guÍa de estudio para preparar el examen … · para que consigas una buena calificación en el...

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

ESCUELA NACIONAL

COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES

PLANTEL SUR

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS

GUÍA DE ESTUDIO PARA PREPARAR EL EXAMEN

EXTRAORDINARIO DE MATEMÁTICAS I

Math clock

�� 2� → � ��

ELABORARON

Profra. Verónica Cisneros Castillo

Profr. Daniel Flores Ibarra

Profra. Rosa Nayeli López Pacheco

Profr. Ernesto Márquez Fragoso

Coordinadores:

Ernesto Márquez Fragoso Daniel Flores Ibarra

Julio de 2017

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

ESCUELA NACIONAL COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES

PLANTEL SUR

Director Mtro. Luis Aguilar Almazán

Guía de estudio para preparar el examen extraordinario de MATEMÁTICAS I

Basado en el programa actualizado de 2016

© Todos los derechos reservados. Primera edición 2017 CDMX, México. Impreso en Escuela Nacional Colegio de Ciencias y Humanidades. Plantel Sur.

Julio de 2017

Autores

Verónica Cisneros Castillo

Daniel Flores Ibarra

Rosa Nayeli López Pacheco

Ernesto Márquez Fragoso

Índice

Presentación ……………………………………………………………….………………… iii

Contenido temático y objetivos ………………………………………..……………… …iii

Instrucciones de uso ………………………………………………………………….……iv

Unidad 1. El Significado de los números y sus operaciones básicas

Presentación …………………………………………………………………………………..….1

Bibliografía de consulta ........................................................................................................ 1

Conceptos claves……..…………………………………………………………………..…2

Sugerencias de actividades de aprendizaje teórico prácticos

Significado de los números reales y su simbolización………………………………….….2

Números primos .................................................................................................................... 3

Factorizar .............................................................................................................................. 4

Conceptos base de números naturales ................................................................................... 5

Números Enteros …………………………………………………………………………..6

Operaciones básicas, leyes de los signos..…………….……………………………………7

Números Racionales ………………………………………………………………………8

Operaciones básicas con números racionales.. ……………………………………………10

Prioridad de las operaciones ………………………………………………………………12

Operaciones con potencias y radicales……………… ……………………………………14

Significado contextual de las operaciones ……………………………………………….19

Patrones y fórmulas ………………………………………………………………………24

Formas de autoevalución o verificación de los aprendizaje

Examen de opción múltiple................................................................................................. 27

Solución a los ejercicos …………………………….….………………………………… 30

Respuestas al examen de autoevaluación……………………………………………………………………………. 32

Unidad 2. Variacion directamente proporcional y funciones lineales

Presentación ................................................................................................................................ 33

Bibliografía de consulta ...................................................................................................... 33

Conceptos claves ................................................................................................................. 34


Variación proporcional directa ........................................................................................... 35

Problemas de variación proporcional directa ...................................................................... 40

Funciones lineales ............................................................................................................... 41

Formas de representación de una función lineal: tablas, gráficas y modelo algebraico ..... 41

Cálculo de la rapidez de cambio o pendiente. ..................................................................... 44

Formas de autoevalución o verificación de los aprendizajes ............................................. 47


Guía para el examen extraordinario de Matemáticas I

ii

Respuestas al examen de autoevaluación ………………………………………………………………………………49

Unidad 3. Ecuaciones de primer grado con una incógnita

Presentación ................................................................................................................................ 55



Sugerencias de actividades de aprendizaje teórico práctico

Tipos de ecuaciones de primer grado .................................................................................. 57

Propiedades de las opreaciones con números reales ……………………………………….57

Resolución de problemas que dan lugar a Ecuaciones de primer grado con una incógnita…………………………………………………………………………………..66

Las ecuaciones como modelos matemáticos ..……………………………………………66

Examen de autoevaluación …..………………………………………………………………………………………………72

Solución a los ejercicios ..................................................................................................... 73

Respuestas del examen de autoevaluación ..……………………………………………………………………………74

Unidad 4. Sistemas de ecuaciones lineales

Presentación ................................................................................................................................ 75




Soluciones de un problema con dos variables y una sola condición en una tabla ............. 76

Solución gráfica de un problema ........................................................................................ 78

Método de igualación .......................................................................................................... 83

Método de sustitución ......................................................................................................... 84

Sistemas de ecuaciones equivalentes …………………………………………………….. 87

Método de obtención de un sistema triangular equivalente ................................................ 88

Problemas que dan lugar a sistemas de ecuaciones lineales .. ……………………………91

Formas de autoevalución o verificación de los aprendizajes ...................................................... 93


Respuestas a los ejercicios .................................................................................................. 96

Respuestas al examen de autoevaluación ...……………….…………………………………... 98

Bibliografía básica y complementaria ……………………………………………………………………………………99


iii

Presentación

La resolución de esta guía te dará la oportunidad de conseguir los aprendizajes necesarios

para aprovechar las matemáticas, poder resolver problemas en diferentes contextos,

entender mejor las asignaturas posteriores, además te apoya en la preparación del examen.

Contenido temático y objetivos

El curso de Matemáticas I retoma temas de aritmética, álgebra y funciones, vistos en sus

cursos anteriores, dándoles una nueva perspectiva para lograr un conocimiento más

maduro que permita su aplicación para la resolución de diversos problema, con ello se

pretende que el alumno perciba la necesidad de contar con un camino más eficiente para

resolver o representar cierto tipo de problemas o ejercicios que él ya ha percibido como

análogos. Además de la traducción de un problema que se resuelve con una ecuación es

importante que comprenda la riqueza de la estrategia algebraica que le permite establecer

relaciones entre cantidades conocidas y desconocidas. Los temas que tendrás que estudiar

son:

� El Significado de los números y sus operaciones básicas. (Para favorecer el tránsito de la aritmética al álgebra)

� Variación directamente proporcional y funciones lineales.

� Ecuaciones de primer grado con una incógnita.

� Sistemas de ecuaciones lineales

Con estos temas se pretende cumplir con propósitos del curso1 (CCH, 2016).

Al finalizar el primer curso de Matemáticas, a través de las diversas actividades encaminadas al desarrollo de habilidades y a la comprensión de conceptos y

procedimientos, el alumno:

� Conocerá y manejará algunas estrategias para la resolución de problemas.

� Dará significado a los algoritmos de las operaciones básicas y el manejo de la

jerarquía de las operaciones.

� Logrará el tránsito de la aritmética al álgebra.

� Reconocerá que la resolución algebraica de ecuaciones involucra un proceso que

permite reducir una ecuación dada a otra más simple, hasta alcanzar una forma

estándar.

1 CCH. Programas de estudio. Área de matemáticas. Matemáticas I a IV (2016) México: ENCCH


iv

� Desarrollará su capacidad de transitar por distintos registros de representación:

verbal, tabular, algebraico y gráfico.

� Resolverá problemas que dan lugar a una ecuación de primer grado con una

incógnita, o un sistema de ecuaciones lineales.

� Utilizará la representación algebraica, gráfica y tabular para estudiar

fenómenos que involucran variación directamente proporcional y de tipo lineal.

� Utilizará las representaciones algebraica y gráfica para modelar situaciones

con ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones.

� Será capaz de resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita y

sistemas de ecuaciones lineales.

� Reconocerá cuando un sistema de ecuaciones es consistente o inconsistente.

Instrucciones de uso

Para que consigas una buena calificación en el examen extraordinario es importante que

al estudiar con esta guía:

� Sigue al pie de la letra las instrucciones de la guía. � Procura dedicar al estudio de esta guía, tres horas diarias continuas, durante al

menos 15 días antes del examen. � Contesta toda la guía y revisa las respuestas, las correctas están al final de cada

unidad. Recuerda escribir claramente tus procedimientos. � Al terminar cada unidad contesta el examen de autoevalución, si no fue

satisfactorio resuelve más ejercicios de los temas que cometiste errores. � Revisa y aplica los conceptos claves, los elementos que debes saber. � Acude a las asesorías con regularidad para resolver tus dudas. � Emplea la tecnología para favorecer la adquisición de conocimientos, aunque para

el examen de esta asignatura NO se permitirá el uso de la calculadora. � El material de consulta, libros o ligas de internet, se encuentran al principio de

cada unidad, USALO, son un buen apoyo, para mejorar tu aprendizaje.

Con tu empeño y apoyado en asesorías y el uso de la tecnología lograras obtener buenos

resultados.

Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas.

1

Unidad 1. El Significado de los números y sus operaciones básicas

Presentación

El modelo de Colegio de Ciencias y Humanidades tiene como primer lema “aprender a

aprender”, lo cual implica la necesidad de tener herramientas para lograr este objetivo. Es

necesario entonces, el dominio de elementos matemáticos para poder trabajar en el aula en

cursos avanzados, así como mantener la capacidad de consultar cualquier bibliografía.

Dentro de estos principios esenciales está el manejo de la aritmética, así como generar

habilidades en el pensamiento, incluso elementos básicos de resolución de problemas, así como

no perder de vista la importancia del cálculo mental.

A lo largo de esta unidad se explorarán las bases que hacen que las Matemáticas sean un lenguaje

de comunicación de ideas, es decir, los elementos sustantivos que permiten construir la lógica y

los modelos para analizar situaciones complejas y aplicadas.

Es así que durante esta unidad se logra dar sentido a los diferentes tipos de números, sus

operaciones básicas y a la creación de referentes concretos en una actividad de resolución

aritmética de problemas. Para esto se han planteado una serie de estrategias que ayuden al

desarrollo analítico–sintético, hasta llegar a la expresión algebraica de procedimientos generales

de cálculo (obtención de fórmulas), recreando así un primer acercamiento al lenguaje

algebraico.

El alumno será capaz de operar con los números racionales (enteros y no enteros) y resolver

problemas aritméticos, aplicando reglas heurísticas para facilitar la comprensión, la búsqueda

de un plan de resolución y su ejecución, con la finalidad de que haga suyos los recursos básicos

para iniciarse en el uso del lenguaje algebraico para expresar la generalidad.

Bibliografía de consulta

Aponte, G., Pagán, E., & Pons, F. (1998). Fundamentos de Matemáticas básicas. México:

Addison Wesley Logman.

Coto, A. (2011). Desarrolla tu agilidad mental. Edición de autor.

Fuenlabrada de la Vega, S. (2007). Aritmética y Álgebra. México: Mc Graw Hill.


2

Conceptos claves

� Número: expresión que denota la cantidad de objetos. � Razón: vínculo entre dos magnitudes comparables (cociente). � Múltiplo de un número: número que resulta de multiplicar un número por otro número

natural. Decimos que un número es múltiplo de otro si le contiene, de forma entera, varias veces.

� Divisor de un número: número que se multiplica para formar el número; sinónimo de factor. Todos los números tienen como divisor a uno y a sí mismo.

� Lenguaje algebraico: forma de traducir a símbolos y números las expresiones textuales algebraicas. Esto permite modelar problemas. Su función principal es estructurar un idioma que ayuda a generalizar las distintas operaciones.


Significado de los números reales y su simbolización

El conjunto de los números reales pertenece en matemáticas a la recta numérica que comprende

a los números racionales y a los números irracionales. Esto quiere decir que incluyen a todos

los números positivos y negativos, el símbolo cero, y a los números que no pueden ser

expresados mediante fracciones de

dos enteros. Por otro lado, Un número

natural es cualquiera de los símbolos

que se usan para contar los elementos

de un conjunto. Reciben ese nombre

porque fueron los primeros que

utilizó el ser humano para contar

objetos.

El conjunto de los números reales ℝ

es aquél formado por la suma del

conjunto de números racionales ℚ

más el de los números irracionales �.

En la imagen (Figura 1) se muestra la

representación del conjunto de

números reales. Obsérvese del centro

hacia afuera, comenzando por los

números naturales ℕ, enteros ℤ,

racionales ℚ e irracionales �.

El cero es, para algunos autores, el

primer número natural, es uno de los

valores esenciales del cual hay que

conocer sus propiedades y como operarlo. La invención del cero fue desarrollada primero por

Figura 1. Representación del conjunto de números reales. Imagen

tomada de http://www.numerosreales.com/.


3

los Mayas. Los árabes, tras “descubrir” el cero en la India, pasaron a denominarlo céfer, que

también significa “vacío”, y que dio origen a las palabras cero y cifra. De este particular

elemento es necesario conocer sus propiedades.

Propiedades del cero:

A) elemento neutro en la adición e inverso aditivo o resta.

� + 0 = � � − 0 = �

3 + 0 = 3 5 − 0 = 5

b) elementos que afecta a la multiplicación y a la división. La división entre cero no es una operación permitida.

� ∗ 0 = 0 5 ∗ 0 = 0

0� = 0 05 = 0 �0 → ∄ 50 → ∄

∄, ��, ��

Dentro de los números naturales, las operaciones fundamentales son: la “adición” y la

“multiplicación”. La adición es la operación que puede realizarse con varios números

cualesquiera, pero es más importante considerar la adición entre pares de números (a + b)

(Spivak, 2012). A partir de la suma su operación inversa es el inverso aditivo o resta. Para la

multiplicación, muchas de sus propiedades se parecen a la de la suma, o producto de dos

elementos a y b, la cual se representa como � ∙ �, � ∗ �, �� o simplemente ��. Una de las

principales propiedades es: la propiedad asociativa para la multiplicación.

� �� ∙ �� = �� ∙ �� 3 �−5 ∙ 2� = �3 ∙ −5� 2

Números primos

Un número natural es primo si es divisible únicamente por sí mismo y la unidad. Es decir, debe

tener exactamente dos divisores diferentes. Por esto se define como no primo al número 1.

De alguna manera tú ya has escuchado de estos característicos números. Una manera de obtener

los primeros números primos es la Criba de Eratóstenes, un algoritmo que permite ver los

números que solo sean divisibles entre sí mismos y la unidad.


4

Instrucciones:

1. Completa los números faltantes.

2. Necesitarás 4 colores distintos para trabajar; pueden ser negro, azul, rojo y verde.

3. Cancela con una línea (/) en negro los números que sean múltiplos de 2, excepto el 2.

4. Cancela con una línea en azul los números que sean múltiplos de 3, excepto el 3.

5. Cancela con una línea en rojo los números que sean múltiplos de 5, excepto el 5.

6. Cancela con una línea en verde los números que sean múltiplos de 7, excepto el 7.

7. ¿Qué números quedaron libres?

1 4 6 8 9 10

12 14 15 16 18 20

21 22 24 25 26 27 28 30

32 33 34 35 36 38 39 40

42 44 45 46 48 49 50

51 52 54 55 56 57 58 60

62 63 64 65 66 68 69 70

72 74 75 76 77 78 80

81 82 84 85 86 87 88 90

91 92 93 94 95 96 98 99 100

Factorizar

Teorema Fundamental de la Aritmética: Todo número natural, excepto la unidad, admite una

única descomposición en factores primos, salvo por el orden.

Nota: Dentro de las propiedades de los números naturales son las propiedades de divisibilidad,

por ejemplo:

a) Todo número par es divisible entre 2,

b) Todo número, cuya suma de sus dígitos es múltiplo de 3, es divisible entre 3.

c) Todo número que termina en cero o 5 es divisible entre 5.

d) El cero es par.


5

Factoricemos algunas cantidades.

1) ¡Existen 1440 minutos al día! Factoricemos el número 1440.

1440

(4+5 = 9 por lo que es múltiplo de 3)

1440

720

360

180

90

45

15

5

1

2

2

2

2

2

3

3

5

1

(siempre empezar por el menor hasta agotarlo)

Ejercicio 1

Realiza las factorizaciones de los siguientes numeros:

a) 136 b) 120 c) 6327 d) 2100 e) 2017

Conceptos base de números naturales

Definición: El máximo común divisor (M.C.D.) de dos o más números naturales es el mayor

número que los divide a estos números.

