inferencial Distribución de Bernoulli Fórmulas del cálculo de probabilidades Calcular las áreas bajo la curva normal


Investigaciones Resolución de problemas del cálculo de probabilidades Deducciones Diseñar situaciones Aplicaciones del cálculo de probabilidades Conclusiones



FASE DE APERTURA

Actividad 1.

Lee la siguiente información y realicen una plenaria en grupo sobre el tema de probabilidad.

Todo lo que hacemos, todo lo que ocurre a nuestro alrededor, obedece a las leyes de lasprobabilidades. No podemos escaparnos de ellas, de la misma manera que no podemosescaparnos de la ley de gravedad. Suena el teléfono. Lo contestamos porque pensamos quealguien ha discado nuestro número, pero siempre existe una posibilidad de que el que llamahaya discado el número equivocado por error. Abrimos un grifo porque creemos que esprobable que de él salga agua, pero tal vez no salga. "La probabilidad", dijo una vez unfilósofo, "es la guía de la vida". Somos todos jugadores que pasamos por la vida haciendoincontables apuestas acerca de los resultados de incontables acciones.La teoría de las probabilidades es esa rama de la matemática que nos dice cómo estimar losgrados de probabilidad. Si es seguro que un acontecimiento se producirá, su grado deprobabilidad es 1. Si es seguro que no se producirá, su grado de probabilidad es 0. Todas lasOtras probabilidades que se sitúan entre 1 y 0 se expresan con fracciones. Si es tan probableque un acontecimiento se produzca

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como que no se produzca, decimos que su grado deprobabilidad es 1/2. En todos los campos de la ciencia se utiliza la estimación deprobabilidades. Un físico calcula el probable trayecto de una partícula. Un genetista calculalas probabilidades de que una pareja tenga un hijo de ojos azules. Las aseguradoras, loscomerciantes, los agentes de bolsa, los sociólogos, los políticos, los expertos militares...todos ellos deben ser expertos en calcular la probabilidad de los sucesos que les conciernen.

Actividad 2. Lee detenidamente el siguiente acertijo y contéstalo en forma correcta lo más pronto posible.

Las tres monedas

José: “Voy a arrojar tres monedas al aire. Si todas caen sol, te daré diez pesos. Si todas caen águila, te daré diez pesos. Pero si caen de alguna otra manera, tú me das cinco pesos a mí."Luis: "Déjame pensarlo un minuto. Al menos dos monedas tendrán que caer igual porque si hay dos diferentes, la tercera tendrá que caer igual que una de las otras dos. Y si hay dos iguales, entonces la tercera tendrá que ser igual o diferente de las otras dos. Las probabilidades están parejas con respecto a que la tercera moneda sea igual o diferente. Por lo tanto, hay las mismas probabilidades de que las monedas muestren el mismo lado, como que no. Pero José está apostando diez pesos contra cinco que no serán todas iguales, de modo que las probabilidades están a mi favor. ¡Bien, José, acepto la apuesta!"¿Fue bueno para Luis haber aceptado la apuesta? Sí o no, justifica tu respuesta

Actividad 3

Lee la lectura y anota una conclusión que compararás con tus compañeros al integrarte en equipos.

Toma de DecisionesUn estudiante de bachillerato, meditaba sobre una invitación:¿Iré a la fiesta o no iré?; si no voy no hay problema, pero si voy hay dos posibilidades: que haga amistadeso que no haga amistades; si no hago amistades no pasa nada, pero si hago amistades hay dosposibilidades: que me haga amigo de un hombre o que me haga amigo de una mujer; si me hago amigo deun hombre no pasa nada, pero si me hago amigo de una mujer hay dos posibilidades que le hable o que no lehable.Si no le hablo no sucede nada, pero si le hablo hay dos posibilidades que nos hagamos amigos o que nonos hagamos amigos; si no nos hacemos amigos no pasa nada, si nos hacemos amigos hay

