guia de estudio - cemsa.edu.mx · [4] bloque 8 ecuaciones de la parabola 8.1 parabola con ejes...

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GUIA DE ESTUDIO

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Reglamento…………………………………………………………………………...1

Estudio Independiente……………………………………………………………….2

10 sugerencias para administrar tu tiempo………………………………………...3

El tiempo disponible ejemplo………………………………………………………..4

Plan de estudios……………………………………………………………………...5

Índice de Matemáticas III Bloque 1 Lugares geometricos

1.1 El plano cartesiano ............................................................................... 9

1.2 El sistema coordenado rectangular .................................................... 10

1.3 Puntos, segmentos y poligonos en el plano ....................................... 11

1.4 Lugar geometrico ................................................................................ 14

1.5 El problema fundamental de la geometria analitica ........................... 15

Bloque 2

Segmentos rectilineos y poligonos 2.1 Segmento rectilineo ........................................................................... 25

2.2 Distancia entre dos puntos .................................................................. 26

2.3 Division de un segmento .................................................................... 29

Bloque 3 La recta como lugar geometrico

3.1 Pendiente de una recta ...................................................................... 35

3.2 Paralelismo y perpendicularidad ........................................................ 39

3.3 La recta como lugar geometrico .......................................................... 41

3.4 Obtencion de la ecuacion de la recta ................................................. 43

3.5 Forma pendiente y ordenada en el origen significado grafico

de m y b .............................................................................................. 45

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Bloque 4 Formas de la ecuacion de una recta

4.1 Forma general ..................................................................................... 52

4.2 Relacion entre las formas general y pendiente y ordenada

en el origen ........................................................................................ 53

4.3 Forma simetrica ................................................................................. 53

4.4 Interseccion de rectas ........................................................................ 58

4.5 Forma normal ...................................................................................... 62

4.6 Sobre las diferentes formas de la ecuacion de la recta ..................... 65

Bloque 5 Circunferencia con centro en el origen

5.1 Curvas en el cono ................................................................................ 73

5.2 La circunferecia como lugar geometrico .............................................. 75

5.3 Ecuacion de la circunferencia con centro en el origen ......................... 75

5.4 Relacion entre las condiciones geometricas y analiticas para

la determinación de la circunferencia .................................................. 76

Bloque 6 Ecuaciones de la circunferencia

6.1 Ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen ................... 82

6.2 Forma general de la ecuacion de la circunferencia .............................. 84

6.3 Condiciones para la determinacion de la circunferencia ..................... 89

Bloque 7 Parabola con vertice en el origen

7.1 La parabola como lugar geometrico .................................................. 102

7.2 Elementos de la parabola ................................................................. 104

7.3 Ecuacion de la parabola con vertice en el origen .............................. 105

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Bloque 8 Ecuaciones de la parabola

8.1 Parabola con ejes paralelos a los ejes coordenados (forma

ordinaria o canónica de la ecuación) ................................................ 113

8.2 Efectos graficos de los parametros geometricos h,k y p ................... 115

8.3 Forma general de la ecuacion de la parabola ................................... 116

Bloque 9 Elipse con centro en el origen

9.1 La elipse como lugar geométrico ...................................................... 125

9.2 Elementos de la elipse ...................................................................... 126

9.3 Ecuación de la elipse con vertice en el origen .................................. 128

Bloque 10

Ecuaciones de la elipse 10.1Ecuacion de la elipse con centro fuera del origen: formas ordinarias..145

10.2 Relación entre la grafica y los valores de h y k ...................... ……...147

10.3 Forma general de la ecuacion de la elipse ...................................... 151

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REGLAMENTO

1. El Colegio de Educación Media Superior Abierta tiene reconocimiento de validez oficial de estudios (RVOE) de la Secretaría de Educación del Gobierno del Estado (SEGE). Acuerdo B0170, clave de centro de trabajo 24PBH0125

2. El plan de estudios es de la Dirección General de Bachillerato (DGB) y es válido en todo el país. Consta de tres módulos: Módulo Básico (31 asignaturas), Módulo Propedéutico (8 asignaturas) y Módulo de Formación para el Trabajo (1 especialidad).

3. El estudiante puede presentar exámenes por materia agrupando asignaturas seriadas excepto matemáticas quedando de la siguiente manera: Modulo Básico (20 materias), Módulo Propedéutico (4 materias) y Módulo de Formación para el Trabajo (1 especialidad)

4. Al concluir sus estudios se entrega un certificado de Bachillerato General, válido para cualquier carrera en cualquier Institución de educación superior en todo el país.

5. Se reconocen los estudios parciales realizados en cualquier institución de educación media superior presentando un certificado parcial legalizado de la escuela de procedencia, se tramita una equivalencia de estudios ante Secretaría de Educación y continúa con las asignaturas que le faltan para concluir sus estudios de Bachillerato.

6. La inscripción ante la Secretaría de Educación es Bimestral y se pueden reportar máximo 8 asignaturas por bimestre posterior al bimestre de inscripción. La inscripción y la presentación de exámenes en el Colegio es permanente.

7. Los requisitos para la inscripción en Secretaría de Educación: Certificado de Secundaria, original, Acta de Nacimiento original, copia del CURP y Certificado Parcial legalizado en caso de haber cursado estudios de bachillerato inconclusos. No existe límite de edad para el ingreso.

8. El estudiante puede consultar sus calificaciones y obtener sus libros digitales gratuitos en la página web del Colegio. Puede solicitar Constancias de Estudio (IMSS, Beca Oportunidades o trámites de estudios superiores), Credencial (boletur, descuentos en pasajes foráneos, museos)

9. Por ser un modelo no escolarizado el tiempo de término de estudios del bachillerato depende del ritmo de estudio del alumno, sin embargo se pueden determinar los siguientes periodos: 1 examen por semana 10 meses 1 examen por quincena 20 meses (1 año y medio) 1 examen por mes 40 meses (3 años 4 meses) Estos tiempos pueden disminuir si el alumno tiene estudios parciales previos.

10. El estudiante que no presente examen en tres meses consecutivos será dado de baja en la Secretaría de Educación. Para continuar sus estudios deberá solicitar un certificado parcial de las asignaturas acreditadas e inscribirse nuevamente

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ESTUDIO INDEPENDIENTE

Las características y habilidades para el estudio independiente no se reducen a un contexto exclusivamente escolar. Esto quiere decir que la independencia se conforma a lo largo de la vida, es un proceso donde el individuo se enfrenta a diversas situaciones que tiene que resolver en distintos ámbitos como son el laboral o el familiar e incluso dentro de su comunidad, en los que influyen, por supuesto, factores de carácter social y cultural. Pero es la escuela, la entidad socialmente encargada de dotar de las destrezas o habilidades que le permitan al sujeto, desarrollar de manera consciente métodos de aprendizaje, sobre todo si deseamos que el postulado de la educación permanente, “aprender durante toda la vida”, realmente se cumpla. El estudio independiente puede considerarse como un proceso dirigido hacia el autocontrol y la autoevaluación y entenderse como una actividad orientada hacia la formación de habilidades que permitan la construcción ininterrumpida de conocimiento y aprendizaje. Existen muchos elementos para justificar la necesidad de fomentar el estudio independiente en los sistemas de educación abierta o a distancia, el principal queremos encontrarlo en el hecho de que a menos que el estudiante participe activamente en la adquisición de sus propios conocimientos estas modalidades educativas como formadoras del estudiante, carecen de sentido. Si los objetivos de estos sistemas no van solamente hacia la acumulación de conceptos, el estudio independiente debe ser una parte indispensable del proceso formativo. El estudio independiente tiene implícita la idea de que el aprendizaje requerido para un proceso formativo puede ser incorporado no sólo en el salón de clases o bajo la tutela del maestro sino que el alumno tiene la responsabilidad de trabajar de manera independiente y trascender lo que ha sido enseñado en el aula, en las diferentes áreas y dimensiones del saber. El estudio independiente lleva consigo la responsabilidad de la propia formación por parte del alumno y esto es importante si consideramos que el sistema educativo ha estado renunciando al proceso formativo y la creación de un aprendizaje colectivo es muy difícil en los sistemas de educación abierta, en donde la posibilidad de interacción está limitada. No estamos hablando acerca de una nueva moda educativa. Estamos hablando de una competencia humana básica, de la capacidad de aprender por uno mismo, que de repente se ha convertido en un requisito previo en este mundo nuevo. Las personas que toman la iniciativa en el auto aprendizaje, tienen más posibilidades de retener lo que aprenden que el estudiante pasivo y esta iniciativa está más en sintonía con nuestros procesos naturales de desarrollo psicológico, pero es importante añadir que la disposición para la autodirección de las personas es variable, lo que exige diversos grados de asistencia por parte de la institución y de los asesores, especialmente durante el desarrollo de las habilidades de estudio independiente. Estamos hablando de un conjunto de acciones porque el estudiante pone en práctica algunas herramientas cognoscitivas que ha venido consolidando a lo largo de su vida académica y otras que experimenta para resolver problemas específicos, las cuales le facilitan y hacen más efectiva o satisfactoria su labor de aprendizaje. Se trata de una labor consciente, y esta conciencia en el acto de estudiar es un elemento fundamental que permite comprender y emprender acciones permanentes de estudio independiente. El estudio independiente necesita rescatar la noción de responsabilidad personal, entendida como el hecho de que un individuo asuma la titularidad de sus pensamientos y acciones.

En conclusión el estudio independiente es el sistema de estudio que deposita en el alumno, la mayor responsabilidad de su aprendizaje de acuerdo con sus posibilidades, características, vivencias y necesidades, estimulándolo para que utilice al máximo sus propios recursos conforme lo considere conveniente y oportuno

La asesoría o tutoría es el sistema de estudio que se basa en el proceso de auto aprendizaje y el asesor es un programador de experiencias didácticas y un orientador del proceso; esta modalidad de estudio no implica la asistencia a clases.

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10 SUGERENCIAS PARA ADMINISTRAR TU TIEMPO

1. ¡Mantente alerta! La mayoría de la pérdida de tiempo ocurre por distracciones.

Distracción es cuando tu atención está en otra cosa o en otra parte que no sea lo importante que sucede a tu alrededor.

2. Cambia la rutina. Pregúntate: ¿Qué parte de mi rutina puedo cambiar o modificar para que mi productividad aumente?

3. Mantente en movimiento. Entre más activo estés, más alerta te sentirás.

4. Usa “objetivos espontáneos”. Éstos son ideas dirigidas hacia un resultado deseado que surge espontáneamente. Pregúntate: ¿Cuál es el resultado final de esta actividad?

5. No realices muchas actividades simultáneamente. Trata de trabajar a la vez que requiera concentración.

6. Líbrate del papeleo. Existen solamente tres opciones: basura, archivo o acción.

7. Utiliza tu tiempo libre en algo importante en qué ocuparte (archivar, organizar, adelantar algo, estudiar, capacitarte…)

8. Sé claro y conciso. Cuando expliques algo a alguien, hazlo de manera sencilla, clara, breve y con los datos suficientes. Así no tendrás que estar explicando lo mismo varias veces.

9. Toma un descanso mental. Cuando estés bloqueado y parece que no puedes avanzar, respira hondo varias veces para relajarte, trata de pensar en algo agradable y luego retoma lo que estás haciendo, con la mente fresca.

10. Sé puntual y organiza tus actividades. Una manera casi infalible de llegar a tiempo es planear llegar más temprano. La mejor forma de optimizar el tiempo es planear todas nuestras actividades.

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EL TIEMPO DISPONIBLE

EJEMPLO

ACTIVIDADES LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES SÁBADO DOMINGO

DORMIR

DESAYUNO

COMIDA

CENA

TRABAJO

TRANSPORTE

FAMILIA

DEPORTE

TELEVISIÓN

ASEO PERSONAL

ESTUDIO INDIVIDUAL

ASESORÍAS

TOTAL

TIEMPO

DISPONIBLE

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PLAN DE ESTUDIOS

PRIMER SEMESTRE: SEGUNDO SEMESTRE: TERCER SEMESTRE:

ALG-001

Matemáticas I TRI-002

Matemáticas II GAN-003 Matemáticas III

QUI-001

Química I QUI-002

Química II GEO-003 Geografía

EYV-001

Ética y Valores I EYV-002

Ética y Valores II FIS-003 Física I

ISC-001

Introducción a las Ciencias Soc.

HDM-002

Historia de México I HDM-003 Historia de México II

LYR-001

Taller de Lectura y Redacción I

LYR-002

Taller de Lectura y Redacción II

LIT-003 Literatura I

ING-001

Lengua adicional al español I

ING-002

Lengua adicional al español II

ING-003

Lengua adicional al español III

INF-001

Informática I INF-002

Informática II

CUARTO SEMESTRE:

QUINTO SEMESTRE:

SEXTO SEMESTRE:

FUN-004

Matemática IV BIO-005

Biología II FIL-006 Filosofía

BIO-004

Biología I HUC-005

Historia Universal Contemporánea

EYM-006

Ecología y Medio Ambiente

FIS-004

Física II MDI-006

Metodología de la Investigación

ESM-004

Estructura Socioeconómica de México

LIT-004

Literatura II

ING-004

Lengua adicional al español IV

FORMACION PARA EL TRABAJO: _______________________

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BLOQUE 1 LUGARES GEOMETRICOS

CONOCIMIENTOS

• Identificar las características de un sistema coordenado rectangular.

• Reconocer parejas ordenadas, la igualdad entre ellas y su representación grafica.

• Identificar regularidades en conjuntos de parejas ordenadas presentadas en forma grafica y numérica.

HABILIDADES

• Establecer un orden o acomodo conveniente entre pares de objetos para formar una pareja ordenada.

• Comprender la noción de lugar geométrico • Determinar si dos o más parejas ordenadas son iguales o

no. • Transitar entre la representación numérica y grafica de una

pareja ordenada. • Visualizar la ubicación de una pareja ordenada en el plano

cartesiano. • Expresar verbal o simbólicamente las regularidades que

identifica un conjunto de parejas ordenadas. • Asociar el conjunto de parejas ordenadas vinculado a una

regularidad como un lugar geométrico. • Reconocer que la regularidad constituye la condición que

determina al lugar geométrico. • Construir la grafica de un lugar geométrico a partir de una

condición dada en lenguaje verbal o simbólico. • Reflexionar sobre la conveniencia de disponer distintas

formas de representación de un lugar geométrico.

ACTITUDES Y VALORES

• Valorar la importancia del orden entre los elementos de una pareja ordenada.

• Apreciar la utilidad de las parejas ordenadas en la comunicación y representación de información de índole geográfica, económica, demográfica, etcétera.

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Unidad de Competencia del Bloque 1

[8]

Sistema coordenado rectangular

Conjuntos Plano cartesiano

Coordenadas (elemento analítico)

Figuras geométricas (elemento geométrico)

Puntos Líneas Curvas

Lo analítico (algebraico)

Lo geométrico

Aplicaciones

Se sustenta en los Y en el

Que dan lugar a las Y a las

Comenzando con los Después las Finalmente las

En sus diferentes representaciones

Y en contextos reales sus diversas

[9]

Explica con tus propias palabras el mapa conceptual del Bloque 1:

1.1 El plano cartesiano Conceptos y generalizaciones

El plano cartesiano es la herramienta principal de la geometría analítica. En este campo aparece relacionado lo geométrico (puntos) y lo analítico (lo algebraico o numérico)

Un plano cualquiera

como un conjunto de

puntos.

Cuando le agregas

una referencia como

estos dos ejes de

números reales…

y

x

Puedes localizar

cualquier punto en

el, simplemente

conociendo sus

proyecciones sobre

los ejes de

referencia.

P (x,y) y

x

Puedes establecer

para cada punto en

el plano una

asociación entre la

pareja ordenada

construida con las

proyecciones y el

punto.

[10]

El plano cartesiano representa a la infinidad de puntos del plano y, desde luego, su asociación con un número infinito de parejas ordenadas. Pero un punto, una recta, un segmento o una curva que traces en el, será solo un subconjunto del plano cartesiano. 1.2 El sistema coordenado rectangular El sistema coordenado rectangular es la representación grafica del plano cartesiano. Ahora deberás aprender a relacionar en este cada punto con sus coordenadas. Observa, es muy sencillo.

Y así, cada punto

está asociado a una

pareja ordenada

única. No hay dos o

más para el mismo

punto.

-3 -2 -1 1 2 3

3

2

1

Q (1,3)

P (3,1)

R(-2,2)

De los puntos

podemos ir a la

construcción de

figuras

-3 -2 -1 1 2 3

Q (1,3)

P (3,1)

R(-2,2) 3

2

1

Y de ahí a la construcción de

imágenes solo hay un paso.

Se trata de los pixeles, que

son un grupo de puntos de

diferentes colores, cada uno

con una pareja ordenada.

El plano cartesiano

se construye cuando

asocias parejas

ordenadas a puntos

de un plano.

Es la herramienta

principal de la

geometría analítica.

Su representación

más útil para

nosotros es a través

de los dos ejes reales

perpendiculares

cortándose en el

origen.