Definición: El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números naturales es el menor

número que contiene un número exacto de veces a cada uno de estos números.

Ejemplo

a) Calcular M.C.D. de 12 y 15

b) Calcular m.c.m. de 12 y 15


6

Divisores o factores de:

12

1,2,3,4,6 y 12

15

1,3,5 y15

Son divisores comunes 1 y 3. Elegimos siempre el mayor

1Sol. M.C.D. (12,15) = 3

Son múltiplos de:

12

12,24,36,48,60,72,84,96,108,120…

15

15,30,45,60,75,90,105,120,135,….

Son múltiples comunes: 60, 120, …. Elegimos el menor.

Sol. m.c.m. (12, 15) = 60

Ejercicios 2

Calcula el M.C.D. y el m.c.m. de las siguientes ternas de números naturales.

a) 60, 1575, 98 b) 72, 108, 30 c) 16, 27, 25 e) 150,60, 90 f)36, 24, 54

Ejemplo de Problema

Cierto fenómeno tiene lugar cada 450 segundos, otro cada 250, y un tercero cada 600. Si a las 5 de la tarde han coincidido los tres. ¿a qué hora volverán a coincidir por primera vez y cuántas veces tiene lugar cada uno de ellos entre una y otra coincidencia?

Sol. 7 y media de la tarde y coinciden:

9000 ÷ 450 = 20 , 9000 ÷ 250 = 36 , 9000 ÷ 250 = 15

Números Enteros

El conjunto de números enteros está formado por los números positivos, los negativos y el cero,

se denotan por la letra ℤ y son los siguientes:

ℤ = '… , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … )

Representación en la recta numérica. Los números enteros se pueden representar en la recta

numérica, como se indica:

1 Sol. Solución o respuesta exacta.


7

−∞ -3 -2 -1 0 1 2 3 +∞

A la ubicación en la recta numérica del cero se llama origen, a la derecha del origen se localizan

los enteros positivos y a la izquierda los enteros negativos.

Operaciones básicas, leyes de los signos

Las operaciones que se pueden realizar con números enteros son: adición, sustracción,

multiplicación, división, potenciación y radicación.

Suma algebraica: mismo signo, se suman sus valores absolutos. Signos diferentes, se resta el valor absoluto del mayor menos el valor absoluto del menor y el resultado tendrá el signo del

de mayor en valor absoluto. Aplicable también a fracciones.

Multiplicación: mismo signo, se multiplican o dividen sus valores absolutos y el resultado será

siempre positivo. Signos diferentes, se multiplican o dividen sus valores absolutos y el resultado

será siempre negativo.

La potenciación, sigue las reglas de la multiplicación ya que debes recordar que la potencia se

obtiene multiplicando a la base por si misma, el número de veces que el exponente lo exprese,

así:

Si la base es positiva la potencia será siempre positiva:

3* = 3 ×3 ×3 = 27

Si la base es negativa y el exponente par, la potencia siempre será positiva.

�−3�- = �−3��−3��−3��−3� = 81

Si la base es negativa y el exponente impar, la potencia siempre será negativa.

�−3�* = �−3��−3��−3� = −27

La radicación de números enteros no siempre genera números enteros, sino números

irracionales, si el radicando es positivo, también genera números imaginarios si el radicando es

negativo y el índice es par.

Si el índice es impar, el número tendrá la raíz del mismo signo que el radicando.

√−2430 = −3 (Se extrae la raíz quinta de 243 y será negativa)


8

Ejercicio 3. Resuelve las siguientes operaciones. Elige la respuesta correcta.

1) = −3'5�6 − 9� − �2* + 1� + 9)1 − 5 + 151 A) 568 B) -368 C) 12 D) -455

2� = '�−5 + 3*� + �−2*� + √−642 ×2)�−1� A) 12 B) -8 C) -6 D) -5

3� = '−20 + 3312 − 3 �7 − 3� + 2�4 − 5� − 3�−8 + 2� − 104 − 12)

A) 14 B) –14 C) 12 D) – 208

4� = 6 − 5 �3 − 5�2* − 3�4 − 6�1

A) 74 B) – 188 C) –26 D) –68

5� = �15 ÷ 3�5 − 4�3�−1� − 27 ÷ 3

A) 6 B) 28 C) 6 D) −6

Números Racionales

Los números racionales son aquellos números que se pueden expresar como la razón de dos

números enteros, siendo el denominador diferente de cero. Se denota con la letra ℚ y se define

como:

ℚ = 5� �⁄ = �� , � 7 � ∈ ℤ, � ≠ 0:, Ejemplo: 2, −4, − ;< , − ;=* Fracción

Fracciones, se utiliza para expresar una cantidad (numerador) dividida entre otra cantidad

(denominador). Ambos, numerador y denominador, deben ser estrictamente números enteros y

el denominador nunca habrá de ser cero.


9

�� ; �, � ∈ Ζ; � ≠ 0

Razón

Es la comparación entre dos cantidades a travéz del cociente. Por ejemplo, de que en un conjunto

de personas la cantidad de mujeres respecto a la de hombres sea de 9 a 1, 9 : 1 (por cada nueve

mujeres hay un hombre),

Distintos significados y representaciones.

Los números fraccionarios tienen diferentes representaciones, tales como:

a) Fracción común: ;;@ , -* , ;A

b) Expresión decimal: 0.6, 0.142857, 1.8….

c) Porcentaje o tanto por ciento, que es una o varias partes de las cien en que se divide

un número: 12%, 3%, 1.7%, …

d) Fracciones equivalentes, que son las fracciones que representan el mismo valor, pero

se escriben de manera diferente: 1* = -B = ;B1-, pero su forma decimal es la misma.

Los números racionales al poderse ubicar en la recta numérica, también tienen un orden y el

criterio para saber cuál es menor o mayor en la recta numérica es el mismo que el de los números

enteros, es decir, es mayor el que está a la derecha del otro.

Ejercicio 4

1) Ordena las siguientes fracciones comunes y colócalas en los cuadros, de manera que se

cumpla la relación que se pide. Comprueba este orden convirtiéndolas a su forma decimal.

=10

5

5

8− = =

8

3 =−

3

5 =

2

3

> > > >

2) Realiza las siguientes simplificaciones.

a) =24

18 b) =−

100

20 c) =

105

120 d) =

231

126 e) =

180

144

Es muy importante siempre simplificar las fracciones, evitará que trabajes con números grandes que a

su vez generan mayor probabilidad de error.


10

3) Relaciona una fracción que se ubique entre los dos números mostrados.

1 � 3 5 > > 45 2 � 89 > > 163 3 � − 110 > > 0

4 � 716 > > 12

5 � − 56 > > 43

� � 1532

� � 276

� � − 26

D � 710

� � − 120

Operaciones básicas con números racionales

Las operaciones que se pueden realizar con números racionales son: adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Para realizar las operaciones básicas con números racionales se procede igual que con los

números enteros, solo que cuando son fracciones hay que cumplir ciertas reglas.

Las reglas para efectuar operaciones algebraicas con número racionales son iguales que las de

enteros con respecto a los signos.

Para realizar las sumas algebraicas cuando los números son fracciones comunes, es necesario

que los denominadores sean iguales, procediéndose a sumar algebraicamente los numeradores.

Ejemplo 1

a) A< + ;< = AE;< = F<

b) A- + <- − ;- = AE<G;- = ;;-

c) 1* − 4 = 1±;1* = − ;=*

En caso de que las fracciones no tengan el mismo denominador hay que proceder a convertirlas

a fracciones equivalentes con el mismo denominador, lo cual se consigue utilizando el mínimo

común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores de las fracciones que se suman.


11

Ejemplo 2. Al sumar A* + 1<, como los denominadores son diferentes, se calcula el m.c.m. de 3

y 5 que es 15, quedando que A* = *<;<

1< = B;<, lo cual se puede obtener directamente al dividir

al m.c.m. entre cada denominador y multiplicarlo por el numerador correspondiente,

obteniéndose: A* + 1< = *<EB;< = -;;<

Ejemplo 3. Al restar 4 a 1*, se procede de igual modo, es decir, se obtiene el m.c.m. de los

denominadores que es este caso es 3, y se obtiene: 1* − 4 = 1G;1* = − ;=*

Ejemplo 4. Para obtener la suma de: *;= + <B − ;;-<, primero se busca el m.c.m.

I. �. I. = 2 ×31×5 = 90

*;= + <B − ;;-< = 1AEA<G11@= = F=@= = F@

Para multiplicar números fraccionarios comunes, basta multiplicar numerador por numerador

para obtener el numerador del producto y denominador por denominador para obtener el

denominador del producto.

Ejemplo 5. Al multiplicar − *< J�K A- basta con multiplicar horizontalmente y respetar la ley de

los signos. − *< × A- = − 1;1=

Ejemplo 6. Al multiplicar 5 J�K *A, tienes que recordar que el denominador de 5 es 1 por lo

que se tiene: <; × *A = ;<A , que es positivo porque los dos números son del mismo signo.

Para dividir fracciones comunes, basta con multiplicar el numerador de la fracción dividendo

por el denominador de la fracción divisor para obtener el numerador del cociente y multiplicar

el denominador del dividendo por el numerador del divisor para obtener el denominador del

cociente.

Ejemplo 7. Al dividir *A ��K� − 1*, basta con multiplicar cruzado.

L*A M ÷ L− 1*M = − @;- ó 2NOP2 = G@;- extremos, numerador y medios, denominador.


12

Ejemplo 8. Al dividir *A ��K� − 7, tienes que recordar que el denominador de –7 es 1.

L*A M ÷ �−7� = − @-@ ó 2NGNQ = − *-@ extremos, numerador y medios, denominador.

Para la potenciación de fracciones comunes, se sigue el procedimiento de la multiplicación de

fracciones, solo es necesario tener cuidado con que el exponente afecta tanto al numerador como

al denominador de la fracción.

Ejemplo 9. Para obtener la potencia de L1*M- = 1R*R =

;BF;

Para la radicación se siguen las reglas de la de los números enteros, extrayendo la raíz

correspondiente a cada elemento de la fracción.

Ejemplo 10. Para obtener la raíz de S− TUV solo hay que extraer la raíz cúbica de 1 y la raíz

cúbica de 8 y como es una raíz de grado impar de un número negativo, la raíz es negativa,

quedando:

W− 18 2 = − √12√82 = − 12

Prioridad de las operaciones. Uso de signos de agrupación y prioridad del cálculo.

La prioridad de las operaciones con los números racionales es la misma que la establecida para

números enteros, es decir:

• Primero se realizan las potencias y raíces.

• Enseguida se realizan las multiplicaciones y divisiones.

• Al final se realizan las adiciones y sustracciones.

• Las operaciones presentadas en signos de agrupación (paréntesis) se realizan

primero utilizando el mismo orden de prioridad

Ejemplo:

5 ÷ L12 − 4 13ML2 − 43M L−5 12 + 3M − 3 ÷ L− 32M

L45 ÷ 32M + 2


13

Es muy conveniente desarrollar por partes.

4 13 = 133

Fracción derecha numerador

5 ÷ X12 − 4 13Y = 5L12 − 133 M = 5

L36 − 266 M = 5L− 236 M

Ejercicios. Simplifica el resultado de cada operación y preséntalo en forma racional.

¡Cuidado con los signos!

Ejercicio 5

1) *QOEO2G1EQ2 + QRG;GO2 =

A) <B B)− <*1= C)

*;1= D)-11=

2) L1GQ0M

LG*E*QOM ÷ L;QOE*MLG1G;QOM =

A) <B B)− ;-< C)

;-< D)-1*A

3) L1GQ0M÷L;QOE*M

LG*E*QOMLG1G;QOM =

A) F1F B)− ;-- C) − F*< D)

*1A

4) − Z*G;O2[EZ QOP0[ZG<EQO[÷�G;G;� =

A) -@ B)− <*1= C)

-* D)− F@


14

5) G;GQOG1E2R − <÷LGQOMNRG 2O =

A) <B B)− <*1= C)

1=B< D)1=B<

6) 1 \S−18

3 ]÷*LQOME- LQ2G-MQ2 =

A) 3 B)−46 C) ;* D)

-B*

7) ^√;--* − \ N02 E RQO_R_ ] L@BM` ÷ 2 =

A) A*1 B)− <*1= C)17 D)34

Operaciones con potencias y radicales

Una potencia de base “a” y exponente “n” consiste en multiplicar tantas veces “a” por sí mismo,

como indique “n”. Por lo tanto, es una forma abreviada de representar una multiplicación (Coto,

2011).

Propiedades de los exponentes

ab = T cb = T

aT = T cT = c

adae = adEe

adae = adGe

�ad�e = ad∙e

�af�d = adfd

LafMd = adfd

VgVV = VU

VgVV = VgGV

�Vg�V = Vg∙V

�V ∙ c�h = Vh ∙ ch

XTVYi = TiVi

VGc = TVc


15

aGd = Tad

ade = √ade

ViV = jViV

Tener en cuenta algunos cuadrados muy comunes, ejemplo

TTi = TiT , Tii = Tcc, TVi = Tkl, Tci = Tlk, Tgi = iig

En ocasiones es necesario combinar las potencias y radicales con las demás operaciones para

obtener resultados de procesos más complejos por lo que es importante conocer y aplicar todas

sus leyes.

Suma y resta de radicales

Ejemplo. Si deseas adicionar √8 �� √18 , la prioridad de operaciones no te permite

considerar que el resultado es √20 , ya que primero debes obtener la raíz y después sumar; es

así que √26 resulta de primero sumar y después extraer la raíz cuadrada.

Para poder efectuar la suma √8 + √18 , es necesario que primero factorices a los enteros que

son los radicandos y extraigas las raíces cuadradas exactas y enseguida procedas a reducir los

términos semejantes resultantes y posteriormente obtener solo una raíz cuadrada que es el

resultado de la adición de los radicales o números irracionales √8 7 √18 , obteniéndose:

√8 + √18 = √4×2 + √9×2 = √4 √2 + √9 √2 = 2√2 + 3√2 Reduciendo los términos semejantes

�2 + 3�√2 = 5√2 Como 5 es la raíz cuadrada de 25, queda:

√25 √2 = √25×2 = √50

Como puedes observar al √8 + √18 no se obtuvo √26 sino √50


16

Producto y cociente de radicales

Para multiplicar o dividir radicales es necesario que los índices de las raíces sean iguales.

Ejemplo 1. Si deseas multiplicar √30 √120, basta con multiplicar los radicandos ya que las

raíces son del mismo grado, quedando:

√30 √120 = √30×120 = √3600 = 60

Ejemplo 2. Si desea dividir √1262 entre √62, basta con dividir los radicandos ya que las raíces

son del mismo grado, quedando:

√1262√62 = W12662 = √212

Como puedes observar, el resultado de la multiplicación o de la división puede ser un número

racional o número irracional.

Ejercicios 6.

1) De acuerdo a las leyes anteriores, escribe si es Verdadera o Falsa cada una de las siguientes

proposiciones:

a) �G;�G; = ;mn _____________

b) �G; + �G; = ;mEn _____________

c) ( ) 222 baba +=+ _____________

d) 0x siempre es 1 _____________

e) (-5)n

siempre es negativo _____________

2) Escribe el resultado de cada una de las siguientes expresiones:

a) =− 23 d) ( ) =−3

4


17

b) ( ) =−2

3 e) 3( 2)− − =

c) =− 34 f) 4( 2)− − =

3) Califica como falsa o verdadera cada una de las afirmaciones.

a) 2 3 2 3n n n = × _____________

b) 4 3 4 3n n n n n+ = + _____________

c) 2 2 2nm m nn m +⋅ = _____________

d) ( )3 3m

n m n= _____________

e) 2 3 2 3n n n= _____________

4) Explica con tus propias palabras.

a) ¿Qué sucede con la expresión n x cuando n es par o impar y cuando x es cualquier número

real?___________________________________________________________________

b) ¿Por qué se dice que n

mn m xx = ? ___________________________________________

c) Menciona ejemplos resueltos en donde el producto de dos irracionales nos dé un número

entero.

