GUÍA DE ESTUDIO

DERIVADA

FUNCIONES ESPECIALES.

INCREMENTO Y RAZÓN DE CAMBIO

Incremento de y:

Incremento de x:

La tasa de variación media de

La tasa de variación media es conocida también como:

La tasa de cambio promedio.

La razón de cambio promedio.

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

La derivada de la función f respecto de la variable x, en x0 se denota por f ´(x0) y se define por:

Se dice que f (x) es derivable en x0 si existe

f ´(x0).

Notación:

REGLAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN

Derivada de una función potencial

Derivada de una función CONSTANTE

Teoremas fundamentales

Si f y g son funciones derivables y k, a, b y c son constantes entonces:

1. [k f(x)]´=k f´(x)2. [f(x) ± g(x)]´= f´(x) ± g´(x)3. [a f(x) ± b g(x)]´= a f´(x) ± b g´(x)4. Regla del producto [f(x).g(x)]´=f´(x).g(x)

+f(x).g´(x) 5. Regla del cociente

6. Regla de la Cadena (fg)´(x)=[f(g(x))]´=f´(g(x)).g´(x)

Observación

Función f(x) Derivada f´(x)ax Xln 1/x

Sen(x) Cos(x)Cos(x) -sen(x)

1DOCENTE

La representación gráfica de una función lineal es una recta

m: pendiente (grado de inclinación de la recta)

b: ordenada en el origen (cruce de la recta en el eje y).

Ejemplo: Grafique y=13x+1

Tabulamos sólo dos puntos

x y0 13 2

LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

f ( x )=a x2+bx+ca ,b , c∈R ,a≠0

La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola

Vértice:

CASO I: a>0

Df=R

R f=[k ,+∞ ⟩

Df=R

R f= ⟨−∞ , k ]

Ejemplo: Grafique y=x2+2 x+1

Solución: a=1 , b=2 , c=1

a>0: la parábola se abre hacia arriba

El vértice: V (h ,k )=h=−b2a

= −22(1)

=−1

2DOCENTE

x

y

h

kV

y

x

h

k Vy

x

x

y

(3,2)(3,2)(3,2)(3,2)(3,2)(3,2)(3,2)(3,2)

k=f (h )=f (−1 )=(−1)2+2 (−1 )+1=0

LA FUNCIÓN RAIZ CUADRADA

f ( x )=√x , R f=[0 , +∞ ⟩ Df=[0 , +∞ ⟩

x

y

Cómo graficar f ( x )=√x−h+k

Df=[h , +∞ ⟩, R f=[k , +∞ ⟩

FUNCIONES DEFINIDAS POR TRAMOS

Se define por la unión de otras varias funciones.

Ejemplo: Determine la gráfica

f 1 ( x )=4 , x←1

f 2 ( x )=x2+3 ,0<x≤2

f 3 ( x )=−x , x>2

EN RESUMEN:

TRASLACIONES

Función Original: y=f ( x )

Traslación en el eje X: cambiamos x por x−h

Función Trasladada: y=f ( x−h )

Traslación en el eje Y: adicionamosk a y

Función Trasladada: y=f ( x )+k

Ejemplo: Sea la función: y¿ x2+4 x+1

Traslación 3 unidades en el eje X hacia la izquierda.

A la izquierda: h=−3

Función Trasladada:

y=f ( x— 3 )=f ( x+3 )

3DOCENTE

x

y

x

y

k

h

(h , k )

x

y

¿(x+3)2+4 (x+3)+1

REFLEXIONES:

Son simetrías axiales con respecto al eje X o al eje Y

Reflexión con respecto al eje X:

Funciónoriginal : y=f ( x )

Funciónreflejada y=−f (x )

Reflexión con respecto al eje Y:

Funciónoriginal : y=f ( x )

Funciónreflejada y=f (−x )

Ejemplo: Grafique la reflexión de la función

y=2x2−8 x+1 ,con respecto al eje X

Solución: Grafica de la función

Reflexión

y=−¿), y=−2x2+8 x−1

Referencia bibliográfica:

Stewart, James. Precálculo.

Larson. Precálculo.

4DOCENTE