1 2 3 -3 -2 -1 0

3

2

1

-1

-2

-3

Primer cuadrante

(+2,+2)

(+1,-2)

Cuarto cuadrante

Segundo cuadrante

(-2,+1)

(-3,-1)

Tercer cuadrante

Cualquier punto del plano cartesiano posee dos coordenadas: una abscisa x y una ordenada y. El punto de cruce es el origen (O), que representa el cero para las dos coordenadas. A partir del. Los signos de estas son positivos en el sentido de las flechas y negativos en el sentido opuesto.

El plano queda dividido por los ejes en cuatro partes llamadas cuadrantes. Se ordenan comenzando por el que tiene sus dos coordenadas positivas, el primer cuadrante, siguiendo para los restantes el sentido contrario a las manecillas del reloj.

Notación: P (abscisa, ordenada) P(x,y)

[11]

Por ejemplo:

(1,-2), en el cuarto cuadrante, posee abscisa

1, positiva, porque se avanza hacia la derecha desde el origen.

Y ordenada 2 negativa, porque se avanza hacia abajo desde el cero.

Toma Nota:

Una pareja ordenada consta de dos números en los que el orden en que se encuentran es inamovible. Por ejemplo, el punto P(2,4) es diferente al punto Q(4,2).

Así cada punto en el plano cartesiano tiene solamente una pareja ordenada asociada y, recíprocamente, a cada pareja ordenada de números reales

1.3 Puntos, segmentos y polígonos en el plano Una vez que trazas un punto en el plano cartesiano, descubres que cualquier figura sólo es un conjunto de éstos. Puedes hacer trazos valiéndote de las propiedades que conoces sobre las figuras. Por ejemplo, para el caso de una recta, sólo requieres conocer dos puntos, mientras que para otras curvas necesitarás algunos más.

Por otra parte, el empleo de coordenadas es una representación más que está a tu alcance para constituir figuras. Por ejemplo, si deseas transmitir a otros la idea del cuadrilátero del inciso a) en la actividad anterior, puedes hacer tanto el esquema (representación geométrica) como también expresar solamente los puntos que representan sus vértices, proporcionando estos en forma ordenada (representación analítica).

D 1 C A A A A A A 1 A A A B

Rectángulo de Vértices ACBCD

X

Y

[12]

Esquema A

Realiza y contesta en cada caso según se indique.

En relación con el cuadrilátero HIJK del Esquema A:

a) Determina las coordenadas de sus vértices.

b) ¿Cómo lo clasificas de acuerdo con la medida de sus lados y ángulos interiores?

c) ¿Cuánto mide cada uno de sus lados?

d) ¿Cuál es su perímetro?

e) Determina el valor de su área.

G

A

F

C

B

K

E D

I

J H P4

P5

P3

P2 P1

Y

X

[13]

1

Esquema B

Sobre el esquema B traza el triangulo de vértices:

A(-1,-1), B(2,-1), C(-1,3).

a) Determina su perímetro.

Sobre el esquema B traza el cuadrilátero de vértices: A(-1,-1), D(-2,1), E(-5,-1), F(-3,-3).

a) Determina su perímetro.

Sobre el esquema B traza los puntos: I (2,0), J (0,-2), K (2,-4) y H (4,-2). Como veras, conforman un cuadrado. Traza la circunferencia inscrita en el.

a) El centro de la circunferencia es el punto G. ¿Cuáles son sus coordenadas?

b) Indica las coordenadas de los puntos en donde el cuadrilátero es tangente o donde corta a los ejes coordenados, según el caso.

1

Y

X

[14]

c) ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia?

d) Determina la longitud de la circunferencia y el área del círculo limitado por esta.

1.4 Lugar geométrico

El lugar geométrico en geometría analítica es justo ese recorrido, la trayectoria que puedes visualizar cuando un objeto está en movimiento. Si lo analizamos desde la perspectiva del plano cartesiano, una trayectoria representa un conjunto de puntos que poseen cierta regularidad, como la circunferencia del avión de juguete o la recta del recorrido del auto o bien, la elipse que describe la Tierra en su rotación continua alrededor del Sol.

Ciertamente, hay una infinidad de trayectorias; tú mismo puedes fabricar una en este momento con el lápiz y no todas están en un plano. Algunas, como el vuelo de un insecto, son trayectorias en tres dimensiones. Pero estamos interesados sólo en algunas trayectorias planas.

Todas ellas se pueden visualizar en el plano cartesiano. Verás que al analizarlas bajo esta perspectiva tienen mucho que decirnos. Lo más importante, sin embargo, son aquellas propiedades que trascienden a la matemática misma para apoyarnos en la comprensión de otras situaciones, como lo es en el mundo de la física y en otros campos del conocimiento; incluso en tu mundo personal.

Trayectoria de un auto en un camino recto que observas a 1 m de distancia en la calle desde algún punto en la banqueta.

Y

X

¡Así lo describimos! Lugar geométrico de los puntos del plano que están a una distancia de 1 m del eje de abscisas.

1

Y

X

2

2

2

-2

-2

Trayectoria del avión de juguete vista desde quien lo maneja.

¡Así lo describimos! Lugar geométrico de los puntos del

plano que están a una distancia de 2 m del origen de coordenadas.

[15]

Recuerda: El lugar geométrico es un concepto asociado a la geometría analítica que utilizamos para expresar un conjunto de puntos del plano cartesiano. Es la figura en sí misma trazada sobre el plano. También puedes visualizarla como un subconjunto del plano cartesiano, pues consideras sólo algunos puntos de él.

Lo importante es que puedas expresar las características intrínsecas de la figura en relación o asociación con las referencias naturales en el plano cartesiano, como son: uno o más puntos de él, alguno de sus ejes coordenados, etcétera. Por ejemplo, la circunferencia, en el plano cartesiano, es una serie de puntos equidistantes a su centro, que es un punto del piano

1.5 El problema fundamental de la geometría analítica

Sobre el problema fundamental

La geometría analítica relaciona lo geométrico con lo algebraico, y con ello se constituye en una nueva disciplina matemática. Bajo este nuevo enfoque lo algebraico se puede visualizar en lo geométrico a través de las graficas. Recíprocamente, lo geométrico se puede analizar a través de lo algebraico mediante ecuaciones.

El problema fundamental de la geometría analítica es relacionar las gráficas con las ecuaciones, cuando esto es posible. Es importante que tengas esto siempre en mente.

Ecuación

Tabla

Grafica

Forma algebraica o numérica. La parte analítica

Hay relación entre los tres elementos matemáticos Representación

grafica. La parte geométrica

[16]

La geometría analítica en lo cotidiano

La ventaja disciplinar de la geometría analítica aparece cuando la llevamos al campo de lo cotidiano o como lenguaje de otras ciencias como la física y la química, o en la administración, contabilidad y economía. ¿Qué idea te refleja este gráfico? ¿Crees que el gerente esté contento con esta situación? ¿Qué piensas que puede suceder?

La Ley de Boyle sobre el comportamiento de los gases ideales muestra la variación de la presión cuando el volumen aumenta o disminuye a temperatura constante. La ecuación y el gráfico te dicen lo mismo, pero de distintas formas. ¿Qué es lo que observas?

¿Cuál de las dos representaciones te es más explícita?

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En la figura de abajo observas los gráficos y las ecuaciones para calcular el costo global y, de la compra de x cuadernos, silos compras en la tienda de la esquina (rojo), o silos compras en una papelería más grande (azul) que vende más barato, pero en donde requieres invertir en un medio de transporte (tomar el autobús). ¿En dónde comprarías a menor precio dos cuadernos?; ¿y seis cuadernos? ¿Qué significado puede tener el punto de intersección en relación con la situación planteada? ¿Habrías pensado que dos rectas (lo geométrico) pudieran brindarte información sobre lo anterior?

En lo cotidiano:

La pregunta es: ¿Qué puedes hacer con estas herramientas matemáticas? Ciertamente, si no las conoces, la respuesta es nada. Sin embargo, conforme vayas avanzando en su estudio y te vayas apropiando de este conocimiento, te darás cuenta de lo útil que te puede resultar para comprender lo que lees, para entender tu mundo, y seguramente también para plantear, resolver y presentar a otros compañeros y amigos algunas situaciones o problemas de tu interés.

y = 35x

y = 30x + 20

0 2 4 6 8

Numero de cuadernos

250

200

150

100

50

Cos

to (

$)

[18]

Realiza un esbozo de la grafica del lugar geométrico representado por la tabla en cada uno de los siguientes casos.

1

2

x y

-2 -5 -1 -4 0 -3 1 -2 2 -1 3 0 4 1

x y

-1 10 0 5 1 2 2 1 3 2 4 5 5 10

Y

X 1

Y

X 1

[19]

Construye una tabulación en el intervalo indicado y con ella grafica cada una de las siguientes ecuaciones.

y = 3x -5

2

y = 4- (x+1)

1

x y

-1 0 1 2 3 4

X y

-4 -3 -2 -1 0 1 2

Y

X 1

Y

X 1

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Imagina que tienes un negocio de tiempo libre vendiendo un determinado artículo entre tus conocidos, el cual compras por mayoreo con un costo unitario de $3.00 y al menudeo lo vendes en $4.50.

Proyección de ganancias.

a) Construye la tabla de ganancias G en b) Utiliza la tabla para construir el relación con el número de artículos grafico correspondiente. vendidos n

c) Determina la ecuación que relaciona a n y G clasifícala algebraicamente.

n G G/n

0 10 20

[21]

Tu mascota, un lindo perrito, corre velozmente para alcanzar un frisbee que les has lanzado. La relación de su energía cinética E (Joules) con la velocidad v (m/s) está dada por E= 5v2, Inicialmente el perro está quieto y cuando corre va aumentado su velocidad; alcanza su máximo en el momento en que se atrapa sus juguete y esta es aproximadamente de 11 m/s.

Relacionando la energía cinética con la velocidad

a) Elabora la tabla E-v. b) Utiliza la tabla para construir el grafico correspondiente.

C) Algebraicamente, ¿Qué tipo de ecuación tienes?

v E

0 1 2

[22]

BLOQUE 2 SEGMENTOS RECTILINEOS Y POLIGONOS

CONOCIMIENTOS

• Identificar las características de un segmento rectilíneo.

HABILIDADES

• Representar segmentos rectilíneos en el plano cartesiano a partir de las coordenadas de sus extremos, o bien, a partir de la representación de segmentos en el plano registrar las coordenadas de sus extremos

• Comprender la noción de distancia entre dos puntos en el plano cartesiano.

• Analizar la utilidad de la distancia entre dos puntos en el cálculo de perímetros y áreas de polígonos.

• Calcular la distancia entre dos puntos a partir de sus coordenadas cartesianas.

• Interpretar la noción de razón en la división de un segmento rectilíneo.

• Resolver problemas en los que intervenga la determinación de la longitud de segmentos en el plano cartesiano.

• Dividir segmentos rectilíneos con base en una razón dad. • Integrar el uso de razones en la división de segmentos

rectilíneos • Determinar la razón en que fue dividido un segmento a

partir de las medidas de los segmentos resultantes o de las coordenadas de los extremos de dichos segmentos.

• Resolver problemas y realizar ejercicios que involucren la obtención de áreas o perímetros de polígonos utilizando los conceptos de distancia entre dos puntos, o bien, la división de segmentos a partir de una razón.

ACTITUDES Y VALORES

• Valorar la conveniencia de disponer distintas formas de representación de un lugar geométrico.

• Presentar disposición al trabajo colaborativo con sus compañeros.

• Aportar puntos de vista personales con apertura y considerar los de otras personas.

• Proponer maneras creativas de solucionar problemas matemáticos.

[23]


[24]

Segmento rectilíneo

Longitud Dirección (sentido)

Relacionada con la

Distancia entre dos puntos

Y su relación con los

Polígonos

Área

Perímetro

el

el

Y más allá de su

ámbito geométrico

en otras

Sus conceptos básicos

Punto razón

Punto medio

Punto de trisección

Proporción

Aplicaciones

Relacionada con el

Aplicada en casos de

Forma visual

para diversas

Sus casos especiales

[25]


2.1 Segmento rectilíneo Generalizando

El segmento rectilíneo queda determinado en la geometría analítica si se conocen sus dos puntos extremos. La idea de proporcionarle además una dirección al segmento resulta ser útil en una diversidad de situaciones, como en la representación de desplazamientos, velocidades, fuerzas y, en general, todo aquello que puede manejarse con vectores.

Toma nota: Un vector es una cantidad física que se caracteriza por poseer dirección y sentido. Puedes hacer una consulta de este en el bloque 1 de tu libro de física. De la geometría … Segmento rectilíneo: Porción de recta comprendida entre dos puntos de ella. De la geometría analítica… Segmento rectilíneo dirigido: En este es importante también especificar cuáles son sus puntos inicial y final.

Representación y notación Segmento AB Se lee: La longitud del segmento dirigido AB Es igual a la longitud de segmento dirigido BA.

Propiedad La longitud de un segmento dirigido no se modifica por tener dirección. El sentido del segmento se establece mediante un signo + o-. Si AB es positivo, entonces BA será negativo y viceversa.

|AB|

A

B

|BA|

Segmento BA

|AB|= |BA| Longitud

|AB|= |BA|

[26]

2.2 Distancia entre dos puntos Generalizando La distancia entre dos puntos siempre se podrá calcular desde las coordenadas de estos. El proceso es bastante estándar, por lo que puede establecerse una fórmula que nos permita proceder sin realizar cada vez todo el proceso.

Determina la distancia entre los puntos proporcionados 1. A(0,-1), B(3, 3); |AB| =

2. A(15,3), B(3, -2); |AB| =

La distancia entre dos puntos se puede calcular a partir de las coordenadas de estos. No importa la ubicación de los puntos en los cuadrantes, siempre se restan las abscisas por un lado y las ordenadas por otro.

Distancia entre dos puntos

|��| � ��2 �1�� 2 �1�²

�2 �1

| �2�

1|

�1 �2

�1

�2

Y

X

B

A |��| � ��4 �7��² �6 2�²

� ��4 7�� 6 2��

� √25

Por ejemplo:

Para A(-7, 2) y B(-4, 6).

��3�� 4�²

�√9 16

�5Puedes invertir el orden de los puntos. Recuerda que |��| � |��|

[27]

3. A(0, 4), B(4, -36); |AB| =

4. A(-1, 3), B(5, 3); |AB| =

5. A(-1, 2), B(-9, 4); |AB| =

Determina el perímetro y área de cada uno de los siguientes polígonos; para el caso del área utilizada la formula de Herón que se ilustra en el ejercicio A:

Coordenadas de los vértices del triangulo DEF: D (-2, 5), E (-3, 3) y F (-1, 3).

Calculo de las distancias de cada lado del triangulo por formula de distancia entre dos puntos:

|DE| = √5, |EF| = 2, |DE| = √5

El perímetro Pe es la suma de los lados: Pe � 2√5 2 � 6.47

� ! " #2 � $%2

A= � � !�� "�� #�

Formula de Herón

Con la formula de Herón se puede calcular el área de un triangulo a partir de sus lados.

c b

a

[28]

Para el cálculo del área de polígonos de más de tres lados puedes triangular, como se muestra en el ejercicio B, y proceder para cada triangulo de la misma forma que en este caso.

Calculo de s y A:

� �√&'�� = √5 1 � 3.24

A = �3.24(3.24 √5)�3.24 2��3.24 -√5� � 20

D

E F

-3 -2 -1 0

5

4

3

2

1

Y

X

Ejercicio A

[29]

Comprueba, construyendo la figura en el plano cartesiano y analíticamente (cálculo de las longitudes de los lados), que el triángulo de vértices (2, —2), (5, —1) y (3, 1) es isósceles.

2.3 División de un segmento Generalizaciones El Punto razón siempre puede obtenerse a través de la semejanza de triángulos, como lo trabajaste en la actividad. En la práctica se hace este proceso para determinar una fórmula que nos permita determinarlo sin necesidad de plantear el proceso completo en cada ocasión.

Ejercicio B

[30]

Punto Razón

Determina el punto razón (P) para cada uno de los casos propuestos e identifica aquellos que corresponden al punto medio del segmento. 1.

P1 (1,-1), P2(3, 5), r � +,+++� � 1

2.

P1 (4, -2), P2(9, 4), r � +,+++� � 1

El punto razón P(x ,y) divide al segmento dirigido de extremos: inicial P1 (x1,y1) y final P2

(x2,y2) es una razón r conocida.

La razón r que se ilustra es positiva. Observa que los dos segmentos del cociente tienen el mismo signo, pues van en el mismo sentido. La razón puede también ser negativa cuando los segmentos dirigidos en el cociente (dado por r) tienen direcciones opuestas. El Punto medio es un caso especial, en donde r = 1.

- � $1$$$2

$1$

$$2

P�x,y�

P1�x1,y1�

P2�x2,y2�

x1xx2

y2y

y1

� � x1 rx21 r

� � y1 ry21 r

P�x, y� � ��1 �22 , �1 �2

2 �

[31]

3.

P1 (-1, -1), P2(1, 0), r � +,+++� � 1&

En el esquema, el triangulo ABC se ha fraccionado por el segmento DE

a) ¿ Cual es la razón 2334 ?

b) ¿ Cual es la razón 5664 ?

B

D

E C

[32]

BLOQUE 3 LA RECTA COMO LUGAR GEOMETRICO

CONOCIMIENTOS

• Reconocer la relación existente entre el Angulo de inclinación y la pendiente de una recta.

