guia de ejercicios unidad iimlaurentin/varios/... · · 2011-06-16g∗∗h ejercicio recopilado...

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

ANÁLISIS MATEMÁTICO II

Corregido por: Prof. AOUAD Jamil Prof. LAURENTÍN María Prof. MORENO Guillermo

UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA

UNIVERSIDAD DE CARABOBO FACULTAD DE INGENIERÍA

ESTUDIOS BÁSICOS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA


Elaborado por:Prof. AOUAD Jamil Prep

UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA � ��

1

Elaborado por: Prep. ACUÑA Gabriela


2

UNIVERSIDAD DE CARABOBO FACULTAD DE INGENIERÍA

ESTUDIOS BÁSICOS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA


GUÍA DE EJERCICIOS UNIDAD II

Corregido por: Elaborado por: Prof. AOUAD Jamil Prep. ACUÑA Gabriela Prof. LAURENTÍN María Prof. MORENO Guillermo

2011


3

1.1.1.1. NOTACIÓN SIGMANOTACIÓN SIGMANOTACIÓN SIGMANOTACIÓN SIGMA Es una notación que se usa para facilitar la escritura de la suma de muchos términos. Para representar al índice de la suma puede utilizarse cualquier otra letra j, k, l... A continuación se presentan algunos ejemplos de cálculo de sumatorias Ejemplo 1.1 Calcular la suma de las siguientes sumatorias: a. b. c. Ejemplo 1.2 Escriba la suma en notación sigma: a. b. Existen sumatorias cuya resolución es más compleja, es por ello que existen propiedades y fórmulas que nos permiten calcular su suma. A continuación se presentan algunas propiedades y fórmulas de la suma.

7 89 ,:9;<

Donde: =: límite superior de la suma >: límite inferior de la suma ?: índice de la suma 89: i-ésimo término de la suma 7 89 = 8< + 8<CD + ⋯ + 8:FD + 8: :9;<

7�2? + 2� = G2�1� + 2H + G2�2� + 2H + G2�3� + 2H = JKL?=1 7 1? + 3 = 15 + 3 + 16 + 3 + 17 + 3 + 18 + 3 = JQRJLRQSK9;T 7 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = KU?=1 G∗∗H

12 + 12�2� + 12�3� + ⋯ + 12�10� = 7 JXYJSY;J G∗∗∗H

ln�2� + ln�3� + ln�4� + ⋯ + ln�21� = 7 [\�Y + J�XSY;J ó bien 7 [\�Y�XJ

Y;X G∗∗∗H

> ≤ =

G∗∗H Ejercicio recopilado del libro PURCELL E., VARBERG D. & RIGDON S. �2001� G∗∗∗H Ejercicio recopilado del libro STEWART, James. �2008�.


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PROPIEDADESPROPIEDADESPROPIEDADESPROPIEDADES DE LA SUMATORIADE LA SUMATORIADE LA SUMATORIADE LA SUMATORIA:::: 1. Sea 89 el i-ésimo término de la suma. Entonces:

7 g:9;D 89 = g 7 89

:9;D

2. Sean 89 y h9 i-ésimos términos �diferentes entre sí� de la suma. Entonces: 7�89 ± h9�:9;D = 7 89

:9;D ± 7 h9

:9;D

3. Sea j < =, entonces: 7 89

:9;D = 7 89

l9;D + 7 89

:9;lCD

4. �Propiedad de la suma telescópica� 7G��?� − ��? − 1�H:9;< = ��=� − ��> − 1�

FÓRMULASFÓRMULASFÓRMULASFÓRMULAS DE LA SUMATORIADE LA SUMATORIADE LA SUMATORIADE LA SUMATORIA:::: 1. 7 g:

9;D = =g 2. 7 ?:

9;D = =�= + 1�2 3. 7 ?o:

9;D = =�= + 1��2= + 1�6

4. 7 ?p:9;D = =o�= + 1�o4

5. 7 ?q:9;D = =�= + 1��6=p + 9=o + = − 1�30

En el ejemplo 1.3 se muestra la resolución de diversas sumatorias donde se aplican varias fórmulas y propiedades de la suma.


5

Ejemplo 1.3 Calcular la suma: a. Solución a: Se resuelve el producto notable y se aplica la propiedad dos �2� de la sumatoria vista anteriormente, 7 ?q + 2?o + 1Ttt9;D = 7 ?qTtt

9;D + 2 7 ?oTtt9;D + 7 1Ttt

9;D Es necesaria la aplicación de las siguientes fórmulas para la resolución

7 ?qTtt9;D = =�= + 1��6=p + 9=o + = − 1�30 , �fórmula 5 de la sumatoria�

Se sustituyen los valores correspondientes, de manera que: 7 ?qTtt9;D = 500�501�G6�500�p + 9�500�o + 499H30 = 6,2813. 10Do

De igual manera, 7 ?oTtt9;D = =�= + 1��2= + 1�6 , �fórmula 3 de la sumatoria�

7 ?oTtt9;D = 500�501��1001�6 = 83583500

Además, 7 g:9;D = =g, �fórmula 1 de la sumatoria�

Se aplica entonces esta fórmula, 7 1Ttt9;D = 500

Entonces, 7 ?q + 2?o + 1Ttt9;D = 6,2813. 10Do + 2�83583500� + 500

7�?o + 1�oTtt9;D


6

Finalmente, 7�YX + J�X =uSSY;J Q, XKJU. JSJX

b. Solución b: Se aplica la primera propiedad de la suma, de manera que: 7�?p − 4�vpt9;T = v w7 ?p −pt

9;T 7 4pt9;T x

Ahora bien, para poder aplicar las fórmulas de la suma es necesario que estas comiencen en uno �1�, para lo cual se realiza la siguiente operación: 7 ?ppt9;D = 7 ?pq

9;D + 7 ?ppt9;T , �Propiedad 3 de la sumatoria�

Como lo que se quiere es la suma de ? = 5 hasta ? = 30, entonces: 7 ?ppt9;T = 7 ?ppt

9;D − 7 ?pq9;D

De igual manera, 7 4pt9;T = 7 4pt

9;D − 7 4q9;D

Por lo tanto, v w7 ?p −pt

9;T 7 4pt9;T x = v yw7 ?ppt

9;D − 7 ?pq9;D x − w7 4pt

9;D − 7 4q9;D xz

Se aplican las fórmulas correspondientes �fórmulas 1 y 4 de la sumatoria� y se sustituyen, v w7 ?p −pt

9;T 7 4pt9;T x = v {�30�2�30 + 1�24 − �4�2�4 + 1�24 − 4�30� + 4�4�|

Finalmente, 7�YL − U�}LSY;u = XJQSXJ}

7�?p − 4�vpt9;T


7

Otra alternativa: Para lograr que la suma comience en uno �1� se realiza el siguiente cambio de variable:

j = ? − 4 Entonces, si ? = 5 ⟹ j = 1 �límite inferior de la suma� si ? = 30 ⟹ j = 26 �límite superior de la suma� Se sustituye en la suma,

7�?p − 4�vpt9;T = v 7G�j + 4�p − 4H o�

l;D Entonces,

v 7G�j + 4�p − 4H o�l;D = v 7�jp + 12jo + 48j + 60� o�

l;D Se aplican las propiedades y fórmulas correspondientes, de manera que:

v 7G�j + 4�p − 4H o�l;D = v �{�26�o�26 + 1�o4 | + 12 {26�26 + 1��2�26� + 1�6 | + 48 �26�26 + 1�2 � + 60�26��

Como era de esperarse el resultado es el mismo. Esta alternativa de resolución de sumas mediante cambio de variable es recomendada para cuando se tienen sumatorias donde el límite inferior es negativo.

} 7G�� + U�L − UH XU�;J = XJQSXJ}


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1. Calcular la suma de las siguientes sumatorias

a.

b.

c.

d.

e.

2. Encuentre el número n tal que a. b. 3. Si se sabe que , determinar el valor de:

4. Si se sabe que , determinar el valor de “Z”

Ejercicios propuestosEjercicios propuestosEjercicios propuestosEjercicios propuestos 7 7?=o − 1

:9;D

7 ?�? + 3�o�t9;Fo

7 �√2? + 1 − √2? − 1�Ttt9;DD

7 jj + 2�

l;Fq

7 109CD − 109:9;D

7 2?o=�= + 1� = 305:9;D 7 ?:

9;D = 78

7 jo = 380Dtl;p y además 7 jDt

l;q = 49 7�j − 1�oDtl;D

7G?�? + 3� + �Hpt9;D = 10940


9

2.2.2.2. PARTICIÓN:PARTICIÓN:PARTICIÓN:PARTICIÓN: se llama partición del intervalo G8, hH, al conjunto que cumpla con las siguientes condiciones: i. Conjunto finito, �t = 8 y �: = h ii. Conjunto ordenado, �t < �D < �o < ⋯ < �:FD < �: Es así como, � = ��t, �D, �o, … , �9FD, �9 , … , �:FD, �:�

… …

Figura 1.1. Partición del intervalo G8, hH 2.1.2.1.2.1.2.1. LONGITUD DEL SUBINTERVALO LONGITUD DEL SUBINTERVALO LONGITUD DEL SUBINTERVALO LONGITUD DEL SUBINTERVALO �∆�Y�: : : : es la distancia que existe entre los extremos de un subintervalo. Siendo un subintervalo del intervalo G8, hH: G�t, �DH ; G�D, �oH ; … G�9FD, �9H ; … G�:FD, �:H Entonces, las longitudes de los subintervalos serán: ∆�D = �D − �t ∆�o = �o − �D . . . ∆�9 = �9 − �9FD . . . ∆�: = �: − �:FD Cuando las longitudes de los subintervalos son diferentes se dice que la partición es irregular, esto es: �t = 8 �D = 8 + ∆�D �o = 8 + ∆�D + ∆�o . . . �: = 8 + ∆�D + ∆�o + ⋯ + ∆�: Tal y como se muestra en la figura 1.1