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dosposibilidades: que nos hagamos novios o que no nos hagamos novios; si no nos hacemos novios no pasanada, pero si nos hacemos novios hay dos posibilidades: que nos casemos o que no nos casemos.Si no nos casamos no hay problema, pero si nos casamos hay dos posibilidades: que tengamos hijos oque no tengamos hijos; si no tenemos hijos no hay problema, pero si tenemos hijos hay dos posibilidades: que sea un niño o una niña; si tenemos niña no pasa nada, pero si tenemos niño hay dos posibilidades:que escoja ser Médico o Ingeniero Civil. Si elige ser Médico no pasa nada pero si elige ser Ingeniero Civil,hay dos posibilidades: que construya un edificio o que no construya un edificio; si no construye el edificiono pasa nada pero si construye el edificio hay dos posibilidades: que sufra un accidente o que no sufra unaccidente; si no sufre un accidente no pasa nada; pero si sufre un accidente, hay dos posibilidades quepierda la vida o que no la pierda.Si no pierde la vida en su oficio no pasa nada, pero si pierde la vida hay dos posibilidades: que se vaya alcielo o al infierno, si se va al cielo no pasa nada, pero si se va al infierno… ¡Ufff! que calor… no quieroproblemas, mejor no voy a la fiesta y me quedo analizar cuáles son las puntos de una mejor planeación de vida, acciones de mi salud yaprender Inferencia Estadística.

Conclusión:

Actividad 4

Apoyándote en la bibliografía investiga los términos involucrados, realiza un mapa conceptual con losconceptos de estadística inferencial. Algunos de ellos se encuentran citados en esta guía.

Actividades de Desarrollo

La distribución binomial

Existen eventos en los cuales solo son posibles dos resultados: águila-sol, aprobado-reprobado, vivo-muerto,día-noche, ganar-perder, etcétera. En algunos de esas situaciones los dos tienen la mismaposibilidad de éxito (p) y de fracaso (q), como en los “volados”, pero en otros definitivamente no, como enel nacimiento de seres vivos, donde la probabilidad p(x) de nacer vivo es mayor que la de nacer muerto. Aeste tipo de eventos se les llama binomiales porque admiten dos posibles resultados. Al lanzar unamoneda al aire en cinco ocasiones, ¿cuál sería la probabilidad de obtener 5 águilas, 4, 3, 2, 1 ó ninguna?;esto se puede resolver utilizando una tabla de distribución de frecuencias donde la variable sería elnúmero de águilas y la función es la probabilidad de obtener cualquier cantidad de ellas. En este ejemplo,¿qué es más probable al lanzar una moneda cinco veces, obtener 5 águilas o sólo 2?

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Si p es la probabilidad de ocurrencia de un suceso en un solo ensayo (llamada probabilidad de éxito) y q=1-p es la probabilidad de que el suceso no ocurra en un solo ensayo (llamada probabilidad de fallo), entonces la probabilidad de que el suceso se presente exactamente X veces en N ensayos ( es decir, X éxitos y N – fallos) viene dada por:

donde X=0,1,2,3, . . . , N y

Analiza detenidamente los siguientes ejemplos sobre la distribución binomial y sus representaciones; retroalimentándote con tu docente

Ejemplo1.- La probabilidad de obtener exactamente 2 águilas en 6 lanzamientos de una moneda es:

Nota:

Si es porque se tiene águila o sol al caer una moneda es decir

1 posible cara de la moneda/ 2 totales de caras .

Ejemplo 2.- La probabilidad de obtener al menos 4 niños en 6 nacimientos en una familia es:

Nota:

1.- Si es porque la probabilidad de tener niño o niña en un

nacimiento es decir 1 sexo/ 2 totales = .2.- Identifica, que cuando se hable con la palabra al menos, estamos indicando que será lo menos a considerar, en este caso de 6 nacimientos se consideran 4, 5 y 6 nacimientos.

Ejemplo 3.- De un total de 800 familias con 4 hijos cada una de ellas, ¿en cuántas de ellas cabe esperar que haya:

a) al menos un niñob) 2 niñosc) 1 o 2 niñasd) ninguna niña

Considerando que la probabilidad de nacimiento de niño es y por lo tanto, el nacimiento de no niño es el nacimiento de una niña,

es . Entonces

57

30 21 Número de niños

p(x)

a)

Entonces de 800 familias habrá al menos familias que se espera que tengan al menos un niño.

b) Número de familias que se espera tengan dos niños=

=800 = familiasc)

familiasd) Número de familias que se espera no tengan niñas

familiasEjemplo 4.- A continuación se presenta una distribución de probabilidad de X y la representación gráfica de la distribución del nacimiento de tres hijos de una familia.Suponiendo iguales las probabilidades de niño o niña, se tiene:

Número de niños 0 1 2 3Probabilidad p(x)Sumatoria de Probabilidades

1

Algunas propiedades de la distribución binomial.