• Caracterizar las condiciones de paralelismo y perpendicular entre dos rectas.

• Identificar la relación entre fenómenos cuya razón de cambio es constante y el modelo de la recta.

• Reconocer la recta como un lugar geométrico. • Identificar la forma y los elementos requeridos para la

ecuación de la recta en su forma: pendiente y ordenada al origen.

• Identificar la influencia de los parámetros m y b de la ecuación de la recta en la forma pendiente y ordenada al origen en el comportamiento grafico de la misma.

• Identificar los elementos mínimos para trazar una recta especifica.

HABILIDADES

• Argumentar la noción de pendiente a partir de la razón entre conceptos como elevación y avance.

• Comprender el significado de la pendiente de una recta. • Obtener el ángulo de inclinación de una recta respecto al

eje X a partir de su pendiente y viceversa. • Determinar el paralelismo o perpendicular entre dos o más

rectas a partir de sus pendientes. • Comprender la existencia de una recta especifica: su

pendiente y uno de sus puntos, y dos de sus puntos. • Construir modelos de fenómenos que involucran razones

de cambio constante. • Integrar los elementos necesarios para el trazado de una

recta en la escritura de su ecuación. • Comprender la influencia de los parámetros m y b de la

ecuación de la recta en el plano.

[33]

ACTITUDES Y VALORES

• Mostrar interés en la búsqueda de nuevas maneras de representar objetos con los que has tenido contacto desde niveles educativos anteriores.

• Mostrar disposición a utilizar los recursos disponibles para la solución de problemas matemáticos.



[34]

La recta como lugar geométrico

Geometría Algebra

Inclinación

Intercepciones

Pendiente

Puntos

Ecuación

Dos puntos Punto pendiente Punto y ordenada en el origen

Aplicación

Los elementos de la Y del

Su asociación con su su

Su asociación con y sus y sus

Dan lugar a su

En sus diferentes formas

Relacionadas con los campos de

[35]


3.1 Pendiente de una recta En el sistema coordenado cartesiano la inclinación de una recta es una de sus características. Esta puede medirse directamente a través de su ángulo de inclinación y, aún mejor, a través de su pendiente.

7

Medida de la inclinación de una recta

La pendiente de una recta es la tangente del ángulo de inclinación de esta.

El ángulo de inclinación de una recta es el que forma esta con el

Representación

80° 9 8 : 180°

m

Y

X

[36]

La ventaja que tiene emplear a la pendiente como unidad de medida de la inclinación, es que esta es un número real, coincidiendo en esto con el sistema numérico decimal, con la notación posicional característica con la que operamos. El ángulo de inclinación, en cambio, emplea la notificación sexagesimal (grados, minutos, segundos). Por otra parte, el cálculo de la pendiente resulta relativamente sencillo cuando se conocen dos puntos de la recta. La pendiente toma valores positivos, negativos y cero, lo que nos proporcionan información sobre su orientación.

Por ejemplo: Por ejemplo: Por ejemplo:

Si = � 30° Si = � 30° Si = � 120° m= tan 30° =

,√1 m= tan 0° = 0 m= tan 120° = - √3

En el plano cartesiano, la pendiente de una recta puede calcularse si se conoce un par de puntos de ella. Generalizaremos este proceso para evitar realizarlo por completo cada vez que se requiera. Para ello estableceremos una relación o formula que nos permitirá abreviarlo.

Toma Nota

Como recordaras, la tangente de un ángulo es la división del cateto adyacente entre el opuesto.

Interpretación geométrica del signo de la pendiente

8 � >° 7 7

Y

X

pendiente cero

X

Y

X

Y

[37]

Por ejemplo: El signo positivo de la pendiente indica Si A (-1, 0) y B (3, 2) que el angulo de inclinacion es agudo.

m= �?@

1?�?,� � �A � ,

� En realidad….

= arctan B,�C � 26°34´ Escribe las pendientes de cada uno de los segmentos del esquema

7

m = tan =

� E�?E,F�?F,, x2 G x1

1 6

9 10

X

Y 1. m1 = -2

2.

3. 4.

5.

Calculo de la pendiente

B (X2, Y2)

A (X1, Y1)

X2 - X1

Y2

Y1

X1 X2 X

Y

7 Y

2 –

Y1

7=

7

1

2

5 3

4

1

8

[38]

Traza para cada punto un segmento con la pendiente indicada. No es importante su longitud. Procede como se te muestra en los ejercicios 11 y 12

Punto A: m = -1/2

Respuesta:

7. Punto B: m = 2 Respuesta:

Dos hacia arriba y uno a la derecha. Recordar que 2 = 2/1

Ejercicios para contestar en base a lo anterior:

8. Punto C: m = -2 9. Punto E: m = -1 10.Punto G: m = 1/4 11. Punto I: m = 0

Se construye a partir del punto A un triangulo rectángulo. El movimiento es: uno hacia abajo (pendiente negativa) y dos a la derecha. Puede invertirse el orden, primero dos a la derecha y luego uno hacia abajo. La recta pasa asi por el punto dado y el punto al llegaste al desplazarte. El movimiento vertical siempre es con el numerador y el horizontal con el denominador.

A B

D C

E G

F

J H

I

1

1

6. Y

X

[39]

Determina la pendiente de las rectas que pasan por los puntos dados; encuentra además el ángulo de la inclinación con aproximación hasta minutos.

12. (1, 5) y (0, 0) 13. (3, 5) y (1, -1)

14. (-4, 0) y (-3, 1)

3.2 Paralelismo y perpendicularidad

Pendientes de rectas paralelas y perpendiculares

Las rectas paralelas tienen la misma pendiente m║ = m

El producto de las pendientes de rectas perpendiculares es -1 (una es la reciproca negativa de la otra). m • m ┴ = -1

m ┴ = ,H m G 0

m║

m ┴ m

Por ejemplo: Si la pendiente de una La pendiente de cualquier recta Y la pendiente de cualquier recta es 3/5 paralela a ella es también 3/5 recta perpendicular a ella es -5/3

[40]

En los siguientes ejercicios traza la figura en el esquema y establece, de acuerdo con lo que se pregunta, lo que analíticamente debes comprobar. Haz los cálculos, y con fundamento en los resultados obtenidos escribe una conclusión acerca de la pregunta. Considera el proceso que se muestra en el ejercicio 1.

1. Verifica que el triangulo de vertices

B2 (2,-4), B3 (-1, -1) es rectángulo e isósceles.

Solución:

Sera un triangulo rectángulo si uno de sus ángulos interiores es recto y será isósceles si dos de sus lados son congruentes (longitudes idénticas). Según el esquema, si hay un ángulo recto, pareciera ser B3, y los lados

congruentes │B1 B3│y │B2 B3│

Comprobación:

Por formula de distancias:

B1 (-4, -4)

B3 (-1, -1)

B2 (2, -4)

¿(m13) (m23) = 1? Si ¿Son iguales las longitudes? Si Entonces B1 B3 ┴ B2 B3 El triangulo tiene un ángulo interior recto y dos lados Iguales Es, por lo tanto, un triangulo rectángulo e isósceles.

1

1 B3

B1 B2

m13 = 1 d13 = √34

m23 = -1 d23 = √34

[41]

2. El cuadrilátero de vértices A1 (-4 ,1), A2 (2, 3), A3 (2, 7) y A4 (-4, 5) es un romboide (lados opuestos paralelos, longitudes de lados contiguos diferentes y ángulos interiores no rectos).

3. El cuadrilátero de vértices D1 (4, 0), D2 (2, 2), D3 (0, 0) y D4 (2,-2) es un cuadrado

3.3 La recta como lugar geométrico

La matemática es insustancial. Existe, como abstracta que es, sólo en nuestra mente. Somos nosotros mismos quienes establecemos significados en ella. Significados relacionados con situaciones que se presentan, que debemos resolver para decidir en algún aspecto. Por otra parte, cada situación puede resolverse de distintas formas, con distintas herramientas matemáticas. Incluso cuando se tiene un buen manejo de ella, ocurre que planteamientos pueden ser de distintos campos del conocimiento.

Por ejemplo, algunos de los casos que hemos analizado pudieron manejarse y resolverse desde la geometría euclidiana, la trigonometría, e incluso el álgebra.

Para nosotros en este momento representan sólo la oportunidad de aprender los conceptos y su relación con el mundo físico de la geometría analítica, razón por la que privilegiamos los procesos estudiados.

[42]

Cuando René Descartes desarrolló la geometría analítica, ésta quedó enfocada de acuerdo con lo que en ese momento él veía como potencial de análisis bajo esta novedosa forma de estudiar la geometría. En la actualidad sus ideas han ido más lejos de lo que él inicialmente pensó. La geometría y sus métodos son pilares importantes de otros conocimientos, no todos relacionados en primera instancia con lo geométrico. Pero como veremos, la visualización geométrica puede damos una idea más clara de lo que analizamos. Generalización

Las tablas de valores, las ecuaciones y los gráficos son diferentes objetos matemáticos que nos ayudan a visualizar situaciones reales. Hemos propuesto para análisis el caso de movimiento cuya característica esencial es ser constante. El resultado son ecuaciones lineales (primer grado) con dos variables, cuya representación gráfica es una recta. Comienzan a observarse así las relaciones que se van construyendo entre las diversas formas de representación.

Así, la recta es entonces un lugar geométrico y en cuanto al plano cartesiano se

refiere, es un conjunto definido de puntos. Tales puntos pueden generarse desde una ecuación algebraica al quedar establecido en ésta la correspondencia entre abscisas y ordenadas. También puede establecerse tal lugar geométrico directamente desde el ámbito de la geometría, formando la recta que pasa por dos puntos dados, o por un punto y con cierta pendiente específica. Una tabla, aun con sus limitaciones, también puede dar lugar a establecer el lugar geométrico de una recta.

En un sentido más amplio, la recta, y cualquier otra curva, son más que representaciones geométricas. Podemos estar tentados a quedamos sólo con la idea visual de ella, pero la geometría analítica te permite llamar recta (o curva desde una perspectiva más general) no sólo a esta representación gráfica, sino también a su ecuación que, a fin de cuentas, es sólo otra forma de verla. El lugar geométrico en sí mismo resulta realmente ser el conjunto de parejas ordenadas, algo que puede resultamos más intangible, por ello la ventaja de las representaciones visuales de los objetos.

y = 4x

[43]

3.4 Obtención de la ecuación de la recta

Existen diversas formas algebraicas en que puede ser representada una recta. Cada una nos permite ver algunas de sus características específicas, como sus intercepciones con los ejes, su pendiente, su distancia al origen, etc. Dos son operativas, ya que a partir de ellas es posible hallar su ecuación cuando se conocen dos puntos o un punto y la pendiente. Comenzaremos con el análisis de estas dos formas.

Definición de recta

Decimos que un lugar geométrico es una recta si dados dos puntos diferentes: A (x1,y1) y B (x2,y2) de este conjunto, y estableciendo el valor de su pendiente con ellos, encontramos que para cualquier otra pareja de puntos del mismo lugar geométrico la pendiente es siempre es la misma.

m = E�?E,F�?F, � E�?E,

F�?F, �

x2 G �1, � G �1�#IJKL#LIJ% �

Forma: Dos puntos

y2 y1x2 x1 � y y1

x x1 � Constante

Si se conocen los puntos A(x1 , y1) y B(x2 , y2) por donde pasa la recta y P(x, y) es cualquier otro punto de ella:

(Desde la definición de recta)

y – y1= BE�?E,F�?F,C�� 1�

donde: x y y representan cualquier punto de la recta (son las variables)

Por ejemplo: Aplicando 3(y -3) = 2(x + 1) Si la recta pasa por: (-1, 3) y (2, 5) simplificación 3y -9 =2x + 2 algebraica

y 3 � S &?1�?�?,�T �x �1�� -2x + 3y – 11 = 0

2x - 3y – 11 = 0 � 3 � �

1 �x 1� Esta es una forma de repre- Esta otra forma es mas usual, ya sentar la recta, pero… que nos permite ver el modelo al- braico característico para la recta (ecuación lineal con dos variables)

Constante

[44]

Determina la ecuación de la rectas que pasan por lo puntos dados. 1. (1, -1), (0, 0) 2. (-4, -1), (-1, 2)

3. (-7, 7), (2, -1)

Forma: Punto pendiente

U �y y1x x1 � Constante

Si se conoce un punto A(x1 , y1) y la pendiente m de la recta, y P(x, y) es cualquier otro punto de ella:

(Desde la definición de recta)

y – y1= m�� 1�

donde: x y y representan cualquier punto de la recta (son las variables)

Por ejemplo: Aplicando Si la recta pasa por: (-1, 3) y m = 4 simplificación 4x + y + 1 = 0 algebraica y 3 � 4�x �1�� Esta es la forma más común en que aparece (ecuación lineal con � 3 � 4�x 1� dos variables). Esta es una forma de representar la recta, pero…

[45]

Determina la ecuación de las rectas que pasan por el punto dado y tienen la pendiente que se indica. 1. (0, 0), m = 2 2. (1, -2), m = -2

5 3. (3, 1), m = 3

3.5 Forma pendiente y ordenada en el origen Generalizando La forma de la recta pendiente y ordenada en el origen se construye en primera instancia para conocer, desde la ecuación, la pendiente de la recta y la intersección con el eje Y. Más adelante, sin embargo, tiene ventajas que escapan del campo mismo de la geometría analítica, cuando se buscan relaciones en las que la proporcionalidad o, más generalmente, la forma lineal está presente.

Forma: Pendiente y ordenada en el origen

b es el termino independiente y = mx + b cuando y está despejada,

(0, b) m es el coeficiente de x cuando y está despejada, Si 3x + 2y -5 = 0 2y = 3x + 5

Por ejemplo:

Si y = -3x + 5 m= -3

La recta corta al eje Y en (0,5)

Se lleva a la forma:

Pendiente y odenada en el y � 3 1� x &�

origen despejando y.

m � 32 b � 52

[46]

Eventos que se representan con una recta A lo largo del bloque hemos manejado casos que se representan con una recta. Lo común en ellos es que las relaciones o ecuaciones que los representan tienen forma lineal de dos variables (primer grado). Siempre que puedas establecer que el comportamiento entre dos variables es de proporcionalidad, obtendrás como represen-tación gráfica una recta. A veces tales fenómenos se observan primero en la tabla o en la gráfica.

Una buena comprensión de lo que hemos tratado hasta este punto te permite ya relacionar las diferentes representaciones, por lo que no te será difícil discriminar entre aquellos casos que te conducen gráficamente a una recta.

Los ejercicios aplicativos que proponemos a continuación te permitirán un panorama

más amplio de la versatilidad de las aplicaciones de los conceptos que has aprendido. Escribe para cada recta en el esquema: su pendiente, su ordenada en el origen y su ecuación en la forma pendiente y ordenada en el origen. Analiza el ejercicio

1. m = 1, b = 5, y = x + 5

2

10 9

7

5 1

1

6 3

1 4

8

Y

X

resuelto

[47]

2.

3.

4.

5.

Generalizando La forma de la recta pendiente y ordenada en el origen se construye en primera instancia para conocer, desde la ecuación, la pendiente de la recta y la intersección con el eje Y. Más adelante, sin embargo, tiene ventajas que escapan del campo mismo de la geometría analítica, cuando se buscan relaciones en las que la proporcionalidad o, más generalmente, la forma lineal está presente.

Utiliza la información de la ecuación para graficarla en el esquema, y sin calcular puntos adicionales de ella procede como en los casos resueltos.

1. y = 2x -3 m = 2 y b = -3

2. y = -x -2

[48]

3. y = 4x

1 4. y = 3x + 2

5. Un vendedor de revistas que reparte a domicilio lleva consigo $100 (cien pesos) para posibles cambios. El precio de cada ejemplar es de $5. Establece una relación entre la cantidad y que llevara consigo a la venta de x ejemplares. Haz su representación grafica.

6. Imagina que la escuela a la que asistes se encuentra cerca de tu domicilio, por lo que te desplazas a pie a ella. El ritmo de tu paso te permite avanzar 3 m cada segundo, y necesitas 15 minutos para arribar. Considera a s (metros) la distancia que te falta por recorrer para llegar a la escuela. Ésta es cada vez menor hasta llegar a cero, cuando finalmente estás en la escuela. Escribe una ecuación que relacione s y t y realiza su gráfica. ¿Qué significado tienen la pendiente y la ordenada en el origen en el contexto del problema?

[49]

BLOQUE 4 FORMAS DE LA ECUACION DE UNA RECTA

CONOCIMIENTOS

• Identificar las intersecciones de una recta con los ejes cartesianos.

• Asociar las intersecciones de una recta con los ejes cartesianos y la ecuación de la recta en su forma simétrica.

• Reconocer la forma general de la ecuación de una recta. • Identificar la forma normal de la ecuación de la recta. • Relacionar la ecuación general y normal de la recta.

HABILIDADES

• Utilizar las intersecciones de una recta con los ejes cartesianos para determinar sus ecuación en la forma simétrica.

• Desarrollar la ecuación general de la recta, pendiente y ordenada al origen, simétrica y general entre sí.

• Calcular distancia entre una recta y el origen, dos rectas paralelas y un punto y una recta.

• Transitar entre las diversas formas simétrica, general y pendiente y ordenada al origen de la ecuación de la recta.