�:FD �: = h �9 �9FD �o �D �t = 8


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Sin embargo, h − 8 = ∆�D B ∆�o B ⋯ B ∆�9FD B ∆�9 B ∆�:FD B ∆�:

Por otra parte, cuando las longitudes de los subintervalos son iguales se dice que la partición es regular, esto es: ∆�D A ∆�o A ⋯ A ∆�9FD A ∆�9 A ⋯ A ∆�:FD A ∆�: A ∆� A h m 8=

Siendo “n” el número de subintervalos de la partición: Entonces,

�t A 8 �D A 8 B ∆�

�o A 8 B 2∆� . . . �: A 8 B =∆� 2.2.2.2.2.2.2.2. DIÁMETRO O NORMA DE UNA PARTICIÓN DIÁMETRO O NORMA DE UNA PARTICIÓN DIÁMETRO O NORMA DE UNA PARTICIÓN DIÁMETRO O NORMA DE UNA PARTICIÓN ‖�‖: : : : es la máxima longitud de un intervalo para una partición dada. Es decir, ‖�‖ A >á��∆�9�

2.3.2.3.2.3.2.3. AFINOAFINOAFINOAFINO DE UNA PARTICIÓN: DE UNA PARTICIÓN: DE UNA PARTICIÓN: DE UNA PARTICIÓN: es una partición que se forma al agregar nuevos elementos a una partición ya establecida. Se dice entonces que �D es afino de � si: � ⊂ �D

Figura 2.1. Representación de un afino de P


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Ejemplo 2.1 Para cada uno de los siguientes conjuntos determinar: a. Cuáles son particiones del intervalo G−2,8H b. Si se trata de una partición regular o irregular c. Norma de la partición d. Existencia de un afino de la partición �D = �−2,0, −3,6,8�; �o = �−2,0,2,4,6,8�; �p = �4,5,7,8�; �q = �−2, −1,5,7,8�; �T = �−2,0,1,2,3,4,6,8� ; �� = �−2, −1,0, 12 , 1,2,3, 72 , 4,6,8�

Solución a: �D no es partición deG−2,8H debido a que el conjunto no está ordenado en forma creciente. �p no es partición deG−2,8H debido a que el primer termino no corresponde con el extremo inferior del intervalo. �o, �q �T y �� son particiones de G−2,8H debido a que se cumple que, el primer y último elemento de cada partición corresponden con los extremos del intervalo y están ordenados de forma creciente. Solución b: SeaSeaSeaSea �X = �−X, S, X, U, Q, K� ∆�D = 0 − �−2� = 2 ∆�o = 2 − 0 = 2 ∆�p = 4 − 2 = 2 ∆�q = 6 − 4 = 2 Debido a que, ∆�D = ∆�o = ∆�p = ∆�q Entonces, �o es una partición regular SeaSeaSeaSea �U = ��−X, −J, u, �, K�� ∆�D = −1 − �−2� = 1 ∆�o = 5 − �−1� = 4 ∆�p = 7 − 5 = 2


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∆�q = 8 − 7 = 1 Debido a que, ∆�D = ∆�q ≠ ∆�o ≠ ∆�p Entonces, �q es una partición irregular SeaSeaSeaSea �u = ��−X, S, J, X, L, U, Q, K�� ∆�D = 0 − �−2� = 2 ∆�o = 1 − 0 = 1 ∆�p = 2 − 1 = 1 ∆�q = 3 − 2 = 1 ∆�T = 4 − 3 = 1 ∆�� = 6 − 4 = 2 ∆�� = 8 − 6 = 2 �T es una partición irregular SeaSeaSeaSea �Q = ��−X, −J, S, JX , J, X, L, �X , U, Q, K��

∆�D = −1 − �−2� = 1 ∆�o = 0 − �−1� = 1 ∆�p = 12 − 0 = 12 ∆�q = 1 − 12 = 12 ∆�T = 2 − 1 = 1 ∆�� = 3 − 2 = 1 ∆�� = 72 − 3 = 12 ∆�� = 4 − 72 = 12 ∆�� = 6 − 4 = 2 ∆�Dt = 8 − 6 = 2 �� es una partición irregular

Basta con que una de las longitudes del subintervalo difiera de las demás para concluir que la partición es irregular.


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Solución c: ‖�o‖ A >á��∆�9� A 2 ‖�q‖ A >á��∆�9� A 4 ‖�T‖ A >á��∆�9� A 2 ‖��‖ A >á��∆�9� A 2

Solución d: Si se observan las particiones,

�o A �m2,0,2,4,6,8�; �T A �m2,0,1,2,3,4,6,8� ; �� A �m2, m1,0, 12 , 1,2,3, 72 , 4,6,8� Se encuentra que de �o derivan �T y �� por lo tanto estas particiones son afinos de �o. En la figura 2.2 se observa la inclusión de los nuevos elementos a la partición �o lo que genera a �T, se dice entonces que �o está incluido en �T.

Figura 2.2. Representación del afino P5

De igual manera en la figura 2.3 se observa que se incluyen nuevos elementos a la partición �T lo que genera a ��, y por lo tanto se dice que �T está incluido en ��.

Figura 2.3. Representación del afino P6

Entonces �o ⊂ �T ⊂ ��

3.3.3.3. SUMA DE RIEMANN SUMA DE RIEMANN SUMA DE RIEMANN SUMA DE RIEMANN

La suma de Riemann representa geométricamente la aproximación del área de la región encerrada entre el eje x, la curva A �� positiva en G8, hH, tal como se observa en la figura 3.1negativos, positivos y ceros la suma de Riemann representa la diferencia de las áreas por encima y por debajo del eje x, como se observa en las figura 3.2. A continuación se resuelven algunos ejemplos de sumas

�9FD ≤ ¡9

7 ��¡9�:9;D

Sea � continua en �� ¢ 0 para toda el i-ésimo subintervalo está denotado por G�9FD¡9 es un valor tal que:

Por lo tanto, la suma e Riemann viene dada por:


SUMA DE RIEMANN SUMA DE RIEMANN SUMA DE RIEMANN SUMA DE RIEMANN

Figura 3.1. Suma de Riemann� toma valores positivos

Figura 3.2. Suma de Riemann� toma valores positivos y negativos La suma de Riemann representa geométricamente la aproximación del área de la región encerrada �� y las rectas � = 8 y � = h, siempre y cuando se trate de una función , tal como se observa en la figura 3.1. En los casos donde la función toma valores negativos, positivos y ceros la suma de Riemann representa la diferencia de las áreas por encima y por debajo del eje x, como se observa en las figura 3.2. A continuación se resuelven algunos ejemplos de sumas de Riemann

≤ �9

� �∆�9

continua en G8, hH, con para toda � en G8, hH. Si ésimo subintervalo está G D, �9H entonces, es un valor tal que:

tanto, la suma e Riemann


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.1. Suma de Riemann donde toma valores positivos

. Suma de Riemann donde toma valores positivos y negativos La suma de Riemann representa geométricamente la aproximación del área de la región encerrada , siempre y cuando se trate de una función . En los casos donde la función toma valores negativos, positivos y ceros la suma de Riemann representa la diferencia de las áreas por encima y

de Riemann

Ejemplo 3.1: Calcular la suma de Riemann para definida por � A �m10, m8, m Solución: La función a la cual se le calculará la suma de Riemann es una parábola, lgráfica de la misma, así como también ¡9 A �9; como es de observarse, el hecho de que función será evaluada en los extremos superiores de cada subintervalo obteniéndose rectángulos tanto como por encima como por debajo de la función.


Calcular la suma de Riemann para �� A �o B � B 1, cuya partición del intervalo m6, m2, m1, 1, 3, 5 � si ¡9 A �9

La función a la cual se le calculará la suma de Riemann es una parábola, láfica de la misma, así como también la representación de la suma de Riemann para cuando

; como es de observarse, el hecho de que ¡9 cumpla con esta condición significa que la función será evaluada en los extremos superiores de cada subintervalo obteniéndose rectángulos tanto como por encima como por debajo de la función.

Figura 3.1.a. Suma de Riemann


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, cuya partición del intervalo Gm10, 5H está

La función a la cual se le calculará la suma de Riemann es una parábola, la figura 3.1.a muestra la la representación de la suma de Riemann para cuando

cumpla con esta condición significa que la función será evaluada en los extremos superiores de cada subintervalo obteniéndose rectángulos


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Para la resolución del ejercicio es de mucha ayuda realizar una tabla semejante a la tabla 3.1, donde se presenta la longitud de cada subintervalo y el valor de la función evaluado en cada ¡9. Tabla 3.1. Resolución del ejemplo 3.1 Y �YFJ �Y ∆�Y £�¤Y� 1 -10 -8 2 57 2 -8 -6 2 31 3 -6 -2 4 3 4 -2 -1 1 1 5 -1 1 2 3 6 1 3 2 13 7 3 5 2 31 La columna ?, indica el número de subintervalos de la partición, la columna �9FD representa los extremos inferiores de cada subintervalo y la columna �9 , representa a los extremos superiores de cada subintervalo de la partición. Esta tabla organiza la información necesaria para el cálculo de la suma de Riemann, de manera de que solo se sustituyen los datos encontrados en ella en la definición de suma de Riemann. Los punto rojos en la figura 3.1.a representan los valores de ¤Y evaluados en la función, así como la altura de cada rectángulo en cada subintervalo de la partición. De acuerdo a la partición asignada la definición de la suma de Riemann queda como:

¥¦ = 7 ��¡9�∆�9�

9;D

¥¦ = ��¡D�∆�D + ��¡o�∆�o + ��¡p�∆�p + ��¡q�∆�q + ��¡T�∆�T + ��¡��∆�� + ��¡��∆�� Se sustituyen los datos necesarios de la tabla 3.1

¥¦ = 57�2� + 31�2� + 3�4� + 1�1� + 3�2� + 13�2� + 31�2� Entonces,

¥¦D = XKL Es posible cambiar el punto de evaluación de la función, es decir de ¡9, de manera que la suma de Riemann se verá afectada por dicha elección cambiando su valor final. Para verificar lo mencionado


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anteriormente se calcularan dos sumas de Riemann para la misma función pero con ¡9 A �9FD y ¡9 A §¨C§¨©ªo repitiendo el mismo procedimiento. Se le agregan varias columnas más a la tabla 3.1 las cuales nos permitirán conocer las imágenes de la función cuando se evalúan los diferentes ¡9 Tabla 3.1.2. Resolución del ejemplo 3.1 con nuevos ¤Y Y �YFJ = ¤X �Y = ¤J ∆�Y ¤L;�YC�Y©J X⁄ £�¤J� £�¤X� £�¤L� 1 -10 -8 2 -9 57 91 73 2 -8 -6 2 -7 31 57 43 3 -6 -2 4 -4 3 31 13 4 -2 -1 1 −3 2⁄ 1 3 7 4⁄ 5 -1 1 2 0 3 1 1 6 1 3 2 2 13 3 7 7 3 5 2 4 31 13 21 Se sustituyen los valores correspondes en las igualdades siguientes, de manera que: ¬�X con con con con ¤Y = �YFJ

¥¦ = 7 ��¡9�∆�9�

9;D ¥¦ = 91�2� + 57�2� + 31�4� + 3�1� + 1�2� + 3�2� + 13�2�

¥¦ = Uu� ¬�L con con con con ¥¦ = 7 ��¡9�∆�9

�9;D

¥¦ = 73�2� + 43�2� + 13�4� + 74 �1� + 1�2� + 7�2� + 21�2�

¥¦ = JL�uU En las figuras 3.1.b y 3.1.c se observan como varía la suma de Riemann de acuerdo a la escogencia del ¡9 para una misma función.

¤Y = �Y + �YFJX


Figura 3.1.b. Suma de Riemann ¡9 A �9FD

Figura 3.1.c. Suma de Riemann ¤Y A �Y B �YFJ X⁄


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Ejemplo 3.2: Dada la función �� = |�determinar la suma de Riemann si Solución: Se define la función como: �

La figura 3.2 muestra la representación gráfica de la suma de Riemann para puntos rojos corresponden al valor de esos


|�o − 1| y perteneciente al intervalo determinar la suma de Riemann si ¡9 A �9FD B Do

�� A ��o m 11 m �o ® sisi §¯FD°t§¯FD±t ; entonces

�� A ²�o m 11 m �o ® sisi § ∈ �F´,®FDH®∪GD,®®C´�§ ∈ �FD,D�

Figura 3.2. Suma de Riemann ¤Y = �YFJ + JX La figura 3.2 muestra la representación gráfica de la suma de Riemann para puntos rojos corresponden al valor de esos ¡9 evaluados en la función

� = �−1, m 12 , 12 , 32 , 2�


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y perteneciente al intervalo G−1, 2H,

La figura 3.2 muestra la representación gráfica de la suma de Riemann para ¡9 = �9FD + Do y los


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Nuevamente se realiza una tabla para recopilar toda la información necesaria para la resolución del ejercicio. Tabla 3.2. Resolución del ejemplo 3.2 Y �YFJ �Y ∆�Y ¤Y = �YFJ + J X⁄ £�¤Y� 1 -1 −1 2⁄ 1 2⁄ −1 2⁄ 3 4⁄ 2 −1 2⁄ 1 2⁄ 1 0 1 3 1 2⁄ 3 2⁄ 1 1 0 4 3 2⁄ 2 1 2⁄ 2 3 Se sustituyen los valores correspondientes en la igualdad siguiente: Finalmente,

¥¦ = XLK Ejemplo 3.3: Sea � la función definida por: y sea una partición del intervalo G−1, 3H. Determinar la suma de Riemann, tomando un punto ¡9 tal que: a. ¡9 = ? − 2 b. ¡9 = �9FD + ∆§¨q Solución: Para la resolución del ejercicio se construye la gráfica de la función y la tabla de datos que contienen a los elementos de la partición, la longitud del subintervalo, los distintos ¡9 donde será evaluada la función y las imágenes de la función

¥¦ = 7 ��¡9�∆�9q

9;D = ��¡D�∆�D + ��¡o�∆�o + ��¡p�∆�p + ��¡q�∆�q

¥¦ = 34 ¶12· + 1�1� + 0�1� + 3 ¶12·

�� = �4 − �o2� + 1® sisi § ¸ D§ ¹ D � = �−1, − 12 , 14 , 54 , 83 , 3�


Figura 3.3.a. Suma de Riemann º9 A ? m 2

Figura 3.3.b. Suma de Riemann º9 A �9FD B ∆§¨q


21


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Tabla 3.2. Resolución del ejercicio 3.3 Y �YFJ �Y ∆�Y ¤Y = Y − X ¤Y = �YFJ + ∆�YU £J�¤Y� £X�¤Y� 1 -1 − 1 2⁄ 1 2⁄ -1 − 7 8⁄ 3 207 64⁄ 2 − 1 2⁄ 1 4⁄ 3 4⁄ 0 − 1 4⁄ 4 63 16⁄ 3 1 4⁄ 5 4⁄ 1 1 3 4⁄ 3 55 16⁄ 4 5 4⁄ 8 3⁄ 17 12⁄ 2 13 8⁄ 5 87 64⁄ 5 8 3⁄ 3 1 3⁄ 3 11 4⁄ 7 13 2⁄ Se sustituyen los valores correspondientes, tal y como se ha hecho en los ejercicios anteriores a. RP con º9 = ? − 2

¥¦ = 3 ¶12· + 4 ¶34· + 3�1� + 5 ¶1712· + 7 ¶13· b. ¥¦ con º9 = �9FD + ∆§¨q ¥¦ = 20764 ¶12· + 6316 ¶34· + 5516 �1� + 8764 ¶1712· + 132 ¶13·

¥¦ = 7 ��º9�∆�9T

9;D = ��ºD�∆�D + ��ºo�∆�o + ��ºp�∆�p + ��ºq�∆�q + ��ºT�∆�T

¥¦ = XSLJX

¥¦ = RXRL�QK

4.4.4.4. SUMA SUPERIOR Y SUMA INFERIORSUMA SUPERIOR Y SUMA INFERIORSUMA SUPERIOR Y SUMA INFERIORSUMA SUPERIOR Y SUMA INFERIOR

Figura 4.1. Suma superior

Las sumas superior e inferior son sumas de Riemann que cumplen con ciertas condiciones. En la suma superior existe un máximo dentro de cada subintervalo, este máximo delimita la altura de los rectángulos de cada subintervalo y por lo tanto de la suma de Riemann; mientras que el cálculo de la suma inferior corresponde a la aproximación por defecto de esta, ya que existe un mínimo dentro de cada subintervalo de la partición que delimita la altura de los rectángulos de cada subintervalo.

� A ¼�t, �D, … , �9FD,�9 , … �:½��, �� A 7 >9∆�9

:9;D

>9 A ��<9�

Sea � una función definida en G8, hH y � una paritición del intervalo.

Siendo >9 el mínimo absoluto de � en G�9FD, �es decir,


SUMA SUPERIOR Y SUMA INFERIORSUMA SUPERIOR Y SUMA INFERIORSUMA SUPERIOR Y SUMA INFERIORSUMA SUPERIOR Y SUMA INFERIOR

�Figura 4.2. Suma inferior� Las sumas superior e inferior son sumas de Riemann que cumplen con ciertas condiciones. En la suma superior existe un máximo dentro de cada subintervalo, este máximo delimita la altura de los rectángulos de cada subintervalo y por lo tanto su cálculo corresponde a la aproximación por exceso de la suma de Riemann; mientras que el cálculo de la suma inferior corresponde a la aproximación por defecto de esta, ya que existe un mínimo dentro de cada subintervalo de la partición que ltura de los rectángulos de cada subintervalo.

� =¾

Sea �en G8,del intervalo.

Siendo absoluto de es decir,

:¿ una función definida una paritición

el mínimo �9H,


23

Las sumas superior e inferior son sumas de Riemann que cumplen con ciertas condiciones. En la suma superior existe un máximo dentro de cada subintervalo, este máximo delimita la altura de los su cálculo corresponde a la aproximación por exceso de la suma de Riemann; mientras que el cálculo de la suma inferior corresponde a la aproximación por defecto de esta, ya que existe un mínimo dentro de cada subintervalo de la partición que

¼�t, �D, … , �9FD,�9 , … �:¿

¾��, �� A 7 À9∆�9:

9;D

À9 A ��Á9�

� una función definida G , hH y � una paritición del intervalo.

Siendo À9 el máximo absoluto de � en G�9FD, �9H, es decir,

A continuación se resuelven algunos ejemplos de suma superior e inferior. Ejemplo 4.1: Calcular la suma superior e inferior para está definida por � A �m10, Solución: Inicialmente es recomendable realizacríticos de la misma. En la figura 4.1.a se observa la gráfica de la función y la representación de la suma superior, los máximos absolutos de cada subintervalo, antes de llegar al vértice, corresponden a los extremos inferiores de cada subintervalovértice, corresponden a los extremos superiores de cada subintervalo.


A continuación se resuelven algunos ejemplos de suma superior e inferior.