5) Anota una x en el conjunto a que pertenecen los siguientes números.

Numero Natural Entero Racional Irracional Real

a) -345


18

b) 23

c) 53

d) 3

4−

e) 25−

6) Simplifica los siguientes radicales.

a) =64 d) =3 16

b) =8 e) =3 81

c) =12 f) =3 128

7) Resuelve las siguientes operaciones con radicales.

a) 2 8 32 64+ + − = b) =++− 20325523

c) =82 d) =33 24

e) 8 3 7− = f) ( ) =223

g) ( ) =−4

25 h) 45

5=


19

i) 3

3

112

2= j)

4

4

156

4=

Significado contextual de las operaciones

El lenguaje algebraico es una forma de traducir problemas o expresiones matemáticas a otras

con símbolos y números, particularmente ecuaciones. De esta forma se pueden manipular

cantidades desconocidas con símbolos fáciles de escribir lo que permite simplificar teoremas,

formular modelos y cómo resolverlas. Este lenguaje nos ayuda a resolver problemas

matemáticos mostrando generalidades. El lenguaje algebraico nace en la civilización

musulmana en el periodo de Al-Jwarizimi (780-850) durante la edad media.

Una expresión algebraica es una cadena de representaciones perteneciente al lenguaje

algebraico, el cual puede contener variables, números, así como también operaciones

aritméticas. El término, es una expresión algebraica donde hay solo operaciones de

multiplicación y división de letras y números elevados a ciertas potencias.

En álgebra, es muy importante saber expresar las proposiciones verbales comunes en lenguaje

algebraico.

• Algunas palabras que indican adición son:

Suma, aumentar, mayor que, más, incrementar, más grande que, etc.

• Algunas palabras que indican sustracción son:

Resta, menos, menor que, diferencia, disminuir, perder, etc.

• Algunas palabras que indican multiplicación son:

Producto, veces, triple, multiplicado, doble, cuádruple, etc.

• Algunas palabras que indican división son:

Cociente, mitad, dividido, entre, tercera, razón, etc.


20

Lenguaje común Lenguaje

algebraico

Un número cualquiera. m

Un número cualquiera aumentado en s iete . m + 7

La di ferencia de dos números

cualesquiera. f - q

El doble de un número excedido en cinco. 2x + 5

La divis ión de un número entero entre su

antecesor

�� − 1

La mitad de un número. D2

El cuadrado de un número y2

La semisuma de dos números � + �2

Las dos terceras partes de un número

disminuidos en cinco es igual a 12.

23 �� − 5� = 12

Tres números natura les consecut ivos . x , x + 1 , x + 2

La parte mayor de 1200, s i la menor es w 1200 - w

El cuadrado de un número aumentado en

s iete . b 2 + 7

Las t res quintas par tes de un número más

la mi tad de su consecut ivo equivalen a

t res .

35 J + 12 �J + 1� = 3


21

El producto de un número con su antecesor

equivale a 30. x(x-1 ) = 30

El cubo de un número más el t r ip le del

cuadrado de dicho número. x3 + 3x2

Ejercicio 7.

A continuación, te sugerimos realices el ejercicio, donde tienes que expresar en forma

verbal o escrita los diferentes términos según sea el caso.

a) El doble de un número.

b) El cociente de la suma de dos números sobre tres.

c) El cociente de la suma de dos números sobre 3 veces el primer sumando.

d) c(x–4)

e) La diferencia de los números es mayor que su cociente.

f) (3x)2

g) El triple del cuadrado de la diferencia de dos números.

h) El semiproducto de dos números consecutivos.

i) La suma del doble de un número con otro número.

j) El cubo de la raíz cuadrada de la suma de dos números

k) El producto de la suma del triple de un número con el doble de otro y seis.

l) La diferencia del doble de los cuadrados de dos números.

m) El promedio de seis números.

n) La suma de tres números consecutivos.

o) La mitad de la raíz del cociente de un número con 4.


22

Ejercicio 8

Analiza las siguientes situaciones y resuelve paso a paso.

1) Un campesino fue a la ciudad, la primera mitad del camino fue en tren, 15 veces más de prisa

que si hubiera ido caminando. Pero la segunda mitad del camino tuvo que hacerla en una carreta

jalada por bueyes, dos veces más despacio que a pie. ¿Cuánto tiempo ganó o perdió en

comparación en el caso en que hubiera ido todo el tiempo a pie?

2) Un caracol decidió subir un árbol de 15 metros de altura. Durante cada día tenía el tiempo de

subir 5 metro; pero mientras dormía por la noche, bajaba 4 metros. ¿Al cabo de cuántos días

llegó a la cima del árbol?

3) De lunes a viernes, en periodos normales, un estudiante distribuye, en promedio, las horas

del día de la siguiente manera:

Actividad Fracción del día

Dormir 13

Alimentación 112

Descanso y diversión 16

Estudio 14

Aseo personal 124

Tareas y trabajos 18

a) ¿A que actividad se dedica más tiempo?

b) ¿A que actividad se dedica menos tiempo?

4) . Si un pintor se llevó 1 y medio días en pintar los marcos de las ventanas de una casa, 1 día

4

3 de día pintar el techo y 2 días

8

1 de día el resto de la casa, ¿cuántos días en total requirió el

trabajo?


23

5) La siguiente gráfica representa la distribución general del

gasto mensual de una familia.

a) ¿Qué parte del presupuesto gasta en alimentos y vestido?

b) ¿Qué parte del presupuesto gasta en pagos de la casa?

c) ¿Qué parte del presupuesto dedica a gastos varios?

d) ¿Qué parte del presupuesto gasta la familia en alimento,

vestido y gastos varios?

e) Qué parte del presupuesto gasta en alimentos, vestidos y pagos

de la casa?

6) Un par de zapatos cuesta $ 247.25 con I.V.A. (considera el I.V.A. de 15%), determina el

precio de los zapatos sin I.V.A.

A) $ 200 B) $ 210.60 C) $ 215.00 D) $ 205.50

7) Un número al dividirlo entre 11 tiene cociente 7 y residuo 6. El número es:

A) 72 B) 94 C) 105 D) 83

8) Encuentra el numerador de la fracción equivalente a 70

35 cuyo denominador sea 24.

A) 70 B) 24 C) 35 D) 12

9) Un apicultor tiene una lata con 13 litros y medio de miel y quiere envasarla en botellas de L*-M L para venderla, ¿Cuántas botellas necesita?

A) 15 B) 18 C) 9 D) 20

Alimentos y vestidos

Gastos varios

Pagos de la casa


24

Patrones y fórmulas

Las fórmulas se encuentran relacionadas con las matemáticas y otras ciencias como las física,

ciencias computacionales, la economía, sociología, etc., éstas se emplean para representar de

forma breve información mediante símbolos o relaciones de cantidades. Matemáticamente

hablando, una fórmula se expresa como una ecuación con variables y constantes matemáticas

mediante una expresión algebraica.

Por otro lado, un patrón se caracteriza por la repetición de un elemento de forma predecible; los

patrones puede ser modelos empleados para generar nuevos. En Matemáticas se emplea mucho

el concepto de patrones ya que cualquier secuencias de dígitos que puede modelarse por una

función matemática se le considera patrón.

Ejercicio 9

1) Completa la siguiente sucesión de números:

7, ___, 21, 28, ___, 42, ___, ___, 63, ___,77, ___, ___…

2) ¿Cuál sería la regla para obtener cualquier término de esta sucesión?

____________________________________________________________________________

3) Usando la regla que escribiste, ¿cuál es el término que está en el lugar 15? ______________

4) ¿Cuál es el término de la sucesión que está en el lugar 20? __________________________

5) Calcula el perímetro de las siguientes figuras (el contorno está remarcado).


25

6) Observa las figuras regulares anteriores y en base a la fórmula de su perímetro establece una

fórmula general que nos dé el perímetro para cualquier polígono regular, indicando el

significado de las variables.

Esta fórmula es una expresión algebraica.

7) Escribe la expresión algebraica (únicamente con letras) que sirve para calcular el perímetro

de las siguientes figuras geométricas.

8) Pilar tiene 1* de la edad de Lupe. Si la suma de sus edades es 30. ¿Qué edad tiene cada una?

9) Eduardo trabajó 9 horas más que Diego. Si entre los dos trabajaron 35 horas. ¿Cuántas horas

trabajó cada uno?

Los patrones se pueden presentar de forma numérica y geométrica.


26

Ejemplo:

Determina la fórmula que genera la serie numérica de la cantidad de fósforos utilizados

para construir la figura formada por un número de triángulos dados.

N° de triángulos 1 2 3 4 5 6 7 . . . n

N° de fósforos 3 5 7 9 11 13 15 17 19

Observa en que en esta secuencia (el número de fósforos) la diferencia entre un término y el

siguiente es 2, entonces en la fórmula se tendrá el término 2n, donde el factor 2 de n corresponde

a la diferencia entre un término y el siguiente y donde n será la posición que ocupe cada término

de la secuencia. Por otro lado, debido a que la primera figura comienza con 3 fósforos, se debe

sumar 1, tal que sumado con 2n resulta el primer valor de la serie (en este caso 3). Entonces la

fórmula que genera la secuencia 3, 5, 7, ... es 2n + 1.

Ejercicio 10

1) Encuentra la fórmula general en las siguientes secuencias

Cuando obtenemos una expresión algebraica general es útil evaluarla con la información o

parámetros establecidos. Esto significa reemplazar cada variable por un valor numérico que le

corresponde, para luego resolver las operaciones indicadas en la expresión para determinar su

valor final.

1 2 3 4


27

Ejemplo

Tenemos la expresión �1 − 7� y consideremos que � = 5.

Primero calcularemos la expresión con � = 5 resultando 51 − 7 ∙ 5

Una vez reemplazado el valor numérico, se desarrollan las operaciones correspondientes y se

calcula el valor final de la expresión.

51 − 7 ∙ 5 = −10

Recuerda:

En la potencia de un número negativo, solo tomaremos signo y número cuando el número esté

entre paréntesis, de lo contrario solo elevaremos el número.

Ejercicio 11

Expresión Reemplazar � = −1; � = 4; � = 3; D = −2 Valor resultante.

12�1 − 3D − �1

8� − 3D� + �

�� − �D

�� − D1

�� − D� X54 � + �6Y

�� + �� − D�1


28

Forma de autoevalución o verificación de los aprendizajes

Examen de opción múltiple

Instrucciones:

� Lee cuidadosamente cada pregunta.

� Escribe el número y la justificación de tu respuesta en una hoja aparte.

� El inciso anótalo en la plantilla.

1 2 3 4 5 6 7 8

Resuelve como se indica, cada uno de los incisos.

Calcula el MCM y el mcm de las siguientes tareas de números naturales.

1) 126, 120, 10800

A) o. p. q. = 6 I. �. I. = 7560 B)

o. p. q. = 6 I. �. I. = 75600 C) o. p. q. = 7500 I. �. I. = 6 D)

o. p. q. = 7560 I. �. I. = 6 E)

o. p. q. = 6 I. �. I. = 120

2) 30, 36, 40

A)o. p. q. = 60 I. �. I. = 2 B)

o. p. q. = 25 I. �. I. = 75 C) o. p. q. = 20 I. �. I. = 3600 D)

o. p. q. = 2 I. �. I. = 360 E)

o. p. q. = 2 I. �. I. = 40

3) 2RENRAGB − Q0÷ 2O1Q2 × _0 =

A) ;B;; B)

--;< C)1B** D

;=*-1 E -;;<

4� <* − B< + 2 1< + O2GR20R =

A) B-;< B)

A* C) 89 D);1< E -

-*


29

5) Simplificar mediante el uso de las leyes de los exponentes: \ rORsQOr RQ_sQt]-

A) �QO�2O B) ��O2 C) ��2O D) �2O� E) ��-

6) Resuelve la siguiente operación y simplifica

uL*1M1 ÷ A1v − S @-@ + L-A + *;-M =1

A) ;<- B)

@A C) -1;<B D) -1 E) 1

7) Determina la fórmula que genera las siguientes series numéricas

8, 10, 12. . .

A) 4n+2 B) 8+2 C) n+2 D) 2+2 E) (n+2) 2

8) Evalúa la siguiente expresion: <n1 − wB + �

Sea � = −2; � = 4; � = 3.

x� 152 y� 252 p� 126 q� 172 z� 576


30

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS

Ejercicio 1

a) �2*��17�

b) �2*��3��5�

c) �31��19��37�

d) �21��3��51��17�

e) 2017 es primo

Ejercicios 2

A) MCD = 1 mcm = 44100

b) MCD = 6 mcm = 1080

c) MCD = 1 mcm = 10800

d) MCD = 30 mcm = 900

f) MCD = 6 mcm = 216

Ejercicio 3

1) D 2) C 3) B 4) A 5) B

Ejercicio 4

1) *1 > * F > < ;= > − <* > − <F

2) A) *- b) − ;< c)

FA d) ;1B1*; e)

-<

3) Relaciona una fracción que se ubique entre los dos números mostrados.

1) d, 2) b , 3) e, 4) a, 5) c

Ejercicio 5

1) C 2) B 3) C 4) A 5) D 6) B 7) A

Ejercicio 6. Operaciones con potencias y radicales

1. a) V b) F c) F d) V e) F

2. a) -9 b) 9 c) -64 d) -64 e) 8 f) -16

3. a) V b) F c) F d) V e) V


31

4. a) Las raíces pares tienen soluciones dobles y las impares no. Las raíces pares sólo

existen para números negativos.

b) La base se conserva y los exponentes describen la operación inversa.

c) √20√5 = 10 √12√3 = 6

5. a) entero, racional, real b) natural, entero, racional, real c) irracional, real

d) racional, real e) entero, racional

6. a) 8 b) 2√2 c) 2√3 d) 2√22 e) 3√32

f) 4√22

7. a) 7√2 − 8 b) 7√2 − 3√5 c) 4 d) 2 e) −8√21 f) 18 g) 10000 h) 3

i) √72 j) √39R

Ejercicio 7. Significado contextual de las operaciones

a) 2x b) mEn* c)

mEn*m

d) El producto de un número con otro disminuido en cuatro.

e) � − 7 > {| f) El cuadrado del triple de un número. g) 3�� − 7�1

h) {�{E;�1 i) 2x+y j) }√� + �~*

k) �3� + 27� ∙ 6 l) 2�1 − 271

m) mEnEwE�E�E�B n) x(x+1)(x+2) o)

S�R1

Ejercicio 8.

1) Fue 17 veces más rápido que a pie. 2) 11 días 3) A) dormir B) aseo personal

4) 5 *F días 5) a) *F b)

*F c) ;- d)

<F e) *-

6) $215.00 7) 83 8) 12 9) 18

Ejercicio 9. Patrones y fórmulas

1) 7, 14, 21, 28, 35, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, … 2) 7n 3) 105 4)140

5) Triángulo 6cm, cuadrado 8cm, pentágono 6cm, hexágono 8.4cm, heptágono

6.3cm, octágono 6.4cm. 6) P=nl, P: perímetro (cm), n: número de lados, l: longitud

del lado (cm) 7) Trapecio P=2a+B+b Cruz P=12d Romboide P=2a+3b

8) Lupe 18 años, Pilar 12 9) Diego 13 h, Eduardo 22h

Ejercicio 10.

1) 3n+1


32

Ejercicio 11.