• Realizar ejercicios y resolver problemas que le permiten determinar la forma más adecuada de representación de la recta dependiendo de la situación.

• Emplear la ecuación normal de la recta en la realización de ejercicios y resolución de problemas que implican calcular distancias entre puntos y rectas.

ACTITUDES Y VALORES

• Valorar la importancia de poder transitar entre diversas opciones simbólicas para representar una recta, así como su relación con sus registros gráficos y numéricos.

• Participar activamente tanto en la realización de ejercicios como en la resolución de problemas.



[50]


[51]

La recta

Forma de puntos Forma punto pendiente

Forma general

Pendiente y ordenada en

el origen

Simétrica Normal

Pendiente Ordenada en el origen

Abscisa en el origen

Distancia de la recta a un punto

Situaciones de contexto

Sus representaciones

analíticos operativas

Su clasificación algebraica mediante la

Y su relación con formas

especificas de la recta

Para la determinación desde

la ecuación de

Su Su Su Su

Para la representación

interpretación y solución de

[52]


4.1 Forma general

Toma nota:

Bajo la forma general, por lo menos uno de los valores (de A o B) debe ser diferente a cero. Si A = 0, la recta es paralela al eje X, y si B = 0 la recta será paralela al eje Y.

Forma general de la ecuación de la recta

La ecuación lineal de dos variables tiene por grafica una recta.

Representación analítica Una recta puede expresarse (algebraica) analíticamente (algebraicamente) Como una ecuación lineal de dos Y variables. Representación grafica X

[53]

4.2 Relación entre las formas general y pendiente y ordenada en el origen En el bloque previo analizaste la forma pendiente y ordenada en el origen. Como se explico, dicha forma de la ecuación de la recta nos permite visualizar a la pendiente como coeficiente de x, y el término independiente como la ordenada en el origen.

4.3 Forma simétrica

Generalizaciones

La forma simétrica tiene como finalidad a la vista en la ecuación la ordenada y la abscisa, ambas en el origen. Una forma rápida de hacerlo es recordar que en ambos casos la coordenada restante es cero. Otra es transformar la ecuación a la forma simétrica, la cual se construye desde la forma dos puntos considerando la recta que pasa por (a, 0) y (0, b). Así:

Forma general

AX + By + C =0

De la forma general a la forma pendiente y ordenada en el origen.

Relación entre la forma pendiente y ordenada en el origen y la forma general

m

b

Y

X

Forma pendiente y La forma pendiente

Ordenada en el origen y ordenada en el

Origen tiene dos

y = x + dos propósitos

y = B ABC � B C

BC Permite conocer

la pendiente y la

ordenada en el origen de una recta

desde su ecuación.

Es una notación a-

propiada para re-

sentar a la función

lineal.

m b

X

Y

m = Z[

b = \[

Por ejemplo,

Para la recta 3x -4y + 2 = 0

b = �?A � ,�

m = 1?A � 1

A

1

[54]

Siguiendo el proceso descrito desde la forma general es posible establecer una relación entre las constantes A, B y C, con la ordenada y la abscisa en el origen. Esto es lo que observaste en la Actividad 2 y aparece resumido en el siguiente diagrama.

Empleas la forma dos puntos. y – 0 = ]?@@?^ �x a�

y – 0 = ]^ �x a�

Divides en ambos miembros de la igualdad por b y haces las «cancelaciones» de los factores en numerador y denominador del segundo miembro.

yb � aab �x a� yb � bab �x a�

yb � 1a �x a�

Multiplicas los factores en el segundo miembro y acomodas la ecuación para llegar finalmente a la forma simétrica. En ella, la abscisa en el origen aparece «debajo» de x y la ordenada en el origen, «debajo» de y.

yb � x

a aa yb � xa 1

xa yb � 1

[55]

Determina la ecuación para cada una de las rectas en el diagrama representándola en las formas general, pendiente y ordenada en el origen, así como simétrica

1. Solución:

Se pueden obtener un par de puntos y la pendiente directamente de la grafica. Por ejemplo, esta recta pasa por el origen (0,0) y m = 1.

Su forma pendiente y ordenada en el origen es por consiguiente:

y = - x

Su forma general se obtiene de la anterior:

x + y = 0

Como a = b = 0, su forma simétrica no se puede representar (la división entre cero no está permitida en matemáticas).

Relación entre la forma simétrica y la forma general

La construcción de la forma simétrica se emplea

para la determinación, desde la ecuación, de las

intersecciones con los ejes. Forma General

AX + By + C = 0

xa yb � 1

Forma Simétrica

x– C/A y

– C/B � 1

Transformación: forma

general a simétrica

Para conocer la

ordenada y la abscisa

en el origen desde la

ecuación.

a � CA

b � CB

b

a

Abscisa en el origen

O

r

d

e

n

a

d

a

en el origen

(a, 0)

(0, b)

Por ejemplo,

Para la recta

3x – y + 2 = 0

a � 23

b � 21 � 2

1

2

3

5

4

6

7

X

Y

1

1

[56]

2. 3.

4.

Determinar la ecuación de la recta con los datos proporcionados y preséntala en su forma general, pendiente y ordenada en el origen, así como simétrica.

5. P(-1, 3), Q (1, -3)

[57]

6. P(-3, 0), Q (0, 2) 7. P (4,-1), Q (2,1)

8. P (0,0), m = -1 9. 4 P (3,0), m = 3

10. 11 P (4,7), m = 8

[58]

Determina en cada caso la recta solicitada según las condiciones que se proporcionan que se proporcionan. 11. La recta cuya ordenada al origen es 5 y pasa por el punto (1, -3).

12. La recta paralela a x -4y -3 = 0 cuya abscisa al origen es -2.

13. La recta cuyas intersecciones con los ejes coordenados son (1,0) y (0, -5).

4.4 Intersección de rectas

Generalizaciones El gráfico es una herramienta útil para la visualización de las intersecciones entre rectas y curvas en general. Adolece, sin embargo, de un problema: la exactitud de los resultados depende de la precisión en el dibujo. Afortunadamente, existen como alternativa los métodos analíticos. La intersección de rectas analíticamente se puede trabajar desde la resolución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas (o variables en nuestro caso). Analizaremos dos formas posibles de proceder, aunque existen algunas otras.

[59]

También se puede emplear la regla de Cramer.

Determinación de la intersección de las rectas 4x + y – 5 = 0 y x + y -2 = 0

Se traduce algebraicamente a la resolución del sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables. Proceso: Eliminación por situación

4x + y -5 = 0 x + y – 2 = 0

Despeja en cualquier de las dos ecuaciones una de las incógnitas.

Se despejara y en la primera ecuación

y = 5 – 4x x + y – 2 = 0

Sustituye el despeje (segundo miembro) por la misma incógnita en la ecuación que no has utilizado. Ahora la ecuación resultante solo posee una incógnita. Se ha eliminado la que despejaste al inicio.

Sustituimos en lugar de y, en la segunda ecuación, 5 -4x, que es su equivalente:

y = 5 – 4x x + (5 – 4x) -2 = 0

Resuelve la ecuación que posee una incógnita.

Resolvemos la segunda ecuación y encontramos el valor de x:

y = 5 – 4x x + (5 – 4x) -2 = 0 -3x + 3 = 0 x = 1

Una vez que determinaste el valor de una de las incognitos, la sustituyes en el despeje inicial para encontrar el valor de la otra incognita.

Sustitutos el valor de x en el despeje de y en la primera ecuación:

y = 5 – 4(1) y = 1 El punto de intersección de las dos rectas es (1,1).

[60]

Grafica cada recta según las condiciones que se proporcionan y determina sus punto de intersección de la grafica.

1. La recta que pasa por (-1, 5), pendiente -2/3 y la recta 4x + y- 11 = 0

2. x + y -3 = 0, 2x + y -6 = 0

Determinación de la intersección de las rectas 4x + y – 5 = 0 y x + y -2 = 0

Proceso: Regla de Cramer (determinantes) Sistema de ecuaciones: A1x +B1y + C1 = 0 A2x +B2y + C2 = 0

Resolver el sistema y hallar el punto de intersección de las rectas: 4x + y -5 = 0 x + y – 2 = 0

La regla de Cramer establece que:

x = ∆F∆ y =

∆E∆

Siendo:

∆ = b�1�1�2�2b , ∆G 0

∆x= bc1�1c2�2b , ∆� � b�1 c1

�2 c2b

Construimos los arreglos numéricos y calculamos sus determinantes: ∆ = b4111 b � 3

∆x= b5121 b � 3 ∆� � b4512 b � 3

x = ∆F∆ =

11 =1, y =

∆E∆ =

11 =1

La intersección es (1,1).

[61]

3. y = 2x + 5, y = -3x

Determina el punto de intersección de cada pareja de rectas empleando el método analítico de tu preferencia (en el texto te mostramos dos de ellos, pero puedes emplear cualquier otro que conozcas).

4. x – y + 2 = 0, 2x -5y + 1 = 0

5. 3x –y + 19 = 0, x + y -3 = 0

[62]

6. y – 2 = 0, 2x –y -5 = 0

4.5 Forma normal El empleo que se le da a la forma normal es básicamente la determinación de la distancia entre dos rectas paralelas y la distancia de una recta a un punto.

Escribaaquílaecuación.

Forma normal de la ecuación de la recta

p es el radiovector: representa La distancia (más corta de la recta al origen. Por ello es per- dicular a la recta. l Es el ángulo que hace el radiovector p con el eje X. 0° 9 l : 360° La forma normal emplea el angulo l del radiovector p y la longitud de este como las constantes de identificación de una recta. La representación normal de una recta es útil porque hace visible en la ecuación la distancia de la recta al origen en el valor p.

x cos m �senm n � 0

ciondelarecta =eselangulodeinclina-

√32 x 1

2 y 2 � 0

Por ejemplo :

Si p = 2, y m � 30°

Cos 30° = √1� sen 30° =

,�

Esta es la ecuación de la

recta en su forma normal.

Su distancia al origen es 2

l

P

[63]

La forma normal de la ecuación de la recta se obtiene también desde la forma general. El proceso es relativamente simple. Observa.

Precisiones sobre el signo ± En ocasiones se presentaran rectas en cuyas ecuaciones algunos de sus términos no aparecen. Esto se debe a que sus constantes pudieran tomar el valor cero (simultáneamente A y B no pueden ser cero). Para estos casos se siguen las siguientes reglas:

1. Si aparece C(CG 0) entonces el signo en ± √A� B² es opuesto al de C, para que el

cociente \

q�Zr'[² ( = - p) sea negativo.

2. Si no aparece C (C = 0) y aparece B (BG 0), entonces el signo en ± √A� B² es el mismo que el de B.

3. Si no aparece C (C = 0) ni B (B = 0), entonces el signo en ± √A� B² es el mismo que el de A.

De la forma general a la normal

Forma normal

Forma general Ax + By + C = 0 De la forma general a la normal

p s 0 0 9 m : 360°

x cos m �senω p � 0

Z

q�Zr[² x + [

q�Zr[² y + \

q�Zr[² = 0

sen m � [

q�Zr'[² cos m = Z

q�Zrv[² -p \

q�Zr'[²

Elegir el ± de manera que \

q�Zr'[² sea negativo

Por ejemplo, Para la recta 3x – 4y + 2 = 0

cos m 1

?�1rv�?A�² � 1&

sen m ?A

?�1rv�?A�² �A&

-p = �

?�1rv�?A�² � �&

Forma

normal �& x A& y �

& � 0

Distancia

Al origen p � �&

l

P

Y

X

[64]

Distancia entre una recta y un punto

La obtención de la distancia de una recta a un punto resulta ser una consecuencia de proceso de la determinación de la distancia entre rectas paralelas, para ello basta reflexionar un poco sobre lo siguiente.

Si tienes un punto y una pendiente puedes siempre determinar la ecuación de la recta; si tienes dos rectas paralelas (la pendiente de rectas paralelas es la misma), entonces procedes como en la actividad previa para calcular la distancia entre ellas. .

El problema de la distancia entre una recta y un punto es de gran utilidad en la

geometría, sobre todo cuando se desea manejar el concepto de bisectriz (línea que divide a un ángulo en dos partes iguales), por ello se ha desarrollado una relación que permite hacer el cálculo sin necesidad de seguir el proceso descrito anteriormente.

La recta L es conocida, entonces puedes determinar su pendiente.

P (x0 , y0)

d = ?

L1

X

Y

L

El punto P es conocido, entonces puedes construir la recta L1 con este punto y la pendiente de L. Conocidas las ecuaciones de las dos rectas, determinas la distancia entre ellas, la recta L y el punto P.

[65]

Generalizaciones

La relación que hemos dado nos permite obtener un signo para la distancia, el cual nos indica la posición del punto y el origen respecto de la recta. Si esta información no es relevante, cancelaremos el signo negativo para la distancia y trabajaremos sólo con valores absolutos.

4.6 Sobre las diferentes formas de la ecuación de la recta

Para finalizar este apartado te proponemos un análisis de la razón de las diferentes formas en que se representa la recta. Cada una de ellas, como te hemos comentado en diferentes oportunidades, tiene una razón específica. Una vista global de todas ellas te puede dar el camino o la pauta para saber por dónde debes ir en el planteamiento o la comprensión de los problemas que involucren a esta curva.

Distancia de una recta a un punto

d negativa El Origen y P están del

mismo lado en relación

con la recta.

El origen y P están en

d positiva lados alternos en rela- ción con la recta.

P (x0 , y0)

d = ?

X

Y

K � ZF@[E@'\q�Zr'[²

X

Y

X

Y

d

P

P d

El signo ± se elige de forma que \

q�Zr'[² se negativo.

Por ejemplo:

Si 5x + 12y -1 = 0 y P (-1,3) d = &�?,�',��1�?,

'�&r',�² � 1@,1

El valor positivo indica que el punto P y el origen aparecen en lados opuestos en la relación con la recta. X

Y

1

3

[66]

Formas Relevancia

General : Ax + By + C = 0

Es la forma habitual de representar la ecuación. La razón es reconocerla en el ámbito del algebra como una forma específica de esta disciplina: una ecuación lineal con dos variables.

Dos puntos:

y – y1 = E�?E,F�?F, � (x – x1)

Es una forma operativa; nos permite determinar la ecuación de la recta cuando conocemos dos de sus puntos.

Punto pendiente: y – y1 = m (x – x1)

Es una forma operativa; nos permite determinar la ecuación de la recta cuando conocemos uno de sus puntos y su pendiente.

Pendiente y ordenada al origen: y = mx + b

Cuando despejas la variable y, queda a la vista el valor de la pendiente como el coeficiente de la variable x, y la ordenada en el origen como el termino independiente, por ello su utilidad. Esta forma también es conocida como «pendiente intersección»

Simétrica:

F^ E] = 1

Observando la forma te percatas que la intersección con el eje X es el punto (a, 0) y a esta a la vista como denominador de x. Ocurre algo semejante con el segundo cociente; b es el denominador de y y se asocia a la intersección de la recta con el eje Y. Así, la forma simétrica es una manera de determinar la ordenada en el origen b, y la abscisa en el origen a, desde la ecuación.

Normal: x cos m + y sen m n � 0 En ocasiones se prefiere el empleo visual de la transformación a esta desde la forma general:

ZFq�Zrv[² +

[Eq�Zrv[² +

\q�Zr'[² = 0

Con esta forma es posible conocer desde la ecuación la distancia de la recta al origen (el valor de p), a partir de lo cual se calcula de manera simple la distancia entre rectas paralelas y la distancia de la recta a un punto. Esta es la esencia de su función.

[67]

Escribe la ecuación de la recta en la forma normal (en el apéndice, al final del texto, encontraras los valores exactos de diferentes ángulos para sus relaciones trigonométricas).

1. p = 2, m = 45° Solución:

Del apéndice A: cos 45° = sen 45° = √��

Forma normal: x cos m + y sen m – p = 0

√�� x +

√�� y – 2 = 0

2. p = 0, m = 135°

3. P = �� ,m = 270°

4. p = 0, m = 60°

5. P = 1& ,m = 150°

[68]

Escribe la forma de la ecuación de la recta que cumple con las condiciones proporcionadas. 6. Recta paralela al eje X con ordenada al origen 5.

7. Recta paralela al eje Y con abscisa al origen 2.

8. Recta que pasa por el origen con inclinación de 60°.

Escribe la forma normal de las siguientes rectas y determina su distancia al origen. 9. 3x – 4y + 2 = 0 Solución:

1F?AE'�

q�1rv�?A�² = 0

35 x + A& y 25 = 0 forma normal

La distancia de la recta al origen es �&

10. 8x + 15y + 3 = 0

[69]

11. 6x -8y -3 = 0 12. 20x -21y = 0

Determina la distancia (sin signo) de la recta al punto en los siguientes casos. 13. 4x -3y + 5 = 0, (-2, 5)

d = A�?��?1�&�'&q�Ar'�?1�² =

A�?��?1�&�'&?& �185

14. 15x – 8y + 3 = 0, (3, 7)

15. 7x + 24y + 2 = 0, (6, - 1) 16. 12x -5y = 0, (1, 0)

Si solo se desea la distancia se elimina el signo negativo cuando aparezca

Si solo se desea la distancia se elimina el signo negativo cuando aparezca

[70]

BLOQUE 5 CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN

CONOCIMIENTOS

• Reconocer las curvas que se obtienen al realizar cortes a un cono mediante un plano.