Calcular la suma superior e inferior para �� A �o B � B 1, cuya partición del intervalo m8, m6, m2, m1, 1, 3, 5 �

Inicialmente es recomendable realizar la gráfica de la función para visualizar mejor los puntos En la figura 4.1.a se observa la gráfica de la función y la representación de la

imos absolutos de cada subintervalo, antes de llegar al vértice, corresponden a los extremos inferiores de cada subintervalo, y los puntos máximos de cada subintervalovértice, corresponden a los extremos superiores de cada subintervalo.

Figura 4.1.a. Suma superior


24

A continuación se resuelven algunos ejemplos de suma superior e inferior.

, cuya partición del intervalo Gm10, 5H

la gráfica de la función para visualizar mejor los puntos En la figura 4.1.a se observa la gráfica de la función y la representación de la

imos absolutos de cada subintervalo, antes de llegar al vértice, corresponden os máximos de cada subintervalo luego del

En la figura 4.1.b se observa la representación de la suma inferior, en este caso los mínimos absolutos de cada subintervalo, antes de llevar al vértice, corresponden a los extremos superiores de cada subintervalo y, luego del vértice, los mínimos correscada subintervalo. Entre el subintervalo corresponde al mínimo absoluto de ese subintervalo, pero si se observa la partición ese punto no está incluido como elemente de lapunto mínimo del subintervalo �

Se realiza una tabla semejante a la construida en los ejercicios de suma de Riemann, solo que con información referente a los puntos donde la función toma valores máximos�ÂY y mínimos �ÃY en cada subintervalo, así como la evaluación de estos puntos en la función ÂY y ÃY.


En la figura 4.1.b se observa la representación de la suma inferior, en este caso los mínimos absolutos de cada subintervalo, antes de llevar al vértice, corresponden a los extremos superiores de cada subintervalo y, luego del vértice, los mínimos corresponden a los extremos inferiores de cada subintervalo. Entre el subintervalo Gm1,1H se encuentra el vértice de la parábola que corresponde al mínimo absoluto de ese subintervalo, pero si se observa la partición ese punto no está incluido como elemente de la partición, sin embargo debe tomarse en cuenta como punto mínimo del subintervalo ��ÃY� y evaluarse en la función.

Figura 4.1.b. Suma inferior Se realiza una tabla semejante a la construida en los ejercicios de suma de Riemann, solo que con información referente a los puntos donde la función toma valores máximosen cada subintervalo, así como la evaluación de estos puntos en la función


25

En la figura 4.1.b se observa la representación de la suma inferior, en este caso los mínimos absolutos de cada subintervalo, antes de llevar al vértice, corresponden a los extremos superiores ponden a los extremos inferiores de se encuentra el vértice de la parábola que corresponde al mínimo absoluto de ese subintervalo, pero si se observa la partición ese punto no partición, sin embargo debe tomarse en cuenta como único

Se realiza una tabla semejante a la construida en los ejercicios de suma de Riemann, solo que con información referente a los puntos donde la función toma valores máximos en cada subintervalo, así como la evaluación de estos puntos en la función


26

Tabla 4.1 Resolución del ejercicio 4.1 Y �YFJ �Y ∆�Y �ÂY �ÃY ÂY ÃY 1 -10 -8 2 -10 -8 91 57 2 -8 -6 2 -8 -6 57 31 3 -6 -2 4 -6 -2 31 3 4 -2 -1 1 -2 -1 3 1 5 -1 1 2 1 − 1 2⁄ 3 3 4⁄ 6 1 3 2 3 1 13 3 7 3 5 2 5 3 31 13 La igualdad para el cálculo de la suma superior es la siguiente: ¾��, �� = 7 À9∆�9 = ÀD∆�D + Ào∆�o + Àp∆�p + Àq∆�q + ÀT∆�T + À�∆��

�9;D + +À�∆��

Se sustituyen los valores correspondientes, ¾��, �� = 91�2� + 57�2� + 31�4� + 3�1� + 3�2� + 13�2� + 31�2� = uJ�

La igualdad para el cálculo de la suma inferior viene dada por: ½��, �� = 7 >9∆�9 = >D∆�D + >o∆�o + >p∆�p + >q∆�q + >T∆�T + >�∆��

�9;D + >�∆��

Se sustituyen los valores correspondientes, ½��, �� = 57�2� + 31�2� + 3�4� + 1�1� + 34 �2� + 3�2� + 13�2� = UUuX

Como es de apreciarse la función a la cual se le cálculo la suma superior e inferior es la misma función del ejemplo 3.1, esto nos permitirá comparar estas sumas con la suma de Riemann por lo tanto al observar los valores de las sumas y las figuras correspondientes se concluye que ½��, �� < ¥¦��, �� < ¾��, ��

Ejemplo 4.2: Solución: Las figuras 4.2.a y 4.2.b representan la sumrecomendable realizar la grafica de la función para ubicarse en la definición de las sumas y observar los máximos y los mínimos de la misma.

Sea ��= Ä�o + 3 7� B 5 ® sisisi �m2�Intervalo G−5, 4H determinar la suma superior


Las figuras 4.2.a y 4.2.b representan la suma superior e inferior de la función dada. Es recomendable realizar la grafica de la función para ubicarse en la definición de las sumas y observar los máximos y los mínimos de la misma.

Figura 4.2.a Suma superior

� ≤ −2< � < 2� ¢ 2 y sea P A ²-5, - 72 , -2, - 12 , 1, 52 , 4Å

determinar la suma superior G¾��, ��H e inferior G½��, ��H


27

a superior e inferior de la función dada. Es recomendable realizar la grafica de la función para ubicarse en la definición de las sumas y observar

Å una partición del

�H

Se realizan igualmente una tabla Tabla 4.2. Resolución del ejercicio 4Y �YFJ 1 -5 2 -3,5 3 -2 4 -0,5 5 1 6 2,5


Figura 4.2.b Suma inferior Se realizan igualmente una tabla de apoyo en la resolución del ejercicio, semejante a la tabla 4.1.

4.2. Resolución del ejercicio 4.2 �Y ∆�Y �ÂY �ÃY

-3,5 1,5 -5 -3,5 -2 1,5 -3,5 -2 -0,5 1,5 -2 -0,5 1 1,5 -0,5 -1 2,5 1,5 2,5 2 4 1,5 4 2,5


28

apoyo en la resolución del ejercicio, semejante a la tabla 4.1.

ÂY ÃY 28 15,25 15,25 7 7 7 7 7 7,5 7 9 7,5


29

Se sustituyen los valores correspondientes en las igualdades: = 28�1,5� + 15,25�1,5� + 7�1,5� + 7�1,5� + 7,5�1,5� + 9�1,5� = 110,625110,625110,625110,625 = 15,25�1,5� + 4�7��1,5� + 7,5�1,5� = 76,12576,12576,12576,125 Ejemplo 4.3: Si �� = |�p − 2�|, calcular la suma superior e inferior si se tiene una partición � = ²−2, 0, Do , 1, 2, 3Å perteneciente al intervalo G−2, 3H Solución: Se define la función: |�p − 2�| = ��p − 2�2� − �p ® sisi §ÆFo§ ° t§ÆFo§ ±t Se realiza el estudio del comportamiento de la función mediante los métodos aprendidos en la cátedra de análisis matemático I, para obtener:

|�p − 2�| = ��p − 2�2� − �p ® sisi § ∈ ÇF√o,tÈ∪Ç√o,®® C´�§ ∈ �F´,F√o�∪�t,√o� Los puntos rojos de las figuras 4.3.a y 4.3.b corresponden a los valores mínimos y máximos de la función en cada subintervalo.

¾��, �� = 7 À9∆�9 = ÀD∆�D + Ào∆�o + Àp∆�p + Àq∆�q + ÀT∆�T + À�∆��

9;D

½��, �� = 7 >9∆�9 = >D∆�D + >o∆�o + >p∆�p + >q∆�q + >T∆�T + >�∆��

9;D


Figura 4.3.a Suma superior

Figura 4.3.b Suma inferior


30


31

Tabla 4.3. Resolución del ejercicio 4.3 Y �YFJ �Y ∆�Y �ÂY �ÃY ÂY ÃY 1 −2 0 2 −2 −√2 4 0 2 0 1 2⁄ 1 2⁄ 1 2⁄ 0 7 8⁄ 0 3 1 2⁄ 1 1 2⁄ É2 3⁄ 1 2⁄ �4√6� 9⁄ 7 8⁄ 4 1 2 1 2 √2 4 0 5 2 3 1 3 2 21 4 Se vacía la información de la tabla 4.3 en las igualdades correspondientes y se calculan las sumas

¾��, �� = 7 À9∆�9 = ÀD∆�D + Ào∆�o + Àp∆�p + Àq∆�q + ÀT∆�TT

9;D ¾��, �� = 4�2� + 78 ¶12 · + 4√69 ¶12 · + 4�1� + 21�1� = LL, RKJK

½��, �� = 7 >9∆�9 = >D∆�D + >o∆�o + >p∆�p + >q∆�q + >T∆�TT

9;D ½��, �� = 0�2� + 0 ¶12 · + 78 ¶12 · + 0�1� + 4�1� = �JJQ


32

1. Sea �� A |3�o B 4| y la partición � A ²m2, 0, 1, qp , 3, �o , 4Å , del intervalo G−2, 4H determinar: a. El diámetro de la partición b. La suma de Riemann, tomando en cada subintervalo un punto º9 = §¨©ªC p§¨q 2. Sea Ê la función definida por: Ê�� = ²2 − |� − 5|−2� − 1 ® si si § ° o§ ± o ; y sea � = �−1, 0, 1, 3, 4, 6� una

partición de G−1, 6H. Determinar: a. La suma de Riemann para ¡9 = �9 b. La suma de las áreas de los rectángulos inscritos c. La suma de las áreas de los rectángulos circunscritos 3. Sea � la función definida como: �� = � 9 − �o�o + 7 ® sisi ɬ ¸ D§ ° D y sea � = ²−2, −1, − Do , po , 2Å una

partición de G−2, 2H. Calcular empleando una aproximación a través de ¾��, �� 4. Sea �� = 3 − |3 − �| y � = ²0, Do , �o , 4, 6Å una partición del intervalo G0, 6H. Determinar a. La suma de Riemann empleando ¡9 = p§¨o b. La suma inferior c. Si a la partición anterior se le agregar los elementos To y 3 calcular la suma inferior para la nueva partición y comparar los resultados obtenidos en �b� y �c�

Ejercicios Ejercicios Ejercicios Ejercicios PropuestosPropuestosPropuestosPropuestos

Ì ��oFo


33

5.5.5.5. DEFINICIÓN DE DEFINICIÓN DE DEFINICIÓN DE DEFINICIÓN DE INTEGRAL DEFINIDA INTEGRAL DEFINIDA INTEGRAL DEFINIDA INTEGRAL DEFINIDA Teorema de integrabilidad.Teorema de integrabilidad.Teorema de integrabilidad.Teorema de integrabilidad. Si � es acotada en G8, hH y si es continua, excepto en un número finito de puntos, entonces � es integrable en G8, hH. En particular, si � es continua en todo el intervalo G8, hH, integrable en dicho intervalo. Para facilitar el cálculo y la comprensión de algunas integrales definidas se presentan a continuación las propiedades y teoremas de la integral definida. Propiedades de la integraPropiedades de la integraPropiedades de la integraPropiedades de la integral definida l definida l definida l definida 1. Si � se define en � A 8, entonces:

Ì �� A 0

2. Si � es integrable en G8, hH, entonces: Ì �� = − Ì ��

� 3. Si � es integrable en G8, hH y C es número real, entonces:

Ì g�� = g Ì ��

�

Ì �� = lim‖¦‖⟶t 7 ��¡9�∆�9:

9;D�

�

Ì �� = lim:⟶´ 7 ��¡9�∆�9:

9;D�

� ; 8 ≤ h

Sea � una función continua e integrable en el intervalo G8, hH y �9FD ≤ ¡9 ≤ �9sea entonces:

Al disminuir la norma de la partición a su vez aumenta el número de subintervalos de manera que:

Por lo tanto, la integral definida no es más que el valor exacto de la diferencia de las áreas

4. Sean � y Ê integrables en

5. Si � es integrable en G8,

Ì ��

�A Ì ��

l

�B Ì

l

6. Sean � y Ê integrables en Ì �� ¢ Ì Ê��

� 7. Sea � integrable y no negativa


integrables en G8, hH, entonces:

ÌG�� i Ê��H��

�A Ì ��

�

�i Ì Ê��

�

�

G , hH y j ∈ ¥, entonces:

Ì ��

l

Figura 5.a. Representación gráfica de propiedad 5 integrables en G8, hH y �� ¢ Ê��, entonces:

� ��

Figura 5.b. Representación gráfica de propiedadintegrable y no negativa en G8, hH, entonces:

Ì ��

�¢ 0


34

Figura 5.a. Representación gráfica de propiedad 5

. Representación gráfica de propiedad 6

8. Si � es integrable en G8,para todo � en G8, hH, siendo los valores máximo y mínimo de la funciónrespectivamente, entonces:

>�h m 8� ] Ì ��

�

A continuación algunos ejemplos como la resolución de las mismas por definición. Ejemplo 5.1: Sea � una función continua en sabe que: ; Solución: La figura 4.1.a muestra la aplicación de la propiedad aditiva de intervalos. La región denotada con el color más claro representa lo que se le sustrajo al intervalo representa el valor de la integral definida a calcular

Ì �� = 9T

Fo

Ì �� A Ì ��T

Fo

T

pm Ì �

p

Fo

Ì �� A 9 m 12 A m3T

p


G , hH y > ] �� ] À H, siendo À y >

los valores máximo y mínimo de la función , entonces:

� ] À�h m 8�

Figura 5.c. Representación gráfica de propiedad A continuación algunos ejemplos en donde se aplican las propiedades de la integral definida así como la resolución de las mismas por definición.

una función continua en Gm2, 5H, determinar el valor de la integral en el intervalo

;

La figura 4.1.a muestra la aplicación de la propiedad aditiva de intervalos. La región denotada con el color más claro representa lo que se le sustrajo al intervalo Gm2, 5H mientras que la región oscura representa el valor de la integral definida a calcular

Figura 5.1.a

Ì �� A 4Tt

Ì ��


35

. Representación gráfica de propiedad 8 aplican las propiedades de la integral definida así

, determinar el valor de la integral en el intervalo G0,3H si se

La figura 4.1.a muestra la aplicación de la propiedad aditiva de intervalos. La región denotada con el mientras que la región oscura

Ì �� A 12pFo


36

De igual manera en la figura 4.1.b la región denotada con el color más claro representa lo que se le sustrajo al intervalo G0, 5H mientras que la región oscura representa el valor de la integral definida a calcular. Por lo tanto:

Figura 5.1.b Finalmente, Ejemplo 5.2: A partir de la definición de integral definida determinar el valor de las siguientes integrales con ¡9 A �9 a. b. c. siendo Solución a: Se divide el intervalo en n subintervalos de igual longitud

∆� A h m 8= Por lo tanto,

∆�D A ∆�o A ∆�p A ⋯ A ∆�9 A ∆� Se necesita un ¡9 el cual como lo dice el enunciado es �9 que se obtiene: �D A �t B ∆� �o A �t B 2∆� �p A �t B 3∆� . . .

Ì ��Tt

A Ì �� B Ì ��Tp

pt

Ì �� A Ì ��Tt

m Ì ��Tp

pt

Ì �� A 4 m �m3�pt

A 7

Ì £��Î� A �LS

�� A Ä m5 B 3�2�2 m 3��o m 9� ® sisisi § ± DD ¸ § ¸ q§ ¹ q Ì ��T

FD Ì|� B 3|��t

FT Ì�8 m �p��p

FD


37

�9 A �t B ?∆� entonces, Se sustituyen los valores correspondientes en la definición de integral definida Ì�8 − �p��p

FD = lim:⟶C´ 7 ��¡9�∆�9:

9;D

lim:⟶C´ 7 {8 − ¶4?= − 1·p| ¶4=·:9;D

lim:⟶C´ 7 {8 − Ï64?p=p − 48?o=o + 12?= − 1Ð| ¶4=·:9;D

Simplificando y agrupando términos semejantes lim:⟶C´ 7 Ï36= − 48?=o + 192?o=p − 256?p=q Ð:

9;D lim:⟶C´ w1= 7 36:

9;D − 48=o 7 ?:9;D + 192=p 7 ?o:

9;D − 256=q 7 ?p:9;D x

Se aplican las formulas que se encuentran en el apéndice A lim:⟶C´ Ï36== − 48=�= + 1�2=o + 192=�= + 1��2= + 1�6=p − 256=o�= + 1�o4=q Ð

Se hacen las simplificaciones correspondientes para evaluar los límites para finalmente obtener el valor de la integral definida Ñ = JX

∆� = 3 − �−1�= = 4=

�9 = −1 + 4?=


38

Solución b: Si se sabe que: |� B 3| A ² � B 3m� m 3® sisi §Cp ° t§Cp± t

Entonces, |� B 3| A ² � B 3m� m 3® sisi § ° Fp§± p

Por lo tanto, Ì|� B 3|��t

FT A Ì m�� B 3��FpFT B Ì�� B 3��t

Fp A Ì�� B 3��tFp m Ì �� B 3��Fp

FT Ò A ÒD m Òo

La integral definida queda dividida en dos integrales por lo tanto, se resolverá cada una por separado, entonces para la primera integral se tiene: �9 A m3 B 3?=

ÒD A lim:⟶C´ 7 �¶m3 B 3?= · B 3� ¶3=·:9;D

ÒD A lim:⟶C´ 7 9?=o:

9;D ÒD A lim:⟶C´ 9=o 7 ?:

9;D ÒD A lim:⟶C´ 9=�= B 1�2=o

Por lo tanto, ÑJ A RX

Para la segunda integral definida se tiene: �9 A m5 B 5?=

Òo A lim:⟶C´ 7 �¶m5 B 2?= · B 3� ¶2=·:9;D


39

Òo A lim:⟶C´ 7 ¶4?=o m 4=·:9;D

Òo A lim:⟶C´ w 4=o 7 ?:9;D m 1= 7 4:

9;D x Òo A lim:⟶C´ ¶4=�= B 1�2=o m 4== ·

Òo A lim:⟶C´2�= B 1�= m lim:⟶C´ 4

ÑX A mX Se suma algebraicamente Ò A 92 m �m2�

Finalmente, Ñ A JLX Solución c: Como se trata de una función definida por intervalos se tiene:

Ì ��TFD A Ì�3� m 5��

D

FDB Ì 2�2 m 3��q

D B Ì��o m 9��Tq

Ò A ÒD B Òo B Òp Primera integral:

�9 A m1 B 2?= ÒD A lim:⟶C´ 7 �3 ¶m1 B 2?= · m 5� ¶2=·:

9;D ÒD A lim:⟶C´ 7 ¶m16= B 12?=o ·:

9;D ÒD A lim:⟶C´ 12=o 7 ?:

9;D m 1= 7 16:9;D


40

ÒD A lim:⟶C´12=�= B 1�2=o m 16==

ÑJ A mJS Segunda integral:

�9 A 1 B 3?= Òo A lim:⟶C´ 7 2 �2 m 3 ¶1 B 3?= ·� ¶3=·:

9;D Òo A lim:⟶C´ 7 ¶m6= m 54?=o ·:

9;D Òo = lim:⟶C´ 54=o 7 ?:

9;D − 1= 7 6:9;D

Òo = lim:⟶C´ − 54=�= + 1�2=o − 6== ÑX = −LL

Tercera integral: �9 = 4 + ?=

Òp = lim:⟶C´ 7 {¶4 + ?=·o − 9 ¶4 + ?=·| ¶1=·:9;D

Òp = lim:⟶C´ 7 Ï?o=o − ?= − 20Ð:9;D ¶1=·

Òp = lim:⟶C´ 1=p 7 ?o:9;D − 1=o 7 ?:

9;D − 1= 7 20:9;D

Òp = lim:⟶C´ =�= + 1��2= + 1�6=p − =�= + 1�2=o − 20== ÑL = − JXJQ

Sumando, Ò = −10 − 33 − 1216


41

Finalmente, Ñ A m L�RQ

Ejemplo 5.3: Determinar el valor de empleando la definición con �9 = §¨©ªC§¨o Si se sabe que: ∆� = 2= Además, �9 = 2?=

�9FD = 2�? − 1�= Entonces, ¡9 = 2? − 1= Por definición:

lim:⟶C´ 7 ��¡9�∆�:9;D

lim:⟶C´ 7 Ó4 Ô2? − 1= Õo − 8 Ô2? − 1= Õ − 52 Ô2? − 1= Õ − 5 Ö ¶2=·:9;D

lim:⟶C´ Ó2= ×7 16?o − 16? + 4=o − 16? − 8= − 54? − 2= − 5:

9;D ØÖ

lim:⟶C´ Ó2= ×7 16?o − 16? + 4 − 16?= + 8= − 5=o=o4? − 2 − 5==:

9;D ØÖ lim:⟶C´ y2= w7 16?o − 16?�1 + =� + 4�1 + 2=� − 5=o=�4? − 2 − 5=�:

9;D xz Se factoriza el numerador

Ì 4�o − 8� − 52� − 5 ��ot


42

lim:⟶C´ y 2=o w7 �4? B = m 2��4? m 5= m 2��4? m 2 m 5=�:

9;Dxz

Se hacen las simplificaciones correspondientes lim:⟶C´ y 2=o w7 4? B = m 2:

9;D xz lim:⟶C´ w 8=o 7 ?:

9;D B 2= 7 1:9;D m 2=o 7 2:

9;D x lim:⟶C´

8=�= B 1�2=o B 2== m 4==o Ejemplo 5.4 �PROPIEDAD DE ACOTACIÓN�:�PROPIEDAD DE ACOTACIÓN�:�PROPIEDAD DE ACOTACIÓN�:�PROPIEDAD DE ACOTACIÓN�: Utilice la propiedad de acotación para verificar la siguiente desigualdad: Solución: Para la aplicación de la propiedad de acotación se necesita buscar los extremos absolutos de la función por lo tanto: �� = �D oÙ4 ¶1 + �oq·FD = �D oÙ4 Ô1 + �D oÙ ÕFD �᾿�� = 14 �12 �FD oÙ Ô1 + �D oÙ ÕFD + �D oÙ �−1� 12 �FD oÙ Ô1 + �D oÙ ÕFo� �᾿�� = 14 Û 12√� Ô1 + �D oÙ Õ − 12 Ô1 + �D oÙ ÕoÜ �᾿�� = 18√� Ô1 + �D oÙ Õo Se evalúa la función en los extremos del intervalo: ��4� = 16 = > ��16� = 15 = À

Ñ = Q

2 ≤ Ì √�4�1 + √�oÝ � �� ≤ 125D�q


43

>�h m 8� ≤ Ì ��

≤ À�h m 8� 16 �16 m 4� ≤ Ì √�4�1 B √�oÝ � ��D�

q≤ 15 �16 m 4�

Ejemplo 5.5 �PROPIEDAD DE ACOTACIÓN�:�PROPIEDAD DE ACOTACIÓN�:�PROPIEDAD DE ACOTACIÓN�:�PROPIEDAD DE ACOTACIÓN�: Determinar a partir de la propiedad de acotación un intervalo cerrado al pertenezca el valor de la integral si Solución: Como ya se ha visto en los ejemplos anteriores, cuando se tiene una función definida por intervalos la integral total será dividida de acuerdo al número de intervalos donde ella esté definida, es por ello:

Ì ℎ��oFD A Ì�3 m �o��D

FD B ÌG2 m �� m 1�oH��oD

Entonces, para la primera integral se tiene:

ÒD A Ì�3 m �o��DFD

ℎ᾿�� A m2� � A 0

Evaluando la función en el punto crítico y en los extremos del intervalo: ℎ�0� A 3

ℎ�m1� A ℎ�1� A 2

X ≤ Ì √�U�J B √�XU � Î�JQU

≤ JXu

ℎ�� A � 3 m �o2 m �� m 1�o ® ß9ß9 FD¸ § ¸DD± § ±o Ì ℎ��oFD

Se realiza el mismo procedimiento para la segunda integral

Una vez estudiada las funciones en cada uno de los intervalos correspondientes se escoge el mínimo y el máximo absoluto de la función

Sustituyendo,

Existen otros tipos de ejercicios donde propiedades de la misma Ejemplo 5.6: Determinar el área de la figura anexa empleando la definición: Ecuación de la recta: � m o� A >�� m �o� > A à m hℎ A �à m h��ℎ B h


Se realiza el mismo procedimiento para la segunda integral ÌG2 m �� m 1�oH��

o

D

Þ᾿�� A m2�� m 1� � A 1

Þ�2� A 1 Þ�1� A 2

Una vez estudiada las funciones en cada uno de los intervalos correspondientes se escoge el mínimo y el máximo absoluto de la función ℎ�� > A 1 À A 3

>�h m 8� ] Ì ��

�] À�h m 8�

1G2 m �m1�H ] Ì Þ��o

FD] 3G2 m �m1�H

Existen otros tipos de ejercicios donde se aplica la definición de integral definida y algunas

Determinar el área de la figura anexa empleando la definición:

L ≤ Ì á��Î�XFJ

≤ R


44

Una vez estudiada las funciones en cada uno de los intervalos correspondientes se escoge el mínimo

la definición de integral definida y algunas


45

Integral por definición: ∆� = ℎ= �9 = ℎ?=

lim:⟶C´ 7 {�à − h�ℎ ¶ℎ?= · + h| ¶ℎ=·:9;D

lim:⟶C´ àℎ=o 7 ?:9;D + hℎ= w7 1 − 1= 7 ?:

9;D:

9;D x lim:⟶C´ àℎ=�= + 1�2=o + hℎ= ¶= − =�= + 1�2= · lim:⟶C´ àℎ=�= + 1�2=o + lim:⟶C´ hℎ= ¶�= − 1�2 ·

Ò = àℎ2 + hℎ2

Ñ = �âCã�áX

1. Sean � y Ê dos funciones continuas en

2. Aplicando la propiedad de acotación para integrales que contenga el valor de : a. b. c. 3. Sea � una función cuya gráfica se muestra en la figura 3.1. Verificar las igualdades siguientes:

Ejercicios PropuestosEjercicios PropuestosEjercicios PropuestosEjercicios PropuestosÌ ��Dt A 2

Ì ä§ÆFp§��tFo

Ì �p

FD


dos funciones continuas en G0, 2H, calcular : si se sabe que:

Aplicando la propiedad de acotación para integrales definidas, determinar un intervalo cerrado que contenga el valor de :

b. c.

una función cuya gráfica se muestra en la figura 3.1. Verificar las igualdades siguientes:

Figura 3.1

Ejercicios PropuestosEjercicios PropuestosEjercicios PropuestosEjercicios Propuestos m Ì ��o

t B ÌD2, Ì ��o

DA 3, Ì Ê�� A m1t

D,

Ì 4�p B 5� B 8 �� Ì ℎ��qFq

ℎ�� A Ä7�o2�

8. Ì �� A�t

h. Ì ��pt B Ì �� AT

p

å. Ì ��o A

�ä�


46

, calcular : si se sabe que:

definidas, determinar un intervalo cerrado

una función cuya gráfica se muestra en la figura 3.1. Verificar las igualdades siguientes:

Ì Ê��oD

Ì Ê�� A 4o

t

o B 2� B 1o m � m 2m4 ® ½?½?½? � k m3m3 ] � ] 0� æ 0

�. Ì |��| �� ATt

ä. çÌ �� Tt ç A

�. Ì ��oo A


47

4. Obtener mediante la definición de integral definida los valores de las siguientes integrales, expresar el resultado con 4 cifras significativas a. b. c. 5. Calcular el área de las figuras 4.1 y 4.2 mediante la definición de integral definida

Ì 4� m �o m 3� m 1 ��p oÙF�

�� A Ä|3 m �| 2 �o B 1® ½?½?½? � < 1� A 1� > 1

Ì ��TFp

Ì|�o B 6� m 3|��oFo


Figura 4.1

Figura 4.2


48


49

6.6.6.6. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO �PARTE I�TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO �PARTE I�TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO �PARTE I�TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO �PARTE I� A continuación algunos ejemplos donde se aplica el teorema fundamental del cálculo �parte I� Ejemplo 6.1: Sabiendo que: siendo è′�� A ℎ��. Determinar la función ℎ�� Solución: èê�� A ℎ�� A ��º Ì 1√º�4º B 4√º B 5�

§¯

D�º

è′�� A 1√�o�4�o B 4√�o B 5� �2��

ë�� A Ì ��º��º§�

ë ᾿�� A ��

�� A ��º Ì ��º��º§�

Sea � continua en el intervalo cerrado G8, hH. Si ë está definida por:

Siendo � un punto entre 8 y h, entonces ë es una antiderivada de �

Además, si se sabe:

Por lo tanto:

è�� A Ì 1√º�4º B 4√º B 5�§¯

D�º

á�� A XU�X B U√�X B u


50

Ejemplo 6.2: Sea si . . Determinar el valor de �′′�ì� Solución:

�ê�� A Ê�� A ��º Ì Ê�º�§D

�º �′�� A Ê��

�′′�� A Ê′�� ′′�� A Ê′�� A ��í Ì É1 B í3

½ä=��

�í Se aplica la propiedad aditiva respecto al intervalo,

Ê′�� A Ì É1 B í3½ä=��

��í A Ì É1 B í3å

��í B Ì É1 B í3

½ä=��å

�í Donde z es una constante, å ∈ ¥ Se invierten los límites de integración, de manera que:

Ê′�� A m Ì É1 B í3�å

�í B Ì É1 B í3½ä=��

å�í

Finalmente se aplica el teorema fundamental del cálculo, Ê′�� A m ÔÉ1 B �3Õ B îÉ1 B �½ä=��3ï �cos ��

Entonces, �êê�� A îÉ1 B �½ä=��3ï �cos �� m ÔÉ1 B �3Õ �êê�ì� A îÉ1 B �½ä=ì�3ï �cos ì� m ÔÉ1 B ì3Õ

Ê�� A Ì É1 B ípßð:�§�§ �í �� A Ì Ê�º�§

D �º

£êê�ñ� A mJ m ÉJ B ñL


51

Ejemplo 6.3: Sean H, F y G funciones tales que: y óê�� A èê�0� B 4ëê��. Determinar la expresión de ó��, si se sabe que la curva de la función H pasa por el punto �0, 2�. Solución: Se ordena la integral aplicando algunas de las propiedades de la integral definida, siguiendo el procedimiento del ejemplo 6.2.

è�� A Ì Éºo B 1�§¯

�º B Ì Éºo B 1p§�

�º è�� A m Ì Éºo B 1§¯

��º B Ì Éºo B 1p§

��º

Aplicando el teorema fundamental del cálculo èê�� A m ÔÉ��o�o B 1Õ �2�� B ÔÉ�3��o B 1Õ �3�

Evaluando en � A 0 èê�0� A m îÉ�0�q B 1ï G2�0�H B ²ÉG3�0�Ho B 1Å �3�

Se obtiene, ôê�S� A L

Se realiza el mismo procedimiento para ë�� ë�� A Ì õ1 B √ºo

√§�º A m Ì õ1 B √º√§

o �º öê�� A m ÷øJ B õ√�ù ¶ JX√�·

è�� A Ì Éºo B 1p§§¯ �º ë�� A Ì õ1 B √ºo

√§ �º


52

Se sustituyen los términos correspondientes en la ecuación óê�� A èê�0� B 4ëê��

óê�� A 3 m 4 ÷ø1 B õ√�ù ¶ 12√�· Ordenando,

óê�� A 3 m 2�m1 2⁄ �1 B �1 4⁄ �1 2⁄ Si se sabe que,

�� ó�� A 3 m 2�m1 2⁄ �1 B �1 4⁄ �1 2⁄ Integrando,

Ì �ó�� A Ì î3 m 2�m1 2⁄ �1 B �1 4⁄ �1 2⁄ ï �� Se aplica algunas propiedades de la integral indefinida:

ó�� B g A Ì î3 m 2�m1 2⁄ �1 B �1 4⁄ �1 2⁄ ï �� Entonces,

ó�� B g A 3 Ì �� m 2 Ì �FD o⁄ �1 B �D q⁄ �D o⁄ �� ó�� B gp A 3ÒD m 2Òo

Resolviendo la integral ÒD ÒD A Ì ��

ÑJ A � B úJ Resolviendo la integral Òo

Òo A Ì �FD o⁄ �1 B �D q⁄ �D o⁄ ��


53

Realizando el siguiente cambio de variable 1 B �D q⁄ A ¡o �¡o m 1�q A �

8�¡o m 1�p¡�¡ A �� Se sustituye,

Òo A ÌG�¡o m 1�qHFD o⁄ �¡o�D o⁄ 8�¡o m 1�p¡�¡ Òo A Ì 8¡o �¡o m 1��¡

Òo A 8 �Ì ¡q �¡ m Ì ¡o �¡� Entonces,

Òo A 8 {¡T5 m ¡p3 | B go

Devolviendo el cambio de variable: ÑX A K Óî�J B �J U⁄ �J X⁄ ïu

u m î�J B �J U⁄ �J X⁄ ïLL Ö B úX

Sustituyendo en ó��, ó�� B gp A 3�� B gD� m 2 Ä8 y�1 B �D q⁄ �T o⁄

5 m �1 B �D q⁄ �p o⁄3 z B goû

ó�� B gp A 3�� B gD� m 2 Ä8 y�1 B �D q⁄ �T o⁄5 m �1 B �D q⁄ �p o⁄

3 z B goû ó�� B gp A 3� B 3gD m 165 �1 B �D q⁄ �T o⁄ B 163 �1 B �D q⁄ �p o⁄ m 2go

Se agrupan las constantes, de manera que:

g A 3gD m 2go m gp


54

Entonces, ó�� A 3� m 165 �1 B �D q⁄ �T o⁄ B 163 �1 B �D q⁄ �p o⁄ B g

Para hallar el valor de la constante C se evalúa la función en el punto: 2 A 3�0� m 165 Ç1 B �0�D q⁄ ÈT o⁄ B 163 Ç1 B �0�D q⁄ Èp o⁄ B g 2 A 3�0� m 165 Ç1 B �0�D q⁄ ÈT o⁄ B 163 Ç1 B �0�D q⁄ Èp o⁄ B g

Por lo tanto, ú A m XJu Finalmente,

ü�� A L� m JQu �J B �J U⁄ �u X⁄ B JQL �J B �J U⁄ �L X⁄ m XJu


55

7.7.7.7. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO �PARTE II�TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO �PARTE II�TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO �PARTE II�TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO �PARTE II� Ejemplo 7.1 Se resolverán las integrales del ejemplo 4.2 aplicando el teorema fundamental de cálculo a. b. c. siendo Solución a: Ò A Ì�8 m �p��p

FD Ò A ®{8� m �q4 |çFD

p A {8�3� m �3�q4 | m {8�m1� m �m1�q4 | Solución b: |� B 3| A ² � B 3m� m 3® sisi � ¢ m3� < m3

Ì|� B 3|��tFT A m Ì �� B 3��Fp

FT B Ì�� B 3��tFp

Ò A ÒD B Òo

Ì �� A ®è��|�� A è�h� m è�8�

Sea � continua e integrable en G8, hH, y sea è cualquier antiderivada de � en G8, hH. Entonces:

�� A Ä m5 B 3�2�2 m 3��o m 9� ® sisisi § ± DD ¸ § ¸ q§ ¹ q Ì ��TFD Ì|� B 3|��t

FT Ì�8 m �p��pFD

Ñ A JX


56

Primera integral:

ÒD A m Ì �� B 3��FpFT

ÒD A m ®{�o2 B 3�|çFTFp A m {�m3�o2 B 3�m3�| B {�m5�o2 B 3�m5�|

ÑJ A X Segunda integral: Òo A Ì�� B 3��0

m3

Òo A ®{�o2 B 3�|çFpt A {�0�o2 B 3�0�| m {�m3�o2 B 3�m3�|

ÑX A RX Sumando,

Ò� A 2 B 92 Entonces, Solución c:

Ò A Ì ��T

FDA Ì�3� m 5��

D

FDB Ì 2�2 m 3��q

D B Ì��o m 9��Tq

Ò A ÒD B Òo B Òp Primera integral:

Ñã A JLX


57

ÒD A Ì�3� m 5��D

FD

ÒD A ®{3�o2 m 5�|çFDD A {3�1�o2 m 5�1�| m {3�m1�o2 m 5�m1�|

ÑJ A mJS Segunda integral:

Òo A Ì 2�2 m 3��qD

Òo A 2 ®{2� m 3�o2 |çDq A 2 {2�4� m 3�4�o2 | m 2 {2�1� m 3�1�o2 |

ÑX A mLL Tercera integral:

Òp A Ì��o m 9��Tq

Òp A ®{�p3 m 9�o2 |çqT A {�5�p3 m 9�5�o2 | m {�4�p3 m 9�4�o2 |

ÑL A m JXJQ Sumando algebraicamente,

Ò A m10 m 33 m 1216 Entonces,

Ñ A m L�RQ

8.8.8.8. TEOREMA DEL VALOR MEDIOTEOREMA DEL VALOR MEDIOTEOREMA DEL VALOR MEDIOTEOREMA DEL VALOR MEDIO

Figura 6.1. Representación geométrica Del teorema del valor medio Ejemplo 8.1: Si � es una función definida por �̅ ∈ Gm1, 2H tal que Se verifica la continuidad de la función en i. ��0� A 0 ii. lim§⟶þ�� A 0 iii. lim§⟶þ©�� B 2� A

No se cumplen las condiciones de continuidad de la función en aplicar el teorema del valor medio y por consiguiente no es posible asegurar la existencia de un Ejemplo 8.2: Sea �� A �o B 6� m 2. Determinar el valor promedio de satisfacen

��̅� A �


TEOREMA DEL VALOR MEDIOTEOREMA DEL VALOR MEDIOTEOREMA DEL VALOR MEDIOTEOREMA DEL VALOR MEDIO

Para poder aplicar el teorema del valor medio es necesario que la función sea Figura 6.1. Representación geométrica Del teorema del valor medio

es una función definida por �� A ² � ½? � ¢ 0 � B 2 ½? � k 0® , entonces se puede asegurar que existe un

Se verifica la continuidad de la función en � A 0

� A 2 No se cumplen las condiciones de continuidad de la función en � A 0 por lo tanto, no es posible aplicar el teorema del valor medio y por consiguiente no es posible asegurar la existencia de un