Propiedad FórmulaMediaVarianzaDesviación típica

58

Ejemplo 5.- Determinar el número medio de nacimientos de niñas y la desviación típica de 64 nacimientos en un mes, en el centro de salud de Calnali.

Aplicando la fórmula para la media, se tiene: ,este es el número esperado de niñas de 64nacimientos en un mes.

La desviación típica es:

Actividad 1

Agrupándote en binas mediante una dinámica de grupos realizada por tu docente, resuelve elsiguiente ejercicio sobre la distribución binomialUn vendedor de seguros vende pólizas a 5 hombres, todos de la misma edad y con buena salud. De acuerdo con las tablas actuariales, la probabilidad de que un hombre de esta edad viva 30 años más es

de . Hallar la probabilidad de que a los 30 años vivan a) Los 5 hombresb) Al menos 3c) Solamente 2d) Al menos 1e) Construye la distribución de probabilidades y la gráfica

correspondiente

La distribución normal

Este tipo de distribución es muy empleada en estudios de fenómenos aleatorios, en disciplinas como economía, administración, medicina, ingeniería y otras ciencias aplicadas, indudablemente es una de las distribuciones más importantes y de mayor uso de todas las distribuciones continuas. Es la piedra angular en la aplicación de las inferencias estadística en el análisis de datos. La apariencia gráfica de está es la deuna curva simétrica de forma acampanada, que se extiende sin límite tanto en dirección positiva como negativa. Una gran cantidad de estudios muestra que proporciona una representación de variables físicas.Algunos ejemplos específicos incluyen datos meteorológicos como lo son la temperatura, precipitación pluvial, mediciones efectuadas en seres vivos, procesos de manufactura. Sin embargo aunque sea la de mayor uso no se debe abusar de ella, porque para determinados fenómenos puede dar resultados erróneos si se mal interpreta la palabra “normal”.Uno de los más importantes ejemplos de una distribución de probabilidad continua es la distribución normal, curva normal o distribución de Gauss. El área total limitada por la curva y el eje X es uno; de hecho el área bajo la curva entre dos ordenadas X=a y X=b,

59

donde a < b, representa la probabilidad de que X se encuentre entre

a y b, y se denota por .Cuando la variable X viene expresada en unidades de desviación,

.Un gráfico de esta curva normal tipificada se muestra a continuación y aquí se han indicada las áreas incluidas entre z=-1 y z=1, z=-2 y z=2, z=-3 y z=3, que son, respectivamente el 68.27%, 95.45% y 99.73% del área total que vale uno.

Propiedad FórmulaMediaVarianzaDesviación típica

Actividad 2

Analiza detenidamente el siguiente ejemplo sobre la distribución normal y sus representaciones; retroalimentándote con tu docente

Ejemplo 6.- La media de los pesos de 500 estudiantes del CECyTEH Calnali es de 57 kg y la desviación típica de 4 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan:

a) Entre 48 y 60 kgb) 65 kgc) Más de 70 kg

a) Los pesos registrados entre 48 kg y 60 kg pueden tener realmente cualquier valor entre 47.5 kg y 60.5 kg, suponiendo que se toman aproximadamente de 1 kg.

47.5 en unidades tipificadas -2.375=-2.38

60.5 en unidades tipificadas 0.875=0.88Proporción de estudiantes pedida= (área entre z = - 2.38 y z=0.88)= (área entre z= -2.38 y z=0) + (área entre z=0 y z=0.88)

60

= 0.4913 + 0.3106=0.8019, entonces el número de estudiantes que pesa entre 48 y 60 kg= 550(0.8019)= 441.045 = 441 estudiantes

b) Los estudiantes que pesen 65 kg, pesarán entre en 64.5 y 65.5 kg.