• Reconocer a la circunferencia como lugar geométrico. • Identificar los elementos asociados a la circunferencia. • Comprender la existencia de una circunferencia

especifica conocidos su centro y radio. • Identificar el radio y centro de una circunferencia con

centro en el origen a partir de su ecuación. • Identificar las secciones cónicas resultantes de los cortes

a un cono.

HABILIDADES

• Analizar la forma de secciones cónicas en su entorno. • Determinar los elementos mínimos para trazar una

circunferencia. • Integrar los elementos necesarios para el trazado de una

circunferencia en la escritura de sus ecuación, en el caso, de centro en el origen.

• Obtener los elementos de una circunferencia a partir de su ecuación.

• Resolver problemas que implican la determinación o el análisis de la ecuación de circunferencias con centro en el origen.

• Reflexionar sobre las características de la circunferencia como lugar geométrico, mediante el cual se pueden modelar fenómenos o situaciones provenientes de diversos contextos.

ACTITUDES Y VALORES

• Participar activamente en la realización de ejercicios como en la resolución de problemas.

• Aportar puntos de vista personales con apertura y considera los de otras personas.


[71]


[72]

La geometría

Construyen en

conjunto a la

El álgebra

Circunferencia

Lugar geométrico Ecuación

Centro en el origen

Su representación

geométrica

Su representación

analítica

Con

Aplicadas combinadamente en

Situaciones en contexto

[73]


5.1 Curvas en el cono Las curvas cónicas han sido tema de interés del hombre desde hace mas de dos milenios. Existen reportes sobre el trabajo de Menecmo (350 a. C.) como un estudioso de las cónicas, aunque el merito de iniciador de esta disciplina matemática se le otorga a Apolonio de Perga (262-190 a. C.). Pasaron alrededor de 1800 años para que el estudio sobre las cónicas se reanudara; esta vez por René Descartes (1596-1650). Bajo el enfoque de la geometría analítica creado por el, las cónicas parecen desenvolverse en su medio natural. En la época de Descartes se da en el mundo una verdadera «explosión» de conocimiento, y la matemática es impulsada por esto. Es en el mismo siglo cuando Galileo, Kepler y Newton hacen sus aportaciones científicas, algunas de ellas relacionadas con este campo de conocimiento matemático.

[74]

Las curvas cónicas nacen en el contexto del cono. Sin embargo, bajo la geometría analítica escapan de él para convertirse por derecho propio en «protagonistas principales». Así, las figuras se convierten en representaciones geométricas que nos permiten visualizar comportamientos de fenómenos o eventos en los que observaremos regularidades asociadas a ellas. Nuestro curso, a partir de aquí, hará un análisis individual de cada curva, sus propiedades geométricas y analíticas, explorando en cada caso los contextos en que cada una de ellas aparece.

Las cónicas son curvas que aparecen en el corte o intersección del cono con un plano.

Parábola Corte oblicuo a la base del cono sin ir más allá del eje de simetría del mismo. Es útil en la descripción del movimiento de los proyectiles.

Hipérbola Corte perpendicular a la base del cono. Es útil para describir el movimiento de cometas u otros cuerpos que, por su gran velocidad se acercan al Sol escapando después del sistema solar. Cualquier curva cónica se asocia en Geometria analítica con la ecuación general de segundo grado;

Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey +F = 0

Circunferencia Corte paralelo a la base del cono la rueda y todas sus derivaciones se modelan con esta curva

Las cónicas son especialmente útiles en la modelización del movimiento de los cuerpos

Elipse Corte oblicuo a la base del cono procurando una curva cerrada. Todos los planetas describen orbitas elípticas.

[75]

5.2 La circunferencia como lugar geométrico La circunferencia se define en la geometría analítica por sus características. Primero, estableces sobre el plano cartesiano un punto y defines una distancia. A partir de ahí, buscas todos aquellos puntos en el plano que se encuentren a la distancia definida inicialmente desde el punto que tomaste.

5.3 Ecuación de la circunferencia con centro en el origen Generalizaciones

Es el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes a un punto fijo llamado centro. El radio es la distancia entre el centro y cualquier punto de la circunferencia .

Ecuación de la circunferencia con centro en el origen

x² + y² = r²

Por ejemplo: También la puedes presen- Si r = 2/3 tar como entera para evitar las fracciones:

x² + y² = w23x ² � 49 9x² + 9y² = 4

[76]

5.4 Relación entre las condiciones geométricas y analíticas para la determinación de la circunferencia

Cada dato o información requerida analíticamente es una condición de la circunferencia, es decir, aquella que la hace específica, distinta de cualquier otra. Existe en esto un paralelismo entre las condiciones analíticas y las geométricas. Ciertamente, para ambas requieres conocer el radio. En ocasiones tal información se proporciona de manera indirecta; por ejemplo, con un punto de la circunferencia o con una recta tangente a ella puedes conocerlo.

Cuando requieres determinar una información empleando procesos indirectos de la

geometría analítica, conocer el número de condiciones necesarias implícitas te ayudará a que el planteamiento de tu problema sea eficiente. Escribe la ecuación de cada una de las siguientes circunferencias. 1. Centro el origen y radio 3.

2. Centro en el origen y radio 6.

3. 1 Centro en el origen y radio 2.

4. 3 Centro en el origen y radio 4.

Determina centro, radio, longitud de la circunferencia y área del circulo delimitado por las circunferencias siguientes. 5. x² + y² = 16

6. x² + y² = 1

[77]

7. 49x² + 49y² = 4 8. 4x² + 4y² = 25

9. 2x² + 2y² = 25

Determina la ecuación de las circunferencias sujetas a las condiciones especificadas. Analiza los ejercicios resueltos. 10. Centro en el origen y uno de sus puntos es (3, 4). Solución: Como la ecuación de la circunferencia x² + y² = r² Ecuación buscada: se verifica para todo punto de ella, ► (3)² + (4)² = r² ► x² + y² = 25 satisface en particular al punto P(3, 4). 25 = r² El radio puede encontrarse también mediante la fórmula de distancia entre dos puntos.

11. Centro en el origen y uno de sus puntos es (15, 8)

[78]

12. Centro en el origen y uno de sus puntos es (-12, 5).

13. Centro en el origen y uno de sus puntos es (7, -3).

Resuelve cada uno de los problemas siguientes. 14. La rueda de un auto, al dar una vuelta completa, deja una marca sobre el piso de longitud 66πcm Determina la ecuación de su circunferencia considerando el centro en el origen.

[79]

BLOQUE 6 ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA

CONOCIMIENTOS

• Reconocer la ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen a partir de la medida de su radio y las coordenadas de su centro.

• Identificar el radio y las coordenadas del centro de una circunferencia con centro fuera del origen a partir de su ecuación.

• Reconocer la influencia de los parámetros h, k y r de la ecuación de la circunferencia en el comportamiento grafico de la misma.

• Reconocer la forma general de la ecuación de la circunferencia.

HABILIDADES

• Determinar la ecuación ordinaria de una circunferencia a partir de las coordenadas de su centro y la medida de su radio.

• Obtener los elementos de una circunferencia con centro fuera del origen a partir de su ecuación.

• Explicar la influencia de los parámetros h,k y r de la ecuación de la circunferencia en el comportamiento grafico de la misma.

• Relacionar las formas ordinaria y general de la circunferencia.

• Comprender las posibilidades analíticas y geométricas para determinar una circunferencia conocidos tres de sus puntos.

• Desarrollar la ecuación general de la circunferencia a partir de la forma ordinaria de la misma.

• Transitar entre las formas ordinarias y general de la circunferencia dependiendo de la situación.

• Aplicar las formas de la ecuación de la circunferencia como un modelo simbólico en la realización de ejercicios y resolución de problemas.

ACTITUDES Y VALORES

• Participar activamente en la realización de ejercicios como en la resolución de problemas en los que se pone en juego el uso circunferencias.



[80]


[81]

Circunferencia

Ecuaciones

Canoníca General

Geometría Algebra

Sus tipos de

La forma La forma

Y su relación

Centro

Radio

Sus elementos

el

el

Condiciones

Determinando las

Geométricas

Aplicaciones

Modelo

Asociando los conceptos y propiedades en las

Las constantes en el

Visualizando el

Relacionada con el Relacionada con la

[82]


6.1 Ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen Cada vez que se puede manejamos la circunferencia en el origen, ya que la forma de su ecuación es más simple. Sin embargo, se presentarán situaciones en las que esto no es posible. Por ejemplo, si consideramos analizar las circunferencias representadas por las ruedas, y las diferentes estrellas en una bicicleta, seguramente una de ellas podría colocarse con centro en el origen, pero no las restantes. Las diferentes perspectivas de un movimiento circular también pueden incitamos a considerar el análisis de la circunferencia con centro fuera del origen de coordenadas. Generalizaciones La ecuación de la circunferencia es su representación analítica; con ésta podemos generar parejas de coordenadas con la seguridad de que cada una de ellas sea un punto de la circunferencia. Ciertamente la ecuación se genera de las condiciones geométricas propuestas. Observa:

[83]

Por ejemplo: (x – 3)² + (y + 2)² -16 C(3, -2) y r = 4 x² - 6x + 9 + y² + 4y + 4 -16 = 0 �x-3�²+ �� 2��² � 4² Aun mejor si desarrollas los Binomios al cuadrado y Esta es una presentacion ordenas los terminos diferente de la ecuacion de la ecuacion de la circunferencia

Geométricamente una circunferencia no modifica su tamaño si es analizada desde un punto de referencia u otros (diferentes sistemas coordenados). La ecuación, sin embargo, está ligada al sistema desde donde se efectúa el análisis. Observa:

Ecuación de la circunferencia:

h x

y

k C

r

P (x, y)

X

Y

|{ || |} ~|

Significados

Coordenadas

del centro C (h, k)

Forma canoníca de la ecuación de la circunferencia

(x – h )² + (y – k)² = r²

Aplicando el Teorema de Pitágoras, sobre el triangulo generado con las diferencias de

La forma canoníca de la ecuación de la circunferencia permite determinar a esta cuando se conocen las coordenadas del centro C(h, k) y el valor del radio r.

x² + y² - 6x + 4y -3 = 0

Esta es la ecuación, pero…

x² + y² = 36

X

Y

N

O

(x – h)² + (y – k)² = 36 Y

X M

N

h

k C

El mismo evento es analizado desde perspectivas distintas por lo que el resultado se traduce en ecuaciones diferentes, sin embargo, el elemento geométrico implícito no se modifica. El radio posee el mismo valor independientemente de la perspectiva

Trayectoria de un niño en el carrusel vista por el operador situado en el centro.

Trayectoria de un niño en el carrusel vista por la madre situada en algún punto M.

coordenadas y el radio, construyes la ecuación de la circunferencia

Cualquier punto de

la circunferencia P (x, y)

[84]

El caso que hemos ilustrado se aplica de manera semejante en otros

ámbitos; por ejemplo, se puede situar un sistema coordenado con origen en el Sol y a partir de él, describir las órbitas aproximadamente circulares de la Tierra y de la Luna.

Relaciona las curvas del esquema con las ecuaciones. 1. 9 (x + 1)² + (y + 3)² = 4 ( ) 2. (x -3)² + (y -3)² = 4 ( ) 3. 4x² + 4y² = 25 ( )

Escribe las ecuaciones de las curvas del esquema 4. 5.

6.2 Forma general de la ecuación de la circunferencia Cuando desarrollaste, en la sección de ejercicios previa, la forma canónica de la ecuación de la circunferencia, notaste en los resultados ciertas características en todos los casos. Una de ellas es la aparición de los términos x² y y2; otra es que sus coeficientes siempre eran los mismos.

1

2

5

4 6

3 1

1

X

Y

6

7

8

10 9

1

1

Y

X

[85]

Estas similitudes en las ecuaciones nos permiten proponer una forma algebraica común a todas las circunferencias, llamada ecuación general: Ax2 + Cy2 Dx + Ey + F = O, (A = C ≠ O) Forma general de la ecuación de la circunferencia

Las literales A, C, D, E y F son las constantes o coeficientes de la ecuación y distinguen una circunferencia de otra. La forma general acerca a las circunferencias al álgebra al presentarlas como un modelo identificable en esta rama de las matemáticas, una ecuación cuadrática o de segundo grado con dos variables, aunque ciertamente falta el término producto xy (también de segundo grado), con la condición de que, para la circunferencia, los coeficientes A y C sean siempre iguales.

Cuando se desea graficar una circunferencia y se nos presenta en su forma general es necesario transformarla a la forma canónica, ya que en ella las constantes geométricas C(h, k) y r son visibles. Esto requiere conocer el proceso de completar el

trinomio cuadrado perfecto o, simplemente, completar cuadrados.

Esto representa el Al desarrollar o expandirlo cuadrado de un binomio obtenemos un trinomio cuadrado perfecto. ( a ± b)² = a² ± 2ab + b² Si conoces una de las expresiones podras construir la otra, según el caso, desarrollando el cuadrado del binomio o factorizando el trinomio cuadrado perfecto. Por ejemplo: Factorizar 4x² - 12x + 9 Expandir (2x -3)² √4�� 2�√9 � 3 (2x -3)² = (2x)² - 2(2x)(3) + 3² = 4x² - 12x + 9 2 (2x) (3) = 12x Trinomio cuadrado perfecto 4x² - 12x + 9 = (2x - 3)²

Cuadrado de un binomio y trinomio cuadrado perfecto

Si compruebas que el doble del producto de las raíces de los extremos coincide con el término central del trinomio, entonces este es un trinomio cuadrado perfecto.

El trinomio cuadrado perfecto se factoriza como un binomio al cuadrado.

[86]

Ejemplo: Completar el trinomio cuadrado perfecto de x² - 6x + 13

x² - 6x + 13

= (x² - 6x ) + 13

Agrupa los dos términos que poseen a la variable o literal

= ��² 6� w62x ² w62x ²� 13

Toma el coeficiente del segundo término, divídelo entre dos, y eleva el resultado al cuadrado. Esta cantidad súmala y réstala dentro de la agrupación que hiciste previamente.

= ��² 6� w62x ²� 13 w62x ² La operación anterior te conduce a la construcción de un trinomio cuadrado perfecto con los primeros tres términos en los corchetes; el ultimo sobra en la agrupación, por ello lo envías fuera de los corchetes.

= ��² 6� 9� 13 9 Simplifica las expresiones realizando las operaciones pertinentes.

= (x² - 3)² + 4

Factoriza el trinomio cuadrado perfecto dentro de los corchetes.

Ejemplo: ¿Cuál es el centro y radio de 4x² + 4y² - 4x – 16y – 19 = 0?

x² + y² - x – 4y = ,�A Simplificas si divides entre el coeficiente de los terminos

cuadrados.

(x² - x ) + (y² - 4y ) = ,�A Agrupas por separado las variables.

B�² � 1414C �� 4� 4 4� = ,�A Completas el trinomio cuadrado perfecto

en cada caso.

B�² � 14C �� 4� 4� = ,�A 14 4 Los terminos no requeridos para

complementar el trinomio cuadrado perfecto (en rojo), los desplazas del agrupamiento colocandolos en el segundo miembro.

B� 12C ² �� 2�� 9 Factoriza cada grupo. Solución:

C (h, k) = C B12 , 2C

r =3

Transformación de la forma general a la canoníca

[87]

Generalizaciones El proceso de transformación de la forma general a la canónica puede realizarse de manera diferente de acuerdo con las preferencias de cada quien. Se trata de variantes que hemos ilustrado. Otra forma de proceder es mediante la construcción de fórmulas que nos permitan determinar directamente desde los coeficientes: A, C, D, E y F las constantes geométricas de la circunferencia h, k y r, para ello se aplica el proceso descrito a la forma general, o bien, visualizarlos en la transformación de la forma canónica a la general.

Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0 Forma general

(A = C G 0� Formas canonícas:

(x – h)² + (y – k)² = r²

Ejemplo:

Para 4x² + 4y² - 4x - 16y – 19 = 0 � � ?A��A� �

,�

A = C = 4, D = - 4, E = - 16, F = -19 � � ?,�

��A� � 2 B� 12C ² �� 2�� 9

- � ��?A�r'�,��²?A�A��?,��A� � 3

Determinación de las coordenadas del centro y el radio desde la forma general

C (h, k)

- � �3²'6²?A5��5

h = D2A

k = D2A

[88]

Para cada uno de los siguientes casos determina la forma general de la ecuación de la circunferencia. 1. C (4, 5), r = 5

2. C (3, -1), r = 7

3. C (4, -2), r = 8 4. C(3, -1), r = 1

Determina la forma canoníca de la ecuación de las siguientes circunferencias empleando el método de completar el trinomio cuadrado perfecto. 5. x² + y² -8x + 10y + 32 = 0

6. x² + y² + 6x + 2y + 9 = 0

[89]

7. x² + y² -24x + 4y -63 = 0 8. x² + y² + 6x -10y + 25 = 0

9. x² + y² -4x + 2y -4 = 0

6.3 Condiciones para la determinación de la circunferencia Las condiciones, en el contexto de matemáticas, se refieren a la información que se debe proporcionar para identificar una única curva. En el caso de la recta se requieren dos condiciones que se traducen casi siempre a dos puntos de ella, o un punto y su pendiente. Para el caso de la circunferencia no es difícil percatarse del número de éstas.