Expresión Resultado

12�1 − 3D − �1 2

8� − 3D� + � 9

�� − �D 54

�� − D1 -7

�� − D��54 � + �6� 5312

�� + �� − D�1 75

Respuestas al examen de autoevaluación

1 2 3 4 5 6 7 8

B D D B C E C A

Unidad 2. Variación directamente proporcional y Funciones lineales

33


Presentación

Esta unidad es de las más importantes, ya que puede aplicarse en diferentes contextos, además

es la piedra fundamental en el estudio de conocimientos que permiten modelar diversos

problemas, los conceptos de variación y función tienes que aprenderlos, para que uno de los

grandes oficios de la matemática, modelar, lo utilices de manera adecuada.

Los conceptos de variación directamente proporcional y función lineal permiten describir

diferentes aspectos en varios campos de la física, la química entre otras ciencias. La

comprensión de las funciones, la revisaras con diferentes registros tablas, gráficas y modelo

algebraico, permite comprender mejor el concepto de función, si te queda clara la relación entre

los diferentes registros, podrás conseguir mejores aprendizajes resolver diversas situaciones.

Todo el conocimiento sobre cualquier tópico se basa en el estudio de relaciones, la variación

entre variables y las funciones lineales son algunos ejemplos. Las matemáticas se encargan de

establecer esas relaciones codificarlas y modelarlas en general. El desarrollo de las habilidades

del pensamiento, el razonamiento mismo, está ligado a nuestra capacidad de relacionar las cosas

que existen en el mundo.


Khan Academy. (n.d.). Recuperado el 4 de febrero, 2017, de:

https://es.khanacademy.org/math/algebra/linear-word-problems/constructing-linear-

models/e/constructing-linear-functions-word-problems

Portal académico. CCH. UNAM. Variación Proporcional. (2012). Recuperado el 12 de

enero de 2017, de:

http://portalacademico.cch.unam.mx/alumno/aprende/matematicas1/variacionproporci

onal?page=0,2

Descartes - Recursos - Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. España recuperado el 15 de febrero de 2017 de:

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/EDAD_3eso_funciones_lineales/3eso_quincena10.pdf

(pp 168 a 173)


34

Conceptos claves

� Razón: Relación entre dos números a través del cociente

� Proporción: Igualdad entre dos razones

� Variable: Es una magnitud que puede tener varios valores

� Tipos de variables: En una relación entre variables, la variable independiente,

determina los valores que toma la variable dependiente, para formar parejas ordenadas

(v independiente, v. dependiente).

� Función: Una función es una relación entre dos variables, de manera que a cada valor

de la primera le corresponde un único valor de la segunda, � = �(�), la pareja es

(�, �) (�, �(�)), conocida como par ordenado.

� Registros de una función

o Tabular: Conjunto de parejas ordenadas en una tabla.

o Gráfica: Conjunto de puntos en un plano cartesiano que identifica la relación

entre las variables.

o Modelo matemático: Expresión algebraica, que explicita la relación entre las

variables.

� Rapidez de variación o pendiente: En la función �(�) = � + �, es el coeficiente de �

que determina que tan rápido crece o decrece una recta y por lo tanto la inclinación de

la recta.


35


Variación proporcional directa

Una proporción es la igualdad entre dos razones, por ejemplo:

� = ��

�� ó � = ��

��

Si sabemos qué cantidades son proporcionales, por ejemplo:

� = ��

� es equivalente a 3� = 4(27) de donde � = �(��) → � = �

Ejercicio 1

1. En las siguientes proporciones, encontrar el valor de la incógnita

a) �� = �

�

b) � � = !

�

c) "# = �

d) #" = �

$

2. Los siguientes valores corresponden a variación proporcional directa, es decir %&'&

= %('(

Calcula el valor de la variable faltante en cada caso:

a) )� = 18, ,� = 8, , = 6, ) = ___

b) )� = 21, , = 6, ,� = 3, ) = ___

c) )� = 40, , = 2.5, ) = 16, ,� = ___

d) )� = 1.5, , = 10.95, ) = 7.3, ,� = ___

En una relación, la variable y es directamente proporcional a la variable x, la razón de y entre

x es constante, es decir, si:

3 = 4� con 5 ≠ 0 llamada constante de proporcionalidad.

También se puede escribir

4 = 3� � es la variable independiente

4 es la variable dependiente


36

La gráfica es un elemento esencial y es importante que conozcas los elementos esenciales.

El Plano cartesiano esta conformado por un par de ejes perpendiculares, el eje horizontal se

llama eje de las abscisas y el vertical eje de las ordenadas. Cada punto en el plano cartesiano

se puede identificar con un par de coordenadas, que como están ordenadas se les llama parejas

ordenadas, conformadas de la siguiente manera (789:;97, <=>?@7>7 ). En matemáticas es

(x, y) en otros contextos es (variable independiente, variable dependiente).

Por ejemplo

En el plano cartesiano se graficó el punto C(4, 6) y se señala que la primera coordenada

pertenece al eje de las abscisas y el 6, la segunda coordenada, coresponde al eje de las ordenadas.

Verifica que están bien las coordenadas del punto H.

Ahora escribe las coordenadas de los puntos B, D y E, señalando las lineas punteadas como en

los otros casos, estas se llaman “proyecciones a los ejes”.

A( , ); B( , ); C( , ).


37

Ejemplo 1

El perímetro de un pentágono regular, donde:

La variable independiente es el lado l del pentágono medido en centímetros.

La variable dependiente es el perímetro P del pentágono (cm.).

La constante de proporcionalidad es 5.

Tiene como modelo es D = �E

Ejemplo 2

Un movimiento rectilíneo uniforme, puede estar descrito por la expresión:

F = � G, con velocidad de

� H%

I J

Identifica como en el ejemplo 1: las variables, sus unidades y la constante de proporcionalidad.

Del modelo matemático se puede obtener la tabla y la gráfica de la situación descrita, es

importante cómo se acomodan las variables en cada caso.

Tabla

Variable

independiente

Tiempo t (seg)

Variable

dependiente

Distancia d (m)

FG

1 1.5

2 3

4 6

5 7.5

6 9

Verifica que el cociente de la variable dependiente entre la variable independiente es constante,

KL =


38

La traducción del punto (4, 6), nos dice que el objeto en 4 segundos recorrió 6 m, ¿qué

representa el punto (8, 12)? ___________________________________________________

Ejercicio 2

1. Escribe con tus propias palabras el concepto de:

a) Función

b) Variable independiente

c) Variable dependiente

2. De las siguientes situaciones, investiga el modelo matemático que lo describe, escribe sus

variables con las unidades en que se miden e identifica si es variación directamente

proporcional.

a) El perímetro de un cuadrado.

b) El área de una circunferencia.

c) El volumen de una esfera.

d) La fuerza necesaria para estirar � unidades un resorte respecto a su longitud

natural (ley de Hooke).

e) Presión P ejercida por un líquido con respecto a la profundidad �(unidades de

longitud).

3. Determinar cuál es la variable dependiente e independiente y la función que describe a los

datos de la siguiente tabla.

t(seg) d(m) >M 1 3

2 6

3 9

4 12

4. Determinar la variable dependiente e independiente y la relación del perímetro (P) de un

hexágono regular con la longitud de un lado (N).


39

5. De las tablas de valores que aparecen abajo marca con X las que representen una relación

directamente proporcional entre las variables.

T D

0 0

1 1

2 4

3 6

4 16

( )

R P

10 2.5

20 5

30 7.5

40 10

50 12.5

( )

x y

4 2

5 2.5

7 3.5

12 6

24 12

( )

z S

1 0.8

2 0.4

3 0.2

4 0.1

( )

b A

2 3

4 6

8 12

10 15

14 21

( )

a) De las que son directamente proporcionales escribe la expresión matemática y con ella

verifica que se cumplan los valores de la tabla.

b) Elabora cada una de las gráficas y describe las características que tiene la gráfica de una

variación directamente proporcional.

6. Completa las tablas de tal manera que la relación entre las variables sea de proporcionalidad

directa. Debajo de cada una escribe la expresión que describe la relación.

U V

1

2

3

4

5

7

__

__

__

__

g F

1.7

3

4.5

___

11.8

____

1.7

___

___

9

____

21

m E

.3

.5

.9

1

1.1

__

__

__

__

11

v S

1 0.8

2 1.6

2.4

8

w P

2

1

4

1

1 ___

5

2

5

1

2

5


40

Problemas de variación proporcional directa

Ejemplo 1

La longitud de una sombra a determinada hora del día es de 60 centímetro y la altura del objeto

es de 1.80 metros. ¿Qué altura tendrá un objeto cuya sombra es de 3.20 metros a la misma hora

del día?

Solución:

Sea L la longitud de la sombra medido en metros y h la altura del objeto (m), entonces:

ℎ P = 5

Para encontrar el valor de k, sustituimos los datos iniciales

L = 0.60m

h = 1.80m

Entonces:

�.!QQ.$Q = 5 = 3 → ℎ = 3P

Para encontrar la altura

ℎ = 3(3.20) = 9.60

Para una sombra de 3.60 metros la altura del objeto es de 9.60 metros.

Comprobación

ℎ P = 1.80

0.60 = 9.603.20 = 3

Es decir, están en la misma proporción.

Ejercicio 3. Problemas

1. La presión “P” en un líquido varía directamente proporcional con la profundidad “d” por

debajo de la superficie del líquido. Si “P” es igual a 40 cuando “d” es igual 10, calcula el valor

de la constante de proporcionalidad y el valor de “P” cuando d = 15.

2. Pedro compró 25 paquetes de azúcar de 2kg que cuestan $8.40 cada uno. Juan compró un

costal de 50kg a $190. ¿Quién pagó menos y de cuánto es el ahorro si se compran los 50kg?


41

Funciones lineales

Una función lineal se puede escribir como � = � + � o de la forma �(�) = � + �, que se

lee � en función de � o simplemente, � de � y representa la variable dependiente y para cada

valor de �, �(�) = �.

Formas de representación de una función lineal: tablas, gráficas y modelo algebraico

En el apartado anterior has encontrado que, a partir de una tabla de valores de parejas ordenadas,

se puede encontrar la gráfica y el modelo matemático de una variación directamente

proporcional, que es un caso particular de las funciones lineales. Pues bien, si conoces alguno

de los tres registros, podrás obtener los otros, si identificas las características de los parámetros

y � de la función lineal.

Ejemplo

Dada la gráfica obtener la tabla y la función lineal.

Si la gráfica está bien diseñada y contiene la información necesaria se puede elaborar la tabla

sin ningún problema. A continuación, ponemos algunos valores y a ti te toca completarla.


42

Punto t(seg) d(m)

A 0 4

B 2 7

C 4

D 13

E

En este ejemplo F(G) representa la función distancia que depende del tiempo. Para obtener el

modelo tenemos que conocer los valores de y de � pues como es una recta tiene la forma de:

>(M) = 7M + 8

Del punto R(0, 4) cuya primera coordenada es cero podemos obtener el valor de �, sustituyendo

en la expresión anterior.

4 = (0) + �

4 = �

Como la gráfica distancia contra tiempo es una recta, nos dice que es un movimiento rectilíneo

uniforme, es decir, tiene velocidad constante (recorre distancias iguales en tiempos iguales).

Para obtener "” o mejor dicho la velocidad, se calcula con la fórmula de velocidad media.

Por ejemplo, la velocidad media de cero a 2 segundos se obtiene:

T = 7 − 42 − 0 = 3

2

Verifica que la velocidad es la misma, para los intervalos de:

a) 2 a 4 segundos.

b) 2 a 6 segundos.

Para calcular la velocidad media de un tiempo inicial (GV)a tiempo final

(GW)se obtiene:

[ ]if

if

fimtt

ddttv

−

−=, Donde el numerador nos da la distancia

recorrida y el denominador el tiempo empleado en recorrerla.


43

El valor del coeficiente de la variable independiente es la velocidad; es decir, la función de

distancias es:

F = 32 G + 4

Ejercicio 4

1. Obtén la tabla y la gráfica de la siguiente función lineal:

( ) 3 2f x x= +

2. Determina la gráfica y el modelo algebraico que representa la siguiente tabla:

x y

0 12

1 9

2 6

3 3

4 0

3. Grafica en el mismo plano cartesiano las siguientes funciones lineales, donde en cada

función se cambia la rapidez de variación, que es el coeficiente de �. Además compáralas

y establece sus características

a) �(�) = � � + 1

b) X(�) = 2� + 1

c) ℎ(�) = 3� + 1

d) Y(�) = 5� + 1

4. En otro plano cartesiano, grafica todas las siguientes funciones, (la "" cambia por valores

negativos) y compáralas entre sí y con las anteriores.

a) �(�) = − � � + 1

b) X(�) = − 2� + 1

c) ℎ(�) = − 3� + 1


44

5. Ahora cambiamos el termino independiente “b” llamado ordenada al origen, grafícalas

en un plano cartesiano, establece sus coincidencias y sus diferencias.

a) �(�) = 4� − 2 b) X(�) = −

# � + 5 c) ℎ(�) = 10�

Cálculo de la rapidez de cambio o pendiente.

En una función lineal de la forma � = �(�) = )� + �, existen dos parámetros importantes que

permiten establecer el comportamiento de la recta que describen. La ordenada al origen "8"

identifica el punto de intersección con el eje de las ordenadas. La pendiente “^” indica la

inclinación de la recta, la variación de las abscisas respecto de las ordenadas; por ello también

se reconoce como rapidez de variación y se calcula de la siguiente manera:

) = � − �� − ��

donde los elementos empleados son las coordenadas de cualesquiera dos puntos (��, ��) y

(� , � ).

Ejemplo

Sea �(�) = 2� + 1 y la tabla siguiente que representa este modelo:

Punto x y

A -2 3

B 0 6

C 1 152

D 2 9

E 4 12

Si reconoces en la tabla el punto que representa la ordenada al origen obtendrás la función:

� = 32 � + 6

Calculemos la pendiente determinada por los puntos:

1. A y B es ) = $`�Q`(` ) = �

2. C y B es ) = $ ` &a(

Q`� = �

Practica calculando la pendiente para:

1. A y D

2. D y E

3. E y C

Si haces bien las operaciones todas te quedaran ) = �

rapidez de variación o pendiente de la recta


45

Ejercicio 5

1) ¿Cómo se calcula la rapidez de variación o pendiente de una recta?

2) Con los datos de cada una de las siguientes tablas, obtén:

a) La gráfica

b) La pendiente o rapidez de variación

c) La ordenada al origen

d) Función que determina la recta

Tabla i

� 4

0 2

1 6

2 10

3 14

4 18

Tabla ii

� b(�)

1 15

2 12

4 6

6 0

7 -3

Tabla iii

� 4

-4 -10

-2 -5

2 5

4 10

6 15

Tabla iv

� c(�)

-8 -3

-4 0

0 3

4 6

8 9

3) Al medir la estatura de un niño a partir de su nacimiento se obtuvieron los siguientes datos:

Nota: Grafica para que identifiques la variación lineal.

a) La estatura es la variable:

i) dependiente ii) independiente iii) proporcional

b) La edad es la variable:

i) dependiente ii) independiente iii) proporcional

c) Calcula la rapidez de variación entre la estatura y la edad. Obtén la

función correspondiente:

Edad

�(meses)

Estatura

d(cm)

0 27

1 34

2 41

3 48

4 55

5 62


46

Ejercicio 6 Problemas

1. Una cisterna recibe cierto volumen T de agua por minuto G como se muestra en la siguiente

tabla; si la cisterna tiene una capacidad de 450N, ¿cuánto tiempo tardará en llenarse? Obtén

la gráfica, la expresión matemática y contesta la pregunta.