. Determinar el valor promedio de � en Gm2,5H y el o los valores de

Ì ��

A �

Sea � continua en G8al menos un número �̅

� ��oFD 3


58

ara poder aplicar el teorema del valor medio que la función sea continua en G8, hH

, entonces se puede asegurar que existe un

por lo tanto, no es posible aplicar el teorema del valor medio y por consiguiente no es posible asegurar la existencia de un �̅

H y el o los valores de �̅ que lo

��̅��h m 8�

G , hH, entonces existe �̅ entre 8 y h tal que:


59

Solución: La función es continua en el intervalo ya que se trata de una función polinómica donde su dominio son todos los números reales. ��̅� A 1�h m 8� Ì ��

�

��̅� A 1G5 m �m2�H Ì��o B 6� m 2��TFo

��̅� A 17 Ò

Se aplica el teorema fundamental del cálculo para obtener el valor de la integral: Ò A Ì��o B 6� m 2��T

Fo

Ò A ÌG�� B 3�o m 11H��T

Fo

Ò A Ì�� B 3�o��T

Fom 11 Ì ��T

Fo

Ò A ®�� B 3�p3 çFo

T m 11®�|FoT Ò A �5 B 3�p

3 m �m2 B 3�p3 m 11�5� B 11�m2�

Ñ A XKSL Entonces,

��̅� A 17 ¶2803 · El valor promedio de la función será, Se calcula el o los valores promedios como: �̅o + 6�̅ − 2 = 403

£�� = USL


60

��̅ B 3�o m 11 A 403 ��̅ B 3�o A 733

�̅ A ± ø733 m 3 Entonces,

�̅D A ø733 m 3 ≅ J, RLXR

�̅o A mø733 m 3 ≅ m�, RLXR El valor de �̅ que satisface el teorema del valor medio es �̅D ya que es el que pertenece al intervalo Gm2, 5H Ejemplo 8.3: Para el intervalo dado Gm1, 4H, calcular el valor promedio de �� y los valores de � donde la función alcanza su valor promedio

�� A ² �o m 1 ½? � ≤ 1 2� m 2 ½? � > 1® Solución: Se verifica la continuidad de la función en � A 1 i. ��1� A 0 ii. lim§⟶D��2� m 2� A 0 iii. limD⟶D©��o m 1� A 0 La función es continua en el intervalo por lo tanto es aplicable el teorema del valor medio para integrales

��̅� A 1�h m 8� Ì ��

��̅� A 1G4 m �m1�H Ì ��q

FD

Ì ��qFD

A Ì��o m 1 ��DFD

B Ì�2� m 2��qD


61

Aplicando el teorema fundamental del cálculo Ì ��q

FDA ®Ï�p

3 m �ÐçFDD B ®��o m 2��|Dq

Ì ��qFD

A ¶13 m 1· m ��m1�3 m �m1�� B G�4�o m 2�4�H m G�1�o m 2�1�H Ì ��o

FDA XLL

��̅� A 1G4 m �m1�H ¶233 · Entonces, el valor medio de la función: Para el intervalo G−1, 1H

�̅o − 1 = 2315

�̅ = ±ø3815

�̅D = ø3815 =≅ 1,5916

�̅o = −ø3815 =≅ −1,5916 En este intervalo no existen valores de �̅ que satisfagan el teorema de valor medio Para el intervalo G1, 4H

2� − 2 = 2315 Por lo tanto el valor de �̅ que satisface el teorema es 1,7667

£�� A XLJu

�� A uLLS ≅ J, �QQ�


62

9.9.9.9. TEOREMA DE CAMBIO DE VARIABLE Y TEOREMA DE INTEGRACIÓN POR TEOREMA DE CAMBIO DE VARIABLE Y TEOREMA DE INTEGRACIÓN POR TEOREMA DE CAMBIO DE VARIABLE Y TEOREMA DE INTEGRACIÓN POR TEOREMA DE CAMBIO DE VARIABLE Y TEOREMA DE INTEGRACIÓN POR PARTESPARTESPARTESPARTES PARA INTEGRALES DEFINIDASPARA INTEGRALES DEFINIDASPARA INTEGRALES DEFINIDASPARA INTEGRALES DEFINIDAS::::

Ejemplo 9.1: Calcular las siguientes integrales aplicando los teoremas correspondientes:

a. b. Solución a:

Ò A Ì É1 m √�Æ√� ��q

DA Ì �FD o⁄ �1 m �D o⁄ �D p⁄ ��q

D

Se realiza el siguiente cambio de variable 1 m �D o⁄ A ºp � A �1 m ºp�o

�� A m6ºo�1 m ºp��º Si Si Si Si � A J

º A Ô1 m ዺD o⁄ ÕD p⁄

º A 0 Si Si Si Si � A U º A m1

Sustituyendo, Ò A Ì �1 m ºp�FDºFD

t�m6ºo��1 m ºp��º

Ò A m Ì�1 m ºp�FDºt

FD�m6ºo��1 m ºp��º

Ò A 6 Ì ºpt

FD�º

Ò A 6 ®ºq4 çFD

t

Ì �=�5�o B 5� ��D

t Ì É1 m √�ÝÆ

√� ��q

D


63

Ò A 6 ¶14· Solución b:

Ò A Ì �=�5�o B 5� ��D

t

Se escogen las variables correspondientes para realizar la integración por partes: í A �=�5�o B 5� �í A 10�5�o B 5 ��

�� A �� A � B g

Se sustituye, Ò A ®� �=�5�o B 5�|tD m Ì �

D

t¶ 10�5�o B 5· ��

Ò A ®� �=�5�o B 5�|tD m 2 Ì �o�o B 1D

t��

Ò A ®� �=�5�o B 5�|tD m 2 ÷Ì ��Dt

m Ì 1�o B 1 ��Dt

ù Se encuentra la primitiva de la integral

Ò A ®� �=�5�o B 5�|tD m 2�®�|tD m ®8�åºÊ��|tD� Se aplica el teorema fundamental del cálculo, para la resolución

Ò� A �=�10� m 2 î�1� m ì4ï Entonces,

Ñ A LX

Ñã A J, K�LU


64

1. Utilizar el teorema fundamental del calculo para determinar el valor exacto de las siguientes integrales: a. b. c. d. 2. Calcular el valor de la integral en Gm2, 0H si se sabe que:

Ì �� A ℎ�3�tFo

cuando Ì ℎ�� A Ì ºo�º§¯

√oÆ

3. Si se sabe que: a.

b.

Calcular :

4. Determinar el valor medio de las siguientes integrales, así como los valores que satisfacen dicha

condición: a. b.

5. Utilizar el teorema de cambio de variable y el teorema de integración por partes para integrales definidas para resolver las siguientes integrales:

a. b. c. d. 6. Calcular la altura del rectángulo que tiene por base la longitud del intervalo G2,4H y área igual al valor de la integral:

Ì Ê��Fo

Ê�� A �|8 m �o|2� B 2 ® sisi � ≤ 4� > 4

Ejercicios PropuestosEjercicios PropuestosEjercicios PropuestosEjercicios Propuestos

Ì Étan�� B 1å�½o�� pÙ

t �� Ì ��√3 B 2� m �o

oD

Ì äp §Ù m �p7§¯�o ��

FD oÙ

FDÌ 4�o

�1 m 8�p�qq

D ��

Ì ��D

� �� A Ê᾿�0� siendo Ê�� A Ì�5º m 1��º§

o

Ì ��

q �� A Ì 1

�º m 1�o pÙ �ºp

t

Ì ��q

D ��

Ì �� , T

FT�� A 56 �� B 5�

4�o m 16� B 1714 m 3�® ½?½?½? � < 11 ≤ � ≤ 3� > 3 Ì ln�4�o B 4� �� D

t

Ì √�4�1 B √�oÝ � ��D�D Ì ln ¶ � B 32� m 5· ��Fq

F� Ì � B 2ä§ �� oFo

Ì É�p m 12�Æ �� qt


65

BBBBBBBBIIIIIIIIBBBBBBBBLLLLLLLLIIIIIIIIOOOOOOOOGGGGGGGGRRRRRRRRAAAAAAAAFFFFFFFFÍÍÍÍÍÍÍÍAAAAAAAA

� LEITHOLD, LLEITHOLD, LLEITHOLD, LLEITHOLD, L. �1992�. El Cálculo con Geometría Analítica. Sexta Edición. Editorial Harla. México

� LARSON, R.LARSON, R.LARSON, R.LARSON, R., HOSTETLER, R. & BRUCE E. �2002�. Cálculo diferencial e integral. Séptima edición. Editorial McGraw-Hill Interamericana. México

� PURCEPURCEPURCEPURCELL, E. VARBERG, D. Y RIGDON, S.LL, E. VARBERG, D. Y RIGDON, S.LL, E. VARBERG, D. Y RIGDON, S.LL, E. VARBERG, D. Y RIGDON, S. �2000�. Cálculo. Octava Edición. Editorial Prentice Hall. México.

� STEWART, James.STEWART, James.STEWART, James.STEWART, James. �2008�. Cálculo de unas variables transcendentes tempranas. Sexta edición. Editorial Thomson Learning.

� SMITH, R. y MINTON, R.SMITH, R. y MINTON, R.SMITH, R. y MINTON, R.SMITH, R. y MINTON, R. �2004�. Cálculo. Volumen 1. Editorial Mc Graw-Hill Interamericana de España.

� SWOSWOSWOSWOKKKKOWSOWSOWSOWSKKKKI, E.I, E.I, E.I, E. �1989�. Cálculo con geometría analítica. Segunda edición. Editorial Iberoamérica. México.

guia de ejercicios unidad iimlaurentin/varios/... · · 2011-06-16g∗∗h ejercicio recopilado...

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