[90]

¿Qué es lo que conoces de esta circunferencia?

¿Se puede trazar otra circunferencia diferente que posea las mismas condiciones?

¿Cuántas condiciones hay?




¿Qué es lo que conoces de a circunferencia azul?






(x – 5)² + (y – 4)² = 2²

2

X

Y

4

5

(8, 6) 2

X

Y

4

5

X

Y

(4, 7) (8, 6) (8, 6)

X

Y

(4, 5)

(8, 4)

[91]

Probablemente el caso más visible de los analizados es el primero. Una circunferencia queda completamente determinada si se conocen las coordenadas de su centro y de su radio. Aparecen en esta situación básicamente tres condiciones traducidas en las constantes geométricas: h, k y r. En el segundo caso sucede algo similar, se proporcionan dos condiciones al considerar h y k, y la tercera se corresponde con un punto, a partir del cual será posible determinar el radio. Nuevamente tres condiciones. Los dos últimos casos deben de analizarse en conjunto. En el penúltimo claramente queda a la vista la falta de condiciones. Por dos puntos aparece trazada no una, sino tres circunferencias y es visible que se pueden colocar mas. Por ello dos condiciones no son suficientes. Más adelante manejaremos el último caso y comprobaremos que realmente una circunferencia queda determinada por tres de sus puntos. Independencia de las condiciones Las condiciones deben ser independientes entre si; por ejemplo, para el caso del diagrama, afirmar que la circuferencia tiene radio 5, o que pasa por P(-3, 5) son condiciones dependientes. Si tomas el radio puedes determinar la ecuacion y con ella el punto. Tambien con el punto determinas el radio y despues la ecuacion.

Existen muchas otras maneras de expresar las condiciones para la determinación o trazado de una circunferencia: tangentes, intersecciones, puntos y combinaciones de ellos. Algunos casos ya han sido analizados en las secciones previas.

r = 5

P (-3, 5)

1

1

Y

X

[92]

Circunferencia que pasa por tres puntos En el esquema se observa un análisis geométrico de este caso:

Este análisis justifica geométricamente la existencia de una circunferencia única que

pasa por tres puntos. En realidad, el resultado se esperaba, pues cada punto representa una condición y para el caso de la circunferencia se requieren tres.

El proceso para determinar la ecuación de la circunferencia desde tres de sus puntos es una adecuación de la idea geométrica manejada en el esquema anterior y llevada al campo de la geometría analítica. Observa:

Si conoces tres puntos construyes un triangulo.

Determinas la mediatriz de por lo menos dos de los lados del triangulo

Su intersección te proporciona el centro de la circunferencia (circucentro)

Por tres puntos no colineales pasa una única circunferencia

[93]

AB: m = 2, P medio (5, 4)

AC: m = -1, P medio B�� , ��C

Existen métodos alternos para la determinación de la circunferencia desde tres de sus puntos. Ilustramos el anterior análisis por el empleo de las propiedades de la geometría euclidiana. Más adelante manejaremos otros procesos que también resuelven este problema.

Ecuación de la circunferencia:

(x- 4)² +(y – 5)² - 25

Circunferencia que pasa por tres puntos. Análisis desde la geometría analítica

AB

AC

1 Se calculan los puntos medios y la

2 Con la pendiente de cada lado del triangulo construyes la pendiente de la mediatriz asociada; son reciprocas y de signo opuesto, pues existe perpendicularidad entre los segmentos y rectas involucrados (M1 con AB, y así para el resto.

3 Construyes las ecuaciones de por lo menos dos de las rectas mediatrices empleando la forma de la ecuación de la recta punto pendiente.

M1: x + 2y – 14 = 0

M3: x – y + 1= 0

B (8, 8)

A (4, 0)

C (-1, 5)

M2

M1 M3

4 Resuelve el sistema de ecuaciones lineales generando con las dos mediatrices. Tal punto es el centro de la circunferencia buscada.

x + 2y - 14 = 0 Solución

x – y + 1 = 0 C (4, 5)

5 Con el centro que determinaste y cualquiera de los puntos iniciales, encuentras la magnitud del radio. Emplea estos valores para escribir la ecuación de la circunferencia .

r = 5

M1: m = ��

M3: m = - 1

M1

M3

C

pendiente de por lo menos dos de las rectas que contienen a los lados del triangulo; sus vértices son cuerdas de la circunferencia buscada.

Forma canónica

X² + y² -8x -10y + 16 =0

Forma general

[94]

Resuelve los siguientes problemas. 1. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia cuyo centro es (1,3) y pasa por el punto (3,8)?

2. Dos circunferencias son concéntricas, con centro en (-1, 5), la externa pasa por el punto (-8, -6) y la interna tiene un radio menor que la otra en 2 unidades. ¿Cuál es la ecuación de cada una de ellas?

3. Una circunferencia de radio 6 es tangente a los dos ejes coordenados en el primer cuadrante. ¿Cuál es su ecuación?

[95]

Encuentra la ecuación general de la circunferencia que pasa por los tres puntos dados. 4. A (4, 2), B(2, 6), C(-4, -2). Solución. Puedes seguir el método propuesto anteriormente o bien uno más algebraico como el que seguimos a continuación. La forma general de la ecuación puede escribirse también como x² + y² + ax + by + c = 0 (al dividir la forma clásica Ax² + Cy² + Dx + Ey +

F = 0 entre A; de esta forma, los coeficientes de los términos de segundo grado se convierte en 1). Se sustituye cada punto en la forma anterior y se forma un sistema de tres ecuaciones lineales, cuyas incógnitas son: a, b y c. (4, 2), 4² + 2² + a(4) + b(2) + c = 0 4a + 2b + c = -20 (2, 6): 2² + 6² + a(2) + b(6) + c = 0 ► 2a + 6b + c = -40 (-4, -2): (-4)² + (-2)² + a(-4) + b (-2) + c = 0 -4a -2b + c = -20 Se resuelve el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Emplearemos en esta ocasión la regla de Cramer (determinantes): 4 2 1 -20 2 1

∆�261�40∆! �-4061�80-4-21-20-21

4 -20 1 4 2 -20

∆" �2-401�-160∆# �26-40�-800-4-201-4-2-20

La ecuación de la circunferencia es x² + y² + 2x -4y -20 = 0; puede también presentarse en la forma canoníca siguiendo los métodos ya vistos.

! � �@A@ � 2

" � ?,�@A@ 4

# � ?�@@A@ � 20

[96]

5. P(7, 0), Q(4, 5), R(-3, 5).

6. A (6, 0), B(-8, 14), C(-8, -2).

[97]

7. P(14, 7), Q(7, 14), R(-11, 2).

8. Una circunferencia con centro en el origen es tangente a la recta 3x + 4y -25 = 0. ¿Cuál es su ecuación?; ¿Cuál es el punto de tangencia?

5

5

-5

-5

0

0

[98]

9. Una circunferencia con centro en (-1, 2) es tangente a la recta 5x + 12y -188 = 0. ¿Cuál es su ecuación?

-10

-10 10

10

0 0

C

-20

[99]

BLOQUE 7 ECUACION DE LA PARABOLA CON VERTICE EN EL ORIGEN

CONOCIMIENTOS

• Reconocer a la parábola como lugar geométrico. • Identificar los elementos asociados a la parábola. • Comprender la existencia de una parábola especifica,

conocidos su vértice, foco y directriz. • Reconocer la ecuación de parábolas horizontales y

verticales con vértice en el origen. • Identificar los elementos de una parábola con vértice en

el origen, a partir de su ecuación.

HABILIDADES

• Determinar las condiciones necesarias para trazar una parábola.

• Integrar los elementos necesarios para el trazado de una parábola en la escritura de sus ecuación con vértice en el origen y eje focal coincidente con el eje X o Y.

• Obtener los elementos de una parábola horizontal o vertical con vértice en el origen a partir de su ecuación.

• Resolver problemas que implican la determinación o el análisis de la ecuación de parábolas horizontales o verticales con vértice en el origen

ACTITUDES Y VALORES

• Participar activamente en la realización de ejercicios como en la resolución de problemas en los que se pone en juego el uso de parábolas.



[100]


[101]

Parábola

Geométrico

Construyendo la curva

desde sus elementos

Foco

Directriz

El

La

Analítico (algebraico)

Ecuación

Horizontal

Vertical

Vértice

Valor de p

Su significado

Su

Asociada

Al Al

Y al Y al

O Asociándolos

Relacionada con

su orientación

Llevados al campo de lo

Concreto y sus aplicaciones

[102]


7.1 La parábola como lugar geométrico

La forma geométrica de la parábola se relaciona inicialmente con una de las curvas que resultan del corte a un cono. Actualmente se le relaciona mas con una ecuación de segundo grado. Sin embargo, esto es consecuencia de su definición. Analicemos en primera instancia este punto.

En la siguiente serie de recuadros reconstruimos el proceso que seguiste en la actividad justificando geométricamente la igualdad entre las distancias de cualquier punto de la parábola al foco y a la directriz.

[103]

Parábola:

Lugar geométrico de todos los puntos del plano equidistantes de un punto y una recta.

Foco Una parábola se construye a partir de una recta (llamada directriz) y un punto (llamado foco).

Dir

ectr

iz

Foco

Dir

ectr

iz

Mediatriz

Los puntos de la parábola son los que están equidistantes al foco y la directriz. El punto P cumple con esta condición, por ello pertenece a la parábola

Lados iguales del triangulo isósceles

P

Foco Este proceso se repite todas las veces que sea necesario. En cada ocasión determinaras un punto de la parábola

Dir

ectr

iz

Foco

Dir

ectr

iz 1

Trazas una perpendicular a la directriz.

4 Esta intersección es un punto P de la parábola.

3 Trazas la mediatriz.

Mediatriz

2 Trazas el segmento para unir el foco con la intersección D.

P

Tres puntos de la parábola trazados bajo la misma idea.

Foco

Dir

ectr

iz

Foco

Dir

ectr

iz

Eje de simetría

La simetría de la parábola permite ahorrarnos trabajo en el trazo. Además, observamos que el vértice V siempre está sobre el eje de simetría

Eje de simetría

La parábola tiene una infinidad de puntos. Con algunos que tracemos, al unirlos con una curva suave, visualizamos su forma.

VV

[104]

7.2 Elementos de la parábola ¿Qué distingue geométricamente a una parábola? La respuesta está relacionada con los elementos de la misma. Se sabe que ésta se construye desde una recta y un punto, como los puntos equidistantes a éstos; por ello, la recta directriz y el foco constituyen los elementos principales de una parábola. Derivado de esto surge otra característica más que puede ser enunciada de diferentes formas.

Generalizaciones La distancia foco-directriz es la que determina la forma de la parábola. Si establecemos distancias iguales se obtendrán parábolas tal vez con orientaciones distintas, pero siempre se podrán hacer coincidir sus puntos con las debidas traslaciones y rotaciones. Podemos también cuantificar la abertura de la parábola. Sabemos que conforme la distancia entre el foco y la directriz aumente, la parábola se observará más abierta, y viceversa. En realidad, la cuantificación de la abertura de la parábola no emplea precisamente la distancia foco-directriz, pero sí una cantidad derivada de ésta. Se trata de la distancia foco-vértice.

Aunque la parábola se construye desde la directriz y el foco, el empleo de p como un elemento para cuantificar la forma de ésta es relevante cuando trasladamos el estudio al campo analítico. En este enfoque, la parábola quedará determinada por este valor, por las coordenadas del vértice y por la orientación en relación con los ejes coordenados, como veremos más adelante.

Elementos de la parábola

Lado

rec

to

Una parábola se determina mediante su foco y su directriz. De la distancia entre ellos dependerá su forma.

A

B

V F

2p

2p

P P

D

La longitud del lado recto es otra manera de conocer la forma de la parábola. Se trata de la cuerda perpendicular al eje de simetría que pasa por el foco. Su longitud equivale a cuatro veces la distancia entre el foco y el vértice.

Resulta útil considerar la distancia entre el foco y el vértice como la manera de conocer la forma de la parábola. Esta distancia se representa por p, y es la mitad de la distancia entre el foco y la directriz.

Conforme la distancia entre el foco y la directriz aumente, la parábola se verá más abierta.

F F

p = |VF|

Lado recto = |AB|

[105]

7.3 Ecuación de la parábola con vértice en el origen En los apartados anteriores hemos analizado la relación entre parábola, directriz, foco, vértice y lado recto. Ciertamente de esto poco puede ayudarte o relacionarse con lo que vives o estudias. A continuación cambiaremos nuestro planteamiento analizando situaciones que te son familiares y de cómo en ellas aparecen implícitas las formas parabólicas.

Las ecuaciones y = x2 o x = y2 poseen dos variables, y el grado máximo que

observamos es dos, por lo que caen dentro de la categoría de las ecuaciones de segundo grado con dos variables. La forma con la que podemos asegurar que tales ecuaciones representan geométricamente a una parábola es analizar que realmente se construyen curvas tales que sus puntos equidisten de un punto fijo (foco) y una recta fija (directriz). De forma gráfica has visto, por lo menos, que cumplen con dos de las condiciones geométricas esperadas: la existencia de un vértice y la simetría; ambas son características de la parábola, pero no sólo de ella.

Toma Nota:

Recuerda que cada punto P(x, y) de la parábola satisface su ecuación, que es su equivalente analítico.

Forma de la ecuación de una parábola

X

Si partimos de la condición geométrica de la parábola, se construye una ecuación que posee una variable con exponente dos, y la otra con exponente uno.

En retrospectiva, esperamos que cualquier ecuación que posea esta forma gráficamente de lugar a una parábola.

Y |PD| = |PF|

D(-p, y) P(x, y)

F(p, 0)

�� n�� n�� 0��

�x p�²��x–p�² y²

y²�4px4xp

Exponente de primer grado

p como elemento geométrico

Exponente de segundo grado

[106]

La ecuación que observas en el recuadro amarillo se ha deducido considerando a la parábola con vértice en el origen y foco sobre el eje X, extendiéndose hacia la derecha.

Bien se podría haber considerando una orientación diferente, por ejemplo, abriendo hacia la izquierda, arriba o hacia abajo, todos ellos con vértice en el origen. Podría incluso considerarse el caso de un eje de simetría inclinado en relación con los ejes coordenados. Dejaremos este último caso fuera del análisis; sin embargo, todos los demás se resumen en el siguiente esquema.

Caso 1 Caso 2

Por ejemplo: p = 1 (se observa en el foco)

Parábola con vértice en el origen

p :0 p �0

Y

X

Ecuación de la parábola

y²�4px

V (0, 0) F(p,0) p :0

p �0 Y

X

F F F

F


x²�4py V (0, 0) F(p,0)

Aprende a relacionar…

Y

X

4

4

1 F

x²�4�1�yx²�4yy�-1LR�4


Ecuación de su directriz

Longitud de su lado recto

Si sustituyes el punto (4, 4) en la ecuación de la parábola, observaras que satisface la igualdad con ella. En realidad es una condición más que se proporciona.

El proceso inverso también es posible, es decir construir el grafico desde elementos conocidos de la parábola

El termino cuadrático con la orientación de la parábola. La forma de la ecuación de la directriz con el término cuadrático de la parábola. El signo de p con la forma en que la parábola se extiende. El valor de p en la ecuación de la parábola con la directriz o coordenadas del foco. Y en general, a visualizar los elementos analíticos en el grafico y viceversa.

x = - p Ecuación de la directriz LR = |4p| Longitud del

lado recto

y = - p Ecuación de la directriz

LR = |4p| Longitud del lado recto

[107]

Construye para cada uno de los siguientes casos la ecuación de la parábola con los elementos que se proporcionan, considerando para todos ellos que el vértice es el origen. Haz un esbozo de su gráfica (un esbozo gráfico se refiere a trazar sobre los ejes la parábola, cuidando la orientación, colocando el foco y, como ayuda, el lado recto para lograr mayor precisión en cuanto a la forma, en relación con la escala que utilices). 1. F(-1 , 0) Y

2. Directriz: x = 2 Y

3. LR = 32 y se extiende hacia abajo Y

4. Directriz: x = - 6 Y

5. Directriz: 3x -2 = 0 Y

X X

X X

X

[108]

Para cada una de las siguientes ecuaciones determina los elementos de la parábola y realiza un esbozo de su grafica.

6. y² -4x = 0 Y

7. y² -8x = 0 Y

8. x² -20y = 0 Y

9. y² + 12x = 0 Y

Resuelve los siguientes problemas. 10. Una parábola posee vértice en el origen en el origen, su eje de simetría coincide con el eje Y y pasa por el punto (1, 3). Determina las coordenadas del foco, la ecuación de su directriz y el lado recto.

X X

X X

[109]

11. Una parábola posee vértice en el origen y eje de simetría coincidente con el eje X. pasa además por P (-2, 3). Determina las coordenadas del foco, la ecuación de su directriz y el lado recto.

12. Una parábola tiene la misma forma que y² = 8x, aunque su eje de simetría es coincidente con el eje Y. Su vértice también es el origen ¿Cuál es su ecuación?.