2. Un tinaco contiene 2500 litros de agua, si por medio de una llave se desalojan 20 litros cada

minuto, ¿cuánto tiempo tardará en vaciarse? Obtén el modelo matemático y contesta la

pregunta.

3. Miguel llenó su tráiler con 400N de gasolina y se prepara para entregar un cargamento a

Torreón. El tráiler consume 0.9 litros por cada kilómetro; si tiene que recorrer 350km,

entonces:

a) Realiza la tabla de lo que queda en el tanque en función de los kilómetros

recorridos.

b) Haz la gráfica, que permita ver el consumo de gasolina y los kilómetros

recorridos, hasta su destino.

c) Obtén el modelo matemático.

d) Obtén cuántos litros ha gastado en 50, 100, 200, 230 y 350km.

e) ¿Cuánta gasolina necesita para regresar al punto de partida?

tiempo

M(^;@. )

Volumen

e(E)

1 12.5

3 37.5

4 50

5 62.5


47

Formas de autoevalución o verificación de los aprendizajes


Instrucciones:




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1. Determina en qué caso y varía directamente proporcional con respecto a x :

A) � = 4� B) � = � C) � = $

" D) �� = 10 E) � = 3� + 6

2. Obtén el valor de z de la siguiente ecuación, �Qf = !

�

A) ��# B)

#�� C)

!Q� D)

�!Q E) 30

3. La fuerza ejercida por un resorte, varia directamente proporcional con la distancia que se alarga. Si la fuerza ejercida por el resorte es de 48 libras cuando la distancia es de 8 pies. ¿Cuál es el valor de la fuerza cuando la distancia es de 10 pies?

A) 180=F B) 90=F C) 80=F D) 60=F E) 80=F

4. Dada la gráfica, indica cuál es su ecuación:

A) 43

2−= xy B) 4

2

3−−= xy C) 4

2

3−= xy D) 4

3

2−−= xy E) y = – 6x – 4


48

5. Identifica de las siguientes tablas cuál es directamente proporcional y escribe la constante

de proporcionalidad

A) B) C) D) E)

x y x y x y x y x y

2 16 2 1 2 5 4 6 2 7

6 8 4 4 4 10 8 3 4 11

8 4 6 9 8 20 12 2 1 5

1 18 8 16 1 5

2 6 4 6 15

6. De la siguiente gráfica, identifica los elementos en este orden : variable independiente

(unidades), variable dependiente (unidades) y la constante de proporcionalidad (unidades)

A) Cantidad de latas(Kg), pago por las latas ($) y 5 = � H $

hiJ

B) Pago por las latas ($), cantidad de latas(Kg) y 5 = � H $

hiJ

C) Cantidad de latas(Kg), pago por las latas ($) y 5 = � Hhi

$ J

D) Cantidad de latas(Kg), pago por las latas ($) y 5 = � Hhi

$ J

E) Cantidad de latas(Kg), pago por las latas ($) y 5 = � Hhi

$ J


49

7. Un tinaco contiene 2500 litros de agua, si por medio de una llave se desalojan 20 litros cada

minuto. La expresión algebraica que representa esta situación es:

A) � = 2500� − 20 B) � = 2500 + 20� C) � = −20� − 2500

D) � = 20� − 2500 E) � = 2500 − 20�

8. La recta con ecuación 4 2y x= − + , corta al eje y en:

A) 4− B) 2 C) 4 D) 2

1− E)

2

1

9. Identifica cuál es la rapidez de variación (m) y el comportamiento de la función

�(�) = – 4� + 5:

A) 5 y es creciente B) 5 y es decreciente C) − 4 y es creciente

D) 5 y es variación directamente proporcional E) − 4 y es decreciente

10. De las siguientes funciones ¿cuál crece más rápido? Decir por qué.

A) �(�) = 2� + 6 B) X(�) = 3� + 4 C) ℎ(�) = k � + 3

D) X(�) = −6� + 2 E) ℎ(�) = �Q# � + 30


50

Respuestas a los ejercicios

Ejercicio 1

1.

a) � = 20; b) � = 7; c) � = 50; d) � = #�

2.

a) ) = k ; b) ) = 42; c) ,� = �

# ; d) ,� = 2.25

Ejercicio 2

1. Revisar conceptos claves.

2. (a) la variable dependiente (como en todos los incisos, es la que se menciona primero) es

el perímetro (l), las unidades pueden ser centímetros y la variable independiente es la

medida del lado del cuadrado (N) dado en centímetros. El modelo matemático es l = 4N 3. La tabla describe un desplazamiento de algún objeto, donde la distancia depende del tiempo

que ha transcurrido. Su modelo es F = 3G , lo que nos dice es que se desplaza a una

velocidad de 3)/n.

4. El perímetro es la variable que depende de la medida del lado (N), La relación funcional es:

l = 6N a) La segunda con la función l = 0.25o.

La quinta con R = � �

b) Son rectas que pasan por el origen

5.

U V

1

2

3

4

5

7

14

21

28

35

g F

1.7

3

4.5

9

11.8

21

1.7

3

4.5

9

11.8

21

m E

0.3

0.5

0.9

1

1.1

3

5

9

1

11

v S

1 0.8

2 1.6

3 2.4

8 6.4

w P

2

1

4

1

1 12

5

2

5

1

2

5

54

T = 7p q = X C = 10) r = 0.8T l = � s 1


51

Ejercicio 3

1. La constante de proporcionalidad es 5 = tK = #Q

�Q = 4, es decir l = 4 F, por lo tanto la

presión es de 60, cuando se está a una profundidad de 15m.

2. Pedro compra a $4.20 el kg. y paga $210. En cambio a Juan le cuesta a $3.20 paga sólo

$190, por lo tanto, Juan paga menos y ahorra $20.

Ejercicio 4

1.

�(�) = 3� + 2

x b(�)

-2 -4

-1 -1

0 2

1 5

2 8

2. Como la recta pasa por el punto (0, 12) entonces la ordenada al origen es 12, (� = 12) y

para calcular la pendiente se procede así: ) = $`u `� = −3, por lo tanto

�(�) = −3� + 12

Y su gráfica es:


52

3.

4.

Todas son decrecientes.

Entre más grande el valor

absoluto de la pendiente, esta

será más pronunciada.

Comparadas con las

anteriores, éstas son

decrecientes. Todas pasan

por (0, 1). La inclinación

depende del valor absoluto

de la rapidez de cambio.

5. De la función �(�) = )� + �, podemos decir que todas pasan por el punto (0, �), no

importa si es positivo o negativo, por ejemplo:

a) �(�) = 4� − 2 es creciente y pasa por (0, −2)

b) �(�) = − �# � + 5 decrece lento y pasa por (0, 5)

c) �(�) = 10� crece rápido y pasa por (0,0)

Entre más grande sea la

rapidez de variación o

pendiente, más pronunciada

será la inclinación. Todas las

rectas pasan por el punto

(0,1).


53

Ejercicio 5

1. Como el cociente de la diferencia de las ordenadas entre la diferencia de las abscisas

2.

i) La pendiente se obtuvo con los

primeros dos puntos

) = $` �`Q = 4 es decir, la

rapidez de cambio dice que por

un desplazamiento horizontal

sube 4, la ordenada al origen es

� = 2 y la función es

� = 4� + 2

ii) Análogamente

) = −3 , � = 18 y

�(�) = −3� + 18

iii)

) = � , � = 0 y la función es

�(�) = � �

iv)

) = �# , � = 3 y la función es

�(�) = �# � + 3

3. a) La estatura es la variable dependiente.

b) La edad es la variable independiente.

c) La rapidez de variación es ) = 7 y la función es C(�) = 7� + 27


54

Ejercicio 6 Problemas

1.

v(G) = 12.5G

Tarda 36 minutos en

llenarse la cisterna

2. v(G) = −20G + 2500 y tarda 2 horas 5 minutos en vaciarse.

3. Sea:

d: la distancia recorrida (km)

C: la cantidad de gasolina que hay en el tanque (L)

G: cantidad de gasolina que ha gastado (L).

El modelo es w(>) = −�. x> + ��, con él se puede obtener la tabla y la gráfica, además

de cuánta gasolina le queda después de llegar a Torreón (85P).

Para obtener cuánta gasolina ha gastado el modelo es y(>) = �. x>, con ella se calculan

los valores del inciso (d).

Finalmente sabiendo cuánta gasolina le queda en el tanque y cuánta necesita para recorrer

350km, se obtiene que requiere 220L más.


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A A D D C

5 = �

A E B E C*

* k es la velocidad de variación positiva mayor.

Recuerda justificar cada respuesta, en el examen extraordinario se te van a pedir los

desarrollos.

Unidad 3. Ecuaciones de primer grado con una incógnita.

55


Presentación

El propósito de esta unidad es modelar y resolver problemas que conduzcan a una ecuación de

primer grado con una incógnita, con la intención de retomar las herramientas adquiridas en las

dos primeras unidades: operaciones con números enteros y fraccionarios, propiedades de la

igualdad, lenguaje algebraico, diferencia entre ecuación y función.


Ángel, A. R. (2007). Álgebra Elemental. México: Pearson Educación.

Carvajal, J. C. (2010). Álgebra. México, México: Mc Graw Hill.

Solís, L. A. (2012). Matemáticas I. Solución de problemas reales. México: Quinto Sol.

Vigil, E. C., & Hernández, R. S. (2014). Álgebra. Serie Bachiller. México: Grupo Editorial Patria.

Conceptos claves

� Ecuación: es una igualdad en la que tenemos una o varias cantidades desconocidas y que se verifica únicamente para determinados valores de las variables involucradas. (Vigil & Hernández, 2014).

� Solución de una ecuación: consiste en encontrar los valores que deben tomar las variables para que se cumpla la relación de igualdad establecida, siendo este conjunto de valores el conjunto solución de la ecuación, sus raíces. (Vigil & Hernández, 2014). A esos valores también se les llama raíces, ceros o conjunto solución de la ecuación.

� Ecuaciones lineales con una incógnita, como: � Un caso especial de una igualdad entre expresiones algebraicas. � Una condición que debe satisfacer un número buscado. � Un caso particular de función lineal. � Ecuaciones equivalentes: a dos o más ecuaciones se les llama equivalentes cuando

tienen el mismo conjunto solución (Vigil & Hernández, 2014). � Incógnita: letra que se emplea en una expresión matemática para denotar una cantidad

desconocida cuyo valor se trata de obtener. Algunas letras que suelen fungir como incógnitas son las primeras del alfabeto latino (a, b, c) y las ultimas de este (w, x, y, z).

� Leguaje algebraico: en el álgebra se usan letras o variables para representar diferentes números, y cuando una letra representa sólo un número se llama constante. Si una


56

expresión consta solo de números se denomina expresión numérica. Sin embargo, cuando una expresión consta de variables, números y signos de operación se llama expresión algebraica. Al conjunto de estas expresiones se le conoce como lenguaje

algebraico.

� Jerarquía de operaciones (reglas de prioridad): revisa la primera unidad de esta Guía o revisa la bibliografía siguiente (Solís, 2012).

Resolución de la ecuación con una sola variable

1. Simplifica cada miembro de la ecuación.

2. Realiza las operaciones indicadas.

3. Reduce los términos semejantes de cada miembro.

4. Por transposición, coloca todos los términos que contengan a la incógnita en un solo miembro.

5. Reduce los términos semejantes.

6. Por inversión, cambia el coeficiente de la incógnita para encontrar el valor de la misma.

7. Comprueba la raíz obtenida.

(Vigil & Hernández, 2014)


57

Sugerencias de actividades de aprendizaje teórico práctico

Tipos de ecuaciones lineales

• Ecuaciones lineales inmediatas o sencillas como, por ejemplo: 10� = 30; 32 � = 6; 5� − 3 = 2

• Ecuaciones con símbolos de agrupación como, por ejemplo:

2�2� = 16; 3�� − 2 = 12; 5�2� + 3 = 4�� − 2 • Ecuaciones lineales fraccionarias como, por ejemplo:

�4 + �

3 − �2 = 7

2 ; 2�5 − 3�

2 = 73 �1

2 − �5�

• Ecuaciones literales y fórmulas como, por ejemplo:

� = �� ; � = 180�� − 2 ; � = �

� �� − 32

La forma más simple de la ecuación lineal es 2

3, 5,5

x m y= = − =

Propiedades de las operaciones con números reales1

Propiedad de la adición. Las letras a, b, c, x, y representan números reales.

Conmutativa. El orden de los sumandos no altera la suma. En símbolos: � + � = � + � Ejemplos:

a) −2 + √5 = √5 + �−2 b) 5 + �3� − 2 = �3� − 2 +5

Asociativa. Las sumas de tres o más sumandos no dependen de la forma en que se agrupen, e. d.: � + �� + ! = �� + � + ! Ejemplos: a) −2 + �2 + 25 = �−2 + 2 + 25

b) 2� + "� + #$% = �2� + � + #

$

Elemento neutro. Cero sumado con cualquier número es igual al mismo número. En símbolos: & + � = � + &

Ejemplos: a) −2 + 0 = −2 b) 0 + 8� = 8�

Elemento opuesto o inverso aditivo. La suma de cualquier número y su opuesto es igual a cero e. d.: � + �−� = −� + � =0 Ejemplos:

a) −2 + 2 = 0 b √5 + (−√5) = 0

1 El tema de propiedades de los reales no está incluido en el programa de estudio, pero los autores

consideramos muy importante que sea tomado explícitamente.


58

Propiedades de la multiplicación. Las letras, *, ,, -, �, , representan números reales. Conmutativa. El orden de los factores no altera el producto. En símbolos: �� = ��

Ejemplos: a) √5 �−2 = −2 √5 b) ��3 = 3�

Asociativa. El producto de tres o más factores no depende de la forma en que se agrupen. En símbolos: ��! = �� !

a) −2×�5×24 = �−2×5 ×24 b) 5�3� = �3×5 �

Elemento neutro. Uno multiplicado por cualquier número es igual al mismo número. En símbolos: /×� = �×/ = � Ejemplos:

a) (−2 + √5)×1 = −2 + √5 b) 1�−2 = −2

Elemento inverso. El producto de cualquier número distinto de cero y su inverso es igual a uno.

En símbolos: � "/�% = "/

�% ×� = /

Ejemplos:

a) "0�% ×5 = 1

b) 2� " 0#1% = 1

Propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma. El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos del número por cada uno de los sumandos. En símbolo: �. �� + ! = �� + �! Ejemplos:

a) −3(−4 + √6) = −3×�−4 + �−3 ×√6 ó también al revés. b) −3� + 5� = �−3 + 5 �

(Solís, 2012)

Ejemplo 1. Para simplificar la ecuación 3� + 2 = 5 , es necesario hacer uso de la propiedad de la igualdad: sumamos en ambos miembros de la igualdad −2, que es el inverso aditivo de 2, generando el elemento neutro de la adición.

3� + 2 = 5

3� + 2 − 2 = 5 − 2

3� + 0 = 3

3� = 3

Multiplicamos en ambos miembros de la igualdad por 0$, que es el inverso multiplicativo de 3,

lo que permitirá generar el elemento neutro de la multiplicación.

13 �3� = 1

3 �3


59

33 � = 3

3 1� = 1

� = 1

La raíz de la ecuación es 1

Sustitución y comprobación de la raíz

3�1 + 2 = 5

5 = 5

Ejemplo 2. Para simplificar la ecuación 1$ + 2� + 1 = 3 y poder determinar el valor de la

incógnita � .

Nota: Existen más de una forma (o ruta) que resuelve la ecuación.

Ruta A

Multiplicamos por 3 ambos miembros de la igualdad

3 "�3 + 2� + 1% = 3�3

Posteriormente la intervención de la propiedad distributiva. Debido a que el 3 deberá multiplicar a lo que está dentro del símbolo de agrupación, quedando de la siguiente manera:

� + 6� + 3 = 9

La aplicación de la propiedad asociativa, en la suma de � + 6�, dando como resultado:

7� + 3 = 9

Sumando – 3 en ambos miembros de la igualdad (propiedad del inverso aditivo que generará la propiedad del elemento neutro de la adición).