64.5 kg en unidades tipificadas

65.5 kg en unidades tipificadas Proporción de estudiantes pedida= (área entre z=1.88 y 2.13)= (área entre z= 2.13 y z=0) – (área entre z= 1.88 y z=0)= 0.4834 – 0.4699=0.0135, entonces el número de estudiantes que pesan 65 kg= (550) (0.0135)= 7.42= 8 estudiantes.

c) Los estudiantes que pesan más de 70 kg deben pasar al menos 70.5 kg.

70.5 kg en unidades tipificadas Proporción de estudiantes pedida= (área a la derecha de z=3.38=(área a la derecha de z=0 – (área entre z=0 y z=3.38)=0.5 – 0.4996= 0.0004; el número de estudiantes que pesa más de 70 kg será = (550)(0.0004)= 0.22= 1 estudiante.

61

Los resultados anteriores se pueden concluir en términos de probabilidad de la siguiente manera:

y así mismo

Actividad 3

En forma individual resuelve el siguiente ejercicio, realizando los procedimientos gráficos correctos.

Si las alturas de 550 estudiantes se distribuyen normalmente con media de 158 cm y desviación típica de 7 cm,¿ cuantos estudiantes tienen alturas?a)Mayor de 168 cmb) Menor o igual a 150 cmc) Entre 148 y 165 cm inclusived) Igual a 158 cm

ACTIVIDADES DE CIERRE

Actividad 1

De forma individual resuelve el siguiente ejercicio.

Hallar la probabilidad de que entre 3 y 5 de tus compañeros de grupo sean mujeres, utilizando:

a) La distribución binomialb) La distribución normal

62

PLAN DE EVALUACIÓN DE LA GUIA FORMATIVA DE MATEMATICA APLICADA

SEXTO SEMESTRE

ENERO 2015- JULIO 2015

SECUENCIA 1

Resultado de aprendizaje

actividades

Evidencia

(producto, desempeño,

conocimiento, actitud)

Momento de evaluación

(diagnóstica, formativa, sumativa)

Tipo de evaluación

(coevaluación. Autoevaluación

. Heteroevaluaci

ón)

Instrumento de

evaluación

Integración al portafolio de evidencia,

como metodología

de evaluación

Niveles de dominio del Resultado de aprendizaje

5

NECESITA

MEJORAR

7

REGULAR

9

BUENO

10

EXCELENTE

Aplico la derivada en el análisis de

funciones en problemas de mi vida

cotidiana, modelando situaciones

teórico-prácticas.

ACTIVIDADES DE APERTURA

Actividad 1

Lee el siguiente relato y responde el acertijo que se plantea a continuación.

DesempeñoDiagnostic

aCoevaluacion Rubrica No

Actividad 2

Los deportes son indispensables como una práctica de vida saludable, es por ello que se hacen encuentros a nivel Nacional e Internacional haciendo esta consideración te invito a que en forma responsable y respetando las respuestas de tus compañeros, contesta el siguiente cuestionario.

Desempeño Diagnostica

Coevaluacion Rubrica No

64

Actividad 3

Recuerda que en las matemáticas, física y química de tus semestres anteriores efectuaste gráficas, sin embargo éstas no todas eran funciones, porque para que lo sean, le debe corresponder un solo valor de la variable independiente a la variable dependiente; y que si al trazar una línea vertical paralela al eje de las ordenadas ésta solo toca un punto a la vez en todo el recorrido. Considerando lo anterior de forma comprometida contesta, ¿cuáles de las siguientes gráficas representa una función y=f (x)


aAutoevaluacion

Rubrica No

Actividad 4.

A través de una dinámica tu docente formará equipos y posteriormente haciendo uso del formulario que utilizaste en cuarto semestre para realizar la derivada de funciones, resuelvan en su libreta las derivadas de cada una de las funciones para verificar el resultado y ver cuál de los equipos resulto ser más componente, como lo has visto al término de un campeonato deportivo


aAutoevaluacion

Rubrica Si

65

ACTIVIDADES DE DESARROLLO

Actividad 1.

Apoyándote en el ejemplo anterior, reúnete en equipo de 5 integrantes, para realizar los ejercicios que tu maestro y compañeros te propongan, escuchando y poniendo atención a las indicaciones para socializar en plenaria ante el grupo tu forma de dar solución a estos.