[110]

BLOQUE 8 ECUACIONES DE LA PARABOLA

CONOCIMIENTOS

• Reconocer la ecuación ordinaria de la parábola con vértice fuera del origen.

• Identificar los elementos de una parábola con vértice fuera del origen a partir de su ecuación ordinaria.

• Reconocer la influencia de los parámetros h, k y p de la ecuación ordinaria de la parábola en el comportamiento grafico de la misma.

• Reconocer la forma general de la ecuación de la parábola.

• Relacionar las formas ordinaria y general de la parábola.

HABILIDADES

• Determinar la ecuación ordinaria de parábolas horizontales o verticales con vértice fuera del origen.

• Obtener los elementos de parábolas horizontales o verticales con vértice fuera del origen a partir de su ecuación.

• Explicar la influencia de los parámetros h, k y p de la ecuación de la parábola en el comportamiento grafico de la misma.

• Desarrollar la ecuación general de la parábola a partir de la forma ordinaria de la misma.

• Transitar entre las formas ordinaria y general de la parábola.

• Realizar ejercicios y resolver problemas que le permitan determinar la forma adecuada de representación de la parábola, dependiendo de la situación.

• Aplicar las formas de la ecuación de la parábola como un modelo simbólico en la realización de ejercicios y resolución de problemas.

ACTITUDES Y VALORES

• Participar activamente en la realización de ejercicios como en la realización de ejercicios como en la resolución de problemas en los que se pone en juego el uso de parábolas.



[111]


[112]

Parábola

Vértice en (h, k)

Geometría Algebra

Elementos (vértice, foco, lado recto y

directriz)

Ecuación

La ciencia y lo cotidiano

La visualización de

su forma desde la

Sus características

analíticas vistas

desde el

con

y la vinculación con sus En su

Y su relación con

Llevados a la aplicación en

[113]


8.1 Parábola con ejes paralelos a los ejes coordenados (forma ordinaria o canoníca de la ecuación). Generalizaciones El análisis para la determinación de la parábola con centro fuera del origen muestra ciertas regularidades que existen entre los puntos importantes de ésta: el vértice y el foco. En realidad, como se había comentado desde el inicio del bloque anterior, la parábola es una figura geométrica que puede manejarse desde la geometría y desde la geometría analítica. Por ello las características puramente geométricas permanecen de manera necesaria invariables: la distancia vértice-foco, la ubicación de la directriz en relación a la curva, y también su lado recto; la relación que guardan los puntos de la curva entre sí tampoco deberá modificarse por una ubicación distinta en el sistema coordenado.

De esta forma, cuando estudiamos una parábola bajo el enfoque de la geometría analítica, los únicos cambios que observaremos para una curva específica colocándola en una orientación y ubicación u otra será el lugar geométrico mismo, esto es, la parábola vista como el conjunto de puntos del plano cartesiano. Y esto está relacionado con la ecuación, su representación analítica. Es evidente que también se modificaran las coordenadas de los puntos importantes de la parábola: el vértice y el foco.

Partiendo de lo que hemos aprendido sobre esta cónica, y con poco de cuidado. No resultara complicado establecer las coordenadas de estos nuevos puntos y ecuaciones. Observa los siguientes recuadros.

[114]

Ecuación de la parábola del tipo 1: Vértice en V (h, k) y eje de simetría paralelo a X

Ecuación de la parábola del tipo 1: Vértice en V (h, k) y eje de simetría paralelo a Y

Las coordenadas del punto D en la directriz se encuentran corridas a la izquierda una distancia p del vértice, y a la misma altura que el punto P de la parábola.

k

D(h

– p

, y)

Cuando el vértice de la parábola es V (h, k)…

P (x, y)

h-p h h+p

F (h + p, k) V P P

Las coordenadas del foco aparecen corridas a la derecha de una distancia p, con la misma ordenada k.


|PD|² = |PF|² �� n�� n��

�� n�� n��

�� ² �� n�� n��

Resuelve y simplifica

�} ~�� = 4 p�{ |�

Forma ordinaria o canoníca de la ecuación de la parábola tipo 1.

El foco posee la misma abscisa h que el vértice, y aparece encima de este una distancia p, Por ello su ordenada es k + p.

k

Cuando el vértice de la parábola es V (h, k)…

x h

F (h, k + p)

Las coordenadas del punto D en la directriz posee la misma abscisa x

que el punto P, y esta una distancia p

debajo del vértice.


|PD|² = |PF|²

�� n�� n��

�� n�� + �� n��

�� n�� n��


�{ |�� = 4 p�} ~�

Forma ordinaria o canoníca de la ecuación de la parábola tipo 2.

k - p

k + p y

D(8,k– p) V (h, k)

P (x, y)

[115]

Pero aún falta por analizar el caso en que la parábola se extiende hacia la izquierda y hacia abajo. Pospondremos esto hasta lograr la comprensión de los efectos geométricos de los parámetros de la parábola.

8.2 Efectos gráficos de los parámetros geométricos h, k y p Generalizaciones

La actividad anterior te hace reflexionar sobre la forma de la ecuación de la parábola atendiendo sobre todo a la ubicación del vértice y a la visualización geométrica de la parábola conforme sus parámetros h y k se modifican.

En relación al parámetro p se emplea el mismo criterio que para el caso de la parábola con vértice en el origen. Inicia siendo simplemente la distancia vértice-foco o vértice-directriz, pero al considerarle un signo, este elemento toma un significado geométrico de mayor relevancia. Nos permite cambiar la orientación de la curva de manera que en lugar de que se extienda hacia la derecha, lo haga hacia la izquierda, o bien, en lugar de extenderse hacia arriba, podamos orientarla hacia abajo. Como recordarás, para estos dos últimos casos el signo de p es negativo. El siguiente esquema es un resumen de lo anterior.

Parábola con vértice fuera del origen Tipo 1 Tipo 2

p :0 p �0 Y

X


�y–k�²�4p�x–h� V(h, k) F(h + p,k)

x = h - p Ecuación de la

directriz

p :0

p �0 Y

X

F F F

F


Aprende a relacionar…

�x–h�²�4p�y–k� V(h, k) F(h, p + k)

y = k - p Ecuación de la

directriz

El termino cuadrático con la orientación de la parábola. La forma de la ecuación de la directriz con el término cuadrático de la parábola. El signo de p con la forma en que la parábola se extiende. El valor de h, k y p en la ecuación de la parábola, directriz o coordenadas del foco. Y en general, a visualizar los elementos analíticos en el grafico y viceversa.

LR = |4p| Longitud del

lado recto

LR = |4p| Longitud del

lado recto

[116]

Por ejemplo:

8.3 Forma general de la ecuación de la parábola

Generalizaciones El desarrollo de las formas ordinarias tipo 1 y 2 llevan necesariamente a una ecuación de segundo grado con dos variables, con la particularidad de que sólo una de ellas posee el término cuadrático.

Forma general de la ecuación de la parábola Parabola Parabola tipo 1 tipo 2 (y – k)² = 4p (x – h) (x - h)² = 4p (y – k) y² - 4px – 2ky + (k² + 4ph) = 0 y² - 2hx – h² - 4py + 4pk) = 0 Cy² + Dx + Ey + F = 0 Forma general Ax² + Dx + Ey + F = 0 Tipo 1 No aparece x², No aparece y², A = 0, B = 0 C = 0, B = 0

La parábola pertenece entonces a la familia de ecuaciones de segundo grado con dos variables, aunque las formas algebraicas que resultan del desarrollo de las ecuaciones ordinarias dan lugar a dos tipos diferentes, que se traducen en la inexistencia simultánea de los elementos de segundo grado.

Y

X

V(-1, 6), F(-1, 5), p = -1

Por su orientación, la parábola es del tipo 2:

1

F

Otros elementos…

1

Forma general Tipo 2

Ec. general de segundo

�� 4p (y – k)

�� 1�� 4�1�� 6�

�� 1�� 4�� 6�

�² 2� + 4y -23 = 0

Ec. tipo 2 Longitud de su lado recto Sustitución de parámetros LR = 4 Ec. de la parábola Ec. de la (forma ordinaria) directriz Ec. de la parábola (forma general) y=7

grado con dos variables Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey +F = 0

[117]

Así, cuando aparece y² (tipo 1), no estará en la ecuación x2, y viceversa. Por otra parte, observa que en ningún caso de los que se estudiaron presenta al término xy (B = O); en realidad, la aparición de este término está ligada a considerar al eje de simetría oblicuo en relación con los ejes coordenados, situación que queda fuera de análisis en este texto.

Por otra parte, sobre las transformaciones de la forma de la ecuación de la parábola adelantaremos que este proceso está relacionado con la presentación de los resultados o su uso en situaciones de contexto (forma ordinaria a la general), o bien, la determinación de los elementos de la parábola (forma general a la ordinaria). Los procesos de transformación guardan semejanza con lo visto en el tema de circunferencia, por ello no haremos mas discusión al respecto, aunque, a manera de recordatorio, los ilustraremos nuevamente en la sección afirmando conocimientos.

Toma Nota:

La ecuación de una parábola con eje de simetría oblicuo a los ejes coordenados se distingue por poseer el termino xy (B es distinto de cero).

Determina la ecuación de la parábola en su forma general y ordinaria, según los elementos que se proporcionaran en cada caso, y realiza el esbozo de su grafica. Analiza el ejercicio resuelto.

1.

V B1 �1C, F B2 �1C Ecuación en su forma

ordinaria Solución : (y -

�1)² = 4 (x – 1)

h = 1, k = �1, h + p = 2 Desarrolla el binomio al

cuadrado; reduce y simpli- Entonces p = 1 fica para llegar a la forma y la parábola se extiende general. a la derecha (tipo 1). 9y² - 36x – 12y + 40 = 0 Ecuación en su forma general

23

1 2

F

X

Y

[118]

2. V (-2, 1), F (-3, 1)

3. V (0, 2), F (0, 1)

4. V(2, -1), directriz: y = 1

X

Y

X

Y

X

Y

[119]

5. 7 F (-1, 3 ), directriz 3y + 1 = 0

Determina, desde las ecuaciones de la parábola, su forma ordinaria, las coordenadas de u vértice y foco, la longitud de su lado recto y la ecuación de su directriz. Realiza además un esbozo de su grafica. 6. 5x² - 30x – 20y + 53 = 0

X

Y

Solución:

1. Deja en el primer miembro los términos en x para completar el trinomio cuadrado perfecto y factoriza con el coeficiente de x²

5(x² - 6x ) = 20y -53

5(x² - 6x + 9 – 9) = 20y – 53

5(x – 3)² + 5(-9) = 20y – 53

5(x – 3)² = 20y - 8

2. Reduce términos: 45 – 53. Factoriza con el coeficiente de y

simplificando la fracción: 8/20 = 2/5.

(x – 3)² = �@& �� &� (x – 3)² = 4�� &�

3. Convierte la ecuación a la forma ordinaria tipo 2 y determina de ella los elementos de la parábola.

V B3, �&C , � B3, �&C LR = 4, Dir. y =- 1&

7/5 2/5

y = - 3/5

3

F

Y

X

[120]

7. y² - x - 6y + 10 = 0

8. y² - 8x – 24 = 0

9. x² - 8x + 12y + 88 = 0

X

Y

X

Y

X

Y

[121]

10. 25y² - 25x - 20y + 4 = 0

X

Y

[122]

BLOQUE 9 ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN

CONOCIMIENTOS • Caracterizar la elipse como lugar geométrico. • Identificar los elementos asociados a la elipse. • Reconocer la ecuación ordinaria de elipses horizontales o

verticales con centro en el origen y ejes paralelos a los ejes cartesianos.

• Identificar los elementos de una elipse con centro en el origen y ejes paralelos a los ejes cartesianos, a partir de su ecuación ordinaria.

HABILIDADES

• Determinar las condiciones necesarias para trazar una elipse con hilo o regla y compas.

• Integrar en un plano cartesiano los elementos necesarios para trazar una elipse y su efecto en la conformación de su ecuación con centro en el origen y eje focal paralelo con el eje X o Y.

• Obtener los elementos de elipses horizontales o verticales con centro en el origen y eje focal paralelo con el eje X o Y, a partir de su ecuación.

• Resolver problemas que implican la determinación o el análisis de la ecuación de elipses con centro en el origen.

ACTITUDES Y VALORES

• Participar activamente en la realización de ejercicios y resolución de problemas en los que intervienen elipses.



[123]


[124]

Elipse

Origen

Geometría Algebra

Elementos Ecuación

Propiedades


Su enfoque

desde la

Su enfoque

desde el

Con centro en el

Combinando desde

ambas vertientes sus

Con su relación:

curva y

Con la construcción

de su

Aplicándolas en la

comprensión de

[125]


9.1 La elipse como lugar geométrico La elipse es una curva plana, cerrada y simétrica en relación al origen, pues para cada punto que observes de ella podrás encontrar otro, prolongando la recta que pasa por él y el origen. Entre sus elementos se encuentran sus focos y la distancia entre ellos, denominada eje focal. Para el trazo de dos elipses idénticas se requiere, en primer lugar, ubicar sus focos a la misma distancia: pero no sólo eso, existe otra condición relacionada con la longitud del hilo en la actividad previa: la suma de distancias desde los focos a cualquier punto de la elipse es siempre la misma. La elipse también posee vértices; éstos se ubican sobre la misma recta que los focos (eje focal); de hecho, el diámetro mayor de la curva es la distancia entre los dos vértices. A tal distancia se le conoce como eje mayor de la elipse. Existe también un diámetro menor, al que se le conoce como eje menor de la elipse, y siempre es perpendicular al eje mayor. Toma Nota… El diámetro de la elipse es cualquier cuerda que pasa por el centro de la misma y sus extremos son dos puntos de ella.

[126]

En realidad, aunque en la construcción de la elipse partimos de dos puntos situados a

cierta distancia entre sí (2c) y de un lazo con una longitud también constante, una elipse queda determinada si se conocen de ella las longitudes de los semiejes a y c. No es difícil ver la relación entre estos elementos y los empleados en la construcción con las tachuelas y el lazo. En la práctica resulta útil incluir, además, la longitud del semieje menor b. Sin embargo, no pierdas de vista que éste es un valor dependiente de los dos anteriores, y su relación será analizada más adelante. 9.2 Elementos de la elipse

Existen otros elementos de la elipse vinculados con las constantes a, b y e, y cada uno de ellos «nos dice» algo acerca de la curva. Tales elementos son la longitud del lado recto de la elipse y su excentricidad. Por cierto que esta última palabra ha trascendido a las matemáticas. Decimos que una trayectoria (elíptica, de un corneta por ejemplo) es muy excéntrica para referirnos a lo alargada que es.

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de distancias, desde ellos, a dos puntos fijos (focos), es siempre una constante positiva mayor que la distancia entre los puntos fijos.

V1 F1 C

F2

r2 r1

Q P

V2

|�1$| + |$�2|= r1 + r2

|�1�| + |��2|= r1 + r2

Ejes y semiejes de la elipse

V1

Sem

ieje

men

or Elipse. Símbolo y significados

F1 C

F2

V2 Semieje focal

Semieje mayor a

b

c

La distancia entre los dos vértices se representa por 2a (longitud del eje mayor).

a es la distancia del centro a cualquier vértice.

b es el segmento medio del diámetro de menor longitud de la elipse.

La longitud de los semiejes es la mitad de la longitud de los ejes.

c es la distancia del centro a cualquier foco.

Siempre que tomes un Punto de la elipse, la suma de sus distancias a los focos será la misma.

La distancia entre los dos focos se representa por 2c (longitud del eje focal). La longitud del eje menor se representa por 2b.

[127]

Propiedades de la elipse

Para Q: r1 + r2 = 2a

Por ello: r1 = r2 = a

La relación entre las constantes a, b, y c de la elipse son consecuencia del Teorema de Pitágoras.

Relacionando el esquema puedes calcular y comprobar directamente la igualdad de la relación entre a, b y c, considerando la cuadrícula en escala de uno por cada cuadro. Puedes también verificar que la excentricidad sea menor que la unidad. Esto debe ser evidente para ti, después de todo, pues por la misma construcción el valor de e siempre será menor que el de a. ¿Por qué?

El lado recto de una elipse tiene un significado similar al que has visto anteriormente para el caso de la parábola. Se trata de una cuerda perpendicular al eje mayor que pasa por uno de los focos. Determinar la relación para el cálculo del lado recto involucra, algebraicamente, resolver un sistema de dos ecuaciones, una lineal o de primer grado y la otra de segundo grado:

r1 = 2a -,� LR

r1² = (2c)² + (,� ��)²

El problema no esta tan complicado, solo sustituye la parte de color naranja en la segunda ecuación. No olvides que ahí aparece elevada al cuadrado.

r1 = 2a -,� LR

(2a -,� ��)² = (2c)² + (,� ��)²

Q

F1 C F2 V2 V1

r2 r1 b a

c

Relación entre

a, b, y c

a²�b² c²

Ex

ce

ntr

icid

ad

e��e:1Las elipses pueden tener formas similares y tamaños distintos. La excentricidad nos ayuda a clasificarlas de acuerdo con esta semejanza.

La excentricidad también nos permite establecer visualmente lo alargado o redondeado de la elipse; para valores pequeños de c, la elipse se asemeja a una circunferencia, pero conforme la hacemos crecer, la elipse se deforma alargándose.