7� + 3 − 3 = 9 − 3

7� = 6


60

Multiplicando ambos lados de la igualdad por 0 4 (propiedad del inverso de la multiplicación

que generará la propiedad del elemento neutro de la multiplicación).

17 . 7� = 1

7 . 6

7�7 = 6

7

� = 67

La solución, raíz o cero de la ecuación es 54


"67%3 + 2 �6

7� + 1 = 3

621 + 12

7 + 77 = 3

Obteniéndose la igualdad

3 = 3

Ruta B 67 + 86 + / = 7, puede considerar, realizar la suma entre los términos que contienen

“x”.

1$ + 2� = 4

$ �, entonces, sería:

4$ � + 1 = 3

Sumando – 1 en ambos miembros de la igualdad (propiedad del inverso aditivo que generará la propiedad del elemento neutro de la suma).

73 � + 1 − 1 = 3 − 1

73 � + 0 = 2


61

Multiplicando ambos lados de la igualdad por $ 4 (propiedad del inverso de la multiplicación que

generará la propiedad del elemento neutro de la multiplicación).

37 �7

3 �� = 37 �2

2121 � = 6

7

� = 67

Ambas Rutas, darán el mismo resultado.

Ejemplo 3. Para simplificar la ecuación 2�� + 1 = 3�� − 3 y poder determinar el valor de

la incógnita, será necesario eliminar los paréntesis, aplicando la propiedad distributiva

2� + 2 = 3� − 9

Sumando – 2 en ambos miembros de la igualdad (propiedad del inverso aditivo), obteniendo:

2� + 2 + �−2 = 3� − 9 + �−2

2� + 2 − 2 = 3� − 9 − 2

2� + 0 = 3� − 11

2� = 3� − 11

Sumando – 3x en ambos miembros de la igualdad (propiedad del inverso aditivo), que generará

como resultado:

2� + �−3� = 3� − 11 + �−3�

2� − 3� = 3� − 11 − 3�

2� − 3� = 0 − 11

−� = −11

Multiplicando en ambos miembros por el recíproco de – 1

−�−1 = −11

−1

� = 11


62

La solución, raíz o cero de la ecuación es 11.


2��11 + 1 = 3��11 − 3

2�12 = 3�8

24 = 24

Para simplificar la siguiente ecuación y encontrar a �, deberás intentar contestar la propiedad de

los números reales que intervine en el despeje, también, observar una de las rutas.

� − �2� + 1 = 8 − 2�3� + 2

Ejercicio 1

Observar con atención el desarrollo algebraico en cada uno de los renglones y con ayuda de las

propiedades de los reales, deberás indicar aquella que interviene en cada renglón.

� − �2� + 1 = 8 − 2�3� + 2

� − 2� − 1 = 8 − 6� − 4 Propiedad distributiva

−� − 1 = 4 − 6� _________________________

−� − 1 + 6� = 4 − 6� + 6� _________________________

−� − 1 + 6� = 4 + 0 _________________________

−1 + 5� = 4 _________________________

−1 + 5� + 1 = 4 + 1 _________________________

5� + 0 = 4 + 1 _________________________

5� = 5 _________________________

0� �5� = 0

� �5 _________________________

6 = / Solución


63

Ejemplo 5: Encuentra la solución de la incógnita en la siguiente ecuación.

2�* + , - = 1

3 − 9

Despeja a la variable �

1. Identifica la incógnita en la ecuación que deberás despejar.

2. Observa las operaciones que involucran a la incógnita que deberás despejar.

3. Determina, la o las propiedades que están presentes en la ecuación y que te permitan

aislar a la incógnita o variable que deseas encontrar.

Una vez realizado el esquema mental de observación y análisis, es conveniente ponerlo en

práctica. Recordar, que existen más de una ruta para llegar a la solución.

2�* + , - = 1

3 − 9

Aplicar el inverso multiplicativo de c en ambos lados de la igualdad.

- :2�* + , - ; = - �1

3 − 9�

2�* + , = - �13 − 9�

Al aplicar el inverso multiplicativo de 2 y la propiedad distributiva que la letra c ejerce en el

binomio.

12 (2�* + , ) = 1

2 �13 - − -9�

Este proceso generó el elemento neutro de la multiplicación y al volver a aplicar la propiedad

distributiva en la otra parte de la igualdad.

* + , = 12 �1

3 - − -9�

* + , = 16 - − 1

2 -9


64

Al aplicar la propiedad del inverso de la adición de *

* − * + , = 16 - − 1

2 -9 − *

, = 16 - − 1

2 -9 − *

La expresión o fórmula, es una nueva ecuación, para la cual , tendrá un valor, siempre y cuando

el resto de las variables sean constantes.

Ejercicio 2

En los siguientes ejercicios, resuelve, comprueba y encuentra, la solución o raíz en cada una

de las ecuaciones o fórmulas.

1) 1$ = #

$

A) 2=x B) 2−=x C) 3=x D) 3x = − E) x = 0

2) 2� + 3 = −7

A) 2−=x B) 2=x C) 5=x D) 5x = − E) x = 7

3) 1# + $1

# = 7

A) 1=x B)2

7=x C) 7=x D) 11x = E) x= -1

4) 15 + $

# = $1# − �

A)9

2−=x B) 9−=x C)

2

9=x D) 0x = E) x = 9

5) 1# − 2� + 3 = 6 − �

A) 0=x B) 6−=x C)2

3−=x D) 2x = E) x = 6

6) 3�� + 5 = 6�� − 2

A) 1−=x B) 9=x C) 8−=x D) 7

3x = E) x = 1


65

7) $< �2� + 1 = #

$ �� + 1

A) 3

10x = − B)

1

5x = C)

1

10x = − D) 0x = E) x = 0.2

8) 0# �4� − 2 = $

# "� − #$%

A) 0=x B) 2=x C) 2−=x D) 1x = E) x =-1

9) 9 + 5�2� − 1 + 7� = � + 2�� − 5

A) 1=x B) 1−=x C) 2=x D) 2−=x E)2

1=x

10) 3� − �2� − 1 = 7� − �3 − 5� + �−� + 24

A) 1=x B) 3=x C) 2=x D) 3−=x E) 2−=x

11) $1� − #1

$ + 0� = 0

A) 3=x B) 3−=x C) 1=x D) 2−=x E) 3

1=x

12) � − 1=#0# = �

# �

A) 2−=x B) 19

2−=x C)

2

19=x D)

19

2=x E) 19−=x

13) >? = @AB CT despeja PM

A) PM = MNOPQ B) PM = NP

OMQ C) PM = PQOMN D) PM = MN

OPQ E) PM = OMNPQ

14) ⃘� = �� S − 273 + 32 despejar a k

A) S = �� ⃘� − 32 + 273 B) S = �

� � ⃘� + 32 + 273 C) S = �� ⃘� − 32 − 273

D) S = �� ⃘� − 32 + 273 E) S = �

� � ⃘� − 32 + 273

15) 9 = 0# (?T + ?U) V despejar a ?T

A) #�� − ?U = ?T B)

#�� − ?U = ?T C)

�#� − ?U = ?T D) 2 "�

� + ?U% = ?T


66

E) 0# "�

� − ?U% = ?T

16) 9 = ?UV + 0# *V# despejar a la letra �

A) "�WXY �#�Z % = * B) "#�W#XY �

�Z % = * C) 2 "�WXY ��Z % = * D)

0# "�=XY �

�Z % = * E) 0# " �Z

�WXY�% = *

17) [�\W]

^ − _` = a despejar a C

A) � = b − ["c=de%

^ B) � = b − ^"cWde%

[ C) � = b − ^"c=ed%

[ D) � = f − ^"cWde%

\

E) � = −b + ^[ "a + _

`%

Resolución de problemas que dan lugar a Ecuaciones de primer grado con una incógnita, resolución por diferentes métodos

Las ecuaciones como modelos matemáticos

A menudo es posible construir con ecuaciones un modelo que permita describir y resolver problemas enunciados en lenguaje verbal.

Para resolver problemas planteados en el lenguaje verbal, problemas de cualquier tipo, es necesario seguir una serie de pasos que le permitan plantear el modelo, para posteriormente resolverlo.

Pasos para plantear y resolver problemas:

1. Entender en qué consiste el ejercicio (una buena ayuda se hacer con dibujos o diagramas que representen la situación descrita por el enunciado del planteamiento).

2. Deberás elegir las letras (lenguaje algebraico) que se utilizan para representar las incógnitas del problema. Así mismo, identificar las unidades en las que se operan los valores.

3. Expresar, mediante una ecuación o modelo, la relación que existe entre los datos del problema.

4. Es necesario diseñar un plan y aplicar una estrategia para resolverlo.

5. Encontrar la respuesta y comprobarla.


67

Expresiones usuales en esta parte:

Datos: la información que se conoce en un problema sobre sus condiciones y valores numéricos.

Proposición: expresión de la que tenga sentido afirmar que es falsa o verdadera, pero no ambas.

Para resolver un problema que dan lugar a ecuaciones lineales hay que construir el modelo y resolverlo.

Ejemplo

1) Con $4801 una familia compró cama, estufa y librero. La cama costo $200 más que el librero y $600 menos que la estufa. ¿Cuánto pagaron por cada cosa?

Lee con detenimiento el problema hasta que hayas logrado comprenderlo. Posteriormente, contesta lo que se te pide.

¿Qué cosas compró la familia? ___________________________________________

¿Cuántos pesos más que el librero costó la cama? ____________________________

¿Cuántos pesos menos que la estufa costó la cama? __________________________

¿Qué se pregunta? ____________________________________________________

Antes de continuar, verifica tus respuestas, leyendo el enunciado del problema.

ghi-jk 9i l�* -*m*�$ + ioVlp* �$ + qj,hihk�$ = $4801

>hi-jk 9i q* -*m* = � �j�-kr�jV*

La cama costó 200 pesos más que el librero, es decir, el librero costó 200 menos que la

cama: >hi-jk 9iq qj,hihk = � − 200

La cama costó 600 pesos menos que la estufa, es decir, la estufa costó 600 pesos más

que la cama: >hi-jk 9i q* ioVlp* = � + 600

Todo costó 4801 pesos, entonces la ecuación es:

� + �� − 200 + �� + 600 = 4801

El precio de la cama es:

� + � − 200 + � + 600 = 4801

3� + 400 = 4801

3� = 4801 − 400

6 = /stu Esto es lo que se pagó por la cama.


68

Sustitución y comprobación de la raíz o solución.

El precio del librero fue: 1467 – 200 = 1267 El de la estufa: 1467 + 600 = 2067

1467 + 1267 + 2067 = sv&/

Obteniendo la igualdad:

4801 = 4801

2) Un distribuidor reparte leche en tres centros comerciales. La tercera parte de la entrega en Bodega, en Superama deja 5/7 de lo que le queda y en la Tienda UNAM entrega 1800 litros. ¿Cuántos litros entrega a cada tienda?

Sin ver el enunciado del problema, contesta:

¿Cuántos centros comerciales atiende el distribuidor? _________________________

¿Cuántos litros del total entregó en “Bodega”? ______________________________

¿Cuántos deja en “Superama”? ____________________________________________

¿Y en la Tienda UNAM? _______________________________________________

¿Qué se quiere saber? __________________________________________________

Comprueba tus respuestas consultando el enunciado del problema.

Si � representa la cantidad total de litros que entrega el distribuidor, se tiene:

� = 13 � + 5

7 �� − 13 �� + 1800

� = 13 � + 5

7 �23 �� + 1800

� − 13 � − 10

21 � = 1800

1263 � = 1800

6 = wsx& y 9i qi-ℎi


69

Ejercicio 3

Elige la respuesta correcta de cada uno de los siguientes problemas:

Sugerencia: Toma en cuenta el desarrollo de los ejemplos.

1) El largo de un terreno rectangular mide 5 metros más que su ancho. Si el perímetro es

de 50 m. ¿El largo y ancho son respectivamente?

A) 18 y 13 m B) 15 y 10 m C) 20 y 15 m D) 45 y 50 m E) 15 y 5 m

2) Dos escaleras están recargadas en forma paralela sobre un muro, como se muestra en la

figura. ¿Cuál es la altura h del muro?

1.5 m

4.5 m

A) h= 4m B) h= 3m C) h= 4.5 m D) h= 5m E) h= 6m

3) Un hombre desea medir el ancho AB de un río utilizando un teodolito2

2 Teodolito: Instrumento topográfico de precisión para medir ángulos de distintos planos.

2m


70

Para hacerlo, camina sobre la orilla 10 m. en dirección perpendicular a AB y clava una estaca (punto C). De C camina perpendicularmente 5 m hasta D y después paralelamente al río hasta estar en línea recta con AC (punto E). La distancia DE resulta ser de 3.7 m. ¿Cuánto mide el ancho AB del río?

A) fb{{{{ = 0||4 m B) fb{{{{ = 4|

0| m C) fb{{{{ = 0|� m D) fb{{{{ = $�

� m E) fb{{{{ = 15 m

4) De Tijuana a Cabo San Lucas, en Baja California, hay una distancia de 1692 km. Si en un

mapa la distancia entre las dos ciudades es de 8.46 cm. ¿A qué escala de dibujó el mapa?

A)1 * 14263.56 Sm B) 1 * 142.6 Sm C) 1 * 200 Sm D) 1 * 14.2 Sm

E) 1 * 193.9 Sm

5) Un arquitecto debe incluir una terraza cuadrada de 16 m 2 de superficie en el plano de una

residencia. Si la escala de su diseño es de 1 a 100 cm. ¿Cuánto debe medir el área AT de la

terraza en el plano? Ayuda: convierte las unidades lineales a unidades de

superficie.

A)f} = 1�10W#m# B) f} = 1.2�10W$m# C) f} = 1.4�10W<m#

D) f} = 1.6�10W$m# E) f} = 1.5�10W�m#

6) A un muro de 31 metros de longitud se le desea dar dos tipos de acabado (liso y rústico), de tal forma que la parte en rústico sea dos metros menos que el doble del acabado liso. Para determinar la longitud del tipo de acabado ¿Cuál es la ecuación que resuelve este planteamiento? Considera a x como el acabado liso.

A) � + �2 − 2� = 31 B) � + �2� − 2 = 31 C) � − �2 − 2� + 31 = 0

D) � + 2 + 2� = 31 E) �2 − 2� − � = 31

7) El corazón de una persona adulta, en condiciones normales, bombea 5 L de sangre por cada minuto. En una prueba de laboratorio ¿cuál será el volumen de sangre que podrán extraer de una persona en 40 segundos? Plantea la ecuación.

A) � ~

0 @U� = <| �1 B)

� ~5| � = <| �

1 C) � ~

0 @U� = <| �1 D)

� ~0� = 1

<| � E) � ~

5| � = 1<|�


71

8) La profesora de la clase de química está realizando algunos cálculos estequiométricos y el resultado que obtiene está en onzas (37.5 oz), sin embargo, deberá sumarle una cantidad en libras (3 lb) y por último hacer el reporte de lo obtenido en gramos. Construye una ecuación que le permita obtener el resultado en las unidades que desea (gramos).

Datos: 16 oz equivalen a una lb; 4 lb equivalen a 1814.37 g.