Desempeño Formativa Heteroevaluacion

RúbricaNo

Actividad 2.

Investiga el segundo método de máximos y mínimos y resuelve al menos 3 ejercicios que tu docente o compañeros propongan.

Desempeño SumativaAutoevaluació

nRúbrica No

Actividad 3

Toda actividad que realices requiere de ejercicio para volverte competente en ella (disciplina a desarrollar), es por eso que tú también debes hacerlo, ahora en binas resuelve el siguiente ejercicio y socializa tu respuesta.

Desempeño FormativaAutoevaluació

nRúbrica Si

Actividad 4

Lee la siguiente lectura considerando las reglas que aprendiste en tu materia de LEOyE, para que comprendas y des respuesta al

Desempeño Formativa Autoevaluación

Rubrica No

66

cuestionamiento que se te plantea:

Actividad 5

De acuerdo al ejemplo anterior realiza lo que a continuación se te pide, haciendo uso de material resistente intégrate en equipo y de manera responsable construye una caja haciendo uso de tu habilidad imaginativa, de tal forma que quede abierta por arriba y del mayor volumen posible, para lo cual debes disponer de una pieza de 32 cm por lado

Desempeño Formativa Coevaluación Rúbrica No

Actividad 6.

De manera grupal comenten con tus compañeros cuál será la forma más idónea y segura de construir una caja del material que fuese, de manera que tenga el mayor volumen posible y/o la mínima área a emplear

Desempeño FormativaAutoevaluación

Rubrica No


Actividad 1

Si te comentarán que la atleta más bella de los juegos olímpicos de Beijing 2008, YelenaIaSimbayeva al saltar con garrocha describió la trayectoria

de la función , contesta

Desempeño Sumativa Autoevaluación

Rúbrica No

67

Actividad 2

Intégrate en equipo y analiza junto con tus compañeros tus respuestas y compárala con la de ellos de manera clara y apreciativa siempre respetando la opinión de los demás para llegar a una conclusión

Desempeño SumativaHeteroevaluac

iónRúbrica No

Actividad 3.

En sesiones de taller integrándote en trinas formadas por el docente mediante alguna dinámica elige tres de los siguientes problemas de manera que se cuente con una diversidad de ejemplos de aplicación y que a la vez te permita realizar tu microempresa que entregarás al final de la secuencia en tu proyecto integrador.

Producto SumativaHeteroevaluac

iónRúbrica Si

Práctica

Resuelve en tu cuaderno de evidencias de producto las siguientes cuestiones y comprueba lo que aprendiste y has mención del tipo de aplicación de la derivada

Producto SumativaHeteroevaluac

iónRúbrica Si

Secuencia

Conocimiento Desempeño

Producto Actitud Total

1 1 2 2 1 6

68


SEXTO SEMESTRE


SECUENCIA 2


actividades

Evidencia





Tipo de evaluación


. Heteroevaluaci

ón)

Instrumento de

evaluación


como metodología

de evaluación


5

NECESITA

MEJORAR

7

REGULAR

9

BUENO

10

EXCELENTE

Identifica y aplica las diferentes formas de integración de funciones en forma directa y con el método de sustitución algebraica; así como también comprende los conceptos de la integral definida para determinar el área y volumen de figuras geométricas y entre curvas, lo


Actividad 1

A continuación se presenta información recopilada por Martin Gardner de su libro “Matemática divertida”. Y resuelve los siguientes acertijos correctamente y de la manera más rápida

Actitud SumativaCoevaluació

nRúbrica No

Actividad 2Investiga las fórmulas para determinar el volumen de las figuras que se mencionan a continuación.

Desempeño Sumativa Coevaluación

Rúbrica Si

70

que permite al alumno resolver problemas de la vida cotidiana, modelando situaciones teórico-prácticas.

Actividad 3Obtén la derivada (f´(x)) de las siguientes funciones (f(x)), y comprueba tus respuestas con tus compañeros

Desempeño SumativaHeterovaluac

iónRúbrica No

Actividad 4Al último proceso que acabas de realizar se le conoce como antidiferenciación de funciones, investiga que otra manera se le conoce y como se representa simbólicamente y verifica si hay fórmulas para los diferentes tipos de funciones, y si es así construye dicho formulario en hojas blancas.