[128]

Después de esto solo debes desarrollar o expandir el cuadrado del binomio, reduces términos y despejas LR. No olvides la equivalencia a² - c² = b²; la necesitaras en tu proceso.

El lado recto se determina aplicando La condición de elipse al punto P y a la Construcción del triangulo rectángulo PF1F2:

r2 = ,� LR |F1F2| � 2#

Condición de elipse

r1 + ,� LR � 2! →r1 � 2!

,�LR

Teorema de Pitagoras

Sobre PF1 F2 r1² = (2c)² + (,� ��)²

9.3 Ecuación de la elipse con centro en el origen

La ecuación de la elipse se deduce directamente de su definición o significado geométrico. Recuerda que tomando cualquier punto de ella, la suma de distancias desde tal punto a los focos es igual a la longitud del eje mayor de la elipse.

P

F1 C F2 V2 V1 r2

r1

Resuelve el sistema de dos ecuaciones despejando LR para obtener la relación dada.

LR��²�

Lo

ng

itu

d d

el la

do

rec

to

[129]

Condición para cualquier punto P(x,y) de la elipse |�1$| + |$�2|=2a Tipo 1 Tipo 2 Eje mayor coincidente con el eje X Eje mayor coincidente con el eje Y

�� #�² �² + �� #�² �² � 2! ��² �� #�² + ��² �� #² � 2!

Propiedades

Ejemplo: Determina la ecuacion y los elementos de una elipse con centro en el origen cuyo eje mayor coincide con Y y las medidas de eje mayor y eje focal son respectivamente, 10 y 6. a = 5, c = 3 Pertenece al tipo 2 Ecuacion de la elipse Elementos:

Determinas b²: e = 1&

b² = a² - c² = 5² - 3² = 16 25x² + 16y² = 400 Esta forma algebraica entera la obtienes al multiplicar la primera ecuacion en ambos miembros por (25)(16)

Para el caso de la órbita terrestre generalmente se emplea un modelo circular,

pero esto no se debe a que la Tierra posea una órbita de este tipo, sino porque la distancia entre sus focos es pequeña comparada con la del eje mayor, y por ello su elipse es poco alargada, o bien, poco excéntrica. El manejo circular de su trayectoria se debe a la simplificación del modelo en relación con uno elíptico.

C

P (x,y)

Ecuación de la elipse con centro en el origen

x²a²

y²b² � 1

V1

(-a

, 0)

F1

(-c,

0)

V2

(a, 0

)

F2

(c, 0

)

Forma y ecuación

Y

X

V2 (0, a)

V1 (0, -a)

C

F1 (0, - c)

F2(0, c) P (x,y)

Y

X

x²a²

y²b² � 1

Forma y ecuación

!² � "² #

e = �^ �e : 1�

LR = ��²^

x²a²

y²a² � 1

x²16 y²

25 � 1

�� 2�16�5 � 32

5

X

Y 5

3

4

F2

F1

[130]

Sin embargo, tal simplificación no puede sostenerse para la órbita de todos los

cuerpos. Las hay alargadas o excéntricas, e incluso trayectorias abiertas cuando un cuerpo después de acercarse al Sol tiene velocidad suficiente para escapar de su órbita y abandonar el sistema solar de manera definitiva (su recorrido pertenece al tipo de trayectoria hiperbólica).

Lo analizado hasta este punto te permite modelar diferentes tipos de

trayectorias: rectas, circulares, parabólicas y, ahora, elípticas; todas ellas están ligadas al movimiento en general, aunque de manera particular su ámbito es más amplio.

En los ejercicios siguientes determina la ecuación de la elipse y construye un esbozo de su grafico.

1. Un vértice es V(10, 0) y uno de sus focos es F(8, 0). Y

2. Un vertice es V(0, 3) y uno de sus focos es F(0, - 2√2�. Y

X

X

[131]

3.

Uno de sus focos es F(-8, 0) y su excentricidad es √�A Y

4. 64 Un vertice es V(0, 10) y su lado recto es 5. Y

En los siguientes ejercicios determina las coordenadas de los vértices y de los focos, la excentricidad y la longitud del lado recto; realiza un esbozo de su grafico. 5. x² + y² = 1 36 100 Y

X

X

X

[132]

6. x² + y² = 1 100 64 Y

7. x² + y² = 1 289 64 Y

8. x² + y² = 1 225 289 Y

X

X

X

[133]

9. 64x² + 25y² = 1600 Y

10. 25x² + 169y² = 4225 Y

11. 676x² + 100y² = 67 600 Y

X

X

X

[134]

BLOQUE 10 ECUACIONES DE LA ELIPSE

CONOCIMIENTOS

• Reconocer la ecuación de la elipse con centro fuera del origen y ejes paralelos a los ejes cartesianos a partir de sus parámetros.

• Identificar los elementos y las coordenadas del centro a una elipse con centro fuera del origen y ejes paralelos a los ejes cartesianos a partir de su ecuación.

• Escribir las ecuaciones general y ordinaria de una elipse con centro fuera del origen y ejes paralelos a los ejes cartesianos.

HABILIDADES

• Determinar la ecuación ordinaria de una elipse y ejes paralelos a los ejes cartesianos a partir de sus elementos.

• Obtener los elementos de una elipse a partir de su ecuación.

• Explicar la influencia de los parámetros de la ecuación de la elipse en el comportamiento grafico de la misma.

• Desarrollar la ecuación general de la elipse a partir de la forma ordinaria de la misma.

• Transitar entre las formas ordinaria y general de la elipse. • Realizar ejercicios y resolver problemas que implican la

determinación o análisis de la ecuación de elipses.

ACTITUDES Y VALORES

• Participar activamente tanto en la realización de ejercicios como en la resolución de problemas en los que se pone en juego el uso de elipses.



[135]


[136]

Elipse

C (h, k)

Geometría Algebra

Elementos Ecuación

Propiedades


Su enfoque

desde la

Su enfoque

desde el

Con centro en

cualquier punto

Combinando desde

ambas vertientes sus

Visualizando la

relación de la

curva y sus

Con la construcción

de su

Aplicándolas en la

comprensión de

[145]


10.1 Ecuación de la elipse con centro fuera del origen: formas ordinarias Generalizaciones La elipse puede visualizarse desde la perspectiva de la geometría o de la geometría analítica. En el primer caso basta la congruencia o igualdad de las curvas de este tipo silos diámetros mayor y menor son los mismos. En tal situación, al desplazarlas y rotarias, obtenemos la coincidencia total entre ellas.

Sin embargo, la situación se modifica cuando el estudio se realiza desde la geometría analítica. Recordando que en este caso la curva se convierte en una serie de puntos o parejas ordenadas, es evidente que tal conjunto está relacionado también con la posición de la curva sobre el plano cartesiano. Por lo tanto, las ecuaciones también se modifican variando con la posición de la elipse en el plano cartesiano, ya que tales elementos algebraicos deben generar por fuerza el conjunto de puntos de la elipse que definen a la curva. Lo que ciertamente sigue siendo válido es la condición que define a la elipse en el ámbito de la geometría analítica: la suma de distancias desde los focos a cualquier punto de la elipse es una constante positiva (que ahora sabemos equivale a la longitud del eje mayor, 2a).

[146]

Forma ordinaria de la ecuacion de la Elipse con centro fuera del origen

Condición para cualquier punto P (x,y) de la elipse

|�1$| + |$�2|=2a

�� #�²�

�� #�²� � 2!

Tipo 2

Eje mayor paralelo a Y

�� #�²� ��

�� #�²� �� 2!

Tipo 1

Eje mayor paralelo a X

�� ²!² �� ²

"² � 1 �� ²

"² �� ²!² � 1

!² � "² #²

e = �^ �e : 1�

LR = ��²^

V1

(h –

a,k

) F

1 (h

– c

,k)

F2

(h +

c,k

) V

2 (h

+ a

,k)

h-a

h +

c

C(h,k)

h

k

Y

X

K + a K + c

K - c K - a

V2(h, k+a)

F2(h, k+c)

V1(h, k-a) F1(h, k-c)

C(h,k) k

P (x,y)

X

Y

h

Forma y ecuación Forma y ecuación

Propiedades Resuelve y simplifica


h-c

h+a

[147]

Ejemplo: Determinar los elementos y la ecuación de una elipse con centro en C(1, -2), si su eje mayor es paralelo al eje Y y las medidas de su eje mayor y eje focal son, respectivamente, 10 y 8 a = 5, c = 4 Elementos

Determina b²: % � A&

b² = a² - c² = 5² - 4² Si la conviertes en entera, expandes los = 9 binomios al cuadrado, reduces y ordenas términos, y la presentas en su forma gene- Pertenece al tipo 2 ral (ecuación general de segundo grado obtienes: ��?��²

� ��?��²�² � 125�² 9�² 50� 36� 164 � 0

10.2 Relación entre la grafica y los valores de h y k La forma de la ecuación de una elipse con centro en C(h, k) y eje mayor paralelo al eje X o Y se puede entender desde la construcción de la formas ordinarias de la ecuación. Sin embargo, el uso más dinámico de analizar es el movimiento de la elipse sobre el plano cartesiano, observando directamente desde la experiencia de sus puntos importantes, lo que puede funcionarnos mejor para comprender esta dinámica y la relación que guarda con el movimiento mismo. Por otra parte, tal análisis hace muy visibles aquellos elementos que dependen (cambian) de la posición de la elipse (bajo esta perspectiva), como son su ecuación y coordenadas de los puntos importantes y aquellos que permanecen inalterados (excentricidad, longitud del lado recto, dimensiones de los ejes mayor y menor). Independientemente de la forma de visualizar las relaciones de una elipse con las coordenadas de su centro, no olvidemos que en realidad cada elipse tiene una ecuación y es un lugar geométrico en sí y, por consiguiente, un conjunto de puntos dl plano cartesiano en relación biunívoca con el grafico y, desde luego, con la ecuación. Toma Nota… Una relación biunívoca se refiere a la relación que existe entre dos objetos matemáticos, en ambos sentidos punto con pareja ordenada y viceversa, también el grafico con el conjunto de parejas ordenadas

�� 1�²9 �� 2�²

25 � 1

Ecuación de la elipse (forma ordinaria)

�� 2�9�5 � 18

5

Y

X

1

1

[148]

Con la información del grafico determina la ecuación y los elementos de la elipse. Considera que la escala en la cuadricula es de uno en ambos ejes (el subíndice en focos y vértices indica la existencia de dos de ellos, y puedes escribirlos en el orden que prefieras). 1. a = b = c = C( , ) V1 ( , ) F1 ( , ) e =

V2 ( , ) F2 ( , ) LR =

Ecuación:

2. a = b = c = C( , ) V1 ( , ) F1 ( , ) e =

V2 ( , ) F2 ( , ) LR =

Ecuación:

3. a = b = c = C( , ) V1 ( , ) F1 ( , ) e =

V2 ( , ) F2 ( , ) LR =

Ecuación:

X

Y

X

Y

X

Y

4. a = b = c = C( , ) V1 ( , ) F1 ( , ) e =

V2 ( , ) F2 ( , )

Ecuación:

5. a = b = c = C( , ) V1 ( , ) F1 ( , ) e =

V2 ( , ) F2 ( , )

Ecuación:

Determina la ecuación de la elipse, su grafico y los elementos faltantes de acuerdo con la información que se te proporciona en cada caso (el subíndice en focos y vértices indica la existencia de dos de ellos). 6. a = b = c = C( 2, 1)

V1 (6, 1) F1 (2 + V2 ( , ) F2 ( , )

Ecuación:

[149]

a = b = c = C( , )

( , ) e =

( , ) LR =

a = b = c = C( , )

( , ) e =

( , ) LR =

Determina la ecuación de la elipse, su grafico y los elementos faltantes de acuerdo con la información que se te proporciona en cada caso (el subíndice en focos y vértices indica la existencia de dos de ellos).

b = c = C( 2, 1)

7,1) e =

( , ) LR =

Y

Y

Determina la ecuación de la elipse, su grafico y los elementos faltantes de acuerdo con la información que se te proporciona en cada caso (el subíndice en

Y

X

X

X

7. a = b = c = C( , )

V1 (0, 8) F1 (0, 4 +

V2 ( , ) F2 (0, 4 +

Ecuación:

8. a = b = c = C( , )

V1 ( , ) F1 (3,

V2 ( , ) F2 (3, -

Ecuación:

9. a = b = c = C( , ) V1 (5, 3 ) F1( , ) e = V2 (-7, 3) ) F2( ,

Ecuación:

[150]

a = b = c = C( , )

4 + 7) e =

(0, 4 + 7) LR =

C( , )

3

3 - 7) e = 2

3 - 7) LR =

a = b = c = C( , )

( , ) e =

) LR =3

a = b = c = C( , ) Y

Y

Y

X

X

X

10. a = b = c = C(

V1( , ) F1( , ) e = 3 paralelo a Y V2 (-7, 3) ) F2( , )

Ecuación:

10.3 Forma general de la ecuación de la elipse

La ecuación general es una forma de establecer un acercamiento al algebra. permite darnos cuenta que, desde esta óptica, la elipse se representaespecífica; la ecuación general con dos variables de segundo grado, ya que el desarrollo de cualquiera de las dos ecuaciones ordinarias o canonícas de la elipse conduce a esta forma algebraica

[151]

2 a = b = c = C( - 3 )

2 2 Eje mayor ( , ) e = 3 paralelo a Y

2

( , ) LR =3

10.3 Forma general de la ecuación de la elipse

ecuación general es una forma de establecer un acercamiento al algebra. permite darnos cuenta que, desde esta óptica, la elipse se representa con una ecuación específica; la ecuación general con dos variables de segundo grado, ya que el desarrollo de cualquiera de las dos ecuaciones ordinarias o canonícas de la elipse conduce a esta forma algebraica

Y

ecuación general es una forma de establecer un acercamiento al algebra. Tal forma con una ecuación

específica; la ecuación general con dos variables de segundo grado, ya que el desarrollo de cualquiera de las dos ecuaciones ordinarias o canonícas de la elipse

X

[152]

b² (x – h)² + a²(y – k)² - a²b² = 0 b² (x² - 2hx + h²) + a² (y² - 2ky + k²) – a²b² = 0 b²x² - 2b²hx + b²h² + a²y² - 2a² ky + a²k² - a²b² = 0 b²x² + a²y² + (-2b²h) x + (-2a²k) y + (b²h² + a²k² - a²b²) = 0 Forma general Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0 (ecuación de segundo grado) a² (x – h)² + b²(y – k)² - a²b² = 0 a² (x² - 2hx + h²) + b² (y² - 2ky + k²) – a²b² = 0 a²x² - 2a²hx + a²h² + b²y² - 2b² ky + b²k² - a²b² = 0 a²x² + b²y² + (-2a²h) x + (-2b²k) y + (a²h² + b²k² - a²b²) = 0

Por otra parte, los elementos de la elipse tan necesarios para construir un esbozo rápido de su grafico, o para el manejo de propiedades geométricas, son visibles en la forma ordinaria de su ecuación. Por ello es importante que puedas ir de una forma de la ecuación a la otra.

Transitar de la forma canoníca a la general es seguir prácticamente el proceso indicado en el esquema anterior; se trata solo de expandir cada binomio elevado al cuadrado que aparece en la ecuación para así reducir y ordenar algebraicamente los términos que resultan.

La transformación de la forma general a la ordinaria requiere nuevamente del proceso de completar el trinomio cuadrado perfecto que describimos en el bloque 6 y que hemos utilizando tanto en el caso de la ecuación de la circunferencia como en el de la parábola.

Elipses con centro en C(h,k) Tipo 1

Eje mayor paralelo a X

�� ²!² �� ²

"² � 1

Tipo 2 Eje mayor paralelo a Y

�� ²"² �� ²

!² � 1 For

mas

ord

inar

ias

de la

ecu

ació

n

[153]

Transforma las ecuaciones a las formas ordinarias, determina cada uno de los elementos solicitados y realiza el grafico de la elipse (el subíndice en focos y vértices indica que existen dos de ellos; puedes escribirnos en el orden que prefieras).

1. 9x² + 25y² -18x + 50y - 191 = 0 Y Forma ordinaria de la ecuación:

2. 169x² + 25y² + 50x - 4200y = 0 Y Forma ordinaria de la ecuación:

X

C( , )

a =

b =

c =

F1( , )

F2( , )

V1( , )

X

C( , )

a =

b =

c =

F1( , )

F2( , )

V1( , )

[154]

3. 25x² + 16y² -100x – 160y + 100 = 0 Y Forma ordinaria de la ecuación:

4. 25x² + 169y² - 200x + 338y – 3656 = 0 Y Forma ordinaria de la ecuación:

5. 4x² + 36y² - 4x - 216y + 289 = 0 Y Forma ordinaria de la ecuación:

X

C( , )

a =

b =

c =

F1( , )

F2( , )

V1( , )

X

C( , )

a =

b =

c =

F1( , )

F2( , )

V1( , )

X

C( , )

a =

b =

c =

F1( , )

F2( , )

V1( , )

[155]

Resuelve lo siguiente según corresponda

6. Los vértices de una elipse son los puntos (6, 1) y (-4, 1), y el eje menor está limitado por los puntos (1, -3) y (1, 5). Determina su ecuación.

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