A) �37.5 k� " 0 ��05 ��% + 3 q, "0�0<.$4�

< �� %� = r B) �37.5 k� + 3 q,� �" 0 ��05 ��%� "0�0<.$4�

< �� % = r

C) �37.5 k� " 0 ��05 ��% + 3 q,� "0�0<.$4�

< �� % = r D) �3 q, "05 ��0 �� % + 37.5 k�� "0�0<.$4�

< �� % = r

E) �" 0 ��05 ��% + 37.5 k� + 3 q,� " < ��

0�0<.$4�% = r


72

Forma de autoevalución o verificación de los aprendizajes


Instrucciones:




1 2 3 4 5 6 7 8 9

Resuelve como se indica, cada uno de los incisos.

1) Define los siguientes conceptos: ecuación, lenguaje algebraico, ecuación equivalente,

solución de una ecuación.

Determina la solución (raíz o cero) de las siguientes ecuaciones.

2) x − �=## = #

� �3x − 5

3) −2�3x + 5 = 6�x + 2 + 2 4)

$�# − #�

$ + 0� = �

# x − #$

5) x = W�±√�ZW<��#� Despeja c, recuerda que el inverso de una raíz es la potencia al

cuadrado.

6) �� "�W�

�� % + 0� = k Despeja a f

7) Plantea y resuelve

La velocidad “c” de la luz en el vacío es de 300 000 000 m/s. ¿Cuántos Km. recorre

en un segundo?

A) 300 km B) 83333.33 km C) 3x105km D) 3x108 km E) 8.3x104km

8) En un mapa topográfico del Estado de Puebla, el Popocatépetl mide 10.9 cm. De alto. Si

la escala es de 1 a 50 000 cm. ¿Cuál es la altura h del Popocatépetl en metros?

A) ℎ = 4587.15 m B) ℎ = 5450 m C) ℎ = 5100m D) ℎ = 6200 m

E) ℎ = 5870.15 m


73

9) Un bote contiene 3 y medio galones de pintura. ¿Cuántos litros son? (1 gal. equivale a

3.786 L)

A) 13.24 L B) 0.9247 L C) 92.4 x10-2 L D) 3.3 L E) 1 L

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS

Ejercicio 1

� − �2� + 1 = 8 − 2�3� + 2

� − 2� − 1 = 8 − 6� − 4 Propiedad distributiva

−� − 1 = 4 − 6� Propiedad asociativa

−� − 1 + 6� = 4 − 6� + 6� Principio de equidad

−� − 1 + 6� = 4 + 0 Inverso aditivo

−1 + 5� = 4 Neutro aditivo

−1 + 5� + 1 = 4 + 1 Principio de equidad

5� + 0 = 4 + 1 Inverso aditivo

5� = 5 Neutro aditivo

0� �5� = 0

� �5 Inverso multiplicativo

Ejercicio 2

1) A; 2) D; 3) B; 4) C; 5) B; 6) B; 7) C; 8) A;

9) B; 10) E; 11) A; 12) B; 13) E; 14) D; 15) A; 16) C; 17) E

Ejercicio 3

1) B; 2) E; 3) A; 4) C; 5) D; 6) B; 7) E; 8) C


74


Pregunta 1. Revisar el material sugerido

Pregunta 2: a) � = 0|4 ;

Pregunta 3: b) � = −2;

Pregunta 4: c)� = 0$#�;

Pregunta 5: d) �#�1=� ZW�Z

W<� = - ;

Pregunta 6: e) �W�� "�W�

�% = p

7 8 9

C B A


75


Presentación En esta unidad seguirás modelando ahora con sistemas de ecuaciones de 2x2 y hasta 3x3 (3

ecuaciones con 3 incógnitas), usando los métodos como sustitución, igualación y gráfico. Es

importante, para que logres una cabal comprensión de cada método, que resuelvas los ejercicios.

Cada uno de ello que te servirá también de comprobación. El método gráfico te ayudará a

entender los procesos algebraicos que se hacen para revisar los sistemas de ecuaciones y explicar

el por qué se les llama simultáneas. Finalmente, el método de obtención de un sistema triangular

equivalente, uno de los más eficaces para la resolución de sistemas de 3x3.

Conceptos claves

� Ecuaciones equivalentes: Ecuaciones que tienen las mismas soluciones.

� Método de resolución: Procedimiento que permite encontrar las soluciones del sistema,

por ejemplo: de igualación, sustitución y de triangulación del sistema.

� Sistemas de ecuaciones lineales de 2x2: Conjunto de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.

� Sistemas equivalentes: Sistemas de ecuaciones con las mismas soluciones.

� Solución o raíz: Es el valor o valores de las incógnitas que al sustituirlos hacen

verdadera la igualdad de cada ecuación del sistema.

� Sistema triangular: Es el sistema de ecuaciones que comenzando de abajo hacia arriba

contiene solamente la última literal, después la penúltima, luego la antepenúltima y así

sucesivamente. Por esta característica, es fácil resolverlo, aplicando una sustitución

regresiva. Ejemplo.

� 2� + 2� = 2 2� + � = 3 � = 7


Barnett, A. (1992). Precálculo. Álgebra, Geometría Analítica y Trigonometría. México: Limusa,

Gobran, A. (1990), Álgebra Elemental. México, D. F.: Editorial Iberoaméricana.

Khanacademy, recuperado el 13 de mayo de 2017

https://es.khanacademy.org/math/algebra/systems-of-linear-equations/equivalent-systems-of-equations/v/identifying-non-equivalent-systems-of-equations


76


Soluciones de un problema con dos variables y una sola condición en una tabla

Ejemplo

Ana compró 4 cuadernos y 6 plumas, pagó $192, quiere saber cuánto costó cada cosa.

Para ello se plantean las incógnitas:

�_ precio de cada cuaderno ($)

� _ precio de cada pluma ($)

La ecuación que representa la situación de la compra es:

4� + 6� = 192

Ana obtuvo como posible solución que los cuadernos costaron $30 y las plumas $ 12, usando la misma ecuación, Luis le dijo que era $24 el cuaderno y $16 la pluma. ¿Quién tiene razón?

Haz la sustitución en la ecuación y verifica cuál es la solución.

Como te habrás dado cuenta las dos parejas de valores son solución, de hecho, hay muchas posibles soluciones; encuentra otras y completa la tabla siguiente.

Tabla 1. �� + �� = ��

Cuaderno

x($)

Pluma

y($)

30 12

24 16

18

9

4� + 6� = 192

Sustituciones:


77

Verifica que los valores, como puntos con coordenadas (x, y), estén en la gráfica que describe la ecuación.

Como te habrás dado cuenta, sin el ticket o más información que permita obtener otra ecuación, no es posible saber cuál es el precio exacto de cada producto, pues cada punto de la recta es solución de la ecuación.

Ejercicio 1

Elabora una tabla con por lo menos 3 soluciones de las siguientes ecuaciones y grafica cada una de las rectas:

1) � + � � 2 = 0

2) 3� + � = 5

3) �4� = � � 2

4) 3� + 2� = 0


78

Solución gráfica de un problema1

Ejemplo 1

Pablo y Karen tienen un dron cada uno y van a realizar una carrera de 100m. Pablo sabe que su dron es más rápido y decide darle una ventaja de 24m. Si las velocidades a la que se desplazan son de 8m/s y 6m/s. ¿Quién ganará?

Esta actividad la realizaremos juntos: comenzaremos dando ejemplos y tu completarás lo que haga falta. Elaboremos las tablas para cada dron.

1. Dron de Pablo

A continuación, elaboramos la gráfica del dron de Karen y algunos puntos del aparato de Pablo; grafica los puntos que faltan y traza la otra recta.

1 Aclaración: El Programa de la asignatura, abarca pocos elementos gráficos, los autores consideramos muy

importante profundizar en el tema, para comprender mejor el estudio de los sistemas de ecuaciones.

t (seg) d (m)

0 0

2 16

4 32

6

8 48

9

10

12

14

2. Dron de Karen

t (seg) d (m)

0 24

2 36

4 48

6 60

8 72

9

10 84

12

14


79

Con las gráficas ya puedes saber varias cosas. Analiza e interpreta.

Contesta las siguientes preguntas:

1. ¿Quién gana la carrera? ____________________ (identifica cuál recta está arriba a los

100m de distancia). Explica.

2. ¿Cuánto tiempo emplea el dron de Pablo para alcanzar al otro? _____________

(identifica el punto de intersección). Explica.

3. Da las ecuaciones que representan cada movimiento.

a) Dron de Karen � = ____� + ____

b) Dron de Pablo � = ____�

El sistema tiene solución por ello se le llama consistente, la solución es el punto de intersección de las rectas (12, 96) y determina el tiempo que tarda en alcanzarlo y dónde lo encuentra.

4. Redacta lo que representan las coordenadas del punto según el contexto.


80

Ejemplo 2

La semana siguiente, Karen modificó su dron y aumentó su velocidad 1m/s más, mientras que el de Pablo sufrió una caída, que le ocasionó disminuir su velocidad en una unidad. Deciden realizar una segunda carrera con las mismas condiciones.

Elaboremos las nuevas tablas para cada dron 3. Dron de Pablo

Completa la otra gráfica y analiza la situación

t(seg) d(m)

0 0

2 14

4 28

6

8 56

9

10

12

14

4. Dron de Karen

t(seg) d(m)

0 24

2 38

4 52

6

8 80

9

10 94

12

14


81

Contesta las siguientes preguntas:

1. ¿Quién gana la carrera? ____________________ y ¿cómo transcurre la carrera?

____________________________________________________

2. ¿Por qué las rectas no se intersecan? ______________________________

3. Da las ecuaciones que representan cada movimiento.

a) Dron de Karen � = 7� + ____

b) Dron de Pablo � = ____�

El sistema NO tiene solución por ello se le llama inconsistente, no hay punto de

intersección, pues las rectas son paralelas.

4. ¿Cómo identificas en las ecuaciones a las rectas que son paralelas?

Ejemplo 3

Dado que cada quien ha ganado una partida, deciden realizar una tercera carrera, pero en esta ocasión sin ventajas.

Las ecuaciones son:

a) Dron de Karen � = 7� b) Dron de Pablo � = ____�


82

Como habrás notado la misma recta determina la distancia recorrida en cada instante de tiempo de ambos drones

1) Interpreta la situación 2) ¿Cuántas soluciones tiene el sistema?

El sistema es Consistente, pues tiene infinitas soluciones, esto ocurre cuando las ecuaciones son equivalentes (mismas soluciones)

Las ecuaciones �� = 2� ó 6� � 42� = 0 , son equivalentes a las de los drones.

3) Encuentra algunos puntos de ésta y verifica que se encuentran en la misma recta.

Ejemplo 4

Un análisis más completo lo encuentras en la actividad de Geogebra.org en la liga

https://www.geogebra.org/m/RF94HQn3

Ejercicio 2

Encuentra graficando, en los casos que sea posible la solución de cada uno de los sistemas de ecuaciones lineales.

1) 1834

13

1

=−

−−=

yx

xy 2)

623

62

=−

−=

yx

xy 3)

2 4

2 3

x y

x y

− =

− = − 4 )

2 6 3

3 6 2

x y

y x

− = −

= − 5)

2 3

3 4

x y

y x

=−

=


83

Método de igualación

El método consiste en despejar la misma literal de ambas ecuaciones e igualar sus expresiones respectivas, para obtener una ecuación con una incógnita.

Ejemplo

Para el sistema de ecuaciones: � 3� � 6� = 4 … !1"2� + 9� = 7 … !2"

Se despeja la misma incógnita de ambas ecuaciones

Despejamos � de ecuación 1 (e1) y de e2

3� � 6� = 4 2� + 9� = 7

3� = 6� + 4 2� = �9� + 7

� = #$%&' … !3" � = ()$%�

� … !4"

Se igualan los valores despejados y se simplifica la ecuación resultante.

Se igualan las partes derechas de cada ecuación.

6� + 43 = �9� + 72

Multiplicado por 6

6 *6� + 43 + = *�9� + 72 + 6

2!6� + 4" = 3!�9� + 7"

12� + 8 = �27� + 21

12� + 27� = 21 � 8

39� = 13

� = 1339

� = 13

El valor encontrado de una de las incógnitas, se sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra.

Sustituyendo � = -' ./ .1

3� � 6 *13+ = 4

3� � 2 = 4


84

3� = 4 + 2

� = 63

� = 2

La solución del sistema es � = 2 ; � = -'

Comprueba en las ecuaciones 1 y 2.

Ejercicio 3

Resuelve por el método de igualación

!1" �2� � 3� = 93� + 2� = 7 !2" � 7� + � � 4 = 04� � 2� � 1 = 0

Método de sustitución

El método consiste en despejar una de las incógnitas de cualquiera de las ecuaciones y sustituirlo en la otra ecuación, de manera que se obtenga una ecuación con una incógnita, se resuelve y el valor obtenido se sustituye en alguna ecuación para obtener el valor de la otra incógnita, Finalmente para estar seguros de la solución se comprueba en ambas ecuaciones.

Ejemplo. Para el sistema de ecuaciones ( )5 4 12 1

3 2 8 (2)

x y

x y

− =

− =

L

L

Se despeja cualquiera de las incógnitas de cualquiera de las ecuaciones

Despejamos x de (1)

5 4 12

5 12 4

12 4(3)

5

x y

x y

yx

− =

= +

+= L

Se sustituye la incógnita despejada en la otra ecuación, en este caso en (2) y se resuelve la ecuación resultante, para obtener el valor de una de las incógnitas.

Sustituimos (3) en (2)

3 *12 + 4�5 + � 2� = 8


85

36 + 12�5 � 2� = 8

Eliminando denominadores

5 *36 + 12�5 � 2�+ = 8!5"

36 + 12� � 10� = 40

12� � 10� = 40 � 36

2� = 4

� = 42

� = 2

El valor encontrado de una de las incógnitas se sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra.

Sustituimos � = 2 en (1)

5� � 4!2" = 12

5� � 8 = 12

5� = 12 + 8

� = 205

� = 4

Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones �5� � 4� = 123� � 2� = 8 , es � = 4; � = 2

Compruébalo en ambas ecuaciones.

Ejemplo (problema)

En un examen de opción múltiple, las preguntas correctas suman un punto y las incorrectas restan medio punto. En total hay 100 preguntas y no se admiten respuestas en blanco (hay que contestar todas).

La calificación de un alumno es 8.05. Calcula el número de preguntas que contestó correcta e incorrectamente.

Solución

Escribimos la calificación sobre 100 en vez de sobre 10:

8.05!10" = 80.5


86

Llamamos x al número de respuestas correctas, y al número de respuestas incorrectas.

Puesto que se deben contestar todas las preguntas, debe cumplirse la ecuación.

� + � = 100

Cada respuesta correcta suma 1 y cada incorrecta resta 0.5:

1 ⋅ � � 0.5 ⋅ � = 80.5

Ahora resolvemos el sistema de ecuaciones por sustitución:

Aislamos la x en la primera ecuación:

� + � = 100 � = 100 � �

Ahora sustituimos x en la segunda ecuación:

� � 0.5 ⋅ � = 80.5 !100 � �" � 0.5 ⋅ � = 80.5

Resolvemos la ecuación de primer grado:

100 � � � 0.5 ⋅ � = 80.5 100 � 80.5 = � + 0.5�

19.5 = 1.5� � = 19.51.5 = 13

Tenemos que el número de respuestas incorrectas es y = 13.

Fácilmente calculamos el número de respuestas correctas:

� = 100 � � = 100 � 13 = 87

Ejercicios 4

Resuelve por el método de sustitución

1" �7� + � = 153� + � = 7

2" �� + 10� � 24 = 03� � 2� � 8 = 0


87

3) Un niño realiza las siguientes observaciones sobre un parque infantil de pelotas:

• Hay pelotas verdes, rojas y amarillas. • El número de pelotas verdes más las pelotas rojas es cinco veces el número de las

amarillas. • El número de pelotas verdes es el triple que el de amarillas. • El total de pelotas amarillas y rojas asciende a 123.