Desempeño SumativaAutoevaluaci

ónRúbrica No


Actividad 1Investiga que es la Integración de funciones y con la información realiza un organizador gráfico en un hoja en blanco

Desempeño SumativaHeterovaluac

iónRúbrica Si

Actividad 2

Solicítale a tu docente facilitador del conocimiento que realice una dinámica de grupo, para que se agrupen mediante trinas y resuelvan los siguientes ejercicios, y ahora ya sabes cómo comprobar tus resultados.

Desempeño SumativaHeteroevalua

ciónRubrica Si

Actividad 3

Realiza la investigación de los siguientes temas en tu cuaderno:

Definición de la

Desempeño Sumativa Heteroevaluación

Rubrica No

71

integral definida y la simbología utilizada

Aplicaciones de la integral y fórmulas utilizadas en dichas aplicaciones

Actividad 4

En una hoja reciclada de tamaño carta construye un mapa mental sobre las aplicaciones de la integral


ciónRubrica Si

Actividad 5a , 5bDetermina en forma individual el área que se forma con las siguientes funciones en el intervalo dado, realizando procedimientos adecuados y comprobando si es necesario si son figuras regulares.


ciónRubrica Si


Actividad 1

Resolver el siguiente problemario.

Producto SumativaHeteroevalua

ciónRubrica Si

Secuencia



2 1 5 1 1 8

72


SEXTO SEMESTRE


SECUENCIA 3


actividades

Evidencia





Tipo de evaluación


. Heteroevaluaci

ón)

Instrumento de

evaluación


como metodología

de evaluación


5

NECESITA

MEJORAR

7

REGULAR

9

BUENO

10

EXCELENTE

Aplica el muestreo en problemas de su entorno en forma individual y colaborativa, apoyándose de la Estadística inferencial para mostrar los resultados en distribuciones de probabilidad de variables discretas


Actividad 1.

Lee la siguiente información y realicen una plenaria en grupo sobre el tema de probabilida

Actitud Diagnostica

Coevaluacion

Rubrica No

73

(binomial) y continuas (normal), modelando situaciones teórico-prácticas.

Actividad 2. Lee detenidamente el siguiente acertijo y contéstalo en forma correcta lo más pronto posible.

Desempeño

Diagnostica Heteroevalua

cion

Rubrica Si

Actividad 3

Lee la lectura y anota una conclusión que compararás con tus compañeros al integrarte en equipos.

DesempeñoFormativa Autoevaluaci

on

Rubrica No

Actividad 4

Apoyándote en la bibliografía investiga los términos involucrados, realiza un mapa conceptual con los conceptos de estadística inferencial. Algunos de ellos se encuentran citados en esta guía.

DesempeñoFormativa Heteroevalua

cion

Rubrica Si


Actividad 1

Agrupándote en binas mediante una dinámica de grupos realizada por tu docente, resuelve el siguiente ejercicio sobre la distribución binomial.

Desempeño SumativaAutoevaluació

n

RúbricaSi

Actividad 2

Analiza detenidamente el siguiente ejemplo sobre la distribución normal y sus representaciones; retroalimentándote con tu

Desempeño Formativa Heteroevaluación

Rubrica No

74

docente

Actividad 3

En forma individual resuelve el siguiente ejercicio, realizando los procedimientos gráficos correctos.

DesempeñoFormativa

Heteroevaluación

Rubrica Si


Actividad 1

Resolver el siguiente ejercicio.

Producto SumativaHeteroevalua

ciónRubrica Si

Secuencia



3 1 4 1 1 7

75

INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN

RUBRICA PARA EVALUAR ORGANIZADORES GRÁFICOS

ELEMENTO COMPETENTE

10

BUENO

9-8

SATISFACTORIO

7-6

AUN NO COMPENTEN

5-0

Información La información utilizada tiene relación con el tema, es clara relevante y resalta la idea central en un golpe de vista.

La información utilizada tiene alguna relación con el tema, es clara y relevante.