Calcular la cantidad de pelotas de cada color.

Sistemas de ecuaciones equivalentes

Para resolver un sistema de ecuaciones, principalmente cuando se tienen varias incógnitas,

podemos recurrir a encontrar sistemas de ecuaciones equivalentes: sistemas que tienen las

mismas soluciones. Analicemos la siguiente situación.

María fue al cine y compro 3 boletos, 2 bolsas de palomitas y un refresco, pagó $302; José

compró 2 boletos y 2 refrescos, pagó $210; Pablo tenía pases y sólo compró 1 bolsa de palomitas

y 2 refrescos, pagó $79. En otra ocasión, van al mismo cine, pues les dieron pases gratis,

haciendo los siguientes gastos: María fue al cine y compro 1 boleto y 2 bolsas de palomitas,

pagó $140; José compró 2 bolsas de palomitas y 2 refrescos, pagó $114; Pablo tenía pases y

sólo compró un refresco pagó $22. ¿Cuánto cuesta cada cosa y cómo se puede plantear los dos

sistemas de 3x3?

Si consideramos las incógnitas como:

x_ precio del boleto ($)

y_ precio de las palomitas ($)

z_ precio por refresco ($)

Revisa que cada situación se puede representar con los siguientes sistemas de 3x3, 3

ecuaciones con 3 incógnitas.

Primera situación

� 3� + 2� + � = 3022� + 2� = 210 � + 2� = 79

Segunda situación

� � + 2� = 140 2� + 2� = 114 � = 22

Los precios en la primera ocasión fueros de $70 la entrada, $35 las palomitas y $22 el refresco.

Verifica si los precios permanecieron en cada situación, si es así, los sistemas son equivalentes


88

Por ejemplo: De la ecuación 1 70+2(35) =140. Verifica las otras dos

La ecuación 2 _______________

La ecuación 3 _______________

El segundo sistema es un sistema triangular, mucho más fácil que el primero. El método de

resolución por sistemas de ecuaciones equivalentes consiste en obtener sistemas de ecuaciones

equivalentes, hasta obtener un sistema triangular que permita obtener la solución, con despejes

y sustitución regresiva.

¿Cómo obtener sistemas de ecuaciones equivalentes?

Método de obtención de un sistema triangular equivalente

Para ejemplificar el método y los pasos que se pueden efectuar, indicaremos lo que se puede hacer y lo realizaremos

1. Intercambiar ecuaciones. Intercambiamos la ecuación 1 por la 2 (.31 ↔ .32"

� 3� + 2� + � = 3022� + 2� = 210 � + 2� = 79 � 2� + 2� = 2103� + 2� + � = 302 � + 2� = 79

2. Cambiar una ecuación por una ecuación equivalente.

Cambiamos la ecuación 1 por -� 567�87839/�: 9 79 .36938ó/ 2, (ec1 ← -

� ∗ .32"

� 2� + 2� = 2103� + 2� + � = 302 � + 2� = 79 � � + � = 1053� + 2� + � = 302 � + 2� = 79

3. Cambiar una ecuación por una combinación lineal, es decir sumar ecuaciones

equivalentes y cambiar esta suma por alguna de ellas. La ec2 la cambiamos por !ec1 ← !�3" ∗ .31 + .32"

� � + � = 105 �� + � = �13 � + 2� = 79

Combinación lineal �3� � 3� = �315 + 3� + 2� + � = 302

�� + � = �13


89

Notan que ya se está obteniendo el sistema triangular, lo único que falta es que no aparezca la literal “y” en la tercera ecuación. Eso se obtiene con la combinación lineal, ec3 ← .32 + .33

� � + � = 105 �� + � = �13 3� = 66

Combinación lineal �� + � = �13 + � + 2� = 79

3� = 66

El sistema ahora es triangular, puede mejorarse aún más, con la siguiente combinación lineal:

ec2 ← !�1".32 y 9�.5áA ./ ec3 ← B-'C ∗ .3

� � + � = 105 � � � = 13 � = 22

Finalmente se aplica la sustitución regresiva, es decir se sustituye � = 22 en la ecuación 2, obteniendo � = 35 y ambos valores se sustituyen en la ecuación 1, para obtener � = 70.

Comprueba que los tres valores son la solución del sistema.

Ejercicio 5

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones y comprueba que la solución satisface cada una de las ecuaciones.

1" � � + 2� + � = �6� + � � � = 2 2� + � = �7

3) � 2� � 2� + 4� = 2 � + 2� + � = 4 2� + � = 5

2" � �2� + 2� = �3 � + 2� = 3

4) � 2� + 2� = �23� + � + 2� = 7 � + � + 2� = 1


90

Ejercicio 6

Elige la solución correcta de cada sistema

1)

=−

=+

1325

63

yx

yx

A) 3

1

=

=

y

x B)

1

3

=

−=

y

x C)

1

3

=

=

y

x D)

3

1

−=

−=

y

x E)

1

3

−=

−=

y

x

2)

−=+−

−=+

2443

175

yx

yx

A) 3

4

−=

=

y

x B)

3

4

=

−=

y

x C)

4

3

−=

−=

y

x D)

4

3

=

=

y

x E)

3

4

=

=

y

x

3)

−=−

=+

7798

843

yx

yx

A) 5

4

=

=

y

x B)

5

4

=

−=

y

x C)

4

5

−=

−=

y

x D)

5

4

−=

−=

y

x E)

4

3

=

=

y

x

4)

=+−

=+

879

321115

yx

yx

A) 23

2

=

=

y

x B)

3

2

2

=

−=

y

x

C) 2

3

2

−=

=

y

x D)

22

3

=

=

y

x E) 23

2

−=

−=

y

x


91

Problemas que dan lugar a sistemas de ecuaciones lineales

A partir del siguiente problema, trata de identificar las relaciones que existen entre los datos que se te proporcionan y las incógnitas.

Ejemplo

En una papelería, un niño compró 5 plumas y 4 lápices pagando por ellos $ 30.00, otro niño compró 2 plumas y 6 lápices pagando $ 23.00. ¿Cuál fue el costo de cada pluma y cada lápiz?

Iniciamos la solución identificando las variables que vamos a utilizar y describiendo su significado en el modelo matemático, así:

� representa el costo de cada pluma ($)

� representa el costo de cada lápiz ($).

Construimos el modelo matemático que representa las relaciones descritas en el enunciado, quedando:

5� + 4� = 30

2� + 6� = 23

Resolvemos el sistema de ecuaciones, utilizando cualquier método, que en este caso será suma o resta, para lo cual multiplicamos a la primera ecuación por 3 y a la segunda por – 2 y sumamos las ecuaciones resultantes, obteniéndose:

!3"!5� + 4�" = !3"30

�2 !2� + 6�" = 23 ! �2"

15� + 12� = 90

�4� � 12� = �46

11� = 44

� = &&--

� = 4


92

Si ahora sustituimos el valor de 4x = en la segunda ecuación original, tenemos:

2 !4" + 6 � = 2

8 + 6� = 23

6� = 23 � 8

� = -D#

� = D�

Ahora sabemos que el costo de cada pluma fue de $ 4.00 y de cada lápiz $2.50

Ejercicio 7

Resuelve los siguientes problemas cuyo modelo es un sistema de ecuaciones lineales.

1) Un almacenista tiene dulces de $ 45.00 el kilogramo y otros de $ 70.00 el kilogramo, si quiere hacer una mezcla de 120 kilogramos cuyo costo sea de $ 55.00 el kilogramo. ¿Cuántos kilogramos de cada clase de dulces tendrá que mezclar?

2) La suma de los dígitos de un número de 2 cifras es 13. Si las cifras del número se invierten, el número resultante es 9 unidades menor que el número original. ¿Cuál es el número original?

3) El gerente de un teatro sabe que vendió 450 boletos para una función. Si cada boleto de adulto costó $ 150.00 y cada boleto de niño costó $ 40.00 y en total recaudó $ 45,500.0 ¿cuál fue el número de boletos de adultos y cuál el de niños que vendió?

4) Si el menor de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo mide la cuarta parte del otro ángulo agudo. ¿Cuál es la medida de cada uno de ellos?

5) Al final de las ventas del día un comerciante encontró que tenía $211.00 en monedas de $2.00 y $5.00, si en total fueron 59 monedas ¿Cuántas tiene de cada denominación?


93

Formas de autoevalución o verificación de los aprendizajes


Instrucciones:




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1. Al resolver por sustitución el siguiente sistema de ecuaciones, la solución es:

�4 + 2� = 3�4� + 2� = 8

A) � = 2, � = 1 B) � = �2, � = �1 C) � = �1, � = 2

D) � = 1, � = 2 E) � = 1, � = �2

2. ¿Cuándo un sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas no tiene solución?

A) Cuando las rectas se intersecan B) Cuando forman una sola recta

C) Cuando las rectas son paralelas D) Cuando las rectas son perpendiculares

E) Cuando una recta es creciente y la otra decreciente.

3. Oscar compró 4 chocolates y 6 paletas; pagó $78. ¿Cuánto cuesta cada cosa?

Sea � el precio de los chocolates ($)

� el precio de cada paleta ($).

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

A) � = $12, � = $5 es posible respuesta B) � = $9, � = $7 es posible respuesta

C) � = $6, � = $9 es posible respuesta D) � = $7, � = $9 es posible respuesta

E) tiene muchas soluciones.

4. Al resolver el sistema de ecuaciones �2� + 3� = 53� � 2� = 1 se tiene que el valor de � es:

A) � = 2 B) � = 1 C) � = �1 D) � = �2 E) � = 3


94

5. Si por el método de igualación eliminamos “�” en el sistema � � � � = 46�2� � 4� = 78 ; para

obtener una ecuación de primer grado con una incógnita, entonces ¿cuál de las siguientes

proposiciones corresponde a la ecuación?

A) �85 = 3� B) 7 = �3� C) 85 = 3� D) 7 = �3� E) 85 = ��

6. ¿Cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones tiene por gráfica la que se muestra en la

figura?

A) � � � 2� = 62� � 4� = 5

B) � � + � = 65� � 4� = 12

C) � 4� + 5� = �323� � 5� = 11

D) � � � 2� = 52� � 4� = 10

E) � � � � = 62� � 3� = 2

7. Si para rentar un automóvil se obtuvieron los siguientes presupuestos: en Renta-Car la renta

diaria es de $350, más $600 de cuota fija y en otra empresa es de $250 por la renta y la cuota

fija de $100. Identifica ¿cuál sistema de ecuaciones representa la situación?, considerando que � es la cantidad de días que se alquila el auto.

A) � � = 600� + 250� = 350� + 100 B) � � = 250� � = 350� C) � � = 600� � = 350�

D) � � = 350� + 600 � = 250� + 100 E) � � = 250� + 600� = 350� + 100


95

8. Aplica el método de sustitución, despeja � de la segunda ecuación del sistema siguiente e

identifica qué ecuación queda para obtener el valor de �?

� 3� + 2� = 6�6� + � = 3

A) – 6� + 6 � + 3 = 3 B) 3� + 2!6� + 3" = 6

C) – 6� + #('H� = 6 D) 3� + 2 B#('H

� C = 6 E) 3 B'($(# C + 2� = 6

9. ¿Cuál combinación lineal permite obtener un sistema de ecuaciones equivalente y triangular?

� � + 3� + � = 9 � � � = 2 3� + � = 4 A) �3!.31" + .33 B) 3!.32" + .33 C) �1!.31" + .33

D) �3!.32" + .33 E) -' !.33" + .32

10. Ana, Pablo y José fueron al establecimiento de “Copias y Copias”. Ana pidió 10 copias, 5

amplificaciones y 3 acetatos; Pablo pidió 5 copias, 2 amplificaciones y 3 acetatos y José 1

copia y 3 acetatos. Si pagaron $19, $8 y $9.60 respectivamente y Pablo olvido sacar 2 copias

y 3 acetatos. ¿Cuánto dinero necesita Pablo, para las copias y los acetatos demás?

A) $3.60 B) $10.20 C) $4.60 D) $3 E) $3.80


96

Respuestas a los ejercicios

Ejercicios 1

Ecuaciones Soluciones posibles

Gráficas

1) � + � � 2 = 0

(3,-1) (2,0) (1,1)

2) 3� + � = 5

(0,5) (1,2) (2,-1)

3) �4� = � � 2

(0,2) (-1,6) (1,-2)

4) 3� + 2� = 0 (-4,6) (-2,3) (0,0)

Ejercicios 2

Ecuación Solución Gráfica 1)

1834

13

1

=−

−−=

yx

xy

(3,-2)

2)

623

62

=−

−=

yx

xy

(3,1.5)


97

3) 2 4

2 3

x y

x y

− =

− = −

Sin solución

4) 2 6 3

3 6 2

x y

y x

− = −

= −

Soluciones infinitas

5) 2 3

3 4

x y

y x

=−

=

(0,0)

Ejercicios 3

1. (3,-1) 2. (0.5,0.5)

Ejercicios 4

1. (2,1) 2. (4,2) 3. 41 amarillas, 82 rojas y 123 verdes.


98

Ejercicios 5

1. � = 1, � = �2, � = �3 2. � = 1.8, � = 0.6 3. � = 2, � = 1, � = 0 4. � = 3, � = �4, � = 1

Ejercicios 6

1. C 2. A 3. B 4. A

Ejercicios ( Problemas)

1) � 45� + 70� = 55!� + �"� + � = 120 Solución: 72kg de $45 y 48 kg de $70

2) I 6 + � = 13 106 + � = 10� + 6 � 9 Solución: el número es 76.

3) I / + 9 = 450 1509 + 40/ = 45500 Solución: 250 adultos y 200 niños

4) 9 + J& = 90 Solución: ángulo menor: 18°, mayor: 72°

5) � � + � = 59 2� + 5� = 211 Solución: 28 de $2 y 31 de $5


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

D C D B A B D B D B

Recuerda justificar cada respuesta, en el examen extraordinario se te van a pedir los

desarrollos.

Referencias bibliográficas y de la WEB

99

Bibliografía básica y complementaria

Ángel, A. R. (2007). Álgebra Elemental. México: Pearson Educación.

Aponte, G., Pagán, E., & Pons, F. (1998). Fundamentos de Matemáticas básicas. México: Addison Wesley Logman.

Barnett, A. (1992). Precálculo. Álgebra, Geometría Analítica y Trigonometría. México: Limusa,

Carvajal, J. C. (2010). Álgebra. México, México: Mc Graw Hill.

Coto, A. (2011). Desarrolla tu agilidad mental. Lada de Langreo, Asturias: A. Coto.

Fuenlabrada de la Vega, S. (2007). Aritmética y Álgebra. México: Mc Graw Hill.

Gobran, A. (1990), Álgebra Elemental. México, D. F.: Editorial Iberoaméricana.

Hit Espinosa, Fernando (2002). Funciones en contexto. México: Pearson Educación.

Smith, S., Charles, R., Dossey, J, Keedy, M. y Bittiinger, M. (2001). Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica. México: Addison Wesley.

Solís, L. A. (2012). Matemáticas I. Solución de problemas reales. México: Quinto Sol.

Spivak, M. (2012). Calculus. Barcelona España: Editorial Reverté.

Vigil, E. C., & Hernández, R. S. (2014). Álgebra. Serie Bachiller. México: Grupo Editorial Patria. Recuperado el 10 de marzo de 2017.

ENCCH, UNAM (2016). Programa de Estudios de Matemáticas, Semestres I al IV. Plan de Estudios Vigente. México: CCH. UNAM.

Referencias de la WEB Flores, D. Sistemas de ecuaciones lineales. En GeoGebra.org. Recurso académico recuperado el 21 de julio de 2017 de:

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ei=nXdBWbjECIWImwHb-aL4DA#imgrc=DfDcyzE5jiZvJM:

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