La información utilizada tiene muy poca relación con el tema, es poco clara, relevante

La información utilizada tiene muy poca relación con el tema, es poco clara y no resalta la idea central.

Ortografía No tiene errores ortográficos ni de acentuación.

Tiene 3 o 4 errores ortográficos y de acentuación.

Presenta de 5 a 6 errores ortográficos y de acentuación.

Presenta más de 7 errores ortográficos y de acentuación.

Diseño del organizador

Utiliza palabras claves, y las ideas muestran relación jerárquica y paralela entre los distintos conceptos, tiene limpieza y creatividad.

Utiliza palabras claves, y las ideas muestran poca relación jerárquica y paralela entre los distintos conceptos, tiene limpieza y creatividad.

Utiliza palabras claves, y las ideas muestran muy poca relación jerárquica y paralela entre los distintos conceptos, tiene limpieza y muy poca creatividad.

Utiliza palabras claves, y las ideas no muestran relación jerárquica y paralela entre los distintos conceptos, tiene limpieza y muy poca creatividad.

Entrega a tiempo

Entrega en el tiempo solicitado

Entrega un día después del día solicitado.

Entrega dos días después del tiempo solicitado.

Entrega tres días después o no lo entrega.

76

Rúbrica para investigación

CATEGORIA 10 7.5 5 2.5

Calidad de la Información La información está claramente relacionada con el tema principal y

proporciona varias ideas secundarias y/o ejemplo

La información da respuesta a las preguntas

principales y 1-2 ideas secundarias y/o ejemplos.

La información da respuesta a las preguntas principales,

pero no da detalles y/o ejemplos

La información tiene poco o nada que ver con las preguntas planteadas

Organización La información está muy bien organizada con

párrafos bien redactados y con subtítulos.

La información está organizada con párrafos

bien redactados.

información está organizada, pero los párrafos no están

bien redactados.

La información proporcionada no parece

estar organizada

Redacción No hay errores de gramática, ortografía o

puntuación.

Casi no hay errores de gramática, ortografía o

puntuación.(1 a 3)

Unos pocos errores de gramática, ortografía o

puntuación. (4 a 6)

Muchos errores de gramática, ortografía o

puntuaciónFuentes (Citas

bibliográficas, Harvard, APA etc.)

Todas las fuentes de información (3 o mas

arbitradas o de primera mano ) y las gráficas

están documentadas y en el formato deseado

Todas las fuentes de información (2 arbitradas y

de segunda mano) y las gráficas están

documentadas, pero unas pocas no están en el

formato deseado.

Todas las fuentes de información (1 arbitrada y

de segunda mano) y gráficas están documentadas, pero

muchas no están en el formato deseado.

Algunas fuentes de información (todas de

segunda mano)y gráficas no están documentadas

Fuentes (Citas bibliográficas, Harvard,

APA etc.)

Participa activamente con orden y acierto en forma disciplinada su

Su participación es escasa y mantiene la disciplina

durante la clase

Participa pero no mantiene el orden y disciplina durante

el desarrollo del tema en clase

No participa ni mantiene el orden y disciplina

durante el desarrollo del tema en clases

77

RUBRICA PARA PROBLEMARIO

PLANTEL: SEMESTRE: QUINTO GRUPO:

ACADEMIA DE MATEMATICAS ASIGNATURA: MATEMATICA APLICADA

NOMBRE DEL ALUMNO: FECHA DE APLICACIÓN:

TEMA:

ACTITUD DESEMPEÑO PRODUCTO

La actividad

es entregada en la fecha

acordada.

(25%)

Muestra los procedimientos

en forma completa y ordenada.

(25%)

Muestra solidaridad

, con los integrantes del grupo al resolver

la actividad.

(25%)

Entrega la actividad de forma

limpia

(25%)

Muestra orden en el desarrollo

del ejercicio.

(25%)

Identifica y escribe formulas

que aplicaron para la

obtención de resultados.

(25%)

El ejercicio muestra

secuencia en su solución.

(25%)

Argumenta los pasos

que solucionan

el ejercicio.

(25%)

Muestra resultados de forma correcta.

(100%)

Evaluación: Evaluación: Evaluación:

78

guia de matematicas aplicadas calnali febrero julio 2015

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